परिचय

मुख्य हिस्सा

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत

3. गणितीय प्रेरण की विधि

4. उदाहरणों को हल करना

5. समानताएं

6. संख्याओं का विभाजन

7. असमानताएँ

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

किसी भी गणितीय शोध का आधार निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ हैं। तर्क की निगमनात्मक विधि सामान्य से विशिष्ट की ओर तर्क करना है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों की ओर बढ़ते समय प्रेरण का उपयोग किया जाता है, अर्थात। निगमनात्मक विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे निचले स्तर से शुरू करते हैं, और तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम स्तर पर आ जाते हैं। मनुष्य ने सदैव प्रगति के लिए, अपने विचारों को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे आगमनात्मक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का दायरा बढ़ गया है, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है। खैर, मुझे बताएं कि वे दो या तीन पाठ एक व्यक्ति के लिए उपयोगी होंगे, जिसके दौरान वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनेंगे, पांच आदिम समस्याओं को हल करेंगे, और परिणामस्वरूप, इस तथ्य के लिए ए प्राप्त करेंगे कि वह कुछ भी नहीं जानते हैं।

लेकिन आगमनात्मक ढंग से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द का उपयोग तर्क के लिए किया जाता है जिसकी सहायता से कई विशिष्ट कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। यहां ऐसे तर्क का एक उदाहरण दिया गया है.

यह स्थापित करना आवश्यक है कि प्रत्येक सम प्राकृत संख्या n 4 के भीतर है< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएँ दर्शाती हैं कि जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं उनमें से प्रत्येक को वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शाया गया है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण में प्रत्येक सीमित संख्या में संभावित मामलों में सामान्य कथन को अलग से साबित करना शामिल है।

कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।

हालाँकि, अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम केवल एक परिकल्पना ही रहता है जब तक कि इसे सभी विशेष मामलों को कवर करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं किया जाता है। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण की वैध विधि नहीं माना जाता है, बल्कि यह नई सच्चाइयों की खोज के लिए एक शक्तिशाली विधि है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना चाहते हैं। आइए विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाता है:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी भी दिए गए सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण का गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग है। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, लेकिन हम अनंत मामलों के लिए उनका परीक्षण करने में सक्षम नहीं हैं। अपूर्ण प्रेरण के कारण अक्सर गलत परिणाम सामने आते हैं।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का रास्ता तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है.

मान लीजिए आपको किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, आपको यह साबित करने की आवश्यकता है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए, पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। फिर वे साबित करते हैं कि k के किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता n=k+1 के लिए इसकी वैधता को दर्शाती है।

तब कथन सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगली संख्या n=1+1=2 के लिए भी सत्य है। n=2 के लिए कथन की वैधता n=2+ के लिए इसकी वैधता को दर्शाती है

1=3. इससे n=4, आदि के लिए कथन की वैधता का पता चलता है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी प्राकृत संख्या n तक पहुँच जायेंगे। इसका मतलब यह है कि कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

यदि प्रस्ताव ए(एन), प्राकृतिक संख्या पर निर्भर करता हैएन, के लिए सच हैएन=1 और इस तथ्य से कि यह सत्य हैएन=के(कहाँक-कोई भी प्राकृत संख्या), इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह अगली संख्या के लिए सत्य हैn=k+1, फिर धारणा ए(एन) किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य हैएन.

कई मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है। यदि प्रस्ताव ए(एन) के लिए सच हैएन=पीऔर यदि ए(क) Þ ए(क+1)किसी के लिए भीके>पी,फिर वाक्य A(एन)किसी के लिए भी सच हैएन>पी.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले कथन को n=1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात। कथन A(1) की सत्यता स्थापित हो गई है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रमाण का वह भाग आता है जिसे प्रेरण चरण कहा जाता है। इस भाग में, वे n=k (प्रेरण धारणा) के लिए कथन की वैधता की धारणा के तहत n=k+1 के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं, यानी। साबित करें कि A(k)ÞA(k+1).

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

समाधान: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इस तरह,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए(1) सत्य है.

2) आइए हम साबित करें कि A(k)ÞA(k+1).

मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और कथन n=k के लिए सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

आइए हम साबित करें कि यह कथन अगली प्राकृतिक संख्या n=k+1 के लिए भी सत्य है, अर्थात। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी nÎN के लिए सत्य है।

उदाहरण 2

साबित करें कि

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

समाधान: 1) n=1 के लिए हमें मिलता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सही है; ए(1) सत्य है.

2) मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

आइए हम इसे समानता साबित करें

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

वास्तव में

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

उदाहरण 3

सिद्ध करें कि उत्तल n-गॉन के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 के बराबर है।

समाधान: 1) n=3 के लिए कथन सत्य है

और 3 अर्थपूर्ण है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 A 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए(3) सत्य है।

2) आइए मान लें कि प्रत्येक में

एक उत्तल k-गॉन है-

A 1 x A k =k(k-3)/2 विकर्ण।

और k आइए हम इसे उत्तल में सिद्ध करें

(k+1)-गॉन संख्या

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

मान लीजिए A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 एक उत्तल (k+1)-गोन है। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाएं। इस (k+1)-गोन के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, यानी। शीर्ष A k+1 से निकलने वाले (k+1)-गोन के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस प्रकार,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो, A(k)ÞA(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, कथन किसी भी उत्तल एन-गॉन के लिए सत्य है।

उदाहरण 4

साबित करें कि किसी भी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के =के 2 =के(के+1)(2के+1)/6.

3) n=k+1 के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के+1 =(के+1)(के+2)(2के+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

हमने n=k+1 के लिए समानता को सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

उदाहरण 5

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

समाधान: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=k के लिए सत्य है

गणितीय प्रमाण की सबसे महत्वपूर्ण विधियों में से एक सही है गणितीय प्रेरण की विधि. सभी प्राकृतिक संख्याओं n से संबंधित अधिकांश सूत्र गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं (उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र, न्यूटन का द्विपद सूत्र, आदि)।

इस लेख में, हम पहले बुनियादी अवधारणाओं पर ध्यान देंगे, फिर गणितीय प्रेरण की विधि पर विचार करेंगे और समानता और असमानताओं को साबित करने में इसके अनुप्रयोग के उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

पेज नेविगेशन.

प्रेरण और कटौती.

प्रेरण द्वाराविशेष कथनों से सामान्य कथनों की ओर संक्रमण कहा जाता है। इसके विपरीत सामान्य कथनों से विशिष्ट कथनों की ओर संक्रमण कहलाता है कटौती.

एक विशेष कथन का उदाहरण: 254 बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य है।

इस विशेष कथन से कोई भी अधिक सामान्य कथन तैयार कर सकता है, सत्य और असत्य दोनों। उदाहरण के लिए, अधिक सामान्य कथन कि चार पर समाप्त होने वाले सभी पूर्णांक बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य हैं, सत्य है, लेकिन यह कथन कि सभी तीन अंकों की संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य हैं, गलत है।

इस प्रकार, प्रेरण हमें ज्ञात या स्पष्ट तथ्यों के आधार पर कई सामान्य कथन प्राप्त करने की अनुमति देता है। और गणितीय प्रेरण की विधि प्राप्त कथनों की वैधता निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन की गई है।

उदाहरण के तौर पर, संख्या अनुक्रम पर विचार करें: , n एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है। तब इस क्रम के प्रथम n तत्वों के योग का क्रम इस प्रकार होगा

इस तथ्य के आधार पर, प्रेरण द्वारा यह तर्क दिया जा सकता है कि।

हम इस सूत्र का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि.

गणितीय प्रेरण की विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

यह इस प्रकार है: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक निश्चित कथन सत्य है

1. यह n = 1 और के लिए मान्य है
2. किसी भी मनमानी प्राकृतिक संख्या n = k के लिए कथन की वैधता से, यह निष्कर्ष निकलता है कि यह n = k+1 के लिए मान्य है।

अर्थात्, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए प्रमाण तीन चरणों में किया जाता है:

1. सबसे पहले, कथन की वैधता की जाँच किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए की जाएगी (आमतौर पर जाँच n = 1 के लिए की जाती है);
2. दूसरे, कथन की वैधता किसी भी प्राकृतिक संख्या n=k के लिए मानी जाती है;
3. तीसरा, दूसरे बिंदु की धारणा से शुरू करके, संख्या n=k+1 के लिए कथन की वैधता सिद्ध होती है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके समीकरणों और असमानताओं के प्रमाण के उदाहरण।

आइए पिछले उदाहरण पर वापस लौटें और सूत्र को सिद्ध करें .

सबूत।

गणितीय प्रेरण की विधि में तीन-बिंदु प्रमाण शामिल होता है।

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के सभी तीन चरण पूरे हो गए हैं और सूत्र के बारे में हमारी धारणा सिद्ध हो गई है।

आइए त्रिकोणमिति समस्या को देखें।

उदाहरण।

पहचान साबित करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम n = 1 के लिए समानता की वैधता की जाँच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें बुनियादी त्रिकोणमिति सूत्रों की आवश्यकता होगी।

अर्थात् n = 1 के लिए समानता सत्य है।

दूसरे, मान लीजिए कि समानता n = k के लिए सत्य है, अर्थात पहचान सत्य है

तीसरा, हम समानता साबित करने के लिए आगे बढ़ते हैं दूसरे बिंदु के आधार पर, n = k+1 के लिए।

चूँकि त्रिकोणमिति के सूत्र के अनुसार

वह

तीसरे बिंदु से समानता का प्रमाण पूरा हो गया है, इसलिए मूल पहचान गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध की गई है।

गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके असमानता साबित करने का एक उदाहरण सन्निकटन गुणांक खोजने के लिए सूत्र प्राप्त करते समय न्यूनतम वर्ग की विधि पर अनुभाग में पाया जा सकता है।

ग्रंथ सूची.

• सोमिन्स्की आई.एस., गोलोविना एल.आई., याग्लोम आई.एम. गणितीय प्रेरण के बारे में.

इस पैराग्राफ में प्रमाण की जिस विधि पर चर्चा की जाएगी वह प्राकृतिक श्रृंखला के सिद्धांतों में से एक पर आधारित है।

प्रेरण का अभिगृहीत. मान लीजिए कि एक वाक्य दिया गया है जो एक चर पर निर्भर करता है पी,जिसके स्थान पर आप कोई भी प्राकृत संख्या प्रतिस्थापित कर सकते हैं। आइए इसे निरूपित करें ए(पी).ऑफर भी दीजिए एसंख्या 1 के लिए सच है और इस तथ्य से कि एसंख्या के लिए सच है को, उसका अनुसरण करता है एसंख्या के लिए सच है क+ 1. फिर ऑफर करें एसभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सत्य पी।

स्वयंसिद्ध का प्रतीकात्मक संकेतन:

यहाँ चोटी-प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर चर। प्रेरण के अभिगृहीत से हमें अनुमान का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है:

अतः, वाक्य की सत्यता को सिद्ध करने के लिए ए,आप पहले दो कथनों को सिद्ध कर सकते हैं: कथन की सत्यता ए( 1), साथ ही एक परिणाम भी ए(के) => ए(के+)। 1).

उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, आइए हम सार का वर्णन करें तरीका

गणितीय प्रेरण।

मान लीजिए कि प्रस्ताव को सिद्ध करना आवश्यक है एक)सभी प्राकृतिक लोगों के लिए सच है पी।प्रमाण को दो चरणों में विभाजित किया गया है।

• पहला चरण. प्रेरण आधार.हम मूल्य के रूप में लेते हैं पीसंख्या 1 है और उसे जांचें ए( 1) सत्य कथन है.
• दूसरा चरण. आगमनात्मक संक्रमण.हम इसे किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सिद्ध करते हैं कोनिहितार्थ सत्य है: यदि ए(के), वह ए(के+)। 1).

आगमनात्मक परिवर्तन इन शब्दों से शुरू होता है: “एक मनमाना प्राकृतिक संख्या लें को,ऐसा है कि ए(के)",या “एक प्राकृतिक संख्या के लिए चलो कोसही ए(के)।”"चलो" शब्द के स्थान पर वे अक्सर "मान लीजिए कि..." कहते हैं।

इन शब्दों के बाद पत्र कोएक निश्चित निश्चित वस्तु को दर्शाता है जिसके लिए संबंध कायम है ए(के).आगे से ए(के)हम परिणाम निकालते हैं, यानी हम वाक्यों की एक श्रृंखला बनाते हैं ए(के) 9 आर, पाई, ..., पी„ = ए(के+ 1), जहां प्रत्येक वाक्य आर,एक सच्चा कथन है या पिछले वाक्यों का परिणाम है। अंतिम वाक्य आर"मेल खाना चाहिए ए(के+)। 1). इससे हम निष्कर्ष निकालते हैं: से ए(के)चाहिए ए(के+)।).

आगमनात्मक परिवर्तन को निष्पादित करने को दो क्रियाओं में विभाजित किया जा सकता है:

• 1) आगमनात्मक धारणा. यहां हम ऐसा मानते हैं ए कोचर एन।
• 2) धारणा के आधार पर हम इसे सिद्ध करते हैं एसंख्या के लिए सत्य?+1.

उदाहरण 5.5.1.आइए हम सिद्ध करें कि संख्या पी+पीसभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सम है पी।

यहाँ एक) = "पी 2 +पी- सम संख्या"। इसे साबित करना जरूरी है ए -समान रूप से सत्य विधेय। आइए गणितीय प्रेरण की विधि लागू करें।

प्रेरण आधार.आइए l=1 लें। आइए अभिव्यक्ति में स्थानापन्न करें पी+//, हमें मिलता है एन 2 +एन= I 2 + 1 = 2 एक सम संख्या है, अर्थात /1(1) एक सत्य कथन है।

आइए सूत्रबद्ध करें आगमनात्मक परिकल्पना ए(के)= "संख्या क 2 +क -यहां तक ​​की।" आप यह कह सकते हैं: “एक मनमाना प्राकृतिक संख्या लें कोऐसा है कि क 2 +कएक सम संख्या है।"

आइए यहां से कथन प्राप्त करें ए(केए-)= "संख्या (के+ 1)2 +(?+1) - सम।”

आइए संचालन के गुणों के आधार पर परिवर्तन करें:

परिणामी योग का पहला पद अनुमान के अनुसार सम है, दूसरा परिभाषा के अनुसार सम है (क्योंकि इसका रूप 2 है पी)।इसका मतलब है कि योग एक सम संख्या है. प्रस्ताव ए(के+)। 1) सिद्ध.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: प्रस्ताव एक)सभी प्राकृतिक लोगों के लिए सच है पी।

बेशक, हर बार नोटेशन दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है ए(पी).हालाँकि, अभी भी आगमनात्मक धारणा तैयार करने की सिफारिश की गई है और एक अलग पंक्ति में इससे क्या निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए।

ध्यान दें कि उदाहरण 5.5.1 के कथन को गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग किए बिना सिद्ध किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दो मामलों पर विचार करना पर्याप्त है: कब पीसम और कब पीविषम।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके कई विभाज्यता समस्याओं को हल किया जाता है। आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.5.2.आइए सिद्ध करें कि संख्या 15 2i_| सभी प्राकृतिक लोगों के लिए +1 8 से विभाज्य है पी।

बाचा प्रेरण.आइए /1=1 लें। हमारे पास है: संख्या 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 को संख्या 8 से विभाजित किया गया।

वह कुछ के लिए

प्राकृतिक संख्या कोसंख्या 15 2 * '+1 8 से विभाज्य है।

आइए साबित करें, तो फिर संख्या क्या है ए= 15 2(वीएन +1, 8 को विभाजित करता है।

चलो संख्या परिवर्तित करें ए:

धारणा के अनुसार, संख्या 15 2A1 +1 8 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि पूरा पहला पद 8 से विभाज्य है। दूसरा पद 224 = 8-28 भी 8 से विभाज्य है। इस प्रकार, संख्या ए 8 के गुणज दो संख्याओं के अंतर को 8 से कैसे विभाजित किया जाता है। आगमनात्मक संक्रमण उचित है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी प्राकृतिक के लिए पीसंख्या 15 2 "-1 -*-1, 8 से विभाज्य है।

आइए हल की गई समस्या पर कुछ टिप्पणियाँ करें।

सिद्ध कथन को थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: "संख्या 15"+1 किसी भी विषम प्राकृतिक / और के लिए 8 से विभाज्य है।

दूसरे, सिद्ध सामान्य कथन से कोई एक विशेष निष्कर्ष निकाल सकता है, जिसका प्रमाण एक अलग समस्या के रूप में दिया जा सकता है: संख्या 15 2015 +1 8 से विभाज्य है। इसलिए, कभी-कभी कुछ को निरूपित करके समस्या को सामान्य बनाना उपयोगी होता है एक अक्षर के साथ विशिष्ट मान, और फिर गणितीय प्रेरण विधि लागू करें।

अपने सबसे सामान्य अर्थ में, "प्रेरण" शब्द का अर्थ है कि सामान्य निष्कर्ष विशेष उदाहरणों के आधार पर निकाले जाते हैं। उदाहरण के लिए, सम संख्याओं 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 के योग के कुछ उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किन्हीं दो का योग सम संख्या सम संख्या होती है.

सामान्य तौर पर, इस तरह के प्रेरण से गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं। आइये ऐसे ग़लत तर्क का एक उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 5.5.3. संख्या पर विचार करें ए= /g+i+41 प्राकृतिक के लिए /?.

आइए मूल्यों का पता लगाएं एकुछ मूल्यों के लिए पी।

होने देना एन=मैं फिर ए = 43 एक अभाज्य संख्या है.

चलो /7=2. तब ए= 4+2+41 = 47 - अभाज्य।

माना l=3. तब ए= 9+3+41 = 53 - अभाज्य।

चलो /7=4. तब ए= 16+4+41 = 61 - अभाज्य।

मूल्यों के रूप में लें पीचार के बाद आने वाली संख्याएँ, जैसे 5, 6, 7, और सुनिश्चित करें कि संख्या एसरल होगा.

हम निष्कर्ष निकालते हैं: “सभी प्राकृतिक के लिए/? संख्या एसरल होगा।"

परिणाम एक गलत बयान था. आइए एक प्रतिउदाहरण दें: /7=41. इसके लिए यह सुनिश्चित करें पीसंख्या एसमग्र होगा.

शब्द "गणितीय प्रेरण" का एक संकीर्ण अर्थ है, क्योंकि इस पद्धति का उपयोग हमेशा एक सही निष्कर्ष प्राप्त करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.4. आगमनात्मक तर्क के आधार पर, हम अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। आइए याद रखें कि एक अंकगणितीय पेशा एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, जिसे प्रगति अंतर कहा जाता है। किसी अंकगणितीय पेशे को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसके पहले सदस्य को इंगित करना होगा एऔर अंतर डी।

तो, परिभाषा के अनुसार एक एन+ = ए एन + डी,पर n> 1.

एक स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, एक नियम के रूप में, अंकगणित पेशे के सामान्य शब्द का सूत्र विशेष उदाहरणों के आधार पर, यानी प्रेरण द्वारा स्थापित किया जाता है।

यदि /7=1, तो साथ 7| = मैं|, वह है मैं| = tf|+df(l -1).

यदि /7=2, तो मैं 2 हूं = ए+डी,वह है ए= मैं|+*/(2-1).

यदि /7=3, तो i 3 = i 2 + = (ए+डी)+डी = ए+2डी,अर्थात I 3 = I|+(3-1).

यदि /7=4, तो i 4 = i 3 +*/ = ( ए+2डी)+डी= R1+3, आदि।

दिए गए विशेष उदाहरण हमें एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति देते हैं: सामान्य शब्द के सूत्र का रूप होता है ए" = a+(n-)dसभी के लिए /7>1.

आइए इस सूत्र को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करें।

प्रेरण आधारपिछली चर्चाओं में सत्यापित।

होने देना को -ऐसी संख्या जिस पर मैं* - a+(k-)d (आगमनात्मक धारणा).

आइए साबित करें, कि मैं*+! = a+((k+)-)d,यानी, I*+1 = ए एक्स +केडी.

परिभाषा के अनुसार I*+1 = एबी+डी. एक को= मैं | +(के-1 )डी, मतलब, एसी+= i i +(A:-1)^/+c/ = i | +(ए-1+1 )डी= मैं +के.डी, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी (आगमनात्मक संक्रमण को उचित ठहराने के लिए)।

अब सूत्र i„= a+(n-)dकिसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सिद्ध/;।

आइए कुछ अनुक्रम i ь i 2, i,„... (नहीं

आवश्यक रूप से एक अंकगणितीय या ज्यामितीय प्रगति)। समस्याएँ अक्सर वहाँ उत्पन्न होती हैं जहाँ पहले संक्षेपण करना आवश्यक होता है पीइस अनुक्रम की शर्तें, यानी, योग I|+I 2 +...+I और एक सूत्र निर्दिष्ट करें जो आपको अनुक्रम की शर्तों की गणना किए बिना इस योग के मूल्यों को खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.5. आइए हम सिद्ध करें कि पहले का योग पीप्राकृत संख्याएँ बराबर होती हैं

/?(/7 + 1)

आइए योग को 1+2+...+/7 से निरूपित करें एस एन .आइए मूल्यों का पता लगाएं एस एनकुछ के लिए /7.

ध्यान दें: S 4 का योग ज्ञात करने के लिए, आप पहले परिकलित मान 5 3 का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि 5 4 = 5 3 +4।

पी(पी +1)

यदि हम विचारित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं /? अवधि में --- फिर

हमें क्रमशः समान योग 1, 3, 6, 10 प्राप्त होते हैं। ये अवलोकन

. _ पी(पी + 1)

सुझाव दें कि सूत्र एस„=--- का उपयोग कब किया जा सकता है

कोई //। आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इस परिकल्पना को सिद्ध करें।

प्रेरण आधारसत्यापित। चलो यह करते हैं आगमनात्मक संक्रमण.

कल्पना करनायह सूत्र कुछ प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है

, के(के + 1)

k, तो नेटवर्क पहले का योग है कोप्राकृत संख्याएँ ---- के बराबर होती हैं।

आइए साबित करेंकि प्रथम (?+1) प्राकृत संख्याओं का योग बराबर होता है

• (* + !)(* + 2)

आइए व्यक्त करें?*+1 के माध्यम से एस के.ऐसा करने के लिए, योग S*+i में हम पहले समूह बनाते हैं कोपद, और अंतिम पद अलग से लिखें:

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा एस के =तो खोजने के लिए

पहली (?+1) प्राकृत संख्याओं का योग पहले से गणना की गई संख्याओं के लिए पर्याप्त है

. „ के(के + 1) _ .. ..

पहले का योग को--- के बराबर संख्याएँ, एक पद (k+1) जोड़ें।

आगमनात्मक संक्रमण उचित है. इस प्रकार, आरंभ में रखी गई परिकल्पना सिद्ध हो जाती है।

हमने सूत्र का प्रमाण दिया है एस एन = n^n+ विधि

गणितीय प्रेरण। बेशक, अन्य सबूत भी हैं। उदाहरण के लिए, आप राशि लिख सकते हैं एस,पदों के आरोही क्रम में, और फिर पदों के अवरोही क्रम में:

एक कॉलम में पदों का योग स्थिर होता है (एक योग में, प्रत्येक अगला पद 1 से घटता है, और दूसरे में 1 बढ़ता है) और (/r + 1) के बराबर होता है। इसलिए, परिणामी रकम को जोड़ने पर, हमारे पास होगा पी(u+1) के बराबर पद। इसलिए रकम दोगुनी कर दीजिए एस"के बराबर एन(एन+ 1).

सिद्ध सूत्र को पहले के योग के सूत्र के विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है पीअंकगणितीय प्रगति की शर्तें.

आइए गणितीय प्रेरण की विधि पर वापस लौटें। ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण (प्रेरण का आधार) की विधि का पहला चरण हमेशा आवश्यक होता है। इस चरण को चूकने से गलत निष्कर्ष निकल सकता है।

उदाहरण 5.5.6. आइए हम वाक्य को "साबित" करें: "संख्या 7"+1 किसी भी प्राकृतिक संख्या i के लिए 3 से विभाज्य है।"

“मान लीजिए कि कुछ प्राकृतिक मूल्य के लिए कोसंख्या 7*+1, 3 से विभाज्य है। आइए हम सिद्ध करें कि संख्या 7 x +1, 3 से विभाज्य है। परिवर्तन करें:

संख्या 6 स्पष्टतः 3 से विभाज्य है 1 से +आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 7-(7* + 1) भी 3 से विभाज्य है। इसलिए, 3 से विभाज्य संख्याओं का अंतर भी 3 से विभाज्य होगा।

प्रस्ताव सिद्ध हो गया है।”

मूल प्रस्ताव का प्रमाण गलत है, भले ही आगमनात्मक छलांग सही ढंग से की गई हो। दरअसल, जब एन=मेरे पास संख्या 8 है, साथ में एन=2 -संख्या 50 है, ..., और इनमें से कोई भी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।

आइए आगमनात्मक परिवर्तन करते समय एक प्राकृतिक संख्या के अंकन के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट बनाएं। प्रस्ताव तैयार करते समय एक)पत्र पीहमने एक चर दर्शाया है, जिसके स्थान पर किसी भी प्राकृतिक संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आगमनात्मक परिकल्पना तैयार करते समय, हमने चर के मान को अक्षर द्वारा निरूपित किया को।हालाँकि, अक्सर एक नए पत्र के बजाय कोवेरिएबल के समान अक्षर का उपयोग करें। आगमनात्मक परिवर्तन करते समय यह किसी भी तरह से तर्क की संरचना को प्रभावित नहीं करता है।

आइए समस्याओं के कुछ और उदाहरण देखें जिन्हें गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

उदाहरण 5.5.7. आइए योग का मूल्य ज्ञात करें

कार्य में परिवर्तनशील पीप्रकट नहीं होता है। हालाँकि, शब्दों के अनुक्रम पर विचार करें:

चलो निरूपित करें एस, = ए+ए 2 +...+ए„.हम ढूंढ लेंगे एस" कुछ के लिए पी।यदि /1=1, तो एस, =ए, =-.

अगर एन= 2. फिर S, = ए, + ए? = - + - = - = -.

यदि /?=3, तो एस-, = ए,+ए 7+ मैं, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

आप मूल्यों की गणना स्वयं कर सकते हैं एस"/7 = 4 पर; 5. उठता है

प्राकृतिक धारणा: एस एन= -- किसी भी प्राकृतिक के लिए /7. आइए साबित करें

यह गणितीय प्रेरण की विधि है.

प्रेरण आधारऊपर जाँच की गई।

चलो यह करते हैं आगमनात्मक जंक्शन, मनमाने ढंग से लिए गए को दर्शाता है

परिवर्तनीय मान पीउसी अक्षर से अर्थात् समानता से सिद्ध करेंगे

0 /7 _ /7 +1

एस एन=-समानता का पालन होता है एस, =-.

/7+1 /7 + 2

कल्पना करनावह समानता सत्य है एस= - पी -.

आइए इसे संक्षेप में बताएं एस„+पहला पीशर्तें:

आगमनात्मक परिकल्पना को लागू करने पर, हम पाते हैं:

भिन्न को (/7+1) से कम करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है एसएन +1 - , एल

आगमनात्मक संक्रमण उचित है.

इससे प्रथम का योग सिद्ध होता है पीशर्तें

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...+- - के बराबर है। अब आइए मूल पर वापस जाएं
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

काम। इसे हल करने के लिए, इसे मान के रूप में लेना पर्याप्त है पीसंख्या 99.

तब योग -!- + -!- + -!- + ...+ --- संख्या 0.99 के बराबर होगा।

1-2 2-3 3-4 99100

इस राशि की गणना दूसरे तरीके से करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5.5.8. आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी परिमित संख्या में अवकलनीय फलनों के योग का व्युत्पन्न इन फलनों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है।

चलो चर /? इन कार्यों की संख्या को दर्शाता है। ऐसे मामले में जहां केवल एक फ़ंक्शन दिया गया है, योग को ठीक इसी फ़ंक्शन के बराबर समझा जाता है। इसलिए, यदि /7=1, तो कथन स्पष्ट रूप से सत्य है: /"= /"।

कल्पना करना, यह कथन एक सेट के लिए सत्य है पीफ़ंक्शंस (यहां फिर से अक्षर के बजाय कोपत्र लिया गया पी),अर्थात्, योग का व्युत्पन्न पीफ़ंक्शन डेरिवेटिव के योग के बराबर है।

आइए साबित करेंकि कार्यों के योग (i+1) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है। आइए हम एक मनमाना सेट लें जिसमें शामिल है एन+अवकलनीय फलन: /1,/2, . आइए इन कार्यों के योग की कल्पना करें

जैसा जी+एफ„+ 1, कहाँ जी=एफ +/जी + ... +/ टी -जोड़ पीकार्य. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न जीडेरिवेटिव के योग के बराबर: जी" = फीट + फीट + ... +फुट.इसलिए, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला कायम है:

आगमनात्मक संक्रमण पूरा हो गया है.

इस प्रकार, मूल प्रस्ताव किसी भी सीमित संख्या में कार्यों के लिए सिद्ध होता है।

कुछ मामलों में किसी वाक्य की सत्यता साबित करना आवश्यक होता है एक)सभी प्राकृतिक स्वयं के लिए, कुछ मूल्य से शुरू करके साथ।ऐसे मामलों में गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है।

प्रेरण आधार.हम प्रस्ताव को सिद्ध करते हैं एमूल्य के लिए सच है पी,बराबर साथ।

आगमनात्मक संक्रमण. 1) हम मानते हैं कि प्रस्ताव एकुछ मूल्य के लिए सच है कोवेरिएबल /?, जो इससे बड़ा या इसके बराबर है साथ।

2) हम प्रस्ताव को सिद्ध करते हैं ए/ के लिए सत्य है?

पुनः ध्यान दें कि पत्र के स्थान पर कोपरिवर्तनशील पदनाम प्रायः छोड़ दिया जाता है पी।इस मामले में, आगमनात्मक संक्रमण इन शब्दों से शुरू होता है: “मान लीजिए कि कुछ मूल्य के लिए पी>एससही ए(पी).आइए हम साबित करें कि यह सच है ए(एन+ 1)"।

उदाहरण 5.5.9. आइए हम इसे पूरी तरह से प्राकृतिक साबित करें n> 5 असमानता 2” > और 2 सत्य है।

प्रेरण आधार.होने देना एन= 5. फिर 2 5 =32, 5 2 =25. असमानता 32>25 सत्य है।

आगमनात्मक संक्रमण. कल्पना करनावह असमानता 2 कायम है पी >पी 2किसी प्राकृतिक संख्या के लिए n> 5. आइए साबित करें, जो तब 2" +| > (n+1) 2 .

डिग्री 2"+| के गुणों के अनुसार = 2-2"। चूँकि 2">I 2 (आगमनात्मक धारणा द्वारा), तो 2-2">2I 2 (I)।

आइए हम सिद्ध करें कि 2 एन 2(i+1) 2 से बड़ा। यह विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है. यह द्विघात असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त है 2x 2 >(x+) 2वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में देखें और देखें कि 5 से बड़ी या उसके बराबर की सभी प्राकृतिक संख्याएँ इसके समाधान हैं।

हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे. आइए संख्या 2 का अंतर ज्ञात करें एन 2और (i+1) 2:

तब से > 5, फिर i+1 > 6, जिसका अर्थ है (i+1) 2 > 36। इसलिए, अंतर 0 से अधिक है। इसलिए, 2i 2 > (i+1) 2 (2)।

(I) और (2) से असमानताओं के गुणों के अनुसार, यह 2*2" > (i+1) 2 का अनुसरण करता है, जिसे आगमनात्मक संक्रमण को उचित ठहराने के लिए सिद्ध किया जाना आवश्यक था।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता 2" > i 2 किसी भी प्राकृत संख्या i के लिए सत्य है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि के दूसरे रूप पर विचार करें। अंतर आगमनात्मक संक्रमण में है। इसे लागू करने के लिए, आपको दो चरण पूरे करने होंगे:

• 1) मान लीजिये कि प्रस्ताव एक)वेरिएबल i के सभी मानों के लिए सत्य एक निश्चित संख्या से कम है आर;
• 2) आगे रखी गई धारणा से, यह निष्कर्ष निकालें कि प्रस्ताव एक)संख्याओं के लिए भी सत्य है आर।

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण के लिए परिणाम के प्रमाण की आवश्यकता होती है: [(उइ?) ए(पी)] => ए(पी).ध्यान दें कि परिणाम को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: [(ऊपर^पी) ए(पी)] => ए(पी+ 1).

किसी प्रस्ताव को सिद्ध करते समय गणितीय प्रेरण की विधि के मूल सूत्रीकरण में ए(पी)हमने केवल "पिछले" वाक्य पर भरोसा किया ए(पी- 1). यहां दी गई विधि का निरूपण हमें निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है ए(पी),सभी प्रस्तावों पर विचार कर रहे हैं ए(पी),मैं कहां कम हूं आर, सच हैं।

उदाहरण 5.5.10. आइए हम प्रमेय को सिद्ध करें: "किसी भी आई-गॉन के आंतरिक कोणों का योग 180°(i-2) के बराबर होता है।"

उत्तल बहुभुज के लिए, प्रमेय को सिद्ध करना आसान है यदि आप इसे एक शीर्ष से खींचे गए विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। हालाँकि, गैर-उत्तल बहुभुज के लिए ऐसी प्रक्रिया संभव नहीं हो सकती है।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके एक मनमाना बहुभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करें। आइए मान लें कि निम्नलिखित कथन ज्ञात है, जिसके लिए, कड़ाई से बोलते हुए, एक अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है: "किसी भी //-गॉन में एक विकर्ण होता है जो पूरी तरह से उसके आंतरिक भाग में स्थित होता है।"

चर // के स्थान पर आप किसी भी प्राकृतिक संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं जो 3 से अधिक या उसके बराबर है एन=बीप्रमेय सत्य है क्योंकि एक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।

आइए कुछ /7-गॉन लें (पी> 4) और मान लें कि किसी //-गोन के कोणों का योग, जहां // p, 180°(//-2) के बराबर है। आइए हम सिद्ध करें कि //-गॉन के कोणों का योग 180°(//-2) के बराबर है।

आइए इसके अंदर स्थित //-गॉन का विकर्ण बनाएं। यह //-गॉन को दो बहुभुजों में विभाजित कर देगा। उनमें से एक को लेने दो कोपक्ष, अन्य - से 2दोनों पक्ष तब क+क 2 -2 = पी,चूँकि परिणामी बहुभुजों में एक उभयनिष्ठ पक्ष खींचा गया विकर्ण होता है, जो मूल //-गॉन का पक्ष नहीं है।

दोनों नंबर कोऔर से 2कम //। आइए हम परिणामी बहुभुजों पर आगमनात्मक धारणा लागू करें: A]-गोन के कोणों का योग 180°-(?i-2) के बराबर है, और कोणों का योग? 2-गोन 180°-(Ar 2 -2) के बराबर है। तब //-गॉन के कोणों का योग इन संख्याओं के योग के बराबर होगा:

180°*(Ar|-2)-n 180°(Ar2-2) = 180 o (Ar,-bAr 2 -2-2) = 180°-(//-2).

आगमनात्मक संक्रमण उचित है. गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, प्रमेय किसी भी //-गोन (//>3) के लिए सिद्ध होता है।

हर समय सच्चा ज्ञान एक पैटर्न स्थापित करने और कुछ परिस्थितियों में अपनी सत्यता साबित करने पर आधारित रहा है। तार्किक तर्क के अस्तित्व की इतनी लंबी अवधि में, नियमों का सूत्रीकरण दिया गया और अरस्तू ने "सही तर्क" की एक सूची भी संकलित की। ऐतिहासिक रूप से, सभी अनुमानों को दो प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा रही है - ठोस से एकाधिक (प्रेरण) और इसके विपरीत (कटौती)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशेष से सामान्य और सामान्य से विशेष तक के साक्ष्य केवल संयोजन में मौजूद होते हैं और इन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है।

गणित में प्रेरण

शब्द "इंडक्शन" का मूल लैटिन है और इसका शाब्दिक अनुवाद "मार्गदर्शन" है। करीब से अध्ययन करने पर, कोई शब्द की संरचना को उजागर कर सकता है, अर्थात् लैटिन उपसर्ग - इन- (अंदर की ओर निर्देशित कार्रवाई या अंदर होने का संकेत देता है) और -डक्शन - परिचय। यह ध्यान देने योग्य है कि दो प्रकार हैं - पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण। पूर्ण रूप एक निश्चित वर्ग की सभी वस्तुओं के अध्ययन से निकाले गए निष्कर्षों की विशेषता है।

अपूर्ण - निष्कर्ष जो कक्षा के सभी विषयों पर लागू होते हैं, लेकिन केवल कुछ इकाइयों के अध्ययन के आधार पर निकाले जाते हैं।

पूर्ण गणितीय प्रेरण किसी भी वस्तु के पूरे वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष पर आधारित एक अनुमान है जो इस कार्यात्मक कनेक्शन के ज्ञान के आधार पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के संबंधों से कार्यात्मक रूप से जुड़ा हुआ है। इस मामले में, प्रमाण प्रक्रिया तीन चरणों में होती है:

• पहला गणितीय प्रेरण की स्थिति की शुद्धता साबित करता है। उदाहरण: एफ = 1, प्रेरण;
• अगला चरण इस धारणा पर आधारित है कि स्थिति सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान्य है। अर्थात्, f=h एक आगमनात्मक परिकल्पना है;
• तीसरे चरण में, संख्या f=h+1 के लिए स्थिति की वैधता पिछले बिंदु की स्थिति की शुद्धता के आधार पर सिद्ध होती है - यह एक प्रेरण संक्रमण है, या गणितीय प्रेरण का एक चरण है। एक उदाहरण तथाकथित है यदि पंक्ति में पहला पत्थर गिरता है (आधार), तो पंक्ति के सभी पत्थर गिरते हैं (संक्रमण)।

मजाक में भी और गंभीरता से भी

समझने में आसानी के लिए, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके समाधान के उदाहरण चुटकुले समस्याओं के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यह "विनम्र कतार" कार्य है:

• आचरण के नियम पुरुष को महिला के सामने टर्न लेने से रोकते हैं (ऐसी स्थिति में उसे आगे जाने की अनुमति होती है)। इस कथन के आधार पर, यदि पंक्ति में अंतिम व्यक्ति एक आदमी है, तो बाकी सभी लोग एक आदमी हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि का एक उल्लेखनीय उदाहरण "आयाम रहित उड़ान" समस्या है:

• यह साबित करना आवश्यक है कि मिनीबस में कितने भी लोग बैठ सकते हैं। यह सच है कि एक व्यक्ति बिना किसी कठिनाई (आधार) के वाहन के अंदर फिट हो सकता है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मिनीबस कितनी भरी हुई है, 1 यात्री हमेशा उसमें फिट होगा (इंडक्शन स्टेप)।

परिचित मंडलियां

गणितीय प्रेरण द्वारा समस्याओं और समीकरणों को हल करने के उदाहरण काफी सामान्य हैं। इस दृष्टिकोण के उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

स्थिति: समतल पर h वृत्त हैं। यह साबित करना आवश्यक है कि, आकृतियों की किसी भी व्यवस्था के लिए, उनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान: जब h=1 कथन की सत्यता स्पष्ट है, तो प्रमाण वृत्तों की संख्या h+1 के लिए बनाया जाएगा।

आइए हम इस धारणा को स्वीकार करें कि कथन किसी भी मानचित्र के लिए मान्य है, और समतल पर h+1 वृत्त हैं। कुल में से किसी एक वृत्त को हटाकर, आप दो रंगों (काले और सफेद) के साथ सही ढंग से रंगा हुआ नक्शा प्राप्त कर सकते हैं।

हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते समय, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत में बदल जाता है (इस मामले में, सर्कल के अंदर)। परिणाम दो रंगों में सही ढंग से रंगा हुआ एक नक्शा है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग नीचे स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

समाधान के उदाहरण:

साबित करें कि किसी भी h के लिए निम्नलिखित समानता सही है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. मान लीजिए h=1, जिसका अर्थ है:

आर 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

इससे यह पता चलता है कि h=1 के लिए कथन सही है।

2. यह मानते हुए कि h=d, समीकरण प्राप्त होता है:

आर 1 =डी 2 =डी(डी+1)(2डी+1)/6=1

3. यह मानते हुए कि h=d+1, यह पता चलता है:

आर डी+1 =(डी+1) (डी+2) (2डी+3)/6

आर डी+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+डी 2 +(डी+1) 2 = डी(डी+1)(2डी+1)/6+ (डी+1) 2 =(डी( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

इस प्रकार, h=d+1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध हो गई है, इसलिए कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है, जैसा कि गणितीय प्रेरण द्वारा उदाहरण समाधान में दिखाया गया है।

काम

स्थिति: प्रमाण की आवश्यकता है कि h के किसी भी मान के लिए अभिव्यक्ति 7 h -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

समाधान:

1. मान लें कि इस मामले में h=1:

आर 1 =7 1 -1=6 (अर्थात शेषफल के बिना 6 से विभाजित)

इसलिए, h=1 के लिए कथन सत्य है;

2. मान लीजिए h=d और 7 d -1 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है;

3. h=d+1 के कथन की वैधता का प्रमाण सूत्र है:

आर डी +1 =7 डी +1 -1=7∙7 डी -7+6=7(7 डी -1)+6

इस मामले में, पहला पद पहले बिंदु की धारणा के अनुसार 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 के बराबर है। यह कथन कि 7 h -1 किसी भी प्राकृतिक h के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है, सत्य है।

निर्णय की त्रुटि

प्रयुक्त तार्किक निर्माणों की अशुद्धि के कारण अक्सर प्रमाणों में गलत तर्क का उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से तब होता है जब प्रमाण की संरचना और तर्क का उल्लंघन किया जाता है। गलत तर्क का एक उदाहरण निम्नलिखित उदाहरण है।

काम

स्थिति: इस बात का प्रमाण चाहिए कि पत्थरों का कोई भी ढेर ढेर नहीं है।

समाधान:

1. मान लीजिए h=1, इस मामले में ढेर में 1 पत्थर है और कथन सत्य है (आधार);

2. इसे h=d के लिए सत्य होने दें कि पत्थरों का ढेर ढेर (धारणा) नहीं है;

3. मान लीजिए h=d+1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक और पत्थर जोड़ने पर, सेट ढेर नहीं होगा। निष्कर्ष से ही पता चलता है कि यह धारणा सभी प्राकृतिक एच के लिए मान्य है।

गलती यह है कि ढेर में कितने पत्थर बनते हैं, इसकी कोई परिभाषा नहीं है। गणितीय प्रेरण की विधि में ऐसी चूक को जल्दबाजी में किया गया सामान्यीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण से यह स्पष्ट पता चलता है।

प्रेरण और तर्क के नियम

ऐतिहासिक रूप से, वे हमेशा "हाथ में हाथ डालकर चलते हैं।" तर्क और दर्शन जैसे वैज्ञानिक अनुशासन इनका विरोध के रूप में वर्णन करते हैं।

तर्क के नियम के दृष्टिकोण से, आगमनात्मक परिभाषाएँ तथ्यों पर निर्भर करती हैं, और परिसर की सत्यता परिणामी कथन की शुद्धता को निर्धारित नहीं करती है। अक्सर निष्कर्ष कुछ हद तक संभाव्यता और संभाव्यता के साथ प्राप्त किए जाते हैं, जिन्हें स्वाभाविक रूप से अतिरिक्त शोध द्वारा सत्यापित और पुष्टि की जानी चाहिए। तर्क में प्रेरण का एक उदाहरण निम्नलिखित कथन होगा:

एस्टोनिया में सूखा है, लातविया में सूखा है, लिथुआनिया में सूखा है।

एस्टोनिया, लातविया और लिथुआनिया बाल्टिक राज्य हैं। सभी बाल्टिक राज्यों में सूखा है.

उदाहरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रेरण विधि का उपयोग करके नई जानकारी या सत्य प्राप्त नहीं किया जा सकता है। केवल निष्कर्षों की कुछ संभावित सत्यता पर भरोसा किया जा सकता है। इसके अलावा, परिसर की सच्चाई समान निष्कर्ष की गारंटी नहीं देती है। हालाँकि, इस तथ्य का मतलब यह नहीं है कि प्रेरण कटौती के हाशिये पर है: प्रेरण विधि का उपयोग करके बड़ी संख्या में प्रावधानों और वैज्ञानिक कानूनों की पुष्टि की जाती है। एक उदाहरण वही गणित, जीवविज्ञान और अन्य विज्ञान है। यह अधिकतर पूर्ण प्रेरण की विधि के कारण होता है, लेकिन कुछ मामलों में आंशिक प्रेरण भी लागू होता है।

प्रेरण की आदरणीय उम्र ने इसे मानव गतिविधि के लगभग सभी क्षेत्रों में प्रवेश करने की अनुमति दी है - यह विज्ञान, अर्थशास्त्र और रोजमर्रा के निष्कर्ष हैं।

वैज्ञानिक समुदाय में प्रेरण

प्रेरण विधि के लिए एक ईमानदार रवैये की आवश्यकता होती है, क्योंकि बहुत कुछ अध्ययन किए गए पूरे हिस्से के हिस्सों की संख्या पर निर्भर करता है: अध्ययन की गई संख्या जितनी अधिक होगी, परिणाम उतना ही अधिक विश्वसनीय होगा। इस विशेषता के आधार पर, सभी संभावित संरचनात्मक तत्वों, कनेक्शनों और प्रभावों को अलग करने और उनका अध्ययन करने के लिए प्रेरण द्वारा प्राप्त वैज्ञानिक कानूनों को संभाव्य मान्यताओं के स्तर पर लंबे समय तक परीक्षण किया जाता है।

विज्ञान में, यादृच्छिक प्रावधानों के अपवाद के साथ, एक आगमनात्मक निष्कर्ष महत्वपूर्ण विशेषताओं पर आधारित होता है। यह तथ्य वैज्ञानिक ज्ञान की बारीकियों के संबंध में महत्वपूर्ण है। यह विज्ञान में प्रेरण के उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

वैज्ञानिक जगत में दो प्रकार के प्रेरण हैं (अध्ययन की विधि के संबंध में):

1. प्रेरण-चयन (या चयन);
2. प्रेरण - बहिष्करण (उन्मूलन)।

पहले प्रकार को उसके विभिन्न क्षेत्रों से एक वर्ग (उपवर्ग) के नमूनों के व्यवस्थित (ईमानदारी से) चयन द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है।

इस प्रकार के प्रेरण का एक उदाहरण निम्नलिखित है: चांदी (या चांदी के लवण) पानी को शुद्ध करता है। निष्कर्ष कई वर्षों की टिप्पणियों (पुष्टि और खंडन का एक प्रकार का चयन - चयन) पर आधारित है।

दूसरे प्रकार का प्रेरण उन निष्कर्षों पर आधारित है जो कारण संबंध स्थापित करते हैं और उन परिस्थितियों को बाहर करते हैं जो इसके गुणों के अनुरूप नहीं हैं, अर्थात् सार्वभौमिकता, अस्थायी अनुक्रम का पालन, आवश्यकता और अस्पष्टता।

दर्शन की स्थिति से प्रेरण और कटौती

ऐतिहासिक दृष्टि से देखें तो इंडक्शन शब्द का उल्लेख सबसे पहले सुकरात ने किया था। अरस्तू ने अधिक अनुमानित शब्दावली शब्दकोश में दर्शनशास्त्र में प्रेरण के उदाहरणों का वर्णन किया है, लेकिन अपूर्ण प्रेरण का प्रश्न खुला रहता है। अरिस्टोटेलियन सिलोगिज़्म के उत्पीड़न के बाद, आगमनात्मक विधि को फलदायी और प्राकृतिक विज्ञान में एकमात्र संभव माना जाने लगा। बेकन को एक स्वतंत्र विशेष विधि के रूप में प्रेरण का जनक माना जाता है, लेकिन वह निगमनात्मक विधि से प्रेरण को अलग करने में विफल रहे, जैसा कि उनके समकालीनों ने मांग की थी।

प्रेरण को आगे जे. मिल द्वारा विकसित किया गया, जिन्होंने आगमनात्मक सिद्धांत को चार मुख्य तरीकों के परिप्रेक्ष्य से माना: समझौता, अंतर, अवशेष और संबंधित परिवर्तन। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आज सूचीबद्ध विधियाँ, जब विस्तार से जांच की जाती हैं, तो कटौतीत्मक होती हैं।

बेकन और मिल के सिद्धांतों की असंगति के एहसास ने वैज्ञानिकों को प्रेरण के संभाव्य आधार का अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, यहाँ भी कुछ चरम सीमाएँ थीं: सभी आगामी परिणामों के साथ संभाव्यता के सिद्धांत को कम करने का प्रयास किया गया था।

प्रेरण को कुछ विषय क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग के माध्यम से विश्वास मत प्राप्त होता है और आगमनात्मक आधार की मीट्रिक सटीकता के लिए धन्यवाद। दर्शनशास्त्र में प्रेरण और निगमन का एक उदाहरण सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम माना जा सकता है। नियम की खोज की तिथि पर, न्यूटन इसे 4 प्रतिशत की सटीकता के साथ सत्यापित करने में सक्षम थे। और जब दो सौ से अधिक वर्षों के बाद जाँच की गई, तो 0.0001 प्रतिशत की सटीकता के साथ शुद्धता की पुष्टि की गई, हालाँकि सत्यापन समान आगमनात्मक सामान्यीकरण द्वारा किया गया था।

आधुनिक दर्शन कटौती पर अधिक ध्यान देता है, जो अनुभव या अंतर्ज्ञान का सहारा लिए बिना, बल्कि "शुद्ध" तर्क का उपयोग करके, जो पहले से ही ज्ञात है, उससे नया ज्ञान (या सत्य) प्राप्त करने की तार्किक इच्छा से निर्धारित होता है। निगमनात्मक विधि में सच्चे परिसर का संदर्भ देते समय, सभी मामलों में आउटपुट एक सच्चा कथन होता है।

इस अत्यंत महत्वपूर्ण विशेषता को आगमनात्मक विधि के मूल्य पर हावी नहीं होना चाहिए। चूंकि प्रेरण, अनुभव की उपलब्धियों के आधार पर, इसे संसाधित करने का एक साधन भी बन जाता है (सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण सहित)।

अर्थशास्त्र में प्रेरण का अनुप्रयोग

प्रेरण और कटौती का उपयोग लंबे समय से अर्थव्यवस्था का अध्ययन करने और इसके विकास की भविष्यवाणी करने के तरीकों के रूप में किया जाता रहा है।

प्रेरण विधि के उपयोग की सीमा काफी विस्तृत है: पूर्वानुमान संकेतकों (लाभ, मूल्यह्रास, आदि) की पूर्ति का अध्ययन और उद्यम की स्थिति का सामान्य मूल्यांकन; तथ्यों और उनके संबंधों के आधार पर एक प्रभावी उद्यम प्रोत्साहन नीति का गठन।

प्रेरण की इसी विधि का उपयोग "शेवहार्ट मानचित्र" में किया जाता है, जहां, प्रक्रियाओं को नियंत्रित और अनियंत्रित में विभाजित करने की धारणा के तहत, यह कहा जाता है कि नियंत्रित प्रक्रिया का ढांचा निष्क्रिय है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वैज्ञानिक कानूनों को प्रेरण विधि का उपयोग करके प्रमाणित और पुष्टि की जाती है, और चूंकि अर्थशास्त्र एक विज्ञान है जो अक्सर गणितीय विश्लेषण, जोखिम सिद्धांत और आंकड़ों का उपयोग करता है, इसलिए यह बिल्कुल भी आश्चर्य की बात नहीं है कि प्रेरण मुख्य तरीकों की सूची में है।

अर्थशास्त्र में प्रेरण और कटौती का एक उदाहरण निम्नलिखित स्थिति है। भोजन (उपभोक्ता टोकरी से) और आवश्यक वस्तुओं की कीमत में वृद्धि उपभोक्ता को राज्य में उभरती उच्च लागत (प्रेरण) के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है। साथ ही, उच्च कीमतों के तथ्य से, गणितीय तरीकों का उपयोग करके, व्यक्तिगत वस्तुओं या वस्तुओं की श्रेणियों (कटौती) के लिए मूल्य वृद्धि के संकेतक प्राप्त करना संभव है।

अक्सर, प्रबंधन कर्मी, प्रबंधक और अर्थशास्त्री प्रेरण विधि की ओर रुख करते हैं। किसी उद्यम के विकास, बाजार व्यवहार और प्रतिस्पर्धा के परिणामों की पर्याप्त सत्यता के साथ भविष्यवाणी करने में सक्षम होने के लिए, सूचना के विश्लेषण और प्रसंस्करण के लिए एक आगमनात्मक-निगमनात्मक दृष्टिकोण आवश्यक है।

गलत निर्णयों से संबंधित अर्थशास्त्र में प्रेरण का एक स्पष्ट उदाहरण:

• कंपनी का मुनाफ़ा 30% घटा;
  एक प्रतिस्पर्धी कंपनी ने अपनी उत्पाद श्रृंखला का विस्तार किया है;
  और कुछ नहीं बदला है;
• एक प्रतिस्पर्धी कंपनी की उत्पादन नीति के कारण मुनाफे में 30% की कमी आई;
• इसलिए, समान उत्पादन नीति लागू करने की आवश्यकता है।

यह उदाहरण इस बात का रंगीन चित्रण है कि प्रेरण विधि का अयोग्य उपयोग किसी उद्यम को बर्बाद करने में कैसे योगदान देता है।

मनोविज्ञान में कटौती और प्रेरण

चूँकि एक विधि है, तो, तार्किक रूप से, उचित रूप से व्यवस्थित सोच (विधि का उपयोग करना) भी है। मनोविज्ञान एक विज्ञान के रूप में जो मानसिक प्रक्रियाओं, उनके गठन, विकास, संबंधों, अंतःक्रियाओं का अध्ययन करता है, कटौती और प्रेरण की अभिव्यक्ति के रूपों में से एक के रूप में "निगमनात्मक" सोच पर ध्यान देता है। दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर मनोविज्ञान के पन्नों पर व्यावहारिक रूप से निगमन-आगमनात्मक पद्धति की अखंडता का कोई औचित्य नहीं है। यद्यपि पेशेवर मनोवैज्ञानिक अक्सर प्रेरण की अभिव्यक्तियों, या बल्कि गलत निष्कर्षों का सामना करते हैं।

गलत निर्णयों के उदाहरण के रूप में मनोविज्ञान में प्रेरण का एक उदाहरण यह कथन है: मेरी माँ धोखा दे रही है, इसलिए, सभी महिलाएँ धोखेबाज हैं। आप जीवन से प्रेरण के और भी अधिक "गलत" उदाहरण एकत्र कर सकते हैं:

• यदि कोई छात्र गणित में खराब ग्रेड प्राप्त करता है तो वह कुछ भी करने में असमर्थ है;
• वह मूर्ख है;
• वह चतुर है;
• मैं कुछ भी कर सकता हू;

और कई अन्य मूल्य निर्णय पूरी तरह से यादृच्छिक और कभी-कभी महत्वहीन आधार पर आधारित होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए: जब किसी व्यक्ति के निर्णय की भ्रांति बेतुकेपन के बिंदु तक पहुंच जाती है, तो मनोचिकित्सक के लिए काम की एक सीमा दिखाई देती है। किसी विशेषज्ञ की नियुक्ति पर प्रेरण का एक उदाहरण:

“रोगी को पूरा यकीन है कि लाल रंग किसी भी रूप में उसके लिए खतरनाक है। परिणामस्वरूप, व्यक्ति ने यथासंभव इस रंग योजना को अपने जीवन से बाहर कर दिया। घर पर आरामदायक रहने के कई अवसर हैं। आप सभी लाल वस्तुओं को अस्वीकार कर सकते हैं या उन्हें किसी भिन्न रंग योजना में बने एनालॉग्स से बदल सकते हैं। लेकिन सार्वजनिक स्थानों पर, काम पर, दुकान में - यह असंभव है। जब कोई मरीज खुद को तनावपूर्ण स्थिति में पाता है, तो हर बार वह पूरी तरह से अलग भावनात्मक स्थिति का "ज्वार" अनुभव करता है, जो दूसरों के लिए खतरा पैदा कर सकता है।

प्रेरण और अचेतन प्रेरण के इस उदाहरण को "निश्चित विचार" कहा जाता है। यदि मानसिक रूप से स्वस्थ व्यक्ति के साथ ऐसा होता है, तो हम मानसिक गतिविधि के संगठन की कमी के बारे में बात कर सकते हैं। जुनूनी स्थिति से छुटकारा पाने का एक तरीका निगमनात्मक सोच का प्रारंभिक विकास हो सकता है। अन्य मामलों में, मनोचिकित्सक ऐसे रोगियों के साथ काम करते हैं।

प्रेरण के उपरोक्त उदाहरणों से संकेत मिलता है कि "कानून की अज्ञानता आपको (गलत निर्णयों के) परिणामों से छूट नहीं देती है।"

निगमनात्मक सोच के विषय पर काम कर रहे मनोवैज्ञानिकों ने लोगों को इस पद्धति में महारत हासिल करने में मदद करने के लिए सिफारिशों की एक सूची तैयार की है।

पहला बिंदु समस्या समाधान है। जैसा कि देखा जा सकता है, गणित में प्रयुक्त प्रेरण के रूप को "शास्त्रीय" माना जा सकता है, और इस पद्धति का उपयोग मन के "अनुशासन" में योगदान देता है।

निगमनात्मक सोच के विकास के लिए अगली शर्त किसी के क्षितिज को व्यापक बनाना है (जो लोग स्पष्ट रूप से सोचते हैं वे स्वयं को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं)। यह अनुशंसा "पीड़ा" को विज्ञान और सूचना के खजाने (पुस्तकालय, वेबसाइट, शैक्षिक पहल, यात्रा, आदि) की ओर निर्देशित करती है।

तथाकथित "मनोवैज्ञानिक प्रेरण" का विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए। यह शब्द, हालांकि अक्सर नहीं, इंटरनेट पर पाया जा सकता है। सभी स्रोत कम से कम इस शब्द की परिभाषा का एक संक्षिप्त सूत्रीकरण प्रदान नहीं करते हैं, लेकिन "जीवन से उदाहरण" का उल्लेख करते हैं, जबकि एक नए प्रकार के प्रेरण के रूप में या तो सुझाव, या कुछ प्रकार की मानसिक बीमारी, या चरम अवस्थाओं को प्रस्तुत करते हैं। मानव मानस. उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि गलत (अक्सर असत्य) परिसर के आधार पर एक "नया शब्द" प्राप्त करने का प्रयास प्रयोगकर्ता को एक गलत (या जल्दबाजी में) बयान प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1960 के प्रयोगों का संदर्भ (स्थान, प्रयोगकर्ताओं के नाम, विषयों का नमूना और, सबसे महत्वपूर्ण, प्रयोग का उद्देश्य बताए बिना), इसे हल्के ढंग से कहें तो, असंबद्ध लगता है, और यह कथन कि मस्तिष्क धारणा के सभी अंगों को दरकिनार करते हुए जानकारी को ग्रहण करता है (वाक्यांश "प्रभावित होता है" इस मामले में अधिक व्यवस्थित रूप से फिट होगा), किसी को कथन के लेखक की भोलापन और आलोचनात्मकता के बारे में सोचने पर मजबूर करता है।

निष्कर्ष के बजाय

यह अकारण नहीं है कि विज्ञान की रानी, ​​गणित, प्रेरण और निगमन की विधि के सभी संभावित भंडार का उपयोग करती है। सुविचारित उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि सबसे सटीक और विश्वसनीय तरीकों का सतही और अयोग्य (जैसा कि वे कहते हैं, विचारहीन) अनुप्रयोग हमेशा गलत परिणाम देता है।

जन चेतना में, कटौती की विधि प्रसिद्ध शर्लक होम्स से जुड़ी हुई है, जो अपने तार्किक निर्माणों में अक्सर सही स्थितियों में कटौती का उपयोग करते हुए, प्रेरण के उदाहरणों का उपयोग करते हैं।

लेख ने विभिन्न विज्ञानों और मानव गतिविधि के क्षेत्रों में इन विधियों के अनुप्रयोग के उदाहरणों की जांच की।

सेराटोव क्षेत्र के शिक्षा मंत्रालय

सेराटोव राज्य सामाजिक-आर्थिक विश्वविद्यालय

स्कूली बच्चों के गणितीय एवं कंप्यूटर कार्यों की क्षेत्रीय प्रतियोगिता

"भविष्य का वेक्टर - 2007"

“गणितीय प्रेरण की विधि।

बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए इसका अनुप्रयोग"

(अनुभाग "गणित")

रचनात्मक कार्य

कक्षा 10ए के छात्र

नगर शैक्षणिक संस्थान "व्यायामशाला संख्या 1"

सेराटोव का ओक्टाबर्स्की जिला

हरुत्युनयन गयाने।

कार्य प्रमुख:

गणित शिक्षक

ग्रिशिना इरीना व्लादिमीरोवाना।

सेराटोव

2007

परिचय……………………………………………………………………3

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत और उसके

प्रमाण……………………………………………………………………………….4

समस्या समाधान के उदाहरण…………………………………………………………..9

निष्कर्ष………………………………………………………………………………..16

साहित्य……………………………………………………………………………………17

परिचय।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे निचले स्तर से शुरू करते हैं, और तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम स्तर पर आ जाते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए, अपने विचारों को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे आगमनात्मक रूप से सोचने और तर्क के सभी नियमों के अनुसार किए गए साक्ष्य के साथ अपने विचारों का समर्थन करने के लिए नियुक्त किया है।
वर्तमान में, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का दायरा बढ़ गया है, लेकिन, दुर्भाग्य से, स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय आवंटित किया जाता है। लेकिन आगमनात्मक ढंग से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत और उसका प्रमाण

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि के सार की ओर मुड़ें। आइए विभिन्न बयानों पर नजर डालें। इन्हें सामान्य और विशिष्ट में विभाजित किया जा सकता है आइए हम सामान्य कथनों के उदाहरण दें।

सभी रूसी नागरिकों को शिक्षा का अधिकार है।

किसी भी समांतर चतुर्भुज में, प्रतिच्छेदन बिंदु पर विकर्ण समद्विभाजित होते हैं।

शून्य पर समाप्त होने वाली सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं।

विशेष कथनों के प्रासंगिक उदाहरण:

पेत्रोव को शिक्षा का अधिकार है।

समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।

140 5 से विभाज्य है.

सामान्य कथनों से विशिष्ट कथनों में परिवर्तन को निगमन (लैटिन से) कहा जाता है कटौती - तर्क के नियमों के अनुसार निष्कर्ष)।

आइए निगमनात्मक अनुमान का एक उदाहरण देखें।

सभी रूसी नागरिकों को शिक्षा का अधिकार है। (1)

पेत्रोव रूसी नागरिक हैं. (2)

पेत्रोव को शिक्षा का अधिकार है। (3)

सामान्य कथन (1) से (2) की सहायता से एक विशेष कथन (3) प्राप्त होता है।

विशिष्ट कथनों से सामान्य कथनों की ओर विपरीत संक्रमण को प्रेरण (लैटिन से) कहा जाता है अधिष्ठापन - मार्गदर्शन)।

प्रेरण से सही और गलत दोनों तरह के निष्कर्ष निकल सकते हैं।

आइये इसे दो उदाहरणों से समझाते हैं।

140, 5 से विभाज्य है। (1)

शून्य पर समाप्त होने वाली सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं। (2)

140, 5 से विभाज्य है। (1)

तीन अंकों की सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं। (2)

विशेष कथन (1) से सामान्य कथन (2) प्राप्त होता है। कथन (2) सही है।

दूसरा उदाहरण दिखाता है कि किसी विशेष कथन (1) से एक सामान्य कथन (3) कैसे प्राप्त किया जा सकता है, हालाँकि कथन (3) सत्य नहीं है।

आइए हम स्वयं से पूछें कि केवल सही निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए गणित में प्रेरण का उपयोग कैसे करें। आइए प्रेरण के कई उदाहरण देखें, जो गणित में अस्वीकार्य है।

उदाहरण 1.

आइए निम्नलिखित रूप P(x) = x 2 + x + 41 के एक द्विघात त्रिपद पर विचार करें, जिसे लियोनार्ड यूलर ने देखा था।

पी(0) = 41, पी(1) = 43, पी(2) = 47, पी(3) = 53, पी(4) = 61, पी(5) = 71, पी(6) = 83, पी (7) = 97, पी(8) = 113, पी(9) = 131, पी(10) = 151।

हम देखते हैं कि हर बार त्रिपद का मान एक अभाज्य संख्या होता है। प्राप्त परिणामों के आधार पर, हम दावा करते हैं कि विचाराधीन त्रिपद में x को प्रतिस्थापित करते समय, किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक का परिणाम हमेशा एक अभाज्य संख्या में होता है।

हालाँकि, निकाले गए निष्कर्ष को विश्वसनीय नहीं माना जा सकता। क्या बात क्या बात? मुद्दा यह है कि तर्क किसी भी x के संबंध में सामान्य कथन केवल इस आधार पर बनाता है कि यह कथन x के कुछ मानों के लिए सत्य निकला हो।

वास्तव में, त्रिपद P(x) की बारीकी से जांच करने पर, संख्याएँ P(0), P(1), ..., P(39) अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन P(40) = 41 2 एक भाज्य संख्या है . और बिल्कुल स्पष्ट: P(41) = 41 2 +41+41, 41 का गुणज है।

इस उदाहरण में, हमें एक ऐसा कथन मिला जो 40 विशेष मामलों में सत्य था और फिर भी आम तौर पर अनुचित निकला।

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2.

17वीं शताब्दी में वी.जी. लीबनिज ने साबित किया कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए n 3 - n के रूप की संख्याएँ 3 के गुणज हैं, n 5 - n 5 के गुणज हैं, n 7 - n 7 के गुणज हैं। इसके आधार पर, उन्होंने प्रस्तावित किया कि प्रत्येक विषम k के लिए और प्राकृतिक संख्या n, संख्या n k - n, k का एक गुणज है, लेकिन उन्होंने जल्द ही देखा कि 2 9 –2 = 510, जो, जाहिर है, 9 से विभाज्य नहीं है।

सुविचारित उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: एक बयान कई विशेष मामलों में निष्पक्ष हो सकता है और साथ ही सामान्य तौर पर अनुचित भी हो सकता है।

प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है: एक कथन है जो कई विशेष मामलों में मान्य है; सभी विशेष मामलों पर विचार करना असंभव है; आपको कैसे पता चलेगा कि यह कथन बिल्कुल सत्य है?

इस प्रश्न को कभी-कभी तर्क की एक विशेष विधि जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है, को लागू करके हल किया जा सकता है। यह विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, निम्नलिखित में निष्कर्ष निकाला गया: कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है यदि:

यह n = 1 के लिए मान्य है;

कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या n =k के लिए कथन की वैधता से, यह निष्कर्ष निकलता है कि यह n = k +1 के लिए मान्य है।

सबूत।

आइए हम इसके विपरीत मान लें, अर्थात यह कथन प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए सत्य नहीं है। फिर एक प्राकृत संख्या m ऐसी है

n =m के लिए कथन सत्य नहीं है,

सभी के लिए एन

यह स्पष्ट है कि m >1, चूँकि n = 1 के लिए कथन सत्य है (शर्त 1)। इसलिए, m -1 एक प्राकृतिक संख्या है। प्राकृतिक संख्या m -1 के लिए कथन सत्य है, लेकिन अगली प्राकृतिक संख्या m के लिए यह गलत है। यह शर्त 2 का खंडन करता है। परिणामी विरोधाभास दर्शाता है कि धारणा गलत है। नतीजतन, कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n, आदि के लिए सत्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत पर आधारित प्रमाण को गणितीय आगमन द्वारा प्रमाण कहा जाता है। ऐसे प्रमाण में दो भाग होने चाहिए, दो स्वतंत्र प्रमेयों का प्रमाण।

प्रमेय 1. कथन n =1 के लिए मान्य है।

प्रमेय 2. कथन n =k +1 के लिए मान्य है यदि यह n=k के लिए मान्य है, जहां k एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है।

यदि ये दोनों प्रमेय सिद्ध हो जाते हैं, तो गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, कथन किसी के लिए भी सत्य है
प्राकृतिक एन.

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण के लिए निश्चित रूप से प्रमेय 1 और 2 दोनों के प्रमाण की आवश्यकता होती है। प्रमेय 2 की उपेक्षा से गलत निष्कर्ष निकलते हैं (उदाहरण 1-2)। आइए एक उदाहरण से दिखाएं कि प्रमेय 1 का प्रमाण कितना आवश्यक है।

उदाहरण 3. "प्रमेय": प्रत्येक प्राकृत संख्या अगली प्राकृत संख्या के बराबर होती है।

हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके प्रमाण प्रस्तुत करेंगे।

आइए मान लें कि k =k +1 (1).

आइए हम सिद्ध करें कि k +1=k +2 (2). ऐसा करने के लिए, "समानता" (1) के प्रत्येक भाग में 1 जोड़ें, हमें "समानता" (2) मिलता है। इससे पता चलता है कि यदि कथन n =k के लिए सत्य है, तो यह n =k +1, आदि के लिए भी सत्य है।

"प्रमेय" का एक स्पष्ट "परिणाम": सभी प्राकृतिक संख्याएँ समान हैं।

गलती यह है कि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करने के लिए आवश्यक प्रमेय 1 सिद्ध नहीं हुआ है और यह सत्य नहीं है, और केवल दूसरा प्रमेय सिद्ध हुआ है।

प्रमेय 1 और 2 का विशेष महत्व है।

प्रमेय 1 प्रेरण के लिए आधार प्रदान करता है। प्रमेय 2 इस आधार के असीमित स्वचालित विस्तार का अधिकार देता है, इस विशेष मामले से अगले तक, n से n +1 तक जाने का अधिकार देता है।

यदि प्रमेय 1 सिद्ध नहीं हुआ है, लेकिन प्रमेय 2 सिद्ध हो गया है, तो, परिणामस्वरूप, प्रेरण करने का आधार नहीं बनाया गया है, और फिर प्रमेय 2 को लागू करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि वास्तव में, ऐसा करने के लिए कुछ भी नहीं है बढ़ाना।

यदि प्रमेय 2 सिद्ध नहीं है, लेकिन केवल प्रमेय 1 सिद्ध है, तो, हालांकि प्रेरण करने का आधार बनाया गया है, इस आधार का विस्तार करने का कोई अधिकार नहीं है।

टिप्पणियाँ.

कभी-कभी प्रमाण का दूसरा भाग न केवल n =k के लिए, बल्कि n =k -1 के लिए भी कथन की वैधता पर आधारित होता है। इस मामले में, पहले भाग में कथन को n के दो बाद के मानों के लिए सत्यापित किया जाना चाहिए।

कभी-कभी एक कथन प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए नहीं, बल्कि n > m के लिए सिद्ध होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। इस मामले में, प्रमाण के पहले भाग में कथन को n =m +1 के लिए सत्यापित किया जाता है, और यदि आवश्यक हो, तो n के कई बाद के मानों के लिए।

जो कहा गया है उसे सारांशित करने के लिए, हमारे पास है: गणितीय प्रेरण की विधि, एक सामान्य कानून की खोज में, उत्पन्न होने वाली परिकल्पनाओं का परीक्षण करने, झूठी परिकल्पनाओं को त्यागने और सच्ची परिकल्पनाओं की पुष्टि करने की अनुमति देती है।

हर कोई अनुभवजन्य, प्रयोगात्मक विज्ञान के लिए व्यक्तिगत अवलोकनों और प्रयोगों (यानी प्रेरण) के परिणामों को सामान्य बनाने की प्रक्रियाओं की भूमिका जानता है। गणित को लंबे समय से विशुद्ध रूप से निगमनात्मक तरीकों के कार्यान्वयन का एक उत्कृष्ट उदाहरण माना जाता है, क्योंकि यह हमेशा अंतर्निहित या स्पष्ट रूप से माना जाता है कि सभी गणितीय प्रस्ताव (प्रारंभिक - स्वयंसिद्ध के रूप में लिए गए को छोड़कर) सिद्ध हैं, और इन प्रस्तावों के विशिष्ट अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं सामान्य मामलों के लिए उपयुक्त साक्ष्य (कटौती)।

गणित में इंडक्शन का क्या अर्थ है? क्या इसे पूरी तरह से विश्वसनीय विधि नहीं समझा जाना चाहिए, और हमें ऐसी आगमनात्मक विधियों की विश्वसनीयता के लिए एक मानदंड की तलाश कैसे करनी चाहिए? या क्या गणितीय निष्कर्षों की विश्वसनीयता प्रायोगिक विज्ञान के प्रयोगात्मक सामान्यीकरण के समान प्रकृति की है, जैसे कि किसी भी सिद्ध तथ्य की "जांच" करना अच्छा होगा? हकीकत में ऐसा नहीं है.

एक परिकल्पना के लिए प्रेरण (मार्गदर्शन) गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण, लेकिन विशुद्ध रूप से अनुमानी भूमिका निभाता है: यह आपको अनुमान लगाने की अनुमति देता है कि समाधान क्या होना चाहिए। लेकिन गणितीय प्रस्ताव केवल निगमनात्मक रूप से स्थापित किए जाते हैं। और गणितीय आगमन की विधि प्रमाण की पूर्णतः निगमनात्मक विधि है। वास्तव में, इस विधि द्वारा किए गए प्रमाण में दो भाग होते हैं:

तथाकथित "आधार" एक (या कई) प्राकृतिक संख्याओं के लिए वांछित प्रस्ताव का निगमनात्मक प्रमाण है;

एक आगमनात्मक चरण जिसमें एक सामान्य कथन का निगमनात्मक प्रमाण शामिल होता है। प्रमेय सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सटीक रूप से सिद्ध है। सिद्ध आधार से, उदाहरण के लिए, संख्या 0 के लिए, हम एक आगमनात्मक चरण द्वारा, संख्या 1 के लिए एक प्रमाण प्राप्त करते हैं, फिर उसी तरह से 2 के लिए, 3 के लिए ... - और इस प्रकार कथन को प्रमाणित किया जा सकता है कोई प्राकृतिक संख्या.

दूसरे शब्दों में, "गणितीय प्रेरण" नाम इस तथ्य के कारण है कि यह विधि हमारे दिमाग में पारंपरिक आगमनात्मक तर्क से जुड़ी हुई है (आखिरकार, आधार वास्तव में केवल एक विशेष मामले के लिए सिद्ध होता है); प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में आगमनात्मक अनुमानों की संभाव्यता के लिए अनुभव-आधारित मानदंडों के विपरीत, आगमनात्मक कदम एक सामान्य कथन है जिसके लिए किसी विशेष परिसर की आवश्यकता नहीं होती है और यह निगमनात्मक तर्क के सख्त सिद्धांतों के अनुसार सिद्ध होता है। इसलिए, गणितीय प्रेरण को "पूर्ण" या "पूर्ण" कहा जाता है, क्योंकि यह प्रमाण की एक निगमनात्मक, पूरी तरह से विश्वसनीय विधि है।

समस्या समाधान के उदाहरण

बीजगणित में प्रेरण

आइए बीजगणितीय समस्याओं के कई उदाहरण देखें, साथ ही विभिन्न असमानताओं के प्रमाण भी देखें जिन्हें गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

समस्या 1. योग के सूत्र का अनुमान लगाएं और इसे सिद्ध करें।

ए( एन )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(एन +1) एन 2।

समाधान।

1. योग A(n) के लिए व्यंजक को रूपांतरित करें:

ए(एन)= 2  1 2 + 3  2 2 + ....+ (एन+1) एन 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + .... + (एन+1) एन 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+एन  एन 2 + 1 2 + 2 2 +… +एन 2 =1 3 + 2 3 +… +एन 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = B(n) + C(n), जहां B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3, C(n)= 1 2 + 2 2 + …+एन 2 .

2. योग C (n) और B (n) पर विचार करें।

एसी( एन ) = 1 2 + 2 2 +…+ एन 2। गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके अक्सर आने वाली समस्याओं में से एक यह साबित करना है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, समानता कायम है

1 2 + 2 2 +…+ एन 2 = (1)

आइए मान लें कि (1) सभी n के लिए सत्य है  एन।

बी ) बी(एन) = 1 3 + 2 3 + …..+ एन 3। आइए देखें कि n के आधार पर B(n) का मान कैसे बदलता है।

बी(1) = 1 3 = 1।

बी(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

बी (3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

अत: यह माना जा सकता है
बी (एन) = (1 + 2 + ….+ एन) 2 =
(2)

ग) परिणामस्वरूप, योग A(n) के लिए हमें प्राप्त होता है

ए( एन) = =

= (*)

3. आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके परिणामी सूत्र (*) को सिद्ध करें।

ए) एन = 1 के लिए समानता (*) की वैधता की जांच करें।

ए(1) = 2  =2,

जाहिर है, n = 1 के लिए सूत्र (*) सही है।

बी) मान लीजिए कि सूत्र (*) n=k के लिए सत्य है, जहां k N, यानी समानता संतुष्ट है

ए(के)=

धारणा के आधार पर, हम n =k +1 के सूत्र की वैधता साबित करते हैं। वास्तव में,

ए (के+1 )=

चूँकि सूत्र (*) n =1 के लिए सत्य है, और इस धारणा से कि यह कुछ प्राकृतिक k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n =k +1 के लिए मान्य है, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समानता

किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए धारण करता है।

कार्य 2.

योग 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n की गणना करें।

समाधान।

आइए n के विभिन्न मानों के लिए योगों के मानों को क्रमिक रूप से लिखें।

ए(1)=1, ए(2)=1-2= -1, ए(3)=1-2+3=2, ए(4)=1-2+3-4= -2,

ए (5)=1-2+3-4+5=3, ए (6)=1-2+3-4+5-6= -3.

पैटर्न को देखते हुए, हम मान सकते हैं कि A (n)= - सम n के लिए और A (n)=
विषम n के लिए. आइए दोनों परिणामों को एक सूत्र में संयोजित करें:

ए(एन)=
, जहां n को 2 से विभाजित करने पर r शेषफल है।

और आर , स्पष्ट रूप से निम्नलिखित नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है

0 यदि n - सम,

आर =

1 यदि एन - विषम.

तब आर(आप अनुमान लगा सकते हैं) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

अंत में, हमें A(n) का सूत्र प्राप्त होता है:

ए(एन)=

(*)

आइए हम साबित करें कि समानता (*) सभी n के लिए है  एन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा.

2. ए) आइए n =1 के लिए समानता (*) की जांच करें। ए(1) = 1=

समानता उचित है

बी) मान लीजिए कि समानता

1-2+3-4+…+(-1) एन-1 एन=

सच है जब एन = के. आइए हम सिद्ध करें कि यह n =k +1, अर्थात के लिए भी सत्य है

ए (के +1)=

वास्तव में,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

क्यू.ई.डी.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग विभाज्यता समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

कार्य 3.

सिद्ध कीजिए कि संख्या N (n)=n 3 + 5n किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6 से विभाज्य है।

सबूत।

पर n =1 संख्या N (1)=6 और इसलिए कथन सत्य है।

मान लीजिए, किसी प्राकृत k के लिए, संख्या N (k )=k 3 +5k 6 से विभाज्य है। आइए सिद्ध करें कि N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) इससे विभाज्य है 6. वास्तव में, हमारे पास है
एन (के +1)= (के +1) 3 + 5(के +1)=(के 3 +5के )+3के (के +1)+6.

क्योंकि k और k +1 आसन्न प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो उनमें से एक आवश्यक रूप से सम है, इसलिए अभिव्यक्ति 3k (k +1) 6 से विभाज्य है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि N (k +1) भी 6 से विभाज्य है। निष्कर्ष संख्या N (n )=n 3 + 5n किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6 से विभाज्य है।

आइए एक अधिक जटिल विभाज्यता समस्या को हल करने पर विचार करें, जब पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि को कई बार लागू करना पड़ता है।

कार्य 4.

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए n संख्या
संख्या 2n+3 से विभाज्य नहीं है।

सबूत।

आइए कल्पना करें
एक कार्य के रूप में
=

= (*)

धारणा के अनुसार, (*) में पहला कारक संख्या 2 k +3 से विभाज्य नहीं है, अर्थात, एक भाज्य संख्या के प्रतिनिधित्व में
अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में, संख्या 2 को (k +2) बार से अधिक दोहराया नहीं जाता है। इस प्रकार, यह सिद्ध करने के लिए कि संख्या
2 k +4 से विभाज्य नहीं है, हमें यह सिद्ध करना होगा
4 से विभाज्य नहीं है.

इस कथन को सिद्ध करने के लिए, हम एक सहायक कथन सिद्ध करते हैं: किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, संख्या 3 2 n +1, 4 से विभाज्य नहीं है। n = 1 के लिए, कथन स्पष्ट है, क्योंकि 10 शेषफल के बिना 4 से विभाज्य नहीं है। . इस धारणा के तहत कि 3 2 k +1, 4 से विभाज्य नहीं है, हम साबित करते हैं कि 3 2(k +1) +1 भी विभाज्य नहीं है
4 से। आइए अंतिम अभिव्यक्ति को योग के रूप में प्रस्तुत करें:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k। योग का दूसरा पद 4 से विभाज्य है, लेकिन पहला विभाज्य नहीं है। इसलिए, शेष के बिना पूरी राशि 4 से विभाज्य नहीं है। सहायक कथन सिद्ध होता है।

अब ये साफ़ हो गया है
4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 2k एक सम संख्या है।

अंततः हमें वह संख्या ज्ञात हुई
किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 2 n +3 से विभाज्य नहीं है।

आइए अब असमानताओं के प्रमाण में प्रेरण लागू करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य 5.

असमानता 2 n > 2n + 1 किस प्राकृतिक n के लिए मान्य है?

समाधान।

1. कब एन =1 2 1< 2*1+1,

पर एन =2 2 2< 2*2+1,

पर n =3 2 3 > 2*3+1,

पर एन =4 2 4 > 2*4+1.

जाहिर है, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए मान्य है  3. आइए इस कथन को सिद्ध करें।

2. कब n =3 असमानता की वैधता पहले ही दिखाई जा चुकी है। अब मान लीजिए कि असमानता n =k के लिए सत्य है, जहां k कोई प्राकृतिक संख्या है जो 3 से कम नहीं है, अर्थात।

2 के > 2के +1 (*)

आइए हम साबित करें कि असमानता n =k +1, यानी 2 k +1 >2(k +1)+1 के लिए भी मान्य है। (*) को 2 से गुणा करने पर हमें 2 k +1 >4k +2 प्राप्त होता है। आइए अभिव्यक्ति 2(k +1)+1 और 4k +2 की तुलना करें।

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. यह स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक k के लिए 2k -1>0। फिर 4k +2>2(k +1)+1, यानी। 2 k +1 >2(k +1)+1. कथन सिद्ध हो चुका है।

कार्य 6.

n गैर-नकारात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य के लिए असमानता (कॉची की असमानता)।, हम पाते हैं =

यदि संख्याओं में से कम से कम एक
शून्य के बराबर है, तो असमानता (**) भी सत्य है।

निष्कर्ष।

कार्य करते समय, मैंने गणितीय प्रेरण की विधि का सार और उसके प्रमाण का अध्ययन किया। कार्य उन समस्याओं को प्रस्तुत करता है जिनमें अपूर्ण प्रेरण ने प्रमुख भूमिका निभाई, जिससे सही समाधान प्राप्त हुआ और फिर गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके प्राप्त प्रमाण प्रस्तुत किया गया।

साहित्य।

बोल्ट्यांस्की वी.जी., सिदोरोव यू.वी., शबुरिन एम.आई. प्रारंभिक गणित में व्याख्यान और समस्याएं; विज्ञान, 1974.

विलेनकिन एन.वाई.ए. , श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणितीय विश्लेषण।-
एम.: शिक्षा, 1973.

गैलिट्स्की एम.एल., मोशकोविच एम.एम., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम का गहन अध्ययन - एम.: प्रोस्वेशचेनी, 1990।

पोटापोव एम.के., अलेक्जेंड्रोव वी.वी., पासिचेंको पी.आई. बीजगणित और प्रारंभिक कार्यों का विश्लेषण - एम.: नौका, 1980।

सोमिन्स्की आई.एस., गोलोविना एम.एल., याग्लोम आई.एम. गणितीय प्रेरण पर - एम.: नौका, 1967।