مقدمة

الجزء الرئيسي

1. الاستقراء الكامل وغير الكامل

2. مبدأ الاستقراء الرياضي

3. طريقة الاستقراء الرياضي

4. حل الأمثلة

5. المساواة

6. تقسيم الأعداد

7. عدم المساواة

خاتمة

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

الطرق الاستنتاجية والاستقرائية هي أساس أي بحث رياضي. الطريقة الاستنتاجية في الاستدلال هي الاستدلال من العام إلى الخاص ، أي الاستدلال ، ونقطة البداية التي تكون النتيجة العامة ، والنقطة النهائية هي النتيجة الخاصة. يتم تطبيق الاستقراء عند الانتقال من نتائج معينة إلى نتائج عامة ، أي هو عكس الطريقة الاستنتاجية.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى ، نتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا للتقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره بشكل منطقي ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي.

على الرغم من نمو مجال تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، إلا أنه لم يخصص وقتًا طويلاً لها في المناهج المدرسية. حسنًا ، لنفترض أن الشخص المفيد سيحضر من خلال هذين الدرسين أو الثلاثة دروس التي يسمع من خلالها خمس كلمات نظرية ، ويحل خمس مشاكل بدائية ، ونتيجة لذلك ، يحصل على خمسة لأنه لا يعرف شيئًا.

لكن هذا مهم جدًا - أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

الجزء الرئيسي

في معناها الأصلي ، يتم تطبيق كلمة "الاستقراء" على الاستدلال الذي يتم من خلاله الحصول على استنتاجات عامة بناءً على عدد من العبارات الخاصة. إن أبسط طريقة من هذا النوع للتفكير هي الاستقراء الكامل. هنا مثال على هذا المنطق.

دع الأمر مطلوبًا لإثبات أن كل عدد زوجي طبيعي ن ضمن 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

توضح هذه المعادلات التسع أن كل رقم من الأرقام التي تهمنا يتم تمثيله بالفعل على أنه مجموع حدين أوليين.

وبالتالي ، فإن الاستقراء الكامل هو أن البيان العام يتم إثباته بشكل منفصل في كل من عدد محدود من الحالات المحتملة.

في بعض الأحيان يمكن التنبؤ بالنتيجة العامة بعد مراعاة ليس كل شيء ، بل بالأحرى عدد كبير من الحالات الخاصة (ما يسمى الحث غير الكامل).

ومع ذلك ، تظل النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستقراء غير الكامل مجرد فرضية حتى يتم إثباتها من خلال التفكير الرياضي الدقيق ، الذي يغطي جميع الحالات الخاصة. بعبارة أخرى ، لا يعتبر الاستقراء غير المكتمل في الرياضيات طريقة شرعية لإثبات صارم ، ولكنه طريقة قوية لاكتشاف الحقائق الجديدة.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب للعثور على مجموع أول n من الأرقام الفردية المتتالية. ضع في اعتبارك حالات خاصة:

1+3+5+7+9=25=5 2

بعد النظر في هذه الحالات الخاصة القليلة ، فإن الاستنتاج العام التالي يقترح نفسه:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ن 2

أولئك. مجموع أول n من الأعداد الفردية المتتالية هو n 2

بالطبع ، لا يمكن أن تكون الملاحظة التي تم إجراؤها بمثابة دليل على صحة الصيغة المذكورة أعلاه.

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. تغطي العديد من العبارات الرياضية المثيرة للاهتمام عددًا لا حصر له من الحالات الخاصة ، ولا يمكننا اختبار عدد لا حصر له من الحالات. غالبًا ما يؤدي الاستقراء غير الكامل إلى نتائج خاطئة.

في كثير من الحالات ، يكون المخرج من هذا النوع من الصعوبة هو اللجوء إلى طريقة خاصة للتفكير تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. وهي كالاتي.

فليكن من الضروري إثبات صحة عبارة معينة لأي عدد طبيعي n (على سبيل المثال ، من الضروري إثبات أن مجموع أول n من الأرقام الفردية يساوي n 2). من المستحيل التحقق المباشر من هذه العبارة لكل قيمة n ، لأن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية. لإثبات هذه العبارة ، تحقق أولاً من صلاحيتها لـ n = 1. ثم ثبت أنه بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k ، فإن صحة العبارة قيد النظر لـ n = k تعني صلاحيتها لـ n = k + 1 أيضًا.

ثم يعتبر التوكيد مثبتًا للجميع n. في الواقع ، البيان صحيح لـ n = 1. ولكن بعد ذلك يكون صالحًا أيضًا للعدد التالي n = 1 + 1 = 2. صحة التأكيد لـ n = 2 تدل على صلاحيتها لـ n = 2 +

1 = 3. هذا يعني صحة العبارة لـ n = 4 ، وهكذا. من الواضح أننا في النهاية سنصل إلى أي عدد طبيعي n. ومن ثم ، فإن العبارة صحيحة لأي ن.

تلخيصًا لما قيل ، نقوم بصياغة المبدأ العام التالي.

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كانت الجملة أ (ن) حسب العدد الطبيعين، صحيح لن= 1 ومن حقيقة أن هذا صحيحن = ك(أينك- أي رقم طبيعي) ، ويترتب على ذلك أنه ينطبق أيضًا على الرقم التالين = ك + 1، ثم الافتراض أ (ن) صحيح لأي عدد طبيعين.

في عدد من الحالات ، قد يكون من الضروري إثبات صحة بيان معين ليس لجميع الأعداد الطبيعية ، ولكن فقط لـ n> p ، حيث p هو رقم طبيعي ثابت. في هذه الحالة ، تتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي. إذا كانت الجملة أ (ن) صحيح لن = صوإذا كان A (ك) Þ أ(ك + 1)لأي احدك> ص ،ثم الجملة أ (ن)صحيح لأي شخصن> ص.

يتم إثبات طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولاً ، يتم التحقق من التأكيد المراد إثباته لـ n = 1 ، أي ، تم إثبات حقيقة البيان أ (1). يسمى هذا الجزء من الإثبات أساس الاستقراء. يتبع ذلك جزء من الدليل يسمى خطوة الاستقراء. في هذا الجزء ، تم إثبات صحة العبارة لـ n = k + 1 على افتراض أن العبارة صحيحة لـ n = k (افتراض الاستقراء) ، أي إثبات أن A (k) ÞA (k + 1).

مثال 1

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

الحل: 1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك،

العبارة صحيحة لـ n = 1 ، أي أ (1) هو الصحيح.

2) دعنا نثبت أن A (k) ÞA (k + 1).

لنفترض أن k أي عدد طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة من أجل n = k ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) = ك 2.

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك + 1) = (ك + 1) 2.

بالفعل،

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) + (2 ك + 1) = ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي nОN.

مثال 2

اثبت ذلك

1 + x + x 2 + x 3 +… + x n = (x n + 1 -1) / (x-1) ، حيث x¹1

الحل: 1) نحصل على n = 1

1 + س = (س 2 -1) / (س -1) = (س -1) (س + 1) / (س -1) = س + 1

لذلك ، بالنسبة لـ n = 1 الصيغة صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

2) دع k يكون أي عدد طبيعي ودع الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \ u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

دعونا نثبت ذلك ثم المساواة

1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1).

بالفعل

1 + х + х 2 + س 3 + ... + х ك + س ك + 1 = (1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك) + س ك + 1 =

= (س ك + 1 -1) / (س -1) + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1).

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 3

إثبات أن عدد الأقطار المحدبة n-gon هو n (n-3) / 2.

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، تكون العبارة صحيحة

و 3 صحيح ، لأنه في مثلث

 أ 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 أقطار ؛

أ 2 أ (3) هذا صحيح.

2) افترض أن في أي

محدب k-gon has-

A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 قطري.

A k دعنا نثبت ذلك في محدب

(k + 1) -الرقم

الأقطار A k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2.

دعونا А 1 А 2 А 3 ... A k A k + 1 -convex (k + 1) -angle. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. لحساب العدد الإجمالي للأقطار لهذا (k + 1) -gon ، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ... A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج ، أي يجب أن يؤخذ في الاعتبار عدد الأقطار للمضلع (k + 1) المنبثق من الرأس A k + 1 ، بالإضافة إلى القطر A 1 A k.

هكذا،

 ك + 1 =  ك + (ك -2) + 1 = ك (ك -3) / 2 + ك -1 = (ك + 1) (ك -2) / 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). نظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي محدب n-gon.

مثال 4

إثبات أن العبارة صحيحة لأي n:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \ u003d 1.

ومن ثم فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة من أجل n = k + 1

Xk + 1 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6.

س ك + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + ك 2 + (ك + 1) 2 = ك (ك + 1) (2 ك + 1) / 6 + + (ك + 1) 2 = (ك (ك + 1) (2 ك + 1) +6 (ك + 1) 2) / 6 = (ك + 1) (ك (2 ك + 1) +

6 (ك + 1)) / 6 = (ك + 1) (2 ك 2 + 7 ك + 6) / 6 = (ك + 1) (2 (ك + 3/2) (ك +

2)) / 6 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6.

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 5

إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4.

الحل: 1) دع n = 1.

ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1.

نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k

أحد أهم طرق البرهان الرياضي هو الصواب طريقة الاستقراء الرياضي. يمكن إثبات الغالبية العظمى من الصيغ المتعلقة بجميع الأعداد الطبيعية n عن طريق الاستقراء الرياضي (على سبيل المثال ، صيغة مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي ، معادلة نيوتن ذات الحدين ، وما إلى ذلك).

في هذه المقالة ، سوف نتناول أولاً المفاهيم الأساسية ، ثم ننظر في طريقة الاستقراء الرياضي نفسه ونحلل أمثلة لتطبيقه في إثبات المساواة وعدم المساواة.

التنقل في الصفحة.

الاستقراء والخصم.

عن طريق الاستقراءدعا الانتقال من البيانات الخاصة إلى العامة. على العكس من ذلك ، يسمى الانتقال من البيانات العامة إلى البيانات الخاصة المستقطع.

مثال على بيان خاص: 254 قابل للقسمة على 2 بدون الباقي.

من هذا البيان الخاص ، يمكن للمرء أن يصوغ الكثير من العبارات العامة ، سواء كانت صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال ، العبارة الأكثر عمومية بأن جميع الأعداد الصحيحة المنتهية بالرقم 4 قابلة للقسمة على 2 دون الباقي صحيحة ، في حين أن العبارة القائلة بأن جميع الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 2 بدون باقي هي خاطئة.

وبالتالي ، فإن الاستقراء يجعل من الممكن الحصول على العديد من البيانات العامة بناءً على حقائق معروفة أو واضحة. وطريقة الاستقراء الرياضي مصممة لتحديد صحة البيانات المستلمة.

كمثال ، ضع في اعتبارك التسلسل الرقمي: ، n هو رقم طبيعي تعسفي. ثم سيكون تسلسل مجاميع أول ن عناصر من هذا التسلسل كما يلي

بناءً على هذه الحقيقة ، يمكن القول بأن الاستقراء.

نقدم الدليل على هذه الصيغة.

طريقة الاستقراء الرياضي.

تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي.

يتكون مما يلي: بيان معين صحيح لأي n طبيعي إذا

1. إنه صالح لـ n = 1 و
2. من صحة البيان لأي طبيعي تعسفي n = k يترتب على ذلك أنه صحيح لـ n = k + 1.

أي أن الإثبات بطريقة الاستقراء الرياضي يتم على ثلاث مراحل:

1. أولاً ، يتم التحقق من صحة العبارة لأي عدد طبيعي n (عادةً ما يتم التحقق من أجل n = 1) ؛
2. ثانيًا ، يتم افتراض صحة العبارة لأي طبيعي n = k ؛
3. ثالثًا ، ثبت صحة العبارة للعدد n = k + 1 ، بدءًا من افتراض النقطة الثانية.

أمثلة على براهين المعادلات وعدم المساواة بطريقة الاستقراء الرياضي.

دعنا نعود إلى المثال السابق ونثبت الصيغة .

دليل.

تتضمن طريقة الاستقراء الرياضي إثباتًا من ثلاث نقاط.

وهكذا ، تم الانتهاء من جميع الخطوات الثلاث لطريقة الاستقراء الرياضي ، وبالتالي تم إثبات افتراضنا حول الصيغة.

لنلق نظرة على المسألة المثلثية.

مثال.

إثبات الهوية .

حل.

أولاً ، نتحقق من المساواة من أجل n = 1. للقيام بذلك ، نحتاج إلى الصيغ الأساسية لعلم المثلثات.

أي أن المساواة صحيحة لـ n = 1.

ثانيًا ، افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k ، أي الهوية

ثالثًا ، ننتقل إلى إثبات المساواة لـ n = k + 1 ، بناءً على النقطة الثانية.

منذ وفقًا للصيغة من حساب المثلثات

الذي - التي

تم الانتهاء من إثبات المساواة من النقطة الثالثة ، لذلك يتم إثبات الهوية الأصلية بطريقة الاستقراء الرياضي.

يمكن إثباته عن طريق الاستقراء الرياضي.

يمكن العثور على مثال لإثبات عدم المساواة عن طريق الاستقراء الرياضي في القسم الخاص بطريقة المربعات الصغرى عند اشتقاق الصيغ لإيجاد معاملات التقريب.

فهرس.

• Sominsky I.S ، Golovina L.I. ، Yaglom I.M. على الاستقراء الرياضي.

تعتمد طريقة الإثبات ، التي ستتم مناقشتها في هذا القسم ، على إحدى مسلمات السلسلة الطبيعية.

بديهية الاستقراء. دعونا نعطي جملة تعتمد على المتغير فبدلاً من ذلك يمكنك استبدال أي أرقام طبيعية. دعنا نشير إليها أ (ع).دعونا أيضا الجملة أصحيح بالنسبة للرقم 1 ومن حقيقة ذلك أصحيح بالنسبة للعدد ل، يتبع ذلك أصحيح بالنسبة للعدد ك + 1. ثم تقدم أصحيح لجميع القيم الطبيعية ص.

تدوين رمزي للبديهية:

هنا قمة-المتغيرات على مجموعة الأعداد الطبيعية. من بديهية الاستقراء ، يتم الحصول على قاعدة الاستدلال التالية:

لذلك ، من أجل إثبات حقيقة الاقتراح أ،يمكننا أولاً إثبات عبارتين: حقيقة البيان أ( 1) ، وكذلك النتيجة الطبيعية أ (ك) => أ (ك + 1).

بالنظر إلى ما ورد أعلاه ، نصف الكيان طريقة

الاستنتاج الرياضي.

فليكن يشترط إثبات أن الجملة أ (ع)صحيح لكل ما هو طبيعي ص.الإثبات ينقسم إلى مرحلتين.

• المرحلة الأولى. قاعدة الاستقراء.نحن نأخذ قيمة صرقم 1 وتحقق من ذلك أ( 1) بيان صحيح.
• المرحلة الثانية. الانتقال الاستقرائي.نحن نثبت ذلك لأي عدد طبيعي لالمعنى الضمني صحيح: إذا أ (ك)، الذي - التي أ (ك + 1).

يبدأ المقطع الاستقرائي بالكلمات: "خذ عددًا طبيعيًا عشوائيًا ل،مثل ذلك أ (ك) "،أو "دعنا نحصل على رقم طبيعي ليمين أ (ك) ".بدلا من كلمة "دعونا" يقولون في كثير من الأحيان "لنفترض أن ...".

بعد هذه الكلمات الرسالة ليشير إلى بعض الأشياء الثابتة التي تحمل العلاقة أ (ك).قادم من أ (ك)نستنتج العواقب ، أي أننا نبني سلسلة من الجمل أ (ك) 9 ص, باي، ..., Rn = A (ك + 1) حيث كل جملة R ،هو بيان صحيح أو نتيجة للجمل السابقة. الجملة الاخيرة R "يجب أن تتطابق مع أ (ك + 1). من هذا نستنتج: من أ (ك)يجب أ (ك +).

يمكن تقسيم تنفيذ الانتقال الاستقرائي إلى خطوتين:

• 1) الافتراض الاستقرائي. هنا نفترض ذلك أ لعامل ن.
• 2) بناءً على الافتراض ، نثبت ذلك أمناسب للرقم؟

مثال 5.5.1.دعنا نثبت أن الرقم ص + صحتى لكل شيء طبيعي ص.

هنا أ (ع) = "ن 2 + ن- رقم زوجي". مطلوب لإثبات ذلك أ -المسند صحيح متطابقة. نطبق طريقة الاستقراء الرياضي.

قاعدة الاستقراء.لنأخذ l = 1. عوّض في التعبير ص+ // ، نحصل عليه ن 2 + ن= I 2 + 1 = 2 عدد زوجي ، أي / 1 (1) عبارة صحيحة.

دعونا نصيغ الفرضية الاستقرائية أ (ك)= "رقم إلى 2 + إلى -حتى." يمكنك أن تقول هذا: "خذ رقمًا طبيعيًا عشوائيًا لمثل ذلك إلى 2 + إلىهو رقم زوجي.

نستنتج من هذا التأكيد الملقب ب-)= "رقم (ك + 1) 2 + (؟ + 1) - زوجي.

حسب خصائص العمليات ، نقوم بإجراء التحولات:

المصطلح الأول من المجموع الناتج هو حتى عن طريق الافتراض ، والثاني هو حتى بالتعريف (لأنه يحتوي على الشكل 2 ص).إذن ، المجموع عدد زوجي. يعرض أ (ك + 1) ثبت.

بطريقة الاستقراء الرياضي نستنتج: الجملة أ (ع)صحيح لكل ما هو طبيعي ص.

بالطبع ، ليست هناك حاجة لإدخال الترميز في كل مرة أ (ع).ومع ذلك ، لا يزال يوصى بصياغة الافتراض الاستقرائي وما هو مطلوب استنتاجه منه في سطر منفصل.

لاحظ أنه يمكن إثبات التأكيد من المثال 5.5.1 بدون استخدام طريقة الاستقراء الرياضي. للقيام بذلك ، يكفي النظر في حالتين: متى صحتى ومتى صغريب.

يتم حل العديد من مسائل القابلية للقسمة عن طريق الاستقراء الرياضي. لنلق نظرة على مثال أكثر تعقيدًا.

مثال 5.5.2.دعونا نثبت أن الرقم 15 2u_ | +1 قابلة للقسمة على 8 لجميع الأعداد الطبيعية ص.

الحث الباشا.لنأخذ / 1 = 1. لدينا: رقم 15 2 | _ | +1 = 15 + 1 = 16 يقبل القسمة على 8.

، والتي بالنسبة للبعض

عدد طبيعي لالرقم 15 2 * '+1 يقبل القسمة على 8.

دعنا نثبتما هو الرقم إذن أ\ u003d 15 2 (ZHN +1 يقبل القسمة على 8.

لنحول الرقم أ:

من خلال الافتراض ، فإن الرقم 15 2A1 +1 يقبل القسمة على 8 ، مما يعني أن الحد الأول بأكمله قابل للقسمة على 8. المصطلح الثاني 224 = 8-28 قابل للقسمة أيضًا على 8. وبالتالي ، فإن الرقم أحيث أن الفرق بين عددين من مضاعفات الرقم 8 يقبل القسمة على 8. الخطوة الاستقرائية لها ما يبررها.

بناءً على طريقة الاستقراء الرياضي ، نستنتج ذلك لكل شيء طبيعي صالرقم 15 2 "-1 - * - 1 يقبل القسمة على 8.

دعونا نبدي بعض الملاحظات حول المشكلة التي تم حلها.

يمكن صياغة البيان الذي تم إثباته بشكل مختلف قليلاً: "الرقم 15" "+1 قابلة للقسمة على 8 لأي غريب طبيعي / و".

ثانيًا ، من البيان العام المثبت ، يمكن للمرء أن يستخلص استنتاجًا معينًا ، يمكن تقديم الدليل على أنه مشكلة منفصلة: الرقم 15 2015 +1 قابل للقسمة على 8. لذلك ، من المفيد أحيانًا تعميم المشكلة عن طريق الإشارة إلى قيمة معينة بحرف ، ثم تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي.

بالمعنى الأكثر عمومية ، يعني مصطلح "الاستقراء" أن الاستنتاجات العامة يتم إجراؤها على أساس أمثلة معينة. على سبيل المثال ، بعد النظر في بعض الأمثلة لمجموع الأرقام الزوجية 2 + 4 = 6 ، 2 + 8 = 10 ، 4 + 6 = 10 ، 8 + 12 = 20 ، 16 + 22 = 38 ، نستنتج أن مجموع أي اثنين الأرقام الزوجية هي عدد زوجي.

في الحالة العامة ، يمكن أن يؤدي هذا الاستقراء إلى استنتاجات غير صحيحة. دعونا نعطي مثالا على مثل هذا التفكير غير الصحيح.

مثال 5.5.3. ضع في اعتبارك الرقم أ= / r + n + 41 للطبيعي / ؟.

لنجد القيم ألبعض القيم ص.

يترك ن =وبعد ذلك أ = 43 عدد أولي.

دعونا / 7 = 2. ثم أ= 4 + 2 + 41 = 47 عدد أولي.

دع l = 3. ثم أ= 9 + 3 + 41 = 53 عدد أولي.

دعونا / 7 = 4. ثم أ= 16 + 4 + 41 = 61 عدد أولي.

خذها كقيم صالأرقام التي تلي المربع الرباعي ، مثل 5 ، 6 ، 7 ، وتأكد من الرقم أسيكون بسيطا.

نستنتج: "لكل شيء طبيعي /؟ رقم أسيكون بسيطا ".

والنتيجة هي بيان كاذب. هنا مثال مضاد: / 7 = 41. تأكد من ذلك مع هذا صرقم أسيكون مركبًا.

مصطلح "الاستقراء الرياضي" له معنى أضيق ، لأن استخدام هذه الطريقة يسمح لك دائمًا بالحصول على الاستنتاج الصحيح.

مثال 5.5.4. بناءً على الاستدلال الاستقرائي ، نحصل على صيغة للمصطلح العام للتقدم الحسابي. تذكر أن مهنة الحساب عبارة عن تسلسل عددي ، يختلف كل عضو فيه عن السابق بنفس الرقم ، ويسمى فارق التقدم. من أجل تحديد مهنة حسابية بشكل فريد ، تحتاج إلى تحديد عضوها الأول أوالاختلاف د.

بحكم التعريف أ ص + = أ ن + د ،في ن> 1.

في مسار الرياضيات المدرسي ، كقاعدة عامة ، يتم تحديد صيغة المصطلح العام لمهنة الحساب على أساس أمثلة معينة ، أي بالتحديد عن طريق الاستقراء.

إذا / 7 = 1 ، إذن مع 7 | = أنا | ، إذن أنا | = tf | + df (l -1).

إذا / 7 = 2 ، فأنا 2 = أ + د ،إنه أ= أنا | + * / (2-1).

إذا / 7 = 3 ، إذن أنا 3 = أنا 2 + = (أ + د) + د = أ + 2 د ،أي أنا 3 = أنا | + (3-1).

إذا / 7 = 4 ، إذن أنا 4 = أنا 3 + * / = ( أ + 2 د) + د\ u003d R1 + 3 ، إلخ.

تسمح لنا الأمثلة المعينة بتقديم فرضية: صيغة المصطلح العام لها الشكل أ" = أ + (ن-) دللجميع / 7> 1.

دعونا نثبت هذه الصيغة بطريقة الاستقراء الرياضي.

الاستقراء الأساسيتم التحقق منها في المناقشات السابقة.

يترك ل -مثل هذا الرقم الذي * - أ + (ك-) د (افتراض استقرائي).

دعنا نثبتأني * +! = أ + ((ك +) -) د ،أي أنا * + 1 = الفأس + دينار.

حسب التعريف أنا * + 1 = أب + د. أ إلى= أنا | + (ك-1 )د، وسائل، ac +\ u003d i i + (A: -1) ^ / + c / \ u003d i | + (أ -1 + 1 )د= أنا أنا + دينار كويتي، والذي كان مطلوبًا لإثبات (لتبرير الانتقال الاستقرائي).

الآن الصيغة أنا "= أ + (ن-) دثبت لأي رقم طبيعي / ؛.

دع بعض التسلسل i b i 2، i، „... (لا

بالضرورة تطور حسابي أو هندسي). غالبًا ما تكون هناك مشاكل حيث يلزم جمع الأول صأعضاء هذا التسلسل ، أي تحديد مجموع R | + i 2 + ... + i والصيغة التي تسمح لك بالعثور على قيم هذا المجموع دون حساب أعضاء التسلسل.

مثال 5.5.5. دعونا نثبت أن مجموع الأول صالأعداد الطبيعية

/?(/7 + 1)

دلالة على المجموع 1 + 2 + ... + / 7 في Sn.لنجد القيم S nبالنسبة للبعض /7.

لاحظ أنه من أجل إيجاد مجموع S 4 ، يمكنك استخدام القيمة 5 3 المحسوبة مسبقًا ، لأن 5 4 = 5 3 +4.

ن (ن +1)

إذا استبدلنا القيم المدروسة /؟ في المدى - شيء

نحصل ، على التوالي ، على نفس المجاميع 1 ، 3 ، 6 ، 10. هذه الملاحظات

. _ ن (ن + 1)

نقترح أن الصيغة س„= --- يمكن استخدامها عندما

أي //. دعونا نثبت هذا التخمين بطريقة الاستقراء الرياضي.

الاستقراء الأساسيتم التحقق. دعنا نقوم به الانتقال الاستقرائي.

يفترضأن الصيغة صحيحة لبعض الأعداد الطبيعية

, ك (ك + 1)

ك ، ثم الشبكة هي مجموع الأول لالأعداد الطبيعية هي ----.

دعنا نثبتأن مجموع الأعداد الطبيعية الأولى (؟ +1) يساوي

• (* + !)(* + 2)

دعونا نعبر عن؟ * + 1 حتى ك.للقيام بذلك ، في المجموع S * + i نقوم بتجميع الأول لالمصطلحات ، واكتب المصطلح الأخير بشكل منفصل:

من خلال الفرضية الاستقرائية ك =حتى تجد

مجموع أول (؟ + 1) الأعداد الطبيعية ، يكفي للحساب بالفعل

. „ ك (ك + 1) _ .. ..

مجموع الأول لأرقام تساوي --- ، أضف مصطلحًا واحدًا (ك + 1).

الانتقال الاستقرائي له ما يبرره. وهكذا تم إثبات الفرضية المطروحة في البداية.

لقد أثبتنا الصيغة S ن =طريقة n ^ n +

الاستنتاج الرياضي. بالطبع ، هناك أدلة أخرى أيضًا. على سبيل المثال ، يمكنك كتابة المجموع س،بترتيب تصاعدي للمصطلحات ، ثم بترتيب تنازلي للمصطلحات:

مجموع المصطلحات في عمود واحد ثابت (في مجموع واحد ، ينقص كل مصطلح تالي بمقدار 1 ، وفي الآخر يزيد بمقدار 1) ويساوي (/ r + 1). لذلك ، تلخيص المبالغ الناتجة ، لدينا صشروط تساوي (u + 1). لذا ضاعف المبلغ س "مساوي ل ن (ن + 1).

يمكن الحصول على الصيغة التي تم إثباتها للتو كحالة خاصة لصيغة مجموع الأول صأعضاء التقدم الحسابي.

دعونا نعود إلى طريقة الاستقراء الرياضي. لاحظ أن المرحلة الأولى من طريقة الاستقراء الرياضي (أساس الاستقراء) ضرورية دائمًا. قد يؤدي عدم وجود هذه الخطوة إلى نتيجة غير صحيحة.

مثال 5.5.6. دعنا "نثبت" الجملة: "الرقم 7" + 1 يقبل القسمة على 3 لأي عدد طبيعي ".

"افترض أن ذلك من أجل بعض القيمة الطبيعية لالرقم 7 * + 1 قابل للقسمة على 3. دعنا نثبت أن الرقم 7 × +1 قابل للقسمة على 3. قم بإجراء التحويلات:

من الواضح أن الرقم 6 قابل للقسمة على 3. الرقم من 1 إلى +يقبل القسمة على 3 بواسطة الفرضية الاستقرائية ، لذا فإن الرقم 7 (7 * + 1) قابل للقسمة أيضًا على 3. لذلك ، فإن الفرق بين الأرقام القابلة للقسمة على 3 سيكون أيضًا قابلاً للقسمة على 3.

تم إثبات الاقتراح ".

إثبات الاقتراح الأصلي غير صحيح ، على الرغم من حقيقة أن الخطوة الاستقرائية صحيحة. في الواقع ، في ن =لدي الرقم 8 مع ن = 2 -الرقم 50 ، ... ، ولا يقبل أي من هذه الأرقام القسمة على 3.

دعونا نبدي ملاحظة مهمة حول تدوين العدد الطبيعي عند إجراء انتقال استقرائي. عند صياغة الاقتراح أ (ع)خطاب صأشرنا إلى متغير ، وبدلاً من ذلك يمكن استبدال أي أرقام طبيعية. عند صياغة الفرضية الاستقرائية ، أشرنا إلى قيمة المتغير بالحرف ل.ومع ذلك ، في كثير من الأحيان بدلا من حرف جديد لاستخدم نفس حرف المتغير. هذا لا يؤثر على هيكل المنطق عند إجراء الانتقال الاستقرائي.

دعونا ننظر في بعض الأمثلة الأخرى للمسائل التي يمكن تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لها.

مثال 5.5.7. أوجد قيمة المجموع

متغير في المهمة صلا تظهر. ومع ذلك ، ضع في اعتبارك تسلسل المصطلحات:

دل S ، \ u003d a + a 2 + ... + a „.لنجد س"بالنسبة للبعض ص.إذا / 1 = 1 ، إذن S = أ =-.

لو ن = 2. ثم S = أ، + أ؟ = - + - = - = -.

إذا /؟ = 3 ، إذن S- ، = أ ، + أ 7+ ط ، = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

يمكنك حساب القيم بنفسك س "في / 7 = 4 ؛ 5. ينشأ

تخمين طبيعي: S n= - لأي طبيعي / 7. دعنا نثبت

هذا عن طريق الاستقراء الرياضي.

الاستقراء الأساسيفحص أعلاه.

دعنا نقوم به الانتقال الاستقرائي، للدلالة على التعسفي

قيمة متغيرة صنفس الرسالة ، أي أننا نثبت ذلك من المساواة

0 /7 _ /7 +1

S n= - يتبع المساواة س, =-.

/7+1 /7 + 2

يفترضأن المساواة صحيحة س= - ص -.

دعونا نخصص في المجموع S „+أولاً صشروط:

بتطبيق الافتراض الاستقرائي ، نحصل على:

وبتقليل الكسر بمقدار (/ 7 + 1) نحصل على المساواة سن +1 - ، ل

الانتقال الاستقرائي له ما يبرره.

هذا يثبت أن مجموع الأول صشروط

• 1 1 1 /7 ^
• - + - + ... + - يساوي -. الآن دعنا نعود إلى الأصل
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

مهمة. لحلها ، يكفي اعتبارها قيمة صرقم 99.

ثم المجموع -! - + -! - + -! - + ... + --- سيساوي الرقم 0.99.

1-2 2-3 3-4 99100

حاول حساب هذا المبلغ بطريقة مختلفة.

مثال 5.5.8. دعنا نثبت أن مشتق مجموع أي عدد محدود من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع مشتقات هذه الوظائف.

دع المتغير /؟ يشير إلى عدد الميزات المحددة. في حالة إعطاء وظيفة واحدة فقط ، فإن هذه الوظيفة هي التي تُفهم على أنها المجموع. لذلك ، إذا / 7 = 1 ، فمن الواضح أن العبارة صحيحة: / "= /".

يفترضأن العبارة صحيحة لمجموعة من صوظائف (هنا مرة أخرى بدلاً من الحرف لاتخذت الرسالة ف) ،أي مشتق المجموع صالوظائف تساوي مجموع المشتقات.

دعنا نثبتأن مشتق مجموع (n + 1) الوظائف يساوي مجموع المشتقات. خذ مجموعة اعتباطية تتكون من ن +وظيفة قابلة للتفاضل: / 1 ، / 2 ، . دعونا نمثل مجموع هذه الوظائف

مثل g + f „+ 1 ، أين ز = و + / ز + ... + / ر-مجموع صالمهام. من خلال الفرضية الاستقرائية ، مشتق الوظيفة زيساوي مجموع المشتقات: ز "= قدم + قدم + ... + قدم.لذلك ، فإن سلسلة المساواة التالية صحيحة:

اكتمال الانتقال الاستقرائي.

وبالتالي ، تم إثبات الاقتراح الأصلي لأي عدد محدود من الوظائف.

في بعض الحالات ، يلزم إثبات صحة الاقتراح أ (ع)لكل شيء طبيعي ، بدءًا من بعض القيمة مع.يتم إجراء الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي في مثل هذه الحالات وفقًا للمخطط التالي.

قاعدة الاستقراء.نثبت أن الاقتراح أصحيح للقيمة فمتساوي مع.

الانتقال الاستقرائي. 1) نفترض أن الاقتراح أصحيح لبعض القيمة لمتغير /؟ ، أيهما أكبر من أو يساوي مع.

2) نثبت أن الاقتراح أصحيح لـ /؟ يساوي

لاحظ مرة أخرى أنه بدلاً من الحرف لغالبًا ما تترك التسمية المتغيرة ص.في هذه الحالة ، يبدأ الانتقال الاستقرائي بالكلمات: "افترض أنه من أجل بعض القيمة ن> قيمين أ (ع).دعنا نثبت ذلك إذن أ (ن + 1) ".

مثال 5.5.9. دعونا نثبت ذلك لكل شيء طبيعي ن> 5 المتباينة 2 "> و 2 صحيحة.

قاعدة الاستقراء.يترك ن = 5. ثم 2 5 = 32 ، 5 2 = 25. عدم المساواة 32> 25 صحيح.

الانتقال الاستقرائي. يفترض، أن المتباينة 2 P> ن 2لبعض العدد الطبيعي ن> 5. دعنا نثبت، وهو إذن 2 "+ |> (ن + 1) 2.

حسب خصائص القوى 2 ”+ | = 2-2 ". منذ 2"> n 2 (بواسطة الفرضية الاستقرائية) ، ثم 2-2 "> 2n 2 (I).

دعونا نبرر ذلك 2 ص 2أكبر من (i + 1) 2. ويمكن أن يتم ذلك بطرق عديدة. يكفي حل المتباينة التربيعية 2x 2> (x +) 2في مجموعة الأعداد الحقيقية ونرى أن جميع الأعداد الطبيعية الأكبر من أو تساوي 5 هي حلولها.

سنمضي على النحو التالي. لنجد الفرق بين الأعداد 2 ص 2و (i + 1) 2:

منذ و > 5 ، ثم i + 1> 6 ، مما يعني (i + 1) 2> 36. لذلك ، يكون الفرق أكبر من 0. لذا ، 2i 2> (i + 1) 2 (2).

من خلال خصائص المتباينات ، يتبين من (I) و (2) أن 2 * 2 "> (n + 1) 2 ، والتي كانت مطلوبة لإثبات تبرير الانتقال الاستقرائي.

بناءً على طريقة الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن عدم المساواة 2" > i 2 صحيح لأي أعداد طبيعية i.

فكر في شكل آخر لطريقة الاستقراء الرياضي. الفرق يكمن في الانتقال الاستقرائي. لتنفيذه ، هناك خطوتان مطلوبتان:

• 1) نفترض أن العرض أ (ع)صحيح لجميع قيم المتغير i أقل من بعض الأرقام ص ؛
• 2) من الافتراض ، استنتج أن الاقتراح أ (ع)صحيح بالنسبة للعدد تم العثور على R.

وبالتالي ، تتطلب الخطوة الاستقرائية إثبات النتيجة الطبيعية: [(Ui؟) أ (ن)] => أ (ع).لاحظ أنه يمكن إعادة كتابة النتيجة الطبيعية على النحو التالي: [(Yn ^ p) A (n)] => A (p + 1).

في الصيغة الأصلية لطريقة الاستقراء الرياضي في إثبات الاقتراح أ (ع)لقد اعتمدنا فقط على الاقتراح "السابق" أ (ص- 1). تسمح صياغة الطريقة الواردة هنا بالاشتقاق أ (ع) ،على افتراض أن جميع المقترحات أ (ن) ،حيث أنا أقل ص، صحيحة.

مثال 5.5.10. دعنا نثبت النظرية: "مجموع الزوايا الداخلية لأي i-gon هو 180 درجة (i-2)".

بالنسبة إلى المضلع المحدب ، من السهل إثبات النظرية إذا كانت مقسمة على أقطار مرسومة من رأس واحد إلى مثلثات. ومع ذلك ، بالنسبة لمضلع غير محدب ، قد لا يكون هذا الإجراء ممكنًا.

دعونا نثبت نظرية المضلع التعسفي عن طريق الاستقراء الرياضي. نحن نفترض أن التأكيد التالي معروف ، والذي ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، يتطلب إثباتًا منفصلاً: "في أي // - gon ، يوجد قطري يقع بالكامل في الجزء الداخلي منه."

بدلاً من المتغير // ، يمكنك استبدال أي أرقام طبيعية أكبر من أو تساوي 3. من أجل ن = بالنظرية صحيحة لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.

خذ بعضًا / 7-gon (ص> 4) وافترض أن مجموع زوايا أي // - gon ، حيث // p ، يساوي 180 درجة (// - 2). دعنا نثبت أن مجموع زوايا // - gon يساوي 180 درجة (// - 2).

دعنا نرسم قطري // - غون موجود بداخله. سوف يقسم // - gon إلى مضلعين. دع واحد منهم لديه لالجانبين ، والآخر إلى 2الجوانب. ثم ك + ك 2 -2 \ u003d ص ،نظرًا لأن المضلعات الناتجة لها جانب مشترك مرسوم قطريًا ، وهو ليس جانبًا من // - gon الأصلي.

كلا الرقمين لو إلى 2أقل //. دعونا نطبق الافتراض الاستقرائي على المضلعات الناتجة: مجموع زوايا A] -gon هو 180 ° - (؟ i-2) ، ومجموع الزوايا؟ 2-gon يساوي 180 درجة - (Ar 2 -2). ثم سيكون مجموع زوايا // - gon مساويًا لمجموع هذه الأرقام:

180 درجة * (Ar | -2) -n 180 درجة (Ar2-2) \ u003d 180 درجة (Ar ، -Ar 2-2-2) \ u003d 180 درجة - (// - 2).

الانتقال الاستقرائي له ما يبرره. بناءً على طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات النظرية لأي // - gon (//> 3).

كانت المعرفة الحقيقية في جميع الأوقات مبنية على إنشاء نموذج وإثبات صحته في ظروف معينة. خلال هذه الفترة الطويلة من وجود التفكير المنطقي ، تم تقديم صيغ القواعد ، وقام أرسطو حتى بتجميع قائمة "بالتفكير الصحيح". تاريخيًا ، من المعتاد تقسيم جميع الاستنتاجات إلى نوعين - من الملموس إلى الجمع (الاستقراء) والعكس صحيح (الاستنتاج). وتجدر الإشارة إلى أن أنواع الأدلة من خاص إلى عام ومن عام إلى خاص موجودة فقط في الترابط ولا يمكن تبادلها.

الاستقراء في الرياضيات

مصطلح "الاستقراء" (الاستقراء) له جذور لاتينية ويترجم حرفيا على أنه "توجيه". عند الدراسة الدقيقة ، يمكن للمرء أن يميز بنية الكلمة ، أي البادئة اللاتينية - in- (تشير إلى الفعل الموجه إلى الداخل أو الداخل) و -duction - المقدمة. تجدر الإشارة إلى أن هناك نوعين - الاستقراء الكامل وغير الكامل. يتميز الشكل الكامل باستنتاجات مستخلصة من دراسة جميع الموضوعات من فئة معينة.

غير مكتمل - استنتاجات مطبقة على جميع موضوعات الفصل ، ولكن تم إجراؤها على أساس دراسة بعض الوحدات فقط.

الاستقراء الرياضي الكامل هو استنتاج يستند إلى استنتاج عام حول الفئة الكاملة لأي كائنات مرتبطة وظيفيًا بعلاقات السلسلة الطبيعية للأرقام بناءً على معرفة هذا الاتصال الوظيفي. في هذه الحالة ، تتم عملية الإثبات على ثلاث مراحل:

• في المرحلة الأولى ، ثبت صحة بيان الاستقراء الرياضي. مثال: f = 1 ، الاستقراء ؛
• تعتمد المرحلة التالية على افتراض أن الموضع صالح لجميع الأعداد الطبيعية. وهذا يعني ، f = h ، هذا هو الافتراض الاستقرائي ؛
• في المرحلة الثالثة ، يتم إثبات صحة الموضع للرقم f = h + 1 ، بناءً على صحة موضع الفقرة السابقة - هذا انتقال استقرائي ، أو خطوة من الاستقراء الرياضي. مثال على ذلك هو ما يسمى إذا سقط أول عظم في الصف (الأساس) ، فإن كل العظام في الصف تسقط (الانتقال).

كلاهما مازحا وجديا

لسهولة الإدراك ، يتم استنكار أمثلة الحلول بطريقة الاستقراء الرياضي في شكل مشاكل نكتة. هذه هي مهمة قائمة الانتظار المهذبة:

• تحظر قواعد السلوك على الرجل أن يأخذ دورًا أمام امرأة (في مثل هذه الحالة ، يُسمح لها بالمقدمة). وبناءً على هذا القول ، إذا كان الأخير رجلاً ، فكل البقية رجال.

من الأمثلة الصارخة على طريقة الاستقراء الرياضي مشكلة "رحلة بلا أبعاد":

• مطلوب إثبات أن أي عدد من الأشخاص يناسب الحافلة الصغيرة. صحيح أنه يمكن لشخص واحد أن يتسع داخل وسيلة النقل دون صعوبة (أساس). ولكن بغض النظر عن مدى امتلاء الحافلة الصغيرة ، فإن راكبًا واحدًا سيكون مناسبًا لها دائمًا (خطوة الاستقراء).

دوائر مألوفة

أمثلة حل المشكلات والمعادلات عن طريق الاستقراء الرياضي شائعة جدًا. كتوضيح لهذا النهج ، يمكننا النظر في المشكلة التالية.

حالة: ح يتم وضع الدوائر على المستوى. يجب إثبات أنه ، لأي ترتيب للأشكال ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

حل: بالنسبة إلى h = 1 ، فإن حقيقة العبارة واضحة ، لذلك سيتم بناء الدليل لعدد الدوائر h + 1.

لنفترض أن العبارة صحيحة لأي خريطة ، وأن دوائر h + 1 معطاة على المستوى. من خلال إزالة إحدى الدوائر من الإجمالي ، يمكنك الحصول على خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين (أبيض وأسود).

عند استعادة دائرة محذوفة ، يتغير لون كل منطقة إلى العكس (في هذه الحالة ، داخل الدائرة). اتضح أن الخريطة ملونة بشكل صحيح بلونين ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

أمثلة مع الأعداد الطبيعية

يظهر تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي بوضوح أدناه.

أمثلة الحل:

إثبات أن المساواة ستكون صحيحة لأي ساعة:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + h 2 = h (h + 1) (2h + 1) / 6.

1. دع h = 1 ، ثم:

R 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

ويترتب على ذلك أن العبارة h = 1 صحيحة.

2. بافتراض أن h = d ، يتم الحصول على المعادلة التالية:

R 1 \ u003d د 2 \ u003d د (د + 1) (2d + 1) / 6 \ u003d 1

3. بافتراض أن h = d + 1 ، اتضح أن:

R د + 1 = (د + 1) (د + 2) (2 د + 3) / 6

R د + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + د 2 + (د + 1) 2 = د (د + 1) (2 د + 1) / 6 + (د + 1) 2 = (د ( د + 1) (2d + 1) +6 (د + 1) 2) / 6 = (د + 1) (د (2 د + 1) +6 (ك + 1)) / 6 =

(د + 1) (2d 2 + 7d + 6) / 6 = (د + 1) (2 (د + 3/2) (د + 2)) / 6 = (د + 1) (د + 2) ( 2d + 3) / 6.

وبالتالي ، فقد تم إثبات صحة المساواة لـ h = d + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة بالنسبة لأي رقم طبيعي ، والذي يظهر في مثال الحل عن طريق الاستقراء الرياضي.

مهمة

حالة: مطلوب إثبات أنه لأي قيمة لـ h ، فإن التعبير 7 h -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي.

حل:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة:

R 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 (أي مقسومة على 6 بدون باقي)

لذلك ، بالنسبة إلى h = 1 ، تكون العبارة صحيحة ؛

2. لنفترض أن h = d و 7 d -1 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي ؛

3. الدليل على صحة بيان h = d + 1 هو الصيغة:

ص د +1 = 7 د +1 -1 = 7 7 د -7 + 6 = 7 (7 د -1) +6

في هذه الحالة ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 6 بافتراض الفقرة الأولى ، والحد الثاني يساوي 6. العبارة القائلة بأن 7 h -1 قابلة للقسمة على 6 دون الباقي لأي h طبيعي صحيحة.

مغالطة الحكم

في كثير من الأحيان ، يتم استخدام التفكير غير الصحيح في البراهين ، بسبب عدم دقة التركيبات المنطقية المستخدمة. في الأساس ، يحدث هذا عندما يتم انتهاك هيكل ومنطق الدليل. مثال على التفكير غير الصحيح هو الرسم التوضيحي التالي.

مهمة

حالة: يتطلب إثبات أن أي كومة من الحجارة ليست كومة.

حل:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة يوجد حجر واحد في الكومة والبيان صحيح (الأساس) ؛

2. ليكن صحيحًا بالنسبة إلى h = d أن كومة الحجارة ليست كومة (افتراض) ؛

3. لنفترض أن h = d + 1 ، والتي يتبعها أنه عند إضافة حجر آخر ، لن تكون المجموعة كومة. يقترح الاستنتاج نفسه أن الافتراض صالح لجميع h الطبيعي.

يكمن الخطأ في حقيقة أنه لا يوجد تعريف لعدد الحجارة التي تشكل كومة. يسمى هذا الإغفال التعميم المتسرع في طريقة الاستقراء الرياضي. مثال يوضح هذا بوضوح.

الاستقراء وقوانين المنطق

تاريخيًا ، هم دائمًا "يسيرون جنبًا إلى جنب". التخصصات العلمية مثل المنطق ، والفلسفة تصفهم في شكل الأضداد.

من وجهة نظر قانون المنطق ، تستند التعريفات الاستقرائية إلى الحقائق ، ولا تحدد صحة المقدمات صحة البيان الناتج. غالبًا ما يتم الحصول على الاستنتاجات بدرجة معينة من الاحتمال والمعقولية ، والتي ، بالطبع ، يجب التحقق منها وتأكيدها من خلال بحث إضافي. مثال على الاستقراء في المنطق سيكون البيان:

جفاف في إستونيا ، جفاف في لاتفيا ، جفاف في ليتوانيا.

إستونيا ولاتفيا وليتوانيا هي دول البلطيق. الجفاف في جميع دول البلطيق.

من المثال ، يمكننا أن نستنتج أنه لا يمكن الحصول على معلومات أو حقيقة جديدة باستخدام طريقة الاستقراء. كل ما يمكن الاعتماد عليه هو بعض صحة الاستنتاجات الممكنة. علاوة على ذلك ، فإن حقيقة المبنى لا تضمن نفس الاستنتاجات. ومع ذلك ، فإن هذه الحقيقة لا تعني أن نباتات الاستقراء في الفناء الخلفي للاستنباط: تم إثبات عدد كبير من الأحكام والقوانين العلمية باستخدام طريقة الاستقراء. يمكن أن تكون الرياضيات وعلم الأحياء والعلوم الأخرى بمثابة مثال. هذا يرجع بشكل أساسي إلى طريقة الحث الكامل ، ولكن في بعض الحالات يكون الجزئي قابلاً للتطبيق أيضًا.

سمح عصر الاستقراء الموقر له بالتغلغل في جميع مجالات النشاط البشري تقريبًا - وهذا هو العلم والاقتصاد والاستنتاجات اليومية.

الاستقراء في البيئة العلمية

تتطلب طريقة الاستقراء موقفًا صارمًا ، نظرًا لأن الكثير يعتمد على عدد التفاصيل المدروسة للكل: كلما زاد العدد المدروس ، كانت النتيجة أكثر موثوقية. بناءً على هذه الميزة ، يتم اختبار القوانين العلمية التي تم الحصول عليها بطريقة الاستقراء لفترة طويلة بما فيه الكفاية على مستوى الافتراضات الاحتمالية من أجل عزل ودراسة جميع العناصر الهيكلية والوصلات والتأثيرات الممكنة.

في العلم ، يعتمد الاستنتاج الاستقرائي على ميزات مهمة ، باستثناء الأحكام العشوائية. هذه الحقيقة مهمة فيما يتعلق بخصوصيات المعرفة العلمية. يظهر هذا بوضوح في أمثلة الاستقراء في العلم.

هناك نوعان من الاستقراء في العالم العلمي (فيما يتعلق بطريقة الدراسة):

1. اختيار الحث (أو الاختيار) ؛
2. الاستقراء - الاستبعاد (الإقصاء).

النوع الأول يتميز بأخذ عينات منهجي (دقيق) لفئة (فئات فرعية) من مناطقها المختلفة.

مثال على هذا النوع من الحث كما يلي: الفضة (أو أملاح الفضة) تنقي الماء. يستند الاستنتاج إلى ملاحظات طويلة المدى (نوع من اختيار التأكيدات والتفنيد - الاختيار).

النوع الثاني من الاستقراء يعتمد على الاستنتاجات التي تؤسس العلاقات السببية وتستبعد الظروف التي لا تتوافق مع خصائصها ، وهي الشمولية ، ومراعاة التسلسل الزمني ، والضرورة وعدم الغموض.

الاستقراء والاستنباط من وجهة نظر الفلسفة

إذا نظرت إلى الماضي بأثر رجعي ، فإن مصطلح "الاستقراء" كان أول من ذكره سقراط. وصف أرسطو أمثلة الاستقراء في الفلسفة في قاموس مصطلحات أكثر تقريبية ، لكن مسألة الاستقراء غير الكامل تظل مفتوحة. بعد اضطهاد القياس المنطقي الأرسطي ، بدأ الاعتراف بالطريقة الاستقرائية على أنها مثمرة والأسلوب الوحيد الممكن في العلوم الطبيعية. يعتبر بيكون أب الاستقراء كطريقة خاصة مستقلة ، لكنه فشل ، كما طالب معاصروه ، في الفصل بين الاستقراء والطريقة الاستنتاجية.

تم إجراء مزيد من التطوير للحث بواسطة J. Mill ، الذي نظر في نظرية الحث من وجهة نظر أربع طرق رئيسية: الاتفاق ، والاختلاف ، والمخلفات والتغييرات المقابلة. ليس من المستغرب أن تكون الأساليب المدرجة اليوم ، عند النظر فيها بالتفصيل ، استنتاجية.

أدى الوعي بعدم اتساق نظريات بيكون وميل إلى قيام العلماء بالتحقيق في الأساس الاحتمالي للاستقراء. ومع ذلك ، حتى هنا كانت هناك بعض التطرف: بذلت محاولات لتقليل الاستقراء لنظرية الاحتمال ، مع كل النتائج المترتبة على ذلك.

يحصل الاستقراء على ثقة في التطبيق العملي في مجالات معينة وبفضل الدقة المترية للأساس الاستقرائي. يمكن اعتبار مثال الاستقراء والاستنباط في الفلسفة قانون الجاذبية الكونية. في تاريخ اكتشاف القانون ، تمكن نيوتن من التحقق منه بدقة تبلغ 4 في المائة. وعند الفحص بعد أكثر من مائتي عام تأكدت صحته بدقة قدرها 0.0001٪ ، على الرغم من أن الفحص تم بنفس التعميمات الاستقرائية.

تولي الفلسفة الحديثة مزيدًا من الاهتمام للاستنتاج ، الذي تمليه رغبة منطقية لاشتقاق معرفة جديدة (أو حقيقة) مما هو معروف بالفعل ، دون اللجوء إلى الخبرة ، والحدس ، ولكن باستخدام التفكير "الخالص". عند الإشارة إلى المقدمات الصحيحة في الطريقة الاستنتاجية ، في جميع الحالات ، يكون الناتج عبارة صحيحة.

يجب ألا تحجب هذه الخاصية المهمة للغاية قيمة الطريقة الاستقرائية. منذ الاستقراء ، بناءً على إنجازات الخبرة ، يصبح أيضًا وسيلة لمعالجتها (بما في ذلك التعميم والتنظيم).

تطبيق الاستقراء في الاقتصاد

لطالما استخدم الاستقراء والاستقراء كوسائل لدراسة الاقتصاد والتنبؤ بتطوره.

نطاق استخدام طريقة الاستقراء واسع جدًا: دراسة استيفاء مؤشرات التنبؤ (الربح ، الاستهلاك ، إلخ) وتقييم عام لحالة المؤسسة ؛ تشكيل سياسة ترويج فعالة للمؤسسة على أساس الحقائق وعلاقاتهم.

يتم استخدام نفس طريقة الاستقراء في مخططات Shewhart ، حيث ، في ظل افتراض أن العمليات مقسمة إلى خاضعة للرقابة وغير مُدارة ، يُذكر أن إطار العملية الخاضعة للرقابة غير نشط.

وتجدر الإشارة إلى أن القوانين العلمية مبررة ومثبتة بطريقة الاستقراء ، وبما أن الاقتصاد علم يستخدم غالبًا التحليل الرياضي ونظرية المخاطر والبيانات الإحصائية ، فليس من المستغرب أن يتم تضمين الاستقراء في قائمة الأساليب الرئيسية.

يمكن أن تكون الحالة التالية بمثابة مثال على الاستقراء والخصم في الاقتصاد. تدفع الزيادة في أسعار المواد الغذائية (من سلة المستهلك) والسلع الأساسية المستهلك إلى التفكير في التكلفة المرتفعة الناشئة في الدولة (الاستقراء). في الوقت نفسه ، من حقيقة التكلفة العالية ، باستخدام الأساليب الرياضية ، من الممكن اشتقاق مؤشرات نمو الأسعار للسلع الفردية أو فئات السلع (الخصم).

في أغلب الأحيان ، يلجأ موظفو الإدارة والمديرون والاقتصاديون إلى طريقة الاستقراء. من أجل التمكن من التنبؤ بتطور المؤسسة وسلوك السوق وعواقب المنافسة بصدق كافٍ ، من الضروري اتباع نهج استقرائي استنتاجي لتحليل المعلومات ومعالجتها.

مثال توضيحي للاستقراء في الاقتصاد ، بالإشارة إلى الأحكام الخاطئة:

• انخفض ربح الشركة بنسبة 30٪ ؛
  قام أحد المنافسين بتوسيع خط إنتاجه ؛
  لم يتغير شيء آخر.
• تسببت سياسة الإنتاج لشركة منافسة في خفض الأرباح بنسبة 30٪ ؛
• لذلك ، يجب تنفيذ نفس سياسة الإنتاج.

هذا المثال هو توضيح ملون لكيفية مساهمة الاستخدام غير الكفؤ لطريقة الاستقراء في خراب المؤسسة.

الاستنباط والاستقراء في علم النفس

نظرًا لوجود طريقة ، فمن المنطقي أن يكون هناك أيضًا تفكير منظم بشكل صحيح (لاستخدام الطريقة). علم النفس كعلم يدرس العمليات العقلية ، وتكوينها ، وتطورها ، وعلاقاتها ، وتفاعلاتها ، يهتم بالتفكير "الاستنتاجي" كأحد أشكال إظهار الاستنتاج والاستقراء. لسوء الحظ ، على صفحات علم النفس على الإنترنت ، لا يوجد عمليًا أي مبرر لسلامة الأسلوب الاستنتاجي الاستقرائي. على الرغم من أنه من المرجح أن يواجه علماء النفس المحترفون مظاهر الاستقراء ، أو بالأحرى ، استنتاجات خاطئة.

مثال على الاستقراء في علم النفس ، كتوضيح للأحكام الخاطئة ، هو البيان: أمي مخادعة ، لذلك كل النساء مخادعات. هناك المزيد من الأمثلة "الخاطئة" للاستقراء من الحياة:

• لا يكون الطالب قادرًا على أي شيء إذا حصل على شيطان في الرياضيات ؛
• إنه أحمق.
• إنه ذكي؛
• انا استطيع عمل كل شىء؛

والعديد من الأحكام القيمية الأخرى المستندة إلى رسائل عشوائية تمامًا وأحيانًا غير مهمة.

وتجدر الإشارة إلى: عندما تصل مغالطة أحكام الشخص إلى حد السخافة ، تظهر أمام المعالج النفسي واجهة عمل. مثال واحد للتحريض في موعد متخصص:

"المريض على يقين تام من أن اللون الأحمر يحمل خطرا عليه فقط في أي مظهر من مظاهره. نتيجة لذلك ، استبعد الشخص مخطط الألوان هذا من حياته - قدر الإمكان. في بيئة المنزل ، هناك العديد من الفرص لحياة مريحة. يمكنك رفض جميع العناصر الحمراء أو استبدالها بنظائرها المصنوعة في نظام ألوان مختلف. لكن في الأماكن العامة ، في العمل ، في المتجر - هذا مستحيل. عند الدخول في موقف مرهق ، يعاني المريض في كل مرة من "موجة" من الحالات العاطفية المختلفة تمامًا ، والتي يمكن أن تكون خطيرة على الآخرين ".

هذا المثال من الاستقراء ، وبغير وعي ، يسمى "الأفكار الثابتة". إذا حدث هذا لشخص سليم عقليًا ، فيمكننا التحدث عن عدم تنظيم النشاط العقلي. يمكن أن يصبح التطور الأولي للتفكير الاستنتاجي وسيلة للتخلص من حالات الهوس. في حالات أخرى ، يعمل الأطباء النفسيون مع هؤلاء المرضى.

تشير أمثلة الاستقراء المذكورة أعلاه إلى أن "الجهل بالقانون لا يعفي من العواقب (الأحكام الخاطئة)".

قام علماء النفس ، الذين يعملون في موضوع التفكير الاستنتاجي ، بتجميع قائمة من التوصيات المصممة لمساعدة الناس على إتقان هذه الطريقة.

الخطوة الأولى هي حل المشكلة. كما يتضح ، يمكن اعتبار شكل الاستقراء المستخدم في الرياضيات "كلاسيكيًا" ، واستخدام هذه الطريقة يساهم في "انضباط" العقل.

الشرط التالي لتطور التفكير الاستنتاجي هو توسيع الآفاق (أولئك الذين يفكرون بوضوح ويذكرون بوضوح). توجه هذه التوصية "المعاناة" إلى خزائن العلم والمعلومات (المكتبات ، المواقع الإلكترونية ، المبادرات التعليمية ، السفر ، إلخ).

بشكل منفصل ، يجب ذكر ما يسمى "الاستقراء النفسي". يمكن العثور على هذا المصطلح ، على الرغم من ندرة حدوثه ، على الإنترنت. لا تقدم جميع المصادر تعريفًا موجزًا ​​لهذا المصطلح على الأقل ، ولكنها تشير إلى "أمثلة من الحياة" ، مع تقديم إما اقتراح ، أو بعض أشكال المرض العقلي ، أو الحالات المتطرفة للنفسية البشرية كنوع جديد من الاستقراء. من كل ما سبق ، يتضح أن محاولة اشتقاق "مصطلح جديد" استنادًا إلى فرضيات خاطئة (غالبًا ما تكون غير صحيحة) يحكم على المجرب أن يتلقى بيانًا خاطئًا (أو متسرعًا).

وتجدر الإشارة إلى أن الإشارة إلى تجارب 1960 (دون الإشارة إلى المكان ، وأسماء المجربين ، وعينة الأشخاص ، والأهم من ذلك ، الغرض من التجربة) تبدو ، بعبارة ملطفة ، غير مقنعة ، والبيان أن الدماغ يدرك المعلومات التي تتجاوز جميع أعضاء الإدراك (فإن عبارة "ذوي الخبرة" في هذه الحالة تتلاءم بشكل عضوي أكثر) ، تجعل المرء يفكر في سذاجة وعدم انتقاد كاتب البيان.

بدلا من الاستنتاج

تستخدم ملكة العلوم - الرياضيات ، ليس عبثًا ، جميع الاحتياطيات الممكنة لطريقة الاستقراء والاستنتاج. تتيح لنا الأمثلة المدروسة أن نستنتج أن التطبيق السطحي وغير الكفؤ (كما يقولون) حتى أكثر الأساليب دقة وموثوقية يؤدي دائمًا إلى نتائج خاطئة.

في الوعي الجماعي ، ترتبط طريقة الاستنتاج بشيرلوك هولمز الشهير ، الذي غالبًا ما يستخدم في بناياته المنطقية أمثلة على الاستقراء ، باستخدام الاستنتاج في المواقف الضرورية.

تناولت المقالة أمثلة على تطبيق هذه الأساليب في مختلف العلوم ومجالات الحياة البشرية.

وزارة التربية والتعليم في منطقة ساراتوف

جامعة ولاية ساراتوف الاجتماعية والاقتصادية

مسابقة إقليمية لأعمال الرياضيات والحاسوب لأطفال المدارس

"متجه المستقبل - 2007"

«طريقة الاستقراء الرياضي.

تطبيقه على حل المسائل الجبرية "

(قسم "الرياضيات")

عمل ابداعي

10 طلاب فئة "أ"

مذكرة تفاهم "صالة للألعاب الرياضية رقم 1"

منطقة Oktyabrsky في ساراتوف

Harutyunyan Gayane.

مدير العمل:

مدرس رياضيات

جريشينا إيرينا فلاديميروفنا

ساراتوف

2007

مقدمة ………………………………………………………………………………………………… 3

مبدأ الاستقراء الرياضي و

إثبات …………………………………………………………………………………… ..4

أمثلة على حل المشكلات …………………………………………………………………………… .. 9

الخلاصة ………………………………………………………………………………………… .. 16

الأدب …………………………………………………………………………………………… 17

مقدمة.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى ، نتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا إلى التقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره بشكل منطقي ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي وتعزيز فكره بأدلة يتم تنفيذها وفقًا لجميع قواعد المنطق.
في الوقت الحاضر ، نما مجال تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، ولكن لسوء الحظ ، لم يخصص له سوى القليل من الوقت في المناهج المدرسية. لكن هذا مهم جدًا - أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

مبدأ الاستقراء الرياضي وإثباته

دعونا ننتقل إلى جوهر طريقة الاستقراء الرياضي. دعونا ننظر في البيانات المختلفة. يمكن تقسيمها إلى بيانات عامة وخاصة ، دعونا نعطي أمثلة على البيانات العامة.

لجميع المواطنين الروس الحق في التعليم.

في أي متوازي أضلاع ، يتم تقسيم الأقطار عند نقطة التقاطع.

كل الأعداد المنتهية بصفر تقبل القسمة على 5.

أمثلة ذات صلة من البيانات الخاصة:

بيتروف لديه الحق في التعليم.

في متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تقسيم الأقطار عند نقطة التقاطع.

140 يقبل القسمة على 5.

يُطلق على الانتقال من العبارات العامة إلى عبارات خاصة الاستنتاج (من اللاتينية خصم - الاستنتاج وفق قواعد المنطق).

ضع في اعتبارك مثالًا على الاستدلال الاستنتاجي.

لجميع المواطنين الروس الحق في التعليم. (1)

بيتروف مواطن روسي. (2)

بيتروف لديه الحق في التعليم. (3)

من التأكيد العام (1) بمساعدة (2) يتم الحصول على التأكيد الخاص (3).

يُطلق على الانتقال العكسي من عبارات معينة إلى عبارات عامة الاستقراء (من اللاتينية تعريفي - إرشاد).

يمكن أن يؤدي الاستقراء إلى استنتاجات صحيحة وغير صحيحة.

دعنا نشرح هذا بمثالين.

140 يقبل القسمة على 5. [1)

كل الأعداد المنتهية بصفر تقبل القسمة على 5. (2)

140 يقبل القسمة على 5. [1)

جميع الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 5. [2)

من البيان الخاص (1) يتم الحصول على البيان العام (2). العبارة (2) صحيحة.

يوضح المثال الثاني كيف يمكن الحصول على عبارة عامة (3) من بيان معين (1) ، علاوة على ذلك ، فإن العبارة (3) ليست صحيحة.

دعونا نسأل أنفسنا السؤال عن كيفية استخدام الاستقراء في الرياضيات من أجل الحصول على الاستنتاجات الصحيحة فقط. دعونا ننظر في بعض الأمثلة على الاستقراء ، وهو أمر غير مقبول في الرياضيات.

مثال 1.

خذ بعين الاعتبار ثلاثي مربع الشكل التالي Р (x) = x 2 + x + 41 ، والذي انتبه له ليونارد أويلر.

الفوسفور (0) = 41 ، الفوسفور (1) = 43 ، الفوسفور (2) = 47 ، الفوسفور (3) = 53 ، الفوسفور (4) = 61 ، الفوسفور (5) = 71 ، الفوسفور (6) = 83 ، الفوسفور (7) = 97 ، الفوسفور (8) = 113 ، الفوسفور (9) = 131 ، الفوسفور (10) = 151.

نرى أنه في كل مرة تكون قيمة ثلاثي الحدود عددًا أوليًا. بناءً على النتائج التي تم الحصول عليها ، نؤكد أنه عند الاستبدال في ثلاثي الحدود قيد النظر ، بدلاً من x دائمًا ما ينتج عن أي عدد صحيح غير سالب عدد أولي.

ومع ذلك ، لا يمكن اعتبار الاستنتاج الذي تم التوصل إليه موثوقًا به. ماذا جرى؟ الحقيقة هي أنه في المنطق ، يتم عمل عبارات عامة حول أي x فقط على أساس أن هذه العبارة تبين أنها صحيحة بالنسبة لبعض قيم x.

في الواقع ، عند الفحص الدقيق لثلاثية الحدود P (x) ، فإن الأرقام P (0) ، P (1) ، ... ، P (39) هي أعداد أولية ، لكن P (40) = 41 2 رقم مركب. ومن الواضح تمامًا: P (41) = 41 2 + 41 + 41 مضاعف 41.

في هذا المثال ، التقينا ببيان صحيح في 40 حالة خاصة ومع ذلك تبين أنه غير عادل بشكل عام.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

مثال 2

في القرن السابع عشر ، بدأ V.G. أثبت Leibniz أنه بالنسبة لأي n طبيعي ، فإن الأرقام من الشكل n 3 - n هي مضاعفات 3 ، n 5 - n هي مضاعفات 5 ، n 7 - n هي مضاعفات 7. وبناءً على ذلك ، اقترح أنه بالنسبة لأي فردي k والطبيعي n ، العدد n k - n مضاعف k ، لكنه سرعان ما لاحظ أن 2 9-2 = 510 ، والذي من الواضح أنه لا يقبل القسمة على 9.

تتيح لنا الأمثلة المدروسة استخلاص نتيجة مهمة: يمكن أن يكون البيان صحيحًا في عدد من الحالات الخاصة وفي نفس الوقت غير عادل بشكل عام.

السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي: هناك بيان صحيح في العديد من الحالات الخاصة. من المستحيل النظر في جميع الحالات الخاصة ؛ كيف تعرف أن هذا البيان صحيح على الإطلاق؟

يمكن أحيانًا حل هذا السؤال من خلال تطبيق طريقة خاصة للتفكير تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. تعتمد هذه الطريقة على مبدأ الاستقراء الرياضي، يستنتج ما يلي: يكون البيان صحيحًا لأي n طبيعي إذا:

إنه صالح لـ n = 1 ؛

من صحة البيان لبعض التعسفي الطبيعي n = k ، يترتب على ذلك أنه صحيح لـ n = k +1.

دليل.

افترض العكس ، أي ، دع العبارة تكون صحيحة وليس لكل n طبيعي. ثم هناك عدد طبيعي م مثل هذا

بيان n = m ليس صحيحًا ،

للجميع

من الواضح أن m> 1 ، لأن العبارة n = 1 صحيحة (الشرط 1). لذلك ، م -1 عدد طبيعي. بالنسبة للعدد الطبيعي م -1 فإن العبارة صحيحة ، أما بالنسبة للعدد الطبيعي التالي م فهي غير صحيحة. وهذا يتعارض مع الشرط الثاني. ويظهر التناقض الناتج أن الافتراض خاطئ. لذلك ، يكون التأكيد صحيحًا بالنسبة لأي n ، he.d.

يُطلق على الدليل المستند إلى مبدأ الاستقراء الرياضي إثبات بطريقة الاستقراء الرياضي. يجب أن يتكون هذا الدليل من جزأين ، من إثبات نظريتين مستقلتين.

نظرية 1. العبارة صحيحة لـ n = 1.

نظرية 2. العبارة صحيحة لـ n = k +1 إذا كانت صحيحة لـ n = k ، حيث k هو رقم طبيعي تعسفي.

إذا تم إثبات هاتين النظريتين ، إذن ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، تكون العبارة صحيحة لأي
طبيعي

يجب التأكيد على أن الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي يتطلب بالتأكيد إثبات كل من النظريتين 1 و 2. إهمال النظرية 2 يؤدي إلى استنتاجات غير صحيحة (الأمثلة 1-2). دعونا نوضح بمثال مدى ضرورة إثبات النظرية 1.

مثال 3. "نظرية": كل عدد طبيعي يساوي العدد الطبيعي الذي يليه.

سوف يتم الإثبات بطريقة الاستقراء الرياضي.

افترض أن k = k +1 (1).

دعنا نثبت أن k + 1 = k +2 (2). للقيام بذلك ، أضف 1 إلى كل جزء من "المساواة" (1). نحصل على "المساواة" (2). اتضح أنه إذا كانت العبارة صحيحة بالنسبة لـ n = k ، فهذا صحيح أيضًا لـ n = k +1. ، إلخ.

"نتيجة" واضحة من "النظرية": جميع الأعداد الطبيعية متساوية.

يكمن الخطأ في حقيقة أن النظرية 1 ، الضرورية لتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، لم يتم إثباتها وهي ليست صحيحة ، ولكن تم إثبات النظرية الثانية فقط.

النظريات 1 و 2 لها أهمية خاصة.

تخلق النظرية 1 أساس الاستقراء. تعطي النظرية 2 الحق في التوسع التلقائي غير المحدود لهذه القاعدة ، والحق في الانتقال من هذه الحالة الخاصة إلى الحالة التالية ، من n إلى n + 1.

إذا لم يتم إثبات النظرية 1 ، ولكن تم إثبات النظرية 2 ، إذن ، لم يتم إنشاء أساس الاستقراء ، ومن ثم لا معنى لتطبيق النظرية 2 ، لأنه لا يوجد شيء يمكن توسيعه في الواقع.

إذا لم يتم إثبات النظرية 2 ، وتم إثبات النظرية 1 فقط ، فعندئذ ، على الرغم من إنشاء قاعدة إجراء الاستقراء ، فإن الحق في توسيع هذه القاعدة غائب.

ملاحظات.

في بعض الأحيان ، يعتمد الجزء الثاني من الإثبات على صحة العبارة ليس فقط لـ n = k ، ولكن أيضًا لـ n = k -1. في هذه الحالة ، يجب اختبار العبارة الواردة في الجزء الأول للقيمتين التاليتين لـ n.

في بعض الأحيان يتم إثبات العبارة ليس لأي n طبيعي ، ولكن بالنسبة لـ n> m ، حيث m هي بعض الأعداد الصحيحة. في هذه الحالة ، في الجزء الأول من الإثبات ، يتم التحقق من التأكيد لـ n = m +1 ، وإذا لزم الأمر ، لعدة قيم لاحقة لـ n.

تلخيصًا لما قيل ، لدينا: طريقة الاستقراء الرياضي تسمح ، بحثًا عن قانون عام ، باختبار الفرضيات التي تنشأ في هذه الحالة ، وتجاهل الفرضيات الخاطئة وتأكيد الفرضيات الصحيحة.

يعلم الجميع دور عمليات تعميم نتائج الملاحظات الفردية والتجارب (أي الاستقراء) للعلوم التجريبية. من ناحية أخرى ، لطالما اعتبرت الرياضيات مثالًا كلاسيكيًا على تنفيذ الأساليب الاستنتاجية البحتة ، حيث يُفترض دائمًا صراحةً أو ضمنيًا أن جميع الجمل الرياضية (باستثناء تلك المقبولة على أنها جمل أولية - البديهيات) مثبتة ومحددة تطبيقات هذه الجمل مستمدة من البراهين المناسبة للحالات العامة (الحسم).

ماذا يعني الاستقراء في الرياضيات؟ هل ينبغي فهمها على أنها طريقة غير موثوقة تمامًا ، وكيف نبحث عن معيار لموثوقية مثل هذه الأساليب الاستقرائية؟ أو اليقين من الاستنتاجات الرياضية من نفس طبيعة التعميمات التجريبية للعلوم التجريبية ، بحيث لن يكون من السيئ "التحقق" من أي حقيقة مثبتة؟ في الواقع. هذه ليست القضية.

يلعب الاستقراء (التوجيه) على فرضية دورًا مهمًا للغاية ولكنه إرشادي بحت في الرياضيات: فهو يسمح للمرء بتخمين الحل الذي يجب أن يكون. لكن الافتراضات الرياضية يتم تأسيسها بشكل استنتاجي فقط. وطريقة الاستقراء الرياضي هي طريقة استنتاجية بحتة للإثبات. وبالفعل فإن الإثبات بهذه الطريقة يتكون من جزأين:

ما يسمى ب "الأساس" - دليل استنتاجي للجملة المرغوبة لواحد (أو عدة) أرقام طبيعية ؛

خطوة استقرائية تتكون في إثبات استنتاجي لبيان عام. تم إثبات النظرية بدقة لجميع الأعداد الطبيعية. من الأساس الذي تم إثباته ، على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 0 ، نحصل ، من خلال خطوة الاستقراء ، على إثبات الرقم 1 ، ثم بنفس الطريقة لـ 2 ، لـ 3 ... - وهكذا يمكن تبرير البيان لـ أي عدد طبيعي.

بمعنى آخر ، يرجع اسم "الاستقراء الرياضي" إلى حقيقة أن هذه الطريقة مرتبطة ببساطة في أذهاننا بالاستدلال الاستقرائي التقليدي (بعد كل شيء ، تم إثبات الأساس حقًا فقط لحالة معينة) ؛ الخطوة الاستقرائية ، على عكس معايير معقولية الاستدلال الاستقرائي القائم على الخبرة في العلوم الطبيعية والاجتماعية ، هي عبارة عامة لا تحتاج إلى أي فرضية معينة ويتم إثباتها وفقًا للشرائع الصارمة للاستدلال الاستنتاجي. لذلك ، يُطلق على الاستقراء الرياضي اسم "كامل" أو "كامل" ، لأنه طريقة إثبات استنتاجية وموثوقة تمامًا.

أمثلة على حلول المشكلات

الاستقراء في الجبر

ضع في اعتبارك العديد من الأمثلة للمسائل الجبرية ، وكذلك إثبات عدم المساواة المختلفة التي يمكن حلها باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مهمة 1. تخمين صيغة المجموع وإثباتها.

أ( ن) = 2  1 2 + 3 2 2 +… .. + (ن +1) ن 2.

حل.

1. لنحول تعبير المجموع А (n):

أ (ن) = 2 1 2 + 3  2 2 +…. + (ن + 1) ن 2 = (1 + 1) 1 2 + (2 + 1) 2 2 +…. + (ن + 1) ن 2 = = 1 1 2 + 2  2 2 + ... + ن  ن 2 + 1 2 + 2 2 + ... + ن 2 = 1 3 + 2 3 + ... + ن 3 +1 2 + 2 2 + ... + n 2 = В (n) + C (n) ، حيث B (n) = 1 3 + 2 3 +… .. + n 3، C (n) = 1 2 + 2 2 + … + ن 2.

2. ضع في اعتبارك المجاميع C (n) و B (n).

أ) ج ( ن) = 1 2 + 2 2 + ... + ن 2. واحدة من المشاكل التي نواجهها بشكل متكرر في طريقة الاستقراء الرياضي هي إثبات أن أي مساواة طبيعية

1 2 + 2 2 +…+ ن 2 = (1)

افترض أن (1) صحيح لكل n  ن.

ب ) ب (ن) = 1 3 + 2 3 +… .. + ن 3. دعونا نلاحظ كيف تتغير قيم B (n) اعتمادًا على n.

ب (1) = 1 3 = 1.

ب (2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

ب (3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

وبالتالي ، يمكن افتراض ذلك
ب (ن) = (1 + 2 + ... + ن) 2 =
(2)

ج) نتيجة لذلك ، نحصل على مجموع А (n)

أ( ن) ==

= (*)

3. دعونا نثبت الصيغة التي تم الحصول عليها (*) بطريقة الاستقراء الرياضي.

أ) تحقق من المساواة (*) لـ n = 1.

أ (1) = 2  =2,

من الواضح أن الصيغة (*) صحيحة لـ n = 1.

ب) افترض أن الصيغة (*) صحيحة لـ n = k ، حيث k N ، أي المساواة

أ (ك) =

بناءً على الافتراض ، سنثبت صحة معادلة n = k +1. حقًا،

أ (ك + 1) =

نظرًا لأن الصيغة (*) صحيحة لـ n = 1 ، ومن افتراض أنها صحيحة بالنسبة لبعض k الطبيعي ، فإن ذلك يعني أنها صحيحة لـ n = k +1 ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن المساواة

يحمل أي ن طبيعي.

المهمة 2.

احسب المجموع 1-2 + 3-4 + ... (-1) n -1 n.

حل.

دعونا نكتب قيم المجاميع للقيم المختلفة لـ n على التوالي.

أ (1) = 1 ، أ (2) = 1-2 = -1 ، أ (3) = 1-2 + 3 = 2 ، أ (4) = 1-2 + 3-4 = -2 ،

أ (5) = 1-2 + 3-4 + 5 = 3 ، أ (6) = 1-2 + 3-4 + 5-6 = -3.

بمراقبة النمط ، يمكننا أن نفترض أن A (n) = - حتى n و A (n) =
للغريب ن. دعنا نجمع كلتا النتيجتين في صيغة واحدة:

أ (ن) =
، حيث r هو باقي قسمة n على 2.

و ص , من الواضح أن تحددها القاعدة التالية

0 إذا ن حتى ،

ص =

1 إذا ن غريب.

ثم ص(يمكن تخمينها) يمكن تمثيلها على النحو التالي:

أخيرًا نحصل على صيغة A (n):

أ (ن) =

(*)

دعونا نثبت المساواة (*) لجميع ن  ن طريقة الاستقراء الرياضي.

2. أ) تحقق من المساواة (*) لـ n = 1. أ (1) = 1 =

المساواة عادلة

ب) افترض أن المساواة

1-2 + 3-4 + ... + (- 1) ن -1 ن =

صحيح في ن = ك. دعنا نثبت أنه صالح أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

أ (ك + 1) =

بالفعل،

أ (ك + 1) = أ (ك) + (- 1) ك (ك + 1) =

=

Q.E.D.

تُستخدم طريقة الاستقراء الرياضي أيضًا لحل مسائل القابلية للقسمة.

المهمة 3.

أثبت أن العدد N (n) = n 3 + 5n قابل للقسمة على 6 لأي عدد طبيعي n.

دليل.

في n = 1 الرقم N (1) = 6 وبالتالي فإن العبارة صحيحة.

لنفترض أن الرقم N (k) = k 3 + 5k يقبل القسمة على 6 لبعض أنواع k الطبيعية. دعنا نثبت أن N (k +1) = (k +1) 3 + 5 (k +1) قابل للقسمة على 6. في الواقع ، لدينا
N (ك +1) = (ك +1) 3 + 5 (ك +1) = (ك 3 + 5 ك) + 3 ك (ك +1) +6.

بسبب ال k و k +1 هما رقمان طبيعيان متجاوران ، إذن أحدهما زوجي بالضرورة ، لذا فإن التعبير 3k (k +1) قابل للقسمة على 6. وبالتالي ، نحصل على N (k +1) قابل للقسمة أيضًا على 6. الإخراج العدد N (n) = n 3 + 5n يقبل القسمة على 6 لأي n طبيعي.

ضع في اعتبارك حل مشكلة قسمة أكثر تعقيدًا ، عندما يتعين تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي الكامل عدة مرات.

المهمة 4.

إثبات ذلك لأي عدد طبيعي n
لا يقبل القسمة حتى على 2 ن +3.

دليل.

يتصور
في شكل عمل
=

= (*)

بافتراض أن العامل الأول في (*) لا يقبل القسمة بالتساوي على الرقم 2 ك +3 ، أي في تمثيل رقم مركب
في صورة حاصل ضرب الأعداد الأولية ، لا يتكرر الرقم 2 أكثر من (ك + 2) مرة. وذلك لاثبات ان العدد
لا يقبل القسمة على 2 k +4 ، يجب أن نثبت ذلك
لا يقبل القسمة على 4.

لإثبات هذا التأكيد ، نثبت تأكيدًا إضافيًا: بالنسبة لأي n طبيعي ، فإن الرقم 3 2 n +1 لا يقبل القسمة على 4. بالنسبة إلى n = 1 ، يكون التأكيد واضحًا ، نظرًا لأن الرقم 10 لا يقبل القسمة على 4 بدون باقي. بافتراض أن 3 2 k +1 لا تقبل القسمة على 4 ، فإننا نثبت أن 3 2 (k +1) +1 غير قابلة للقسمة أيضًا
في 4. دعنا نمثل التعبير الأخير كمجموع:

3 2 (ل + 1) + 1 = 3 2 ك + 2 + 1 = 3 2 ك * 9 + 1 = (3 2 ك +1) +8 * 3 2 ك. المصطلح الثاني من المجموع يقبل القسمة على 4 ، لكن الأول غير قابل للقسمة. لذلك ، لا يقبل المجموع الكامل القسمة على 4 بدون الباقي. تم إثبات التأكيد المساعد.

الآن من الواضح ذلك
لا يقبل القسمة على 4 لأن 2k عدد زوجي.

أخيرًا ، حصلنا على هذا الرقم
لا يقبل القسمة بالتساوي على 2 ن +3 لأي ن طبيعي.

فكر الآن في مثال لتطبيق الاستقراء على إثبات عدم المساواة.

المهمة 5.

لأي من n الطبيعي تكون المتباينة 2 n> 2n + 1 صحيحة؟

حل.

1. متى ن = 1 2 1< 2*1+1,

في ن = 2 2 2< 2*2+1,

في ن = 3 2 3> 2 * 3 + 1 ،

في ن = 4 2 4> 2 * 4 + 1.

على ما يبدو ، فإن المتباينة صالحة لأي ن طبيعي  3. دعونا نثبت هذا التأكيد.

2. متى ن = 3 تم بالفعل عرض صحة عدم المساواة. الآن دع المتباينة تكون صالحة لـ n = k ، حيث k هو عدد طبيعي لا يقل عن 3 ، أي

2 ك> 2 ك + 1 (*)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صالحة أيضًا لـ n = k +1 ، أي 2 k +1> 2 (k +1) +1. اضرب (*) ب 2 ، نحصل على 2 k +1> 4k +2. لنقارن بين التعبيرات 2 (k +1) +1 و 4k +2.

4k + 2- (2 (ك + 1) +1) = 2 ك -1. من الواضح ، 2k -1> 0 لأي k طبيعي. ثم 4k +2> 2 (k +1) +1 ، أي 2 ك + 1> 2 (ك + 1) +1. تم إثبات التأكيد.

المهمة 6.

عدم المساواة في المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي لعدد n من الأرقام غير السالبة (عدم مساواة كوشي).، نحصل على =

إذا كان واحد على الأقل من الأرقام
يساوي صفرًا ، فإن المتباينة (**) صالحة أيضًا.

خاتمة.

عند القيام بالعمل ، قمت بدراسة جوهر طريقة الاستقراء الرياضي وإثباته. تعرض الورقة المشكلات التي لعب فيها الاستقراء غير المكتمل دورًا مهمًا مما أدى إلى الحل الصحيح ، ثم تم إجراء إثبات تم الحصول عليه باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

الأدب.

Boltyansky V.G. ، Sidorov Yu.V. ، Shaburin M.I. محاضرات ومشاكل في الرياضيات الابتدائية ؛ علم ، 1974.

فيلينكين ن. ، Shvartsburd S.I. التحليل الرياضي.-
م: التعليم ، 1973.

Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. دراسة معمقة لمسار الجبر والتحليل الرياضي - م: التربية ، 1990.

Potapov MK ، Aleksandrov V.V. ، Pasichenko P.I. الجبر وتحليل الوظائف الابتدائية. - م: نوكا ، 1980.

Sominsky I.S ، Golovina M.L. ، Yaglom I.M. في الاستقراء الرياضي. - م: نوكا ، 1967.