Науката, която изучава количествата, количествените връзки и пространствените форми. Математиката е набор от науки, които изучават количествата, количествените връзки, и науката, която изучава количествата, количествените връзки и пространствените форми

МАТЕМАТИКА – наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят; Гръцката дума (математика) произлиза от гръцката дума (mathema), което означава "знание", "наука".

Математиката възниква в древността от практическите нужди на хората. Неговото съдържание и характер са се променяли през историята и продължават да се променят сега. От основните предметни понятия за положително цяло число, както и от концепцията за отсечка от права линия като най-късото разстояние между две точки, математиката премина през дълъг път на развитие, преди да се превърне в абстрактна наука със специфични методи на изследване.

Съвременното разбиране за пространствените форми е много широко. Той включва, наред с геометричните обекти на триизмерното пространство (права линия, кръг, триъгълник, конус, цилиндър, топка и др.), Също така многобройни обобщения - понятията за многомерно и безкрайно пространство, както и геометрични обекти в тях и много повече. По същия начин количествените отношения вече се изразяват не само с положителни цели или рационални числа, но и с помощта на комплексни числа, вектори, функциии т.н. Развитието на науката и технологиите принуждава математиката непрекъснато да разширява представите си за пространствените форми и количествените отношения.

Понятията на математиката се абстрахират от конкретни явления и обекти; те се получават в резултат на абстрахиране от качествени характеристики, специфични за даден кръг от явления и обекти. Това обстоятелство е изключително важно за приложенията на математиката. Числото 2 не е неразривно свързано с конкретно съдържание на предмета. Може да се отнася до две ябълки, две книги или две мисли. Той третира всички тези и безброй други обекти еднакво добре. По същия начин геометричните свойства на топката не се променят, защото е направена от стъкло, стомана или стеарин. Разбира се, абстрахирането от свойствата на даден обект обеднява нашите знания за този обект, за неговите характерни материални характеристики. В същото време именно тази абстракция от специалните свойства на отделните обекти придава обобщеност на понятията и дава възможност за прилагане на математиката към най-разнообразни явления от материалната природа. По този начин същите закони на математиката, същият математически апарат могат да бъдат напълно задоволително приложени към описанието на природни явления, технически, както и икономически и социални процеси.

Абстрактността на понятията не е изключителна характеристика на математиката; всички научни и общи понятия съдържат елемент на абстракция от свойствата на конкретни неща. Но в математиката процесът на абстракция отива по-далеч, отколкото в естествените науки; В математиката процесът на конструиране на абстракции на различни нива се използва широко. Да, концепцията групивъзникна чрез абстрахиране от някои свойства на колекцията от числа и други абстрактни понятия. Математиката се характеризира и с метода за получаване на нейните резултати. Ако естественият учен постоянно прибягва до опит, за да докаже позициите си, то математикът доказва своите резултати само чрез логически разсъждения. В математиката нито един резултат не може да се счита за доказан, докато не се нуждае от логическо доказателство и това е дори ако специални експерименти предоставят потвърждение на този резултат. В същото време истинността на математическите теории се проверява и от практиката, но този тест е от специално естество: основните понятия на математиката се формират в резултат на тяхното дългосрочно кристализиране от конкретните нужди на практиката; самите правила на логиката са разработени едва след хиляди години наблюдение на протичането на процесите в природата; Формулирането на теореми и формулирането на задачи по математика също произтичат от нуждите на практиката. Математиката възниква от практически нужди и връзките й с практиката стават все по-разнообразни и дълбоки с времето.

По принцип математиката може да се приложи за изучаване на всякакъв вид движение, голямо разнообразие от явления. В действителност неговата роля в различни области на научната и практическата дейност не е еднаква. Ролята на математиката е особено голяма в развитието на съвременната физика, химия, много области на техниката и като цяло в изучаването на онези явления, където дори значителното абстрахиране от техните специфични качествени характеристики позволява доста точно да се схванат количествените и пространствените модели, присъщи на тях. Например, математическото изследване на движението на небесните тела, основано на значителни абстракции от техните реални характеристики (телата, например, се считат за материални точки), доведе и води до отлично съвпадение с тяхното реално движение. На тази основа е възможно не само да се изчислят предварително небесните явления (затъмнения, позиции на планетите и т.н.), но и да се предскаже съществуването на планети, които не са били наблюдавани преди това въз основа на отклонения на истинските движения от изчислените (Плутон е открит по този начин през 1930 г., Нептун през 1846 г.). По-малко, но все пак значително място заема математиката в такива науки като икономика, биология и медицина. Качествената уникалност на явленията, изучавани в тези науки, е толкова голяма и толкова силно влияе върху характера на техния поток, че математическият анализ все още може да играе само второстепенна роля. От особено значение за социалните и биологичните науки е математическа статистика.Самата математика също се развива под влияние на изискванията на естествознанието, техниката и икономиката. През последните години се появиха редица математически дисциплини, които възникнаха на базата на практически нужди: теория на информацията, теория на игритеи т.н.

Ясно е, че преходът от един етап на познание на явленията към следващия, по-точен, поставя нови изисквания към математиката и води до създаването на нови концепции и нови методи на изследване. По този начин изискванията на астрономията, преминаващи от чисто описателни знания към прецизни знания, доведоха до развитието на основни концепции тригонометрия: през 2 век пр.н.е древногръцкият учен Хипарх съставя таблици на акордите, съответстващи на съвременните таблици на синусите; древногръцките учени през 1 век Менелай и през 2 век Клавдий Птолемей създават основите сферична тригонометрия.Повишеният интерес към изучаването на движението, предизвикан от развитието на производството, навигацията, артилерията и т.н., доведе през 17 век до създаването на концепциите математически анализ, развитието на новата математика. Широкото въвеждане на математически методи в изследването на природните явления (предимно астрономически и физически) и развитието на технологиите (особено машиностроенето) доведоха през 18-ти и 19-ти век до бързото развитие на теоретичната механика и теорията диференциални уравнения.Развитието на идеите за молекулярната структура на материята предизвика бързо развитие теория на вероятностите. Понастоящем можем да проследим появата на нови области на математическите изследвания, като използваме много примери. Успехите трябва да бъдат признати за особено значими изчислителна математика и компютърните технологии и трансформациите, които те произвеждат в много клонове на математиката.

Исторически очерк. В историята на математиката могат да бъдат идентифицирани четири периода със значителни качествени различия. Трудно е да се разделят точно тези периоди, тъй като всеки следващ се развиваше в рамките на предишния и следователно имаше доста значителни преходни етапи, когато новите идеи тепърва се появяват и все още не са станали водещи нито в самата математика, нито в нейните приложения.

1) Периодът на зараждане на математиката като самостоятелна научна дисциплина; началото на този период се губи в дълбините на историята; тя продължава приблизително до 6-5 век пр.н.е. д.

2) Периодът на елементарната математика, математиката на постоянните величини; тя продължава приблизително до края на 17-ти век, когато развитието на новата, „висша“ математика е напреднало доста далеч.

3) Период на математиката на променливите; характеризира се със създаването и развитието на математическия анализ, изучаването на процесите в тяхното движение и развитие.

4) Период на съвременната математика; характеризиращ се със съзнателно и систематично изследване на възможните типове количествени отношения и пространствени форми. В геометрията се изучава не само реално триизмерно пространство, но и подобни на него пространствени форми. В математическия анализ се разглеждат променливи, които зависят не само от числен аргумент, но и от определена линия (функция), която води до понятията функционалностИ оператор. Алгебрасе превърна в теория на алгебричните операции върху елементи от произволна природа. Само ако можеше да им се правят тези операции. Началото на този период естествено може да се отнесе към 1-вата половина на 19 век.

В древния свят математическата информация първоначално е била включена като неразделна част от знанията на свещениците и държавните служители. Предоставянето на тази информация, както може да се съди от вече дешифрирани глинени вавилонски плочки и египетски математически папируси,беше сравнително голям. Има доказателства, че хиляда години преди древногръцкия учен Питагор, в Месопотамия не само е била известна теорията на Питагор, но и е бил решен проблемът за намиране на всички правоъгълни триъгълници с цели страни. Въпреки това, по-голямата част от документите от онова време са колекции от правила за извършване на прости аритметични операции, както и за изчисляване на площите на фигури и обеми на тела. За улеснение на тези изчисления са запазени и различни таблици. Във всички ръководства правилата не са формулирани, а се обясняват с чести примери. Трансформацията на математиката във формализирана наука с установен дедуктивен метод на конструиране се случва в Древна Гърция. Там математическото творчество престана да бъде безименно. Практичен аритметика и геометрияв Древна Гърция има високо ниво на развитие. Началото на гръцката геометрия се свързва с името на Талес от Милет (края на 7 в. пр. н. е. – началото на 6 в. пр. н. е.), донесъл първичните знания от Египет. В училището на Питагор от Самос (6 век пр. н. е.) се изучава делимостта на числата, обобщават се най-простите прогресии, изучават се съвършените числа, въвеждат се различни видове средни стойности (средно аритметично, средно геометрично, средно хармонично) , отново бяха открити числата на Питагор (тройки от цели числа, които могат да бъдат страни на правоъгълен триъгълник). През 5-6 век пр.н.е. възникват известни задачи от древността - квадратура на окръжност, трисекция на ъгъл, удвояване на куб и са конструирани първите ирационални числа. Първият систематичен учебник по геометрия се приписва на Хипократ от Хиос (2-ра половина на 5 век пр.н.е.). Значителният успех на платоновото училище, свързан с опитите за рационално обяснение на структурата на материята във Вселената, търсенето на всички правилни полиедри, датира от това време. На границата на V и IV в. пр.н.е. Демокрит, въз основа на атомни концепции, предложи метод за определяне на обемите на телата. Този метод може да се счита за прототип на безкрайно малкия метод. През 4 век пр.н.е. Евдокс от Книд развива теорията за пропорциите. III в. пр. н. е. се характеризира с най-голям интензитет на математическото творчество. (1 век от т.нар. Александрийска ера). През 3 век пр.н.е. работиха математици като Евклид, Архимед, Аполоний от Перга, Ератостен; по-късно – Херон (I в.) Диофант (III в.). В своите Елементи Евклид събира и подлага на окончателна логическа обработка постиженията в областта на геометрията; в същото време той полага основите на теорията на числата. Основното постижение на Архимед в геометрията е определянето на различни области и обеми. Диофант изучава предимно решаването на уравнения в рационални положителни числа. От края на 3 век започва упадъкът на гръцката математика.

Математиката постигна значително развитие в древен Китай и Индия. Китайските математици се характеризират с висока техника за извършване на изчисления и интерес към разработването на общи алгебрични методи. През 2-1 век пр.н.е. Написана е „Математиците в девет книги“. Той съдържа същите техники за извличане на квадратни корени, които се представят в съвременното училище: методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, аритметична формулировка на Питагоровата теорема.

На индийската математика, чийто разцвет датира от 5-12 век, се приписва използването на съвременното десетично номериране, както и нулата за обозначаване на липсата на единици от даден ранг и заслугата за много по-широко развитие на алгебра от тази на Диофант, работеща не само с положителни рационални числа, но и с отрицателни и ирационални числа.

Арабските завоевания доведоха до факта, че от Централна Азия до Иберийския полуостров учените използват арабския език през 9-15 век. През 9 век средноазиатският учен ал-Хорезми за първи път представя алгебрата като самостоятелна наука. През този период много геометрични проблеми получиха алгебрична формулировка. Сириецът ал-Батани въвежда тригонометричните функции синус, тангенс и котангенс.Самаркандският учен ал-Каши (15-ти век) въвежда под внимание десетичните дроби и дава систематично представяне, формулирайки биномната формула на Нютон.

Значително нов период в развитието на математиката започва през 17 век, когато идеята за движение и промяна ясно навлиза в математиката. Разглеждането на променливите и връзките между тях доведе до понятията функции, производни и интеграли, диференциално смятане, интегрално смятане и до появата на нова математическа дисциплина - математически анализ.

От края на 18 век до началото на 19 век в развитието на математиката се наблюдават редица съществени новости. Най-характерен от тях беше интересът към критична ревизия на редица въпроси в обосновката на математиката. Неясните идеи за безкрайно малките са заменени от точни формулировки, свързани с понятието граница.

В алгебрата през 19 век е изяснен въпросът за възможността за решаване на алгебрични уравнения в радикали (норвежки учен Н. Абел, френски учен Е. Галоа).

През 19-ти и 20-ти век числените методи на математиката прерастват в самостоятелен клон - изчислителната математика. Клонът на математиката, който се развива през 19-ти и 20-ти век, математическата логика, намери важни приложения в новите компютърни технологии.

Материалът е подготвен от О. В. Лещенко, учител по математика.

Идеализираните свойства на изследваните обекти са или формулирани под формата на аксиоми, или изброени в дефиницията на съответните математически обекти. След това, съгласно строги правила на логическото заключение, други истински свойства (теореми) се извеждат от тези свойства. Тази теория заедно формира математически модел на изследвания обект. Така, първоначално изхождайки от пространствени и количествени отношения, математиката получава по-абстрактни отношения, чието изучаване също е предмет на съвременната математика.

Традиционно математиката се разделя на теоретична, която извършва задълбочен анализ на вътрешноматематическите структури, и приложна, която предоставя своите модели на други науки и инженерни дисциплини, някои от които заемат позиция, граничеща с математиката. По-специално, формалната логика може да се разглежда както като част от философските науки, така и като част от математическите науки; механика - както физика, така и математика; компютърните науки, компютърните технологии и алгоритмите попадат както в инженерните, така и в математическите науки и т.н. В литературата са предложени много различни дефиниции на математиката.

Етимология

Думата „математика“ идва от старогръцки. μάθημα, което означава изучаване, знания, науката, др.-гръцки. μαθηματικός, първоначално значение възприемчив, успешен, по късно уместно за изучаване, впоследствие свързани с математиката. В частност, μαθηματικὴ τέχνη , на латиница ars математика, означава изкуството на математиката. Терминът е старогръцки. μᾰθημᾰτικά в съвременния смисъл на думата „математика“ се среща още в трудовете на Аристотел (IV век пр.н.е.). Според Васмер думата е дошла в руския език или чрез полски. matematyka, или чрез лат. математика.

Дефиниции

Едно от първите определения на предмета на математиката е дадено от Декарт:

Областта на математиката включва само онези науки, в които се разглежда или редът, или мярката, и изобщо не е важно дали това са числа, фигури, звезди, звуци или нещо друго, в което се търси тази мярка. Следователно трябва да има някаква обща наука, която да обяснява всичко, свързано с реда и мярката, без да навлиза в изучаването на някакви конкретни теми, и тази наука трябва да се нарича не чужда, а старото име на универсалната математика, което вече е дошло в употреба.

Същността на математиката... сега се представя като учение за връзките между обекти, за които не се знае нищо, освен някои свойства, които ги описват - точно тези, които като аксиоми са в основата на теорията... Математиката е набор от абстрактни форми - математически структури.

Раздели по математика

1. Математика как учебна дисциплина

Наименования

Тъй като математиката се занимава с изключително разнообразни и доста сложни структури, нейната нотация също е много сложна. Съвременната система за писане на формули се формира на базата на европейската алгебрична традиция, както и на нуждите на по-късните клонове на математиката - математически анализ, математическа логика, теория на множествата и др. От незапомнени времена геометрията използва визуален (геометричен ) представителство. В съвременната математика сложните графични системи за означение (например комутативни диаграми) също са често срещани; графично-базирани означения също често се използват.

Разказ

Философия на математиката

Цели и методи

пространство R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), при n > 3 (\displaystyle n>3)е математическо изобретение. Въпреки това, това е много гениално изобретение, което помага да се разберат математически сложни явления».

Причини

Интуиционизъм

Конструктивна математика

изяснявам

Основни теми

Количество

Основният раздел, който се занимава с абстракцията на количеството, е алгебрата. Понятието „число“ първоначално произлиза от аритметичните понятия и е свързано с естествените числа. По-късно, с помощта на алгебрата, постепенно се разширява до цели, рационални, реални, комплексни и други числа.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\lточки ) Рационални числа 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Реални числа − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\lточки ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\точки) Комплексни числа Кватерниони

Трансформации

Анализът разглежда явленията на трансформациите и промените в най-общ вид.

Конструкции

Пространствени отношения

Геометрията изследва основите на пространствените отношения. Тригонометрията изследва свойствата на тригонометричните функции. Диференциалната геометрия е изследване на геометрични обекти чрез математически анализ. Свойствата на пространствата, които остават непроменени при непрекъснати деформации, и самото явление на непрекъснатост се изучават от топологията.

Дискретна математика

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Математиката е възникнала много отдавна. Човекът събираше плодове, изкопаваше плодове, хващаше риба и съхраняваше всичко това за зимата. За да разбере колко храна е била съхранявана, човекът изобретил броенето. Така започва да се появява математиката.

Тогава човекът започва да се занимава със земеделие. Беше необходимо да се измерват парцели земя, да се строят къщи и да се измерва времето.

Тоест стана необходимо човек да използва количественото отношение на реалния свят. Определете колко реколта е събрана, какъв е размерът на парцела за застрояване или колко голяма е площта на небето с определен брой ярки звезди.

Освен това човекът започва да определя формите: кръгло слънце, квадратна кутия, овално езеро и как тези обекти са разположени в пространството. Тоест, човек се интересува от пространствените форми на реалния свят.

По този начин концепцията математикаможе да се определи като наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят.

В момента няма нито една професия, в която човек би могъл да мине без математика. Известният немски математик Карл Фридрих Гаус, който е наричан „Кралят на математиката“, веднъж каза:

"Математиката е кралицата на науките, аритметиката е кралицата на математиката."

Думата "аритметика" произлиза от гръцката дума "arithmos" - "число".

По този начин, аритметикае дял от математиката, който изучава числата и операциите с тях.

В началното училище се преподава предимно аритметика.

Как се разви тази наука, нека проучим този въпрос.

Периодът на раждане на математиката

За основен период на натрупване на математически знания се смята времето преди 5 век пр.н.е.

Първият, който започва да доказва математически твърдения, е древногръцкият мислител, живял през 7 век пр. н. е., предполагаемо 625 - 545 г. Този философ пътува до страните на Изтока. Преданията казват, че той е учил при египетските жреци и вавилонските халдейци.

Талес от Милет донесе първите концепции за елементарна геометрия от Египет в Гърция: какво е диаметър, какво определя триъгълника и т.н. Предсказал слънчево затъмнение и проектирал инженерни конструкции.

През този период постепенно се развива аритметиката, развиват се астрономията и геометрията. Раждат се алгебрата и тригонометрията.

Период на елементарна математика

Този период започва от VI пр.н.е. Сега математиката се появява като наука с теории и доказателства. Появява се теорията на числата, учението за количествата и тяхното измерване.

Най-известният математик от това време е Евклид. Той е живял през 3 век пр.н.е. Този човек е автор на първия теоретичен трактат по математика, който е достигнал до нас.

В трудовете на Евклид са дадени основите на т. нар. Евклидова геометрия - това са аксиоми, които почиват на основни понятия, като напр.

През периода на елементарната математика възниква теорията на числата, както и учението за количествата и тяхното измерване. За първи път се появяват отрицателни и ирационални числа.

В края на този период се наблюдава създаването на алгебрата като буквално смятане. Самата наука „алгебра“ се появява сред арабите като наука за решаване на уравнения. Думата "алгебра" на арабски означава "възстановяване", тоест прехвърляне на отрицателни стойности към друга част от уравнението.

Период на математиката на променливите

За основоположник на този период се смята Рене Декарт, живял през 17 век сл. Хр. В своите писания Декарт за първи път въвежда концепцията за променливо количество.

Благодарение на това учените преминават от изследване на постоянни величини към изследване на зависимости между променливи величини и към математическо описание на движението.

Този период е най-ярко характеризиран от Фридрих Енгелс, в своите писания той пише:

„Повратната точка в математиката беше декартовата променлива. Благодарение на това движението и по този начин диалектиката навлязоха в математиката и благодарение на това веднага стана необходимо диференциалното и интегралното смятане, което веднага възниква и което като цяло беше завършено, а не изобретено от Нютон и Лайбниц.

Период на съвременната математика

През 20-те години на 19 век Николай Иванович Лобачевски става основател на така наречената неевклидова геометрия.

От този момент започва развитието на най-важните клонове на съвременната математика. Като теория на вероятностите, теория на множествата, математическа статистика и т.н.

Всички тези открития и изследвания намират широко приложение в различни области на науката.

И в момента науката за математиката се развива бързо, предметът на математиката се разширява, включително нови форми и отношения, доказват се нови теореми и се задълбочават основните понятия.

Идеализираните свойства на изследваните обекти са или формулирани под формата на аксиоми, или изброени в дефиницията на съответните математически обекти. След това, съгласно строги правила на логическото заключение, други истински свойства (теореми) се извеждат от тези свойства. Тази теория заедно формира математически модел на изследвания обект. Така първоначално, въз основа на пространствени и количествени отношения, математиката получава по-абстрактни отношения, изучаването на които също е предмет на съвременната математика.

Традиционно математиката се разделя на теоретична, която извършва задълбочен анализ на вътрешноматематическите структури, и приложна, която предоставя своите модели на други науки и инженерни дисциплини, някои от които заемат позиция, граничеща с математиката. По-специално, формалната логика може да се разглежда както като част от философските науки, така и като част от математическите науки; механика - както физика, така и математика; компютърните науки, компютърните технологии и алгоритмиката са свързани както с инженерните, така и с математическите науки и т.н. В литературата са предложени много различни дефиниции на математиката (виж).

Етимология

Думата „математика“ идва от старогръцки. μάθημα ( máthēma), което означава изучаване, знания, науката, др.-гръцки. μαθηματικός ( mathēmatikós), първоначално значение възприемчив, успешен, по късно уместно за изучаване, впоследствие свързани с математиката. В частност, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), на латиница ars математика, означава изкуството на математиката.

Дефиниции

Областта на математиката включва само онези науки, в които се разглежда или редът, или мярката, и изобщо не е важно дали това са числа, фигури, звезди, звуци или нещо друго, в което се търси тази мярка. Следователно трябва да има някаква обща наука, която да обяснява всичко, свързано с реда и мярката, без да навлиза в изучаването на някакви конкретни теми, и тази наука трябва да се нарича не чужда, а старото име на универсалната математика, което вече е дошло в употреба.

В съветско време определението от TSB, дадено от А. Н. Колмогоров, се счита за класическо:

Математиката... науката за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят.

Същността на математиката... сега се представя като учение за връзките между обекти, за които не се знае нищо, освен някои свойства, които ги описват - точно тези, които като аксиоми са в основата на теорията... Математиката е набор от абстрактни форми - математически структури.

Нека дадем още няколко съвременни определения.

Съвременната теоретична („чиста“) математика е наука за математическите структури, математическите инварианти на различни системи и процеси.

Математиката е наука, която дава възможност за изчисляване на модели, които могат да бъдат редуцирани до стандартна (канонична) форма. Наука за намиране на решения на аналитични модели (анализ) с помощта на формални трансформации.

Раздели по математика

1. Математика как учебна дисциплинасе подразделя в Руската федерация на елементарна математика, изучавана в средното училище и формирана от дисциплините:

• елементарна геометрия: планиметрия и стереометрия
• теория на елементарните функции и елементи на анализа

4. Американското математическо дружество (AMS) е разработило свой собствен стандарт за класифициране на клоновете на математиката. Нарича се Класификация на предметите по математика. Този стандарт се актуализира периодично. Текущата версия е MSC 2010. Предишната версия е MSC 2000.

Наименования

Тъй като математиката се занимава с изключително разнообразни и доста сложни структури, нотната система също е много сложна. Съвременната система за писане на формули се формира на базата на европейската алгебрична традиция, както и на математическия анализ (концепцията за функция, производна и др.). От незапомнени времена геометрията използва визуално (геометрично) представяне. В съвременната математика сложните графични системи за означение (например комутативни диаграми) също са често срещани; графично-базирани означения също често се използват.

Разказ

Развитието на математиката се основава на писането и умението да пишем числа. Вероятно древните хора първо са изразявали количествата, като са рисували линии на земята или са ги надрасквали върху дърво. Древните инки, които не са имали друга писмена система, са представяли и съхранявали числови данни, използвайки сложна система от възли на въжета, наречена quipus. Имаше много различни бройни системи. Първите известни записи на числа са открити в папируса на Ахмес, създаден от египтяните от Средното царство. Цивилизацията на Инд разработи съвременната десетична бройна система, която включва концепцията за нула.

Исторически основните математически дисциплини възникват от необходимостта да се извършват изчисления в търговската сфера, при измерване на земя и да се предсказват астрономически явления и по-късно да се решават нови физически проблеми. Всяка от тези области играе голяма роля в широкото развитие на математиката, което се състои от изучаване на структури, пространства и промени.

Философия на математиката

Цели и методи

Математиката изучава въображаеми, идеални обекти и връзките между тях, използвайки формален език. Като цяло, математическите концепции и теореми не е задължително да съответстват на нещо във физическия свят. Основната задача на приложния раздел на математиката е да създаде математически модел, който да е достатъчно адекватен на реалния обект на изследване. Задачата на теоретичния математик е да осигури достатъчен набор от удобни средства за постигане на тази цел.

Съдържанието на математиката може да се определи като система от математически модели и средства за тяхното създаване. Моделът на обект не отчита всички негови характеристики, а само най-необходимите за целите на изследването (идеализирани). Например, когато изучаваме физическите свойства на портокала, можем да се абстрахираме от неговия цвят и вкус и да си го представим (макар и не съвсем точно) като топка. Ако трябва да разберем колко портокали ще получим, ако съберем два и три, тогава можем да се абстрахираме от формата, оставяйки модела само с една характеристика - количеството. Абстракцията и установяването на връзки между обекти в най-обща форма е едно от основните направления на математическото творчество.

Друга посока, наред с абстракцията, е обобщението. Например, обобщаване на понятието „пространство“ до пространство с n-измерения. " Космосът е математическо изобретение. Въпреки това, това е много гениално изобретение, което помага да се разберат математически сложни явления».

Изследването на вътрешноматематически обекти, като правило, се извършва с помощта на аксиоматичния метод: първо се формулира списък от основни понятия и аксиоми за обектите, които се изучават, а след това се получават значими теореми от аксиомите, използвайки правила за извод, които заедно образуват математически модел.

Причини

Въпросът за същността и основите на математиката се обсъжда още от времето на Платон. От 20-ти век насам има относително съгласие относно това какво се квалифицира като строго математическо доказателство, но малко съгласие относно това, което се счита за присъщо вярно в математиката. Това води до разногласия както по въпросите на аксиоматиката и взаимовръзката на клоновете на математиката, така и при избора на логически системи, които трябва да се използват в доказателствата.

В допълнение към скептичния, известни са следните подходи към този въпрос.

Теоретико-множествен подход

Предлага се да се разглеждат всички математически обекти в рамките на теорията на множествата, най-често с аксиоматиката на Цермело-Френкел (въпреки че има много други еквивалентни на нея). Този подход се счита за преобладаващ от средата на 20-ти век, но в действителност повечето математически трудове не се стремят да преведат твърденията си стриктно на езика на теорията на множествата, а оперират с концепции и факти, установени в някои области на математиката. По този начин, ако се открие противоречие в теорията на множествата, това няма да доведе до обезсилване на повечето от резултатите.

Логизъм

Този подход предполага стриктно типизиране на математическите обекти. Много парадокси, избягвани в теорията на множествата само чрез специални трикове, се оказват принципно невъзможни.

Формализъм

Този подход включва изучаване на формални системи, базирани на класическата логика.

Интуиционизъм

Интуиционизмът приема, че математиката се основава на интуиционистка логика, която е по-ограничена в своите средства за доказване (но се смята, че е по-надеждна). Интуиционизмът отхвърля доказателството чрез противоречие, много неконструктивни доказателства стават невъзможни и много проблеми на теорията на множествата стават безсмислени (неформализируеми).

Конструктивна математика

Конструктивната математика е движение в математиката, близко до интуиционизма, което изучава конструктивни конструкции [ изяснявам] . По критерия за конструктивност - “ да съществуваш означава да бъдеш изграден" Критерият за конструктивност е по-силно изискване от критерия за последователност.

Основни теми

Числа

Понятието „число“ първоначално се отнася до естествените числа. По-късно постепенно се разширява до цели, рационални, реални, комплексни и други числа.

Цели числа Рационални числа Реални числа Комплексни числа Кватерниони

Бройни системи
Броене комплекти	Естествени числа () Цели числа () Рационални () Алгебрични () Периоди Изчислима аритметика
Реални числа и техните разширения	Реални () Комплексни () Кватерниони () Числа на Кейли (октави, октониони) () Цедениони () Алтерниони Процедура на Кейли-Диксън Двойна хиперкомплексна Суперреална Хиперреална Сюрреалистично число ( Английски)
други бройни системи	Кардинални числа Поредни числа (трансфинитни, ординални) p-adic Свръхестествени числа
Вижте също	Двойни числа Ирационални числа Трансцендентален числов лъч Бикватернион

Трансформации

Дискретна математика

Кодове в системите за класификация на знанието

Онлайн услуги

Има голям брой сайтове, които предоставят услуги за математически изчисления. Повечето от тях говорят английски. Сред рускоезичните можем да отбележим услугата за математически заявки на търсачката Nigma.

Вижте също

Популяризатори на науката

Бележки

1. Енциклопедия Британика
2. Онлайн речник на Webster
3. Глава 2. Математиката като език на науката. Сибирски отворен университет. Архивиран от оригинала на 2 февруари 2012 г. Посетен на 5 октомври 2010 г.
4. Голям старогръцки речник (αω)
5. Речник на руския език XI-XVII век. Брой 9 / гл. изд. Ф. П. Филин. - М.: Наука, 1982. - С. 41.
6. Декарт Р.Правила за насочване на ума. М.-Л.: Соцекгиз, 1936.
7. Виж: Математика TSB
8. Маркс К., Енгелс Ф.Есета. 2-ро изд. Т. 20. С. 37.
9. Бурбаки Н.Архитектура на математиката. Очерци по история на математиката / Превод на И. Г. Башмакова, изд. К. А. Рибникова. М.: IL, 1963. С. 32, 258.
10. Казиев В. М.Въведение в математиката
11. Мухин О. И.Урок за моделиране на системи. Перм: RCI PSTU.
12. Херман Вайл // Клайн М.. - М.: Мир, 1984. - С. 16.
13. Държавен образователен стандарт за висше професионално образование. Специалност 01.01.00г. „Математика“. Квалификация - Математик. Москва, 2000 г. (Съставен под ръководството на О. Б. Лупанов)
14. Номенклатура на специалностите на научните работници, одобрена със заповед на Министерството на образованието и науката на Русия от 25 февруари 2009 г. № 59
15. УДК 51 Математика
16. Я. С. Бугров, С. М. Николски. Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия. М.: Наука, 1988. С. 44.
17. Н. И. Кондаков. Логически речник-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
18. Г. И. Рузавин. За природата на математическото познание. М.: 1968 г.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Например: http://mathworld.wolfram.com

Литература

Енциклопедии

• // Енциклопедичен речник на Брокхаус и Ефрон: В 86 тома (82 тома и 4 допълнителни). - Санкт Петербург. , 1890-1907.
• Математическа енциклопедия (5 тома), 1980 г. // Общи и специални справочници по математика в EqWorld
• Кондаков Н. И.Логически речник-справочник. М.: Наука, 1975.
• Енциклопедия на математическите науки и техните приложения (немски) 1899-1934. (най-голямото изследване на литературата от 19 век)

Справочници

• Г. Корн, Т. Корн.Наръчник по математика за учени и инженери М., 1973.

Книги

• Клайн М.Математика. Загуба на сигурност. - М.: Мир, 1984.
• Клайн М.Математика. Търсене на истината. М.: Мир, 1988.
• Клайн Ф.Елементарна математика от по-висока гледна точка.

• Том I. Аритметика. Алгебра. Анализ М.: Наука, 1987. 432 с.
• Том II. Геометрия М.: Наука, 1987. 416 с.

• Курант Р., Г. Робинс.Какво е математика? 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: 2001. 568 с.
• Писаревски Б. М., Харин В. Т.За математиката, математиците и др. - М.: Бином. Лаборатория Знание, 2012. - 302 с.
• Поанкаре А.Наука и метод (руски) (френски)

Математиката е една от най-древните науки. Да се ​​даде кратко определение на математиката не е никак лесно, съдържанието му ще варира значително в зависимост от нивото на математическо образование на дадено лице. Ученик от началното училище, който току-що е започнал да учи аритметика, ще каже, че математиката изучава правилата за броене на предмети. И той ще бъде прав, тъй като точно с това се запознава в началото. По-големите ученици ще добавят към казаното, че понятието математика включва алгебра и изучаване на геометрични обекти: прави, техните пресечни точки, равнинни фигури, геометрични тела, различни видове трансформации. Завършилите гимназия също ще включат в дефиницията си за математика изучаването на функциите и действието на преминаване към граница, както и свързаните понятия за производна и интеграл. Завършилите висши технически учебни заведения или факултети по природни науки на университети и педагогически институти вече няма да се задоволяват с училищни дефиниции, тъй като знаят, че математиката включва и други дисциплини: теория на вероятностите, математическа статистика, диференциално смятане, програмиране, изчислителни методи, както и като приложения на тези дисциплини за моделиране на производствени процеси, обработка на експериментални данни, прехвърляне и обработка на информация. Изброеното обаче не изчерпва съдържанието на математиката. Теорията на множествата, математическата логика, оптималното управление, теорията на случайните процеси и много други също са включени в неговия състав.

Опитите да се дефинира математиката чрез изброяване на нейните съставни клонове ни подвеждат, тъй като те не дават представа какво точно изучава математиката и каква е нейната връзка със света около нас. Ако подобен въпрос бъде зададен на физик, биолог или астроном, всеки от тях ще даде много кратък отговор, без да съдържа списък на частите, които съставляват науката, която изучават. Такъв отговор би съдържал индикация за природните явления, които тя изучава. Например биолог би заявил, че биологията е изследване на различните проявления на живота. Нека този отговор не е напълно пълен, тъй като не казва какво представлява животът и жизнените явления, но въпреки това такова определение би дало доста пълна представа за съдържанието на самата наука биология и различните нива на тази наука. И това определение няма да се промени с разширяването на познанията ни по биология.

Няма природни явления, технически или социални процеси, които биха били обект на изучаване на математиката, но не биха били свързани с физически, биологични, химични, инженерни или социални явления. Всяка естественонаучна дисциплина: биология и физика, химия и психология - се определя от материалните особености на нейния предмет, специфичните особености на областта от реалния свят, която изучава. Самият обект или явление може да бъде изследван с различни методи, включително математически, но променяйки методите, ние все още оставаме в границите на тази дисциплина, тъй като съдържанието на тази наука е истинският обект, а не методът на изследване. За математиката материалният предмет на изследване не е от решаващо значение, важен е използвания метод. Например тригонометричните функции могат да се използват както за изследване на осцилаторно движение, така и за определяне на височината на недостъпен обект. Какви явления от реалния свят могат да бъдат изследвани с помощта на математическия метод? Тези явления се определят не от тяхната материална природа, а изключително от формални структурни свойства и преди всичко от онези количествени отношения и пространствени форми, в които те съществуват.

И така, математиката изучава не материални обекти, а методи на изследване и структурни свойства на обекта на изследване, които позволяват да се прилагат определени операции към него (сумиране, диференциране и др.). Значителна част от математическите проблеми, концепции и теории обаче имат за първичен източник реални явления и процеси. Например, аритметиката и теорията на числата се появиха от основната практическа задача за броене на обекти. Елементарната геометрия има своя източник в проблеми, свързани със сравняване на разстояния, изчисляване на площите на плоски фигури или обемите на пространствени тела. Всичко това трябваше да се намери, тъй като беше необходимо да се преразпределят парцели между потребителите, да се изчисли размерът на зърнохранилищата или обемът на изкопните работи по време на изграждането на отбранителни структури.

Математическият резултат има свойството, че не само може да се използва при изследване на едно конкретно явление или процес, но и да се използва за изследване на други явления, чиято физическа природа е фундаментално различна от разгледаните по-рано. По този начин правилата на аритметиката са приложими при икономически проблеми, при технически въпроси, при решаване на селскостопански проблеми и в научни изследвания. Аритметичните правила са разработени преди хиляди години, но са запазили своята приложна стойност за вечността. Аритметиката е неразделна част от математиката, нейната традиционна част вече не подлежи на творческо развитие в рамките на математиката, но намери и ще намери много нови приложения. Тези приложения може да са от голямо значение за човечеството, но те вече няма да имат принос към самата математика.

Математиката, като творческа сила, има за цел разработването на общи правила, които трябва да се използват в много специални случаи. Този, който създава тези правила, създава нещо ново, създава. Всеки, който прилага готови правила, вече не създава в самата математика, но е много вероятно да създава нови стойности в други области на знанието с помощта на математически правила. Например, днес данните от интерпретацията на космически изображения, както и информацията за състава и възрастта на скалите, геохимичните и геофизичните аномалии се обработват с помощта на компютри. Няма съмнение, че използването на компютри в геоложките изследвания оставя тези изследвания геологични. Принципите на работа на компютрите и техния софтуер са разработени, без да се отчита възможността за използването им в интерес на геологическата наука. Самата тази възможност се определя от факта, че структурните свойства на геоложките данни са в съответствие с логиката на определени компютърни програми.

Широко разпространени са две дефиниции на математиката. Първият от тях е даден от Ф. Енгелс в работата „Анти-Дюринг“, а другият от група френски математици, известни като Никола Бурбаки, в статията „Архитектурата на математиката“ (1948 г.).

„Чистата математика има за обект пространствените форми и количествените отношения на реалния свят.“ Това определение не само описва обекта на изучаване на математиката, но също така посочва неговия произход - действителния свят. Това определение на Ф. Енгелс обаче до голяма степен отразява състоянието на математиката през втората половина на 19 век. и не взема предвид тези нови области от него, които не са пряко свързани нито с количествени отношения, нито с геометрични форми. Това е преди всичко математическата логика и дисциплините, свързани с програмирането. Следователно това определение се нуждае от известно пояснение. Може би трябва да се каже, че математиката има за обект на изследване пространствени форми, количествени отношения и логически конструкции.

Семейство Бурбаки твърдят, че „единствените математически обекти са, строго погледнато, математически структури“. С други думи, математиката трябва да се дефинира като наука за математическите структури. Това определение по същество е тавтология, тъй като заявява само едно нещо: математиката се занимава с обектите, които изучава. Друг недостатък на това определение е, че не изяснява връзката на математиката със света около нас. Нещо повече, семейство Бурбаки подчертават, че математическите структури се създават независимо от реалния свят и неговите явления. Ето защо семейство Бурбаки са принудени да заявят, че „основният проблем е връзката между експерименталния свят и математическия свят. Това, че съществува тясна връзка между експерименталните явления и математическите структури, изглежда е потвърдено по напълно неочакван начин от откритията на съвременната физика, но дълбоките причини за това са напълно неизвестни за нас ... и може би никога няма да ги разберем .”

Такова разочароващо заключение не може да произтича от определението на Ф. Енгелс, тъй като то вече съдържа твърдението, че математическите понятия са абстракции от определени отношения и форми на реалния свят. Тези концепции са взети от и свързани с реалния свят. По същество именно това обяснява удивителната приложимост на резултатите от математиката към явленията от заобикалящия ни свят и в същото време успеха на процеса на математизиране на знанието.

Математиката не прави изключение от всички области на знанието – тя също формира понятия, които възникват от практически ситуации и последващи абстракции; тя ни позволява да изучаваме реалността и приблизително. Но трябва да се има предвид, че математиката не изучава нещата от реалния свят, а абстрактни понятия и че нейните логически заключения са абсолютно строги и точни. Апроксимацията му няма вътрешен характер, а е свързана със съставянето на математически модел на явлението. Нека отбележим също, че правилата на математиката нямат абсолютна приложимост; те също имат ограничена област на приложение, където царуват. Нека изясним тази идея с пример: оказва се, че две и две не винаги са равни на четири. Известно е, че при смесване на 2 литра спирт и 2 литра вода се получават по-малко от 4 литра от сместа. В тази смес молекулите са подредени по-компактно и обемът на сместа е по-малък от сбора на обемите на съставните компоненти. Правилото за добавяне на аритметика е нарушено. Можете също така да дадете примери, в които се нарушават други истини на аритметиката, например при добавяне на някои обекти се оказва, че сумата зависи от реда на сумирането.

Много математици разглеждат математическите понятия не като творение на чист разум, а като абстракции от реално съществуващи неща, явления, процеси или абстракции от вече съществуващи абстракции (абстракции от по-висок порядък). В "Диалектика на природата" Ф. Енгелс пише, че "... цялата така наречена чиста математика се занимава с абстракции ... всички нейни количества са, строго погледнато, въображаеми количества ..." Тези думи съвсем ясно отразяват мнението на един на основоположниците на марксистката философия за ролята на абстракциите в математиката. Трябва само да добавим, че всички тези „въображаеми величини” са взети от реалната реалност, а не са конструирани произволно, от свободния полет на мисълта. Така понятието число навлиза в широка употреба. Първоначално това бяха числа в единици и освен това само положителни цели числа. Тогава опитът ме принуди да разширя арсенала си от числа до десетки и стотици. Идеята за неограничения брой цели числа се ражда в епоха, исторически близка до нас: Архимед в книгата си „Псаммит“ („Смятане на песъчинките“) показва как е възможно да се конструират числа, дори по-големи от дадени такива. В същото време, от практически нужди, се ражда концепцията за дробните числа. Изчисленията, свързани с най-простите геометрични фигури, доведоха човечеството до нови числа - ирационални. Така постепенно се формира идеята за набора от всички реални числа.

Същият път може да се следва за всякакви други концепции на математиката. Всички те възникват от практически нужди и постепенно се оформят в абстрактни понятия. Можем отново да си припомним думите на Ф. Енгелс: „...чистата математика има значение, независимо от специалния опит на всеки индивид... Но е напълно невярно, че в чистата математика умът се занимава само с продуктите на собствените си креативност и въображение. Понятията число и цифра не са взети отникъде, а само от реалния свят. Десетте пръста, на които хората са се научили да броят, тоест да извършват първото аритметично действие, са всичко друго, но не и продукт на свободното творчество на ума. За да се брои, човек трябва не само да има обекти, които могат да бъдат броени, но също така да има способността да се абстрахира, когато разглежда тези обекти от всички други свойства, с изключение на числото, и тази способност е резултат от дълго историческо развитие, основано на опит. Както понятието число, така и понятието фигура са заимствани изключително от външния свят и не са възникнали в главата от чисто мислене. Трябваше да има неща, които имат определена форма и тези форми трябваше да бъдат сравнени, преди да може да се стигне до концепцията за фигура.

Нека помислим дали в науката има концепции, които са създадени без връзка с миналия прогрес на науката и настоящия прогрес на практиката. Ние много добре знаем, че научното математическо творчество се предхожда от изучаване на много предмети в училище, университет, четене на книги, статии, разговори със специалисти както в собствената област, така и в други области на знанието. Математикът живее в обществото и от книгите, по радиото и от други източници научава за проблеми, възникващи в науката, инженерството и обществения живот. В допълнение, мисленето на изследователя е повлияно от цялата предишна еволюция на научната мисъл. Следователно тя се оказва подготвена за решаване на определени проблеми, необходими за развитието на науката. Ето защо един учен не може да поставя проблеми произволно, по прищявка, а трябва да създава математически концепции и теории, които биха били ценни за науката, за другите изследователи, за човечеството. Но математическите теории запазват своето значение в условията на различни обществени формации и исторически епохи. Освен това често едни и същи идеи възникват от учени, които по никакъв начин не са свързани помежду си. Това е допълнителен аргумент срещу онези, които се придържат към концепцията за свободното творчество на математическите понятия.

И така, ние обяснихме какво е включено в понятието „математика“. Но има и такова нещо като приложна математика. Разбира се като съвкупността от всички математически методи и дисциплини, които намират приложения извън математиката. В древни времена геометрията и аритметиката са представлявали цялата математика и тъй като и двете са намерили многобройни приложения в търговския обмен, измерването на площи и обеми и по въпросите на навигацията, цялата математика е била не само теоретична, но и приложна. По-късно в Древна Гърция възниква разделение на математика и приложна математика. Въпреки това, всички изключителни математици са се занимавали и с приложения, а не само с чисто теоретични изследвания.

По-нататъшното развитие на математиката беше непрекъснато свързано с прогреса на естествените науки, технологиите и появата на нови социални потребности. До края на 18в. възникна необходимостта (предимно във връзка с проблемите на навигацията и артилерията) да се създаде математическа теория на движението. Г. В. Лайбниц и И. Нютон направиха това в своите трудове. Приложната математика е попълнена с нов, много мощен изследователски метод - математически анализ. Почти едновременно нуждите на демографията и застраховането доведоха до формирането на началото на теорията на вероятностите (виж Теория на вероятностите). XVIII и XIX век. разшири съдържанието на приложната математика, като добави към него теорията на обикновените и частични диференциални уравнения, уравненията на математическата физика, елементите на математическата статистика и диференциалната геометрия. ХХ век донесе нови методи за математическо изследване на практически проблеми: теория на случайните процеси, теория на графите, функционален анализ, оптимално управление, линейно и нелинейно програмиране. Освен това се оказа, че теорията на числата и абстрактната алгебра имат неочаквани приложения към проблеми във физиката. В резултат на това започна да се налага убеждението, че приложна математика като отделна дисциплина не съществува и всяка математика може да се счита за приложна. Може би трябва да говорим не за това, че математиката е приложна и теоретична, а за това, че математиците се делят на приложни и теоретици. За някои математиката е метод за разбиране на света около нас и случващите се в него явления; именно за тази цел учените развиват и разширяват математическите знания. За други самата математика представлява цял свят, достоен за изучаване и развитие. За напредъка на науката са необходими учени и от двата типа.

Математиката, преди да изучава каквото и да е явление, използвайки свои собствени методи, създава своя математически модел, т.е. изброява всички онези характеристики на явлението, които ще бъдат взети под внимание. Моделът принуждава изследователя да избере онези математически инструменти, които ще му позволят да предаде адекватно характеристиките на изучаваното явление и неговата еволюция. Като пример, нека вземем модел на планетарна система: Слънцето и планетите се разглеждат като материални точки със съответните маси. Взаимодействието на всеки две точки се определя от силата на привличане между тях

където m 1 и m 2 са масите на взаимодействащите точки, r е разстоянието между тях и f е гравитационната константа. Въпреки простотата на този модел, през последните триста години той предава с голяма точност характеристиките на движението на планетите от Слънчевата система.

Разбира се, всеки модел огрубява реалността и задачата на изследователя е преди всичко да предложи модел, който, от една страна, най-пълно предава фактическата страна на въпроса (както се казва, неговите физически характеристики), а от друга от друга страна, дава значително приближение до реалността. Разбира се, за едно и също явление могат да бъдат предложени няколко математически модела. Всички те имат право на съществуване, докато значително разминаване между модел и реалност започне да ги засяга.

Математиката е наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят. В неразривна връзка с изискванията на науката и технологиите запасът от количествени отношения и пространствени форми, изучавани от математиката, непрекъснато се разширява, така че горното определение трябва да се разбира в най-общ смисъл.

Целта на изучаването на математика е повишаване на общия възглед, култура на мислене и формиране на научен мироглед.

Разбирането на самостоятелното положение на математиката като специална наука става възможно след натрупването на достатъчно голям фактически материал и възниква за първи път в Древна Гърция през 6-5 век пр.н.е. Това беше началото на периода на елементарната математика.

През този период математическите изследвания се занимават само със сравнително ограничен набор от основни понятия, възникнали с най-простите нужди на икономическия живот. В същото време вече има качествено подобрение на математиката като наука.

Съвременната математика често се сравнява с голям град. Това е отлично сравнение, защото в математиката, както в големия град, има непрекъснат процес на растеж и усъвършенстване. В математиката се появяват нови области, изграждат се елегантни и дълбоки нови теории, като изграждането на нови квартали и сгради. Но прогресът на математиката не се ограничава до промяна на лицето на града поради изграждането на нов. Трябва да сменим и старото. Старите теории се включват в нови, по-общи; има нужда от укрепване на основите на стари сгради. Трябва да се прокарат нови улици, за да се осъществят връзки между отдалечените квартали на математическия град. Но това не е достатъчно - архитектурният дизайн изисква значителни усилия, тъй като разнообразието от различни области на математиката не само разваля цялостното впечатление за науката, но и пречи на разбирането на науката като цяло и установяването на връзки между различните й части.

Често се използва и друго сравнение: математиката се оприличава на голямо разклонено дърво, което систематично произвежда нови издънки. Всеки клон на дървото е една или друга област на математиката. Броят на клоните не остава непроменен, тъй като нови клони растат, тези, които са израснали отделно, растат заедно, а някои от клоните изсъхват, лишени от хранителни сокове. И двете сравнения са успешни и предават много добре действителното състояние на нещата.

Няма съмнение, че изискването за красота играе важна роля в изграждането на математическите теории. Разбира се, усещането за красота е много субективно и често се срещат доста грозни идеи по този въпрос. И все пак човек трябва да бъде изненадан от единодушието, което математиците влагат в понятието „красота“: резултатът се счита за красив, ако от малък брой условия е възможно да се получи общо заключение, което се отнася за широк кръг от обекти. Едно математическо извеждане се счита за красиво, ако успее да докаже важен математически факт, използвайки прости и кратки разсъждения. Зрелостта на един математик и неговият талант се забелязват от това колко добре е развито чувството му за красота. Естетически завършените и математически перфектни резултати са по-лесни за разбиране, запомняне и използване; по-лесно е да се идентифицират връзките им с други области на знанието.

Математиката в наше време се превърна в научна дисциплина с много области на изследване, огромен брой резултати и методи. Математиката вече е толкова голяма, че не е възможно един човек да я обхване във всичките й части, няма възможност да бъде универсален специалист по нея. Загубата на връзки между отделните й направления със сигурност е негативна последица от бурното развитие на тази наука. Развитието на всички клонове на математиката обаче има нещо общо - произходът на развитието, корените на дървото на математиката.

Геометрията на Евклид като първата естественонаучна теория

• През III в. пр. н. е. в Александрия се появява едноименна книга на Евклид в руския превод на „Принципи“. Терминът „елементарна геометрия” произлиза от латинското наименование „начало”. Въпреки факта, че произведенията на предшествениците на Евклид не са достигнали до нас, можем да съставим някакво мнение за тези произведения въз основа на Елементите на Евклид. В "Принципите" има раздели, които логично са много слабо свързани с други раздели. Появата им може да се обясни само с факта, че са въведени според традицията и копират „Елементите” на предшествениците на Евклид.

  Елементи на Евклид се състои от 13 книги. Книги 1 - 6 са посветени на планиметрията, книги 7 - 10 са за аритметика и несъизмерими величини, които могат да бъдат конструирани с помощта на пергел и линийка. Книги от 11 до 13 бяха посветени на стереометрията.

  Принципите започват с представяне на 23 определения и 10 аксиоми. Първите пет аксиоми са „общи понятия“, останалите се наричат ​​„постулати“. Първите два постулата определят действията с помощта на идеален владетел, третият - с помощта на идеален компас. Четвъртото, „всички прави ъгли са равни един на друг“ е излишно, тъй като може да бъде изведено от останалите аксиоми. Последният, пети постулат гласи: „Ако една права линия пада върху две прави и образува вътрешни едностранни ъгли в сумата на по-малко от две прави, тогава при неограничено продължение на тези две прави линии те ще се пресичат на страната, където ъглите са по-малки от две прави линии."

  Петте „общи понятия“ на Евклид са принципите за измерване на дължини, ъгли, площи, обеми: „равните, равни на едно и също, са равни едно на друго“, „ако равните се добавят към равните, сумите са равни“, „ако равните са извадени от равни, остатъците са равни.” помежду си”, “комбинираните помежду си са равни помежду си”, “цялото е по-голямо от частта”.

  След това започна критиката на геометрията на Евклид. Евклид беше критикуван по три причини: защото разглеждаше само тези геометрични величини, които могат да бъдат конструирани с помощта на пергел и линийка; за факта, че той раздели геометрията и аритметиката и доказа за цели числа това, което вече беше доказал за геометричните величини и накрая за аксиомите на Евклид. Най-силно критикуваният постулат беше петият, най-сложен постулат на Евклид. Мнозина го смятат за излишно и че може и трябва да бъде изведено от други аксиоми. Други смятат, че трябва да се замени с по-проста и по-очевидна, еквивалентна на нея: „През точка извън права не може да се начертае повече от една права линия в тяхната равнина, която не пресича дадената права.“

  Критиката на пропастта между геометрията и аритметиката доведе до разширяване на понятието число до реално число. Споровете за петия постулат доведоха до факта, че в началото на 19 век Н. И. Лобачевски, Я. Бояй и К. Ф. Гаус конструираха нова геометрия, в която бяха изпълнени всички аксиоми на геометрията на Евклид, с изключение на петия постулат. То беше заменено с противоположното твърдение: „В една равнина, през точка извън права, могат да бъдат начертани повече от една права, която не пресича дадената.“ Тази геометрия беше толкова последователна, колкото и геометрията на Евклид.

  Планиметричният модел на Лобачевски върху евклидовата равнина е конструиран от френския математик Анри Поанкаре през 1882 г.

  Нека начертаем хоризонтална линия на евклидовата равнина. Тази линия се нарича абсолютна (x). Точки от евклидовата равнина, лежащи над абсолюта, са точки от равнината на Лобачевски. Равнината на Лобачевски е отворена полуравнина, разположена над абсолюта. Неевклидовите сегменти в модела на Поанкаре са дъги от окръжности с център абсолюта или сегменти от прави линии, перпендикулярни на абсолюта (AB, CD). Фигура на равнината на Лобачевски е фигура на отворена полуравнина, разположена над абсолюта (F). Неевклидовото движение е композиция от краен брой инверсии, центрирани върху абсолютната и аксиалната симетрия, чиито оси са перпендикулярни на абсолютната. Две неевклидови отсечки са равни, ако едната от тях може да бъде пренесена в другата чрез неевклидово движение. Това са основните понятия на аксиоматиката на планиметрията на Лобачевски.

  Всички аксиоми на планиметрията на Лобачевски са последователни. „Неевклидова права линия е полукръг с краища в абсолюта или лъч с начало в абсолюта и перпендикулярен на абсолюта.“ По този начин твърдението на аксиомата за паралелизъм на Лобачевски е валидно не само за някаква права a и точка A, които не лежат на тази права, но също и за всяка права a и всяка точка A, които не лежат на нея.

  След геометрията на Лобачевски възникват други последователни геометрии: проективна геометрия, отделена от евклидовата, възниква многомерната евклидова геометрия, възниква риманова геометрия (общата теория на пространствата с произволен закон за измерване на дължините) и др. От науката за фигурите в едно триизмерно Евклидовото пространство, геометрията за 40-50 години се превърна в набор от различни теории, само донякъде подобни на своя прародител - евклидовата геометрия.

  Основните етапи в развитието на съвременната математика. Структура на съвременната математика

• Академик А. Н. Колмогоров идентифицира четири периода в развитието на математиката. - Математика, Математически енциклопедичен речник, Москва, Съветска енциклопедия, 1988: произходът на математиката, елементарна математика, математика на променливите, съвременна математика.

  По време на развитието на елементарната математика теорията на числата постепенно израства от аритметиката. Алгебрата е създадена като буквално смятане. И системата за представяне на елементарната геометрия, създадена от древните гърци - геометрията на Евклид - за две хилядолетия напред се превърна в модел на дедуктивното изграждане на математическата теория.

  През 17 век нуждите на естествените науки и технологиите доведоха до създаването на методи, които направиха възможно математическото изследване на движението, процесите на промяна на количествата и трансформацията на геометрични фигури. Периодът на математиката на променливите величини започва с използването на променливите в аналитичната геометрия и създаването на диференциално и интегрално смятане. Големите открития на 17 век са концепцията за безкрайно малка величина, въведена от Нютон и Лайбниц, създаването на основите на анализа на безкрайно малките величини (математически анализ).

  Концепцията за функция излиза на преден план. Функцията става основен предмет на изследване. Изучаването на функция води до основните понятия на математическия анализ: граница, производна, диференциал, интеграл.

  Към това време датира и появата на гениалната идея на Р. Декарт за координатния метод. Създава се аналитична геометрия, която ви позволява да изучавате геометрични обекти с помощта на методите на алгебрата и анализа. От друга страна, методът на координатите отвори възможността за геометрична интерпретация на алгебрични и аналитични факти.

  По-нататъшното развитие на математиката доведе в началото на 19 век до формулирането на проблема за изучаване на възможните видове количествени отношения и пространствени форми от доста обща гледна точка.

  Връзката между математиката и природните науки става все по-сложна. Възникват нови теории и те възникват не само в резултат на изискванията на естествените науки и технологиите, но и в резултат на вътрешните нужди на математиката. Забележителен пример за такава теория е въображаемата геометрия на Н. И. Лобачевски. Развитието на математиката през 19-ти и 20-ти век ни позволява да го отнесем към периода на съвременната математика. Развитието на самата математика, математизацията на различни области на науката, навлизането на математическите методи в много области на практическата дейност и напредъкът на компютърните технологии доведоха до появата на нови математически дисциплини, например изследване на операциите, теория на игрите , математическа икономика и др.

  Основните методи в математическите изследвания са математическите доказателства – строги логически разсъждения. Математическото мислене не се ограничава до логически разсъждения. За да формулирате правилно проблем и да оцените избора на метод за решаването му, е необходима математическа интуиция.

  В математиката се изучават математически модели на обекти. Същият математически модел може да опише свойствата на реални явления, които са далеч едно от друго. Така едно и също диференциално уравнение може да опише процесите на нарастване на населението и разпадане на радиоактивната материя. За математика е важно не естеството на разглежданите обекти, а връзките, съществуващи между тях.

  Има два вида изводи, използвани в математиката: дедукция и индукция.

  Индукцията е метод на изследване, при който се изгражда общо заключение въз основа на конкретни предпоставки.

  Дедукцията е метод на разсъждение, чрез който определено заключение следва от общи предпоставки.

  Математиката играе важна роля в науката, инженерството и хуманитарните науки. Причината за навлизането на математиката в различни области на знанието е, че тя предлага много ясни модели за изучаване на заобикалящата действителност, за разлика от по-малко общите и по-неясни модели, предлагани от другите науки. Без съвременната математика с нейните развити логически и изчислителни апарати прогресът в различни области на човешката дейност би бил невъзможен.

  Математиката е не само мощен инструмент за решаване на приложни задачи и универсален език на науката, но и елемент от общата култура.

  Основни черти на математическото мислене

• По този въпрос особен интерес представлява характеристиката на математическото мислене, дадено от А. Я. Хинчин, или по-скоро неговата специфична историческа форма - стилът на математическото мислене. Разкривайки същността на стила на математическото мислене, той идентифицира четири черти, общи за всички епохи, които значително отличават този стил от стиловете на мислене в другите науки.

  Първо, математикът се характеризира с доминирането на логическата схема на разсъждение, доведена до краен предел. Математик, който поне временно е изгубил от поглед тази схема, като цяло е лишен от възможността да мисли научно. Тази специфична черта на стила на математическото мислене има голяма стойност в него. Очевидно ви позволява да следите в максимална степен правилността на хода на мисълта и гарантира срещу грешки; от друга страна, тя принуждава мислещия, когато анализира, да има пред очите си целия набор от налични възможности и го задължава да вземе предвид всяка една от тях, без да пропуска нито една (подобни пропуски са напълно възможни и всъщност , често се наблюдават в други стилове на мислене).

  На второ място, лаконизмът, т.е. съзнателно желание винаги да се намира най-краткият логичен път, водещ до дадена цел, безмилостен отказ от всичко, което е абсолютно необходимо за безупречната полезност на аргумента. Математическото есе в добър стил не толерира никаква „вода“, никакво украсяване, отслабване на логическото напрежение от ръкогласие или разсейване отстрани; изключителната пестеливост, строгата строгост на мисълта и нейното представяне представляват неразделна характеристика на математическото мислене. Тази функция е от голяма стойност не само за математически, но и за всякакви други сериозни разсъждения. Лаконизмът, желанието да се избегне всичко ненужно, помага както на самия мислител, така и на неговия читател или слушател да се концентрират напълно върху даден ход на мисли, без да се разсейват от странични идеи и без да губят пряк контакт с основната линия на разсъждение.

  Светилата на науката по правило мислят и се изразяват лаконично във всички области на знанието, дори когато мисълта ги създава и представя принципно нови идеи. Какво величествено впечатление създава например благородната сребролюбие на мисълта и словото на най-големите творци на физиката: Нютон, Айнщайн, Нилс Бор! Може да е трудно да се намери по-ярък пример за дълбокото въздействие, което стилът на мислене на неговите създатели може да окаже върху развитието на науката.

  За математиката лаконизмът на мисълта е неоспорим закон, канонизиран от векове. Всеки опит да се натовари презентацията с ненужни (дори и приятни и увлекателни за слушателите) картини, разсейвания или изказвания, предварително се поставя под легитимно подозрение и автоматично предизвиква критично внимание.

  Трето, ясно разделение на хода на разсъжденията. Ако, например, когато доказваме твърдение, трябва да разгледаме четири възможни случая, всеки от които може да бъде разделен на един или друг брой подслучаи, тогава във всеки момент на разсъждение математикът трябва ясно да помни в кой случай и подслучай е неговата мисъл сега придобити и какви дела и подслучаи все още остават за разглеждане. При всякакъв вид разклонено изброяване математикът трябва във всеки момент да е наясно за кое родово понятие изброява видовите понятия, които го съставят. В обикновеното, ненаучно мислене много често наблюдаваме в такива случаи обърквания и скокове, водещи до объркване и грешки в разсъжденията. Често се случва човек да започне да изброява видовете от един род, а след това незабележимо за слушателите (а често и за себе си), възползвайки се от недостатъчната логическа яснота на разсъжденията, да прескочи на друг род и да завърши с твърдението, че сега и двата рода са класифицирани; и слушателите или читателите не знаят къде е границата между видовете от първия и втория вид.

  За да направят подобни обърквания и скокове невъзможни, математиците отдавна широко използват прости външни методи за номериране на понятия и преценки, понякога (но много по-рядко) използвани в други науки. Тези възможни случаи или онези общи понятия, които трябва да бъдат взети предвид в даден аргумент, се преномерират предварително; във всеки такъв случай тези отговарящи на условията подслучаи, които съдържа, също се преномерират (понякога, за разграничение, като се използва друга система за номериране). Преди всеки параграф, където започва разглеждането на нов подслучай, се поставя обозначението, прието за този подслучай (например: II 3 - това означава, че тук започва разглеждането на третия подслучай на втория случай или описание на третия тип от втория вид, ако говорим за класификация). И читателят знае, че докато не попадне на нова числителна рубрика, всичко изложено се отнася само за този падеж и подпадеж. От само себе си се разбира, че такова номериране служи само като външен инструмент, много полезен, но в никакъв случай задължителен, и че същността на въпроса не е в него, а в отчетливото разчленяване на аргументацията или класификацията, което едновременно стимулира и маркира .

  Четвърто, стриктна точност на символиката, формулите, уравненията. Тоест, „всеки математически символ има строго определено значение: замяната му с друг символ или пренареждането му на друго място, като правило, води до изкривяване, а понякога и до пълно унищожаване на смисъла на дадено твърдение“.

  След като подчертава основните характеристики на математическия стил на мислене, А. Я. Хинчин отбелязва, че математиката (особено математиката на променливите) е диалектическа по природа и следователно допринася за развитието на диалектическото мислене. Наистина, в процеса на математическото мислене има взаимодействие между визуалното (конкретното) и концептуалното (абстрактното). „Не можем да мислим за линия“, пише Кант, „без да я начертаем мислено; не можем да мислим за три измерения, без да начертаем три линии, перпендикулярни една на друга от една точка.“

  Взаимодействието на конкретното и абстрактното „води” математическото мислене до развитието на нови и нови понятия и философски категории. В древната математика (математика на постоянните величини) това са били „число” и „пространство”, които първоначално са били отразени в аритметиката и евклидовата геометрия, а по-късно в алгебрата и различни геометрични системи. Математиката на променливите величини се „основава“ на понятия, които отразяват движението на материята – „крайни“, „безкрайни“, „непрекъснатост“, „дискретни“, „безкрайно малки“, „производни“ и т.н.

  Ако говорим за съвременния исторически етап на развитие на математическото познание, то той върви в съответствие с по-нататъшното развитие на философските категории: теорията на вероятността „овладява“ категориите на възможното и случайното; топология - категории връзка и непрекъснатост; теория на катастрофата – категория скок; теория на групите – категории симетрия и хармония и др.

  Математическото мислене изразява основните принципи на изграждане на сходни по форма логически връзки. С негова помощ се извършва преход от индивидуалното (да речем от определени математически методи - аксиоматични, алгоритмични, конструктивни, теоретико-множествени и други) към специалното и общото, към обобщени дедуктивни конструкции. Единството на методите и предмета на математиката определя спецификата на математическото мислене и ни позволява да говорим за специален математически език, в който не само се отразява реалността, но и се синтезират, обобщават и прогнозират научните знания. Силата и красотата на математическата мисъл се крие в изключителната яснота на нейната логика, елегантността на нейния дизайн и умелото изграждане на абстракции.

  С изобретяването на компютъра и създаването на машинната математика се откриха принципно нови възможности за умствена дейност. Настъпиха значителни промени в езика на математиката. Ако езикът на класическата изчислителна математика се състоеше от формули на алгебрата, геометрията и анализа и беше фокусиран върху описанието на непрекъснати процеси в природата, изучавани предимно в механиката, астрономията и физиката, тогава съвременният й език е езикът на алгоритмите и програмите , включително стария език на формулите като частен случай.

  Езикът на съвременната изчислителна математика става все по-универсален, способен да описва сложни (многопараметрични) системи. В същото време бих искал да подчертая, че колкото и съвършен да е математическият език, усъвършенстван от електронно-изчислителната технология, той не прекъсва връзките с многообразния „жив“, естествен език. Освен това говоримият език е в основата на изкуствения език. В тази връзка интерес представлява скорошно откритие на учените. Въпросът е, че древният език на индианците аймара, говорен от приблизително 2,5 милиона души в Боливия и Перу, се оказа изключително удобен за компютър. Още през 1610 г. италианският йезуитски мисионер Лудовико Бертони, който състави първия речник на аймара, отбеляза гениалността на неговите създатели, които постигнаха висока логическа чистота. В аймара, например, няма неправилни глаголи и изключения от няколкото ясни граматически правила. Тези характеристики на езика аймара позволиха на боливийския математик Иван Гусман де Рохас да създаде система за симултанен компютърен превод от всеки от петте европейски езика, включени в програмата, „мостът“ между които е езикът аймара. Компютърът Aymara, създаден от боливийски учен, беше високо оценен от експертите. Обобщавайки тази част от въпроса за същността на математическия стил на мислене, трябва да се отбележи, че основното му съдържание е разбирането на природата.

  Аксиоматичен метод

• Аксиоматиката е основният начин за изграждане на теория, от древни времена до наши дни, потвърждавайки нейната универсалност и пълна приложимост.

  Изграждането на математическа теория се основава на аксиоматичния метод. Научната теория се основава на определени първоначални положения, наречени аксиоми, а всички други положения на теорията се получават като логически следствия от аксиомите.

  Аксиоматичният метод се появява в Древна Гърция и в момента се използва в почти всички теоретични науки и най-вече в математиката.

  Сравнявайки три, в известен смисъл, допълващи се геометрии: Евклидова (параболична), Лобачевски (хиперболична) и Риманова (елиптична), трябва да се отбележи, че наред с някои прилики има голяма разлика между сферичната геометрия, от една страна , а геометриите на Евклид и Лобачевски - от друга.

  Фундаменталната разлика между съвременната геометрия е, че сега тя обхваща „геометриите“ на безкраен брой различни въображаеми пространства. Все пак трябва да се отбележи, че всички тези геометрии са интерпретации на евклидовата геометрия и се основават на аксиоматичния метод, използван за първи път от Евклид.

  Въз основа на изследвания е разработен и широко използван аксиоматичният метод. Като специален случай на прилагане на този метод е методът на следите в стереометрията, който позволява решаването на задачи за конструиране на сечения в полиедри и някои други позиционни проблеми.

  Аксиоматичният метод, разработен за първи път в геометрията, сега се е превърнал във важен инструмент за изследване в други клонове на математиката, физиката и механиката. В момента се работи за подобряване и по-задълбочено изучаване на аксиоматичния метод за изграждане на теория.

  Аксиоматичният метод за изграждане на научна теория се състои в изолиране на основните понятия, формулиране на аксиомите на теориите и всички други твърдения се извеждат логически, въз основа на тях. Известно е, че едно понятие трябва да се обясни с помощта на други, които от своя страна също се дефинират с помощта на някои добре познати понятия. Така стигаме до елементарни понятия, които не могат да бъдат дефинирани чрез други. Тези понятия се наричат ​​основни.

  Когато доказваме твърдение, теорема, ние разчитаме на предпоставки, които се считат за вече доказани. Но тези предпоставки също бяха доказани; те трябваше да бъдат обосновани. В крайна сметка стигаме до недоказуеми твърдения и ги приемаме без доказателства. Тези твърдения се наричат ​​аксиоми. Наборът от аксиоми трябва да бъде такъв, че въз основа на него да могат да се доказват допълнителни твърдения.

  След като идентифицирахме основните понятия и формулирахме аксиоми, след това извеждаме теореми и други понятия по логичен начин. Това е логическата структура на геометрията. Аксиомите и основните понятия съставляват основите на планиметрията.

  Тъй като е невъзможно да се даде едно-единствено определение на основните понятия за всички геометрии, основните понятия на геометрията трябва да се определят като обекти от всякакво естество, които отговарят на аксиомите на тази геометрия. По този начин, при аксиоматичното изграждане на геометрична система, ние започваме от определена система от аксиоми или аксиоматика. Тези аксиоми описват свойствата на основните понятия на геометричната система и можем да представим основните понятия под формата на обекти от всякакво естество, които имат свойствата, посочени в аксиомите.

  След формулирането и доказването на първите геометрични твърдения става възможно доказването на някои твърдения (теореми) с помощта на други. Доказателствата на много теореми се приписват на Питагор и Демокрит.

  На Хипократ от Хиос се приписва съставянето на първия систематичен курс по геометрия, основан на дефиниции и аксиоми. Този курс и неговите последващи обработки бяха наречени „Елементи“.

  Аксиоматичен метод за изграждане на научна теория

• Създаването на дедуктивен или аксиоматичен метод за конструиране на науката е едно от най-големите постижения на математическата мисъл. Това изискваше работата на много поколения учени.

  Забележителна характеристика на дедуктивната система на представяне е простотата на тази конструкция, която позволява тя да бъде описана с няколко думи.

  Дедуктивната система на представяне се свежда до:

  1) към изброяването на основните понятия,

  2) към представянето на дефиниции,

  3) към представянето на аксиоми,

  4) към представянето на теореми,

  5) към доказателството на тези теореми.

  Аксиомата е твърдение, прието без доказателства.

  Теоремата е твърдение, което следва от аксиомите.

  Доказателството е неразделна част от дедуктивна система; това е разсъждение, което показва, че истинността на дадено твърдение следва логически от истинността на предишни теореми или аксиоми.

  Два въпроса не могат да бъдат разрешени в рамките на една дедуктивна система: 1) за значението на основните понятия, 2) за истинността на аксиомите. Но това не означава, че тези въпроси са напълно неразрешими.

  Историята на естествената наука показва, че възможността за аксиоматично изграждане на определена наука се появява само на доста високо ниво на развитие на тази наука, въз основа на голямо количество фактически материали, което позволява ясно да се идентифицират основните връзки и отношения, които съществуват между обектите, изучавани от тази наука.

  Пример за аксиоматична конструкция на математическата наука е елементарната геометрия. Системата от аксиоми на геометрията е изложена от Евклид (около 300 г. пр. н. е.) в ненадминатия по своята значимост труд “Принципи”. Тази система е запазена в основните си характеристики и до днес.

  Основни понятия: точка, права линия, равнина;основни изображения; лежат между, принадлежат, движение.

  Елементарната геометрия има 13 аксиоми, които са разделени на пет групи. В петата група има една аксиома за паралелите (Евклидов постулат V): през точка на равнина може да се начертае само една права линия, която не пресича дадената права. Това е единствената аксиома, която изисква доказателство. Опитите за доказване на петия постулат занимават математиците повече от 2 хилядолетия, до първата половина на 19 век, т.е. до момента, в който Николай Иванович Лобачевски доказва в своите трудове пълната безперспективност на тези опити. В момента недоказуемостта на петия постулат е строго доказан математически факт.

  Аксиома за паралела N.I. Лобачевски го замени с аксиомата: Нека в дадена равнина са дадени права линия и точка, лежаща извън правата. През тази точка могат да бъдат начертани поне две успоредни прави към дадена права.

  От новата система от аксиоми Н.И. Лобачевски с безупречна логическа строгост изведе хармонична система от теореми, които съставляват съдържанието на неевклидовата геометрия. И двете геометрии на Евклид и Лобачевски като логически системи са равнопоставени.

  Трима велики математици през 19 век, почти едновременно, независимо един от друг, стигат до едни и същи резултати за недоказуемостта на петия постулат и създаването на неевклидовата геометрия.

  Николай Иванович Лобачевски (1792-1856)

  Карл Фридрих Гаус (1777-1855)

  Янош Бояй (1802-1860)

  Математическо доказателство

• Основният метод в математическите изследвания е математическото доказателство – строги логически разсъждения. Поради обективна необходимост, казва член-кореспондентът на Руската академия на науките Л. Д. Кудрявцев Л. Д. Кудрявцев - Съвременната математика и нейното преподаване, Москва, Наука, 1985 г., логическите разсъждения (които по своята същност, ако са правилни, са строги) представляват метода на математиката, без тях математиката е немислима. Трябва да се отбележи, че математическото мислене не се ограничава до логически разсъждения. За правилното формулиране на проблем, за оценка на неговите данни, за идентифициране на съществените и за избор на метод за решаването му е необходима и математическа интуиция, която позволява да се предвиди желаният резултат, преди да бъде получен, и да се очертае пътя на изследване, използващо правдоподобни разсъждения. Но валидността на разглеждания факт се доказва не чрез проверката му на редица примери, не чрез провеждане на редица експерименти (което само по себе си играе голяма роля в математическите изследвания), а чрез чисто логически метод, според законите на формалната логика.

  Смята се, че математическото доказателство е върховната истина. Решение, което се основава на чиста логика, просто не може да бъде грешно. Но с развитието на науката задачите пред математиците стават все по-сложни.

  „Навлязохме в ера, когато математическият апарат стана толкова сложен и тромав, че на пръв поглед вече не е възможно да се каже дали възникналият проблем е верен или не“, смята Кейт Девлин от Станфордския университет в Калифорния, САЩ. Той цитира като пример „класификацията на простите крайни групи“, която е формулирана през 1980 г., но все още не е дадено пълно точно доказателство. Най-вероятно теоремата е вярна, но е невъзможно да се каже абсолютно сигурно.

  Компютърното решение също не може да се нарече точно, тъй като такива изчисления винаги имат грешка. През 1998 г. Хейлс предлага компютърно решение на теоремата на Кеплер, формулирана през 1611 г. Тази теорема описва най-плътното опаковане на топки в космоса. Доказателството беше представено на 300 страници и съдържаше 40 000 реда машинен код. 12 рецензенти проверяваха решението в продължение на една година, но не постигнаха 100% увереност в правилността на доказателствата и изследването беше изпратено за преразглеждане. В резултат на това той беше публикуван едва след четири години и без пълно заверяване на рецензенти.

  Всички скорошни изчисления за приложни задачи се извършват на компютър, но учените смятат, че за по-голяма надеждност математическите изчисления трябва да се представят без грешки.

  Теорията на доказателството е разработена в логиката и включва три структурни компонента: теза (това, което се предполага, че се доказва), аргументи (набор от факти, общоприети концепции, закони и др. на съответната наука) и демонстрация (процедурата за разработване на самото доказателство; последователна верига от изводи, когато n-тото заключение стане една от предпоставките на n+1-то заключение). Правилата за доказване са подчертани и възможните логически грешки са посочени.

  Математическото доказателство има много общо с принципите, установени от формалната логика. Освен това математическите правила за разсъждение и операции очевидно са послужили като една от основите в развитието на доказателствената процедура в логиката. По-специално, изследователите на историята на формирането на формалната логика смятат, че по едно време, когато Аристотел е направил първите стъпки за създаване на закони и правила на логиката, той се е обърнал към математиката и практиката на правната дейност. В тези източници той намери материал за логичното изграждане на своята планова теория.

  През 20-ти век понятието доказателство губи строгото си значение, което се случва във връзка с откриването на логически парадокси, скрити в теорията на множествата, и особено във връзка с резултатите, донесени от теоремите на К. Гьодел за непълнотата на формализацията.

  На първо място, това се отрази на самата математика, във връзка с което беше изразено убеждението, че терминът „доказателство“ няма точна дефиниция. Но ако такова мнение (което съществува и до днес) засяга самата математика, тогава те стигат до извода, че доказателството трябва да се приеме не в логико-математическия, а в психологическия смисъл. Нещо повече, подобен възглед се среща и при самия Аристотел, който вярва, че да се докаже означава да се извършат разсъждения, които да ни убедят до такава степен, че използвайки ги, ние убеждаваме другите в правотата на нещо. Известна сянка на психологически подход намираме в А. Е. Есенин-Волпин. Той рязко се противопоставя на приемането на истината без доказателство, свързвайки това с акт на вяра и по-нататък пише: „Наричам доказателството за присъда честно приемане, което прави тази присъда неоспорима.“ Есенин-Волпин съобщава, че неговото определение все още се нуждае от пояснение. В същото време самото характеризиране на доказателствата като „честно приемане“ не разкрива ли призив към морална и психологическа оценка?

  В същото време откриването на парадоксите на теорията на множествата и появата на теоремите на Гьодел допринесоха за развитието на теорията на математическото доказателство, предприето от интуиционистите, особено от конструктивисткото направление, и Д. Хилберт.

  Понякога се смята, че математическото доказателство е универсално по природа и представлява идеална версия на научно доказателство. Въпреки това, това не е единственият метод; има и други методи на процедури и операции, основани на доказателства. Вярно е само, че математическото доказателство има много прилики с формално-логическото доказателство, прилагано в естествените науки, и че математическото доказателство има определена специфика, както и набор от техники и операции. Ще спрем дотук, като пропуснем общите черти, които го правят подобен на други форми на доказателство, тоест без да разширяваме алгоритъма, правилата, грешките и т.н. във всички стъпки (дори основните). процес на доказване.

  Математическото доказателство е разсъждение, чиято задача е да обоснове истинността (разбира се, в математически, т.е. като изводим смисъл) на всяко твърдение.

  Наборът от правила, използвани в доказателството, се формира заедно с появата на аксиоматичните конструкции на математическата теория. Това е осъзнато най-ясно и пълно в геометрията на Евклид. Неговите „Принципии“ се превърнаха в един вид модел на стандарт за аксиоматична организация на математическите знания и останаха такива за математиците дълго време.

  Твърденията, представени под формата на определена последователност, трябва да гарантират заключение, което при спазване на правилата на логическата операция се счита за доказано. Трябва да се подчертае, че определено разсъждение е доказателство само по отношение на определена аксиоматична система.

  При характеризиране на математическо доказателство се разграничават две основни характеристики. На първо място, математическото доказателство изключва всякакво позоваване на емпирични доказателства. Цялата процедура за обосноваване на истинността на едно заключение се извършва в рамките на приетата аксиоматика. Акад. А. Д. Александров подчертава в тази връзка. Можете да измерите ъглите на триъгълник хиляди пъти и да се уверите, че са равни на 2d. Но не можете да докажете нищо с математика. Можете да му го докажете, ако изведете горното твърдение от аксиомите. Да повторим. Тук математиката се доближава до методите на схоластиката, която също принципно отхвърля аргументацията, основана на експериментално дадени факти.

  Например, когато беше открита несъизмеримостта на сегментите, при доказването на тази теорема беше изключено прибягването до физически експеримент, тъй като, първо, самата концепция за „несъизмеримост“ е лишена от физически смисъл и, второ, математиците не можеха, когато се занимават с с абстракция, за привличане в помощ на материално конкретни разширения, измерени чрез сензорни и визуални методи. Несъизмеримостта, по-специално, на страните и диагоналите на квадрат се доказва въз основа на свойството на целите числа, използвайки теоремата на Питагор за равенството на квадрата на хипотенузата (съответно диагонала) на сумата от квадратите на краката (двете страни на правоъгълен триъгълник). Или когато Лобачевски търси потвърждение за своята геометрия, обръщайки се към резултатите от астрономически наблюдения, това потвърждение е извършено от него с помощта на чисто спекулативен характер. Интерпретациите на неевклидовата геометрия, извършени от Cayley-Klein и Beltrami, също включваха обикновено математически, а не физически обекти.

  Втората характеристика на математическото доказателство е неговата най-висока абстрактност, по която то се различава от доказателствените процедури в другите науки. И отново, както в случая с концепцията за математически обект, говорим не само за степента на абстракция, а за неговата природа. Факт е, че доказателството достига високо ниво на абстракция и в редица други науки, например във физиката, космологията и, разбира се, във философията, тъй като предметът на последната са крайните проблеми на битието и мисленето. Математиката се отличава с това, че тук функционират променливи, чийто смисъл е в абстрахиране от всякакви специфични свойства. Нека припомним, че по дефиниция променливите са знаци, които сами по себе си нямат значения и придобиват последното само когато се заменят с имена на определени обекти (индивидуални променливи) или когато се посочват специфични свойства и отношения (предикатни променливи), или, накрая, в случаите на заместване на променлива със смислено твърдение (пропозиционална променлива).

  Тази характеристика определя естеството на изключителната абстракция на знаците, използвани в математическото доказателство, както и твърденията, които поради включването на променливи в тяхната структура се превръщат във функции на твърдения.

  Самата доказателствена процедура, дефинирана в логиката като демонстрация, протича въз основа на правилата за извод, въз основа на които се извършва преходът от едно доказано твърдение към друго, образувайки последователна верига от изводи. Най-често срещаните са две правила (заместване и извод) и теоремата за дедукцията.

  Правило за заместване. В математиката заместването се дефинира като заместване на всеки от елементите a на дадено множество с някакъв друг елемент F (a) от същото множество. В математическата логика правилото за заместване се формулира по следния начин. Ако истинска формула M в пропозиционалното смятане съдържа буква, да речем A, тогава като я заменим навсякъде, където се среща с произволна буква D, получаваме формула, която е толкова вярна, колкото и оригиналната. Това е възможно и приемливо именно защото в смятането на твърденията се абстрахира от значението на твърденията (формулите)... Вземат се предвид само значенията „вярно” или „невярно”. Например във формулата M: A--> (BUA), на мястото на A заместваме израза (AUB), в резултат на което получаваме нова формула (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Правилото за правене на изводи съответства на структурата на условния категоричен силогизъм modus ponens (утвърдителен модус) във формалната логика. Изглежда така:

  а .

  Изявлението (a-> b) е дадено и a също е дадено. Това предполага б.

  Например: Ако вали, тогава настилката е мокра, вали (а), следователно настилката е мокра (б). В математическата логика този силогизъм се записва по следния начин (a-> b) a-> b.

  Изводът се определя, като правило, чрез разделения за импликация. Ако са дадени импликация (a-> b) и нейният антецедент (a), тогава имаме право да добавим към аргумента (доказателството) следствието от тази импликация (b). Силогизмът има задължителен характер, съставлявайки арсенал от дедуктивни средства за доказване, тоест той напълно отговаря на изискванията на математическите разсъждения.

  Основна роля в математическото доказателство играе теоремата за дедукция - общо наименование на редица теореми, чиято процедура позволява да се установи доказуемостта на импликацията: A-> B, когато има логическо извеждане на формула B от формула A. В най-често срещаната версия на пропозиционалното смятане (в класическата, интуиционистката и други видове математика) теоремата за дедукцията гласи следното. Ако са дадени система от предпоставки G и предпоставка A, от които според правилата могат да бъдат изведени B Г, A B (е знакът на производността), тогава следва, че само от предпоставките G може да се получи изречението А--> Б.

  Разгледахме типа, който е пряко доказателство. В същото време в логиката се използват и така наречените косвени доказателства, има косвени доказателства, които се развиват по следната схема. Като нямат, поради редица причини (недостъпност на обекта на изследване, загуба на реалността на неговото съществуване и др.) Възможност да проведат пряко доказателство за истинността на всяко твърдение или теза, те изграждат антитеза. Те са убедени, че антитезата води до противоречия и следователно е невярна. Тогава от факта на неистинността на антитезата се прави извод - въз основа на закона за изключената среда (a v) - за истинността на тезата.

  В математиката широко се използва една форма на косвено доказателство - доказателство чрез противоречие. Той е особено ценен и всъщност незаменим при приемането на фундаментални понятия и положения на математиката, например концепцията за действителната безкрайност, която не може да бъде въведена по друг начин.

  Операцията доказателство от противно е представена в математическата логика по следния начин. Дадена е последователност от формули G и отрицанието на A (G , A). Ако това предполага B и неговото отрицание (G, A B, не-B), тогава можем да заключим, че истинността на A следва от последователността на формулите G. С други думи, истинността на тезата следва от неистинността на антитезата .

  Препратки:

• 1. Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман, Висша математика за икономисти, учебник, Москва, 2002 г.;

  2. Л. Д. Кудрявцев, Съвременната математика и нейното преподаване, Москва, Наука, 1985 г.;

  3. О. И. Ларичев, Обективни модели и субективни решения, Москва, Наука, 1987;

  4. А.Я.Халамизер, „Математика? - Смешно!”, авторско издание, 1989 г.;

  5. П. К. Рашевски, Риманова геометрия и тензорен анализ, Москва, 3-то издание, 1967 г.;

  6. В. Е. Гмурман, Теория на вероятностите и математическа статистика, Москва, Висше училище, 1977 г.;

  7. World Wide Web Enternet.

Математиката, като наука за количествените отношения и пространствените форми на реалността, изучава света около нас, природни и социални явления. Но за разлика от други науки, математиката изучава техните специални свойства, абстрахирайки се от други. По този начин геометрията изучава формата и размера на обектите, без да взема предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. Като цяло математическите обекти (геометрична фигура, число, величина) са създадени от човешкия ум и съществуват само в човешкото мислене, в знаци и символи, които образуват математическия език.

Абстрактният характер на математиката й позволява да се прилага в голямо разнообразие от области и е мощен инструмент за разбиране на природата.

Формите на познание се делят на две групи.

Първа групапредставляват форми на сетивно познание, осъществявано с помощта на различни сетива: зрение, слух, мирис, допир, вкус.

Co. втора групавключват форми на абстрактно мислене, предимно концепции, твърдения и изводи.

Формите на сетивното познание са Усещам, възприятиеИ представителство.

Всеки обект има не едно, а много свойства и ние ги познаваме чрез усещания.

Чувство- това е отражение на индивидуални свойства на обекти или явления от материалния свят, които пряко (т.е. сега, в момента) влияят на нашите сетива. Това са усещания за червено, топло, кръгло, зелено, сладко, гладко и други индивидуални свойства на обектите [Getmanova, p. 7].

Възприемането на цял обект се състои от индивидуални усещания. Например, възприемането на ябълка се състои от следните усещания: сферична, червена, сладко-кисела, ароматна и др.

Възприятиее холистично отражение на външен материален обект, който пряко въздейства върху нашите сетива [Гетманова, с. 8]. Например изображение на чиния, чаша, лъжица, други прибори; изображението на река, ако сега се носим по нея или сме на нейния бряг; изображението на гора, ако сега сме пристигнали в гората и т.н.

Възприятията, въпреки че са сетивно отражение на реалността в съзнанието ни, до голяма степен зависят от човешкия опит. Например биологът ще възприеме поляната по един начин (ще види различни видове растения), но туристът или художникът ще я види по съвсем различен начин.

производителност- това е сензорен образ на обект, който в момента не се възприема от нас, но който преди това е бил възприеман от нас под една или друга форма [Гетманова, с. 10]. Например, можем визуално да си представим лицата на приятели, нашата стая в къщата, бреза или гъба. Това са примери възпроизвежданерепрезентации, тъй като видяхме тези обекти.

Презентацията може да бъде творчески, включително фантастично. Представяме Ви красивата принцеса Лебед, или Цар Салтан, или Златното петле, както и много други герои от приказките на А.С. Пушкин, който никога не сме виждали и никога няма да видим. Това са примери за творческо представяне, базирано на словесно описание. Представяме си и Снежанката, Дядо Коледа, русалката и др.

И така, формите на сетивното познание са усещания, възприятия и идеи. С тяхна помощ научаваме външните аспекти на даден обект (неговите признаци, включително свойства).

Формите на абстрактното мислене са понятия, твърдения и изводи.

Концепции. Обхват и съдържание на понятията

Терминът "концепция" обикновено се използва за обозначаване на цял клас обекти с произволен характер, които имат определено характерно (отличително, съществено) свойство или цял набор от такива свойства, т. свойства, присъщи само на елементи от този клас.

От гледна точка на логиката понятието е особена форма на мислене, която се характеризира със следното: 1) понятието е продукт на високо организирана материя; 2) понятието отразява материалния свят; 3) понятието се появява в съзнанието като средство за обобщение; 4) понятието означава конкретно човешка дейност; 5) формирането на концепция в съзнанието на човек е неделимо от нейното изразяване чрез реч, писане или символ.

Как в нашето съзнание възниква концепцията за всеки обект на реалността?

Процесът на формиране на определена концепция е постепенен процес, в който могат да се видят няколко последователни етапа. Нека разгледаме този процес, използвайки най-простия пример - формирането у децата на концепцията за числото 3.

1. На първия етап от познанието децата се запознават с различни конкретни набори, като използват предметни снимки и демонстрират различни набори от три елемента (три ябълки, три книги, три молива и др.). Децата не само виждат всеки един от тези набори, но също така могат да докоснат (докоснат) предметите, които съставляват тези комплекти. Този процес на „виждане” създава в съзнанието на детето специална форма на отражение на реалността, която се нарича възприятие (усещане).

2. Нека премахнем обектите (субектите), които съставляват всяко множество, и поканим децата да определят дали има нещо общо, което характеризира всяко множество. Броят на предметите във всеки комплект, фактът, че навсякъде имаше „три“, трябваше да се запечата в съзнанието на децата. Ако това е така, тогава в съзнанието на децата е създадена нова форма - идеята за числото "три".

3. На следващия етап, въз основа на мисловен експеримент, децата трябва да видят, че свойството, изразено в думата „три“, характеризира всеки набор от различни елементи на формата (a; b; c). Това ще подчертае съществена обща характеристика на такива комплекти: "да има три елемента."Сега можем да кажем, че в съзнанието на децата се формира концепция за номер 3.

Концепция- това е специална форма на мислене, която отразява съществените (отличителни) свойства на обектите или обектите на изследване.

Езиковата форма на понятието е дума или група от думи. Например „триъгълник“, „номер три“, „точка“, „права линия“, „равнобедрен триъгълник“, „растение“, „иглолистно дърво“, „река Енисей“, „маса“ и др.

Математическите понятия имат редица характеристики. Основното е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формулира концепция, не съществуват в действителност. Математическите обекти са създадени от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални обекти или явления. Например в геометрията те изучават формата и размера на обектите, без да вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Затова в геометрията вместо думата „обект“ казват „геометрична фигура“. Резултатът от абстракцията са такива математически понятия като "число" и "величина".

Основни характеристикивсякакви понятията саследното: 1) сила на звука; 2) съдържание; 3) връзки между понятията.

Когато се говори за математическа концепция, те обикновено означават цялото множество (набор) от обекти, обозначени с един термин (дума или група от думи). И така, като говорим за квадрат, имаме предвид всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че наборът от всички квадрати съставлява обхвата на понятието "квадрат".

Обхват на понятиетосе отнася до набор от обекти или предмети, към които се прилага това понятие.

Например, 1) обхватът на понятието "успоредник" е набор от четириъгълници като самите успоредници, ромби, правоъгълници и квадрати; 2) обхватът на понятието „едноцифрено естествено число“ ще бъде множеството - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Всеки математически обект има определени свойства. Например квадратът има четири страни, четири прави ъгъла, равни диагонали, диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка. Можете да посочите другите му свойства, но сред свойствата на обекта има съществен (отличителен)И незначителен.

Имотът се нарича значително (отличителен) за обект, ако е присъщ на този обект и без него той не може да съществува; имотът се нарича незначителен за обект, ако може да съществува без него.

Например, за един квадрат всички свойства, изброени по-горе, са съществени. Свойството „страната AD е хоризонтална” няма да е важно за квадрата ABCD (фиг. 1). Ако този квадрат се завърти, тогава страната AD ще бъде вертикална.

Нека да разгледаме пример за деца в предучилищна възраст, използвайки визуален материал (фиг. 2):

Опишете фигурата.

Малък черен триъгълник. Ориз. 2

Голям бял триъгълник.

По какво си приличат фигурите?

Как се различават фигурите?

Цвят, размер.

Какво има един триъгълник?

3 страни, 3 ъгъла.

Така децата откриват съществените и несъществените свойства на понятието „триъгълник“. Съществените свойства са „да има три страни и три ъгъла“, несъществените свойства са цвят и размер.

Съвкупността от всички съществени (отличителни) свойства на обект или предмет, отразени в дадено понятие, се нарича съдържание на понятието .

Например, за понятието "успоредник" съдържанието е набор от свойства: има четири страни, има четири ъгъла, противоположните страни са успоредни по двойки, противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни, диагоналите в точките на пресичане са разделени наполовина .

Съществува връзка между обема на понятието и неговото съдържание: ако обемът на понятието се увеличава, то съдържанието му намалява и обратно. Така, например, обхватът на понятието „равнобедрен триъгълник“ е част от обхвата на понятието „триъгълник“, а съдържанието на понятието „равнобедрен триъгълник“ включва повече свойства, отколкото съдържанието на понятието „триъгълник“, т.к. равнобедрен триъгълник има не само всички свойства на триъгълника, но и други, присъщи само на равнобедрен триъгълник („двете страни са равни“, „два ъгъла са равни“, „две медиани са равни“ и т.н.).

По обхват понятията се разделят на единичен, общИ категории.

Нарича се понятие, чийто обем е равен на 1 единна концепция .

Например понятията: „Река Енисей“, „Република Тува“, „град Москва“.

Понятията, чийто обем е по-голям от 1, се наричат общ .

Например понятията: „град“, „река“, „четириъгълник“, „число“, „многоъгълник“, „уравнение“.

В процеса на изучаване на основите на всяка наука децата формират предимно общи понятия. Например в началното училище учениците се запознават с понятия като „цифра“, „число“, „едноцифрени числа“, „двуцифрени числа“, „многоцифрени числа“, „дроб“, „дроб“ , „събиране“, „събиране“, „сума“, „изваждане“, „изваждане“, „умалено“, „разлика“, „умножение“, „множител“, „продукт“, „деление“, „дивидент“, „ делител”, “частно”, “ топка”, “цилиндър”, “конус”, “куб”, “паралелепипед”, “пирамида”, “ъгъл”, “триъгълник”, “четириъгълник”, “квадрат”, “правоъгълник” , "многоъгълник", "кръг" , "окръжност", "крива", "прекъсната линия", "отсечка", "дължина на отсечка", "лъч", "права линия", "точка", "дължина", "ширина" “, „височина“, „периметър“, „площ на фигура“, „обем“, „време“, „скорост“, „маса“, „цена“, „цена“ и много други. Всички тези понятия са общи понятия.

Математика 1. Откъде идва думата математика 2. Кой е изобретил математиката? 3. Основни теми. 4. Определение 5. Етимология Към последния слайд.

Откъде идва думата (преминете към предишния слайд) Математика от гръцки - изучаване, наука) - наука за структурите, реда и връзките, исторически разработена въз основа на операциите за преброяване, измерване и описване на формата на обекти. Математическите обекти се създават чрез идеализиране на свойствата на реални или други математически обекти и записване на тези свойства на формален език.

Кой е изобретил математиката (отидете в менюто) Първият математик обикновено се нарича Талес от Милет, живял през 6 век. пр.н.е д. , един от така наречените Седем мъдреци на Гърция. Както и да е, той беше първият, който структурира цялата база от знания по тази тема, която отдавна се формира в рамките на познатия му свят. Въпреки това, авторът на първия трактат по математика, достигнал до нас, е Евклид (3 век пр. н. е.). Той също може напълно заслужено да се счита за баща на тази наука.

Основни теми (отидете в менюто) Областта на математиката включва само онези науки, в които се разглежда ред или мярка, като изобщо не е важно дали това са числа, фигури, звезди, звуци или нещо друго, в което се намира тази мярка . Следователно трябва да има някаква обща наука, която да обяснява всичко, свързано с реда и мярката, без да навлиза в изучаването на някакви конкретни теми, и тази наука трябва да се нарича не чужда, а старото име на универсалната математика, което вече е дошло в употреба.

Дефиниция (отидете в менюто) Съвременният анализ се основава на класическия математически анализ, който се счита за една от трите основни области на математиката (заедно с алгебрата и геометрията). В същото време терминът "математически анализ" в класическия смисъл се използва главно в образователни програми и материали. В англо-американската традиция класическият математически анализ съответства на курсови програми, наречени „изчисление“

Етимология (отидете в менюто) Думата „математика“ идва от старогръцки. , което означава проучване, знание, наука и т.н. -гръцки, първоначално означаващ възприемчив, успешен, по-късно свързан с обучение, впоследствие свързан с математика. По-конкретно на латински това означава изкуството на математиката. Терминът е старогръцки. в съвременното значение на думата „математика" се среща още в произведенията на Аристотел (IV век пр. н. е.) В текстове на руски думата „математика" или „математика“ се среща поне от 17 век, напр. , в Николай Спафари в „Книга с избрани сведения за деветте музи и седемте свободни изкуства“ (1672 г.)