Дробно иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.
Рассмотрим иррациональное уравнение
Это равенство, по определению квадратного корня, означает, что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9, возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения 2х + 1 = 9 находим х = 4.
Это — и корень уравнения 2х + 1 = 9, и заданного иррационального уравнения.
Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям. Рассмотрим, например, иррациональное уравнение
Возведя обе его части в квадрат, получим
Далее имеем:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1.
Но значение х - 1, будучи корнем рационального уравнения 2x - 5 = 4x - 7, не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим 
. Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.
Решим иррациональное уравнение
-
Корни этого уравнения можно найти устно, как мы это делали в конце предыдущего параграфа: их произведение равно - 38, а сумма равна - 17; нетрудно догадаться, что это — числа 2
и - 19. Итак, х 1 = 2, х 2 = - 19.
Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим
Это неверно.
Подставив значение - 19 вместо х в заданное иррациональное уравнение, получим
Это также неверно.
Каков же вывод? Оба найденные значения — посторонние корни. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как и предыдущее, не имеет корней.
Посторонний корень — не новое для вас понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).
Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.
Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:
Далее последовательно имеем
5х - 16 = х 2 - 4х + 4;
х 2 - 4х + 4 - 5х + 16 = 0;
х 2 - 9х + 20 = 0;
х 1 = 5, х 2 = 4.
Проверка. Подставив х = 5 в уравнение (1), получим — верное равенство. Подставив х = 4 в уравнение (1), получим — верное равенство. Значит, оба найденные значения — корни уравнения (1).
О т в е т: 4; 5.
Пример 2.
Решить уравнение 
(это уравнение встретилось нам в § 22 и его решение мы «отложили до лучших времен»).иррационального уравнения, получим
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2х) 2 .
Далее имеем
2х 2 + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x 2 ;
- 2х 2 + 184x - 1920 = 0;
х 2 - 92x + 960 = 0;
х 1 = 80, х 2 = 12.
Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим
Это, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится отрицательное число, а в левой — положительное число. Значит, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения.
Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим
Т. е. . = 20, — верное равенство. Следовательно, х = 12 — корень данного уравнения.
Ответ: 12.
Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:
Проверка. Подставив значение x = 14 в уравнение (2), получим 
— неверное равенство, значит, x = 14 — посторонний корень.
Подставив значение x = -1 в уравнение (2), получим 
— верное равенство. Поэтому x = - 1 — корень уравнения (2).
О т в е т: - 1.
Пример 4.
Решить уравнение 
Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде
Возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в
исходное иррациональное уравнение.
Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = . Тогда получим 2у 2 + у - 3 = 0 — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: у 1 = 1, у 2 = -. Таким образом, задача свелась к решению двух
Из первого уравнения находим х = 1, второе уравнение не имеет корней (вы же помните, что принимает только неотрицательные значения).
Ответ: 1.
Завершим этот параграф достаточно серьезным теоретическим разговором. Дело в следующем. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что при решении уравнений выполняют различные преобразования,
например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение = 0 уравнением р (х) = 0; обе части уравнения возводят в квадрат.
Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с теоретической точки зрения.
Определение. Два уравнения f (x) = g (x) и r(x) = s (х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.
Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением 2х - 7х = - 8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что
уравнения 2х + 5 = 7х -8 и 2х - 7х = -8 - 5 равносильны.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения 0,5x 2 - 0,3x = 2 уравнением 5х 2 - Зх = 20
(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.
Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:
1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения уравнением х 2 = 4 есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение х 2 = 4 имеет два корня: 2 и - 2, а заданному уравнению значение х = 2 удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях мы говорили так: х = 2 — посторонний корень.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Примеры приводить не будем, так как их было достаточно много в этом параграфе.
Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.
Тема: «Иррациональные уравнения вида
, 
.»
(Методическая разработка.)
Основные понятия
Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.
Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.
Основные свойства радикалов :
- Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
- Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.
Методы решения иррациональных уравнений
Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.
Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.
Основными методами решения иррациональных уравнений являются:
а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
б) метод введения новых переменных (метод замен);
в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.
В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.
1 метод. Возведение в куб .
Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Перепишем уравнение в виде 
и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению ,
Ответ : х=2, х=11.
Пример 2 . Решить уравнение .
Решение :
Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению
и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней
следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.
Проверка: 
Ответ : х=-2.
Замечание : Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.
2 метод. Возведение в куб по формуле.
По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.
Воспользуемся формулами:
(незначительная модификация известной формулы), тогда
Пример3.
Решить уравнение 
.
Решение :
Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.
Но выражение 
должно быть равно правой части. Поэтому имеем:
.
Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:
, и два его корня
Оба значения, как показывает проверка, правильные.
Ответ : х=2,х=-33.
Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.
Пример4. Решить уравнение .
Решение :
Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:
Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно ), получаем:
Получаем, .Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.
Ответ : .
Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»
Равенство влечёт равенство 
. Заменим с на –с, получим:
Нетрудно проверить тождество
Итак, если , то либо , либо . Уравнение можно представить в виде 
, .
Заменяя с на –с, получаем: если 
, то либо , либо
Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.
3 метод. Метод системы.
Пример 5.
Решить уравнение 
.
Решение :
Пусть , . Тогда:
Откуда очевидно, что 
Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.
Легко убедиться, что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.
Ответ : Корней нет.
Пример 6.
Решить уравнение 
.
Решение :
Введём замену, составим и решим систему уравнений.
Пусть , . Тогда
Возвращаясь к исходной переменной имеем:
Ответ : х=0.
4 метод. Использование монотонности функций.
Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.
Нам понадобятся следующие свойства:
Пример 7.
Решить уравнение 
.
Решение :
Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=9. Проверкой убедимся, что корень подходит.
Изучая алгебру, школьники сталкиваются с уравнениями многих видов. Среди тех из них, которые наиболее простые, можно назвать линейные, содержащие одну неизвестную. Если переменная в математическом выражении возводится в определенную степень, то уравнение называют квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Указанные выражения могут содержать рациональные числа. Но существуют также уравнения иррациональные. От прочих они отличаются наличием функции, где неизвестное находится под знаком радикала (то есть чисто внешне переменную здесь можно увидеть написанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их следует обязательно учитывать.
«Невыразимые словами»
Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К таковым относятся, как известно, целые, выражаемые через обыкновенные и десятичные периодические дроби представители данного сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, иррациональные уравнения тоже учились решать. К примеру, греки знали подобные величины, но, облекая их в словесную форму, употребляли понятие «алогос», что означало «невыразимые». Несколько позднее европейцы, подражая им, называли подобные числа «глухими». От всех остальных они отличаются тем, что могут быть представлены только в форме бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще подобные представители царства чисел записываются в виде цифр и знаков как некоторое выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.
На основании вышесказанного попробуем дать определение иррациональному уравнению. Подобные выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Они могут представлять собой всевозможные довольно сложные варианты, но в своей наипростейшей форме имеют такой вид, как на фото ниже.
Преступая к решению иррациональных уравнений, перво-наперво необходимо вычислить область допустимых значений переменной.
Имеет ли смысл выражение?
Необходимость проверки полученных значений вытекает из свойств Как известно, подобное выражение приемлемо и имеет какой-либо смысл лишь при определенных условиях. В случаях корня четной степени все подкоренные выражения должны быть положительными или равняться нулю. Если данное условие не выполняется, то представленная математическая запись не может считаться осмысленной.
Приведем конкретный пример, как решать иррациональные уравнения (на фото ниже).
В данном случае очевидно, что указанные условия ни при каких значениях, принимаемых искомой величиной, выполняться не могут, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. А значит, решением может являться только Ø.
Метод анализа
Из вышеописанного становится понятно, как решать иррациональные уравнение некоторых типов. Здесь действенным способом может оказаться простой анализ.
Приведем ряд примеров, которые снова наглядно это продемонстрируют (на фото ниже).
В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу оказывается предельно ясно, что истинным оно быть не может. Действительно, ведь в левой части равенства должно получаться положительное число, которое никак не способно оказаться равным -1.
Во втором случае сумма двух положительных выражений может считаться равной нулю, лишь только когда х - 3 = 0 и х + 3 = 0 одновременно. А подобное опять невозможно. И значит, в ответе снова следует писать Ø.
Третий пример очень похож на уже рассмотренный ранее. Действительно, ведь здесь условия ОДЗ требуют, чтобы выполнялось следующее абсурдное неравенство: 5 ≤ х ≤ 2. А подобное уравнение аналогичным образом никак не может иметь здравых решений.
Неограниченное приближение
Природа иррационального наиболее ясно и полно может быть объяснена и познана только через нескончаемый ряд чисел десятичной дроби. А конкретным, ярким примером из членов этого семейства является πи. Не без оснований предполагается, что эта математическая константа была известна с древних времен, используясь при вычислении длин окружности и площади круга. Но среди европейцев ее впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.
Возникает эта константа следующим образом. Если сравнивать самые разные по длине окружности, то отношение их длин и диаметров в обязательном порядке равны одному и тому же числу. Это и есть πи. Если выразить его через обыкновенную дробь, то приблизительно получим 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого представлен на рисунке выше. Именно поэтому подобное число получило его имя. Но это не явное, а приближенное значение едва ли не самого удивительного из чисел. Гениальный ученый с точностью до 0,02 нашел искомую величину, но, по сути, данная константа не имеет реального значения, а выражается как 3,1415926535… Она представляет собой бесконечный ряд цифр, неограниченно приближаясь к некоему мифическому значению.
Возведение в квадрат
Но вернемся к иррациональным уравнениям. Чтобы отыскать неизвестное, в данном случае очень часто прибегают к простому методу: возводят обе части имеющегося равенства в квадрат. Подобный способ обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных величин. Все полученные в результате этого корни необходимо проверять, ведь они могут не подойти.
Но продолжим рассмотрение примеров и постараемся найти переменные вновь предложенным способом.
Совсем несложно, применив теорему Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных оперций у нас образовалось квадратное уравнение. Здесь получается, что среди корней будут 2 и -19. Однако при проверке, подставив полученные значение в изначальное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это частое явление в иррациональных уравнениях. Значит, наша дилемма вновь не имеет решений, а в ответе следует указать пустое множество.
Примеры посложней
В некоторых случаях требуется возводить в квадрат обе части выражения не один, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется указанное. Их можно увидеть ниже.
Получив корни, не забываем их проверять, ведь могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему такое возможно. При применении подобного метода происходит в некотором роде рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, которые мешают производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующую область значений, что чревато (как можно понять) последствиями. Предвидя подобное, мы и производим проверку. В данном случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: х = 0.
Системы
Что же делать в случаях, когда требуется осуществить решение систем иррациональных уравнений, и у нас в наличии не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как в обычных случаях, но с учетом вышеперечисленных свойств данных математических выражений. И в каждой новой задаче, разумеется, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше рассмотреть все на конкретном примере, представленном ниже. Здесь не просто требуется найти переменные х и у, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).
Как можно убедиться, подобная задача не представляет ничего сверхъестественно сложного. Требуется лишь проявить сообразительность и догадаться, что левая часть первого уравнения представляет собой квадрат суммы. Подобные задания встречаются в ЕГЭ.
Иррациональное в математике
Каждый раз потребность в создании новых видов чисел возникала у человечества тогда, когда ему не хватало «простора» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые великие мудрецы обратили на это внимание еще до нашей эры, веке в VII. Сделал это математик из Индии, известный под именем Манава. Он отчетливо понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. К примеру, к таковым относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.
Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к тому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Открыв математические элементы, которые не могут быть выражены цифровыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он настолько разозлил своих коллег, что был выброшен за борт корабля, в море. Дело в том, что другие пифагорейцы сочли его рассуждения бунтом против законов вселенной.
Знак радикала: эволюция
Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые о радикале начали задумываться европейские, в частности итальянские, математики приблизительно в XIII веке. Тогда же для обозначения придумали задействовать латинскую R. Но немецкие математики в своих работах поступали иначе. Им больше понравилась буква V. В германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), что призвано было выражать корень квадратный из 2, 3 и так далее. Позднее в дело вмешались нидерландцы и видоизменили знак радикала. А завершил эволюцию Рене Декарт, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.
Избавление от иррационального
Иррациональные уравнения и неравенства могут включать в себя переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самым распространенным способом от него избавиться является возможность возвести обе части равенства в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особенно не отличаются от тех, которые были уже разобраны нами ранее. Здесь должны быть учтены условия неотрицательности подкоренного выражения, а также по окончании решения необходимо производить отсев посторонних значений переменных таким образом, как было показано в рассмотренных уже примерах.
Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используется умножение выражения на сопряженное, а также нередко требуется введение новой переменной, что облегчает решение. В некоторых случаях, чтобы отыскать значение неизвестных, целесообразно применять графики.
Решение дробно-рациональных и иррациональных уравнений, содержащих параметр , сводящихся к линейным уравнениям.
Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр.
Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1 . Решить уравнение
. (1)
Решение . Значение а= 0 является контрольным. При a =0 уравнение (1) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠ 0, то после преобразований уравнение (1) примет вид:
(2)
Найдем дискриминант уравнения (2) . Находим корни уравнения (2): . При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
Проверка . Исключим из найденных значений х такие, при которых.
Если т. е. , то.
Таким образом, при -
Если т. е. , то .
Таким образом, при - посторонний корень уравнения (1).
Если т. е. , то .
Таким образом, при - посторонний корень уравнения (1)".
Если т. е. , то.
Таким образом, при - посторонний корень уравнения (1).
При получаем; при
При; при . Итак, можно записать
Ответ : 1) если то
2) если то;
3) если то корней нет;
4) если, то;
5) если , то;
6) если, то.
Иррациональные уравнения, содержащие параметр.
Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:
ограничение области определения неизвестной х , так как она меняется в зависимости от значения параметра.
в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.
При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.
Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении.
Пример 2 . Решить уравнение
. (3)
Решение : метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
(4)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
Особое значение: . Отсюда:
при;
при;
при уравнение не имеет решений.
Проверка :
при подстановке в уравнение (4), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, не является решением (4) и уравнения (3).
при подстановке в (4) получим:
Так как левая часть равенства отрицательна, то х 2 не удовлетворяет исходному уравнению.
Подставим в уравнение (4):
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если, то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что.
Это условие выполняется, если. Так как равенство истинно при, а может быть корнем уравнения (3) при, следовательно, – корень уравнения при.
Ответ .
при;
при уравнение не имеет решений .
Пример 3. Для каждого значения а решить уравнение.
Решение. .
Ответ. при; при решений нет.
Пример 4 . Выяснить, при каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.
Решение. Уравнение не имеет решения при или.
Ответ. Уравнение не имеет решения при и.
Пример 5 . Для каждого значения а решить уравнение Решение. .
Пусть
Пусть.
но, следовательно, не может быть.
Пусть.
следовательно, не может быть.
Ответ. при, при решений нет.
Пример 6 . Для каждого значения а определить число решений уравнения.
Решение. 1) , при решений нет.
При одно решение; при нет решений, так как; при два решения.
При и одно решение; при нет решений; при два решения.
Ответ. при четыре решения,
при три решения,
при два решения,
при нет решения,
Пример 7 . Найти все значения а, удовлетворяющие условию -1<а<1, при которых выражение принимает минимальное значение точно для одной пары (x ; y ) .
Решение. Выражение минимально, когда. Решим это уравнение относительно х.
но х должен быть единственным. Следовательно,
Из условия.
Чтобы y был единственным, соответствующая парабола должна снизу касаться оси Ох.
Ответ. .
Пример 8 . Число а подобрано так, что уравнение имеет решение. Найти это решение и значение а.
Решение.
Ответ. , .