Как найти сумму чисел в арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия
Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.
Математическая числовая последовательность
Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.
а 1 - первый член последовательности;
а 2 - второй член последовательности;
а 7 - седьмой член последовательности;
а n - n-ный член последовательности;
Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.
a - значение члена числовой последовательности;
n - его порядковый номер;
f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.
Определение
Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:
a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;
a n+1 - формула следующего числа;
d - разность (определённое число).
Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.
На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».
В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Значение заданного члена
Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.
Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.
Пример расчёта значения заданного члена
Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.
Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:
Первый член последовательности равен 3;
Разность числового ряда равняется 1,2.
Задание: необходимо отыскать значение 214 члена
Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:
а(n) = а1 + d(n-1)
Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.
Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.
Сумма заданного числа членов
Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.
Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:
Пример расчёта
Для примера решим задачу со следующими условиями:
Первый член последовательности равен нулю;
Разность равняется 0,5.
В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.
Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Пример практического применения арифметической прогрессии
В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.
Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.
1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.
30 - 3 = 27 км.
2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.
Номер члена - число км пробега (минус первые три).
Значение члена - сумма.
Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.
Разность прогрессии d = 22 р.
интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.
Другой вид числовой последовательности - геометрическая
Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.
N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;
b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;
q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).
Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:
Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:
Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:
Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:
Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Инструкция
Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.
Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.
Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.
Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.
Инструкция
Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.
Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:
Первый элемент последовательности;
Пятый элемент последовательности;
- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.
Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:
Последовательность можно задать тремя способами:
1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.
Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:
В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.
2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.
В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.
Например, если , то
Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.
То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:
Если, например, 
, то
Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.
3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.
Например, рассмотрим последовательность 
, 
Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:
То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.
Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.
Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .
Например, 2; 5; 8; 11;...
Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .
Например, 2; -1; -4; -7;...
Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .
Например, 2;2;2;2;...
Основное свойство арифметической прогрессии:
Посмотрим на рисунок.
Мы видим, что
, и в то же время
Сложив эти два равенства, получим:
.
Разделим обе части равенства на 2:
Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:
Больше того, так как
, и в то же время
, то
, и, следовательно,
Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
Формула го члена.
Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:
и, наконец,
Мы получили формулу n-го члена.
ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.
Сумма n членов арифметической прогрессии.
В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:
Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .
Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:
Сложим попарно:
Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.
Получаем:
Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:
Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .
1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.
Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.
2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...
а) Найдите 31 член прогрессии.
б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.
а) Мы видим, что ;
Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.
В общем случае 
В нашем случае 
, поэтому 
Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):
В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .
Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.
И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .
Обозначение арифметической прогрессии
Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.
Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).
Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.
Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)
Решение задач на арифметическую прогрессию
В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:
Ответ: \(b_5=23\)
Пример (ОГЭ).
Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:
|
Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента. |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(-3\)
Пример (ОГЭ).
Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:
|
|
Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(7,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам : \(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Искомая сумма найдена. |
Ответ: \(S_6=9\).
Пример (ОГЭ).
В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(d=7\).
Важные формулы арифметической прогрессии
Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).
Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…
Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.
Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).
Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.
Пример.
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:
Ответ: \(b_{246}=1850\).
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где
\(a_n\) – последний суммируемый член;
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\) |
Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять. |
|
|
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\) |
Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму. |
|
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{25}=1090\).
Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)
\(\cdot n\), где
\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.
Пример.
Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:
Ответ: \(S_{33}=-231\).
Более сложные задачи на арифметическую прогрессию
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)
Пример (ОГЭ).
Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:
|
\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\) |
Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Делим обе части неравенства на \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) |
Переносим минус единицу, не забывая менять знаки |
|
|
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\) |
Вычисляем… |
|
|
\(n>65,333…\) |
…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это. |
|
|
\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов. |
|
|
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)
\(\cdot 65\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{65}=-630,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:
|
\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\) |
В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? |
|
|
Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов. |
|
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)
\(\cdot 42=\) |
Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов. |
|
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ну и наконец, вычисляем ответ. |
|
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\) |
Ответ: \(S=1683\).
Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .