Alles basiert auf der Stereometrietheorie. Ein Nachschlagewerk mit grundlegenden Fakten zur Stereometrie
Der Videokurs „Get an A“ beinhaltet alle notwendigen Themen, um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit 60-65 Punkten erfolgreich zu bestehen. Vollständig alle Aufgaben 1-13 des Profileinheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Auch zum Bestehen der Grundprüfung in Mathematik geeignet. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit 90-100 Punkten bestehen möchten, müssen Sie Teil 1 in 30 Minuten und ohne Fehler lösen!
Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen für die Klassen 10-11 sowie für Lehrer. Alles, was Sie zum Lösen von Teil 1 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) benötigen. Und das sind mehr als 70 Punkte beim Einheitlichen Staatsexamen, auf die weder ein 100-Punkte-Student noch ein Geisteswissenschaftler verzichten können.
Die ganze nötige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallstricke und Geheimnisse des Einheitlichen Staatsexamens. Alle aktuellen Aufgaben von Teil 1 aus der FIPI Task Bank wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des Einheitlichen Staatsexamens 2018.
Der Kurs umfasst 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema wird von Grund auf einfach und klar vermittelt.
Hunderte von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. Textaufgaben und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Algorithmen zur Lösung von Problemen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens. Stereometrie. Knifflige Lösungen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf bis zum Problem 13. Verstehen statt pauken. Klare Erklärungen komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Eine Grundlage zur Lösung komplexer Probleme von Teil 2 des Einheitlichen Staatsexamens.
Die Beratung basiert auf den Erfahrungen bei der Vorbereitung einer Gruppe von Schülern der 11. Klasse in den Jahren 2017 und 2018, USE-Aufgaben für 2017–2018 und allgemeinen Daten beim Bestehen des USE in Fachmathematik in den Jahren 2017 und 2018. Diese Empfehlungen werden nicht nur für Schüler, sondern auch für ihre Eltern nützlich sein.Wie die Ergebnisse einer Fachprüfung in Mathematik zeigen, gehören Probleme in der Geometrie zu den schwierigsten für Absolventen. Es ist jedoch möglich, sie zumindest teilweise zu lösen und so zusätzliche Punkte zum Gesamtergebnis zu erhalten. Dazu muss man natürlich einiges über das „Verhalten“ geometrischer Figuren wissen und dieses Wissen zur Lösung von Problemen anwenden können. Hier versuchen wir, einige Empfehlungen zur Vorbereitung auf die Lösung eines Problems in der Stereometrie zu geben.
Was Sie über die Stereometrieaufgabe Nr. 14 der Option KIM Unified State Examination wissen müssen
Diese Aufgabe besteht normalerweise aus zwei Teilen:
Für die Lösung dieser Aufgabe in der Mathematikprüfung 2018 können Sie das Maximum herausholen zwei Hauptpunkte. Es ist erlaubt, nur den „evidenziellen“ oder nur den „rechnerischen“ Teil des Problems zu lösen und in diesem Fall einen Hauptpunkt zu erhalten.
Viele Schulkinder bei der Prüfung Fang gar nicht erst an um Problem Nr. 14 zu lösen, obwohl es viel einfacher ist, zum Beispiel Problem Nr. 16 - in der Planimetrie.
Problem Nr. 14 umfasst traditionell nur einige der möglichen Fragen für stereometrische Probleme:
In Übereinstimmung mit diesen Fragen, die Vorbereitung zur Lösung des Problems.
Zuerst muss man natürlich lernen alle notwendigen Axiome und Theoreme, die für den Beweisteil des Problems benötigt wird. Neben der Tatsache, dass Ihnen Kenntnisse über Axiome und Theoreme in der Prüfung direkt bei der Lösung eines Problems helfen, ermöglicht Ihnen deren Wiederholung, Ihre Kenntnisse der Stereometrie im Allgemeinen zu systematisieren und zu verallgemeinern, also eine Art ganzheitliches Bild daraus zu erstellen dieses Wissen.
Was müssen Sie also lernen?
Sobald Sie die Theorie überprüft haben, können Sie beginnen, über Methoden zur Lösung von Problemen nachzudenken. Der Kurs „1C:Tutor“ umfasst: Videovorlesungen mit Theorie, Simulatoren mit schrittweiser Problemlösung, Selbsttests, interaktive Modelle, die es Schülern der 10. und 11. Klasse ermöglichen, Methoden zur Lösung von Problemen in der Stereometrie visuell zu untersuchen, einschließlich Beispielen von Probleme Einheitliches Staatsexamen 2017.
Wir empfehlen, Probleme in der folgenden Reihenfolge zu lösen:- Winkel im Raum (zwischen sich schneidenden Geraden, zwischen einer Geraden und einer Ebene, zwischen Ebenen);
- Abstände im Raum (zwischen zwei Punkten, zwischen einem Punkt und einer Linie, zwischen einem Punkt und einer Ebene, zwischen sich kreuzenden Linien);
- Polyeder lösen, also Winkel zwischen Kanten und Flächen, Abstände zwischen Kanten, Flächen, Volumina entsprechend den in der Problemstellung angegebenen Elementen finden;
- Abschnitte von Polyedern – Methoden zum Konstruieren von Abschnitten (z. B. die Spurmethode) und zum Ermitteln der Schnittflächen und Volumina der resultierenden Polyeder nach der Konstruktion des Abschnitts (z. B. unter Verwendung der Eigenschaften der senkrechten Projektion und der Volumenmethode).
Bei der Lösung stereometrischer Probleme ist die Vektorkoordinatenmethode oft effektiver als die klassische Methode. Die klassische Methode zur Problemlösung erfordert ausgezeichnete Kenntnisse der Axiome und Theoreme der Stereometrie, die Fähigkeit, diese in der Praxis anzuwenden, Erstellen Sie Zeichnungen räumlicher Körper und reduzieren Sie ein stereometrisches Problem auf eine Kette planimetrischer Probleme. Die klassische Methode führt in der Regel schneller zum gewünschten Ergebnis als die Vektorkoordinatenmethode, erfordert jedoch eine gewisse Flexibilität des Denkens. Die Vektorkoordinatenmethode besteht aus einer Reihe vorgefertigter Formeln und Algorithmen, erfordert jedoch zeitaufwändigere Berechnungen. Für einige Aufgaben, z. B. Winkel im Raum finden, es ist dem klassischen vorzuziehen.
Viele Bewerber sind der stereometrischen Aufgabe nicht gewachsen unentwickeltes räumliches Vorstellungsvermögen. In diesem Fall empfehlen wir den Einsatz interaktiver Simulatoren mit dynamischen Modellen räumlicher Körper zum Selbsttraining. auf dem Portal „1C:Tutor“ (um sie nutzen zu können, müssen Sie sich registrieren): Wenn Sie mit ihnen zusammenarbeiten, können Sie nicht nur „Schritt für Schritt“ eine Lösung für das Problem „bauen“, sondern auch drei- dimensionales Modell, um alle Phasen der Erstellung einer Zeichnung aus verschiedenen Blickwinkeln zu sehen.
Unter Verwendung derselben dynamischen Zeichnungen empfehlen wir zu lernen, Polyederabschnitte zu konstruieren. Neben der Tatsache, dass das Modell automatisch die Richtigkeit Ihrer Konstruktion überprüft, können Sie selbst durch die Betrachtung des Abschnitts von verschiedenen Seiten sicherstellen, ob er richtig oder falsch konstruiert ist und, falls falsch, was genau der Fehler ist. Das Erstellen eines Abschnitts auf Papier mit Bleistift und Lineal bietet solche Möglichkeiten natürlich nicht. Sehen Sie sich anhand dieses Modells ein Beispiel für die Konstruktion eines Abschnitts einer Pyramide mithilfe einer Ebene an (Klicken Sie auf das Bild, um zum Simulator zu gelangen):
Die letzte Frage, auf die Sie achten sollten, ist Finden von Querschnittsflächen oder -volumina, erhalten nach der Konstruktion eines Polyederabschnitts. Es gibt auch Ansätze und Theoreme, die es im allgemeinen Fall erlauben, Arbeitskosten deutlich senken um eine Lösung zu finden und eine Antwort zu bekommen. Im 1C:Tutor-Kurs stellen wir Ihnen diese Techniken vor.
Wenn Sie unserem Rat gefolgt sind, sich mit allen hier aufgeworfenen Fragen befasst und eine ausreichende Anzahl von Aufgaben gelöst haben, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass Sie fast bereit sind, die Aufgabe zur Stereometrie im Rahmen des Fachexamens in Mathematik im Jahr 2018 zu lösen. Dann müssen Sie sich nur noch bis zur Prüfung selbst „in Form“ halten, also Probleme lösen, lösen und lösen und so Ihre Fähigkeiten verbessern erlernte Techniken und Methoden anwenden in verschiedenen Situationen. Viel Glück!
Üben Sie regelmäßig das Lösen von Problemen
Um mit dem Lernen auf dem 1C:Tutor-Portal zu beginnen, benötigen Sie lediglich .
Sie können:
- Lernen Sie unabhängig und kostenlos Verwendung von Lehrmaterialien, einschließlich einer Reihe von Videolektionen, Schritt-für-Schritt-Simulatoren und Online-Tests zu jedem Thema des Einheitlichen Staatsexamens;
- Nutzen Sie ein effektiveres (unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Wahrnehmung der Studierenden) Mittel: Nehmen Sie an, wo die Theorie und Methoden zur Lösung von Problemen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik im Detail untersucht werden.
Im Jahr 2017 haben wir eine Reihe von Webinaren durchgeführt, die sich mit rationalen Gleichungen und Ungleichungen befassten. Webinar-Aufzeichnungen stehen Benutzern zur Verfügung, die den gesamten Kurs für 9900₽ abonnieren 7900₽. Zum Testen können Sie Kaufen Sie den Zugang für einen Monat für 990 ₽
Hier sind die Schlüsselbegriffe, die Suchrobotern helfen sollen, unsere Ratschläge besser zu finden:
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Das sind drei Aufgaben. Zuerst müssen Sie die Formeln lernen. Wir haben sie alle Tische:
Bei USE-Aufgaben zur Stereometrie ist es häufig erforderlich, das Volumen eines Körpers oder seine Oberfläche zu berechnen. Oder nutzen Sie diese Daten irgendwie. Werfen wir daher einen Blick in das erklärende Wörterbuch der russischen Sprache und klären die Konzepte.
Volumen ist die Länge, Breite und Höhe von etwas, gemessen in Kubikeinheiten.
Mit anderen Worten: Je größer das Volumen, desto mehr Platz nimmt der Körper im dreidimensionalen Raum ein.
Fläche ist die Länge und Breite von etwas, gemessen in Quadrateinheiten.
Stellen Sie sich vor, Sie müssten die gesamte Oberfläche eines dreidimensionalen Körpers abdecken. Wie viele Quadratzentimeter (oder Meter) würden Sie abdecken? Das ist seine Oberfläche. 
Volumenkörper sind Polyeder (Würfel, Parallelepiped, Prisma, Pyramide) und Rotationskörper (Zylinder, Kegel, Kugel).
Wenn Ihr Stereometrieproblem ein Polyeder betrifft, werden Sie auf die Begriffe „Scheitelpunkte“, „Flächen“ und „Kanten“ stoßen. Hier sind sie im Bild.
Um die Oberfläche eines Polyeders zu ermitteln, addieren Sie die Flächen aller seiner Flächen.
Möglicherweise stoßen Sie auch auf die Konzepte „gerades Prisma, regelmäßiges Prisma, regelmäßige Pyramide“.
Gerade Prisma genannt, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen.
Wenn das Prisma gerade ist und an seiner Basis ein regelmäßiges Vieleck hat, wird das Prisma aufgerufen richtig.
A regelmäßige Pyramide- eines, dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck ist und dessen Scheitelpunkt in die Mitte der Basis projiziert wird.
Kommen wir zum Üben.
Eines der häufigsten Probleme in Teil 1 ist eines, bei dem Sie es tun müssen Berechnen Sie das Volumen oder die Oberfläche eines Polyeders, aus dem ein Teil herausgeschnitten wird. Zum Beispiel so:
Was ist hier gezeichnet? Offensichtlich handelt es sich hierbei um ein großes Parallelepiped, aus dem ein „Ziegelstein“ herausgeschnitten ist, so dass sich ein „Regal“ herausstellt. Wenn Sie auf dem Bild etwas anderes sehen, achten Sie auf die durchgezogenen und gestrichelten Linien. Durchgezogene Linien sind sichtbar. Die gestrichelten Linien zeigen die Kanten, die wir nicht sehen können, weil sie hinten liegen.
Das Volumen ist leicht zu finden. Vom Volumen des großen „Steins“ subtrahieren wir das Volumen des kleinen. Wir bekommen:
Wie sieht es mit der Oberfläche aus? Aus irgendeinem Grund versuchen viele Schulkinder, es analog zum Volumen zu berechnen, beispielsweise den Flächenunterschied zwischen großen und kleinen „Steinen“. Als Antwort auf eine solche „Lösung“ schlage ich normalerweise ein Kinderproblem vor: Wenn Sie eine Ecke eines viereckigen Tisches absägen, wie viele Ecken bleiben dann übrig? :-)
Tatsächlich müssen wir die Summe der Flächen aller Flächen berechnen – oben, unten, vorne, hinten, rechts, links, sowie die Summe der Flächen dreier kleiner Rechtecke, die das „Regal“ bilden. Sie können dies direkt und direkt tun. Aber es gibt einen einfacheren Weg.
Erstens: Wenn aus einem großen Parallelepiped nichts herausgeschnitten würde, wäre seine Oberfläche gleich . Wie wirkt sich das ausgeschnittene „Regal“ darauf aus?
Berechnen wir zunächst die Fläche aller horizontalen Abschnitte, also des „Bodens“, des „Dachs“ und der Unterseite des „Regals“. Mit der Unterseite ist alles klar, sie ist rechteckig, ihre Fläche beträgt .
Aber auch die Summe der Flächen des „Dachs“ und der horizontalen Kante des „Regals“ ist gleich! Betrachten Sie sie von oben.
...In diesem Moment kommt das Verständnis. Manchen Menschen fällt es leichter, eine Draufsicht zu zeichnen. Einige stellen sich vor, wir verschieben den Boden und die Wände des Regals und erhalten ein ganzes großes Parallelepiped, dessen Oberfläche gleich ist. Wie auch immer Sie sich entscheiden, das Ergebnis ist dasselbe – die Oberfläche wird die gleiche sein wie die eines ganzen Parallelepipeds, aus dem nichts herausgeschnitten wurde.
Antwort: .
Das nächste, einfachere Problem können Sie nun problemlos lösen. Auch hier ist es notwendig Finden Sie die Oberfläche eines Polyeders:
. Von der Oberfläche des „ganzen Ziegelsteins“ subtrahieren wir die Flächen zweier Quadrate mit einer Seite – auf der Ober- und Unterseite.
Und hier ist eine rechteckige Fliese mit einem „Fenster“. Die Aufgabe ist dieselbe – Sie müssen es tun Fläche finden.
Berechnen Sie zunächst die Summe der Flächen aller Flächen. Stellen Sie sich vor, Sie sind Designer und dieses Ding ist eine Dekoration. Und Sie müssen dieses Ding mit etwas Wertvollem bedecken, zum Beispiel mit Swarovski-Diamanten. Und Sie kaufen sie mit Ihrem eigenen Geld. (Ich weiß nicht warum, aber dieser Satz erhöht sofort die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort!) Decken Sie alle Kanten der Fliese ab. Subtrahieren Sie aber nur die Fläche des „Fensters“ von den Flächen der Vorder- und Rückseite. Und dann – das „Fenster“ selbst. Decken Sie den gesamten „Rahmen“ ab.
Korrekte Antwort: .
Die nächste Art von Problem entsteht, wenn ein volumetrischer Körper in einen anderen eingeschrieben wird.
Ein rechteckiges Parallelepiped wird um einen Zylinder herum beschrieben, dessen Basisradius und Höhe gleich sind. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds.
Beachten Sie zunächst, dass die Höhe des Zylinders der Höhe des Parallelepipeds entspricht. Zeichnen Sie eine Draufsicht, also einen Kreis, der in ein Rechteck eingeschrieben ist. Hier sehen Sie sofort, dass dieses Rechteck tatsächlich ein Quadrat ist und seine Seite doppelt so groß ist wie der Radius des darin eingeschriebenen Kreises. Die Fläche der Basis des Parallelepipeds ist also gleich, die Höhe ist gleich und das Volumen ist gleich.
. An der Basis eines geraden Prismas liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen und. Die Seitenrippen sind gleich. Finden Sie das Volumen des Zylinders, der dieses Prisma umschreibt. Schreiben Sie die Antwort auf.
Offensichtlich ist die Höhe des Zylinders gleich der Seitenkante des Prismas. Es bleibt der Radius seiner Basis zu ermitteln.
Zeichnen Sie die Draufsicht. Ein rechtwinkliges Dreieck ist in einen Kreis eingeschrieben. Wo wird der Radius dieses Kreises sein? Genau, in der Mitte der Hypotenuse. Wir finden die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras, sie ist gleich . Dann beträgt der Radius der Basis des Zylinders fünf. Ermitteln Sie das Volumen des Zylinders mithilfe der Formel und notieren Sie die Antwort: .
. Eine Kugel mit Radius ist in ein rechteckiges Parallelepiped eingeschrieben. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds.
Auch diese Aufgabe ist einfach. Zeichnen Sie die Draufsicht. Oder von der Seite. Oder von vorne. Auf jeden Fall werden Sie dasselbe sehen – einen Kreis, der in ein Rechteck eingeschrieben ist. Offensichtlich wird dieses Rechteck ein Quadrat sein. Sie können sogar nichts zeichnen, sondern sich einfach eine Kugel vorstellen, die so in eine Schachtel gelegt wird, dass sie alle Wände, den Boden und den Deckel berührt. Es ist klar, dass eine solche Box eine kubische Form haben wird. Länge, Breite und Höhe dieses Würfels sind doppelt so groß wie der Radius der Kugel.
Antwort: .
Die nächste Art von Problemen sind solche, bei denen eine lineare Größe (oder Größen) eines volumetrischen Körpers vergrößert oder verkleinert wird. Und Sie müssen herausfinden, wie sich das Volumen oder die Oberfläche ändert.
. Wasser wurde in ein Gefäß gegossen, das die Form eines regelmäßigen dreieckigen Prismas hatte. Der Wasserstand erreicht cm. Wie hoch wird der Wasserstand sein, wenn er in ein anderes ähnliches Gefäß gegossen wird, dessen Bodenseite um ein Vielfaches größer ist als der des ersten? Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.
Die Worte „ein anderes ähnliches Gefäß“ bedeuten, dass das andere Gefäß ebenfalls die Form eines regelmäßigen dreieckigen Prismas hat. Das heißt, an seiner Basis befindet sich ein regelmäßiges Dreieck, dessen Seiten alle doppelt so groß sind wie die erste. Wir haben bereits gesagt, dass die Fläche dieses Dreiecks um ein Vielfaches größer sein wird. Die Wassermenge blieb unverändert. Folglich verringert sich die Höhe um ein Vielfaches.
Antwort: .
. Ein zylindrischer Becher ist doppelt so hoch wie der zweite, aber der zweite ist doppelt so breit. Finden Sie das Verhältnis des Volumens des zweiten Bechers zum Volumen des ersten.
Erinnern wir uns daran, wie wir uns entschieden haben Standardaufgaben, für Bewegung und Arbeit. Wir haben eine Tabelle gezeichnet, oder? Und hier zeichnen wir auch eine Tabelle. Wir erinnern uns, dass das Volumen eines Zylinders beträgt.
| Höhe | Radius | Volumen | |
| Erster Becher | |||
| Zweiter Becher |
Wir berechnen das Volumen des zweiten Bechers. Es ist gleich. Es stellt sich heraus, dass es doppelt so groß ist wie das Volumen des ersten.