দ্বিতীয় আদেশের লাইন। কাল্পনিক বিন্দু এবং রেখার পারস্পরিক বিন্যাস দ্বিতীয় ক্রমে সমান্তরাল রেখার জোড়া

আমরা এখন দেখাব যে দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখাগুলির affine শ্রেণীবিভাগ বক্ররেখার নাম দ্বারা দেওয়া হয়, অর্থাৎ, দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখাগুলির affine শ্রেণীগুলি হল:

বাস্তব উপবৃত্ত;

কাল্পনিক উপবৃত্তাকার;

hyperbole;

বাস্তব ছেদকারী লাইনের জোড়া;

জোড়ার কাল্পনিক (সংযোজিত) ছেদকারী;

সমান্তরাল বাস্তব লাইনের জোড়া;

সমান্তরাল কাল্পনিক সংযোগ রেখার জোড়া;

মিলিত বাস্তব লাইনের জোড়া।

আমাদের দুটি বিবৃতি প্রমাণ করতে হবে:

উ: একই নামের সমস্ত বক্ররেখা (অর্থাৎ, সমস্ত উপবৃত্ত, সমস্ত হাইপারবোলাস, ইত্যাদি) একে অপরের সমতুল্য।

B. বিভিন্ন নামের দুটি বক্ররেখা কখনোই সমতুল্য নয়।

আমরা বিবৃতি A প্রমাণ করি। XV অধ্যায়ে, § 3, এটি ইতিমধ্যেই প্রমাণিত হয়েছে যে সমস্ত উপবৃত্তগুলি তাদের একটির, যথা একটি বৃত্তের সমানভাবে সমান, এবং সমস্ত অধিবৃত্ত একটি অধিবৃত্ত। এর মানে হল যে সমস্ত উপবৃত্ত, যথাক্রমে সমস্ত হাইপারবোলা, affinely একে অপরের সমতুল্য. সমস্ত কাল্পনিক উপবৃত্ত, একটি বৃত্তের সমতুল্য - - 1 ব্যাসার্ধ, একে অপরের সমানভাবে সমান।

আসুন আমরা সমস্ত প্যারাবোলার অ্যাফিন সমতা প্রমাণ করি। আমরা আরও প্রমাণ করব, যথা যে সমস্ত প্যারাবোলা একে অপরের সাথে একই রকম। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক সিস্টেমে দেওয়া একটি প্যারাবোলা তার ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা

একটি প্যারাবোলার অনুরূপ

এটি করার জন্য, আমরা সমতলকে একটি সহগ-এর সাথে একটি সাদৃশ্য রূপান্তর সাপেক্ষে -:

তারপর, আমাদের রূপান্তর সঙ্গে, বক্ররেখা

বক্ররেখায় পরিণত হয়

যেমন একটি প্যারাবোলায়

Q.E.D.

এর ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। § সূত্রে (9) এবং (11), pp. 401 এবং 402) এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে একটি বক্ররেখা যা কিছু (এমনকি আয়তক্ষেত্রাকার) স্থানাঙ্ক সিস্টেমে ছেদকারী রেখাগুলির একটি জোড়ায় বিভক্ত হয় তার সমীকরণ রয়েছে

একটি অতিরিক্ত স্থানাঙ্ক রূপান্তর করার মাধ্যমে

আমরা দেখতে পাই যে কোনো বক্ররেখা যা একটি জোড়া ছেদকারী বাস্তব, যথাক্রমে কাল্পনিক সমন্বিত, সরলরেখায় বিভক্ত হয় তার কিছু affine স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সমীকরণ রয়েছে

সমান্তরাল সরলরেখার একটি জোড়ায় বিভক্ত বক্ররেখার ক্ষেত্রে, তাদের প্রত্যেকটি সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত (এমনকি কিছু আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাতেও) হতে পারে।

যথাক্রমে বাস্তবের জন্য

কাল্পনিক, সরাসরি জন্য। স্থানাঙ্কের রূপান্তর আমাদেরকে এই সমীকরণগুলি স্থাপন করতে দেয় (বা সরল রেখার সাথে মিলিত হওয়ার জন্য। এটি একই নামের দ্বিতীয় ক্রমটির সমস্ত ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখার অ্যাফিন সমতা বোঝায়।

বিবৃতির প্রমাণের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

আসুন আমরা প্রথমে লক্ষ্য করি: সমতলের একটি affine রূপান্তরের সাথে, বীজগণিতীয় বক্ররেখার ক্রম অপরিবর্তিত থাকে। আরও: দ্বিতীয় ক্রমটির প্রতিটি ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখা হল এক জোড়া সরলরেখা, এবং একটি affine রূপান্তরের সাথে, একটি সরল রেখা সরলরেখায় যায়, এক জোড়া ছেদকারী রেখা একজোড়া ছেদকারী রেখার মধ্যে যায় এবং একজোড়া সমান্তরাল রেখায় যায়। সমান্তরাল বেশী একটি জোড়া মধ্যে যায়; উপরন্তু, বাস্তব রেখা বাস্তব লাইনে পরিণত হয়, এবং কাল্পনিক লাইন কাল্পনিক লাইনে পরিণত হয়। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে সূত্র (3) (অধ্যায় XI, § 3) এর সমস্ত সহগ, যা affine রূপান্তর নির্ধারণ করে, বাস্তব সংখ্যা।

যা বলা হয়েছে তা থেকে এটি অনুসরণ করে যে দ্বিতীয় ক্রমটির একটি প্রদত্ত ক্ষয়কারী বক্ররেখার সমতুল্য একটি লাইন একই নামের একটি ক্ষয়কারী বক্ররেখা।

চলুন অক্ষয় বক্ররেখা এগিয়ে চলুন. আবার, একটি affine রূপান্তরের সাথে, একটি বাস্তব বক্ররেখা কাল্পনিক একটিতে রূপান্তরিত হতে পারে না এবং এর বিপরীতে। অতএব, কাল্পনিক উপবৃত্তের শ্রেণীটি অপরিবর্তনীয়।

আসুন বাস্তব অ-ক্ষয়কারী বক্ররেখার শ্রেণী বিবেচনা করি: উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত, প্যারাবোলাস।

দ্বিতীয় ক্রমে সমস্ত বক্ররেখার মধ্যে, প্রতিটি উপবৃত্ত এবং শুধুমাত্র একটি উপবৃত্ত একটি নির্দিষ্ট আয়তক্ষেত্রে অবস্থিত, যখন প্যারাবোলাস এবং হাইপারবোলাস (পাশাপাশি সমস্ত ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখা) অসীম পর্যন্ত প্রসারিত।

একটি অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশনের অধীনে, প্রদত্ত উপবৃত্ত ধারণ করে আয়তক্ষেত্র ABCD রূপান্তরিত বক্ররেখা সম্বলিত একটি সমান্তরালগ্রামে পরিণত হবে, যা, এইভাবে, অসীমে যেতে পারে না এবং তাই, একটি উপবৃত্ত।

সুতরাং, একটি উপবৃত্তের সমতুল্য একটি বক্ররেখা অবশ্যই একটি উপবৃত্ত। যা প্রমাণিত হয়েছে তা থেকে এটি অনুসরণ করে যে হাইপারবোলা বা প্যারাবোলার সমতুল্য একটি বক্ররেখা একটি উপবৃত্ত হতে পারে না (এবং আমরা জানি, ক্ষয়কারী বক্ররেখা হতে পারে না। অতএব, এটি শুধুমাত্র প্রমাণ করা বাকি আছে যে সমতলের একটি affine রূপান্তর দ্বারা , একটি হাইপারবোলা একটি প্যারাবোলায় রূপান্তরিত হতে পারে না, এবং বিপরীতে। এটি সম্ভবত, সবচেয়ে সহজভাবে এই সত্যটি অনুসরণ করে যে একটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের কেন্দ্র থাকে না, তবে একটি হাইপারবোলা থাকে। কিন্তু যেহেতু প্রতিসাম্য কেন্দ্রের অনুপস্থিতি একটি প্যারাবোলা শুধুমাত্র পরের অধ্যায়ে প্রমাণিত হবে, আমরা এখন একটি দ্বিতীয় দিব, খুব সহজ প্রমাণ অ্যাফাইন অ-ইকুইভালেন্স হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলা।

লেমা। যদি একটি প্যারাবোলা একটি প্রদত্ত লাইন d এর সমতলে সংজ্ঞায়িত দুটি অর্ধ-সমতলের প্রতিটির সাথে সাধারণ বিন্দু থাকে, তাহলে রেখার সাথে এটির অন্তত একটি সাধারণ বিন্দু থাকে।

আসলে, আমরা দেখেছি যে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা রয়েছে যেখানে একটি প্রদত্ত প্যারাবোলার সমীকরণ রয়েছে

চলুন, এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে, সরলরেখা d-এর সমীকরণ আছে

অনুমান অনুসারে, প্যারাবোলায় দুটি বিন্দু রয়েছে, যার একটি, ধরা যাক, ধনাত্মক অর্ধ-তলায় এবং অন্যটি সমীকরণের (1) সাপেক্ষে নেতিবাচক অর্ধ-তলায় অবস্থিত। তাই মনে রেখে আমরা লিখতে পারি

8.3.15. বিন্দু A একটি সরল রেখায় অবস্থিত। বিন্দু A থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব

8.3.16. একটি লাইনের জন্য একটি সমীকরণ লিখুন যা একটি লাইনের প্রতিসম

সমতল আপেক্ষিক .

8.3.17. সমতলে অনুমানগুলির জন্য সমীকরণগুলি লিখুন নিম্নলিখিত লাইন:

ক) ;

খ)

ভি) .

8.3.18. সমতল এবং লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজুন:

ক) ;

খ) .

8.3.19. বিন্দুতে প্রতিসম একটি বিন্দু খুঁজুন লাইনের মধ্য দিয়ে যাওয়া বিমানের সাপেক্ষে:

এবং

8.3.20. বিন্দু A একটি সরল রেখায় অবস্থিত

বিন্দু A থেকে সরলরেখা পর্যন্ত দূরত্ব সমান A বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।

§ 8.4। সেকেন্ড অর্ডার কার্ভস

আসুন সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা স্থাপন করি এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির সাধারণ সমীকরণটি বিবেচনা করি

যা .

সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেটকে বলা হয় যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণকে (8.4.1) সন্তুষ্ট করে আঁকাবাঁকা (লাইন) দ্বিতীয় ক্রম.

যেকোন দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার জন্য একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আছে, যাকে ক্যানোনিকাল বলা হয়, যেখানে এই বক্ররেখার সমীকরণের নিম্নলিখিত রূপগুলির মধ্যে একটি রয়েছে:

1) (অধিবৃত্ত);

2) (কাল্পনিক উপবৃত্তাকার);

3) (এক জোড়া কাল্পনিক ছেদকারী লাইন);

4) (অধিবৃত্ত);

5) (এক জোড়া ছেদকারী লাইন);

6) (পরাবৃত্ত);

7) (এক জোড়া সমান্তরাল রেখা);

8) (এক জোড়া কাল্পনিক সমান্তরাল রেখা);

9) (এক জোড়া কাকতালীয় লাইন)।

সমীকরণ 1) – 9) বলা হয় দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

একটি দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার সমীকরণকে ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করার সমস্যা সমাধানের মধ্যে বক্ররেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ এবং ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেম খুঁজে পাওয়া জড়িত। ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস একজনকে বক্ররেখার পরামিতিগুলি গণনা করতে এবং মূল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাথে এর অবস্থান নির্ধারণ করতে দেয়। মূল আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে রূপান্তর ক্যানোনিকাল থেকে একটি নির্দিষ্ট কোণ j দ্বারা মূল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষগুলিকে O বিন্দুর চারপাশে ঘোরানোর মাধ্যমে এবং স্থানাঙ্ক সিস্টেমের পরবর্তী সমান্তরাল অনুবাদ দ্বারা সঞ্চালিত হয়।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা invariants(8.4.1) হল এর সমীকরণের সহগগুলির এমন ফাংশন, যেগুলির মানগুলি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে একই সিস্টেমের অন্যটিতে যাওয়ার সময় পরিবর্তিত হয় না।

একটি দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার জন্য (8.4.1), বর্গ স্থানাঙ্কগুলির জন্য সহগগুলির সমষ্টি

,

অগ্রণী পদের সহগ দ্বারা গঠিত নির্ধারক

এবং তৃতীয় ক্রম নির্ধারক

invariants হয়

invariants s, d, D এর মান ধরন নির্ধারণ করতে এবং দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

টেবিল 8.1।

invariants উপর ভিত্তি করে দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা শ্রেণীবিভাগ

উপবৃত্তাকার বক্ররেখা		এসডি<0. Эллипс
		sD>0। কাল্পনিক উপবৃত্ত
		একটি বাস্তব বিন্দুতে ছেদ করা কাল্পনিক লাইনের একটি জোড়া
হাইপারবোলিক বক্ররেখা		অধিবৃত্ত
		ছেদকারী লাইনের জোড়া
পরাবৃত্তীয় বক্ররেখা		পরাবৃত্ত
		একজোড়া সমান্তরাল রেখা (ভিন্ন, কাল্পনিক বা কাকতালীয়)

এর উপবৃত্তাকার, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলাকে ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।

উপবৃত্ত(চিত্র 8.1) হল সমতলের বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান যার জন্য দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে দূরত্বের যোগফল এই প্লেন, বলা হয় উপবৃত্তাকার কেন্দ্র, একটি ধ্রুবক মান (foci মধ্যে দূরত্ব থেকে বড়)। এই ক্ষেত্রে, উপবৃত্ত এর foci এর কাকতালীয়তা বাদ দেওয়া হয় না। যদি foci মিলে যায়, তাহলে উপবৃত্তটি একটি বৃত্ত।

উপবৃত্তের একটি বিন্দু থেকে এর কেন্দ্রবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের অর্ধ-সমষ্টি a দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, c দ্বারা foci-এর মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক। যদি একটি সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়া হয় যাতে উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু অক্স অক্ষের উপর উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসমভাবে অবস্থিত থাকে, তাহলে এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপবৃত্তটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

, (8.4.2)

ডাকা ক্যানোনিকাল উপবৃত্তাকার সমীকরণ, কোথায় .

ভাত। 8.1

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার নির্দিষ্ট পছন্দের সাথে, উপবৃত্তটি স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং উৎপত্তির ক্ষেত্রে প্রতিসম হয়। উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষগুলিকে বলা হয় অক্ষ, এবং প্রতিসাম্য কেন্দ্র হয় উপবৃত্তের কেন্দ্র. একই সময়ে, 2a এবং 2b সংখ্যাগুলিকে প্রায়শই উপবৃত্তের অক্ষ বলা হয় এবং সংখ্যাগুলি a এবং b হয় বড়এবং ছোট অক্ষযথাক্রমে

অক্ষ সহ একটি উপবৃত্তের ছেদ বিন্দুকে বলা হয় উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু. উপবৃত্তের শীর্ষে স্থানাঙ্ক রয়েছে (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b)।

উপবৃত্ত বিকেন্দ্রতানম্বর বলা হয়

0£c থেকে

.

এটি দেখায় যে বিকেন্দ্রিকতা উপবৃত্তের আকৃতিকে চিহ্নিত করে: e যত শূন্যের কাছাকাছি হবে, উপবৃত্তটি একটি বৃত্তের মতো হবে; e বৃদ্ধির সাথে সাথে উপবৃত্তটি আরও দীর্ঘায়িত হয়।

দ্বিতীয় ক্রম লাইন

সমতল রেখা যার কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ডিগ্রী 2 এর বীজগণিতীয় সমীকরণ পূরণ করে

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

সমীকরণ (*) একটি বাস্তব জ্যামিতিক চিত্রকে সংজ্ঞায়িত নাও করতে পারে, তবে এই ধরনের ক্ষেত্রে সাধারণতা রক্ষা করার জন্য বলা হয় যে এটি একটি কাল্পনিক রৈখিক চিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। ইত্যাদি। সাধারণ সমীকরণ (*) এর সহগগুলির মানের উপর নির্ভর করে, এটি একটি নির্দিষ্ট কোণ দ্বারা স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্স এবং ঘূর্ণনের সমান্তরাল স্থানান্তর দ্বারা নীচে প্রদত্ত 9টি ক্যানোনিকাল প্রকারের একটিতে রূপান্তরিত হতে পারে, প্রতিটি যার মধ্যে একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর লাইনের সাথে মিল রয়েছে। ঠিক,

অবিচ্ছেদ্য লাইন:

y 2 = 2px - প্যারাবোলাস,

ক্ষয়প্রাপ্ত লাইন:

x 2 - a 2 = 0 - সমান্তরাল রেখার জোড়া,

x 2 + a 2 = 0 - কাল্পনিক সমান্তরাল রেখার জোড়া,

x 2 = 0 - মিলিত সমান্তরাল রেখার জোড়া।

L. v এর প্রকারের অধ্যয়ন। সাধারণ সমীকরণকে ক্যানোনিকাল ফর্মে না কমিয়েই করা যেতে পারে। এটি তথাকথিত অর্থের যৌথ বিবেচনার মাধ্যমে অর্জন করা হয়। রৈখিক v এর মৌলিক পরিবর্তন n. - সমীকরণ (*) এর সহগ দ্বারা গঠিত অভিব্যক্তি, যার মানগুলি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সমান্তরাল অনুবাদ এবং ঘূর্ণনের সময় পরিবর্তিত হয় না:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, উপবৃত্তগুলি, অ-বিচ্ছিন্ন রেখাগুলির মতো, এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে তাদের জন্য Δ ≠ 0; অপরিবর্তনীয় δ-এর একটি ধনাত্মক মান উপবৃত্তগুলিকে অন্যান্য ধরনের অ-বিচ্ছিন্ন রেখা থেকে আলাদা করে (অধিবৃত্তের জন্য δ

তিনটি প্রধান অপরিবর্তনীয় Δ, δ, এবং S রৈখিক গতিবিধি নির্ধারণ করে। p. (সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে ব্যতীত) ইউক্লিডীয় সমতলের গতি (মোশন দেখুন) পর্যন্ত: যদি দুটি রেখার Δ, δ এবং S সমান হয়, তাহলে এই ধরনের রেখাগুলিকে গতি দ্বারা একত্রিত করা যেতে পারে। অন্য কথায়, এই লাইনগুলি সমতলের গতিবিধির সমতুল্য (মেট্রিকভাবে সমতুল্য)।

L. v এর শ্রেণীবিভাগ আছে। অন্যান্য রূপান্তর গোষ্ঠীর দৃষ্টিকোণ থেকে। এইভাবে, গতির গ্রুপের তুলনায় তুলনামূলকভাবে বেশি সাধারণ - অ্যাফাইন ট্রান্সফরমেশনের গ্রুপ (অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশন দেখুন) - একই ক্যানোনিকাল ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত যেকোনো দুটি লাইন সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ, দুটি অনুরূপ L. v. n. (সাদৃশ্য দেখুন) সমতুল্য বলে বিবেচিত হয়। লিনিয়ার v এর বিভিন্ন affine শ্রেণীর মধ্যে সংযোগ। p. আমাদেরকে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে একটি শ্রেণিবিন্যাস স্থাপন করতে দেয় (প্রজেক্টিভ জ্যামিতি দেখুন), যেখানে অসীমের উপাদানগুলি বিশেষ ভূমিকা পালন করে না। প্রকৃত অ-বিচ্ছিন্ন ওষুধ। p.: উপবৃত্ত, হাইপারবোলাস এবং প্যারাবোলাস একটি প্রজেক্টিভ শ্রেণী গঠন করে - বাস্তব ডিম্বাকৃতি রেখার (ডিম্বাকৃতি) শ্রেণী। একটি বাস্তব ডিম্বাকৃতি রেখা হল একটি উপবৃত্ত, একটি অধিবৃত্ত বা একটি প্যারাবোলা, এটি কীভাবে অসীমের একটি রেখার সাপেক্ষে অবস্থিত তার উপর নির্ভর করে: একটি উপবৃত্ত দুটি কাল্পনিক বিন্দুতে একটি অনুপযুক্ত রেখাকে ছেদ করে, একটি অধিবৃত্ত দুটি ভিন্ন বাস্তব বিন্দুতে, একটি প্যারাবোলা একটি স্পর্শ করে অনুপযুক্ত লাইন; প্রজেক্টিভ ট্রান্সফরমেশন আছে যা এই রেখাগুলোকে আরেকটাতে রূপান্তরিত করে। রৈখিক ভেক্টরের মাত্র 5টি প্রজেক্টিভ ইকুয়ালেন্স ক্লাস রয়েছে। p. ঠিক,

নন-ডিজেনারেট লাইন

(x 1, x 2, x 3- সমজাতীয় স্থানাঙ্ক):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - বাস্তব ডিম্বাকৃতি,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - কাল্পনিক ডিম্বাকৃতি,

অবক্ষয়কারী লাইন:

x 1 2 - x 2 2= 0 - বাস্তব লাইনের জোড়া,

x 1 2 + x 2 2= 0 - একজোড়া কাল্পনিক লাইন,

x 1 2= 0 - মিলিত বাস্তব লাইনের একটি জোড়া।

এ বি ইভানভ।

গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া। - এম.: সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া. 1969-1978 .

অন্যান্য অভিধানে "সেকেন্ড অর্ডার লাইন" কী তা দেখুন:

সমতল রেখা যেগুলির বিন্দুগুলির আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি 2য় ডিগ্রির একটি বীজগণিতীয় সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। দ্বিতীয় ক্রমে লাইনগুলির মধ্যে উপবৃত্ত (বিশেষত, বৃত্ত), হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস... বড় বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমতল রেখা যেগুলির বিন্দুগুলির আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি 2য় ডিগ্রির একটি বীজগণিতীয় সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। দ্বিতীয় ক্রমটির লাইনগুলির মধ্যে উপবৃত্ত (বিশেষত, বৃত্ত), হাইপারবোলাস এবং প্যারাবোলাস রয়েছে। * * * দ্বিতীয় ক্রম লাইনের দ্বিতীয় ক্রম লাইন,... ... বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমতল লাইন, আয়তক্ষেত্রাকার। বিন্দুর স্থানাঙ্ক বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রী লেভেল। L. v এর মধ্যে. ইত্যাদি উপবৃত্ত (বিশেষত, বৃত্ত), হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস... প্রাকৃতিক বিজ্ঞান. বিশ্বকোষীয় অভিধান

একটি সমতল রেখা, কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রির সমীকরণ (*) প্রকৃত জ্যামিতিক নির্ধারণ করতে পারে না। ইমেজ, কিন্তু এই ধরনের ক্ষেত্রে সাধারণতা রক্ষা করার জন্য তারা বলে যে এটি নির্ধারণ করে ... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

3-মাত্রিক বাস্তব (বা জটিল) স্থানের বিন্দুগুলির একটি সেট যার কার্টেসিয়ান সিস্টেমে স্থানাঙ্কগুলি বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রির সমীকরণ (*) সমীকরণ (*) প্রকৃত জ্যামিতিক নির্ধারণ করতে পারে না। ইমেজ, যেমন...... গাণিতিক বিশ্বকোষ

এই শব্দটি, বাঁকা রেখার জ্যামিতিতে প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, এর একটি অস্পষ্ট অর্থ রয়েছে। যখন এই শব্দটি বন্ধ এবং শাখাবিহীন বাঁকা রেখায় প্রয়োগ করা হয়, তখন বক্ররেখার একটি শাখা দ্বারা প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন পৃথক... ... বিশ্বকোষীয় অভিধান F.A. Brockhaus এবং I.A. এফ্রন

দ্বিতীয় ক্রমটির লাইন, দুটি ব্যাস, যার প্রতিটি এই বক্ররেখার জ্যাগুলিকে বিভক্ত করে, অন্যটির সমান্তরাল৷ দ্বিতীয় ক্রম লাইনের সাধারণ তত্ত্বে S. d. একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। একই সাথে একটি উপবৃত্তকে এর পরিধিতে প্রক্ষেপণ করার সময়, S. d.... ...

একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু কেটে প্লেনগুলির সাথে যে রেখাগুলি তার শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায় না। কে. এস. তিন ধরনের হতে পারে: 1) একটি কাটিং প্লেন তার গহ্বরের একটি বিন্দুতে শঙ্কুর সমস্ত জেনাট্রিকে ছেদ করে; লাইন...... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

সমতলগুলির সাথে একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু কেটে প্রাপ্ত রেখাগুলি যা তার শীর্ষের মধ্য দিয়ে যায় না। কে. এস. তিন ধরনের হতে পারে: 1) একটি কাটিং প্লেন শঙ্কুর সমস্ত জেনাট্রিকে তার একটি গহ্বরের বিন্দুতে ছেদ করে (চিত্র, ক): ছেদ রেখা... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

জ্যামিতি বিভাগ। জ্যামিতিক জ্যামিতির মৌলিক ধারণা হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক চিত্র (বিন্দু, সরলরেখা, সমতল, বক্ররেখা এবং দ্বিতীয় ক্রম পৃষ্ঠ)। এজি-তে গবেষণার প্রধান মাধ্যম হল সমন্বয় পদ্ধতি (নীচে দেখুন) এবং পদ্ধতি... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

বই

• বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সংক্ষিপ্ত কোর্স, এফিমভ নিকোলাই ভ্লাদিমিরোভিচ। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি অধ্যয়নের বিষয় হল এমন পরিসংখ্যান যা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রথম বা দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। একটি সমতলে এগুলি সরলরেখা এবং দ্বিতীয় ক্রমের রেখা।…

একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে এটি পরিষ্কার করার জন্য, আমি আপনাকে দেখাব যে এই ব্যাখ্যায় নিম্নলিখিত বিবৃতির সাথে কী মিল রয়েছে: (বাস্তব বা কাল্পনিক) বিন্দু P (বাস্তব বা কাল্পনিক) লাইনের উপর অবস্থিত। এই ক্ষেত্রে, অবশ্যই, আমাদের নিম্নলিখিত ক্ষেত্রেগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে হবে:

1) বাস্তব বিন্দু এবং বাস্তব লাইন,

2) বাস্তব বিন্দু এবং কাল্পনিক লাইন,

কেস 1) আমাদের কাছ থেকে কোন বিশেষ ব্যাখ্যা প্রয়োজন হয় না; এখানে আমাদের সাধারণ জ্যামিতির একটি মৌলিক সম্পর্ক রয়েছে।

ক্ষেত্রে 2) একটি প্রদত্ত বাস্তব বিন্দুর মধ্য দিয়ে, একটি প্রদত্ত কাল্পনিক রেখার সাথে, জটিল সংযোজিত রেখাটিকেও এটির মধ্য দিয়ে যেতে হবে; অতএব, এই বিন্দুটি অবশ্যই রশ্মির রশ্মির শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যাবে যা আমরা কাল্পনিক রেখাটি চিত্রিত করতে ব্যবহার করি।

একইভাবে, ক্ষেত্রে 3), আসল রেখাটি অবশ্যই বিন্দুগুলির সেই রেক্টিলিনিয়ার ইনভল্যুশনের সমর্থনে অভিন্ন হতে হবে যা একটি প্রদত্ত কাল্পনিক বিন্দুর প্রতিনিধি হিসাবে কাজ করে।

সবচেয়ে আকর্ষণীয় হল কেস 4) (চিত্র 96): এখানে, স্পষ্টতই, জটিল কনজুগেট বিন্দুকে অবশ্যই জটিল কনজুগেট লাইনের উপর থাকতে হবে এবং এটি অনুসরণ করে যে বিন্দুগুলির আবর্তনে প্রতিটি জোড়া বিন্দু P বিন্দুকে উপস্থাপন করতে হবে রেখার আবর্তনে কিছু জোড়া রেখা, সরলরেখা g চিত্রিত করে, অর্থাৎ, এই উভয় আবর্তন একটি অপরটির সাথে একটি আপেক্ষিকভাবে অবস্থিত হওয়া উচিত; উপরন্তু, এটা দেখা যাচ্ছে যে উভয় ইনভল্যুশনের তীরগুলিও সম্ভাব্যভাবে অবস্থিত।

সাধারণভাবে, সমতলের বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, যা জটিল অঞ্চলের দিকেও মনোযোগ দেয়, আমরা এই সমতলটির একটি সম্পূর্ণ বাস্তব চিত্র পেতে পারি যদি, এর সমস্ত বাস্তব বিন্দু এবং সরল রেখার সেটে, আমরা নতুন উপাদান হিসাবে যোগ করি। তাদের দিকনির্দেশের তীরগুলির সাথে একসাথে উপরে আলোচনা করা বিবর্তনীয় পরিসংখ্যানগুলির সেট। এখানে যথেষ্ট হবে যদি আমি সাধারণভাবে রূপরেখা দিই যে জটিল জ্যামিতির এই ধরনের বাস্তব চিত্রের নির্মাণ কী রূপ নেবে। এটি করার সময়, আমি সেই ক্রম অনুসরণ করব যেখানে প্রাথমিক জ্যামিতির প্রথম প্রস্তাবগুলি এখন সাধারণত উপস্থাপন করা হয়।

1) তারা অস্তিত্বের স্বতঃসিদ্ধ দিয়ে শুরু করে, যার উদ্দেশ্য হল সাধারণ জ্যামিতির সাথে তুলনা করে প্রসারিত অঞ্চলে শুধু উল্লেখিত উপাদানগুলির উপস্থিতির একটি সুনির্দিষ্ট সূত্র দেওয়া।

2) তারপর সংযোগের স্বতঃসিদ্ধ, যা এটিও বর্ধিত অঞ্চলে অনুচ্ছেদ 1 এ সংজ্ঞায়িত করে)! (প্রতিটি) দুটি পয়েন্টের মাধ্যমে সেখানে একটি এবং শুধুমাত্র একটি লাইন অতিক্রম করে এবং (প্রতিটি) দুটি লাইনের একটি এবং শুধুমাত্র একটি বিন্দু মিল রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, আমাদের উপরে যা ছিল তার অনুরূপ, প্রদত্ত উপাদানগুলি বাস্তব কিনা তার উপর নির্ভর করে আমাদের প্রতিবার চারটি ক্ষেত্রে পার্থক্য করতে হবে, এবং বিন্দু এবং রেখার অন্তর্ভূক্তি সহ কোন বাস্তব নির্মাণগুলি একটি চিত্র হিসাবে কাজ করে তা চিন্তা করা খুব আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। এই জটিল সম্পর্কের।

3) বিন্যাসের স্বতঃসিদ্ধ (ক্রম), এখানে, প্রকৃত সম্পর্কের সাথে তুলনা করে, দৃশ্যে সম্পূর্ণ নতুন পরিস্থিতি উপস্থিত হয়; বিশেষ করে, একটি স্থির রেখায় থাকা সমস্ত বাস্তব এবং জটিল বিন্দু, সেইসাথে একটি স্থির বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত রশ্মি একটি দ্বি-মাত্রিক ধারাবাহিকতা তৈরি করে। সর্বোপরি, আমরা প্রত্যেকে ফাংশনের তত্ত্ব অধ্যয়ন করে শিখেছি সমতলের সমস্ত বিন্দু দ্বারা একটি জটিল পরিবর্তনশীলের মানগুলির সেট উপস্থাপন করার অভ্যাস।

4) পরিশেষে, ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কে, আমি এখানে শুধুমাত্র নির্দেশ করব কিভাবে জটিল বিন্দুগুলিকে কিছু বাস্তব বিন্দুর কাঙ্খিত কাছাকাছি চিত্রিত করা হয়েছে। এটি করার জন্য, নেওয়া বাস্তব বিন্দু P এর মাধ্যমে (অথবা এটির কাছাকাছি অন্য কোনও বাস্তব বিন্দুর মাধ্যমে), আপনাকে কিছু সরল রেখা আঁকতে হবে এবং একে অপরকে আলাদা করে দুটি জোড়া বিন্দু বিবেচনা করতে হবে (অর্থাৎ, "ক্রসড পদ্ধতিতে" শুয়ে থাকা। ) (চিত্র 97), যাতে বিভিন্ন জোড়া থেকে নেওয়া দুটি বিন্দু একে অপরের কাছাকাছি থাকে এবং P বিন্দুতে থাকে; যদি আমরা এখন বিন্দুগুলিকে অনির্দিষ্টকালের জন্য কাছাকাছি নিয়ে আসি, তাহলে বিন্দুগুলির নামযুক্ত জোড়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত উদ্ভাবনটি ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, অর্থাৎ, এর উভয় জটিল দ্বিগুণ বিন্দু এই বিন্দুটির সাথে মিলে যায় যে দুটি কাল্পনিক বিন্দুর প্রত্যেকটি এই আবর্তনের দ্বারা চিত্রিত হয়েছে (একসঙ্গে একটি বা অন্য তীরটি) চলে যায়, তাই, অবিচ্ছিন্নভাবে P বিন্দুর কাছাকাছি, বা এমনকি সরাসরি P বিন্দুতে চলে যায়। অবশ্যই, ধারাবাহিকতার এই ধারণাগুলি কার্যকরভাবে প্রয়োগ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, তাদের সাথে বিস্তারিতভাবে কাজ করা প্রয়োজন। .

যদিও এই সম্পূর্ণ নির্মাণটি সাধারণ বাস্তব জ্যামিতির তুলনায় বেশ কষ্টকর এবং ক্লান্তিকর, তবে এটি অতুলনীয়ভাবে আরও বেশি ফল দিতে পারে। বিশেষত, এটি বীজগণিতীয় চিত্রগুলিকে তাদের বাস্তব এবং জটিল উপাদানগুলির সেট হিসাবে বোঝা, সম্পূর্ণ জ্যামিতিক স্বচ্ছতার স্তরে উন্নীত করতে সক্ষম এবং এর সাহায্যে কেউ বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য হিসাবে পরিসংখ্যানগুলিতে স্পষ্টভাবে বুঝতে পারে বা বেজউটের উপপাদ্য যে দুটি বক্ররেখার আদেশে, সাধারণভাবে বলতে গেলে, ঠিক সাধারণ বিন্দু রয়েছে। এই উদ্দেশ্যে, অবশ্যই, মূল বিধানগুলিকে এখন পর্যন্ত যা করা হয়েছে তার চেয়ে অনেক বেশি সুনির্দিষ্ট এবং চাক্ষুষ আকারে বোঝার প্রয়োজন হবে; যাইহোক, সাহিত্যে ইতিমধ্যে এই ধরনের গবেষণার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত উপাদান রয়েছে।

কিন্তু বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এই জ্যামিতিক ব্যাখ্যার প্রয়োগ তার সমস্ত তাত্ত্বিক সুবিধা থাকা সত্ত্বেও, এমন জটিলতার দিকে নিয়ে যাবে যে একজনকে এর মৌলিক সম্ভাবনা নিয়ে সন্তুষ্ট থাকতে হবে এবং প্রকৃতপক্ষে আরও নিরীহ দৃষ্টিকোণে ফিরে যেতে হবে, যা নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিত : একটি জটিল বিন্দু হল তিনটি জটিল স্থানাঙ্কের একটি সংগ্রহ, এবং এটির সাথে বাস্তব বিন্দুগুলির মতো ঠিক একইভাবে পরিচালনা করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, কোনো নীতিগত যুক্তি থেকে বিরত থাকা কাল্পনিক উপাদানগুলির এই ধরনের একটি প্রবর্তন সর্বদা সেই ক্ষেত্রে ফলপ্রসূ প্রমাণিত হয়েছে যেখানে আমাদের কাল্পনিক চক্রীয় বিন্দু বা গোলকের বৃত্তের সাথে মোকাবিলা করতে হয়েছে। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, Poncelet এই অর্থে কাল্পনিক উপাদান ব্যবহার প্রথম ছিল; এই বিষয়ে তার অনুসারীরা ছিল অন্যান্য ফরাসি জ্যামিতি, প্রধানত চালস এবং ডারবক্স; জার্মানিতে, বেশ কিছু জিওমিটার, বিশেষ করে লাই, কাল্পনিক উপাদানগুলির এই বোঝাপড়াকেও দারুণ সাফল্যের সাথে ব্যবহার করেছে।

কাল্পনিক রাজ্যে এই পশ্চাদপসরণ নিয়ে, আমি আমার কোর্সের সম্পূর্ণ দ্বিতীয় বিভাগটি শেষ করে একটি নতুন অধ্যায়ে ফিরে যাচ্ছি,

এটি একটি সমীকরণের সাধারণভাবে গৃহীত আদর্শ রূপ, যখন কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে এটি কোন জ্যামিতিক বস্তুকে সংজ্ঞায়িত করে তা পরিষ্কার হয়ে যায়। উপরন্তু, অনেক ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য ক্যানোনিকাল ফর্ম খুব সুবিধাজনক। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ক্যানোনিকাল সমীকরণ অনুযায়ী "ফ্ল্যাট" সোজা, প্রথমত, এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে এটি একটি সরল রেখা, এবং দ্বিতীয়ত, এটির অন্তর্গত বিন্দু এবং দিক ভেক্টর সহজেই দৃশ্যমান।

এটা স্পষ্ট যে কোন ১ম অর্ডার লাইনএকটি সরল রেখা। দ্বিতীয় তলায়, এটি আর প্রহরী নয় যে আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে, নয়টি মূর্তির আরও বৈচিত্র্যময় সংস্থা:

দ্বিতীয় অর্ডার লাইনের শ্রেণীবিভাগ

ক্রিয়াগুলির একটি বিশেষ সেট ব্যবহার করে, একটি দ্বিতীয়-ক্রম লাইনের যে কোনও সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্মগুলির মধ্যে একটিতে হ্রাস করা হয়:

(এবং ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা)

1) - উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

2) – হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

3) - একটি প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

4) – কাল্পনিকউপবৃত্ত

5) – ছেদকারী লাইনের একটি জোড়া;

6) - জোড়া কাল্পনিকছেদকারী রেখাগুলি (উৎপত্তিস্থলে ছেদ করার একক বৈধ বিন্দু সহ);

7) – সমান্তরাল রেখার এক জোড়া;

8) - জোড়া কাল্পনিকসমান্তরাল রেখা;

9) – একজোড়া কাকতালীয় লাইন।

কিছু পাঠকের ধারণা থাকতে পারে যে তালিকাটি অসম্পূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, 7 নং পয়েন্টে, সমীকরণটি জোড়া নির্দিষ্ট করে সরাসরি, অক্ষের সমান্তরাল, এবং প্রশ্ন উঠেছে: অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলি নির্ধারণ করে এমন সমীকরণটি কোথায়? উত্তর দাও ক্যানোনিকাল হিসাবে বিবেচিত হয় না. সরল রেখাগুলি একই স্ট্যান্ডার্ড কেস প্রতিনিধিত্ব করে, 90 ডিগ্রী দ্বারা ঘোরানো হয় এবং শ্রেণীবিভাগে অতিরিক্ত এন্ট্রি অপ্রয়োজনীয়, কারণ এটি মৌলিকভাবে নতুন কিছু নিয়ে আসে না।

এইভাবে, নয়টি এবং মাত্র নয়টি ভিন্ন ধরণের 2য় ক্রম লাইন রয়েছে, তবে বাস্তবে সবচেয়ে সাধারণ উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং প্যারাবোলা.

প্রথমে উপবৃত্তাকার দিকে তাকাই। যথারীতি, আমি সেই পয়েন্টগুলিতে ফোকাস করি যেগুলি সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, এবং যদি আপনার সূত্রগুলির বিশদ উদ্ভব, উপপাদ্যগুলির প্রমাণের প্রয়োজন হয়, অনুগ্রহ করে দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, বাজিলেভ/আতানাসিয়ান বা আলেকসান্দ্রভের পাঠ্যপুস্তকটি দেখুন।

উপবৃত্ত এবং এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ

বানান... অনুগ্রহ করে কিছু ইয়ানডেক্স ব্যবহারকারীদের ভুলের পুনরাবৃত্তি করবেন না যারা "কীভাবে একটি উপবৃত্ত তৈরি করতে হয়", "একটি উপবৃত্ত এবং একটি ডিম্বাকৃতির মধ্যে পার্থক্য" এবং "একটি উপবৃত্তের অদ্ভুততা" এ আগ্রহী।

একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণের ফর্ম রয়েছে , যেখানে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং . আমি একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞাটি পরে তৈরি করব, কিন্তু আপাতত কথা বলার দোকান থেকে বিরতি নেওয়ার এবং একটি সাধারণ সমস্যা সমাধান করার সময় এসেছে:

কিভাবে একটি উপবৃত্ত নির্মাণ?

হ্যাঁ, শুধু এটা নিন এবং শুধু এটি আঁকা. টাস্কটি প্রায়শই ঘটে এবং শিক্ষার্থীদের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ সঠিকভাবে অঙ্কনটি মোকাবেলা করে না:

উদাহরণ 1

সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত উপবৃত্তাকার গঠন করুন

সমাধান: প্রথমে, সমীকরণটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসা যাক:

আনবে কেন? ক্যানোনিকাল সমীকরণের একটি সুবিধা হল এটি আপনাকে তাৎক্ষণিকভাবে নির্ধারণ করতে দেয় উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, যা পয়েন্টে অবস্থিত। এটি দেখতে সহজ যে এই প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণটি পূরণ করে।

এক্ষেত্রে :


লাইনের অংশডাকা প্রধান অক্ষউপবৃত্ত
লাইনের অংশ – ছোট অক্ষ;
সংখ্যা ডাকা আধা-প্রধান খাদউপবৃত্ত
সংখ্যা – ছোট অক্ষ.
আমাদের উদাহরণে:।

একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্ত দেখতে কেমন তা দ্রুত কল্পনা করতে, কেবলমাত্র এর ক্যানোনিকাল সমীকরণের "a" এবং "be" এর মানগুলি দেখুন।

সবকিছু ঠিকঠাক, মসৃণ এবং সুন্দর, তবে একটি সতর্কতা রয়েছে: আমি প্রোগ্রামটি ব্যবহার করে অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করেছি। এবং আপনি যেকোন অ্যাপ্লিকেশন ব্যবহার করে অঙ্কন করতে পারেন। যাইহোক, রূঢ় বাস্তবে, টেবিলে একটি চেক করা কাগজের টুকরো রয়েছে এবং আমাদের হাতে বৃত্তে ইঁদুর নাচছে। শৈল্পিক প্রতিভাযুক্ত লোকেরা অবশ্যই তর্ক করতে পারে তবে আপনার কাছে ইঁদুরও রয়েছে (যদিও ছোট)। এটি নিরর্থক নয় যে মানবতা শাসক, কম্পাস, প্রটেক্টর এবং অঙ্কনের জন্য অন্যান্য সাধারণ ডিভাইস আবিষ্কার করেছিল।

এই কারণে, আমরা কেবলমাত্র শীর্ষবিন্দুগুলি জেনে সঠিকভাবে একটি উপবৃত্ত আঁকতে সক্ষম হওয়ার সম্ভাবনা কম। উপবৃত্তটি ছোট হলে এটি ঠিক আছে, উদাহরণস্বরূপ, আধা-অক্ষ সহ। বিকল্পভাবে, আপনি স্কেল কমাতে পারেন এবং, সেই অনুযায়ী, অঙ্কনের মাত্রা। কিন্তু সাধারণভাবে, অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত বাঞ্ছনীয়।

একটি উপবৃত্ত নির্মাণের দুটি পদ্ধতি রয়েছে - জ্যামিতিক এবং বীজগণিত। আমি একটি কম্পাস এবং শাসক ব্যবহার করে নির্মাণ পছন্দ করি না কারণ অ্যালগরিদমটি সংক্ষিপ্ত নয় এবং অঙ্কনটি উল্লেখযোগ্যভাবে বিশৃঙ্খল। জরুরী পরিস্থিতিতে, অনুগ্রহ করে পাঠ্যপুস্তকটি পড়ুন, কিন্তু বাস্তবে বীজগণিতের সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করা অনেক বেশি যুক্তিযুক্ত। খসড়াটিতে উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে আমরা দ্রুত প্রকাশ করি:

তারপর সমীকরণ দুটি ফাংশনে বিভক্ত হয়:
- উপবৃত্তের উপরের চাপ সংজ্ঞায়িত করে;
- উপবৃত্তের নীচের চাপ সংজ্ঞায়িত করে।

যে কোনো উপবৃত্ত স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে সাথে উৎপত্তির ক্ষেত্রে প্রতিসম হয়. এবং এটি দুর্দান্ত - প্রতিসাম্য প্রায় সবসময়ই বিনামূল্যের একটি আশ্রয়দাতা। স্পষ্টতই, 1ম স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিকের সাথে মোকাবিলা করার জন্য এটি যথেষ্ট, তাই আমাদের ফাংশনটি প্রয়োজন . এটি অ্যাবসিসাস সহ অতিরিক্ত পয়েন্টের জন্য সন্ধান করতে চায় . ক্যালকুলেটরে তিনটি এসএমএস বার্তায় ট্যাপ করা যাক:

অবশ্যই, এটিও চমৎকার যে যদি গণনায় একটি গুরুতর ভুল করা হয় তবে এটি নির্মাণের সময় অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে যাবে।

চলুন অঙ্কন (লাল), অবশিষ্ট আর্কসের (নীল) প্রতিসম বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি এবং একটি লাইনের সাথে পুরো সংস্থাটিকে সাবধানে সংযুক্ত করি:


প্রাথমিক স্কেচটি খুব পাতলা আঁকতে ভাল, এবং শুধুমাত্র তারপর একটি পেন্সিল দিয়ে চাপ প্রয়োগ করুন। ফলাফল একটি বেশ শালীন উপবৃত্তাকার হওয়া উচিত। যাইহোক, আপনি এই বক্ররেখা কি জানতে চান?