Řádky druhého řádu. Vzájemné uspořádání pomyslných bodů a přímek Dvojice rovnoběžných přímek druhého řádu

Nyní ukážeme, že afinní klasifikace křivek druhého řádu je dána samotnými názvy křivek, tedy že afinní třídy křivek druhého řádu jsou třídy:

skutečné elipsy;

imaginární elipsy;

nadsázka;

dvojice reálných protínajících se čar;

dvojice imaginárních (konjugovaných) protínajících se;

dvojice paralelních reálných čar;

dvojice rovnoběžných imaginárních konjugovaných čar;

dvojice shodných skutečných čar.

Musíme dokázat dvě tvrzení:

A. Všechny křivky stejného jména (tj. všechny elipsy, všechny hyperboly atd.) jsou navzájem afinně ekvivalentní.

B. Dvě křivky různých jmen nejsou nikdy afinně ekvivalentní.

Dokazujeme tvrzení A. V kapitole XV, § 3 již bylo prokázáno, že všechny elipsy jsou afinně ekvivalentní jedné z nich, totiž kružnici, a všechny hyperboly jsou hyperbolou.To znamená, že všechny elipsy, respektive všechny hyperboly, jsou navzájem afinně ekvivalentní. Všechny pomyslné elipsy, které jsou afinně ekvivalentní kruhu - - 1 poloměr, jsou také navzájem afinně ekvivalentní.

Dokažme afinní ekvivalenci všech parabol. Prokážeme ještě více, totiž že všechny paraboly jsou si navzájem podobné. Stačí dokázat, že parabola daná v určité soustavě souřadnic její kanonickou rovnicí

podobná parabole

K tomu podrobíme rovinu transformaci podobnosti s koeficientem -:

Pak, s naší transformací, křivka

přechází do zatáčky

tedy do paraboly

Q.E.D.

Přejděme k rozkladným křivkám. V § vzorcích (9) a (11), str. 401 a 402) bylo prokázáno, že křivka, která se v nějakém (i pravoúhlém) souřadném systému rozdělí na dvojici protínajících se přímek, má rovnici

Provedením další transformace souřadnic

vidíme, že každá křivka, která se rozdělí na dvojici protínajících se skutečných, respektive imaginárních sdružených přímek, má rovnici v nějakém afinním souřadnicovém systému

Pokud jde o křivky, které se dělí na dvojici rovnoběžných čar, každá z nich může být (i v nějakém pravoúhlém souřadném systému) dána rovnicí

pro ty skutečné, resp

za imaginární, přímý. Transformace souřadnic nám umožňuje vkládat tyto rovnice (nebo pro shodné přímky. To implikuje afinní ekvivalenci všech rozpadových křivek druhého řádu, které mají stejný název.

Přejděme k důkazu tvrzení B.

Poznamenejme především: při afinní transformaci roviny zůstává řád algebraické křivky nezměněn. Dále: každá úpadková křivka druhého řádu je dvojice přímek a při afinní transformaci přímka přechází v přímku, dvojice protínajících se čar přechází do dvojice protínajících se čar a dvojice rovnoběžných čar jde do dvojice paralelních; kromě toho se skutečné čáry mění ve skutečné čáry a imaginární čáry v imaginární čáry. Vyplývá to ze skutečnosti, že všechny koeficienty ve vzorcích (3) (kapitola XI, § 3), které určují afinní transformaci, jsou reálná čísla.

Z toho, co bylo řečeno, vyplývá, že přímka afinně ekvivalentní dané rozpadové křivce druhého řádu je stejnojmenná rozpadová křivka.

Přejděme k neklesajícím křivkám. Opět platí, že při afinní transformaci se skutečná křivka nemůže přeměnit na imaginární a naopak. Třída imaginárních elips je proto afinně invariantní.

Uvažujme třídy skutečných nepoklesných křivek: elipsy, hyperboly, paraboly.

Mezi všemi křivkami druhého řádu leží každá elipsa, a pouze elipsa, v určitém obdélníku, zatímco paraboly a hyperboly (stejně jako všechny rozpadové křivky) sahají do nekonečna.

Při afinní transformaci se obdélník ABCD obsahující danou elipsu změní na rovnoběžník obsahující transformovanou křivku, která tedy nemůže jít do nekonečna a je tedy elipsou.

Takže křivka afinně ekvivalentní elipse je určitě elipsa. Z dokázaného vyplývá, že křivka afinně ekvivalentní hyperbole nebo parabole nemůže být elipsou (a také, jak víme, nemůže být ani rozpadovou křivkou. Nezbývá tedy než dokázat, že při afinní transformaci roviny , hyperbola se nemůže přeměnit v parabolu a naopak.To snad nejjednodušeji vyplývá z toho, že parabola nemá střed symetrie, ale hyperbola ano.Ale protože absence středu symetrie parabola bude prokázána až v další kapitole, nyní uvedeme druhý, rovněž velmi jednoduchý důkaz afinní neekvivalence hyperboly a paraboly.

Lemma. Pokud má parabola společné body s každou ze dvou polorovin definovaných v rovině dané přímky d, pak má s přímkou ​​alespoň jeden společný bod.

Ve skutečnosti jsme viděli, že existuje souřadnicový systém, ve kterém má daná parabola rovnici

Nechť má přímka d vzhledem k tomuto souřadnému systému rovnici

Předpokládejme, že na parabole jsou dva body, z nichž jeden, řekněme, leží v kladné polorovině a druhý v záporné polorovině vzhledem k rovnici (1). Proto nezapomeňte, že můžeme psát

8.3.15. Bod A leží na přímce. Vzdálenost z bodu A do roviny

8.3.16. Napište rovnici pro přímku, která je symetrická k přímce

vzhledem k rovině .

8.3.17. Napište rovnice pro průměty do roviny následující řádky:

A) ;

b)

PROTI) .

8.3.18. Najděte úhel mezi rovinou a přímkou:

A) ;

b) .

8.3.19. Najděte bod symetrický k bodu vzhledem k rovině procházející přímkami:

A

8.3.20. Bod A leží na přímce

Vzdálenost od bodu A k přímce rovná se . Najděte souřadnice bodu A.

§ 8.4. KŘIVKY DRUHÉHO ŘÁDU

Ustavme v rovině pravoúhlý souřadnicový systém a uvažujme obecnou rovnici druhého stupně

ve kterém .

Zavolá se množina všech bodů roviny, jejichž souřadnice splňují rovnici (8.4.1). křivý (čára) druhá objednávka.

Pro každou křivku druhého řádu existuje pravoúhlý souřadnicový systém, nazývaný kanonický, ve kterém má rovnice této křivky jednu z následujících forem:

1) (elipsa);

2) (imaginární elipsa);

3) (dvojice pomyslných protínajících se čar);

4) (hyperbola);

5) (dvojice protínajících se čar);

6) (parabola);

7) (pár rovnoběžných čar);

8) (dvojice pomyslných rovnoběžných čar);

9) (pár shodných čar).

Nazývají se rovnice 1) – 9). kanonické rovnice křivek druhého řádu.

Řešení problému redukce rovnice křivky druhého řádu na kanonickou formu zahrnuje nalezení kanonické rovnice křivky a kanonické soustavy souřadnic. Redukce na kanonickou formu umožňuje vypočítat parametry křivky a určit její umístění vzhledem k původnímu souřadnicovému systému. Přechod z původního pravoúhlého souřadnicového systému na kanonické se provádí natočením os původního souřadného systému kolem bodu O o určitý úhel j a následným paralelním posunutím souřadného systému.

Invarianty křivky druhého řádu(8.4.1) jsou takové funkce koeficientů jeho rovnice, jejichž hodnoty se nemění při přechodu z jednoho pravoúhlého souřadnicového systému do druhého stejného systému.

Pro křivku druhého řádu (8.4.1) součet koeficientů pro druhé mocniny souřadnic

,

determinant složený z koeficientů vedoucích členů

a determinant třetího řádu

jsou invarianty.

Hodnotu invariantů s, d, D lze použít k určení typu a sestavení kanonické rovnice křivky druhého řádu.

Tabulka 8.1.

Klasifikace křivek druhého řádu na základě invariantů

Eliptická křivka		sD<0. Эллипс
		sD>0. Imaginární elipsa
		Dvojice imaginárních čar protínajících se v reálném bodě
Hyperbolická křivka		Hyperbola
		Dvojice protínajících se čar
Parabolická křivka		Parabola
		Dvojice rovnoběžných čar (různé, imaginární nebo shodné)

Pojďme se blíže podívat na elipsu, hyperbolu a parabolu.

Elipsa(obr. 8.1) je geometrické místo bodů v rovině, pro které je součet vzdáleností dvou pevných bodů toto letadlo, tzv elipsová ohniska, je konstantní hodnota (větší než vzdálenost mezi ohnisky). V tomto případě není vyloučena shoda ohnisek elipsy. Pokud se ohniska shodují, pak je elipsa kruh.

Poloviční součet vzdáleností od bodu elipsy k jejím ohniskům je označen a, polovina vzdáleností mezi ohnisky c. Pokud je pravoúhlý souřadnicový systém v rovině zvolen tak, že ohniska elipsy jsou umístěna na ose Ox symetricky vzhledem k počátku, pak v tomto souřadném systému je elipsa dána rovnicí

, (8.4.2)

volal rovnice kanonické elipsy, Kde .

Rýže. 8.1

Při zadané volbě pravoúhlého souřadnicového systému je elipsa symetrická vzhledem k souřadnicovým osám a počátku. Osy symetrie elipsy se nazývají sekery a střed symetrie je střed elipsy. Přitom čísla 2a a 2b se často nazývají osy elipsy a čísla a a b jsou velký A vedlejší osa respektive.

Nazývají se průsečíky elipsy s jejími osami vrcholy elipsy. Vrcholy elipsy mají souřadnice (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Výstřednost elipsy volané číslo

Od 0 £ c

.

To ukazuje, že tvar elipsy charakterizuje excentricita: čím blíže je e nule, tím více se elipsa podobá kruhu; jak se e zvětšuje, elipsa se prodlužuje.

Řádky druhého řádu

rovinné čáry, jejichž kartézské pravoúhlé souřadnice splňují algebraickou rovnici stupně 2

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Rovnice (*) nemusí definovat skutečný geometrický obraz, ale pro zachování obecnosti v takových případech se říká, že definuje imaginární lineární obraz. atd. V závislosti na hodnotách koeficientů obecné rovnice (*) může být transformován paralelním přenosem počátku a natočením souřadného systému o určitý úhel na jeden z 9 níže uvedených kanonických typů, každý z nichž odpovídá určité třídě čar. Přesně tak,

nerozbitné čáry:

y 2 = 2 pixely – paraboly,

rozpadající se čáry:

x 2 - a 2 = 0 - dvojice rovnoběžných čar,

x 2 + a 2 = 0 - dvojice pomyslných rovnoběžných čar,

x 2 = 0 - dvojice shodných rovnoběžných čar.

Studie typu L. v. lze provést bez redukce obecné rovnice na kanonickou formu. Toho je dosaženo společným zvážením významů tzv. základní invarianty lineárního v. n. - výrazy složené z koeficientů rovnice (*), jejichž hodnoty se při paralelním posunu a rotaci souřadného systému nemění:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Takže například elipsy, stejně jako nerozpadavé čáry, jsou charakteristické tím, že pro ně platí Δ ≠ 0; kladná hodnota invariantu δ odlišuje elipsy od jiných typů nerozpadajících se čar (pro hyperboly δ

Tři hlavní invarianty Δ, δ a S určují lineární pohyb. p. (kromě případu rovnoběžných přímek) až do pohybu (Viz Pohyb) euklidovské roviny: jsou-li odpovídající invarianty Δ, δ a S dvou přímek stejné, lze takové přímky pohybem kombinovat. Jinými slovy, tyto přímky jsou ekvivalentní s ohledem na skupinu pohybů roviny (metricky ekvivalentní).

Existují klasifikace L. v. z pohledu ostatních transformačních skupin. Relativně obecnější než skupina pohybů – skupina afinních transformací (viz Afinní transformace) – jsou tedy jakékoli dvě přímky definované rovnicemi stejného kanonického tvaru ekvivalentní. Například dva podobné L. v. n. (viz podobnost) jsou považovány za rovnocenné. Spojení mezi různými afinními třídami lineárního v. p. nám umožňuje zavést klasifikaci z hlediska projektivní geometrie (viz Projektivní geometrie), ve které prvky v nekonečnu nehrají zvláštní roli. Skutečné nerozpadající se drogy. p.: elipsy, hyperboly a paraboly tvoří jednu projektivní třídu - třídu skutečných oválných čar (oválů). Skutečná oválná čára je elipsa, hyperbola nebo parabola, podle toho, jak je umístěna vzhledem k přímce v nekonečnu: elipsa protíná nevlastní přímku ve dvou imaginárních bodech, hyperbola ve dvou různých reálných bodech, parabola se dotýká nesprávná linie; existují projektivní transformace, které transformují tyto linie jedna v druhou. Existuje pouze 5 projektivních tříd ekvivalence lineárních vektorů. p. Přesně tak,

nedegenerované linie

(x 1, x 2, x 3- homogenní souřadnice):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - skutečný ovál,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - pomyslný ovál,

degenerativní linie:

x 1 2 - x 2 2= 0 - pár skutečných čar,

x 1 2 + x 2 2= 0 - dvojice imaginárních čar,

x 12= 0 - dvojice shodných reálných čar.

A. B. Ivanov.

Velká sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .

Podívejte se, co jsou „řádky druhého řádu“ v jiných slovnících:

Rovinné přímky, jejichž pravoúhlé souřadnice bodů splňují algebraickou rovnici 2. stupně. Mezi přímkami druhého řádu jsou elipsy (zejména kružnice), hyperboly, paraboly... Velký encyklopedický slovník

Rovinné přímky, jejichž pravoúhlé souřadnice bodů splňují algebraickou rovnici 2. stupně. Mezi čarami druhého řádu jsou elipsy (zejména kružnice), hyperboly a paraboly. * * * ŘÁDKY DRUHÉHO ŘÁDU ŘÁDKY DRUHÉHO ŘÁDU,... ... encyklopedický slovník

Ploché čáry, obdélníkové. souřadnice bodů splňují algebry. stupeň 2. stupně. Mezi L. v. atd. elipsy (zejména kružnice), hyperboly, paraboly... Přírodní věda. encyklopedický slovník

Rovná čára, kartézské pravoúhlé souřadnice splňují algebraické. rovnice 2. stupně Rovnice (*) nemusí určovat skutečnou geometrii. image, ale pro zachování obecnosti se v takových případech říká, že určuje... ... Matematická encyklopedie

Množina bodů 3-rozměrného reálného (nebo komplexního) prostoru, jehož souřadnice v kartézském systému splňují algebraiku. rovnice 2. stupně (*) Rovnice (*) nemusí určovat skutečnou geometrii. obrázky v takových ...... Matematická encyklopedie

Toto slovo, velmi často používané v geometrii zakřivených čar, má nejasný význam. Když se toto slovo použije na neuzavřené a nerozvětvené zakřivené čáry, pak se větví křivky rozumí každá souvislá samostatná... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Čáry druhého řádu, dva průměry, z nichž každý půlí tětivy této křivky, rovnoběžné s druhým. S. d. hrají důležitou roli v obecné teorii linií druhého řádu. Při současném promítání elipsy do jejího obvodu S. d.... ...

Čáry, které jsou získány řezáním pravého kruhového kužele s rovinami, které neprocházejí jeho vrcholem. K. s. může být tří typů: 1) rovina řezu protíná všechny tvořící přímky kužele v bodech jedné z jeho dutiny; linka...... Velká sovětská encyklopedie

Čáry získané řezáním pravého kruhového kužele s rovinami, které neprocházejí jeho vrcholem. K. s. může být tří typů: 1) rovina řezu protíná všechny tvořící přímky kužele v bodech jedné z jeho dutiny (obr., a): průsečík... ... Matematická encyklopedie

Geometrický úsek. Základními pojmy geometrické geometrie jsou nejjednodušší geometrické obrazy (body, přímky, roviny, křivky a plochy druhého řádu). Hlavními prostředky výzkumu v AG jsou souřadnicová metoda (viz níže) a metody... ... Velká sovětská encyklopedie

knihy

• Krátký kurz analytické geometrie, Efimov Nikolaj Vladimirovič. Předmětem studia analytické geometrie jsou obrazce, které jsou zadávány v kartézských souřadnicích rovnicemi prvního nebo druhého stupně. V rovině jsou to přímky a čáry druhého řádu.…

Abych to objasnil na konkrétním příkladu, ukážu vám, co v této interpretaci odpovídá následujícímu tvrzení: (skutečný nebo imaginární) bod P leží na (skutečné nebo imaginární) přímce g. V tomto případě musíme samozřejmě rozlišovat mezi následujícími případy:

1) skutečný bod a skutečná čára,

2) skutečný bod a imaginární čára,

Případ 1) od nás nevyžaduje žádné zvláštní vysvětlení; Zde máme jeden ze základních vztahů obyčejné geometrie.

V případě 2) daným reálným bodem musí spolu s danou imaginární přímkou ​​procházet i komplexně sdružená přímka; proto se tento bod musí shodovat s vrcholem svazku paprsků, který používáme k zobrazení pomyslné čáry.

Podobně v případě 3) musí být skutečná přímka totožná s podporou té přímočaré involuce bodů, která slouží jako reprezentant daného imaginárního bodu.

Nejzajímavější je případ 4) (obr. 96): zde samozřejmě musí komplexně sdružený bod ležet také na složené sdružené přímce a z toho vyplývá, že každá dvojice bodů v involuci bodů představujících bod P musí být na nějaký pár čar v involuci čar, znázorňující přímku g, tj. že obě tyto involuce by měly být umístěny perspektivně jedna vůči druhé; navíc se ukazuje, že šipky obou involucí jsou umístěny i prospektivně.

Obecně platí, že v analytické geometrii roviny, která věnuje pozornost i komplexní oblasti, získáme úplný reálný obraz této roviny, pokud k množině všech jejích reálných bodů a přímek přidáme jako nové prvky sada výše uvedených involučních postav spolu se šipkami jejich směru. Zde postačí, když obecně nastíním, jakou podobu by stavba takového reálného obrazu složité geometrie měla. Budu přitom postupovat v pořadí, v jakém jsou nyní obvykle uváděny první výroky elementární geometrie.

1) Vycházejí z axiomů existence, jejichž účelem je podat přesnou formulaci přítomnosti právě zmíněných prvků v oblasti rozšířené ve srovnání s obvyklou geometrií.

2) Dále axiomy spojení, které uvádějí, že i v rozšířené oblasti definované v odstavci 1)! skrz (každé) dva body prochází jedna a pouze jedna přímka a ta (každé) dvě přímky mají společný pouze jeden bod.

V tomto případě, podobně jako jsme měli výše, musíme pokaždé rozlišit čtyři případy v závislosti na tom, zda jsou dané prvky skutečné, a zdá se velmi zajímavé promyslet, které skutečné konstrukce s involucemi bodů a čar slouží jako obraz. těchto složitých vztahů.

3) Pokud jde o axiomy uspořádání (pořádku), zde se ve srovnání se skutečnými vztahy objevují na scéně zcela nové okolnosti; zejména všechny reálné a komplexní body ležící na jedné pevné přímce, stejně jako všechny paprsky procházející jedním pevným bodem, tvoří dvourozměrné kontinuum. Koneckonců, každý z nás se studiem teorie funkcí naučil zvyk reprezentovat množinu hodnot komplexní proměnné všemi body roviny.

4) Nakonec, pokud jde o axiomy spojitosti, zde pouze naznačím, jak jsou znázorněny složité body ležící tak blízko, jak je žádoucí, k nějakému skutečnému bodu. Chcete-li to provést, musíte přes zachycený reálný bod P (nebo přes nějaký jiný reálný bod blízko něj) nakreslit nějakou přímku a uvažovat na ní dva páry bodů, které se od sebe oddělují (tj. leží „zkříženě“ ) (obr. 97), takže dva body odebrané z různých párů leží blízko sebe a bodu P; přiblížíme-li nyní body na neurčito, pak involuce definovaná pojmenovanými dvojicemi bodů degeneruje, tj. oba její dosud složité dvojbody se shodují s bodem Každý ze dvou pomyslných bodů znázorněných touto involucí (spolu s jedním, resp. druhá šipka) jde tedy souvisle k nějakému bodu blízko bodu P, nebo dokonce přímo k bodu P. Samozřejmě, aby bylo možné tyto myšlenky spojitosti užitečně aplikovat, je nutné s nimi podrobně pracovat .

Přestože je celá tato konstrukce ve srovnání s běžnou skutečnou geometrií značně těžkopádná a zdlouhavá, dokáže vynést nesrovnatelně více. Zejména je schopen pozvednout algebraické obrazy, chápané jako množiny jejich reálných a komplexních prvků, na úroveň úplné geometrické jasnosti a s jeho pomocí lze v obrazcích samotných jasně pochopit takové věty, jako je základní věta algebry, popř. Bezoutova věta, že řády dvou křivek mají, obecně řečeno, přesně společné body. K tomu účelu by bylo samozřejmě nutné pojmout hlavní ustanovení v mnohem přesnější a názornější podobě, než tomu bylo doposud; literatura však již obsahuje veškerý materiál nezbytný pro takové studie.

Ale ve většině případů by aplikace této geometrické interpretace stále vedlo, přes všechny její teoretické výhody, k takovým komplikacím, že je třeba se spokojit s její zásadní možností a vlastně se vrátit k naivnějšímu pohledu, který spočívá v následujícím: : komplexní bod je soubor tří komplexních souřadnic a lze s ním pracovat úplně stejným způsobem jako se skutečnými body. Takové zavádění imaginárních prvků, zdržující se jakéhokoli principiálního uvažování, se totiž vždy osvědčilo v těch případech, kdy jsme museli jednat s imaginárními cyklickými body nebo s kruhem koulí. Jak již bylo řečeno, Poncelet byl první, kdo v tomto smyslu použil imaginární prvky; jeho následovníky v tomto ohledu byli další francouzští geometrové, hlavně Chals a Darboux; v Německu toto chápání imaginárních prvků s velkým úspěchem využívala také řada geometrů, zejména Lie.

Tímto ústupem do říše imaginace končím celou druhou část mého kurzu a přecházím k nové kapitole,

Toto je obecně uznávaný standardní tvar rovnice, kdy je během několika sekund jasné, jaký geometrický objekt definuje. Kromě toho je kanonická forma velmi vhodná pro řešení mnoha praktických problémů. Tedy například podle kanonické rovnice „plochý“ rovný, za prvé je hned jasné, že se jedná o přímku, za druhé je dobře vidět bod k ní patřící a směrový vektor.

Je zřejmé, že jakýkoli řádek 1. řádu je přímka. Ve druhém patře už na nás nečeká hlídač, ale mnohem rozmanitější společnost devíti soch:

Klasifikace linií druhého řádu

Pomocí speciální sady akcí se jakákoli rovnice čáry druhého řádu redukuje na jednu z následujících forem:

(a jsou kladná reálná čísla)

1) – kanonická rovnice elipsy;

2) – kanonická rovnice hyperboly;

3) – kanonická rovnice paraboly;

4) – imaginární elipsa;

5) – dvojice protínajících se čar;

6) – pár imaginární protínající se čáry (s jediným platným průsečíkem v počátku);

7) – dvojice rovnoběžných čar;

8) – pár imaginární rovnoběžky;

9) – dvojice shodných čar.

Někteří čtenáři mohou mít dojem, že seznam není úplný. Například v bodě č. 7 rovnice určuje dvojici Přímo, rovnoběžné s osou, a vyvstává otázka: kde je rovnice, která určuje přímky rovnoběžné s osou pořadnic? Odpověz nepovažuje se za kanonické. Rovné čáry představují stejný standardní případ otočený o 90 stupňů a dodatečný záznam v klasifikaci je nadbytečný, protože nepřináší nic zásadně nového.

Existuje tedy devět a pouze devět různých typů linek 2. řádu, ale v praxi jsou nejběžnější elipsa, hyperbola a parabola.

Nejprve se podíváme na elipsu. Jako obvykle se zaměřuji na ty body, které mají velký význam pro řešení problémů, a pokud potřebujete podrobné odvození vzorců, důkazy vět, podívejte se například do učebnice Bazyleva/Atanasjana nebo Aleksandrova.

Elipsa a její kanonická rovnice

Pravopis... prosím neopakujte chyby některých uživatelů Yandexu, kteří se zajímají o „jak postavit elipsu“, „rozdíl mezi elipsou a oválem“ a „excentricita elipsy“.

Kanonická rovnice elipsy má tvar , kde jsou kladná reálná čísla a . Samotnou definici elipsy zformuluji později, ale nyní je čas dát si pauzu od mluvícího obchodu a vyřešit společný problém:

Jak postavit elipsu?

Ano, prostě to vezmi a nakresli. Úkol se vyskytuje často a významná část studentů se s kresbou nevyrovná správně:

Příklad 1

Sestrojte elipsu danou rovnicí

Řešení: Nejprve převedeme rovnici do kanonické podoby:

Proč přinést? Jednou z výhod kanonické rovnice je, že umožňuje okamžité určení vrcholy elipsy, které se nacházejí v bodech. Je snadné vidět, že souřadnice každého z těchto bodů splňují rovnici.

V tomto případě :


Úsečka volal hlavní osa elipsa;
úsečka – vedlejší osa;
číslo volal polohlavní hřídel elipsa;
číslo – vedlejší osa.
v našem příkladu: .

Chcete-li si rychle představit, jak konkrétní elipsa vypadá, stačí se podívat na hodnoty „a“ ​​a „be“ její kanonické rovnice.

Všechno je v pořádku, hladké a krásné, ale je tu jedno upozornění: dokreslil jsem pomocí programu. A kresbu můžete vytvořit pomocí jakékoli aplikace. V drsné realitě však na stole leží kostkovaný papír a na rukou nám tančí myši v kruzích. Lidé s uměleckým talentem se samozřejmě mohou hádat, ale máte také myši (i když menší). Ne nadarmo lidstvo vynalezlo pravítko, kompas, úhloměr a další jednoduchá zařízení pro kreslení.

Z tohoto důvodu je nepravděpodobné, že budeme schopni přesně nakreslit elipsu, když známe pouze vrcholy. Je v pořádku, pokud je elipsa malá, například u poloos. Případně můžete zmenšit měřítko a podle toho i rozměry výkresu. Ale obecně je velmi žádoucí najít další body.

Existují dva přístupy ke konstrukci elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád konstrukci pomocí kružítka a pravítka, protože algoritmus není nejkratší a kresba je výrazně nepřehledná. V případě nouze se prosím podívejte do učebnice, ale ve skutečnosti je mnohem racionálnější použít nástroje algebry. Z rovnice elipsy v návrhu rychle vyjádříme:

Rovnice se pak rozpadne na dvě funkce:
– definuje horní oblouk elipsy;
– definuje spodní oblouk elipsy.

Jakákoli elipsa je symetrická vzhledem k souřadnicovým osám a také vzhledem k počátku. A to je skvělé – symetrie je téměř vždy předzvěstí volnosti. Pochopitelně se stačí vypořádat s 1. souřadnicovou čtvrtí, takže funkci potřebujeme . To vyžaduje, aby byly nalezeny další body s úsečkami . Klepněte na tři SMS zprávy na kalkulačce:

Samozřejmě je také hezké, že pokud se ve výpočtech udělá vážná chyba, okamžitě se to během stavby projeví.

Označme body na výkresu (červeně), symetrické body na zbývajících obloucích (modré) a pečlivě spojíme celou společnost čárou:


Počáteční náčrt je lepší nakreslit velmi tence a teprve poté přitlačit tužkou. Výsledkem by měla být celkem slušná elipsa. Mimochodem, chtěli byste vědět, co je to za křivku?