Линии второго порядка. Взаимное расположение мнимых точек и прямых Пара параллельных прямых второго порядка
Мы сейчас покажем, что аффинная классификация кривых второго порядка дается самими наименованиями кривых, т. е. что аффинными классами кривых второго порядка являются классы:
действительных эллипсов;
мнимых эллипсов;
гипербол;
пар действительных пересекающихся прямых;
пар мнимых (сопряженных) пересекающихся;
пар параллельных действительных прямых;
пар параллельных мнимых сопряженных прямых;
пар совпадающих действительных прямых.
Надо доказать два утверждения:
А. Все кривые одного наименования (т. е. все эллипсы, все гиперболы и т. д.) аффинно эквивалентны между собою.
Б. Две кривые различных наименований никогда не являются аффинно эквивалентными.
Доказываем утверждение А. В главе XV, § 3, уже было доказано, что все эллипсы аффинно эквивалентны одному из них, а именно окружности а все гиперболы - гиперболе Значит, все эллипсы, соответственно все гиперболы, аффинно эквивалентны между собою. Все мнимые эллипсы, будучи аффинно эквивалентны окружности - - 1 радиуса также аффинно эквивалентны между собою.
Докажем аффинную эквивалентность всех парабол. Мы докажем даже больше, а именно что все параболы подобны между собою. Достаточно доказать, что парабола, данная в некоторой системе координат своим каноническим уравнением
подобна параболе
Для этого подвергнем плоскость преобразованию подобия с коэффициентом - :
Тогда так что при нашем преобразовании кривая
переходит в кривую
т. е. в параболу
что и требовалось доказать.
Переходим к распадающимся кривым. В § формулы (9) и (11), стр. 401 и 402) было доказано, что кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых, в некоторой (даже прямоугольной) системе координат имеет уравнение
Делая дополнительное преобразование координат
видим, что всякая кривая, распадающаяся на пару пересекающихся действительных, соответственно мнимых сопряженных, прямых, имеет в некоторой аффинной системе координат уравнение
Что касается кривых, распадающихся на пару параллельных прямых, то каждая из них может быть (даже в некоторой прямоугольной системе координат) задана уравнением
для действительных, соответственно
для мнимых, прямых. Преобразование координат позволяет в этих уравнениях положить (или для совпадающих прямых Отсюда следует аффинная эквивалентность всех распадающихся кривых второго порядка, имеющих одно и то же наименование.
Переходим к доказательству утверждения Б.
Заметим прежде всего: при аффинном преобразовании плоскости порядок алгебраической кривой остается неизменным. Далее: всякая распадающаяся кривая второго порядка есть пара прямых, а при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую, пара пересекающихся прямых переходит в пару пересекающихся, а пара параллельных - в пару параллельных; кроме того, действительные прямые переходят в действительные, а мнимые - в мнимые. Это вытекает из того, что все коэффициенты в формулах (3) (гл. XI, § 3), определяющих аффинное преобразование, суть действительные числа.
Из сказанного следует, что линия, аффинно эквивалентная данной распадающейся кривой второго порядка, есть распадающаяся кривая того же наименования.
Переходим к нераспадающимся кривым. Опять-таки при аффинном преобразовании действительная кривая не может перейти в мнимую, и обратно. Поэтому класс мнимых эллипсов аффинно инвариантен.
Рассмотрим классы действительных нераспадающихся кривых: эллипсов, гипербол, парабол.
Среди всех кривых второго порядка всякий эллипс, и только эллипс, лежит в некотором прямоугольнике, тогда как параболы и гиперболы (равно как и все распадающиеся кривые) простираются в бесконечность.
При аффинном преобразовании прямоугольник ABCD, содержащий данный эллипс, перейдет в параллелограмм, содержащий преобразованную кривую, которая, таким образом, не может уходить в бесконечность и, следовательно, является эллипсом.
Итак, кривая, аффинно эквивалентная эллипсу, есть непременно эллипс. Из доказанного следует, что кривая, аффинно эквивалентная гиперболе или параболе, не может быть эллипсом (а также, как мы знаем, не может быть и распадающейся кривой. Поэтому остается лишь доказать, что при аффинном преобразовании плоскости гипербола не может перейти в параболу, и наоборот. Это, пожалуй, проще всего следует из того, что у параболы нет центра симметрии, а у гиперболы он есть. Но так как отсутствие центра симметрии у параболы будет доказано лишь в следующей главе, то мы сейчас дадим второе, тоже очень простое доказательство аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы.
Лемма. Если парабола имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, определяемых в плоскости данной прямой d, то она имеет хотя бы одну общую точку и с прямой .
В самом деле, мы видели, что существует такая система координат, в которой данная парабола имеет уравнение
Пусть относительно этой системы координат прямая d имеет уравнение
По предположению на параболе имеются две точки из которых одна, положим лежит в положительной, а другая, - в отрицательной полуплоскости относительно уравнения (1). Поэтому, помня, что можем написать
8.3.15. Точка А лежит на прямой . Расстояние от точки А до плоскости
8.3.16. Составьте уравнение прямой, симметричной прямой
относительно плоскости .
8.3.17. Составьте уравнения проекций на плоскость следующих прямых:
а) ;
б)
в) .
8.3.18. Найдите угол между плоскостью и прямой:
а) ;
б) .
8.3.19. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости, проходящей через прямые:
и
8.3.20. Точка А лежит на прямой
Расстояние от точки А до прямой равно . Найдите координаты точки А.
§ 8.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени
в котором .
Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией ) второго порядка .
Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:
1) (эллипс);
2) (мнимый эллипс);
3) (пара мнимых пересекающихся прямых);
4) (гипербола);
5) (пара пересекающихся прямых);
6) (парабола);
7) (пара параллельных прямых);
8) (пара мнимых параллельных прямых);
9) (пара совпадающих прямых).
Уравнения 1) – 9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.
Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат к канонической осуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точки О на некоторый угол j и последующего параллельного переноса системы координат.
Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.
Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат
,
определитель, составленный из коэффициентов при старших членах
и определитель третьего порядка
являются инвариантами.
Значение инвариантов s, d, D можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка.
Таблица 8.1.
Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах
Кривая эллиптического типа |
sD<0. Эллипс |
|
sD>0. Мнимый эллипс |
||
Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке |
||
Кривая гиперболического типа |
Гипербола |
|
Пара пересекающихся прямых |
||
Кривая параболического типа |
Парабола |
|
Пара параллельных прямых (различных, мнимых или совпадающих) |
Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.
Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а, половину расстояний между фокусами – с. Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси Оx симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением
, (8.4.2)
называемым каноническим уравнением эллипса , где .
Рис. 8.1
При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центрего симметрии – центром эллипса . Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b, а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.
Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса . Вершины эллипса имеет координаты (а,0), (–а,0), (0,b), (0,–b).
Эксцентриситетом эллипса называется число