Ethnowissenschaft
So lösen Sie quadratische trigonometrische Gleichungen. Trigonometrische Gleichungen

So lösen Sie quadratische trigonometrische Gleichungen. Trigonometrische Gleichungen

Beim Lösen vieler mathematische Probleme Insbesondere bei solchen, die vor der 10. Klasse stattfinden, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Zu solchen Problemen gehören beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, gebrochene Gleichungen und Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden. Das Prinzip für die erfolgreiche Lösung jedes der genannten Probleme lautet wie folgt: Sie müssen feststellen, welche Art von Problem Sie lösen, sich die notwendige Abfolge von Aktionen merken, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. h. Antworten Sie und befolgen Sie diese Schritte.

Es ist offensichtlich, dass Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon abhängt, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird und wie korrekt die Reihenfolge aller Phasen ihrer Lösung reproduziert wird. Natürlich ist in diesem Fall die Fähigkeit erforderlich, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Anders verhält es sich mit trigonometrische Gleichungen. Es ist überhaupt nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Es treten Schwierigkeiten auf, die Reihenfolge der Aktionen zu bestimmen, die zur richtigen Antwort führen würden.

Es ist manchmal schwierig, den Typ anhand des Aussehens einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

1. Alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf „die gleichen Winkel“ bringen;
2. Bringen Sie die Gleichung auf „identische Funktionen“;
3. Faktorisieren Sie die linke Seite der Gleichung usw.

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Drücken Sie eine trigonometrische Funktion anhand bekannter Komponenten aus.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung in algebraischer Form in Bezug auf eine der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare Gleichung und verwenden Sie dabei die Formel zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung unter Verwendung aller möglichen trigonometrischen Formeln auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Die Fähigkeit und Fertigkeit, trigonometrische Gleichungen zu lösen, ist sehr groß wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl seitens des Schülers als auch seitens des Lehrers.

Viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. sind mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen verbunden. Der Prozess der Lösung solcher Probleme verkörpert viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die durch das Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematiklernens und der persönlichen Entwicklung im Allgemeinen ein.

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Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen werden in der Regel mit Formeln gelöst. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ist der zu findende Winkel,
a ist eine beliebige Zahl.

Und hier sind die Formeln, mit denen Sie die Lösungen dieser einfachsten Gleichungen sofort aufschreiben können.

Für Sinus:

Für Kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Für Tangente:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Für Kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Tatsächlich ist dies der theoretische Teil der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Außerdem alles!) Gar nichts. Die Anzahl der Fehler zu diesem Thema ist jedoch einfach überwältigend. Vor allem, wenn das Beispiel leicht von der Vorlage abweicht. Warum?

Ja, weil viele Leute diese Briefe aufschreiben, ohne ihre Bedeutung überhaupt zu verstehen! Er schreibt mit Vorsicht auf, damit nichts passiert...) Das muss geklärt werden. Trigonometrie für Menschen, oder doch Menschen für Trigonometrie!?)

Lass es uns herausfinden?

Ein Winkel ist gleich arccos a, zweite: -arccos a.

Und es wird immer so klappen. Für jeden A.

Wenn Sie mir nicht glauben, fahren Sie mit der Maus über das Bild oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet.) Ich habe die Nummer geändert A zu etwas Negativem. Wie auch immer, wir haben eine Ecke bekommen arccos a, zweite: -arccos a.

Daher kann die Antwort immer als zwei Reihen von Wurzeln geschrieben werden:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Fassen wir diese beiden Serien zu einer zusammen:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Und das ist alles. Wir haben eine allgemeine Formel zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung mit dem Kosinus erhalten.

Wenn Sie verstehen, dass dies keine überwissenschaftliche Weisheit ist, sondern nur eine gekürzte Version von zwei Antwortreihen, Sie können auch die Aufgaben „C“ bearbeiten. Bei Ungleichungen, bei der Auswahl von Wurzeln aus einem gegebenen Intervall... Da funktioniert die Antwort mit einem Plus/Minus nicht. Aber wenn man die Antwort sachlich behandelt und sie in zwei separate Antworten aufteilt, wird alles gelöst.) Genau deshalb untersuchen wir das. Was, wie und wo.

In der einfachsten trigonometrischen Gleichung

sinx = a

wir erhalten auch zwei Serien von Wurzeln. Stets. Und diese beiden Serien können auch aufgezeichnet werden in einer Zeile. Nur diese Zeile wird schwieriger:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Aber das Wesentliche bleibt dasselbe. Mathematiker haben einfach eine Formel entworfen, um für Reihen von Wurzeln einen statt zwei Einträge zu machen. Und alle!

Lassen Sie uns die Mathematiker überprüfen? Und man weiß nie...)

In der vorherigen Lektion wurde die Lösung (ohne Formeln) einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus ausführlich besprochen:

Die Antwort führte zu zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Wenn wir dieselbe Gleichung mit der Formel lösen, erhalten wir die Antwort:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist dies eine unvollendete Antwort.) Das muss der Schüler wissen arcsin 0,5 = π /6. Die vollständige Antwort wäre:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Dies wirft eine interessante Frage auf. Antwort per x 1; x 2 (das ist die richtige Antwort!) und durch einsam X (und das ist die richtige Antwort!) – sind sie dasselbe oder nicht? Das werden wir jetzt herausfinden.)

Wir ersetzen in der Antwort durch x 1 Werte N =0; 1; 2; usw., wir zählen, wir erhalten eine Reihe von Wurzeln:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 usw.

Mit der gleichen Ersetzung als Antwort mit x 2 , wir bekommen:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 usw.

Ersetzen wir nun die Werte N (0; 1; 2; 3; 4...) in die allgemeine Formel für Single X . Das heißt, wir erhöhen minus eins auf die Nullpotenz, dann auf die erste, zweite Potenz usw. Nun, natürlich ersetzen wir 0 im zweiten Term; 1; 2 3; 4 usw. Und wir zählen. Wir bekommen die Serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 usw.

Das ist alles, was Sie sehen können.) Die allgemeine Formel gibt uns genau die gleichen Ergebnisse ebenso wie die beiden Antworten getrennt. Einfach alles auf einmal, der Reihe nach. Die Mathematiker ließen sich nicht täuschen.)

Auch Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Tangens und Kotangens können überprüft werden. Aber wir werden es nicht tun.) Sie sind bereits einfach.

Ich habe diese ganze Substitution aufgeschrieben und gezielt überprüft. Hier ist es wichtig, eine einfache Sache zu verstehen: Es gibt Formeln zum Lösen elementarer trigonometrischer Gleichungen. nur eine kurze Zusammenfassung der Antworten. Der Kürze halber mussten wir Plus/Minus in die Kosinuslösung und (-1) n in die Sinuslösung einfügen.

Diese Einsätze stören in keiner Weise bei Aufgaben, bei denen Sie lediglich die Antwort auf eine Elementargleichung aufschreiben müssen. Wenn Sie jedoch eine Ungleichung lösen müssen oder dann etwas mit der Antwort tun müssen: Wurzeln in einem Intervall auswählen, auf ODZ prüfen usw., können diese Einfügungen eine Person leicht verunsichern.

Und was machen? Ja, schreiben Sie die Antwort entweder in zwei Reihen auf oder lösen Sie die Gleichung/Ungleichung mithilfe des trigonometrischen Kreises. Dann verschwinden diese Einfügungen und das Leben wird einfacher.)

Wir können zusammenfassen.

Zur Lösung einfachster trigonometrischer Gleichungen gibt es vorgefertigte Antwortformeln. Vier Stücke. Sie eignen sich gut, um die Lösung einer Gleichung sofort aufzuschreiben. Beispielsweise müssen Sie die Gleichungen lösen:

sinx = 0,3

Leicht: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Kein Problem: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Leicht: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Einer übrig: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Wenn Sie vor Wissen glänzen, schreiben Sie sofort die Antwort:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

dann strahlst du schon, dieses... jenes... aus einer Pfütze.) Richtige Antwort: es gibt keine Lösungen. Verstehst du nicht warum? Lesen Sie, was Arkuskosinus ist. Wenn sich außerdem auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung Tabellenwerte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens befinden, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 usw. - Die Antwort durch die Bögen wird unvollendet sein. Bögen müssen in Bogenmaß umgerechnet werden.

Und wenn Sie auf Ungleichheit stoßen, z

dann lautet die Antwort:

x πn, n ∈ Z

Es gibt seltenen Unsinn, ja...) Hier müssen Sie das Problem mithilfe des trigonometrischen Kreises lösen. Was wir im entsprechenden Thema tun werden.

Für diejenigen, die diese Zeilen heldenhaft vorlesen. Ich kann einfach nicht anders, als Ihre gigantischen Bemühungen zu schätzen. Bonus für Sie.)

Bonus:

Beim Aufschreiben von Formeln in einer alarmierenden Kampfsituation sind selbst erfahrene Nerds oft verwirrt darüber, wo πn, und wo 2π n. Hier ist ein einfacher Trick für Sie. In alle Formeln wert πn. Bis auf die einzige Formel mit Arkuskosinus. Es steht da 2πn. Zwei peen. Stichwort - zwei. In derselben Formel gibt es zwei am Anfang unterschreiben. Plus und Minus. Hier und da - zwei.

Also wenn du geschrieben hast zwei Wenn Sie das Vorzeichen vor dem Arkuskosinus eingeben, können Sie sich leichter merken, was am Ende passieren wird zwei peen. Und umgekehrt passiert es auch. Die Person wird das Zeichen übersehen ± , kommt zum Ende, schreibt richtig zwei Pien, und er wird zur Besinnung kommen. Es liegt etwas vor uns zwei Zeichen! Die Person wird zum Anfang zurückkehren und den Fehler korrigieren! So.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Komplexere trigonometrische Gleichungen

Gleichungen

Sünde x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sind die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. In diesem Abschnitt betrachten wir komplexere trigonometrische Gleichungen anhand konkreter Beispiele. Ihre Lösung besteht in der Regel darin, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Beispiel 1 . Löse die Gleichung

Sünde 2 X=cos X Sünde 2 X.

Wenn wir alle Terme dieser Gleichung auf die linke Seite übertragen und den resultierenden Ausdruck faktorisieren, erhalten wir:

Sünde 2 X(1 - cos X) = 0.

Das Produkt zweier Ausdrücke ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und der andere einen beliebigen numerischen Wert annimmt, sofern dieser definiert ist.

Wenn Sünde 2 X = 0 , dann 2 X= n π ; X = π / 2n.

Wenn 1 - weil X = 0 , dann cos X = 1; X = 2kπ .

Wir haben also zwei Gruppen von Wurzeln: X = π / 2n; X = 2kπ . Die zweite Gruppe von Wurzeln ist offensichtlich in der ersten enthalten, da für n = 4k der Ausdruck gilt X = π / 2n wird
X = 2kπ .

Daher kann die Antwort in einer Formel geschrieben werden: X = π / 2n, Wo N- jede ganze Zahl.

Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht durch Reduktion um sin 2 gelöst werden konnte X. Tatsächlich würden wir nach der Reduktion 1 - cos x = 0 erhalten, woher X= 2k π . So würden wir zum Beispiel einige Wurzeln verlieren π / 2 , π , 3π / 2 .

Beispiel 2. Löse die Gleichung

Ein Bruch ist nur dann gleich Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.
Deshalb Sünde 2 X = 0 , von wo 2 X= n π ; X = π / 2n.

Aus diesen Werten X Sie müssen die Werte, bei denen sie vorhanden sind, als irrelevant verwerfen SündeX geht gegen Null (Brüche mit dem Nenner Null haben keine Bedeutung: Division durch Null ist undefiniert). Diese Werte sind Zahlen, die ein Vielfaches von sind π . In der Formel
X = π / 2n Sie werden für gerade erhalten N. Daher sind die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen

X = π / 2 (2k + 1),

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3 . Löse die Gleichung

2 Sünde 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

Lassen Sie uns ausdrücken Sünde 2 X durch cosX : Sünde 2 X = 1 - denn 2X . Dann kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

2 (1 - cos 2 X) + 7cos X - 5 = 0 , oder

2cos 2 X- 7 Co X + 3 = 0.

Bezeichnen cosX durch bei, kommen wir zur quadratischen Gleichung

2у 2 - 7у + 3 = 0,

deren Wurzeln die Zahlen 1/2 und 3 sind. Dies bedeutet, dass entweder cos X= 1 / 2, oder cos X= 3. Letzteres ist jedoch unmöglich, da der Kosinus eines Winkels im Absolutwert 1 nicht überschreitet.

Es bleibt, das zuzugeben cos X = 1 / 2 , Wo

X = ± 60° + 360° n.

Beispiel 4 . Löse die Gleichung

2 Sünde X+ 3cos X = 6.

Da Sünde X und cos X im absoluten Wert 1 nicht überschreiten, dann ist der Ausdruck
2 Sünde X+ 3cos X kann keine Werte annehmen, die größer sind als 5 . Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Beispiel 5 . Löse die Gleichung

Sünde X+cos X = 1

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir:

Sünde 2 X+ 2 Sünde X cos X+ weil 2 X = 1,

Aber Sünde 2 X + weil 2 X = 1 . Deshalb 2 Sünde X cos X = 0 . Wenn Sünde X = 0 , Das X = Nπ ; Wenn
cos X , Das X = π / 2 + kπ . Diese beiden Lösungsgruppen können in einer Formel geschrieben werden:

X = π / 2n

Da wir beide Seiten dieser Gleichung quadriert haben, ist es möglich, dass sich unter den erhaltenen Wurzeln überflüssige Wurzeln befinden. Aus diesem Grund ist in diesem Beispiel im Gegensatz zu allen vorherigen eine Überprüfung erforderlich. Alle Bedeutungen

X = π / 2n lassen sich in 4 Gruppen einteilen

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

Bei X = 2kπ Sünde X+cos X= 0 + 1 = 1. Daher gilt: X = 2kπ sind die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π / 2 + 2kπ. Sünde X+cos X= 1 + 0 = 1 Also X = π / 2 + 2kπ- auch die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π + 2kπ Sünde X+cos X= 0 - 1 = - 1. Daher die Werte X = π + 2kπ sind keine Wurzeln dieser Gleichung. Ebenso wird das gezeigt X = 3π / 2 + 2kπ. sind keine Wurzeln.

Somit hat diese Gleichung die folgenden Wurzeln: X = 2kπ Und X = π / 2 + 2mπ., Wo k Und M- beliebige ganze Zahlen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Drücken Sie eine trigonometrische Funktion anhand bekannter Komponenten aus.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung in algebraischer Form in Bezug auf eine der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare Gleichung und verwenden Sie dabei die Formel zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung unter Verwendung aller möglichen trigonometrischen Formeln auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematiklernens und der persönlichen Entwicklung im Allgemeinen ein.

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Konzept zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, wandeln Sie sie in eine oder mehrere grundlegende trigonometrische Gleichungen um. Bei der Lösung einer trigonometrischen Gleichung kommt es letztlich darauf an, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.

Es gibt 4 Arten grundlegender trigonometrischer Gleichungen:
Sünde x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen erfordert die Betrachtung verschiedener x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, das heißt, ihre Werte wiederholen sich. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Daher lautet die Antwort wie folgt:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Beispiel 2. cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
Antwort: x = π/4 + πn.
Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
Antwort: x = π/12 + πn.

Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Zur Transformation trigonometrischer Gleichungen werden algebraische Transformationen (Faktorisierung, Reduktion homogener Terme usw.) und trigonometrische Identitäten verwendet.
Beispiel 5: Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Finden von Winkeln mithilfe bekannter Funktionswerte.
- Bevor Sie lernen, trigonometrische Gleichungen zu lösen, müssen Sie lernen, wie man Winkel mithilfe bekannter Funktionswerte ermittelt. Dies kann mithilfe einer Umrechnungstabelle oder eines Taschenrechners erfolgen.
- Beispiel: cos x = 0,732. Der Rechner gibt als Ergebnis x = 42,95 Grad aus. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.
Legen Sie die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.
- Sie können Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis darstellen. Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Polygons.
- Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte des Quadrats dar.
- Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks dar.
Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
- Wenn eine gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie diese Gleichung als grundlegende trigonometrische Gleichung. Wenn eine gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Methoden zur Lösung einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
  - Methode 1.
- Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
- Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Lösung. Ersetzen Sie sin 2x mithilfe der Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
- Beispiel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
- Beispiel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0 .
  - Methode 2.
- Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine unbekannte Funktion, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t usw.).
- Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Lösung. Ersetzen Sie in dieser Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (gemäß der Identität). Die transformierte Gleichung lautet:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetzen Sie sin x durch t. Jetzt sieht die Gleichung so aus: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Funktionsbereich (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Lösung. Ersetzen Sie tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tan x.