Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Visueller Leitfaden (2019)

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Wiederholen wir die Definition des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene.

Definition. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, die diese Gerade schneidet und nicht senkrecht dazu steht, ist der Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Projektion auf eine Ebene.

Gegeben sei eine Ebene γ und eine Gerade a, die diese Ebene schneidet und nicht senkrecht auf ihr steht.

Konstruieren wir den Winkel zwischen der Geraden a und der Ebene γ:

1. Von jedem für uns geeigneten Punkt auf der Geraden a senken wir eine Senkrechte zur Ebene γ ab;
2. Durch die Punkte der Basen der geneigten und senkrechten Linie zeichnen wir eine Gerade b. Linie b ist die Projektion der Linie a auf die Ebene γ;
3. Der spitze Winkel zwischen den Geraden a und b ist der Winkel zwischen der Geraden a und der Ebene γ, d.h. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , wobei ∠(a;b) der Winkel zwischen den Linien a und b ist; ∠(a;γ) – Winkel zwischen der Geraden a und der Ebene γ.

Um Probleme mit der Koordinatenmethode zu lösen, müssen wir Folgendes beachten:

3. Wenn die Koordinaten des Richtungsvektors ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) und des Normalenvektors bekannt sind
(a; b; c), dann wird der Winkel zwischen der Geraden a und der Ebene γ mit der Formel berechnet, die wir jetzt ableiten werden.

Wir kennen die Formel zum Ermitteln des Winkels zwischen Geraden:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), dann cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Aus (1) und (2) => ; (3)
, wo ist der Winkel zwischen den Vektoren m und n; (4)
Wir ersetzen (4) durch (3) usw. ∠(a;b)= ∠(a;γ), dann erhalten wir:

4. Wenn die Koordinaten des Normalenvektors unbekannt sind, müssen wir die Gleichung der Ebene kennen.

Jede Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem kann durch die Gleichung angegeben werden

ax + by + cz + d = 0,

wobei mindestens einer der Koeffizienten a, b, c von Null verschieden ist. Diese Koeffizienten sind die Koordinaten des Normalenvektors, d.h. (a; b; c).

Algorithmus zur Lösung von Problemen beim Ermitteln des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene mithilfe der Koordinatenmethode:

1. Wir machen eine Zeichnung, in der wir eine gerade Linie und eine Ebene markieren;
2. Wir führen ein rechteckiges Koordinatensystem ein;
3. Die Koordinaten des Richtungsvektors ermitteln wir aus den Koordinaten seines Anfangs und Endes;
4. Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors zur Ebene;
5. Wir setzen die erhaltenen Daten in die Formel für den Sinus des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene ein;
6. Finden Sie den Wert des Winkels selbst.

Betrachten wir das Problem:
1. Ermitteln Sie im Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 den Tangens des Winkels zwischen der Geraden AC 1 und der Ebene BDD 1.
Lösung:

1. Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt D ein.
2. Finden Sie die Koordinaten des Richtungsvektors AC 1. Bestimmen Sie dazu zunächst die Koordinaten der Punkte A und C 1:
A(0; 1; 0);
C 1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors zur Ebene BB 1 D 1 . Dazu ermitteln wir die Koordinaten von drei Punkten der Ebene, die nicht auf derselben Geraden liegen, und stellen eine Gleichung der Ebene auf:
D(0; 0; 0);
D 1 (0; 0; 1);
B(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

Setzen wir in die Gleichung ein: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Somit hat der Normalenvektor zur Ebene BDD 1 die Koordinaten:
{1;-1; 0}.
4. Finden Sie den Sinus zwischen der Geraden AC 1 und der Ebene BDD 1:

5. Lassen Sie uns die grundlegende trigonometrische Identität verwenden und den Kosinus des Winkels zwischen der Geraden AC 1 und der Ebene BDD 1 ermitteln:

6. Finden Sie den Tangens des Winkels zwischen der Geraden AC 1 und der Ebene BDD 1:

Antwort: .

2. Bestimmen Sie in einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, den Sinus des Winkels zwischen der Linie BD und der Ebene SBC.

Lösung:

1. Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt B ein.
2. Finden Sie die Koordinaten des Richtungsvektors BD. Bestimmen Sie dazu zunächst die Koordinaten der Punkte B und D:

3. Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors zur SBC-Ebene. Dazu ermitteln wir die Koordinaten von drei Punkten der Ebene, die nicht auf derselben Geraden liegen, und stellen die Gleichung der SBC-Ebene auf:

Wie haben Sie die Koordinaten des Punktes S erhalten?

Vom Punkt S wird eine Senkrechte auf die Basisebene ABC abgesenkt. Der Schnittpunkt wurde mit O bezeichnet. Punkt O ist die Projektion von Punkt S auf die ABC-Ebene. Seine x- und y-Koordinaten sind die ersten beiden Koordinaten des Punktes S.

Nachdem wir die Höhe der Pyramide ermittelt hatten, fanden wir die dritte Koordinate des Punktes S (entlang der z-Achse).

Das Dreieck SOB ist rechteckig, daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Die Ebenengleichung lautet ax+by+cz+d=0. Setzen wir die Koordinaten der Punkte in diese Gleichung ein:

Wir haben ein System aus drei Gleichungen erhalten:

Setzen wir in die Gleichung ein:

Somit hat der Normalenvektor zur SBD-Ebene die Koordinaten:

.
4. Finden Sie den Sinus zwischen der Geraden BD und der Ebene SBD.

Winkel zwischen geneigter und ebener Fläche Der Winkel zwischen der schiefen Ebene und ihrer Projektion auf diese Ebene wird aufgerufen. Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist oder in dieser liegt, wird der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene als Null betrachtet. Wenn eine gerade Linie senkrecht zu einer Ebene steht, wird der Winkel zwischen ihnen per Definition als „90^@“ betrachtet. Wenn der Vektor „vecn(a;b;c)“ senkrecht zur Ebene „alpha“ steht, beträgt der Winkel „varphi“ zwischen dieser Ebene und der geraden Linie „a“, die durch die Punkte „A“ und „B“ verläuft aus der Gleichheit bestimmt

`sinvarphi=|cos(vecn,vec(AB))|=|(vecn*vec(AB))/(|vecn|*|vec(AB)|)|`.

Die Kante des Würfels soll die Länge „a“ haben. Lassen Sie uns ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung am Punkt „D“ und der Basis „(vece_1,vece_2,vece_3)“ einführen, wobei die Vektoren „vece_1,vece_2,vece_3“ Einheitslängen haben und mit den Vektoren „kodirektional“ sind vec(DA)`, `vec(DC )`, `vec(D D_1)` (siehe Abb. 12). In diesem Koordinatensystem haben die Eckpunkte des Würfels die Koordinaten „A(a,0,0)“, „B(a,a,0)“, „C(0,a,0)“, „D(0). ,0,0 )`, `A_1(a,0,a)`, `B_1(a,a,a)`, `C_1(0,a,a)`, `D_1(0,0,a)` .

Der Richtungsvektor der Geraden „BD_1“ ist der Vektor „vec(BD_1)=(-a,-a,a)“.

Stellen wir die Gleichung der Ebene „BC_1D“ auf . Lassen Sie es so aussehen: „a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0“. Diese Ebene verläuft durch drei Punkte: „(0, 0, 0)“, „( A, A, 0)` und `(0, a,a)`, setze die Koordinaten dieser Punkte in die Gleichung der Ebene ein und erhalte ein Gleichungssystem:

d 1 = 0, a · a 1 + a · b 1 + d 1 = 0, a · b 1 + a · c 1 + d 1 = 0. \left\(\begin(array)(l)d_1=0,\\a\cdot a_1+a\cdot b_1+d_1=0,\\a\cdot b_1+a\cdot c_1+d_1=0.\end (Array)\richtig.

Wir finden „a_1=-b_1=c_1“, „d_1=0“. Dann lautet die Gleichung dieser Ebene „x-y+z=0“, „vecn=(1,-1,1)“.

Der erforderliche Winkel ist

`sinvarphi=((1*(-a)+(-1)*(-a)+1*a))/(asqrt(1^2+(-1)^2+1^2))=a/ (3a)=1/3`,

d.h. „varphi=arcsin 1/3“.

Bei der geometrischen Methode zum Ermitteln des Winkels zwischen der geneigten Linie „a“ und der Ebene „alpha“, die diese geneigte Ebene an einem Punkt „O“ schneidet, wählen Sie einen Punkt „A“ der Geraden „a“ aus und senken Sie die Senkrechte „A A^“. "` von dort auf die Ebene `alpha`. Der Winkel `AOA^"` ist der gewünschte Winkel zwischen der Linie `a` und der Ebene `alpha`. Um es zu finden, können Sie die Werte trigonometrischer Funktionen der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks „AOA^“ oder den Kosinussatz verwenden.

Aufgabe 11

Ermitteln Sie in einem regelmäßigen sechseckigen Prisma „A...F_1“, dessen Kanten alle gleich „1“ sind, den Winkel zwischen der Geraden „CD_1“ und der Ebene „AB B_1“.

Sei „O_1“ der Mittelpunkt der oberen Basis (Abb. 13), die gerade Linie „O_1H“ verläuft senkrecht zu „A_1B_1“. Die Gerade „BO_1“ verläuft parallel zu „CD_1“. Der erforderliche Winkel „varphi“ ist gleich dem Winkel „HBO_1“. Im rechtwinkligen Dreieck „HBO_1“ haben wir „BO_1=sqrt2“, „O_1H=(sqrt3)/2“. Daher ist „sinvarphi=(sqrt6)/4“.

Mithilfe von Vektoren wird der Winkel folgendermaßen ermittelt. Gegeben sei eine Ebene „alpha“ mit einer bekannten Basis „(veca,vecb)“ im Raum, ein Punkt „A“ liege in dieser Ebene, ein Punkt „M“ außerhalb davon und der Vektor „vec(AM)=“. vecr` wird als bekannt vorausgesetzt (auf der gleichen Grundlage). Sei „N“ die orthogonale Projektion des Punktes „M“ auf die „Alpha“-Ebene (Abb. 14). Die Aufgabe besteht darin, den Winkel „MANN“ zu finden. Stellen wir den Vektor „vec(MN)“ in der Form dar die Differenz zwischen den Vektoren „vec(AN)“ und „vec(AM)“ und schreiben sie dann unter Verwendung der Koplanarität der Vektoren „vec(AN)“, „veca“ und „vecb“ in der Form „ vec(MN)=xveca+yvecb -vecr`, wobei `x` und „y“. - noch unbekannte Zahlen. Diese Zahlen können aus der Bedingung ermittelt werden, dass der Vektor „vec(MN)“ senkrecht zu den Vektoren „veca“ und „vecb“ steht, also aus dem folgenden Gleichungssystem:

X a → + y b → - r → · a → = 0, x a → + y b → - r → · b → = 0. \left\(\begin(array)(l)\left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow a=0,\\\left(x\overrightarrow a+y \overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow b=0.\end(array)\right.

Wenn „vec(AN)=vec0“, dann ist die Linie „AM“ offensichtlich senkrecht zur Ebene „alpha“. , andernfalls `cos/_(AM,alpha)=cos/_(AM,AN)=(|(xveca+yvecb)*vecr|)/(|xveca+yvecb|*|vecr|)`.

Aufgabe 12

Ermitteln Sie im Würfel „A...D_1“ den Winkel zwischen der Linie „BD_1“ und der Ebene „BC_1D“.

Die Länge der Würfelkante sei „a“. Lassen Sie uns die Basis „veca=vec(DA)“, „vecb=vec(DC)“, „vecc=vec(D D_1“ einführen(Abb. 15). Bezeichnen wir mit „D_2“.- orthogonale Projektion des Punktes „D_1“ n und das Flugzeug „BC_1D“. . Dann ist „vec(D_1D_2)=x(veca+vecb)+y(vecb+vecc)+veca+vecb-vecc“.

Erstellen wir ein Gleichungssystem, um die unbekannten Zahlen „x“ und „y“ zu finden: x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → a → + b → = 0 , x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → b → + c → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b- \overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c \right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end(array)\right.

Reduzieren wir dieses System auf ein äquivalentes:

2 x + y + 2 = 0, x + 2 y = 0. \left\(\begin(array)(l)2x+y+2=0,\\x+2y=0.\end(array)\right.

Von hier aus finden wir „x=-4/3“, „y=2/3“. Lassen Sie uns nun den Kosinus des gewünschten Winkels ermitteln

`cosvarphi=(|vec(D_1B)*vec(BD_2)|)/(|vec(D_1B)|*|vec(BD_2)|)=(|(veca+vecb-vecc)(-4/3veca-2/ 3vecb+2/3vecc)|)/(sqrt((veca+vecb-vecc)^2)*sqrt((-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)^2))=`

`=(8/3 a^2)/(asqrt3*(2sqrt2)/(sqrt3)a)=(2sqrt2)/3`.

Daher ist „/_(BD_1,BC_1D)=arccos (2sqrt2)/3“.

Das Konzept eines Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene kann für jede relative Position der Linie und der Ebene eingeführt werden.

Wenn die Gerade l senkrecht zur Ebene steht, wird der Winkel zwischen l und gleich 90 angenommen.

Wenn die Gerade l parallel zur Ebene ist oder in dieser Ebene liegt, dann wird der Winkel zwischen l und gleich Null angenommen.

Wenn die Gerade l zur Ebene geneigt ist, dann ist der Winkel zwischen l und dies der Winkel „zwischen der Geraden l und ihrer Projektion p auf die Ebene (Abb. 39).

Reis. 39. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Erinnern wir uns also an die Definition für diesen nicht trivialen Fall: Wenn eine Gerade geneigt ist, dann ist der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene der Winkel zwischen dieser Geraden

Und seine Projektion auf eine gegebene Ebene.

7.1 Beispiele für Problemlösungen

Schauen wir uns drei Aufgaben an, die nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Die dritte Aufgabenstufe C2 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik.

Aufgabe 1. Ermitteln Sie in einem regelmäßigen Tetraeder den Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Grundfläche.

Lösung. Sei ABCD ein regelmäßiger Tetraeder mit Kanten
Rum a (Abb. 40). Finden wir den Winkel zwischen AD und der Ebene
Zeichnen wir die Höhe DH ein. Projektion von direkter AD auf
Die Ebene ABC dient als Gerade AH. Daher das Gewünschte
Winkel „ist der Winkel zwischen den Linien AD und AH.
Die Strecke AH ist der Radius des beschriebenen Kreises
um das Dreieck ABC:
		AH = p
Nun aus dem rechtwinkligen Dreieck ADH:
										Reis. 40. Zu Aufgabe 1
		cos "=AD=p
Antwort: arccos p

Aufgabe 2. In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA1 B1 C1 ist die Seitenkante gleich der Seite der Grundfläche. Finden Sie den Winkel zwischen der Linie AA1 und der Ebene ABC1.

Lösung. Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene ändert sich nicht, wenn die Geraden parallel zueinander verschoben werden. Da CC1 parallel zu AA1 ist, ist der erforderliche Winkel der Winkel zwischen der Geraden CC1 und der Ebene ABC1 (Abb. 41).

B 1"

Reis. 41. Zu Aufgabe 2

Sei M der Mittelpunkt von AB. Zeichnen wir die Höhe CH im Dreieck CC1 M ein. Zeigen wir, dass CH senkrecht zur Ebene ABC1 steht. Dazu müssen Sie zwei Schnittlinien dieser Ebene senkrecht zu CH darstellen.

Die erste gerade Linie ist offensichtlich: C1 M. Tatsächlich, CH? C1 M konstruktionsbedingt.

Die zweite Zeile ist AB. Tatsächlich ist die Projektion des geneigten CH auf die Ebene ABC die Gerade CM; während AB ? CM. Aus dem Satz über drei Senkrechte folgt dann AB ? CH.

Also CH? ABC1. Daher beträgt der Winkel zwischen CC1 und ABC1 " = \CC1 H. Den Wert von CH ermitteln wir aus der Beziehung

C1 M CH = CC1 CM

(Beide Seiten dieses Verhältnisses sind gleich der doppelten Fläche des Dreiecks CC1 M). Wir haben:

CM = a 2 3 ;

Es bleibt der Winkel zu finden“:

Antwort: arcsin 3 7 .

C1 M =q CC1 2 + CM2 =r

a2 +4

CH = a

CH = ar

sin " = CH =3 : CC1 7

Aufgabe 3. Punkt K wird auf der Kante A1 B1 des Würfels ABCDA1 B1 C1 D1 genommen, sodass A1 K: KB1 = 3: 1. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden AK und der Ebene BC1 D1.

Lösung. Nachdem wir die Zeichnung erstellt haben (Abb. 42, links), verstehen wir, dass zusätzliche Konstruktionen erforderlich sind.

		K B 1
			Reis. 42. Zu Aufgabe 3

Beachten Sie zunächst, dass die Linie AB in der Ebene BC1 D1 liegt (da AB k C1 D1 ). Zweitens zeichnen wir B1 M parallel zu AK (Abb. 42, rechts). Zeichnen wir auch B1 C und sei N der Schnittpunkt von B1 C und BC1.

Zeigen wir, dass die Gerade B1 C senkrecht zur Ebene BC1 D1 steht. Tatsächlich:

1) B 1 C ? BC1 (wie die Diagonalen eines Quadrats);

2) B 1 C ? AB nach dem Satz der drei Senkrechten (schließlich steht AB senkrecht auf der Geraden BC der Projektion des geneigten B1 C auf die Ebene ABC).

Somit steht B1 C senkrecht auf zwei Schnittlinien der Ebene BC1 D1; daher ist B1 C ? BC1 D1. Daher ist die Projektion der Geraden MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

\(\blacktriangleright\) Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene (d. h. es ist der Winkel \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) Um den Winkel zwischen der Geraden \(a\) und der Ebene \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) zu ermitteln, benötigen Sie:

Schritt 1: Zeichnen Sie von einem Punkt \(A\in a\) eine Senkrechte \(AO\) zur Ebene \(\phi\) (\(O\) ist die Basis der Senkrechten);

Schritt 2: Dann ist \(BO\) die Projektion des geneigten \(AB\) auf die Ebene \(\phi\);

Schritt 3: Dann ist der Winkel zwischen der Geraden \(a\) und der Ebene \(\phi\) gleich \(\angle ABO\).

Aufgabe 1 #2850

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Die Gerade \(l\) schneidet die Ebene \(\alpha\) . Auf der Geraden \(l\) ist die Strecke \(AB=25\) markiert, und es ist bekannt, dass die Projektion dieser Strecke auf die Ebene \(\alpha\) gleich \(24\) ist. Finden Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden \(l\) und der Ebene \(\alpha\)

Schauen wir uns das Bild an:

Sei \(A_1B_1=24\) die Projektion von \(AB\) auf die Ebene \(\alpha\), was \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) bedeutet. Da zwei Geraden senkrecht zur Ebene in derselben Ebene liegen, ist \(A_1ABB_1\) ein rechteckiges Trapez. Machen wir \(AH\perp BB_1\) . Dann ist \(AH=A_1B_1=24\) . Daher stellen wir nach dem Satz des Pythagoras fest, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf die Ebene ist. Daher ist der gewünschte Winkel der Winkel zwischen \(AB\) und \(A_1B_1 \) . Da \(AH\parallel A_1B_1\) , ist der Winkel zwischen \(AB\) und \(A_1B_1\) gleich dem Winkel zwischen \(AB\) und \(AH\) .
Dann \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]

Antwort: 0,28

Aufgabe 2 #2851

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

\(ABC\) ist ein regelmäßiges Dreieck mit der Seite \(3\) , \(O\) ist ein Punkt, der außerhalb der Dreiecksebene liegt und \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Finden Sie den Winkel, den die Geraden \(OA, OB, OC\) mit der Ebene des Dreiecks bilden. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Zeichnen wir eine Senkrechte \(OH\) ​​​​zur Ebene des Dreiecks.

Lassen Sie uns überlegen \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\). Sie sind rechteckig und in Bein und Hypotenuse gleich. Daher ist \(AH=BH=CH\) . Das bedeutet, dass \(H\) ein Punkt ist, der sich im gleichen Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks \(ABC\) befindet. Folglich ist \(H\) der Mittelpunkt des ihn umgebenden Kreises. Da \(\triangle ABC\) korrekt ist, ist \(H\) der Schnittpunkt der Mediane (sie sind auch Höhen und Winkelhalbierende).
Da der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene ist und \(AH\) die Projektion von \(AO\) auf die Ebene des Dreiecks ist, dann ist der Winkel zwischen \( AO\) und die Ebene des Dreiecks ist gleich \( \angle OAH\) .
Sei \(AA_1\) der Median in \(\triangle ABC\), daher gilt: \ Da die Mediane durch den Schnittpunkt im Verhältnis \(2:1\) geteilt werden, vom Scheitelpunkt aus gezählt, gilt dann aus dem Rechteck \(\triangle OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Beachten Sie, dass aus der Gleichheit der Dreiecke \(OAH, OBH, OCH\) Folgendes folgt \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).

Antwort: 60

Aufgabe 3 #2852

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Die Gerade \(l\) steht senkrecht auf der Ebene \(\pi\). Die Gerade \(p\) liegt nicht in der Ebene \(\pi\) und ist nicht parallel zu ihr, noch ist sie parallel zur Geraden \(l\). Ermitteln Sie die Summe der Winkel zwischen den Geraden \(p\) und \(l\) sowie zwischen der Geraden \(p\) und der Ebene \(\pi\). Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Es folgt aus der Bedingung, dass die Gerade \(p\) die Ebene \(\pi\) schneidet. Sei \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Dann ist \(\angle POL\) der Winkel zwischen den Geraden \(p\) und \(l\).
Da der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen einer Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene ist, ist \(\angle OPL\) der Winkel zwischen \(p\) und \(\pi\). Beachten Sie, dass \(\triangle OPL\) rechteckig mit \(\angle L=90^\circ\) ist. Da die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich \(90^\circ\) ist, dann \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).

Kommentar.
Wenn die Gerade \(p\) die Gerade \(l\) nicht schneidet, dann zeichnen wir eine Gerade \(p"\parallel p\), die \(l\) schneidet. Dann ist der Winkel zwischen der Geraden \(p\ ) und \(l\ ) ist gleich dem Winkel zwischen \(p"\) und \(l\) . Ebenso ist der Winkel zwischen \(p\) und \(\pi\) gleich dem Winkel zwischen \(p"\) und \(\pi\). Und für die Gerade \(p"\) gilt der Die vorherige Lösung ist bereits korrekt.

Antwort: 90

Aufgabe 4 #2905

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubisch. Der Punkt \(N\) ist der Mittelpunkt der Kante \(BB_1\) und der Punkt \(M\) ist der Mittelpunkt des Segments \(BD\). Finden Sie \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen der Linie, die \(MN\) enthält, und der Ebene \((A_1B_1C_1D_1)\) ist. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

\(NM\) ist die Mittellinie im Dreieck \(DBB_1\), dann ist \(NM \parallel B_1D\) und \(\alpha\) gleich dem Winkel zwischen \(B_1D\) und der Ebene \( (A_1B_1C_1D_1)\).

Da \(DD_1\) senkrecht zur Ebene \(A_1B_1C_1D_1\) steht, ist \(B_1D_1\) die Projektion von \(B_1D\) auf die Ebene \((A_1B_1C_1D_1)\) und der Winkel zwischen \(B_1D\) ) und die Ebene \( (A_1B_1C_1D_1)\) ist der Winkel zwischen \(B_1D\) und \(B_1D_1\) .

Die Kante des Würfels sei \(x\), dann gilt nach dem Satz des Pythagoras \ Im Dreieck \(B_1D_1D\) ist der Tangens des Winkels zwischen \(B_1D\) und \(B_1D_1\) gleich \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), Wo \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

Antwort: 0,5

Aufgabe 5 #2906

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubisch. Der Punkt \(N\) ist die Mitte der Kante \(BB_1\) und der Punkt \(M\) teilt das Segment \(BD\) im Verhältnis \(1:2\), gezählt vom Scheitelpunkt \(B\) . Finden Sie \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen der Linie, die \(MN\) enthält, und der Ebene \((ABC)\) ist. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Da \(NB\) Teil von \(BB_1\) und \(BB_1\perp (ABC)\) ist, gilt dies auch für \(NB\perp (ABC)\) . Daher ist \(BM\) die Projektion von \(NM\) auf die Ebene \((ABC)\). Das bedeutet, dass der Winkel \(\alpha\) gleich \(\angle NMB\) ist.

Die Kante des Würfels sei gleich \(x\) . Dann ist \(NB=0.5x\) . Nach dem Satz des Pythagoras \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Da nach der Bedingung \(BM:MD=1:2\) , dann \(BM=\frac13BD\) , also \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

Dann aus dem rechteckigen \(\triangle NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

Antwort: 8

Aufgabe 6 #2907

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Was ist \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) gleich, wenn \(\alpha\) der Neigungswinkel der Diagonale des Würfels zu einer seiner Seiten ist?

Der gewünschte Winkel stimmt mit dem Winkel zwischen der Diagonale des Würfels und der Diagonale einer seiner Flächen überein, weil In diesem Fall ist die Diagonale des Würfels geneigt, die Diagonale der Fläche ist die Projektion dieser geneigten Fläche auf die Ebene. Somit ist der gewünschte Winkel beispielsweise gleich dem Winkel \(C_1AC\) . Wenn wir die Kante des Würfels als \(x\) bezeichnen, dann \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), dann das Quadrat des Kotangens des gewünschten Winkels: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Antwort: 2

Aufgabe 7 #2849

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Nach dem Satz des Pythagoras \ Somit, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Da \(OH\perp (ABC)\), dann ist \(OH\) ​​​​senkrecht zu jeder geraden Linie aus dieser Ebene, was bedeutet, dass \(\triangle OAH\) rechteckig ist. Dann \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]

Antwort: 0,4

Für Gymnasiasten, die sich auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereiten, wird es nützlich sein, den Umgang mit Aufgaben aus dem Abschnitt „Geometrie im Raum“ zu lernen, in dem sie den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ermitteln müssen. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben den Absolventen gewisse Schwierigkeiten bereiten. Gleichzeitig sollten Oberstufenschüler aller Ausbildungsstufen die grundlegende Theorie kennen und verstehen, wie man den Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene ermittelt. Nur in diesem Fall können sie mit guten Ergebnissen rechnen.

Hauptnuancen

Wie andere stereometrische Probleme des Einheitlichen Staatsexamens können Aufgaben, bei denen Sie Winkel und Abstände zwischen Linien und Ebenen ermitteln müssen, mit zwei Methoden gelöst werden: geometrisch und algebraisch. Die Studierenden können die Option wählen, die für sie am bequemsten ist. Nach der geometrischen Methode ist es notwendig, einen geeigneten Punkt auf einer Geraden zu finden, von dort aus eine Senkrechte auf eine Ebene abzusenken und eine Projektion zu konstruieren. Danach muss der Absolvent nur noch grundlegende theoretische Kenntnisse anwenden und ein planimetrisches Problem zur Berechnung eines Winkels lösen. Bei der algebraischen Methode wird ein Koordinatensystem eingeführt, um die gewünschte Größe zu ermitteln. Es ist notwendig, die Koordinaten zweier Punkte auf einer Geraden zu bestimmen, die Gleichung der Ebene richtig aufzustellen und zu lösen.

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