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किसी फ़ंक्शन का चरम मान कैसे निर्धारित करें. बढ़ते और घटते कार्य, एक्स्ट्रेमा

किसी फ़ंक्शन का चरम मान कैसे निर्धारित करें. बढ़ते और घटते कार्य, एक्स्ट्रेमा

यह गणित का एक दिलचस्प खंड है, जिसका सामना बिल्कुल सभी स्नातक और छात्र करते हैं। हालाँकि, हर किसी को मटन पसंद नहीं है। कुछ लोग प्रतीत होता है कि मानक फ़ंक्शन अध्ययन जैसी बुनियादी चीज़ों को भी नहीं समझ सकते हैं। इस लेख का उद्देश्य ऐसी भूल को सुधारना है। फ़ंक्शन विश्लेषण के बारे में अधिक जानना चाहते हैं? क्या आप जानना चाहेंगे कि चरम बिंदु क्या हैं और उन्हें कैसे खोजा जाए? तब तो यह लेख तुम्हारे लिए है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का अध्ययन करना

सबसे पहले, यह समझने लायक है कि आपको ग्राफ़ का विश्लेषण करने की आवश्यकता क्यों है। ऐसे सरल कार्य हैं जिन्हें बनाना कठिन नहीं है। ऐसे फ़ंक्शन का एक उल्लेखनीय उदाहरण एक परवलय है। ग्राफ बनाना कठिन नहीं होगा. बस एक साधारण परिवर्तन का उपयोग करके, उन संख्याओं को ढूंढना है जिन पर फ़ंक्शन मान 0 लेता है। और सिद्धांत रूप में, एक परवलय का ग्राफ बनाने के लिए आपको बस इतना ही जानना आवश्यक है।

लेकिन क्या होगा यदि जिस फ़ंक्शन को हमें ग्राफ़ करने की आवश्यकता है वह अधिक जटिल है? चूँकि जटिल कार्यों के गुण बिल्कुल स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए संपूर्ण विश्लेषण करना आवश्यक है। इसके बाद ही फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। यह कैसे करना है? इस प्रश्न का उत्तर आप इस लेख में पा सकते हैं।

फ़ंक्शन विश्लेषण योजना

पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह फ़ंक्शन का सतही अध्ययन करना है, जिसके दौरान हम परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। तो, चलिए क्रम से शुरू करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र मानों का वह समूह है जिसके द्वारा फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है। सीधे शब्दों में कहें तो ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग किसी फ़ंक्शन में x के बजाय किया जा सकता है। दायरा निर्धारित करने के लिए, आपको बस रिकॉर्ड देखने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 में परिभाषा का एक डोमेन है जो वास्तविक संख्याओं का सेट है। खैर, (x 2 - 2x)/x जैसे फ़ंक्शन के साथ सब कुछ थोड़ा अलग है। चूँकि हर में संख्या 0 के बराबर नहीं होनी चाहिए, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र शून्य के अलावा सभी वास्तविक संख्याएँ होंगी।

इसके बाद, आपको फ़ंक्शन के तथाकथित शून्य खोजने होंगे। ये तर्क मान हैं जिन पर संपूर्ण फ़ंक्शन शून्य मान लेता है। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना, उस पर विस्तार से विचार करना और कुछ परिवर्तन करना आवश्यक है। आइए पहले से परिचित फ़ंक्शन y(x) = (x 2 - 2x)/x लें। स्कूल के पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक भिन्न 0 के बराबर होती है जब अंश शून्य के बराबर होता है। इसलिए, हम हर को त्याग देते हैं और अंश के साथ काम करना शुरू करते हैं, इसे शून्य के बराबर करते हैं। हमें x 2 - 2x = 0 मिलता है और x को कोष्ठक से बाहर रख देते हैं। इसलिए x (x - 2) = 0. परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि जब x 0 या 2 के बराबर होता है तो हमारा फ़ंक्शन शून्य के बराबर होता है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करते समय, कई लोगों को चरम बिंदुओं के रूप में समस्याओं का सामना करना पड़ता है। और यह अजीब है. आख़िरकार, चरम एक काफी सरल विषय है। मुझ पर विश्वास नहीं है? लेख के इस भाग को पढ़कर स्वयं देखें, जिसमें हम न्यूनतम और अधिकतम अंकों के बारे में बात करेंगे।

सबसे पहले, यह समझने लायक है कि चरम क्या है। एक्स्ट्रीमम वह सीमा मान है जिस तक कोई फ़ंक्शन किसी ग्राफ़ पर पहुंचता है। यह पता चला है कि दो चरम मूल्य हैं - अधिकतम और न्यूनतम। स्पष्टता के लिए, आप ऊपर दी गई तस्वीर देख सकते हैं। अध्ययन किए गए क्षेत्र में, बिंदु -1 फ़ंक्शन y (x) = x 5 - 5x का अधिकतम है, और बिंदु 1, तदनुसार, न्यूनतम है।

साथ ही, अवधारणाओं को भ्रमित न करें। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे तर्क होते हैं जिन पर कोई दिया गया फ़ंक्शन चरम मान प्राप्त करता है। बदले में, चरम किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम का मान है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए चित्र पर फिर से विचार करें। -1 और 1 फ़ंक्शन के चरम बिंदु हैं, और 4 और -4 स्वयं चरम बिंदु हैं।

चरम बिंदु ढूँढना

लेकिन आप किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु कैसे ढूंढते हैं? सब कुछ काफी सरल है. सबसे पहली चीज़ जो करने की ज़रूरत है वह है समीकरण का अवकलज ज्ञात करना। मान लीजिए कि हमें कार्य प्राप्त हुआ: "फ़ंक्शन y (x) के चरम बिंदु खोजें, x तर्क है। स्पष्टता के लिए, आइए फ़ंक्शन y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54 लें। आइए अंतर करें और निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करें: 3x 2 + 4x + 1. परिणामस्वरूप, हमारे पास एक मानक द्विघात समीकरण है। आगे हमें बस इसे शून्य के बराबर करना है और मूल ज्ञात करना है। चूँकि विवेचक शून्य से बड़ा है (D = 16 - 12 = 4), यह समीकरण दो जड़ों द्वारा निर्धारित होता है। उन्हें ढूंढें और दो मान प्राप्त करें: 1/3 और -1। ये फ़ंक्शन के चरम बिंदु होंगे। हालांकि, आप अभी भी यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि कौन कौन है? कौन सा बिंदु अधिकतम है और कौन सा न्यूनतम है? ऐसा करने के लिए, आपको पड़ोसी बिंदु लेना होगा और उसका मूल्य पता लगाना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या -2 लें, जो -1 से समन्वय रेखा के साथ बाईं ओर स्थित है . इस मान को हमारे समीकरण y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5 में प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि अंतराल में फ़ंक्शन 1/3 से -1 तक बढ़ जाता है। यह बदले में, इसका मतलब है कि अंतराल पर माइनस इनफिनिटी से 1/3 तक और -1 से प्लस इनफिनिटी तक फ़ंक्शन कम हो जाता है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्या 1/3 अध्ययन किए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, और -1 अधिकतम बिंदु है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि एकीकृत राज्य परीक्षा में न केवल चरम बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता होती है, बल्कि उनके साथ कुछ प्रकार का ऑपरेशन (जोड़ना, गुणा करना, आदि) भी करना होता है। यही कारण है कि समस्या की स्थितियों पर विशेष ध्यान देना उचित है। आख़िरकार, असावधानी के कारण आप अंक खो सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का चरम पता लगाना सीखने से पहले, आपको यह समझने की ज़रूरत है कि चरम क्या है। चरम की सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि, जैसा कि गणित में उपयोग किया जाता है, यह संख्या रेखा या ग्राफ़ के एक निश्चित सेट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान है। जिस स्थान पर न्यूनतम स्थित है, वहां न्यूनतम चरम प्रकट होता है, और जहां अधिकतम स्थित है, वहां अधिकतम चरम प्रकट होता है। गणितीय विश्लेषण जैसे अनुशासन में भी, किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम की पहचान की जाती है। अब आइए देखें कि चरम बिंदु कैसे खोजें।

गणित में एक्स्ट्रेमा किसी फ़ंक्शन की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है; वे इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान दिखाते हैं। एक्स्ट्रेमा मुख्य रूप से पाए जाने वाले कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर पाए जाते हैं। यह ध्यान देने योग्य है कि यह चरम बिंदु पर है कि फ़ंक्शन मौलिक रूप से अपनी दिशा बदलता है। यदि आप चरम बिंदु के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, यह शून्य के बराबर होना चाहिए या पूरी तरह से अनुपस्थित होगा। इस प्रकार, यह जानने के लिए कि किसी फ़ंक्शन का चरम कैसे पाया जाए, आपको दो क्रमिक कार्य करने होंगे:

उस फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न ढूंढें जिसे कार्य द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है;
समीकरण की जड़ें खोजें.

चरम को खोजने का क्रम

दिए गए फ़ंक्शन f(x) को लिखें। इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न f "(x) ज्ञात कीजिए। परिणामी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करें।
अब आपको परिणामी समीकरण को हल करना होगा। परिणामी समाधान समीकरण के मूल होंगे, साथ ही निर्धारित किए जा रहे फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु भी होंगे।
अब हम यह निर्धारित करते हैं कि पाई गई जड़ें कौन से महत्वपूर्ण बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम) हैं। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने का तरीका जानने के बाद अगला चरण, वांछित फ़ंक्शन f "(x) का दूसरा व्युत्पन्न ढूंढना है। पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं के मानों को इसमें प्रतिस्थापित करना आवश्यक होगा एक विशिष्ट असमानता और फिर गणना करें कि क्या होता है। यदि ऐसा होता है, यदि दूसरा व्युत्पन्न महत्वपूर्ण बिंदु पर शून्य से अधिक हो जाता है, तो यह न्यूनतम बिंदु होगा, और अन्यथा यह अधिकतम बिंदु होगा।
फ़ंक्शन के आवश्यक अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर प्रारंभिक फ़ंक्शन के मान की गणना करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम प्राप्त मानों को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं। हालाँकि, यह ध्यान देने योग्य है कि यदि महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम हो जाता है, तो चरम अधिकतम होगा, और यदि यह न्यूनतम है, तो सादृश्य द्वारा यह न्यूनतम होगा।

चरम सीमा ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम

प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, हम चरम बिंदुओं को खोजने के तरीके पर एक संक्षिप्त एल्गोरिदम बनाएंगे।

हम किसी दिए गए फ़ंक्शन और उसके अंतराल की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं, जो सटीक रूप से निर्धारित करता है कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर निरंतर है।
फलन f'(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हम समीकरण y = f (x) के महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करते हैं।
हम फ़ंक्शन f (x) की दिशा में परिवर्तनों के साथ-साथ व्युत्पन्न f "(x) के संकेत का विश्लेषण करते हैं जहां महत्वपूर्ण बिंदु इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को विभाजित करते हैं।
अब हम यह निर्धारित करते हैं कि ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु अधिकतम है या न्यूनतम।
हम फ़ंक्शन के मान उन बिंदुओं पर पाते हैं जो एक्स्ट्रेमा हैं।
हम इस अध्ययन के परिणाम को रिकॉर्ड करते हैं - एकरसता का चरम और अंतराल। बस इतना ही। अब हमने देखा है कि आप किसी भी अंतराल पर चरम सीमा कैसे पा सकते हैं। यदि आपको किसी फ़ंक्शन के एक निश्चित अंतराल पर एक चरम खोजने की आवश्यकता है, तो यह उसी तरह से किया जाता है, केवल किए जा रहे शोध की सीमाओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इसलिए, हमने देखा कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को कैसे खोजा जाए। सरल गणनाओं की सहायता से, साथ ही डेरिवेटिव खोजने के ज्ञान से, आप कोई भी चरम पा सकते हैं और उसकी गणना कर सकते हैं, साथ ही उसे ग्राफिक रूप से इंगित भी कर सकते हैं। एक्स्ट्रेमा ढूँढना स्कूल और उच्च शिक्षा दोनों में गणित के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक है, इसलिए, यदि आप उन्हें सही ढंग से पहचानना सीख जाते हैं, तो अध्ययन करना बहुत आसान और अधिक दिलचस्प हो जाएगा।

समारोह की चरम सीमा

परिभाषा 2

एक बिंदु $x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का एक पड़ोस ऐसा है कि इस पड़ोस में सभी $x$ के लिए असमानता $f(x)\le f(x_0) $ धारण करता है।

परिभाषा 3

एक बिंदु $x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का एक पड़ोस ऐसा है कि इस पड़ोस में सभी $x$ के लिए असमानता $f(x)\ge f(x_0) $ धारण करता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। आइये इसकी परिभाषा से परिचित कराते हैं।

परिभाषा 4

$x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का एक महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है यदि:

1) $x_0$ - परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ या अस्तित्व में नहीं है।

चरम की अवधारणा के लिए, हम इसके अस्तित्व के लिए पर्याप्त और आवश्यक शर्तों पर प्रमेय तैयार कर सकते हैं।

प्रमेय 2

चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए कि बिंदु $x_0$ फ़ंक्शन $y=f(x)$ के लिए महत्वपूर्ण है और अंतराल $(a,b)$ में स्थित है। मान लीजिए कि प्रत्येक अंतराल $\left(a,x_0\right)\ और\ (x_0,b)$ पर व्युत्पन्न $f"(x)$ मौजूद है और एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर:

1) यदि अंतराल $(a,x_0)$ पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right)>0$ है, और अंतराल $(x_0,b)$ पर व्युत्पन्न $f"\left( है x\दाएं)

2) यदि अंतराल $(a,x_0)$ पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right)0$ है, तो बिंदु $x_0$ इस फ़ंक्शन के लिए न्यूनतम बिंदु है।

3) यदि अंतराल $(a,x_0)$ और अंतराल $(x_0,b)$ दोनों पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right) >0$ या व्युत्पन्न $f"\left(x) \सही)

यह प्रमेय चित्र 1 में दर्शाया गया है।

चित्र 1. एक्स्ट्रेमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति

चरम सीमाओं के उदाहरण (चित्र 2)।

चित्र 2. चरम बिंदुओं के उदाहरण

चरम के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने का नियम

2) व्युत्पन्न $f"(x)$ खोजें;

7) प्रमेय 2 का उपयोग करके प्रत्येक अंतराल पर मैक्सिमा और मिनिमा की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

बढ़ते और घटते कार्य

आइए सबसे पहले बढ़ते और घटते फलनों की परिभाषाएँ प्रस्तुत करें।

परिभाषा 5

कहा जाता है कि अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ बढ़ रहा है यदि $x_1 पर किसी भी बिंदु $x_1,x_2\in X$ के लिए

परिभाषा 6

अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ को घटता हुआ माना जाता है यदि $x_1f(x_2)$ के लिए किसी भी बिंदु $x_1,x_2\in X$ के लिए।

किसी फ़ंक्शन को बढ़ाने और घटाने के लिए अध्ययन करना

आप व्युत्पन्न का उपयोग करके बढ़ते और घटते कार्यों का अध्ययन कर सकते हैं।

बढ़ते और घटते अंतरालों के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करना होगा:

1) फ़ंक्शन $f(x)$ की परिभाषा का डोमेन खोजें;

2) व्युत्पन्न $f"(x)$ खोजें;

3) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर समानता $f"\left(x\right)=0$ कायम है;

4) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर $f"(x)$ मौजूद नहीं है;

5) समन्वय रेखा पर पाए गए सभी बिंदुओं और इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को चिह्नित करें;

6) प्रत्येक परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न $f"(x)$ का चिह्न निर्धारित करें;

7) एक निष्कर्ष निकालें: अंतराल पर जहां $f"\left(x\right)0$ फ़ंक्शन बढ़ता है।

बढ़ने, घटने और एक्स्ट्रेमा बिंदुओं की उपस्थिति के कार्यों का अध्ययन करने के लिए समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

बढ़ने और घटने और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

चूँकि पहले 6 बिंदु समान हैं, आइए पहले उन पर अमल करें।

1) परिभाषा का क्षेत्र - सभी वास्तविक संख्याएँ;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ परिभाषा के क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर मौजूद है;

5) समन्वय रेखा:

चित्र तीन।

6) प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न $f"(x)$ का चिह्न निर्धारित करें:

\\तुम तुम

स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा का पता लगाना बिना विभेदन के नहीं किया जा सकता है और किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय और उसका ग्राफ बनाते समय यह आवश्यक है।

किसी बिंदु को किसी फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम (या न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का कोई पड़ोस है जो फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, और इस सभी पड़ोस के लिए असमानता (या) कायम है।

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके चरम मान होते हैं।

स्थानीय चरम के लिए आवश्यक शर्त:

यदि किसी फ़ंक्शन में किसी बिंदु पर स्थानीय चरम है, तो या तो व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

जो बिंदु उपरोक्त आवश्यकताओं को पूरा करते हैं उन्हें महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।

हालाँकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन की एक चरम सीमा होती है।

किसी फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा

प्रश्न का उत्तर: क्या एक क्रांतिक बिंदु एक चरम बिंदु होगा, निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

किसी कार्य की चरम सीमा के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त शर्त

प्रमेय I मान लीजिए कि फ़ंक्शन महत्वपूर्ण बिंदु वाले एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर विभेदित है (बिंदु के संभावित अपवाद के साथ)।

फिर एक बिंदु के लिए फ़ंक्शन में अधिकतम होता है यदि तर्क इस शर्त को संतुष्ट करते हैं कि व्युत्पन्न शून्य से अधिक है, और इस स्थिति के लिए व्युत्पन्न शून्य से कम है।

यदि व्युत्पन्न for शून्य से कम है, और for शून्य से अधिक है, तो फ़ंक्शन में बिंदु के लिए न्यूनतम होता है।

प्रमेय II. मान लीजिए कि फ़ंक्शन एक बिंदु के पड़ोस में दो बार भिन्न होता है और व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। फिर एक बिंदु पर फ़ंक्शन में एक स्थानीय अधिकतम होता है यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से कम होता है और यदि इसके विपरीत होता है तो एक स्थानीय न्यूनतम होता है।

यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो बिंदु चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

एक्स्ट्रेमा के कार्यों का अध्ययन करते समय, दोनों प्रमेयों का उपयोग किया जाता है। व्यवहार में पहला सरल है, क्योंकि इसमें दूसरे व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

प्रथम व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम (अधिकतम और न्यूनतम) खोजने के नियम

1) परिभाषा का क्षेत्र खोजें;

2) पहला व्युत्पन्न खोजें;

3) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें;

4) परिभाषा के क्षेत्र को महत्वपूर्ण बिंदुओं से विभाजित करने से प्राप्त अंतरालों पर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें।

इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु एक न्यूनतम बिंदु होता है, यदि बाएं से दाएं गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत को नकारात्मक से सकारात्मक में बदल देता है, अन्यथा यह एक अधिकतम बिंदु होता है।

इस नियम के बजाय, आप दूसरा व्युत्पन्न निर्धारित कर सकते हैं और दूसरे प्रमेय के अनुसार इसका अध्ययन कर सकते हैं।

5) चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें।

आइए अब हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके एक्स्ट्रेमा के कार्यों के अध्ययन पर विचार करें।

वी.यू द्वारा संग्रह। क्लेप्को, वी.एल. गोलेट्स "उदाहरणों और समस्याओं में उच्च गणित"

1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा

2) व्युत्पन्न खोजें

3) महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करें

वे परिभाषा के क्षेत्र को निम्नलिखित अंतरालों में विभाजित करते हैं

4) हम मूल्यों को प्रतिस्थापित करने की विधि का उपयोग करके पाए गए अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करते हैं

इस प्रकार, पहला बिंदु न्यूनतम बिंदु है, और दूसरा अधिकतम बिंदु है।

5) फ़ंक्शन के मान की गणना करें

1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा, इसलिए मूल हमेशा एक से बड़ा होता है

और आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है।

2) व्युत्पन्न खोजें

3) इस शर्त से कि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हम महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं

यह परिभाषा के क्षेत्र को दो अंतरालों में विभाजित करता है

4) प्रत्येक क्षेत्र में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें

इस प्रकार, हम पाते हैं कि क्रांतिक बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम मान लेता है।

5) फ़ंक्शन के चरम की गणना करें

1) फ़ंक्शन तब परिभाषित होता है जब हर शून्य पर नहीं जाता है

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि परिभाषा के क्षेत्र में तीन अंतराल होते हैं

2) व्युत्पन्न की गणना करें

3) हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं।

4) प्रत्येक क्षेत्र में संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करके व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें।

इस प्रकार, बिंदु स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है। हमारे पास फ़ंक्शन में एक विभक्ति बिंदु है, लेकिन निम्नलिखित लेखों में इसके बारे में अधिक सामग्री होगी।

5) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर मान ज्ञात करें

इस तथ्य के बावजूद कि फ़ंक्शन का मान है, पहला बिंदु स्थानीय अधिकतम का बिंदु है, और चाप न्यूनतम का बिंदु है। यदि आपको समान परिणाम मिलते हैं तो डरो मत; स्थानीय चरम सीमाओं का निर्धारण करते समय, ऐसी स्थितियाँ स्वीकार्य हैं।

सामग्री देखें:

साहित्य

1. बोगोमोलोव एन.वी. गणित में व्यावहारिक पाठ. – एम.: उच्चतर. स्कूल, 2009

2. पी.टी.अपानासोव, एम.आई.ओरलोव। गणित में समस्याओं का संग्रह. – एम.: उच्चतर. स्कूल, 2009

दिशा-निर्देश

डेरिवेटिव का उपयोग करके कार्यों का अध्ययन करना। एकरसता के अंतराल ढूँढना

प्रमेय 1.यदि फ़ंक्शन f(x) परिभाषित है और अंतराल (a;b) पर निरंतर है और f '(x) हर जगह सकारात्मक है (f '(x)>0), तो फ़ंक्शन अंतराल (a;b) पर बढ़ रहा है ).

प्रमेय 2.यदि फ़ंक्शन f(x) परिभाषित है और अंतराल (a;b) पर निरंतर है और f '(x) हर जगह नकारात्मक है (f'(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

उदाहरण 1।एकरसता की जांच करें y= .

समाधान: y'=2x-1

संख्या अक्ष को दो अंतरालों में विभाजित किया गया है

इसका मतलब यह है कि अंतराल (-;5) में फलन घटता है और अंतराल (5;) में फलन बढ़ता है।

किसी फ़ंक्शन का चरम ढूँढना

फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x0 पर अधिकतम (न्यूनतम) है यदि इस बिंदु का कोई पड़ोस है जिसमें f(x) f(x0)) xx0 के लिए।

अधिकतम और न्यूनतम को एक्स्ट्रीमम नाम के तहत संयोजित किया जाता है।

प्रमेय 1. (चरम के लिए आवश्यक शर्त)।यदि बिंदु x0 फ़ंक्शन y=f(x) का चरम बिंदु है और इस बिंदु पर एक व्युत्पन्न f '(x0) है, तो यह शून्य के बराबर है: f '(x)=0।

वे बिंदु जहां f '(x)=0 या अस्तित्व में नहीं है, क्रांतिक कहलाते हैं।

प्रमेय 2. (पर्याप्त शर्त)।मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) बिंदु x0 पर निरंतर है और इसके पड़ोस में, शायद, बिंदु x0 को छोड़कर, एक व्युत्पन्न है। तब

a) यदि बिंदु x0 से गुजरते समय व्युत्पन्न f '(x) चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो बिंदु x0 फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम बिंदु है;

बी) यदि बिंदु x0 से गुजरते समय व्युत्पन्न f '(x) का चिह्न माइनस से प्लस में बदल जाता है, तो बिंदु x0 फ़ंक्शन f(x) का न्यूनतम बिंदु है;

ग) यदि बिंदु x0 का कोई पड़ोस (x0-; x0+) है जिसमें व्युत्पन्न f '(x) अपना चिह्न बरकरार रखता है, तो बिंदु x0 पर इस फ़ंक्शन f(x) का कोई चरम नहीं है।

उदाहरण 2.फ़ंक्शन y = 3 -5x - के चरम की जांच करें।

समाधान: y'= -5-2x

बिंदु x = - 2.5 से गुजरने पर, व्युत्पन्न y' का चिह्न "+" से "-" ==> x = -2.5 अधिकतम बिंदु में बदल जाता है।

किसी कार्य के चरम के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

xmax= — 2.5; यूमैक्स = 9.25.

आप जो खोज रहे थे वह नहीं मिला? खोज का उपयोग करें:

यह भी पढ़ें:

स्थानीय चरम के लिए आवश्यक शर्त:

हालाँकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन की एक चरम सीमा होती है। प्रश्न का उत्तर: क्या एक क्रांतिक बिंदु एक चरम बिंदु होगा, निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

किसी कार्य की चरम सीमा के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त शर्त

प्रमेय II. मान लीजिए कि फ़ंक्शन एक बिंदु के पड़ोस में दो बार भिन्न होता है और व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।

किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा: अस्तित्व के संकेत, समाधान के उदाहरण

फिर एक बिंदु पर फ़ंक्शन में एक स्थानीय अधिकतम होता है यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से कम होता है और यदि इसके विपरीत होता है तो एक स्थानीय न्यूनतम होता है।

यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो बिंदु चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

प्रथम व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम (अधिकतम और न्यूनतम) खोजने के नियम

1) परिभाषा का क्षेत्र खोजें;

2) पहला व्युत्पन्न खोजें;

3) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें;

5) चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें।

1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा

2) व्युत्पन्न खोजें

3) महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करें

वे परिभाषा के क्षेत्र को निम्नलिखित अंतरालों में विभाजित करते हैं

इस प्रकार, पहला बिंदु न्यूनतम बिंदु है, और दूसरा अधिकतम बिंदु है।

5) फ़ंक्शन के मान की गणना करें

और आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है।

2) व्युत्पन्न खोजें

3) इस शर्त से कि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हम महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं

यह परिभाषा के क्षेत्र को दो अंतरालों में विभाजित करता है

4) प्रत्येक क्षेत्र में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें

इस प्रकार, हम पाते हैं कि क्रांतिक बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम मान लेता है।

5) फ़ंक्शन के चरम की गणना करें

1) फ़ंक्शन तब परिभाषित होता है जब हर शून्य पर नहीं जाता है

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि परिभाषा के क्षेत्र में तीन अंतराल होते हैं

2) व्युत्पन्न की गणना करें

3) हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं।

5) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर मान ज्ञात करें

सामग्री देखें:

उच्च गणित » अनेक चरों के फलन » दो चरों वाले एक फलन का चरम

दो चरों वाले किसी फलन का चरम. चरम के लिए कार्यों के अध्ययन के उदाहरण.

मान लीजिए कि फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को बिंदु $(x_0,y_0)$ के किसी पड़ोस में परिभाषित किया गया है। वे कहते हैं कि $(x_0,y_0)$ एक (स्थानीय) अधिकतम बिंदु है यदि सभी बिंदुओं के लिए $(x,y)$ बिंदु के कुछ पड़ोस में $(x_0,y_0)$ असमानता $f(x,y) संतुष्ट है< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, तो बिंदु $(x_0,y_0)$ को (स्थानीय) न्यूनतम बिंदु कहा जाता है।

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को अक्सर सामान्य पद - चरम बिंदु कहा जाता है।

यदि $(x_0,y_0)$ एक अधिकतम बिंदु है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन $f(x_0,y_0)$ का मान फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का अधिकतम कहा जाता है। तदनुसार, न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन का न्यूनतम कहा जाता है $z=f(x,y)$। किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम को एक सामान्य शब्द - फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा द्वारा एकजुट किया जाता है।

चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

$\frac(\partial z)(\partial x)$ और $\frac(\partial z)(\partial y)$ का आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिये। समीकरणों की प्रणाली बनाएं और हल करें $ \left \( \begin(allined) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 .\end(संरेखित) \right.$ वे बिंदु जिनके निर्देशांक निर्दिष्ट प्रणाली को संतुष्ट करते हैं, स्थिर कहलाते हैं।
खोजें $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ और $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( के मान की गणना करें \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ प्रत्येक स्थिर बिंदु पर। उसके बाद, निम्नलिखित योजना का उपयोग करें:

यदि $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (या $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), तो अध्ययनाधीन बिंदु न्यूनतम बिंदु है।
यदि $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
यदि $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
यदि $\Delta = 0$, तो चरम की उपस्थिति के बारे में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है; अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है.

नोट (पाठ की अधिक संपूर्ण समझ के लिए वांछनीय): दिखाएँ\छिपाएँ

यदि $\Delta > 0$, तो $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ आंशिक^2z)(\आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2 > 0$. और यह इस प्रकार है कि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \आंशिक x\आंशिक y)\दाएं)^2 ≥ 0$. वे। $\frac(\आंशिक^2z)(\आंशिक x^2)\cdot \frac(\आंशिक^2z)(\आंशिक y^2) > 0$. यदि कुछ मात्राओं का गुणनफल शून्य से अधिक है, तो ये मात्राएँ एक ही चिह्न की होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, तो $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. संक्षेप में, यदि $\Delta > 0$ तो $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ और $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ के चिह्न मेल खाते हैं .

उदाहरण क्रमांक 1

फ़ंक्शन की चरम सीमा के लिए $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ की जांच करें।

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=8x-6y-34; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=-6x+10y+42. $$

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 8x-6y-34=0;\\ और -6x+10y+42=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को $2$ से कम करें और संख्याओं को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 4x-3y=17;\\ और -3x+5y=-21. \end(संरेखित) \दाएं। $$

हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है। इस स्थिति में, परिणामी प्रणाली को हल करने के लिए क्रैमर विधि का उपयोग करना मुझे सबसे सुविधाजनक लगता है।

$$ \शुरू(संरेखित) और \डेल्टा=\बाएं| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(संरेखित) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

मान $x=2$, $y=-3$ स्थिर बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांक हैं।

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=8; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=10; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=-6. $$

आइए $\Delta$ के मूल्य की गणना करें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

चूँकि $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, तो एल्गोरिथम के अनुसार बिंदु $(2;-3)$ न्यूनतम बिंदु है फ़ंक्शन $z$। हम दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम पाते हैं:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

उत्तर: $(2;-3)$ - न्यूनतम अंक; $z_(मिनट)=-90$.

उदाहरण क्रमांक 2

फ़ंक्शन की चरम सीमा के लिए $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ की जांच करें।

हम उपरोक्त एल्गोरिथम का पालन करेंगे। सबसे पहले, आइए प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=6xy-12. $$

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं $ \left \( \begin(allined) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(संरेखित) \right.$:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 3x^2+3y^2-15=0;\\ और 6xy-12=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए पहले समीकरण को 3 से कम करें, और दूसरे को 6 से कम करें।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x^2+y^2-5=0;\\ और xy-2=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

यदि $x=0$, तो दूसरा समीकरण हमें विरोधाभास की ओर ले जाएगा: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$। इसलिए निष्कर्ष: $x\neq 0$। फिर दूसरे समीकरण से हमारे पास है: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. पहले समीकरण में $y=\frac(2)(x)$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होगा:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

हमें एक द्विघात समीकरण मिला। हम प्रतिस्थापन $t=x^2$ करते हैं (जिसका अर्थ है कि $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(allined) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(संरेखित) $$

यदि $t=1$, तो $x^2=1$. इसलिए हमारे पास $x$ के दो मान हैं: $x_1=1$, $x_2=-1$। यदि $t=4$, तो $x^2=4$, यानी। $x_3=2$, $x_4=-2$. उस $y=\frac(2)(x)$ को याद करते हुए, हमें मिलता है:

\begin(संरेखित) और y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ और y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(संरेखित)

तो, हमारे पास चार स्थिर बिंदु हैं: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$। यह एल्गोरिथम का पहला चरण पूरा करता है।

अब एल्गोरिथम के दूसरे चरण पर आगे बढ़ते हैं। आइए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=6x; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=6x; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=6y. $$

आइए $\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

अब हम पहले पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $\Delta$ के मूल्य की गणना करेंगे। आइए बिंदु $M_1(1;2)$ से शुरू करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. चूँकि $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_2(-1;-2)$ की जाँच करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. चूँकि $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_3(2;1)$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

चूँकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, तो एल्गोरिथम के अनुसार $M_3( 2 ;1)$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। हम दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम पाते हैं:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

बिंदु $M_4(-2;-1)$ का पता लगाना बाकी है। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

चूँकि $\Delta(M_4) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

चरम अध्ययन पूरा हो गया है. जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

$(2;1)$ - न्यूनतम बिंदु, $z_(min)=-27$;
$(-2;-1)$ - अधिकतम बिंदु, $z_(max)=29$.

टिप्पणी

सामान्य स्थिति में, $\Delta$ के मान की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम केवल चिह्न में रुचि रखते हैं, न कि इस पैरामीटर के विशिष्ट मान में। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण नंबर 2 पर, बिंदु $M_3(2;1)$ पर हमारे पास $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ है। यहां यह स्पष्ट है कि $\Delta > 0$ (चूंकि दोनों कारक $36$ और $(2^2-1^2)$ सकारात्मक हैं) और $\Delta$ का कोई विशिष्ट मान नहीं मिलना संभव है। सच है, मानक गणनाओं के लिए यह टिप्पणी बेकार है - उन्हें गणनाओं को एक संख्या में लाने की आवश्यकता होती है :)

उदाहरण संख्या 3

फ़ंक्शन की चरम सीमा के लिए $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ की जांच करें।

हम एल्गोरिथम का पालन करेंगे. सबसे पहले, आइए प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=4x^3-4x+4y; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=4y^3+4x-4y. $$

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 4x^3-4x+4y=0;\\ और 4y^3+4x-4y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए दोनों समीकरणों को $4$ से कम करें:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x^3-x+y=0;\\ और y^3+x-y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए पहले समीकरण को दूसरे में जोड़ें और $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त करें:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

सिस्टम के पहले समीकरण में $y=-x$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

परिणामी समीकरण से हमारे पास है: $x=0$ या $x^2-2=0$। समीकरण $x^2-2=0$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि $x=-\sqrt(2)$ या $x=\sqrt(2)$. तो, $x$ के तीन मान पाए जाते हैं, अर्थात्: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$। चूँकि $y=-x$, तो $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

समाधान का पहला चरण पूरा हो गया है.

किसी फ़ंक्शन का चरम (न्यूनतम और अधिकतम बिंदु) कैसे खोजें

हमें तीन स्थिर बिंदु मिले: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=12x^2-4; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=12y^2-4; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=4. $$

आइए $\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

अब हम पहले पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $\Delta$ के मूल्य की गणना करेंगे। आइए बिंदु $M_1(0;0)$ से शुरू करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. चूँकि $\Delta(M_1) = 0$, तो एल्गोरिथम के अनुसार, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है, क्योंकि विचाराधीन बिंदु पर एक चरम की उपस्थिति के बारे में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है। आइए अभी इस बिंदु को छोड़ दें और अन्य बिंदुओं पर आगे बढ़ें।

आइए बिंदु $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(संरेखित) और \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(संरेखित)

चूँकि $\Delta(M_2) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, तो एल्गोरिथम के अनुसार $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। हम दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_2$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम पाते हैं:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

पिछले बिंदु की तरह, हम बिंदु $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ की जांच करते हैं। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(संरेखित) और \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(संरेखित)

चूँकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, तो एल्गोरिथम के अनुसार $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। हम दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम पाते हैं:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

अब बिंदु $M_1(0;0)$ पर लौटने का समय है, जिस पर $\Delta(M_1) = 0$ है। एल्गोरिथम के अनुसार, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है। इस टालमटोल वाक्यांश का अर्थ है "वही करो जो तुम चाहते हो" :)। ऐसी स्थितियों को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है, और यह समझ में आता है। यदि ऐसी कोई विधि होती तो इसे बहुत पहले ही सभी पाठ्यपुस्तकों में शामिल कर लिया गया होता। इस बीच, हमें प्रत्येक बिंदु के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की तलाश करनी होगी जिस पर $\Delta = 0$ हो। खैर, आइए बिंदु $M_1(0;0)$ के आसपास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें। आइए तुरंत ध्यान दें कि $z(M_1)=z(0;0)=3$. आइए मान लें कि $M_1(0;0)$ न्यूनतम बिंदु है। फिर बिंदु $M_1(0;0)$ के कुछ पड़ोस से किसी भी बिंदु $M$ के लिए हम $z(M) > z(M_1)$ प्राप्त करते हैं, यानी। $z(M) > 3$. क्या होगा यदि किसी पड़ोस में ऐसे बिंदु हों जिन पर $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

आइए उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=0$, यानी। $(x,0)$ फॉर्म के बिंदु। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ निम्नलिखित मान लेगा:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

सभी पर्याप्त छोटे पड़ोस में $M_1(0;0)$ हमारे पास $x^2-2 है< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

लेकिन शायद बिंदु $M_1(0;0)$ अधिकतम बिंदु है? यदि ऐसा है, तो बिंदु $M_1(0;0)$ के कुछ पड़ोस से किसी भी बिंदु $M$ के लिए हमें $z(M) प्राप्त होता है< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? तब बिंदु $M_1$ पर निश्चित रूप से कोई अधिकतम नहीं होगा।

आइए उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=x$, यानी। फॉर्म के बिंदु $(x,x)$. इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ निम्नलिखित मान लेगा:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

चूँकि बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में हमारे पास $2x^4 > 0$ है, तो $2x^4+3 > 3$। निष्कर्ष: बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में ऐसे बिंदु होते हैं जिन पर $z > 3$ होता है, इसलिए बिंदु $M_1(0;0)$ अधिकतम बिंदु नहीं हो सकता है।

बिंदु $M_1(0;0)$ न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम बिंदु है। निष्कर्ष: $M_1$ बिल्कुल भी चरम बिंदु नहीं है।

उत्तर: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ के न्यूनतम बिंदु हैं। दोनों बिंदुओं पर $z_(min)=-5$.

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विषय पर पाठ: "कार्यों के चरम बिंदु ढूँढना। उदाहरण"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1 परिचय।
2. न्यूनतम और अधिकतम अंक.

4. एक्स्ट्रेमा की गणना कैसे करें?
5. उदाहरण.

फंक्शन एक्स्ट्रेमा का परिचय

दोस्तों, आइए एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें:

ध्यान दें कि हमारे फ़ंक्शन y=f (x) का व्यवहार काफी हद तक दो बिंदुओं x1 और x2 द्वारा निर्धारित होता है। आइए इन बिंदुओं पर और इनके आस-पास फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर करीब से नज़र डालें। बिंदु x2 तक फ़ंक्शन बढ़ता है, बिंदु x2 पर एक विभक्ति होती है, और इस बिंदु के तुरंत बाद फ़ंक्शन घटकर बिंदु x1 हो जाता है। बिंदु x1 पर फ़ंक्शन फिर से मुड़ता है, और उसके बाद यह फिर से बढ़ता है। अभी के लिए, हम बिंदुओं को x1 और x2 विभक्ति बिंदु कहेंगे। आइए इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं बनाएं:

हमारे बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ x-अक्ष के समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा का ढलान शून्य है। इसका मतलब यह है कि इन बिंदुओं पर हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है।

आइए इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें:

बिंदु x2 और x1 पर स्पर्शरेखा रेखाएँ खींचना असंभव है। इसका मतलब यह है कि इन बिंदुओं पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। आइए अब दो ग्राफ़ पर अपने बिंदुओं को फिर से देखें। बिंदु x2 वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन किसी क्षेत्र (बिंदु x2 के निकट) में अपने सबसे बड़े मान तक पहुंचता है। बिंदु x1 वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन किसी क्षेत्र (बिंदु x1 के निकट) में अपने सबसे छोटे मान तक पहुंचता है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक

परिभाषा: बिंदु x= x0 को फ़ंक्शन y=f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु x0 का कोई पड़ोस है जिसमें असमानता है: f(x) ≥ f(x0)।

परिभाषा: बिंदु x=x0 को फ़ंक्शन y=f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु x0 का कोई पड़ोस है जिसमें असमानता है: f(x) ≤ f(x0)।

दोस्तों, पड़ोस क्या है?

परिभाषा: किसी बिंदु का पड़ोस उन बिंदुओं का एक समूह है जिसमें हमारा बिंदु और उसके निकट वाले बिंदु शामिल होते हैं।

हम पड़ोस को स्वयं सेट कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु x=2 के लिए, हम पड़ोस को बिंदु 1 और 3 के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

आइए अपने ग्राफ़ पर वापस जाएँ, बिंदु x2 को देखें, यह एक निश्चित पड़ोस के अन्य सभी बिंदुओं से बड़ा है, तो परिभाषा के अनुसार यह एक अधिकतम बिंदु है। अब आइए बिंदु X1 को देखें, यह एक निश्चित पड़ोस के अन्य सभी बिंदुओं से छोटा है, तो परिभाषा के अनुसार यह एक न्यूनतम बिंदु है।

दोस्तों, आइए संकेतन का परिचय दें:

Y मिनट - न्यूनतम बिंदु,
y अधिकतम - अधिकतम बिंदु।

महत्वपूर्ण!दोस्तों, फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के साथ अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को भ्रमित न करें। किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र में न्यूनतम और अधिकतम मान मांगे जाते हैं, और एक निश्चित पड़ोस में न्यूनतम और अधिकतम अंक मांगे जाते हैं।

समारोह की चरम सीमा

न्यूनतम और अधिकतम अंकों के लिए एक सामान्य शब्द है - चरम बिंदु।

एक्स्ट्रीमम (अव्य. एक्स्ट्रीमम - एक्सट्रीम) - किसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान। जिस बिंदु पर चरम सीमा पहुँच जाती है उसे चरम बिंदु कहा जाता है।

तदनुसार, यदि न्यूनतम तक पहुँच जाता है, तो चरम बिंदु को न्यूनतम बिंदु कहा जाता है, और यदि अधिकतम तक पहुँच जाता है, तो इसे अधिकतम बिंदु कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम को कैसे देखें?

आइए अपने चार्ट पर वापस जाएँ। हमारे बिंदुओं पर, व्युत्पन्न या तो गायब हो जाता है (पहले ग्राफ़ पर) या मौजूद नहीं है (दूसरे ग्राफ़ पर)।

तब हम एक महत्वपूर्ण कथन दे सकते हैं: यदि फ़ंक्शन y= f(x) का चरम बिंदु x=x0 पर है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न या तो शून्य है या मौजूद नहीं है।

वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, कहलाते हैं अचल।

वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, कहलाते हैं गंभीर।

चरम की गणना कैसे करें?

दोस्तों, आइए फ़ंक्शन के पहले ग्राफ़ पर वापस जाएं:

इस ग्राफ का विश्लेषण करते हुए, हमने कहा: बिंदु x2 तक फ़ंक्शन बढ़ता है, बिंदु x2 पर एक विभक्ति होती है, और इस बिंदु के बाद फ़ंक्शन घटकर बिंदु x1 हो जाता है। बिंदु x1 पर फ़ंक्शन फिर से मुड़ता है, और उसके बाद फ़ंक्शन फिर से बढ़ जाता है।

इस तरह के तर्क के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन एकरसता की प्रकृति को बदल देता है, और इसलिए व्युत्पन्न फ़ंक्शन संकेत बदलता है। याद रखें: यदि कोई फ़ंक्शन घटता है, तो व्युत्पन्न शून्य से कम या उसके बराबर होता है, और यदि फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है।

आइए निम्नलिखित कथन के साथ प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

प्रमेय: चरम सीमा के लिए एक पर्याप्त शर्त: फ़ंक्शन y=f(x) को कुछ अंतराल X पर निरंतर होने दें और अंतराल के अंदर एक स्थिर या महत्वपूर्ण बिंदु x= x0 रखें। तब:

यदि इस बिंदु में एक पड़ोस है जिसमें f'(x)>0 x x0 के लिए है, तो बिंदु x0 फ़ंक्शन y= f(x) का न्यूनतम बिंदु है।
यदि इस बिंदु में एक पड़ोस है जिसमें f'(x) x 0 और x> x0 के लिए है। यदि इस बिंदु में एक पड़ोस है जिसमें बिंदु x0 के बाईं और दाईं ओर दोनों व्युत्पन्न के संकेत समान हैं , तो बिंदु x0 पर कोई चरम नहीं है।

समस्याओं को हल करने के लिए, इन नियमों को याद रखें: यदि डेरिवेटिव के संकेत परिभाषित किए गए हैं तो:

एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक सतत फलन y= f(x) का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

y' का अवकलज ज्ञात कीजिए।
स्थिर बिंदु (व्युत्पन्न शून्य है) और महत्वपूर्ण बिंदु (व्युत्पन्न मौजूद नहीं है) खोजें।
संख्या रेखा पर स्थिर एवं क्रांतिक बिंदुओं को चिह्नित करें तथा परिणामी अंतरालों पर अवकलज के चिह्न निर्धारित करें।
उपरोक्त कथनों के आधार पर चरम बिंदुओं की प्रकृति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

चरम बिंदु खोजने के उदाहरण

1) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें: y= 7+ 12*x - x 3

समाधान: हमारा कार्य निरंतर है, तो हम अपने एल्गोरिदम का उपयोग करेंगे:
ए) वाई"= 12 - 3x 2,
बी) y"= 0, x= ±2 पर,

बिंदु x= -2 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, बिंदु x= 2 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है।
उत्तर: x= -2 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, x= 2 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है।

2) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें।

समाधान: हमारा कार्य सतत है। आइए हमारे एल्गोरिदम का उपयोग करें:
ए)

बी) बिंदु पर एक्स= 2 व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, क्योंकि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते

फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र:, इस बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, क्योंकि बिंदु का पड़ोस परिभाषित नहीं है। आइए वह मान ज्ञात करें जिस पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

ग) संख्या रेखा पर स्थिर बिंदुओं को चिह्नित करें और व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:

घ) हमारे चित्र को देखें, जो एक्स्ट्रेमा निर्धारित करने के नियम दिखाता है।
बिंदु x= 3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
उत्तर: x=3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

3) फ़ंक्शन y= x - 2cos(x) के चरम बिंदु खोजें और -π ≤ x ≤ π के लिए उनकी प्रकृति निर्धारित करें।

समाधान: हमारा कार्य निरंतर है, आइए अपने एल्गोरिदम का उपयोग करें:
a) y"= 1 + 2sin(x),
बी) वे मान ज्ञात करें जिनमें व्युत्पन्न शून्य के बराबर है: 1 + 2sin(x)= 0, पाप(x)= -1/2,
क्योंकि -π ≤ x ≤ π, फिर: x= -π/6, -5π/6,
ग) संख्या रेखा पर स्थिर बिंदुओं को चिह्नित करें और व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें: घ) हमारे चित्र को देखें, जो एक्स्ट्रेमा निर्धारित करने के नियम दिखाता है।
बिंदु x= -5π/6 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है।
बिंदु x= -π/6 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
उत्तर: x= -5π/6 फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है, x= -π/6 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

4) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें:

समाधान: हमारे फ़ंक्शन में केवल एक बिंदु x= 0 पर असंततता है। आइए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें:
ए)

बी) वे मान ज्ञात करें जिनमें व्युत्पन्न शून्य के बराबर है: y"= 0 पर x= ±2,
ग) संख्या रेखा पर स्थिर बिंदुओं को चिह्नित करें और व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:

घ) हमारे चित्र को देखें, जो एक्स्ट्रेमा निर्धारित करने के नियम दिखाता है।
बिंदु x= -2 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
बिंदु x= 2 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
बिंदु x= 0 पर फ़ंक्शन मौजूद नहीं है।
उत्तर: x= ±2 - फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु।

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

ए) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें: y= 5x 3 - 15x - 5.
बी) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें:

सी) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें: y= 2sin(x) - x π ≤ x ≤ 3π के लिए।
घ) फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें और उनकी प्रकृति निर्धारित करें: