Ethnowissenschaft
Untersuchung der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Aufgaben mit Parametern. Forschungsarbeit: Lage der Wurzeln des Quadrattrinoms

Untersuchung der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Aufgaben mit Parametern. Forschungsarbeit: Lage der Wurzeln des Quadrattrinoms

Quadratische Gleichungen mit Parametern

(Methodische Entwicklung für Schüler der Klassen 9-11)

Mathematiklehrer der höchsten Qualifikationskategorie,

Stellvertretender Direktor für Personalwesen

Megion 2013

Vorwort

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Anwendung des Satzes von Vieta

Wissenschaftliche Arbeit" href="/text/category/nauchnie_raboti/" rel="bookmark">die wissenschaftliche Arbeit eines Studenten. Probleme mit Parametern enthalten viele Techniken, die nicht nur für die mathematische Entwicklung des Einzelnen, sondern auch für jede andere wissenschaftliche Forschung notwendig sind. Daher ist das Lösen von Problemen mit Parametern und insbesondere das Lösen quadratischer Gleichungen mit Parametern Propädeutik Forschungsarbeiten der Studierenden. Beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik (häufig Aufgaben C5), beim Staatsexamen (Aufgaben von Teil 2) und bei Aufnahmeprüfungen gibt es hauptsächlich zwei Arten von Problemen mit Parametern. Erstens: „Finden Sie für jeden Parameterwert alle Lösungen einer Gleichung oder Ungleichung.“ Zweitens: „Finden Sie alle Werte des Parameters, für die jeweils bestimmte Bedingungen für eine gegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllt sind.“ Dementsprechend unterscheiden sich die Antworten auf Probleme dieser beiden Arten im Wesentlichen. Die Antwort auf ein Problem erster Art listet alle möglichen Werte des Parameters auf und für jeden dieser Werte werden die Lösungen der Gleichung geschrieben. Die Antwort auf eine Aufgabe des zweiten Typs gibt alle Parameterwerte an, unter denen die in der Aufgabe angegebenen Bedingungen erfüllt sind.

Der Lösung von Parameterproblemen wird in der Schule bekanntlich nur sehr wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Daher bereitet die Lösung von Problemen mit Parametern den Studierenden immer große Schwierigkeiten; Es ist schwer zu erwarten, dass Studierende, deren Ausbildung keine „parametrische Therapie“ beinhaltete, solche Aufgaben in der rauen Atmosphäre einer Auswahlprüfung erfolgreich bewältigen können; daher müssen sich Studierende speziell auf ein „Treffen mit Parametern“ vorbereiten. Viele Studierende empfinden den Parameter als „normale“ Zahl. Tatsächlich kann bei einigen Problemen ein Parameter als konstanter Wert betrachtet werden, dieser konstante Wert nimmt jedoch unbekannte Werte an. Daher ist es notwendig, das Problem für alle möglichen Werte dieser Konstante zu betrachten. Bei anderen Problemen kann es sinnvoll sein, eine der Unbekannten künstlich als Parameter zu deklarieren.

Probleme mit Parametern haben diagnostischen und prognostischen Wert – mit Hilfe von Problemen mit Parametern können Sie Kenntnisse in den Hauptbereichen der Schulmathematik, das Niveau des mathematischen und logischen Denkens, erste Forschungsfähigkeiten und vor allem vielversprechende Möglichkeiten zur erfolgreichen Beherrschung testen Mathematikkurs einer bestimmten Universität.

Eine Analyse der Varianten des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik und der Aufnahmeprüfungen an verschiedenen Universitäten zeigt, dass die meisten der vorgeschlagenen Probleme mit Parametern mit der Lage der Wurzeln des Quadrattrinoms zusammenhängen. Als wichtigstes Problem im schulischen Mathematikunterricht bildet die quadratische Funktion eine breite Klasse von Problemen mit Parametern, die in Form und Inhalt unterschiedlich sind, aber durch eine gemeinsame Idee verbunden sind – ihre Lösung basiert auf den Eigenschaften der quadratischen Funktion. Bei der Lösung solcher Probleme empfiehlt es sich, mit drei Modelltypen zu arbeiten:

1. verbale Modell – verbale Beschreibung der Aufgabe;

2. geometrisches Modell – Skizze eines Graphen einer quadratischen Funktion;

3. analytisches Modell – ein Ungleichungssystem, mit dessen Hilfe ein geometrisches Modell beschrieben wird.

Das Methodenhandbuch enthält Theoreme über die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms (notwendige und ausreichende Bedingungen für die Lage der Wurzeln einer quadratischen Funktion relativ zu gegebenen Punkten), die Anwendung des Satzes von Vieta zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Parametern. Es werden detaillierte Lösungen zu 15 Problemen mit methodischen Empfehlungen bereitgestellt. Der Zweck dieses Handbuchs besteht darin, Absolventen und Mathematiklehrern bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und das Staatsexamen in Mathematik sowie auf die Hochschulaufnahmeprüfung in Form eines Tests oder in traditioneller Form zu helfen.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - liegt rechts von der Geraden x = n (Bedingung xb>n );

3. Die Parabel schneidet die Gerade x = n in einem Punkt, der für a>0 in der oberen Halbebene liegt, und in einem Punkt, der für a in der unteren Halbebene liegt<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Satz 10. Quadratische Gleichungen x2 + p1x + q1 = 0 und x2 + p2x + q2 = 0,

deren Diskriminanten nicht negativ sind, haben genau dann mindestens eine gemeinsame Wurzel, wenn (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Nachweisen.

Sei f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 und die Zahlen x1, x2 sind die Wurzeln der Gleichung f1(x) = 0. Damit die Gleichungen f1(x) = 0 und f2( x) = 0 mindestens eine gemeinsame Wurzel haben, ist es notwendig und ausreichend, dass f1(x)∙f2(x) = 0, also (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2 ) = 0 Stellen wir die letzte Gleichheit in der Form dar

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Da x12 + p1x1 + q1 = 0 und x22 + p1x2 + q1 = 0, erhalten wir

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, d.h.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Nach dem Satz von Vieta x1 +x2 = - p1 und x1x2 =q1; somit,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 – p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, oder

(q2 – q1)2 = (p2 – p1)((q2 – q1)p1 – (p2 – p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), was bewiesen werden musste.

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Quadratische Gleichung Axt 2 + bx + C = 0

1) hat genau dann zwei echte positive Wurzeln, wenn die folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

2) hat genau dann zwei reelle negative Wurzeln, wenn die folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

3) hat genau dann zwei reelle Wurzeln unterschiedlichen Vorzeichens, wenn die folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

4) hat zwei reelle Wurzeln mit demselben Vorzeichen, wenn

Hinweis 1. Wenn der Koeffizient bei X Da 2 einen Parameter enthält, muss der Fall analysiert werden, wenn er Null wird.

Bemerkung 2. Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ein perfektes Quadrat ist, ist es zunächst bequemer, explizite Ausdrücke für ihre Wurzeln zu finden.

Bemerkung 3. Wenn eine Gleichung, die mehrere Unbekannte enthält, in Bezug auf eine davon quadratisch ist, liegt der Schlüssel zur Lösung des Problems häufig in der Untersuchung ihrer Diskriminante.

Lassen Sie uns ein Schema zur Untersuchung von Problemen im Zusammenhang mit der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms vorstellenF(X) = Axt2 + bx + C:

1. Untersuchung des Falles a = o (wenn der erste Koeffizient von den Parametern abhängt).

2. Finden der Diskriminante D im Fall a≠0.

3. Wenn D ein vollständiges Quadrat eines Ausdrucks ist, finden Sie die Wurzeln x1, x2 und befolgen Sie die Bedingungen des Problems.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Beispiele für die Lösung von Problemen zur Vorbereitung auf das Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik

Beispiel 1. Löse die Gleichung ( A - 2)X 2 – 2Axt + 2A – 3 = 0.

Lösung. Betrachten wir zwei Fälle: a = 2 und a ≠ 2. Im ersten Fall hat die ursprüngliche Gleichung die Form - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Für a = 1 oder a = 6 ist die Diskriminante Null und die quadratische Gleichung hat eine Wurzel: , d. h. für a = 1 erhalten wir die Wurzel , und für a = 6 – die Wurzel.

Um 1< A < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">die Gleichung hat keine Wurzeln; für a = 1 hat die Gleichung eine Wurzel X= -1; bei Die Gleichung hat zwei Wurzeln ; bei A= 2 die Gleichung hat eine einzelne Wurzel; bei A= 6 hat die Gleichung eine einzige Wurzel.

Beispiel 2. Bei welchem Parameterwert A Die gleichung ( A - 2)X 2 + (4 – 2A)X Hat + 3 = 0 eine einzige Wurzel?

Lösung . Wenn A= 2, dann wird die Gleichung linear∙ X+ 3 = 0; das keine Wurzeln hat.

Wenn A≠ 2, dann ist die Gleichung quadratisch und hat eine einzelne Wurzel mit einer Diskriminante von Null D.

D= 0 bei A 1 = 2 und A 2 = 5. Bedeutung A= 2 ist ausgeschlossen, da es der Bedingung widerspricht, dass die ursprüngliche Gleichung quadratisch ist.

Antwort : A = 5.

(A - 1)X 2 + (2A + 3)X + A+ 2 = 0 hat Wurzeln mit demselben Vorzeichen?

Lösung. Da die betrachtete Gleichung gemäß den Bedingungen des Problems quadratisch ist, bedeutet dies A≠ 1. Offensichtlich setzt die Problembedingung auch die Existenz von Wurzeln der quadratischen Gleichung voraus, was bedeutet, dass die Diskriminante nicht negativ ist

D = (2A + 3)2 – 4(A - 1)(A + 2) = 8A + 17.

Denn je nach Bedingung müssen die Wurzeln dann die gleichen Vorzeichen haben X 1∙X 2 > 0, d. h..png" width="149" height="21 src=">. Vorbehaltlich der Bedingungen D≥ 0 und A≠ 1 erhalten wir https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Beispiel 3. Finden Sie alle Werte von a, für die die Gleichung x2 – 2(a – 1)x + (2a + 1) = 0 zwei positive Wurzeln hat.

Lösung. Nach dem Satz von Vieta ist es notwendig und ausreichend, dass die Diskriminante des quadratischen Trinoms x2 – 2(a – 1)x + (2a + 1) nicht positiv ist, damit beide Wurzeln x1 und x2 einer gegebenen Gleichung positiv sind. negativ, und das Produkt x1∙x2 und die Summe x1 + x2 waren positiv. Wir finden, dass das System allesamt zufriedenstellend ist

Und nur sie sind Lösungen für das Problem. Dieses System entspricht dem System

Die Lösung und damit das Problem selbst sind alle Zahlen aus dem Intervall
, Das
Kehren wir zu Beispiel 1 zurück: Finden Sie alle Werte des Parameters c, für die beides gilt
die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2+4сх+(1−2с+4с2)=0 sind unterschiedlich und
kleiner als – 1. (Zur Lösung ist es notwendig, die Anweisung zu verwenden
1.)
Beispiel 2: Für welche reellen Werte von k sind beide Wurzeln (einschließlich
Vielfaches) der Gleichung (1 + k)x2 – 3kx + 4k = 0 ist größer als 1? (Für Lösungen
Es ist notwendig, Aussage 3 zu verwenden.)
II. Verstärkung des abgedeckten Materials. Praktische Arbeit in
Gruppen.
1. Gruppe:
1. Bei welchen Werten von k liegt die Zahl 2 zwischen den Wurzeln der 2x2-Gleichung
1
2 x + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. Bei welchen Werten des Parameters a liegen beide Wurzeln der Gleichung x2 – ax + 2 = 0
im Intervall (0; 3) liegen?

Gruppe 2:
1. Bei welchen Werten von k liegt die Zahl 3 zwischen den Wurzeln der Gleichung x2
+
x + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Gibt es Werte des Parameters a, so dass die Wurzeln der Gleichung x2 + sind
2x + a = 0 liegen zwischen – 1 und 1?
Gruppe 3:
1. Finden Sie die Wertemenge des Parameters k, wenn die Zahl 2 ist
zwischen den Wurzeln der Gleichung 9x2 – 6x – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. Bei welchen Werten des Parameters a liegen alle Lösungen der Gleichung (a – 1)x2 – (a +
1)x + a = 0 hat eine eindeutige Lösung, die die Bedingung 0 erfüllt<
X< 3?
III. Hausafgaben.
1. Bei welchen Werten des Parameters a liegen beide Wurzeln der Gleichung (a + 4)x2 – 2(a +
2)x + 3(a + 6) = 0 positiv?
2. Bei welchen Werten des Parameters a liegen beide Wurzeln der Gleichung (a – 3)x2 – 3(a –
4)x + 4a – 16 = 0 zum Intervall (2; 5) gehören?
3. Bei welchen Werten des Parameters a liegt eine der Wurzeln der Gleichung 2ax2 – 2x –
3a – 2 = 0 ist größer als 1 und der andere ist kleiner als 1?

Bei welchem Wert des Parameters a liegt eine Wurzel der Gleichung?

ist mehr als 1 und der andere ist kleiner als 1?

Betrachten Sie die Funktion -

Ziel der Arbeit:

Untersuchung aller möglichen Merkmale der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms relativ zu einem gegebenen Punkt und relativ zu einem gegebenen Segment basierend auf den Eigenschaften der quadratischen Funktion und grafischen Interpretationen.
Anwendung der untersuchten Eigenschaften bei der Lösung nicht standardmäßiger Probleme mit einem Parameter.

Aufgaben:

Studieren Sie verschiedene Methoden zur Lösung von Problemen, die auf der Untersuchung der Lage der Wurzeln eines Quadrattrinoms mithilfe einer grafischen Methode basieren.
Begründen Sie alle möglichen Merkmale der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und entwickeln Sie theoretische Empfehlungen zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme mit einem Parameter.
Beherrschen Sie eine Reihe technischer und intellektueller mathematischer Fähigkeiten und lernen Sie, diese bei der Lösung von Problemen einzusetzen.

Hypothese:

Die Verwendung der grafischen Methode bei nicht-traditionellen Problemen mit einem Parameter vereinfacht mathematische Berechnungen und ist eine rationale Lösungsmethode.