كيفية تحديد القيمة القصوى للدالة. الدوال المتزايدة والتناقصية، الحدود القصوى
هذا قسم رياضيات مثير للاهتمام إلى حد ما، والذي يواجهه جميع الخريجين والطلاب على الإطلاق. ومع ذلك، ليس الجميع يحب ماتان. لا يستطيع البعض فهم حتى الأشياء الأساسية مثل دراسة الوظائف التي تبدو قياسية. تهدف هذه المقالة إلى تصحيح مثل هذا الخطأ. هل تريد معرفة المزيد عن تحليل الوظائف؟ هل ترغب في معرفة ما هي النقاط القصوى وكيفية العثور عليها؟ إذن هذه المقالة لك.
دراسة الرسم البياني للدالة
أولاً، من المفيد أن تفهم سبب حاجتك إلى تحليل الرسم البياني على الإطلاق. هناك وظائف بسيطة ليس من الصعب رسمها. ومن الأمثلة الصارخة على هذه الوظيفة هو القطع المكافئ. لن يكون من الصعب رسم رسم بياني. كل ما هو مطلوب هو، باستخدام تحويل بسيط، العثور على الأرقام التي تأخذ فيها الدالة القيمة 0. ومن حيث المبدأ، هذا هو كل ما تحتاج إلى معرفته من أجل رسم رسم بياني للقطع المكافئ.
ولكن ماذا لو كانت الدالة التي نحتاج إلى رسمها بيانيًا أكثر تعقيدًا؟ وبما أن خصائص الوظائف المعقدة ليست واضحة تماما، فمن الضروري إجراء تحليل كامل. فقط بعد ذلك يمكن تصوير الوظيفة بيانياً. كيف نفعل ذلك؟ يمكنك العثور على الإجابة على هذا السؤال في هذه المقالة.
خطة تحليل الوظيفة
أول شيء يتعين علينا القيام به هو إجراء دراسة سطحية للدالة، والتي نجد خلالها مجال التعريف. لذلك، دعونا نبدأ بالترتيب. مجال التعريف هو مجموعة القيم التي يتم من خلالها تعريف الوظيفة. ببساطة، هذه هي الأرقام التي يمكن استخدامها في دالة بدلاً من x. لتحديد النطاق، ما عليك سوى إلقاء نظرة على السجل. على سبيل المثال، من الواضح أن الدالة y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 لها مجال تعريف وهو مجموعة الأعداد الحقيقية. حسنًا، مع دالة مثل (x 2 - 2x)/x، كل شيء مختلف قليلًا. بما أن الرقم الموجود في المقام لا يجب أن يساوي 0، فإن مجال تعريف هذه الدالة سيكون جميع الأعداد الحقيقية غير الصفر.
بعد ذلك، تحتاج إلى العثور على ما يسمى بأصفار الدالة. هذه هي قيم الوسيطات التي تأخذ فيها الوظيفة بأكملها القيمة صفرًا. للقيام بذلك، من الضروري مساواة الدالة بالصفر، والنظر فيها بالتفصيل وإجراء بعض التحولات. لنأخذ الدالة المألوفة بالفعل y(x) = (x 2 - 2x)/x. نعلم من المقرر الدراسي أن الكسر يساوي 0 عندما يكون البسط يساوي صفرًا. لذلك، نتخلص من المقام ونبدأ في التعامل مع البسط، ونساويه بالصفر. نحصل على x 2 - 2x = 0 ونضع x بين قوسين. وبالتالي x (x - 2) = 0. ونتيجة لذلك، نجد أن الدالة لدينا تساوي الصفر عندما تساوي x 0 أو 2.
عند فحص الرسم البياني للدالة، يواجه العديد من الأشخاص مشاكل في شكل نقاط متطرفة. وهذا غريب. بعد كل شيء، التطرف هو موضوع بسيط إلى حد ما. لا تصدقني؟ وانظر بنفسك من خلال قراءة هذا الجزء من المقال الذي سنتحدث فيه عن الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.
أولاً، من المفيد أن نفهم ما هو الحد الأقصى. الحد الأقصى هو القيمة الحدية التي تصل إليها الدالة على الرسم البياني. اتضح أن هناك قيمتين متطرفتين - الحد الأقصى والحد الأدنى. من أجل الوضوح، يمكنك إلقاء نظرة على الصورة أعلاه. في المنطقة المدروسة، النقطة -1 هي الحد الأقصى للدالة y (x) = x 5 - 5x، وبالتالي فإن النقطة 1 هي الحد الأدنى.
وأيضا لا تخلط بين المفاهيم. النقاط القصوى للدالة هي تلك الوسائط التي تكتسب عندها دالة معينة قيمًا متطرفة. وفي المقابل، فإن الحد الأقصى هو قيمة الحد الأدنى والحد الأقصى للدالة. على سبيل المثال، النظر في الشكل أعلاه مرة أخرى. -1 و1 هما النقطتان الأقصىتان للدالة، و4 و-4 هما النقطتان الأقصىتان بحد ذاتها.
العثور على النقاط القصوى
ولكن كيف يمكنك العثور على النقاط القصوى للدالة؟ كل شيء بسيط للغاية. أول ما علينا فعله هو إيجاد مشتقة المعادلة. لنفترض أننا تلقينا المهمة: "ابحث عن النقاط القصوى للدالة y (x)، x هي الوسيطة. من أجل الوضوح، لنأخذ الدالة y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. دعونا نفرق و احصل على المعادلة التالية: 3x 2 + 4x + 1. ونتيجة لذلك، أصبح لدينا معادلة تربيعية قياسية. كل ما علينا فعله بعد ذلك هو معادلتها بالصفر وإيجاد الجذور. بما أن المميز أكبر من صفر (D = (16 - 12 = 4)، يتم تحديد هذه المعادلة بواسطة جذرين. ابحث عنهما واحصل على قيمتين: 1/3 و -1. ستكون هذه هي النقاط القصوى للدالة. ومع ذلك، كيف لا يزال بإمكانك تحديد من هو؟ ما هي النقطة القصوى وما هي النقطة الدنيا؟ للقيام بذلك، عليك أن تأخذ النقطة المجاورة وتكتشف قيمتها، على سبيل المثال، خذ الرقم -2، الذي يقع على اليسار على طول خط الإحداثيات من -1 عوض بهذه القيمة في معادلتنا y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. ونتيجة لذلك نحصل على رقم موجب. وهذا يعني أنه في الفترة من الدالة تزداد من 1/3 إلى -1. هذا ، بدوره يعني أنه على الفترات من ناقص اللانهاية إلى 1/3 ومن -1 إلى زائد اللانهاية تتناقص الدالة. وهكذا يمكننا أن نستنتج أن الرقم 1/3 هو الحد الأدنى لنقطة الدالة في الفترة المدروسة، و-1 هو الحد الأقصى للنقطة.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن اختبار الدولة الموحدة لا يتطلب العثور على النقاط القصوى فحسب، بل يتطلب أيضًا إجراء نوع من العمليات معهم (الإضافة والضرب وما إلى ذلك). ولهذا السبب يجدر إيلاء اهتمام خاص لظروف المشكلة. بعد كل شيء، بسبب عدم الانتباه، يمكنك أن تفقد النقاط.
قبل أن تتعلم كيفية العثور على الحد الأقصى للدالة، عليك أن تفهم ما هو الحد الأقصى. التعريف الأكثر عمومية للقيمة القصوى هو أنها، كما هو مستخدم في الرياضيات، أصغر أو أكبر قيمة لدالة على مجموعة معينة من خط الأعداد أو الرسم البياني. ففي المكان الذي يوجد فيه الحد الأدنى يظهر الحد الأدنى، وحيث يقع الحد الأقصى يظهر الحد الأقصى. أيضًا في تخصص مثل التحليل الرياضي، يتم تحديد الحدود القصوى المحلية للدالة. الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على النقاط المتطرفة.
تعد القيم القصوى في الرياضيات من أهم خصائص الدالة، فهي تظهر قيمها الأكبر والأصغر. تم العثور على الحدود القصوى بشكل رئيسي في النقاط الحرجة للوظائف التي تم العثور عليها. تجدر الإشارة إلى أنه عند النقطة القصوى تغير الدالة اتجاهها بشكل جذري. إذا قمت بحساب مشتق النقطة القصوى، وفقًا للتعريف، فيجب أن يكون مساويًا للصفر أو سيكون غائبًا تمامًا. وبالتالي، لمعرفة كيفية العثور على الحد الأقصى للدالة، تحتاج إلى تنفيذ مهمتين متتاليتين:
- ابحث عن مشتق الدالة التي يجب تحديدها بواسطة المهمة؛
- العثور على جذور المعادلة.
تسلسل العثور على الحد الأقصى
- اكتب الدالة f(x) المعطاة. ابحث عن مشتقها من الدرجة الأولى f "(x). قم بمساواة التعبير الناتج بالصفر.
- الآن عليك حل المعادلة الناتجة. ستكون الحلول الناتجة هي جذور المعادلة، بالإضافة إلى النقاط الحرجة للدالة التي يتم تحديدها.
- الآن نحدد النقاط الحرجة (الحد الأقصى أو الأدنى) التي تم العثور عليها. الخطوة التالية، بعد أن تعلمنا كيفية العثور على النقاط القصوى للدالة، هي العثور على المشتق الثاني للدالة المطلوبة f "(x). سيكون من الضروري استبدال قيم النقاط الحرجة الموجودة في متباينة محددة ثم احسب ما يحدث، إذا حدث هذا، إذا تبين أن المشتقة الثانية أكبر من الصفر عند النقطة الحرجة، فستكون النقطة الصغرى، وإلا ستكون النقطة القصوى.
- يبقى حساب قيمة الوظيفة الأولية عند الحد الأقصى والحد الأدنى المطلوب للوظيفة. للقيام بذلك، نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في الدالة ونحسبها. لكن تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت النقطة الحرجة هي الحد الأقصى، فإن الحد الأقصى سيكون الحد الأقصى، وإذا كان الحد الأدنى، فسيكون الحد الأدنى بالقياس.
خوارزمية للعثور على الحد الأقصى
لتلخيص المعرفة المكتسبة، سنقوم بإنشاء خوارزمية قصيرة حول كيفية العثور على النقاط القصوى.
- نجد مجال تعريف دالة معينة وفتراتها، والتي تحدد بدقة الفترات التي تكون فيها الدالة متصلة.
- أوجد مشتقة الدالة f "(x).
- نحسب النقاط الحرجة للمعادلة y = f (x).
- قمنا بتحليل التغيرات في اتجاه الدالة f (x)، وكذلك إشارة المشتقة f"(x) حيث تقسم النقاط الحرجة مجال تعريف هذه الدالة.
- والآن نحدد ما إذا كانت كل نقطة على الرسم البياني تمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى.
- نجد قيم الدالة عند تلك النقاط التي تكون القيم القصوى.
- نسجل نتيجة هذه الدراسة – الحدود القصوى وفترات الرتابة. هذا كل شئ. لقد نظرنا الآن في كيفية العثور على الحد الأقصى في أي فترة زمنية. إذا كنت بحاجة إلى العثور على أقصى حد في فترة معينة من الوظيفة، فسيتم ذلك بطريقة مماثلة، فمن الضروري أن تؤخذ في الاعتبار فقط حدود البحث الذي يتم إجراؤه.
لذا، تعلمنا كيفية العثور على النقاط القصوى للدالة. بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، بالإضافة إلى معرفة كيفية العثور على المشتقات، يمكنك العثور على أي حد أقصى وحسابه، بالإضافة إلى الإشارة إليه بيانيًا. يعد العثور على النقاط القصوى أحد أهم أقسام الرياضيات، سواء في المدرسة أو في التعليم العالي، لذلك، إذا تعلمت كيفية التعرف عليها بشكل صحيح، فسوف تصبح الدراسة أسهل بكثير وأكثر إثارة للاهتمام.
الحد الأقصى للوظيفة
التعريف 2
تُسمى النقطة $x_0$ بالنقطة القصوى للدالة $f(x)$ إذا كان هناك حي لهذه النقطة بحيث يكون عدم المساواة $f(x)\le f(x_0) لجميع $x$ في هذا الحي $ يحمل.
التعريف 3
تُسمى النقطة $x_0$ بالنقطة القصوى للدالة $f(x)$ إذا كان هناك حي لهذه النقطة بحيث يكون عدم المساواة $f(x)\ge f(x_0) لجميع $x$ في هذا الحي $ يحمل.
يرتبط مفهوم الحد الأقصى للدالة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للدالة. دعونا نقدم تعريفها.
التعريف 4
يُطلق على $x_0$ اسم النقطة الحرجة للدالة $f(x)$ إذا:
1) $x_0$ - النقطة الداخلية لمجال التعريف؛
2) $f"\left(x_0\right)=0$ أو غير موجود.
بالنسبة لمفهوم الحد الأقصى، يمكننا صياغة نظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.
النظرية 2
حالة كافية للأقصى
اجعل النقطة $x_0$ حاسمة بالنسبة للدالة $y=f(x)$ وتقع في الفاصل الزمني $(a,b)$. دع في كل فترة زمنية $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ المشتق $f"(x)$ موجود ويحافظ على إشارة ثابتة. ثم:
1) إذا كان المشتق على الفترة $(a,x_0)$ هو $f"\left(x\right)>0$، وعلى الفترة $(x_0,b)$ فإن المشتق هو $f"\left( س\يمين)
2) إذا كانت المشتقة $f"\left(x\right)0$ على الفاصل الزمني $(a,x_0)$، فإن النقطة $x_0$ هي النقطة الدنيا لهذه الدالة.
3) إذا كان كلاهما على الفاصل الزمني $(a,x_0)$ وعلى الفاصل الزمني $(x_0,b)$ المشتق $f"\left(x\right) >0$ أو المشتق $f"\left(x \يمين)
تم توضيح هذه النظرية في الشكل 1.
الشكل 1. الشرط الكافي لوجود النهايات
أمثلة على التطرف (الشكل 2).
الشكل 2. أمثلة على النقاط المتطرفة
قاعدة لدراسة دالة للأقصى
2) أوجد المشتق $f"(x)$;
7) استخلص استنتاجات حول وجود الحد الأقصى والحد الأدنى في كل فترة، باستخدام النظرية 2.
زيادة ونقصان الوظائف
دعونا أولا نقدم تعريفات الدوال المتزايدة والتناقصية.
التعريف 5
يُقال إن الدالة $y=f(x)$ المحددة في الفاصل الزمني $X$ تتزايد إذا كانت لأي نقطة $x_1,x_2\in X$ عند $x_1
التعريف 6
يُقال إن الدالة $y=f(x)$ المحددة في الفاصل الزمني $X$ تتناقص إذا كانت لأي نقطة $x_1,x_2\in X$ لـ $x_1f(x_2)$.
دراسة دالة الزيادة والتناقص
يمكنك دراسة الدوال المتزايدة والتناقصية باستخدام المشتق.
من أجل فحص دالة لفترات التزايد والتناقص، يجب عليك القيام بما يلي:
1) ابحث عن مجال تعريف الدالة $f(x)$;
2) أوجد المشتق $f"(x)$;
3) أوجد النقاط التي تكون عندها المساواة $f"\left(x\right)=0$؛
4) ابحث عن النقاط التي لا يوجد عندها $f"(x)$؛
5) ضع علامة على خط الإحداثيات على جميع النقاط الموجودة ومجال تعريف هذه الوظيفة؛
6) حدد إشارة المشتقة $f"(x)$ في كل فترة ناتجة؛
7) ارسم نتيجة: على الفواصل الزمنية التي تزيد فيها الدالة $f"\left(x\right)0$.
أمثلة على مسائل دراسة دوال الزيادة والتناقص ووجود النقاط القصوى
مثال 1
افحص دالة الزيادة والتناقص ووجود النقاط القصوى والصغرى: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
بما أن النقاط الست الأولى هي نفسها، فلننفذها أولاً.
1) مجال التعريف - جميع الأعداد الحقيقية؛
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ موجود في جميع نقاط مجال التعريف؛
5) خط الإحداثيات:
الشكل 3.
6) حدد إشارة المشتقة $f"(x)$ في كل فترة:
\\UU
لا يمكن العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي دون التمايز وهو ضروري عند دراسة دالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.
تسمى النقطة نقطة الحد الأقصى (أو الأدنى) المحلية للدالة إذا كان هناك حي لهذه النقطة ينتمي إلى مجال تعريف الوظيفة، ولكل هذا الحي فإن عدم المساواة (أو) يحمل.
تسمى النقاط القصوى والدنيا بالنقاط القصوى للدالة، وقيم الدالة عند النقاط القصوى هي قيمها القصوى.
الشرط الضروري للمتطرف المحلي:
إذا كانت الدالة لها حد أقصى محلي عند نقطة ما، فإما أن تكون المشتقة صفرًا أو أنها غير موجودة.
تسمى النقاط التي تلبي المتطلبات المذكورة أعلاه بالنقاط الحرجة.
ومع ذلك، عند كل نقطة حرجة، يكون للوظيفة حد أقصى.
مفهوم الحد الأقصى للدالة
الجواب على السؤال: هل ستكون النقطة الحرجة نقطة متطرفة تعطى من خلال النظرية التالية.
الشرط الكافي لوجود حد للدالة
النظرية الأولى. لتكن الدالة متصلة في فترة معينة تحتوي على النقطة الحرجة ومتمايزة عند جميع نقاط هذه الفترة (مع احتمال استثناء النقطة نفسها).
ثم بالنسبة لنقطة ما، يكون للدالة قيمة عظمى إذا كانت الوسيطات تحقق شرط أن يكون المشتق أكبر من الصفر، وبالنسبة للشرط يكون المشتق أقل من الصفر.
إذا كانت مشتقة for أقل من الصفر، وfor أكبر من الصفر، فإن الدالة لها قيمة صغرى للنقطة.
النظرية الثانية. لتكن الدالة قابلة للاشتقاق مرتين في جوار نقطة ما والمشتق يساوي صفرًا. عند نقطة ما، يكون للدالة قيمة عظمى محلية إذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر، وقيمة صغرى محلية إذا كان العكس.
إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فلا يجوز أن تكون النقطة نقطة متطرفة.
عند دراسة وظائف القيم القصوى، يتم استخدام كلتا النظريتين. الأول أبسط من الناحية العملية، لأنه لا يتطلب إيجاد المشتق الثاني.
قواعد إيجاد الحد الأقصى (الحد الأقصى والحد الأدنى) باستخدام المشتقة الأولى
1) العثور على مجال التعريف؛
2) أوجد المشتقة الأولى؛
3) العثور على النقاط الحرجة.
4) التحقق من إشارة المشتقة على الفترات التي تم الحصول عليها من تقسيم مجال التعريف على النقاط الحرجة.
في هذه الحالة، تكون النقطة الحرجة هي النقطة الدنيا إذا، عند المرور عبرها من اليسار إلى اليمين، تشير التغييرات المشتقة من السالب إلى الموجب، وإلا فهي نقطة عظمى.
بدلا من هذه القاعدة، يمكنك تحديد المشتقة الثانية ودراستها وفقا للنظرية الثانية.
5) حساب قيم الدالة عند النقاط القصوى.
دعونا الآن نتناول دراسة دوال القيم القصوى باستخدام أمثلة محددة.
مجموعة V.Yu. كليبكو، ف.ل. جوليت "الرياضيات العليا في الأمثلة والمسائل"
1) مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية
2) أوجد المشتقة
3) حساب النقاط الحرجة
يقسمون مجال التعريف إلى الفترات التالية
4) نتحقق من إشارة المشتقة على الفترات الموجودة باستخدام طريقة استبدال القيم
وبالتالي، فإن النقطة الأولى هي النقطة الدنيا، والثانية هي النقطة القصوى.
5) احسب قيمة الدالة
1) سيكون مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية، وبالتالي يكون الجذر دائمًا أكبر من واحد
ويتم تعريف الدالة القوسية على المحور الحقيقي بأكمله.
2) أوجد المشتقة
3) من شرط أن المشتقة تساوي صفر نجد النقطة الحرجة
يقسم مجال التعريف إلى فترتين
4) تحديد إشارة المشتقة في كل منطقة
وهكذا نجد أنه عند النقطة الحرجة تأخذ الدالة قيمة دنيا.
5) احسب الحد الأقصى للدالة
1) يتم تعريف الدالة عندما لا يتحول المقام إلى الصفر
ويترتب على ذلك أن مجال التعريف يتكون من ثلاث فترات
2) احسب المشتقة
3) نساوي المشتقة بالصفر ونجد النقاط الحرجة.
4) قم بتعيين إشارة المشتقة في كل منطقة من خلال استبدال القيم المقابلة.
وبالتالي، فإن النقطة هي نقطة الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي. لدينا نقطة انعطاف في الدالة، ولكن سيكون هناك المزيد من المواد عنها في المقالات التالية.
5) أوجد القيمة عند النقاط الحرجة
على الرغم من أن قيمة الدالة هي النقطة الأولى هي نقطة الحد الأقصى المحلي، والقوس هو نقطة الحد الأدنى. لا تخف إذا حصلت على نتائج مماثلة، فعند تحديد الحالات المتطرفة المحلية، تكون مثل هذه المواقف مقبولة.
عرض المواد:
الأدب
1. بوغومولوف إن.في. دروس عملية في الرياضيات. - م: أعلى. المدرسة، 2009
2. بي.تي.اباناسوف، إم.آي.أورلوف. مجموعة من المشاكل في الرياضيات. - م: أعلى. المدرسة، 2009
القواعد الارشادية
دراسة الدوال باستخدام المشتقات. العثور على فترات من الرتابة
النظرية 1.إذا كانت الدالة f(x) محددة ومستمرة على الفترة (a;b) وكانت f '(x) موجبة في كل مكان (f '(x)>0)، فإن الدالة تتزايد على الفترة (a;b) ).
نظرية2.إذا كانت الدالة f(x) محددة ومستمرة على الفاصل الزمني (a;b) وكانت f '(x) سالبة في كل مكان (f '(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).
مثال 1.فحص الرتابة y= .
الحل: ص'=2س-1
ينقسم محور الرقم إلى فترتين
وهذا يعني أن الدالة تتناقص في الفترة (-؛5) وتزداد الدالة في الفترة (5؛).
إيجاد الحدود القصوى للدالة
الدالة f(x) لها حد أقصى (أدنى) عند النقطة x0 إذا كانت هذه النقطة لها حي يكون فيه f(x)
يتم الجمع بين الحد الأقصى والحد الأدنى تحت اسم أقصى.
النظرية 1. (شرط ضروري للأقصى).إذا كانت النقطة x0 هي النقطة القصوى للدالة y=f(x) وعند هذه النقطة يوجد مشتق f '(x0)، فهي تساوي صفر: f '(x)=0.
النقاط التي يكون فيها f '(x)=0 أو غير موجودة تسمى حرجة.
النظرية 2. (حالة كافية).دع الدالة f(x) تكون متصلة عند النقطة x0 وفي جوارها يكون لها مشتق، باستثناء النقطة x0 نفسها. ثم
أ) إذا تغير المشتق f '(x) من الإشارة الموجبة إلى الناقص عند المرور بالنقطة x0، فإن النقطة x0 هي النقطة القصوى للدالة f(x)؛
ب) إذا تغير المشتق f '(x) من ناقص إلى زائد عند المرور عبر النقطة x0، فإن النقطة x0 هي النقطة الدنيا للدالة f(x)؛
ج) إذا كان هناك حي (x0-؛ x0+) للنقطة x0 حيث يحتفظ المشتق f '(x) بإشارته، عند النقطة x0 هذه الدالة f(x) ليس لها حد أقصى.
مثال 2.أوجد الحد الأقصى للدالة y = 3 -5x - .
الحل: ص'= -5-2س
عند المرور بالنقطة x = - 2.5، تتغير علامة y المشتقة من "+" إلى "-" ==> x = -2.5 النقطة القصوى.
الشروط الكافية للحد الأقصى للدالة.
سماكس = - 2.5؛ الحد الأقصى = 9.25.
لم تجد ما كنت تبحث عنه؟ استخدم البحث:
إقرأ أيضاً:
لا يمكن العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي دون التمايز وهو ضروري عند دراسة دالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.
تسمى النقطة نقطة الحد الأقصى (أو الأدنى) المحلية للدالة إذا كان هناك حي لهذه النقطة ينتمي إلى مجال تعريف الوظيفة، ولكل هذا الحي فإن عدم المساواة (أو) يحمل.
تسمى النقاط القصوى والدنيا بالنقاط القصوى للدالة، وقيم الدالة عند النقاط القصوى هي قيمها القصوى.
الشرط الضروري للمتطرف المحلي:
إذا كانت الدالة لها حد أقصى محلي عند نقطة ما، فإما أن تكون المشتقة صفرًا أو أنها غير موجودة.
تسمى النقاط التي تلبي المتطلبات المذكورة أعلاه بالنقاط الحرجة.
ومع ذلك، عند كل نقطة حرجة، يكون للوظيفة حد أقصى. الجواب على السؤال: هل ستكون النقطة الحرجة نقطة متطرفة تعطى من خلال النظرية التالية.
الشرط الكافي لوجود حد للدالة
النظرية الأولى. لتكن الدالة متصلة في فترة معينة تحتوي على النقطة الحرجة ومتمايزة عند جميع نقاط هذه الفترة (مع احتمال استثناء النقطة نفسها).
ثم بالنسبة لنقطة ما، يكون للدالة قيمة عظمى إذا كانت الوسيطات تحقق شرط أن يكون المشتق أكبر من الصفر، وبالنسبة للشرط يكون المشتق أقل من الصفر.
إذا كانت مشتقة for أقل من الصفر، وfor أكبر من الصفر، فإن الدالة لها قيمة صغرى للنقطة.
النظرية الثانية. لتكن الدالة قابلة للاشتقاق مرتين في جوار نقطة ما والمشتق يساوي صفرًا.
الحدود القصوى للدالة: علامات الوجود، أمثلة على الحلول
عند نقطة ما، يكون للدالة قيمة عظمى محلية إذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر، وقيمة صغرى محلية إذا كان العكس.
إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فلا يجوز أن تكون النقطة نقطة متطرفة.
عند دراسة وظائف القيم القصوى، يتم استخدام كلتا النظريتين. الأول أبسط من الناحية العملية، لأنه لا يتطلب إيجاد المشتق الثاني.
قواعد إيجاد الحد الأقصى (الحد الأقصى والحد الأدنى) باستخدام المشتقة الأولى
1) العثور على مجال التعريف؛
2) أوجد المشتقة الأولى؛
3) العثور على النقاط الحرجة.
4) التحقق من إشارة المشتقة على الفترات التي تم الحصول عليها من تقسيم مجال التعريف على النقاط الحرجة.
في هذه الحالة، تكون النقطة الحرجة هي النقطة الدنيا إذا، عند المرور عبرها من اليسار إلى اليمين، تشير التغييرات المشتقة من السالب إلى الموجب، وإلا فهي نقطة عظمى.
بدلا من هذه القاعدة، يمكنك تحديد المشتقة الثانية ودراستها وفقا للنظرية الثانية.
5) حساب قيم الدالة عند النقاط القصوى.
دعونا الآن نتناول دراسة دوال القيم القصوى باستخدام أمثلة محددة.
مجموعة V.Yu. كليبكو، ف.ل. جوليت "الرياضيات العليا في الأمثلة والمسائل"
1) مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية
2) أوجد المشتقة
3) حساب النقاط الحرجة
يقسمون مجال التعريف إلى الفترات التالية
4) نتحقق من إشارة المشتقة على الفترات الموجودة باستخدام طريقة استبدال القيم
وبالتالي، فإن النقطة الأولى هي النقطة الدنيا، والثانية هي النقطة القصوى.
5) احسب قيمة الدالة
1) سيكون مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية، وبالتالي يكون الجذر دائمًا أكبر من واحد
ويتم تعريف الدالة القوسية على المحور الحقيقي بأكمله.
2) أوجد المشتقة
3) من شرط أن المشتقة تساوي صفر نجد النقطة الحرجة
يقسم مجال التعريف إلى فترتين
4) تحديد إشارة المشتقة في كل منطقة
وهكذا نجد أنه عند النقطة الحرجة تأخذ الدالة قيمة دنيا.
5) احسب الحد الأقصى للدالة
1) يتم تعريف الدالة عندما لا يتحول المقام إلى الصفر
ويترتب على ذلك أن مجال التعريف يتكون من ثلاث فترات
2) احسب المشتقة
3) نساوي المشتقة بالصفر ونجد النقاط الحرجة.
4) قم بتعيين إشارة المشتقة في كل منطقة من خلال استبدال القيم المقابلة.
وبالتالي، فإن النقطة هي نقطة الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي. لدينا نقطة انعطاف في الدالة، ولكن سيكون هناك المزيد من المواد عنها في المقالات التالية.
5) أوجد القيمة عند النقاط الحرجة
على الرغم من أن قيمة الدالة هي النقطة الأولى هي نقطة الحد الأقصى المحلي، والقوس هو نقطة الحد الأدنى. لا تخف إذا حصلت على نتائج مماثلة، فعند تحديد الحالات المتطرفة المحلية، تكون مثل هذه المواقف مقبولة.
عرض المواد:
الرياضيات العليا » وظائف عدة متغيرات » الحد الأقصى لدالة متغيرين
الحد الأقصى لدالة ذات متغيرين. أمثلة على دراسة وظائف لextremum.
دع الدالة $z=f(x,y)$ يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة للنقطة $(x_0,y_0)$. يقولون أن $(x_0,y_0)$ هي نقطة عظمى (محلية) إذا كان لجميع النقاط $(x,y)$ في بعض المناطق المجاورة للنقطة $(x_0,y_0)$ عدم المساواة $f(x,y) راض< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$، فإن النقطة $(x_0,y_0)$ تسمى النقطة الدنيا (المحلية).
غالبًا ما يطلق على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط المصطلح العام - النقاط القصوى.
إذا كانت $(x_0,y_0)$ هي النقطة القصوى، فإن قيمة الدالة $f(x_0,y_0)$ عند هذه النقطة تسمى الحد الأقصى للدالة $z=f(x,y)$. وبناء على ذلك، فإن قيمة الدالة عند النقطة الدنيا تسمى الحد الأدنى للدالة $z=f(x,y)$. يتم توحيد الحد الأدنى والحد الأقصى للدالة بمصطلح مشترك - الحدود القصوى للدالة.
خوارزمية لدراسة الدالة $z=f(x,y)$ للأقصى
- أوجد المشتقات الجزئية $\frac(\partial z)(\partial x)$ و$\frac(\partial z)(\partial y)$. إنشاء وحل نظام المعادلات $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ النقاط التي تتوافق إحداثياتها مع النظام المحدد تسمى ثابتة.
- ابحث عن $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ واحسب قيمة $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ عند كل نقطة ثابتة. بعد ذلك استخدم المخطط التالي:
- إذا كان $\Delta > 0$ و$\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (أو $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$)، فإن النقطة قيد الدراسة هي النقطة الدنيا.
- إذا كان $\Delta > 0$ و$\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
- إذا $\دلتا< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
- إذا كان $\Delta = 0$، فلا يمكن قول أي شيء محدد عن وجود الحد الأقصى؛ مطلوب بحث إضافي.
ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار\إخفاء
إذا كانت $\Delta > 0$، فعندئذ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ جزئي^2z)(\جزئي x\جزئي y) \يمين)^2 > 0$. ويترتب على ذلك $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \جزئي x\جزئي y)\يمين)^2 ≥ 0$. أولئك. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. إذا كان حاصل ضرب كميات معينة أكبر من الصفر، فإن هذه الكميات لها نفس الإشارة. على سبيل المثال، إذا كان $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$، ثم $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. باختصار، إذا كان $\Delta > 0$، فإن إشارات $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ و$\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ تتطابق .
المثال رقم 1
افحص الدالة $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ لمعرفة أقصى حد لها.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\جزئي z)(\جزئي y)=-6x+10y+42. $$
$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$
دعونا نختصر كل معادلة من هذا النظام بمقدار $2$ وننقل الأرقام إلى الجانب الأيمن من المعادلات:
$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$
لقد حصلنا على نظام المعادلات الجبرية الخطية. في هذه الحالة، يبدو لي أنه من الأنسب استخدام طريقة كرامر لحل النظام الناتج.
$$ \begin(محاذاة) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(محاذاة) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$
القيم $x=2$، $y=-3$ هي إحداثيات النقطة الثابتة $(2;-3)$.
$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$
لنحسب قيمة $\Delta$:
$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \جزئي x\جزئي y) \يمين)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$
نظرًا لأن $\Delta > 0$ و $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$، فوفقًا للخوارزمية فإن النقطة $(2;-3)$ هي الحد الأدنى لنقطة الدالة $z$. نجد الحد الأدنى للدالة $z$ عن طريق استبدال إحداثيات النقطة $(2;-3)$ في الدالة المعطاة:
$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ كدوت (-3)+7=-90. $$
الإجابة: $(2;-3)$ - الحد الأدنى للنقطة؛ $z_(دقيقة)=-90$.
المثال رقم 2
افحص الدالة $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ لمعرفة أقصى حد لها.
سوف نتبع الخوارزمية المذكورة أعلاه. أولا، دعونا نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$
لنقم بإنشاء نظام من المعادلات $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(محاذاة) \right.$:
$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$
دعونا نختصر المعادلة الأولى بمقدار 3، والثانية بمقدار 6.
$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$
إذا كان $x=0$، فإن المعادلة الثانية ستقودنا إلى التناقض: $0\cdot y-2=0$، $-2=0$. ومن هنا الاستنتاج: $x\neq 0$. ثم من المعادلة الثانية لدينا: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. بالتعويض $y=\frac(2)(x)$ في المعادلة الأولى، نحصل على:
$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ س^4-5س^2+4=0. $$
لقد حصلنا على معادلة تربيعية. نقوم بإجراء الاستبدال $t=x^2$ (بمعنى $t > 0$):
$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(محاذاة) $$
إذا كان $t=1$، فإن $x^2=1$. وبالتالي لدينا قيمتان $x$: $x_1=1$، $x_2=-1$. إذا كان $t=4$، فإن $x^2=4$، أي $x_3=2$، $x_4=-2$. تذكر أن $y=\frac(2)(x)$، نحصل على:
\begin(محاذاة) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1) )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(محاذاة)
لذلك، لدينا أربع نقاط ثابتة: $M_1(1;2)$، $M_2(-1;-2)$، $M_3(2;1)$، $M_4(-2;-1)$. هذا يكمل الخطوة الأولى من الخوارزمية.
الآن دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية. لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:
$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\جزئي^2 ض)(\جزئي y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$
لنجد $\Delta$:
$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \جزئي x\جزئي y) \يمين)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$
الآن سوف نقوم بحساب قيمة $\Delta$ عند كل نقطة من النقاط الثابتة التي تم العثور عليها مسبقًا. لنبدأ من النقطة $M_1(1;2)$. عند هذه النقطة لدينا: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. منذ $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.
دعونا نتفحص النقطة $M_2(-1;-2)$. عند هذه النقطة لدينا: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. منذ $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.
دعونا نتفحص النقطة $M_3(2;1)$. عند هذه النقطة نحصل على:
$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$
بما أن $\Delta(M_3) > 0$ و $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$، ثم وفقًا للخوارزمية $M_3( 2 ;1)$ هي النقطة الدنيا للدالة $z$. نجد الحد الأدنى للدالة $z$ عن طريق استبدال إحداثيات النقطة $M_3$ في الدالة المعطاة:
$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$
يبقى استكشاف النقطة $M_4(-2;-1)$. عند هذه النقطة نحصل على:
$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$
بما أن $\Delta(M_4) > 0$ و$\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:
$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$
تم الانتهاء من الدراسة القصوى. كل ما تبقى هو كتابة الجواب.
- $(2;1)$ - الحد الأدنى للنقطة، $z_(min)=-27$;
- $(-2;-1)$ - النقطة القصوى، $z_(max)=29$.
ملحوظة
في الحالة العامة، ليست هناك حاجة لحساب قيمة $\Delta$، لأننا مهتمون فقط بالعلامة، وليس القيمة المحددة لهذه المعلمة. على سبيل المثال، على سبيل المثال رقم 2 المذكور أعلاه، عند النقطة $M_3(2;1)$ لدينا $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. من الواضح هنا أن $\Delta > 0$ (نظرًا لأن كلا العاملين $36$ و$(2^2-1^2)$ موجبان) ومن الممكن عدم العثور على قيمة محددة لـ $\Delta$. صحيح، بالنسبة للحسابات القياسية، هذه الملاحظة غير مجدية - فهي تتطلب منك إحضار الحسابات إلى رقم :)
المثال رقم 3
افحص الدالة $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ لمعرفة أقصى حد لها.
سوف نتبع الخوارزمية. أولا، دعونا نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$
لنقم بإنشاء نظام من المعادلات $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(محاذاة) \right.$:
$$ \left \( \begin(محاذاة) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(محاذاة) \right. $$
دعونا نخفض كلتا المعادلتين بمقدار $4$:
$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$
دعونا نضيف المعادلة الأولى إلى الثانية ونعبر عن $y$ بدلالة $x$:
$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; ص^3=-س^3; ص=-س. $$
بالتعويض $y=-x$ في المعادلة الأولى للنظام، سيكون لدينا:
$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$
من المعادلة الناتجة لدينا: $x=0$ أو $x^2-2=0$. من المعادلة $x^2-2=0$ يترتب على $x=-\sqrt(2)$ أو $x=\sqrt(2)$. لذلك، تم العثور على ثلاث قيم $x$، وهي: $x_1=0$، $x_2=-\sqrt(2)$، $x_3=\sqrt(2)$. بما أن $y=-x$، فإن $y_1=-x_1=0$، $y_2=-x_2=\sqrt(2)$، $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.
اكتملت الخطوة الأولى من الحل.
كيفية العثور على الحد الأقصى (الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط) للدالة
حصلنا على ثلاث نقاط ثابتة: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .
الآن دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية. لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:
$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\جزئي^2 ض)(\جزئي y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$
لنجد $\Delta$:
$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \جزئي x\جزئي y) \يمين)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2) -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$
الآن سوف نقوم بحساب قيمة $\Delta$ عند كل نقطة من النقاط الثابتة التي تم العثور عليها مسبقًا. لنبدأ من النقطة $M_1(0;0)$. عند هذه النقطة لدينا: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. نظرًا لأن $\Delta(M_1) = 0$، وفقًا للخوارزمية، يلزم إجراء بحث إضافي، حيث لا يمكن قول أي شيء محدد عن وجود الحد الأقصى عند النقطة قيد النظر. لنترك هذه النقطة جانبًا الآن وننتقل إلى نقاط أخرى.
دعونا نتفحص النقطة $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. عند هذه النقطة نحصل على:
\begin(محاذاة) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(محاذاة)
بما أن $\Delta(M_2) > 0$ و $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$، ثم وفقًا للخوارزمية $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ هي النقطة الدنيا للدالة $z$. نجد الحد الأدنى للدالة $z$ عن طريق استبدال إحداثيات النقطة $M_2$ في الدالة المعطاة:
$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$
مثل النقطة السابقة، نقوم بفحص النقطة $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. عند هذه النقطة نحصل على:
\begin(محاذاة) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(محاذاة)
بما أن $\Delta(M_3) > 0$ و $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$، ثم وفقًا للخوارزمية $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ هي النقطة الدنيا للدالة $z$. نجد الحد الأدنى للدالة $z$ عن طريق استبدال إحداثيات النقطة $M_3$ في الدالة المعطاة:
$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$
حان الوقت للعودة إلى النقطة $M_1(0;0)$، حيث يكون $\Delta(M_1) = 0$. وفقا للخوارزمية، هناك حاجة إلى مزيد من البحث. هذه العبارة المراوغة تعني "افعل ما تريد" :). لا توجد طريقة عامة لحل مثل هذه المواقف، وهذا أمر مفهوم. ولو كانت هذه الطريقة موجودة لكانت قد أدرجت في جميع الكتب المدرسية منذ فترة طويلة. في غضون ذلك، علينا أن نبحث عن نهج خاص لكل نقطة يكون عندها $\Delta = 0$. حسنًا، دعونا نتفحص سلوك الدالة بالقرب من النقطة $M_1(0;0)$. دعونا نلاحظ على الفور أن $z(M_1)=z(0;0)=3$. لنفترض أن $M_1(0;0)$ هو الحد الأدنى للنقطة. ثم لأي نقطة $M$ من بعض المناطق المجاورة للنقطة $M_1(0;0)$ نحصل على $z(M) > z(M_1)$، أي. $z(M) > 3$. ماذا لو كان أي حي يحتوي على نقاط عند $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.
دعونا نفكر في النقاط التي $y=0$، أي نقاط النموذج $(x,0)$. عند هذه النقاط، ستأخذ الدالة $z$ القيم التالية:
$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$
في جميع الأحياء الصغيرة بما فيه الكفاية $M_1(0;0)$ لدينا $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.
ولكن ربما تكون النقطة $M_1(0;0)$ هي النقطة القصوى؟ إذا كان الأمر كذلك، فبالنسبة لأي نقطة $M$ من بعض المناطق المجاورة للنقطة $M_1(0;0)$ نحصل على $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$؟ ومن ثم لن يكون هناك بالتأكيد حد أقصى عند النقطة $M_1$.
دعونا ننظر في النقاط التي $y=x$، أي. نقاط النموذج $(x,x)$. عند هذه النقاط، ستأخذ الدالة $z$ القيم التالية:
$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$
نظرًا لأنه في أي حي من النقطة $M_1(0;0)$ لدينا $2x^4 > 0$، ثم $2x^4+3 > 3$. الخلاصة: أي حي للنقطة $M_1(0;0)$ يحتوي على نقاط يكون فيها $z > 3$، وبالتالي فإن النقطة $M_1(0;0)$ لا يمكن أن تكون نقطة قصوى.
النقطة $M_1(0;0)$ ليست نقطة الحد الأقصى ولا الحد الأدنى. الخلاصة: $M_1$ ليس نقطة متطرفة على الإطلاق.
الإجابة: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ هي الحد الأدنى من النقاط للدالة $z$. عند كلا النقطتين $z_(min)=-5$.
دروس عبر الإنترنت في الرياضيات العليا
درس حول الموضوع: "إيجاد النقاط القصوى للدوال. أمثلة"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
حل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"
ما سوف ندرسه :
1 المقدمة.
2. الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.
4. كيفية حساب القيم القصوى؟
5. أمثلة.
مقدمة إلى الدالة القصوى
يا رفاق، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لوظيفة معينة:
لاحظ أن سلوك الدالة y=f (x) يتحدد إلى حد كبير بنقطتين x1 وx2. دعونا نلقي نظرة فاحصة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقاط وحولها. حتى النقطة x2 تزداد الدالة، وعند النقطة x2 يوجد انعطاف، وبعد هذه النقطة مباشرة تنخفض الدالة إلى النقطة x1. عند النقطة x1 تنحني الدالة مرة أخرى، وبعد ذلك تزداد مرة أخرى. في الوقت الحالي، سوف نسمي النقطتين x1 وx2 نقطتي انعطاف. دعونا نرسم الظلال عند هذه النقاط:
المماسات عند نقاطنا موازية لمحور x، مما يعني أن ميل المماس يساوي صفرًا. وهذا يعني أن مشتقة الدالة عند هذه النقاط تساوي صفرًا.
دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لهذه الوظيفة:
من المستحيل رسم خطوط مماسة عند النقطتين x2 وx1. وهذا يعني أن المشتقة غير موجودة عند هذه النقاط. الآن دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على النقاط التي لدينا على الرسمين البيانيين. النقطة x2 هي النقطة التي تصل عندها الدالة إلى أكبر قيمة لها في بعض المناطق (بالقرب من النقطة x2). النقطة x1 هي النقطة التي تصل عندها الدالة إلى أصغر قيمة لها في منطقة ما (بالقرب من النقطة x1).
الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط
التعريف: تسمى النقطة x= x0 بالنقطة الدنيا للدالة y=f(x) إذا كان هناك جوار للنقطة x0 التي تحمل فيها المتراجحة: f(x) ≥ f(x0).
التعريف: تسمى النقطة x=x0 بالنقطة القصوى للدالة y=f(x) إذا كان هناك جوار للنقطة x0 التي تحمل فيها المتراجحة: f(x) ≥ f(x0).
يا شباب ما هو الحي؟
تعريف: جوار نقطة ما هو مجموعة من النقاط التي تحتوي على نقطتنا وتلك القريبة منها.
يمكننا أن نحدد الحي بأنفسنا. على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة x=2، يمكننا تعريف الحي على شكل النقطتين 1 و3.
دعونا نعود إلى رسومنا البيانية، وننظر إلى النقطة x2، وهي أكبر من جميع النقاط الأخرى في حي معين، فهي بحكم التعريف نقطة عظمى. الآن لننظر إلى النقطة x1، وهي أصغر من جميع النقاط الأخرى في حي معين، فهي حسب التعريف نقطة صغرى.
يا رفاق، دعونا نقدم الترميز:
Y دقيقة - النقطة الدنيا،
ذ ماكس - النقطة القصوى.
مهم!يا رفاق، لا تخلطوا بين الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط وأصغر وأكبر قيمة للدالة. يتم البحث عن القيم الدنيا والقصوى في نطاق تعريف دالة معينة بالكامل، ويتم البحث عن الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط في منطقة معينة.
الحد الأقصى للوظيفة
بالنسبة للحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط هناك مصطلح مشترك - النقاط القصوى.
أقصى (lat. أقصى - أقصى) – الحد الأقصى أو الأدنى لقيمة وظيفة في مجموعة معينة. وتسمى النقطة التي يتم الوصول إليها إلى الحد الأقصى بالنقطة القصوى.
وبناء على ذلك، إذا تم الوصول إلى الحد الأدنى تسمى نقطة الحد الأقصى نقطة الحد الأدنى، وإذا تم الوصول إلى الحد الأقصى تسمى نقطة الحد الأقصى.
كيف تبحث عن الحدود القصوى للدالة؟
دعنا نعود إلى مخططاتنا. عند النقاط التي لدينا، إما أن يختفي المشتق (على الرسم البياني الأول) أو لا يكون موجودًا (على الرسم البياني الثاني).
ثم يمكننا الإدلاء ببيان مهم: إذا كانت الدالة y= f(x) لها حد أقصى عند النقطة x=x0، عند هذه النقطة يكون مشتق الدالة إما صفرًا أو غير موجود.
تسمى النقاط التي يكون عندها المشتق صفرًا ثابت.
تسمى النقاط التي لا يوجد عندها مشتق الدالة شديد الأهمية.
كيفية حساب التطرف؟
يا رفاق، لنعد إلى الرسم البياني الأول للدالة:
عند تحليل هذا الرسم البياني قلنا: حتى النقطة x2 تزداد الدالة، وعند النقطة x2 يحدث انعطاف، وبعد هذه النقطة تنخفض الدالة إلى النقطة x1. عند النقطة x1 تنحني الدالة مرة أخرى، وبعد ذلك تزيد الدالة مرة أخرى.
وبناء على هذا الاستدلال، يمكننا أن نستنتج أن الدالة عند النقاط القصوى تغير طبيعة الرتابة، وبالتالي تتغير إشارة الدالة المشتقة. تذكر: إذا نقصت الدالة، تكون المشتقة أقل من أو تساوي الصفر، وإذا زادت الدالة، تكون المشتقة أكبر من أو تساوي الصفر.
دعونا نلخص المعرفة المكتسبة في العبارة التالية:
نظرية: الشرط الكافي لحد أقصى: أن تكون الدالة y=f(x) متصلة على فترة ما X ويكون لها نقطة ثابتة أو حرجة x= x0 داخل الفترة. ثم:
لحل المشاكل، تذكر هذه القواعد: إذا تم تعريف علامات المشتقات فإن:
خوارزمية لدراسة دالة مستمرة y= f(x) للرتابة والحدود القصوى:
- أوجد مشتقة y'.
- أوجد النقاط الثابتة (المشتقة صفر) والنقاط الحرجة (المشتقة غير موجودة).
- حدد النقاط الثابتة والحرجة على خط الأعداد وحدد علامات المشتقة على الفترات الناتجة.
- بناءً على العبارات المذكورة أعلاه، استنتج طبيعة النقاط القصوى.
أمثلة على إيجاد النقاط المتطرفة
1) أوجد النقاط القصوى للدالة وحدد طبيعتها: y= 7+ 12*x - x 3
الحل: وظيفتنا مستمرة، ثم سنستخدم الخوارزمية الخاصة بنا:
أ) ص"= 12 - 3س 2،
ب) ص"= 0، عند س= ±2، 
النقطة x= -2 هي النقطة الدنيا للدالة، والنقطة x= 2 هي النقطة القصوى للدالة.
الإجابة: x= -2 هي النقطة الدنيا للدالة، x= 2 هي النقطة القصوى للدالة.
2) إيجاد أقصى نقاط الدالة وتحديد طبيعتها.
الحل: وظيفتنا مستمرة. دعونا نستخدم الخوارزمية لدينا: أ)
ب) عند النقطة x= 2 المشتق غير موجود، لأن لا يمكنك القسمة على صفر 
مجال تعريف الدالة: لا يوجد حد أقصى في هذه المرحلة، لأن لم يتم تعريف حي النقطة. لنجد القيمة التي يكون عندها المشتق صفرًا: 
ج) حدد النقاط الثابتة على خط الأعداد وحدد علامات المشتقة: 
د) انظر إلى الشكل الذي لدينا، والذي يوضح قواعد تحديد القيم القصوى. النقطة x= 3 هي النقطة الدنيا للدالة.
الإجابة: x= 3 هي النقطة الدنيا للدالة.
3) أوجد النقاط القصوى للدالة y= x - 2cos(x) وحدد طبيعتها، من أجل -π ≥ x ≥ π.
الحل: وظيفتنا مستمرة، فلنستخدم الخوارزمية الخاصة بنا:
أ) ذ"= 1 + 2الخطيئة(س)،
ب) ابحث عن القيم التي يكون فيها المشتق صفرًا: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
لأن -π ≥ x ≥ π، ثم: x= -π/6، -5π/6،
ج) ضع علامة على النقاط الثابتة على خط الأعداد وحدد علامات المشتقة: 
د) انظر إلى الشكل الذي لدينا، والذي يوضح قواعد تحديد القيم القصوى.
النقطة x= -5π/6 هي النقطة القصوى للدالة.
النقطة x= -π/6 هي النقطة الدنيا للدالة.
الإجابة: x= -5π/6 هي النقطة القصوى للدالة، x= -π/6 هي النقطة الدنيا للدالة.
4) أوجد أقصى نقاط الدالة وحدد طبيعتها:
الحل: الدالة لدينا لها انقطاع عند نقطة واحدة فقط x=0. فلنستخدم الخوارزمية: أ)
ب) ابحث عن القيم التي يكون فيها المشتق صفرًا: y"= 0 عند x= ±2, ج) ضع علامة على النقاط الثابتة على خط الأعداد وحدد علامات المشتقة:
د) انظر إلى الشكل الذي لدينا، والذي يوضح قواعد تحديد القيم القصوى.
النقطة x= -2 هي النقطة الدنيا للدالة.
النقطة x= 2 هي النقطة الدنيا للدالة.
عند النقطة x=0 الدالة غير موجودة.
الإجابة: x= ±2 - الحد الأدنى من نقاط الدالة.
مشاكل لحلها بشكل مستقل
أ) أوجد النقاط القصوى للدالة وحدد طبيعتها: y= 5x 3 - 15x - 5.ب) أوجد أقصى نقاط الدالة وحدد طبيعتها:
ج) أوجد النقاط القصوى للدالة وحدد طبيعتها: y= 2sin(x) - x لـ π ≥ x ≥ 3π. د) أوجد النقاط القصوى للدالة وحدد طبيعتها:
