स्टोकेस्टिक प्रक्रिया मॉडल. अर्थशास्त्र में स्टोकेस्टिक मॉडल

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डेमिडोवा अनास्तासिया व्याचेस्लावोव्ना। एक-चरणीय प्रक्रियाओं के स्टोकेस्टिक मॉडल बनाने की विधि: शोध प्रबंध... भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार: 05.13.18 / अनास्तासिया व्याचेस्लावोवना डेमिडोवा; [रक्षा का स्थान: रूस की पीपुल्स फ्रेंडशिप यूनिवर्सिटी]। - मॉस्को, 2014.- 126 पी।

परिचय

अध्याय 1. शोध प्रबंध 14 के विषय पर कार्यों की समीक्षा

1.1. जनसंख्या गतिशीलता मॉडल 14 की समीक्षा

1.2. स्टोकेस्टिक जनसंख्या मॉडल 23

1.3. स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण 26

1.4. स्टोकेस्टिक कैलकुलस 32 पर जानकारी

अध्याय दो। एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग की विधि 39

2.1. एक-चरणीय प्रक्रियाएँ। कोलमोगोरोव-चैपमैन समीकरण। मूल गतिज समीकरण 39

2.2. बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए एक विधि। 47

2.3. संख्यात्मक मॉडलिंग 56

अध्याय 3। एक-चरणीय प्रक्रिया मॉडलिंग पद्धति का अनुप्रयोग 60

3.1. जनसंख्या गतिशीलता के स्टोकेस्टिक मॉडल 60

3.2. विभिन्न अंतर- और अंतर-विशिष्ट अंतःक्रियाओं के साथ जनसंख्या प्रणालियों के स्टोकेस्टिक मॉडल 75

3.3. नेटवर्क वर्म्स के प्रसार का स्टोकेस्टिक मॉडल। 92

3.4. पीयर-टू-पीयर प्रोटोकॉल के स्टोकेस्टिक मॉडल 97

निष्कर्ष 113

साहित्य 116

स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण

शोध प्रबंध के उद्देश्यों में से एक एक प्रणाली के लिए स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लिखने की समस्या है ताकि स्टोकेस्टिक शब्द अध्ययन के तहत प्रणाली की संरचना से संबंधित हो। इस समस्या का एक संभावित समाधान एक ही समीकरण से स्टोकेस्टिक और नियतात्मक भागों को प्राप्त करना है। इन उद्देश्यों के लिए, मूल गतिज समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिसे फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसके लिए, बदले में, समतुल्य स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को लैंग्विन समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

धारा 1.4. इसमें स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण और फोककर-प्लैंक समीकरण के बीच संबंध को इंगित करने के लिए आवश्यक बुनियादी जानकारी, साथ ही स्टोकेस्टिक कैलकुलस की बुनियादी अवधारणाएं शामिल हैं।

दूसरा अध्याय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत से बुनियादी जानकारी प्रदान करता है और, इस सिद्धांत के आधार पर, एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए एक विधि तैयार करता है।

धारा 2.1 यादृच्छिक एक-चरणीय प्रक्रियाओं के सिद्धांत से बुनियादी जानकारी प्रदान करता है।

एक-चरणीय प्रक्रियाओं को पूर्णांकों की सीमा में मान लेने वाली निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रियाओं के रूप में समझा जाता है, जिसका संक्रमण मैट्रिक्स केवल आसन्न वर्गों के बीच संक्रमण की अनुमति देता है।

हम एक बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रिया पर विचार करते हैं Є, उस समय अंतराल की लंबाई कहां है जिसमें प्रक्रिया X() निर्दिष्ट है। सेट G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 असतत मानों का एक सेट है जो एक यादृच्छिक प्रक्रिया ले सकता है।

दी गई एक-चरणीय प्रक्रिया के लिए, राज्य Xj से राज्य Xj__i और Xj_i तक प्रति इकाई समय s+ और s में संक्रमण की संभावनाएं क्रमशः पेश की जाती हैं। ऐसा माना जाता है कि अवस्था x से प्रति इकाई समय में दो या दो से अधिक चरणों में संक्रमण की संभावना बहुत कम है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सिस्टम की स्थिति का वेक्टर Xj लंबाई Г( के चरणों में बदलता है और फिर, x से Xj+i और Xj_i में संक्रमण के बजाय, हम X से X + Гі और X में संक्रमण पर विचार कर सकते हैं - जी, क्रमशः।

जब सिस्टम मॉडलिंग करते हैं जिसमें सिस्टम तत्वों की बातचीत के परिणामस्वरूप समय का विकास होता है, तो मुख्य गतिज समीकरण (दूसरा नाम नियंत्रण समीकरण है, और अंग्रेजी साहित्य में इसे मास्टर समीकरण कहा जाता है) का उपयोग करके इसका वर्णन करना सुविधाजनक है।

इसके बाद, सवाल उठता है कि मूल गतिज समीकरण से लैंग्विन समीकरण के रूप में स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का उपयोग करके, एक-चरणीय प्रक्रियाओं द्वारा वर्णित अध्ययन के तहत प्रणाली का विवरण कैसे प्राप्त किया जाए। औपचारिक रूप से, केवल स्टोकेस्टिक कार्यों वाले समीकरणों को स्टोकेस्टिक समीकरणों के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए। इस प्रकार, केवल लैंग्विन के समीकरण ही इस परिभाषा को संतुष्ट करते हैं। हालाँकि, वे सीधे तौर पर अन्य समीकरणों से संबंधित हैं, अर्थात् फोककर-प्लैंक समीकरण और मौलिक गतिज समीकरण। अत: इन सभी समीकरणों पर एक साथ विचार करना तर्कसंगत प्रतीत होता है। इसलिए, इस समस्या को हल करने के लिए, फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा मुख्य गतिज समीकरण का अनुमान लगाने का प्रस्ताव है, जिसके लिए हम लैंग्विन समीकरण के रूप में एक समकक्ष स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लिख सकते हैं।

धारा 2.2 बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं द्वारा वर्णित प्रणालियों के वर्णन और स्टोकेस्टिक मॉडलिंग के लिए एक विधि तैयार करती है।

इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि फोककर-प्लैंक समीकरण के लिए गुणांक अध्ययन के तहत सिस्टम के लिए इंटरैक्शन योजना को रिकॉर्ड करने के तुरंत बाद प्राप्त किया जा सकता है, राज्य परिवर्तन वेक्टर आर और संक्रमण संभावनाओं एस + और एस- के लिए अभिव्यक्तियां, यानी। इस विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग में मूल गतिज समीकरण को लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

खंड 2.3 में. स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए रंज-कुट्टा विधि पर विचार किया जाता है, जिसका उपयोग तीसरे अध्याय में प्राप्त परिणामों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

तीसरा अध्याय दूसरे अध्याय में वर्णित स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की विधि के अनुप्रयोग का एक उदाहरण प्रदान करता है, जिसमें उन प्रणालियों के उदाहरण का उपयोग किया जाता है जो परस्पर क्रिया करने वाली आबादी की वृद्धि की गतिशीलता का वर्णन करते हैं, जैसे कि "शिकारी-शिकार", सहजीवन, प्रतिस्पर्धा और उनके संशोधन . लक्ष्य उन्हें स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरणों के रूप में लिखना और सिस्टम के व्यवहार पर स्टोकेस्टिक्स को पेश करने के प्रभाव का अध्ययन करना है।

खंड 3.1 में. दूसरे अध्याय में वर्णित विधि के अनुप्रयोग को "शिकारी-शिकार" मॉडल के उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया गया है। "शिकारी-शिकार" प्रकार की दो प्रकार की आबादी की परस्पर क्रिया वाली प्रणालियों का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, जिससे प्राप्त परिणामों की तुलना पहले से ही ज्ञात लोगों से करना संभव हो जाता है।

परिणामी समीकरणों के विश्लेषण से पता चला कि सिस्टम के नियतात्मक व्यवहार का अध्ययन करने के लिए, परिणामी स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण के बहाव वेक्टर ए का उपयोग करना संभव है, यानी। विकसित पद्धति का उपयोग स्टोकेस्टिक और नियतात्मक व्यवहार दोनों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, यह निष्कर्ष निकाला गया कि स्टोकेस्टिक मॉडल सिस्टम के व्यवहार का अधिक यथार्थवादी विवरण प्रदान करते हैं। विशेष रूप से, नियतात्मक मामले में "शिकारी-शिकार" प्रणाली के लिए, समीकरणों के समाधान का एक आवधिक रूप होता है और चरण की मात्रा संरक्षित होती है, जबकि मॉडल में स्टोकेस्टिक्स की शुरूआत चरण की मात्रा में एक मोनोटोनिक वृद्धि देती है, जो एक या दोनों आबादी की अपरिहार्य मृत्यु का संकेत देता है। प्राप्त परिणामों की कल्पना करने के लिए, संख्यात्मक अनुकरण किया गया।

खंड 3.2 में. विकसित पद्धति का उपयोग जनसंख्या गतिशीलता के विभिन्न स्टोकेस्टिक मॉडल को प्राप्त करने और उनका विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जैसे कि "शिकारी-शिकार" मॉडल शिकार, सहजीवन, प्रतिस्पर्धा और तीन आबादी के इंटरैक्शन मॉडल के बीच अंतर-विशिष्ट प्रतिस्पर्धा को ध्यान में रखता है।

स्टोकेस्टिक कैलकुलस पर जानकारी

यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत के विकास के कारण प्राकृतिक घटनाओं के अध्ययन में नियतात्मक अवधारणाओं और जनसंख्या गतिशीलता के मॉडल से संभाव्य लोगों में संक्रमण हुआ और, परिणामस्वरूप, गणितीय जीव विज्ञान में स्टोकेस्टिक मॉडलिंग के लिए समर्पित बड़ी संख्या में कार्यों का उदय हुआ। , रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र, आदि।

नियतात्मक जनसंख्या मॉडल पर विचार करते समय, सिस्टम के विकास पर विभिन्न कारकों के यादृच्छिक प्रभाव जैसे महत्वपूर्ण बिंदु उजागर रहते हैं। जनसंख्या की गतिशीलता का वर्णन करते समय, किसी को व्यक्तियों के प्रजनन और अस्तित्व की यादृच्छिक प्रकृति के साथ-साथ समय के साथ पर्यावरण में होने वाले यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को ध्यान में रखना चाहिए और सिस्टम मापदंडों में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव का कारण बनना चाहिए। इसलिए, इन बिंदुओं को प्रतिबिंबित करने वाले संभाव्य तंत्र को जनसंख्या गतिशीलता के किसी भी मॉडल में पेश किया जाना चाहिए।

स्टोकेस्टिक मॉडलिंग सभी नियतात्मक कारकों और यादृच्छिक प्रभावों को ध्यान में रखते हुए जनसंख्या विशेषताओं में परिवर्तनों का अधिक संपूर्ण विवरण प्रदान करता है जो नियतात्मक मॉडल से निष्कर्षों को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकते हैं। दूसरी ओर, उनकी मदद से जनसंख्या व्यवहार के गुणात्मक रूप से नए पहलुओं की पहचान करना संभव है।

जनसंख्या राज्यों में परिवर्तन के स्टोकेस्टिक मॉडल को यादृच्छिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। कुछ मान्यताओं के तहत, हम यह मान सकते हैं कि किसी जनसंख्या का व्यवहार उसकी वर्तमान स्थिति पर निर्भर नहीं करता है कि यह स्थिति कैसे प्राप्त की गई (यानी, एक निश्चित वर्तमान के साथ, भविष्य अतीत पर निर्भर नहीं करता है)। वह। जनसंख्या गतिशीलता प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए, मार्कोव जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं और संबंधित नियंत्रण समीकरणों का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिन्हें कार्य के दूसरे भाग में विस्तार से वर्णित किया गया है।

एन.एन. कालिंकिन अपने कार्यों में इंटरैक्टिंग तत्वों के साथ सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं को चित्रित करने के लिए इंटरेक्शन योजनाओं का उपयोग करते हैं और इन योजनाओं के आधार पर, मार्कोव प्रक्रियाओं की शाखाओं के उपकरण का उपयोग करके इन प्रणालियों के मॉडल बनाते हैं। इस दृष्टिकोण के अनुप्रयोग को रासायनिक, जनसंख्या, दूरसंचार और अन्य प्रणालियों में मॉडलिंग प्रक्रियाओं के उदाहरण से दर्शाया गया है।

कार्य संभाव्य जनसंख्या मॉडल की जांच करता है, जिसके निर्माण के लिए जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के उपकरण का उपयोग किया जाता है, और अंतर-अंतर समीकरणों के परिणामी सिस्टम यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए गतिशील समीकरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। पेपर इन समीकरणों के समाधान खोजने के तरीकों पर भी चर्चा करता है।

आप स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण के लिए समर्पित कई लेख पा सकते हैं जो जनसंख्या परिवर्तन की गतिशीलता को प्रभावित करने वाले विभिन्न कारकों को ध्यान में रखते हैं। उदाहरण के लिए, लेखों ने एक जैविक समुदाय की जनसंख्या गतिशीलता के एक मॉडल का निर्माण और विश्लेषण किया जिसमें व्यक्ति हानिकारक पदार्थों वाले खाद्य संसाधनों का उपभोग करते हैं। और जनसंख्या विकास के मॉडल में, लेख आबादी के प्रतिनिधियों के उनके आवासों में बसने के कारक को ध्यान में रखता है। मॉडल आत्मनिर्भर व्लासोव समीकरणों की एक प्रणाली है।

यह उन कार्यों पर ध्यान देने योग्य है जो उतार-चढ़ाव के सिद्धांत और भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान आदि जैसे प्राकृतिक विज्ञानों में स्टोकेस्टिक तरीकों के अनुप्रयोग के लिए समर्पित हैं। विशेष रूप से, बातचीत करने वाली आबादी की संख्या में परिवर्तन का गणितीय मॉडल "शिकारी-शिकार" प्रकार बहुआयामी मार्कोव जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के आधार पर बनाया गया है।

कोई "शिकारी-शिकार" मॉडल को जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के कार्यान्वयन के रूप में मान सकता है। इस व्याख्या में, विज्ञान के कई क्षेत्रों में विधाओं के लिए उनका उपयोग करना संभव है। 70 के दशक में, एम. दोई ने सृजन-विनाश ऑपरेटरों (माध्यमिक परिमाणीकरण के अनुरूप) के आधार पर ऐसे मॉडलों का अध्ययन करने के लिए एक तकनीक का प्रस्ताव रखा। कार्यों को यहां नोट किया जा सकता है। इसके अलावा, यह विधि अब एम. एम. ग्नाटिच के समूह में सक्रिय रूप से विकसित की जा रही है।

जनसंख्या गतिशीलता के मॉडलिंग और अध्ययन मॉडल का एक अन्य दृष्टिकोण इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत से जुड़ा है। कार्यों को यहां नोट किया जा सकता है।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि जनसंख्या प्रक्रियाओं के स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण के लिए समर्पित अधिकांश कार्य अंतर-अंतर समीकरणों और बाद के संख्यात्मक कार्यान्वयन को प्राप्त करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के तंत्र का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, लैंग्विन फॉर्म में स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसमें सिस्टम के व्यवहार के बारे में सामान्य विचारों से एक स्टोकेस्टिक शब्द जोड़ा जाता है और इसका उद्देश्य यादृच्छिक पर्यावरणीय प्रभावों का वर्णन करना है। मॉडल का आगे का अध्ययन उनका गुणात्मक विश्लेषण या संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके समाधान ढूंढना है।

स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण परिभाषा 1. स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण एक विभेदक समीकरण है जिसमें एक या अधिक पद स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं। स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एसडीई) का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला और प्रसिद्ध उदाहरण एक शब्द के साथ एक समीकरण है जो सफेद शोर का वर्णन करता है और इसे वीनर प्रक्रिया डब्ल्यूटी, टी 0 के रूप में माना जा सकता है।

स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण गतिशील प्रणालियों के अध्ययन और मॉडलिंग में एक महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला गणितीय उपकरण है जो विभिन्न यादृच्छिक गड़बड़ी के अधीन हैं।

प्राकृतिक घटनाओं के स्टोकेस्टिक मॉडलिंग की शुरुआत ब्राउनियन गति की घटना के विवरण से मानी जाती है, जिसकी खोज आर. ब्राउन ने 1827 में की थी, जब उन्होंने एक तरल में पौधे के पराग की गति पर शोध किया था। इस घटना की पहली कठोर व्याख्या ए. आइंस्टीन और एम. स्मोलुचोव्स्की द्वारा स्वतंत्र रूप से दी गई थी। यह लेखों का एक संग्रह ध्यान देने योग्य है जिसमें ब्राउनियन गति पर ए. आइंस्टीन और एम. स्मोलुचोव्स्की के कार्य शामिल हैं। इन अध्ययनों ने ब्राउनियन गति के सिद्धांत के विकास और इसके प्रयोगात्मक सत्यापन में महत्वपूर्ण योगदान दिया। ए आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति के मात्रात्मक विवरण के लिए आणविक गतिज सिद्धांत बनाया। परिणामी सूत्रों की पुष्टि 1908-1909 में जे. पेरिन के प्रयोगों द्वारा की गई।

बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए एक विधि।

परस्पर क्रिया करने वाले तत्वों के साथ प्रणालियों के विकास का वर्णन करने के लिए दो दृष्टिकोण हैं - नियतात्मक या स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण। नियतात्मक मॉडल के विपरीत, स्टोकेस्टिक मॉडल अध्ययन के तहत सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं की संभाव्य प्रकृति, साथ ही बाहरी वातावरण के प्रभावों को ध्यान में रखना संभव बनाते हैं जो मॉडल मापदंडों में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव का कारण बनते हैं।

अध्ययन का विषय सिस्टम हैं, जिनमें होने वाली प्रक्रियाओं को एक-चरणीय प्रक्रियाओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है और जिनमें उनके राज्य का दूसरे राज्य में संक्रमण सिस्टम तत्वों की बातचीत से जुड़ा होता है। एक उदाहरण ऐसे मॉडल होंगे जो परस्पर क्रिया करने वाली आबादी की वृद्धि की गतिशीलता का वर्णन करेंगे, जैसे कि "शिकारी-शिकार", सहजीवन, प्रतिस्पर्धा और उनके संशोधन। लक्ष्य ऐसी प्रणालियों के लिए एसडीई लिखना और नियतात्मक व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरण के समाधान के व्यवहार पर स्टोकेस्टिक भाग को पेश करने के प्रभाव का अध्ययन करना है।

रासायनिक गतिकी

परस्पर क्रिया करने वाले तत्वों के साथ प्रणालियों का वर्णन करते समय जो समीकरण प्रणालियाँ उत्पन्न होती हैं, वे कई मायनों में विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के करीब होती हैं जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं की गतिशीलता का वर्णन करती हैं। उदाहरण के लिए, लोटका-वोल्टेरा प्रणाली को मूल रूप से लोटका द्वारा कुछ काल्पनिक रासायनिक प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाली प्रणाली के रूप में विकसित किया गया था, और बाद में इसे वोल्टेरा द्वारा शिकारी-शिकार मॉडल का वर्णन करने वाली प्रणाली के रूप में विकसित किया गया था।

रासायनिक गतिकी तथाकथित स्टोइकोमेट्रिक समीकरणों का उपयोग करके रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करती है - समीकरण रासायनिक प्रतिक्रिया के अभिकर्मकों और उत्पादों के मात्रात्मक संबंधों को दर्शाते हैं और निम्नलिखित सामान्य रूप रखते हैं: जहां प्राकृतिक संख्या एम और एन को स्टोइकोमेट्रिक गुणांक कहा जाता है। यह एक रासायनिक प्रतिक्रिया का एक प्रतीकात्मक रिकॉर्ड है जिसमें अभिकर्मक Xi के अणु, अभिकर्मक Xh के ni2 अणु, ..., अभिकर्मक Xp के 3 अणु, प्रतिक्रिया में प्रवेश करने पर पदार्थ Y के n अणु बनाते हैं, n पदार्थ I2 के अणु, ..., पदार्थ Yq के nq अणु, क्रमशः।

रासायनिक गतिकी में, यह माना जाता है कि एक रासायनिक प्रतिक्रिया केवल अभिकर्मकों की सीधी बातचीत के माध्यम से हो सकती है, और एक रासायनिक प्रतिक्रिया की दर को एक इकाई मात्रा में प्रति इकाई समय में बनने वाले कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

रासायनिक गतिकी का मुख्य अभिधारणा सामूहिक क्रिया का नियम है, जो बताता है कि रासायनिक प्रतिक्रिया की दर उनके स्टोइकोमेट्रिक गुणांक की शक्तियों में अभिकारकों की सांद्रता के उत्पाद के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए, यदि हम संबंधित पदार्थों की सांद्रता को XI और y I से निरूपित करते हैं, तो हमारे पास रासायनिक प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप समय के साथ किसी पदार्थ की सांद्रता में परिवर्तन की दर के लिए एक समीकरण होता है:

इसके बाद, उन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए रासायनिक गतिकी के बुनियादी विचारों का उपयोग करने का प्रस्ताव है, जिनका समय के साथ विकास किसी दिए गए सिस्टम के तत्वों की एक दूसरे के साथ बातचीत के परिणामस्वरूप होता है, जो निम्नलिखित बुनियादी परिवर्तनों को प्रस्तुत करता है: 1. प्रतिक्रिया नहीं दरों पर विचार किया जाता है, लेकिन संक्रमण की संभावनाएँ; 2. यह प्रस्तावित है कि एक अवस्था से दूसरी अवस्था में संक्रमण की संभावना, जो एक अंतःक्रिया का परिणाम है, किसी दिए गए प्रकार की संभावित अंतःक्रियाओं की संख्या के समानुपाती होती है; 3. इस विधि में प्रणाली का वर्णन करने के लिए मूल गतिज समीकरण का उपयोग किया जाता है; 4. नियतिवादी समीकरणों को स्टोकेस्टिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों का वर्णन करने के लिए एक समान दृष्टिकोण कार्यों में पाया जा सकता है। सिम्युलेटेड सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मार्कोव वन-स्टेप प्रक्रियाओं का उपयोग करने का प्रस्ताव है।

विभिन्न प्रकार के तत्वों से युक्त एक प्रणाली पर विचार करें जो विभिन्न तरीकों से एक दूसरे के साथ बातचीत कर सकते हैं। आइए हम -प्रकार के एक तत्व से निरूपित करें, जहां = 1, और -प्रकार के तत्वों की संख्या से।

होने देना (), ।

आइए मान लें कि फ़ाइल में एक भाग है। इस प्रकार, एक फ़ाइल को डाउनलोड करने के इच्छुक नए नोड और फ़ाइल को वितरित करने वाले नोड के बीच बातचीत के एक चरण में, नया नोड पूरी फ़ाइल को डाउनलोड करता है और वितरण नोड बन जाता है।

आइए नए नोड का पदनाम है, वितरण नोड है, और इंटरैक्शन गुणांक है। नए नोड तीव्रता के साथ सिस्टम में आ सकते हैं, और वितरित नोड्स इसे तीव्रता के साथ छोड़ सकते हैं। तब इंटरेक्शन आरेख और वेक्टर r इस तरह दिखेगा:

लैंग्विन रूप में एक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण संबंधित सूत्र (1.15) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। क्योंकि ड्रिफ्ट वेक्टर ए पूरी तरह से सिस्टम के नियतात्मक व्यवहार का वर्णन करता है; हम साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त कर सकते हैं जो नए ग्राहकों और बीजों की संख्या की गतिशीलता का वर्णन करती है:

इस प्रकार, मापदंडों की पसंद के आधार पर, एक एकल बिंदु का एक अलग चरित्र हो सकता है। इस प्रकार, /ZA 4/I2 के लिए, एकवचन बिंदु एक स्थिर फोकस है, और विपरीत अनुपात के लिए, यह एक स्थिर नोड है। दोनों ही मामलों में, एकवचन बिंदु स्थिर है, क्योंकि गुणांक मानों का चुनाव और सिस्टम चर में परिवर्तन दो प्रक्षेपवक्रों में से एक के साथ हो सकता है। यदि एक एकल बिंदु एक फोकस है, तो सिस्टम में नए और वितरण नोड्स की संख्या में नम दोलन होते हैं (चित्र 3.12 देखें)। और नोडल मामले में, स्थिर मानों के लिए संख्याओं का सन्निकटन एक गैर-दोलन मोड में होता है (चित्र 3.13 देखें)। दोनों मामलों में से प्रत्येक के लिए सिस्टम के चरण चित्र क्रमशः ग्राफ़ (3.14) और (3.15) में दर्शाए गए हैं।

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उत्पादन प्रक्रिया के एक-पैरामीटर, स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण

पीएच.डी. सहो. मोर्दसोव यू.पी.

मैकेनिकल इंजीनियरिंग विश्वविद्यालय, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. गी

एनोटेशन. लेखक ने एक पैरामीटर के आधार पर, उत्पादन प्रक्रिया का एक गणितीय, स्टोकेस्टिक मॉडल विकसित किया है। मॉडल का परीक्षण किया जा चुका है. इस उद्देश्य के लिए, यादृच्छिक गड़बड़ी और विफलताओं के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए, उत्पादन और मैकेनिकल इंजीनियरिंग प्रक्रिया का एक सिमुलेशन मॉडल बनाया गया है। गणितीय और सिमुलेशन मॉडलिंग के परिणामों की तुलना व्यवहार में गणितीय मॉडल का उपयोग करने की व्यवहार्यता की पुष्टि करती है।

मुख्य शब्द: तकनीकी प्रक्रिया, गणितीय, सिमुलेशन मॉडल, परिचालन नियंत्रण, परीक्षण, यादृच्छिक गड़बड़ी।

ऐसी कार्यप्रणाली विकसित करके परिचालन प्रबंधन की लागतों को काफी कम किया जा सकता है जो परिचालन योजना की लागतों और नियोजित संकेतकों और वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं के संकेतकों के बीच बेमेल के परिणामस्वरूप होने वाले नुकसान के बीच इष्टतम खोजने की अनुमति देती है। इसका मतलब फीडबैक सर्किट में सिग्नल पारित होने की इष्टतम अवधि का पता लगाना है। व्यवहार में, इसका मतलब असेंबली इकाइयों को उत्पादन में लॉन्च करने के लिए कैलेंडर शेड्यूल की गणना की संख्या को कम करना है और इसके कारण, भौतिक संसाधनों की बचत करना है।

मैकेनिकल इंजीनियरिंग में उत्पादन प्रक्रिया की प्रगति प्रकृति में संभाव्य है। लगातार बदलते कारकों का निरंतर प्रभाव एक निश्चित अवधि (महीने, तिमाही) के लिए अंतरिक्ष और समय में उत्पादन प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करना संभव नहीं बनाता है। सांख्यिकीय शेड्यूलिंग मॉडल में, समय के प्रत्येक विशिष्ट बिंदु पर एक भाग की स्थिति को विभिन्न कार्यस्थलों पर इसकी खोज की संबंधित संभाव्यता (संभावना वितरण) के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। साथ ही, उद्यम की गतिविधियों के अंतिम परिणाम की नियति सुनिश्चित करना आवश्यक है। यह, बदले में, भागों के उत्पादन के लिए निश्चित अवधि की योजना बनाने के लिए नियतात्मक तरीकों का उपयोग करते हुए संभावना का अनुमान लगाता है। हालाँकि, अनुभव से पता चलता है कि वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं के विभिन्न संबंध और पारस्परिक परिवर्तन विविध और असंख्य हैं। नियतात्मक मॉडल विकसित करते समय यह महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ पैदा करता है।

उत्पादन के पाठ्यक्रम को प्रभावित करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखने का प्रयास मॉडल को बोझिल बना देता है, और यह योजना, लेखांकन और विनियमन उपकरण के रूप में काम करना बंद कर देता है।

जटिल वास्तविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल बनाने की एक सरल विधि जो बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों पर निर्भर करती है, जिन्हें ध्यान में रखना मुश्किल या असंभव है, स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण है। इस मामले में, किसी वास्तविक प्रणाली के संचालन के सिद्धांतों का विश्लेषण करते समय या इसकी व्यक्तिगत विशेषताओं का अवलोकन करते समय, कुछ मापदंडों के लिए संभाव्यता वितरण कार्यों का निर्माण किया जाता है। प्रक्रिया की मात्रात्मक विशेषताओं की उच्च सांख्यिकीय स्थिरता और उनके कम फैलाव को देखते हुए, निर्मित मॉडल का उपयोग करके प्राप्त परिणाम वास्तविक प्रणाली के प्रदर्शन संकेतकों के साथ अच्छे समझौते में हैं।

आर्थिक प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय मॉडल के निर्माण के लिए मुख्य शर्तें हैं:

संबंधित नियतात्मक मॉडल की अत्यधिक जटिलता और संबंधित आर्थिक अक्षमता;

वास्तव में कार्यशील वस्तुओं के संकेतकों से एक मॉडल पर एक प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त सैद्धांतिक संकेतकों का बड़ा विचलन।

इसलिए, एक सरल गणितीय उपकरण होना वांछनीय है जो उत्पादन प्रक्रिया की वैश्विक विशेषताओं (वाणिज्यिक उत्पादन, प्रगति पर काम की मात्रा, आदि) पर स्टोकेस्टिक गड़बड़ी के प्रभाव का वर्णन करता है। अर्थात्, उत्पादन प्रक्रिया का एक गणितीय मॉडल बनाना, जो कम संख्या में मापदंडों पर निर्भर करता है और उत्पादन प्रक्रिया के दौरान विभिन्न प्रकृति के कई कारकों के कुल प्रभाव को दर्शाता है। एक मॉडल का निर्माण करते समय एक शोधकर्ता को जो मुख्य कार्य अपने लिए निर्धारित करना चाहिए, वह वास्तविक प्रणाली के मापदंडों का निष्क्रिय अवलोकन नहीं है, बल्कि एक मॉडल का निर्माण है, जो गड़बड़ी के प्रभाव में किसी भी विचलन की स्थिति में, पैरामीटर लाएगा। किसी दिए गए मोड में प्रदर्शित प्रक्रियाओं का। अर्थात्, सिस्टम में किसी भी यादृच्छिक कारक के प्रभाव में, एक ऐसी प्रक्रिया स्थापित की जानी चाहिए जो एक नियोजित समाधान में परिवर्तित हो। वर्तमान में, स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में, यह कार्य मुख्य रूप से एक व्यक्ति को सौंपा जाता है, जो उत्पादन प्रक्रियाओं के प्रबंधन में फीडबैक श्रृंखला में एक लिंक का गठन करता है।

आइए वास्तविक उत्पादन प्रक्रिया के विश्लेषण की ओर मुड़ें। आमतौर पर, नियोजन अवधि की अवधि (कार्यशालाओं को योजनाएं जारी करने की आवृत्ति) पारंपरिक कैलेंडर समय अंतराल के आधार पर चुनी जाती है: शिफ्ट, दिन, पांच-दिवसीय अवधि, आदि। वे मुख्य रूप से व्यावहारिक विचारों द्वारा निर्देशित होते हैं। नियोजन अवधि की न्यूनतम अवधि नियोजित निकायों की परिचालन क्षमताओं द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि उद्यम का उत्पादन और प्रेषण विभाग कार्यशालाओं को समायोजित शिफ्ट असाइनमेंट जारी करने का काम करता है, तो गणना प्रत्येक शिफ्ट के लिए की जाती है (अर्थात, नियोजित असाइनमेंट की गणना और विश्लेषण से जुड़ी लागतें हर शिफ्ट में खर्च की जाती हैं)।

यादृच्छिक संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का निर्धारण करना

"अर्थशास्त्र और प्रबंधन" श्रृंखला में, हम एक असेंबली इकाई के निर्माण की वास्तविक तकनीकी प्रक्रिया का एक संभाव्य मॉडल बनाएंगे। यहां और इसके बाद, एक असेंबली इकाई के निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया का अर्थ प्रौद्योगिकी में प्रलेखित संचालन का एक क्रम (किसी भाग या असेंबली पर डेटा उत्पन्न करने का कार्य) है। तकनीकी मार्ग के अनुसार किसी उत्पाद के निर्माण का प्रत्येक तकनीकी संचालन पिछले एक के बाद ही किया जा सकता है। नतीजतन, एक असेंबली यूनिट के निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया घटनाओं-संचालन का एक क्रम है। विभिन्न स्टोकेस्टिक कारणों के प्रभाव में, व्यक्तिगत ऑपरेशन की अवधि बदल सकती है। कुछ मामलों में, इस शिफ्ट कार्य की अवधि के दौरान ऑपरेशन पूरा नहीं हो सकता है। यह स्पष्ट है कि इन घटनाओं को प्राथमिक घटकों में विघटित किया जा सकता है: व्यक्तिगत संचालन का निष्पादन और गैर-निष्पादन, जो निष्पादन और विफलता की संभावनाओं से भी जुड़ा हो सकता है।

एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, K संचालन वाले अनुक्रम को निष्पादित करने की संभावना निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त की जा सकती है:

आरएस5 = के) = (1-आरके+1)पीजी = 1पी1, (1)

जहां: P1 पहला ऑपरेशन करने की संभावना है, जिसे अलग से लिया गया है; जी - तकनीकी प्रक्रिया में क्रम में संचालन की संख्या।

इस सूत्र का उपयोग किसी विशिष्ट नियोजन अवधि की स्टोकेस्टिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जब उत्पादन में लॉन्च किए गए उत्पादों की श्रेणी और किसी दिए गए नियोजन अवधि में किए जाने वाले कार्यों की सूची ज्ञात होती है, साथ ही उनकी स्टोकेस्टिक विशेषताएं भी ज्ञात होती हैं, जो हैं अनुभवजन्य रूप से निर्धारित। व्यवहार में, सूचीबद्ध आवश्यकताएँ केवल कुछ प्रकार के बड़े पैमाने पर उत्पादन से पूरी होती हैं जिनमें विशेषताओं की उच्च सांख्यिकीय स्थिरता होती है।

एक व्यक्तिगत ऑपरेशन करने की संभावना न केवल बाहरी कारकों पर निर्भर करती है, बल्कि किए जा रहे कार्य की विशिष्ट प्रकृति और असेंबली यूनिट के प्रकार पर भी निर्भर करती है।

दिए गए फॉर्मूले के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, विधानसभा इकाइयों के अपेक्षाकृत छोटे सेट के साथ भी, उत्पादों की श्रेणी में छोटे बदलावों के साथ, प्रयोगात्मक डेटा की एक महत्वपूर्ण मात्रा की आवश्यकता होती है, जो महत्वपूर्ण सामग्री और संगठनात्मक लागत का कारण बनती है और निर्धारण की इस पद्धति को बनाती है। कम उपयोग के उत्पादों के निर्बाध उत्पादन की संभावना।

आइए यह देखने के लिए परिणामी मॉडल की जांच करें कि क्या इसे सरल बनाया जा सकता है। विश्लेषण का प्रारंभिक मूल्य उत्पाद निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया के एक ऑपरेशन के विफलता-मुक्त निष्पादन की संभावना है। वास्तविक उत्पादन स्थितियों में, प्रत्येक प्रकार के संचालन करने की संभावनाएँ भिन्न होती हैं। किसी विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, यह संभावना इस पर निर्भर करती है:

निष्पादित ऑपरेशन के प्रकार पर;

एक विशिष्ट असेंबली इकाई से;

समानांतर में निर्मित उत्पादों से;

बाहरी कारकों से.

आइए हम इस मॉडल का उपयोग करके निर्धारित उत्पादों के निर्माण की प्रक्रिया की समग्र विशेषताओं (वाणिज्यिक उत्पादन की मात्रा, प्रगति पर काम की मात्रा, आदि) पर एक ऑपरेशन करने की संभावना में उतार-चढ़ाव के प्रभाव का विश्लेषण करें। अध्ययन का उद्देश्य मॉडल में एक ऑपरेशन को औसत मूल्य के साथ करने की विभिन्न संभावनाओं को बदलने की संभावना का विश्लेषण करना है।

औसत तकनीकी प्रक्रिया के एक ऑपरेशन को निष्पादित करने की ज्यामितीय औसत संभावना की गणना करते समय इन सभी कारकों के संयुक्त प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। आधुनिक उत्पादन के विश्लेषण से पता चलता है कि इसमें थोड़ा उतार-चढ़ाव होता है: व्यावहारिक रूप से 0.9 - 1.0 की सीमा के भीतर।

एक ऑपरेशन पूरा होने की संभावना कितनी कम है, इसका स्पष्ट चित्रण

रेडियो 0.9 के मान से मेल खाता है, यह निम्नलिखित सार उदाहरण है। आइए मान लें कि हमें दस भाग बनाने की आवश्यकता है। उनमें से प्रत्येक के निर्माण की तकनीकी प्रक्रियाओं में दस ऑपरेशन शामिल हैं। प्रत्येक ऑपरेशन को निष्पादित करने की संभावना 0.9 है। आइए विभिन्न संख्या में तकनीकी प्रक्रियाओं के निर्धारित समय से पीछे होने की संभावनाओं का पता लगाएं।

एक यादृच्छिक घटना, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक असेंबली इकाई के निर्माण के लिए एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया निर्धारित समय से पीछे हो जाएगी, इस प्रक्रिया में कम से कम एक ऑपरेशन के खराब प्रदर्शन से मेल खाती है। यह एक घटना के विपरीत है: विफलता के बिना सभी कार्यों का निष्पादन। इसकी प्रायिकता 1 - 0.910 = 0.65 है. चूंकि शेड्यूल में देरी स्वतंत्र घटनाएं हैं, इसलिए बर्नौली संभाव्यता वितरण का उपयोग शेड्यूल के पीछे होने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं की संभावना निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। गणना परिणाम तालिका 1 में दिखाए गए हैं।

तालिका नंबर एक

तकनीकी प्रक्रियाओं के शेड्यूल से पीछे रहने की संभावनाओं की गणना

k С^о0.35к0.651О-к राशि

तालिका से पता चलता है कि 0.92 की संभावना के साथ, पांच तकनीकी प्रक्रियाएं, यानी आधी, निर्धारित समय से पीछे रह जाएंगी। निर्धारित समय से पीछे तकनीकी प्रक्रियाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा 6.5 होगी। इसका मतलब यह है कि, औसतन 10 में से 6.5 असेंबली इकाइयाँ निर्धारित समय से पीछे रहेंगी। यानी, औसतन 3 से 4 भागों का निर्माण बिना किसी विफलता के किया जाएगा। लेखक को वास्तविक उत्पादन में श्रम संगठन के इतने निम्न स्तर के उदाहरणों की जानकारी नहीं है। माना गया उदाहरण स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि विफलताओं के बिना एक ऑपरेशन को निष्पादित करने की संभावना पर लगाई गई सीमा अभ्यास का खंडन नहीं करती है। उपरोक्त सभी आवश्यकताएं मैकेनिकल इंजीनियरिंग उत्पादन की मैकेनिकल असेंबली दुकानों की उत्पादन प्रक्रियाओं द्वारा पूरी की जाती हैं।

इस प्रकार, उत्पादन प्रक्रियाओं की स्टोकेस्टिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, एक तकनीकी प्रक्रिया के परिचालन निष्पादन के लिए एक संभाव्यता वितरण का निर्माण करने का प्रस्ताव है, जो कि ज्यामितीय औसत संभावना के माध्यम से एक असेंबली इकाई के निर्माण के लिए तकनीकी संचालन के अनुक्रम को निष्पादित करने की संभावना व्यक्त करता है। एक ऑपरेशन करना। इस मामले में K ऑपरेशन करने की संभावना प्रत्येक ऑपरेशन को पूरा करने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होगी, जिसे बाकी तकनीकी प्रक्रिया को पूरा करने में विफलता की संभावना से गुणा किया जाएगा, जो (K) को पूरा करने में विफलता की संभावना के साथ मेल खाता है + टी)वां ऑपरेशन। इस तथ्य को इस तथ्य से समझाया जाता है कि यदि कोई ऑपरेशन नहीं किया जाता है, तो निम्नलिखित ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है। अंतिम प्रविष्टि बाकियों से भिन्न है, क्योंकि यह विफलताओं के बिना संपूर्ण तकनीकी प्रक्रिया के पूर्ण होने की संभावना व्यक्त करती है। किसी तकनीकी प्रक्रिया के पहले संचालन को पूरा करने की संभावना विशिष्ट रूप से शेष कार्यों को पूरा करने में विफलता की संभावना से संबंधित है। इस प्रकार, संभाव्यता वितरण का निम्नलिखित रूप है:

RY=0)=р°(1-р),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

Р(^=1) = р1(1-р),

P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£=p) = pn,

कहा पे: ^ - यादृच्छिक चर, निष्पादित कार्यों की संख्या;

पी एक ऑपरेशन करने की ज्यामितीय औसत संभावना है, एन तकनीकी प्रक्रिया में संचालन की संख्या है।

परिणामी एक-पैरामीटर संभाव्यता वितरण को लागू करने की निष्पक्षता निम्नलिखित तर्क से सहज रूप से दिखाई देती है। मान लीजिए कि हमने n तत्वों वाले नमूने पर एक 1 ऑपरेशन करने की संभावना के ज्यामितीय माध्य की गणना की है, जहां n काफी बड़ा है।

р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)

कहा पे: Iу - संचालन की संख्या जिनके निष्पादन की समान संभावना है; ] - संचालन के एक समूह का सूचकांक जिसमें निष्पादन की समान संभावना होती है; t उन परिचालनों से युक्त समूहों की संख्या है जिनके निष्पादन की समान संभावना है;

^ = - - निष्पादन की संभावना के साथ संचालन की घटना की सापेक्ष आवृत्ति पी^।

बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, असीमित संख्या में संचालन के साथ, कुछ स्टोकेस्टिक विशेषताओं के साथ संचालन के अनुक्रम में घटना की सापेक्ष आवृत्ति इस घटना की संभावना की संभावना में बदल जाती है। यह कहां से इसका अनुसरण करता है

दो पर्याप्त बड़े नमूनों के लिए = , जिसका अर्थ है:

कहां: t1, t2 - क्रमशः पहले और दूसरे नमूने में समूहों की संख्या;

1*, I2 - क्रमशः पहले और दूसरे नमूने के समूह में तत्वों की संख्या।

इससे पता चलता है कि यदि बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए पैरामीटर की गणना की जाती है, तो यह दिए गए पर्याप्त बड़े नमूने के लिए गणना किए गए पैरामीटर पी के करीब होगा।

विभिन्न संख्या में तकनीकी प्रक्रिया संचालन करने की संभावनाओं के वास्तविक मूल्य के अलग-अलग निकटता पर ध्यान दिया जाना चाहिए। अंतिम को छोड़कर वितरण के सभी तत्वों में एक गुणक (I - P) होता है। चूँकि पैरामीटर P का मान 0.9 - 1.0 की सीमा में है, गुणक (I - P) 0 - 0.1 के बीच उतार-चढ़ाव करता है। यह कारक मूल मॉडल में कारक (I - p;) से मेल खाता है। अनुभव से पता चलता है कि किसी विशेष संभावना के लिए यह मिलान 300% तक की त्रुटि का कारण बन सकता है। हालाँकि, व्यवहार में, किसी की दिलचस्पी आमतौर पर एक निश्चित संख्या में ऑपरेशन करने की संभावनाओं में नहीं, बल्कि तकनीकी प्रक्रिया की विफलताओं के बिना पूर्ण निष्पादन की संभावना में होती है। इस संभावना में कोई गुणक (I - P) नहीं है, और इसलिए, वास्तविक मान से इसका विचलन छोटा है (व्यावहारिक रूप से 3% से अधिक नहीं)। आर्थिक समस्याओं के लिए यह काफी उच्च सटीकता है।

इस तरह से निर्मित एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण एक असेंबली इकाई की विनिर्माण प्रक्रिया का एक स्टोकेस्टिक गतिशील मॉडल है। इसमें समय अप्रत्यक्ष रूप से शामिल होता है, जैसे एक ऑपरेशन की अवधि। मॉडल हमें संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित अवधि (संचालन की संबंधित संख्या) के बाद एक असेंबली इकाई के निर्माण की उत्पादन प्रक्रिया बाधित नहीं होगी। मैकेनिकल इंजीनियरिंग उत्पादन की मैकेनिकल असेंबली दुकानों के लिए, एक तकनीकी प्रक्रिया के संचालन की औसत संख्या काफी बड़ी है (15 - 80)। यदि हम इस संख्या को मूल मानते हैं और मानते हैं कि औसतन, एक असेंबली इकाई के निर्माण में, बढ़े हुए प्रकार के काम (मोड़, धातुकर्म, मिलिंग, आदि) का एक छोटा सेट उपयोग किया जाता है,

फिर परिणामी वितरण का उपयोग उत्पादन प्रक्रिया के दौरान स्टोकेस्टिक गड़बड़ी के प्रभाव का आकलन करने के लिए सफलतापूर्वक किया जा सकता है।

लेखक ने इस सिद्धांत पर निर्मित एक अनुकरण प्रयोग किया। अंतराल 0.9 - 1.0 पर समान रूप से वितरित छद्म-यादृच्छिक मानों का अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए, कार्य में वर्णित एक छद्म-यादृच्छिक संख्या सेंसर का उपयोग किया गया था। प्रयोग सॉफ़्टवेयर एल्गोरिथम भाषा COBOL में लिखा गया है।

प्रयोग में, उत्पन्न यादृच्छिक चर के उत्पाद बनते हैं, जो एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के पूर्ण निष्पादन की वास्तविक संभावनाओं का अनुकरण करते हैं। उनकी तुलना ज्यामितीय माध्य मान का उपयोग करके प्राप्त तकनीकी प्रक्रिया को निष्पादित करने की संभावना से की जाती है, जिसकी गणना समान वितरण के यादृच्छिक संख्याओं के एक निश्चित अनुक्रम के लिए की गई थी। ज्यामितीय माध्य को उत्पाद में कारकों की संख्या के बराबर घात तक बढ़ा दिया जाता है। इन दोनों परिणामों के बीच सापेक्ष प्रतिशत अंतर की गणना की जाती है। प्रयोग को उत्पादों में विभिन्न कारकों की संख्या और उन संख्याओं की संख्या के लिए दोहराया जाता है जिनके लिए ज्यामितीय माध्य की गणना की जाती है। प्रयोग के परिणामों का एक अंश तालिका 2 में दिखाया गया है।

तालिका 2

अनुकरण प्रयोग के परिणाम:

n - ज्यामितीय माध्य मान की डिग्री; k - उत्पाद की डिग्री

पी से उत्पाद विचलन से उत्पाद विचलन से उत्पाद विचलन तक

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

इस सिमुलेशन प्रयोग को स्थापित करते समय, लक्ष्य संभाव्यता वितरण (2) का उपयोग करके, उत्पादन प्रक्रिया की विस्तारित सांख्यिकीय विशेषताओं में से एक प्राप्त करने की संभावना की जांच करना था - एक असेंबली इकाई के निर्माण की एक तकनीकी प्रक्रिया को विफलता के बिना निष्पादित करने की संभावना, K संचालन से मिलकर। एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, यह संभावना उसके सभी कार्यों को करने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि सिमुलेशन प्रयोग से पता चलता है, विकसित संभाव्य मॉडल का उपयोग करके प्राप्त संभावना से इसका सापेक्ष विचलन 9% से अधिक नहीं है।

चूंकि सिमुलेशन प्रयोग वास्तविक की तुलना में अधिक असुविधाजनक संभाव्यता वितरण का उपयोग करता है, व्यावहारिक विसंगतियां और भी छोटी होंगी। औसत विशेषताओं के आधार पर प्राप्त मूल्य में कमी की दिशा और अधिकता की दिशा दोनों में विचलन देखा जाता है। यह तथ्य बताता है कि यदि हम किसी एक तकनीकी प्रक्रिया की नहीं, बल्कि कई प्रक्रियाओं की विफलता-मुक्त निष्पादन की संभावना में विचलन पर विचार करें, तो यह काफी कम होगा। जाहिर है, जितना अधिक तकनीकी प्रक्रियाओं पर विचार किया जाएगा, यह उतना ही छोटा होगा। इस प्रकार, सिमुलेशन प्रयोग विफलताओं के बिना विनिर्माण उत्पादों की तकनीकी प्रक्रिया को पूरा करने की संभावना और एक-पैरामीटर गणितीय मॉडल का उपयोग करते समय प्राप्त संभावना के बीच एक अच्छा समझौता दिखाता है।

इसके अलावा, सिमुलेशन प्रयोग किए गए:

संभाव्यता वितरण पैरामीटर अनुमान के सांख्यिकीय अभिसरण का अध्ययन करना;

विफलताओं के बिना पूर्ण किए गए कार्यों की संख्या की गणितीय अपेक्षा की सांख्यिकीय स्थिरता का अध्ययन करना;

न्यूनतम नियोजन अवधि की अवधि निर्धारित करने और उत्पादन प्रक्रिया के नियोजित और वास्तविक संकेतकों के बीच विसंगति का आकलन करने के तरीकों का विश्लेषण करना, जब नियोजित और उत्पादन अवधि समय में मेल नहीं खाती है।

प्रयोगों ने तकनीकों के उपयोग के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक डेटा और सिमुलेशन के माध्यम से प्राप्त अनुभवजन्य डेटा के बीच अच्छा समझौता दिखाया है

श्रृंखला "अर्थशास्त्र और प्रबंधन"

वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं के कंप्यूटर.

निर्मित गणितीय मॉडल के अनुप्रयोग के आधार पर, लेखक ने परिचालन प्रबंधन की दक्षता बढ़ाने के लिए तीन विशिष्ट तरीके विकसित किए हैं। इनका परीक्षण करने के लिए अलग-अलग सिमुलेशन प्रयोग किए गए।

1. नियोजन अवधि के लिए उत्पादन कार्य की तर्कसंगत मात्रा निर्धारित करने की पद्धति।

2. परिचालन योजना अवधि की सबसे प्रभावी अवधि निर्धारित करने की पद्धति।

3. नियोजन और उत्पादन अवधि के बीच समय में विसंगति होने पर बेमेल का आकलन।

साहित्य

1. मोर्दसोव यू.पी. कंप्यूटर का उपयोग करके यादृच्छिक गड़बड़ी / आर्थिक-गणितीय और सिमुलेशन मॉडलिंग की स्थितियों के तहत न्यूनतम परिचालन योजना अवधि की अवधि का निर्धारण। - एम: एमआईयू आईएम। एस. ऑर्डोज़ोनिकिड्ज़, 1984।

2. नायलर टी. आर्थिक प्रणालियों के मॉडल के साथ मशीन सिमुलेशन प्रयोग। -एम: मीर, 1975।

एकाग्रता से विविधीकरण की ओर परिवर्तन छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों की अर्थव्यवस्था को विकसित करने का एक प्रभावी तरीका है

प्रो कोज़लेंको एन.एन. मैकेनिकल इंजीनियरिंग विश्वविद्यालय

एनोटेशन. यह लेख एक एकाग्रता रणनीति से विविधीकरण रणनीति में संक्रमण के माध्यम से रूसी छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों के सबसे प्रभावी विकास को चुनने की समस्या की जांच करता है। विविधीकरण की व्यवहार्यता, इसके फायदे, विविधीकरण मार्ग चुनने के मानदंड के मुद्दों पर विचार किया जाता है, और विविधीकरण रणनीतियों का वर्गीकरण दिया जाता है।

मुख्य शब्द: छोटे और मध्यम आकार के व्यवसाय; विविधीकरण; रणनीतिक दृष्टि से उपयुक्त; प्रतिस्पर्धात्मक लाभ।

मैक्रोएन्वायरमेंट के मापदंडों में सक्रिय परिवर्तन (बाजार की स्थितियों में बदलाव, संबंधित उद्योगों में नए प्रतिस्पर्धियों का उद्भव, सामान्य रूप से प्रतिस्पर्धा के स्तर में वृद्धि) अक्सर छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों की नियोजित रणनीतिक योजनाओं को पूरा करने में विफलता का कारण बनता है। , छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों के उद्यमों की उद्देश्य स्थितियों और उन्हें प्रबंधित करने के लिए प्रौद्योगिकी के स्तर के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर के कारण उद्यमों की वित्तीय और आर्थिक स्थिरता में हानि।

आर्थिक स्थिरता और प्रतिस्पर्धात्मक लाभ बनाए रखने की संभावना के लिए मुख्य शर्तें प्रबंधन प्रणाली की समय पर प्रतिक्रिया देने और आंतरिक उत्पादन प्रक्रियाओं को बदलने (विविधीकरण को ध्यान में रखते हुए वर्गीकरण में बदलाव, उत्पादन और तकनीकी प्रक्रियाओं का पुनर्निर्माण, संरचना में बदलाव) की क्षमता है। संगठन, नवीन विपणन और प्रबंधन उपकरणों का उपयोग करें)।

उत्पादन प्रकार और सेवा रखरखाव के रूसी छोटे और मध्यम आकार के उद्यमों के अभ्यास के एक अध्ययन ने हमें एकाग्रता से विविधीकरण की ओर संक्रमण करने वाले छोटे उद्यमों की वर्तमान प्रवृत्ति के संबंध में निम्नलिखित विशेषताओं और बुनियादी कारण और प्रभाव संबंधों की पहचान करने की अनुमति दी।

अधिकांश एसएमबी स्थानीय या क्षेत्रीय बाजारों में सेवा देने वाले छोटे, एकल-पंक्ति व्यवसायों के रूप में शुरू होते हैं। अपनी गतिविधि की शुरुआत में, ऐसी कंपनी की उत्पाद श्रृंखला बहुत सीमित होती है, इसका पूंजी आधार कमजोर होता है, और इसकी प्रतिस्पर्धी स्थिति कमजोर होती है। आमतौर पर, ऐसी कंपनियों की रणनीति बिक्री वृद्धि और बाजार हिस्सेदारी के साथ-साथ पर भी केंद्रित होती है

स्टोकेस्टिक मॉडल उस स्थिति का वर्णन करता है जहां अनिश्चितता होती है। दूसरे शब्दों में, यह प्रक्रिया कुछ हद तक यादृच्छिकता की विशेषता रखती है। विशेषण "स्टोकेस्टिक" स्वयं ग्रीक शब्द "अनुमान लगाना" से आया है। चूँकि अनिश्चितता रोजमर्रा की जिंदगी की एक प्रमुख विशेषता है, ऐसा मॉडल किसी भी चीज़ का वर्णन कर सकता है।

हालाँकि, हर बार जब हम इसका उपयोग करेंगे तो हमें एक अलग परिणाम मिलेगा। इसलिए, नियतात्मक मॉडल का अधिक बार उपयोग किया जाता है। यद्यपि वे मामलों की वास्तविक स्थिति के जितना संभव हो उतना करीब नहीं हैं, वे हमेशा एक ही परिणाम देते हैं और स्थिति को समझना आसान बनाते हैं, गणितीय समीकरणों का एक सेट पेश करके इसे सरल बनाते हैं।

मुख्य विशेषताएं

एक स्टोकेस्टिक मॉडल में हमेशा एक या अधिक यादृच्छिक चर शामिल होते हैं। वह वास्तविक जीवन को उसकी सभी अभिव्यक्तियों में प्रतिबिंबित करने का प्रयास करती है। स्टोकेस्टिक के विपरीत, इसमें हर चीज़ को सरल बनाने और इसे ज्ञात मूल्यों तक कम करने का लक्ष्य नहीं है। अतः अनिश्चितता इसकी प्रमुख विशेषता है। स्टोकेस्टिक मॉडल किसी भी चीज़ का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं, लेकिन उन सभी में निम्नलिखित सामान्य विशेषताएं हैं:

• कोई भी स्टोकेस्टिक मॉडल उस समस्या के सभी पहलुओं को दर्शाता है जिसे अध्ययन के लिए बनाया गया था।
• प्रत्येक घटना का परिणाम अनिश्चित है। इसलिए, मॉडल में संभावनाएं शामिल हैं। समग्र परिणामों की शुद्धता उनकी गणना की सटीकता पर निर्भर करती है।
• इन संभावनाओं का उपयोग स्वयं प्रक्रियाओं की भविष्यवाणी या वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल

कुछ के लिए, जीवन दूसरों के लिए प्रक्रियाओं की एक श्रृंखला प्रतीत होता है, जिसमें कारण प्रभाव को निर्धारित करता है। वास्तव में, यह अनिश्चितता की विशेषता है, लेकिन हमेशा नहीं और हर चीज़ में नहीं। इसलिए, कभी-कभी स्टोकेस्टिक और नियतात्मक मॉडल के बीच स्पष्ट अंतर ढूंढना मुश्किल होता है। संभावनाएँ एक काफी व्यक्तिपरक संकेतक हैं।

उदाहरण के लिए, सिक्का उछालने की स्थिति पर विचार करें। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि "पूंछ" उतरने की संभावना 50% है। इसलिए, एक नियतात्मक मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए। हालाँकि, वास्तव में यह पता चला है कि बहुत कुछ खिलाड़ियों के हाथ की सफ़ाई और सिक्के को संतुलित करने की पूर्णता पर निर्भर करता है। इसका मतलब है कि आपको स्टोकेस्टिक मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमेशा ऐसे पैरामीटर होते हैं जिन्हें हम नहीं जानते हैं। वास्तविक जीवन में, कारण हमेशा प्रभाव को निर्धारित करता है, लेकिन कुछ हद तक अनिश्चितता भी होती है। नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल का उपयोग करने के बीच का चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या त्याग करने को तैयार हैं - विश्लेषण में आसानी या यथार्थवाद।

अराजकता सिद्धांत में

हाल ही में, किस मॉडल को स्टोकेस्टिक कहा जाता है इसकी अवधारणा और भी धुंधली हो गई है। यह तथाकथित अराजकता सिद्धांत के विकास के कारण है। यह नियतात्मक मॉडल का वर्णन करता है जो प्रारंभिक मापदंडों में थोड़े से बदलाव के साथ विभिन्न परिणाम उत्पन्न कर सकता है। यह अनिश्चितता गणना के परिचय की तरह है। कई वैज्ञानिकों ने यह भी स्वीकार किया कि यह पहले से ही एक स्टोकेस्टिक मॉडल है।

लोथर ब्रेउर ने काव्यात्मक कल्पना के साथ सब कुछ सुंदर ढंग से समझाया। उन्होंने लिखा: “एक पहाड़ी जलधारा, एक धड़कता दिल, चेचक की महामारी, उठते धुएं का एक स्तंभ - यह सब एक गतिशील घटना का एक उदाहरण है जो कभी-कभी संयोग से चित्रित होता प्रतीत होता है। वास्तव में, ऐसी प्रक्रियाएँ हमेशा एक निश्चित क्रम के अधीन होती हैं, जिसे वैज्ञानिक और इंजीनियर अभी समझना शुरू ही कर रहे हैं। यह तथाकथित नियतिवादी अराजकता है।" नया सिद्धांत बहुत प्रशंसनीय लगता है, यही कारण है कि कई आधुनिक वैज्ञानिक इसके समर्थक हैं। हालाँकि, यह अभी भी खराब रूप से विकसित है और इसे सांख्यिकीय गणना में लागू करना काफी कठिन है। इसलिए, स्टोकेस्टिक या नियतात्मक मॉडल का अक्सर उपयोग किया जाता है।

निर्माण

स्टोकेस्टिक की शुरुआत प्राथमिक परिणामों के स्थान के चुनाव से होती है। इसे ही आँकड़े अध्ययन की जा रही प्रक्रिया या घटना के संभावित परिणामों की सूची कहते हैं। फिर शोधकर्ता प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम की संभावना निर्धारित करता है। यह आमतौर पर एक विशिष्ट पद्धति के आधार पर किया जाता है।

हालाँकि, संभावनाएँ अभी भी एक व्यक्तिपरक पैरामीटर हैं। शोधकर्ता तब यह निर्धारित करता है कि समस्या को हल करने के लिए कौन सी घटनाएँ सबसे दिलचस्प लगती हैं। उसके बाद, वह बस उनकी संभावना निर्धारित करता है।

उदाहरण

आइए सबसे सरल स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया पर विचार करें। मान लीजिए कि हम पासा पलट रहे हैं। यदि "छह" या "एक" आता है, तो हमारी जीत दस डॉलर होगी। इस मामले में स्टोकेस्टिक मॉडल बनाने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

• आइए हम प्रारंभिक परिणामों के स्थान को परिभाषित करें। पासे की छह भुजाएँ होती हैं, इसलिए रोल "एक", "दो", "तीन", "चार", "पाँच" और "छह" हो सकते हैं।
• प्रत्येक परिणाम की संभावना 1/6 होगी, चाहे हम कितनी भी बार पासा पलटें।
• अब हमें उन परिणामों को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिनमें हम रुचि रखते हैं। यह "छह" या "एक" संख्या के साथ बढ़त का पतन है।
• अंत में, हम उस घटना की संभावना निर्धारित कर सकते हैं जिसमें हम रुचि रखते हैं। यह 1/3 है. हम अपनी रुचि की दोनों प्रारंभिक घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3।

संकल्पना एवं परिणाम

स्टोकेस्टिक मॉडलिंग का उपयोग अक्सर जुए में किया जाता है। लेकिन यह आर्थिक पूर्वानुमान में भी अपरिहार्य है, क्योंकि यह हमें नियतिवादी की तुलना में स्थिति को अधिक गहराई से समझने की अनुमति देता है। अर्थशास्त्र में स्टोकेस्टिक मॉडल का उपयोग अक्सर निवेश निर्णय लेते समय किया जाता है। वे आपको कुछ परिसंपत्तियों या परिसंपत्तियों के समूहों में निवेश की लाभप्रदता के बारे में अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं।

मॉडलिंग वित्तीय नियोजन को अधिक प्रभावी बनाती है। इसकी मदद से निवेशक और व्यापारी अपनी संपत्ति के आवंटन को अनुकूलित करते हैं। स्टोकेस्टिक मॉडलिंग का उपयोग करने से लंबे समय में हमेशा लाभ होता है। कुछ उद्योगों में, इसे लागू करने से इनकार या असमर्थता उद्यम के दिवालियापन का कारण भी बन सकती है। यह इस तथ्य के कारण है कि वास्तविक जीवन में, हर दिन नए महत्वपूर्ण पैरामीटर सामने आते हैं, और यदि वे मौजूद नहीं हैं, तो उनके विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।

इस पुस्तक के बाद के अध्यायों में, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को लगभग हमेशा सफेद शोर द्वारा संचालित रैखिक अंतर प्रणालियों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का यह प्रतिनिधित्व आमतौर पर निम्नलिखित रूप लेता है। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं

ए - सफेद शोर. स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वी के ऐसे प्रतिनिधित्व को चुनकर, इसे मॉडल किया जा सकता है। ऐसे मॉडलों के उपयोग को निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है।

ए) जड़त्वीय अंतर प्रणाली पर तेजी से बदलते उतार-चढ़ाव के प्रभाव से जुड़ी स्टोकेस्टिक घटनाएं अक्सर प्रकृति में सामने आती हैं। विभेदक प्रणाली को प्रभावित करने वाले श्वेत शोर का एक विशिष्ट उदाहरण इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में थर्मल शोर है।

बी) जैसा कि निम्नलिखित से देखा जाएगा, रैखिक नियंत्रण सिद्धांत में केवल औसत मूल्य और लगभग हमेशा विचार किया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का सहप्रसरण। एक रैखिक मॉडल के लिए, माध्य मान और सहप्रसरण मैट्रिक्स की किसी भी प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त विशेषताओं को मनमानी सटीकता के साथ अनुमानित करना हमेशा संभव होता है।

ग) कभी-कभी ज्ञात वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व के साथ एक स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को मॉडलिंग करने में समस्या उत्पन्न होती है। इस मामले में, एक रैखिक अंतर प्रणाली के आउटपुट पर एक प्रक्रिया के रूप में एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया उत्पन्न करना हमेशा संभव होता है; इस मामले में, ऊर्जा के वर्णक्रमीय घनत्व का मैट्रिक्स मनमानी सटीकता के साथ प्रारंभिक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की ऊर्जा के वर्णक्रमीय घनत्व के मैट्रिक्स का अनुमान लगाता है।

उदाहरण 1.36 और 1.37, साथ ही समस्या 1.11, मॉडलिंग पद्धति को दर्शाते हैं।

उदाहरण 1.36. प्रथम क्रम विभेदक प्रणाली

मान लीजिए कि स्थिर मानी जाने वाली स्टोकेस्टिक स्केलर प्रक्रिया के मापा सहप्रसरण फ़ंक्शन को घातीय फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

इस प्रक्रिया को प्रथम-क्रम विभेदक प्रणाली की स्थिति के रूप में तैयार किया जा सकता है (उदाहरण 1.35 देखें)

सफ़ेद शोर की तीव्रता कहाँ है - शून्य माध्य और विचरण के साथ एक स्टोकेस्टिक मात्रा।

उदाहरण 1.37. मिश्रण टैंक

उदाहरण 1.31 (धारा 1.10.3) से मिश्रण टैंक पर विचार करें और इसके लिए आउटपुट चर के विचरण मैट्रिक्स की गणना करें। उदाहरण 1.31 ने माना कि प्रवाह में एकाग्रता के उतार-चढ़ाव को तेजी से सहसंबद्ध शोर द्वारा वर्णित किया गया है और इस प्रकार, इसे समाधान के रूप में मॉडल किया जा सकता है श्वेत शोर से उत्साहित प्रथम-क्रम प्रणाली। आइए अब मिश्रण टैंक के अंतर समीकरण में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के मॉडल के समीकरण जोड़ें। हमें प्राप्त होता है

यहाँ अदिश श्वेत शोर की तीव्रता है

प्रक्रिया के प्रसरण को समान प्राप्त करने के लिए, आइए मान लें कि प्रक्रिया के लिए हम एक समान मॉडल का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है

4. स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की योजना

स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण में अध्ययन की जा रही प्रक्रिया का वर्णन करने वाले समीकरणों का उपयोग करके सिस्टम के व्यवहार का विकास, गुणवत्ता मूल्यांकन और अध्ययन शामिल है। ऐसा करने के लिए किसी वास्तविक प्रणाली के साथ एक विशेष प्रयोग करके प्रारंभिक जानकारी प्राप्त की जाती है। इस मामले में, किसी प्रयोग की योजना बनाने, परिणामों को संसाधित करने के साथ-साथ गणितीय आंकड़ों के ऐसे वर्गों जैसे फैलाव, सहसंबंध, प्रतिगमन विश्लेषण इत्यादि के आधार पर परिणामी मॉडल के मूल्यांकन के लिए मानदंडों का उपयोग किया जाता है।

स्टोकेस्टिक मॉडल विकसित करने के चरण:

समस्या का निरूपण

कारकों और मापदंडों का चयन

मॉडल प्रकार का चयन

प्रयोग योजना

योजना के अनुसार प्रयोग का क्रियान्वयन

एक सांख्यिकीय मॉडल का निर्माण

मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना (8, 9, 2, 3, 4 से संबंधित)

मॉडल समायोजन

एक मॉडल का उपयोग करके प्रक्रिया अध्ययन (11 से जुड़ा हुआ)

अनुकूलन मापदंडों और प्रतिबंधों का निर्धारण

एक मॉडल का उपयोग करके प्रक्रिया अनुकूलन (10 और 13 से जुड़ा हुआ)

स्वचालन उपकरण के बारे में प्रायोगिक जानकारी

एक मॉडल का उपयोग करके प्रक्रिया नियंत्रण (12 से जुड़ा हुआ)

1 से 9 तक के चरणों का संयोजन हमें एक सूचना मॉडल देता है, एक से ग्यारह तक - एक अनुकूलन मॉडल, सभी बिंदुओं को मिलाकर - एक प्रबंधन मॉडल।

5. मॉडल प्रसंस्करण उपकरण

सीएई सिस्टम का उपयोग करके, आप निम्नलिखित मॉडल प्रसंस्करण प्रक्रियाएं निष्पादित कर सकते हैं:

एक 3D मॉडल पर एक परिमित तत्व जाल को ओवरले करना,

ताप-तनावग्रस्त अवस्था की समस्याएँ; हाइड्रोगैसडायनामिक्स समस्याएं;

गर्मी और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण की समस्याएं;

संपर्क कार्य;

गतिक और गतिशील गणना, आदि।

कतारबद्ध मॉडल और पेट्री नेट पर आधारित जटिल उत्पादन प्रणालियों का सिमुलेशन मॉडलिंग

आमतौर पर, सीएई मॉड्यूल रंगीन और ग्रेस्केल छवियों, मूल और विकृत भागों को ओवरले करने और तरल और गैस प्रवाह की कल्पना करने की क्षमता प्रदान करते हैं।

FEM के अनुसार भौतिक मात्राओं के मॉडलिंग क्षेत्रों के लिए सिस्टम के उदाहरण: नास्ट्रान, एंसिस, कॉसमॉस, निसा, मोल्डफ्लो।

मैक्रो स्तर पर गतिशील प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए सिस्टम के उदाहरण: एडम्स और डायना - मैकेनिकल सिस्टम में, स्पाइस - इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में, पीए 9 - बहु-पहलू मॉडलिंग के लिए, यानी। मॉडलिंग प्रणालियों के लिए जिनके संचालन सिद्धांत विभिन्न प्रकृति की भौतिक प्रक्रियाओं के पारस्परिक प्रभाव पर आधारित हैं।

6. गणितीय मॉडलिंग. विश्लेषणात्मक और सिमुलेशन मॉडल

गणित का मॉडल -गणितीय वस्तुओं (संख्याएं, चर, सेट, आदि) और उनके बीच संबंधों का एक सेट, जो डिज़ाइन की गई तकनीकी वस्तु के कुछ (आवश्यक) गुणों को पर्याप्त रूप से दर्शाता है। गणितीय मॉडल ज्यामितीय, टोपोलॉजिकल, गतिशील, तार्किक आदि हो सकते हैं।

- प्रतिरूपित वस्तुओं के प्रतिनिधित्व की पर्याप्तता;

पर्याप्तता क्षेत्र पैरामीटर स्पेस में वह क्षेत्र है जिसके भीतर मॉडल त्रुटियां स्वीकार्य सीमा के भीतर रहती हैं।

- दक्षता (कम्प्यूटेशनल दक्षता)- संसाधन लागत द्वारा निर्धारित,
मॉडल को लागू करने के लिए आवश्यक (कंप्यूटर समय की खपत, उपयोग की गई मेमोरी, आदि);

- शुद्धता -गणना और सच्चे परिणामों के बीच संयोग की डिग्री (वस्तु और मॉडल के समान गुणों के अनुमानों के बीच पत्राचार की डिग्री) निर्धारित करता है।

गणित मॉडलिंग- गणितीय मॉडल बनाने की प्रक्रिया। निम्नलिखित चरण शामिल हैं: समस्या विवरण; एक मॉडल का निर्माण और उसका विश्लेषण; एक मॉडल का उपयोग करके डिज़ाइन समाधान प्राप्त करने के तरीकों का विकास; मॉडल और विधियों का प्रायोगिक सत्यापन और समायोजन।

निर्मित गणितीय मॉडल की गुणवत्ता काफी हद तक समस्या के सही निरूपण पर निर्भर करती है। हल की जा रही समस्या के तकनीकी और आर्थिक लक्ष्यों को निर्धारित करना, सभी प्रारंभिक जानकारी एकत्र करना और उसका विश्लेषण करना और तकनीकी सीमाएं निर्धारित करना आवश्यक है। मॉडल बनाने की प्रक्रिया में, सिस्टम विश्लेषण विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए।

मॉडलिंग प्रक्रिया, एक नियम के रूप में, प्रकृति में पुनरावृत्त होती है, जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण में, मॉडल विकास के पिछले चरणों में किए गए पिछले निर्णयों का स्पष्टीकरण शामिल होता है।

विश्लेषणात्मक मॉडल -संख्यात्मक गणितीय मॉडल जिन्हें आंतरिक और बाहरी मापदंडों पर आउटपुट मापदंडों की स्पष्ट निर्भरता के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। सिमुलेशन मॉडल -संख्यात्मक एल्गोरिथम मॉडल जो सिस्टम पर बाहरी प्रभावों की उपस्थिति में सिस्टम में प्रक्रियाओं को प्रदर्शित करते हैं। एल्गोरिथम मॉडल ऐसे मॉडल होते हैं जिनमें आउटपुट, आंतरिक और बाहरी मापदंडों के बीच संबंध एक मॉडलिंग एल्गोरिदम के रूप में अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट होता है। सिमुलेशन मॉडल का उपयोग अक्सर डिज़ाइन के सिस्टम स्तर पर किया जाता है। सिमुलेशन मॉडलिंग उन घटनाओं को पुन: प्रस्तुत करके किया जाता है जो सिम्युलेटेड समय में एक साथ या क्रमिक रूप से घटित होती हैं। सिमुलेशन मॉडल का एक उदाहरण कतार प्रणाली का अनुकरण करने के लिए पेट्री नेट का उपयोग है।

7. गणितीय मॉडल के निर्माण के मूल सिद्धांत

शास्त्रीय (आगमनात्मक) दृष्टिकोण.मॉडलिंग की जाने वाली वास्तविक वस्तु को अलग-अलग उपप्रणालियों में विभाजित किया गया है, अर्थात। मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा का चयन किया जाता है और लक्ष्य निर्धारित किए जाते हैं जो मॉडलिंग प्रक्रिया के व्यक्तिगत पहलुओं को दर्शाते हैं। प्रारंभिक डेटा के एक अलग सेट के आधार पर, सिस्टम के कामकाज के एक अलग पहलू को मॉडलिंग करने का लक्ष्य निर्धारित किया जाता है; इस लक्ष्य के आधार पर, भविष्य के मॉडल का एक निश्चित घटक बनता है। घटकों के एक सेट को एक मॉडल में संयोजित किया जाता है।

इस शास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग काफी सरल मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है जिसमें किसी वास्तविक वस्तु के कामकाज के व्यक्तिगत पहलुओं को अलग करना और पारस्परिक रूप से स्वतंत्र रूप से विचार करना संभव है। विशेष से सामान्य की ओर गति का एहसास कराता है।

प्रणालीगत दृष्टिकोण।बाहरी सिस्टम के विश्लेषण से ज्ञात प्रारंभिक डेटा के आधार पर, वे प्रतिबंध जो सिस्टम पर ऊपर से या उसके कार्यान्वयन की संभावनाओं के आधार पर लगाए जाते हैं, और संचालन के उद्देश्य के आधार पर, के लिए प्रारंभिक आवश्यकताएं सिस्टम मॉडल तैयार किया गया है। इन आवश्यकताओं के आधार पर, लगभग कुछ उपप्रणालियाँ और तत्व बनते हैं और संश्लेषण का सबसे जटिल चरण किया जाता है - सिस्टम घटकों का चयन, जिसके लिए विशेष चयन मानदंड का उपयोग किया जाता है। सिस्टम दृष्टिकोण मॉडल विकास के एक निश्चित अनुक्रम को भी मानता है, जिसमें डिज़ाइन के दो मुख्य चरणों की पहचान करना शामिल है: मैक्रो-डिज़ाइन और माइक्रो-डिज़ाइन।

मैक्रो डिज़ाइन चरण- वास्तविक प्रणाली और बाहरी वातावरण के बारे में डेटा के आधार पर, बाहरी वातावरण का एक मॉडल बनाया जाता है, सिस्टम मॉडल के निर्माण के लिए संसाधनों और सीमाओं की पहचान की जाती है, वास्तविक सिस्टम मॉडल की पर्याप्तता का आकलन करने के लिए एक सिस्टम मॉडल और मानदंड का चयन किया जाता है। सिस्टम का एक मॉडल और बाहरी वातावरण का एक मॉडल बनाने के बाद, सिस्टम के कामकाज की प्रभावशीलता की कसौटी के आधार पर, मॉडलिंग प्रक्रिया के दौरान एक इष्टतम नियंत्रण रणनीति का चयन किया जाता है, जिससे मॉडल की क्षमता का एहसास करना संभव हो जाता है। एक वास्तविक प्रणाली के कामकाज के व्यक्तिगत पहलुओं को पुन: पेश करें।

सूक्ष्म-डिज़ाइन चरणयह काफी हद तक चुने गए विशिष्ट प्रकार के मॉडल पर निर्भर करता है। सिमुलेशन मॉडल के मामले में, मॉडलिंग प्रणाली के लिए सूचना, गणितीय, तकनीकी और सॉफ्टवेयर समर्थन का निर्माण सुनिश्चित करना आवश्यक है। इस स्तर पर, आप बनाए गए मॉडल की मुख्य विशेषताओं को स्थापित कर सकते हैं, सिस्टम कामकाज की प्रक्रिया के साथ मॉडल के अनुपालन की दी गई गुणवत्ता प्राप्त करने के लिए इसके साथ काम करने में लगने वाले समय और संसाधनों की लागत का अनुमान लगा सकते हैं। मॉडल के प्रकार की परवाह किए बिना इस्तेमाल किया गया
इसे बनाते समय, व्यवस्थित दृष्टिकोण के कई सिद्धांतों द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है:

एक मॉडल बनाने के चरणों और दिशाओं के माध्यम से आनुपातिक और लगातार प्रगति;

सूचना, संसाधन, विश्वसनीयता और अन्य विशेषताओं का समन्वय;

मॉडलिंग प्रणाली में व्यक्तिगत पदानुक्रम स्तरों के बीच सही संबंध;

मॉडल निर्माण के व्यक्तिगत पृथक चरणों की अखंडता।

गणितीय मॉडलिंग में प्रयुक्त विधियों का विश्लेषण

गणितीय मॉडलिंग में, अंतर या पूर्णांक-अंतर आंशिक अंतर समीकरणों का समाधान संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके किया जाता है। ये विधियां स्वतंत्र चर के विवेकीकरण पर आधारित हैं - अध्ययन के तहत स्थान के चयनित नोडल बिंदुओं पर मूल्यों के एक सीमित सेट द्वारा उनका प्रतिनिधित्व। इन बिंदुओं को किसी ग्रिड के नोड के रूप में माना जाता है।

ग्रिड विधियों में, दो विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: परिमित अंतर विधि (एफडीएम) और परिमित तत्व विधि (एफईएम)। आमतौर पर, स्थानिक स्वतंत्र चर का विवेकीकरण किया जाता है, अर्थात। एक स्थानिक ग्रिड का उपयोग करें. इस मामले में, विवेकीकरण का परिणाम सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है, जिसे सीमा शर्तों का उपयोग करके बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली में घटा दिया जाता है।

मान लीजिए कि समीकरण को हल करना आवश्यक है एल.वी(जेड) = एफ(जेड)

दी गई सीमा शर्तों के साथ एमवी(जेड) = .(जेड),

कहाँ एलऔर एम-विभेदक ऑपरेटर, वी(जेड) - चरण चर, जेड= (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, टी) - स्वतंत्र चर का वेक्टर, एफ(जेड) और ψ.( जेड) - स्वतंत्र चर के दिए गए कार्य।

में एमकेआरस्थानिक निर्देशांक के संबंध में व्युत्पन्नों का बीजगणितीकरण परिमित-अंतर अभिव्यक्तियों द्वारा व्युत्पन्नों के सन्निकटन पर आधारित है। विधि का उपयोग करते समय, आपको प्रत्येक समन्वय और टेम्पलेट के प्रकार के लिए ग्रिड चरणों का चयन करना होगा। एक टेम्पलेट को नोडल बिंदुओं के एक सेट के रूप में समझा जाता है, जिसमें चर के मानों का उपयोग एक विशिष्ट बिंदु पर व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

फीयह डेरिवेटिव के नहीं, बल्कि स्वयं समाधान के सन्निकटन पर आधारित है वी(जेड). लेकिन चूँकि यह अज्ञात है, सन्निकटन अनिर्धारित गुणांक वाले व्यंजकों द्वारा किया जाता है।

इस मामले में, हम परिमित तत्वों के भीतर समाधान के सन्निकटन के बारे में बात कर रहे हैं, और उनके छोटे आकार को ध्यान में रखते हुए, हम अपेक्षाकृत सरल सन्निकटन अभिव्यक्तियों (उदाहरण के लिए, कम डिग्री के बहुपद) के उपयोग के बारे में बात कर सकते हैं। प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप ऐसे बहुपदमूल अंतर समीकरण में और विभेदन संचालन करते हुए, दिए गए बिंदुओं पर चरण चर के मान प्राप्त किए जाते हैं।

बहुपद सन्निकटन. विधियों का उपयोग एक बहुपद द्वारा एक सुचारू कार्य का अनुमान लगाने और फिर इष्टतम बिंदु के निर्देशांक का अनुमान लगाने के लिए अनुमानित बहुपद का उपयोग करने की संभावना से जुड़ा हुआ है। इस दृष्टिकोण के प्रभावी कार्यान्वयन के लिए आवश्यक शर्तें हैं एकरूपता और निरंतरता अध्ययनाधीन कार्य. वीयरस्ट्रैस के सन्निकटन प्रमेय के अनुसार, यदि कोई फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है, तो इसे पर्याप्त उच्च क्रम के बहुपद द्वारा सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ अनुमानित किया जा सकता है। वीयरस्ट्रैस के प्रमेय के अनुसार, अनुमानित बहुपद का उपयोग करके प्राप्त इष्टतम बिंदु के निर्देशांक के अनुमान की गुणवत्ता में दो तरीकों से सुधार किया जा सकता है: उच्च क्रम बहुपद का उपयोग करना और सन्निकटन अंतराल को कम करना। बहुपद प्रक्षेप का सबसे सरल संस्करण द्विघात सन्निकटन है, जो इस तथ्य पर आधारित है कि एक फ़ंक्शन जो अंतराल के आंतरिक बिंदु पर न्यूनतम मान लेता है वह कम से कम द्विघात होना चाहिए

अनुशासन "डिज़ाइन समाधानों के विश्लेषण के लिए मॉडल और तरीके" (कज़ाकोव यू.एम.)

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण.

गणितीय मॉडलों के अमूर्तन के स्तर।

गणितीय मॉडल के लिए आवश्यकताएँ।

स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की योजना।

मॉडल प्रसंस्करण उपकरण.

गणित मॉडलिंग. विश्लेषणात्मक और सिमुलेशन मॉडल।

गणितीय मॉडल के निर्माण के बुनियादी सिद्धांत।

गणितीय मॉडलिंग में प्रयुक्त विधियों का विश्लेषण।

1. गणितीय मॉडल का वर्गीकरण

गणित का मॉडल एक तकनीकी वस्तु का (एमएम) गणितीय वस्तुओं (संख्याएं, चर, आव्यूह, सेट, आदि) और उनके बीच संबंधों का एक सेट है, जो एक तकनीकी वस्तु के गुणों को पर्याप्त रूप से दर्शाता है जो इस वस्तु को विकसित करने वाले इंजीनियर के लिए रुचि रखते हैं।

वस्तु गुणों को प्रदर्शित करने की प्रकृति से:

कार्यात्मक - तकनीकी प्रणालियों में उनके संचालन के दौरान होने वाली भौतिक या सूचना प्रक्रियाओं को प्रदर्शित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। एक विशिष्ट कार्यात्मक मॉडल समीकरणों की एक प्रणाली है जो विद्युत, थर्मल, यांत्रिक प्रक्रियाओं या सूचना रूपांतरण प्रक्रियाओं का वर्णन करती है।

संरचनात्मक - किसी वस्तु के संरचनात्मक गुणों को प्रदर्शित करें (टोपोलॉजिकल, ज्यामितीय)। . संरचनात्मक मॉडल को अक्सर ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है।

पदानुक्रमित स्तर से संबंधित:

सूक्ष्म-स्तरीय मॉडल निरंतर स्थान और समय में भौतिक प्रक्रियाओं का प्रदर्शन हैं। मॉडलिंग के लिए गणितीय भौतिकी समीकरणों के उपकरण का उपयोग किया जाता है। ऐसे समीकरणों के उदाहरण आंशिक अवकल समीकरण हैं।

मैक्रो-स्तरीय मॉडल। मूलभूत विशेषताओं के अनुसार स्थान का विस्तार और विवरण का उपयोग किया जाता है। वृहद स्तर पर कार्यात्मक मॉडल बीजगणितीय या साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियाँ हैं; उन्हें प्राप्त करने और हल करने के लिए उपयुक्त संख्यात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है।

मेटा-स्तरीय मॉडल। विचाराधीन वस्तुओं का विस्तार से वर्णन किया गया है। मेटा स्तर पर गणितीय मॉडल - साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियाँ, तार्किक समीकरणों की प्रणालियाँ, कतारबद्ध प्रणालियों के सिमुलेशन मॉडल।

मॉडल प्राप्त करने की विधि द्वारा:

सैद्धांतिक - पैटर्न के अध्ययन पर आधारित। अनुभवजन्य मॉडल के विपरीत, ज्यादातर मामलों में सैद्धांतिक मॉडल अधिक सार्वभौमिक होते हैं और समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होते हैं। सैद्धांतिक मॉडल रैखिक और अरेखीय, सतत और असतत, गतिशील और सांख्यिकीय हैं।

प्रयोगसिद्ध

CAD में गणितीय मॉडल के लिए मुख्य आवश्यकताएँ:

प्रतिरूपित वस्तुओं के प्रतिनिधित्व की पर्याप्तता;

पर्याप्तता तब होती है जब मॉडल स्वीकार्य सटीकता के साथ वस्तु के निर्दिष्ट गुणों को दर्शाता है और प्रतिबिंबित गुणों और पर्याप्तता के क्षेत्रों की एक सूची द्वारा मूल्यांकन किया जाता है। पर्याप्तता क्षेत्र पैरामीटर स्पेस में वह क्षेत्र है जिसके भीतर मॉडल त्रुटियां स्वीकार्य सीमा के भीतर रहती हैं।

अर्थव्यवस्था (कम्प्यूटेशनल दक्षता)- मॉडल को लागू करने के लिए आवश्यक संसाधनों की लागत (कंप्यूटर समय लागत, उपयोग की गई मेमोरी, आदि) द्वारा निर्धारित;

शुद्धता- गणना और सही परिणामों के बीच संयोग की डिग्री (वस्तु और मॉडल के समान गुणों के अनुमानों के बीच पत्राचार की डिग्री) निर्धारित करता है।

गणितीय मॉडल पर कई अन्य आवश्यकताएँ भी लगाई जाती हैं:

कम्प्यूटेबिलिटी, अर्थात। किसी वस्तु (सिस्टम) के कामकाज के गुणात्मक और मात्रात्मक पैटर्न का मैन्युअल रूप से या कंप्यूटर की मदद से अध्ययन करने की क्षमता।

प्रतिरूपकता, अर्थात। वस्तु (सिस्टम) के संरचनात्मक घटकों के साथ मॉडल संरचनाओं का पत्राचार।

एल्गोरिथमबिलिटी, अर्थात। एक उपयुक्त एल्गोरिदम और प्रोग्राम विकसित करने की संभावना जो कंप्यूटर पर गणितीय मॉडल लागू करता है।

दृश्यता, अर्थात। मॉडल की सुविधाजनक दृश्य धारणा।

मेज़। गणितीय मॉडल का वर्गीकरण

वर्गीकरण के लक्षण	गणितीय मॉडल के प्रकार
1. एक पदानुक्रमित स्तर से संबंधित	सूक्ष्म स्तरीय मॉडल मैक्रो-स्तरीय मॉडल मेटा-स्तरीय मॉडल
2. प्रदर्शित वस्तु गुणों की प्रकृति	संरचनात्मक कार्यात्मक
3. वस्तु के गुणों को निरूपित करने की विधि	विश्लेषणात्मक एल्गोरिथम नकल
4. मॉडल प्राप्त करने की विधि	सैद्धांतिक प्रयोगसिद्ध
5. वस्तु व्यवहार की विशेषताएं	नियतिवादी संभाव्य

सूक्ष्म स्तर पर गणितीय मॉडलउत्पादन प्रक्रिया होने वाली भौतिक प्रक्रियाओं को दर्शाती है, उदाहरण के लिए, धातुओं को काटते समय। वे संक्रमण स्तर पर प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं।

वृहत स्तर पर गणितीय मॉडलउत्पादन प्रक्रिया तकनीकी प्रक्रियाओं का वर्णन करती है।

मेटा स्तर पर गणितीय मॉडलउत्पादन प्रक्रिया को तकनीकी प्रणालियों (साइटों, कार्यशालाओं, समग्र रूप से उद्यम) द्वारा वर्णित किया गया है।

संरचनात्मक गणितीय मॉडलवस्तुओं के संरचनात्मक गुणों को प्रदर्शित करने का इरादा है। उदाहरण के लिए, सीएडी टीपी में, तकनीकी प्रक्रिया की संरचना और उत्पादों के विच्छेदन का प्रतिनिधित्व करने के लिए संरचनात्मक-तार्किक मॉडल का उपयोग किया जाता है।

कार्यात्मक गणितीय मॉडलतकनीकी प्रक्रियाओं आदि के दौरान ऑपरेटिंग उपकरणों में होने वाली सूचनात्मक, भौतिक, समय प्रक्रियाओं को प्रदर्शित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सैद्धांतिक गणितीय मॉडलसैद्धांतिक स्तर पर वस्तुओं (प्रक्रियाओं) के अध्ययन के परिणामस्वरूप निर्मित होते हैं।

अनुभवजन्य गणितीय मॉडलप्रयोगों के संचालन (इनपुट और आउटपुट पर इसके मापदंडों को मापकर किसी वस्तु के गुणों की बाहरी अभिव्यक्तियों का अध्ययन करना) और गणितीय आंकड़ों के तरीकों का उपयोग करके उनके परिणामों को संसाधित करने के परिणामस्वरूप बनाए जाते हैं।

नियतात्मक गणितीय मॉडलवर्तमान और भविष्य में पूर्ण निश्चितता की स्थिति से किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करें। ऐसे मॉडलों के उदाहरण: भौतिक कानूनों के सूत्र, प्रसंस्करण भागों के लिए तकनीकी प्रक्रियाएं आदि।

संभाव्य गणितीय मॉडलवस्तु के व्यवहार पर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में रखें, अर्थात। कुछ घटनाओं की संभावना के दृष्टिकोण से इसके भविष्य का आकलन करें।

विश्लेषणात्मक मॉडल - संख्यात्मक गणितीय मॉडल जिन्हें आंतरिक और बाहरी मापदंडों पर आउटपुट मापदंडों की स्पष्ट निर्भरता के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एल्गोरिथम गणितीय मॉडलएक एल्गोरिदम के रूप में आउटपुट पैरामीटर और इनपुट और आंतरिक पैरामीटर के बीच कनेक्शन व्यक्त करें।

सिमुलेशन गणितीय मॉडल- ये एल्गोरिथम मॉडल हैं जो समय के साथ एक प्रक्रिया के विकास (अध्ययन के तहत वस्तु का व्यवहार) को दर्शाते हैं जब प्रक्रिया (वस्तु) पर बाहरी प्रभाव निर्दिष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, ये एल्गोरिथम रूप में निर्दिष्ट कतारबद्ध प्रणालियों के मॉडल हैं।