दूसरे क्रम की पंक्तियाँ। काल्पनिक बिंदुओं और रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था दूसरे क्रम की समानांतर रेखाओं का युग्म

अब हम दिखाएंगे कि दूसरे क्रम के वक्रों का एफ़िन वर्गीकरण स्वयं वक्रों के नाम से दिया गया है, अर्थात, दूसरे क्रम के वक्रों के एफ़िन वर्ग वर्ग हैं:

वास्तविक दीर्घवृत्त;

काल्पनिक दीर्घवृत्त;

अतिशयोक्ति;

वास्तविक प्रतिच्छेदी रेखाओं के जोड़े;

प्रतिच्छेद करने वाले काल्पनिक (संयुग्मित) जोड़े;

समानांतर वास्तविक रेखाओं के जोड़े;

समानांतर काल्पनिक संयुग्म रेखाओं के जोड़े;

संपाती वास्तविक रेखाओं के जोड़े.

हमें दो कथनों को सिद्ध करने की आवश्यकता है:

A. एक ही नाम के सभी वक्र (अर्थात, सभी दीर्घवृत्त, सभी अतिपरवलय, आदि) एक-दूसरे के समान रूप से समतुल्य हैं।

B. अलग-अलग नामों के दो वक्र कभी भी समान रूप से समतुल्य नहीं होते हैं।

हम कथन A को सिद्ध करते हैं। अध्याय XV, § 3 में, यह पहले ही सिद्ध हो चुका है कि सभी दीर्घवृत्त उनमें से एक, अर्थात् एक वृत्त, के समतुल्य हैं, और सभी अतिपरवलय एक अतिपरवलय हैं। इसका मतलब है कि सभी दीर्घवृत्त, क्रमशः सभी अतिपरवलय, हैं एक दूसरे के प्रति घनिष्ठ रूप से समतुल्य। सभी काल्पनिक दीर्घवृत्त, एक वृत्त - 1 त्रिज्या के समान रूप से समतुल्य होने के कारण, एक दूसरे के समान रूप से समतुल्य होते हैं।

आइए हम सभी परवलयों की एफ़िन तुल्यता सिद्ध करें। हम और भी अधिक साबित करेंगे, अर्थात् सभी परवलय एक दूसरे के समान हैं। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि एक परवलय एक निश्चित समन्वय प्रणाली में उसके विहित समीकरण द्वारा दिया गया है

परवलय के समान

ऐसा करने के लिए, हम विमान को एक गुणांक के साथ समानता परिवर्तन के अधीन करते हैं -:

फिर, हमारे परिवर्तन के साथ, वक्र

एक वक्र में बदल जाता है

यानी एक परवलय में

क्यू.ई.डी.

आइए क्षयकारी वक्रों की ओर चलें। § सूत्र (9) और (11), पृ. 401 और 402) में यह साबित हुआ कि एक वक्र जो कुछ (यहां तक ​​कि आयताकार) समन्वय प्रणाली में प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं की एक जोड़ी में विभाजित होता है, उसका समीकरण होता है

एक अतिरिक्त समन्वय परिवर्तन करके

हम देखते हैं कि कोई भी वक्र जो प्रतिच्छेद करने वाली वास्तविक, क्रमशः काल्पनिक संयुग्मी, सीधी रेखाओं की एक जोड़ी में विभाजित होता है, उसका समीकरण कुछ एफ़िन समन्वय प्रणाली में होता है

जहां तक ​​उन वक्रों का सवाल है जो समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी में विभाजित हो जाते हैं, उनमें से प्रत्येक (यहां तक ​​कि कुछ आयताकार समन्वय प्रणाली में भी) समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

वास्तविक लोगों के लिए, क्रमशः

काल्पनिक, प्रत्यक्ष के लिए. निर्देशांकों का परिवर्तन हमें इन समीकरणों (या सीधी रेखाओं के मेल के लिए) डालने की अनुमति देता है। इसका तात्पर्य दूसरे क्रम के सभी क्षयकारी वक्रों की एफ़िन तुल्यता से है जिनका नाम समान है।

आइए कथन बी के प्रमाण पर आगे बढ़ें।

आइए सबसे पहले ध्यान दें: समतल के एफ़िन परिवर्तन के साथ, बीजगणितीय वक्र का क्रम अपरिवर्तित रहता है। इसके अलावा: दूसरे क्रम का प्रत्येक क्षयकारी वक्र सीधी रेखाओं की एक जोड़ी है, और एक एफ़िन परिवर्तन के साथ, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा में जाती है, प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी में जाती है, और समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी होती है समानांतर वाले की एक जोड़ी में चला जाता है; इसके अलावा, वास्तविक रेखाएँ वास्तविक रेखाओं में बदल जाती हैं, और काल्पनिक रेखाएँ काल्पनिक रेखाओं में बदल जाती हैं। यह इस तथ्य से पता चलता है कि सूत्र (3) (अध्याय XI, § 3) में सभी गुणांक, जो एफ़िन परिवर्तन निर्धारित करते हैं, वास्तविक संख्याएं हैं।

जो कहा गया है उससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दूसरे क्रम के किसी दिए गए क्षयकारी वक्र के समतुल्य रेखा उसी नाम का क्षयकारी वक्र है।

आइए गैर-क्षयकारी वक्रों की ओर बढ़ें। फिर, एक एफ़िन परिवर्तन के साथ, एक वास्तविक वक्र एक काल्पनिक में परिवर्तित नहीं हो सकता है, और इसके विपरीत। इसलिए, काल्पनिक दीर्घवृत्तों का वर्ग पूर्णतः अपरिवर्तनीय है।

आइए वास्तविक गैर-क्षयकारी वक्रों के वर्गों पर विचार करें: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय।

दूसरे क्रम के सभी वक्रों में, प्रत्येक दीर्घवृत्त, और केवल एक दीर्घवृत्त, एक निश्चित आयत में स्थित होता है, जबकि परवलय और अतिपरवलय (साथ ही सभी क्षयकारी वक्र) अनंत तक विस्तारित होते हैं।

एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत, दिए गए दीर्घवृत्त वाला आयत ABCD परिवर्तित वक्र वाले एक समांतर चतुर्भुज में बदल जाएगा, जो इस प्रकार, अनंत तक नहीं जा सकता है और इसलिए, एक दीर्घवृत्त है।

तो, एक दीर्घवृत्त के समतुल्य वक्र निश्चित रूप से एक दीर्घवृत्त है। जो सिद्ध किया गया है उससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हाइपरबोला या परवलय के समतुल्य एक वक्र एक दीर्घवृत्त नहीं हो सकता है (और, जैसा कि हम जानते हैं, एक क्षयकारी वक्र नहीं हो सकता है। इसलिए, यह केवल यह साबित करना बाकी है कि विमान के एक एफ़िन परिवर्तन के साथ , एक हाइपरबोला एक परवलय में परिवर्तित नहीं हो सकता है, और इसके विपरीत। यह, शायद, सबसे सरल रूप से इस तथ्य से निकलता है कि एक परवलय में समरूपता का केंद्र नहीं होता है, लेकिन एक अतिपरवलय में होता है। लेकिन चूंकि समरूपता के केंद्र की अनुपस्थिति के कारण एक परवलय केवल अगले अध्याय में सिद्ध किया जाएगा, अब हम अतिपरवलय और परवलय की गैर-समतुल्यता का एक दूसरा, बहुत ही सरल प्रमाण देंगे।

लेम्मा. यदि किसी परवलय में दी गई रेखा d के तल में परिभाषित दो अर्ध-तलों में से प्रत्येक के साथ उभयनिष्ठ बिंदु हैं, तो इसका रेखा के साथ कम से कम एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

वास्तव में, हमने देखा है कि एक समन्वय प्रणाली होती है जिसमें एक दिए गए परवलय का समीकरण होता है

मान लीजिए, इस समन्वय प्रणाली के सापेक्ष, सीधी रेखा d में समीकरण है

धारणा के अनुसार, परवलय पर दो बिंदु हैं, जिनमें से एक, मान लीजिए, समीकरण (1) के संबंध में सकारात्मक आधे तल में और दूसरा नकारात्मक आधे तल में स्थित है। अत: उसे याद करके हम लिख सकते हैं

8.3.15. बिंदु A एक सीधी रेखा पर स्थित है। बिंदु A से समतल तक की दूरी

8.3.16. एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें जो एक रेखा के सममित हो

विमान के सापेक्ष .

8.3.17. किसी समतल पर प्रक्षेपण के लिए समीकरण लिखिए निम्नलिखित पंक्तियाँ:

ए) ;

बी)

वी) .

8.3.18. समतल और रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

ए) ;

बी) .

8.3.19. बिंदु के सममित एक बिंदु खोजें रेखाओं से गुजरने वाले विमान के सापेक्ष:

और

8.3.20. बिंदु A एक सीधी रेखा पर स्थित है

बिंदु A से सीधी रेखा की दूरी बराबर . बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

§ 8.4. दूसरे क्रम के वक्र

आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली स्थापित करें और दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें

जिसमें .

समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय जिसके निर्देशांक समीकरण (8.4.1) को संतुष्ट करते हैं, कहलाता है टेढ़ा (रेखा) दूसरा आदेश.

किसी भी दूसरे क्रम के वक्र के लिए एक आयताकार समन्वय प्रणाली होती है, जिसे विहित कहा जाता है, जिसमें इस वक्र के समीकरण में निम्नलिखित में से एक रूप होता है:

1) (दीर्घवृत्त);

2) (काल्पनिक दीर्घवृत्त);

3) (काल्पनिक प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी);

4) (हाइपरबोला);

5) (प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक जोड़ा);

6) (परवलय);

7) (समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी);

8) (काल्पनिक समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी);

9) (संगत रेखाओं का एक युग्म)।

समीकरण 1)-9) कहलाते हैं दूसरे क्रम के वक्रों के विहित समीकरण।

दूसरे क्रम के वक्र के समीकरण को विहित रूप में कम करने की समस्या को हल करने में वक्र के विहित समीकरण और विहित समन्वय प्रणाली को खोजना शामिल है। विहित रूप में कमी से व्यक्ति को वक्र के मापदंडों की गणना करने और मूल समन्वय प्रणाली के सापेक्ष उसका स्थान निर्धारित करने की अनुमति मिलती है। मूल आयताकार समन्वय प्रणाली से संक्रमण विहित करने के लिए मूल समन्वय प्रणाली के अक्षों को बिंदु O के चारों ओर एक निश्चित कोण j द्वारा घुमाकर और बाद में समन्वय प्रणाली के समानांतर अनुवाद द्वारा किया जाता है।

द्वितीय क्रम वक्र अपरिवर्तनीय(8.4.1) इसके समीकरण के गुणांकों के ऐसे कार्य हैं, जिनके मान एक आयताकार समन्वय प्रणाली से उसी प्रणाली के दूसरे में जाने पर नहीं बदलते हैं।

दूसरे क्रम के वक्र (8.4.1) के लिए, वर्ग निर्देशांक के लिए गुणांकों का योग

,

प्रमुख पदों के गुणांकों से बना निर्धारक

और तीसरा क्रम निर्धारक

अपरिवर्तनीय हैं.

अपरिवर्तनीय s, d, D के मान का उपयोग प्रकार निर्धारित करने और दूसरे क्रम के वक्र के विहित समीकरण बनाने के लिए किया जा सकता है।

तालिका 8.1.

अपरिवर्तनीयों के आधार पर दूसरे क्रम के वक्रों का वर्गीकरण

अण्डाकार वक्र		एसडी<0. Эллипс
		एसडी>0. काल्पनिक दीर्घवृत्त
		काल्पनिक रेखाओं का एक जोड़ा जो एक वास्तविक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है
अतिशयोक्तिपूर्ण वक्र		अतिशयोक्ति
		प्रतिच्छेदी रेखाओं का युग्म
परवलयिक वक्र		परवलय
		समानांतर रेखाओं का एक युग्म (भिन्न, काल्पनिक या संपाती)

आइए दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय पर करीब से नज़र डालें।

अंडाकार(चित्र 8.1) समतल में बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरियों का योग होता है यह विमान, कहा जाता है दीर्घवृत्त foci, एक स्थिर मान है (फोसी के बीच की दूरी से अधिक)। इस मामले में, दीर्घवृत्त के नाभियों के संयोग को बाहर नहीं रखा गया है। यदि नाभियाँ संपाती हों, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है।

दीर्घवृत्त के एक बिंदु से उसकी नाभि तक की दूरी का आधा योग a द्वारा, नाभि के बीच की दूरी का आधा योग c द्वारा दर्शाया जाता है। यदि किसी समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली को चुना जाता है ताकि दीर्घवृत्त की नाभि मूल बिंदु के सममित रूप से ऑक्स अक्ष पर स्थित हो, तो इस समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त समीकरण द्वारा दिया जाता है

, (8.4.2)

बुलाया विहित दीर्घवृत्त समीकरण, कहाँ .

चावल। 8.1

आयताकार समन्वय प्रणाली के निर्दिष्ट विकल्प के साथ, दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों और मूल बिंदु के संबंध में सममित है। दीर्घवृत्त के सममिति अक्ष कहलाते हैं कुल्हाड़ियों, और समरूपता का केंद्र है दीर्घवृत्त का केंद्र. इसी समय, संख्या 2a और 2b को अक्सर दीर्घवृत्त की धुरी कहा जाता है, और संख्या a और b को अक्ष कहा जाता है। बड़ाऔर छोटी धुरीक्रमश।

किसी दीर्घवृत्त के उसकी अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं दीर्घवृत्त के शीर्ष. दीर्घवृत्त के शीर्षों के निर्देशांक (a,0), (-a,0), (0,b), (0,–b) हैं।

दीर्घवृत्त विलक्षणताकॉल किया गया नंबर

0£सी से

.

इससे पता चलता है कि विलक्षणता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है: ई शून्य के जितना करीब है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक एक वृत्त जैसा दिखता है; जैसे-जैसे e बढ़ता है, दीर्घवृत्त अधिक लम्बा होता जाता है।

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ

समतल रेखाएँ जिनके कार्तीय आयताकार निर्देशांक घात 2 के बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं

ए 11 एक्स 2 + ए 12 एक्सवाई + ए 22 वाई 2 + 2ए 13 एक्स + 2ए 23 वाई + ए 11 = 0. (*)

समीकरण (*) वास्तविक ज्यामितीय छवि को परिभाषित नहीं कर सकता है, लेकिन ऐसे मामलों में व्यापकता बनाए रखने के लिए कहा जाता है कि यह एक काल्पनिक रैखिक छवि को परिभाषित करता है। आदि। सामान्य समीकरण (*) के गुणांकों के मूल्यों के आधार पर, इसे मूल के समानांतर स्थानांतरण और एक निश्चित कोण द्वारा समन्वय प्रणाली के घूर्णन द्वारा नीचे दिए गए 9 कैनोनिकल प्रकारों में से एक में परिवर्तित किया जा सकता है, प्रत्येक जो रेखाओं के एक निश्चित वर्ग से मेल खाता है। बिल्कुल,

अटूट पंक्तियाँ:

y 2 = 2px - परवलय,

क्षयकारी रेखाएँ:

x 2 - ए 2 = 0 - समानांतर रेखाओं के जोड़े,

x 2 + a 2 = 0 - काल्पनिक समानांतर रेखाओं के जोड़े,

x 2 = 0 - संपाती समान्तर रेखाओं के युग्म।

एल वी के प्रकार का अध्ययन सामान्य समीकरण को विहित रूप में कम किए बिना किया जा सकता है। यह तथाकथित के अर्थों पर संयुक्त विचार से प्राप्त किया जाता है। रैखिक वी के बुनियादी अपरिवर्तनीय। n. - समीकरण (*) के गुणांकों से बनी अभिव्यक्तियाँ, जिनके मान समानांतर अनुवाद और समन्वय प्रणाली के घूर्णन के दौरान नहीं बदलते हैं:

एस = ए 11 + ए 22,(ए आईजे = ए जी).

इसलिए, उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त, गैर-विघटित रेखाओं की तरह, इस तथ्य से विशेषता है कि उनके लिए Δ ≠ 0; अपरिवर्तनीय δ का एक सकारात्मक मान दीर्घवृत्त को अन्य प्रकार की गैर-विघटित रेखाओं (हाइपरबोलस δ के लिए) से अलग करता है

तीन मुख्य अपरिवर्तनीय Δ, δ, और S रैखिक गति निर्धारित करते हैं। पी. (समानांतर रेखाओं के मामले को छोड़कर) यूक्लिडियन तल की गति (मोशन देखें) तक: यदि दो रेखाओं के संगत अपरिवर्तनीय Δ, δ और S बराबर हैं, तो ऐसी रेखाओं को गति द्वारा जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, ये रेखाएँ समतल की गतियों के समूह के संबंध में समतुल्य हैं (मीट्रिक रूप से समतुल्य)।

एल. वी. के वर्गीकरण हैं। अन्य परिवर्तन समूहों के दृष्टिकोण से। इस प्रकार, गतियों के समूह की तुलना में अपेक्षाकृत अधिक सामान्य - एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन का समूह (एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन देखें) - समान विहित रूप के समीकरणों द्वारा परिभाषित कोई भी दो रेखाएँ समतुल्य हैं। उदाहरण के लिए, दो समान एल. वी. एन. (समानता देखें) समकक्ष माने जाते हैं. रैखिक वी के विभिन्न एफ़िन वर्गों के बीच संबंध। पी. हमें प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री (प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री देखें) के दृष्टिकोण से एक वर्गीकरण स्थापित करने की अनुमति देता है, जिसमें अनंत पर तत्व कोई विशेष भूमिका नहीं निभाते हैं। वास्तविक गैर-विघटनकारी औषधियाँ। पी.: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय एक प्रक्षेप्य वर्ग बनाते हैं - वास्तविक अंडाकार रेखाओं (अंडाकार) का वर्ग। एक वास्तविक अंडाकार रेखा एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय या एक परवलय होती है, यह इस पर निर्भर करता है कि यह अनंत पर एक रेखा के सापेक्ष कैसे स्थित है: एक दीर्घवृत्त एक अनुचित रेखा को दो काल्पनिक बिंदुओं पर काटता है, एक अतिपरवलय दो अलग-अलग वास्तविक बिंदुओं पर काटता है, एक परवलय एक को छूता है अनुचित रेखा; ऐसे प्रक्षेपी परिवर्तन होते हैं जो इन रेखाओं को एक दूसरे में बदल देते हैं। रैखिक सदिशों के केवल 5 प्रक्षेप्य तुल्यता वर्ग हैं। पी. बिल्कुल,

गैर-क्षतिग्रस्त रेखाएँ

(एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3- सजातीय निर्देशांक):

एक्स 1 2 + एक्स 2 2 - एक्स 3 2= 0 - वास्तविक अंडाकार,

एक्स 1 2 + एक्स 2 2 + एक्स 3 2= 0 - काल्पनिक अंडाकार,

घटती रेखाएँ:

एक्स 1 2 - एक्स 2 2= 0 - वास्तविक रेखाओं का युग्म,

एक्स 1 2 + एक्स 2 2= 0 - काल्पनिक रेखाओं का एक युग्म,

x 1 2= 0 - संपाती वास्तविक रेखाओं का एक युग्म।

ए बी इवानोव।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें कि "द्वितीय क्रम पंक्तियाँ" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

समतल रेखाएँ जिनके बिंदुओं के आयताकार निर्देशांक दूसरी डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दूसरे क्रम की रेखाओं में दीर्घवृत्त (विशेष रूप से, वृत्त), अतिपरवलय, परवलय हैं... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

समतल रेखाएँ जिनके बिंदुओं के आयताकार निर्देशांक दूसरी डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दूसरे क्रम की रेखाओं में दीर्घवृत्त (विशेष रूप से, वृत्त), अतिपरवलय और परवलय हैं। * * * दूसरे क्रम की पंक्तियाँ दूसरे क्रम की पंक्तियाँ,... ... विश्वकोश शब्दकोश

समतल रेखाएँ, आयताकार. बिंदुओं के निर्देशांक बीजगणित को संतुष्ट करते हैं। द्वितीय डिग्री स्तर. एल. वी. के बीच आदि दीर्घवृत्त (विशेष रूप से, वृत्त), अतिपरवलय, परवलय... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

एक समतल रेखा, कार्तीय आयताकार निर्देशांक बीजगणित को संतुष्ट करते हैं। दूसरी डिग्री का समीकरण (*) वास्तविक ज्यामितीय का निर्धारण नहीं कर सकता है। छवि, लेकिन ऐसे मामलों में व्यापकता बनाए रखने के लिए वे कहते हैं कि यह निर्धारित करता है... ... गणितीय विश्वकोश

त्रि-आयामी वास्तविक (या जटिल) स्थान के बिंदुओं का एक सेट जिसके कार्टेशियन प्रणाली में निर्देशांक बीजगणित को संतुष्ट करते हैं। दूसरी डिग्री का समीकरण (*) समीकरण (*) वास्तविक ज्यामितीय का निर्धारण नहीं कर सकता है। छवियां, ऐसे में... ... गणितीय विश्वकोश

घुमावदार रेखाओं की ज्यामिति में अक्सर प्रयुक्त होने वाले इस शब्द का अर्थ अस्पष्ट है। जब इस शब्द का प्रयोग बंद और अशाखित वक्र रेखाओं पर किया जाता है, तो वक्र की एक शाखा से अभिप्राय प्रत्येक सतत् पृथक... ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

दूसरे क्रम की रेखाएँ, दो व्यास, जिनमें से प्रत्येक इस वक्र की जीवाओं को दूसरे के समानांतर समद्विभाजित करती है। एस.डी. दूसरे क्रम की रेखाओं के सामान्य सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। जब एक दीर्घवृत्त को उसकी परिधि में एक साथ प्रक्षेपित किया जाता है, तो S. d.... ...

रेखाएँ जो एक लंब वृत्तीय शंकु को ऐसे समतलों से काटने पर प्राप्त होती हैं जो उसके शीर्ष से नहीं गुजरती हैं। के. एस. तीन प्रकार के हो सकते हैं: 1) एक काटने वाला तल शंकु के सभी जेनरेटर को उसके एक गुहा के बिंदुओं पर काटता है; रेखा... ... महान सोवियत विश्वकोश

एक लंब वृत्तीय शंकु को ऐसे तलों से काटने से प्राप्त रेखाएँ जो उसके शीर्ष से नहीं गुजरती हैं। के. एस. तीन प्रकार के हो सकते हैं: 1) एक काटने वाला तल शंकु के सभी जेनरेटर को उसकी एक गुहा के बिंदुओं पर काटता है (चित्र, ए): प्रतिच्छेदन की रेखा... ... गणितीय विश्वकोश

ज्यामिति अनुभाग. ज्यामितीय ज्यामिति की मूल अवधारणाएँ सबसे सरल ज्यामितीय छवियां (बिंदु, सीधी रेखाएं, विमान, वक्र और दूसरे क्रम की सतह) हैं। एजी में अनुसंधान के मुख्य साधन समन्वय विधि (नीचे देखें) और विधियां हैं... ... महान सोवियत विश्वकोश

पुस्तकें

• विश्लेषणात्मक ज्यामिति में लघु पाठ्यक्रम, एफिमोव निकोलाई व्लादिमीरोविच। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अध्ययन का विषय वे आंकड़े हैं जो पहली या दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा कार्टेशियन निर्देशांक में निर्दिष्ट होते हैं। एक समतल पर ये सीधी रेखाएँ और दूसरे क्रम की रेखाएँ हैं।…

इसे एक ठोस उदाहरण के साथ स्पष्ट करने के लिए, मैं आपको दिखाऊंगा कि इस व्याख्या में निम्नलिखित कथन से क्या मेल खाता है: (वास्तविक या काल्पनिक) बिंदु P, (वास्तविक या काल्पनिक) रेखा g पर स्थित है। इस मामले में, निस्संदेह, हमें निम्नलिखित मामलों के बीच अंतर करना होगा:

1) वास्तविक बिंदु और वास्तविक रेखा,

2) वास्तविक बिंदु और काल्पनिक रेखा,

केस 1) को हमसे किसी विशेष स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है; यहां हमारे पास साधारण ज्यामिति के बुनियादी संबंधों में से एक है।

मामले 2 में) किसी दिए गए वास्तविक बिंदु के माध्यम से, किसी दी गई काल्पनिक रेखा के साथ, जटिल संयुग्म रेखा को भी इसके माध्यम से गुजरना होगा; इसलिए, यह बिंदु किरणों की किरण के शीर्ष के साथ मेल खाना चाहिए जिसका उपयोग हम काल्पनिक रेखा को चित्रित करने के लिए करते हैं।

इसी प्रकार, मामले 3 में), वास्तविक रेखा बिंदुओं के उस आयताकार समावेशन के समर्थन से समान होनी चाहिए जो किसी दिए गए काल्पनिक बिंदु के प्रतिनिधि के रूप में कार्य करती है।

सबसे दिलचस्प मामला 4 है) (चित्र 96): यहां, जाहिर है, जटिल संयुग्म बिंदु भी जटिल संयुग्म रेखा पर स्थित होना चाहिए, और यह इस प्रकार है कि बिंदु पी का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं के समावेशन में प्रत्येक जोड़ी बिंदु पर होना चाहिए रेखाओं के अंतर्वलन में रेखाओं के कुछ जोड़े, सीधी रेखा g को दर्शाते हैं, अर्थात, ये दोनों अंतर्वलन एक दूसरे के सापेक्ष परिप्रेक्ष्य में स्थित होने चाहिए; इसके अलावा, यह पता चलता है कि दोनों आक्रमणों के तीर भी संभावित रूप से स्थित हैं।

सामान्य तौर पर, विमान की विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, जो जटिल क्षेत्र पर भी ध्यान देता है, हम इस विमान की एक पूरी वास्तविक तस्वीर प्राप्त करेंगे यदि, इसके सभी वास्तविक बिंदुओं और सीधी रेखाओं के सेट में, हम नए तत्वों के रूप में जोड़ते हैं ऊपर चर्चा की गई इनवोल्यूशनरी आकृतियों का सेट, उनकी दिशाओं के तीरों के साथ। यहां यह पर्याप्त होगा यदि मैं सामान्य रूप से रेखांकित करूं कि जटिल ज्यामिति की ऐसी वास्तविक तस्वीर का निर्माण किस रूप में होगा। ऐसा करने में, मैं उस क्रम का पालन करूंगा जिसमें प्राथमिक ज्यामिति के पहले प्रस्ताव अब आमतौर पर प्रस्तुत किए जाते हैं।

1) वे अस्तित्व के सिद्धांतों से शुरू करते हैं, जिसका उद्देश्य सामान्य ज्यामिति की तुलना में विस्तारित क्षेत्र में उल्लिखित तत्वों की उपस्थिति का सटीक सूत्रीकरण देना है।

2) फिर कनेक्शन के सिद्धांत, जो बताते हैं कि पैराग्राफ 1 में परिभाषित विस्तारित क्षेत्र में भी)! (प्रत्येक) दो बिंदुओं से होकर एक और केवल एक रेखा गुजरती है और उस (प्रत्येक) दो रेखाओं में एक और केवल एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है।

इस मामले में, जैसा कि हमारे पास ऊपर था, हमें हर बार चार मामलों में अंतर करना होगा, जो इस पर निर्भर करता है कि दिए गए तत्व वास्तविक हैं या नहीं, और यह सोचना बहुत दिलचस्प लगता है कि बिंदुओं और रेखाओं के समावेश के साथ वास्तव में कौन से वास्तविक निर्माण एक छवि के रूप में काम करते हैं। इन जटिल संबंधों का.

3) जहाँ तक व्यवस्था (आदेश) के सिद्धांतों की बात है, यहाँ, वास्तविक संबंधों की तुलना में, पूरी तरह से नई परिस्थितियाँ दृश्य पर दिखाई देती हैं; विशेष रूप से, एक निश्चित रेखा पर स्थित सभी वास्तविक और जटिल बिंदु, साथ ही एक निश्चित बिंदु से गुजरने वाली सभी किरणें, एक द्वि-आयामी सातत्य का निर्माण करती हैं। आखिरकार, हममें से प्रत्येक ने कार्यों के सिद्धांत का अध्ययन करके समतल के सभी बिंदुओं द्वारा एक जटिल चर के मूल्यों के सेट का प्रतिनिधित्व करने की आदत सीखी।

4) अंत में, निरंतरता के सिद्धांतों के संबंध में, मैं यहां केवल यह इंगित करूंगा कि किसी वास्तविक बिंदु के वांछित करीब स्थित जटिल बिंदुओं को कैसे चित्रित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, लिए गए वास्तविक बिंदु P (या उसके निकट किसी अन्य वास्तविक बिंदु के माध्यम से) के माध्यम से, आपको कुछ सीधी रेखा खींचने की आवश्यकता है और उस पर एक दूसरे को अलग करने वाले बिंदुओं के दो जोड़े पर विचार करें (यानी, "क्रॉस तरीके से" झूठ बोलना) ) (चित्र 97), ताकि अलग-अलग जोड़ियों से लिए गए दो बिंदु एक दूसरे के करीब और बिंदु पी पर स्थित हों; यदि हम अब बिंदुओं को अनिश्चित काल के लिए एक साथ लाते हैं, तो बिंदुओं के नामित जोड़े द्वारा परिभाषित इनवॉल्यूशन खराब हो जाता है, यानी, इसके दोनों अब तक जटिल दोहरे बिंदु बिंदु के साथ मेल खाते हैं, इस इनवॉल्यूशन द्वारा दर्शाए गए दो काल्पनिक बिंदुओं में से प्रत्येक (एक या एक के साथ) इसलिए, दूसरा तीर लगातार बिंदु P के करीब किसी बिंदु तक, या सीधे बिंदु P तक जाता है। बेशक, निरंतरता के इन विचारों को उपयोगी रूप से लागू करने में सक्षम होने के लिए, उनके साथ विस्तार से काम करना आवश्यक है .

हालाँकि यह संपूर्ण निर्माण सामान्य वास्तविक ज्यामिति की तुलना में काफी बोझिल और थकाऊ है, लेकिन यह अतुलनीय रूप से अधिक परिणाम दे सकता है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय छवियों को, उनके वास्तविक और जटिल तत्वों के सेट के रूप में समझा जाता है, पूर्ण ज्यामितीय स्पष्टता के स्तर तक बढ़ाने में सक्षम है, और इसकी सहायता से कोई भी बीजगणित के मौलिक प्रमेय जैसे आंकड़ों में स्पष्ट रूप से समझ सकता है या बेज़ौट का प्रमेय कि दो वक्र आदेशों में, आम तौर पर, बिल्कुल सामान्य बिंदु होते हैं। इस प्रयोजन के लिए, निस्संदेह, मुख्य प्रावधानों को अब तक की तुलना में कहीं अधिक सटीक और दृश्य रूप में समझना आवश्यक होगा; हालाँकि, साहित्य में पहले से ही ऐसे अध्ययनों के लिए आवश्यक सभी सामग्री शामिल है।

लेकिन ज्यादातर मामलों में, इस ज्यामितीय व्याख्या का अनुप्रयोग, इसके सभी सैद्धांतिक लाभों के बावजूद, ऐसी जटिलताओं की ओर ले जाएगा कि किसी को इसकी मौलिक संभावना से संतुष्ट होना होगा और वास्तव में अधिक अनुभवहीन दृष्टिकोण पर लौटना होगा, जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं : एक जटिल बिंदु तीन जटिल निर्देशांकों का एक संग्रह है, और इसके साथ बिल्कुल उसी तरह से संचालित किया जा सकता है जैसे वास्तविक बिंदुओं के साथ। वास्तव में, किसी भी सैद्धांतिक तर्क से परहेज करते हुए काल्पनिक तत्वों का ऐसा परिचय हमेशा उन मामलों में फलदायी साबित हुआ है जहां हमें काल्पनिक चक्रीय बिंदुओं या क्षेत्रों के चक्र से निपटना पड़ता है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, पोंसलेट इस अर्थ में काल्पनिक तत्वों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे; इस संबंध में उनके अनुयायी अन्य फ्रांसीसी जियोमीटर थे, मुख्य रूप से चाल्स और डार्बौक्स; जर्मनी में, कई जियोमीटर, विशेष रूप से ली, ने भी काल्पनिक तत्वों की इस समझ का बड़ी सफलता के साथ उपयोग किया।

काल्पनिक क्षेत्र में इस वापसी के साथ, मैं अपने पाठ्यक्रम के पूरे दूसरे खंड को समाप्त करता हूं और एक नए अध्याय की ओर मुड़ता हूं,

यह किसी समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। तो, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "सपाट" सीधा, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर आसानी से दिखाई देते हैं।

यह स्पष्ट है कि कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा है. दूसरी मंजिल पर, अब चौकीदार हमारा इंतजार नहीं कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक बहुत अधिक विविध कंपनी है:

दूसरे क्रम की रेखाओं का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट का उपयोग करके, दूसरे क्रम की रेखा के किसी भी समीकरण को निम्नलिखित रूपों में से एक में घटा दिया जाता है:

(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)

1) – दीर्घवृत्त का विहित समीकरण;

2)- अतिपरवलय का विहित समीकरण;

3) – परवलय का विहित समीकरण;

4) – काल्पनिकदीर्घवृत्त;

5)- प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक युग्म;

6)- जोड़ी काल्पनिकप्रतिच्छेदी रेखाएँ (मूल पर एक वैध प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ);

7)-समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8)- जोड़ी काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9)-संपाती रेखाओं का एक युग्म।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, बिंदु संख्या 7 में, समीकरण जोड़ी को निर्दिष्ट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और सवाल उठता है: वह समीकरण कहां है जो कोटि अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो विहित नहीं माना जाता. सीधी रेखाएं उसी मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिसे 90 डिग्री तक घुमाया जाता है, और वर्गीकरण में अतिरिक्त प्रविष्टि अनावश्यक है, क्योंकि यह मौलिक रूप से कुछ भी नया नहीं लाती है।

इस प्रकार, दूसरे क्रम की रेखाओं के नौ और केवल नौ विभिन्न प्रकार हैं, लेकिन व्यवहार में सबसे आम हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव/अटानास्यान या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक देखें।

दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण

वर्तनी... कृपया कुछ यांडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं जो "दीर्घवृत्त कैसे बनाएं", "दीर्घवृत्त और अंडाकार के बीच का अंतर" और "दीर्घवृत्त की विलक्षणता" में रुचि रखते हैं।

दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं, और। मैं बाद में दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी बातचीत से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय आ गया है:

दीर्घवृत्त कैसे बनाएं?

हाँ, बस इसे ले लो और बस इसे खींचो। कार्य बार-बार होता है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग का सही ढंग से सामना नहीं कर पाता है:

उदाहरण 1

समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए

समाधान: सबसे पहले, आइए समीकरण को विहित रूप में लाएँ:

क्यों लाये? विहित समीकरण का एक लाभ यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारण करने की अनुमति देता है दीर्घवृत्त के शीर्ष, जो बिंदुओं पर स्थित हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीदीर्घवृत्त;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या बुलाया अर्ध-प्रमुख शाफ्टदीर्घवृत्त;
संख्या – छोटी धुरी.
हमारे उदाहरण में: .

एक विशेष दीर्घवृत्त कैसा दिखता है इसकी तुरंत कल्पना करने के लिए, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, सहज और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग पूरी की। और आप किसी भी एप्लिकेशन का उपयोग करके ड्राइंग बना सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, मेज पर कागज का एक चेकर टुकड़ा है, और चूहे हमारे हाथों पर घेरे में नाच रहे हैं। बेशक, कलात्मक प्रतिभा वाले लोग बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (हालांकि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानवता ने ड्राइंग के लिए रूलर, कम्पास, प्रोट्रैक्टर और अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, केवल शीर्षों को जानते हुए हम किसी दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। यह ठीक है यदि दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और, तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य तौर पर, अतिरिक्त अंक ढूंढना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजगणितीय। मुझे कम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण पसंद नहीं है क्योंकि एल्गोरिदम सबसे छोटा नहीं है और ड्राइंग काफी अव्यवस्थित है। आपातकालीन स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। ड्राफ्ट में दीर्घवृत्त के समीकरण से हम शीघ्रता से व्यक्त करते हैं:

फिर समीकरण दो कार्यों में टूट जाता है:
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

कोई भी दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के साथ-साथ मूल बिंदु के संबंध में भी सममित होता है. और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा मुफ़्त का अग्रदूत होती है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त बिंदुओं को खोजने की मांग करता है . आइए कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस संदेशों को टैप करें:

बेशक, यह भी अच्छा है कि यदि गणना में कोई गंभीर गलती हो जाती है, तो निर्माण के दौरान यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

आइए ड्राइंग पर बिंदुओं को चिह्नित करें (लाल), शेष चापों पर सममित बिंदु (नीला) और ध्यान से पूरी कंपनी को एक लाइन से जोड़ें:


प्रारंभिक स्केच को बहुत पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल से दबाव डालें। परिणाम काफी अच्छा दीर्घवृत्त होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?