वह विज्ञान जो मात्राओं, मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का अध्ययन करता है। गणित विज्ञान का एक समूह है जो मात्राओं, मात्रात्मक संबंधों और विज्ञान का अध्ययन करता है जो मात्राओं, मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का अध्ययन करता है

गणित वास्तविक दुनिया के मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का विज्ञान है; ग्रीक शब्द (गणित) ग्रीक शब्द (गणित) से आया है, जिसका अर्थ है "ज्ञान", "विज्ञान"।

गणित की उत्पत्ति प्राचीन काल में लोगों की व्यावहारिक आवश्यकताओं से हुई थी। इसकी सामग्री और चरित्र पूरे इतिहास में बदल गए हैं और अब भी बदलते रहते हैं। एक सकारात्मक पूर्णांक के बारे में प्राथमिक विषय के विचारों से, साथ ही दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी के रूप में एक सीधी रेखा खंड के विचार से, विशिष्ट अनुसंधान विधियों के साथ एक सार विज्ञान बनने से पहले गणित ने विकास का एक लंबा सफर तय किया है।

स्थानिक रूपों की आधुनिक समझ बहुत व्यापक है। इसमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष (रेखा, वृत्त, त्रिकोण, शंकु, सिलेंडर, गेंद, आदि) की ज्यामितीय वस्तुओं के साथ-साथ कई सामान्यीकरण भी शामिल हैं - बहुआयामी और अनंत-आयामी अंतरिक्ष की अवधारणाएँ, साथ ही उनमें ज्यामितीय वस्तुएँ , और भी बहुत कुछ। उसी तरह, मात्रात्मक संबंध अब न केवल सकारात्मक पूर्णांक या परिमेय संख्याओं द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, बल्कि इसके माध्यम से भी व्यक्त किए जाते हैं जटिल संख्या, वैक्टर, कार्यआदि। विज्ञान और प्रौद्योगिकी का विकास गणित को स्थानिक रूपों और मात्रात्मक संबंधों के बारे में अपने विचारों को लगातार विस्तारित करने के लिए मजबूर करता है।

गणित की अवधारणाएँ विशिष्ट परिघटनाओं और वस्तुओं से अमूर्त हैं; वे घटनाओं और वस्तुओं की एक निश्चित श्रेणी के लिए विशिष्ट गुणात्मक विशेषताओं से अमूर्तता के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं। गणित के अनुप्रयोगों के लिए यह परिस्थिति अत्यंत महत्वपूर्ण है। नंबर 2 किसी विशिष्ट विषय सामग्री के साथ अटूट रूप से जुड़ा नहीं है। यह दो सेबों, या दो पुस्तकों, या दो विचारों को संदर्भित कर सकता है। यह इन सभी और अनगिनत अन्य वस्तुओं पर समान रूप से लागू होता है। उसी तरह, गेंद के ज्यामितीय गुण नहीं बदलते हैं क्योंकि यह कांच, स्टील या स्टीयरिन से बना होता है। बेशक, किसी वस्तु के गुणों से सार निकालना किसी वस्तु के बारे में, उसकी विशिष्ट भौतिक विशेषताओं के बारे में हमारे ज्ञान को कम कर देता है। साथ ही, यह अलग-अलग वस्तुओं के विशेष गुणों से यह अमूर्त है जो अवधारणाओं को समानता देता है, गणित को उनकी भौतिक प्रकृति में सबसे विविध घटनाओं पर लागू करना संभव बनाता है। इस प्रकार, गणित के समान नियम, समान गणितीय उपकरण प्राकृतिक घटनाओं, तकनीकी, साथ ही आर्थिक और सामाजिक प्रक्रियाओं के वर्णन पर काफी संतोषजनक ढंग से लागू किए जा सकते हैं।

अवधारणाओं की अमूर्तता गणित की विशिष्ट विशेषता नहीं है; किसी भी वैज्ञानिक और सामान्य अवधारणा में विशिष्ट चीजों के गुणों से अमूर्तता का तत्व होता है। लेकिन गणित में अमूर्तन की प्रक्रिया प्राकृतिक विज्ञानों से कहीं आगे जाती है; गणित में, विभिन्न स्तरों के अमूर्त निर्माण की प्रक्रिया का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हाँ, अवधारणा समूहसंख्याओं और अन्य अमूर्त अवधारणाओं की समग्रता के कुछ गुणों से अमूर्त करके उत्पन्न हुआ। गणित की विशेषता इसके परिणाम प्राप्त करने की विधि से भी होती है। यदि प्राकृतिक वैज्ञानिक अपने पदों को सिद्ध करने के लिए लगातार अनुभव का सहारा लेता है, तो गणितज्ञ केवल तार्किक तर्क के माध्यम से अपने परिणामों को सिद्ध करता है। गणित में, किसी भी परिणाम को तब तक सिद्ध नहीं माना जा सकता जब तक कि उसे तार्किक प्रमाण की आवश्यकता न हो, और यह तब भी जब विशेष प्रयोगों ने इस परिणाम की पुष्टि की हो। इसी समय, अभ्यास द्वारा गणितीय सिद्धांतों की सच्चाई का भी परीक्षण किया जा रहा है, लेकिन यह सत्यापन एक विशेष प्रकृति का है: गणित की बुनियादी अवधारणाएँ विशेष व्यावहारिक अनुरोधों से उनके दीर्घकालिक क्रिस्टलीकरण के परिणामस्वरूप बनती हैं; प्रकृति में प्रक्रियाओं के पाठ्यक्रम के सहस्राब्दियों के अवलोकन के बाद ही तर्क के नियम स्वयं विकसित हुए थे; गणित में प्रमेयों का निरूपण और समस्याओं का निरूपण भी अभ्यास की माँगों से उत्पन्न होता है। गणित व्यावहारिक जरूरतों से उत्पन्न हुआ, और अभ्यास के साथ इसका संबंध समय के साथ अधिक से अधिक विविध और गहरा होता गया।

सिद्धांत रूप में, गणित को किसी भी प्रकार के आंदोलन, विभिन्न प्रकार की घटनाओं के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है। वास्तव में, वैज्ञानिक और व्यावहारिक गतिविधियों के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी भूमिका समान नहीं है। विशेष रूप से महान आधुनिक भौतिकी, रसायन विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों के विकास में गणित की भूमिका है, सामान्य तौर पर, उन घटनाओं के अध्ययन में जहां उनकी विशिष्ट गुणात्मक विशेषताओं से एक महत्वपूर्ण अमूर्त भी मात्रात्मक को सटीक रूप से पकड़ना संभव बनाता है। और उनमें निहित स्थानिक पैटर्न। उदाहरण के लिए, खगोलीय पिंडों की गति का गणितीय अध्ययन, उनकी वास्तविक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, पिंडों को भौतिक बिंदु माना जाता है) से महत्वपूर्ण सार के आधार पर, उनके वास्तविक संचलन के साथ एक परिपूर्ण मेल की ओर ले जाता है। इस आधार पर, न केवल खगोलीय घटनाओं (ग्रहण, ग्रहों की स्थिति आदि) की पूर्व-गणना करना संभव है, बल्कि उन ग्रहों के अस्तित्व की भी भविष्यवाणी करना संभव है जिन्हें पहले नहीं देखा गया है (इस तरह, प्लूटो को 1930 में खोजा गया था) , नेप्च्यून 1846 में)। अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान और चिकित्सा जैसे विज्ञानों में गणित का एक छोटा, लेकिन अभी भी महत्वपूर्ण स्थान है। इन विज्ञानों में अध्ययन की गई घटनाओं की गुणात्मक मौलिकता इतनी महान है और उनके पाठ्यक्रम की प्रकृति को इतनी दृढ़ता से प्रभावित करती है कि गणितीय विश्लेषण अब तक केवल एक अधीनस्थ भूमिका निभा सकता है। सामाजिक और जैविक विज्ञान के लिए विशेष महत्व है गणित के आँकड़े।गणित स्वयं भी प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी और अर्थशास्त्र की आवश्यकताओं के प्रभाव में विकसित होता है। यहां तक ​​कि हाल के वर्षों में, कई गणितीय विषय सामने आए हैं जो व्यावहारिक अनुरोधों के आधार पर उत्पन्न हुए हैं: सूचना सिद्धांत, खेल सिद्धांतऔर आदि।

यह स्पष्ट है कि परिघटना के संज्ञान के एक चरण से दूसरे, अधिक सटीक तक संक्रमण, गणित पर नई मांग करता है और नई अवधारणाओं, नई शोध विधियों के निर्माण की ओर ले जाता है। इस प्रकार, खगोल विज्ञान की आवश्यकताओं, विशुद्ध रूप से वर्णनात्मक ज्ञान से सटीक ज्ञान की ओर बढ़ने से, बुनियादी अवधारणाओं का विकास हुआ त्रिकोणमिति: दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक हिप्पार्कस ने जीवाओं की आधुनिक तालिकाओं के अनुरूप जीवाओं की तालिकाएँ संकलित कीं; पहली शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों मेनेलॉस और दूसरी शताब्दी में क्लॉडियस टॉलेमी ने नींव का निर्माण किया गोलाकार त्रिकोणमिति।निर्माण, नौवहन, तोपखाना आदि के विकास के कारण संचलन के अध्ययन में बढ़ी दिलचस्पी ने 17वीं शताब्दी में अवधारणाओं के निर्माण का नेतृत्व किया। गणितीय विश्लेषण, नए गणित का विकास। 18वीं और 19वीं शताब्दी में प्राकृतिक घटनाओं (मुख्य रूप से खगोलीय और भौतिक) और प्रौद्योगिकी के विकास (विशेष रूप से मैकेनिकल इंजीनियरिंग) के अध्ययन में गणितीय तरीकों के व्यापक परिचय ने सैद्धांतिक यांत्रिकी और सिद्धांत के तेजी से विकास के लिए नेतृत्व किया। विभेदक समीकरण।पदार्थ की आणविक संरचना के विचारों के विकास ने तेजी से विकास किया सिद्धांत संभावना. वर्तमान में, हम अनेक उदाहरणों के माध्यम से गणितीय अनुसंधान के नए क्षेत्रों के उदय का पता लगा सकते हैं। उपलब्धियां विशेष रूप से उल्लेखनीय हैं कम्प्यूटेशनल गणित और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी और वे परिवर्तन जो वे गणित की कई शाखाओं में उत्पन्न करते हैं।

ऐतिहासिक निबंध। गणित के इतिहास में अनिवार्य रूप से गुणात्मक अंतर वाले चार कालखंडों को रेखांकित किया जा सकता है। इन अवधियों को ठीक से अलग करना मुश्किल है, क्योंकि प्रत्येक बाद वाला पिछले एक के भीतर विकसित हुआ था और इसलिए काफी महत्वपूर्ण संक्रमणकालीन अवस्थाएँ थीं, जब नए विचार अभी उभर रहे थे और अभी तक गणित में या इसके अनुप्रयोगों में मार्गदर्शक नहीं बने थे।

1) एक स्वतंत्र वैज्ञानिक अनुशासन के रूप में गणित के जन्म की अवधि; इस अवधि की शुरुआत इतिहास की गहराइयों में खो गई है; यह लगभग 6-5 शताब्दी ईसा पूर्व तक जारी रहा। इ।

2) प्रारंभिक गणित की अवधि, स्थिरांक का गणित; यह लगभग 17वीं शताब्दी के अंत तक चला, जब एक नए, "उच्च" गणित का विकास काफी आगे बढ़ गया।

3) चरों के गणित की अवधि; गणितीय विश्लेषण के निर्माण और विकास की विशेषता, उनके आंदोलन, विकास में प्रक्रियाओं का अध्ययन।

4) आधुनिक गणित की अवधि; संभावित प्रकार के मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों के एक सचेत और व्यवस्थित अध्ययन की विशेषता है। ज्यामिति में, न केवल वास्तविक त्रि-आयामी स्थान का अध्ययन किया जाता है, बल्कि इसके समान स्थानिक रूपों का भी अध्ययन किया जाता है। गणितीय विश्लेषण में, वे चर माने जाते हैं जो न केवल एक संख्यात्मक तर्क पर निर्भर करते हैं, बल्कि कुछ रेखा (फ़ंक्शन) पर भी निर्भर करते हैं, जो अवधारणाओं की ओर ले जाते हैं। कार्यक्षमताऔर ऑपरेटर. बीजगणितमनमानी प्रकृति के तत्वों पर बीजगणितीय संचालन के सिद्धांत में बदल गया। यदि केवल उन पर ये ऑपरेशन करना संभव होता। इस अवधि की शुरुआत को स्वाभाविक रूप से 19वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

प्राचीन दुनिया में, गणितीय जानकारी मूल रूप से पुजारियों और सरकारी अधिकारियों के ज्ञान का एक अभिन्न अंग थी। इस जानकारी का भंडार, जैसा कि पहले से ही विघटित बेबीलोनियन मिट्टी की गोलियों और मिस्र द्वारा तय किया जा सकता है गणितीय पिपरी,अपेक्षाकृत बड़ा था। इस बात के प्रमाण हैं कि मेसोपोटामिया में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस से एक हजार साल पहले, न केवल पाइथागोरस का सिद्धांत ज्ञात था, बल्कि पूर्णांक भुजाओं वाले सभी समकोण त्रिभुजों को खोजने की समस्या भी हल हो गई थी। हालांकि, उस समय के दस्तावेजों का विशाल बहुमत सरल अंकगणितीय संचालन करने के साथ-साथ आंकड़ों के क्षेत्रों और निकायों की मात्रा की गणना के लिए नियमों का संग्रह है। इन गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए विभिन्न सारणियों को भी संरक्षित किया गया है। सभी नियमावली में, नियम तैयार नहीं किए गए हैं, लेकिन उन्हें बार-बार उदाहरणों के साथ समझाया गया है। प्राचीन ग्रीस में एक सुव्यवस्थित निगमनात्मक निर्माण पद्धति के साथ एक औपचारिक विज्ञान में गणित का रूपांतरण हुआ। उसी स्थान पर, गणितीय रचनात्मकता नामहीन हो गई। व्यावहारिक अंकगणित और ज्यामितिप्राचीन ग्रीस में विकास का उच्च स्तर था। ग्रीक ज्यामिति की शुरुआत थेल्स ऑफ मिलेटस (7वीं शताब्दी ईसा पूर्व के अंत - 6वीं शताब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत) के नाम से जुड़ी है, जो मिस्र से प्राथमिक ज्ञान लाए थे। समोस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) के पाइथागोरस के स्कूल में, संख्याओं की विभाज्यता का अध्ययन किया गया था, सबसे सरल प्रगति को अभिव्यक्त किया गया था, पूर्ण संख्याओं का अध्ययन किया गया था, विभिन्न प्रकार के औसत (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) को ध्यान में रखा गया था, पायथागॉरियन संख्याएँ फिर से पाए गए (पूर्णांकों के त्रिगुण, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हो सकते हैं)। पाँचवीं-छठी शताब्दी ईसा पूर्व में। पुरातनता की प्रसिद्ध समस्याएं उत्पन्न हुईं - एक वृत्त का वर्ग, एक कोण का त्रिविभाजन, एक घन का दोहरीकरण, पहली अपरिमेय संख्याएँ निर्मित हुईं। ज्यामिति की पहली व्यवस्थित पाठ्यपुस्तक का श्रेय चिओस के हिप्पोक्रेट्स (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व का दूसरा भाग) को दिया जाता है। उसी समय तक, ब्रह्मांड के मामले की संरचना को तर्कसंगत रूप से समझाने के प्रयासों से जुड़े प्लेटोनिक स्कूल की महत्वपूर्ण सफलता सभी नियमित पॉलीहेड्रा की खोज से संबंधित है। 5 वीं और 4 वीं शताब्दी ईसा पूर्व की सीमा पर। परमाणुवादी विचारों के आधार पर डेमोक्रिटस ने पिंडों के आयतन को निर्धारित करने के लिए एक विधि प्रस्तावित की। इस पद्धति को इनफिनिटिमल विधि का एक प्रोटोटाइप माना जा सकता है। चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में। कनिडस के यूडोक्सस ने अनुपात के सिद्धांत को विकसित किया। तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व गणितीय रचनात्मकता की सबसे बड़ी तीव्रता की विशेषता है। (तथाकथित अलेक्जेंड्रियन युग की पहली शताब्दी)। तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में। यूक्लिड, आर्किमिडीज, पेर्गा के एपोलोनियस, एराटोस्थनीज जैसे गणितज्ञों ने काम किया; बाद में - बगुला (पहली शताब्दी ईस्वी) डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी)। अपने "तत्वों" में यूक्लिड ने ज्यामिति के क्षेत्र में उपलब्धियों के अंतिम तार्किक प्रसंस्करण को एकत्र किया और उसके अधीन किया; उसी समय उन्होंने संख्या सिद्धांत की नींव रखी। ज्यामिति में आर्किमिडीज का मुख्य गुण विभिन्न क्षेत्रों और मात्राओं का निर्धारण था। डायोफैंटस ने मुख्य रूप से परिमेय धनात्मक संख्याओं में समीकरणों के हल का अध्ययन किया। तीसरी शताब्दी के अंत से ग्रीक गणित का पतन शुरू हुआ।

प्राचीन चीन और भारत में गणित का महत्वपूर्ण विकास हुआ। चीनी गणितज्ञों को गणना करने के लिए एक उच्च तकनीक और सामान्य बीजगणितीय विधियों के विकास में रुचि की विशेषता है। दूसरी-पहली शताब्दी ईसा पूर्व में। गणित नौ किताबों में लिखा गया था। इसमें वर्गमूल निकालने की वही तकनीकें शामिल हैं, जो आधुनिक स्कूल में भी प्रस्तुत की जाती हैं: रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके, पाइथागोरस प्रमेय का एक अंकगणितीय सूत्रीकरण।

भारतीय गणित, जिसका उत्कर्ष 5वीं-12वीं शताब्दी तक है, को आधुनिक दशमलव संख्या के उपयोग का श्रेय दिया जाता है, साथ ही इस श्रेणी की इकाइयों की अनुपस्थिति को इंगित करने के लिए शून्य, और बीजगणित की तुलना में अधिक व्यापक विकास की योग्यता डायोफैंटस, जो न केवल सकारात्मक परिमेय संख्याओं के साथ संचालित होता है, बल्कि ऋणात्मक और अपरिमेय संख्याओं के साथ भी संचालित होता है।

अरब विजय ने इस तथ्य को जन्म दिया कि मध्य एशिया से इबेरियन प्रायद्वीप तक, वैज्ञानिकों ने 9वीं-15वीं शताब्दी के दौरान अरबी भाषा का उपयोग किया। 9वीं शताब्दी में, मध्य एशियाई वैज्ञानिक अल-ख्वारिज्मी ने पहली बार बीजगणित को एक स्वतंत्र विज्ञान के रूप में स्थापित किया। इस अवधि के दौरान, कई ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय सूत्रीकरण प्राप्त हुआ। सीरियाई अल-बट्टानी ने त्रिकोणमितीय कार्यों साइन, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की शुरुआत की। समरकंद वैज्ञानिक अल-काशी (15 वीं शताब्दी) ने दशमलव अंशों की शुरुआत की और एक व्यवस्थित प्रस्तुति दी, न्यूटन के द्विपद सूत्र तैयार किए।

गणित के विकास में एक अनिवार्य रूप से नई अवधि 17 वीं शताब्दी में शुरू हुई, जब गति, परिवर्तन का विचार स्पष्ट रूप से गणित में प्रवेश कर गया। चरों और उनके बीच संबंधों पर विचार करने से कार्यों, डेरिवेटिव और इंटीग्रल डिफरेंशियल कैलकुलस, इंटीग्रल कैलकुलस की अवधारणाओं को एक नए गणितीय अनुशासन - गणितीय विश्लेषण के उद्भव के लिए प्रेरित किया गया।

18वीं शताब्दी के अंत से 19वीं शताब्दी की शुरुआत तक, गणित के विकास में अनिवार्य रूप से कई नई विशेषताएं देखी गईं। इनमें से सबसे बड़ी विशेषता गणित की नींव में कई मुद्दों के आलोचनात्मक पुनरीक्षण में रुचि थी। इनफिनिटिमल्स की अस्पष्ट धारणाओं को एक सीमा की अवधारणा से जुड़े सटीक योगों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

19 वीं शताब्दी में बीजगणित में, रेडिकल्स में बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की संभावना का प्रश्न स्पष्ट किया गया था (नॉर्वेजियन वैज्ञानिक एन। एबेल, फ्रांसीसी वैज्ञानिक ई। गैलोइस)।

19वीं और 20वीं शताब्दी में, गणित की संख्यात्मक विधियाँ एक स्वतंत्र शाखा - कम्प्यूटेशनल गणित में विकसित हुईं। 19वीं और 20वीं शताब्दी में विकसित गणित की एक शाखा - गणितीय तर्क द्वारा नई कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों की खोज की गई।

सामग्री गणित के शिक्षक लेशचेंको ओ.वी. द्वारा तैयार की गई थी।

अध्ययन के तहत वस्तुओं के आदर्श गुणों को या तो सिद्धांतों के रूप में तैयार किया जाता है या संबंधित गणितीय वस्तुओं की परिभाषा में सूचीबद्ध किया जाता है। फिर, तार्किक निष्कर्ष के सख्त नियमों के अनुसार, इन गुणों से अन्य वास्तविक गुण (प्रमेय) निकाले जाते हैं। यह सिद्धांत मिलकर अध्ययन की जा रही वस्तु का एक गणितीय मॉडल बनाता है। इस प्रकार प्रारम्भ में स्थानिक और परिमाणात्मक संबंधों से आगे बढ़ते हुए गणित अधिक अमूर्त सम्बन्धों को प्राप्त करता है, जिसका अध्ययन भी आधुनिक गणित का विषय है।

परंपरागत रूप से, गणित को सैद्धांतिक में विभाजित किया जाता है, जो इंट्रा-गणितीय संरचनाओं का गहन विश्लेषण करता है, और लागू होता है, जो अन्य विज्ञानों और इंजीनियरिंग विषयों के लिए अपने मॉडल प्रदान करता है, और उनमें से कुछ गणित की सीमा पर स्थित हैं। विशेष रूप से, औपचारिक तर्क को दार्शनिक विज्ञानों के भाग के रूप में और गणितीय विज्ञानों के भाग के रूप में माना जा सकता है; यांत्रिकी - भौतिकी और गणित दोनों; कंप्यूटर विज्ञान, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी और एल्गोरिथम इंजीनियरिंग और गणितीय विज्ञान आदि दोनों को संदर्भित करते हैं। साहित्य में गणित की कई अलग-अलग परिभाषाएँ प्रस्तावित की गई हैं।

शब्द-साधन

शब्द "गणित" अन्य ग्रीक से आया है। μάθημα, जिसका अर्थ है पढ़ना, ज्ञान, विज्ञान, आदि - ग्रीक। μαθηματικός, मूल अर्थ ग्रहणशील, विपुल, बाद में अध्ययन योग्य, बाद में गणित से संबंधित. विशेष रूप से, μαθηματικὴ τέχνη , लैटिन में ars गणित, साधन गणित की कला. अन्य ग्रीक शब्द। शब्द "गणित" के आधुनिक अर्थ में μᾰθημᾰτικά पहले से ही अरस्तू (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) के लेखन में पाया जाता है। फस्मर के अनुसार, यह शब्द रूसी भाषा में या तो पोलिश के माध्यम से आया था। matematyka, या lat के माध्यम से। गणित।

परिभाषाएं

गणित के विषय की पहली परिभाषाओं में से एक डेसकार्टेस द्वारा दी गई थी:

गणित के क्षेत्र में केवल वे विज्ञान शामिल हैं जिनमें या तो क्रम या माप पर विचार किया जाता है, और यह बिल्कुल भी मायने नहीं रखता है कि ये संख्याएँ हैं, अंक हैं, तारे हैं, ध्वनियाँ हैं, या कुछ और जिसमें यह माप खोजा गया है। इस प्रकार, कोई सामान्य विज्ञान होना चाहिए जो किसी विशेष विषय के अध्ययन में प्रवेश किए बिना, आदेश और माप से संबंधित हर चीज की व्याख्या करता हो, और इस विज्ञान को विदेशी नहीं, बल्कि सामान्य गणित के पुराने, पहले से ही सामान्य नाम से पुकारा जाना चाहिए।

गणित का सार ... अब वस्तुओं के बीच संबंधों के एक सिद्धांत के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है, सिवाय कुछ गुणों के जो उनका वर्णन करते हैं - ठीक वही जो सिद्धांत के आधार पर स्वयंसिद्ध के रूप में रखे गए हैं ... गणित है अमूर्त रूपों का एक सेट - गणितीय संरचनाएं।

गणित की शाखाएँ

1. गणित के रूप में शैक्षिक अनुशासन

नोटेशन

चूंकि गणित अत्यंत विविध और बल्कि जटिल संरचनाओं से संबंधित है, इसलिए इसका अंकन भी बहुत जटिल है। सूत्र लिखने की आधुनिक प्रणाली यूरोपीय बीजगणितीय परंपरा के साथ-साथ गणित की बाद की शाखाओं - गणितीय विश्लेषण, गणितीय तर्क, समुच्चय सिद्धांत आदि की आवश्यकताओं के आधार पर बनाई गई थी। ज्यामिति ने समय से एक दृश्य (ज्यामितीय) प्रतिनिधित्व का उपयोग किया है। अति प्राचीन। आधुनिक गणित में, जटिल ग्राफ़िक संकेतन प्रणाली (उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय आरेख) भी आम हैं, और ग्राफ़ पर आधारित अंकन भी अक्सर उपयोग किया जाता है।

लघु कथा

गणित का दर्शन

लक्ष्य और तरीके

अंतरिक्ष आर एन (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन)), पर n > 3 (\displaystyle n>3)गणितीय आविष्कार है। हालाँकि, एक बहुत ही सरल आविष्कार जो जटिल घटनाओं को गणितीय रूप से समझने में मदद करता है».

नींव

सहज-ज्ञान

रचनात्मक गणित

स्पष्ट करना

मुख्य विषय

मात्रा

मात्रा के अमूर्तन से संबंधित मुख्य भाग बीजगणित है। "संख्या" की अवधारणा मूल रूप से अंकगणितीय अभ्यावेदन से उत्पन्न हुई और प्राकृतिक संख्याओं को संदर्भित करती है। बाद में, बीजगणित की सहायता से, इसे धीरे-धीरे पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, जटिल और अन्य संख्याओं तक बढ़ाया गया।

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) भिन्नात्मक संख्याएं 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) वास्तविक संख्या − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j - 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\डॉट्स ) जटिल आंकड़े quaternions

परिवर्तनों

परिवर्तनों और परिवर्तनों की घटनाओं को विश्लेषण द्वारा सबसे सामान्य रूप में माना जाता है।

संरचनाएं

स्थानिक संबंधों

ज्यामिति स्थानिक संबंधों की मूल बातों पर विचार करती है। त्रिकोणमिति त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों पर विचार करती है। गणितीय विश्लेषण के माध्यम से ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन विभेदक ज्यामिति से संबंधित है। रिक्त स्थान के गुण जो निरंतर विकृतियों के तहत अपरिवर्तित रहते हैं और निरंतरता की घटना का अध्ययन टोपोलॉजी द्वारा किया जाता है।

डिस्क्रीट मैथ

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

गणित बहुत लंबे समय से आसपास रहा है। मनुष्य ने फलों को इकट्ठा किया, फलों को खोदा, मछली पकड़ी और उन्हें सर्दियों के लिए संग्रहित किया। कितना खाना स्टोर है, इसे समझने के लिए एक शख्स ने अकाउंट ईजाद किया। ऐसे हुई गणित की शुरुआत

फिर आदमी कृषि में संलग्न होने लगा। भूमि के भूखंडों को मापना, आवास बनाना, समय मापना आवश्यक था।

अर्थात व्यक्ति के लिए वास्तविक जगत के मात्रात्मक अनुपात का उपयोग करना आवश्यक हो गया। निर्धारित करें कि कितनी फसल काटा गया है, भवन के भूखंड का आकार क्या है, या एक निश्चित संख्या में चमकीले सितारों के साथ आकाश का क्षेत्र कितना बड़ा है।

इसके अलावा, एक व्यक्ति ने रूपों का निर्धारण करना शुरू किया: सूर्य गोल है, बॉक्स चौकोर है, झील अंडाकार है, और ये वस्तुएं अंतरिक्ष में कैसे स्थित हैं। यही है, एक व्यक्ति वास्तविक दुनिया के स्थानिक रूपों में रुचि रखता है।

इस प्रकार अवधारणा अंक शास्त्रमात्रात्मक संबंधों और वास्तविक दुनिया के स्थानिक रूपों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

वर्तमान में, एक भी पेशा ऐसा नहीं है जहाँ कोई गणित के बिना कर सके। प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जिन्हें "गणित का राजा" कहा जाता था, ने एक बार कहा था:

"गणित विज्ञान की रानी है, अंकगणित गणित की रानी है।"

शब्द "अंकगणित" ग्रीक शब्द "अरिथमोस" - "संख्या" से आया है।

इस प्रकार, अंकगणितगणित की एक शाखा है जो संख्याओं और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करती है।

प्राथमिक विद्यालय में, सबसे पहले वे अंकगणित का अध्ययन करते हैं।

यह विज्ञान कैसे विकसित हुआ, आइए इस मुद्दे का अन्वेषण करें।

गणित के जन्म की अवधि

गणितीय ज्ञान के संचय की मुख्य अवधि ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी से पहले की मानी जाती है।

गणितीय पदों को सिद्ध करने वाला पहला व्यक्ति एक प्राचीन यूनानी विचारक था जो ईसा पूर्व 7वीं शताब्दी में, संभवतः 625-545 में रहता था। इस दार्शनिक ने पूर्व के देशों की यात्रा की। परंपरा कहती है कि उन्होंने मिस्र के पुजारियों और बेबीलोनियन कसदियों के साथ अध्ययन किया।

मिलेटस के थेल्स मिस्र से ग्रीस में प्रारंभिक ज्यामिति की पहली अवधारणाओं को लेकर आए: एक व्यास क्या है, एक त्रिकोण क्या निर्धारित करता है, और इसी तरह। उन्होंने सूर्य ग्रहण की भविष्यवाणी की, इंजीनियरिंग संरचनाओं को डिजाइन किया।

इस अवधि के दौरान, अंकगणित धीरे-धीरे विकसित होता है, खगोल विज्ञान और ज्यामिति विकसित होती है। बीजगणित और त्रिकोणमिति का जन्म होता है।

प्रारंभिक गणित की अवधि

यह अवधि छठी ईसा पूर्व से शुरू होती है। अब गणित सिद्धांतों और प्रमाणों के साथ एक विज्ञान के रूप में उभर रहा है। संख्याओं का सिद्धांत प्रकट होता है, मात्राओं का सिद्धांत, उनके मापन का।

इस समय का सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञ यूक्लिड है। वह तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे। यह आदमी गणित पर पहले सैद्धांतिक ग्रंथ का लेखक है जो हमारे पास आया है।

यूक्लिड के कार्यों में, तथाकथित यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव दी गई है - ये स्वयंसिद्ध हैं जो बुनियादी अवधारणाओं पर आधारित हैं, जैसे।

प्रारंभिक गणित की अवधि के दौरान, संख्याओं के सिद्धांत का जन्म हुआ, साथ ही साथ मात्राओं और उनके मापन के सिद्धांत का भी जन्म हुआ। पहली बार, ऋणात्मक और अपरिमेय संख्याएँ दिखाई देती हैं।

इस अवधि के अंत में, बीजगणित का निर्माण, शाब्दिक कलन के रूप में देखा जाता है। "बीजगणित" का विज्ञान ही अरबों के बीच समीकरणों को हल करने के विज्ञान के रूप में प्रकट होता है। अरबी में "बीजगणित" शब्द का अर्थ "वसूली" है, अर्थात, समीकरण के दूसरे भाग में नकारात्मक मूल्यों का स्थानांतरण।

चरों के गणित की अवधि

इस काल के संस्थापक रेने डेकार्टेस हैं, जो 17वीं शताब्दी ईस्वी में रहते थे। डेसकार्टेस ने अपने लेखन में पहली बार एक चर की अवधारणा का परिचय दिया।

इसके लिए धन्यवाद, वैज्ञानिक स्थिर मात्राओं के अध्ययन से लेकर चरों के बीच संबंधों के अध्ययन और गति के गणितीय विवरण की ओर बढ़ते हैं।

फ्रेडरिक एंगेल्स ने इस अवधि को सबसे स्पष्ट रूप से चित्रित किया, अपने लेखन में उन्होंने लिखा:

"गणित में महत्वपूर्ण मोड़ कार्तीय चर था। इसके लिए धन्यवाद, आंदोलन और इस प्रकार द्वंद्वात्मकता ने गणित में प्रवेश किया, और इसके लिए धन्यवाद, अंतर और अभिन्न कलन तुरंत आवश्यक हो गया, जो तुरंत उत्पन्न होता है, और जो न्यूटन और लीबनिज द्वारा आविष्कार नहीं किया गया था, और जो बड़े पैमाने पर पूरा हुआ था।

आधुनिक गणित का काल

19वीं शताब्दी के 20 के दशक में, निकोलाई इवानोविच लोबाचेवस्की तथाकथित गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के संस्थापक बने।

इस क्षण से आधुनिक गणित के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों का विकास शुरू होता है। जैसे प्रायिकता सिद्धांत, समुच्चय सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी इत्यादि।

इन सभी खोजों और अध्ययनों का व्यापक रूप से विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।

और वर्तमान में, गणित का विज्ञान तेजी से विकसित हो रहा है, गणित के विषय का विस्तार हो रहा है, जिसमें नए रूप और संबंध शामिल हैं, नए प्रमेय सिद्ध हो रहे हैं, और बुनियादी अवधारणाएँ गहरी हो रही हैं।

अध्ययन के तहत वस्तुओं के आदर्श गुणों को या तो सिद्धांतों के रूप में तैयार किया जाता है या संबंधित गणितीय वस्तुओं की परिभाषा में सूचीबद्ध किया जाता है। फिर, तार्किक निष्कर्ष के सख्त नियमों के अनुसार, इन गुणों से अन्य वास्तविक गुण (प्रमेय) निकाले जाते हैं। यह सिद्धांत मिलकर अध्ययन की जा रही वस्तु का एक गणितीय मॉडल बनाता है। इस प्रकार, प्रारंभ में, स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों से आगे बढ़ते हुए, गणित अधिक अमूर्त संबंध प्राप्त करता है, जिसका अध्ययन भी आधुनिक गणित का विषय है।

परंपरागत रूप से, गणित को सैद्धांतिक में विभाजित किया जाता है, जो इंट्रा-गणितीय संरचनाओं का गहन विश्लेषण करता है, और लागू होता है, जो अन्य विज्ञानों और इंजीनियरिंग विषयों के लिए अपने मॉडल प्रदान करता है, और उनमें से कुछ गणित की सीमा पर स्थित हैं। विशेष रूप से, औपचारिक तर्क को दार्शनिक विज्ञानों के भाग के रूप में और गणितीय विज्ञानों के भाग के रूप में माना जा सकता है; यांत्रिकी - भौतिकी और गणित दोनों; कंप्यूटर विज्ञान, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, और एल्गोरिद्मिक्स इंजीनियरिंग और गणितीय विज्ञान, आदि दोनों को संदर्भित करते हैं। साहित्य में गणित की कई अलग-अलग परिभाषाएँ प्रस्तावित की गई हैं (देखें)।

शब्द-साधन

शब्द "गणित" अन्य ग्रीक से आया है। μάθημα ( गणित), मतलब पढ़ना, ज्ञान, विज्ञान, आदि - ग्रीक। μαθηματικός ( mathematicos), मूल अर्थ ग्रहणशील, विपुल, बाद में अध्ययन योग्य, बाद में गणित से संबंधित. विशेष रूप से, μαθηματικὴ τέχνη (गणित तकनीक), लैटिन में ars गणित, साधन गणित की कला.

परिभाषाएं

गणित के क्षेत्र में केवल वे विज्ञान शामिल हैं जिनमें या तो क्रम या माप पर विचार किया जाता है, और यह बिल्कुल भी मायने नहीं रखता है कि ये संख्याएँ हैं, अंक हैं, तारे हैं, ध्वनियाँ हैं, या कुछ और जिसमें यह माप खोजा गया है। इस प्रकार, कोई सामान्य विज्ञान होना चाहिए जो किसी विशेष विषय के अध्ययन में प्रवेश किए बिना, आदेश और माप से संबंधित हर चीज की व्याख्या करता हो, और इस विज्ञान को विदेशी नहीं, बल्कि सामान्य गणित के पुराने, पहले से ही सामान्य नाम से पुकारा जाना चाहिए।

सोवियत काल में, A. N. Kolmogorov द्वारा दी गई TSB की परिभाषा को क्लासिक माना जाता था:

गणित ... वास्तविक दुनिया के मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का विज्ञान।

गणित का सार ... अब वस्तुओं के बीच संबंधों के एक सिद्धांत के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है, सिवाय कुछ गुणों के जो उनका वर्णन करते हैं - ठीक वही जो सिद्धांत के आधार पर स्वयंसिद्ध के रूप में रखे गए हैं ... गणित है अमूर्त रूपों का एक सेट - गणितीय संरचनाएं।

यहाँ कुछ और आधुनिक परिभाषाएँ दी गई हैं।

आधुनिक सैद्धांतिक ("शुद्ध") गणित गणितीय संरचनाओं, विभिन्न प्रणालियों और प्रक्रियाओं के गणितीय आविष्कारों का विज्ञान है।

गणित एक ऐसा विज्ञान है जो उन मॉडलों की गणना करने की क्षमता प्रदान करता है जिन्हें एक मानक (विहित) रूप में घटाया जा सकता है। औपचारिक परिवर्तनों के माध्यम से विश्लेषणात्मक मॉडल (विश्लेषण) का समाधान खोजने का विज्ञान।

गणित की शाखाएँ

1. गणित के रूप में शैक्षिक अनुशासनमाध्यमिक विद्यालय में अध्ययन किए जाने वाले प्राथमिक गणित में रूसी संघ में उप-विभाजित है और निम्नलिखित विषयों द्वारा गठित है:

• प्राथमिक ज्यामिति: प्लैनिमेट्री और स्टीरियोमेट्री
• प्राथमिक कार्यों और विश्लेषण के तत्वों का सिद्धांत

4. अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी (AMS) ने गणित की शाखाओं को वर्गीकृत करने के लिए अपना मानक विकसित किया है। इसे गणित विषय वर्गीकरण कहा जाता है। यह मानक समय-समय पर अद्यतन किया जाता है। वर्तमान संस्करण एमएससी 2010 है। पिछला संस्करण MSC 2000 है।

नोटेशन

इस तथ्य के कारण कि गणित अत्यंत विविध और बल्कि जटिल संरचनाओं से संबंधित है, अंकन भी बहुत जटिल है। सूत्र लिखने की आधुनिक प्रणाली यूरोपीय बीजगणितीय परंपरा के साथ-साथ गणितीय विश्लेषण (एक फ़ंक्शन, व्युत्पन्न, आदि की अवधारणा) के आधार पर बनाई गई थी। अति प्राचीन काल से, ज्यामिति ने एक दृश्य (ज्यामितीय) प्रतिनिधित्व का उपयोग किया है। आधुनिक गणित में, जटिल ग्राफ़िक संकेतन प्रणाली (उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय आरेख) भी आम हैं, और ग्राफ़ पर आधारित अंकन भी अक्सर उपयोग किया जाता है।

लघु कथा

गणित का विकास लेखन और संख्याओं को लिखने की क्षमता पर निर्भर करता है। संभवतः, प्राचीन लोगों ने पहले जमीन पर रेखाएँ खींचकर या उन्हें लकड़ी पर खुरच कर मात्रा व्यक्त की। प्राचीन इंकास, जिसमें कोई अन्य लेखन प्रणाली नहीं थी, रस्सी की गांठों की एक जटिल प्रणाली का उपयोग करके संख्यात्मक डेटा का प्रतिनिधित्व और भंडारण किया जाता था, तथाकथित क्विपु। कई अलग-अलग नंबर सिस्टम थे। मध्य साम्राज्य के मिस्रवासियों द्वारा बनाए गए अहम्स पेपिरस में संख्याओं का पहला ज्ञात रिकॉर्ड पाया गया। भारतीय सभ्यता ने शून्य की अवधारणा को शामिल करते हुए आधुनिक दशमलव संख्या प्रणाली विकसित की।

ऐतिहासिक रूप से, प्रमुख गणितीय विषय वाणिज्यिक क्षेत्र में गणना करने, भूमि को मापने और खगोलीय घटनाओं की भविष्यवाणी करने और बाद में, नई भौतिक समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के प्रभाव में उभरे। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र गणित के व्यापक विकास में एक बड़ी भूमिका निभाता है, जिसमें संरचनाओं, रिक्त स्थान और परिवर्तनों का अध्ययन शामिल है।

गणित का दर्शन

लक्ष्य और तरीके

गणित एक औपचारिक भाषा का उपयोग करके काल्पनिक, आदर्श वस्तुओं और उनके बीच संबंधों का अध्ययन करता है। सामान्य तौर पर, गणितीय अवधारणाएं और प्रमेय आवश्यक रूप से भौतिक दुनिया में किसी भी चीज़ के अनुरूप नहीं होते हैं। गणित की अनुप्रयुक्त शाखा का मुख्य कार्य एक गणितीय मॉडल बनाना है जो अध्ययन के तहत वास्तविक वस्तु के लिए पर्याप्त हो। सैद्धांतिक गणितज्ञ का कार्य इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए सुविधाजनक साधनों का पर्याप्त सेट प्रदान करना है।

गणित की सामग्री को उनके निर्माण के लिए गणितीय मॉडल और उपकरणों की एक प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ऑब्जेक्ट मॉडल इसकी सभी विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखता है, लेकिन केवल अध्ययन के प्रयोजनों (आदर्शित) के लिए सबसे आवश्यक है। उदाहरण के लिए, एक संतरे के भौतिक गुणों का अध्ययन करते समय, हम इसके रंग और स्वाद से सार निकाल सकते हैं और इसे एक गेंद के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं (यद्यपि पूरी तरह से सटीक नहीं)। यदि हमें यह समझने की आवश्यकता है कि यदि हम दो और तीन को एक साथ जोड़ते हैं तो हमें कितने संतरे मिलते हैं, तो हम केवल एक विशेषता - मात्रा के साथ मॉडल को छोड़कर, फॉर्म से अलग कर सकते हैं। अमूर्तता और सबसे सामान्य रूप में वस्तुओं के बीच संबंधों की स्थापना गणितीय रचनात्मकता के मुख्य क्षेत्रों में से एक है।

एक और दिशा, अमूर्तता के साथ, सामान्यीकरण है। उदाहरण के लिए, "अंतरिक्ष" की अवधारणा को एन-आयामों के स्थान पर सामान्यीकृत करना। " अंतरिक्ष एक गणितीय कथा है। हालाँकि, एक बहुत ही सरल आविष्कार जो जटिल घटनाओं को गणितीय रूप से समझने में मदद करता है».

अंतर्गणितीय वस्तुओं का अध्ययन, एक नियम के रूप में, स्वयंसिद्ध पद्धति का उपयोग करके होता है: सबसे पहले, अध्ययन के तहत वस्तुओं के लिए बुनियादी अवधारणाओं और स्वयंसिद्धों की एक सूची तैयार की जाती है, और फिर निष्कर्ष नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से अर्थपूर्ण प्रमेय प्राप्त किए जाते हैं, जो एक साथ बनते हैं एक गणितीय मॉडल।

नींव

प्लेटो के समय से गणित के सार और नींव के प्रश्न पर चर्चा की जाती रही है। 20वीं शताब्दी के बाद से, एक कठोर गणितीय प्रमाण के रूप में किसे माना जाना चाहिए, इस पर तुलनात्मक सहमति रही है, लेकिन गणित में सत्य माने जाने वाले पर कोई सहमति नहीं रही है। यह अभिगृहीत के प्रश्नों और गणित की शाखाओं के अंतर्संबंध, और प्रमाणों में प्रयुक्त होने वाली तार्किक प्रणालियों के चुनाव, दोनों में असहमति को जन्म देता है।

संशयवादी के अलावा, इस मुद्दे पर निम्नलिखित दृष्टिकोण ज्ञात हैं।

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण

सेट थ्योरी के ढांचे के भीतर सभी गणितीय वस्तुओं पर विचार करने का प्रस्ताव है, सबसे अधिक बार ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध के साथ (हालांकि कई अन्य हैं जो इसके समकक्ष हैं)। इस दृष्टिकोण को 20वीं शताब्दी के मध्य से प्रचलित माना जाता रहा है, हालांकि, वास्तव में, अधिकांश गणितीय कार्य अपने कथनों को सेट सिद्धांत की भाषा में सख्ती से अनुवाद करने का कार्य निर्धारित नहीं करते हैं, लेकिन कुछ क्षेत्रों में स्थापित अवधारणाओं और तथ्यों के साथ काम करते हैं। गणित का। इस प्रकार, यदि समुच्चय सिद्धांत में विरोधाभास पाया जाता है, तो यह अधिकांश परिणामों को अमान्य नहीं करेगा।

तर्कवाद

यह दृष्टिकोण गणितीय वस्तुओं के सख्त टाइपिंग को मानता है। सेट थ्योरी में केवल विशेष तरकीबों से बचाए गए कई विरोधाभास सिद्धांत रूप में असंभव हो जाते हैं।

नियम-निष्ठता

इस दृष्टिकोण में शास्त्रीय तर्क पर आधारित औपचारिक प्रणालियों का अध्ययन शामिल है।

सहज-ज्ञान

अंतर्ज्ञानवाद गणित की नींव पर एक अंतर्ज्ञानवादी तर्क का अनुमान लगाता है जो प्रमाण के साधनों में अधिक सीमित है (लेकिन, यह माना जाता है कि यह अधिक विश्वसनीय भी है)। अंतर्ज्ञानवाद विरोधाभास द्वारा प्रमाण को अस्वीकार करता है, कई गैर-रचनात्मक प्रमाण असंभव हो जाते हैं, और सेट सिद्धांत की कई समस्याएं अर्थहीन (गैर-औपचारिक) हो जाती हैं।

रचनात्मक गणित

रचनात्मक गणित अंतर्ज्ञानवाद के करीब गणित में एक प्रवृत्ति है जो रचनात्मक निर्माणों का अध्ययन करती है [ स्पष्ट करना] . निर्माण योग्यता की कसौटी के अनुसार - " अस्तित्व का अर्थ है निर्मित होना"। निरंतरता की कसौटी की तुलना में रचनात्‍मकता कसौटी अधिक मजबूत आवश्यकता है।

मुख्य विषय

नंबर

"संख्या" की अवधारणा मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं को संदर्भित करती है। बाद में इसे धीरे-धीरे पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, जटिल और अन्य संख्याओं तक बढ़ाया गया।

पूर्ण संख्याएं भिन्नात्मक संख्याएं वास्तविक संख्या जटिल आंकड़े quaternions

संख्यात्मक प्रणाली
गिनती सेट	प्राकृतिक संख्याएँ () पूर्णांक () परिमेय () बीजगणितीय () काल गणना योग्य अंकगणित
वास्तविक संख्या और उनके विस्तार	रियल () कॉम्प्लेक्स () क्वाटरनियंस () केली नंबर (ऑक्टेव्स, ऑक्टोनियंस) () सेडेनियंस () अल्टरनियंस केली-डिक्सन प्रक्रिया डुअल हाइपरकॉम्प्लेक्स सुपररियल हाइपररियल असली नंबर ( अंग्रेज़ी)
अन्य संख्या प्रणाली	कार्डिनल नंबर ऑर्डिनल नंबर (ट्रांसफिनिट, ऑर्डिनल) पी-एडिक सुपरनैचुरल नंबर
यह सभी देखें	दोहरी संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक संख्या किरण बाईक्वाटरनियन

परिवर्तनों

डिस्क्रीट मैथ

ज्ञान वर्गीकरण प्रणालियों में कोड

ऑनलाइन सेवाओं

बड़ी संख्या में साइटें हैं जो गणितीय गणनाओं के लिए सेवाएं प्रदान करती हैं। उनमें से ज्यादातर अंग्रेजी में हैं। रूसी भाषी लोगों में से, खोज इंजन निगमा के गणितीय प्रश्नों की सेवा पर ध्यान दिया जा सकता है।

यह सभी देखें

विज्ञान के लोकप्रियकर्ता

टिप्पणियाँ

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गणित सबसे पुराने विज्ञानों में से एक है। गणित की संक्षिप्त परिभाषा देना बिल्कुल भी आसान नहीं है, किसी व्यक्ति की गणितीय शिक्षा के स्तर के आधार पर इसकी सामग्री बहुत भिन्न होगी। एक प्राथमिक विद्यालय का छात्र जिसने अभी अंकगणित का अध्ययन करना शुरू किया है, वह कहेगा कि गणित वस्तुओं की गिनती के नियमों का अध्ययन कर रहा है। और वह सही होगा, क्योंकि वह सबसे पहले इससे परिचित होता है। पुराने छात्र जो कहा गया है उसमें जोड़ देंगे कि गणित की अवधारणा में बीजगणित और ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन शामिल है: रेखाएँ, उनके चौराहे, समतल आकृतियाँ, ज्यामितीय निकाय, विभिन्न प्रकार के परिवर्तन। हाई स्कूल के स्नातक, हालांकि, गणित की परिभाषा में कार्यों के अध्ययन और सीमा को पार करने की क्रिया के साथ-साथ व्युत्पन्न और अभिन्न की संबंधित अवधारणाओं को शामिल करेंगे। उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों या विश्वविद्यालयों और शैक्षणिक संस्थानों के प्राकृतिक विज्ञान विभागों के स्नातक अब स्कूल की परिभाषाओं से संतुष्ट नहीं होंगे, क्योंकि वे जानते हैं कि अन्य विषय भी गणित का हिस्सा हैं: संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी, अंतर कलन, प्रोग्रामिंग, कम्प्यूटेशनल तरीके, साथ ही मॉडलिंग उत्पादन प्रक्रियाओं, प्रायोगिक डेटा के प्रसंस्करण, सूचना के प्रसारण और प्रसंस्करण के लिए इन विषयों के अनुप्रयोग। हालाँकि, जो सूचीबद्ध है वह गणित की सामग्री को समाप्त नहीं करता है। इसकी संरचना में सेट सिद्धांत, गणितीय तर्क, इष्टतम नियंत्रण, यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत और बहुत कुछ शामिल हैं।

इसकी घटक शाखाओं को सूचीबद्ध करके गणित को परिभाषित करने का प्रयास हमें भटकाता है, क्योंकि वे इस बात का अंदाजा नहीं देते हैं कि वास्तव में गणित का अध्ययन क्या है और इसका हमारे आसपास की दुनिया से क्या संबंध है। यदि इस तरह का प्रश्न किसी भौतिक विज्ञानी, जीवविज्ञानी या खगोलशास्त्री से पूछा जाता, तो उनमें से प्रत्येक एक बहुत ही संक्षिप्त उत्तर देता, जिसमें उन भागों की सूची नहीं होती जो वे विज्ञान का अध्ययन करते हैं। इस तरह के उत्तर में प्रकृति की उन घटनाओं का संकेत होगा जिनकी वह जांच करती है। उदाहरण के लिए, एक जीवविज्ञानी कहेगा कि जीव विज्ञान जीवन की विभिन्न अभिव्यक्तियों का अध्ययन है। यद्यपि यह उत्तर पूरी तरह से पूर्ण नहीं है, क्योंकि यह यह नहीं बताता है कि जीवन और जीवन की घटनाएं क्या हैं, फिर भी, इस तरह की परिभाषा जीव विज्ञान के विज्ञान की सामग्री और इस विज्ञान के विभिन्न स्तरों के बारे में काफी संपूर्ण विचार देगी। . और जीव विज्ञान के हमारे ज्ञान के विस्तार के साथ यह परिभाषा नहीं बदलेगी।

प्रकृति, तकनीकी या सामाजिक प्रक्रियाओं की ऐसी कोई घटना नहीं है जो गणित के अध्ययन का विषय हो, लेकिन भौतिक, जैविक, रासायनिक, इंजीनियरिंग या सामाजिक घटनाओं से संबंधित न हो। प्रत्येक प्राकृतिक विज्ञान अनुशासन: जीव विज्ञान और भौतिकी, रसायन विज्ञान और मनोविज्ञान - अपने विषय की भौतिक विशेषताओं, वास्तविक दुनिया के उस क्षेत्र की विशिष्ट विशेषताओं से निर्धारित होता है जिसका वह अध्ययन करता है। वस्तु या घटना का अध्ययन विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, जिसमें गणितीय भी शामिल है, लेकिन तरीकों को बदलकर, हम अभी भी इस अनुशासन की सीमाओं के भीतर रहते हैं, क्योंकि इस विज्ञान की सामग्री वास्तविक विषय है, न कि शोध पद्धति। गणित के लिए, अनुसंधान का भौतिक विषय निर्णायक महत्व का नहीं है, लागू पद्धति महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग दोलनशील गति का अध्ययन करने और दुर्गम वस्तु की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। और गणितीय पद्धति का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की किन परिघटनाओं की जांच की जा सकती है? ये घटनाएँ उनकी भौतिक प्रकृति से नहीं, बल्कि विशेष रूप से औपचारिक संरचनात्मक गुणों द्वारा, और सबसे बढ़कर उन मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों से निर्धारित होती हैं जिनमें वे मौजूद हैं।

तो, गणित भौतिक वस्तुओं का अध्ययन नहीं करता है, लेकिन अनुसंधान विधियों और अध्ययन की वस्तु के संरचनात्मक गुणों का अध्ययन करता है, जो इसे कुछ संचालन (योग, भेदभाव, आदि) लागू करने की अनुमति देता है। हालाँकि, गणितीय समस्याओं, अवधारणाओं और सिद्धांतों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा वास्तविक घटनाओं और प्रक्रियाओं का प्राथमिक स्रोत है। उदाहरण के लिए, अंकगणित और संख्या सिद्धांत वस्तुओं की गिनती के प्राथमिक व्यावहारिक कार्य से उभरे। प्रारंभिक ज्यामिति में दूरियों की तुलना करने, समतल आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करने या स्थानिक पिंडों के आयतन से जुड़ी समस्याओं का स्रोत था। यह सब खोजने की आवश्यकता थी, क्योंकि रक्षा संरचनाओं के निर्माण के दौरान उपयोगकर्ताओं के बीच भूमि का पुनर्वितरण करना, अन्न भंडार के आकार या भूकंप की मात्रा की गणना करना आवश्यक था।

एक गणितीय परिणाम में यह गुण होता है कि इसका उपयोग न केवल किसी विशेष घटना या प्रक्रिया के अध्ययन में किया जा सकता है, बल्कि अन्य घटनाओं का अध्ययन करने के लिए भी किया जा सकता है, जिसकी भौतिक प्रकृति पहले से मानी गई चीजों से मौलिक रूप से भिन्न होती है। अतः अंकगणित के नियम आर्थिक समस्याओं में, और तकनीकी मामलों में, और कृषि की समस्याओं के समाधान में, और वैज्ञानिक अनुसंधान में लागू होते हैं। अंकगणित के नियम सहस्राब्दी पहले विकसित किए गए थे, लेकिन उन्होंने अपने व्यावहारिक मूल्य को हमेशा के लिए बनाए रखा। अंकगणित गणित का एक अभिन्न अंग है, इसका पारंपरिक हिस्सा अब गणित के ढांचे के भीतर रचनात्मक विकास के अधीन नहीं है, लेकिन यह कई नए अनुप्रयोगों की तलाश करता है और करता रहेगा। ये अनुप्रयोग मानव जाति के लिए बहुत महत्वपूर्ण हो सकते हैं, लेकिन वे अब गणित में उचित योगदान नहीं देंगे।

गणित, एक रचनात्मक शक्ति के रूप में, अपने लक्ष्य के रूप में सामान्य नियमों का विकास करता है जिनका उपयोग कई विशेष मामलों में किया जाना चाहिए। जो ये नियम बनाता है, कुछ नया रचता है, रचता है। जो तैयार नियमों को लागू करता है वह अब गणित में ही नहीं बनाता है, लेकिन संभवतः गणितीय नियमों की मदद से ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में नए मूल्यों का निर्माण करता है। उदाहरण के लिए, आज उपग्रह चित्रों की व्याख्या से डेटा, साथ ही चट्टानों की संरचना और आयु, भू-रासायनिक और भूभौतिकीय विसंगतियों के बारे में जानकारी कंप्यूटर का उपयोग करके संसाधित की जाती है। निस्संदेह, भूवैज्ञानिक अनुसंधान में कंप्यूटर का उपयोग इस शोध को भूवैज्ञानिक छोड़ देता है। भूवैज्ञानिक विज्ञान के हितों में उनके उपयोग की संभावना को ध्यान में रखे बिना कंप्यूटर और उनके सॉफ्टवेयर के संचालन के सिद्धांत विकसित किए गए थे। यह संभावना स्वयं इस तथ्य से निर्धारित होती है कि भूवैज्ञानिक डेटा के संरचनात्मक गुण कुछ कंप्यूटर प्रोग्रामों के तर्क के अनुसार हैं।

गणित की दो परिभाषाएँ व्यापक हो गई हैं। इनमें से पहला एंटी-डुह्रिंग में एफ. एंगेल्स द्वारा दिया गया था, दूसरा फ्रेंच गणितज्ञों के एक समूह द्वारा दिया गया था, जिसे निकोलस बोर्बाकी के रूप में द आर्किटेक्चर ऑफ मैथमैटिक्स (1948) के लेख में जाना जाता है।

"शुद्ध गणित का उद्देश्य वास्तविक दुनिया के स्थानिक रूपों और मात्रात्मक संबंधों के रूप में है।" यह परिभाषा न केवल गणित के अध्ययन की वस्तु का वर्णन करती है, बल्कि इसकी उत्पत्ति - वास्तविक दुनिया को भी इंगित करती है। हालांकि, एफ. एंगेल्स की यह परिभाषा काफी हद तक 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गणित की स्थिति को दर्शाती है। और इसके उन नए क्षेत्रों को ध्यान में नहीं रखता है जो सीधे मात्रात्मक संबंधों या ज्यामितीय रूपों से संबंधित नहीं हैं। यह, सबसे पहले, गणितीय तर्क और प्रोग्रामिंग से संबंधित अनुशासन है। इसलिए, इस परिभाषा को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। शायद यह कहा जाना चाहिए कि गणित के अध्ययन की वस्तु के रूप में स्थानिक रूप, मात्रात्मक संबंध और तार्किक निर्माण हैं।

बॉरबाकी का तर्क है कि "केवल गणितीय वस्तुएं, सही ढंग से बोलना, गणितीय संरचनाएं हैं।" दूसरे शब्दों में, गणित को गणितीय संरचनाओं के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। यह परिभाषा अनिवार्य रूप से एक पुनरुक्ति है, क्योंकि यह केवल एक ही बात कहती है: गणित उन वस्तुओं से संबंधित है जिनका वह अध्ययन करता है। इस परिभाषा का एक और दोष यह है कि यह हमारे आसपास की दुनिया से गणित के संबंध को स्पष्ट नहीं करती है। इसके अलावा, बोरबाकी इस बात पर जोर देते हैं कि गणितीय संरचनाएं वास्तविक दुनिया और इसकी घटनाओं से स्वतंत्र रूप से बनाई गई हैं। इसीलिए बोरबाकी को यह घोषित करने के लिए मजबूर होना पड़ा कि "मुख्य समस्या प्रायोगिक दुनिया और गणितीय दुनिया के बीच संबंध है। प्रायोगिक घटनाओं और गणितीय संरचनाओं के बीच घनिष्ठ संबंध है, ऐसा लगता है कि आधुनिक भौतिकी की खोजों द्वारा पूरी तरह से अप्रत्याशित तरीके से पुष्टि की गई है, लेकिन हम इसके गहरे कारणों से पूरी तरह अनजान हैं ... और शायद हम उन्हें कभी नहीं जान पाएंगे .

एफ. एंगेल्स की परिभाषा से ऐसा निराशाजनक निष्कर्ष नहीं निकल सकता है, क्योंकि इसमें पहले से ही यह दावा शामिल है कि गणितीय अवधारणाएं वास्तविक दुनिया के कुछ संबंधों और रूपों से अमूर्त हैं। ये अवधारणाएँ वास्तविक दुनिया से ली गई हैं और इसके साथ जुड़ी हुई हैं। संक्षेप में, यह हमारे आसपास की दुनिया की घटनाओं के लिए गणित के परिणामों की अद्भुत प्रयोज्यता और साथ ही ज्ञान के गणितीकरण की प्रक्रिया की सफलता की व्याख्या करता है।

गणित ज्ञान के सभी क्षेत्रों से अपवाद नहीं है - यह उन अवधारणाओं को भी बनाता है जो व्यावहारिक स्थितियों और बाद के सार से उत्पन्न होती हैं; यह व्यक्ति को वास्तविकता का भी लगभग अध्ययन करने की अनुमति देता है। लेकिन साथ ही, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गणित वास्तविक दुनिया की चीजों का अध्ययन नहीं करता, बल्कि अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है और इसके तार्किक निष्कर्ष बिल्कुल सख्त और सटीक होते हैं। इसकी निकटता प्रकृति में आंतरिक नहीं है, बल्कि घटना के गणितीय मॉडल के संकलन से जुड़ी है। हम यह भी ध्यान देते हैं कि गणित के नियमों में पूर्ण प्रयोज्यता नहीं होती है, उनके पास आवेदन का एक सीमित क्षेत्र भी होता है, जहां वे सर्वोच्च शासन करते हैं। आइए व्यक्त विचार को एक उदाहरण से समझाते हैं: यह पता चला है कि दो और दो हमेशा चार के बराबर नहीं होते हैं। यह ज्ञात है कि 2 लीटर अल्कोहल और 2 लीटर पानी मिलाने पर 4 लीटर से कम मिश्रण प्राप्त होता है। इस मिश्रण में, अणुओं को अधिक सघन रूप से व्यवस्थित किया जाता है, और मिश्रण की मात्रा घटक घटकों के आयतन के योग से कम होती है। अंकगणित के योग नियम का उल्लंघन होता है। आप ऐसे उदाहरण भी दे सकते हैं जिनमें अंकगणित के अन्य सत्यों का उल्लंघन किया जाता है, उदाहरण के लिए, जब कुछ वस्तुओं को जोड़ते हैं, तो यह पता चलता है कि योग योग के क्रम पर निर्भर करता है।

कई गणितज्ञ गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध कारण के निर्माण के रूप में नहीं मानते हैं, बल्कि वास्तव में मौजूदा चीजों, घटनाओं, प्रक्रियाओं या पहले से स्थापित सार (उच्च आदेशों के सार) से सार के रूप में मानते हैं। प्रकृति की द्वंद्वात्मकता में, एफ। एंगेल्स ने लिखा है कि "... सभी तथाकथित शुद्ध गणित अमूर्तता में लगे हुए हैं ... इसकी सभी मात्राएँ, सख्ती से बोलना, काल्पनिक मात्राएँ हैं ..." ये शब्द काफी स्पष्ट रूप से राय को दर्शाते हैं गणित में अमूर्तता की भूमिका के बारे में मार्क्सवादी दर्शन के संस्थापकों में से एक। हमें केवल यह जोड़ना चाहिए कि ये सभी "काल्पनिक मात्राएँ" वास्तविकता से ली गई हैं, और विचार की मुक्त उड़ान द्वारा मनमाने ढंग से निर्मित नहीं हैं। इस प्रकार संख्या की अवधारणा सामान्य उपयोग में आई। सबसे पहले, ये इकाइयों के भीतर संख्याएँ थीं, और, इसके अलावा, केवल सकारात्मक पूर्णांक। फिर अनुभव ने मुझे संख्या के शस्त्रागार को दसियों और सैकड़ों तक विस्तारित करने के लिए मजबूर किया। पूर्णांकों की एक श्रृंखला की असीमता की अवधारणा पहले से ही ऐतिहासिक रूप से हमारे करीब एक युग में पैदा हुई थी: आर्किमिडीज़ ने "सम्मित" ("रेत के अनाज की गणना") पुस्तक में दिखाया कि कैसे संख्या का निर्माण करना संभव है जो दिए गए से भी बड़ा है . उसी समय, व्यावहारिक आवश्यकताओं से भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा का जन्म हुआ। सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित गणनाओं ने मानव जाति को नई संख्याओं तक पहुँचाया है - अपरिमेय। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विचार धीरे-धीरे बना।

गणित की किसी भी अन्य अवधारणा के लिए उसी पथ का अनुसरण किया जा सकता है। वे सभी व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुए और धीरे-धीरे अमूर्त अवधारणाओं में विकसित हुए। एंगेल्स के शब्दों को फिर से याद किया जा सकता है: "... शुद्ध गणित का अर्थ प्रत्येक व्यक्ति के विशेष अनुभव से स्वतंत्र होता है ... लेकिन यह पूरी तरह से गलत है कि शुद्ध गणित में मन केवल अपने स्वयं के उत्पादों से संबंधित होता है रचनात्मकता और कल्पना। संख्या और आकृति की अवधारणाएं कहीं से नहीं ली गई हैं, बल्कि वास्तविक दुनिया से ही ली गई हैं। जिन दस अंगुलियों पर लोगों ने गिनना सीखा, यानी पहला अंकगणितीय ऑपरेशन करना, वे कुछ भी हैं, लेकिन मन की मुक्त रचनात्मकता के उत्पाद हैं। गणना करने के लिए न केवल वस्तुओं को गिना जाना आवश्यक है, बल्कि संख्या को छोड़कर अन्य सभी गुणों से इन वस्तुओं पर विचार करते समय विचलित होने की क्षमता भी होनी चाहिए, और यह क्षमता एक लंबे ऐतिहासिक विकास का परिणाम है अनुभव। एक संख्या की अवधारणा और एक आकृति की अवधारणा दोनों बाहरी दुनिया से विशेष रूप से उधार ली गई हैं, और शुद्ध सोच से सिर में उत्पन्न नहीं हुई हैं। ऐसी चीजें होनी चाहिए जिनका एक निश्चित रूप हो, और एक आकृति की अवधारणा पर आने से पहले इन रूपों की तुलना की जानी थी।

आइए विचार करें कि क्या विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ हैं जो विज्ञान की पिछली प्रगति और अभ्यास की वर्तमान प्रगति के संबंध के बिना बनाई गई हैं। हम अच्छी तरह जानते हैं कि वैज्ञानिक गणितीय रचनात्मकता स्कूल, विश्वविद्यालय में कई विषयों के अध्ययन, किताबें पढ़ने, लेख पढ़ने, अपने क्षेत्र में और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में विशेषज्ञों के साथ बातचीत से पहले होती है। एक गणितज्ञ एक समाज में रहता है, और किताबों से, रेडियो पर, अन्य स्रोतों से, वह विज्ञान, इंजीनियरिंग और सामाजिक जीवन में आने वाली समस्याओं के बारे में सीखता है। इसके अलावा, शोधकर्ता की सोच वैज्ञानिक सोच के पूरे पिछले विकास से प्रभावित होती है। इसलिए, यह विज्ञान की प्रगति के लिए आवश्यक कुछ समस्याओं के समाधान के लिए तैयार हो जाता है। इसीलिए एक वैज्ञानिक स्वेच्छा से समस्याओं को आगे नहीं बढ़ा सकता है, लेकिन गणितीय अवधारणाओं और सिद्धांतों का निर्माण करना चाहिए जो विज्ञान के लिए, अन्य शोधकर्ताओं के लिए, मानवता के लिए मूल्यवान होंगे। लेकिन गणितीय सिद्धांत विभिन्न सामाजिक संरचनाओं और ऐतिहासिक युगों की स्थितियों में अपना महत्व बनाए रखते हैं। इसके अलावा, वैज्ञानिकों से अक्सर वही विचार उत्पन्न होते हैं जो किसी भी तरह से जुड़े नहीं होते हैं। यह उन लोगों के खिलाफ एक अतिरिक्त तर्क है जो गणितीय अवधारणाओं के मुक्त निर्माण की अवधारणा का पालन करते हैं।

तो, हमने बताया कि "गणित" की अवधारणा में क्या शामिल है। लेकिन अनुप्रयुक्त गणित जैसी भी कोई चीज होती है। इसे गणित के बाहर अनुप्रयोगों को खोजने वाले सभी गणितीय तरीकों और विषयों की समग्रता के रूप में समझा जाता है। प्राचीन काल में, ज्यामिति और अंकगणित सभी गणित का प्रतिनिधित्व करते थे, और चूंकि दोनों ने व्यापार एक्सचेंजों, क्षेत्रों और मात्राओं के माप और नेविगेशन के मामलों में कई अनुप्रयोगों को पाया, सभी गणित न केवल सैद्धांतिक थे, बल्कि लागू भी थे। बाद में, प्राचीन यूनान में, गणित और अनुप्रयुक्त गणित में विभाजन हुआ। हालाँकि, सभी प्रसिद्ध गणितज्ञ भी अनुप्रयोगों में लगे हुए थे, न कि केवल विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अनुसंधान में।

नई सामाजिक आवश्यकताओं के उद्भव के साथ, गणित का और विकास लगातार प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की प्रगति से जुड़ा था। XVIII सदी के अंत तक। गति के गणितीय सिद्धांत को बनाने के लिए (मुख्य रूप से नेविगेशन और आर्टिलरी की समस्याओं के संबंध में) एक आवश्यकता थी। यह उनके कार्यों में जी. वी. लीबनिज और आई. न्यूटन द्वारा किया गया था। एप्लाइड गणित को एक नई बहुत शक्तिशाली शोध पद्धति - गणितीय विश्लेषण के साथ फिर से भर दिया गया है। लगभग एक साथ, जनसांख्यिकी और बीमा की जरूरतों के कारण संभाव्यता सिद्धांत की शुरुआत हुई (संभावना सिद्धांत देखें)। 18वीं और 19वीं शताब्दी लागू गणित की सामग्री का विस्तार किया, इसमें साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत, गणितीय भौतिकी के समीकरण, गणितीय आँकड़ों के तत्व, अंतर ज्यामिति को जोड़ा। 20 वीं सदी व्यावहारिक समस्याओं के गणितीय अनुसंधान के नए तरीके लाए: यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत, कार्यात्मक विश्लेषण, इष्टतम नियंत्रण, रैखिक और गैर-रैखिक प्रोग्रामिंग। इसके अलावा, यह पता चला कि संख्या सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित ने भौतिकी की समस्याओं के लिए अप्रत्याशित अनुप्रयोग पाया। परिणामस्वरूप, यह विश्वास आकार लेने लगा कि एक अलग विषय के रूप में लागू गणित मौजूद नहीं है और सभी गणित को लागू माना जा सकता है। शायद, यह कहना आवश्यक नहीं है कि गणित लागू और सैद्धांतिक है, लेकिन गणितज्ञों को लागू और सिद्धांतकारों में विभाजित किया गया है। कुछ के लिए, गणित आसपास की दुनिया और उसमें होने वाली घटनाओं को जानने का एक तरीका है, यह इस उद्देश्य के लिए है कि वैज्ञानिक गणितीय ज्ञान का विकास और विस्तार करता है। दूसरों के लिए, गणित स्वयं अध्ययन और विकास के योग्य एक पूरी दुनिया का प्रतिनिधित्व करता है। विज्ञान की प्रगति के लिए दोनों प्रकार के वैज्ञानिकों की आवश्यकता है।

गणित, किसी भी घटना का अपने तरीकों से अध्ययन करने से पहले, अपना गणितीय मॉडल बनाता है, यानी घटना की उन सभी विशेषताओं को सूचीबद्ध करता है जिन्हें ध्यान में रखा जाएगा। मॉडल शोधकर्ता को उन गणितीय उपकरणों को चुनने के लिए मजबूर करता है जो अध्ययन और उसके विकास के तहत घटना की विशेषताओं को पर्याप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति देंगे। एक उदाहरण के रूप में, आइए एक ग्रहीय प्रणाली का मॉडल लें: सूर्य और ग्रहों को संबंधित द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदुओं के रूप में माना जाता है। प्रत्येक दो बिंदुओं की परस्पर क्रिया उनके बीच आकर्षण बल द्वारा निर्धारित होती है

जहाँ m 1 और m 2 परस्पर क्रिया करने वाले बिंदुओं के द्रव्यमान हैं, r उनके बीच की दूरी है, और f गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। इस मॉडल की सादगी के बावजूद, पिछले तीन सौ वर्षों से यह बड़ी सटीकता के साथ सौर मंडल के ग्रहों की गति की विशेषताओं को प्रसारित कर रहा है।

बेशक, प्रत्येक मॉडल वास्तविकता को कठोर बनाता है, और शोधकर्ता का कार्य, सबसे पहले, एक मॉडल का प्रस्ताव करना है, जो एक ओर, मामले के तथ्यात्मक पक्ष को पूरी तरह से व्यक्त करता है (जैसा कि वे कहते हैं, इसकी भौतिक विशेषताएं), और, दूसरी ओर, वास्तविकता का एक महत्वपूर्ण सन्निकटन देता है। बेशक, एक ही घटना के लिए कई गणितीय मॉडल प्रस्तावित किए जा सकते हैं। उन सभी को अस्तित्व का अधिकार है जब तक कि मॉडल और वास्तविकता के बीच एक महत्वपूर्ण विसंगति प्रभावित न होने लगे।

गणित वास्तविक दुनिया के मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का विज्ञान है। विज्ञान और प्रौद्योगिकी की मांगों के निकट संबंध में, गणित द्वारा अध्ययन किए गए मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों का भंडार लगातार बढ़ रहा है, इसलिए उपरोक्त परिभाषा को सबसे सामान्य अर्थों में समझा जाना चाहिए।

गणित के अध्ययन का उद्देश्य सामान्य विश्वदृष्टि, सोच की संस्कृति, वैज्ञानिक विश्वदृष्टि के गठन को बढ़ाना है।

एक विशेष विज्ञान के रूप में गणित की स्वतंत्र स्थिति को समझना पर्याप्त मात्रा में तथ्यात्मक सामग्री के संचय के बाद संभव हुआ और छठी-पाँचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन ग्रीस में पहली बार उत्पन्न हुआ। यह प्रारंभिक गणित की अवधि की शुरुआत थी।

इस अवधि के दौरान, गणितीय शोध आर्थिक जीवन की सबसे सरल मांगों के साथ उत्पन्न बुनियादी अवधारणाओं के सीमित भंडार से संबंधित था। साथ ही, विज्ञान के रूप में गणित में गुणात्मक सुधार पहले से ही हो रहा है।

आधुनिक गणित की तुलना अक्सर एक बड़े शहर से की जाती है। यह एक उत्कृष्ट तुलना है, क्योंकि गणित में, एक बड़े शहर की तरह, विकास और सुधार की एक सतत प्रक्रिया होती है। गणित में नए क्षेत्र उभर रहे हैं, सुरुचिपूर्ण और गहरे नए सिद्धांतों का निर्माण किया जा रहा है, जैसे नए पड़ोस और भवनों का निर्माण। लेकिन गणित की प्रगति नए शहर के निर्माण के कारण शहर का चेहरा बदलने तक ही सीमित नहीं है। हमें पुराने को बदलना होगा। पुराने सिद्धांत नए, अधिक सामान्य लोगों में शामिल हैं; पुराने भवनों की नींव मजबूत करने की जरूरत है। गणितीय शहर के दूर के तिमाहियों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए नई सड़कों का निर्माण किया जाना है। लेकिन यह पर्याप्त नहीं है - वास्तुशिल्प डिजाइन के लिए काफी प्रयास की आवश्यकता होती है, क्योंकि गणित के विभिन्न क्षेत्रों में शैलियों की विविधता न केवल विज्ञान की समग्र छाप को खराब करती है, बल्कि विज्ञान को समग्र रूप से समझने में भी बाधा डालती है, इसके विभिन्न भागों के बीच संबंध स्थापित करती है।

एक और तुलना अक्सर उपयोग की जाती है: गणित की तुलना एक बड़े शाखित वृक्ष से की जाती है, जो व्यवस्थित रूप से, नए अंकुर देता है। वृक्ष की प्रत्येक शाखा गणित का एक या दूसरा क्षेत्र है। शाखाओं की संख्या अपरिवर्तित नहीं रहती है, जैसे-जैसे नई शाखाएँ बढ़ती हैं, पहले अलग-अलग बढ़ने पर एक साथ बढ़ती हैं, कुछ शाखाएँ सूख जाती हैं, पौष्टिक रस से वंचित हो जाती हैं। दोनों तुलनाएं सफल हैं और बहुत अच्छी तरह से वास्तविक स्थिति को व्यक्त करती हैं।

निस्संदेह, सौंदर्य की मांग गणितीय सिद्धांतों के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यह बिना कहे चला जाता है कि सुंदरता की धारणा बहुत ही व्यक्तिपरक है और इसके बारे में अक्सर काफी बदसूरत विचार होते हैं। और फिर भी गणितज्ञों द्वारा "सौंदर्य" की अवधारणा में रखी गई एकमतता पर आश्चर्यचकित होना चाहिए: परिणाम को सुंदर माना जाता है यदि कुछ स्थितियों से वस्तुओं की एक विस्तृत श्रृंखला से संबंधित एक सामान्य निष्कर्ष प्राप्त करना संभव हो। एक गणितीय व्युत्पत्ति को सुंदर माना जाता है यदि इसमें सरल और संक्षिप्त तर्क द्वारा एक महत्वपूर्ण गणितीय तथ्य को सिद्ध करना संभव हो। एक गणितज्ञ की परिपक्वता, उसकी प्रतिभा का अंदाजा इस बात से लगाया जाता है कि उसकी सुंदरता की भावना कितनी विकसित है। सौंदर्यपूर्ण रूप से पूर्ण और गणितीय रूप से सही परिणाम समझने, याद रखने और उपयोग करने में आसान होते हैं; ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के साथ उनके संबंधों की पहचान करना आसान हो जाता है।

गणित हमारे समय में अनुसंधान के कई क्षेत्रों, परिणामों और विधियों की एक बड़ी संख्या के साथ एक वैज्ञानिक अनुशासन बन गया है। गणित अब इतना महान हो गया है कि एक व्यक्ति के लिए इसे सभी भागों में समेटना संभव नहीं है, इसमें एक सार्वभौमिक विशेषज्ञ होने की कोई संभावना नहीं है। इसकी अलग-अलग दिशाओं के बीच संबंधों का नुकसान निश्चित रूप से इस विज्ञान के तेजी से विकास का नकारात्मक परिणाम है। हालाँकि, गणित की सभी शाखाओं के विकास के आधार पर एक सामान्य बात है - विकास की उत्पत्ति, गणित के वृक्ष की जड़ें।

यूक्लिड की ज्यामिति पहले प्राकृतिक विज्ञान सिद्धांत के रूप में

• तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, "बिगिनिंग्स" के रूसी अनुवाद में, इसी नाम से यूक्लिड की एक पुस्तक अलेक्जेंड्रिया में दिखाई दी। लैटिन नाम "शुरुआत" से "प्राथमिक ज्यामिति" शब्द आया। यद्यपि यूक्लिड के पूर्ववर्तियों के लेखन हमारे पास नहीं आए हैं, हम यूक्लिड के तत्वों से इन लेखों के बारे में कुछ राय बना सकते हैं। "शुरुआत" में ऐसे खंड हैं जो तार्किक रूप से अन्य खंडों से बहुत कम जुड़े हुए हैं। उनकी उपस्थिति को केवल इस तथ्य से समझाया गया है कि उन्हें परंपरा के अनुसार पेश किया गया था और यूक्लिड के पूर्ववर्तियों की "शुरुआत" की नकल की गई थी।

  यूक्लिड के तत्वों में 13 पुस्तकें हैं। पुस्तकें 1 - 6 समतलमिति के लिए समर्पित हैं, पुस्तकें 7 - 10 अंकगणित और अतुलनीय मात्राओं के बारे में हैं जिन्हें कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके बनाया जा सकता है। पुस्तकें 11 से 13 स्टीरियोमेट्री के लिए समर्पित थीं।

  "शुरुआत" 23 परिभाषाओं और 10 स्वयंसिद्धों की प्रस्तुति के साथ शुरू होती है। पहले पाँच स्वयंसिद्ध "सामान्य अवधारणाएँ" हैं, बाकी को "अभिधारणाएँ" कहा जाता है। पहले दो पद एक आदर्श शासक की सहायता से क्रियाओं का निर्धारण करते हैं, तीसरा - एक आदर्श कम्पास की सहायता से। चौथा, "सभी समकोण एक दूसरे के बराबर हैं," बेमानी है, क्योंकि इसे बाकी स्वयंसिद्धों से घटाया जा सकता है। अंतिम, पाँचवाँ सिद्धांत पढ़ता है: "यदि कोई रेखा दो रेखाओं पर गिरती है और दो रेखाओं से कम के योग में आंतरिक एक तरफा कोण बनाती है, तो इन दो पंक्तियों की असीमित निरंतरता के साथ, वे उस तरफ प्रतिच्छेद करेंगी जहाँ पर कोण दो रेखाओं से कम हैं।"

  यूक्लिड की पाँच "सामान्य अवधारणाएँ" लंबाई, कोण, क्षेत्रफल, आयतन मापने के सिद्धांत हैं: "समान के बराबर एक दूसरे के बराबर होते हैं", "यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो योग एक दूसरे के बराबर होते हैं", "यदि समानों में से बराबरों को घटाया जाए, तो शेष आपस में बराबर होते हैं", "एक दूसरे के साथ संयोजन एक दूसरे के बराबर होते हैं", "संपूर्ण भाग से बड़ा होता है"।

  इसके बाद यूक्लिड की ज्यामिति की आलोचना हुई। यूक्लिड की तीन कारणों से आलोचना की गई थी: इस तथ्य के लिए कि वह केवल ऐसी ज्यामितीय राशियों पर विचार करता है जिन्हें कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके बनाया जा सकता है; ज्यामिति और अंकगणित को तोड़ने और पूर्णांकों के लिए साबित करने के लिए जो उन्होंने पहले ही ज्यामितीय मात्राओं के लिए सिद्ध कर दिया था, और अंत में, यूक्लिड के स्वयंसिद्धों के लिए। पाँचवीं अभिधारणा, यूक्लिड की सबसे कठिन अभिधारणा, की सबसे अधिक आलोचना की गई है। कई लोगों ने इसे अनावश्यक माना, और यह कि इसे अन्य सूक्तियों से निकाला जा सकता है और लिया जाना चाहिए। दूसरों का मानना ​​​​था कि इसे एक सरल और अधिक व्याख्यात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, इसके बराबर: "सीधी रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, उनके विमान में एक से अधिक सीधी रेखा नहीं खींची जा सकती है जो इस सीधी रेखा को नहीं काटती है।"

  ज्यामिति और अंकगणित के बीच के अंतर की आलोचना ने संख्या की अवधारणा को वास्तविक संख्या तक विस्तारित किया। पाँचवीं अवधारणा के बारे में विवादों ने इस तथ्य को जन्म दिया कि 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में एन.आई. लोबाचेव्स्की, जे. बोल्याई और के.एफ. गॉस ने एक नई ज्यामिति का निर्माण किया, जिसमें यूक्लिड की ज्यामिति के सभी स्वयंसिद्धों को पूरा किया गया, पाँचवें अभिधारणा के अपवाद के साथ। इसे विपरीत कथन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था: "एक रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से एक विमान में, एक से अधिक रेखाएँ खींची जा सकती हैं जो दिए गए को नहीं काटती हैं।" यह ज्यामिति उतनी ही संगत थी जितनी यूक्लिड की ज्यामिति।

  यूक्लिडियन विमान पर लोबाचेवस्की प्लैनिमेट्री मॉडल 1882 में फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे द्वारा बनाया गया था।

  यूक्लिडियन तल पर एक क्षैतिज रेखा खींचें। इस रेखा को निरपेक्ष (x) कहा जाता है। यूक्लिडियन विमान के निरपेक्ष से ऊपर स्थित बिंदु लोबाचेवस्की विमान के बिंदु हैं। लोबचेव्स्की विमान एक खुला आधा विमान है जो निरपेक्ष से ऊपर है। पॉइनकेयर मॉडल में गैर-यूक्लिडियन खंड निरपेक्ष पर केंद्रित हलकों के चाप हैं या निरपेक्ष (एबी, सीडी) के लंबवत रेखा खंड हैं। लोबचेव्स्की तल पर आकृति निरपेक्ष (F) के ऊपर स्थित एक खुले अर्ध-तल की आकृति है। गैर-यूक्लिडियन गति निरपेक्ष और अक्षीय समरूपता पर केंद्रित व्युत्क्रमों की एक परिमित संख्या की संरचना है, जिनकी कुल्हाड़ियाँ निरपेक्ष के लंबवत होती हैं। दो गैर-यूक्लिडियन खंड समान हैं यदि उनमें से एक को गैर-यूक्लिडियन आंदोलन द्वारा दूसरे में अनुवादित किया जा सकता है। ये लोबाचेव्स्की के प्लानेमेट्री के स्वयंसिद्धों की मूल अवधारणाएँ हैं।

  लोबाचेवस्की के समतलमिति के सभी अभिगृहीत सुसंगत हैं। "एक गैर-यूक्लिडियन रेखा एक अर्धवृत्त है जिसका अंत निरपेक्ष पर होता है, या एक किरण जिसका मूल निरपेक्ष पर होता है और निरपेक्ष पर लंबवत होता है।" इस प्रकार, लोबचेवस्की के समानांतरता के सिद्धांत का दावा न केवल कुछ रेखा ए और बिंदु ए के लिए नहीं है, बल्कि किसी भी रेखा के लिए और किसी भी बिंदु ए पर झूठ नहीं बोल रहा है।

  लोबाचेव्स्की की ज्यामिति के पीछे, अन्य सुसंगत ज्यामिति भी उत्पन्न हुईं: यूक्लिडियन से अलग प्रक्षेपी ज्यामिति, बहुआयामी यूक्लिडियन ज्यामिति विकसित हुई, रिमेंनियन ज्यामिति उत्पन्न हुई (लंबाई मापने के मनमाने कानून के साथ रिक्त स्थान का एक सामान्य सिद्धांत), आदि। एक तीन में आंकड़ों के विज्ञान से- आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, 40 - 50 वर्षों के लिए ज्यामिति विभिन्न सिद्धांतों के एक सेट में बदल गई है, केवल कुछ हद तक इसके पूर्वज के समान है - यूक्लिड की ज्यामिति।

  आधुनिक गणित के गठन के मुख्य चरण। आधुनिक गणित की संरचना

• शिक्षाविद एएन कोलमोगोरोव गणित के विकास में चार अवधियों की पहचान करते हैं कोलमोगोरोव ए.एन. - गणित, गणितीय विश्वकोश शब्दकोश, मास्को, सोवियत विश्वकोश, 1988: गणित का जन्म, प्रारंभिक गणित, चर का गणित, आधुनिक गणित।

  प्रारंभिक गणित के विकास के दौरान, संख्या का सिद्धांत धीरे-धीरे अंकगणित से बाहर हो गया। बीजगणित को शाब्दिक कलन के रूप में बनाया गया है। और प्राचीन यूनानियों द्वारा बनाई गई प्राथमिक ज्यामिति की प्रस्तुति की प्रणाली - यूक्लिड की ज्यामिति - आगे दो सहस्राब्दियों के लिए गणितीय सिद्धांत के कटौतीत्मक निर्माण का एक मॉडल बन गई।

  17वीं शताब्दी में, प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की मांगों ने उन तरीकों का निर्माण किया जो गति, बदलती मात्राओं की प्रक्रियाओं और ज्यामितीय आकृतियों के परिवर्तन का गणितीय रूप से अध्ययन करना संभव बनाता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में चर के उपयोग और अंतर और अभिन्न कलन के निर्माण के साथ, चर के गणित की अवधि शुरू होती है। 17वीं शताब्दी की महान खोजें न्यूटन और लाइबनिज द्वारा शुरू की गई एक अतिसूक्ष्म मात्रा की अवधारणा है, जो कि अतिसूक्ष्म मात्राओं (गणितीय विश्लेषण) के विश्लेषण के लिए नींव का निर्माण है।

  एक समारोह की अवधारणा सामने आती है। कार्य अध्ययन का मुख्य विषय बन जाता है। एक फ़ंक्शन का अध्ययन गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणाओं की ओर जाता है: सीमा, व्युत्पन्न, अंतर, अभिन्न।

  निर्देशांक की पद्धति पर आर। डेसकार्टेस के शानदार विचार की उपस्थिति भी इसी समय की है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति बनाई जाती है, जो बीजगणित और विश्लेषण के तरीकों से ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करने की अनुमति देती है। दूसरी ओर, समन्वय विधि ने बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक तथ्यों की ज्यामितीय व्याख्या की संभावना को खोल दिया।

  गणित के आगे के विकास ने 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में काफी सामान्य दृष्टिकोण से संभावित प्रकार के मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों के अध्ययन की समस्या के सूत्रीकरण का नेतृत्व किया।

  गणित और प्राकृतिक विज्ञान के बीच संबंध अधिक से अधिक जटिल होता जा रहा है। नए सिद्धांत उत्पन्न होते हैं और वे न केवल प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की माँगों के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं, बल्कि गणित की आंतरिक आवश्यकता के परिणामस्वरूप भी उत्पन्न होते हैं। इस तरह के सिद्धांत का एक उल्लेखनीय उदाहरण एन.आई. लोबाचेव्स्की की काल्पनिक ज्यामिति है। 19वीं और 20वीं शताब्दी में गणित का विकास हमें इसे आधुनिक गणित की अवधि के लिए श्रेय देने की अनुमति देता है। स्वयं गणित का विकास, विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों का गणितीकरण, व्यावहारिक गतिविधि के कई क्षेत्रों में गणितीय विधियों का प्रवेश, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की प्रगति ने नए गणितीय विषयों का उदय किया है, उदाहरण के लिए, संचालन अनुसंधान, खेल सिद्धांत, गणितीय अर्थशास्त्र, और अन्य।

  गणितीय अनुसंधान में मुख्य विधियाँ गणितीय प्रमाण हैं - कठोर तार्किक तर्क। गणितीय सोच तार्किक तर्क तक सीमित नहीं है। समस्या के सही सूत्रीकरण के लिए गणितीय अंतर्ज्ञान आवश्यक है, इसे हल करने के लिए विधि की पसंद का मूल्यांकन करने के लिए।

  गणित में वस्तुओं के गणितीय मॉडल का अध्ययन किया जाता है। एक ही गणितीय मॉडल वास्तविक घटनाओं के गुणों का वर्णन कर सकता है जो एक दूसरे से बहुत दूर हैं। तो, वही अंतर समीकरण जनसंख्या वृद्धि और रेडियोधर्मी सामग्री के क्षय की प्रक्रियाओं का वर्णन कर सकता है। एक गणितज्ञ के लिए, विचाराधीन वस्तुओं की प्रकृति महत्वपूर्ण नहीं है, बल्कि उनके बीच मौजूद संबंध महत्वपूर्ण हैं।

  गणित में तर्क दो प्रकार के होते हैं: निगमन और आगमन।

  इंडक्शन एक शोध पद्धति है जिसमें विशेष परिसर के आधार पर एक सामान्य निष्कर्ष बनाया जाता है।

  कटौती तर्क की एक विधि है जिसके माध्यम से सामान्य परिसर से एक विशेष प्रकृति का निष्कर्ष निकाला जाता है।

  गणित प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग और मानविकी अनुसंधान में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में गणित के प्रवेश का कारण यह है कि यह अन्य विज्ञानों द्वारा प्रस्तावित कम सामान्य और अधिक अस्पष्ट मॉडलों के विपरीत आसपास की वास्तविकता का अध्ययन करने के लिए बहुत स्पष्ट मॉडल प्रदान करता है। आधुनिक गणित के बिना, इसके विकसित तार्किक और कंप्यूटिंग उपकरण के साथ, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में प्रगति असंभव होगी।

  गणित न केवल लागू समस्याओं को हल करने का एक शक्तिशाली उपकरण और विज्ञान की एक सार्वभौमिक भाषा है, बल्कि एक सामान्य संस्कृति का तत्व भी है।

  गणितीय सोच की बुनियादी विशेषताएं

• इस मुद्दे पर, विशेष रुचि ए.वाई.खिनचिन द्वारा दी गई गणितीय सोच की विशेषता है, या बल्कि, इसका विशिष्ट ऐतिहासिक रूप - गणितीय सोच की शैली है। गणितीय सोच की शैली के सार को प्रकट करते हुए, उन्होंने सभी युगों के लिए सामान्य रूप से चार विशेषताओं की पहचान की, जो इस शैली को अन्य विज्ञानों में सोच की शैलियों से विशेष रूप से अलग करती हैं।

  सबसे पहले, गणितज्ञ को सीमा तक लाए गए तर्क की तार्किक योजना के प्रभुत्व की विशेषता है। एक गणितज्ञ जो इस योजना को कम से कम अस्थायी रूप से खो देता है, वैज्ञानिक रूप से पूरी तरह से सोचने की क्षमता खो देता है। गणितीय सोच की शैली की यह विशिष्ट विशेषता अपने आप में बहुत अधिक मूल्य रखती है। जाहिर है, अधिकतम सीमा तक यह आपको विचार के प्रवाह की शुद्धता की निगरानी करने और त्रुटियों के खिलाफ गारंटी देने की अनुमति देता है; दूसरी ओर, यह विचारक को विश्लेषण के दौरान उपलब्ध संभावनाओं की समग्रता को अपनी आंखों के सामने रखने के लिए मजबूर करता है और उनमें से प्रत्येक को ध्यान में रखे बिना एक को भी याद करने के लिए बाध्य करता है (इस तरह के चूक काफी संभव हैं और वास्तव में, अक्सर देखे जाते हैं) सोच की अन्य शैलियों में)।

  दूसरा, संक्षिप्तता, यानी किसी दिए गए लक्ष्य की ओर ले जाने वाले सबसे छोटे तार्किक मार्ग को खोजने की सचेत इच्छा, तर्क की त्रुटिहीन वैधता के लिए नितांत आवश्यक हर चीज की बेरहम अस्वीकृति। अच्छी शैली का एक गणितीय निबंध, किसी भी "पानी" को बर्दाश्त नहीं करता है, कोई अलंकरण नहीं, शेखी बघारने के तार्किक तनाव को कमजोर करता है, पक्ष को विचलित करता है; अत्यधिक कंजूसी, विचार की गंभीर कठोरता और इसकी प्रस्तुति गणितीय सोच की एक अभिन्न विशेषता है। यह विशेषता न केवल गणितीय, बल्कि किसी अन्य गंभीर तर्क के लिए भी बहुत महत्वपूर्ण है। लैकोनिज़्म, किसी भी चीज़ को ज़रूरत से ज़्यादा न होने देने की इच्छा, विचारक और उसके पाठक या श्रोता दोनों को विचार की दी गई ट्रेन पर पूरी तरह से ध्यान केंद्रित करने में मदद करता है, बिना माध्यमिक विचारों से विचलित हुए और तर्क की मुख्य रेखा से सीधे संपर्क खोए बिना।

  विज्ञान के दिग्गज, एक नियम के रूप में, ज्ञान के सभी क्षेत्रों में खुद को संक्षिप्त रूप से सोचते और अभिव्यक्त करते हैं, तब भी जब उनका विचार मौलिक रूप से नए विचारों को बनाता और निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी के महानतम रचनाकारों: न्यूटन, आइंस्टीन, नील्स बोह्र के विचार और भाषण की महान कंजूसता क्या राजसी छाप है! विज्ञान के विकास पर इसके रचनाकारों की सोच की शैली का कितना गहरा प्रभाव पड़ सकता है, इसका अधिक स्पष्ट उदाहरण खोजना शायद मुश्किल है।

  गणित के लिए, विचार की संक्षिप्तता एक निर्विवाद कानून है, जो सदियों से विहित है। अनिवार्य रूप से आवश्यक नहीं (भले ही श्रोताओं के लिए सुखद और रोमांचक हो) प्रस्तुति को बोझ करने का कोई भी प्रयास, चित्र, विकर्षण, वक्तृत्व पहले से ही वैध संदेह के तहत रखा जाता है और स्वचालित रूप से महत्वपूर्ण सतर्कता का कारण बनता है।

  तीसरा, तर्क के पाठ्यक्रम का एक स्पष्ट विच्छेदन। यदि, उदाहरण के लिए, एक प्रस्ताव को साबित करते समय, हमें चार संभावित मामलों पर विचार करना चाहिए, जिनमें से प्रत्येक को एक या एक से अधिक उप-वर्गों में तोड़ा जा सकता है, तो तर्क के प्रत्येक क्षण में, गणितज्ञ को स्पष्ट रूप से याद रखना चाहिए कि किस मामले में और उसका उप-वर्ग विचार अब अधिग्रहित किया जा रहा है और किन मामलों और उप-मामलों पर उसे अभी भी विचार करना है। सभी प्रकार की शाखित गणनाओं के साथ, गणितज्ञ को हर पल उस सामान्य अवधारणा के बारे में पता होना चाहिए जिसके लिए वह अपनी घटक प्रजातियों की अवधारणाओं की गणना करता है। सामान्य, गैर-वैज्ञानिक सोच में, हम अक्सर ऐसे मामलों में भ्रम और छलांग देखते हैं, जिससे भ्रम और तर्क में त्रुटियां होती हैं। अक्सर ऐसा होता है कि एक व्यक्ति जीनस में से किसी एक की प्रजातियों की गणना करना शुरू कर देता है, और फिर श्रोताओं (और अक्सर खुद के लिए) के लिए अपरिहार्य रूप से, तर्क की अपर्याप्त तार्किक विशिष्टता का उपयोग करते हुए, दूसरे जीनस में कूद जाता है और इस कथन के साथ समाप्त होता है कि दोनों जेनेरा अब वर्गीकृत हैं; और श्रोता या पाठक यह नहीं जानते हैं कि पहली और दूसरी तरह की प्रजातियों के बीच की सीमा कहाँ है।

  इस तरह के भ्रम और छलांग को असंभव बनाने के लिए, गणितज्ञों ने लंबे समय से नंबरिंग अवधारणाओं और निर्णयों के सरल बाहरी तरीकों का व्यापक उपयोग किया है, कभी-कभी (लेकिन बहुत कम बार) अन्य विज्ञानों में उपयोग किया जाता है। वे संभावित मामले या वे सामान्य अवधारणाएँ जिन पर इस तर्क में विचार किया जाना चाहिए, उन्हें अग्रिम रूप से पुनः क्रमांकित किया जाता है; ऐसे प्रत्येक मामले में, जिन उप-वर्गों पर विचार किया जाना है, उन्हें भी फिर से क्रमांकित किया जाता है (कभी-कभी, भेद के लिए, किसी अन्य संख्या प्रणाली का उपयोग करके)। प्रत्येक पैराग्राफ से पहले, जहां एक नए उपकेस का विचार शुरू होता है, इस उपकेस के लिए स्वीकृत पदनाम रखा जाता है (उदाहरण के लिए: II 3 - इसका मतलब है कि दूसरे मामले के तीसरे उपकेस का विचार यहां से शुरू होता है, या तीसरे का विवरण दूसरी तरह का प्रकार, अगर हम वर्गीकरण के बारे में बात कर रहे हैं)। और पाठक जानता है कि जब तक वह एक नए संख्यात्मक रूब्रिक के सामने नहीं आता है, जो कुछ प्रस्तुत किया जाता है वह केवल इस मामले और उपकेस पर लागू होता है। यह बिना कहे चला जाता है कि इस तरह की संख्या केवल एक बाहरी उपकरण है, बहुत उपयोगी है, लेकिन किसी भी तरह से अनिवार्य नहीं है, और यह कि मामले का सार इसमें नहीं है, बल्कि तर्क या वर्गीकरण के उस विशिष्ट विभाजन में है, जिसे यह उत्तेजित और चिन्हित करता है। अपने आप में।

  चौथा, प्रतीकों, सूत्रों, समीकरणों की गहन सटीकता। अर्थात्, "प्रत्येक गणितीय प्रतीक का एक कड़ाई से परिभाषित अर्थ होता है: इसे किसी अन्य प्रतीक के साथ बदलना या इसे किसी अन्य स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करना, एक नियम के रूप में, एक विकृति पर जोर देता है, और कभी-कभी इस कथन के अर्थ का पूर्ण विनाश होता है।"

  सोच की गणितीय शैली की मुख्य विशेषताओं को अलग करने के बाद, ए.वाई. खिनचिन ने ध्यान दिया कि गणित (विशेष रूप से चर के गणित) की प्रकृति में एक द्वंद्वात्मक चरित्र है, और इसलिए द्वंद्वात्मक सोच के विकास में योगदान देता है। दरअसल, गणितीय सोच की प्रक्रिया में दृश्य (ठोस) और वैचारिक (सार) के बीच एक अंतःक्रिया होती है। "हम रेखाओं के बारे में नहीं सोच सकते," कांट ने लिखा, "इसे मानसिक रूप से चित्रित किए बिना, हम एक बिंदु से एक दूसरे के लिए लंबवत तीन रेखाएँ खींचे बिना अपने लिए तीन आयामों के बारे में नहीं सोच सकते।"

  नई और नई अवधारणाओं और दार्शनिक श्रेणियों के विकास के लिए ठोस और अमूर्त "नेतृत्व" गणितीय सोच की बातचीत। प्राचीन गणित (स्थिरांकों के गणित) में, ये "संख्या" और "अंतरिक्ष" थे, जो मूल रूप से अंकगणित और यूक्लिडियन ज्यामिति में और बाद में बीजगणित और विभिन्न ज्यामितीय प्रणालियों में परिलक्षित होते थे। चर का गणित उन अवधारणाओं पर "आधारित" था जो पदार्थ की गति को दर्शाता है - "परिमित", "अनंत", "निरंतरता", "असतत", "असतत रूप से छोटा", "व्युत्पन्न", आदि।

  यदि हम गणितीय ज्ञान के विकास में वर्तमान ऐतिहासिक चरण के बारे में बात करते हैं, तो यह दार्शनिक श्रेणियों के आगे के विकास के अनुरूप है: संभाव्यता का सिद्धांत "स्वामी" संभव और यादृच्छिक की श्रेणियां; टोपोलॉजी - संबंध और निरंतरता की श्रेणियां; आपदा सिद्धांत - कूद श्रेणी; समूह सिद्धांत - समरूपता और सद्भाव आदि की श्रेणियां।

  गणितीय सोच में, समान रूप से तार्किक कनेक्शन बनाने के मुख्य पैटर्न व्यक्त किए जाते हैं। इसकी मदद से, एकवचन से संक्रमण (कहते हैं, कुछ गणितीय तरीकों से - स्वयंसिद्ध, एल्गोरिथम, रचनात्मक, सेट-सैद्धांतिक और अन्य) से विशेष और सामान्य, सामान्यीकृत निगमनात्मक निर्माणों के लिए किया जाता है। विधियों की एकता और गणित का विषय गणितीय सोच की बारीकियों को निर्धारित करता है, हमें एक विशेष गणितीय भाषा के बारे में बात करने की अनुमति देता है जो न केवल वास्तविकता को दर्शाता है, बल्कि वैज्ञानिक ज्ञान का संश्लेषण, सामान्यीकरण और भविष्यवाणी भी करता है। गणितीय विचार की शक्ति और सुंदरता इसके तर्क की अत्यधिक स्पष्टता, रचनाओं की भव्यता और अमूर्तता के कुशल निर्माण में निहित है।

  मशीन गणित के निर्माण के साथ, कंप्यूटर के आविष्कार के साथ मौलिक रूप से मानसिक गतिविधि की नई संभावनाएं खुल गईं। गणित की भाषा में महत्वपूर्ण परिवर्तन हुए हैं। यदि शास्त्रीय कम्प्यूटेशनल गणित की भाषा में बीजगणित, ज्यामिति और विश्लेषण के सूत्र शामिल हैं, जो प्रकृति की निरंतर प्रक्रियाओं के विवरण पर केंद्रित है, मुख्य रूप से यांत्रिकी, खगोल विज्ञान, भौतिकी में अध्ययन किया जाता है, तो इसकी आधुनिक भाषा एल्गोरिदम और कार्यक्रमों की भाषा है, जिसमें शामिल हैं एक विशेष मामले के रूप में सूत्रों की पुरानी भाषा।

  आधुनिक कम्प्यूटेशनल गणित की भाषा अधिक से अधिक सार्वभौमिक होती जा रही है, जो जटिल (बहु-पैरामीटर) प्रणालियों का वर्णन करने में सक्षम है। साथ ही, मैं इस बात पर जोर देना चाहूंगा कि इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक द्वारा उन्नत गणितीय भाषा चाहे कितनी भी सही क्यों न हो, यह विविध "जीवित", प्राकृतिक भाषा से नाता नहीं तोड़ती है। इसके अलावा, बोली जाने वाली भाषा एक कृत्रिम भाषा का आधार है। इस संबंध में, वैज्ञानिकों की हालिया खोज रुचि की है। मुद्दा यह है कि आयमारा भारतीयों की प्राचीन भाषा, जो बोलीविया और पेरू में लगभग 2.5 मिलियन लोगों द्वारा बोली जाती है, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के लिए अत्यंत सुविधाजनक निकली। 1610 की शुरुआत में, इतालवी जेसुइट मिशनरी लुडोविको बर्टोनी, जिन्होंने पहला आयमारा शब्दकोश संकलित किया था, ने इसके रचनाकारों की प्रतिभा को नोट किया, जिन्होंने उच्च तार्किक शुद्धता हासिल की। आयमारा में, उदाहरण के लिए, कोई अनियमित क्रियाएं नहीं हैं और कुछ स्पष्ट व्याकरणिक नियमों के कोई अपवाद नहीं हैं। आयमारा भाषा की इन विशेषताओं ने बोलिवियाई गणितज्ञ इवान गुज़मैन डी रोजास को कार्यक्रम में शामिल पांच यूरोपीय भाषाओं में से किसी एक से एक साथ कंप्यूटर अनुवाद की एक प्रणाली बनाने की अनुमति दी, जिसके बीच आयमारा भाषा "पुल" है। बोलिवियाई वैज्ञानिक द्वारा बनाए गए कंप्यूटर "आयमारा" को विशेषज्ञों द्वारा बहुत सराहा गया। गणितीय शैली की सोच के सार के बारे में प्रश्न के इस भाग को सारांशित करते हुए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इसकी मुख्य सामग्री प्रकृति की समझ है।

  स्वयंसिद्ध विधि

• एक्सियोमैटिक्स पुरातनता से लेकर आज तक एक सिद्धांत के निर्माण का मुख्य तरीका है, इसकी सार्वभौमिकता और सभी प्रयोज्यता की पुष्टि करता है।

  गणितीय सिद्धांत का निर्माण स्वयंसिद्ध पद्धति पर आधारित है। वैज्ञानिक सिद्धांत कुछ प्रारंभिक प्रावधानों पर आधारित होता है, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और सिद्धांत के अन्य सभी प्रावधान स्वयंसिद्धों के तार्किक परिणामों के रूप में प्राप्त होते हैं।

  स्वयंसिद्ध पद्धति प्राचीन ग्रीस में प्रकट हुई थी, और वर्तमान में इसका उपयोग लगभग सभी सैद्धांतिक विज्ञानों में और सबसे बढ़कर गणित में किया जाता है।

  तीन की तुलना में, एक निश्चित संबंध में, पूरक ज्यामिति: यूक्लिडियन (परवलयिक), लोबचेवस्की (अतिपरवलयिक), और रीमैनियन (अण्डाकार), यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, कुछ समानताओं के साथ, गोलाकार ज्यामिति के बीच एक बड़ा अंतर है, एक पर हाथ, और यूक्लिड और लोबाचेवस्की की ज्यामिति - दूसरे पर।

  आधुनिक ज्यामिति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि यह अब विभिन्न काल्पनिक स्थानों की अनंत संख्या के "ज्यामिति" को गले लगाती है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये सभी ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति की व्याख्याएं हैं और यूक्लिड द्वारा पहली बार उपयोग की जाने वाली स्वयंसिद्ध विधि पर आधारित हैं।

  अनुसंधान के आधार पर, स्वयंसिद्ध पद्धति विकसित की गई है और व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। इस पद्धति को लागू करने का एक विशेष मामला स्टीरियोमेट्री में निशान की विधि है, जो पॉलीहेड्रा में वर्गों के निर्माण और कुछ अन्य स्थितीय समस्याओं पर समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

  स्वयंसिद्ध पद्धति, जो पहले ज्यामिति में विकसित हुई थी, अब गणित, भौतिकी और यांत्रिकी की अन्य शाखाओं में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उपकरण बन गई है। वर्तमान में, अधिक गहराई में एक सिद्धांत के निर्माण की स्वयंसिद्ध पद्धति में सुधार और अध्ययन करने के लिए काम चल रहा है।

  एक वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की स्वयंसिद्ध पद्धति में बुनियादी अवधारणाओं को उजागर करना, सिद्धांतों के स्वयंसिद्धों को तैयार करना और अन्य सभी कथनों को तार्किक तरीके से प्राप्त करना, उन पर भरोसा करना शामिल है। यह ज्ञात है कि एक अवधारणा को दूसरों की सहायता से समझाया जाना चाहिए, जो बदले में कुछ प्रसिद्ध अवधारणाओं की सहायता से भी परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, हम प्राथमिक अवधारणाओं पर पहुँचते हैं जिन्हें दूसरों के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इन अवधारणाओं को बुनियादी कहा जाता है।

  जब हम एक कथन, एक प्रमेय को सिद्ध करते हैं, तो हम उन परिसरों पर भरोसा करते हैं जो पहले से ही सिद्ध माने जाते हैं। लेकिन ये परिसर भी सिद्ध थे, उन्हें प्रमाणित करना था। अंत में, हम अप्रमाणित कथनों पर आते हैं और उन्हें बिना प्रमाण के स्वीकार कर लेते हैं। इन कथनों को अभिगृहीत कहा जाता है। अभिगृहीतों का समुच्चय ऐसा होना चाहिए कि उस पर निर्भर होकर आगे के कथनों को सिद्ध किया जा सके।

  मुख्य अवधारणाओं को अलग करने और स्वयंसिद्धों को तैयार करने के बाद, हम प्रमेयों और अन्य अवधारणाओं को तार्किक तरीके से प्राप्त करते हैं। यह ज्यामिति की तार्किक संरचना है। अभिगृहीत और बुनियादी अवधारणाएं समतलमिति की नींव बनाती हैं।

  चूँकि सभी ज्यामितियों के लिए बुनियादी अवधारणाओं की एक परिभाषा देना असंभव है, इसलिए ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं को किसी भी प्रकृति की वस्तुओं के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए जो इस ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती हैं। इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रणाली के स्वयंसिद्ध निर्माण में, हम स्वयंसिद्धों, या स्वयंसिद्धों की एक निश्चित प्रणाली से शुरू करते हैं। ये स्वयंसिद्ध एक ज्यामितीय प्रणाली की मूल अवधारणाओं के गुणों का वर्णन करते हैं, और हम बुनियादी अवधारणाओं को किसी भी प्रकृति की वस्तुओं के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, जिसमें स्वयंसिद्धों में निर्दिष्ट गुण हैं।

  पहले ज्यामितीय कथनों को बनाने और सिद्ध करने के बाद, कुछ कथनों (प्रमेयों) को दूसरों की सहायता से सिद्ध करना संभव हो जाता है। कई प्रमेयों के प्रमाणों का श्रेय पाइथागोरस और डेमोक्रिटस को दिया जाता है।

  Chios के हिप्पोक्रेट्स को परिभाषाओं और सिद्धांतों के आधार पर ज्यामिति के पहले व्यवस्थित पाठ्यक्रम को संकलित करने का श्रेय दिया जाता है। इस पाठ्यक्रम और इसके बाद की प्रक्रियाओं को "तत्व" कहा जाता था।

  वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की स्वयंसिद्ध विधि

• विज्ञान के निर्माण की एक कटौतीत्मक या स्वयंसिद्ध पद्धति का निर्माण गणितीय विचार की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है। इसके लिए वैज्ञानिकों की कई पीढ़ियों के काम की आवश्यकता थी।

  प्रस्तुति की कटौतीत्मक प्रणाली की एक उल्लेखनीय विशेषता इस निर्माण की सादगी है, जो इसे कुछ शब्दों में वर्णन करना संभव बनाती है।

  प्रस्तुति की कटौती प्रणाली को कम कर दिया गया है:

  1) बुनियादी अवधारणाओं की सूची के लिए,

  2) परिभाषाओं की प्रस्तुति के लिए,

  3) स्वयंसिद्धों की प्रस्तुति के लिए,

  4) प्रमेयों की प्रस्तुति के लिए,

  5) इन प्रमेयों के प्रमाण के लिए।

  अभिगृहीत बिना प्रमाण के स्वीकृत कथन है।

  एक प्रमेय एक कथन है जो स्वयंसिद्धों से अनुसरण करता है।

  प्रमाण निगमनात्मक प्रणाली का एक अभिन्न अंग है, यह तर्क है जो दर्शाता है कि किसी कथन की सच्चाई पिछले प्रमेयों या स्वयंसिद्धों की सच्चाई से तार्किक रूप से अनुसरण करती है।

  एक कटौती प्रणाली के भीतर, दो प्रश्नों को हल नहीं किया जा सकता है: 1) बुनियादी अवधारणाओं के अर्थ के बारे में, 2) सिद्धांतों की सच्चाई के बारे में। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि ये सवाल आम तौर पर अनसुलझे हैं।

  प्राकृतिक विज्ञान के इतिहास से पता चलता है कि किसी विशेष विज्ञान के स्वयंसिद्ध निर्माण की संभावना इस विज्ञान के विकास के काफी उच्च स्तर पर ही प्रकट होती है, बड़ी मात्रा में तथ्यात्मक सामग्री के आधार पर, जो मुख्य को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना संभव बनाता है। इस विज्ञान द्वारा अध्ययन की गई वस्तुओं के बीच संबंध और संबंध मौजूद हैं।

  गणितीय विज्ञान के स्वयंसिद्ध निर्माण का एक उदाहरण प्रारंभिक ज्यामिति है। ज्यामिति के सिद्धांतों की प्रणाली को यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व) ने अपने काम "शुरुआत" में उजागर किया था, जो इसके महत्व में नायाब था। यह प्रणाली आज तक काफी हद तक बची हुई है।

  बुनियादी अवधारणाएँ: बिंदु, रेखा, समतल बुनियादी चित्र; बीच में लेटना, संबंध रखना, हिलना।

  प्राथमिक ज्यामिति में 13 स्वयंसिद्ध हैं, जिन्हें पाँच समूहों में विभाजित किया गया है। पांचवें समूह में, समानांतरों के बारे में एक अभिगृहीत है (यूक्लिड का वी अभिधारणा): एक समतल पर एक बिंदु के माध्यम से, केवल एक सीधी रेखा खींची जा सकती है जो इस सीधी रेखा को नहीं काटती है। यह एकमात्र स्वयंसिद्ध है जिसके कारण प्रमाण की आवश्यकता हुई। पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने का प्रयास गणितज्ञों ने 2 सहस्राब्दियों से भी अधिक समय तक किया, 19वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध तक, अर्थात उस क्षण तक जब निकोलाई इवानोविच लोबचेव्स्की ने अपने लेखन में इन प्रयासों की पूर्ण निराशा को साबित कर दिया। वर्तमान में, पाँचवीं अवधारणा की अप्राप्यता एक कड़ाई से सिद्ध गणितीय तथ्य है।

  समानांतर N.I के बारे में स्वयंसिद्ध। लोबचेव्स्की ने स्वयंसिद्ध को प्रतिस्थापित किया: एक सीधी रेखा और एक दिए गए विमान में सीधी रेखा के बाहर एक बिंदु दिया जाए। इस बिन्दु से होकर दी गई रेखा तक कम से कम दो समांतर रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

  स्वयंसिद्धों की नई प्रणाली से N.I. लोबचेव्स्की ने त्रुटिहीन तार्किक कठोरता के साथ, प्रमेयों की एक सुसंगत प्रणाली को निकाला जो गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की सामग्री का गठन करती है। यूक्लिड और लोबचेव्स्की दोनों की ज्यामिति तार्किक प्रणालियों के बराबर हैं।

  19वीं शताब्दी में तीन महान गणितज्ञ लगभग एक साथ, एक-दूसरे से स्वतंत्र होकर, पाँचवीं अभिधारणा की अप्राप्यता और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के निर्माण के समान परिणामों पर पहुँचे।

  निकोलाई इवानोविच लोबाचेव्स्की (1792-1856)

  कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855)

  जानोस बोल्याई (1802-1860)

  गणितीय प्रमाण

• गणितीय अनुसंधान में मुख्य विधि गणितीय प्रमाण है - कठोर तार्किक तर्क। वस्तुनिष्ठ आवश्यकता के आधार पर, रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के संवाददाता सदस्य एलडी कुद्रीवत्सेव कुद्रीवत्सेव एलडी बताते हैं। - मॉडर्न मैथमेटिक्स एंड इट्स टीचिंग, मॉस्को, नौका, 1985, लॉजिकल रीजनिंग (जो अपने स्वभाव से, यदि सही है, कठोर भी है) गणित की एक विधि है, गणित उनके बिना अकल्पनीय है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय सोच तार्किक तर्क तक सीमित नहीं है। समस्या के सही सूत्रीकरण के लिए, इसके डेटा के मूल्यांकन के लिए, उनमें से महत्वपूर्ण का चयन करने के लिए और इसे हल करने के लिए एक विधि के चुनाव के लिए, गणितीय अंतर्ज्ञान भी आवश्यक है, जो पहले वांछित परिणाम का पूर्वाभास करना संभव बनाता है। यह प्रशंसनीय तर्क की सहायता से अनुसंधान के मार्ग को रेखांकित करने के लिए प्राप्त किया जाता है। लेकिन विचाराधीन तथ्य की वैधता को कई उदाहरणों पर जाँचने से नहीं, कई प्रयोगों को करने से नहीं (जो अपने आप में गणितीय शोध में एक बड़ी भूमिका निभाता है) साबित होता है, लेकिन विशुद्ध रूप से तार्किक तरीके से, के अनुसार औपचारिक तर्क के नियम।

  ऐसा माना जाता है कि गणितीय प्रमाण ही परम सत्य है। शुद्ध तर्क पर आधारित निर्णय गलत नहीं हो सकता। लेकिन विज्ञान के विकास के साथ और गणितज्ञों के कार्यों को अधिक से अधिक जटिल बना दिया गया है।

  "हम एक ऐसे युग में प्रवेश कर चुके हैं जब गणितीय उपकरण इतना जटिल और बोझिल हो गया है कि पहली नज़र में यह कहना संभव नहीं है कि समस्या का सामना करना सही है या नहीं," स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी, कैलिफोर्निया, यूएसए के कीथ डिवालिन का मानना ​​​​है। वह एक उदाहरण के रूप में "सरल परिमित समूहों के वर्गीकरण" का हवाला देते हैं, जिसे 1980 में वापस तैयार किया गया था, लेकिन एक पूर्ण सटीक प्रमाण अभी तक प्रदान नहीं किया गया है। सबसे अधिक संभावना है, प्रमेय सत्य है, लेकिन इस बारे में निश्चित रूप से कहना असंभव है।

  कंप्यूटर समाधान को सटीक भी नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि ऐसी गणनाओं में हमेशा त्रुटि होती है। 1998 में, हेल्स ने केप्लर के प्रमेय के लिए एक कंप्यूटर-समर्थित समाधान प्रस्तावित किया, जिसे 1611 में तैयार किया गया था। यह प्रमेय अंतरिक्ष में गेंदों की सघन पैकिंग का वर्णन करता है। प्रमाण 300 पृष्ठों पर प्रस्तुत किया गया था और इसमें मशीन कोड की 40,000 पंक्तियाँ थीं। 12 समीक्षकों ने एक वर्ष के लिए समाधान की जाँच की, लेकिन उन्होंने प्रमाण की शुद्धता में 100% विश्वास हासिल नहीं किया, और अध्ययन को संशोधन के लिए भेजा गया। नतीजतन, यह केवल चार साल बाद और समीक्षकों के पूर्ण प्रमाणीकरण के बिना प्रकाशित हुआ था।

  लागू समस्याओं के लिए सभी नवीनतम गणनाएँ कंप्यूटर पर की जाती हैं, लेकिन वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि अधिक विश्वसनीयता के लिए, गणितीय गणनाओं को त्रुटियों के बिना प्रस्तुत किया जाना चाहिए।

  प्रमाण के सिद्धांत को तर्क में विकसित किया गया है और इसमें तीन संरचनात्मक घटक शामिल हैं: थीसिस (जिसे सिद्ध किया जाना चाहिए), तर्क (तथ्यों का एक सेट, आम तौर पर स्वीकृत अवधारणाएं, संबंधित विज्ञान के कानून आदि) और प्रदर्शन (संबंधित विज्ञान की प्रक्रिया) स्वयं साक्ष्य को तैनात करना; अनुमानों की एक सुसंगत श्रृंखला जब nवां अनुमान n+1th अनुमान के परिसरों में से एक बन जाता है)। प्रमाण के नियम प्रतिष्ठित हैं, संभावित तार्किक त्रुटियां इंगित की गई हैं।

  औपचारिक तर्क द्वारा स्थापित सिद्धांतों के साथ गणितीय प्रमाण बहुत आम है। इसके अलावा, तर्क और संचालन के गणितीय नियम स्पष्ट रूप से तर्क में प्रमाण प्रक्रिया के विकास में एक नींव के रूप में कार्य करते हैं। विशेष रूप से, औपचारिक तर्क के गठन के इतिहास के शोधकर्ताओं का मानना ​​\u200b\u200bहै कि एक समय में, जब अरस्तू ने कानून और तर्क के नियम बनाने के लिए पहला कदम उठाया, तो वह गणित और कानूनी गतिविधि के अभ्यास की ओर मुड़ गया। इन स्रोतों में, उन्हें कल्पित सिद्धांत के तार्किक निर्माण के लिए सामग्री मिली।

  20 वीं शताब्दी में, प्रमाण की अवधारणा ने अपना सख्त अर्थ खो दिया, जो सेट सिद्धांत में छिपे तार्किक विरोधाभासों की खोज के संबंध में हुआ और विशेष रूप से औपचारिकता की अपूर्णता पर के। गोडेल के प्रमेयों के परिणामों के संबंध में।

  सबसे पहले, इसने गणित को ही प्रभावित किया, जिसके संबंध में यह माना जाता था कि "प्रमाण" शब्द की कोई सटीक परिभाषा नहीं है। लेकिन यदि ऐसा मत (जो आज भी कायम है) स्वयं गणित को प्रभावित करता है, तो वे इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि प्रमाण को तार्किक-गणितीय नहीं, बल्कि मनोवैज्ञानिक अर्थों में स्वीकार किया जाना चाहिए। इसके अलावा, स्वयं अरस्तू में भी ऐसा ही दृष्टिकोण पाया जाता है, जो मानते थे कि सिद्ध करने का अर्थ है एक तर्क का संचालन करना जो हमें इस हद तक विश्वास दिलाएगा कि इसका उपयोग करके हम दूसरों को किसी चीज़ की शुद्धता के बारे में समझाते हैं। हम A.E Yesenin-Volpin में मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण की एक निश्चित छाया पाते हैं। वह बिना प्रमाण के सत्य की स्वीकृति का तीव्र विरोध करता है, इसे विश्वास के कार्य से जोड़ता है, और आगे लिखता है: "मैं एक निर्णय के प्रमाण को एक ईमानदार विधि कहता हूं जो इस निर्णय को निर्विवाद बनाता है।" Yesenin-Volpin की रिपोर्ट है कि उनकी परिभाषा को अभी भी स्पष्ट करने की आवश्यकता है। साथ ही, एक "ईमानदार विधि" के रूप में सबूत की बहुत विशेषता नैतिक-मनोवैज्ञानिक मूल्यांकन के लिए अपील को धोखा नहीं देती है?

  उसी समय, सेट-सैद्धांतिक विरोधाभासों की खोज और गोडेल के प्रमेय की उपस्थिति ने अंतर्ज्ञानवादियों, विशेष रूप से रचनावादी दिशा और डी. हिल्बर्ट द्वारा किए गए गणितीय प्रमाण के सिद्धांत के विकास में योगदान दिया।

  कभी-कभी यह माना जाता है कि गणितीय प्रमाण सार्वभौमिक है और वैज्ञानिक प्रमाण के एक आदर्श संस्करण का प्रतिनिधित्व करता है। हालाँकि, यह एकमात्र तरीका नहीं है; सबूत-आधारित प्रक्रियाओं और संचालन के अन्य तरीके भी हैं। यह केवल सच है कि प्राकृतिक विज्ञान में लागू औपचारिक-तार्किक प्रमाण के साथ गणितीय प्रमाण में बहुत कुछ है, और यह कि गणितीय प्रमाण में कुछ विशिष्टताएं हैं, साथ ही तकनीकों-संचालन का सेट भी है। यह वह जगह है जहां हम सामान्य चीज को छोड़ देंगे, जो इसे सबूत के अन्य रूपों से संबंधित बनाता है, यानी, सभी चरणों (यहां तक ​​​​कि मुख्य वाले) में एल्गोरिदम, नियमों, त्रुटियों आदि का विस्तार किए बिना। प्रमाण प्रक्रिया।

  गणितीय प्रमाण एक तर्क है जिसमें एक कथन की सत्यता (निश्चित रूप से, गणितीय रूप से, अर्थात् कटौती, अर्थ के रूप में) को प्रमाणित करने का कार्य है।

  गणितीय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माणों के आगमन के साथ-साथ प्रमाण में प्रयुक्त नियमों का सेट तैयार किया गया था। यह यूक्लिड की ज्यामिति में सबसे स्पष्ट और पूरी तरह से महसूस किया गया था। उनका "सिद्धांत" गणितीय ज्ञान के स्वयंसिद्ध संगठन के लिए एक प्रकार का मॉडल मानक बन गया, और लंबे समय तक गणितज्ञों के लिए ऐसा ही रहा।

  एक निश्चित अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत कथनों को एक निष्कर्ष की गारंटी देनी चाहिए, जो तार्किक संचालन के नियमों के अधीन सिद्ध माना जाता है। यह जोर दिया जाना चाहिए कि एक निश्चित तर्क केवल कुछ स्वयंसिद्ध प्रणाली के संबंध में एक प्रमाण है।

  गणितीय प्रमाण की विशेषता बताते समय, दो मुख्य विशेषताओं को प्रतिष्ठित किया जाता है। सबसे पहले, तथ्य यह है कि गणितीय प्रमाण अनुभवजन्य साक्ष्य के किसी भी संदर्भ को बाहर करता है। निष्कर्ष की सत्यता की पुष्टि करने की पूरी प्रक्रिया स्वीकृत स्वयंसिद्धों के ढांचे के भीतर की जाती है। शिक्षाविद् ए.डी. अलेक्जेंड्रोव इस संबंध में जोर देते हैं। आप एक त्रिभुज के कोणों को हजारों बार माप सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि वे 2d के बराबर हों। लेकिन गणित कुछ भी साबित नहीं करता. यदि आप उपरोक्त कथन को स्वयंसिद्धों से घटाते हैं तो आप इसे साबित कर देंगे। चलो दोहराते हैं। यहाँ गणित विद्वतावाद के तरीकों के करीब है, जो प्रयोगात्मक रूप से दिए गए तथ्यों के आधार पर तर्क को भी मौलिक रूप से खारिज कर देता है।

  उदाहरण के लिए, जब इस प्रमेय को साबित करते समय खंडों की अतुलनीयता की खोज की गई थी, तो भौतिक प्रयोग के लिए अपील को बाहर रखा गया था, क्योंकि, सबसे पहले, "असंगतता" की अवधारणा भौतिक अर्थ से रहित है, और दूसरी बात, गणितज्ञ नहीं कर सके, अमूर्तता के साथ काम करते समय, सामग्री-ठोस एक्सटेंशन की सहायता के लिए, संवेदी-दृश्य उपकरण द्वारा मापने योग्य। विषमता, विशेष रूप से, एक वर्ग के पक्ष और विकर्ण की, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पूर्णांकों की संपत्ति के आधार पर कर्ण (क्रमशः, विकर्ण) के वर्ग की समानता के वर्गों के योग के आधार पर सिद्ध होती है। पैर (एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ)। या जब लोबचेवस्की खगोलीय प्रेक्षणों के परिणामों का जिक्र करते हुए अपनी ज्यामिति की पुष्टि की तलाश कर रहे थे, तब यह पुष्टि उनके द्वारा विशुद्ध रूप से सट्टा प्रकृति के माध्यम से की गई थी। केली-क्लेन और बेल्ट्रामी की गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की व्याख्याओं में भौतिक वस्तुओं के बजाय आमतौर पर गणितीय रूप से चित्रित किया गया है।

  गणितीय प्रमाण की दूसरी विशेषता इसकी उच्चतम अमूर्तता है, जिसमें यह अन्य विज्ञानों में प्रमाण प्रक्रियाओं से भिन्न है। और फिर, जैसा कि एक गणितीय वस्तु की अवधारणा के मामले में, यह केवल अमूर्तता की डिग्री के बारे में नहीं है, बल्कि इसकी प्रकृति के बारे में है। तथ्य यह है कि प्रमाण कई अन्य विज्ञानों में अमूर्तता के उच्च स्तर तक पहुँचता है, उदाहरण के लिए, भौतिकी, ब्रह्मांड विज्ञान और निश्चित रूप से, दर्शनशास्त्र में, क्योंकि होने और सोचने की अंतिम समस्या बाद का विषय बन जाती है। दूसरी ओर, गणित इस तथ्य से अलग है कि चर यहाँ कार्य करते हैं, जिसका अर्थ किसी विशिष्ट गुण से अमूर्त है। याद रखें कि, परिभाषा के अनुसार, चर वे संकेत हैं जो अपने आप में कोई अर्थ नहीं रखते हैं और बाद वाले को तभी प्राप्त करते हैं जब कुछ वस्तुओं के नाम उनके लिए प्रतिस्थापित किए जाते हैं (व्यक्तिगत चर) या जब विशिष्ट गुणों और संबंधों को इंगित किया जाता है (विधेय चर), या, अंत में , एक सार्थक कथन (प्रस्तावात्मक चर) के साथ एक चर को बदलने के मामलों में।

  उल्लेखनीय विशेषता गणितीय प्रमाण में उपयोग किए गए संकेतों के साथ-साथ बयानों की चरम अमूर्तता की प्रकृति को निर्धारित करती है, जो कि उनकी संरचना में चर को शामिल करने के कारण बयानों में बदल जाती है।

  तर्क में एक प्रदर्शन के रूप में परिभाषित प्रमाण की बहुत प्रक्रिया, अनुमान के नियमों के आधार पर आगे बढ़ती है, जिसके आधार पर एक सिद्ध कथन से दूसरे में संक्रमण किया जाता है, जिससे अनुमानों की एक सुसंगत श्रृंखला बनती है। सबसे आम दो नियम (प्रतिस्थापन और निष्कर्ष की व्युत्पत्ति) और कटौती प्रमेय हैं।

  प्रतिस्थापन नियम। गणित में, प्रतिस्थापन को एक ही सेट से किसी अन्य तत्व F(a) द्वारा दिए गए सेट के प्रत्येक तत्व के प्रतिस्थापन के रूप में परिभाषित किया गया है। गणितीय तर्क में, प्रतिस्थापन नियम निम्नानुसार तैयार किया गया है। यदि प्रस्तावपरक कलन में एक सच्चे सूत्र M में एक अक्षर होता है, तो A कहते हैं, फिर इसे जहाँ कहीं भी एक मनमाना अक्षर D के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, हमें एक सूत्र मिलता है जो मूल के रूप में भी सत्य है। यह संभव है, और स्वीकार्य रूप से स्वीकार्य है क्योंकि प्रस्तावों की गणना में प्रस्तावों (सूत्रों) के अर्थ से एक सार ... केवल "सत्य" या "गलत" मूल्यों को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, सूत्र M: A--> (BUA) में हम A के स्थान पर अभिव्यक्ति (AUB) को प्रतिस्थापित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक नया सूत्र (AUB) -->[(BU(AUB) ] प्राप्त होता है।

  निष्कर्ष निकालने का नियम औपचारिक तर्क में सशर्त रूप से श्रेणीबद्ध नपुंसकता मोडस पोनेन्स (सकारात्मक मोड) की संरचना से मेल खाता है। यह इस तरह दिख रहा है:

  ए .

  एक प्रस्ताव (ए-> बी) दिया और एक भी दिया। यह अनुसरण करता है ख।

  उदाहरण के लिए: यदि बारिश हो रही है, तो फुटपाथ गीला है, बारिश हो रही है (ए), इसलिए, फुटपाथ गीला है (बी)। गणितीय तर्कशास्त्र में इस न्यायवाक्य को इस प्रकार लिखा जाता है (a->b) a->b.

  निष्कर्ष, एक नियम के रूप में, निहितार्थ के लिए अलग करके निर्धारित किया जाता है। यदि एक निहितार्थ (ए-> बी) और इसके पूर्ववर्ती (ए) दिए गए हैं, तो हमें इस निहितार्थ (बी) के परिणामस्वरूप तर्क (प्रमाण) में जोड़ने का अधिकार है। न्यायवाक्य जबरदस्ती है, जो प्रमाण के निगमनात्मक साधनों का एक शस्त्रागार है, अर्थात गणितीय तर्क की आवश्यकताओं को पूरी तरह से पूरा करता है।

  गणितीय प्रमाण में एक महत्वपूर्ण भूमिका कटौती प्रमेय द्वारा निभाई जाती है - कई प्रमेयों के लिए सामान्य नाम, जिसकी प्रक्रिया से निहितार्थ की सिद्धता स्थापित करना संभव हो जाता है: A-> B, जब तार्किक व्युत्पत्ति होती है सूत्र ए से सूत्र बी। प्रस्तावपरक कलन (शास्त्रीय, अंतर्ज्ञान और अन्य प्रकार के गणित में) के सबसे सामान्य संस्करण में, कटौती प्रमेय निम्नलिखित बताता है। यदि परिसर G और आधार A की एक प्रणाली दी गई है, जिसमें से, नियमों के अनुसार, B G, A B (- व्युत्पन्नता का संकेत) घटाया जा सकता है, तो यह अनुसरण करता है कि G के परिसर से ही कोई वाक्य A प्राप्त कर सकता है -> बी.

  हमने प्रकार पर विचार किया है, जो प्रत्यक्ष प्रमाण है। इसी समय, तथाकथित अप्रत्यक्ष साक्ष्य का उपयोग तर्क में भी किया जाता है, गैर-प्रत्यक्ष प्रमाण हैं जो निम्नलिखित योजना के अनुसार तैनात किए गए हैं। कई कारणों से नहीं होने के कारण (अध्ययन की वस्तु की दुर्गमता, इसके अस्तित्व की वास्तविकता का नुकसान, आदि) किसी भी कथन, थीसिस की सच्चाई का प्रत्यक्ष प्रमाण देने का अवसर, वे एक प्रतिपक्षी का निर्माण करते हैं। वे आश्वस्त हैं कि विरोधाभास विरोधाभासों की ओर ले जाता है, और इसलिए, गलत है। तब प्रतिपक्षी के मिथ्यात्व के तथ्य से एक - बहिष्कृत मध्य (ए वी) के कानून के आधार पर - थीसिस की सच्चाई के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

  गणित में, अप्रत्यक्ष प्रमाण के रूपों में से एक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण। यह विशेष रूप से मूल्यवान है और वास्तव में, मौलिक अवधारणाओं और गणित के प्रावधानों की स्वीकृति में अनिवार्य है, उदाहरण के लिए, वास्तविक अनंतता की अवधारणा, जिसे किसी अन्य तरीके से पेश नहीं किया जा सकता है।

  विरोधाभास द्वारा सबूत के संचालन को गणितीय तर्क में निम्नानुसार दर्शाया गया है। सूत्र जी के अनुक्रम और ए (जी, ए) की अस्वीकृति को देखते हुए। यदि इसका तात्पर्य बी और उसके निषेध (जी, ए, बी, गैर-बी) से है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ए की सच्चाई सूत्र जी के अनुक्रम से होती है। दूसरे शब्दों में, थीसिस की सच्चाई एंटीथिसिस की असत्यता से होती है। .

  संदर्भ:

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मात्रात्मक संबंधों और वास्तविकता के स्थानिक रूपों के विज्ञान के रूप में गणित हमारे आसपास की दुनिया, प्राकृतिक और सामाजिक घटनाओं का अध्ययन करता है। लेकिन अन्य विज्ञानों के विपरीत, गणित दूसरों से अलग करके उनके विशेष गुणों का अध्ययन करता है। तो, ज्यामिति वस्तुओं के आकार और आकार का अध्ययन करती है, उनके अन्य गुणों को ध्यान में रखे बिना: रंग, द्रव्यमान, कठोरता, आदि। सामान्य तौर पर, गणितीय वस्तुएं (ज्यामितीय आकृति, संख्या, मूल्य) मानव मन द्वारा बनाई जाती हैं और केवल मानवीय सोच में मौजूद होती हैं, जो गणितीय भाषा बनाने वाले संकेतों और प्रतीकों में होती हैं।

गणित की अमूर्तता इसे विभिन्न क्षेत्रों में लागू करने की अनुमति देती है, यह प्रकृति को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।

ज्ञान के रूपों को दो समूहों में विभाजित किया गया है।

पहला समूहविभिन्न संवेदी अंगों की मदद से किए गए संवेदी अनुभूति के रूप: दृष्टि, श्रवण, गंध, स्पर्श, स्वाद।

कं दूसरा समूहअमूर्त सोच के रूप, मुख्य रूप से अवधारणाएं, कथन और अनुमान शामिल हैं।

संवेदी अनुभूति के रूप हैं अनुभव करना, अनुभूतिऔर प्रतिनिधित्व.

प्रत्येक वस्तु में एक नहीं, बल्कि अनेक गुण होते हैं और उन्हें हम संवेदनाओं के माध्यम से जानते हैं।

अनुभूति- यह भौतिक दुनिया की वस्तुओं या घटनाओं के व्यक्तिगत गुणों का प्रतिबिंब है, जो सीधे (यानी अब, इस समय) हमारी इंद्रियों को प्रभावित करते हैं। ये लाल, गर्म, गोल, हरे, मीठे, चिकने और वस्तुओं के अन्य व्यक्तिगत गुणों की संवेदनाएँ हैं [गेटमनोवा, पी। 7]।

व्यक्तिगत संवेदनाओं से संपूर्ण वस्तु की धारणा बनती है। उदाहरण के लिए, एक सेब की धारणा ऐसी संवेदनाओं से बनी होती है: गोलाकार, लाल, मीठा और खट्टा, सुगंधित आदि।

अनुभूतिबाहरी भौतिक वस्तु का समग्र प्रतिबिंब है जो सीधे हमारी इंद्रियों को प्रभावित करता है [गेटमैनोवा, पी। 8]। उदाहरण के लिए, प्लेट, कप, चम्मच, अन्य बर्तनों की छवि; नदी की छवि, अगर हम अब इसके साथ नौकायन कर रहे हैं या इसके किनारे हैं; जंगल की छवि, अगर हम अब जंगल में आ गए हैं, आदि।

धारणाएं, हालांकि वे हमारे मन में वास्तविकता का एक संवेदी प्रतिबिंब हैं, काफी हद तक मानव अनुभव पर निर्भर हैं। उदाहरण के लिए, एक जीवविज्ञानी घास के मैदान को एक तरह से देखेगा (वह विभिन्न प्रकार के पौधों को देखेगा), लेकिन एक पर्यटक या एक कलाकार इसे पूरी तरह से अलग तरीके से देखेगा।

प्रदर्शन- यह एक वस्तु की एक कामुक छवि है जिसे वर्तमान में हमारे द्वारा नहीं माना जाता है, लेकिन जो पहले हमारे द्वारा एक या दूसरे रूप में माना जाता था [गेटमैनोवा, पी। 10]। उदाहरण के लिए, हम नेत्रहीन रूप से परिचितों के चेहरे, घर में हमारे कमरे, एक बर्च के पेड़ या मशरूम की कल्पना कर सकते हैं। ये उदाहरण हैं प्रजननअभ्यावेदन, जैसा कि हमने इन वस्तुओं को देखा है।

प्रस्तुति हो सकती है रचनात्मक, शामिल ज़बरदस्त. हम ए.एस. की परियों की कहानियों से सुंदर राजकुमारी हंस, या ज़ार साल्टन, या गोल्डन कॉकरेल और कई अन्य पात्रों को प्रस्तुत करते हैं। पुष्किन, जिन्हें हमने कभी नहीं देखा और कभी नहीं देखेंगे। ये मौखिक विवरण पर रचनात्मक प्रस्तुति के उदाहरण हैं। हम स्नो मेडेन, सांता क्लॉस, जलपरी आदि की भी कल्पना करते हैं।

तो, संवेदी ज्ञान के रूप संवेदनाएं, धारणाएं और प्रतिनिधित्व हैं। उनकी मदद से, हम वस्तु के बाहरी पहलुओं (गुणों सहित इसकी विशेषताओं) को सीखते हैं।

अमूर्त सोच के रूप अवधारणाएँ, कथन और निष्कर्ष हैं।

अवधारणाओं। अवधारणाओं का दायरा और सामग्री

"अवधारणा" शब्द का प्रयोग आम तौर पर एक मनमानी प्रकृति की वस्तुओं की एक पूरी कक्षा को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिसमें एक निश्चित विशेषता (विशिष्ट, आवश्यक) संपत्ति या ऐसे गुणों का एक पूरा सेट होता है, यानी। गुण जो उस वर्ग के सदस्यों के लिए अद्वितीय हैं।

तर्क की दृष्टि से, अवधारणा सोच का एक विशेष रूप है, जिसकी विशेषता निम्नलिखित है: 1) अवधारणा अत्यधिक संगठित पदार्थ का एक उत्पाद है; 2) अवधारणा भौतिक दुनिया को दर्शाती है; 3) अवधारणा चेतना में सामान्यीकरण के साधन के रूप में प्रकट होती है; 4) अवधारणा का अर्थ विशेष रूप से मानव गतिविधि है; 5) किसी व्यक्ति के दिमाग में एक अवधारणा का निर्माण उसकी अभिव्यक्ति से भाषण, लेखन या प्रतीक के माध्यम से अविभाज्य है।

वास्तविकता की किसी भी वस्तु की अवधारणा हमारे मन में कैसे उत्पन्न होती है?

एक निश्चित अवधारणा बनाने की प्रक्रिया एक क्रमिक प्रक्रिया है जिसमें कई क्रमिक चरणों को देखा जा सकता है। सबसे सरल उदाहरण का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें - बच्चों में संख्या 3 की अवधारणा का निर्माण।

1. अनुभूति के पहले चरण में, बच्चे विभिन्न विशिष्ट सेटों से परिचित होते हैं, विषय चित्रों का उपयोग करते हैं और तीन तत्वों (तीन सेब, तीन किताबें, तीन पेंसिल, आदि) के विभिन्न सेट दिखाते हैं। बच्चे न केवल इनमें से प्रत्येक सेट को देखते हैं, बल्कि वे इन सेटों को बनाने वाली वस्तुओं को भी स्पर्श (स्पर्श) कर सकते हैं। "देखने" की यह प्रक्रिया बच्चे के दिमाग में वास्तविकता के प्रतिबिंब का एक विशेष रूप बनाती है, जिसे कहा जाता है धारणा (भावना)।

2. आइए उन वस्तुओं (ऑब्जेक्ट्स) को हटा दें जो प्रत्येक सेट को बनाते हैं, और बच्चों को यह निर्धारित करने के लिए आमंत्रित करते हैं कि क्या कुछ सामान्य था जो प्रत्येक सेट की विशेषता है। प्रत्येक सेट में वस्तुओं की संख्या बच्चों के दिमाग में अंकित की जानी थी, कि हर जगह "तीन" थे। यदि ऐसा है तो बच्चों के मन में एक नया रूप निर्मित हो गया है - संख्या तीन का विचार।

3. अगले चरण में, एक विचार प्रयोग के आधार पर, बच्चों को यह देखना चाहिए कि "तीन" शब्द में व्यक्त की गई संपत्ति फॉर्म (ए; बी; सी) के विभिन्न तत्वों के किसी भी सेट को दर्शाती है। इस प्रकार, ऐसे सेटों की एक आवश्यक सामान्य विशेषता को अलग किया जाएगा: "तीन तत्व होने के लिए"।अब हम कह सकते हैं कि बच्चों के दिमाग में बन गया संख्या 3 की अवधारणा।

अवधारणा- यह सोच का एक विशेष रूप है, जो वस्तुओं या अध्ययन की वस्तुओं के आवश्यक (विशिष्ट) गुणों को दर्शाता है।

एक अवधारणा का भाषाई रूप एक शब्द या शब्दों का समूह है। उदाहरण के लिए, "त्रिकोण", "नंबर तीन", "बिंदु", "सीधी रेखा", "समद्विबाहु त्रिभुज", "पौधा", "शंकुधारी वृक्ष", "येनिसी नदी", "टेबल", आदि।

गणितीय अवधारणाओं में कई विशेषताएं हैं। मुख्य एक यह है कि जिन गणितीय वस्तुओं के बारे में एक अवधारणा बनाने के लिए आवश्यक है, वे वास्तविकता में मौजूद नहीं हैं। गणितीय वस्तुएं मानव मन द्वारा बनाई गई हैं। ये आदर्श वस्तुएँ हैं जो वास्तविक वस्तुओं या घटनाओं को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, वस्तुओं के आकार और आकार का अध्ययन उनके अन्य गुणों: रंग, द्रव्यमान, कठोरता आदि को ध्यान में रखे बिना किया जाता है। इन सब से वे विचलित हैं, सारगर्भित हैं। इसलिए, ज्यामिति में, "ऑब्जेक्ट" शब्द के बजाय वे "ज्यामितीय आकृति" कहते हैं। अमूर्तता का परिणाम भी ऐसी गणितीय अवधारणाएँ हैं जैसे "संख्या" और "मूल्य"।

मुख्य विशेषताएंकोई अवधारणाएँ हैंनिम्नलिखित: 1) आयतन; 2) संतुष्ट; 3) अवधारणाओं के बीच संबंध.

जब वे एक गणितीय अवधारणा के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब आमतौर पर एक शब्द (शब्द या शब्दों के समूह) द्वारा निरूपित वस्तुओं के पूरे सेट (सेट) से होता है। तो, एक वर्ग की बात करते हुए, उनका मतलब सभी ज्यामितीय आकृतियों से है जो वर्ग हैं। ऐसा माना जाता है कि सभी वर्गों का समुच्चय "वर्ग" की अवधारणा का दायरा है।

अवधारणा का दायरावस्तुओं या वस्तुओं का वह समूह जिसके लिए यह अवधारणा लागू होती है, कहलाती है।

उदाहरण के लिए, 1) "समानांतर चतुर्भुज" की अवधारणा का दायरा ऐसे चतुष्कोणों का समूह है जैसे समांतर चतुर्भुज उचित, समचतुर्भुज, आयत और वर्ग; 2) "एक-अंकीय प्राकृतिक संख्या" की अवधारणा का दायरा समुच्चय होगा - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)।

किसी भी गणितीय वस्तु में कुछ गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्ग में चार भुजाएँ होती हैं, चार समकोण विकर्णों के बराबर होते हैं, विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा द्विभाजित किया जाता है। आप इसके अन्य गुण निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन किसी वस्तु के गुणों में से हैं आवश्यक (विशिष्ट)और ज़रा सी बात.

संपत्ति कहलाती है आवश्यक (विशिष्ट) किसी वस्तु के लिए यदि यह इस वस्तु में निहित है और इसके बिना इसका अस्तित्व नहीं हो सकता; संपत्ति कहा जाता है तुच्छ किसी वस्तु के लिए अगर वह उसके बिना मौजूद हो सकता है।

उदाहरण के लिए, एक वर्ग के लिए ऊपर सूचीबद्ध सभी गुण आवश्यक हैं। गुण "भुजा AD क्षैतिज है" वर्ग ABCD (चित्र 1) के लिए अप्रासंगिक होगा। यदि इस वर्ग को घुमाया जाए, तो भुजा AD ऊर्ध्वाधर होगी।

दृश्य सामग्री का उपयोग करने वाले पूर्वस्कूली के लिए एक उदाहरण पर विचार करें (चित्र 2):

आकृति का वर्णन कीजिए।

छोटा काला त्रिकोण। चावल। 2

बड़ा सफेद त्रिकोण।

आंकड़े समान कैसे हैं?

आंकड़े अलग कैसे हैं?

रंग, आकार।

त्रिभुज में क्या होता है?

3 भुजाएँ, 3 कोने।

इस प्रकार, बच्चे "त्रिकोण" की अवधारणा के आवश्यक और गैर-आवश्यक गुणों का पता लगाते हैं। आवश्यक गुण - "तीन भुजाएँ और तीन कोण हैं", गैर-आवश्यक गुण - रंग और आकार।

इस अवधारणा में परिलक्षित किसी वस्तु या वस्तु के सभी आवश्यक (विशिष्ट) गुणों की समग्रता कहलाती है अवधारणा की सामग्री .

उदाहरण के लिए, "समांतर चतुर्भुज" की अवधारणा के लिए सामग्री गुणों का एक समूह है: इसकी चार भुजाएँ हैं, इसके चार कोने हैं, विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर हैं, विपरीत भुजाएँ समान हैं, विपरीत कोण समान हैं, चौराहे बिंदुओं पर विकर्ण आधे में विभाजित हैं।

एक अवधारणा की मात्रा और उसकी सामग्री के बीच एक संबंध है: यदि किसी अवधारणा की मात्रा बढ़ जाती है, तो इसकी सामग्री घट जाती है, और इसके विपरीत। इसलिए, उदाहरण के लिए, "समद्विबाहु त्रिभुज" अवधारणा का दायरा "त्रिकोण" अवधारणा के दायरे का हिस्सा है, और "समद्विबाहु त्रिभुज" अवधारणा की सामग्री में "त्रिकोण" अवधारणा की सामग्री की तुलना में अधिक गुण शामिल हैं, क्योंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में न केवल एक त्रिभुज के सभी गुण होते हैं, बल्कि अन्य केवल समद्विबाहु त्रिभुजों में निहित होते हैं ("दो भुजाएँ समान होती हैं", "दो कोण बराबर होते हैं", "दो माध्यिकाएँ समान होती हैं", आदि)।

अवधारणाओं में बांटा गया है एकल, सामान्यऔर श्रेणियाँ।

एक अवधारणा जिसका आयतन 1 के बराबर है, कहलाती है एकल अवधारणा .

उदाहरण के लिए, अवधारणाएँ: "येनिसी नदी", "तुवा गणराज्य", "मॉस्को शहर"।

ऐसी अवधारणाएँ जिनका आयतन 1 से अधिक है, कहलाती हैं आम .

उदाहरण के लिए, अवधारणाएँ: "शहर", "नदी", "चतुर्भुज", "संख्या", "बहुभुज", "समीकरण"।

किसी भी विज्ञान की नींव का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, बच्चे आम तौर पर सामान्य अवधारणाएँ बनाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक ग्रेड में, छात्र "संख्या", "संख्या", "एकल-अंकीय संख्याएँ", "दो-अंकीय संख्याएँ", "बहु-अंकीय संख्याएँ", "अंश", "शेयर" जैसी अवधारणाओं से परिचित होते हैं। ”, "जोड़", "शब्द", "योग", "घटाव", "घटा", "कम", "अंतर", "गुणा", "गुणक", "उत्पाद", "विभाजन", "विभाज्य", "विभाजक", "भागफल", "गेंद, बेलन, शंकु, घन, समानांतर चतुर्भुज, पिरामिड, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वर्ग, आयत, बहुभुज, वृत्त, "वृत्त", "वक्र", "पॉलीलाइन", "खंड" , "खंड की लंबाई", "किरण", "सीधी रेखा", "बिंदु", "लंबाई", "चौड़ाई", "ऊंचाई", "परिधि", "आंकड़ा क्षेत्र", "आयतन", "समय", " गति", "द्रव्यमान", "मूल्य", "लागत" और कई अन्य। ये सभी अवधारणाएँ सामान्य अवधारणाएँ हैं।

गणित 1. गणित शब्द कहाँ से आया है 2. गणित का आविष्कार किसने किया था? 3. मुख्य विषय। 4. परिभाषा 5. व्युत्पत्ति विज्ञान अंतिम स्लाइड पर।

यह शब्द कहाँ से आया (पिछली स्लाइड पर जाएँ) ग्रीक से गणित - अध्ययन, विज्ञान) - संरचनाओं, क्रम और संबंधों का विज्ञान, ऐतिहासिक रूप से वस्तुओं के आकार की गणना, माप और वर्णन के संचालन पर आधारित है। गणितीय वस्तुएँ वास्तविक या अन्य गणितीय वस्तुओं के गुणों को आदर्श बनाकर और इन गुणों को एक औपचारिक भाषा में लिखकर बनाई जाती हैं।

गणित का आविष्कार किसने किया (मेनू पर जाएं) पहले गणितज्ञ को आमतौर पर मिलेटस के थेल्स कहा जाता है, जो छठी शताब्दी में रहते थे। ईसा पूर्व इ। , ग्रीस के तथाकथित सात बुद्धिमान पुरुषों में से एक। जैसा कि हो सकता है, यह वह था जो इस विषय पर संपूर्ण ज्ञान आधार की संरचना करने वाला पहला व्यक्ति था, जो लंबे समय से ज्ञात दुनिया के भीतर बना हुआ है। हालाँकि, गणित पर पहला ग्रंथ जो हमारे पास आया है, उसका लेखक यूक्लिड (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व) था। उन्हें भी इस विज्ञान का जनक माना जाना चाहिए।

मुख्य विषय (मेनू पर जाएं) गणित के क्षेत्र में केवल वे विज्ञान शामिल हैं जिनमें या तो क्रम या माप पर विचार किया जाता है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ये संख्याएं हैं, आंकड़े, सितारे, ध्वनियां, या कुछ और जिसमें यह माप है पाया जाता है। इस प्रकार, कोई सामान्य विज्ञान होना चाहिए जो किसी विशेष विषय के अध्ययन में प्रवेश किए बिना, आदेश और माप से संबंधित हर चीज की व्याख्या करता हो, और इस विज्ञान को विदेशी नहीं, बल्कि सामान्य गणित के पुराने, पहले से ही सामान्य नाम से पुकारा जाना चाहिए।

परिभाषा (मेनू पर जाएं) आधुनिक विश्लेषण शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण पर आधारित है, जिसे गणित के तीन मुख्य क्षेत्रों (बीजगणित और ज्यामिति के साथ) में से एक माना जाता है। इसी समय, शास्त्रीय अर्थ में "गणितीय विश्लेषण" शब्द मुख्य रूप से पाठ्यक्रम और सामग्रियों में उपयोग किया जाता है। एंग्लो-अमेरिकन परंपरा में, शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण "कैलकुलस" नाम के पाठ्यक्रम कार्यक्रमों से मेल खाता है।

व्युत्पत्ति (मेनू पर जाएं) शब्द "गणित" अन्य ग्रीक से आता है। , जिसका अर्थ है अध्ययन, ज्ञान, विज्ञान, आदि -ग्रीक, जिसका मूल अर्थ ग्रहणशील, सफल, बाद में अध्ययन से संबंधित, बाद में गणित से संबंधित। विशेष रूप से, लैटिन में, इसका अर्थ गणित की कला है। शब्द अन्य है - यूनानी। "गणित" शब्द के आधुनिक अर्थ में पहले से ही अरस्तू (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) के कार्यों में पाया जाता है।