Věda, která studuje veličiny, kvantitativní vztahy a prostorové formy. Matematika je soubor věd, které studují množství, kvantitativní vztahy a věda, která studuje množství, kvantitativní vztahy a prostorové formy.

MATEMATIKA je věda o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa; Řecké slovo (matematika) pochází z řeckého slova (mathema), což znamená „znalost“, „věda“.

Matematika vznikla v dávných dobách z praktických potřeb lidí. Jeho obsah a charakter se v průběhu historie měnily a mění se i nyní. Od primárních předmětových představ o kladném celém čísle, stejně jako od myšlenky úsečky jako nejkratší vzdálenosti mezi dvěma body, matematika ušla dlouhou cestu vývoje, než se stala abstraktní vědou se specifickými výzkumnými metodami.

Moderní chápání prostorových forem je velmi široké. Zahrnuje spolu s geometrickými objekty trojrozměrného prostoru (čára, kruh, trojúhelník, kužel, válec, koule atd.) také četná zobecnění - pojmy vícerozměrný a nekonečněrozměrný prostor a geometrické objekty v nich. , a mnohem víc. Stejně tak se nyní kvantitativní vztahy vyjadřují nejen kladnými celými nebo racionálními čísly, ale také pomocí komplexní čísla, vektory, funkce atd. Rozvoj vědy a techniky nutí matematiku neustále rozšiřovat své představy o prostorových formách a kvantitativních vztazích.

Pojmy matematiky jsou abstrahovány od konkrétních jevů a objektů; jsou získávány jako výsledek abstrakce od kvalitativních znaků specifických pro daný okruh jevů a předmětů. Tato okolnost je nesmírně důležitá pro aplikace matematiky. Číslo 2 není neoddělitelně spojeno s žádným konkrétním obsahem předmětu. Může odkazovat na dvě jablka, dvě knihy nebo dvě myšlenky. Platí to stejně dobře pro všechny tyto a bezpočet dalších objektů. Stejně tak se geometrické vlastnosti koule nemění, protože je vyrobena ze skla, oceli nebo stearinu. Samozřejmě abstrahování od vlastností předmětu ochuzuje naše znalosti o daném předmětu, o jeho charakteristických materiálních vlastnostech. Přitom právě tato abstrakce od zvláštních vlastností jednotlivých předmětů dává pojmům shodnost, umožňuje aplikovat matematiku na nejrozmanitější jevy v jejich hmotné podstatě. Stejné matematické zákony, stejný matematický aparát lze tedy vcelku uspokojivě aplikovat na popis přírodních jevů, technických, ale i ekonomických a společenských procesů.

Abstraktnost pojmů není výlučným rysem matematiky; jakékoli vědecké a obecné pojmy v sobě nesou prvek abstrakce od vlastností konkrétních věcí. Ale v matematice jde proces abstrakce dále než v přírodních vědách; v matematice se široce používá proces konstrukce abstrakce různých úrovní. Ano, koncept skupiny vznikl abstrahováním od některých vlastností celku čísel a jiných abstraktních pojmů. Matematika se vyznačuje i způsobem získávání jejích výsledků. Jestliže se přírodovědec neustále uchyluje ke zkušenosti, aby dokázal své pozice, pak matematik dokazuje své výsledky pouze logickým uvažováním. V matematice nelze žádný výsledek považovat za prokázaný, dokud nepotřebuje logický důkaz, a to i v případě, že speciální experimenty tento výsledek potvrdily. Pravdivost matematických teorií je zároveň prověřována i praxí, ale toto ověřování má zvláštní povahu: základní pojmy matematiky se formují jako výsledek jejich dlouhodobé krystalizace z konkrétních praktických požadavků; samotná pravidla logiky byla vyvinuta až po tisíciletích pozorování průběhu procesů v přírodě; formulace vět a formulace problémů v matematice také vyplývá z požadavků praxe. Matematika vznikla z praktických potřeb a její propojení s praxí bylo postupem času stále rozmanitější a hlubší.

V zásadě lze matematiku aplikovat na studium jakéhokoli typu pohybu, široké škály jevů. Ve skutečnosti není jeho role v různých oblastech vědecké a praktické činnosti stejná. Obzvláště velká je role matematiky v rozvoji moderní fyziky, chemie a řady technických oborů obecně při studiu těch jevů, kde i výrazná abstrakce od jejich specifických kvalitativních znaků umožňuje poměrně přesně zachytit kvantitativní a prostorové vzory, které jsou jim vlastní. Například matematické studium pohybu nebeských těles, založené na významných abstracích od jejich skutečných rysů (tělesa jsou například považována za hmotné body), vedlo a vede k dokonalé shodě s jejich skutečným pohybem. Na tomto základě je možné nejen předem vypočítat nebeské jevy (zatmění, polohy planet atd.), ale také předpovědět existenci dosud nepozorovaných planet (takto bylo Pluto objeveno v roce 1930 , Neptun v roce 1846). Menší, ale stále významné místo zaujímá matematika v takových vědách, jako je ekonomie, biologie a medicína. Kvalitativní originalita jevů studovaných v těchto vědách je tak velká a ovlivňuje povahu jejich průběhu tak silně, že matematická analýza může zatím hrát jen vedlejší roli. Zvláštní význam má pro sociální a biologické vědy matematické statistiky. Matematika samotná se také vyvíjí pod vlivem požadavků přírodních věd, techniky a ekonomie. I v posledních letech se objevila řada matematických disciplín, které vznikly na základě praktických požadavků: teorie informace, teorie her atd.

Je zřejmé, že přechod z jedné etapy poznávání jevů do další, přesnější, klade nové nároky na matematiku a vede k vytváření nových pojmů, nových výzkumných metod. Požadavky astronomie, přecházející od čistě popisných znalostí k přesným znalostem, vedly k rozvoji základních pojmů trigonometrie: ve 2. století př. Kr starověký řecký vědec Hipparchos sestavil tabulky akordů odpovídajících moderním tabulkám sinus; starověcí řečtí vědci v 1. století Menelaos a ve 2. století Claudius Ptolemaios vytvořili základy sférická trigonometrie. Zvýšený zájem o studium pohybu, přivedený k životu rozvojem výroby, navigace, dělostřelectva atd., vedl v 17. století k vytvoření konceptů matematická analýza, rozvoj nové matematiky. Široké zavádění matematických metod při studiu přírodních jevů (především astronomických a fyzikálních) a rozvoj techniky (zejména strojírenství) vedly v 18. a 19. století k prudkému rozvoji teoretické mechaniky a teorie. diferenciální rovnice. Rozvoj představ o molekulární struktuře hmoty způsobil rychlý vývoj teorie pravděpodobnosti. V současnosti můžeme na mnoha příkladech sledovat vznik nových oblastí matematického výzkumu. Zvláště pozoruhodné jsou úspěchy výpočetní matematika a počítačové technologie a transformace, které produkují v mnoha odvětvích matematiky.

Historická esej. V dějinách matematiky lze nastínit čtyři období se zásadně kvalitativními rozdíly. Je těžké tato období přesně oddělit, protože každé následující se vyvíjelo uvnitř toho předchozího, a proto existovaly poměrně významné přechodné fáze, kdy nové myšlenky teprve vznikaly a ještě se nestaly vodítky ani v matematice samotné, ani v jejích aplikacích.

1) Období zrodu matematiky jako samostatné vědní disciplíny; počátek tohoto období se ztrácí v hlubinách dějin; To pokračovalo přibližně do 6-5 století před naším letopočtem. E.

2) Období elementární matematiky, matematika konstant; trvala přibližně do konce 17. století, kdy se vývoj nové, „vyšší“ matematiky dostal poměrně daleko.

3) Období matematiky proměnných; charakterizované tvorbou a rozvojem matematické analýzy, studiem procesů při jejich pohybu, vývoji.

4) Období moderní matematiky; charakterizované vědomým a systematickým studiem možných typů kvantitativních vztahů a prostorových forem. V geometrii se nestuduje jen reálný trojrozměrný prostor, ale i prostorové formy jemu podobné. V matematické analýze se uvažuje o proměnných, které nezávisí pouze na číselném argumentu, ale také na nějaké přímce (funkci), která vede k pojmům funkčnost A operátor. Algebra se změnil v teorii algebraických operací na prvcích libovolné povahy. Kdyby na nich bylo možné tyto operace provádět. Počátek tohoto období lze přirozeně přiřadit první polovině 19. století.

Ve starověkém světě byly matematické informace původně nedílnou součástí znalostí kněží a vládních úředníků. Zásoba těchto informací, jak lze soudit podle již rozluštěných babylonských hliněných tabulek a egyptských matematické papyry, byl poměrně velký. Existují důkazy, že tisíc let před starověkým řeckým vědcem Pythagorasem v Mezopotámii byla nejen známá teorie Pythagoras, ale byl také vyřešen problém najít všechny pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami. Drtivá většina tehdejších dokumentů jsou však sbírkami pravidel pro provádění nejjednodušších početních operací a také pro počítání ploch obrazců a objemů těles. Pro usnadnění těchto výpočtů se zachovaly i různé tabulky. Ve všech příručkách nejsou pravidla formulována, ale jsou vysvětlena na častých příkladech. K přeměně matematiky ve formalizovanou vědu s dobře vytvořenou deduktivní konstrukční metodou došlo ve starověkém Řecku. Na stejném místě přestala být matematická kreativita bezejmenná. Praktický aritmetika a geometrie ve starověkém Řecku měl vysokou úroveň rozvoje. Počátek řecké geometrie je spojen se jménem Thalése z Milétu (konec 7. století př. n. l. - začátek 6. století př. n. l.), který přinesl primární poznatky z Egypta. Ve škole Pythagora ze Samosu (6. století př. n. l.) se studovala dělitelnost čísel, sčítaly se nejjednodušší průběhy, studovala se dokonalá čísla, uvažovaly se různé typy průměrů (aritmetické, geometrické, harmonické), pythagorejská čísla byly opět nalezeny (trojice celých čísel, což mohou být strany pravoúhlého trojúhelníku). V 5.-6.století př.n.l. vznikly slavné problémy starověku - kvadratura kruhu, trisekce úhlu, zdvojnásobení krychle, byla sestrojena první iracionální čísla. První systematická učebnice geometrie je připisována Hippokratovi z Chiu (2. polovina 5. století př. Kr.). Významný úspěch platónské školy spojený s pokusy o racionální vysvětlení struktury hmoty Vesmíru přitom patří k hledání všech pravidelných mnohostěnů. Na pomezí 5. a 4. století př. Kr. Democritus, založený na atomistických myšlenkách, navrhl metodu určování objemů těles. Tuto metodu lze považovat za prototyp infinitezimální metody. Ve 4. století př. Kr. Eudoxus z Cnidu vyvinul teorii proporcí. 3. století př. n. l. se vyznačuje největší intenzitou matematické tvořivosti. (1. století tzv. alexandrijské éry). Ve 3. století př. Kr. pracovali takoví matematici jako Euclid, Archimedes, Apollonius z Pergy, Eratosthenes; později - Volavka (1. stol. n. l.) Diophantus (3. stol.). Euclid ve svých „Prvcích“ shromáždil a podrobil konečnému logickému zpracování úspěchy v oblasti geometrie; zároveň položil základy teorie čísel. Hlavní zásluhou Archiméda v geometrii bylo určování různých oblastí a objemů. Diophantus studoval především řešení rovnic v racionálních kladných číslech. Od konce 3. století začal úpadek řecké matematiky.

Významného rozvoje dosáhla matematika ve starověké Číně a Indii. Čínští matematici se vyznačují vysokou technikou provádění výpočtů a zájmem o vývoj obecných algebraických metod. Ve 2.-1.století př.n.l. Byla napsána Matematika v devíti knihách. Obsahuje stejné techniky pro extrakci odmocniny, jaké jsou prezentovány i v moderní škole: metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, aritmetická formulace Pythagorovy věty.

Indické matematice, jejíž rozkvět sahá až do 5.–12. století, se připisuje použití moderního desítkového číslování, stejně jako nuly k označení nepřítomnosti jednotek této kategorie a zásluhy o mnohem širší rozvoj algebry, než je ta Diophanta, který operuje nejen s kladnými racionálními čísly, ale také zápornými a iracionálními čísly.

Arabské výboje vedly k tomu, že od Střední Asie až po Pyrenejský poloostrov používali vědci v 9.–15. století arabštinu. V 9. století středoasijský vědec al-Khwarizmi poprvé představil algebru jako nezávislou vědu. Během tohoto období dostalo mnoho geometrických problémů algebraickou formulaci. Syřan al-Battani zavedl trigonometrické funkce sinus, tangens a kotangens.Samarkandský vědec al-Kashi (15. století) zavedl desetinné zlomky a podal systematickou prezentaci, formuloval Newtonův binomický vzorec.

V podstatě nové období ve vývoji matematiky začalo v 17. století, kdy do matematiky jasně vstoupila myšlenka pohybu, změny. Zvažování proměnných a vztahů mezi nimi vedlo k pojmům funkce, derivace a integrály Diferenciální počet, Integrální počet, ke vzniku nové matematické disciplíny - matematické analýzy.

Od konce 18. století do začátku 19. století byla ve vývoji matematiky pozorována řada v podstatě nových rysů. Nejcharakterističtější z nich byl zájem o kritické zopakování řady problémů základů matematiky. Vágní představy o infinitezimálech byly nahrazeny přesnými formulacemi spojenými s pojmem limita.

V algebře v 19. století byla vyjasněna otázka možnosti řešení algebraických rovnic v radikálech (norský vědec N. Abel, francouzský vědec E. Galois).

V 19. a 20. století přerostly numerické metody matematiky v samostatný obor - výpočetní matematiku. Důležité aplikace pro novou výpočetní techniku ​​nalezl obor matematiky, který se rozvinul v 19. a 20. století – matematická logika.

Materiál připravil Leščenko O.V., učitel matematiky.

Idealizované vlastnosti studovaných objektů jsou buď formulovány jako axiomy, nebo jsou uvedeny v definici odpovídajících matematických objektů. Z těchto vlastností se pak podle přísných pravidel logické inference vyvozují další skutečné vlastnosti (věty). Tato teorie dohromady tvoří matematický model studovaného objektu. Matematika tak, vycházející zpočátku z prostorových a kvantitativních vztahů, získává vztahy abstraktnější, jejichž studium je také předmětem moderní matematiky.

Tradičně se matematika dělí na teoretickou, která provádí hloubkovou analýzu vnitromatematických struktur, a aplikovanou, která poskytuje své modely dalším vědním a inženýrským oborům a některé z nich zaujímají pozici hraničící s matematikou. Zejména formální logiku lze považovat jak za součást filozofických věd, tak za součást matematických věd; mechanika – fyzika i matematika; informatika, počítačová technologie a algoritmy se týkají jak inženýrských, tak matematických věd atd. V literatuře bylo navrženo mnoho různých definic matematiky.

Etymologie

Slovo „matematika“ pochází z jiné řečtiny. μάθημα, což znamená studovat, znalost, věda, atd. - řec. μαθηματικός, původně znamenající vnímavý, plodný, později studovatelný, následně týkající se matematiky. Zejména, μαθηματικὴ τέχνη , v latině ars mathematica, znamená umění matematiky. Termín jiná řečtina. μᾰθημᾰτικά v moderním smyslu slova „matematika“ se nachází již ve spisech Aristotela (4. století př. n. l.). Podle Fasmera se slovo dostalo do ruského jazyka buď prostřednictvím polštiny. matematyka, nebo přes lat. matematika.

Definice

Jednu z prvních definic předmětu matematiky podal Descartes:

Oblast matematiky zahrnuje pouze ty vědy, ve kterých se uvažuje buď o řádu nebo míře, a vůbec nezáleží na tom, zda se jedná o čísla, obrazce, hvězdy, zvuky nebo cokoli jiného, ​​v čem se tato míra hledá. Musí tedy existovat nějaká obecná věda, která vysvětluje vše, co se týká řádu a míry, aniž by se pouštěla ​​do studia nějakých konkrétních předmětů, a tato věda se musí nazývat nikoli cizím, ale starým, již běžným názvem Obecná matematika.

Podstata matematiky ... je nyní prezentována jako nauka o vztazích mezi objekty, o kterých není nic známo, kromě některých vlastností, které je popisují - přesně těch, které jsou dány jako axiomy v základech teorie ... Matematika je soubor abstraktních forem - matematických struktur.

Odvětví matematiky

1. Matematika jako akademická disciplína

Notový zápis

Vzhledem k tomu, že matematika se zabývá extrémně rozmanitými a poměrně složitými strukturami, je její zápis také velmi složitý. Moderní systém psaní vzorců byl vytvořen na základě evropské algebraické tradice, stejně jako potřeb pozdějších oborů matematiky - matematické analýzy, matematické logiky, teorie množin atd. Geometrie používala vizuální (geometrické) zobrazení již od dob prastarý. V moderní matematice jsou běžné i složité systémy grafického zápisu (například komutativní diagramy) a často se používá také zápis založený na grafech.

Krátký příběh

Filosofie matematiky

Cíle a metody

Prostor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), na n > 3 (\displaystyle n>3) je matematický vynález. Ovšem velmi důmyslný vynález, který pomáhá matematicky pochopit složité jevy».

základy

intuicionismus

Konstruktivní matematika

vyjasnit

Hlavní témata

Množství

Hlavní částí zabývající se abstrakcí množství je algebra. Pojem „číslo“ původně pocházel z aritmetických reprezentací a odkazoval se na přirozená čísla. Později byla pomocí algebry postupně rozšířena na čísla celočíselná, racionální, reálná, komplexní a další.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Racionální čísla 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots) Reálná čísla − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\tečky ) Komplexní čísla Čtveřice

Proměny

Jevy transformací a změn jsou analýzou uvažovány v nejobecnější podobě.

struktur

Prostorové vztahy

Geometrie uvažuje o základech prostorových vztahů. Trigonometrie zvažuje vlastnosti goniometrických funkcí. Studium geometrických objektů prostřednictvím matematické analýzy se zabývá diferenciální geometrií. Topologie studuje vlastnosti prostorů, které zůstávají při spojitých deformacích nezměněny, a samotný fenomén spojitosti.

Diskrétní matematika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\šipka doprava P(x")))

Matematika existuje již velmi dlouho. Člověk sbíral ovoce, vykopával ovoce, lovil a skladoval je všechno na zimu. Aby člověk pochopil, kolik potravin je uloženo, vynalezl účet. Tak začala matematika.

Poté se muž začal věnovat zemědělství. Bylo potřeba vyměřit pozemky, postavit obydlí, měřit čas.

To znamená, že bylo nutné, aby člověk používal kvantitativní poměr skutečného světa. Určete, kolik plodin bylo sklizeno, jaká je velikost stavebního pozemku nebo jak velká je plocha oblohy s určitým počtem jasných hvězd.

Kromě toho člověk začal určovat formy: slunce je kulaté, krabice je čtvercová, jezero je oválné a jak jsou tyto objekty umístěny ve vesmíru. To znamená, že se člověk začal zajímat o prostorové formy skutečného světa.

Tedy koncept matematika lze definovat jako vědu o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa.

V současnosti neexistuje jediná profese, kde by se člověk obešel bez matematiky. Slavný německý matematik Carl Friedrich Gauss, který byl nazýván „králem matematiky“, jednou řekl:

"Matematika je královnou věd, aritmetika je královnou matematiky."

Slovo "aritmetika" pochází z řeckého slova "aritmos" - "číslo".

Tím pádem, aritmetický je obor matematiky, který studuje čísla a operace s nimi.

Na základní škole se v první řadě učí aritmetika.

Jak se tato věda vyvíjela, pojďme prozkoumat tento problém.

Období zrodu matematiky

Za hlavní období akumulace matematických znalostí je považována doba před 5. stoletím před naším letopočtem.

První, kdo začal dokazovat matematické pozice, byl starověký řecký myslitel, který žil v 7. století před naším letopočtem, pravděpodobně v letech 625-545. Tento filozof cestoval po zemích Východu. Tradice říká, že studoval u egyptských kněží a babylonských Chaldejců.

Thales of Miletus přinesl z Egypta do Řecka první koncepty elementární geometrie: co je průměr, co určuje trojúhelník a tak dále. Předpověděl zatmění Slunce, navrhl inženýrské stavby.

V tomto období se postupně rozvíjí aritmetika, rozvíjí se astronomie a geometrie. Zrodila se algebra a trigonometrie.

Období elementární matematiky

Toto období začíná VI př. Kr. Nyní se matematika objevuje jako věda s teoriemi a důkazy. Objevuje se teorie čísel, nauka o veličinách, o jejich měření.

Nejznámějším matematikem této doby je Euclid. Žil ve třetím století před naším letopočtem. Tento muž je autorem prvního teoretického pojednání o matematice, které se k nám dostalo.

V dílech Eukleidových jsou dány základy tzv. euklidovské geometrie - jedná se o axiomy, které spočívají na základních pojmech, jako je kupř.

V období elementární matematiky se zrodila teorie čísel a také nauka o veličinách a jejich měření. Poprvé se objevují záporná a iracionální čísla.

Na konci tohoto období je pozorován vznik algebry jako doslovného počtu. Samotná věda „algebra“ se mezi Araby objevuje jako věda o řešení rovnic. Slovo „algebra“ v arabštině znamená „obnovení“, to znamená přenos záporných hodnot do jiné části rovnice.

Období matematiky proměnných

Zakladatelem tohoto období je René Descartes, který žil v 17. století našeho letopočtu. Descartes ve svých spisech poprvé zavádí pojem proměnné.

Vědci díky tomu přecházejí od studia konstantních veličin ke studiu vztahů mezi proměnnými a k ​​matematickému popisu pohybu.

Friedrich Engels charakterizoval toto období nejjasněji, ve svých spisech napsal:

„Zlomovým bodem v matematice byla kartézská proměnná. Díky tomu vstoupil do matematiky pohyb a tím i dialektika a díky tomu se okamžitě stal nezbytným diferenciální a integrální počet, který okamžitě vzniká a který byl z velké části dokončen a nevynalezen Newtonem a Leibnizem.

Období moderní matematiky

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij se ve 20. letech 19. století stal zakladatelem tzv. neeuklidovské geometrie.

Od tohoto okamžiku začíná vývoj nejdůležitějších úseků moderní matematiky. Například teorie pravděpodobnosti, teorie množin, matematická statistika a tak dále.

Všechny tyto objevy a studie jsou široce využívány v různých oblastech vědy.

A v současnosti se nauka o matematice rychle rozvíjí, předmět matematiky se rozšiřuje, zahrnuje nové formy a vztahy, dokazují se nové věty a prohlubují se základní pojmy.

Idealizované vlastnosti studovaných objektů jsou buď formulovány jako axiomy, nebo jsou uvedeny v definici odpovídajících matematických objektů. Z těchto vlastností se pak podle přísných pravidel logické inference vyvozují další skutečné vlastnosti (věty). Tato teorie dohromady tvoří matematický model studovaného objektu. Matematika tak zpočátku, vycházející z prostorových a kvantitativních vztahů, získává vztahy abstraktnější, jejichž zkoumání je také předmětem moderní matematiky.

Tradičně se matematika dělí na teoretickou, která provádí hloubkovou analýzu vnitromatematických struktur, a aplikovanou, která poskytuje své modely dalším vědním a inženýrským oborům a některé z nich zaujímají pozici hraničící s matematikou. Zejména formální logiku lze považovat jak za součást filozofických věd, tak za součást matematických věd; mechanika – fyzika i matematika; informatika, počítačová technologie a algoritmy se vztahují jak na inženýrské, tak na matematické vědy atd. V literatuře bylo navrženo mnoho různých definic matematiky (viz).

Etymologie

Slovo „matematika“ pochází z jiné řečtiny. μάθημα ( matematika), což znamená studovat, znalost, věda, atd. - řec. μαθηματικός ( matematika), původní význam vnímavý, plodný, později studovatelný, následně týkající se matematiky. Zejména, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), v latině ars mathematica, znamená umění matematiky.

Definice

Oblast matematiky zahrnuje pouze ty vědy, ve kterých se uvažuje buď o řádu nebo míře, a vůbec nezáleží na tom, zda se jedná o čísla, obrazce, hvězdy, zvuky nebo cokoli jiného, ​​v čem se tato míra hledá. Musí tedy existovat nějaká obecná věda, která vysvětluje vše, co se týká řádu a míry, aniž by se pouštěla ​​do studia nějakých konkrétních předmětů, a tato věda se musí nazývat nikoli cizím, ale starým, již běžným názvem Obecná matematika.

V sovětských dobách byla definice z TSB od A. N. Kolmogorova považována za klasickou:

Matematika ... nauka o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa.

Podstata matematiky ... je nyní prezentována jako nauka o vztazích mezi objekty, o kterých není nic známo, kromě některých vlastností, které je popisují - přesně těch, které jsou dány jako axiomy v základech teorie ... Matematika je soubor abstraktních forem - matematických struktur.

Zde jsou některé modernější definice.

Moderní teoretická ("čistá") matematika je věda o matematických strukturách, matematických invariantech různých systémů a procesů.

Matematika je věda, která poskytuje schopnost vypočítat modely, které lze redukovat na standardní (kanonickou) formu. Nauka o hledání řešení analytických modelů (analýza) pomocí formálních transformací.

Odvětví matematiky

1. Matematika jako akademická disciplína se v Ruské federaci dělí na základní matematiku studovanou na střední škole a tvoří ji následující obory:

  • elementární geometrie: planimetrie a stereometrie
  • teorie elementárních funkcí a prvků analýzy

4. Americká matematická společnost (AMS) vyvinula svůj vlastní standard pro klasifikaci oborů matematiky. Říká se tomu klasifikace předmětů matematiky. Tato norma je pravidelně aktualizována. Aktuální verze je MSC 2010. Předchozí verze je MSC 2000.

Notový zápis

Vzhledem k tomu, že se matematika zabývá extrémně rozmanitými a dosti složitými strukturami, je i zápis velmi složitý. Moderní systém psaní vzorců byl vytvořen na základě evropské algebraické tradice a také matematické analýzy (pojem funkce, derivace atd.). Od nepaměti geometrie používala vizuální (geometrické) zobrazení. V moderní matematice jsou běžné i složité systémy grafického zápisu (například komutativní diagramy) a často se používá také zápis založený na grafech.

Krátký příběh

Rozvoj matematiky se opírá o psaní a schopnost zapisovat čísla. Pravděpodobně staří lidé nejprve vyjadřovali množství kreslením čar na zemi nebo jejich škrábáním na dřevo. Staří Inkové, kteří neměli žádný jiný systém psaní, reprezentovali a ukládali číselná data pomocí složitého systému lanových uzlů, tzv. quipu. Existovalo mnoho různých číselných soustav. První známé záznamy čísel byly nalezeny v Ahmesově papyru, který vytvořili Egypťané ze Střední říše. Indická civilizace vyvinula moderní desítkový číselný systém zahrnující koncept nuly.

Historicky hlavní matematické disciplíny vznikaly pod vlivem potřeby provádět výpočty v komerční oblasti, při měření půdy a předpovídání astronomických jevů a později při řešení nových fyzikálních problémů. Každá z těchto oblastí hraje velkou roli v širokém rozvoji matematiky, který spočívá ve studiu struktur, prostorů a změn.

Filosofie matematiky

Cíle a metody

Matematika studuje imaginární, ideální objekty a vztahy mezi nimi pomocí formálního jazyka. Obecně platí, že matematické pojmy a věty nemusí nutně odpovídat ničemu ve fyzickém světě. Hlavním úkolem aplikovaného oboru matematiky je vytvořit matematický model, který je dostatečně adekvátní pro reálný studovaný objekt. Úkolem teoretického matematika je poskytnout dostatečný soubor vhodných prostředků k dosažení tohoto cíle.

Obsah matematiky lze definovat jako systém matematických modelů a nástrojů pro jejich tvorbu. Objektový model nezohledňuje všechny jeho vlastnosti, ale pouze ty nejnutnější pro účely studia (idealizované). Například při studiu fyzikálních vlastností pomeranče můžeme abstrahovat od jeho barvy a chuti a znázornit jej (i když ne úplně přesně) jako kuličku. Pokud potřebujeme pochopit, kolik pomerančů získáme, když sečteme dva a tři dohromady, pak můžeme abstrahovat od formy a ponechat modelu pouze jednu charakteristiku - množství. Abstrakce a navazování vztahů mezi objekty v nejobecnější podobě je jednou z hlavních oblastí matematické tvořivosti.

Dalším směrem, spolu s abstrakcí, je zobecnění. Například zobecnění pojmu „prostor“ na prostor n-dimenzí. " Prostor at je matematický vynález. Ovšem velmi důmyslný vynález, který pomáhá matematicky pochopit složité jevy».

Studium intramatematických objektů zpravidla probíhá pomocí axiomatické metody: nejprve je pro studované objekty formulován seznam základních pojmů a axiomů a poté jsou z axiomů získány smysluplné věty pomocí inferenčních pravidel, která společně tvoří matematický model.

základy

Otázka podstaty a základů matematiky byla diskutována již od dob Platóna. Od 20. století existuje srovnávací shoda v tom, co by mělo být považováno za přísný matematický důkaz, ale nepanovala shoda v tom, co je v matematice považováno za pravdivé. To vede k neshodám jak v otázkách axiomatiky a propojení oborů matematiky, tak ve volbě logických systémů, které by měly být použity v důkazech.

Kromě skeptických jsou známy následující přístupy k této problematice.

Teoretický přístup

Navrhuje se uvažovat všechny matematické objekty v rámci teorie množin, nejčastěji pomocí Zermelo-Fraenkelovy axiomatiky (ačkoli existuje mnoho dalších, které jsou jí ekvivalentní). Tento přístup je považován za převládající od poloviny 20. století, nicméně ve skutečnosti si většina matematických prací neklade za úkol překládat svá tvrzení striktně do jazyka teorie množin, ale pracuje s pojmy a fakty zavedenými v některých oblastech. matematiky. Pokud je tedy v teorii množin nalezen rozpor, nebude to mít za následek zneplatnění většiny výsledků.

logicismus

Tento přístup předpokládá striktní typování matematických objektů. Mnoho paradoxů, kterým se teorie množin vyhýbá pouze speciálními triky, se ukazuje v principu jako nemožné.

Formalismus

Tento přístup zahrnuje studium formálních systémů založených na klasické logice.

intuicionismus

Intuicionismus předpokládá v základech matematiky intuicionistickou logiku, která je omezenější v důkazních prostředcích (ale, jak se věří, také spolehlivější). Intuicionismus odmítá důkaz kontradikcí, mnoho nekonstruktivních důkazů se stává nemožným a mnoho problémů teorie množin ztrácí smysl (neformalizovat).

Konstruktivní matematika

Konstruktivní matematika je trend v matematice blízký intuicionismu, který studuje konstruktivní konstrukce [ vyjasnit]. Podle kritéria budovatelnosti - " existovat znamená být postaven". Kritérium konstruktivity je silnější požadavek než kritérium konzistence.

Hlavní témata

Čísla

Pojem „číslo“ původně odkazoval na přirozená čísla. Později byla postupně rozšířena na čísla celá, racionální, reálná, komplexní a další.

Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Komplexní čísla Čtveřice

Proměny

Diskrétní matematika

Kódy v systémech klasifikace znalostí

Online služby

Existuje velké množství stránek, které poskytují služby pro matematické výpočty. Většina z nich je v angličtině. Z rusky mluvících lze zaznamenat službu matematických dotazů vyhledávače Nigma.

viz také

Popularizátory vědy

Poznámky

  1. Encyklopedie Britannica
  2. Websterův online slovník
  3. Kapitola 2. Matematika jako jazyk vědy. Sibiřská otevřená univerzita. Archivováno z originálu 2. února 2012. Získáno 5. října 2010.
  4. Velký starořecký slovník (αω)
  5. Slovník ruského jazyka XI-XVII století. Vydání 9 / Kap. vyd. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
  6. Descartes R. Pravidla pro vedení mysli. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
  7. Viz: TSB Mathematics
  8. Marx K., Engels F. funguje. 2. vyd. T. 20. S. 37.
  9. Bourbaki N. Architektura matematiky. Eseje o dějinách matematiky / Přeložila I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybníková. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
  10. Kazjev V. M.Úvod do matematiky
  11. Mukhin O.I. Výuka modelovacích systémů. Trvalá: RCI PSTU.
  12. Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
  13. Státní vzdělávací standard vyššího odborného vzdělávání. Specialita 01.01.00. "Matematika". Kvalifikace - Matematik. Moskva, 2000 (Sestaveno pod vedením O. B. Lupanova)
  14. Nomenklatura specializací vědeckých pracovníků, schválená nařízením Ministerstva školství a vědy Ruska ze dne 25. února 2009 č. 59
  15. MDT 51 Matematika
  16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Základy lineární algebry a analytické geometrie. M.: Nauka, 1988. S. 44.
  17. N. I. Kondakov. Logický slovník-příručka. M.: Nauka, 1975. S. 259.
  18. G. I. Ruzavin. O povaze matematických znalostí. M.: 1968.
  19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
  20. Například: http://mathworld.wolfram.com

Literatura

encyklopedie
  • // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona: V 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
  • Matematická encyklopedie (v 5 svazcích), 80. léta 20. století. // Obecné a speciální matematické odkazy na EqWorld
  • Kondakov N.I. Logický slovník-příručka. Moskva: Nauka, 1975.
  • Encyklopedie matematických věd a jejich aplikace (německy) 1899-1934 (největší přehled literatury 19. století)
Referenční knihy
  • G. Korn, T. Korn. Příručka matematiky pro vědce a inženýry M., 1973
knihy
  • Kline M. Matematika. Ztráta jistoty. - M.: Mir, 1984.
  • Kline M. Matematika. Hledání pravdy. M.: Mir, 1988.
  • Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu.
  • Svazek I. Aritmetika. Algebra. Analýza M.: Nauka, 1987. 432 s.
  • Svazek II. Geometrie M.: Nauka, 1987. 416 s.
  • R. Courant, G. Robbins. co je matematika? 3. vydání, rev. a doplňkové - M.: 2001. 568 s.
  • Pisarevsky B.M., Kharin V.T. O matematice, matematice a nejen to. - M.: Binom. Vědomostní laboratoř, 2012. - 302 s.
  • Poincare A. Věda a metoda (rus.) (fr.)

Matematika je jednou z nejstarších věd. Stručně definovat matematiku není vůbec snadné, její obsah se bude velmi lišit v závislosti na úrovni matematického vzdělání člověka. Žák základní školy, který právě začal studovat aritmetiku, řekne, že matematika studuje pravidla pro počítání předmětů. A bude mít pravdu, protože právě s tím se zprvu seznamuje. Starší studenti k tomu, co bylo řečeno, doplní, že pojem matematika zahrnuje algebru a nauku o geometrických objektech: přímky, jejich průsečíky, rovinné útvary, geometrická tělesa, různé druhy transformací. Absolventi středních škol však do definice matematiky zahrnou nauku o funkcích a působení přechodu k limitě a také související pojmy derivace a integrál. Absolventi vysokých škol technického směru nebo přírodovědných kateder vysokých škol a pedagogických ústavů se již nespokojí s definicemi škol, protože vědí, že součástí matematiky jsou i další disciplíny: teorie pravděpodobnosti, matematická statistika, diferenciální počet, programování, výpočetní metody, i aplikace těchto disciplín pro modelování výrobních procesů, zpracování experimentálních dat, přenos a zpracování informací. To, co je uvedeno, však nevyčerpává obsah matematiky. V jeho skladbě nechybí ani teorie množin, matematická logika, optimální řízení, teorie náhodných procesů a mnoho dalšího.

Pokusy definovat matematiku výčtem jejích základních větví nás vedou z omylu, protože nedávají představu o tom, co přesně matematika studuje a jaký je její vztah ke světu kolem nás. Pokud by taková otázka byla položena fyzikovi, biologovi nebo astronomovi, každý z nich by odpověděl velmi stručně, neobsahující výčet částí, které tvoří vědu, kterou studují. Taková odpověď by obsahovala náznak přírodních jevů, které zkoumá. Biolog by například řekl, že biologie je studiem různých projevů života. Ačkoli tato odpověď není zcela úplná, protože neříká, co je život a životní jevy, přesto by taková definice poskytla poměrně úplnou představu o obsahu samotné biologie a o různých úrovních této vědy. . A tato definice by se nezměnila ani s rozšiřováním našich znalostí biologie.

Neexistují takové přírodní jevy, technické nebo společenské procesy, které by byly předmětem studia matematiky, ale nesouvisely s fyzikálními, biologickými, chemickými, inženýrskými nebo společenskými jevy. Každá přírodovědná disciplína: biologie a fyzika, chemie a psychologie - je určena materiálními rysy svého předmětu, specifickými rysy oblasti reálného světa, kterou studuje. Samotný objekt nebo jev lze studovat různými metodami, včetně matematických, ale změnou metod stále zůstáváme v hranicích této disciplíny, protože obsahem této vědy je skutečný předmět, nikoli metoda výzkumu. Pro matematiku není rozhodující materiální předmět zkoumání, důležitá je použitá metoda. Například goniometrické funkce lze použít jak ke studiu kmitavého pohybu, tak k určení výšky nepřístupného předmětu. A jaké jevy reálného světa lze zkoumat pomocí matematické metody? Tyto jevy nejsou určeny jejich materiální povahou, ale výhradně formálními strukturálními vlastnostmi a především těmi kvantitativními vztahy a prostorovými formami, ve kterých existují.

Matematika tedy nestuduje hmotné objekty, ale zkoumá metody a strukturální vlastnosti předmětu studia, které umožňují aplikovat na něj určité operace (součet, diferenciace atd.). Významná část matematických problémů, pojmů a teorií má však jako primární zdroj reálné jevy a procesy. Například aritmetika a teorie čísel vzešly z primárního praktického úkolu počítání objektů. Elementární geometrie měla jako svůj zdroj problémy spojené s porovnáváním vzdáleností, počítáním ploch rovinných obrazců nebo objemů prostorových těles. To vše bylo potřeba najít, protože bylo nutné přerozdělit pozemky mezi uživatele, vypočítat velikost sýpek nebo objem zemních prací při výstavbě obranných staveb.

Matematický výsledek má tu vlastnost, že může být použit nejen při studiu určitého jevu nebo procesu, ale může být použit i pro studium jiných jevů, jejichž fyzikální podstata je zásadně odlišná od těch, které byly dříve uvažovány. Takže pravidla aritmetiky jsou použitelná v ekonomických problémech a v technických otázkách a při řešení problémů zemědělství a ve vědeckém výzkumu. Pravidla aritmetiky byla vyvinuta před tisíciletími, ale svou praktickou hodnotu si zachovala navždy. Aritmetika je nedílnou součástí matematiky, její tradiční část již nepodléhá tvůrčímu rozvoji v rámci matematiky, ale nachází a bude nacházet řadu nových aplikací. Tyto aplikace mohou mít pro lidstvo velký význam, ale již nebudou přispívat k vlastní matematice.

Matematika jako tvořivá síla má za cíl vyvinout obecná pravidla, která by měla být použita v mnoha speciálních případech. Ten, kdo tato pravidla vytváří, vytváří něco nového, tvoří. Ten, kdo aplikuje hotová pravidla, už netvoří v matematice samotné, ale dost možná pomocí matematických pravidel vytváří nové hodnoty v jiných oblastech poznání. Například dnes se data z interpretace satelitních snímků, ale i informace o složení a stáří hornin, geochemických a geofyzikálních anomáliích zpracovávají pomocí počítačů. Využití počítače při geologickém výzkumu ponechává tento výzkum nepochybně geologickým. Principy fungování počítačů a jejich programového vybavení byly vyvinuty bez zohlednění možnosti jejich využití v zájmu geologické vědy. Tato možnost sama o sobě je dána tím, že strukturní vlastnosti geologických dat jsou v souladu s logikou určitých počítačových programů.

Rozšířily se dvě definice matematiky. První z nich podal F. Engels v Anti-Dühring, další skupina francouzských matematiků známá jako Nicolas Bourbaki v článku Architektura matematiky (1948).

"Čistá matematika má za cíl prostorové formy a kvantitativní vztahy reálného světa." Tato definice nejen popisuje předmět studia matematiky, ale naznačuje i jeho původ – skutečný svět. Tato definice F. Engelse však do značné míry odráží stav matematiky v druhé polovině 19. století. a nebere v úvahu ty z jeho nových oblastí, které přímo nesouvisejí ani s kvantitativními vztahy, ani s geometrickými formami. Jedná se především o matematickou logiku a disciplíny související s programováním. Tato definice proto potřebuje určité upřesnění. Možná by se mělo říci, že matematika má za předmět studia prostorové formy, kvantitativní vztahy a logické konstrukce.

Bourbaki tvrdí, že „jediné matematické objekty jsou, správně řečeno, matematické struktury“. Jinými slovy, matematika by měla být definována jako věda o matematických strukturách. Tato definice je v podstatě tautologií, protože říká pouze jednu věc: matematika se zabývá objekty, které studuje. Další vadou této definice je, že nevyjasňuje vztah matematiky ke světu kolem nás. Bourbaki navíc zdůrazňuje, že matematické struktury jsou vytvářeny nezávisle na reálném světě a jeho jevech. Bourbaki byl proto nucen prohlásit, že „hlavním problémem je vztah mezi experimentálním světem a matematickým světem. Zdá se, že mezi experimentálními jevy a matematickými strukturami existuje úzký vztah, bylo zcela neočekávaným způsobem potvrzeno objevy moderní fyziky, ale my si vůbec neuvědomujeme hluboké důvody pro to... a možná je nikdy nepoznáme .

Z definice F. Engelse takový neuspokojivý závěr nemůže vyplynout, protože již obsahuje tvrzení, že matematické pojmy jsou abstrakcemi z určitých vztahů a forem reálného světa. Tyto pojmy jsou převzaty z reálného světa a jsou s ním spojeny. V podstatě to vysvětluje úžasnou použitelnost výsledků matematiky na jevy světa kolem nás a zároveň úspěšnost procesu matematizace znalostí.

Matematika není výjimkou ze všech oblastí vědění – tvoří i pojmy, které vyplývají z praktických situací a následných abstrakcí; umožňuje také přibližně studovat realitu. Ale zároveň je třeba si uvědomit, že matematika nezkoumá věci reálného světa, ale abstraktní pojmy, a že její logické závěry jsou naprosto striktní a přesné. Jeho blízkost není vnitřní povahy, ale souvisí se sestavením matematického modelu jevu. Poznamenáváme také, že pravidla matematiky nemají absolutní použitelnost, mají také omezenou oblast použití, kde vládnou. Vyjádřeme vyjádřenou myšlenku na příkladu: ukazuje se, že dvě a dvě nejsou vždy rovny čtyřem. Je známo, že při smíchání 2 litrů alkoholu a 2 litrů vody se získají méně než 4 litry směsi. V této směsi jsou molekuly uspořádány kompaktněji a objem směsi je menší než součet objemů jednotlivých složek. Pravidlo sčítání aritmetiky je porušeno. Můžete také uvést příklady, ve kterých jsou porušovány jiné pravdy aritmetiky, například při sčítání některých objektů se ukáže, že součet závisí na pořadí sčítání.

Mnoho matematiků považuje matematické pojmy nikoli za výtvor čistého rozumu, ale za abstrakce od skutečně existujících věcí, jevů, procesů nebo abstrakce od již zavedených abstrakcí (abstrakce vyšších řádů). F. Engels v Dialektice přírody napsal, že „...veškerá tzv. čistá matematika se zabývá abstrakcemi...všechny její veličiny jsou, přísně vzato, imaginárními veličinami...“ Tato slova zcela jasně odrážejí názor jeden ze zakladatelů marxistické filozofie o roli abstrakce v matematice. Měli bychom jen dodat, že všechny tyto „imaginární veličiny“ jsou převzaty z reality a nejsou konstruovány svévolně, svobodným myšlenkovým úletem. Tak se obecně začal používat pojem čísla. Zpočátku to byla čísla v jednotkách a navíc pouze kladná celá čísla. Pak mě zkušenost donutila rozšířit arzenál čísel na desítky a stovky. Koncept neohraničenosti řady celých čísel se zrodil již v éře nám historicky blízké: Archimedes v knize „Psammit“ („Výpočet zrn písku“) ukázal, jak je možné sestrojit čísla ještě větší, než jsou daná . Koncept zlomkových čísel se přitom zrodil z praktických potřeb. Výpočty související s nejjednoduššími geometrickými útvary přivedly lidstvo k novým číslům – iracionálním. Postupně tak vznikla myšlenka množiny všech reálných čísel.

Stejnou cestou se lze vydat i pro jakékoli jiné matematické pojmy. Všechny vznikly z praktických potřeb a postupně se zformovaly do abstraktních pojmů. Znovu lze připomenout slova F. Engelse: „... čistá matematika má význam nezávislý na zvláštní zkušenosti každého jednotlivce... Ale je zcela špatně, že v čisté matematice se mysl zabývá pouze produkty své vlastní kreativitu a představivost. Pojmy číslo a číslo nejsou převzaty odnikud, ale pouze z reálného světa. Deset prstů, na kterých se lidé naučili počítat, tedy provádět první početní operaci, je všechno, jen ne produktem svobodné tvořivosti mysli. Aby bylo možné počítat, je nutné mít nejen předměty k počítání, ale také mít schopnost odvádět pozornost při posuzování těchto předmětů od všech ostatních vlastností kromě počtu, a tato schopnost je výsledkem dlouhého historického vývoje založeného na Zkušenosti. Jak pojem čísla, tak pojem figury jsou vypůjčeny výhradně z vnějšího světa a nevznikly v hlavě z čistého myšlení. Musely existovat věci, které měly určitou formu, a tyto formy bylo nutné porovnat, než se dalo přijít na pojem figury.

Zamysleme se, zda ve vědě existují pojmy, které vznikají bez souvislosti s minulým pokrokem vědy a současným pokrokem praxe. Dobře víme, že vědecké matematické tvořivosti předchází studium mnoha předmětů ve škole, na univerzitě, četba knih, články, rozhovory se specialisty jak ve svém oboru, tak v jiných oblastech poznání. Matematik žije ve společnosti a z knih, z rádia, z jiných zdrojů se dozvídá o problémech, které se objevují ve vědě, strojírenství a společenském životě. Kromě toho je myšlení badatele ovlivněno celým předchozím vývojem vědeckého myšlení. Proto se ukazuje být připraven na řešení určitých problémů nezbytných pro pokrok vědy. To je důvod, proč vědec nemůže předkládat problémy libovolně, z rozmaru, ale musí vytvářet matematické koncepty a teorie, které by byly cenné pro vědu, pro jiné výzkumníky, pro lidstvo. Ale matematické teorie si zachovávají svůj význam v podmínkách různých společenských formací a historických epoch. Navíc často stejné myšlenky vyvstávají od vědců, kteří spolu nejsou nijak propojeni. To je další argument proti těm, kteří se drží konceptu volné tvorby matematických pojmů.

Řekli jsme si tedy, co je součástí pojmu „matematika“. Existuje ale také něco jako aplikovaná matematika. Je chápán jako souhrn všech matematických metod a disciplín, které nacházejí uplatnění mimo matematiku. V dávných dobách představovaly geometrii a aritmetika veškerou matematiku, a protože obě našly četné aplikace v obchodních výměnách, měření ploch a objemů a ve věcech navigace, byla veškerá matematika nejen teoretická, ale také aplikovaná. Později ve starověkém Řecku došlo k rozdělení na matematiku a aplikovanou matematiku. Všichni významní matematici se však zabývali i aplikacemi, a to nejen čistě teoretickými výzkumy.

Další rozvoj matematiky plynule souvisel s pokrokem přírodních věd a techniky, se vznikem nových společenských potřeb. Do konce XVIII století. vznikla potřeba (především v souvislosti s problémy navigace a dělostřelectva) vytvořit matematickou teorii pohybu. To ve svých dílech provedli G. V. Leibniz a I. Newton. Aplikovaná matematika byla doplněna o novou velmi výkonnou výzkumnou metodu – matematickou analýzu. Téměř současně vedly potřeby demografie a pojišťovnictví ke vzniku počátků teorie pravděpodobnosti (viz Teorie pravděpodobnosti). 18. a 19. století rozšířil obsah aplikované matematiky, přidal k ní teorii obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, rovnice matematické fyziky, prvky matematické statistiky, diferenciální geometrii. 20. století přinesl nové metody matematického výzkumu praktických problémů: teorie náhodných procesů, teorie grafů, funkcionální analýza, optimální řízení, lineární a nelineární programování. Navíc se ukázalo, že teorie čísel a abstraktní algebra našly neočekávané aplikace v problémech fyziky. V důsledku toho se začalo utvářet přesvědčení, že aplikovaná matematika jako samostatná disciplína neexistuje a že veškerou matematiku lze považovat za aplikovanou. Snad je třeba říci ne, že matematika je aplikovaná a teoretická, ale že se matematici dělí na aplikované a teoretické. Pro někoho je matematika metodou poznávání okolního světa a jevů v něm se vyskytujících, právě za tímto účelem vědec rozvíjí a rozšiřuje matematické znalosti. Pro ostatní představuje matematika sama o sobě celý svět hodný studia a rozvoje. Pro pokrok vědy jsou zapotřebí vědci obou typů.

Matematika si před studiem jakéhokoli jevu vlastními metodami vytvoří svůj matematický model, tedy vyjmenuje všechny rysy jevu, které budou brány v úvahu. Model nutí výzkumníka k výběru takových matematických nástrojů, které umožní adekvátně zprostředkovat rysy zkoumaného jevu a jeho evoluce. Jako příklad si vezměme model planetární soustavy: Slunce a planety jsou považovány za hmotné body s odpovídajícími hmotnostmi. Interakce obou bodů je určena silou přitažlivosti mezi nimi

kde m 1 a m 2 jsou hmotnosti interagujících bodů, r je vzdálenost mezi nimi a f je gravitační konstanta. Přes jednoduchost tohoto modelu za posledních tři sta let s velkou přesností přenáší rysy pohybu planet sluneční soustavy.

Každý model samozřejmě zdrsňuje realitu a úkolem badatele je především navrhnout model, který na jedné straně co nejúplněji zprostředkuje faktickou stránku věci (jak se říká její fyzikální vlastnosti), a na druhou stranu dává výrazné přiblížení skutečnosti. Pro stejný jev lze samozřejmě navrhnout několik matematických modelů. Všichni mají právo na existenci, dokud nezačne ovlivňovat významný rozpor mezi modelem a realitou.

    Matematika je věda o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa. V těsné návaznosti na požadavky vědy a techniky se zásoba kvantitativních vztahů a prostorových forem zkoumaných matematikou neustále rozšiřuje, takže výše uvedenou definici je třeba chápat v nejobecnějším smyslu.

    Účelem studia matematiky je zvýšit všeobecný rozhled, kulturu myšlení, formování vědeckého pohledu na svět.

    Pochopení samostatného postavení matematiky jako speciální vědy se stalo možným po nahromadění dostatečně velkého množství faktografického materiálu a poprvé vzniklo ve starověkém Řecku v 6.–5. století před naším letopočtem. To byl začátek období elementární matematiky.

    V tomto období se matematický výzkum zabýval pouze dosti omezenou zásobou základních pojmů, které vznikaly s nejjednoduššími nároky ekonomického života. Zároveň již dochází ke kvalitativnímu zdokonalování matematiky jako vědy.

    Moderní matematika je často přirovnávána k velkému městu. To je vynikající srovnání, protože v matematice, stejně jako ve velkém městě, probíhá neustálý proces růstu a zlepšování. V matematice se objevují nové oblasti, budují se elegantní a hluboké nové teorie, jako je výstavba nových čtvrtí a budov. Pokrok v matematice se ale neomezuje jen na změnu tváře města kvůli výstavbě nového. Musíme změnit staré. Staré teorie jsou zahrnuty do nových, obecnějších; je potřeba posílit základy starých budov. Je třeba položit nové ulice, aby bylo možné navázat spojení mezi vzdálenými čtvrtěmi matematického města. Ale to nestačí - architektonický design vyžaduje značné úsilí, protože rozmanitost stylů v různých oblastech matematiky nejen kazí celkový dojem z vědy, ale také zasahuje do chápání vědy jako celku a vytváří vazby mezi jejími různými částmi.

    Často se používá jiné přirovnání: matematika je přirovnávána k velkému rozvětvenému stromu, který systematicky dává nové výhonky. Každá větev stromu je jednou nebo druhou oblastí matematiky. Počet větví nezůstává nezměněn, jak rostou nové větve, srůstají nejprve společně, rostou odděleně, některé větve zasychají, zbaveny výživných šťáv. Obě srovnání jsou zdařilá a velmi dobře vypovídají o skutečném stavu věci.

    Při konstrukci matematických teorií hraje nepochybně důležitou roli poptávka po kráse. Je samozřejmé, že vnímání krásy je velmi subjektivní a často o tom panují dost ošklivé představy. A přesto musíme být překvapeni jednomyslností, kterou matematici vložili do pojmu „krása“: výsledek je považován za krásný, pokud z malého počtu podmínek lze získat obecný závěr týkající se široké škály objektů. Matematické odvození je považováno za krásné, lze-li v něm jednoduchým a krátkým uvažováním dokázat významný matematický fakt. Zralost matematika, jeho talent se dá odhadnout podle toho, jak rozvinutý je jeho smysl pro krásu. Esteticky úplné a matematicky dokonalé výsledky jsou snadněji pochopitelné, zapamatovatelné a použitelné; je snazší identifikovat jejich vztah k jiným oblastem vědění.

    Matematika se v naší době stala vědní disciplínou s mnoha oblastmi výzkumu, obrovským množstvím výsledků a metod. Matematika je dnes tak skvělá, že není možné, aby ji jeden člověk obsáhl ve všech jejích částech, není možnost být v ní univerzálním specialistou. Ztráta spojení mezi jejími samostatnými směry je jistě negativním důsledkem rychlého rozvoje této vědy. Základem vývoje všech oborů matematiky je však společná věc - počátky vývoje, kořeny stromu matematiky.

    Euklidova geometrie jako první přírodní vědní teorie

  • Ve 3. století př. n. l. se v Alexandrii objevila stejnojmenná kniha Euklidova, v ruském překladu „Počátky“. Z latinského názvu „Počátky“ vzešel termín „elementární geometrie“. Ačkoli se k nám spisy Euklidových předchůdců nedostaly, můžeme si o těchto spisech vytvořit určitý názor z Euklidových prvků. V "Začátcích" jsou sekce, které jsou logicky velmi málo propojené s ostatními sekcemi. Jejich vzhled se vysvětluje pouze tím, že byly představeny podle tradice a kopírují „Počátky“ Euklidových předchůdců.

    Euclid's Elements se skládá ze 13 knih. Knihy 1 - 6 jsou věnovány planimetrii, knihy 7 - 10 jsou o aritmetických a nesouměřitelných veličinách, které lze sestavit pomocí kružítka a pravítka. Knihy 11 až 13 byly věnovány stereometrii.

    „Začátky“ začínají představením 23 definic a 10 axiomů. Prvních pět axiomů jsou „obecné pojmy“, zbytek se nazývá „postuláty“. První dva postuláty určují akce pomocí ideálního pravítka, třetí - pomocí ideálního kompasu. Čtvrtý, „všechny pravé úhly jsou si navzájem rovny“, je nadbytečný, protože jej lze odvodit ze zbytku axiomů. Poslední, pátý postulát zněl: „Pokud přímka padá na dvě přímky a svírá vnitřní jednostranné úhly v součtu méně než dvou přímek, pak se při neomezeném pokračování těchto dvou přímek protnou na straně, kde úhly jsou menší než dvě čáry."

    Pět „obecných pojmů“ Euklida jsou principy měření délek, úhlů, ploch, objemů: „rovná se stejné jsou si navzájem rovny“, „jestliže se rovná se přičítá k rovným, součty jsou si navzájem rovny“, "jestliže se rovní odečítají od rovných, zbytky jsou mezi sebou stejné", "kombinace mezi sebou jsou si navzájem rovny", "celek je větší než část".

    Pak přišla kritika Euklidovy geometrie. Euklides byl kritizován ze tří důvodů: za to, že uvažoval pouze o takových geometrických veličinách, které lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka; za rozbití geometrie a aritmetiky a dokázání pro celá čísla, co už dokázal pro geometrické veličiny, a konečně pro Euklidovy axiomy. Pátý postulát, Euklidův nejobtížnější postulát, byl nejvíce kritizován. Mnozí to považovali za nadbytečné a že to může a mělo by být odvozeno z jiných axiomů. Jiní se domnívali, že by měla být nahrazena jednodušším a názornějším, jemu ekvivalentním: "Bodem mimo přímku nelze v jejich rovině nakreslit více než jednu přímku, která tuto přímku neprotíná."

    Kritika mezery mezi geometrií a aritmetikou vedla k rozšíření pojmu číslo na reálné číslo. Spory o pátý postulát vedly k tomu, že počátkem 19. století N.I.Lobačevskij, J.Boljai a K.F.Gauss postavili novou geometrii, ve které byly splněny všechny axiomy Euklidovy geometrie, s výjimkou pátého postulátu. Bylo nahrazeno opačným tvrzením: "V rovině procházející bodem mimo přímku lze nakreslit více přímek, které danou neprotíná." Tato geometrie byla stejně konzistentní jako geometrie Euklidova.

    Lobačevského planimetrický model na euklidovské rovině sestrojil francouzský matematik Henri Poincaré v roce 1882.

    Nakreslete vodorovnou čáru na euklidovské rovině. Tato přímka se nazývá absolutní (x). Body euklidovské roviny ležící nad absolutnem jsou body Lobačevského roviny. Lobačevského rovina je otevřená polorovina ležící nad absolutnem. Neeuklidovské segmenty v Poincarého modelu jsou oblouky kružnic se středem na absolutní nebo úsečky kolmé na absolutní (AB, CD). Obrazec na Lobačevského rovině je obrazcem otevřené poloroviny ležící nad absolutnem (F). Neeuklidovský pohyb je složením konečného počtu inverzí soustředěných na absolutní a osové symetrie, jejichž osy jsou kolmé na absolutní. Dva neeuklidovské segmenty jsou si rovny, pokud jeden z nich může být přeložen do druhého neeuklidovským pohybem. To jsou základní pojmy axiomatiky Lobačevského planimetrie.

    Všechny axiomy Lobačevského planimetrie jsou konzistentní. "Neeuklidovská čára je půlkruh s konci na absolutnu nebo paprsek s počátkem v absolutnu a kolmý k absolutnu." Tvrzení Lobačevského axiomu rovnoběžnosti tedy platí nejen pro nějakou přímku a a bod A neležící na této přímce, ale i pro libovolnou přímku a a jakýkoli bod A, který na ní neleží.

    Za Lobačevského geometrií vznikly i další konzistentní geometrie: projektivní geometrie se oddělila od euklidovské, rozvinula se vícerozměrná euklidovská geometrie, vznikla riemannovská geometrie (obecná teorie prostorů s libovolným zákonem měření délek) atd. Z nauky o obrazcích v jednom troj- dimenzionální euklidovský prostor, geometrie se za 40 - 50 let proměnila v soubor různých teorií, jen trochu podobných svému předchůdci – geometrii Euklida.

    Hlavní etapy formování moderní matematiky. Struktura moderní matematiky

  • Akademik A.N. Kolmogorov identifikuje čtyři období ve vývoji matematiky Kolmogorov A.N. - Matematika, Matematický encyklopedický slovník, Moskva, Sovětská encyklopedie, 1988: zrod matematiky, elementární matematika, matematika proměnných, moderní matematika.

    V průběhu rozvoje elementární matematiky teorie čísel postupně vyrůstá z aritmetiky. Algebra je vytvořena jako doslovný počet. A systém prezentace elementární geometrie vytvořený starými Řeky – geometrie Euklidova – na dvě tisíciletí dopředu se stal modelem deduktivní konstrukce matematické teorie.

    V 17. století vedly požadavky přírodních věd a techniky k vytvoření metod, které umožňují matematicky studovat pohyb, procesy měnících se veličin a přeměnu geometrických obrazců. S využitím proměnných v analytické geometrii a vytvořením diferenciálního a integrálního počtu začíná období matematiky proměnných. Velkými objevy 17. století jsou koncept infinitezimální veličiny zavedený Newtonem a Leibnizem, vytvoření základů pro analýzu infinitezimálních veličin (matematická analýza).

    Do popředí se dostává pojem funkce. Hlavním předmětem studia se stává funkce. Studium funkce vede k základním pojmům matematické analýzy: limita, derivace, diferenciál, integrál.

    Do této doby také patří vzhled brilantního nápadu R. Descarta o metodě souřadnic. Je vytvořena analytická geometrie, která umožňuje studovat geometrické objekty metodami algebry a analýzy. Na druhé straně souřadnicová metoda otevřela možnost geometrické interpretace algebraických a analytických faktů.

    Další rozvoj matematiky vedl počátkem 19. století k formulaci problému studia možných typů kvantitativních vztahů a prostorových forem z celkem obecného hlediska.

    Propojení matematiky a přírodních věd je stále složitější. Nové teorie vznikají a vznikají nejen jako výsledek požadavků přírodních věd a techniky, ale také jako výsledek vnitřní potřeby matematiky. Pozoruhodným příkladem takové teorie je imaginární geometrie N.I.Lobačevského. Rozvoj matematiky v 19. a 20. století umožňuje přiřadit jej k období moderní matematiky. Rozvoj samotné matematiky, matematizace různých vědních oborů, pronikání matematických metod do mnoha oblastí praktické činnosti, pokrok výpočetní techniky vedly ke vzniku nových matematických disciplín, např. operačního výzkumu, teorie her, vývoje matematiky a dalších vědních oborů. matematická ekonomie a další.

    Hlavními metodami v matematickém výzkumu jsou matematické důkazy – rigorózní logické uvažování. Matematické myšlení se neomezuje pouze na logické uvažování. Matematická intuice je nezbytná pro správnou formulaci problému, pro zhodnocení volby metody jeho řešení.

    V matematice se studují matematické modely objektů. Stejný matematický model může popisovat vlastnosti skutečných jevů, které jsou od sebe vzdálené. Stejná diferenciální rovnice tedy může popisovat procesy růstu populace a rozpadu radioaktivního materiálu. Pro matematika není důležitá povaha uvažovaných objektů, ale vztahy mezi nimi.

    V matematice existují dva typy uvažování: dedukce a indukce.

    Indukce je výzkumná metoda, ve které je obecný závěr postaven na základě konkrétních předpokladů.

    Dedukce je způsob uvažování, jehož prostřednictvím z obecných premis vyplývá závěr určité povahy.

    Matematika hraje důležitou roli v přírodovědném, inženýrském a humanitním výzkumu. Důvodem pronikání matematiky do různých odvětví vědění je, že nabízí velmi přehledné modely pro studium okolní reality, na rozdíl od méně obecných a vágnějších modelů, které nabízejí jiné vědy. Bez moderní matematiky s rozvinutým logickým a výpočetním aparátem by pokrok v různých oblastech lidské činnosti nebyl možný.

    Matematika je nejen mocným nástrojem pro řešení aplikovaných problémů a univerzálním jazykem vědy, ale také prvkem společné kultury.

    Základní rysy matematického myšlení

  • V této otázce je zvláště zajímavá charakteristika matematického myšlení od A.Ya Khinchina, respektive jeho specifická historická podoba - styl matematického myšlení. Odhaluje podstatu stylu matematického myšlení a vyzdvihuje čtyři rysy společné všem epochám, které tento styl nápadně odlišují od stylů myšlení v jiných vědách.

    Za prvé, matematik je charakterizován dominancí logického schématu uvažování dovedeného na hranici možností. Matematik, který toto schéma alespoň dočasně ztratí ze zřetele, ztratí schopnost myslet vědecky úplně. Tento zvláštní rys stylu matematického myšlení má sám o sobě velkou hodnotu. Je zřejmé, že v maximální míře umožňuje sledovat správnost toku myšlenek a zaručuje proti chybám; na druhou stranu to myslitele nutí mít při analýze před očima souhrn dostupných možností a nutí ho vzít v úvahu každou z nich, aniž by vynechal jedinou (taková opomenutí jsou docela možná a ve skutečnosti jsou často pozorována v jiných stylech myšlení).

    Za druhé stručnost, tzn. vědomá touha najít vždy nejkratší logickou cestu vedoucí k danému cíli, nemilosrdné odmítání všeho, co je nezbytně nutné pro bezvadnou platnost argumentu. Matematická esej dobrého stylu, nesnese žádnou „vodu“, žádné přikrášlování, oslabování logického napětí řvaní, odvádění pozornosti do strany; extrémní lakomost, krutá přísnost myšlení a jeho prezentace jsou nedílnou součástí matematického myšlení. Tato vlastnost má velkou hodnotu nejen pro matematické, ale i pro jakékoli jiné vážné uvažování. Lakonismus, touha nepřipustit nic nadbytečného, ​​pomáhá jak myslitelovi, tak jeho čtenáři či posluchači plně se soustředit na daný myšlenkový sled, aniž by byl rozptylován vedlejšími myšlenkami a bez ztráty přímého kontaktu s hlavní linií uvažování.

    Světoví představitelé vědy zpravidla uvažují a vyjadřují se stručně ve všech oblastech vědění, i když jejich myšlení vytváří a uvádí zásadně nové myšlenky. Jak majestátní dojem, například ušlechtilá lakomost myšlení a řeči největších tvůrců fyziky: Newtona, Einsteina, Nielse Bohra! Snad jen těžko najdeme nápadnější příklad toho, jak hluboký vliv může mít styl myšlení jeho tvůrců na rozvoj vědy.

    Pro matematiku je stručnost myšlení nesporným zákonem, kanonizovaným po staletí. Jakýkoli pokus zatížit prezentaci ne nezbytně nutnými (byť pro posluchače příjemnými a vzrušujícími) obrázky, rušivými prvky, řečnickým projevem je předem oprávněně podezřelý a automaticky vyvolává kritickou ostražitost.

    Za třetí, jasná pitva průběhu uvažování. Musíme-li například při dokazování tvrzení uvažovat čtyři možné případy, z nichž každý lze rozdělit na ten či onen počet podpřípadů, pak si v každém okamžiku uvažování musí matematik jasně pamatovat, v jakém případě a podpřípadě myšlenku nyní získává a které případy a podpřípady musí ještě zvážit. U nejrůznějších rozvětvených výčtů si matematik musí být v každém okamžiku vědom generického pojmu, pro který vyjmenovává jeho dílčí druhové pojmy. V běžném, nevědeckém myšlení velmi často pozorujeme v takových případech zmatky a skoky vedoucí ke zmatkům a chybám v uvažování. Často se stává, že člověk začne vyjmenovávat druhy jednoho z rodů, a pak posluchačům (a často i sobě) nepostřehnutelně s využitím nedostatečné logické vyhraněnosti uvažování přeskočí na jiný rod a skončí konstatováním, že oba rody jsou nyní klasifikovány; a posluchači nebo čtenáři nevědí, kde leží hranice mezi druhy prvního a druhého druhu.

    Aby matematici znemožnili podobné zmatky a skoky, dlouho hojně využívali jednoduchých externích metod číslování pojmů a úsudků, někdy (ale mnohem méně často) používaných v jiných vědách. Tyto možné případy nebo ty obecné pojmy, které by měly být v této úvaze zohledněny, jsou předem přečíslovány; v každém takovém případě jsou ty podpřípady, o kterých se má uvažovat, že obsahuje, také přečíslovány (někdy pro rozlišení pomocí jiného systému číslování). Před každým odstavcem, kde začíná úvaha o novém podpřípadu, je uvedeno označení přijaté pro tento podpřípad (např.: II 3 - to znamená, že zde začíná úvaha o třetím podpřípadu druhého případu nebo popis třetího případu typu druhého druhu, mluvíme-li o klasifikaci). A čtenář ví, že dokud nenarazí na novou číselnou rubriku, vše, co je uvedeno, platí pouze pro tento případ a podpřípad. Je samozřejmé, že takové číslování je pouze externím prostředkem, velmi užitečným, ale v žádném případě povinným, a že podstata věci není v něm, ale v onom výrazném rozdělení argumentace či klasifikace, které podněcuje i označuje sama o sobě.

    Za čtvrté, pečlivá přesnost symbolů, vzorců, rovnic. To znamená, že „každý matematický symbol má přesně definovaný význam: jeho nahrazení jiným symbolem nebo jeho přeskupení na jiné místo zpravidla znamená zkreslení a někdy úplné zničení významu tohoto prohlášení“.

    Když A.Ya Khinchin vyzdvihl hlavní rysy matematického stylu myšlení, poznamenává, že matematika (zejména matematika proměnných) má ze své podstaty dialektický charakter, a proto přispívá k rozvoji dialektického myšlení. V procesu matematického myšlení skutečně dochází k interakci mezi vizuálním (konkrétním) a konceptuálním (abstraktní). "Nemůžeme myslet na čáry," napsal Kant, "bez toho, aniž bychom to mentálně nakreslili, nemůžeme pro sebe myslet na tři rozměry, aniž bychom z jednoho bodu nakreslili tři čáry, které jsou na sebe kolmé."

    Interakce konkrétního a abstraktního „vedla“ matematické myšlení k vývoji nových a nových pojmů a filozofických kategorií. Ve starověké matematice (matematice konstant) to byly „číslo“ a „prostor“, které se původně odrážely v aritmetické a euklidovské geometrii, později v algebře a různých geometrických systémech. Matematika proměnných byla „založena“ na pojmech, které odrážely pohyb hmoty – „konečný“, „nekonečný“, „kontinuita“, „diskrétní“, „nekonečně malý“, „derivát“ atd.

    Hovoříme-li o současné historické etapě vývoje matematického poznání, pak jde v souladu s dalším vývojem filozofických kategorií: teorie pravděpodobnosti „ovládá“ kategorie možného a náhodného; topologie - kategorie vztahu a spojitosti; teorie katastrof - kategorie skoků; teorie grup - kategorie symetrie a harmonie atd.

    V matematickém myšlení se vyjadřují hlavní vzorce konstruování logických spojení podobných formou. S jeho pomocí se provádí přechod od singulárních (řekněme od určitých matematických metod - axiomatických, algoritmických, konstruktivních, množinově teoretických a dalších) ke speciálním a obecným, ke zobecněným deduktivním konstrukcím. Jednota metod a předmětu matematiky určuje specifika matematického myšlení, umožňuje mluvit o speciálním matematickém jazyce, který nejen odráží realitu, ale také syntetizuje, zobecňuje a předpovídá vědecké poznatky. Síla a krása matematického myšlení spočívá v maximální jasnosti jeho logiky, eleganci konstrukcí a obratné konstrukci abstrakcí.

    Zásadně nové možnosti duševní činnosti se otevřely s vynálezem počítače, s vytvořením strojové matematiky. K významným změnám došlo v jazyce matematiky. Jestliže se jazyk klasické výpočetní matematiky skládal ze vzorců algebry, geometrie a analýzy, zaměřených na popis spojitých přírodních procesů, studovaných především v mechanice, astronomii, fyzice, pak je její moderní jazyk jazykem algoritmů a programů, včetně starý jazyk vzorců jako zvláštní případ.

    Jazyk moderní výpočetní matematiky se stává stále univerzálnějším, schopným popsat složité (multiparametrové) systémy. Zároveň bych rád zdůraznil, že ať je matematický jazyk, vylepšený o elektronickou výpočetní techniku, dokonalý, nezpřetrhává pouta s rozmanitým „živým“, přirozeným jazykem. Kromě toho je mluvený jazyk základem umělého jazyka. V tomto ohledu je zajímavý nedávný objev vědců. Jde o to, že starověký jazyk indiánů Aymara, kterým mluví asi 2,5 milionu lidí v Bolívii a Peru, se ukázal jako mimořádně vhodný pro výpočetní techniku. Již v roce 1610 italský jezuitský misionář Ludovico Bertoni, který sestavil první ajmarský slovník, zaznamenal genialitu jeho tvůrců, kteří dosáhli vysoké logické čistoty. Například v aymarštině neexistují žádná nepravidelná slovesa a žádné výjimky z několika jasných gramatických pravidel. Tyto rysy jazyka Aymara umožnily bolivijskému matematikovi Ivanu Guzmánovi de Rojasovi vytvořit systém simultánního počítačového překladu z kteréhokoli z pěti evropských jazyků zahrnutých do programu, „most“ mezi nimiž je jazyk Aymara. Počítač "Aymara", vytvořený bolivijským vědcem, byl vysoce ceněn odborníky. Shrneme-li tuto část otázky o podstatě matematického stylu myšlení, je třeba poznamenat, že jeho hlavním obsahem je porozumění přírodě.

    Axiomatická metoda

  • Axiomatika je hlavním způsobem konstrukce teorie, od starověku až po současnost, potvrzující její univerzálnost a veškerou použitelnost.

    Konstrukce matematické teorie je založena na axiomatické metodě. Vědecká teorie je založena na některých počátečních ustanoveních, nazývaných axiomy, a všechna ostatní ustanovení teorie jsou získána jako logické důsledky axiomů.

    Axiomatická metoda se objevila ve starověkém Řecku av současnosti se používá téměř ve všech teoretických vědách a především v matematice.

    Při srovnání tří, v určitém ohledu, komplementárních geometrií: Euklidovské (parabolické), Lobačevského (hyperbolické) a Riemannovy (eliptické), je třeba poznamenat, že spolu s určitými podobnostmi existuje velký rozdíl mezi sférickou geometrií, na jedné straně ruka a geometrie Euklida a Lobačevského - na druhé straně.

    Základní rozdíl mezi moderní geometrií je v tom, že nyní zahrnuje „geometrie“ nekonečného množství různých imaginárních prostorů. Je však třeba poznamenat, že všechny tyto geometrie jsou interpretacemi euklidovské geometrie a jsou založeny na axiomatické metodě, kterou poprvé použil Euclides.

    Na základě výzkumu byla vyvinuta a široce používána axiomatická metoda. Speciálním případem aplikace této metody je metoda stop ve stereometrii, která umožňuje řešit úlohy na konstrukci řezů v polyedrech a některé další polohové úlohy.

    Axiomatická metoda, poprvé vyvinutá v geometrii, se nyní stala důležitým nástrojem studia v jiných odvětvích matematiky, fyziky a mechaniky. V současné době se pracuje na zdokonalení a hlubším studiu axiomatické metody konstrukce teorie.

    Axiomatická metoda konstrukce vědecké teorie spočívá ve zvýraznění základních pojmů, formulování axiomů teorií a všechna ostatní tvrzení se odvozují logickým způsobem, opírajíce se o ně. Je známo, že jeden pojem musí být vysvětlen pomocí jiných, které jsou zase definovány pomocí některých známých pojmů. Dostáváme se tak k elementárním pojmům, které nelze definovat z hlediska jiných. Tyto pojmy se nazývají základní.

    Když dokážeme tvrzení, větu, opíráme se o premisy, které jsou považovány za již prokázané. Ale i tyto předpoklady byly prokázány, musely být doloženy. Nakonec docházíme k neprokazatelným tvrzením a přijímáme je bez důkazů. Tato tvrzení se nazývají axiomy. Soubor axiomů musí být takový, aby se na něj dalo dokázat další tvrzení.

    Po vyčlenění hlavních pojmů a formulování axiomů pak logickým způsobem odvodíme věty a další pojmy. Toto je logická struktura geometrie. Axiomy a základní pojmy tvoří základy planimetrie.

    Protože je nemožné poskytnout jedinou definici základních pojmů pro všechny geometrie, měly by být základní pojmy geometrie definovány jako objekty jakékoli povahy, které splňují axiomy této geometrie. Při axiomatické konstrukci geometrického systému tedy vycházíme z určitého systému axiomů neboli axiomatiky. Tyto axiomy popisují vlastnosti základních pojmů geometrického systému a základní pojmy můžeme reprezentovat ve formě objektů libovolné povahy, které mají vlastnosti specifikované v axiomech.

    Po zformulování a doložení prvních geometrických tvrzení je možné některá tvrzení (věty) dokázat pomocí jiných. Důkazy mnoha teorémů jsou připisovány Pythagorovi a Demokritovi.

    Hippokratovi z Chiosu se připisuje sestavení prvního systematického kurzu geometrie založeného na definicích a axiomech. Tento kurz a jeho následná zpracování se nazývaly „Elementy“.

    Axiomatická metoda konstrukce vědecké teorie

  • Vytvoření deduktivní nebo axiomatické metody konstrukce vědy je jedním z největších úspěchů matematického myšlení. Vyžadovalo to práci mnoha generací vědců.

    Pozoruhodným rysem deduktivního systému prezentace je jednoduchost této konstrukce, která ji umožňuje popsat několika slovy.

    Deduktivní systém prezentace je redukován na:

    1) do seznamu základních pojmů,

    2) k prezentaci definic,

    3) k prezentaci axiomů,

    4) k prezentaci teorémů,

    5) k důkazu těchto teorémů.

    Axiom je tvrzení přijaté bez důkazu.

    Věta je tvrzení, které vyplývá z axiomů.

    Důkaz je nedílnou součástí deduktivního systému, je to uvažování, které ukazuje, že pravdivost tvrzení logicky vyplývá z pravdivosti předchozích vět či axiomů.

    V rámci deduktivního systému nelze vyřešit dvě otázky: 1) o významu základních pojmů, 2) o pravdivosti axiomů. To ale neznamená, že tyto otázky jsou obecně neřešitelné.

    Historie přírodních věd ukazuje, že možnost axiomatické konstrukce konkrétní vědy se objevuje pouze na poměrně vysoké úrovni rozvoje této vědy, na základě velkého množství faktografického materiálu, který umožňuje jasně identifikovat hlavní spojení a vztahy, které existují mezi objekty zkoumanými touto vědou.

    Příkladem axiomatické konstrukce matematické vědy je elementární geometrie. Systém axiomů geometrie vyložil Euklides (asi 300 př. n. l.) v díle „Počátky“ nepřekonatelné svým významem. Tento systém z velké části přežil dodnes.

    Základní pojmy: bod, linie, rovina základní obrazy; ležet mezi, patřit, pohybovat se.

    Elementární geometrie má 13 axiomů, které jsou rozděleny do pěti skupin. V páté skupině existuje jeden axiom o rovnoběžkách (Euklidův postulát V): bodem v rovině lze nakreslit pouze jednu přímku, která tuto přímku neprotíná. Toto je jediný axiom, který způsobil potřebu důkazu. Pokusy dokázat pátý postulát zaměstnávaly matematiky více než 2 tisíciletí, až do první poloviny 19. století, tzn. až do okamžiku, kdy Nikolaj Ivanovič Lobačevskij dokázal ve svých spisech naprostou beznadějnost těchto pokusů. V současnosti je nedokazatelnost pátého postulátu přísně dokázaným matematickým faktem.

    Axiom o paralelním N.I. Lobačevskij nahradil axiom: Nechť je v dané rovině dána přímka a bod ležící mimo přímku. Prostřednictvím tohoto bodu lze k dané přímce nakreslit alespoň dvě rovnoběžné čáry.

    Z nového systému axiomů N.I. Lobačevskij s dokonalou logickou přísností odvodil koherentní systém teorémů, které tvoří obsah neeuklidovské geometrie. Obě geometrie Euklida a Lobačevského jsou stejné jako logické systémy.

    Tři velcí matematici v 19. století téměř současně, nezávisle na sobě, dospěli ke stejným výsledkům neprokazatelnosti pátého postulátu a k vytvoření neeuklidovské geometrie.

    Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792-1856)

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    János Bolyai (1802-1860)

    Matematický důkaz

  • Hlavní metodou v matematickém výzkumu je matematický důkaz – rigorózní logické uvažování. Na základě objektivní nutnosti, poukazuje člen korespondent Ruské akademie věd L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Moderní matematika a její vyučování, Moskva, Nauka, 1985, logické uvažování (které je ze své podstaty, je-li správné, také rigorózní) je metoda matematiky, bez nich je matematika nemyslitelná. Je třeba poznamenat, že matematické myšlení se neomezuje pouze na logické uvažování. Pro správnou formulaci problému, pro vyhodnocení jeho dat, pro výběr těch významných z nich a pro volbu metody jeho řešení je nutná i matematická intuice, která umožňuje předvídat požadovaný výsledek dříve, než je získán, načrtnout cestu výzkumu pomocí věrohodného uvažování. Platnost uvažovaného faktu se však neprokazuje jeho ověřením na řadě příkladů, nikoli provedením řady experimentů (což samo o sobě hraje v matematickém výzkumu velkou roli), ale čistě logickým způsobem, podle zákony formální logiky.

    Věří se, že matematický důkaz je konečná pravda. Rozhodnutí, které je založeno na čisté logice, prostě nemůže být špatné. Ale s rozvojem vědy a úkoly před matematiky jsou kladeny stále složitější.

    „Vstoupili jsme do éry, kdy se matematický aparát stal tak složitým a těžkopádným, že na první pohled již nelze říci, zda je problém, se kterým jsme se setkali, pravdivý nebo ne,“ věří Keith Devlin ze Stanfordské univerzity v Kalifornii, USA. Jako příklad uvádí „klasifikaci jednoduchých konečných grup“, která byla formulována již v roce 1980, ale úplný přesný důkaz dosud nebyl podán. S největší pravděpodobností je teorém pravdivý, ale nelze to s jistotou říci.

    Přesným nelze nazvat ani počítačové řešení, protože takové výpočty mají vždy chybu. V roce 1998 Hales navrhl počítačově podporované řešení Keplerova teorému, formulovaného již v roce 1611. Tato věta popisuje nejhustší uspořádání kuliček v prostoru. Nátisk byl předložen na 300 stranách a obsahoval 40 000 řádků strojového kódu. 12 recenzentů kontrolovalo řešení rok, ale nikdy nedosáhli 100% důvěry ve správnost důkazu a studie byla odeslána k přepracování. V důsledku toho byl publikován až po čtyřech letech a bez plné certifikace recenzentů.

    Všechny nejnovější výpočty pro aplikované problémy se provádějí na počítači, ale vědci se domnívají, že pro větší spolehlivost by matematické výpočty měly být prezentovány bez chyb.

    Teorie důkazu je rozvinuta v logice a zahrnuje tři strukturální složky: tezi (to, co má být dokázáno), argumenty (soubor faktů, obecně uznávané pojmy, zákony atd. příslušné vědy) a demonstraci (postup pro samotné nasazení důkazů, konzistentní řetězec závěrů, když se n-tá inference stane jednou z premis n+1. inference). Jsou rozlišována pravidla dokazování, jsou naznačeny možné logické chyby.

    Matematický důkaz má mnoho společného s principy stanovenými formální logikou. Navíc matematická pravidla uvažování a operací zjevně sloužila jako jeden ze základů při vývoji důkazní procedury v logice. Zejména badatelé historie formování formální logiky se domnívají, že ve své době, kdy Aristoteles podnikl první kroky k vytvoření zákonů a pravidel logiky, se obrátil k matematice a k praxi právní činnosti. V těchto pramenech našel materiál pro logické konstrukce koncipované teorie.

    Ve 20. století ztratil pojem důkaz svůj striktní význam, což se stalo v souvislosti s objevem logických paradoxů skrytých v teorii množin a zejména v souvislosti s výsledky, které přinesly věty K. Gödela o neúplnosti formalizace.

    Především se to dotklo samotné matematiky, v souvislosti s níž se věřilo, že pojem „důkaz“ nemá přesnou definici. Ale pokud takový názor (který platí dodnes) ovlivňuje matematiku samotnou, pak docházejí k závěru, že důkaz by neměl být přijímán v logicko-matematickém, ale v psychologickém smyslu. Podobný názor má navíc sám Aristoteles, který věřil, že dokazovat znamená vést úvahu, která nás přesvědčí do té míry, že pomocí ní přesvědčíme ostatní o správnosti něčeho. Určitý odstín psychologického přístupu nacházíme u A. E. Yesenina-Volpina. Ostře se staví proti přijetí pravdy bez důkazu, spojuje to s aktem víry a dále píše: "Dokazování soudu nazývám poctivou metodou, která činí tento soud nepopiratelným." Yesenin-Volpin uvádí, že jeho definici je ještě třeba upřesnit. Neprozrazuje přitom samotná charakteristika důkazů jako „čestné metody“ apel na morálně-psychologický posudek?

    Objev množinových paradoxů a objevení se Godelových teorémů přitom právě přispěly k rozvoji teorie matematického důkazu, kterou podnikli intuicionisté, zejména konstruktivistický směr, a D. Hilbert.

    Někdy se věří, že matematický důkaz je univerzální a představuje ideální verzi vědeckého důkazu. Není to však jediná metoda, existují i ​​jiné metody postupů a operací založených na důkazech. Je jen pravda, že matematický důkaz má mnoho společného s formálně-logickým důkazem implementovaným v přírodní vědě a že matematický důkaz má určitá specifika, stejně jako soubor technik-operací. Zde se zastavíme a vynecháme obecnou věc, kvůli které souvisí s jinými formami důkazů, tedy bez rozšiřování algoritmu, pravidel, chyb atd. ve všech krocích (i těch hlavních). důkazní proces.

    Matematický důkaz je úvaha, která má za úkol podložit pravdivost (samozřejmě v matematickém, tedy jako odvoditelnosti, smyslu) tvrzení.

    Soubor pravidel používaných v důkazu byl vytvořen spolu s příchodem axiomatických konstrukcí matematické teorie. Nejjasněji a úplně to bylo realizováno v geometrii Euklida. Jeho „Principy“ se staly jakýmsi vzorovým standardem pro axiomatickou organizaci matematických znalostí a dlouho jimi zůstaly i pro matematiky.

    Výroky prezentované ve formě určité sekvence musí zaručovat závěr, který je při dodržení pravidel logického fungování považován za prokázaný. Je třeba zdůraznit, že určitá úvaha je důkazem pouze s ohledem na nějaký axiomatický systém.

    Při charakterizaci matematického důkazu se rozlišují dva hlavní rysy. Za prvé, skutečnost, že matematický důkaz vylučuje jakýkoli odkaz na empirické důkazy. Celý postup pro doložení pravdivosti závěru probíhá v rámci přijaté axiomatiky. Akademik A.D. Aleksandrov v tomto ohledu zdůrazňuje. Úhly trojúhelníku můžete změřit tisíckrát a ujistit se, že jsou rovné 2d. Ale matematika nic nedokazuje. Prokážete mu to, pokud výše uvedené tvrzení odvodíte z axiomů. zopakujme. Zde má matematika blízko k metodám scholastiky, která také zásadně odmítá argumentaci experimentálně danými fakty.

    Například, když byla objevena nesouměřitelnost segmentů, bylo při dokazování této věty vyloučeno odvolání se na fyzikální experiment, protože zaprvé samotný pojem „nesouměřitelnost“ postrádá fyzikální význam, a zadruhé matematici nemohli, při práci s abstrakcí přinášet na pomoc materiálně-betonové nástavce, měřitelné senzoricko-vizuálním zařízením. Nesouměřitelnost zejména strany a úhlopříčky čtverce se dokazuje na základě vlastnosti celých čísel pomocí Pythagorovy věty o rovnosti druhé mocniny přepony (respektive úhlopříčky) k součtu druhých mocnin přepony. nohy (dvě strany pravoúhlého trojúhelníku). Nebo když Lobačevskij hledal potvrzení pro svou geometrii s odkazem na výsledky astronomických pozorování, pak toto potvrzení provedl on pomocí čistě spekulativní povahy. Cayley-Klein a Beltramiho výklady neeuklidovské geometrie také představovaly typicky matematické spíše než fyzické objekty.

    Druhým rysem matematického důkazu je jeho nejvyšší abstraktnost, v níž se liší od důkazních postupů v jiných vědách. A opět jako v případě pojmu matematický objekt nejde jen o míru abstrakce, ale o jeho povahu. Faktem je, že důkazy dosahují vysoké úrovně abstrakce v řadě dalších věd, například ve fyzice, kosmologii a samozřejmě ve filozofii, protože poslední problémy bytí a myšlení se stávají předmětem posledně jmenovaných. Matematika se zase vyznačuje tím, že zde fungují proměnné, jejichž význam je v abstrakci od jakýchkoli konkrétních vlastností. Připomeňme, že z definice jsou proměnné znaky, které samy o sobě nemají žádný význam a ten nabývají pouze tehdy, když jsou za ně nahrazeny názvy určitých objektů (jednotlivé proměnné) nebo když jsou uvedeny specifické vlastnosti a vztahy (predikátové proměnné), nebo konečně , v případech nahrazení proměnné smysluplným výrokem (propoziční proměnná).

    Uvedený rys určuje povahu extrémní abstraktnosti znaků používaných v matematickém důkazu, stejně jako výroků, které se díky zahrnutí proměnných do své struktury mění ve výroky.

    Samotný proces dokazování, definovaný v logice jako demonstrace, probíhá na základě pravidel vyvozování, na jejichž základě se provádí přechod od jednoho dokázaného tvrzení k druhému, tvořící konzistentní řetězec vyvozování. Nejběžnější jsou dvě pravidla (substituce a odvození závěrů) a věta o dedukci.

    substituční pravidlo. V matematice je substituce definována jako nahrazení každého z prvků a dané množiny nějakým jiným prvkem F(a) ze stejné množiny. V matematické logice je substituční pravidlo formulováno následovně. Pokud pravdivá formule M ve výrokovém počtu obsahuje písmeno, řekněme A, pak jeho nahrazením, kdekoli se vyskytuje, libovolným písmenem D, dostaneme formuli, která je také pravdivá jako ta původní. To je možné a přípustné právě proto, že v kalkulu výroků se abstrahuje od významu výroků (vzorců)... V úvahu se berou pouze hodnoty „pravda“ nebo „nepravda“. Například ve vzorci M: A--> (BUA) dosadíme místo A výraz (AUB), výsledkem je nový vzorec (AUB) -->[(BU(AUB) ].

    Pravidlo pro vyvozování závěrů odpovídá struktuře podmíněně kategorického sylogismu modus ponens (afirmativní modus) ve formální logice. Vypadá to takto:

    A .

    Je dána věta (a-> b) a také a. Následuje b.

    Například: Pokud prší, pak je chodník vlhký, prší (a), proto je chodník vlhký (b). V matematické logice se tento sylogismus zapisuje následovně (a-> b) a-> b.

    Inference se zpravidla určuje separací pro implikaci. Pokud je dána implikace (a-> b) a její předchůdce (a), pak máme právo přidat k odůvodnění (důkazu) i důsledek této implikace (b). Sylogismus je donucovací, tvoří arzenál deduktivních důkazních prostředků, to znamená absolutně splňující požadavky matematického uvažování.

    Důležitou roli v matematickém důkazu hraje dedukční teorém - obecný název pro řadu teorémů, jehož postup umožňuje stanovit prokazatelnost implikace: A-> B, kdy existuje logické odvození formule B ze formule A. V nejběžnější verzi výrokového počtu (v klasické, intuicionistické a dalších matematice) věta o dedukci uvádí následující. Je-li dána soustava premis G a premisa A, ze které lze podle pravidel odvodit B G, A B (- znak odvoditelnosti), pak vyplývá, že pouze z premis G lze získat větu A --> B.

    Uvažovali jsme o typu, což je přímý důkaz. Zároveň se v logice používají i tzv. nepřímé důkazy, existují důkazy nepřímé, které se nasazují podle následujícího schématu. Nemajíce z řady důvodů (nepřístupnost předmětu studia, ztráta reality jeho existence atd.) možnost provést přímý důkaz pravdivosti jakéhokoli tvrzení, teze, budují antitezi. Jsou přesvědčeni, že protiklad vede k rozporům, a proto je nepravdivý. Z faktu nepravdivosti antiteze pak vyvodíme - na základě zákona vyloučeného středu (a v) - závěr o pravdivosti teze.

    V matematice se hojně využívá jedna z forem nepřímého důkazu – důkaz kontradikcí. Je zvláště cenný a v podstatě nepostradatelný při přijímání základních pojmů a ustanovení matematiky, například konceptu skutečného nekonečna, který nelze zavést jiným způsobem.

    Operace důkazu kontradikcí je v matematické logice reprezentována následovně. Je dána posloupnost formulí G a negace A (G , A). Pokud to implikuje B a jeho negaci (G , A B, non-B), pak můžeme usoudit, že pravdivost A vyplývá z posloupnosti formulí G. Jinými slovy, pravdivost teze vyplývá z nepravdivosti antiteze .

    Reference:

  • 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Vyšší matematika pro ekonomy, učebnice, Moskva, 2002;

    2. L.D. Kudrjavcev, Moderní matematika a její vyučování, Moskva, Nauka, 1985;

    3. O. I. Larichev, Objektivní modely a subjektivní rozhodnutí, Moskva, Nauka, 1987;

    4. A.Ya.Halamizer, „Matematika? - Je to legrační! “, Autorská edice, 1989;

    5. P. K. Rashevsky, Riemannovská geometrie a tenzorová analýza, Moskva, 3. vydání, 1967;

    6. V. E. Gmurman, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika, Moskva, Vyšší škola, 1977;

    7. Celosvětová síť Enternet.

Matematika jako věda o kvantitativních vztazích a prostorových formách reality studuje svět kolem nás, přírodní a společenské jevy. Ale na rozdíl od jiných věd, matematika studuje jejich speciální vlastnosti a abstrahuje od ostatních. Geometrie tedy studuje tvar a velikost objektů, aniž by brala v úvahu jejich další vlastnosti: barvu, hmotnost, tvrdost atd. Obecně platí, že matematické objekty (geometrický obrazec, číslo, hodnota) jsou vytvářeny lidskou myslí a existují pouze v lidském myšlení, ve znacích a symbolech, které tvoří matematický jazyk.

Abstraktnost matematiky umožňuje její uplatnění v nejrůznějších oblastech, je mocným nástrojem k pochopení přírody.

Formy poznání se dělí do dvou skupin.

první skupina tvoří formy smyslového poznání, prováděné pomocí různých smyslových orgánů: zraku, sluchu, čichu, hmatu, chuti.

spol. druhá skupina zahrnují formy abstraktního myšlení, především pojmy, prohlášení a závěry.

Formy smyslového poznání jsou Cítit, vnímání A reprezentace.

Každý předmět má ne jednu, ale mnoho vlastností a poznáváme je pomocí vjemů.

Pocit- jedná se o odraz jednotlivých vlastností předmětů nebo jevů hmotného světa, které přímo (tedy nyní, v tuto chvíli) ovlivňují naše smysly. Jsou to pocity červené, teplé, kulaté, zelené, sladké, hladké a další individuální vlastnosti předmětů [Getmanová, s. 7].

Z jednotlivých vjemů se utváří vnímání celého předmětu. Například vnímání jablka se skládá z takových vjemů: kulovitý, červený, sladkokyselý, voňavý atd.

Vnímání je holistický odraz vnějšího hmotného objektu, který přímo ovlivňuje naše smysly [Getmanová, s. 8]. Například obrázek talíře, šálku, lžíce, jiného nádobí; obraz řeky, pokud po ní nyní plujeme nebo jsme na jejích březích; obraz lesa, pokud jsme nyní přišli do lesa atp.

Vjemy, i když jsou smyslovým odrazem reality v naší mysli, jsou do značné míry závislé na lidské zkušenosti. Například biolog bude vnímat louku jedním způsobem (uvidí různé druhy rostlin), ale turista nebo umělec ji bude vnímat úplně jinak.

Výkon- jedná se o smyslný obraz předmětu, který aktuálně nevnímáme, ale který jsme dříve v té či oné podobě vnímali [Getmanová, s. 10]. Vizuálně si můžeme například představit tváře známých, svůj pokoj v domě, břízu nebo houbu. Toto jsou příklady rozmnožování reprezentace, jak jsme viděli tyto objekty.

Prezentace může být tvořivý, počítaje v to fantastický. Představujeme krásnou princeznu Labuť, nebo cara Saltana, nebo zlatého kohouta a mnoho dalších postaviček z pohádek A.S. Puškina, kterého jsme nikdy neviděli a neuvidíme. Toto jsou příklady kreativní prezentace nad slovním popisem. Představujeme si také Sněhurku, Santa Clause, mořskou pannu atd.

Formami smyslového poznání jsou tedy pocity, vjemy a reprezentace. S jejich pomocí poznáváme vnější aspekty objektu (jeho rysy včetně vlastností).

Formy abstraktního myšlení jsou pojmy, prohlášení a závěry.

Koncepty. Rozsah a obsah pojmů

Termínem "pojem" se obvykle označuje celá třída objektů libovolné povahy, které mají určitou charakteristickou (výraznou, podstatnou) vlastnost nebo celý soubor takových vlastností, tzn. vlastnosti, které jsou jedinečné pro členy této třídy.

Z hlediska logiky je pojem zvláštní formou myšlení, která se vyznačuje tím, že: 1) pojem je produktem vysoce organizované hmoty; 2) koncept odráží hmotný svět; 3) pojem se objevuje ve vědomí jako prostředek zobecnění; 4) pojem znamená specificky lidskou činnost; 5) vytvoření pojmu v mysli člověka je neoddělitelné od jeho vyjádření řečí, písmem nebo symbolem.

Jak v naší mysli vzniká pojem jakéhokoli předmětu reality?

Proces utváření určitého konceptu je postupný proces, ve kterém lze vidět několik po sobě jdoucích fází. Zvažte tento proces pomocí nejjednoduššího příkladu - vytvoření konceptu čísla 3 u dětí.

1. Na prvním stupni poznávání se děti seznamují s různými konkrétními sadami, využívají předmětové obrázky a zobrazují různé sady tří prvků (tři jablka, tři knihy, tři tužky atd.). Děti nejen vidí každou z těchto sad, ale mohou se také dotýkat (dotýkat se) předmětů, které tyto sady tvoří. Tento proces „vidění“ vytváří v mysli dítěte zvláštní formu odrazu reality, která se nazývá vnímání (cítění).

2. Odstraňme předměty (předměty), které tvoří jednotlivé sady, a vyzveme děti, aby určily, zda existuje něco společného, ​​co charakterizuje jednotlivé sady. Počet předmětů v každé sadě se měl vtisknout do myslí dětí, že všude byly „tři“. Pokud je tomu tak, pak byla v myslích dětí vytvořena nová forma - myšlenka na číslo tři.

3. V další fázi by děti na základě myšlenkového experimentu měly vidět, že vlastnost vyjádřená slovem „tři“ charakterizuje jakýkoli soubor různých prvků tvaru (a; b; c). Bude tedy vyčleněn základní společný rys těchto sad: „mít tři prvky“. Nyní můžeme říci, že v myslích dětí vznikl koncept čísla 3.

pojem- jedná se o zvláštní formu myšlení, která odráží podstatné (charakteristické) vlastnosti předmětů nebo předmětů studia.

Jazyková forma pojmu je slovo nebo skupina slov. Například „trojúhelník“, „číslo tři“, „bod“, „přímka“, „rovnomerný trojúhelník“, „rostlina“, „jehličnatý strom“, „řeka Yenisei“, „stůl“ atd.

Matematické pojmy mají řadu rysů. Tím hlavním je, že matematické objekty, o kterých je nutné vytvořit pojem, ve skutečnosti neexistují. Matematické objekty jsou vytvářeny lidskou myslí. Jedná se o ideální objekty, které odrážejí skutečné objekty nebo jevy. Například v geometrii se studuje tvar a velikost objektů, aniž by se vzaly v úvahu jejich další vlastnosti: barva, hmotnost, tvrdost atd. Z toho všeho jsou rozptýleni, abstrahováni. Proto se v geometrii místo slova "objekt" říká "geometrický obrazec". Výsledkem abstrakce jsou i takové matematické pojmy jako „číslo“ a „hodnota“.

Hlavní rysyžádný koncepty jsou následující: 1) hlasitost; 2) obsah; 3) vztahy mezi pojmy.

Hovoří-li se o matematickém pojmu, obvykle se tím myslí celá množina (množina) objektů označovaná jedním pojmem (slovem nebo skupinou slov). Takže, když mluvíme o čtverci, znamenají všechny geometrické tvary, které jsou čtverci. Předpokládá se, že množina všech čtverců je rozsahem pojmu "čtverec".

Rozsah koncepce nazývá se množina objektů nebo objektů, na které se tento koncept vztahuje.

Například 1) rozsah pojmu "rovnoběžník" je soubor takových čtyřúhelníků, jako jsou vlastní rovnoběžníky, kosočtverce, obdélníky a čtverce; 2) rozsah pojmu "jednociferné přirozené číslo" bude množina - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Každý matematický objekt má určité vlastnosti. Například čtverec má čtyři strany, čtyři pravé úhly rovné úhlopříčkám, úhlopříčky jsou půleny průsečíkem. Můžete určit jeho další vlastnosti, ale mezi vlastnostmi objektu jsou podstatný (výrazný) A nepodstatné.

Nemovitost se nazývá nezbytný (rozlišovací) pro předmět, pokud je tomuto předmětu vlastní a bez něj nemůže existovat; vlastnost se nazývá bezvýznamný pro objekt, pokud bez něj může existovat.

Například pro čtverec jsou podstatné všechny vlastnosti uvedené výše. Vlastnost „strana AD je vodorovná“ bude pro čtverec ABCD irelevantní (obr. 1). Pokud se tento čtverec otočí, strana AD bude svislá.

Uvažujme příklad pro předškoláky s použitím obrazového materiálu (obr. 2):

Popište postavu.

Malý černý trojúhelník. Rýže. 2

Velký bílý trojúhelník.

Jak jsou čísla podobná?

Jak se čísla liší?

Barva, velikost.

Co má trojúhelník?

3 strany, 3 rohy.

Děti tak zjišťují podstatné i nepodstatné vlastnosti pojmu „trojúhelník“. Podstatné vlastnosti - "mít tři strany a tři úhly", nepodstatné vlastnosti - barva a velikost.

Souhrn všech podstatných (rozlišovacích) vlastností předmětu nebo předmětu reflektovaných v tomto konceptu se nazývá obsah konceptu .

Například pro pojem "rovnoběžník" je obsahem soubor vlastností: má čtyři strany, má čtyři rohy, protilehlé strany jsou párově rovnoběžné, protilehlé strany jsou stejné, opačné úhly jsou stejné, úhlopříčky v průsečíkech jsou rozděleny na polovinu.

Mezi objemem pojmu a jeho obsahem existuje souvislost: zvětšuje-li se objem pojmu, pak jeho obsah klesá a naopak. Takže například rozsah pojmu „rovnoramenný trojúhelník“ je součástí rozsahu pojmu „trojúhelník“ a obsah pojmu „rovoruhelník“ zahrnuje více vlastností než obsah pojmu „trojúhelník“, protože rovnoramenný trojúhelník má nejen všechny vlastnosti trojúhelníku, ale i další vlastnosti, které jsou pouze rovnoramenným trojúhelníkům vlastní („dvě strany jsou stejné“, „dva úhly jsou stejné“, „dva středy jsou stejné“ atd.).

Pojmy se dělí na jediný, společný A Kategorie.

Nazývá se pojem, jehož objem je roven 1 jediný koncept .

Například pojmy: "řeka Yenisei", "republika Tuva", "město Moskva".

Volají se pojmy, jejichž objem je větší než 1 Všeobecné .

Například pojmy: „město“, „řeka“, „čtyřúhelník“, „číslo“, „polygon“, „rovnice“.

V procesu studia základů jakékoli vědy si děti obecně vytvářejí obecné pojmy. Například v základních ročnících se žáci seznamují s pojmy jako „číslo“, „číslo“, „jednociferná čísla“, „dvoumístná čísla“, „vícemístná čísla“, „zlomek“, „podíl“ "", "sčítání", "termín" , "součet", "odčítání", "odečteno", "redukováno", "rozdíl", "násobení", "násobitel", "součin", "dělení", "dělitelný", "dělitel", "podíl", "koule, válec, kužel, krychle, rovnoběžnostěn, jehlan, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník, čtverec, obdélník, mnohoúhelník, kruh, "kruh", "křivka", "křivka", "segment" , "délka segmentu", "paprsek", "přímka", "bod", "délka", "šířka", "výška", "obvod", "plocha obrázku", "objem", "čas", " rychlost, „hmotnost“, „cena“, „náklady“ a mnoho dalších. Všechny tyto pojmy jsou obecné pojmy.

Matematika 1. Kde se vzalo slovo matematika 2. Kdo vynalezl matematiku? 3. Hlavní témata. 4. Definice 5. Etymologie Na posledním snímku.

Odkud slovo pochází (přejděte na předchozí snímek) Matematika z řečtiny - studium, věda) - nauka o strukturách, řádu a vztazích, historicky založená na operacích počítání, měření a popisu tvaru předmětů. Matematické objekty vznikají idealizací vlastností skutečných nebo jiných matematických objektů a zapisováním těchto vlastností ve formálním jazyce.

Kdo vynalezl matematiku (přejděte do menu) První matematik se obvykle nazývá Thales z Milétu, který žil v VI. století. před naším letopočtem E. , jeden z tzv. Sedmi mudrců Řecka. Ať je to jakkoli, byl to on, kdo jako první strukturoval celou znalostní základnu o tomto tématu, které se již dlouho formovalo v jemu známém světě. Nicméně autorem prvního pojednání o matematice, které se k nám dostalo, byl Euclid (III. století před naším letopočtem). I on je zaslouženě považován za otce této vědy.

Hlavní témata (přejít do menu) Oblast matematiky zahrnuje pouze ty vědy, ve kterých se uvažuje buď o řádu nebo míře, a vůbec nezáleží na tom, zda se jedná o čísla, obrazce, hvězdy, zvuky nebo cokoliv jiného, ​​v čem tato míra je nalezen. Musí tedy existovat nějaká obecná věda, která vysvětluje vše, co se týká řádu a míry, aniž by se pouštěla ​​do studia nějakých konkrétních předmětů, a tato věda se musí nazývat nikoli cizím, ale starým, již běžným názvem Obecná matematika.

Definice (přejděte do menu) Moderní analýza je založena na klasické matematické analýze, která je považována za jednu ze tří hlavních oblastí matematiky (spolu s algebrou a geometrií). Pojem „matematická analýza“ v klasickém slova smyslu se přitom používá především v učebních plánech a materiálech. V anglo-americké tradici klasická matematická analýza odpovídá programům kurzů s názvem „kalkul“

Etymologie (přejděte do nabídky) Slovo „matematika“ pochází z jiné řečtiny. , což znamená studium, vědění, věda atd. -řecký, původně znamenající vnímavý, úspěšný, později související se studiem, později související s matematikou. Konkrétně to v latině znamená umění matematiky. Termín je jiný -řecký. v moderním smyslu slova „matematika“ se nachází již v dílech Aristotela (4. století př. n. l.). v „Knize vybraných stručně o devíti múzách ao sedmi svobodných uměních“ (1672)