Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент $\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Натуральные числа - это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не является натуральным. Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]

Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) обозначают буквой N.

Целые числа

Научившись считать, следующее, что мы делаем - это учимся производить над числами арифметические действия. Обычно сначала (на счетных палочках) учатся выполнять сложение и вычитание.

Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем. (3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)

На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии. А что такое "минус три мешка"? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна. Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, ...). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.

Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.

Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения. Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.

Рациональные числа

Теперь деление. По аналогии с тем, как вычитание является обратной операцией для сложения, приходим к идее деления как обратной операции для умножения.

Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.

А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.

А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42. Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.

Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.

Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).

Обыкновенные и десятичные дроби

Можно сказать, что любая обыкновенная дробь m/n (m – любое целое, n – любое натуральное) представляет собой просто специальную форму записи результата деления числа m на число n. (m называют числителем дроби, n – знаменателем) Результат деления, например, числа 25 на число 5 тоже можно записать в виде обыкновенной дроби 25/5. Но в этом нет необходимости, так как результат деления 25 на 5 может быть записан просто целым числом 5. (И 25/5 = 5). А вот результат деления числа 25 на число 3 уже не может быть представлен целым числом, поэтому здесь и возникает необходимость использования дроби, 25:3=25/3. (Можно выделить целую часть 25/3= 8 целых 1/3. Более подробно обыкновенные дроби и операции с обыкновенными дробями будут рассмотрены в следующих статьях.)

Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.

Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби. Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001). Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.

Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).

Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).

Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.

Действительные числа

Существуют такие числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n (где m-целое, n-натуральное).

Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.

Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3. А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом. (Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.

В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости.
Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом. (Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).)
А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тульской области

«Алексинский машиностроительный техникум»

Числовые

множества

Разработан

преподавателем

математики

Христофоровой М.Ю.

Число́ - основное понятие , используемое для характеристики, сравнения, и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат , а также математических .

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } - множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } - множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} - множество целых чисел;

Q={m/n: m  Z,n  N} - множество рациональных чисел.

R-множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N  Zo  Z  Q  R.

Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными . Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.

Любое , большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Если m, n, k - натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; при m: n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное, число m называют также кратным числа n, а число n - делителем числа m, Если число m - кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.

Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называется значением выражения .

Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

Если натуральное число m не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m =kn, то рассматривают деление с остатком: m = np + r, где m - делимое, n - делитель (m>n), p - частное, r - остаток .

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым : если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.

Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители , и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости .

a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).

Если числа a и b взаимно простые , т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab .

Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами , т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.

Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической ; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической .

Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными .

Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью.

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел : рациональных и иррациональных.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х

Так, если a

(a  2a< а +b а +b<2b  2 а  а <(a+b)/2

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительное направление.

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число -координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева - отрицательная. Например точки О и А имеют координаты 0 и 2, соответственно, что можно записать так: 0(0), А(2).

Понятие числа. Виды чисел.

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z . Можно сказать, чтоZ ={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m - целое число, а n - натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q . Все натуральные и целые числа – рациональные.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными.

1. Системы счисления.

Система счисления – способ наименования и записи чисел. В зависимости от способа изображения чисел разделяется на позиционные-десятичная и непозиционные-римская.

В ПК используют 2ичную, 8ричную и 16ричную системы счисления.

Отличия:запись числа в 16ной системе счисленич по сравнению с другой записью значительно короче, т.е. требует меньшего количества разрядности.

В позиционной системе счисления каждая цифра сохраняет свое постоянное значение независимо от занимаемой позиции в числе. В позиционной системе счисления каждая цифра определяет не только свое значение, но зависит от того положения, которое она занимает в числе. Каждая система счисления характеризуется основанием. Основание- это количество различных цифр, которые используются для записи чисел в данной системе счисления. Основание показывает во сколько раз изменяется значение одной и той же цифры при переходе на соседнюю позицию. В компьютере используется 2-система счисления. Основанием системы может быть любое число. Арифметические дей-ия над числами в любой позиции выполняются по правилам аналогичным 10 системе счисления. Для 2 системы счисления используется двоичная арифметика, которая реализуется в компьютере для выполнения арифметических вычислений.

Сложение двоичных чисел:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

Вычитание:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

Умножение:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

В компьютере широко применяется 8 система счисления и 16 система счисления. Они используются для сокращения записи двоичных чисел

2. Понятие множества.

Понятие «множество» является фундаментальным понятием математики и не имеет определения. Природа порождения любого множества разнообразна, в частности, окружающие предметы, живая природа и др.

Определение 1 : Объекты, из которых образовано множество, называются элементами данного множества . Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского алфавита: например X, Y, Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы строчными буквами, например: {x,y,z}.

Пример обозначения множества и его элементов:

X = {x 1 , x 2 ,…, x n } – множество, состоящее из n элементов. Если элемент x принадлежит множеству X, то следует записать: xÎX, иначе элемент x не принадлежит множеству X, что записывается: xÏX. Элементами абстрактного множества могут быть, например, числа, функции, буквы, фигуры и т.д. В математике в любом разделе используется понятие множества. В частности, можно привести некоторые конкретные множества вещественных чисел. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам:

· а ≤ x ≤ b называется сегментом и обозначается ;

· а ≤ x < b или а < x ≤ b называется полусегментом и обозначается: ;

· а < x < b называется интервалом и обозначается (a,b).

Определение 2 : Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным. Пример. X = {x 1 , x 2 , x 3 }.

Определение 3 : Множество называется бесконечным , если оно состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно. Пример записи. X = {x 1 , x 2 , ...}.

Определение 4 : Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом Æ.

Характеристикой множества является понятие мощности. Мощность – это количество его элементов. Множество Y={y 1 , y 2 ,...} имеет ту же мощность, что и множество X={x 1 , x 2 ,...}, если существует взаимно однозначное соответствие y= f(x) между элементами этих множеств. Такие множества имеют одинаковую мощность или равномощны. Пустое множество имеет нулевую мощность.

3. Способы задания множеств.

Считают, что множество задано своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать: принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Задавать множество можно следующими способами:

1) Если множество конечно, то его можно задать перечислением всех его элементов. Так, если множество А состоит из элементов 2, 5, 7, 12 , то пишут А = {2, 5, 7, 12}. Количество элементовмножества А равно 4 , пишут n(А) = 4.

Но если множество бесконечно, то его элементы нельзя перечислить. Трудно задать множество перечислением и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества.

2) Множество можно задать указанием характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему. Рассмотрим, например, множество Х двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, – «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать о том, принадлежит какой-либо объект множеству Х или не принадлежит. Например, число 45 содержится в данном множестве, т.к. оно двузначное, а число 4 множеству Х не принадлежит, т.к. оно однозначное и не является двузначным. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись. Если множество В состоит из всех натуральных чисел, меньших 10, то пишут В = {x N| x <10}.

Второй способ – более общий и позволяет задавать как конечные, так и бесконечные множества.

4. Числовые множества.

Числовое - множество, элементами которых являются числа. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества:

· - множество натуральных чисел;

· - множество целых чисел;

· - множество рациональных или дробных чисел;

· - множество действительных чисел.

5. Мощность множества. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

Множества называются равномощными, эквивалентными, если между ними есть взаимно - однозначное или одно-однозначное соответствие, то есть такое попарное соответствие. когда каждому элементу одного множества сопоставляется один-единственный элемент другого множества и наоборот, при этом различным элементам одного множества сопоставляются различные элементы другого.

Например, возьмём группу студентов из тридцати человек и выдадим экзаменационные билеты по одному билету каждому студенту из стопки, содержащей тридцать билетов, такое попарное соответствие из 30 студентов и 30 билетов будет одно-однозначным.

Два множества, равномощные с одним и тем же третьим множеством, равномощны. Если множества M и N равномощны, то и множества всех подмножеств каждого из этих множеств M и N , также равномощны.

Под подмножеством данного множества понимается такое множество, каждый элемент которого является элементом данного множества. Так множество легковых автомобилей и множество грузовых автомобилей будут подмножествами множества автомобилей.

Мощность множества действительных чисел, называют мощностью континуума и обозначают буквой «алеф» א . Наименьшей бесконечной областью является мощность множества натуральных чисел. Мощность множества всех натуральных чисел принято обозначать (алеф-нуль) .

Часто мощности называют кардинальными числами. Это понятие введено немецким математиком Г. Кантором. Если множества обозначают символическими буквами M, N , то кардинальные числа обозначают через m, n . Г.Кантор доказал, что множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем само множество М.

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством.

6. Подмножества указанного множества.

Если из нашего множества выбрать несколько элементов и сгруппировать их отдельно – то это будет подмножество нашего множества. Комбинаций, из которых можно получить подмножество много, количество комбинаций лишь зависит от количества элементов в исходном множестве.

Пусть у нас есть два множества А и Б. Если каждый элемент множества Б является элементом множества А, то множество Б называется подмножеством А. Обозначается: Б ⊂ А. Пример.

Сколько существует подмножеств множества А=1;2;3.

Решение. Подмножества состоя из элементов нашего множества. Тогда у нас существует 4 варианта по количеству элементов в подмножестве:

Подмножество может состоять из 1 элемента, из 2, 3 элементов и может быть пустым. Давайте последовательно запишем наши элементы.

Подмножество из 1 элемента: 1,2,3

Подмножество из 2 элементов:1,2,1,3,2,3.

Подмножество из 3 элементов:1;2;3

Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.

7. Операции над множествами.

Над множествами можно выполнять определенные операции, подобные в некотором отношении операциям над действительными числами в алгебре. Поэтому можно говорить об алгебре множеств.

Объединением (соединением) множеств А и В называется множество (символически оно обозначается через ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В . В форме от х объединение множеств записывается так

Запись читается: «объединение А и В » или «А , объединенное с В ».

Операции над множествами наглядно изображают графически с помощью кругов Эйлера (иногда используют термин «диаграммы Венна-Эйлера»). Если все элементы множества А будут сосредоточены в пределах круга А , а элементы множества В – в пределах круга В , тооперацию объединения с помощью кругов Эйлера можно представить в следующем виде

Пример 1 . Объединением множества А = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр и множества В = {1, 3, 5, 7, 9} нечетных цифр является множество = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.

8. Графическое изображение множеств. Диаграммы Эйлера-Венна.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется такое результирующее множество пар вида (x ,y ) , построенных таким образом, что первый элемент из множества A , а второй элемент пары - из множества B . Общепринятое обозначение:

A ×B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

A ×B ×C ={(x ,y ,z )|x ∈A ,y ∈B ,z ∈C }

Произведения вида A ×A ,A ×A ×A ,A ×A ×A ×A и т.д. принято записывать в виде степени: A 2 ,A 3 ,A 4 (основание степени - множество-множитель, показатель - количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, R n принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .

3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .

6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}

10. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.

Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.

Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».

Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.

Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он сказал это, значит, это верно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем

Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.

11. Операции над высказываниями.

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.

2. Операция конъюнкции .

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.

3 . Операция дизъюнкции .

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».

4 . Операция импликации .

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

12. Таблицы истинности высказываний.

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

Вычисления истинности сложных высказываний;

Установления эквивалентности высказываний;

Определения тавтологий.