क्षणों की विधिसैद्धांतिक वितरण के क्षणों को अनुभवजन्य वितरण (अवलोकनों के आधार पर वितरण) के क्षणों के साथ बराबर करता है। प्राप्त समीकरणों से वितरण मापदण्डों का अनुमान ज्ञात होता है। उदाहरण के लिए, दो मापदंडों वाले वितरण के लिए, पहले दो क्षण (क्रमशः वितरण का माध्य और विचरण, एम और एस) पहले दो अनुभवजन्य (नमूना) क्षणों (क्रमशः नमूने का माध्य और विचरण) के बराबर सेट किए जाएंगे। ), और फिर आकलन किया जाएगा।

जहां ए अधिकतम आवृत्ति (अधिकतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य) वाले संस्करण के बराबर एक सशर्त शून्य है, एच अंतराल चरण है,

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके, क्षणों की विधि का उपयोग करके औसत मूल्य की गणना की जाती है। निर्णय का परिणाम वर्ड प्रारूप में तैयार किया गया है।

अनुदेश. समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक डेटा भरना होगा और वर्ड में फ़ॉर्मेटिंग के लिए रिपोर्ट विकल्पों का चयन करना होगा।

क्षणों की विधि द्वारा औसत ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम

उदाहरण। एक सजातीय तकनीकी संचालन के लिए कार्य समय की लागत को श्रमिकों के बीच निम्नानुसार वितरित किया गया था:

कार्य समय की लागत का औसत मूल्य और क्षणों की विधि द्वारा मानक विचलन निर्धारित करना आवश्यक है; भिन्नता का गुणांक; मोड और माध्यिका.
संकेतकों की गणना के लिए तालिका।

समूह	अंतराल मध्य, x i	मात्रा, फ़ि	एक्स आई एफ आई	संचयी आवृत्ति, एस	(x-x ) 2 फं
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

पहनावा

जहां x 0 मोडल अंतराल की शुरुआत है; h अंतराल का मान है; एफ 2 -मोडल अंतराल के अनुरूप आवृत्ति; एफ 1 - प्रीमोडल आवृत्ति; एफ 3 - पोस्टमॉडल आवृत्ति।
हम अंतराल की शुरुआत के रूप में 20 को चुनते हैं, क्योंकि यह वह अंतराल है जो सबसे बड़ी संख्या के लिए जिम्मेदार है।

श्रृंखला का सर्वाधिक सामान्य मान 22.78 मिनट है।
मंझला
माध्यिका अंतराल 20 - 25 है, क्योंकि इस अंतराल में, संचित आवृत्ति S, माध्यिका संख्या से अधिक होती है (पहले अंतराल को माध्यिका कहा जाता है, जिसकी संचित आवृत्ति S, आवृत्तियों के कुल योग के आधे से अधिक होती है)।

इस प्रकार, 50% जनसंख्या इकाइयाँ 23 मिनट से कम होंगी।
.



हम A = 22.5, अंतराल चरण h = 5 पाते हैं।
क्षणों की विधि द्वारा माध्य वर्ग विचलन.

एक्स सी	एक्स*आई	एक्स * आई एफ आई	2 च मैं
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

मि.

मानक विचलन.
मि.
भिन्नता का गुणांक- जनसंख्या मूल्यों के सापेक्ष प्रसार का एक माप: दर्शाता है कि इस मात्रा के औसत मूल्य का कितना अनुपात इसका औसत प्रसार है।

क्योंकि v>30% लेकिन v<70%, то вариация умеренная.

उदाहरण

वितरण श्रृंखला का मूल्यांकन करने के लिए, हमें निम्नलिखित संकेतक मिलते हैं:

भारित औसत

क्षणों की विधि द्वारा अध्ययन किए गए गुण का औसत मूल्य.

जहां ए अधिकतम आवृत्ति (अधिकतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य) वाले संस्करण के बराबर एक सशर्त शून्य है, एच अंतराल चरण है।

भिन्नता सीमा (या भिन्नता की सीमा) -सुविधा के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है:

हमारे उदाहरण में, श्रमिकों के शिफ्ट आउटपुट में भिन्नता की सीमा है: पहली ब्रिगेड में R=105-95=10 बच्चे, दूसरी ब्रिगेड में R=125-75=50 बच्चे। (5 गुना अधिक). इससे पता चलता है कि पहली ब्रिगेड का आउटपुट अधिक "स्थिर" है, लेकिन दूसरी ब्रिगेड के पास आउटपुट की वृद्धि के लिए अधिक भंडार है, क्योंकि। यदि सभी कर्मचारी इस ब्रिगेड के लिए अधिकतम उत्पादन तक पहुंचते हैं, तो यह 3 * 125 = 375 भागों का उत्पादन कर सकता है, और पहली ब्रिगेड में केवल 105 * 3 = 315 भागों का उत्पादन कर सकता है।
यदि विशेषता के चरम मान जनसंख्या के लिए विशिष्ट नहीं हैं, तो चतुर्थक या दशमलव श्रेणियों का उपयोग किया जाता है। चतुर्थक श्रेणी RQ= Q3-Q1 50% आबादी को कवर करती है, पहली डेसील श्रेणी RD1 = D9-D1 80% डेटा को कवर करती है, दूसरी डेसील श्रेणी RD2= D8-D2 60% को कवर करती है।
भिन्नता सीमा सूचक का नुकसान यह है कि इसका मूल्य विशेषता के सभी उतार-चढ़ाव को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
सबसे सरल सामान्यीकरण संकेतक जो किसी विशेषता के सभी उतार-चढ़ाव को दर्शाता है वह है माध्य रैखिक विचलन, जो उनके औसत मूल्य से व्यक्तिगत विकल्पों के पूर्ण विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

,
समूहीकृत डेटा के लिए
,
जहां i एक असतत श्रृंखला में या अंतराल वितरण में अंतराल के मध्य में विशेषता का मान है।
उपरोक्त सूत्रों में अंश के अंतर को मापांक के आधार पर लिया जाता है, अन्यथा अंकगणितीय माध्य के गुण के अनुसार अंश सदैव शून्य के बराबर होगा। इसलिए, सांख्यिकीय अभ्यास में औसत रैखिक विचलन का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, केवल उन मामलों में जहां संकेत को ध्यान में रखे बिना संकेतकों का योग आर्थिक समझ में आता है। इसकी मदद से, उदाहरण के लिए, कर्मचारियों की संरचना, उत्पादन की लाभप्रदता और विदेशी व्यापार कारोबार का विश्लेषण किया जाता है।
फ़ीचर विचरणउनके औसत मूल्य से वेरिएंट के विचलन का औसत वर्ग है:
सरल विचरण
,
भारित विचरण
.
विचरण की गणना के सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

इस प्रकार, भिन्नता प्रकार के वर्गों के माध्य और जनसंख्या के प्रकार के माध्य के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है:
.
हालाँकि, वर्ग विचलनों के योग के कारण, विचरण विचलनों का एक विकृत विचार देता है, इसलिए औसत की गणना इससे की जाती है। मानक विचलन, जो दर्शाता है कि विशेषता के विशिष्ट प्रकार अपने औसत मूल्य से औसतन कितना विचलन करते हैं। प्रसरण का वर्गमूल लेकर गणना की गई:
असमूहीकृत डेटा के लिए
,
विविधता श्रृंखला के लिए

विचरण और मानक विचलन का मान जितना छोटा होगा, जनसंख्या जितनी अधिक सजातीय होगी, औसत मान उतना ही अधिक विश्वसनीय (सामान्य) होगा।
माध्य रेखीय और माध्य वर्ग विचलन को नामित संख्याएँ कहा जाता है, अर्थात, वे विशेषता के माप की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, सामग्री में समान होते हैं और मूल्य में समान होते हैं।
तालिकाओं का उपयोग करके भिन्नता के पूर्ण संकेतकों की गणना करने की अनुशंसा की जाती है।
तालिका 3 - भिन्नता की विशेषताओं की गणना (कार्य टीमों के शिफ्ट आउटपुट पर डेटा की अवधि के उदाहरण पर)

	श्रमिकों की संख्या	अंतराल के मध्य	अनुमानित मूल्य
कुल:

श्रमिकों का औसत शिफ्ट आउटपुट:

औसत रैखिक विचलन:

आउटपुट फैलाव:

औसत उत्पादन से व्यक्तिगत श्रमिकों के उत्पादन का मानक विचलन:
.

1 आघूर्णों की विधि द्वारा विचरण की गणना

भिन्नताओं की गणना बोझिल गणनाओं से जुड़ी है (विशेषकर यदि औसत को कई दशमलव स्थानों के साथ बड़ी संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है)। सरलीकृत सूत्र और फैलाव गुणों का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।
फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:

1. यदि विशेषता के सभी मानों को एक ही मान A से घटाया या बढ़ाया जाए, तो इससे भिन्नता कम नहीं होगी:

,

, फिर या
विचरण के गुणों का उपयोग करके और पहले जनसंख्या के सभी प्रकारों को मान A से कम करके, और फिर अंतराल h के मान से विभाजित करके, हम समान अंतराल के साथ परिवर्तनीय श्रृंखला में विचरण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। क्षणों का तरीका:
,
विचरण की गणना क्षणों की विधि द्वारा कहाँ की जाती है;
h भिन्नता श्रृंखला के अंतराल का मान है;
- नए (रूपांतरित) भिन्न मान;
ए एक स्थिर मान है, जिसका उपयोग उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य के रूप में किया जाता है; या उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण;
प्रथम क्रम के क्षण का वर्ग है;
दूसरे क्रम का एक क्षण है.
आइए कार्यशील टीम के शिफ्ट आउटपुट पर डेटा के आधार पर क्षणों की विधि द्वारा विचरण की गणना करें।
तालिका 4 - क्षणों की विधि द्वारा फैलाव की गणना

उत्पादन श्रमिकों के समूह, पीसी।	श्रमिकों की संख्या	अंतराल के मध्य	अनुमानित मूल्य

गणना प्रक्रिया:

1. विचरण की गणना करें:

2 एक वैकल्पिक सुविधा के विचरण की गणना

सांख्यिकी द्वारा अध्ययन किए गए संकेतों में से कुछ ऐसे भी हैं जिनके केवल दो परस्पर अनन्य अर्थ हैं। ये वैकल्पिक संकेत हैं. उन्हें क्रमशः दो मात्रात्मक मान दिए गए हैं: विकल्प 1 और 0. विकल्प 1 की आवृत्ति, जिसे पी द्वारा दर्शाया गया है, उन इकाइयों का अनुपात है जिनमें यह विशेषता है। अंतर 1-p=q विकल्प 0 की आवृत्ति है। इस प्रकार,

क्सी

वैकल्पिक सुविधा का अंकगणितीय माध्य
, चूँकि p+q=1.

फ़ीचर विचरण
, क्योंकि 1-पी=क्यू
इस प्रकार, एक वैकल्पिक विशेषता का विचरण उन इकाइयों के अनुपात के उत्पाद के बराबर होता है जिनमें यह विशेषता होती है और उन इकाइयों के अनुपात के बराबर होती है जिनमें यह विशेषता नहीं होती है।
यदि मान 1 और 0 समान रूप से बार-बार आते हैं, अर्थात p=q, तो विचरण अपने अधिकतम pq=0.25 तक पहुँच जाता है।
वेरिएंस वेरिएबल का उपयोग नमूना सर्वेक्षणों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, उत्पाद की गुणवत्ता।

3 अंतरसमूह फैलाव. प्रसरण जोड़ नियम

भिन्नता की अन्य विशेषताओं के विपरीत, फैलाव एक योगात्मक मात्रा है। अर्थात समुच्चय में, जिसे कारक मानदंड के अनुसार समूहों में विभाजित किया जाता है एक्स , परिणामी विचरण यप्रत्येक समूह के भीतर भिन्नता (समूह के भीतर) और समूहों के बीच भिन्नता (समूह के बीच) में विघटित किया जा सकता है। फिर, पूरी आबादी में गुण की भिन्नता के अध्ययन के साथ-साथ, प्रत्येक समूह के साथ-साथ इन समूहों के बीच भिन्नता का अध्ययन करना भी संभव हो जाता है।

कुल विचरणकिसी गुण की भिन्नता को मापता है परसंपूर्ण जनसंख्या उन सभी कारकों के प्रभाव में है जो इस भिन्नता (विचलन) का कारण बने। यह सुविधा के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है परसमग्र माध्य की गणना सरल या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।
अंतरसमूह विचरणप्रभावी सुविधा की विविधता को दर्शाता है पर, संकेत-कारक के प्रभाव के कारण होता है एक्ससमूहीकरण के अंतर्गत. यह समूह के साधनों की भिन्नता को दर्शाता है और कुल माध्य से समूह के विचलनों के माध्य वर्ग के बराबर है:
,
i-वें समूह का अंकगणितीय माध्य कहाँ है;
- आई-वें समूह में इकाइयों की संख्या (आई-वें समूह की आवृत्ति);
जनसंख्या का कुल माध्य है.
इंट्राग्रुप विचरणयादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, यानी, भिन्नता का वह हिस्सा जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और समूहीकरण के अंतर्निहित विशेषता-कारक पर निर्भर नहीं करता है। यह समूह औसत के सापेक्ष व्यक्तिगत मूल्यों की भिन्नता को दर्शाता है, यह विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के औसत वर्ग के बराबर है परइस समूह के अंकगणितीय माध्य (समूह माध्य) से एक समूह के भीतर और प्रत्येक समूह के लिए एक सरल या भारित विचरण के रूप में गणना की जाती है:
या ,
समूह में इकाइयों की संख्या कहां है.
प्रत्येक समूह के लिए अंतर-समूह भिन्नताओं के आधार पर, यह निर्धारित करना संभव है समूह के भीतर भिन्नताओं का समग्र औसत:
.
तीन भिन्नताओं के बीच के संबंध को कहा जाता है विचरण जोड़ नियम, जिसके अनुसार कुल विचरण अंतरसमूह विचरण के योग और इंट्राग्रुप प्रसरण के औसत के बराबर है:

उदाहरण. श्रमिकों की उत्पादकता के स्तर पर उनकी टैरिफ श्रेणी (योग्यता) के प्रभाव का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित डेटा प्राप्त हुए।
तालिका 5 - औसत प्रति घंटा उत्पादन के आधार पर श्रमिकों का वितरण।

№ पी/पी	चतुर्थ श्रेणी के श्रमिक				5वीं श्रेणी के श्रमिक
	व्यायाम करना कार्यकर्ता, पीसी।,				व्यायाम करना कार्यकर्ता, पीसी।,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

इस उदाहरण में, श्रमिकों को कारक के अनुसार दो समूहों में विभाजित किया गया है एक्स- योग्यताएं, जो उनकी रैंक से निर्धारित होती हैं। प्रभावी गुण - उत्पादन - इसके प्रभाव (इंटरग्रुप भिन्नता) और अन्य यादृच्छिक कारकों (इंट्राग्रुप भिन्नता) दोनों के कारण भिन्न होता है। चुनौती तीन भिन्नताओं का उपयोग करके इन विविधताओं को मापने की है: कुल, समूह के बीच, और समूह के भीतर। निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांक परिणामी विशेषता की भिन्नता के अनुपात को दर्शाता है परकिसी कारक चिन्ह के प्रभाव में एक्स. कुल भिन्नता का शेष परअन्य कारकों में परिवर्तन के कारण।
उदाहरण में, निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांक है:
या 66.7%,
इसका मतलब यह है कि श्रमिकों की श्रम उत्पादकता में 66.7% भिन्नता योग्यता में अंतर के कारण है, और 33.3% अन्य कारकों के प्रभाव के कारण है।
अनुभवजन्य सहसंबंध संबंधसमूहीकरण और प्रभावी विशेषताओं के बीच संबंधों की मजबूती को दर्शाता है। इसकी गणना निर्धारण के अनुभवजन्य गुणांक के वर्गमूल के रूप में की जाती है:

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात, साथ ही, 0 से 1 तक मान ले सकता है।
यदि कोई संबंध नहीं है, तो =0. इस मामले में, =0, यानी, समूह के साधन एक दूसरे के बराबर हैं और कोई अंतरसमूह भिन्नता नहीं है। इसका मतलब यह है कि समूहीकरण चिह्न - कारक सामान्य भिन्नता के गठन को प्रभावित नहीं करता है।
यदि संबंध कार्यात्मक है, तो =1. इस मामले में, समूह माध्य का विचरण कुल विचरण () के बराबर है, अर्थात, कोई इंट्राग्रुप भिन्नता नहीं है। इसका मतलब यह है कि समूहीकरण सुविधा अध्ययन के तहत परिणामी सुविधा की विविधता को पूरी तरह से निर्धारित करती है।
सहसंबंध संबंध का मान जितना करीब होगा, सुविधाओं के बीच संबंध कार्यात्मक निर्भरता के उतना ही करीब होगा।
संकेतों के बीच संबंध की निकटता के गुणात्मक मूल्यांकन के लिए, चैडॉक संबंधों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण में , जो श्रमिकों की उत्पादकता और उनकी योग्यता के बीच घनिष्ठ संबंध को इंगित करता है।

अंकगणितीय माध्य की गणना के तरीके (आघूर्णों की विधि द्वारा सरल और भारित अंकगणितीय माध्य)

हम औसत मान निर्धारित करते हैं:

मोड (मो) = 11, क्योंकि यह वैरिएंट सबसे अधिक बार भिन्नता श्रृंखला (पी=6) में होता है।

माध्यिका (मी) - मध्य स्थान पर रहने वाले वेरिएंट की क्रम संख्या = 23, विविधता श्रृंखला में यह स्थान 11 के बराबर वेरिएंट द्वारा कब्जा कर लिया गया है। अंकगणित माध्य (एम) आपको औसत स्तर को पूरी तरह से चित्रित करने की अनुमति देता है। अध्ययनाधीन विशेषता. अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए, दो विधियों का उपयोग किया जाता है: अंकगणितीय माध्य विधि और क्षणों की विधि।

यदि भिन्नता श्रृंखला में प्रत्येक प्रकार की घटना की आवृत्ति 1 के बराबर है, तो सरल अंकगणितीय माध्य की गणना अंकगणितीय माध्य विधि का उपयोग करके की जाती है: एम =।

यदि परिवर्तनीय श्रृंखला में एक प्रकार की घटना की आवृत्ति 1 से भिन्न होती है, तो भारित अंकगणितीय माध्य की गणना अंकगणितीय माध्य विधि का उपयोग करके की जाती है:

क्षणों की विधि के अनुसार: ए - सशर्त औसत,

एम = ए + =11 += 10.4 डी=वी-ए, ए=मो=11

यदि विविधता श्रृंखला में विकल्पों की संख्या 30 से अधिक हो तो समूहीकृत श्रृंखला बनाई जाती है। समूहीकृत श्रृंखला का निर्माण:

1) वीमिन और वीमैक्स का निर्धारण वीमिन=3, वीमैक्स=20;

2) समूहों की संख्या का निर्धारण (तालिका के अनुसार);

3) समूहों के बीच अंतराल की गणना मैं = 3;

4) समूहों की शुरुआत और अंत का निर्धारण;

5) प्रत्येक समूह के आवृत्ति संस्करण का निर्धारण (तालिका 2)।

तालिका 2

समूहीकृत श्रृंखला बनाने की तकनीक

अवधि दिनों में उपचार
n=45 पी=480 पी=30 2 पी=766

समूहीकृत विविधता श्रृंखला का लाभ यह है कि शोधकर्ता हर प्रकार के साथ काम नहीं करता है, बल्कि केवल उन वेरिएंट के साथ काम करता है जो प्रत्येक समूह के लिए औसत हैं। इससे औसत की गणना करना बहुत आसान हो जाता है।

सापेक्ष एकरूपता के बावजूद, इस या उस विशेषता का मूल्य जनसंख्या के सभी सदस्यों के लिए समान नहीं है। सांख्यिकीय जनसंख्या की यह विशेषता सामान्य जनसंख्या के समूह गुणों में से एक की विशेषता है - गुण विविधता. उदाहरण के लिए, आइए 12 साल के लड़कों का एक समूह लें और उनकी ऊंचाई मापें। गणना के बाद, इस विशेषता का औसत स्तर 153 सेमी होगा। लेकिन औसत अध्ययन किए गए विशेषता के सामान्य माप को दर्शाता है। इस उम्र के लड़कों में ऐसे लड़के हैं जिनकी ऊंचाई 165 सेमी या 141 सेमी है। जितने अधिक लड़कों की ऊंचाई 153 ​​सेमी के अलावा होगी, सांख्यिकीय आबादी में इस विशेषता की विविधता उतनी ही अधिक होगी।

सांख्यिकी हमें निम्नलिखित मानदंडों के आधार पर इस संपत्ति को चिह्नित करने की अनुमति देती है:

सीमा (लिम),

आयाम (एएमपी),

मानक विचलन (य) ,

भिन्नता का गुणांक (सीवी)।

सीमा (लिम)भिन्नता श्रृंखला में वैरिएंट के चरम मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

लिम = वीमिन / वीमैक्स

आयाम (एएमपी) -चरम विकल्पों का अंतर:

एम्प = वीमैक्स -वीमिन

ये मूल्य केवल चरम विकल्पों की विविधता को ध्यान में रखते हैं और इसकी आंतरिक संरचना को ध्यान में रखते हुए, कुल में विशेषता की विविधता के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। इसलिए, इन मानदंडों का उपयोग विविधता के अनुमानित लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से कम संख्या में टिप्पणियों के साथ (एन)।<30).

विविधता श्रृंखला चिकित्सा आँकड़े

ए - सशर्त औसत (विभिन्नता श्रृंखला में दोहराए जाने वाले अन्य की तुलना में अधिक बार)

ए - सशर्त औसत (रैंक) से सशर्त विचलन

मैं - अंतराल

पहला चरण - समूहों के मध्य का निर्धारण;

दूसरा चरण - समूहों की रैंकिंग: 0 उस समूह को सौंपा गया है, जिसमें वैरिएंट की घटना की आवृत्ति सबसे अधिक है। वे। इस मामले में 7-11 (आवृत्ति -32)। इस ग्रुप से ऊपर (-1) जोड़कर रैंकिंग की जाती है. नीचे - वृद्धि (+1)।

तीसरा चरण - सशर्त मोड (सशर्त औसत) का निर्धारण। ए मोडल अंतराल का मध्य है। हमारे मामले में, मोडल अंतराल 7 -11 है, इसलिए ए = 9।

चौथा चरण - अंतराल का निर्धारण। श्रृंखला के सभी समूहों में अंतराल समान है और 5 के बराबर है। i = 5/

5वां चरण - प्रेक्षणों की कुल संख्या का निर्धारण। एन = ∑पी = 103.

हम प्राप्त डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

समूहीकृत भिन्नता श्रृंखला के डेटा का उपयोग करके, क्षणों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना करें।

विकल्प संख्या 1

विकल्प संख्या 2

विकल्प संख्या 3

विकल्प संख्या 4

विकल्प संख्या 5

विकल्प संख्या 6

विकल्प संख्या 7

विकल्प संख्या 8

विकल्प संख्या 9

विकल्प संख्या 10

विकल्प संख्या 11

विकल्प संख्या 12

कार्य संख्या 4 विषम संख्या में विकल्पों के साथ एक अवर्गीकृत परिवर्तनीय श्रृंखला में मोड और माध्यिका का निर्धारण करना

दिनों में बीमार बच्चों के उपचार की शर्तें: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20।

विविधता श्रृंखला में मोड निर्धारित करने के लिए, श्रृंखला की रैंकिंग वैकल्पिक है। हालाँकि, माध्यिका निर्धारित करने से पहले, आरोही या अवरोही क्रम में भिन्नता श्रृंखला बनाना आवश्यक है।

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

मोड = 16. विकल्प 16 सबसे अधिक बार (3 बार) आता है।

यदि घटना की उच्चतम आवृत्ति वाले कई विकल्प हैं, तो भिन्नता श्रृंखला में दो या दो से अधिक मोड इंगित किए जा सकते हैं।

विषम संख्या वाली श्रृंखला में माध्यिका सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

8 रैंक भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका की क्रमिक संख्या है,

वह। मैं = 17.

कार्य संख्या 5 सम संख्या में विकल्पों के साथ एक अवर्गीकृत भिन्नता श्रृंखला में मोड और माध्यिका का निर्धारण करना।

कार्य में दिए गए डेटा के आधार पर, आपको बहुलक और माध्यिका ज्ञात करनी होगी

दिनों में बीमार बच्चों के उपचार की शर्तें: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

हम एक क्रमबद्ध परिवर्तनीय श्रृंखला बनाते हैं:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

हमारे पास दो माध्य संख्याएँ 16 और 17 हैं। इस मामले में, माध्यिका को उनके बीच अंकगणितीय माध्य के रूप में पाया जाता है। मी = 16.5.

4. सम और विषम.

सम परिवर्तनशील श्रृंखला में, आवृत्तियों का योग या अवलोकनों की कुल संख्या को एक सम संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, विषम परिवर्तनशील श्रृंखला में, एक विषम संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

5. सममित एवं असममित।

एक सममित भिन्नता श्रृंखला में, सभी प्रकार के औसत मेल खाते हैं या बहुत करीब होते हैं (मोड, माध्यिका, अंकगणितीय माध्य)।

अध्ययन की जा रही घटनाओं की प्रकृति, सांख्यिकीय अध्ययन के विशिष्ट कार्यों और उद्देश्यों के साथ-साथ सैनिटरी आंकड़ों में स्रोत सामग्री की सामग्री पर निर्भर करता है निम्न प्रकार के औसत का उपयोग किया जाता है:

संरचनात्मक औसत (मोड, माध्यिका);

अंकगणित औसत;

औसत हार्मोनिक;

ज्यामितीय माध्य

मध्यम प्रगतिशील.

फैशन (एम ओ) - परिवर्तनीय विशेषता का मूल्य, जो अध्ययन की गई जनसंख्या में अधिक सामान्य है, अर्थात। उच्चतम आवृत्ति के अनुरूप विकल्प। यह किसी भी गणना का सहारा लिए बिना, सीधे भिन्नता श्रृंखला की संरचना द्वारा पाया जाता है। यह आमतौर पर अंकगणितीय माध्य के बहुत करीब का मान है और व्यवहार में बहुत सुविधाजनक है।

माध्यिका (एम ई) - भिन्नता श्रृंखला को विभाजित करना (रैंकिंग, यानी विकल्प के मूल्यों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है) को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करना। माध्यिका की गणना तथाकथित विषम श्रृंखला का उपयोग करके की जाती है, जो आवृत्तियों को क्रमिक रूप से जोड़कर प्राप्त की जाती है। यदि आवृत्तियों का योग एक सम संख्या से मेल खाता है, तो माध्यिका को पारंपरिक रूप से दो औसत मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के रूप में लिया जाता है।

मोड और माध्यिका को खुली जनसंख्या के मामले में लागू किया जाता है, अर्थात। जब सबसे बड़े या सबसे छोटे विकल्प में सटीक मात्रात्मक विशेषता नहीं होती है (उदाहरण के लिए, 15 वर्ष से कम, 50 और अधिक उम्र, आदि)। इस स्थिति में, अंकगणितीय माध्य (पैरामीट्रिक विशेषताएँ) की गणना नहीं की जा सकती।

औसत मैं अंकगणित - सबसे सामान्य मूल्य. अंकगणितीय माध्य को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है एम.

सरल अंकगणितीय माध्य और भारित माध्य के बीच अंतर स्पष्ट करें।

सरल अंकगणित माध्य गणना:

- उन मामलों में जब समग्रता को प्रत्येक इकाई के लिए एक विशेषता के ज्ञान की एक सरल सूची द्वारा दर्शाया जाता है;

- यदि प्रत्येक प्रकार की पुनरावृत्ति की संख्या निर्धारित नहीं की जा सकती है;

- यदि प्रत्येक प्रकार की पुनरावृत्ति की संख्या एक दूसरे के करीब है।

सरल अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां वी - विशेषता के व्यक्तिगत मान; n व्यक्तिगत मूल्यों की संख्या है; - योग का संकेत.

इस प्रकार, साधारण औसत वैरिएंट के योग और अवलोकनों की संख्या का अनुपात है।

उदाहरण: निमोनिया से पीड़ित 10 रोगियों के लिए बिस्तर पर रहने की औसत अवधि निर्धारित करें:

16 दिन - 1 रोगी; 17-1; 18-1; 19-1; 20-1; 21-1; 22-1; 23-1; 26-1; 31-1.

सोने का दिन.

अंकगणित भारित औसत उन मामलों में गणना की जाती है जहां विशेषता के व्यक्तिगत मान दोहराए जाते हैं। इसकी गणना दो तरीकों से की जा सकती है:

1. सीधे (अंकगणितीय माध्य या प्रत्यक्ष विधि) सूत्र के अनुसार:

जहां P प्रत्येक विकल्प के अवलोकनों की आवृत्ति (मामलों की संख्या) है।

इस प्रकार, भारित अंकगणितीय माध्य आवृत्ति द्वारा प्रेक्षणों की संख्या के अनुसार संस्करण के उत्पादों के योग का अनुपात है।

2. सशर्त औसत से विचलन की गणना करके (क्षणों की विधि के अनुसार)।

भारित अंकगणितीय माध्य की गणना का आधार है:

- मात्रात्मक विशेषता के प्रकार के अनुसार समूहीकृत सामग्री;

- सभी विकल्पों को विशेषता मान (रैंकिंग श्रृंखला) के आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए।

क्षणों की विधि द्वारा गणना करने के लिए, पूर्व शर्त सभी अंतरालों का समान आकार है।

क्षणों की विधि के अनुसार, अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

,

जहां एम ओ सशर्त औसत है, जिसे अक्सर उच्चतम आवृत्ति के अनुरूप सुविधा के मूल्य के रूप में लिया जाता है, यानी। जो अधिक बार दोहराया जाता है (मोड)।

मैं - अंतराल मान.

ए - औसत की स्थितियों से सशर्त विचलन, जो एक बड़े सशर्त औसत विकल्प के लिए + चिह्न के साथ और - (-1, -2, आदि) के साथ संख्याओं (1, 2, आदि) की एक अनुक्रमिक श्रृंखला है। एक विकल्प पर हस्ताक्षर करें, जो औसत से नीचे है। सशर्त औसत के रूप में लिए गए वैरिएंट से सशर्त विचलन 0 है।

पी - आवृत्तियाँ।

प्रेक्षणों की कुल संख्या या n.

उदाहरण: सीधे 8 वर्षीय लड़कों की औसत ऊंचाई निर्धारित करें (तालिका 1)।

तालिका नंबर एक

ऊंचाई सेमी में	लड़के पी	केंद्रीय विकल्प वी

केंद्रीय संस्करण, अंतराल के मध्य को दो आसन्न समूहों के प्रारंभिक मूल्यों के अर्ध-योग के रूप में परिभाषित किया गया है:

; वगैरह।

वीपी उत्पाद केंद्रीय वेरिएंट को आवृत्तियों से गुणा करके प्राप्त किया जाता है; वगैरह। फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है और प्राप्त किया जाता है , जिसे प्रेक्षणों की संख्या (100) से विभाजित किया जाता है और भारित अंकगणितीय माध्य प्राप्त होता है।

सेमी।

हम उसी समस्या को क्षणों की विधि का उपयोग करके हल करेंगे, जिसके लिए निम्नलिखित तालिका 2 संकलित की गई है:

तालिका 2

सेमी में ऊंचाई (वी)	लड़के पी

हम 122 को M o के रूप में लेते हैं, क्योंकि 100 अवलोकनों में से, 33 लोगों की ऊंचाई 122 सेमी थी। हम उपरोक्त के अनुसार सशर्त औसत से सशर्त विचलन (ए) पाते हैं। फिर हम आवृत्तियों (एपी) द्वारा सशर्त विचलन का उत्पाद प्राप्त करते हैं और प्राप्त मूल्यों () को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। परिणाम 17 होगा। अंत में, हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।