Úvod

Hlavní část

1. Úplná a neúplná indukce

2. Princip matematické indukce

3. Metoda matematické indukce

4. Řešení příkladů

5. Rovnosti

6. Dělení čísel

7. Nerovnosti

Závěr

Seznam použité literatury

Úvod

Základem každého matematického výzkumu jsou deduktivní a induktivní metody. Deduktivní metodou uvažování je uvažování od obecného ke konkrétnímu, tzn. uvažování, jehož výchozím bodem je obecný výsledek a konečným bodem konkrétní výsledek. Indukce se používá při přechodu od konkrétních výsledků k obecným, tzn. je opakem deduktivní metody.

Metodu matematické indukce lze přirovnat k pokroku. Začínáme od nejnižšího a v důsledku logického myšlení se dostáváme k tomu nejvyššímu. Člověk odjakživa usiloval o pokrok, o schopnost logicky rozvíjet své myšlenky, což znamená, že sama příroda ho předurčila k induktivnímu myšlení.

Přestože se rozsah aplikace metody matematické indukce rozrostl, ve školních osnovách je jí věnováno málo času. No řekněte, že se člověku budou hodit ty dvě tři lekce, během kterých uslyší pět slov teorie, vyřeší pět primitivních problémů a ve výsledku dostane A za to, že nic neví.

Ale je tak důležité umět myslet induktivně.

Hlavní část

Ve svém původním významu je slovo „indukce“ aplikováno na uvažování, jehož prostřednictvím se získávají obecné závěry založené na řadě konkrétních tvrzení. Nejjednodušší metodou uvažování tohoto druhu je úplná indukce. Zde je příklad takové úvahy.

Nechť je třeba stanovit, že každé sudé přirozené číslo n v rámci 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Těchto devět rovností ukazuje, že každé z čísel, které nás zajímá, je skutečně reprezentováno jako součet dvou jednoduchých členů.

Úplná indukce tedy spočívá v prokázání obecného tvrzení zvlášť v každém z konečného počtu možných případů.

Někdy lze obecný výsledek předpovědět po zvážení ne všech, ale dostatečně velkého počtu konkrétních případů (tzv. neúplná indukce).

Výsledek získaný neúplnou indukcí však zůstává pouze hypotézou, dokud není prokázán přesným matematickým uvažováním, zahrnujícím všechny speciální případy. Jinými slovy, neúplná indukce v matematice není považována za legitimní metodu rigorózního důkazu, ale je mocnou metodou pro objevování nových pravd.

Nechť například chcete najít součet prvních n po sobě jdoucích lichých čísel. Podívejme se na speciální případy:

1+3+5+7+9=25=5 2

Po zvážení těchto několika speciálních případů se nabízí následující obecný závěr:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

těch. součet prvních n po sobě jdoucích lichých čísel je n 2

Provedené pozorování samozřejmě ještě nemůže sloužit jako důkaz platnosti daného vzorce.

Úplná indukce má v matematice pouze omezené aplikace. Mnoho zajímavých matematických tvrzení pokrývá nekonečný počet speciálních případů, ale nejsme schopni je otestovat na nekonečný počet případů. Neúplná indukce často vede k chybným výsledkům.

V mnoha případech je cestou z tohoto druhu obtíží uchýlit se ke speciální metodě uvažování, nazývané metoda matematické indukce. Je to následovně.

Předpokládejme, že potřebujete dokázat platnost určitého tvrzení pro libovolné přirozené číslo n (například potřebujete dokázat, že součet prvních n lichých čísel je roven n 2). Přímé ověření tohoto tvrzení pro každou hodnotu n je nemožné, protože množina přirozených čísel je nekonečná. Chcete-li toto tvrzení dokázat, nejprve zkontrolujte jeho platnost pro n=1. Potom dokážou, že pro jakoukoli přirozenou hodnotu k platí, že platnost uvažovaného tvrzení pro n=k implikuje jeho platnost pro n=k+1.

Pak se tvrzení považuje za prokázané pro všechna n. Ve skutečnosti tvrzení platí pro n=1. Ale pak to platí i pro další číslo n=1+1=2. Platnost výroku pro n=2 implikuje jeho platnost pro n=2+

1=3. Z toho vyplývá platnost tvrzení pro n=4 atd. Je jasné, že nakonec dosáhneme libovolného přirozeného čísla n. To znamená, že tvrzení platí pro libovolné n.

Shrneme-li to, co bylo řečeno, formulujeme následující obecný princip.

Princip matematické indukce.

Pokud návrh A(n), v závislosti na přirozeném číslen, pravda pron=1 a z toho, že platí pron=k(Kdek-libovolné přirozené číslo), z toho vyplývá, že platí pro další číslon=k+1, pak předpoklad A(n) platí pro jakékoli přirozené číslon.

V řadě případů může být nutné prokázat platnost určitého tvrzení ne pro všechna přirozená čísla, ale pouze pro n>p, kde p je pevné přirozené číslo. V tomto případě je princip matematické indukce formulován následovně. Pokud návrh A(n) pravda pron=pa pokud A(k) Þ A(k+1)pro každéhok>p,pak věta A(n)pravda pro kohokolin>p.

Důkaz metodou matematické indukce se provádí následovně. Nejprve se zkontroluje tvrzení, které má být dokázáno na n=1, tzn. pravdivost výroku A(1) je stanovena. Tato část důkazu se nazývá indukční báze. Pak přichází část důkazu zvaná indukční krok. V této části dokazují platnost tvrzení pro n=k+1 za předpokladu platnosti tvrzení pro n=k (indukční předpoklad), tzn. dokažte, že A(k)ÞA(k+1).

PŘÍKLAD 1

Dokažte, že 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

Řešení: 1) Máme n=1=1 2 . Proto,

tvrzení platí pro n=1, tzn. A(1) je pravda.

2) Dokažme, že A(k)ÞA(k+1).

Nechť k je libovolné přirozené číslo a tvrzení ať platí pro n=k, tzn.

1+3+5+…+(2k-1)=k2.

Dokažme, že pak tvrzení platí i pro další přirozené číslo n=k+1, tzn. Co

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.

Vskutku,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2.

Takže A(k)ÞA(k+1). Na základě principu matematické indukce docházíme k závěru, že předpoklad A(n) platí pro libovolné nÎN.

PŘÍKLAD 2

Dokázat to

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), kde x¹1

Řešení: 1) Pro n=1 dostáváme

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

proto je pro n=1 vzorec správný; A(1) je pravda.

2) Nechť k je libovolné přirozené číslo a vzorec ať platí pro n=k, tzn.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

Dokažme, že pak ta rovnost

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Vskutku

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1-1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2-1)/(x-1).

Takže A(k)ÞA(k+1). Na základě principu matematické indukce docházíme k závěru, že vzorec platí pro jakékoli přirozené číslo n.

PŘÍKLAD 3

Dokažte, že počet úhlopříček konvexního n-úhelníku je roven n(n-3)/2.

Řešení: 1) Pro n=3 platí tvrzení

A 3 má smysl, protože v trojúhelníku

 A 3 =3(3-3)/2=0 úhlopříček;

A 2 A(3) je pravda.

2) Předpokládejme, že v každém

konvexní k-úhelník má-

A 1 x A k =k(k-3)/2 úhlopříčky.

A k Dokažme, že pak konvexně

(k+1)-gon číslo

úhlopříčky A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Nechť A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 je konvexní (k+1)-úhelník. Nakreslete do něj úhlopříčku A 1 A k. Pro výpočet celkového počtu úhlopříček tohoto (k+1)-úhelníku je potřeba spočítat počet úhlopříček v k-úhelníku A 1 A 2 ...A k , k výslednému číslu přičíst k-2, tzn. je třeba vzít v úvahu počet úhlopříček (k+1)-úhelníku vycházejícího z vrcholu A k+1 a navíc úhlopříčku A 1 A k.

Tím pádem,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Takže A(k)ÞA(k+1). Vzhledem k principu matematické indukce platí tvrzení pro jakýkoli konvexní n-úhelník.

PŘÍKLAD 4

Dokažte, že pro libovolné n platí následující tvrzení:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Řešení: 1) Nechť n=1

Xi=12=1(1+1)(2+1)/6=1.

To znamená, že pro n=1 je tvrzení pravdivé.

2) Předpokládejme, že n=k

Xk=k2=k(k+1)(2k+1)/6.

3) Uvažujme toto tvrzení pro n=k+1

X k+1 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Prokázali jsme, že rovnost platí pro n=k+1, proto na základě metody matematické indukce platí tvrzení pro jakékoli přirozené číslo n.

PŘÍKLAD 5

Dokažte, že pro jakékoli přirozené číslo n platí rovnost:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Řešení: 1) Nechť n=1.

Potom X 1 = 1 3 = 1 2 (1+1) 2 /4 = 1.

Vidíme, že pro n=1 je tvrzení pravdivé.

2) Předpokládejme, že rovnost platí pro n=k

Jedna z nejdůležitějších metod matematického důkazu je právem metoda matematické indukce. Naprostou většinu vzorců vztahujících se ke všem přirozeným číslům n lze dokázat metodou matematické indukce (např. vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti, Newtonův binomický vzorec atd.).

V tomto článku se nejprve zastavíme u základních pojmů, poté se zamyslíme nad samotnou metodou matematické indukce a rozebereme příklady její aplikace při dokazování rovností a nerovnic.

Navigace na stránce.

Indukce a dedukce.

Indukcí nazval přechod od konkrétních výroků k obecným. Naopak přechod od obecných tvrzení ke konkrétním se nazývá dedukce.

Příklad konkrétního tvrzení: 254 je dělitelné 2 beze zbytku.

Z tohoto konkrétního tvrzení lze formulovat spoustu obecnějších tvrzení, pravdivých i nepravdivých. Například obecnější tvrzení, že všechna celá čísla končící čtyřmi jsou beze zbytku dělitelná 2, je pravdivé, ale tvrzení, že všechna trojciferná čísla jsou beze zbytku dělitelná 2, je nepravdivé.

Indukce nám tedy umožňuje získat mnoho obecných tvrzení založených na známých nebo zřejmých faktech. A metoda matematické indukce je určena k určení platnosti získaných tvrzení.

Jako příklad zvažte číselnou řadu: , n je libovolné přirozené číslo. Potom bude posloupnost součtů prvních n prvků této posloupnosti následující

Na základě této skutečnosti lze indukcí tvrdit, že .

Předkládáme důkaz tohoto vzorce.

Metoda matematické indukce.

Metoda matematické indukce je založena na princip matematické indukce.

Je to takto: určité tvrzení platí pro každé přirozené číslo n if

1. platí pro n = 1 a
2. z platnosti tvrzení pro libovolné libovolné přirozené číslo n = k vyplývá, že platí pro n = k+1.

To znamená, že důkaz pomocí metody matematické indukce se provádí ve třech fázích:

1. nejprve se zkontroluje platnost tvrzení pro libovolné přirozené číslo n (obvykle se kontrola provádí pro n = 1);
2. za druhé, platnost tvrzení se předpokládá pro libovolné přirozené číslo n=k;
3. za třetí je dokázána platnost tvrzení pro číslo n=k+1, vycházeje z předpokladu druhého bodu.

Příklady důkazů rovnic a nerovnic metodou matematické indukce.

Vraťme se k předchozímu příkladu a dokažme vzorec .

Důkaz.

Metoda matematické indukce zahrnuje tříbodový důkaz.

Tím byly dokončeny všechny tři kroky metody matematické indukce a náš předpoklad o vzorci byl potvrzen.

Podívejme se na problém trigonometrie.

Příklad.

Prokázat identitu .

Řešení.

Nejprve zkontrolujeme platnost rovnosti pro n = 1. K tomu budeme potřebovat základní trigonometrické vzorce.

To znamená, že rovnost platí pro n = 1.

Za druhé, předpokládejme, že rovnost platí pro n = k, to znamená, že identita je pravdivá

Za třetí, přejdeme k prokázání rovnosti pro n = k+1 na základě druhého bodu.

Jelikož podle vzorce z trigonometrie

Že

Důkaz rovnosti ze třetího bodu je dokončen, proto byla původní identita prokázána metodou matematické indukce.

Lze dokázat matematickou indukcí.

Příklad důkazu nerovnice metodou matematické indukce naleznete v části o metodě nejmenších čtverců při odvozování vzorců pro hledání aproximačních koeficientů.

Bibliografie.

• Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. O matematické indukci.

Metoda důkazu, o které bude řeč v tomto odstavci, je založena na jednom z axiomů přirozené řady.

Axiom indukce. Nechť je dána věta, která závisí na proměnné P, místo kterého můžete dosadit jakákoli přirozená čísla. Označme to A(p). Nechte také nabídku A platí pro číslo 1 a ze skutečnosti, že A pravda pro číslo Na, to následuje A pravda pro číslo k+ 1. Pak nabídněte A platí pro všechny přírodní hodnoty P.

Symbolický zápis axiomu:

Tady vrchol- proměnné nad množinou přirozených čísel. Z axiomu indukce získáme následující pravidlo inference:

Tedy, abychom dokázali pravdivost věty A, můžete nejprve dokázat dvě tvrzení: pravdivost tvrzení A( 1), stejně jako důsledek A(k) => A(k+ 1).

S přihlédnutím k výše uvedenému si popišme podstatu metoda

matematická indukce.

Nechť je třeba dokázat, že návrh A(n) platí pro všechny přirozenosti P. Důkaz je rozdělen do dvou fází.

• 1. etapa. Indukční základna. Bereme jako hodnotu Pčíslo je 1 a zkontrolujte to A( 1) existuje pravdivé tvrzení.
• 2. etapa. Indukční přechod. Dokážeme to pro libovolné přirozené číslo Na implikace je pravdivá: jestliže A(k), Že A(k+ 1).

Indukční přechod začíná slovy: „Vezmi si libovolné přirozené číslo Na, takové, že A(k)", nebo „Let pro přirozené číslo Naže jo A(k).” Místo slova „nech“ často říkají „předpokládejme, že...“.

Po těchto slovech dopis Na označuje určitý pevný objekt, pro který vztah platí A(k). Další od A(k) vyvozujeme důsledky, to znamená, že stavíme řetězec vět A(k) 9 R, pí, ..., P„ = A(k+ 1), kde každá věta R, je pravdivé tvrzení nebo důsledek předchozích vět. Poslední věta R" se musí shodovat A(k+ 1). Z toho usuzujeme: od A(k) by měl A(k+).

Provedení indukčního přechodu lze rozdělit do dvou akcí:

• 1) Indukční předpoklad. Tady to předpokládáme A Na variabilní n.
• 2) Na základě předpokladu to dokážeme A pravda pro číslo?+1.

Příklad 5.5.1. Dokažme, že číslo p+p je sudá pro všechna přirozená čísla P.

Tady A(n) = "p 2 + p- sudé číslo". To je nutné prokázat A - identicky pravdivý predikát. Aplikujme metodu matematické indukce.

Indukční základna. Vezměme l=1. Dosadíme to do výrazu P+//, dostáváme n 2 + n= I 2 + 1 = 2 je sudé číslo, to znamená, že /1(1) je pravdivé tvrzení.

Pojďme formulovat indukční hypotéza A(k)= "Číslo k 2 + k - dokonce." Můžete říci toto: „Vezmi si libovolné přirozené číslo Na takové, že k 2 + k existuje sudé číslo."

Odvozme výrok odtud A(kA-)= "Číslo (k+ 1) 2 +(?+1) - sudý.“

Proveďme transformace na základě vlastností operací:

První člen výsledného součtu je sudý podle předpokladu, druhý je sudý podle definice (protože má tvar 2 P). To znamená, že součet je sudé číslo. Nabídka A(k+ 1) osvědčené.

Pomocí metody matematické indukce docházíme k závěru: výrok A(n) platí pro všechny přirozenosti P.

Samozřejmě není potřeba zadávat označení pokaždé A(p). Přesto se doporučuje formulovat induktivní předpoklad a to, co je z něj třeba odvodit, na samostatný řádek.

Všimněte si, že tvrzení z příkladu 5.5.1 lze dokázat i bez použití metody matematické indukce. K tomu stačí zvážit dva případy: kdy P dokonce a kdy P zvláštní.

Mnoho úloh dělitelnosti je řešeno pomocí metody matematické indukce. Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 5.5.2. Dokažme, že číslo 15 2i_| +1 je dělitelné 8 pro všechny přirozené P.

Bacha indukce. Vezměme /1=1. Máme: číslo 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 děleno číslem 8.

že pro některé

přirozené číslo Načíslo 15 2 * '+1 je dělitelné 8.

Pojďme dokázat jaké je tedy číslo A= 15 2 (VN +1 dělí 8.

Převedeme číslo A:

Za předpokladu je číslo 15 2A1 +1 dělitelné 8, což znamená, že celý první člen je dělitelný 8. Druhý člen 224 = 8-28 je také dělitelný 8. Číslo tedy A jak se dělí rozdíl dvou čísel, která jsou násobky 8, 8. Indukční přechod je oprávněný.

Na základě metody matematické indukce docházíme k závěru, že pro všechny přirozené Pčíslo 15 2 "-1 -*-1 je dělitelné 8.

Dovolte nám několik poznámek k vyřešenému problému.

Osvědčené tvrzení lze formulovat trochu jinak: „Číslo 15“+1 je dělitelné 8 pro libovolné liché přirozené / a.“

Za druhé, z dokázaného obecného tvrzení lze vyvodit konkrétní závěr, jehož důkaz lze uvést jako samostatný problém: číslo 15 2015 +1 je dělitelné 8. Proto je někdy užitečné problém zobecnit označením a konkrétní hodnotu s písmenem a poté aplikujte metodu matematické indukce.

Ve svém nejobecnějším smyslu termín „indukce“ znamená, že obecné závěry jsou vyvozovány na základě konkrétních příkladů. Například po zvážení některých příkladů součtů sudých čísel 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 dojdeme k závěru, že součet libovolných dvou sudé číslo je sudé číslo.

Obecně může taková indukce vést k nesprávným závěrům. Uveďme příklad takové nesprávné úvahy.

Příklad 5.5.3. Zvažte číslo A= /g+i+41 pro přírodní /?.

Pojďme najít hodnoty A pro nějaké hodnoty P.

Nechat n= I. Pak a = 43 je prvočíslo.

Nechej /7=2. Pak A= 4+2+41 = 47 - prvočíslo.

Nechť l=3. Pak A= 9+3+41 = 53 - prvočíslo.

Nechej /7=4. Pak A= 16+4+41 = 61 - prvočíslo.

Berte jako hodnoty Pčísla za čtyřmi, například 5, 6, 7, a ujistěte se, že číslo A bude jednoduchý.

Dospěli jsme k závěru: „Pro všechny přirozené /? číslo A bude jednoduchý."

Výsledkem bylo nepravdivé tvrzení. Uveďme protipříklad: /7=41. Ujistěte se, že pro toto Pčíslo A bude kompozitní.

Termín „matematická indukce“ má užší význam, protože použití této metody vždy umožňuje získat správný závěr.

Příklad 5.5.4. Na základě induktivního uvažování získáme vzorec pro obecný člen aritmetické posloupnosti. Připomeňme, že aritmetická profese je číselná posloupnost, jejíž každý člen se od předchozího liší stejným číslem, které se nazývá progresivní rozdíl. Abyste mohli jednoznačně určit aritmetické povolání, musíte uvést jeho prvního člena A a rozdíl d.

Takže podle definice a n+ = a n + d, na n> 1.

Ve školním matematickém kurzu se vzorec pro obecný pojem aritmetické profese zpravidla sestavuje na základě konkrétních příkladů, tedy indukcí.

Pokud /7=1, TAK S 7| = I|, TO je I| = tf|+df(l-1).

Pokud /7=2, pak jsem 2 = a+d, to je A= I|+*/(2-1).

Jestliže /7=3, pak i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d, to znamená, I3 = I|+(3-1).

Pokud /7=4, pak i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d= R1+3 atd.

Uvedené konkrétní příklady nám umožňují předložit hypotézu: vzorec obecného pojmu má tvar A" = a+(n-)d pro všechny /7>1.

Dokažme tento vzorec matematickou indukcí.

Indukční základna ověřeno v předchozích diskuzích.

Nechat Komu - takové číslo, při kterém jsem* - a+(k-)d (indukční předpoklad).

Pojďme dokázat, to já*+! = a+((k+)-)d, tedy I*+1 = a x + kd.

Podle definice I*+1 = ab+d. a to= i | +(k-1 )d, znamená, ac+= i i +(A:-1)^/+c/ = i | +(A-1+1 )d= i + kd, což bylo to, co bylo potřeba prokázat (pro ospravedlnění indukčního přechodu).

Nyní vzorec i„ = a+(n-)d dokázáno pro libovolné přirozené číslo /;.

Nechť nějakou posloupnost i ь i 2, i, „... (ne

nutně aritmetický nebo geometrický postup). Problémy často nastávají tam, kde je potřeba shrnout první Pčleny této posloupnosti, to znamená určit součet I|+I 2 +...+I a vzorec, který vám umožní najít hodnoty tohoto součtu bez výpočtu členů posloupnosti.

Příklad 5.5.5. Dokažme, že součet prvního P přirozených čísel se rovná

/?(/7 + 1)

Součet 1+2+...+/7 označme podle S n . Pojďme najít hodnoty S n pro některé /7.

Poznámka: k nalezení součtu S 4 můžete použít dříve vypočítanou hodnotu 5 3, protože 5 4 = 5 3 +4.

p(str +1)

Pokud dosadíme uvažované hodnoty /? v termínu --- tedy

dostáváme stejné součty 1, 3, 6, 10. Tato pozorování

. _ p(p + 1)

navrhnout, že vzorec S„=--- lze použít, když

jakýkoli //. Dokažme tuto hypotézu pomocí metody matematické indukce.

Indukční základna ověřeno. Pojďme na to indukční přechod.

Předpokládatže vzorec platí pro nějaké přirozené číslo

, k(k + 1)

k, pak je síť součtem prvního Na přirozená čísla se rovná ----.

Pojďme dokázatže součet prvních (?+1) přirozených čísel je roven

• (* + !)(* + 2)

Pojďme se vyjádřit?*+1 přes S k . Abychom to udělali, v součtu S*+i seskupíme první Na termíny a poslední termín napište samostatně:

Podle indukční hypotézy S k = Tedy najít

součet prvních (?+1) přirozených čísel je dostatečný k již vypočítanému

. „ k(k + 1) _ .. ..

součet prvního Načísla rovna ---, přidejte jeden člen (k+1).

Indukční přechod je oprávněný. Tím je hypotéza vyslovená na začátku potvrzena.

Podali jsme důkaz vzorce S n = metoda n^n+

matematická indukce. Samozřejmě existují další důkazy. Můžete například napsat částku S, ve vzestupném pořadí termínů a poté v sestupném pořadí termínů:

Součet členů v jednom sloupci je konstantní (v jednom součtu se každý další člen snižuje o 1 a ve druhém se zvyšuje o 1) a je roven (/r + 1). Sečtením výsledných součtů tedy budeme mít Pčleny rovnající se (u+1). Tedy dvojnásobné množství S“ rovná n(n+ 1).

Osvědčený vzorec lze získat jako speciální případ vzorce pro součet prvního P termíny aritmetické progrese.

Vraťme se k metodě matematické indukce. Všimněte si, že první stupeň metody matematické indukce (základ indukce) je vždy nutný. Vynechání tohoto kroku může vést k nesprávnému závěru.

Příklad 5.5.6. „Dokažme“ větu: „Číslo 7"+1 je dělitelné třemi pro libovolné přirozené číslo i."

„Předpokládejme, že pro nějakou přírodní hodnotu Načíslo 7*+1 je dělitelné 3. Dokažme, že číslo 7 x +1 je dělitelné 3. Proveďte transformace:

Číslo 6 je samozřejmě dělitelné 3. Číslo 1 až + je podle indukční hypotézy dělitelné 3, což znamená, že číslo 7-(7* + 1) je také dělitelné 3. Proto rozdíl čísel dělitelných 3 bude také dělitelný 3.

Návrh se osvědčil."

Důkaz původního návrhu je nesprávný, i když je indukční skok proveden správně. Opravdu, kdy n= Máme číslo 8, s n=2 -číslo je 50, ... a žádné z těchto čísel není dělitelné 3.

Udělejme důležitou poznámku k zápisu přirozeného čísla při provádění indukčního přechodu. Při formulaci návrhu A(n) dopis P označili jsme proměnnou, místo níž lze dosadit libovolná přirozená čísla. Při formulaci induktivní hypotézy jsme hodnotu proměnné označovali písmenem Na. Velmi často však místo nového dopisu Na použijte stejné písmeno jako proměnná. To nijak neovlivňuje strukturu uvažování při provádění indukčního přechodu.

Podívejme se na několik dalších příkladů problémů, které lze vyřešit pomocí metody matematické indukce.

Příklad 5.5.7. Pojďme najít hodnotu součtu

Variabilní v úkolu P neobjevuje se. Zvažte však posloupnost pojmů:

Označme S, = a+a 2 +...+a„. najdeme S" pro některé P. Pokud /1= 1, pak S, =a, =-.

Li n= 2. pak S, = A, + A? = - + - = - = -.

Pokud /?=3, pak S-, = a,+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

Hodnoty si můžete spočítat sami S“ při /7 = 4; 5. Vzniká

přirozený předpoklad: S n= -- pro jakékoli přírodní /7. Pojďme dokázat

Jedná se o metodu matematické indukce.

Indukční základna zkontrolováno výše.

Pojďme na to indukční přechod, označující libovolně přijatý

proměnná hodnota P stejným písmenem, tedy doložíme, že z rovnosti

0 /7 _ /7 +1

S n= - následuje rovnost S, =-.

/7+1 /7 + 2

Předpokládat ta rovnost je pravdivá S= - P -.

Pojďme si to shrnout S„+ První P podmínky:

Pokud použijeme indukční hypotézu, dostaneme:

Zmenšením zlomku o (/7+1) máme rovnost S n +1 -, L

Indukční přechod je oprávněný.

To dokazuje, že součet prvního P podmínky

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...+- se rovná -. Nyní se vraťme k originálu
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

úkol. K vyřešení stačí vzít jako hodnotu Pčíslo 99.

Potom se součet -!- + -!- + -!- + ...+ --- bude rovnat číslu 0,99.

1-2 2-3 3-4 99100

Zkuste tuto částku vypočítat jiným způsobem.

Příklad 5.5.8. Dokažme, že derivace součtu libovolného konečného počtu diferencovatelných funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí.

Nechat proměnnou /? udává počet těchto funkcí. V případě, že je zadána pouze jedna funkce, rozumí se součtem právě tato funkce. Pokud tedy /7 = 1, pak je výrok zjevně pravdivý: /" = /".

Předpokládatže výrok je pravdivý pro množinu P funkce (zde opět místo písmene Na dopis převzat P), tedy derivace součtu P funkcí se rovná součtu derivací.

Pojďme dokázatže derivace součtu (i+1) funkcí je rovna součtu derivací. Vezměme libovolnou množinu sestávající z n+ diferencovatelná funkce: /1,/2, . Představme si součet těchto funkcí

tak jako g+f„+ 1, kde g = f +/g + ... +/t - součet P funkcí. U induktivní hypotézy derivace funkce G rovná se součtu derivátů: g" = ft + ft + ... +ft. Proto platí následující řetězec rovnosti:

Indukční přechod je dokončen.

Původní návrh je tedy dokázán pro libovolný konečný počet funkcí.

V některých případech je nutné dokázat pravdivost věty A(n) pro všechna přirozená já, počínaje nějakou hodnotou S. Důkaz matematickou indukcí se v takových případech provádí podle následujícího schématu.

Indukční základna. Dokazujeme, že návrh A pravda pro hodnotu P, rovnat se S.

Indukční přechod. 1) Předpokládáme, že nabídka A pravda pro nějakou hodnotu Na proměnná /?, která je větší nebo rovna S.

2) Dokazujeme, že návrh A pravda pro /? rovno

Všimněte si znovu, že místo písmene Na variabilní označení je často ponecháno P. V tomto případě indukční přechod začíná slovy: „Předpokládejme, že pro nějakou hodnotu p>sže jo A(p). Dokažme, že pak je to pravda A(n+ 1)".

Příklad 5.5.9. Dokažme, že pro všechny přirozené n> 5 nerovnost 2” > a 2 je pravdivá.

Indukční základna. Nechat n= 5. Potom 2 5 =32, 5 2 =25. Nerovnost 32>25 je pravdivá.

Indukční přechod. Předpokládatže nerovnost 2 platí P >p 2 pro nějaké přirozené číslo n> 5. Pojďme dokázat, což pak 2" +| > (n+1) 2 .

Podle vlastností stupňů 2” +| = 2-2". Protože 2">I 2 (podle indukčního předpokladu), pak 2-2">2I 2 (I).

Dokažme, že 2 n 2 větší než (i+1)2. To lze provést různými způsoby. Stačí vyřešit kvadratickou nerovnici 2x 2 >(x+) 2 v množině reálných čísel a vidět, že všechna přirozená čísla větší nebo rovna 5 jsou její řešení.

Budeme postupovat následovně. Pojďme najít rozdíl čísel 2 n 2 a (i+1) 2:

Od té doby > 5, pak i+1 > 6, což znamená (i+1) 2 > 36. Rozdíl je tedy větší než 0. Takže 2i 2 > (i+1) 2 (2).

Podle vlastností nerovnic z (I) a (2) vyplývá, že 2*2" > (i+1) 2, které bylo nutné prokázat pro ospravedlnění indukčního přechodu.

Na základě metody matematické indukce docházíme k závěru, že nerovnost 2" > i 2 platí pro všechna přirozená čísla i.

Uvažujme jinou formu metody matematické indukce. Rozdíl spočívá v indukčním přechodu. Chcete-li jej implementovat, musíte provést dva kroky:

• 1) předpokládat, že návrh A(n) true pro všechny hodnoty proměnné i menší než určité číslo R;
• 2) z předloženého předpokladu vyvodit, že návrh A(n) platí i pro čísla R.

Indukční přechod tedy vyžaduje důkaz o důsledku: [(Ui?) A(p)] => A(p). Všimněte si, že důsledek lze přepsat jako: [(Nahoru^p) A(p)] => A(p+ 1).

V původní formulaci metody matematické indukce při dokazování výroku A(p) spoléhali jsme pouze na „předchozí“ větu A(p- 1). Zde uvedená formulace metody nám umožňuje odvodit A(p), vzhledem k tomu, že všechny návrhy A(p), kde jsem míň R, jsou pravdivé.

Příklad 5.5.10. Dokažme větu: „Součet vnitřních úhlů libovolného i-gonu je roven 180°(i-2).

Pro konvexní mnohoúhelník lze větu snadno dokázat, pokud ji rozdělíte na trojúhelníky úhlopříčkami nakreslenými z jednoho vrcholu. U nekonvexního mnohoúhelníku však takový postup nemusí být možný.

Dokažme větu pro libovolný mnohoúhelník pomocí matematické indukce. Předpokládejme, že je známo následující tvrzení, které přísně vzato vyžaduje samostatný důkaz: „V každém //-gonu je úhlopříčka, která leží zcela v jeho vnitřní části.

Místo proměnné // můžete dosadit jakákoli přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna 3. For n=b Věta je pravdivá, protože v trojúhelníku je součet úhlů 180°.

Vezměme nějakých /7-gon (p> 4) a předpokládejme, že součet úhlů libovolného //-úhelníku, kde // p, je roven 180°(//-2). Dokažme, že součet úhlů //-úhelníku je roven 180°(//-2).

Nakreslete úhlopříčku //-úhelníku ležícího uvnitř. Rozdělí //-gon na dva polygony. Ať má jeden z nich Na strany, druhé - do 2 strany Pak k+k 2-2 = p, protože výsledné polygony mají společnou boční nakreslenou úhlopříčku, která není stranou původního //-gon.

Obě čísla Na A do 2 méně //. Aplikujme na výsledné mnohoúhelníky indukční předpoklad: součet úhlů A]-úhelníku je roven 180°-(?i-2) a součet úhlů? 2-gon se rovná 180°-(Ar2-2). Potom se součet úhlů //-úhelníku bude rovnat součtu těchto čísel:

180°*(Ar|-2)-n 180°(Ar2-2) = 180° (Ar,-bAr2-2-2) = 180°-(//-2).

Indukční přechod je oprávněný. Na základě metody matematické indukce je věta dokázána pro libovolný //-gon (//>3).

Opravdové poznání v každé době bylo založeno na vytvoření vzoru a prokázání jeho pravdivosti za určitých okolností. Během tak dlouhého období existence logického uvažování byly dány formulace pravidel a Aristoteles dokonce sestavil seznam „správných úvah“. Historicky bylo zvykem dělit všechny inference do dvou typů - od konkrétních k násobku (indukce) a naopak (dedukce). Je třeba poznamenat, že typy důkazů od konkrétního k obecnému a od obecného ke konkrétnímu existují pouze ve spojení a nelze je zaměňovat.

Indukce v matematice

Termín „indukce“ má latinské kořeny a je doslovně přeložen jako „vedení“. Při bližším studiu lze zvýraznit strukturu slova, konkrétně latinskou předponu - in- (označuje řízenou akci dovnitř nebo bytí uvnitř) a -dukci - úvod. Stojí za zmínku, že existují dva typy - úplná a neúplná indukce. Plná forma je charakterizována závěry vyvozenými ze studia všech objektů určité třídy.

Neúplné - závěry, které platí pro všechny předměty třídy, ale jsou učiněny na základě studia pouze některých jednotek.

Úplná matematická indukce je inference založená na obecném závěru o celé třídě libovolných objektů, které jsou funkčně spojeny vztahy přirozené řady čísel na základě znalosti tohoto funkčního spojení. V tomto případě proces dokazování probíhá ve třech fázích:

• první dokazuje správnost polohy matematické indukce. Příklad: f = 1, indukce;
• další fáze je založena na předpokladu, že pozice platí pro všechna přirozená čísla. To znamená, že f=h je indukční hypotéza;
• ve třetí fázi se prokazuje platnost polohy pro číslo f=h+1 na základě správnosti polohy předchozího bodu - jedná se o indukční přechod, neboli krok matematické indukce. Příkladem je tzv. pokud padne první kámen v řadě (základ), pak padají všechny kameny v řadě (přechod).

Jak vtipně, tak vážně

Pro snazší pochopení jsou příklady řešení pomocí metody matematické indukce uvedeny formou vtipných úloh. Toto je úkol „Polite Queue“:

• Pravidla chování zakazují muži otočit se před ženou (v takové situaci smí jít dopředu). Na základě tohoto tvrzení, pokud je poslední v řadě muž, pak jsou všichni ostatní muži.

Pozoruhodným příkladem metody matematické indukce je problém „bezrozměrného letu“:

• Je nutné prokázat, že se do mikrobusu vejde libovolný počet osob. Platí, že jeden člověk se do vozidla bez potíží vejde (základ). Ale ať je minibus jakkoli plný, vždy se do něj vejde 1 cestující (indukční schůdek).

Známé kruhy

Příklady řešení úloh a rovnic matematickou indukcí jsou zcela běžné. Jako ilustraci tohoto přístupu zvažte následující problém.

Stav: na rovině je h kruhů. Je třeba prokázat, že pro jakékoli uspořádání obrazců lze mapu, kterou tvoří, správně vybarvit dvěma barvami.

Řešení: když h=1 je pravdivost tvrzení zřejmá, tak se důkaz sestrojí pro počet kružnic h+1.

Přijměme předpoklad, že tvrzení platí pro libovolnou mapu a na rovině je h+1 kružnic. Odebráním jednoho z kruhů z celkového počtu můžete získat mapu správně vybarvenou dvěma barvami (černou a bílou).

Při obnově smazaného kruhu se barva každé oblasti změní na opačnou (v tomto případě uvnitř kruhu). Výsledkem je mapa správně vybarvená ve dvou barvách, což bylo potřeba dokázat.

Příklady s přirozenými čísly

Aplikace metody matematické indukce je názorně ukázána níže.

Příklady řešení:

Dokažte, že pro libovolné h je správná následující rovnost:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Nechť h=1, což znamená:

R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1

Z toho vyplývá, že pro h=1 je tvrzení správné.

2. Za předpokladu, že h=d, dostaneme rovnici:

R1=d2=d(d+l)(2d+l)/6=l

3. Za předpokladu, že h=d+1, vyjde:

Rd+l = (d+l) (d+2) (2d+3)/6

Rd+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Platnost rovnosti pro h=d+1 je tedy prokázána, proto tvrzení platí pro libovolné přirozené číslo, jak ukazuje příklad řešení matematickou indukcí.

Úkol

Stav: je vyžadován důkaz, že pro jakoukoli hodnotu h je výraz 7 h -1 dělitelný 6 beze zbytku.

Řešení:

1. Řekněme h=1, v tomto případě:

R 1 = 7 1 -1 = 6 (tj. děleno 6 beze zbytku)

Pro h=1 je tedy výrok pravdivý;

2. Nechť h=d a 7 d -1 dělíme 6 beze zbytku;

3. Důkazem platnosti tvrzení pro h=d+1 je vzorec:

Rd +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

V tomto případě je první člen dělitelný 6 podle předpokladu prvního bodu a druhý člen je roven 6. Tvrzení, že 7 h -1 je dělitelné 6 beze zbytku pro jakékoli přirozené h, je pravdivé.

Chyby v úsudku

Často se v důkazech používá nesprávná úvaha z důvodu nepřesnosti použitých logických konstrukcí. To se děje hlavně tehdy, když je porušena struktura a logika důkazu. Příkladem nesprávné úvahy je následující ilustrace.

Úkol

Stav: Je vyžadován důkaz, že žádná hromada kamenů není hromada.

Řešení:

1. Řekněme h=1, v tomto případě je v hromadě 1 kámen a tvrzení je pravdivé (základ);

2. Nechť pro h=d platí, že hromada kamení není hromada (předpoklad);

3. Nechť h=d+1, z čehož plyne, že při přidání jednoho kamene navíc množina nebude hromada. Závěr sám o sobě naznačuje, že předpoklad platí pro všechny přirozené h.

Chyba je v tom, že neexistuje žádná definice, kolik kamenů tvoří hromadu. Takové opomenutí se v metodě matematické indukce nazývá ukvapené zobecnění. Příklad to jasně ukazuje.

Indukce a zákony logiky

Historicky vždy „kráčí ruku v ruce“. Vědecké obory jako logika a filozofie je popisují ve formě protikladů.

Z hlediska zákona logiky se induktivní definice opírají o fakta a pravdivost premis neurčuje správnost výsledného tvrzení. Často jsou závěry získávány s určitou mírou pravděpodobnosti a věrohodnosti, což je samozřejmě nutné ověřit a potvrdit dodatečným výzkumem. Příkladem indukce v logice by bylo následující prohlášení:

V Estonsku je sucho, v Lotyšsku sucho, v Litvě sucho.

Estonsko, Lotyšsko a Litva jsou pobaltské státy. Ve všech pobaltských státech je sucho.

Z příkladu můžeme usoudit, že novou informaci nebo pravdu nelze získat metodou indukce. Jediné, s čím lze počítat, je nějaká možná pravdivost závěrů. Navíc pravdivost premis nezaručuje stejné závěry. Tato skutečnost však neznamená, že by indukce pokulhávala na hranici dedukce: pomocí indukční metody je doloženo obrovské množství ustanovení a vědeckých zákonů. Příkladem je stejná matematika, biologie a další vědy. To je většinou způsobeno metodou úplné indukce, ale v některých případech je použitelná i částečná indukce.

Úctyhodný věk indukce mu umožnil proniknout téměř do všech sfér lidské činnosti – to je věda, ekonomie a každodenní závěry.

Indukce ve vědecké komunitě

Indukční metoda vyžaduje pečlivý přístup, protože příliš mnoho závisí na počtu studovaných částí celku: čím větší je studovaný počet, tím spolehlivější je výsledek. Na základě této vlastnosti jsou vědecké zákony získané indukcí dlouhodobě testovány na úrovni pravděpodobnostních předpokladů k izolaci a studiu všech možných konstrukčních prvků, souvislostí a vlivů.

Ve vědě je induktivní závěr založen na významných rysech, s výjimkou náhodných ustanovení. Tato skutečnost je důležitá v souvislosti se specifiky vědeckého poznání. To je jasně vidět na příkladech indukce ve vědě.

Ve vědeckém světě existují dva typy indukce (v souvislosti s metodou studia):

1. indukce-selekce (nebo selekce);
2. indukce - vyloučení (eliminace).

První typ se vyznačuje metodickým (pečlivým) výběrem vzorků třídy (podtříd) z jejích různých oblastí.

Příklad tohoto typu indukce je následující: stříbro (nebo stříbrné soli) čistí vodu. Závěr vychází z mnohaletých pozorování (jakýsi výběr potvrzení a vyvrácení - selekce).

Druhý typ indukce je založen na závěrech, které zakládají kauzální vztahy a vylučují okolnosti, které neodpovídají jeho vlastnostem, a to univerzálnost, dodržení časové posloupnosti, nutnost a jednoznačnost.

Indukce a dedukce z pozice filozofie

Když se podíváme do minulosti, termín indukce poprvé zmínil Sokrates. Aristoteles popsal příklady indukce ve filozofii v přibližnějším terminologickém slovníku, ale otázka neúplné indukce zůstává otevřená. Po pronásledování aristotelského sylogismu začala být induktivní metoda uznávána jako plodná a jediná možná v přírodních vědách. Bacon je považován za otce indukce jako samostatné speciální metody, ale nepodařilo se mu oddělit indukci od metody deduktivní, jak požadovali jeho současníci.

Indukci dále rozvinul J. Mill, který uvažoval o induktivní teorii z pohledu čtyř hlavních metod: shody, rozdílu, reziduí a odpovídajících změn. Není divu, že dnes jsou uvedené metody při podrobném zkoumání deduktivní.

Uvědomění si nekonzistence teorií Bacona a Milla vedlo vědce ke studiu pravděpodobnostního základu indukce. I zde však byly určité extrémy: byly učiněny pokusy omezit indukci na teorii pravděpodobnosti se všemi z toho vyplývajícími důsledky.

Indukce získává důvěru díky praktické aplikaci v určitých oblastech a díky metrické přesnosti induktivní báze. Za příklad indukce a dedukce ve filozofii lze považovat zákon univerzální gravitace. V den objevení zákona jej Newton dokázal ověřit s přesností 4 procent. A při kontrole o více než dvě stě let později byla správnost potvrzena s přesností 0,0001 procenta, ačkoli ověření bylo provedeno stejnými induktivními zobecněními.

Moderní filozofie věnuje více pozornosti dedukce, která je diktována logickou touhou odvozovat nové znalosti (nebo pravdy) z toho, co je již známo, bez uchylování se ke zkušenosti nebo intuici, ale pomocí „čistého“ uvažování. Při odkazu na pravdivé premisy v deduktivní metodě je ve všech případech výstupem pravdivé tvrzení.

Tato velmi důležitá charakteristika by neměla zastínit hodnotu induktivní metody. Protože indukce se na základě dosažených zkušeností stává i prostředkem jejího zpracování (včetně zobecnění a systematizace).

Aplikace indukce v ekonomii

Indukce a dedukce se již dlouho používají jako metody pro studium ekonomiky a předpovídání jejího vývoje.

Rozsah použití indukční metody je poměrně široký: studium plnění prognózovaných ukazatelů (zisky, odpisy atd.) a obecné hodnocení stavu podniku; vytvoření účinné politiky podpory podnikání založené na faktech a jejich vztazích.

Stejný způsob indukce je použit v „Shewhartových mapách“, kde se za předpokladu rozdělení procesů na řízené a nekontrolovatelné uvádí, že rámec řízeného procesu je neaktivní.

Je třeba poznamenat, že vědecké zákony jsou podloženy a potvrzeny pomocí indukční metody, a protože ekonomie je věda, která často používá matematickou analýzu, teorii rizik a statistiku, není vůbec překvapivé, že indukce je na seznamu hlavních metod.

Příkladem indukce a dedukce v ekonomii je následující situace. Zvýšení ceny potravin (ze spotřebního koše) a základního zboží nutí spotřebitele přemýšlet o vznikajících vysokých nákladech ve státě (indukce). Zároveň z faktu vysokých cen lze pomocí matematických metod odvodit ukazatele růstu cen pro jednotlivé zboží nebo kategorie zboží (srážka).

Nejčastěji se k indukční metodě obracejí řídící pracovníci, manažeři a ekonomové. Aby bylo možné s dostatečnou pravdivostí předvídat vývoj podniku, tržní chování a důsledky konkurence, je nutný induktivně-deduktivní přístup k analýze a zpracování informací.

Jasný příklad indukce v ekonomii související s chybnými úsudky:

• zisk společnosti se snížil o 30 %;
  konkurenční společnost rozšířila svou produktovou řadu;
  nic jiného se nezměnilo;
• výrobní politika konkurenční firmy způsobila snížení zisku o 30 %;
• proto je třeba zavést stejnou výrobní politiku.

Tento příklad je barvitou ilustrací toho, jak nešikovné použití indukční metody přispívá ke krachu podniku.

Dedukce a indukce v psychologii

Protože existuje metoda, pak logicky existuje také správně organizované myšlení (použít metodu). Psychologie jako věda studující duševní procesy, jejich utváření, vývoj, vztahy, interakce, věnuje pozornost „deduktivnímu“ myšlení, jako jedné z forem projevu dedukce a indukce. Bohužel na stránkách psychologie na internetu neexistuje prakticky žádné ospravedlnění pro integritu deduktivně-indukční metody. Profesionální psychologové se sice častěji setkávají s projevy indukce, či spíše s chybnými závěry.

Příkladem indukce v psychologii, jako ilustrace chybných úsudků, je výrok: moje matka klame, proto všechny ženy klamou. Ze života můžete získat ještě „chybnější“ příklady indukce:

• student není schopen ničeho, pokud dostane špatnou známku z matematiky;
• je to blázen;
• on je chytrý;
• Mohu dělat cokoliv;

A mnoho dalších hodnotových soudů založených na zcela náhodných a někdy nepodstatných premisách.

Je třeba poznamenat: když klam úsudku člověka dosáhne bodu absurdity, objeví se pro psychoterapeuta hranice práce. Jeden příklad zapracování u specialisty:

„Pacient si je naprosto jistý, že červená barva je nebezpečná pouze pro něj v jakékoli podobě. V důsledku toho osoba vyloučila toto barevné schéma ze svého života - co nejvíce. Existuje mnoho příležitostí pro pohodlný pobyt doma. Všechny červené položky můžete odmítnout nebo je nahradit analogy vyrobenými v jiném barevném schématu. Ale na veřejných místech, v práci, v obchodě - to je nemožné. Když se pacient ocitne ve stresové situaci, pokaždé zažije „příliv“ zcela jiných emočních stavů, které mohou představovat nebezpečí pro ostatní.“

Tento příklad indukce a nevědomé indukce se nazývá „fixní představy“. Pokud se to stane duševně zdravému člověku, můžeme mluvit o nedostatečné organizaci duševní činnosti. Způsobem, jak se zbavit obsedantních stavů, může být elementární rozvoj deduktivního myšlení. V jiných případech s takovými pacienty pracují psychiatři.

Výše uvedené příklady indukce naznačují, že „neznalost zákona vás nezbavuje důsledků (chybných rozsudků).

Psychologové, kteří se zabývají tématem deduktivního myšlení, sestavili seznam doporučení, která mají lidem pomoci tuto metodu zvládnout.

Prvním bodem je řešení problémů. Jak je vidět, formu indukce používanou v matematice lze považovat za „klasickou“ a použití této metody přispívá k „kázni“ mysli.

Další podmínkou rozvoje deduktivního myšlení je rozšíření obzorů (jasně myslící se vyjadřují jasně). Toto doporučení směřuje „utrpení“ do pokladnic vědy a informací (knihovny, webové stránky, vzdělávací iniciativy, cestování atd.).

Zvláštní zmínku je třeba věnovat takzvané „psychologické indukci“. Tento termín, i když ne často, lze najít na internetu. Všechny zdroje neuvádějí alespoň stručnou formulaci definice tohoto pojmu, ale odkazují na „příklady ze života“, přičemž se za nový typ indukce vydává buď sugesce, nebo některé formy duševních chorob nebo extrémní stavy lidská psychika. Ze všeho výše uvedeného je zřejmé, že pokus odvodit „nový termín“ založený na falešných (často nepravdivých) premisách odsuzuje experimentátora k získání chybného (nebo unáhleného) tvrzení.

Nutno podotknout, že odkaz na pokusy z roku 1960 (bez uvedení místa, jmen experimentátorů, vzorku subjektů a hlavně účelu experimentu) vypadá mírně řečeno nepřesvědčivě a tvrzení, že mozek vnímá informace obchází všechny orgány vnímání (sousloví „je ovlivněn“ by v tomto případě zapadalo více organicky), nutí k zamyšlení nad důvěřivostí a nekritičností autora výroku.

Místo závěru

Ne nadarmo královna věd, matematika, využívá všechny možné rezervy metody indukce a dedukce. Uvažované příklady nám umožňují dojít k závěru, že povrchní a nešikovné (jak se říká bezmyšlenkovitě) aplikace i těch nejpřesnějších a nejspolehlivějších metod vždy vede k chybným výsledkům.

V masovém vědomí je metoda dedukce spojována se slavným Sherlockem Holmesem, který ve svých logických konstrukcích častěji využívá příklady indukce, využívající dedukce ve správných situacích.

Článek zkoumal příklady aplikace těchto metod v různých vědách a oblastech lidské činnosti.

Ministerstvo školství Saratovské oblasti

Saratovská státní sociálně-ekonomická univerzita

Krajská soutěž matematických a počítačových prací školáků

„Vektor budoucnosti – 2007“

„Metoda matematické indukce.

Jeho aplikace na řešení algebraických problémů"

(sekce "matematika")

Kreativní práce

studenti třídy 10A

Městský vzdělávací ústav "Gymnázium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Harutyunyan Gayane.

vedoucí práce:

učitel matematiky

Grishina Irina Vladimirovna.

Saratov

2007

Úvod……………………………………………………………………………………… 3

Princip matematické indukce a jeho

důkaz ……………………………………………………………………………………………….. 4

Příklady řešení problémů………………………………………………………………..9

Závěr………………………………………………………………………………………………………..16

Literatura……………………………………………………………………………………………… 17

Úvod.

Metodu matematické indukce lze přirovnat k pokroku. Začínáme od nejnižšího a v důsledku logického myšlení se dostáváme k tomu nejvyššímu. Člověk odjakživa usiloval o pokrok, o schopnost logického rozvoje svých myšlenek, což znamená, že sama příroda ho předurčila k tomu, aby myslel induktivně a podporoval své myšlenky důkazy provedenými podle všech pravidel logiky.
V současné době se rozsah aplikace metody matematické indukce rozrostl, ale bohužel je jí ve školních osnovách věnováno málo času. Ale je tak důležité umět myslet induktivně.

Princip matematické indukce a její důkaz

Vraťme se k podstatě metody matematické indukce. Podívejme se na různá prohlášení. Lze je rozdělit na obecné a specifické Uveďme příklady obecných tvrzení.

Všichni ruští občané mají právo na vzdělání.

V každém rovnoběžníku jsou úhlopříčky v průsečíku půleny.

Všechna čísla končící nulou jsou dělitelná 5.

Relevantní příklady konkrétních prohlášení:

Petrov má právo na vzdělání.

V rovnoběžníku ABCD se úhlopříčky protínají v průsečíku.

140 je dělitelné 5.

Přechod od obecných tvrzení ke konkrétním se nazývá dedukce (z lat odpočet - závěr podle pravidel logiky).

Podívejme se na příklad deduktivní inference.

Všichni ruští občané mají právo na vzdělání. (1)

Petrov je ruský občan. (2)

Petrov má právo na vzdělání. (3)

Z obecného tvrzení (1) se pomocí (2) získá konkrétní tvrzení (3).

Opačný přechod od konkrétních výroků k obecným se nazývá indukce (z lat indukce - vedení).

Indukce může vést ke správným i nesprávným závěrům.

Vysvětleme si to na dvou příkladech.

140 je dělitelné 5. (1)

Všechna čísla končící nulou jsou dělitelná 5. (2)

140 je dělitelné 5. (1)

Všechna trojciferná čísla jsou dělitelná 5. (2)

Z konkrétního výroku (1) se získá obecný výrok (2). Tvrzení (2) je správné.

Druhý příklad ukazuje, jak lze obecný výrok (3) získat z konkrétního výroku (1), ačkoli výrok (3) není pravdivý.

Položme si otázku, jak využít indukci v matematice, abychom získali pouze správné závěry. Podívejme se na několik příkladů indukce, která je v matematice nepřijatelná.

Příklad 1.

Uvažujme kvadratický trinom následujícího tvaru P(x) = x 2 + x + 41, kterého si všiml Leonard Euler.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9) = 131, P(10) = 151.

Vidíme, že pokaždé je hodnota trojčlenu prvočíslo. Na základě získaných výsledků tvrdíme, že při dosazení x do uvažovaného trinomu, Jakékoli nezáporné celé číslo má vždy za následek prvočíslo.

Vyvozený závěr však nelze považovat za spolehlivý. Co se děje? Jde o to, že zdůvodnění činí obecná tvrzení týkající se libovolného x pouze na základě toho, že se toto tvrzení ukázalo jako pravdivé pro některé hodnoty x.

Ve skutečnosti při bližším zkoumání trinomu P(x) jsou čísla P(0), P(1), ..., P(39) prvočísla, ale P(40) = 41 2 je složené číslo. . A zcela jasně: P(41) = 41 2 +41+41 je násobek 41.

V tomto příkladu jsme se setkali s tvrzením, které bylo pravdivé ve 40 speciálních případech, a přesto se ukázalo jako obecně nespravedlivé.

Podívejme se na několik dalších příkladů.

Příklad 2

V 17. století V.G. Leibniz dokázal, že pro každé přirozené číslo je n čísel tvaru n 3 - n násobky 3, n 5 - n jsou násobky 5, n 7 - n jsou násobky 7. Na základě toho navrhl, že pro každé liché k a přirozené číslo n číslo n k - n je násobkem k, ale brzy si všiml, že 2 9 –2 = 510, což samozřejmě není dělitelné 9.

Uvažované příklady nám umožňují vyvodit důležitý závěr: prohlášení může být spravedlivé v řadě zvláštních případů a zároveň nespravedlivé obecně.

Přirozeně se nabízí otázka: existuje tvrzení, které platí v několika speciálních případech; je nemožné vzít v úvahu všechny zvláštní případy; Jak víte, zda je toto tvrzení vůbec pravdivé?

Tato otázka může být někdy vyřešena použitím speciální metody uvažování nazývané metoda matematické indukce. Tato metoda je založena na princip matematické indukce, uzavřený takto: tvrzení platí pro libovolné přirozené číslo n, pokud:

platí pro n = 1;

z platnosti tvrzení pro nějaké libovolné přirozené číslo n =k vyplývá, že platí pro n = k +1.

Důkaz.

Předpokládejme opak, tedy ať tvrzení neplatí pro každé přirozené číslo n. Pak existuje přirozené číslo m takové, že

tvrzení pro n = m není pravdivé,

pro všechny n

Je zřejmé, že m >1, protože pro n = 1 je tvrzení pravdivé (podmínka 1). Proto je m -1 přirozené číslo. Pro přirozené číslo m -1 je tvrzení pravdivé, ale pro další přirozené číslo m neplatí. To je v rozporu s podmínkou 2. Výsledný rozpor ukazuje, že předpoklad je nesprávný. V důsledku toho tvrzení platí pro jakékoli přirozené číslo n atd.

Důkaz založený na principu matematické indukce se nazývá důkaz matematickou indukcí. Takový důkaz by se měl skládat ze dvou částí, z důkazu dvou nezávislých vět.

Věta 1. Příkaz platí pro n =1.

Věta 2. Tvrzení platí pro n =k +1, platí-li pro n=k, kde k je libovolné přirozené číslo.

Pokud jsou obě tyto věty prokázány, pak na základě principu matematické indukce platí tvrzení pro všechny
přírodní n.

Je třeba zdůraznit, že důkaz matematickou indukcí jistě vyžaduje důkaz obou vět 1 a 2. Zanedbání věty 2 vede k nesprávným závěrům (příklady 1-2). Ukažme si na příkladu, jak potřebný je důkaz věty 1.

Příklad 3. „Věta“: každé přirozené číslo se rovná dalšímu přirozenému číslu.

Důkaz provedeme metodou matematické indukce.

Předpokládejme, že k =k +1 (1).

Dokažme, že k +1=k +2 (2). Chcete-li to provést, přidejte ke každé části „rovnosti“ (1) 1. Dostaneme „rovnost“ (2). Ukazuje se, že platí-li tvrzení pro n =k, pak platí i pro n =k +1. atd.

Zřejmý „důsledek“ „teorému“: všechna přirozená čísla jsou si rovna.

Chyba je v tom, že věta 1, nezbytná pro aplikaci principu matematické indukce, nebyla prokázána a není pravdivá a byla prokázána pouze věta druhá.

Věty 1 a 2 mají zvláštní význam.

Věta 1 poskytuje základ pro indukci. Věta 2 dává právo na neomezené automatické rozšiřování této základny, právo přejít z tohoto konkrétního případu do dalšího, z n na n +1.

Pokud věta 1 nebyla prokázána, ale věta 2 byla prokázána, pak v důsledku toho nebyl vytvořen základ pro provádění indukce, a pak nemá smysl aplikovat větu 2, protože ve skutečnosti není co rozšířit.

Pokud není dokázána věta 2, ale je dokázána pouze věta 1, pak, přestože byl vytvořen základ pro provedení indukce, není právo tento základ rozšiřovat.

Poznámky.

Někdy je druhá část důkazu založena na platnosti tvrzení nejen pro n =k, ale i pro n =k -1. V tomto případě musí být tvrzení v první části ověřeno pro dvě následující hodnoty n.

Někdy se tvrzení dokazuje ne pro každé přirozené číslo n, ale pro n > m, kde m je nějaké celé číslo. V tomto případě je v první části důkazu tvrzení ověřeno pro n = m +1, a pokud je to nutné, pak pro několik následujících hodnot n.

Abychom shrnuli, co bylo řečeno, máme: metoda matematické indukce umožňuje při hledání obecného zákona testovat hypotézy, které vyvstávají, zavrhovat nepravdivé a potvrzovat pravdivé.

Každý zná roli procesů zobecňování výsledků jednotlivých pozorování a experimentů (tedy indukce) pro empirické, experimentální vědy. Matematika byla dlouho považována za klasický příklad implementace čistě deduktivních metod, protože se vždy implicitně nebo explicitně předpokládá, že všechny matematické výroky (kromě těch, které jsou brány jako výchozí - axiomy) jsou prokázány, a konkrétní aplikace těchto výroků jsou odvozeny od důkazy vhodné pro obecné případy (dedukce).

Co znamená indukce v matematice? Má být chápána jako ne zcela spolehlivá metoda a jak bychom měli hledat kritérium spolehlivosti takových indukčních metod? Nebo je spolehlivost matematických závěrů stejné povahy jako experimentální zobecnění experimentálních věd, takže by bylo hezké „prověřit“ jakýkoli prokázaný fakt? Ve skutečnosti tomu tak není.

Indukce (vedení) k hypotéze hraje v matematice velmi důležitou, ale čistě heuristickou roli: umožňuje odhadnout, jaké by mělo být řešení. Ale matematické výroky jsou stanoveny pouze deduktivně. A metoda matematické indukce je čistě deduktivní metodou důkazu. Důkaz prováděný touto metodou se ve skutečnosti skládá ze dvou částí:

tzv. „základ“ je deduktivním důkazem požadovaného tvrzení pro jedno (nebo několik) přirozených čísel;

induktivní krok sestávající z deduktivního důkazu obecného tvrzení. Věta je přesně prokázána pro všechna přirozená čísla. Ze základu dokázaného např. pro číslo 0 získáme induktivním krokem důkaz pro číslo 1, pak stejným způsobem pro 2, pro 3 ... - a tak lze tvrzení doložit pro libovolné přirozené číslo.

Jinými slovy, název „matematická indukce“ je způsoben tím, že tato metoda je v našich myslích prostě spojena s tradičním induktivním uvažováním (ostatně základ je skutečně prokázán pouze pro konkrétní případ); induktivní krok, na rozdíl od kritérií věrohodnosti induktivních inferencí založených na zkušenostech v přírodních a společenských vědách, je obecným tvrzením, které nevyžaduje žádné konkrétní předpoklady a je prokázáno podle přísných kánonů deduktivního uvažování. Proto se matematická indukce nazývá „úplná“ nebo „dokonalá“, protože jde o deduktivní, zcela spolehlivou metodu důkazu.

Příklady řešení problémů

Indukce v algebře

Podívejme se na několik příkladů algebraických úloh a také na důkaz různých nerovnic, které lze vyřešit pomocí metody matematické indukce.

Problém 1. Uhodněte vzorec pro součet a dokažte ho.

A( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Řešení.

1. Transformujte výraz pro součet A(n):

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = B(n) + C(n), kde B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3, C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Uvažujme součty C (n) a B (n).

a) C( n) = 1 2 + 2 2 +…+ n2. Jedním z často se vyskytujících problémů pomocí metody matematické indukce je dokázat, že pro libovolné přirozené číslo n platí rovnost

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Předpokládejme, že (1) platí pro všechna n  N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n3. Podívejme se, jak se mění hodnoty B(n) v závislosti na n.

B(1) = 13 = 1.

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Dá se tedy předpokládat, že
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) V důsledku toho pro součet A(n), který dostaneme

A( n) = =

= (*)

3. Dokažme výsledný vzorec (*) metodou matematické indukce.

a) zkontrolujte platnost rovnosti (*) pro n = 1.

A(1) = 2  =2,

Je zřejmé, že vzorec (*) pro n = 1 je správný.

b) předpokládejme, že vzorec (*) platí pro n=k, kde k N, tedy rovnost je splněna

A(k)=

Na základě předpokladu dokážeme platnost vzorce pro n =k +1. Opravdu,

A(k+1)=

Protože vzorec (*) platí pro n =1 a z předpokladu, že platí pro nějaké přirozené k, vyplývá, že platí pro n =k +1, na základě principu matematické indukce docházíme k závěru, že rovnost

platí pro libovolné přirozené číslo n.

Úkol 2.

Vypočítejte součet 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

Řešení.

Zapišme postupně hodnoty součtů pro různé hodnoty n.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Pozorováním vzoru můžeme předpokládat, že A (n)= - pro sudé n a A (n)=
pro liché n. Pojďme spojit oba výsledky do jediného vzorce:

A(n) =
, kde r je zbytek, když n je děleno 2.

A r , jasně určeno následujícím pravidlem

0 pokud n – sudé,

r =

1 pokud n – liché.

Pak r(můžete hádat) může být reprezentováno jako:

Nakonec získáme vzorec pro A(n):

A(n)=

(*)

Dokažme, že pro všechna n platí rovnost (*).  N metodou matematické indukce.

2. a) Zkontrolujme rovnost (*) pro n =1. A(1) = 1=

Rovnost je spravedlivá

b) Předpokládejme, že rovnost

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

pravda kdy n = k. Dokažme, že to platí i pro n =k +1, tzn

A (k +1)=

Vskutku,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Metoda matematické indukce se používá i k řešení úloh dělitelnosti.

Úkol 3.

Dokažte, že číslo N (n)=n 3 + 5n je pro libovolné přirozené číslo n dělitelné 6.

Důkaz.

Na n =1 číslo N (1)=6 a tvrzení je tedy pravdivé.

Nechť je pro nějaké přirozené k číslo N (k )=k 3 +5k dělitelné 6. Dokažme, že N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) je dělitelné číslem 6. Opravdu, máme
N(k+1)= (k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k (k+1)+6.

Protože k a k +1 jsou sousední přirozená čísla, pak je jedno z nich nutně sudé, takže výraz 3k (k +1) je dělitelný 6. Dostaneme tedy, že N (k +1) je také dělitelné 6. Závěr číslo N (n )=n 3 + 5n je pro libovolné přirozené číslo n dělitelné 6.

Uvažujme o řešení složitějšího problému dělitelnosti, kdy je třeba několikrát použít metodu úplné matematické indukce.

Úkol 4.

Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo je n číslo
není dělitelné číslem 2 n +3.

Důkaz.

Pojďme si to představit
v podobě díla
=

= (*)

Za předpokladu, že první faktor v (*) není dělitelný číslem 2 k +3, tedy v reprezentaci složeného čísla
jako součin prvočísel se číslo 2 neopakuje více než (k +2) krát. Tedy dokázat, že číslo
není dělitelné 2 k +4 , musíme to dokázat
není dělitelné 4.

Abychom toto tvrzení dokázali, doložíme pomocné tvrzení: pro libovolné přirozené číslo n není číslo 3 2 n +1 dělitelné 4. Pro n = 1 je tvrzení zřejmé, protože 10 není beze zbytku dělitelné 4 . Za předpokladu, že 3 2 k +1 není dělitelné 4, dokážeme, že ani 3 2(k +1) +1 není dělitelné
o 4. Uveďme poslední výraz jako součet:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k*9+1=(32k+1)+8*32k. Druhý člen součtu je dělitelný 4, ale první člen dělitelný není. Celá částka tedy není beze zbytku dělitelná 4. Pomocné tvrzení je prokázáno.

Teď už je to jasné
není dělitelné 4, protože 2 k je sudé číslo.

Nakonec zjistíme, že číslo
není pro žádné přirozené číslo n dělitelné číslem 2 n +3.

Podívejme se nyní na příklad použití indukce na důkaz nerovností.

Úkol 5.

Pro jaké přirozené n platí nerovnost 2 n > 2n + 1?

Řešení.

1. Kdy n = 121< 2*1+1,

na n = 2 2 2< 2*2+1,

na n = 3 2 3 > 2*3+1,

na n = 424 > 2*4+1.

Nerovnice zřejmě platí pro libovolné přirozené číslo n  3. Dokažme toto tvrzení.

2. Kdy n =3 platnost nerovnosti již byla prokázána. Nyní nechť platí nerovnost pro n =k, kde k je nějaké přirozené číslo ne menší než 3, tzn.

2 k > 2 000 +1 (*)

Dokažme, že pak nerovnost platí i pro n =k +1, tedy 2 k +1 >2(k +1)+1. Vynásobíme (*) 2, dostaneme 2k +1 >4k +2. Porovnejme výrazy 2(k +1)+1 a 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Je zřejmé, že 2k -1>0 pro jakékoli přirozené k. Potom 4k +2>2(k +1)+1, tzn. 2k +1 >2(k +1)+1. Výrok byl prokázán.

Úkol 6.

Nerovnice pro aritmetický průměr a geometrický průměr n nezáporných čísel (Cauchyho nerovnost)., dostaneme =

Pokud alespoň jedno z čísel
je rovna nule, pak platí i nerovnost (**).

Závěr.

Při práci jsem studoval podstatu metody matematické indukce a její důkaz. Práce uvádí problémy, ve kterých hrála hlavní roli neúplná indukce vedoucí ke správnému řešení a následně je uveden důkaz získaný metodou matematické indukce.

Literatura.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Přednášky a úlohy v elementární matematice; Věda, 1974.

Vilenkin N.Ya. , Shvartburd S.I. Matematická analýza.-
M.: Vzdělávání, 1973.

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium kurzu algebry a matematické analýzy - M.: Education, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra a analýza elementárních funkcí - M.: Nauka, 1980.

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. O matematické indukci - M.: Nauka, 1967.