ওষুধের
কিভাবে একটি ফাংশনের চরম মান নির্ধারণ করতে হয়। ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাস, চরম

কিভাবে একটি ফাংশনের চরম মান নির্ধারণ করতে হয়। ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাস, চরম

এটি গণিতের একটি বরং আকর্ষণীয় বিভাগ, যা একেবারে সমস্ত স্নাতক এবং ছাত্রদের মুখোমুখি হয়। তবে সবাই মাতান পছন্দ করে না। কেউ কেউ আপাতদৃষ্টিতে স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন স্টাডির মতো মৌলিক জিনিসগুলিও বুঝতে পারে না। এই নিবন্ধটি এই ধরনের একটি তত্ত্বাবধান সংশোধন করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে. ফাংশন বিশ্লেষণ সম্পর্কে আরও জানতে চান? আপনি কি জানতে চান চরম পয়েন্টগুলি কী এবং কীভাবে সেগুলি খুঁজে পাবেন? তাহলে এই অনুচ্ছেদটি তোমার জন্যে।

একটি ফাংশনের গ্রাফ অধ্যয়ন করা

প্রথমত, কেন আপনাকে গ্রাফটি বিশ্লেষণ করতে হবে তা বোঝার যোগ্য। সহজ ফাংশন আছে যা আঁকা কঠিন নয়। এই ধরনের একটি ফাংশনের একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ একটি প্যারাবোলা। একটি গ্রাফ আঁকা কঠিন হবে না. যেটি প্রয়োজন তা হল, একটি সাধারণ রূপান্তর ব্যবহার করে, যে সংখ্যায় ফাংশনটি 0 মান নেয় সেই সংখ্যাগুলি খুঁজে বের করার জন্য। এবং নীতিগতভাবে, একটি প্যারাবোলার একটি গ্রাফ আঁকার জন্য আপনাকে এটিই জানতে হবে।

কিন্তু যদি আমাদের গ্রাফ করার ফাংশনটি আরও জটিল হয় তবে কী হবে? যেহেতু জটিল ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বেশ সুস্পষ্ট নয়, তাই একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন। এর পরেই ফাংশনটি গ্রাফিকভাবে চিত্রিত করা যেতে পারে। এই কিভাবে করবেন? আপনি এই নিবন্ধে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেতে পারেন।

ফাংশন বিশ্লেষণ পরিকল্পনা

আমাদের যা করতে হবে তা হল ফাংশনটির উপরিভাগের অধ্যয়ন করা, যার সময় আমরা সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে পাই। সুতরাং, এর ক্রম শুরু করা যাক. সংজ্ঞার ডোমেন হল মানগুলির সেট যার দ্বারা ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়। সহজভাবে বলতে গেলে, এই সংখ্যাগুলি x এর পরিবর্তে একটি ফাংশনে ব্যবহার করা যেতে পারে। সুযোগ নির্ধারণ করতে, আপনাকে শুধু রেকর্ডটি দেখতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, এটা স্পষ্ট যে ফাংশন y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 এর সংজ্ঞার একটি ডোমেন রয়েছে যা বাস্তব সংখ্যার সেট। ঠিক আছে, (x 2 - 2x)/x এর মতো একটি ফাংশন সহ সবকিছুই একটু আলাদা। যেহেতু হর এর সংখ্যা অবশ্যই 0 এর সমান হবে না, তাই এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হবে শূন্য ছাড়া অন্য সব বাস্তব সংখ্যা।

এর পরে, আপনাকে ফাংশনের তথাকথিত শূন্যগুলি খুঁজে বের করতে হবে। এগুলি হল আর্গুমেন্টের মান যেখানে পুরো ফাংশনটি শূন্যের মান নেয়। এটি করার জন্য, ফাংশনটিকে শূন্যের সাথে সমান করা প্রয়োজন, এটি বিশদভাবে বিবেচনা করুন এবং কিছু রূপান্তর সম্পাদন করুন। আগে থেকেই পরিচিত ফাংশন y(x) = (x 2 - 2x)/x নেওয়া যাক। স্কুল কোর্স থেকে আমরা জানি যে একটি ভগ্নাংশ 0 এর সমান যখন লব শূন্যের সমান। অতএব, আমরা হরকে বাদ দিই এবং লবের সাথে কাজ শুরু করি, এটিকে শূন্যের সমান করি। আমরা x 2 - 2x = 0 পাই এবং x বন্ধনীর বাইরে রাখি। তাই x (x - 2) = 0. ফলস্বরূপ, আমরা দেখতে পাই যে আমাদের ফাংশন শূন্যের সমান যখন x 0 বা 2 এর সমান হয়।

একটি ফাংশনের গ্রাফ পরীক্ষা করার সময়, অনেক লোক চরম বিন্দু আকারে সমস্যার সম্মুখীন হয়। এবং এটা অদ্ভুত. সব পরে, চরম একটি মোটামুটি সহজ বিষয়. বিশ্বাস করবেন না? নিবন্ধের এই অংশটি পড়ে নিজের জন্য দেখুন, যেখানে আমরা সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক পয়েন্ট সম্পর্কে কথা বলব।

প্রথমত, এক্সট্রিম কী তা বোঝার মতো। একটি extremum হল সীমা মান যা একটি ফাংশন একটি গ্রাফে পৌঁছায়। দেখা যাচ্ছে যে দুটি চরম মান রয়েছে - সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন। স্পষ্টতার জন্য, আপনি উপরের ছবিটি দেখতে পারেন। অধ্যয়নকৃত এলাকায়, পয়েন্ট -1 হল ফাংশনের সর্বাধিক y (x) = x 5 - 5x, এবং পয়েন্ট 1, সেই অনুযায়ী, সর্বনিম্ন।

এছাড়াও, ধারণাগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। একটি ফাংশনের এক্সট্রিম পয়েন্ট হল সেই আর্গুমেন্ট যেখানে একটি প্রদত্ত ফাংশন চরম মান অর্জন করে। পরিবর্তে, extremum হল একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিকের মান। উদাহরণস্বরূপ, উপরের চিত্রটি আবার বিবেচনা করুন। -1 এবং 1 হল ফাংশনের এক্সট্রিমা পয়েন্ট, এবং 4 এবং -4 হল এক্সট্রিমা।

চরম পয়েন্ট খোঁজা

কিন্তু আপনি কিভাবে একটি ফাংশনের চরম পয়েন্ট খুঁজে পাবেন? সবকিছু বেশ সহজ. প্রথম জিনিসটি হল সমীকরণের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা। ধরা যাক আমরা টাস্কটি পেয়েছি: "ফাংশন y (x) এর চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন, x হল আর্গুমেন্ট। স্বচ্ছতার জন্য, আসুন y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54 ফাংশনটি ধরা যাক। আসুন পার্থক্য করি এবং নিম্নলিখিত সমীকরণটি পান: 3x 2 + 4x + 1। ফলস্বরূপ, আমাদের একটি প্রমিত দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে। এর পরে আমাদের যা করতে হবে তা হল এটিকে শূন্যের সাথে সমান করা এবং মূল খুঁজে বের করা। যেহেতু বৈষম্যকারীটি শূন্যের চেয়ে বড় (D = 16 - 12 = 4), এই সমীকরণটি দুটি মূল দ্বারা নির্ধারিত হয়৷ সেগুলি খুঁজুন এবং দুটি মান পান: 1/3 এবং -1৷ এইগুলি হবে ফাংশনের চরম বিন্দু৷ যাইহোক, আপনি এখনও কীভাবে নির্ধারণ করতে পারেন কে কে? কোন বিন্দুটি সর্বাধিক এবং কোনটি সর্বনিম্ন? এটি করার জন্য, আপনাকে প্রতিবেশী বিন্দুটি নিতে হবে এবং এর মান খুঁজে বের করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, -2 নম্বরটি নিন, যা -1 থেকে স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর বাম দিকে অবস্থিত এই মানটিকে আমাদের সমীকরণ y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5 এ প্রতিস্থাপন করুন। ফলস্বরূপ, আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাই। এর মানে হল যে ফাংশন থেকে ব্যবধানে 1/3 থেকে -1 পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। , ঘুরে, মানে হল বিয়োগ অসীম থেকে 1/3 পর্যন্ত এবং -1 থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায়। এইভাবে, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে সংখ্যা 1/3 অধ্যয়নকৃত ব্যবধানে ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু এবং -1 হল সর্বাধিক বিন্দু।

এটিও লক্ষণীয় যে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য কেবলমাত্র চরম পয়েন্টগুলি খুঁজে পাওয়াই নয়, তাদের সাথে কিছু ধরণের অপারেশন (যোগ করা, গুণ করা ইত্যাদি) করাও প্রয়োজন। এই কারণেই সমস্যাটির অবস্থার দিকে বিশেষ মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান। সর্বোপরি, অসাবধানতার কারণে আপনি পয়েন্ট হারাতে পারেন।

একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা শেখার আগে, আপনাকে একটি এক্সট্রিমাম কী তা বুঝতে হবে। একটি এক্সট্রিমমের সবচেয়ে সাধারণ সংজ্ঞা হল যে এটি গণিতে ব্যবহৃত একটি সংখ্যা রেখা বা গ্রাফের একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম বা বৃহত্তম মান। যেখানে সর্বনিম্ন অবস্থিত সেখানে সর্বনিম্ন চরমতম প্রদর্শিত হয় এবং যেখানে সর্বাধিক অবস্থিত সেখানে সর্বাধিক চরমতম উপস্থিত হয়। এছাড়াও গাণিতিক বিশ্লেষণের মতো একটি শৃঙ্খলায়, একটি ফাংশনের স্থানীয় প্রান্ত চিহ্নিত করা হয়। এখন দেখা যাক কিভাবে চরম পয়েন্ট খুঁজে বের করা যায়।

গণিতের এক্সট্রিমা একটি ফাংশনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি; তারা এর বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি দেখায়। এক্সট্রিমা প্রধানত ফাংশন পাওয়া যাচ্ছে সমালোচনামূলক পয়েন্ট এ পাওয়া যায়. এটি লক্ষণীয় যে এটি চরম বিন্দুতে যে ফাংশনটি আমূলভাবে তার দিক পরিবর্তন করে। আপনি যদি চরম বিন্দুর ডেরিভেটিভ গণনা করেন, তাহলে, সংজ্ঞা অনুসারে, এটি শূন্যের সমান হওয়া উচিত বা সম্পূর্ণ অনুপস্থিত হবে। এইভাবে, একটি ফাংশনের প্রান্তটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা খুঁজে বের করতে, আপনাকে দুটি ক্রমিক কাজ সম্পাদন করতে হবে:

যে ফাংশনটি টাস্ক দ্বারা নির্ধারণ করা প্রয়োজন তার জন্য ডেরিভেটিভ খুঁজুন;
সমীকরণের মূল খুঁজুন।

চূড়া খুঁজে বের করার ক্রম

যে ফাংশন f(x) দেওয়া হয়েছে তা লিখুন। এটির প্রথম-ক্রমের ডেরিভেটিভ f "(x) খুঁজুন। ফলের অভিব্যক্তিটিকে শূন্যে সমান করুন।
এখন আপনাকে ফলাফল সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। ফলস্বরূপ সমাধানগুলি সমীকরণের মূল এবং সেইসাথে ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলি নির্ধারিত হবে।
এখন আমরা নির্ধারণ করি কোন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) পাওয়া শিকড়গুলি। একটি ফাংশনের এক্সট্রিম পয়েন্টগুলি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা শিখে নেওয়ার পর পরবর্তী ধাপটি হল পছন্দসই ফাংশন f "(x) এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা। পাওয়া সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। একটি নির্দিষ্ট অসমতা এবং তারপরে গণনা করুন যা ঘটবে। যদি এটি ঘটে, যদি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুতে শূন্যের চেয়ে বড় হতে দেখা যায়, তবে এটি সর্বনিম্ন বিন্দু হবে এবং অন্যথায় এটি হবে সর্বোচ্চ বিন্দু।
এটি ফাংশনের প্রয়োজনীয় সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টগুলিতে প্রাথমিক ফাংশনের মান গণনা করতে রয়ে গেছে। এটি করার জন্য, আমরা প্রাপ্ত মানগুলিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি এবং গণনা করি। যাইহোক, এটি লক্ষণীয় যে যদি সমালোচনামূলক পয়েন্টটি সর্বাধিক হতে দেখা যায়, তবে চরমতমটি সর্বাধিক হবে এবং যদি এটি সর্বনিম্ন হয় তবে এটি উপমা অনুসারে সর্বনিম্ন হবে।

এক্সট্রিমাম খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম

অর্জিত জ্ঞান সংক্ষিপ্ত করার জন্য, আমরা কীভাবে চরম পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে হয় তার একটি সংক্ষিপ্ত অ্যালগরিদম তৈরি করব।

আমরা একটি প্রদত্ত ফাংশন এবং এর ব্যবধানের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে পাই, যা সঠিকভাবে নির্ধারণ করে যে কোন ব্যবধানে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।
f "(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
আমরা y = f (x) সমীকরণের সমালোচনামূলক বিন্দু গণনা করি।
আমরা f (x) ফাংশনের দিকের পরিবর্তনগুলি বিশ্লেষণ করি, সেইসাথে ডেরিভেটিভ f "(x) এর চিহ্ন যেখানে সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে ভাগ করে।
এখন আমরা নির্ধারণ করি যে গ্রাফের প্রতিটি বিন্দু সর্বোচ্চ নাকি সর্বনিম্ন।
আমরা ফাংশনের মানগুলি সেই পয়েন্টগুলিতে খুঁজে পাই যেগুলি চরম।
আমরা এই অধ্যয়নের ফলাফল রেকর্ড করি - একঘেয়েতার চরম এবং ব্যবধান। এখানেই শেষ. এখন আমরা দেখেছি কিভাবে আপনি যেকোনো ব্যবধানে এক্সট্রিম খুঁজে পেতে পারেন। আপনি যদি একটি ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি চরমতম খুঁজে পেতে চান, তাহলে এটি একইভাবে করা হয়, শুধুমাত্র গবেষণার সীমানাগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া উচিত।

সুতরাং, আমরা একটি ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি কীভাবে খুঁজে পেতে হয় তা দেখেছি। সাধারণ গণনার সাহায্যে, সেইসাথে ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করার জ্ঞানের সাহায্যে, আপনি যে কোনও চরমতম খুঁজে পেতে পারেন এবং এটি গণনা করতে পারেন, পাশাপাশি গ্রাফিকভাবে এটি নির্দেশ করতে পারেন। স্কুলে এবং উচ্চ শিক্ষা উভয় ক্ষেত্রেই এক্সট্রিমা খুঁজে পাওয়া গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিভাগগুলির মধ্যে একটি, অতএব, আপনি যদি সেগুলিকে সঠিকভাবে সনাক্ত করতে শিখেন তবে অধ্যয়ন করা আরও সহজ এবং আরও আকর্ষণীয় হয়ে উঠবে।

ফাংশনের চরম

সংজ্ঞা 2

একটি বিন্দু $x_0$ একটি ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু বলা হয় যদি এই বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যাতে এই প্রতিবেশীর সমস্ত $x$ এর জন্য অসমতা $f(x)\le f(x_0) $ ধরে আছে।

সংজ্ঞা 3

একটি বিন্দু $x_0$ কে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় $f(x)$ যদি এই বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেমন এই প্রতিবেশীর সমস্ত $x$ এর জন্য অসমতা $f(x)\ge f(x_0) $ ধরে আছে।

একটি ফাংশনের সীমার ধারণাটি একটি ফাংশনের একটি সমালোচনামূলক বিন্দুর ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। আসুন এর সংজ্ঞা উপস্থাপন করা যাক।

সংজ্ঞা 4

$x_0$ কে ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট বলা হয় $f(x)$ যদি:

1) $x_0$ - সংজ্ঞার ডোমেনের অভ্যন্তরীণ বিন্দু;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ বা বিদ্যমান নেই।

Extremum ধারণার জন্য, আমরা এর অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত এবং প্রয়োজনীয় শর্তগুলির উপর উপপাদ্য তৈরি করতে পারি।

উপপাদ্য 2

একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত

$x_0$ বিন্দুটিকে $y=f(x)$ ফাংশনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ হতে দিন এবং $(a,b)$ ব্যবধানে থাকা যাক। প্রতিটি ব্যবধানে $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ ডেরিভেটিভ $f"(x)$ বিদ্যমান এবং একটি ধ্রুবক চিহ্ন বজায় রাখে। তারপর:

1) যদি $(a,x_0)$ ব্যবধানে ডেরিভেটিভ হয় $f"\left(x\right)>0$, এবং $(x_0,b)$ ব্যবধানে ডেরিভেটিভ হয় $f"\left( x\ডান)

2) যদি ব্যবধানে $(a,x_0)$ ডেরিভেটিভ $f"\left(x\right)0$ হয়, তাহলে বিন্দু $x_0$ এই ফাংশনের জন্য সর্বনিম্ন বিন্দু।

3) যদি উভয়ই ব্যবধানে $(a,x_0)$ এবং $(x_0,b)$ $f"\left(x\right) >0$ অথবা ডেরিভেটিভ $f"\left(x) \ঠিক)

এই উপপাদ্যটি চিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র 1. চরমের অস্তিত্বের জন্য যথেষ্ট শর্ত

চরমের উদাহরণ (চিত্র 2)।

চিত্র 2. চরম বিন্দুর উদাহরণ

Extremum জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার নিয়ম

2) ডেরিভেটিভ $f"(x)$ খুঁজুন;

7) উপপাদ্য 2 ব্যবহার করে প্রতিটি ব্যবধানে ম্যাক্সিমা এবং মিনিমার উপস্থিতি সম্পর্কে সিদ্ধান্তে আঁকুন।

ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশন

আসুন প্রথমে ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশনের সংজ্ঞা উপস্থাপন করি।

সংজ্ঞা 5

একটি ফাংশন $y=f(x)$ $X$ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি কোন পয়েন্ট $x_1,x_2\in X$ এ $x_1 এ বৃদ্ধি পায়

সংজ্ঞা 6

একটি ফাংশন $y=f(x)$ $X$ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি $x_1f(x_2)$-এর জন্য $x_1,x_2\in X$-এর জন্য কোনো পয়েন্টের জন্য কমতে থাকে।

বৃদ্ধি এবং হ্রাসের জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়ন করা

আপনি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে বৃদ্ধি এবং হ্রাস ফাংশন অধ্যয়ন করতে পারেন।

বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানের জন্য একটি ফাংশন পরীক্ষা করার জন্য, আপনাকে নিম্নলিখিতগুলি করতে হবে:

1) $f(x)$ ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন;

2) ডেরিভেটিভ $f"(x)$ খুঁজুন;

3) বিন্দুগুলি খুঁজুন যেখানে সমতা $f"\left(x\right)=0$ ধরে আছে;

4) বিন্দুগুলি খুঁজুন যেখানে $f"(x)$ বিদ্যমান নেই;

5) স্থানাঙ্ক রেখায় প্রাপ্ত সমস্ত পয়েন্ট এবং এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন চিহ্নিত করুন;

6) প্রতিটি ফলের ব্যবধানে ডেরিভেটিভ $f"(x)$ এর চিহ্ন নির্ধারণ করুন;

7) একটি উপসংহার আঁকুন: বিরতিতে যেখানে $f"\left(x\right)0$ ফাংশন বৃদ্ধি পায়।

এক্সট্রিমা পয়েন্টের বৃদ্ধি, হ্রাস এবং উপস্থিতির জন্য ফাংশন অধ্যয়নের জন্য সমস্যার উদাহরণ

উদাহরণ 1

বৃদ্ধি এবং হ্রাসের জন্য ফাংশন পরীক্ষা করুন, এবং সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টের উপস্থিতি: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

যেহেতু প্রথম 6 পয়েন্ট একই, আসুন প্রথমে সেগুলি সম্পাদন করি।

1) সংজ্ঞার ডোমেন - সমস্ত বাস্তব সংখ্যা;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ সংজ্ঞার ডোমেনের সমস্ত পয়েন্টে বিদ্যমান;

5) সমন্বয় লাইন:

চিত্র 3।

6) প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভ $f"(x)$ এর চিহ্ন নির্ধারণ করুন:

\\UU

স্থানীয় ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা খুঁজে বের করা পার্থক্য ছাড়া করা যায় না এবং একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার সময় এবং এর গ্রাফ তৈরি করার সময় এটি প্রয়োজনীয়।

একটি বিন্দুকে একটি ফাংশনের স্থানীয় সর্বাধিক (বা সর্বনিম্ন) বিন্দু বলা হয় যদি এই বিন্দুর একটি আশেপাশ থাকে যা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত এবং এই সমস্ত পাড়ার জন্য অসমতা (বা) ধারণ করে।

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে ফাংশনের চরম বিন্দু বলা হয় এবং চরম বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলি তার চরম মান।

স্থানীয় এক্সট্রিমিয়ামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত:

যদি একটি ফাংশনের একটি বিন্দুতে একটি স্থানীয় এক্সট্রিম থাকে, তাহলে হয় ডেরিভেটিভটি শূন্য হয় বা বিদ্যমান নেই।

যে পয়েন্টগুলি উপরোক্ত প্রয়োজনীয়তাগুলিকে সন্তুষ্ট করে তাদের বলা হয় সমালোচনামূলক পয়েন্ট।

যাইহোক, প্রতিটি ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে ফাংশনের একটি এক্সট্রিমম থাকে।

একটি ফাংশনের চরমের ধারণা

প্রশ্নের উত্তর: একটি সমালোচনামূলক বিন্দু কি একটি চরম বিন্দু হবে নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়।

একটি ফাংশনের একটি সীমার অস্তিত্বের জন্য একটি যথেষ্ট শর্ত

উপপাদ্য I. ফাংশনটি একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ক্রিটিক্যাল বিন্দু সমন্বিত হতে দিন এবং এই ব্যবধানের সমস্ত বিন্দুতে পার্থক্য করুন (বিন্দুটির সম্ভাব্য ব্যতিক্রম সহ)।

তারপর একটি বিন্দুর জন্য ফাংশনের সর্বোচ্চ থাকে যদি আর্গুমেন্টগুলি শর্ত পূরণ করে যে ডেরিভেটিভটি শূন্যের চেয়ে বেশি এবং শর্তের জন্য ডেরিভেটিভটি শূন্যের চেয়ে কম।

যদি এর ডেরিভেটিভটি শূন্যের কম হয় এবং জন্য শূন্যের চেয়ে বড় হয়, তাহলে বিন্দুর জন্য ফাংশনের একটি সর্বনিম্ন থাকে।

উপপাদ্য II. একটি বিন্দুর আশেপাশে ফাংশনটি দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য হতে দিন এবং ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান। তারপর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে যদি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি শূন্যের কম হয় এবং একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন হয় যদি বিপরীত হয়।

যদি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে বিন্দুটি একটি চরম বিন্দু নাও হতে পারে।

এক্সট্রিমার জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করার সময়, উভয় উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। প্রথমটি অনুশীলনে সহজ, কারণ এটির জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খোঁজার প্রয়োজন নেই।

প্রথম ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এক্সট্রিমাম (সর্বোচ্চ এবং মিনিমা) খোঁজার নিয়ম

1) সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন;

2) প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজুন;

3) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজে;

4) সমালোচক পয়েন্ট দ্বারা সংজ্ঞার ডোমেনের বিভাজন থেকে প্রাপ্ত বিরতিতে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি তদন্ত করুন।

এই ক্ষেত্রে, সমালোচনামূলক বিন্দুটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু যদি, এটির মধ্য দিয়ে বাম থেকে ডানে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ পরিবর্তনগুলি নেতিবাচক থেকে ধনাত্মক চিহ্ন দেয়, অন্যথায় এটি সর্বাধিক বিন্দু।

এই নিয়মের পরিবর্তে, আপনি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করতে পারেন এবং দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুযায়ী এটি অধ্যয়ন করতে পারেন।

5) চরম বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করুন।

আসুন এখন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে এক্সট্রিমার ফাংশনগুলির অধ্যয়ন বিবেচনা করি।

V.Yu দ্বারা সংগ্রহ. ক্লেপকো, ভি.এল. Golets "উদাহরণ এবং সমস্যার উচ্চতর গণিত"

1) সংজ্ঞার ডোমেইন হবে বাস্তব সংখ্যার সেট

2) ডেরিভেটিভ খুঁজুন

3) সমালোচনামূলক পয়েন্ট গণনা

তারা সংজ্ঞার ডোমেনকে নিম্নলিখিত ব্যবধানে ভাগ করে

4) আমরা মান প্রতিস্থাপনের পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি তদন্ত করি

সুতরাং, প্রথম বিন্দুটি সর্বনিম্ন বিন্দু এবং দ্বিতীয়টি সর্বাধিক বিন্দু।

5) ফাংশনের মান গণনা করুন

1) সংজ্ঞার ডোমেইন হবে বাস্তব সংখ্যার সেট, তাই মূল সবসময় একের থেকে বড় হয়

এবং arctangent ফাংশন সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

2) ডেরিভেটিভ খুঁজুন

3) শর্ত থেকে যে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান, আমরা জটিল বিন্দুটি খুঁজে পাই

এটি সংজ্ঞার ডোমেইনকে দুটি ব্যবধানে ভাগ করে

4) প্রতিটি অঞ্চলে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন

এইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে ফাংশনটি ন্যূনতম মান নেয়।

5) ফাংশনের সীমা গণনা করুন

1) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন হর শূন্যে পরিণত হয় না

এটি এই থেকে অনুসরণ করে যে সংজ্ঞার ডোমেনটি তিনটি ব্যবধান নিয়ে গঠিত

2) ডেরিভেটিভ গণনা করুন

3) আমরা ডেরিভেটিভকে শূন্যের সাথে সমান করি এবং সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে পাই।

4) সংশ্লিষ্ট মানগুলি প্রতিস্থাপন করে প্রতিটি ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভের চিহ্ন সেট করুন।

এইভাবে, বিন্দুটি স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু। আমাদের ফাংশনে একটি ইনফ্লেকশন পয়েন্ট আছে, তবে নিম্নলিখিত নিবন্ধগুলিতে এটি সম্পর্কে আরও উপাদান থাকবে।

5) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে মান খুঁজুন

ফাংশনের মানটি হওয়া সত্ত্বেও, প্রথম বিন্দুটি স্থানীয় সর্বাধিকের বিন্দু এবং চাপটি সর্বনিম্ন বিন্দু। আপনি অনুরূপ ফলাফল পেলে ভয় পাবেন না; স্থানীয় চরমতা নির্ধারণ করার সময়, এই ধরনের পরিস্থিতি গ্রহণযোগ্য।

উপকরণ দেখুন:

সাহিত্য

1. বোগোমোলভ এন.ভি. গণিতের ব্যবহারিক পাঠ। - এম.: উচ্চতর। স্কুল, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov। গণিতের সমস্যার সংগ্রহ। - এম.: উচ্চতর। স্কুল, 2009

নির্দেশিকা

ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে ফাংশন অধ্যয়ন. একঘেয়েতার ব্যবধান খোঁজা

উপপাদ্য ঘ.যদি ফাংশন f(x) সংজ্ঞায়িত হয় এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন থাকে (a;b) এবং f '(x) সর্বত্র ধনাত্মক হয় (f '(x)>0), তাহলে ফাংশনটি ব্যবধানে (a;b) বৃদ্ধি পাচ্ছে )

উপপাদ্য2.যদি ফাংশন f(x) সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন হয় (a;b) এবং f ‘(x) সর্বত্র ঋণাত্মক হয় (f ‘(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

উদাহরণ 1.একঘেয়েতার জন্য পরীক্ষা করুন y=।

সমাধান: y’=2x-1

সংখ্যা অক্ষ দুটি ব্যবধানে বিভক্ত

এর মানে হল ব্যবধানে (-;5) ফাংশন হ্রাস পায় এবং ব্যবধানে (5;) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।

একটি ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করা

ফাংশন f(x) এর x0 বিন্দুতে সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) থাকে যদি এই বিন্দুতে একটি প্রতিবেশী থাকে যেখানে f(x) f(x0)) xx0 এর জন্য।

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন নাম extremum অধীনে মিলিত হয়.

উপপাদ্য 1. (চরম জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)।যদি x0 বিন্দু y=f(x) ফাংশনের চরম বিন্দু হয় এবং এই বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ f '(x0), তাহলে এটি শূন্যের সমান: f '(x)=0।

যেসব বিন্দুতে f '(x)=0 বা বিদ্যমান নেই সেগুলোকে ক্রিটিকাল বলা হয়।

উপপাদ্য 2. (পর্যাপ্ত শর্ত)। f(x) ফাংশনটি x0 বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হতে দিন এবং এর আশেপাশে একটি ডেরিভেটিভ আছে, সম্ভবত, বিন্দু x0 নিজেই। তারপর

ক) যদি ডেরিভেটিভ f ‘(x) বিন্দু x0 এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় প্লাস থেকে বিয়োগ চিহ্নে পরিবর্তন করে, তাহলে বিন্দু x0 হল f(x) ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু;

b) যদি x0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় ডেরিভেটিভ f ‘(x) চিহ্ন বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করে, তাহলে বিন্দু x0 হল f(x) ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু;

c) যদি x0 বিন্দুর কোনো প্রতিবেশী (x0-; x0+) থাকে যেখানে ডেরিভেটিভ f ‘(x) তার চিহ্ন ধরে রাখে, তাহলে x0 বিন্দুতে এই ফাংশন f(x) এর কোনো এক্সট্রিমাম নেই।

উদাহরণ 2।ফাংশন y = 3 -5x - এর প্রান্তভাগটি অনুসন্ধান করুন।

সমাধান: y’= -5-2x

x = - 2.5 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ y’ চিহ্ন পরিবর্তন করে “+” থেকে “-” ==> x = -2.5 সর্বোচ্চ বিন্দুতে।

একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত।

xmax= - 2.5; সর্বোচ্চ = 9.25।

আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে পাননি? অনুসন্ধান ব্যবহার করুন:

একটি ফাংশনের চরম: অস্তিত্বের লক্ষণ, সমাধানের উদাহরণ

তারপর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে যদি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি শূন্যের কম হয় এবং একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন হয় যদি বিপরীত হয়।

প্রথম ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এক্সট্রিমাম (সর্বোচ্চ এবং মিনিমা) খোঁজার নিয়ম

1) সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন;

2) প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজুন;

3) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজে;

5) চরম বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করুন।

V.Yu দ্বারা সংগ্রহ. ক্লেপকো, ভি.এল. Golets "উদাহরণ এবং সমস্যার উচ্চতর গণিত"

1) সংজ্ঞার ডোমেইন হবে বাস্তব সংখ্যার সেট

2) ডেরিভেটিভ খুঁজুন

3) সমালোচনামূলক পয়েন্ট গণনা

তারা সংজ্ঞার ডোমেনকে নিম্নলিখিত ব্যবধানে ভাগ করে

সুতরাং, প্রথম বিন্দুটি সর্বনিম্ন বিন্দু এবং দ্বিতীয়টি সর্বাধিক বিন্দু।

5) ফাংশনের মান গণনা করুন

1) সংজ্ঞার ডোমেইন হবে বাস্তব সংখ্যার সেট, তাই মূল সবসময় একের থেকে বড় হয়

এবং arctangent ফাংশন সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

2) ডেরিভেটিভ খুঁজুন

3) শর্ত থেকে যে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান, আমরা জটিল বিন্দুটি খুঁজে পাই

এটি সংজ্ঞার ডোমেইনকে দুটি ব্যবধানে ভাগ করে

4) প্রতিটি অঞ্চলে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন

এইভাবে, আমরা দেখতে পাই যে ক্রিটিক্যাল পয়েন্টে ফাংশনটি ন্যূনতম মান নেয়।

5) ফাংশনের সীমা গণনা করুন

1) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন হর শূন্যে পরিণত হয় না

এটি এই থেকে অনুসরণ করে যে সংজ্ঞার ডোমেনটি তিনটি ব্যবধান নিয়ে গঠিত

2) ডেরিভেটিভ গণনা করুন

5) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে মান খুঁজুন

উপকরণ দেখুন:

উচ্চতর গণিত » বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশন » দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের এক্সট্রিম

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম। Extremum জন্য ফাংশন অধ্যয়ন উদাহরণ.

$z=f(x,y)$ ফাংশনটিকে $(x_0,y_0)$ বিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক। তারা বলে যে $(x_0,y_0)$ হল একটি (স্থানীয়) সর্বোচ্চ বিন্দু যদি সমস্ত বিন্দুর জন্য $(x,y)$ বিন্দুর কিছু আশেপাশে $(x_0,y_0)$ অসমতা $f(x,y) এই মর্মে সন্তুষ্ট হয়< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, তারপর $(x_0,y_0)$ বিন্দুটিকে (স্থানীয়) সর্বনিম্ন বিন্দু বলা হয়।

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টগুলিকে প্রায়শই সাধারণ শব্দ বলা হয় - চরম বিন্দু।

যদি $(x_0,y_0)$ একটি সর্বোচ্চ বিন্দু হয়, তাহলে এই বিন্দুতে $f(x_0,y_0)$ ফাংশনের মানটিকে $z=f(x,y)$ ফাংশনের সর্বোচ্চ বলা হয়। তদনুসারে, ন্যূনতম বিন্দুতে ফাংশনের মানকে ফাংশনের ন্যূনতম $z=f(x,y)$ বলা হয়। একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ একটি সাধারণ শব্দ দ্বারা একত্রিত হয় - একটি ফাংশনের চরম।

এক্সট্রিমামের জন্য $z=f(x,y)$ ফাংশন অধ্যয়নের জন্য অ্যালগরিদম

আংশিক ডেরিভেটিভ $\frac(\partial z)(\partial x)$ এবং $\frac(\partial z)(\partial y)$ খুঁজুন। $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 এর সিস্টেম রচনা ও সমাধান করুন .\ end(aligned) \right.$ যে বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি নির্দিষ্ট সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে তাকে স্থির বলে।
$\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial খুঁজুন y^2)$ এবং $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( এর মান গণনা করুন \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ প্রতিটি স্থির বিন্দুতে। এর পরে, নিম্নলিখিত স্কিমটি ব্যবহার করুন:

যদি $\Delta > 0$ এবং $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (বা $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), তারপর অধ্যয়নের অধীনে বিন্দু সর্বনিম্ন পয়েন্ট.
যদি $\Delta > 0$ এবং $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
যদি $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
যদি $\Delta = 0$ হয়, তাহলে এক্সট্রিমামের উপস্থিতি সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা যাবে না; অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন।

দ্রষ্টব্য (পাঠ্যটি আরও সম্পূর্ণ বোঝার জন্য কাম্য): show\hide

যদি $\Delta > 0$, তাহলে $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\) আংশিক^2z)(\আংশিক x\আংশিক y) \right)^2 > 0$। এবং এটি অনুসরণ করে যে $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \আংশিক x\আংশিক y)\right)^2 ≥ 0$। সেগুলো. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$। যদি নির্দিষ্ট পরিমাণের গুণফল শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, তবে এই পরিমাণগুলি একই চিহ্নের। অর্থাৎ, উদাহরণস্বরূপ, যদি $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, তাহলে $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$। সংক্ষেপে, $\Delta > 0$ হলে $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ এবং $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ এর চিহ্ন মিলে যায় .

উদাহরণ নং 1

ফাংশনটি $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ এর এক্সট্রিম্যামের জন্য পরীক্ষা করুন।

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42। $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

আসুন এই সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে $2$ কমিয়ে দেই এবং সংখ্যাগুলিকে সমীকরণের ডান দিকে নিয়ে যাই:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি। এই পরিস্থিতিতে, ফলাফল সিস্টেমটি সমাধান করতে ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করা আমার কাছে সবচেয়ে সুবিধাজনক বলে মনে হচ্ছে।

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(সারিবদ্ধ) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3। $$

$x=2$, $y=-3$ হল স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2;-3)$।

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

আসুন $\Delta$ এর মান গণনা করি:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \আংশিক x\আংশিক y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44। $$

যেহেতু $\Delta > 0$ এবং $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, তাহলে অ্যালগরিদম অনুযায়ী বিন্দু $(2;-3)$ হল সর্বনিম্ন বিন্দু। ফাংশন $z$। প্রদত্ত ফাংশনে $(2;-3)$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে আমরা ফাংশনের সর্বনিম্ন $z$ খুঁজে পাই:

$$ z_(মিনিট)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90। $$

উত্তর: $(2;-3)$ - সর্বনিম্ন পয়েন্ট; $z_(মিনিট)=-90$।

উদাহরণ নং 2

ফাংশন $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ এর এক্সট্রিম্যামের জন্য পরীক্ষা করুন।

আমরা উপরের অ্যালগরিদম অনুসরণ করব। প্রথমে, আসুন প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12। $$

আসুন সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0। \end( প্রান্তিককৃত) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

প্রথম সমীকরণটি 3 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টি 6 দ্বারা হ্রাস করি।

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

যদি $x=0$ হয়, তাহলে দ্বিতীয় সমীকরণটি আমাদের একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যাবে: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$। তাই উপসংহার: $x\neq 0$। তারপর দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমাদের আছে: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$। প্রথম সমীকরণে $y=\frac(2)(x)$ প্রতিস্থাপন করলে, আমাদের হবে:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0। $$

আমরা একটি দ্বিচক্রীয় সমীকরণ পেয়েছি। আমরা প্রতিস্থাপন করি $t=x^2$ (অর্থাৎ $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(সারিবদ্ধ) $$

যদি $t=1$, তাহলে $x^2=1$। তাই আমাদের কাছে $x$ এর দুটি মান আছে: $x_1=1$, $x_2=-1$। যদি $t=4$, তাহলে $x^2=4$, অর্থাৎ $x_3=2$, $x_4=-2$। মনে রাখলে $y=\frac(2)(x)$, আমরা পাই:

\begin(সারিবদ্ধ) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1। \শেষ(সারিবদ্ধ)

সুতরাং, আমাদের চারটি স্থির বিন্দু আছে: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$। এটি অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপটি সম্পূর্ণ করে।

এখন অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় ধাপে যাওয়া যাক। আসুন দ্বিতীয় ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y। $$

আসুন $\Delta$ খুঁজে পাই:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \আংশিক x\আংশিক y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2)। $$

এখন আমরা পূর্বে পাওয়া স্থির বিন্দুগুলির প্রতিটিতে $\Delta$ এর মান গণনা করব। $M_1(1;2)$ থেকে শুরু করা যাক। এই মুহুর্তে আমাদের আছে: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$। $\Delta(M_1) থেকে< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

আসুন $M_2(-1;-2)$ বিন্দুটি পরীক্ষা করি। এই মুহুর্তে আমাদের আছে: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$। যেহেতু $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

আসুন $M_3(2;1)$ বিন্দুটি পরীক্ষা করি। এই মুহুর্তে আমরা পাই:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12। $$

যেহেতু $\Delta(M_3) > 0$ এবং $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, তারপর অ্যালগরিদম অনুযায়ী $M_3( 2 ;1)$ হল $z$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। প্রদত্ত ফাংশনে $M_3$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে আমরা ফাংশনের সর্বনিম্ন $z$ খুঁজে পাই:

$$ z_(মিনিট)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27। $$

এটি $M_4(-2;-1)$ বিন্দুটি অন্বেষণ করতে বাকি আছে। এই মুহুর্তে আমরা পাই:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12। $$

যেহেতু $\Delta(M_4) > 0$ এবং $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(সর্বোচ্চ)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29। $$

চরম অধ্যয়ন সম্পন্ন হয়. যা অবশিষ্ট থাকে তা হল উত্তর লিখতে।

$(2;1)$ - সর্বনিম্ন পয়েন্ট, $z_(মিনিট)=-27$;
$(-2;-1)$ - সর্বোচ্চ পয়েন্ট, $z_(সর্বোচ্চ)=29$।

বিঃদ্রঃ

সাধারণ ক্ষেত্রে, $\Delta$ এর মান গণনা করার দরকার নেই, কারণ আমরা শুধুমাত্র চিহ্নটিতে আগ্রহী, এবং এই প্যারামিটারের নির্দিষ্ট মান নয়। উদাহরণস্বরূপ, উদাহরণস্বরূপ, উপরে বিবেচনা করা নং 2, $M_3(2;1)$ বিন্দুতে আমাদের $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ আছে। এখানে এটা স্পষ্ট যে $\Delta > 0$ (যেহেতু উভয় ফ্যাক্টর $36$ এবং $(2^2-1^2)$ ইতিবাচক) এবং $\Delta$ এর একটি নির্দিষ্ট মান খুঁজে না পাওয়া সম্ভব। সত্য, আদর্শ গণনার জন্য এই মন্তব্যটি অকেজো - তারা আপনাকে একটি সংখ্যায় গণনা আনতে হবে :)

উদাহরণ নং 3

ফাংশন $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ এর এক্সট্রিম্যামের জন্য পরীক্ষা করুন।

আমরা অ্যালগরিদম অনুসরণ করব। প্রথমে, আসুন প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y। $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

আসুন উভয় সমীকরণকে $4$ দ্বারা হ্রাস করি:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

দ্বিতীয়টিতে প্রথম সমীকরণ যোগ করি এবং $x$ এর পরিপ্রেক্ষিতে $y$ প্রকাশ করি:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x। $$

সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে $y=-x$ প্রতিস্থাপন করলে, আমাদের হবে:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0। $$

ফলস্বরূপ সমীকরণ থেকে আমাদের আছে: $x=0$ বা $x^2-2=0$। $x^2-2=0$ সমীকরণ থেকে এটি $x=-\sqrt(2)$ বা $x=\sqrt(2)$ অনুসরণ করে। সুতরাং, $x$ এর তিনটি মান পাওয়া যায়, যথা: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$। যেহেতু $y=-x$, তারপর $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$।

সমাধানের প্রথম ধাপ সম্পন্ন হয়েছে।

কিভাবে একটি ফাংশনের চরমতম (সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট) খুঁজে বের করতে হয়

আমরা তিনটি স্থির পয়েন্ট পেয়েছি: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4। $$

আসুন $\Delta$ খুঁজে পাই:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \আংশিক x\আংশিক y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2) -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1)। $$

এখন আমরা পূর্বে পাওয়া স্থির বিন্দুগুলির প্রতিটিতে $\Delta$ এর মান গণনা করব। $M_1(0;0)$ থেকে শুরু করা যাক। এই মুহুর্তে আমাদের আছে: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$। যেহেতু $\Delta(M_1) = 0$, তারপর অ্যালগরিদম অনুযায়ী, অতিরিক্ত গবেষণার প্রয়োজন, যেহেতু বিবেচনাধীন বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা যায় না। আপাতত এই বিন্দুটিকে একা রেখে অন্য পয়েন্টে চলে যাই।

আসুন $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ বিন্দুটি পরীক্ষা করি। এই মুহুর্তে আমরা পাই:

\begin(সারিবদ্ধ) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20। \শেষ(সারিবদ্ধ)

যেহেতু $\Delta(M_2) > 0$ এবং $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, তারপর অ্যালগরিদম অনুযায়ী $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ হল $z$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। প্রদত্ত ফাংশনে $M_2$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে আমরা ফাংশনের সর্বনিম্ন $z$ খুঁজে পাই:

$$ z_(মিনিট)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5। $$

একইভাবে পূর্ববর্তী বিন্দুতে, আমরা $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ বিন্দুটি পরীক্ষা করি। এই মুহুর্তে আমরা পাই:

\begin(সারিবদ্ধ) এবং \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20। \শেষ(সারিবদ্ধ)

যেহেতু $\Delta(M_3) > 0$ এবং $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, তারপর অ্যালগরিদম অনুযায়ী $M_3( \sqrt(2),-\sqrt(2))$ হল $z$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। প্রদত্ত ফাংশনে $M_3$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে আমরা ফাংশনের সর্বনিম্ন $z$ খুঁজে পাই:

$$ z_(মিনিট)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5। $$

এটি $M_1(0;0)$ বিন্দুতে ফিরে আসার সময়, যেখানে $\Delta(M_1) = 0$। অ্যালগরিদম অনুযায়ী, অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন। এই ভ্রান্ত বাক্যাংশটির অর্থ হল "আপনি যা চান তাই করুন" :)। এই ধরনের পরিস্থিতি সমাধান করার কোন সাধারণ উপায় নেই, এবং এটি বোধগম্য। এমন পদ্ধতি থাকলে অনেক আগেই সব পাঠ্যপুস্তকে অন্তর্ভুক্ত হয়ে যেত। ইতিমধ্যে, আমাদের প্রতিটি বিন্দুতে একটি বিশেষ পদ্ধতির সন্ধান করতে হবে যেখানে $\Delta = 0$। আচ্ছা, আসুন $M_1(0;0)$ বিন্দুর আশেপাশে ফাংশনের আচরণ পরীক্ষা করি। আসুন আমরা অবিলম্বে নোট করি যে $z(M_1)=z(0;0)=3$। ধরা যাক যে $M_1(0;0)$ হল সর্বনিম্ন বিন্দু। তারপর $M_1(0;0)$ বিন্দুর কিছু আশেপাশ থেকে $M$ যেকোন বিন্দুর জন্য আমরা $z(M) > z(M_1)$ পাই, যেমন $z(M) > 3$। যদি কোন আশেপাশে পয়েন্ট থাকে যেখানে $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

আসুন আমরা সেই পয়েন্টগুলি বিবেচনা করি যার জন্য $y=0$, অর্থাৎ ফর্মের পয়েন্ট $(x,0)$। এই পয়েন্টগুলিতে $z$ ফাংশনটি নিম্নলিখিত মানগুলি গ্রহণ করবে:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3। $$

সমস্ত যথেষ্ট ছোট পাড়ায় $M_1(0;0)$ আমাদের আছে $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

কিন্তু সম্ভবত $M_1(0;0)$ বিন্দু সর্বোচ্চ বিন্দু? যদি তাই হয়, তাহলে $M_1(0;0)$ বিন্দুর কিছু প্রতিবেশী থেকে $M$ যেকোন বিন্দুর জন্য আমরা $z(M) পাই< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? তারপরে অবশ্যই $M_1$ পয়েন্টে কোন সর্বোচ্চ থাকবে না।

আসুন বিন্দু বিবেচনা করি যার জন্য $y=x$, অর্থাৎ ফর্মের পয়েন্ট $(x,x)$। এই পয়েন্টগুলিতে $z$ ফাংশনটি নিম্নলিখিত মানগুলি গ্রহণ করবে:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3। $$

যেহেতু $M_1(0;0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে আমাদের আছে $2x^4 > 0$, তারপর $2x^4+3 > 3$। উপসংহার: $M_1(0;0)$ বিন্দুর যেকোনো আশেপাশে এমন বিন্দু রয়েছে যেখানে $z > 3$, তাই বিন্দু $M_1(0;0)$ সর্বোচ্চ বিন্দু হতে পারে না।

পয়েন্ট $M_1(0;0)$ সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু নয়। উপসংহার: $M_1$ মোটেও একটি চরম বিন্দু নয়।

উত্তর: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ হল $z$ ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। উভয় পয়েন্টে $z_(মিনিট)=-5$।

উচ্চতর গণিতে অনলাইন ক্লাস

বিষয়ের পাঠ: "ফাংশনের চরম বিন্দু খুঁজে বের করা। উদাহরণ"

অতিরিক্ত উপকরণ
প্রিয় ব্যবহারকারী, আপনার মন্তব্য, পর্যালোচনা, শুভেচ্ছা ছেড়ে ভুলবেন না! সমস্ত উপকরণ একটি অ্যান্টিভাইরাস প্রোগ্রাম দ্বারা চেক করা হয়েছে.

1C থেকে গ্রেড 10 এর জন্য ইন্টিগ্রাল অনলাইন স্টোরে ম্যানুয়াল এবং সিমুলেটর
জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধান। 7-10 গ্রেডের জন্য ইন্টারেক্টিভ নির্মাণ কাজ
সফ্টওয়্যার পরিবেশ "1C: গাণিতিক কনস্ট্রাক্টর 6.1"

আমরা যা অধ্যয়ন করব:
1। পরিচিতি.
2. সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

4. কিভাবে extrema গণনা করতে হয়?
5. উদাহরণ।

ফাংশন এক্সট্রিমা পরিচিতি

বন্ধুরা, আসুন একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের গ্রাফটি দেখি:

লক্ষ্য করুন যে আমাদের ফাংশন y=f (x) এর আচরণ মূলত দুটি বিন্দু x1 এবং x2 দ্বারা নির্ধারিত হয়। আসুন এই পয়েন্টগুলিতে এবং এর চারপাশে ফাংশনের গ্রাফটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। বিন্দু x2 পর্যন্ত ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়, x2 বিন্দুতে একটি ইনফ্লেকশন থাকে এবং এই বিন্দুর পরপরই ফাংশনটি x1 পয়েন্টে কমে যায়। x1 বিন্দুতে ফাংশনটি আবার বাঁকে, এবং তারপরে এটি আবার বৃদ্ধি পায়। আপাতত, আমরা পয়েন্টগুলিকে x1 এবং x2 ইনফ্লেকশন পয়েন্ট বলব। আসুন এই বিন্দুতে স্পর্শক আঁকুন:

আমাদের বিন্দুতে স্পর্শকগুলি x-অক্ষের সমান্তরাল, যার অর্থ হল স্পর্শকের ঢাল শূন্য। এর মানে হল এই পয়েন্টগুলিতে আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান।

আসুন এই ফাংশনের গ্রাফটি দেখি:

x2 এবং x1 বিন্দুতে স্পর্শক রেখা আঁকা অসম্ভব। এর মানে হল এই পয়েন্টগুলিতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। এখন আসুন দুটি গ্রাফে আমাদের পয়েন্টগুলি আবার দেখি। পয়েন্ট x2 হল সেই বিন্দু যেখানে ফাংশনটি কোনো কোনো অঞ্চলে (x2 বিন্দুর কাছাকাছি) তার সর্বোচ্চ মূল্যে পৌঁছায়। পয়েন্ট x1 হল সেই বিন্দু যেখানে ফাংশনটি কোনো কোনো অঞ্চলে (x1 বিন্দুর কাছাকাছি) তার ক্ষুদ্রতম মান পর্যন্ত পৌঁছায়।

সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ পয়েন্ট

সংজ্ঞা: বিন্দু x= x0 কে y=f(x) ফাংশনের ন্যূনতম বিন্দু বলা হয় যদি x0 বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেখানে অসমতা থাকে: f(x) ≥ f(x0)।

সংজ্ঞা: x=x0 বিন্দুটিকে y=f(x) ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু বলা হয় যদি x0 বিন্দুর একটি প্রতিবেশ থাকে যেখানে অসমতা থাকে: f(x) ≤ f(x0)।

বন্ধুরা, একটি পাড়া কি?

সংজ্ঞা: একটি বিন্দুর প্রতিবেশী হল বিন্দুগুলির একটি সেট যাতে আমাদের বিন্দু এবং এর কাছাকাছি যারা থাকে।

আমরা নিজেরাই পাড়া সেট করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিন্দু x=2 এর জন্য, আমরা পয়েন্ট 1 এবং 3 আকারে একটি প্রতিবেশীকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

আসুন আমাদের গ্রাফগুলিতে ফিরে আসি, x2 বিন্দুতে তাকান, এটি একটি নির্দিষ্ট আশেপাশের অন্যান্য সমস্ত পয়েন্টের চেয়ে বড়, তারপর সংজ্ঞা অনুসারে এটি সর্বাধিক বিন্দু। এখন আসুন বিন্দু x1 দেখুন, এটি একটি নির্দিষ্ট আশেপাশের অন্যান্য সমস্ত বিন্দু থেকে ছোট, তারপর সংজ্ঞা অনুসারে এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু।

বন্ধুরা, আসুন স্বরলিপিটি চালু করি:

Y মিনিট - সর্বনিম্ন পয়েন্ট,
y সর্বোচ্চ - সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

গুরুত্বপূর্ণ !বন্ধুরা, ফাংশনের ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মানের সাথে সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। একটি প্রদত্ত ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক মানগুলি চাওয়া হয় এবং একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক পয়েন্টগুলি চাওয়া হয়।

ফাংশনের চরম

সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ পয়েন্টের জন্য একটি সাধারণ শব্দ আছে - চরম পয়েন্ট।

Extremum (lat. extremum – চরম) – একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান। যে বিন্দুতে এক্সট্রিম্যাম পৌঁছায় তাকে এক্সট্রিম পয়েন্ট বলে।

তদনুসারে, যদি একটি সর্বনিম্ন পৌঁছানো হয়, তবে চরম বিন্দুটিকে সর্বনিম্ন বিন্দু বলা হয় এবং যদি সর্বাধিক পৌঁছানো হয় তবে এটিকে সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয়।

কিভাবে একটি ফাংশন extrema জন্য তাকান?

আসুন আমাদের চার্টে ফিরে যাই। আমাদের পয়েন্টে, ডেরিভেটিভ হয় অদৃশ্য হয়ে যায় (প্রথম গ্রাফে) বা বিদ্যমান নেই (দ্বিতীয় গ্রাফে)।

তারপরে আমরা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি দিতে পারি: যদি x=x0 বিন্দুতে y= f(x) ফাংশনের একটি এক্সট্রিম থাকে, তাহলে এই বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ হয় শূন্য বা বিদ্যমান নেই।

যে বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান তাদের বলা হয় নিশ্চল

যে সকল বিন্দুতে কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই তাকে বলা হয় সমালোচনামূলক

কিভাবে চরম গণনা?

বন্ধুরা, আসুন ফাংশনের প্রথম গ্রাফে ফিরে যাই:

এই গ্রাফটি বিশ্লেষণ করে, আমরা বলেছি: বিন্দু x2 পর্যন্ত ফাংশন বৃদ্ধি পায়, x2 বিন্দুতে একটি প্রতিফলন ঘটে এবং এই বিন্দুর পরে ফাংশনটি x1 বিন্দুতে হ্রাস পায়। x1 বিন্দুতে ফাংশনটি আবার বাঁকে, এবং তারপরে ফাংশনটি আবার বৃদ্ধি পায়।

এই ধরনের যুক্তির উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে চরম বিন্দুতে ফাংশন একঘেয়েতার প্রকৃতি পরিবর্তন করে, এবং সেইজন্য ডেরিভেটিভ ফাংশন চিহ্ন পরিবর্তন করে। স্মরণ করুন: যদি একটি ফাংশন হ্রাস পায়, তাহলে ডেরিভেটিভটি শূন্যের চেয়ে কম বা সমান হয় এবং যদি ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তাহলে ডেরিভেটিভটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান।

আসুন নিম্নলিখিত বিবৃতি দিয়ে অর্জিত জ্ঞান সংক্ষিপ্ত করা যাক:

উপপাদ্য: এক্সট্রিম্যামের জন্য যথেষ্ট শর্ত: ফাংশনটি y=f(x) কিছু ব্যবধান X-এ অবিচ্ছিন্ন হতে দিন এবং ব্যবধানের ভিতরে একটি স্থির বা জটিল বিন্দু x=x0 থাকতে দিন। তারপর:

যদি এই বিন্দুর একটি আশেপাশের এলাকা থাকে যেখানে f’(x)>0 থাকে x x0 এর জন্য, তাহলে বিন্দু x0 হল y=f(x) ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
যদি এই বিন্দুতে একটি আশেপাশের এলাকা থাকে যেখানে f'(x) x 0 এবং x> x0 ধরে থাকে। যদি এই বিন্দুতে এমন একটি আশেপাশের এলাকা থাকে যেখানে x0 বিন্দুর বাম এবং ডানে উভয়ই ডেরিভেটিভের চিহ্ন একই , তাহলে x0 বিন্দুতে কোন চরম নেই।

সমস্যার সমাধান করতে, এই নিয়মগুলি মনে রাখবেন: যদি ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে:

একঘেয়েমি এবং চরমের জন্য একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন y= f(x) অধ্যয়নের জন্য অ্যালগরিদম:

y' এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
স্থির বিন্দু (ডেরিভেটিভটি শূন্য) এবং সমালোচনামূলক বিন্দু (ডেরিভেটিভ বিদ্যমান নেই) খুঁজুন।
সংখ্যা রেখায় স্থির এবং সমালোচনামূলক বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং ফলাফলের ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।
উপরের বিবৃতিগুলির উপর ভিত্তি করে, চরম বিন্দুগুলির প্রকৃতি সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকুন।

চরম পয়েন্ট খোঁজার উদাহরণ

1) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন: y= 7+ 12*x - x 3

সমাধান: আমাদের ফাংশন ক্রমাগত, তারপর আমরা আমাদের অ্যালগরিদম ব্যবহার করব:
ক) y"= 12 - 3x 2,
খ) y"= 0, x= ±2 এ,

পয়েন্ট x= -2 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু, পয়েন্ট x= 2 হল ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু।
উত্তর: x= -2 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু, x= 2 হল ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু।

2) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন।

সমাধান: আমাদের ফাংশন ক্রমাগত। আসুন আমাদের অ্যালগরিদম ব্যবহার করি:
ক)

b) x= 2 বিন্দুতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই, কারণ আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না

ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন: , এই মুহুর্তে কোন এক্সট্রিম নেই, কারণ বিন্দুর প্রতিবেশী সংজ্ঞায়িত করা হয় না। আসুন সেই মানটি খুঁজে দেখি যেখানে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান:

গ) সংখ্যা রেখায় স্থির বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করুন:

ঘ) আমাদের চিত্রটি দেখুন, যা চরমপন্থা নির্ধারণের নিয়ম দেখায়।
পয়েন্ট x= 3 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
উত্তর: x= 3 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।

3) y= x - 2cos(x) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন, -π ≤ x ≤ π এর জন্য।

সমাধান: আমাদের ফাংশন ক্রমাগত, আসুন আমাদের অ্যালগরিদম ব্যবহার করি:
ক) y"= 1 + 2sin(x),
খ) এমন মানগুলি খুঁজুন যেখানে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
কারণ -π ≤ x ≤ π, তারপর: x= -π/6, -5π/6,
গ) সংখ্যা রেখায় স্থির বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করুন: ঘ) আমাদের চিত্রটি দেখুন, যা চরমপন্থা নির্ধারণের নিয়ম দেখায়।
পয়েন্ট x= -5π/6 হল ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু।
পয়েন্ট x= -π/6 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
উত্তর: x= -5π/6 হল ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু, x= -π/6 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।

4) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন:

সমাধান: আমাদের ফাংশনটি শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্নতা আছে x= 0। আসুন অ্যালগরিদম ব্যবহার করি:
ক)

খ) সেই মানগুলি খুঁজুন যেখানে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান: y"= 0 এ x= ±2,
গ) সংখ্যা রেখায় স্থির বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করুন:

ঘ) আমাদের চিত্রটি দেখুন, যা চরমপন্থা নির্ধারণের নিয়ম দেখায়।
পয়েন্ট x= -2 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
পয়েন্ট x= 2 হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।
x=0 বিন্দুতে ফাংশনটি বিদ্যমান নেই।
উত্তর: x= ±2 - ফাংশনের সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

স্বাধীনভাবে সমাধান করতে সমস্যা

ক) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন: y= 5x 3 - 15x - 5।
খ) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন:

গ) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন: y= 2sin(x) - x π ≤ x ≤ 3π এর জন্য।
d) ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি সন্ধান করুন এবং তাদের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন: