العلم الذي يدرس الكميات والعلاقات الكمية والأشكال المكانية. الرياضيات هي مجموعة من العلوم التي تدرس الكميات والعلاقات الكمية، والعلوم التي تدرس الكميات والعلاقات الكمية والأشكال المكانية

الرياضيات – علم العلاقات الكمية والأشكال المكانية للعالم الحقيقي؛ الكلمة اليونانية (الرياضيات) تأتي من الكلمة اليونانية (mathema) وتعني "المعرفة"، "العلم".

نشأت الرياضيات في العصور القديمة من الاحتياجات العملية للناس. لقد تغير محتواه وشخصيته عبر التاريخ وما زال يتغير الآن. من مفاهيم المادة الأساسية للعدد الصحيح الموجب، وكذلك من مفهوم قطعة الخط المستقيم كأقصر مسافة بين نقطتين، مرت الرياضيات بمسار تطور طويل قبل أن تصبح علمًا مجردًا له طرق بحث محددة.

الفهم الحديث للأشكال المكانية واسع جدًا. ويشمل، جنبا إلى جنب مع الكائنات الهندسية للفضاء ثلاثي الأبعاد (خط مستقيم، دائرة، مثلث، مخروط، اسطوانة، كرة، وما إلى ذلك)، أيضا العديد من التعميمات - مفاهيم الفضاء متعدد الأبعاد وغير محدود الأبعاد، وكذلك الكائنات الهندسية في لهم، وأكثر من ذلك بكثير. وبنفس الطريقة، يتم التعبير عن العلاقات الكمية الآن ليس فقط من خلال الأعداد الصحيحة الموجبة أو الأعداد النسبية، ولكن أيضًا باستخدام الأعداد المركبة، المتجهات، الوظائفإلخ. إن تطور العلوم والتكنولوجيا يجبر الرياضيات على توسيع أفكارها بشكل مستمر حول الأشكال المكانية والعلاقات الكمية.

يتم تجريد مفاهيم الرياضيات من ظواهر وأشياء محددة؛ يتم الحصول عليها نتيجة التجريد من السمات النوعية الخاصة بمجموعة معينة من الظواهر والأشياء. هذا الظرف مهم للغاية لتطبيقات الرياضيات. لا يرتبط الرقم 2 ارتباطًا وثيقًا بأي محتوى موضوع محدد. يمكن أن تشير إلى تفاحتين، أو كتابين، أو فكرتين. فهو يتعامل مع كل هذه الأشياء وعدد لا يحصى من الأشياء الأخرى بشكل متساوٍ. وبالمثل، فإن الخصائص الهندسية للكرة لا تتغير لأنها مصنوعة من الزجاج أو الفولاذ أو الاستيارين. بالطبع، التجريد من خصائص الكائن يفقر معرفتنا بهذا الكائن، حول ميزاته المادية المميزة. في الوقت نفسه، فإن هذا التجريد من الخصائص الخاصة للأشياء الفردية هو الذي يعطي عمومية للمفاهيم ويجعل من الممكن تطبيق الرياضيات على مجموعة متنوعة من الظواهر ذات الطبيعة المادية. وبالتالي، يمكن تطبيق نفس قوانين الرياضيات، ونفس الجهاز الرياضي بشكل مرضٍ تمامًا على وصف الظواهر الطبيعية، والعمليات الفنية، وكذلك الاقتصادية والاجتماعية.

إن تجريد المفاهيم ليس سمة حصرية للرياضيات؛ أي مفاهيم علمية وعامة تحتوي على عنصر التجريد من خصائص أشياء محددة. لكن في الرياضيات تذهب عملية التجريد إلى أبعد مما هي عليه في العلوم الطبيعية؛ في الرياضيات، يتم استخدام عملية بناء التجريدات على مستويات مختلفة على نطاق واسع. نعم المفهوم مجموعاتنشأت عن طريق استخلاص بعض خصائص مجموعة الأعداد ومفاهيم مجردة أخرى. كما تتميز الرياضيات بطريقة الحصول على نتائجها. فإذا كان عالم الطبيعة يلجأ باستمرار إلى الخبرة لإثبات مواقفه، فإن عالم الرياضيات لا يثبت نتائجه إلا من خلال الاستدلال المنطقي. في الرياضيات، لا يمكن اعتبار نتيجة واحدة مثبتة إلا إذا احتاجت إلى برهان منطقي، وهذا حتى لو كانت التجارب الخاصة تؤكد هذه النتيجة. وفي الوقت نفسه، يتم أيضًا اختبار صحة النظريات الرياضية من خلال الممارسة، لكن هذا الاختبار ذو طبيعة خاصة: فالمفاهيم الأساسية للرياضيات تتشكل نتيجة تبلورها على المدى الطويل من الاحتياجات الخاصة للممارسة؛ ولم يتم تطوير قواعد المنطق نفسها إلا بعد آلاف السنين من مراقبة تدفق العمليات في الطبيعة؛ إن صياغة النظريات وصياغة المشكلات في الرياضيات تنشأ أيضًا من احتياجات الممارسة. نشأت الرياضيات من احتياجات عملية، وأصبحت ارتباطاتها بالممارسة أكثر تنوعًا وعمقًا بمرور الوقت.

من حيث المبدأ، يمكن تطبيق الرياضيات على دراسة أي نوع من الحركة، ومجموعة واسعة من الظواهر. في الواقع، دورها في مختلف مجالات النشاط العلمي والعملي ليس هو نفسه. إن دور الرياضيات كبير بشكل خاص في تطوير الفيزياء الحديثة، والكيمياء، والعديد من مجالات التكنولوجيا، وبشكل عام في دراسة تلك الظواهر حيث حتى التجريد الكبير من ميزاتها النوعية على وجه التحديد يسمح للمرء بفهم العناصر الكمية والمكانية بدقة تامة. الأنماط المتأصلة فيها. على سبيل المثال، أدت الدراسة الرياضية لحركة الأجرام السماوية، بناءً على تجريدات كبيرة من سماتها الحقيقية (الأجرام، على سبيل المثال، تعتبر نقاطًا مادية)، إلى توافق ممتاز مع حركتها الحقيقية. وعلى هذا الأساس، من الممكن ليس فقط إجراء حساب مسبق للظواهر السماوية (الكسوف، ومواقع الكواكب، وما إلى ذلك)، ولكن أيضًا التنبؤ بوجود كواكب لم يتم رصدها سابقًا بناءً على انحرافات الحركات الحقيقية عن الحركات المحسوبة (بلوتو). تم اكتشافه بهذه الطريقة عام 1930، ونبتون عام 1846). تحتل الرياضيات مكانًا أصغر ولكنه لا يزال مهمًا في علوم مثل الاقتصاد والبيولوجيا والطب. إن التفرد النوعي للظواهر التي تتم دراستها في هذه العلوم كبير جدًا ويؤثر بقوة على طبيعة تدفقها بحيث لا يزال التحليل الرياضي يلعب دورًا ثانويًا فقط. ذات أهمية خاصة بالنسبة للعلوم الاجتماعية والبيولوجية إحصائيات الرياضيات.تتطور الرياضيات نفسها أيضًا تحت تأثير متطلبات العلوم الطبيعية والتكنولوجيا والاقتصاد. في السنوات الأخيرة، ظهر عدد من التخصصات الرياضية التي نشأت على أساس الاحتياجات العملية: نظرية المعلومات، نظرية الألعابوإلخ.

ومن الواضح أن الانتقال من مرحلة معرفة الظواهر إلى المرحلة التالية الأكثر دقة، يفرض متطلبات جديدة على الرياضيات ويؤدي إلى خلق مفاهيم جديدة وأساليب بحث جديدة. وهكذا أدت متطلبات علم الفلك، والانتقال من المعرفة الوصفية البحتة إلى المعرفة الدقيقة، إلى تطور المفاهيم الأساسية علم المثلثات: في القرن الثاني قبل الميلاد قام العالم اليوناني القديم هيبارخوس بتجميع جداول الأوتار المقابلة لجداول الجيوب الحديثة؛ قام العلماء اليونانيون القدماء في القرن الأول مينلاوس وفي القرن الثاني كلوديوس بطليموس بوضع الأسس علم المثلثات الكروية.أدى الاهتمام المتزايد بدراسة الحركة، الناتج عن تطور التصنيع والملاحة والمدفعية وما إلى ذلك، إلى ظهور المفاهيم في القرن السابع عشر. التحليل الرياضي، تطوير الرياضيات الجديدة. أدى الإدخال الواسع النطاق للطرق الرياضية في دراسة الظواهر الطبيعية (الفلكية والفيزيائية في المقام الأول) وتطور التكنولوجيا (خاصة الهندسة الميكانيكية) في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر إلى التطور السريع للميكانيكا النظرية والنظرية المعادلات التفاضلية.تسبب تطور الأفكار حول التركيب الجزيئي للمادة في التطور السريع نظرية الاحتمالات. حاليًا، يمكننا تتبع ظهور مجالات جديدة للبحث الرياضي باستخدام العديد من الأمثلة. ويجب الاعتراف بالنجاحات باعتبارها ذات أهمية خاصة الرياضيات الحسابية وتكنولوجيا الحاسوب والتحولات التي تنتجها في العديد من فروع الرياضيات.

رسم تاريخي. في تاريخ الرياضيات، يمكن تحديد أربع فترات ذات اختلافات نوعية كبيرة. من الصعب تقسيم هذه الفترات بدقة، حيث أن كل فترة لاحقة تطورت ضمن الفترة السابقة وبالتالي كانت هناك مراحل انتقالية مهمة جدًا عندما كانت الأفكار الجديدة تظهر للتو ولم تصبح بعد مرشدة سواء في الرياضيات نفسها أو في تطبيقاتها.

1) فترة ميلاد الرياضيات كنظام علمي مستقل؛ بداية هذه الفترة ضاعت في أعماق التاريخ. واستمر حتى حوالي 6-5 قرون قبل الميلاد. ه.

2) فترة الرياضيات الابتدائية، ورياضيات الكميات الثابتة؛ واستمر حتى نهاية القرن السابع عشر تقريبًا، عندما تقدم تطور الرياضيات "العليا" الجديدة إلى حد كبير.

3) فترة رياضيات المتغيرات. تتميز بإنشاء وتطوير التحليل الرياضي، ودراسة العمليات في حركتها وتطورها.

4) فترة الرياضيات الحديثة. تتميز بدراسة واعية ومنهجية للأنواع المحتملة من العلاقات الكمية والأشكال المكانية. في الهندسة، لا تتم دراسة الفضاء الحقيقي ثلاثي الأبعاد فحسب، بل تتم أيضًا دراسة الأشكال المكانية المشابهة له. في التحليل الرياضي تعتبر المتغيرات التي لا تعتمد فقط على وسيطة عددية، ولكن أيضا على خط معين (دالة)، مما يؤدي إلى المفاهيم وظائفو المشغل أو العامل. الجبرتحولت إلى نظرية العمليات الجبرية على عناصر ذات طبيعة تعسفية. لو أمكن إجراء هذه العمليات عليهم. يمكن بطبيعة الحال أن تعزى بداية هذه الفترة إلى النصف الأول من القرن التاسع عشر.

في العالم القديم، تم تضمين المعلومات الرياضية في البداية كجزء لا يتجزأ من معرفة الكهنة والمسؤولين الحكوميين. إن إمداد هذه المعلومات يمكن الحكم عليه من خلال الألواح الطينية البابلية والمصرية التي تم فك شفرتها بالفعل البرديات الرياضية,كانت كبيرة نسبيا. هناك أدلة على أنه قبل ألف عام من ظهور العالم اليوناني القديم فيثاغورس، لم تكن نظرية فيثاغورس معروفة في بلاد ما بين النهرين فحسب، بل تم أيضًا حل مشكلة العثور على جميع المثلثات القائمة ذات الأضلاع الصحيحة. ومع ذلك، فإن الغالبية العظمى من الوثائق في ذلك الوقت عبارة عن مجموعات من القواعد لأداء العمليات الحسابية البسيطة، وكذلك لحساب مساحات الأشكال وأحجام الأجسام. كما تم الاحتفاظ بجداول مختلفة لتسهيل هذه الحسابات. في جميع الأدلة، لا تتم صياغة القواعد، ولكن يتم شرحها باستخدام أمثلة متكررة. حدث تحول الرياضيات إلى علم رسمي مع طريقة بناء استنتاجية راسخة في اليونان القديمة. هناك، توقف الإبداع الرياضي عن أن يكون بلا اسم. عملي الحساب والهندسةفي اليونان القديمة كان مستوى عال من التطور. ترتبط بداية الهندسة اليونانية باسم طاليس ميليتس (أواخر القرن السابع قبل الميلاد - أوائل القرن السادس قبل الميلاد)، الذي جلب المعرفة الأولية من مصر. في مدرسة فيثاغورس الساموسي (القرن السادس قبل الميلاد)، تمت دراسة قابلية قسمة الأعداد، وتم تلخيص أبسط التتابعات، ودراسة الأعداد المثالية، وتم إدخال أنواع مختلفة من المتوسطات في الاعتبار (المتوسط ​​الحسابي، الوسط الهندسي، الوسط التوافقي) ، تم العثور مرة أخرى على أرقام فيثاغورس (ثلاثية من الأعداد الصحيحة، والتي يمكن أن تكون جوانب مثلث قائم الزاوية). في القرنين الخامس والسادس قبل الميلاد. وظهرت مشاكل شهيرة في العصور القديمة - تربيع الدائرة، وتثليث الزاوية، ومضاعفة المكعب، وتم إنشاء أول أرقام غير نسبية. يُنسب أول كتاب منهجي للهندسة إلى أبقراط خيوس (النصف الثاني من القرن الخامس قبل الميلاد). يعود النجاح الكبير الذي حققته المدرسة الأفلاطونية المرتبطة بمحاولات التفسير العقلاني لبنية المادة في الكون، والبحث عن جميع متعددات الوجوه العادية، إلى هذا الوقت. على حدود القرنين الخامس والرابع قبل الميلاد. اقترح ديموقريطوس، بناءً على المفاهيم الذرية، طريقة لتحديد أحجام الأجسام. يمكن اعتبار هذه الطريقة نموذجًا أوليًا للطريقة متناهية الصغر. في القرن الرابع قبل الميلاد. طور Eudoxus of Cnidus نظرية النسب. يتميز القرن الثالث قبل الميلاد بأقصى كثافة للإبداع الرياضي. (القرن الأول لما يسمى بالعصر السكندري). في القرن الثالث قبل الميلاد. وعمل علماء الرياضيات مثل إقليدس، وأرشميدس، وأبولونيوس من بيرجا، وإراتوستينس؛ لاحقًا - مالك الحزين (القرن الأول الميلادي) وديوفانتوس (القرن الثالث). في عناصره، جمع إقليدس وإخضاع الإنجازات في مجال الهندسة للمعالجة المنطقية النهائية؛ وفي الوقت نفسه، وضع أسس نظرية الأعداد. كان إنجاز أرخميدس الرئيسي في الهندسة هو تحديد المساحات والأحجام المختلفة. درس ديوفانتوس في المقام الأول حل المعادلات بأعداد موجبة عقلانية. منذ نهاية القرن الثالث، بدأ تراجع الرياضيات اليونانية.

حققت الرياضيات تطورًا كبيرًا في الصين والهند القديمة. يتميز علماء الرياضيات الصينيون بتقنية عالية في إجراء العمليات الحسابية والاهتمام بتطوير الأساليب الجبرية العامة. في القرنين الثاني والأول قبل الميلاد. تمت كتابة "علماء الرياضيات في تسعة كتب". أنه يحتوي على نفس تقنيات استخراج الجذور التربيعية المقدمة في المدرسة الحديثة: طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية، الصياغة الحسابية لنظرية فيثاغورس.

يرجع الفضل إلى الرياضيات الهندية، التي يعود تاريخ ذروتها إلى القرنين الخامس والثاني عشر، في استخدام الترقيم العشري الحديث، بالإضافة إلى الصفر للإشارة إلى عدم وجود وحدات من رتبة معينة، وميزة التطور الأوسع بكثير في الرياضيات الهندية. الجبر من ديوفانتوس، لا يعمل فقط مع الأعداد النسبية الموجبة، ولكن أيضًا مع الأعداد السالبة وغير المنطقية.

أدت الفتوحات العربية إلى حقيقة أن العلماء استخدموا اللغة العربية من آسيا الوسطى إلى شبه الجزيرة الأيبيرية خلال القرنين التاسع والخامس عشر. في القرن التاسع، قدم عالم آسيا الوسطى الخوارزمي الجبر لأول مرة كعلم مستقل. خلال هذه الفترة، تلقت العديد من المشاكل الهندسية صيغة جبرية. أدخل السوري البتاني الدوال المثلثية الجيب والظل وظل التمام في الاعتبار. كما أدخل عالم سمرقند الكاشي (القرن الخامس عشر) في الاعتبار الكسور العشرية وقدم عرضًا منهجيًا وصياغة صيغة نيوتن ذات الحدين.

بدأت فترة جديدة إلى حد كبير في تطور الرياضيات في القرن السابع عشر، عندما دخلت فكرة الحركة والتغيير بوضوح إلى الرياضيات. أدى النظر في المتغيرات والارتباطات بينها إلى ظهور مفاهيم الدوال والمشتقات والتكاملات وحساب التفاضل والتكامل وحساب التكامل، وإلى ظهور نظام رياضي جديد هو التحليل الرياضي.

منذ نهاية القرن الثامن عشر وحتى بداية القرن التاسع عشر، لوحظ عدد من الميزات الجديدة المهمة في تطور الرياضيات. وكان أكثر ما يميزها هو الاهتمام بمراجعة نقدية لعدد من القضايا في إثبات الرياضيات. تم استبدال الأفكار الغامضة حول المتناهية الصغر بصيغ دقيقة مرتبطة بمفهوم النهاية.

في الجبر في القرن التاسع عشر، تم توضيح مسألة إمكانية حل المعادلات الجبرية في الجذور (العالم النرويجي ن. أبيل، العالم الفرنسي إي. جالوا).

في القرنين التاسع عشر والعشرين، تطورت الأساليب العددية للرياضيات لتصبح فرعًا مستقلاً - الرياضيات الحسابية. فرع الرياضيات الذي تطور في القرنين التاسع عشر والعشرين، المنطق الرياضي، وجد تطبيقات مهمة لتكنولوجيا الكمبيوتر الجديدة.

تم إعداد المادة بواسطة مدرس الرياضيات O. V. Leshchenko.

تتم صياغة الخصائص المثالية للأشياء قيد الدراسة في شكل بديهيات أو يتم إدراجها في تعريف الكائنات الرياضية المقابلة. ثم، وفقًا لقواعد الاستدلال المنطقي الصارمة، يتم استنتاج الخصائص الحقيقية الأخرى (النظريات) من هذه الخصائص. تشكل هذه النظرية معًا نموذجًا رياضيًا للكائن قيد الدراسة. وهكذا، بدءًا من العلاقات المكانية والكمية، تتلقى الرياضيات علاقات أكثر تجريدًا، والتي تعد دراستها أيضًا موضوعًا للرياضيات الحديثة.

تقليديا، تنقسم الرياضيات إلى نظرية، والتي تقوم بتحليل متعمق للهياكل داخل الرياضيات، وتطبيقية، والتي تقدم نماذجها إلى العلوم والتخصصات الهندسية الأخرى، والتي يحتل بعضها موقعا مجاورا للرياضيات. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار المنطق الرسمي جزءًا من العلوم الفلسفية وكجزء من العلوم الرياضية؛ الميكانيكا - الفيزياء والرياضيات؛ تندرج علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا الكمبيوتر والخوارزميات تحت كل من العلوم الهندسية والرياضية، وما إلى ذلك. وقد تم اقتراح العديد من التعريفات المختلفة للرياضيات في الأدبيات.

علم أصول الكلمات

كلمة "الرياضيات" تأتي من اليونانية القديمة. μάθημα، وهو ما يعني دراسة, معرفة, العلم، إلخ.-اليونانية. μαθηματικός، المعنى الأصلي متقبلة وناجحة، لاحقاً المتعلقة بالدراسة، تبعًا المتعلقة بالرياضيات. بخاصة، μαθηματικὴ τέχνη ، باللاتيني الرياضيات آرس، وسائل فن الرياضيات. المصطلح يوناني قديم. تم العثور على μᾰθημᾰτικά بالمعنى الحديث لكلمة "الرياضيات" بالفعل في أعمال أرسطو (القرن الرابع قبل الميلاد). وفقا لفاسمر، جاءت الكلمة إلى اللغة الروسية إما من خلال البولندية. matematyka، أو من خلال اللات. الرياضيات.

تعريفات

أحد التعريفات الأولى لموضوع الرياضيات قدمها ديكارت:

ومجال الرياضيات لا يشمل إلا تلك العلوم التي يُنظر فيها إلى الترتيب أو القياس، ولا يهم على الإطلاق ما إذا كانت هذه الأرقام أو الأشكال أو النجوم أو الأصوات أو أي شيء آخر يطلب فيه هذا القياس. وبالتالي لا بد من وجود نوع من العلوم العامة التي تشرح كل ما يتعلق بالنظام والقياس، دون الدخول في دراسة أي موضوع معين، ويجب أن يسمى هذا العلم ليس أجنبيا، بل الاسم القديم للرياضيات العالمية، الذي جاء بالفعل حيز الاستخدام.

جوهر الرياضيات... يُقدم الآن على أنه عقيدة العلاقات بين الأشياء التي لا يُعرف عنها شيء باستثناء بعض الخصائص التي تصفها - على وجه التحديد تلك التي، باعتبارها بديهيات، هي أساس النظرية... الرياضيات هي مجموعة من الأشكال المجردة - الهياكل الرياضية.

أقسام الرياضيات

1. الرياضيات كيف الانضباط الأكاديمي

التسميات

نظرًا لأن الرياضيات تتعامل مع هياكل متنوعة ومعقدة للغاية، فإن ترميزها معقد جدًا أيضًا. تم تشكيل النظام الحديث لكتابة الصيغ على أساس التقليد الجبري الأوروبي، بالإضافة إلى احتياجات الفروع اللاحقة للرياضيات - التحليل الرياضي، والمنطق الرياضي، ونظرية المجموعات، وما إلى ذلك. منذ زمن سحيق، استخدمت الهندسة الهندسة البصرية (الهندسية). ) التمثيل. في الرياضيات الحديثة، غالبًا ما يتم أيضًا استخدام أنظمة التدوين الرسومية المعقدة (على سبيل المثال، المخططات التبادلية)؛

قصة قصيرة

فلسفة الرياضيات

الأهداف والأساليب

فضاء R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))، في ن > 3 (\displaystyle n>3)هو اختراع رياضي. ومع ذلك، فهو اختراع بارع جدًا يساعد على فهم الظواهر المعقدة رياضيًا».

أسباب

الحدس

الرياضيات البناءة

يوضح

المواضيع الرئيسية

كمية

القسم الرئيسي الذي يتعامل مع تجريد الكمية هو الجبر. نشأ مفهوم "العدد" في الأصل من المفاهيم الحسابية المتعلقة بالأعداد الطبيعية. وفي وقت لاحق، وبمساعدة الجبر، تم توسيع نطاقه تدريجيًا ليشمل الأعداد الصحيحة والعقلانية والحقيقية والمعقدة وغيرها من الأعداد.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) أرقام نسبية 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) أرقام حقيقية − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ،\;\النقاط) ارقام مركبة الرباعيات

التحولات

يتناول التحليل ظواهر التحولات والتغيرات في صورتها الأكثر عمومية.

الهياكل

العلاقات المكانية

تدرس الهندسة أساسيات العلاقات المكانية. يدرس علم المثلثات خصائص الدوال المثلثية. الهندسة التفاضلية هي دراسة الأجسام الهندسية من خلال التحليل الرياضي. يتم دراسة خصائص الفراغات التي تبقى دون تغيير في ظل التشوهات المستمرة وظاهرة الاستمرارية نفسها من خلال الطوبولوجيا.

الرياضيات المنفصلة

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

ظهرت الرياضيات منذ وقت طويل جدًا. قام الرجل بجمع الفاكهة وحفر الفاكهة واصطياد الأسماك وتخزينها كلها لفصل الشتاء. لفهم مقدار الطعام الذي تم تخزينه، اخترع الإنسان العد. وهكذا بدأت الرياضيات في الظهور.

ثم بدأ الإنسان في الانخراط في الزراعة. وكان من الضروري قياس قطع الأراضي وبناء المنازل وقياس الوقت.

أي أنه أصبح من الضروري أن يستخدم الإنسان العلاقة الكمية بالعالم الحقيقي. حدد مقدار المحصول الذي تم حصاده، أو ما هو حجم قطعة أرض البناء، أو ما حجم مساحة السماء التي تحتوي على عدد معين من النجوم الساطعة.

وبالإضافة إلى ذلك، بدأ الإنسان في تحديد الأشكال: شمس مستديرة، وصندوق مربع، وبحيرة بيضاوية، وكيفية تواجد هذه الأجسام في الفضاء. أي أن الشخص أصبح مهتمًا بالأشكال المكانية للعالم الحقيقي.

وهكذا المفهوم الرياضياتيمكن تعريفه بأنه علم العلاقات الكمية والأشكال المكانية للعالم الحقيقي.

حاليا، لا توجد مهنة واحدة يمكن الاستغناء عنها في الرياضيات. قال عالم الرياضيات الألماني الشهير كارل فريدريش غاوس، والذي لقب بـ "ملك الرياضيات"، ذات مرة:

"الرياضيات ملكة العلوم، والحساب ملكة الرياضيات."

كلمة "الحساب" تأتي من الكلمة اليونانية "arithmos" - "الرقم".

هكذا، علم الحسابهو فرع من فروع الرياضيات يدرس الأعداد والعمليات عليها.

في المدرسة الابتدائية، يتم تدريس الحساب في المقام الأول.

كيف تطور هذا العلم، دعونا نستكشف هذا السؤال.

فترة ولادة الرياضيات

تعتبر الفترة الرئيسية لتراكم المعرفة الرياضية هي الفترة التي سبقت القرن الخامس قبل الميلاد.

أول من بدأ في إثبات الافتراضات الرياضية هو المفكر اليوناني القديم، الذي عاش في القرن السابع قبل الميلاد، من المفترض 625 - 545. سافر هذا الفيلسوف إلى بلدان الشرق. تقول التقاليد أنه درس مع الكهنة المصريين والكلدانيين البابليين.

جلب طاليس ميليتس المفاهيم الأولى للهندسة الأولية من مصر إلى اليونان: ما هو القطر، وما الذي يحدد المثلث، وما إلى ذلك. تنبأ بكسوف الشمس وصمم هياكل هندسية.

خلال هذه الفترة، تطور الحساب تدريجياً، وتطور علم الفلك والهندسة. ولد الجبر وعلم المثلثات.

فترة الرياضيات الابتدائية

تبدأ هذه الفترة من السادس قبل الميلاد. الآن تظهر الرياضيات كعلم له نظريات وبراهين. تظهر نظرية الأعداد وعقيدة الكميات وقياسها.

أشهر عالم رياضيات في هذا الوقت هو إقليدس. عاش في القرن الثالث قبل الميلاد. هذا الرجل هو مؤلف أول أطروحة نظرية في الرياضيات وصلت إلينا.

في أعمال إقليدس، يتم تقديم أسس ما يسمى بالهندسة الإقليدية - وهي بديهيات تعتمد على مفاهيم أساسية، مثل.

خلال فترة الرياضيات الابتدائية، نشأت نظرية الأعداد، وكذلك عقيدة الكميات وقياسها. تظهر الأرقام السالبة وغير المنطقية لأول مرة.

وفي نهاية هذه الفترة، لوحظ إنشاء الجبر كحساب التفاضل والتكامل الحرفي. ويظهر علم "الجبر" نفسه عند العرب كعلم حل المعادلات. كلمة "الجبر" في اللغة العربية تعني "الاستعادة"، أي نقل القيم السالبة إلى جزء آخر من المعادلة.

فترة رياضيات المتغيرات

ويعتبر مؤسس هذه الفترة هو رينيه ديكارت الذي عاش في القرن السابع عشر الميلادي. في كتاباته، قدم ديكارت لأول مرة مفهوم الكمية المتغيرة.

وبفضل هذا ينتقل العلماء من دراسة الكميات الثابتة إلى دراسة التبعيات بين الكميات المتغيرة وإلى الوصف الرياضي للحركة.

تميزت هذه الفترة بشكل واضح من قبل فريدريك إنجلز، حيث كتب في كتاباته:

"كانت نقطة التحول في الرياضيات هي المتغير الديكارتي. وبفضل هذا، دخلت الحركة وبالتالي الديالكتيك إلى الرياضيات، وبفضل هذا، أصبح حساب التفاضل والتكامل ضروريًا على الفور، والذي ينشأ على الفور، والذي تم إكماله بشكل عام ولم يخترعه نيوتن ولايبنتز.

فترة الرياضيات الحديثة

في العشرينات من القرن التاسع عشر، أصبح نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي مؤسس ما يسمى بالهندسة غير الإقليدية.

ومن هذه اللحظة يبدأ تطور أهم فروع الرياضيات الحديثة. مثل نظرية الاحتمالات ونظرية المجموعات والإحصاء الرياضي وما إلى ذلك.

تجد كل هذه الاكتشافات والأبحاث تطبيقًا واسعًا في مختلف مجالات العلوم.

وفي الوقت الحاضر، يتطور علم الرياضيات بسرعة، ويتوسع موضوع الرياضيات، بما في ذلك الأشكال والعلاقات الجديدة، ويتم إثبات نظريات جديدة، وتتعمق المفاهيم الأساسية.

تتم صياغة الخصائص المثالية للأشياء قيد الدراسة في شكل بديهيات أو يتم إدراجها في تعريف الكائنات الرياضية المقابلة. ثم، وفقًا لقواعد الاستدلال المنطقي الصارمة، يتم استنتاج الخصائص الحقيقية الأخرى (النظريات) من هذه الخصائص. تشكل هذه النظرية معًا نموذجًا رياضيًا للكائن قيد الدراسة. وهكذا، في البداية، بناءً على العلاقات المكانية والكمية، تتلقى الرياضيات علاقات أكثر تجريدًا، والتي تعد دراستها أيضًا موضوعًا للرياضيات الحديثة.

تقليديا، تنقسم الرياضيات إلى نظرية، والتي تقوم بتحليل متعمق للهياكل داخل الرياضيات، وتطبيقية، والتي تقدم نماذجها إلى العلوم والتخصصات الهندسية الأخرى، والتي يحتل بعضها موقعا مجاورا للرياضيات. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار المنطق الرسمي جزءًا من العلوم الفلسفية وكجزء من العلوم الرياضية؛ الميكانيكا - الفيزياء والرياضيات؛ ترتبط علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا الكمبيوتر والخوارزميات بكل من العلوم الهندسية والرياضية، وما إلى ذلك. وقد تم اقتراح العديد من التعريفات المختلفة للرياضيات في الأدبيات (انظر).

علم أصول الكلمات

كلمة "الرياضيات" تأتي من اليونانية القديمة. άθημα ( الرياضيات)، مما يعني دراسة, معرفة, العلم، إلخ.-اليونانية. μαθηματικός ( الرياضيات") معناه في الأصل متقبلة وناجحة، لاحقاً المتعلقة بالدراسة، تبعًا المتعلقة بالرياضيات. بخاصة، μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē)، باللاتيني الرياضيات آرس، وسائل فن الرياضيات.

تعريفات

ومجال الرياضيات لا يشمل إلا تلك العلوم التي يُنظر فيها إلى الترتيب أو القياس، ولا يهم على الإطلاق ما إذا كانت هذه الأرقام أو الأشكال أو النجوم أو الأصوات أو أي شيء آخر يطلب فيه هذا القياس. وبالتالي لا بد من وجود نوع من العلوم العامة التي تشرح كل ما يتعلق بالنظام والقياس، دون الدخول في دراسة أي موضوع معين، ويجب أن يسمى هذا العلم ليس أجنبيا، بل الاسم القديم للرياضيات العالمية، الذي جاء بالفعل حيز الاستخدام.

في العهد السوفييتي، كان التعريف الذي قدمه A. N. Kolmogorov من TSB يعتبر كلاسيكيًا:

الرياضيات... علم العلاقات الكمية والأشكال المكانية للعالم الحقيقي.

جوهر الرياضيات... يُقدم الآن على أنه عقيدة العلاقات بين الأشياء التي لا يُعرف عنها شيء باستثناء بعض الخصائص التي تصفها - على وجه التحديد تلك التي، باعتبارها بديهيات، هي أساس النظرية... الرياضيات هي مجموعة من الأشكال المجردة - الهياكل الرياضية.

دعونا نعطي بعض التعريفات الحديثة.

الرياضيات النظرية الحديثة ("البحتة") هي علم الهياكل الرياضية والمتغيرات الرياضية للأنظمة والعمليات المختلفة.

الرياضيات هي العلم الذي يوفر إمكانية حساب النماذج التي يمكن اختزالها إلى النموذج القياسي (الكنسي). علم إيجاد حلول للنماذج التحليلية (التحليل) باستخدام التحويلات الشكلية.

أقسام الرياضيات

1. الرياضيات كيف الانضباط الأكاديميتنقسم في الاتحاد الروسي إلى رياضيات ابتدائية، وتدرس في المدرسة الثانوية وتتكون من التخصصات التالية:

• الهندسة الأولية: القياس المجسم والقياس المجسم
• نظرية الوظائف الأولية وعناصر التحليل

4. طورت جمعية الرياضيات الأمريكية (AMS) معيارها الخاص لتصنيف فروع الرياضيات. يطلق عليه تصنيف موضوعات الرياضيات. يتم تحديث هذا المعيار بشكل دوري. الإصدار الحالي هو MSC 2010. الإصدار السابق هو MSC 2000.

التسميات

نظرًا لأن الرياضيات تتعامل مع هياكل متنوعة ومعقدة للغاية، فإن نظام الترميز معقد جدًا أيضًا. تم تشكيل النظام الحديث لكتابة الصيغ على أساس التقليد الجبري الأوروبي، وكذلك التحليل الرياضي (مفهوم الوظيفة، المشتق، وما إلى ذلك). منذ زمن سحيق، استخدمت الهندسة التمثيل البصري (الهندسي). في الرياضيات الحديثة، غالبًا ما يتم أيضًا استخدام أنظمة التدوين الرسومية المعقدة (على سبيل المثال، المخططات التبادلية)؛

قصة قصيرة

يعتمد تطوير الرياضيات على الكتابة والقدرة على كتابة الأرقام. من المحتمل أن القدماء عبّروا أولاً عن الكميات عن طريق رسم خطوط على الأرض أو خدشها على الخشب. كان الإنكا القدماء، الذين لم يكن لديهم نظام كتابة آخر، يقومون بتمثيل وتخزين البيانات الرقمية باستخدام نظام معقد من عقد الحبال يسمى quipus. كان هناك العديد من أنظمة الأرقام المختلفة. تم العثور على أول سجلات معروفة للأرقام في بردية أحمس، التي أنشأها المصريون في المملكة الوسطى. طورت حضارة السند نظام الأعداد العشرية الحديث، والذي تضمن مفهوم الصفر.

تاريخيًا، نشأت التخصصات الرياضية الأساسية من الحاجة إلى إجراء العمليات الحسابية في المجال التجاري، وقياس الأرض والتنبؤ بالظواهر الفلكية، ثم حل المشكلات الفيزيائية الجديدة لاحقًا. يلعب كل مجال من هذه المجالات دورًا كبيرًا في التطور الواسع للرياضيات، والتي تتكون من دراسة الهياكل والمساحات والتغيرات.

فلسفة الرياضيات

الأهداف والأساليب

تدرس الرياضيات الأشياء الخيالية والمثالية والعلاقات بينها باستخدام اللغة الرسمية. بشكل عام، المفاهيم والنظريات الرياضية لا تتوافق بالضرورة مع أي شيء في العالم المادي. تتمثل المهمة الرئيسية لقسم الرياضيات التطبيقية في إنشاء نموذج رياضي ملائم بدرجة كافية للكائن الحقيقي قيد الدراسة. تتمثل مهمة عالم الرياضيات النظرية في توفير مجموعة كافية من الوسائل الملائمة لتحقيق هذا الهدف.

يمكن تعريف محتوى الرياضيات على أنه نظام من النماذج والأدوات الرياضية اللازمة لإنشائها. لا يأخذ نموذج الكائن في الاعتبار جميع ميزاته، ولكن فقط تلك الأكثر ضرورة لأغراض الدراسة (المثالية). على سبيل المثال، عند دراسة الخصائص الفيزيائية للبرتقالة، يمكننا التجريد من لونها وطعمها وتخيلها (حتى لو لم يكن ذلك بدقة تامة) ككرة. إذا أردنا أن نفهم عدد البرتقالات التي سنحصل عليها إذا جمعنا برتقالتين وثلاثة معًا، فيمكننا التجريد من الشكل، وترك النموذج بخاصية واحدة فقط - الكمية. يعد التجريد وإنشاء الروابط بين الأشياء في الشكل الأكثر عمومية أحد الاتجاهات الرئيسية للإبداع الرياضي.

الاتجاه الآخر، إلى جانب التجريد، هو التعميم. على سبيل المثال، تعميم مفهوم "الفضاء" على فضاء ذو ​​أبعاد n. " الفضاء هو اختراع رياضي. ومع ذلك، فهو اختراع بارع جدًا يساعد على فهم الظواهر المعقدة رياضيًا».

تتم دراسة الأشياء داخل الرياضيات، كقاعدة عامة، باستخدام الطريقة البديهية: أولا، يتم صياغة قائمة المفاهيم والبديهيات الأساسية للأشياء قيد الدراسة، ومن ثم يتم الحصول على نظريات ذات معنى من البديهيات باستخدام قواعد الاستدلال، والتي معا تشكيل نموذج رياضي.

أسباب

تمت مناقشة مسألة جوهر وأسس الرياضيات منذ زمن أفلاطون. منذ القرن العشرين، كان هناك اتفاق نسبي على ما يمكن اعتباره دليلاً رياضيًا صارمًا، ولكن كان هناك اتفاق ضئيل على ما يعتبر صحيحًا بطبيعته في الرياضيات. وهذا يؤدي إلى خلافات في مسائل البديهيات والعلاقة المتبادلة بين فروع الرياضيات، وفي اختيار النظم المنطقية التي ينبغي استخدامها في البراهين.

بالإضافة إلى المتشككين، فإن النهج التالي معروف لهذه القضية.

النهج النظري

يُقترح النظر في جميع الكائنات الرياضية في إطار نظرية المجموعات، في أغلب الأحيان باستخدام بديهيات Zermelo-Frenkel (على الرغم من وجود العديد من الأشياء الأخرى المكافئة لها). يعتبر هذا النهج سائدًا منذ منتصف القرن العشرين، ولكن في الواقع، لا تهدف معظم الأعمال الرياضية إلى ترجمة بياناتها بشكل صارم إلى لغة نظرية المجموعات، ولكنها تعمل مع المفاهيم والحقائق المثبتة في بعض مجالات الرياضيات. وبالتالي، إذا تم اكتشاف تناقض في نظرية المجموعات، فإن ذلك لن يترتب عليه إبطال معظم النتائج.

المنطق

يفترض هذا الأسلوب كتابة صارمة للكائنات الرياضية. العديد من المفارقات، التي لا يمكن تجنبها في نظرية المجموعات إلا عن طريق حيل خاصة، يتبين أنها مستحيلة من حيث المبدأ.

الشكلية

يتضمن هذا النهج دراسة الأنظمة الرسمية القائمة على المنطق الكلاسيكي.

الحدس

تفترض الحدسية أن الرياضيات تعتمد على المنطق الحدسي، وهو أكثر محدودية في وسائل الإثبات (ولكن يعتقد أنه أكثر موثوقية). ترفض البديهية البرهان عن طريق التناقض، وتصبح العديد من البراهين غير البناءة مستحيلة، وتصبح العديد من مشاكل نظرية المجموعات بلا معنى (غير قابلة للتشكيل).

الرياضيات البناءة

الرياضيات البنائية هي حركة في الرياضيات قريبة من الحدس تدرس الإنشاءات البنائية [ يوضح] . وفقا لمعيار البناء - " الوجود يعني أن يتم بناؤه" فمعيار البناء مطلب أقوى من معيار الاتساق.

المواضيع الرئيسية

أعداد

يشير مفهوم "العدد" في الأصل إلى الأعداد الطبيعية. وفي وقت لاحق تم توسيعه تدريجيًا ليشمل الأعداد الصحيحة والعقلانية والحقيقية والمعقدة وغيرها.

الأعداد الكلية أرقام نسبية أرقام حقيقية ارقام مركبة الرباعيات

الأنظمة العددية
عد مجموعات	الأعداد الطبيعية () الأعداد الصحيحة () الكسرية () الجبرية () الفترات الحسابية الحسابية
أرقام حقيقية وامتداداتهم	حقيقي () معقد () رباعيات () أرقام كايلي (أوكتافات، مثمنات) () سيدينيونز () إجراء كايلي-ديكسون البديل ثنائي مركب مفرط فائق الواقع عدد سريالي مفرط ( إنجليزي)
آخر أنظمة الأرقام	الأعداد الكاردينالية الأعداد الترتيبية (الترانزيتية، الترتيبية) p-adic الأعداد الخارقة للطبيعة
أنظر أيضا	الأعداد المزدوجة الأعداد غير المنطقية الأعداد التجاوزية شعاع Biquaternion

التحولات

الرياضيات المنفصلة

الرموز في نظم تصنيف المعرفة

خدمات عبر الانترنت

هناك عدد كبير من المواقع التي تقدم خدمات للحسابات الرياضية. معظمهم يتحدثون الإنجليزية. من بين الناطقين باللغة الروسية، يمكننا ملاحظة خدمة الاستعلامات الرياضية لمحرك البحث Nigma.

أنظر أيضا

مشاهير العلم

ملحوظات

1. موسوعة بريتانيكا
2. قاموس ويبستر على الانترنت
3. الفصل 2. الرياضيات كلغة العلوم. جامعة سيبيريا المفتوحة. مؤرشفة من الأصلي في 2 فبراير 2012. تم الاسترجاع 5 أكتوبر، 2010.
4. قاموس يوناني قديم كبير (αω)
5. قاموس اللغة الروسية في القرنين الحادي عشر والسابع عشر. العدد 9 / الفصل. إد. إف بي فيلين. - م: ناوكا، 1982. - ص 41.
6. ديكارت ر.قواعد لتوجيه العقل. م.-ل: سوتسكيكيز، 1936.
7. انظر: الرياضيات TSB
8. ماركس ك، إنجلز ف.مقالات. الطبعة الثانية. ط20. ص37.
9. بورباكي ن.هندسة الرياضيات. مقالات عن تاريخ الرياضيات / الترجمة بقلم آي جي باشماكوفا، أد. K. A. ريبنيكوفا. م: إيل، 1963. ص 32، 258.
10. كازييف ف.م.مقدمة في الرياضيات
11. موخين أو.دروس نظم النمذجة. بيرم: RCI PSTU.
12. هيرمان ويل // كلاين م.. - م: مير، 1984. - ص 16.
13. المستوى التعليمي الحكومي للتعليم المهني العالي. التخصص 01.01.00. "الرياضيات". المؤهل - عالم رياضيات. موسكو، 2000 (تم تجميعه تحت إشراف أو. ب. لوبانوف)
14. تسميات تخصصات العاملين العلميين، تمت الموافقة عليها بأمر من وزارة التعليم والعلوم في روسيا بتاريخ 25 فبراير 2009 رقم 59
15. UDC 51 الرياضيات
16. يا.س.بوغروف، إس إم نيكولسكي. عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية. م: ناوكا، 1988. ص 44.
17. إن آي كونداكوف. كتاب مرجعي للقاموس المنطقي. م: ناوكا، 1975. ص259.
18. جي آي روزافين. حول طبيعة المعرفة الرياضية. م: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. على سبيل المثال: http://mathworld.wolfram.com

الأدب

الموسوعات

• // القاموس الموسوعي لبروكهاوس وإيفرون: في 86 مجلدًا (82 مجلدًا و4 مجلدات إضافية). - سان بطرسبرج. ، 1890-1907.
• الموسوعة الرياضية (5 مجلدات)، الثمانينات. // الكتب المرجعية العامة والخاصة في الرياضيات على موقع EqWorld
• كونداكوف ن.كتاب مرجعي للقاموس المنطقي. م: ناوكا، 1975.
• موسوعة العلوم الرياضية وتطبيقاتها (الألمانية) 1899-1934. (أكبر مسح لأدب القرن التاسع عشر)

الدلائل

• ج. كورن، تي. كورن.دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين م، 1973.

كتب

• كلاين م.الرياضيات. فقدان اليقين. - م: مير، 1984.
• كلاين م.الرياضيات. البحث عن الحقيقة. م: مير، 1988.
• كلاين ف.الرياضيات الابتدائية من وجهة نظر أعلى.

• المجلد الأول. الحساب. الجبر. تحليل م: ناوكا، 1987. 432 ص.
• المجلد الثاني. الهندسة م: ناوكا، 1987. 416 ص.

• كورانت ر.، ج. روبنز.ما هي الرياضيات؟ الطبعة الثالثة، مراجعة. وإضافية - م: 2001. 568 ص.
• بيساريفسكي بي إم، خارين في. تي.حول الرياضيات وعلماء الرياضيات وأكثر من ذلك. - م: بينوم. مختبر المعرفة، 2012. - 302 ص.
• بوانكاريه أ.العلم والطريقة (الروسية) (الفرنسية)

الرياضيات هي واحدة من أقدم العلوم. إن تقديم تعريف موجز للرياضيات ليس بالأمر السهل على الإطلاق؛ حيث سيختلف محتواه بشكل كبير اعتمادًا على مستوى التعليم الرياضي للشخص. سيقول طالب المدرسة الابتدائية الذي بدأ للتو في دراسة الحساب أن الرياضيات تدرس قواعد حساب الأشياء. وسيكون على حق، لأن هذا هو بالضبط ما يتعرف عليه في البداية. سيضيف الطلاب الأكبر سنًا إلى ما قيل أن مفهوم الرياضيات يشمل الجبر ودراسة الأجسام الهندسية: الخطوط وتقاطعاتها والأشكال المستوية والأجسام الهندسية وأنواع التحولات المختلفة. سيدرج خريجو المدارس الثانوية أيضًا في تعريفهم للرياضيات دراسة الوظائف وإجراءات المرور إلى الحد، بالإضافة إلى المفاهيم ذات الصلة بالمشتقات والتكامل. لن يكون خريجو مؤسسات التعليم الفني العالي أو كليات العلوم الطبيعية في الجامعات والمعاهد التربوية راضين عن التعريفات المدرسية، لأنهم يعرفون أن الرياضيات تشمل أيضًا تخصصات أخرى: نظرية الاحتمالات، والإحصاء الرياضي، وحساب التفاضل والتكامل، والبرمجة، والأساليب الحسابية، وكذلك كتطبيقات لهذه التخصصات لنمذجة عمليات الإنتاج، ومعالجة البيانات التجريبية، ونقل المعلومات ومعالجتها. ومع ذلك، فإن ما ورد لا يستنفد محتوى الرياضيات. يتم أيضًا تضمين نظرية المجموعة والمنطق الرياضي والتحكم الأمثل ونظرية العمليات العشوائية وغير ذلك الكثير في تكوينها.

إن محاولات تعريف الرياضيات من خلال سرد الفروع المكونة لها تضلنا، لأنها لا تعطي فكرة عما تدرسه الرياضيات بالضبط وما هي علاقتها بالعالم من حولنا. ولو تم طرح سؤال مماثل على عالم فيزياء أو أحياء أو فلك، فإن كل واحد منهم سيعطي إجابة قصيرة جدًا، لا تحتوي على قائمة بالأجزاء التي يتكون منها العلم الذي يدرسه. مثل هذه الإجابة ستحتوي على إشارة إلى الظواهر الطبيعية التي تدرسها. على سبيل المثال، قد يقول عالم الأحياء أن علم الأحياء هو دراسة المظاهر المختلفة للحياة. دع هذه الإجابة لا تكون كاملة تماما، لأنها لا تقول ما هي الحياة والظواهر الحيوية، ولكن مع ذلك مثل هذا التعريف من شأنه أن يعطي فكرة كاملة إلى حد ما عن محتوى علم الأحياء نفسه والمستويات المختلفة لهذا العلم. وهذا التعريف لن يتغير مع توسع معرفتنا بعلم الأحياء.

لا توجد ظواهر طبيعية أو عمليات تقنية أو اجتماعية يمكن أن تكون موضوع دراسة الرياضيات، ولكنها لن تكون مرتبطة بالظواهر الفيزيائية أو البيولوجية أو الكيميائية أو الهندسية أو الاجتماعية. يتم تحديد كل تخصص من فروع العلوم الطبيعية: علم الأحياء والفيزياء والكيمياء وعلم النفس - من خلال السمات المادية لموضوعه، والسمات المحددة لمنطقة العالم الحقيقي التي يدرسها. يمكن دراسة الموضوع أو الظاهرة نفسها بطرق مختلفة، بما في ذلك الطرق الرياضية، ولكن مع تغيير الأساليب، لا نزال ضمن حدود هذا التخصص، حيث أن محتوى هذا العلم هو الكائن الحقيقي، وليس طريقة البحث. بالنسبة للرياضيات، فإن موضوع البحث ليس له أهمية حاسمة؛ فالطريقة المستخدمة مهمة. على سبيل المثال، يمكن استخدام الدوال المثلثية لدراسة الحركة التذبذبية وتحديد ارتفاع جسم لا يمكن الوصول إليه. ما هي ظواهر العالم الحقيقي التي يمكن دراستها باستخدام الطريقة الرياضية؟ ولا يتم تحديد هذه الظواهر من خلال طبيعتها المادية، بل من خلال الخصائص الهيكلية الشكلية حصريًا، وقبل كل شيء من خلال تلك العلاقات الكمية والأشكال المكانية التي توجد فيها.

لذلك، لا تدرس الرياضيات الأشياء المادية، ولكن طرق البحث والخصائص الهيكلية لموضوع الدراسة، مما يجعل من الممكن تطبيق عمليات معينة عليه (الجمع والتمايز وما إلى ذلك). ومع ذلك، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات والمفاهيم والنظريات الرياضية لها ظواهر وعمليات حقيقية كمصدر أساسي لها. على سبيل المثال، انبثقت نظرية الحساب والأعداد من المهمة العملية الأساسية المتمثلة في عد الأشياء. كان مصدر الهندسة الأولية هو المشكلات المرتبطة بمقارنة المسافات وحساب مساحات الأشكال المسطحة أو أحجام الأجسام المكانية. كل هذا كان لا بد من العثور عليه، لأنه كان من الضروري إعادة توزيع قطع الأراضي بين المستخدمين، وحساب حجم مخازن الحبوب أو حجم أعمال الحفر أثناء بناء الهياكل الدفاعية.

تتميز النتيجة الرياضية بخاصية أنه لا يمكن استخدامها فقط في دراسة ظاهرة أو عملية معينة، ولكن أيضًا استخدامها لدراسة ظواهر أخرى تختلف طبيعتها الفيزيائية بشكل أساسي عن تلك التي تم النظر فيها سابقًا. وهكذا فإن قواعد الحساب قابلة للتطبيق في المشاكل الاقتصادية، وفي المسائل التقنية، وفي حل المشاكل الزراعية، وفي البحث العلمي. لقد تم تطوير القواعد الحسابية منذ آلاف السنين، لكنها احتفظت بقيمتها التطبيقية إلى الأبد. يعد الحساب جزءًا لا يتجزأ من الرياضيات؛ ولم يعد الجزء التقليدي منه خاضعًا للتطوير الإبداعي في إطار الرياضيات، ولكنه وجد وسيظل يجد العديد من التطبيقات الجديدة. قد تكون هذه التطبيقات ذات أهمية كبيرة للبشرية، لكنها لن تساهم بعد الآن في الرياضيات نفسها.

الرياضيات، باعتبارها قوة إبداعية، تهدف إلى تطوير القواعد العامة التي ينبغي استخدامها في العديد من الحالات الخاصة. الشخص الذي يخلق هذه القواعد يخلق شيئا جديدا، يخلق. أي شخص يطبق القواعد الجاهزة لم يعد يبدع في الرياضيات نفسها، بل من المحتمل جدًا أن يخلق قيمًا جديدة في مجالات أخرى من المعرفة بمساعدة القواعد الرياضية. على سبيل المثال، تتم معالجة البيانات اليوم من تفسير الصور الفضائية، وكذلك المعلومات حول تكوين الصخور وعمرها، والشذوذات الجيوكيميائية والجيوفيزيائية باستخدام أجهزة الكمبيوتر. ولا شك أن استخدام الحاسب الآلي في الأبحاث الجيولوجية يترك هذه الدراسات جيولوجية. لقد تم تطوير مبادئ تشغيل أجهزة الكمبيوتر وبرمجياتها دون الأخذ بعين الاعتبار إمكانية استخدامها في مصلحة العلوم الجيولوجية. يتم تحديد هذا الاحتمال في حد ذاته من خلال حقيقة أن الخصائص الهيكلية للبيانات الجيولوجية تتوافق مع منطق بعض برامج الكمبيوتر.

لقد انتشر تعريفان للرياضيات على نطاق واسع. أولهما قدمه ف. إنجلز في عمله "ضد دوهرينغ"، والآخر قدمه مجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين المعروفين باسم نيكولا بورباكي، في مقال "هندسة الرياضيات" (1948).

"إن الرياضيات البحتة تهدف إلى الأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم الحقيقي." لا يصف هذا التعريف موضوع دراسة الرياضيات فحسب، بل يشير أيضًا إلى أصله - العالم الفعلي. ومع ذلك، فإن هذا التعريف لـ F. Engels يعكس إلى حد كبير حالة الرياضيات في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. ولا يأخذ في الاعتبار تلك المجالات الجديدة التي لا ترتبط مباشرة بالعلاقات الكمية أو الأشكال الهندسية. هذا هو في المقام الأول المنطق الرياضي والتخصصات المتعلقة بالبرمجة. ولذلك فإن هذا التعريف يحتاج إلى بعض التوضيح. ربما ينبغي القول أن الرياضيات هي موضوع دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية والإنشاءات المنطقية.

يزعم آل بورباكي أن “الأشياء الرياضية الوحيدة هي، بالمعنى الدقيق للكلمة، الهياكل الرياضية”. وبعبارة أخرى، ينبغي تعريف الرياضيات بأنها علم الهياكل الرياضية. هذا التعريف هو في الأساس حشو، لأنه ينص على شيء واحد فقط: الرياضيات تهتم بالأشياء التي تدرسها. ومن العيوب الأخرى لهذا التعريف أنه لا يوضح علاقة الرياضيات بالعالم من حولنا. علاوة على ذلك، يؤكد البورباكيون على أن الهياكل الرياضية يتم إنشاؤها بشكل مستقل عن العالم الحقيقي وظواهره. ولهذا السبب اضطر آل بورباكي إلى التصريح بأن “المشكلة الرئيسية هي العلاقة بين العالم التجريبي والعالم الرياضي. يبدو أن هناك ارتباطًا وثيقًا بين الظواهر التجريبية والبنى الرياضية قد تم تأكيده بطريقة غير متوقعة تمامًا من خلال اكتشافات الفيزياء الحديثة، لكن الأسباب العميقة لذلك مجهولة تمامًا بالنسبة لنا... وربما لن نعرفها أبدًا ".

لا يمكن أن ينشأ مثل هذا الاستنتاج المخيب للآمال من تعريف ف. إنجلز، لأنه يحتوي بالفعل على بيان مفاده أن المفاهيم الرياضية هي تجريدات من علاقات وأشكال معينة من العالم الحقيقي. هذه المفاهيم مأخوذة من العالم الحقيقي وترتبط به. في جوهرها، هذا ما يفسر التطبيق المذهل لنتائج الرياضيات على ظواهر العالم من حولنا، وفي الوقت نفسه نجاح عملية رياضيات المعرفة.

الرياضيات ليست استثناءً من جميع مجالات المعرفة - فهي تشكل أيضًا مفاهيم تنشأ من المواقف العملية والتجريدات اللاحقة؛ فهو يسمح لنا بدراسة الواقع تقريبًا. ولكن يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الرياضيات لا تدرس أشياء من العالم الحقيقي، بل تدرس المفاهيم المجردة، وأن استنتاجاتها المنطقية صارمة ودقيقة تمامًا. إن تقريبها ليس داخليًا بطبيعته، ولكنه يرتبط بتجميع نموذج رياضي للظاهرة. دعونا نلاحظ أيضًا أن قواعد الرياضيات ليس لها قابلية التطبيق المطلق؛ بل لديها أيضًا مجال تطبيق محدود حيث تكون لها السيادة. دعونا نوضح هذه الفكرة بمثال: اتضح أن اثنين واثنان لا يساويان دائمًا أربعة. ومن المعروف أنه عند خلط 2 لتر من الكحول مع 2 لتر من الماء يتم الحصول على أقل من 4 لتر من الخليط. في هذا الخليط، يتم ترتيب الجزيئات بشكل أكثر إحكاما، ويكون حجم الخليط أقل من مجموع أحجام المكونات المكونة. تم انتهاك قاعدة الجمع الحسابي. يمكنك أيضًا إعطاء أمثلة تنتهك فيها حقائق حسابية أخرى، على سبيل المثال، عند إضافة بعض الكائنات يتبين أن المجموع يعتمد على ترتيب الجمع.

يعتبر العديد من علماء الرياضيات أن المفاهيم الرياضية ليست نتاجًا للعقل الخالص، بل كتجريدات من أشياء أو ظواهر أو عمليات موجودة بالفعل أو تجريدات من تجريدات موجودة بالفعل (تجريدات من الرتب العليا). في "ديالكتيك الطبيعة" كتب ف. إنجلز أن "... كل ما يسمى بالرياضيات البحتة يتعامل مع التجريدات... جميع كمياتها هي، بالمعنى الدقيق للكلمة، كميات خيالية..." هذه الكلمات تعكس بوضوح رأي أحد الأشخاص. من مؤسسي الفلسفة الماركسية حول دور التجريد في الرياضيات. يجب أن نضيف فقط أن كل هذه "الكميات الخيالية" مأخوذة من الواقع الحقيقي، ولا يتم بناؤها بشكل اعتباطي، من خلال الطيران الحر للفكر. هذه هي الطريقة التي دخل بها مفهوم العدد إلى الاستخدام العام. في البداية كانت هذه أرقامًا داخل الوحدات، علاوة على ذلك، كانت أعدادًا صحيحة موجبة فقط. ثم أجبرتني التجربة على توسيع ترسانتي من الأرقام إلى العشرات والمئات. ولدت فكرة العدد غير المحدود من الأعداد الصحيحة في عصر قريب منا تاريخيا: فقد أظهر أرخميدس في كتابه "بساميت" ("حساب التفاضل والتكامل من حبيبات الرمل") كيف يمكن بناء أعداد أكبر حتى من العدد الصحيح. تلك المعطاة. في الوقت نفسه، من الاحتياجات العملية، ولد مفهوم الأعداد الكسرية. أدت الحسابات المتعلقة بأبسط الأشكال الهندسية إلى وصول البشرية إلى أرقام جديدة - أرقام غير عقلانية. وهكذا تشكلت تدريجياً فكرة مجموعة الأعداد الحقيقية.

ويمكن اتباع نفس المسار لأي مفاهيم أخرى في الرياضيات. نشأت جميعها من احتياجات عملية وتشكلت تدريجياً إلى مفاهيم مجردة. يمكن للمرء أن يتذكر مرة أخرى كلمات ف. إنجلز: "... الرياضيات البحتة لها معنى مستقل عن الخبرة الخاصة لكل فرد ... ولكن من الخطأ تمامًا أن العقل في الرياضيات البحتة يتعامل فقط مع منتجاته الخاصة الإبداع والخيال. مفاهيم العدد والشكل ليست مأخوذة من أي مكان، ولكن فقط من العالم الحقيقي. إن الأصابع العشرة التي تعلم الناس العد عليها، أي إجراء أول عملية حسابية، ليست سوى نتاج الإبداع الحر للعقل. للعد، لا يجب على المرء أن يمتلك الأشياء التي يمكن عدها فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون لديه القدرة على التجريد عند النظر في هذه الأشياء من جميع الخصائص الأخرى باستثناء العدد، وهذه القدرة هي نتيجة تطور تاريخي طويل يعتمد على الخبرة. يتم استعارة مفهوم العدد ومفهوم الشكل حصريًا من العالم الخارجي، ولم ينشأ في الرأس من تفكير خالص. كان لا بد أن تكون هناك أشياء لها شكل معين، وكان لا بد من مقارنة هذه الأشكال قبل أن يتم التوصل إلى مفهوم الشكل.

دعونا نفكر فيما إذا كانت هناك مفاهيم في العلوم تم إنشاؤها دون الارتباط بالتقدم العلمي في الماضي والتقدم الحالي في الممارسة. نحن نعلم جيدًا أن الإبداع الرياضي العلمي يسبقه دراسة العديد من المواد في المدرسة والجامعة وقراءة الكتب والمقالات والمحادثات مع الخبراء في مجالك وفي مجالات المعرفة الأخرى. يعيش عالم الرياضيات في المجتمع، ومن خلال الكتب والراديو ومن مصادر أخرى يتعرف على المشكلات الناشئة في العلوم والهندسة والحياة العامة. إضافة إلى ذلك فإن تفكير الباحث يتأثر بكامل التطور السابق للفكر العلمي. لذلك، اتضح أنه مستعد لحل بعض المشكلات اللازمة لتقدم العلوم. ولهذا السبب لا يستطيع العالم أن يطرح المشاكل بشكل تعسفي، لمجرد نزوة، ولكن يجب عليه أن يخلق مفاهيم ونظريات رياضية من شأنها أن تكون ذات قيمة للعلم، للباحثين الآخرين، للبشرية. لكن النظريات الرياضية تحتفظ بأهميتها في ظروف مختلف التشكيلات الاجتماعية والعصور التاريخية. بالإضافة إلى ذلك، غالبا ما تنشأ نفس الأفكار من العلماء الذين لا يرتبطون ببعضهم البعض بأي حال من الأحوال. هذه حجة إضافية ضد أولئك الذين يلتزمون بمفهوم الإبداع الحر للمفاهيم الرياضية.

لذلك، أوضحنا ما يتضمنه مفهوم "الرياضيات". ولكن هناك أيضًا ما يسمى بالرياضيات التطبيقية. يُفهم على أنه مجموع جميع الأساليب والتخصصات الرياضية التي تجد تطبيقات خارج الرياضيات. في العصور القديمة، كانت الهندسة والحساب تمثل جميع الرياضيات، وبما أن كلاهما وجد تطبيقات عديدة في التبادلات التجارية، وقياس المساحات والأحجام، وفي مسائل الملاحة، لم تكن جميع الرياضيات نظرية فحسب، بل كانت تطبيقية أيضًا. في وقت لاحق، في اليونان القديمة، نشأ تقسيم إلى الرياضيات والرياضيات التطبيقية. ومع ذلك، شارك جميع علماء الرياضيات المتميزين أيضًا في التطبيقات، وليس فقط البحث النظري البحت.

ارتبط التطوير الإضافي للرياضيات باستمرار بتقدم العلوم الطبيعية والتكنولوجيا وظهور احتياجات اجتماعية جديدة. بحلول نهاية القرن الثامن عشر. نشأت الحاجة (في المقام الأول فيما يتعلق بمشاكل الملاحة والمدفعية) لإنشاء نظرية رياضية للحركة. وقد تم ذلك في أعمالهم بواسطة G. W. Leibniz و I. Newton. تم تجديد الرياضيات التطبيقية بطريقة بحث جديدة وقوية للغاية - التحليل الرياضي. في الوقت نفسه تقريبًا، أدت احتياجات الديموغرافيا والتأمين إلى تشكيل بدايات نظرية الاحتمالات (انظر نظرية الاحتمالات). القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. وسع محتوى الرياضيات التطبيقية، مضيفًا إليها نظرية المعادلات التفاضلية العادية والجزئية، ومعادلات الفيزياء الرياضية، وعناصر الإحصاء الرياضي، والهندسة التفاضلية. القرن العشرين جلب أساليب جديدة للدراسة الرياضية للمسائل العملية: نظرية العمليات العشوائية، نظرية الرسم البياني، التحليل الوظيفي، التحكم الأمثل، البرمجة الخطية وغير الخطية. علاوة على ذلك، فقد تبين أن نظرية الأعداد والجبر المجرد كان لهما تطبيقات غير متوقعة على مشاكل الفيزياء. ونتيجة لذلك، بدأ الاعتقاد بأن الرياضيات التطبيقية كنظام منفصل غير موجود ويمكن اعتبار جميع الرياضيات تطبيقية. ربما نحتاج إلى التحدث ليس عن حقيقة أن الرياضيات تطبيقية ونظرية، ولكن عن حقيقة أن علماء الرياضيات ينقسمون إلى نظريين وتطبيقيين. بالنسبة للبعض، الرياضيات هي وسيلة لفهم العالم من حولنا والظواهر التي تحدث فيه؛ ولهذا الغرض يقوم العالم بتطوير وتوسيع المعرفة الرياضية. بالنسبة للآخرين، تمثل الرياضيات نفسها عالما كاملا يستحق الدراسة والتطوير. ومن أجل تقدم العلم، هناك حاجة إلى علماء من كلا النوعين.

الرياضيات، قبل دراسة أي ظاهرة باستخدام أساليبها الخاصة، تنشئ نموذجها الرياضي، أي أنها تسرد كل سمات الظاهرة التي سيتم أخذها في الاعتبار. يجبر النموذج الباحث على اختيار الأدوات الرياضية التي تسمح له بنقل سمات الظاهرة قيد الدراسة وتطورها بشكل مناسب. على سبيل المثال، لنأخذ نموذجًا لنظام كوكبي: تعتبر الشمس والكواكب بمثابة نقاط مادية لها كتل مقابلة. يتم تحديد تفاعل كل نقطتين بقوة الجذب بينهما

حيث m 1 و m 2 هما كتلتا النقاط المتفاعلة، و r هي المسافة بينهما، و f هو ثابت الجاذبية. وعلى الرغم من بساطة هذا النموذج، فإنه على مدى الثلاثمائة عام الماضية كان ينقل بدقة كبيرة ملامح حركة كواكب النظام الشمسي.

بالطبع، كل نموذج يخشن الواقع، ومهمة الباحث هي، أولاً وقبل كل شيء، اقتراح نموذج ينقل الجانب الواقعي للمسألة (كما يقولون، سماتها المادية) بشكل كامل من ناحية، ومن ناحية أخرى، ومن ناحية أخرى، يعطي تقريبًا كبيرًا للواقع. وبطبيعة الحال، يمكن اقتراح عدة نماذج رياضية لنفس الظاهرة. جميعهم لهم الحق في الوجود حتى يبدأ التناقض الكبير بين النموذج والواقع في التأثير عليهم.

الرياضيات هي علم العلاقات الكمية والأشكال المكانية للعالم الحقيقي. في اتصال لا ينفصم مع متطلبات العلم والتكنولوجيا، فإن مخزون العلاقات الكمية والأشكال المكانية التي تدرسها الرياضيات يتوسع باستمرار، لذلك يجب فهم التعريف أعلاه بالمعنى الأكثر عمومية.

الغرض من دراسة الرياضيات هو زيادة النظرة العامة وثقافة التفكير وتشكيل النظرة العلمية للعالم.

أصبح فهم الوضع المستقل للرياضيات كعلم خاص ممكنًا بعد تراكم مادة واقعية كبيرة بما فيه الكفاية وظهر لأول مرة في اليونان القديمة في القرنين السادس والخامس قبل الميلاد. وكانت هذه بداية فترة الرياضيات الابتدائية.

خلال هذه الفترة، تناول البحث الرياضي فقط كمية محدودة إلى حد ما من المفاهيم الأساسية التي نشأت مع أبسط احتياجات الحياة الاقتصادية. وفي الوقت نفسه، هناك بالفعل تحسن نوعي في الرياضيات كعلم.

غالبًا ما تتم مقارنة الرياضيات الحديثة بمدينة كبيرة. هذه مقارنة ممتازة لأنه في الرياضيات، كما هو الحال في مدينة كبيرة، هناك عملية مستمرة من النمو والتحسين. في الرياضيات، تظهر مجالات جديدة، ويتم بناء نظريات جديدة أنيقة وعميقة، مثل بناء الأحياء والمباني الجديدة. لكن تقدم الرياضيات لا يقتصر على تغيير وجه المدينة من خلال بناء مدينة جديدة. علينا تغيير القديم أيضا. يتم تضمين النظريات القديمة في نظريات جديدة أكثر عمومية؛ هناك حاجة لتعزيز أسس المباني القديمة. يجب إنشاء شوارع جديدة من أجل إقامة اتصالات بين الأحياء البعيدة للمدينة الرياضية. ولكن هذا لا يكفي - يتطلب التصميم المعماري جهدا كبيرا، لأن تنوع مجالات الرياضيات المختلفة لا يفسد الانطباع العام للعلم فحسب، بل يتعارض أيضا مع فهم العلم ككل وإنشاء اتصالات بين أجزائه المختلفة.

غالبًا ما يتم استخدام مقارنة أخرى: يتم تشبيه الرياضيات بشجرة كبيرة متفرعة تنتج بشكل منهجي براعم جديدة. كل فرع من فروع الشجرة هو مجال أو آخر من مجالات الرياضيات. لا يبقى عدد الفروع دون تغيير، حيث تنمو الفروع الجديدة، وتلك التي نمت لأول مرة بشكل منفصل، تنمو معا، وبعض الفروع تجف، محرومة من العصائر الغذائية. كلا المقارنتين ناجحتان وتنقلان الوضع الفعلي بشكل جيد للغاية.

ولا شك أن اشتراط الجمال يلعب دورا هاما في بناء النظريات الرياضية. وغني عن القول أن الشعور بالجمال هو أمر شخصي للغاية وغالبًا ما تصادف أفكارًا قبيحة جدًا حول هذا الموضوع. ومع ذلك، يتعين علينا أن نتفاجأ بالإجماع الذي وضعه علماء الرياضيات في مفهوم "الجمال": فالنتيجة تعتبر جميلة إذا كان من الممكن من خلال عدد صغير من الشروط الحصول على نتيجة عامة تنطبق على مجموعة واسعة من الأشياء. يعتبر الاشتقاق الرياضي جميلا إذا تمكن من إثبات حقيقة رياضية مهمة باستخدام المنطق البسيط والقصير. يمكن تمييز نضج عالم الرياضيات وموهبته من خلال مدى تطور إحساسه بالجمال. تكون النتائج الكاملة من الناحية الجمالية والكمال رياضيًا أسهل في الفهم والتذكر والاستخدام؛ فمن الأسهل تحديد علاقاتهم مع مجالات المعرفة الأخرى.

أصبحت الرياضيات في عصرنا مجالًا علميًا له العديد من مجالات البحث وعدد كبير من النتائج والأساليب. لقد أصبحت الرياضيات الآن من الضخامة بحيث لا يمكن لشخص واحد أن يغطيها بجميع أجزائها، ولا توجد إمكانية أن يكون متخصصا عالميا فيها. من المؤكد أن فقدان الروابط بين اتجاهاته الفردية هو نتيجة سلبية للتطور السريع لهذا العلم. ومع ذلك، فإن تطوير جميع فروع الرياضيات لديه شيء مشترك - أصول التطوير، جذور شجرة الرياضيات.

هندسة إقليدس كأول نظرية في العلوم الطبيعية

• وفي القرن الثالث قبل الميلاد، ظهر في الإسكندرية كتاب لإقليدس يحمل نفس الاسم، في الترجمة الروسية لكتاب "المبادئ". مصطلح "الهندسة الأولية" يأتي من الاسم اللاتيني "البدايات". وعلى الرغم من أن أعمال أسلاف إقليدس لم تصل إلينا، إلا أنه يمكننا تكوين رأي حول هذه الأعمال بناءً على عناصر إقليدس. يوجد في "المبادئ" أقسام قليلة جدًا من الناحية المنطقية مرتبطة بالأقسام الأخرى. لا يمكن تفسير مظهرها إلا من خلال حقيقة أنها تم تقديمها وفقًا للتقاليد ونسخ "عناصر" أسلاف إقليدس.

  يتكون كتاب العناصر لإقليدس من 13 كتابًا. الكتب من 1 إلى 6 مخصصة لقياس التخطيط، والكتب من 7 إلى 10 مخصصة للكميات الحسابية وغير القابلة للقياس التي يمكن تكوينها باستخدام البوصلة والمسطرة. تم تخصيص الكتب من 11 إلى 13 للقياس المجسم.

  يبدأ كتاب المبادئ بعرض يتضمن 23 تعريفًا و10 بديهيات. البديهيات الخمس الأولى هي "مفاهيم عامة"، والباقي يسمى "المسلمات". تحدد الفرضيتان الأوليان الإجراءات باستخدام المسطرة المثالية، والثالثة - باستخدام البوصلة المثالية. الرابع، "جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض"، هو زائد عن الحاجة، لأنه يمكن استخلاصه من البديهيات المتبقية. والمسلمة الخامسة والأخيرة تقول: "إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين وشكل زوايا داخلية من جانب واحد في مجموع أقل من خطين مستقيمين، فإنهما مع امتداد غير محدود لهذين الخطين المستقيمين سيتقاطعان على الضلع الذي تكون زواياه أقل من خطين مستقيمين."

  "المفاهيم العامة" الخمسة لإقليدس هي مبادئ قياس الأطوال والزوايا والمساحات والأحجام: "المتساويون المتساويون متساوون لبعضهم البعض"، "إذا أضيفت المتساويات إلى المتساويات، كانت المجاميع متساوية"، "إذا كانت المتساويات متساوية" "إذا طرحنا من المتساويين، فإن الباقي متساوون فيما بينهم"، "و"المتحدون فيما بينهم متساوون"، "الكل أكبر من الجزء".

  بعد ذلك بدأ انتقاد هندسة إقليدس. تم انتقاد إقليدس لثلاثة أسباب: لأنه أخذ في الاعتبار فقط تلك الكميات الهندسية التي يمكن تكوينها باستخدام البوصلة والمسطرة؛ لأنه فصل بين الهندسة والحساب وأثبت للأعداد الصحيحة ما أثبته بالفعل للكميات الهندسية، وأخيرًا لبديهيات إقليدس. كانت الفرضية الأكثر انتقادًا هي الفرضية الخامسة، وهي الفرضية الأكثر تعقيدًا لإقليدس. اعتبرها الكثيرون غير ضرورية، وأنه يمكن ويجب استنتاجها من البديهيات الأخرى. ورأى آخرون أنه ينبغي الاستعاضة عنه بآخر أبسط وأوضح يعادله: «من نقطة خارج الخط المستقيم لا يمكن رسم أكثر من خط مستقيم واحد في مستواها لا يتقاطع مع الخط المعطى».

  أدى انتقاد الفجوة بين الهندسة والحساب إلى توسيع مفهوم العدد إلى العدد الحقيقي. أدت الخلافات حول الافتراض الخامس إلى حقيقة أنه في بداية القرن التاسع عشر، قام إن.آي.لوباتشيفسكي، وجي. بولياي، وك.ف. غاوس ببناء هندسة جديدة تم فيها استيفاء جميع بديهيات هندسة إقليدس، باستثناء الافتراض الخامس. وتم استبدالها بالعبارة المقابلة: "في المستوى، من خلال نقطة خارج الخط، يمكن رسم أكثر من خط لا يتقاطع مع الخط المعطى". وكانت هذه الهندسة متسقة مثل هندسة إقليدس.

  تم إنشاء نموذج لوباتشيفسكي للتخطيط على المستوى الإقليدي من قبل عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه في عام 1882.

  لنرسم خطًا أفقيًا على المستوى الإقليدي. ويسمى هذا الخط المطلق (x). نقاط المستوى الإقليدي الواقعة فوق المطلق هي نقاط مستوى لوباتشيفسكي. مستوى لوباتشيفسكي هو نصف مستوى مفتوح يقع فوق المستوى المطلق. المقاطع غير الإقليدية في نموذج بوانكاريه هي أقواس من الدوائر المتمركزة على المطلق أو شرائح من الخطوط المستقيمة المتعامدة مع المطلق (AB، CD). الشكل الموجود على مستوى Lobachevsky هو شكل نصف مستوي مفتوح يقع فوق المطلق (F). الحركة غير الإقليدية هي عبارة عن تركيب لعدد محدود من الانقلابات المتمركزة حول التماثلات المطلقة والمحورية التي تكون محاورها متعامدة مع المطلق. يكون القطعان غير الإقليديان متساويين إذا أمكن نقل أحدهما إلى الآخر بحركة غير إقليدية. هذه هي المفاهيم الأساسية لبديهيات قياس Lobachevsky Planimetry.

  جميع بديهيات قياس Lobachevsky Planimetry متسقة. "الخط المستقيم غير الإقليدي هو نصف دائرة طرفيه عند المطلق أو شعاع بدايته عند المطلق وعمودي على المطلق." وبالتالي، فإن بيان بديهية لوباتشيفسكي للتوازي لا ينطبق فقط على خط ما ونقطة A لا تقع على هذا الخط، ولكن أيضًا على أي خط A وأي نقطة A لا تقع عليه.

  بعد هندسة لوباتشيفسكي، ظهرت هندسات أخرى متسقة: الهندسة الإسقاطية المنفصلة عن الإقليدية، وظهرت الهندسة الإقليدية متعددة الأبعاد، وظهرت الهندسة الريمانية (النظرية العامة للفراغات مع قانون اعتباطي لقياس الأطوال)، وغيرها من علم الأشكال في ثلاثي الأبعاد الواحد. الفضاء الإقليدي، تحولت الهندسة لمدة 40 إلى 50 عامًا إلى مجموعة من النظريات المختلفة، فقط تشبه إلى حد ما سلفها - الهندسة الإقليدية.

  المراحل الرئيسية في تطور الرياضيات الحديثة. هيكل الرياضيات الحديثة

• يحدد الأكاديمي أ.ن.كولموغوروف أربع فترات في تطور الرياضيات. - الرياضيات، القاموس الموسوعي الرياضي، موسكو، الموسوعة السوفييتية، 1988: أصول الرياضيات، الرياضيات الأولية، رياضيات المتغيرات، الرياضيات الحديثة.

  أثناء تطور الرياضيات الابتدائية، تطورت نظرية الأعداد تدريجياً من الحساب. يتم إنشاء الجبر كحساب التفاضل والتكامل الحرفي. وأصبح نظام عرض الهندسة الأولية الذي أنشأه الإغريق القدماء - هندسة إقليدس - لمدة ألفي عام قادمة نموذجًا للبناء الاستنتاجي للنظرية الرياضية.

  في القرن السابع عشر، أدت احتياجات العلوم الطبيعية والتكنولوجيا إلى إنشاء أساليب مكنت من إجراء دراسة رياضية للحركة وعمليات تغيير الكميات وتحويل الأشكال الهندسية. تبدأ فترة رياضيات الكميات المتغيرة باستخدام المتغيرات في الهندسة التحليلية وإنشاء حساب التفاضل والتكامل. الاكتشافات العظيمة في القرن السابع عشر هي مفهوم الكمية المتناهية الصغر الذي قدمه نيوتن ولايبنيز، وإنشاء أسس تحليل الكميات المتناهية الصغر (التحليل الرياضي).

  يأتي مفهوم الوظيفة في المقدمة. تصبح الوظيفة الموضوع الرئيسي للدراسة. تؤدي دراسة الدالة إلى المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي: النهاية، المشتقة، التفاضلية، التكاملية.

  يعود أيضًا ظهور فكرة R. Descartes الرائعة حول طريقة الإحداثيات إلى هذا الوقت. يتم إنشاء الهندسة التحليلية، والتي تتيح لك دراسة الكائنات الهندسية باستخدام طرق الجبر والتحليل. ومن ناحية أخرى، فتحت طريقة الإحداثيات إمكانية التفسير الهندسي للحقائق الجبرية والتحليلية.

  أدى التطوير الإضافي للرياضيات في بداية القرن التاسع عشر إلى صياغة مشكلة دراسة الأنواع المحتملة من العلاقات الكمية والأشكال المكانية من وجهة نظر عامة إلى حد ما.

  أصبحت العلاقة بين الرياضيات والعلوم الطبيعية معقدة بشكل متزايد. تنشأ نظريات جديدة، ولا تنشأ فقط نتيجة لمتطلبات العلوم الطبيعية والتكنولوجيا، ولكن أيضًا نتيجة للاحتياجات الداخلية للرياضيات. ومن الأمثلة الرائعة على هذه النظرية الهندسة الخيالية لـ N.I Lobachevsky. إن تطور الرياضيات في القرنين التاسع عشر والعشرين يسمح لنا بإسنادها إلى فترة الرياضيات الحديثة. إن تطور الرياضيات نفسها، وإضفاء الطابع الرياضي على مختلف مجالات العلوم، وتغلغل الأساليب الرياضية في العديد من مجالات النشاط العملي، وتقدم تكنولوجيا الكمبيوتر، أدى إلى ظهور تخصصات رياضية جديدة، على سبيل المثال، بحوث العمليات، ونظرية الألعاب والاقتصاد الرياضي وغيرها.

  الطرق الرئيسية في البحث الرياضي هي البراهين الرياضية - التفكير المنطقي الصارم. لا يقتصر التفكير الرياضي على التفكير المنطقي. لصياغة مشكلة بشكل صحيح وتقييم اختيار طريقة حلها، فإن الحدس الرياضي ضروري.

  في الرياضيات، تتم دراسة النماذج الرياضية للأشياء. يمكن لنفس النموذج الرياضي أن يصف خصائص الظواهر الحقيقية البعيدة عن بعضها البعض. وبالتالي، فإن نفس المعادلة التفاضلية يمكن أن تصف عمليات النمو السكاني واضمحلال المادة المشعة. بالنسبة لعالم الرياضيات، ما يهم ليس طبيعة الأشياء قيد النظر، بل العلاقات القائمة بينها.

  هناك نوعان من الاستدلالات المستخدمة في الرياضيات: الاستنباط والاستقراء.

  الاستقراء هو أسلوب بحث يتم من خلاله بناء استنتاج عام على أساس فرضيات معينة.

  الاستنباط هو طريقة للاستدلال يتم من خلالها استنتاج معين من المقدمات العامة.

  تلعب الرياضيات دورًا مهمًا في دراسات العلوم والهندسة والعلوم الإنسانية. إن سبب تغلغل الرياضيات في مختلف فروع المعرفة هو أنها تقدم نماذج واضحة للغاية لدراسة الواقع المحيط، على عكس النماذج الأقل عمومية والأكثر غموضا التي تقدمها العلوم الأخرى. وبدون الرياضيات الحديثة وأجهزتها المنطقية والحاسوبية المتطورة، سيكون التقدم في مختلف مجالات النشاط البشري مستحيلا.

  الرياضيات ليست فقط أداة قوية لحل المشكلات التطبيقية واللغة العالمية للعلوم، ولكنها أيضًا عنصر من عناصر الثقافة العامة.

  السمات الأساسية للتفكير الرياضي

• في هذه المسألة، من المثير للاهتمام بشكل خاص خاصية التفكير الرياضي التي قدمها أ.يا خينشين، أو بالأحرى شكلها التاريخي المحدد - أسلوب التفكير الرياضي. من خلال الكشف عن جوهر أسلوب التفكير الرياضي، يحدد أربع سمات مشتركة بين جميع العصور، والتي تميز بشكل كبير هذا الأسلوب عن أساليب التفكير في العلوم الأخرى.

  أولاً، يتميز عالم الرياضيات بهيمنة المخطط المنطقي للتفكير، إلى أقصى حد. إن عالم الرياضيات الذي فقد رؤية هذا المخطط، على الأقل مؤقتًا، يُحرم عمومًا من فرصة التفكير بشكل علمي. هذه الميزة الغريبة لأسلوب التفكير الرياضي لها قيمة كبيرة فيها. من الواضح أنه يسمح لك بمراقبة صحة تدفق الأفكار إلى أقصى حد وضمانات ضد الأخطاء؛ من ناحية أخرى، فإنه يجبر المفكر، عند التحليل، على أن يكون أمام عينيه مجموعة كاملة من الاحتمالات المتاحة ويلزمه أن يأخذ في الاعتبار كل واحد منها، دون فقدان أي منها (مثل هذه الإغفالات ممكنة تمامًا، وفي الواقع ، غالبًا ما يتم ملاحظتها في أنماط التفكير الأخرى).

  ثانيا، الاقتضاب، أي. الرغبة الواعية في العثور دائمًا على أقصر طريق منطقي يؤدي إلى هدف معين، والرفض بلا رحمة لكل ما هو ضروري للغاية لتحقيق فائدة لا تشوبها شائبة للحجة. مقال رياضي ذو أسلوب جيد لا يتسامح مع أي "ماء"، أو تزيين، أو إضعاف التوتر المنطقي من الصراخ، أو الانحرافات إلى الجانب؛ يشكل البخل الشديد والصرامة الشديدة في الفكر وعرضه سمة أساسية للتفكير الرياضي. هذه الميزة ذات قيمة كبيرة ليس فقط للرياضيات، ولكن أيضًا لأي تفكير جدي آخر. تساعد الإيجاز، والرغبة في تجنب أي شيء غير ضروري، كلاً من المفكر نفسه وقارئه أو مستمعه على التركيز بشكل كامل على سلسلة معينة من الأفكار، دون تشتيت انتباهه بأفكار جانبية ودون فقدان الاتصال المباشر بالخط الرئيسي للتفكير.

  إن نجوم العلم، كقاعدة عامة، يفكرون ويعبرون عن أنفسهم بإيجاز في جميع مجالات المعرفة، حتى عندما يخلقهم الفكر ويقدم أفكارًا جديدة بشكل أساسي. يا له من انطباع مهيب ينتج، على سبيل المثال، عن الجشع النبيل للفكر والكلام لأعظم مبدعي الفيزياء: نيوتن، وأينشتاين، ونيلز بور! قد يكون من الصعب العثور على مثال أكثر وضوحًا للتأثير العميق الذي يمكن أن يحدثه أسلوب تفكير المبدعين في تطور العلم.

  بالنسبة للرياضيات، فإن إيجاز الفكر هو قانون لا جدال فيه، وقد تم تقديسه لعدة قرون. إن أي محاولة لإثقال العرض التقديمي بالصور أو الانحرافات أو الصراخ التي ليست ضرورية بالضرورة (حتى لو كانت ممتعة ورائعة للمستمعين) يتم وضعها مسبقًا تحت الشك المشروع وتثير اليقظة النقدية تلقائيًا.

  ثالثا، تقسيم واضح لمسار التفكير. على سبيل المثال، عند إثبات قضية ما، يجب أن نأخذ في الاعتبار أربع حالات محتملة، يمكن تقسيم كل منها إلى عدد واحد أو آخر من الحالات الفرعية، ففي كل لحظة من التفكير، يجب على عالم الرياضيات أن يتذكر بوضوح في أي حالة والحالة الفرعية يكون فكره المكتسبة الآن وما هي الحالات والحالات الفرعية التي لا يزال يتعين عليه النظر فيها. مع أي نوع من التعداد المتفرع، يجب على عالم الرياضيات أن يكون على دراية في كل لحظة بالمفهوم العام الذي يعدد له مفاهيم الأنواع التي يتألف منها. في التفكير العادي غير العلمي، كثيرًا ما نلاحظ في مثل هذه الحالات حدوث ارتباكات وقفزات، مما يؤدي إلى الارتباك والأخطاء في الاستدلال. غالبًا ما يحدث أن يبدأ الشخص في سرد ​​الأنواع من جنس واحد، وبعد ذلك، بشكل غير محسوس للمستمعين (وغالبًا لنفسه)، مستفيدًا من عدم وضوح المنطق المنطقي، يقفز إلى جنس آخر وينتهي بالبيان الذي الآن تم تصنيف كلا الجنسين؛ ولا يعرف المستمعون أو القراء أين تقع الحدود بين الأنواع من النوع الأول والثاني.

  من أجل جعل مثل هذه الالتباسات والقفزات مستحيلة، استخدم علماء الرياضيات منذ فترة طويلة على نطاق واسع طرقًا خارجية بسيطة لترقيم المفاهيم والأحكام، والتي تُستخدم أحيانًا (ولكن في كثير من الأحيان) في علوم أخرى. تتم إعادة ترقيم تلك الحالات المحتملة أو تلك المفاهيم العامة التي يجب أخذها في الاعتبار في حجة معينة؛ وفي كل حالة من هذه الحالات، تتم أيضًا إعادة ترقيم تلك الحالات الفرعية المؤهلة التي تحتوي عليها (في بعض الأحيان، من أجل التمييز، باستخدام نظام ترقيم آخر). قبل كل فقرة، حيث يبدأ النظر في حالة فرعية جديدة، يتم وضع التسمية المقبولة لهذا الحالة الفرعية (على سبيل المثال: II 3 - وهذا يعني أنه هنا يبدأ النظر في الحالة الفرعية الثالثة للحالة الثانية، أو وصف للحالة الثالثة النوع الثاني إذا كنا نتحدث عن التصنيف). ويعلم القارئ أنه إلى أن يصادف قاعدة رقمية جديدة، فإن كل ما ذكر ينطبق فقط على هذه الحالة والحالة الفرعية. وغني عن القول أن مثل هذا الترقيم لا يخدم إلا كأداة خارجية، وهو مفيد للغاية، ولكنه ليس إلزاميًا بأي حال من الأحوال، وأن جوهر الأمر ليس فيه، بل في تقطيع أوصال الجدل أو التصنيف الذي يحفزه ويميزه. .

  رابعا، الدقة الدقيقة للرمزية والصيغ والمعادلات. وهذا يعني أن "كل رمز رياضي له معنى محدد بدقة: فاستبداله برمز آخر أو إعادة ترتيبه إلى مكان آخر، كقاعدة عامة، ينطوي على تشويه، وأحيانًا تدمير كامل لمعنى عبارة معينة".

  بعد تسليط الضوء على السمات الرئيسية لأسلوب التفكير الرياضي، يلاحظ A.Ya Khinchin أن الرياضيات (خاصة رياضيات المتغيرات) ذات طبيعة جدلية، وبالتالي تساهم في تطوير التفكير الجدلي. في الواقع، في عملية التفكير الرياضي هناك تفاعل بين البصري (الملموس) والمفاهيمي (المجرد). كتب كانط: «لا يمكننا التفكير في خط دون رسمه ذهنيًا؛ لا يمكننا التفكير في ثلاثة أبعاد دون رسم ثلاثة خطوط متعامدة مع بعضها البعض من نقطة واحدة».

  إن التفاعل بين التفكير الرياضي الملموس والمجرد "أدى" إلى تطوير مفاهيم وفئات فلسفية جديدة وجديدة. في الرياضيات القديمة (رياضيات الكميات الثابتة) كانت هذه هي "الأرقام" و"الفضاء"، والتي انعكست في البداية في الهندسة الحسابية والإقليدية، ولاحقًا في الجبر والأنظمة الهندسية المختلفة. كانت رياضيات الكميات المتغيرة "تعتمد" على مفاهيم تعكس حركة المادة - "المحدود"، "اللانهائي"، "الاستمرارية"، "المنفصلة"، "المتناهية الصغر"، "المشتق"، إلخ.

  إذا تحدثنا عن المرحلة التاريخية الحديثة لتطور المعرفة الرياضية، فإنها تتماشى مع التطوير الإضافي للفئات الفلسفية: نظرية الاحتمالية "تسيطر" على فئات الممكن والعشوائي؛ الطوبولوجيا - فئات العلاقة والاستمرارية؛ نظرية الكارثة - فئة القفزة؛ نظرية المجموعة – فئات التناظر والانسجام، إلخ.

  يعبر التفكير الرياضي عن المبادئ الأساسية لبناء الروابط المنطقية المتشابهة في الشكل. بمساعدتها، يتم الانتقال من الفرد (على سبيل المثال، من طرق رياضية معينة - بديهية، خوارزمية، بناءة، نظرية المجموعات وغيرها) إلى الإنشاءات الاستنتاجية الخاصة والعامة. تحدد وحدة الأساليب وموضوع الرياضيات خصوصية التفكير الرياضي وتسمح لنا بالحديث عن لغة رياضية خاصة لا تنعكس فيها الحقيقة فحسب، بل يتم أيضًا تجميع المعرفة العلمية وتعميمها والتنبؤ بها. تكمن قوة الفكر الرياضي وجماله في الوضوح الشديد لمنطقه، وأناقة تصميماته، والبناء الماهر للتجريدات.

  لقد انفتحت إمكانيات جديدة بشكل أساسي للنشاط العقلي مع اختراع الكمبيوتر وإنشاء الرياضيات الآلية. لقد حدثت تغييرات كبيرة في لغة الرياضيات. إذا كانت لغة الرياضيات الحسابية الكلاسيكية تتكون من صيغ الجبر والهندسة والتحليل، وتركز على وصف العمليات المستمرة للطبيعة، وتدرس بشكل أساسي في الميكانيكا وعلم الفلك والفيزياء، فإن لغتها الحديثة هي لغة الخوارزميات والبرامج ، بما في ذلك اللغة القديمة للصيغ كحالة معينة.

  أصبحت لغة الرياضيات الحسابية الحديثة أكثر وأكثر عالمية، وقادرة على وصف الأنظمة المعقدة (متعددة المعلمات). في الوقت نفسه، أود التأكيد على أنه بغض النظر عن مدى كمال اللغة الرياضية، المعززة بتكنولوجيا الحوسبة الإلكترونية، فإنها لا تقطع العلاقات مع اللغة الطبيعية "الحية" المتنوعة. علاوة على ذلك، فإن اللغة المنطوقة هي أساس اللغة الاصطناعية. وفي هذا الصدد، فإن الاكتشاف الأخير الذي توصل إليه العلماء مثير للاهتمام. النقطة المهمة هي أن اللغة القديمة لهنود الأيمارا، والتي يتحدث بها ما يقرب من 2.5 مليون شخص في بوليفيا وبيرو، أثبتت أنها صديقة للغاية للكمبيوتر. في عام 1610، أشار المبشر اليسوعي الإيطالي لودوفيكو بيرتوني، الذي قام بتجميع أول قاموس أيمارا، إلى عبقرية مبدعيه، الذين حققوا نقاء منطقيًا عاليًا. في لغة الأيمارا، على سبيل المثال، لا توجد أفعال شاذة ولا توجد استثناءات للقواعد النحوية القليلة الواضحة. هذه الميزات التي تتميز بها لغة الأيمارا أتاحت لعالم الرياضيات البوليفي إيفان جوزمان دي روخاس إنشاء نظام للترجمة الحاسوبية الفورية من أي من اللغات الأوروبية الخمس المدرجة في البرنامج، والتي تشكل “الجسر” بينها لغة الأيمارا. وقد نال حاسوب أيمارا، الذي ابتكره عالم بوليفي، إشادة كبيرة من قبل الخبراء. تلخيص هذا الجزء من السؤال حول جوهر أسلوب التفكير الرياضي، تجدر الإشارة إلى أن محتواه الرئيسي هو فهم الطبيعة.

  الطريقة البديهية

• البديهيات هي الطريقة الرئيسية لبناء النظرية، منذ العصور القديمة وحتى يومنا هذا، مما يؤكد عالميتها وقابليتها للتطبيق.

  يعتمد بناء النظرية الرياضية على الطريقة البديهية. تعتمد النظرية العلمية على أحكام أولية معينة، تسمى البديهيات، ويتم الحصول على جميع أحكام النظرية الأخرى كنتائج منطقية لهذه البديهيات.

  ظهرت الطريقة البديهية في اليونان القديمة، وتستخدم حاليًا في جميع العلوم النظرية تقريبًا، وقبل كل شيء، في الرياضيات.

  وبمقارنة ثلاثة أشكال هندسية تكميلية، في بعض النواحي، وهي: الإقليدية (القطع المكافئ)، ولوباتشيفسكي (القطع الزائد)، والريماني (الإهليلجي)، تجدر الإشارة إلى أنه، إلى جانب بعض أوجه التشابه، هناك فرق كبير بين الهندسة الكروية، من ناحية. وهندسة إقليدس ولوباتشيفسكي - من ناحية أخرى.

  والفرق الأساسي بين الهندسة الحديثة هو أنها تحتضن الآن "هندسة" عدد لا حصر له من الفضاءات الخيالية المختلفة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن كل هذه الأشكال الهندسية هي تفسيرات للهندسة الإقليدية وتستند إلى الطريقة البديهية التي استخدمها إقليدس لأول مرة.

  وبناءً على الأبحاث، تم تطوير الطريقة البديهية واستخدامها على نطاق واسع. وكحالة خاصة لتطبيق هذه الطريقة هي طريقة الآثار في القياس المجسم، والتي تسمح بحل مشاكل بناء المقاطع في متعددات الوجوه وبعض المشاكل الموضعية الأخرى.

  الطريقة البديهية، التي تم تطويرها لأول مرة في الهندسة، أصبحت الآن أداة مهمة للدراسة في فروع أخرى من الرياضيات والفيزياء والميكانيكا. يجري العمل حاليًا لتحسين ودراسة الطريقة البديهية لبناء النظرية بشكل أعمق.

  تتمثل الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية في عزل المفاهيم الأساسية، وصياغة بديهيات النظريات، ويتم استنتاج جميع العبارات الأخرى منطقيا، بناء عليها. ومن المعلوم أنه يجب شرح مفهوم واحد بمساعدة مفهوم آخر، والذي بدوره يتم تعريفه أيضًا بمساعدة بعض المفاهيم المعروفة. وهكذا نصل إلى مفاهيم أولية لا يمكن تعريفها من خلال الآخرين. وتسمى هذه المفاهيم الأساسية.

  عندما نثبت عبارة أو نظرية، فإننا نعتمد على مقدمات تعتبر مثبتة بالفعل. لكن هذه المقدمات تم إثباتها أيضًا؛ وفي النهاية نصل إلى أقوال غير قابلة للإثبات ونقبلها دون دليل. تسمى هذه العبارات البديهيات. يجب أن تكون مجموعة البديهيات بحيث يمكن، بناءً عليها، إثبات المزيد من العبارات.

  وبعد تحديد المفاهيم الأساسية وصياغة البديهيات، نقوم بعد ذلك باستخلاص النظريات والمفاهيم الأخرى بطريقة منطقية. هذا هو الهيكل المنطقي للهندسة. البديهيات والمفاهيم الأساسية تشكل أسس علم القياس.

  وبما أنه من المستحيل إعطاء تعريف واحد للمفاهيم الأساسية لجميع الأشكال الهندسية، فيجب تعريف المفاهيم الأساسية للهندسة على أنها كائنات من أي طبيعة تلبي بديهيات هذه الهندسة. وهكذا، في البناء البديهي للنظام الهندسي، نبدأ من نظام معين من البديهيات، أو البديهيات. تصف هذه البديهيات خصائص المفاهيم الأساسية للنظام الهندسي، ويمكننا تمثيل المفاهيم الأساسية على شكل كائنات من أي طبيعة كانت لها الخصائص المحددة في البديهيات.

  بعد صياغة وإثبات العبارات الهندسية الأولى، يصبح من الممكن إثبات بعض العبارات (النظريات) بمساعدة غيرها. تُنسب أدلة العديد من النظريات إلى فيثاغورس وديموقريطس.

  يرجع الفضل إلى أبقراط خيوس في تجميع أول دورة منهجية في الهندسة بناءً على التعريفات والبديهيات. هذه الدورة ومعالجاتها اللاحقة كانت تسمى "العناصر".

  الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية

• يعد إنشاء الطريقة الاستنتاجية أو البديهية لبناء العلم أحد أعظم إنجازات الفكر الرياضي. لقد تطلب الأمر عمل أجيال عديدة من العلماء.

  من السمات الرائعة لنظام العرض الاستنتاجي بساطة هذا الهيكل، مما يسمح بوصفه في بضع كلمات.

  يتلخص النظام الاستنتاجي للعرض في:

  1) إلى قائمة المفاهيم الأساسية،

  2) لعرض التعريفات،

  3) لعرض البديهيات،

  4) لعرض النظريات،

  5) لإثبات هذه النظريات.

  البديهية هي قول مقبول بدون دليل.

  النظرية هي بيان يتبع من البديهيات.

  البرهان هو جزء لا يتجزأ من النظام الاستنتاجي؛ وهو المنطق الذي يوضح أن حقيقة العبارة تتبع منطقيًا صحة النظريات أو البديهيات السابقة.

  هناك سؤالان لا يمكن حلهما ضمن النظام الاستنباطي: 1) حول معنى المفاهيم الأساسية، 2) حول حقيقة البديهيات. ولكن هذا لا يعني أن هذه الأسئلة غير قابلة للحل تماما.

  يوضح تاريخ العلوم الطبيعية أن إمكانية البناء البديهي لعلم معين تظهر فقط عند مستوى عالٍ إلى حد ما من تطور هذا العلم، على أساس كمية كبيرة من المواد الواقعية، مما يجعل من الممكن تحديد الأساسيات الأساسية بوضوح الروابط والعلاقات الموجودة بين الأشياء التي يدرسها هذا العلم.

  مثال على البناء البديهي للعلوم الرياضية هو الهندسة الأولية. تم وضع نظام البديهيات الهندسية من قبل إقليدس (حوالي 300 قبل الميلاد) في كتاب "المبادئ"، الذي لا مثيل له في أهميته. وقد تم الحفاظ على هذا النظام في سماته الرئيسية حتى يومنا هذا.

  المفاهيم الأساسية: النقطة، الخط المستقيم، المستوى، الصور الأساسية؛ تقع بين، تنتمي، الحركة.

  تحتوي الهندسة الأولية على 13 بديهية، مقسمة إلى خمس مجموعات. في المجموعة الخامسة هناك بديهية واحدة حول المتوازيات (المسلمة الإقليدية V): من خلال نقطة على المستوى يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط لا يتقاطع مع الخط المحدد. هذه هي البديهية الوحيدة التي تتطلب إثباتا. محاولات إثبات المسلمة الخامسة شغلت علماء الرياضيات لأكثر من ألفي عام، حتى النصف الأول من القرن التاسع عشر، أي. حتى اللحظة التي أثبت فيها نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي في أعماله اليأس التام لهذه المحاولات. حاليًا، يعد عدم إمكانية إثبات الافتراض الخامس حقيقة رياضية مثبتة بدقة.

  بديهية حول التوازي N.I. استبدلها لوباتشيفسكي بالبديهية: دع الخط المستقيم ونقطة تقع خارج الخط المستقيم تُعطى في مستوى معين. ومن خلال هذه النقطة يمكن رسم خطين متوازيين على الأقل لخط معين.

  من النظام الجديد للبديهيات N.I. استنتج Lobachevsky بدقة منطقية لا تشوبها شائبة نظامًا متناغمًا من النظريات التي تشكل محتوى الهندسة غير الإقليدية. كل من هندسة إقليدس ولوباشيفسكي، كنظامين منطقيين، متساويان.

  توصل ثلاثة علماء رياضيات عظماء في القرن التاسع عشر، في وقت واحد تقريبًا، بشكل مستقل عن بعضهم البعض، إلى نفس النتائج المتمثلة في عدم إمكانية إثبات الافتراض الخامس وإنشاء هندسة غير إقليدية.

  نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي (1792-1856)

  كارل فريدريش غاوس (1777-1855)

  يانوس بولياي (1802-1860)

  إثبات رياضي

• الطريقة الرئيسية في البحث الرياضي هي الإثبات الرياضي - التفكير المنطقي الصارم. بسبب الضرورة الموضوعية، يقول العضو المراسل في الأكاديمية الروسية للعلوم L.D Kudryavtsev L.D - الرياضيات الحديثة وتدريسها، موسكو، ناوكا، 1985، الاستدلال المنطقي (الذي بطبيعته، إذا كان صحيحا، صارم) يمثل طريقة الرياضيات، وبدونها لا يمكن تصور الرياضيات. وتجدر الإشارة إلى أن التفكير الرياضي لا يقتصر على التفكير المنطقي. لصياغة مشكلة بشكل صحيح، وتقييم بياناتها، وتحديد الأساسيات واختيار طريقة لحلها، يحتاج المرء أيضًا إلى الحدس الرياضي، الذي يسمح للمرء بالتنبؤ بالنتيجة المرجوة قبل الحصول عليها، وتحديد مسار الحل. البحث باستخدام المنطق المعقول. لكن صحة الحقيقة قيد البحث لا يتم إثباتها عن طريق اختبارها على عدد من الأمثلة، ولا عن طريق إجراء عدد من التجارب (التي تلعب في حد ذاتها دورا كبيرا في البحث الرياضي)، بل يتم إثباتها بطريقة منطقية بحتة، وفقا لـ قوانين المنطق الرسمي.

  ويعتقد أن البرهان الرياضي هو الحقيقة المطلقة. فالقرار المبني على المنطق البحت لا يمكن أن يكون خاطئا. ولكن مع تطور العلم، أصبحت المهام التي تواجه علماء الرياضيات معقدة بشكل متزايد.

  تعتقد كيت ديفلين من جامعة ستانفورد في كاليفورنيا بالولايات المتحدة الأمريكية: "لقد دخلنا عصرًا أصبحت فيه الأجهزة الرياضية معقدة ومرهقة للغاية لدرجة أنه لم يعد من الممكن للوهلة الأولى تحديد ما إذا كانت المشكلة التي نواجهها صحيحة أم لا". ويستشهد كمثال بـ "تصنيف المجموعات المحدودة البسيطة"، الذي تمت صياغته في عام 1980، ولكن لم يتم تقديم دليل دقيق كامل بعد. على الأرجح، النظرية صحيحة، ولكن من المستحيل أن نقول على وجه اليقين.

  لا يمكن أيضًا وصف حل الكمبيوتر بأنه دقيق، لأن مثل هذه الحسابات تحتوي دائمًا على خطأ. في عام 1998، اقترح هايلز حلاً حاسوبيًا لنظرية كيبلر، والتي تمت صياغتها في عام 1611. تصف هذه النظرية التعبئة الأكثر كثافة للكرات في الفضاء. تم تقديم الدليل في 300 صفحة ويحتوي على 40 ألف سطر من كود الآلة. وقام 12 مراجعًا بفحص الحل لمدة عام، لكنهم لم يحققوا ثقة بنسبة 100% في صحة الأدلة، وتم إرسال الدراسة للمراجعة. ونتيجة لذلك، لم يتم نشره إلا بعد أربع سنوات ودون الحصول على شهادة كاملة من المراجعين.

  يتم إجراء جميع الحسابات الحديثة للمسائل التطبيقية على جهاز كمبيوتر، ولكن العلماء يعتقدون أنه لمزيد من الموثوقية، ينبغي تقديم الحسابات الرياضية دون أخطاء.

  تم تطوير نظرية الأدلة في المنطق وتتضمن ثلاثة مكونات هيكلية: الأطروحة (ما يفترض إثباته)، والحجج (مجموعة من الحقائق، والمفاهيم المقبولة عمومًا، والقوانين، وما إلى ذلك من العلوم المقابلة) والبرهان (إجراءات إثبات الأدلة). تطوير الدليل نفسه؛ سلسلة متسلسلة من الاستدلالات عندما يصبح الاستنتاج n أحد مقدمات الاستنتاج n + 1). يتم تسليط الضوء على قواعد الإثبات والإشارة إلى الأخطاء المنطقية المحتملة.

  هناك الكثير من القواسم المشتركة بين البرهان الرياضي والمبادئ التي وضعها المنطق الرسمي. علاوة على ذلك، من الواضح أن القواعد الرياضية للاستدلال والعمليات كانت بمثابة أحد الأسس في تطوير إجراءات الإثبات في المنطق. على وجه الخصوص، يعتقد الباحثون في تاريخ تكوين المنطق الرسمي أنه في وقت واحد، عندما اتخذ أرسطو الخطوات الأولى لإنشاء قوانين وقواعد المنطق، التفت إلى الرياضيات وممارسة النشاط القانوني. وجد في هذه المصادر مادة للبناء المنطقي لنظريته المخططة.

  في القرن العشرين، فقد مفهوم الإثبات معناه الصارم، والذي حدث فيما يتعلق باكتشاف المفارقات المنطقية المخبأة في نظرية المجموعات وخاصة فيما يتعلق بالنتائج التي جلبتها نظريات K. Gödel حول عدم اكتمال الصياغة.

  بادئ ذي بدء، أثر هذا على الرياضيات نفسها، حيث تم التعبير عن الاعتقاد بأن مصطلح "الدليل" ليس له تعريف دقيق. ولكن إذا كان هذا الرأي (الذي لا يزال موجودا اليوم) يؤثر على الرياضيات نفسها، فقد توصلوا إلى استنتاج مفاده أن الدليل يجب أن يقبل ليس بالمعنى الرياضي المنطقي، ولكن بالمعنى النفسي. علاوة على ذلك، تم العثور على وجهة نظر مماثلة عند أرسطو نفسه، الذي اعتقد أن الإثبات يعني تنفيذ المنطق الذي من شأنه أن يقنعنا إلى حد أننا باستخدامه نقنع الآخرين بصحة شيء ما. نجد ظلًا معينًا من النهج النفسي في A. E. Yesenin-Volpin. وهو يعارض بشدة قبول الحقيقة دون دليل، ويربط ذلك بفعل الإيمان، ويكتب أيضًا: "إنني أسمي إثبات الحكم استقبالًا صادقًا يجعل هذا الحكم لا يمكن إنكاره". يذكر Yesenin-Volpin أن تعريفه لا يزال بحاجة إلى توضيح. وفي الوقت نفسه، ألا يكشف توصيف الأدلة بأنها "استقبال صادق" عن جاذبية التقييم الأخلاقي والنفسي؟

  وفي الوقت نفسه، ساهم اكتشاف مفارقات نظرية المجموعات وظهور نظريات جودل في تطوير نظرية الإثبات الرياضي التي قام بها الحدسيون، وخاصة الاتجاه البنائي، ود. هيلبرت.

  يُعتقد أحيانًا أن البرهان الرياضي عالمي بطبيعته ويمثل نسخة مثالية من البرهان العلمي. ومع ذلك، فهي ليست الطريقة الوحيدة؛ فهناك طرق أخرى للإجراءات والعمليات القائمة على الأدلة. صحيح أن البرهان الرياضي له العديد من أوجه التشابه مع البرهان المنطقي الشكلي المطبق في العلوم الطبيعية، وأن البرهان الرياضي له خصوصية معينة، بالإضافة إلى مجموعة من التقنيات والعمليات. سنتوقف عند هذا الحد، مع حذف السمات المشتركة التي تجعله مشابهًا لأشكال الإثبات الأخرى، أي دون توسيع الخوارزمية والقواعد والأخطاء وما إلى ذلك في جميع الخطوات (حتى الرئيسية). عملية إثبات.

  البرهان الرياضي هو المنطق الذي تتمثل مهمته في إثبات الحقيقة (بالطبع، بالمعنى الرياضي، أي بمعنى يمكن استنتاجه) لأي عبارة.

  تشكلت مجموعة القواعد المستخدمة في الإثبات مع ظهور الإنشاءات البديهية للنظرية الرياضية. وقد تحقق ذلك بشكل واضح وكامل في هندسة إقليدس. أصبحت "المبادئ" الخاصة به نوعًا من المعيار النموذجي للتنظيم البديهي للمعرفة الرياضية، وظلت كذلك بالنسبة لعلماء الرياضيات لفترة طويلة.

  يجب أن تضمن البيانات المقدمة في شكل تسلسل معين استنتاجًا يعتبر مثبتًا وفقًا لقواعد العملية المنطقية. ولا بد من التأكيد على أن الاستدلال المعين هو دليل فقط على نظام بديهي معين.

  عند وصف برهان رياضي، يتم تمييز ميزتين رئيسيتين. بادئ ذي بدء، يستبعد الدليل الرياضي أي إشارة إلى الأدلة التجريبية. يتم تنفيذ الإجراء الكامل لتبرير حقيقة الاستنتاج في إطار البديهيات المقبولة. ويؤكد الأكاديمي أ.د.ألكساندروف في هذا الصدد. يمكنك قياس زوايا المثلث آلاف المرات والتأكد من أنها تساوي 2d. لكن لا يمكنك إثبات أي شيء بالرياضيات. ويمكنك إثبات ذلك له إذا استنتجت العبارة أعلاه من البديهيات. دعونا نكرر. هنا الرياضيات قريبة من أساليب المدرسية، والتي ترفض أيضًا بشكل أساسي الحجج القائمة على الحقائق المعطاة تجريبيًا.

  على سبيل المثال، عندما تم اكتشاف عدم قابلية القياس للقطاعات، عند إثبات هذه النظرية، تم استبعاد اللجوء إلى التجربة الفيزيائية، لأنه أولاً، مفهوم "عدم القابلية للقياس" ذاته يخلو من المعنى المادي، وثانيًا، لا يستطيع علماء الرياضيات، عند التعامل مع التجريد، لجذب المساعدة من الامتدادات المادية الملموسة، والتي تقاس بالطرق الحسية والبصرية. تم إثبات عدم قابلية القياس، على وجه الخصوص، لجوانب وأقطار المربع بناءً على خاصية الأعداد الصحيحة باستخدام نظرية فيثاغورس حول مساواة مربع الوتر (على التوالي، القطر) بمجموع مربعات الأرجل (ضلعي المثلث الأيمن). أو عندما سعى Lobachevsky إلى تأكيد هندسته، والتحول إلى نتائج الملاحظات الفلكية، تم تنفيذ هذا التأكيد من قبله عن طريق طبيعة تخمينية بحتة. كما أظهرت تفسيرات الهندسة غير الإقليدية التي أجراها كايلي كلاين وبيلترامي أشياء رياضية وليست مادية.

  أما السمة الثانية للبرهان الرياضي فهو تجريده الأقصى، حيث يختلف فيه عن إجراءات البرهان في العلوم الأخرى. ومرة أخرى، كما هو الحال مع مفهوم كائن رياضي، نحن لا نتحدث فقط عن درجة التجريد، ولكن عن طبيعته. والحقيقة هي أن الأدلة تصل أيضا إلى مستوى عال من التجريد في عدد من العلوم الأخرى، على سبيل المثال، في الفيزياء وعلم الكونيات، وبالطبع، في الفلسفة، لأن موضوع الأخير هو المشاكل النهائية للوجود والتفكير. تتميز الرياضيات بحقيقة أن المتغيرات تعمل هنا، ومعنى ذلك هو التجريد من أي خصائص محددة. دعونا نتذكر أن المتغيرات، بحكم تعريفها، هي علامات ليس لها معاني في حد ذاتها، ولا تكتسب هذه الأخيرة إلا عند استبدالها بأسماء كائنات معينة (المتغيرات الفردية) أو عند الإشارة إلى خصائص وعلاقات محددة (المتغيرات الأصلية)، أو، وأخيرًا، في حالات استبدال متغير بعبارة ذات معنى (متغير افتراضي).

  وتحدد هذه الخاصية طبيعة التجريد الشديد للعلامات المستخدمة في البرهان الرياضي، وكذلك العبارات التي تتحول، بسبب إدراج المتغيرات في بنيتها، إلى دوال عبارات.

  إن إجراء الإثبات نفسه، والذي تم تعريفه في المنطق على أنه عرض، يعتمد على قواعد الاستدلال، التي بناءً عليها يتم الانتقال من عبارة مثبتة إلى أخرى، مما يشكل سلسلة متتالية من الاستدلالات. الأكثر شيوعًا هما القاعدتان (الاستبدال والاستدلال) ونظرية الاستنباط.

  قاعدة الاستبدال. في الرياضيات، يتم تعريف الاستبدال على أنه استبدال كل عنصر من العناصر a من مجموعة معينة ببعض العناصر الأخرى F (a) من نفس المجموعة. في المنطق الرياضي، يتم صياغة قاعدة الاستبدال على النحو التالي. إذا كانت الصيغة الحقيقية M في حساب التفاضل والتكامل الافتراضي تحتوي على حرف، على سبيل المثال A، فمن خلال استبدالها أينما وردت بحرف عشوائي D، نحصل على صيغة صحيحة مثل الصيغة الأصلية. وهذا ممكن ومقبول على وجه التحديد لأنه في حساب العبارات يتم تجريد معنى العبارات (الصيغ)... فقط المعاني "صحيح" أو "خطأ". على سبيل المثال، في الصيغة M: A--> (BUA)، بدلاً من A، نستبدل التعبير (AUB)، ونتيجة لذلك نحصل على صيغة جديدة (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  تتوافق قاعدة استخلاص النتائج مع بنية القياس المنطقي القاطع المشروط (الوضع الإيجابي) في المنطق الرسمي. تبدو هكذا:

  أ .

  العبارة (أ-> ب) مذكورة، ومعطى أيضًا. وهذا يعني ب.

  على سبيل المثال: إذا هطل المطر، كان الرصيف رطباً، فمطر (أ)، فيكون الرصيف رطباً (ب). في المنطق الرياضي، يتم كتابة هذا القياس المنطقي على النحو التالي (أ-> ب) أ-> ب.

  يتم تحديد الاستدلال، كقاعدة عامة، من خلال تقسيمات ضمنا. وإذا ورد ضمنا (أ-> ب) ومقدمه (أ)، فيحق لنا أن نضيف إلى الحجة (البرهان) ما يترتب على هذا الاستدلال (ب). إن القياس المنطقي ذو طبيعة إلزامية، ويشكل ترسانة من وسائل الإثبات الاستنتاجية، أي أنه يفي تمامًا بمتطلبات التفكير الرياضي.

  تلعب نظرية الاستنباط دورًا رئيسيًا في البرهان الرياضي - وهو اسم عام لعدد من النظريات، والتي تتيح إجراءاتها إثبات إمكانية إثبات التضمين: A-> B، عندما يكون هناك اشتقاق منطقي للصيغة B من الصيغة A. في النسخة الأكثر شيوعًا من حساب التفاضل والتكامل الافتراضي (في الرياضيات الكلاسيكية والحدسية وغيرها من أنواع الرياضيات) تنص نظرية الاستنباط على ما يلي. إذا تم إعطاء نظام من المباني G والمقدمة A، والذي يمكن من خلاله، وفقًا للقواعد، استنتاج B Г، A B (علامة الاشتقاق)، فإنه يترتب على ذلك أنه من المباني G فقط يمكن الحصول على الجملة أ--> ب.

  لقد نظرنا إلى النوع الذي يعتبر دليلاً مباشراً. وفي الوقت نفسه، يتم أيضًا استخدام ما يسمى بالأدلة غير المباشرة في المنطق؛ وهناك أدلة غير مباشرة تتكشف وفقًا للمخطط التالي. عدم وجود، بسبب عدد من الأسباب (عدم إمكانية الوصول إلى موضوع البحث، وفقدان واقع وجوده، وما إلى ذلك) الفرصة لإجراء دليل مباشر على حقيقة أي عبارة أو أطروحة، فإنهم يبنون نقيضًا. إنهم مقتنعون بأن التناقض يؤدي إلى التناقضات، وبالتالي فهو خاطئ. ومن ثم، ومن حقيقة كذب التناقض، يتم الاستنتاج - على أساس قانون الوسط المستثنى (أ ت) - حول صحة الأطروحة.

  في الرياضيات، يتم استخدام أحد أشكال البرهان غير المباشر على نطاق واسع - البرهان بالتناقض. إنها ذات قيمة خاصة، وفي الواقع، لا غنى عنها في قبول المفاهيم والأحكام الأساسية للرياضيات، على سبيل المثال، مفهوم اللانهاية الفعلية، والذي لا يمكن تقديمه بأي طريقة أخرى.

  يتم تقديم عملية البرهان بالتناقض في المنطق الرياضي على النحو التالي. بالنظر إلى سلسلة من الصيغ G ونفي A (G , A). إذا كان هذا يتضمن B ونفيه (G، A B، وليس B)، فيمكننا أن نستنتج أن حقيقة A تتبع من تسلسل الصيغ G. وبعبارة أخرى، فإن حقيقة الأطروحة تتبع زيف التناقض .

  مراجع:

• 1. N.Sh. كريمر، B.A. بوتكو، آي إم تريشين، إم إن فريدمان، الرياضيات العليا للاقتصاديين، كتاب مدرسي، موسكو، 2002؛

  2. ل.د. كودريافتسيف، الرياضيات الحديثة وتدريسها، موسكو، ناوكا، 1985؛

  3. أو.آي.لاريشيف، النماذج الموضوعية والقرارات الذاتية، موسكو، ناوكا، 1987؛

  4. أ.يا.هالامايزر، "الرياضيات؟ - مضحك!"، منشورات المؤلف، 1989؛

  5. بي كيه راشيفسكي، الهندسة الريمانية وتحليل الموتر، موسكو، الطبعة الثالثة، 1967؛

  6. في. إي. جمورمان، نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، موسكو، المدرسة العليا، 1977؛

  7. شبكة الإنترنت العالمية.

الرياضيات، باعتبارها علم العلاقات الكمية والأشكال المكانية للواقع، تدرس العالم من حولنا والظواهر الطبيعية والاجتماعية. ولكن على عكس العلوم الأخرى، تدرس الرياضيات خصائصها الخاصة، وتجريدها من الآخرين. وهكذا فإن الهندسة تدرس شكل وحجم الأشياء، دون الأخذ بعين الاعتبار خصائصها الأخرى: اللون، الكتلة، الصلابة، الخ. بشكل عام، الأشياء الرياضية (الشكل الهندسي، العدد، الحجم) يتم إنشاؤها بواسطة العقل البشري ولا توجد إلا في التفكير البشري، في العلامات والرموز التي تشكل اللغة الرياضية.

الطبيعة المجردة للرياضيات تسمح بتطبيقها في مجموعة واسعة من المجالات، وهي أداة قوية لفهم الطبيعة.

تنقسم أشكال الإدراك إلى مجموعتين.

المجموعة الأولىتشكل أشكالًا من الإدراك الحسي، يتم تنفيذها بمساعدة الحواس المختلفة: الرؤية، والسمع، والشم، واللمس، والتذوق.

شركة المجموعة الثانيةوتشمل أشكال التفكير المجرد، في المقام الأول المفاهيم والبيانات والاستدلالات.

أشكال المعرفة الحسية هي يشعر, تصورو التمثيل.

كل كائن ليس لديه خصائص واحدة، ولكن العديد من الخصائص، ونحن نعرفها من خلال الأحاسيس.

إحساس- هذا انعكاس للخصائص الفردية للأشياء أو ظواهر العالم المادي، والتي تؤثر بشكل مباشر (أي الآن، في الوقت الحالي) على حواسنا. هذه هي الأحاسيس باللون الأحمر والدافئ والمستدير والأخضر والحلو والسلس وغيرها من الخصائص الفردية للأشياء [Getmanova، p. 7].

الأحاسيس الفردية تشكل تصور الكائن بأكمله. على سبيل المثال، يتكون إدراك التفاحة من الأحاسيس التالية: كروية، حمراء، حلوة حامضة، عطرية، إلخ.

تصورهو انعكاس كلي لجسم مادي خارجي يؤثر بشكل مباشر على حواسنا [Getmanova، p. 8]. على سبيل المثال، صورة طبق، كوب، ملعقة، أواني أخرى؛ صورة النهر إذا كنا نطفو الآن على طوله أو على ضفته؛ صورة الغابة، إذا وصلنا الآن إلى الغابة، وما إلى ذلك.

فالتصورات، على الرغم من أنها انعكاس حسي للواقع في أذهاننا، إلا أنها تعتمد إلى حد كبير على التجربة الإنسانية. على سبيل المثال، سوف يرى عالم الأحياء المرج بطريقة واحدة (سيرى أنواعًا مختلفة من النباتات)، لكن السائح أو الفنان سيرى ذلك بطريقة مختلفة تمامًا.

أداء- هذه صورة حسية لكائن لا ندركه حاليًا، ولكننا كنا ندركه سابقًا بشكل أو بآخر [Getmanova، p. 10]. على سبيل المثال، يمكننا أن نتخيل بصريًا وجوه الأصدقاء، أو غرفتنا في المنزل، أو شجرة البتولا أو الفطر. هذه أمثلة التكاثرالتمثيلات، منذ رأينا هذه الأشياء.

قد يكون العرض التقديمي مبدع، مشتمل رائع. نقدم الأميرة سوان الجميلة، أو القيصر سلطان، أو الديك الذهبي، والعديد من الشخصيات الأخرى من حكايات أ.س. بوشكين الذي لم نره ولن نراه أبدًا. هذه أمثلة للتمثيل الإبداعي المبني على الوصف اللفظي. نتخيل أيضًا Snow Maiden، الأب فروست، حورية البحر، إلخ.

لذا فإن أشكال المعرفة الحسية هي الأحاسيس والإدراكات والأفكار. بمساعدتهم، نتعلم الجوانب الخارجية للكائن (علاماته، بما في ذلك الخصائص).

أشكال التفكير المجرد هي المفاهيم والبيانات والاستدلالات.

المفاهيم. نطاق ومحتوى المفاهيم

يستخدم مصطلح "المفهوم" عادة للإشارة إلى فئة كاملة من الأشياء ذات الطبيعة التعسفية التي لها خاصية مميزة (مميزة، أساسية) أو مجموعة كاملة من هذه الخصائص، أي. الخصائص المتأصلة فقط في عناصر هذه الفئة.

من وجهة نظر المنطق، المفهوم هو شكل خاص من أشكال التفكير، والذي يتميز بما يلي: 1) المفهوم هو نتاج مادة شديدة التنظيم؛ 2) المفهوم يعكس العالم المادي؛ 3) يظهر المفهوم في الوعي كوسيلة للتعميم؛ 4) المفهوم يعني على وجه التحديد النشاط البشري؛ 5) أن تكوين المفهوم في ذهن الإنسان لا ينفصل عن التعبير عنه بالكلام أو الكتابة أو الرمز.

كيف ينشأ مفهوم أي كائن من الواقع في وعينا؟

إن عملية تكوين مفهوم معين هي عملية تدريجية يمكن أن نشاهد فيها عدة مراحل متتالية. دعونا نفكر في هذه العملية باستخدام أبسط مثال - تكوين مفهوم الرقم 3 لدى الأطفال.

1. في المرحلة الأولى من الإدراك، يتعرف الأطفال على مجموعات ملموسة مختلفة، وذلك باستخدام صور الكائنات وإظهار مجموعات مختلفة من ثلاثة عناصر (ثلاثة تفاحات، ثلاثة كتب، ثلاثة أقلام رصاص، وما إلى ذلك). لا يرى الأطفال كل مجموعة من هذه المجموعات فحسب، بل يمكنهم أيضًا لمس (لمس) الكائنات التي تشكل هذه المجموعات. إن عملية "الرؤية" هذه تخلق في ذهن الطفل شكلاً خاصًا من انعكاس الواقع يسمى الإدراك (الإحساس).

2. دعونا نزيل الأشياء (المواضيع) التي تشكل كل مجموعة، وندعو الأطفال إلى تحديد ما إذا كان هناك شيء مشترك يميز كل مجموعة. عدد الأشياء في كل مجموعة، وحقيقة وجود "ثلاثة" في كل مكان، كان ينبغي أن تنطبع في أذهان الأطفال. إذا كان الأمر كذلك، فقد تم إنشاء شكل جديد في أذهان الأطفال - فكرة الرقم "ثلاثة".

3. في المرحلة التالية، بناء على تجربة فكرية، يجب أن يرى الأطفال أن الخاصية المعبر عنها في كلمة "ثلاثة" تميز أي مجموعة من العناصر المختلفة للنموذج (أ؛ ب؛ ج). سيسلط هذا الضوء على سمة مشتركة أساسية لهذه المجموعات: "أن يكون لديه ثلاثة عناصر."الآن يمكننا أن نقول أنه يتشكل في أذهان الأطفال مفهوم الرقم 3

مفهوم- هذا شكل خاص من أشكال التفكير يعكس الخصائص الأساسية (المميزة) للأشياء أو الأشياء قيد الدراسة.

الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة أو مجموعة كلمات. على سبيل المثال، "مثلث"، "رقم ثلاثة"، "نقطة"، "خط مستقيم"، "مثلث متساوي الساقين"، "نبات"، "شجرة صنوبرية"، "نهر ينيسي"، "طاولة"، إلخ.

المفاهيم الرياضية لديها عدد من الميزات. الشيء الرئيسي هو أن الأشياء الرياضية التي من الضروري صياغة مفهوم عنها غير موجودة في الواقع. الأشياء الرياضية يتم إنشاؤها بواسطة العقل البشري. هذه كائنات مثالية تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال، في الهندسة يدرسون شكل وحجم الأشياء دون مراعاة خصائصها الأخرى: اللون والكتلة والصلابة وما إلى ذلك. إنهم مشتتون عن كل هذا، مجردين. لذلك، في الهندسة، بدلا من كلمة "كائن" يقولون "الشكل الهندسي". ونتيجة التجريد هي مفاهيم رياضية مثل "العدد" و"الحجم".

الخصائص الرئيسيةأي المفاهيم هيما يلي: 1) مقدار; 2) محتوى; 3) العلاقات بين المفاهيم.

عند الحديث عن مفهوم رياضي، فإنهم عادةً ما يقصدون المجموعة الكاملة (مجموعة) من الكائنات التي يُشار إليها بمصطلح واحد (كلمة أو مجموعة كلمات). لذا، عند الحديث عن المربع، فإننا نعني جميع الأشكال الهندسية التي هي مربعات. ويعتقد أن مجموعة جميع المربعات تشكل نطاق مفهوم "المربع".

نطاق المفهوميشير إلى مجموعة الأشياء أو العناصر التي ينطبق عليها هذا المفهوم.

على سبيل المثال، 1) نطاق مفهوم "متوازي الأضلاع" هو مجموعة الأشكال الرباعية مثل متوازيات الأضلاع نفسها، والمعينات، والمستطيلات، والمربعات؛ 2) نطاق مفهوم "العدد الطبيعي المكون من رقم واحد" سيكون المجموعة - (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9).

أي كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال، للمربع أربعة جوانب، وأربع زوايا قائمة، وأقطار متساوية، ويتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع. يمكنك تحديد خصائصه الأخرى، ولكن من بين خصائص الكائن هناك ضروري (مميز)و تافهة.

العقار يسمى بارِز (مميز) لكائن، إذا كان ملازما لهذا الكائن وبدونه لا يمكن أن يوجد؛ يسمى العقار تافهة للكائن إذا كان يمكن أن يوجد بدونه.

على سبيل المثال، بالنسبة للمربع فإن جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية. خاصية "الجانب AD أفقي" لن تكون مهمة بالنسبة للمربع ABCD (الشكل 1). إذا تم تدوير هذا المربع، فسيكون الجانب AD عموديًا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لمرحلة ما قبل المدرسة باستخدام المواد المرئية (الشكل 2):

وصف هذا الرقم.

مثلث أسود صغير. أرز. 2

مثلث أبيض كبير.

كيف تتشابه الأرقام؟

كيف تختلف الأرقام؟

اللون والحجم.

ماذا لديه مثلث؟

3 جوانب، 3 زوايا.

وهكذا، يتعلم الأطفال الخصائص الأساسية وغير الأساسية لمفهوم "المثلث". الخصائص الأساسية هي "أن يكون له ثلاثة جوانب وثلاث زوايا"، والخصائص غير الأساسية هي اللون والحجم.

تسمى مجموعة جميع الخصائص الأساسية (المميزة) لكائن أو عنصر تنعكس في مفهوم معين محتوى المفهوم .

على سبيل المثال، بالنسبة لمفهوم "متوازي الأضلاع"، فإن المحتوى عبارة عن مجموعة من الخصائص: له أربعة جوانب، وله أربع زوايا، والأضلاع المتقابلة متوازية بشكل زوجي، والأضلاع المتقابلة متساوية، والزوايا المتقابلة متساوية، والأقطار عند نقاط التقاطع مقسمة إلى نصفين .

هناك علاقة بين حجم المفهوم ومحتواه: إذا زاد حجم المفهوم، انخفض محتواه، والعكس صحيح. لذلك، على سبيل المثال، نطاق مفهوم "مثلث متساوي الساقين" هو جزء من نطاق مفهوم "مثلث"، ومحتوى مفهوم "مثلث متساوي الساقين" يتضمن خصائص أكثر من محتوى مفهوم "مثلث"، لأن لا يحتوي المثلث المتساوي الساقين على جميع خصائص المثلث فحسب، بل يحتوي أيضًا على خصائص أخرى متأصلة فقط في المثلثات المتساوية الساقين ("الضلعان متساويان"، "زاويتان متساويتان"، "متوسطان متساويان"، وما إلى ذلك).

حسب النطاق، يتم تقسيم المفاهيم إلى أعزب، عامو فئات.

يسمى المفهوم الذي حجمه يساوي 1 مفهوم واحد .

على سبيل المثال، المفاهيم: "نهر ينيسي"، "جمهورية توفا"، "مدينة موسكو".

تسمى المفاهيم التي حجمها أكبر من 1 عام .

على سبيل المثال، المفاهيم: "المدينة"، "النهر"، "الرباعي"، "الرقم"، "المضلع"، "المعادلة".

في عملية دراسة أساسيات أي علم، يشكل الأطفال بشكل أساسي مفاهيم عامة. على سبيل المثال، في المدرسة الابتدائية، يصبح الطلاب على دراية بمفاهيم مثل "الرقم"، و"العدد"، و"الأعداد المكونة من رقم واحد"، و"الأعداد المكونة من رقمين"، و"الأرقام المتعددة الأرقام"، و"الكسر"، و"الكسر". ، "جمع"، "إضافة"، "مجموع"، "طرح"، "مطروح"، "مطرح"، "فرق"، "ضرب"، "مضاعف"، "منتج"، "قسمة"، "أرباح"، " المقسوم عليه، "الحاصل"، "الكرة"، "الأسطوانة"، "المخروط"، "المكعب"، "متوازي الأضلاع"، "الهرم"، "الزاوية"، "المثلث"، "الرباعي"، "المربع"، "المستطيل" ، "المضلع"، "الدائرة"، "الدائرة"، "المنحنى"، "الخط المتقطع"، "القطعة"، "طول القطعة"، "الشعاع"، "الخط المستقيم"، "النقطة"، "الطول"، "العرض" "، "الارتفاع"، "المحيط"، "مساحة الشكل"، "الحجم"، "الوقت"، "السرعة"، "الكتلة"، "السعر"، "التكلفة" وغيرها الكثير. كل هذه المفاهيم هي مفاهيم عامة.

الرياضيات 1. من أين أتت كلمة الرياضيات 2. من اخترع الرياضيات؟ 3. المواضيع الرئيسية. 4. التعريف 5. أصل الكلمة إلى الشريحة الأخيرة.

من أين أتت الكلمة (انتقل إلى الشريحة السابقة) الرياضيات من اليونانية - دراسة، علم) - علم الهياكل والنظام والعلاقات، تم تطويره تاريخيًا على أساس عمليات العد والقياس ووصف أشكال الأشياء. يتم إنشاء الكائنات الرياضية عن طريق إضفاء المثالية على خصائص الكائنات الحقيقية أو غيرها من الكائنات الرياضية وكتابة هذه الخصائص بلغة رسمية.

من اخترع الرياضيات (اذهب إلى القائمة) يُدعى عادةً طاليس ميليتس، أول عالم رياضيات، والذي عاش في القرن السادس. قبل الميلاد ه. ، أحد ما يسمى بحكماء اليونان السبعة. مهما كان الأمر، كان هو أول من قام ببناء قاعدة المعرفة بأكملها حول هذا الموضوع، والتي تم تشكيلها منذ فترة طويلة داخل حدود العالم المعروف له. ومع ذلك، فإن مؤلف أول أطروحة عن الرياضيات التي وصلت إلينا كان إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد). ويمكن أيضًا أن يُنظر إليه بجدارة على أنه والد هذا العلم.

المواضيع الرئيسية (اذهب إلى القائمة) مجال الرياضيات يشمل فقط تلك العلوم التي يُنظر فيها إما إلى الترتيب أو القياس، ولا يهم على الإطلاق ما إذا كانت هذه أرقام أو أرقام أو نجوم أو أصوات أو أي شيء آخر يوجد فيه هذا القياس . وبالتالي لا بد من وجود نوع من العلوم العامة التي تشرح كل ما يتعلق بالنظام والقياس، دون الدخول في دراسة أي موضوع معين، ويجب أن يسمى هذا العلم ليس أجنبيا، بل الاسم القديم للرياضيات العالمية، الذي جاء بالفعل حيز الاستخدام.

التعريف (اذهب إلى القائمة) يعتمد التحليل الحديث على التحليل الرياضي الكلاسيكي، والذي يعتبر أحد المجالات الرئيسية الثلاثة للرياضيات (إلى جانب الجبر والهندسة). وفي الوقت نفسه، يستخدم مصطلح “التحليل الرياضي” بالمعنى الكلاسيكي بشكل رئيسي في البرامج والمواد التعليمية. في التقليد الأنجلو أمريكي، يتوافق التحليل الرياضي الكلاسيكي مع برامج دراسية تسمى “حساب التفاضل والتكامل”.

أصل الكلمة (اذهب إلى القائمة) كلمة "الرياضيات" تأتي من اللغة اليونانية القديمة. ، والتي تعني الدراسة والمعرفة والعلم وما إلى ذلك. - اليونانية، تعني في الأصل متقبلاً وناجحًا، ثم يتعلق لاحقًا بالدراسة، ثم يتعلق بالرياضيات. وبالتحديد في اللاتينية تعني فن الرياضيات. المصطلح هو يوناني آخر. بالمعنى الحديث لكلمة "الرياضيات" تم العثور عليها بالفعل في أعمال أرسطو (القرن الرابع قبل الميلاد). في النصوص باللغة الروسية، تم العثور على كلمة "الرياضيات" أو "الرياضيات" على الأقل منذ القرن السابع عشر، على سبيل المثال. ، في نيكولاي سبافاري في "كتاب ملخصات مختارة عن ربات الإلهام التسعة والفنون السبعة الحرة" (1672)