Frazione periodica infinita. Articoli taggati "come scrivere un numero come decimale infinitamente periodico"

Decimali infiniti

I decimali dopo la virgola possono contenere un numero infinito di cifre.

Decimali infiniti- queste sono frazioni decimali, che contengono un numero infinito di cifre.

Una frazione decimale infinita è quasi impossibile da scrivere completamente, quindi quando la scrivono si limitano solo a un certo numero finito di cifre dopo il punto decimale, dopo di che inseriscono dei puntini di sospensione, che indicano una sequenza di cifre infinitamente continua.

Esempio 1

Ad esempio, $0.443340831\dots ; 3.1415935432\punti ; 135.126730405\punti ; 4.33333333333\punti ; 676.68349349\punti$.

Diamo un'occhiata agli ultimi due decimali infiniti. Nella frazione $4.33333333333\dots$ la cifra $3$ viene ripetuta all'infinito, mentre nella frazione $676.68349349\dots$ il gruppo di cifre $3$, $4$ e $9$ viene ripetuto a partire dalla terza cifra decimale. Tali frazioni decimali infinite sono chiamate periodiche.

Decimali periodici

Decimali periodici(O frazioni periodiche) sono frazioni decimali infinite, nella cui registrazione un numero o un gruppo di numeri, chiamato periodo della frazione, viene ripetuto all'infinito a partire da una certa cifra decimale).

Esempio 2

Ad esempio, il periodo della frazione periodica $4.33333333333\dots$ è la cifra $3$, mentre il periodo della frazione $676.68349349\dots$ è il gruppo di cifre $349$.

Per brevità nella scrittura di frazioni decimali periodiche infinite, è consuetudine scrivere il punto una volta, racchiudendolo tra parentesi. Ad esempio, la frazione periodica $4.33333333333\dots$ viene scritta $4,(3)$, mentre la frazione periodica $676.68349349\dots$ viene scritta $676.68(349)$.

Le frazioni decimali periodiche infinite si ottengono convertendo le frazioni comuni i cui denominatori contengono fattori primi diversi da $2$ e $5$ in frazioni decimali.

Qualsiasi frazione decimale finita (e intero) può essere scritta come frazione periodica aggiungendo un numero infinito di cifre $0$ a destra.

Esempio 3

Ad esempio, il decimale finito $45,12$ potrebbe essere scritto come frazione periodica come $45,12(0)$, e l'intero $(74)$ come decimale periodico infinito sarebbe $74(0)$.

Nel caso di frazioni periodiche che hanno un periodo pari a 9, utilizzare una transizione a un'altra notazione di frazione periodica con un periodo pari a $0$. Solo a questo scopo, il periodo 9 viene sostituito dal periodo $0$ e il valore della cifra successiva più alta viene aumentato di $1$.

Esempio 4

Ad esempio, la frazione periodica $7,45(9)$ può essere sostituita dalla frazione periodica $7,46(0)$ o dalla frazione decimale equivalente $7,46$.

Le frazioni periodiche decimali infinite sono rappresentate da numeri razionali. In altre parole, qualsiasi frazione periodica può essere convertita in una frazione comune e qualsiasi frazione comune può essere rappresentata come frazione periodica.

Conversione delle frazioni in decimali periodici finiti e infiniti

Non solo le frazioni ordinarie con denominatori $10, 100, \dots$ possono essere convertite in frazioni decimali.

In alcuni casi, la frazione comune originale può essere facilmente ridotta al denominatore di $10$, $100$ o $1\000$, dopodiché la frazione risultante può essere rappresentata come frazione decimale.

Esempio 5

Per convertire la frazione $\frac(3)(5)$ in una frazione con denominatore $10$, è necessario moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per $2$, dopodiché otteniamo $\frac(6)( 10)$, che non è difficile da tradurre nella frazione decimale $0,6$.

Per gli altri casi, viene utilizzato un altro metodo per convertire una frazione comune in un decimale):

il numeratore deve essere sostituito con una frazione decimale contenente un qualsiasi numero di zeri dopo la virgola decimale;

dividere il numeratore della frazione per il denominatore (la divisione viene eseguita come divisione di numeri naturali in una colonna e nel quoziente viene inserito un punto decimale dopo la fine della divisione dell'intera parte del dividendo).

Esempio 6

Converti la frazione $\frac(621)(4)$ in un decimale.

Soluzione.

Rappresentiamo il numero $621$ al numeratore come frazione decimale. Per fare ciò, aggiungi un punto decimale e, per cominciare, due zeri dopo. Quindi, se necessario, puoi aggiungere più zeri. Quindi, abbiamo ricevuto $ 621,00 $.

Dividiamo il numero $621,00$ per $4$ in una colonna:

Immagine 1.

La divisione raggiungeva la virgola decimale nel dividendo e il resto non era zero. In questo caso si mette un punto decimale nel quoziente e la divisione continua in una colonna, indipendentemente dalle virgole:

Figura 2.

Il resto è zero, il che significa che la divisione è terminata.

Risposta: $155,25$.

È possibile che quando si divide il numeratore e il denominatore di una frazione ordinaria, il resto non dia $0$. In questo caso la divisione può essere continuata indefinitamente. A partire da un certo momento, i resti della divisione si ripetono periodicamente, il che significa che si ripetono anche i numeri del quoziente. Da ciò possiamo concludere che questa frazione ordinaria verrà convertita in una frazione decimale periodica infinita.

Esempio 7

Converti la frazione $\frac(19)(44)$ in un decimale.

Soluzione.)

Per convertire una frazione comune in un decimale, esegui una divisione lunga:

Figura 3.

Nella divisione si ripetono i resti $8$ e $36$ e nel quoziente si ripetono anche i numeri $1$ e $8$. Pertanto, la frazione ordinaria originale $\frac(19)(44)$ è stata convertita in una frazione periodica $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$.

Risposta: $0,43(18)$.

Conclusione generale sulla conversione delle frazioni ordinarie in decimali:

se il denominatore può essere scomposto in fattori primi, tra i quali saranno presenti solo i numeri $2$ e $5$, allora tale frazione può essere convertita in una frazione decimale finale;

se, oltre ai numeri $2$ e $5$, l'espansione del denominatore contiene altri numeri primi, allora tale frazione viene convertita in una frazione periodica decimale infinita.

Per scrivere un numero razionale m/n come frazione decimale, devi dividere il numeratore per il denominatore. In questo caso il quoziente si scrive come frazione decimale finita o infinita.

Scrivi questo numero come frazione decimale.

Soluzione. Dividi il numeratore di ciascuna frazione in una colonna per il suo denominatore: UN) dividere 6 per 25; B) dividere 2 per 3; V) dividere 1 per 2, quindi aggiungere la frazione risultante a uno, la parte intera di questo numero misto.

Frazioni ordinarie irriducibili i cui denominatori non contengono fattori primi diversi da 2 E 5 , sono scritti come frazione decimale finale.

IN Esempio 1 Quando UN) denominatore 25=5·5; Quando V) il denominatore è 2, quindi otteniamo i decimali finali di 0,24 e 1,5. Quando B) il denominatore è 3, quindi il risultato non può essere scritto come un decimale finito.

È possibile, senza una lunga divisione, convertire in una frazione decimale una frazione così ordinaria, il cui denominatore non contiene altri divisori oltre a 2 e 5? Scopriamolo! Quale frazione è chiamata decimale ed è scritta senza barra di frazione? Risposta: frazione con denominatore 10; 100; 1000, ecc. E ciascuno di questi numeri è un prodotto pari numero di due e cinque. Infatti: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 ecc.

Di conseguenza, il denominatore di una frazione ordinaria irriducibile dovrà essere rappresentato come il prodotto di “due” e “cinque”, e quindi moltiplicato per 2 e (o) 5 in modo che i “due” e i “cinque” diventino uguali. Quindi il denominatore della frazione sarà uguale a 10 o 100 o 1000, ecc. Per garantire che il valore della frazione non cambi, moltiplichiamo il numeratore della frazione per lo stesso numero per il quale abbiamo moltiplicato il denominatore.

Esprimi le seguenti frazioni comuni come decimali:

Soluzione. Ognuna di queste frazioni è irriducibile. Fattorizziamo il denominatore di ciascuna frazione in fattori primi.

20=2·2·5. Conclusione: manca una “A”.

8=2·2·2. Conclusione: mancano tre “A”.

25=5·5. Conclusione: mancano due “due”.

Commento. In pratica, spesso non usano la fattorizzazione del denominatore, ma si pongono semplicemente la domanda: di quanto moltiplicare il denominatore affinché il risultato sia uno con zeri (10 o 100 o 1000, ecc.). E poi il numeratore viene moltiplicato per lo stesso numero.

Quindi, nel caso UN)(esempio 2) dal numero 20 si ottiene 100 moltiplicando per 5, quindi bisogna moltiplicare numeratore e denominatore per 5.

Quando B)(esempio 2) dal numero 8 non si otterrà il numero 100, ma moltiplicando per 125 si otterrà il numero 1000. Sia il numeratore (3) che il denominatore (8) della frazione si moltiplicano per 125.

Quando V)(esempio 2) da 25 si ottiene 100 se si moltiplica per 4. Ciò significa che il numeratore 8 deve essere moltiplicato per 4.

Viene chiamata una frazione decimale infinita in cui una o più cifre si ripetono invariabilmente nella stessa sequenza periodico come decimale. L'insieme delle cifre ripetute è chiamato periodo di questa frazione. Per brevità, il punto di una frazione si scrive una volta, racchiuso tra parentesi tonde.

Quando B)(esempio 1) c'è solo una cifra ripetuta ed è uguale a 6. Pertanto, il nostro risultato 0.66... ​​​​sarà scritto così: 0,(6) . Leggono: punto zero, sei di punto.

Se tra il punto decimale e il primo punto ci sono una o più cifre non ripetitive, tale frazione periodica è chiamata frazione periodica mista.

Una frazione comune irriducibile il cui denominatore è insieme ad altri moltiplicatore contiene moltiplicatore 2 O 5 , diventa misto frazione periodica.

Scrivi i numeri come frazione decimale:

Qualsiasi numero razionale può essere scritto come una frazione decimale periodica infinita.

Scrivi i numeri come una frazione periodica infinita.

Frazione periodica

una frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo punto, c'è solo un certo gruppo di cifre ripetuto periodicamente. Ad esempio, 1.3181818...; In breve, questa frazione si scrive così: 1.3(18), cioè mettono il punto tra parentesi (e dicono: “18 nel periodo”). P. si dice puro se il punto inizia subito dopo la virgola, ad esempio 2(71) = 2.7171..., e misto se dopo la virgola ci sono numeri che precedono il punto, ad esempio 1.3(18). Il ruolo delle frazioni decimali nell'aritmetica è dovuto al fatto che quando i numeri razionali, cioè le frazioni ordinarie (semplici), sono rappresentati da frazioni decimali, si ottengono sempre frazioni finite o periodiche. Più precisamente: una frazione decimale finale si ottiene quando il denominatore di una frazione semplice irriducibile non contiene altri fattori primi oltre a 2 e 5; in tutti gli altri casi il risultato è una frazione P., e inoltre è pura se il denominatore di una data frazione irriducibile non contiene affatto i fattori 2 e 5, e mista se almeno uno di questi fattori è contenuto al denominatore. Qualsiasi frazione frazionaria può essere convertita in una frazione semplice (cioè uguale a un numero razionale). Una frazione pura è uguale a una frazione semplice, il cui numeratore è il periodo, e il denominatore è rappresentato dal numero 9, scritto tante volte quante sono le cifre del periodo; Quando si converte una frazione mista in frazione semplice, il numeratore è la differenza tra il numero rappresentato dai numeri che precedono il secondo periodo e il numero rappresentato dai numeri che precedono il primo periodo; Per comporre il denominatore, è necessario scrivere il numero 9 tante volte quanti sono i numeri nel punto e aggiungere a destra tanti zeri quanti sono i numeri prima del punto. Queste regole presuppongono che il dato P. sia corretto, cioè non contenga unità intere; altrimenti viene data particolare considerazione all'intera parte.

Sono note anche le regole per determinare la lunghezza del periodo di una frazione corrispondente ad una data frazione ordinaria. Ad esempio, per una frazione a/p, Dove R - numero primo e 1 ≤ UN ≤ P- 1, la durata del periodo è un divisore R - 1. Quindi, per approssimazioni note a un numero (vedi Pi) I periodi 22/7 e 355/113 sono rispettivamente pari a 6 e 112.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Sinonimi:

Scopri cos'è la "frazione periodica" in altri dizionari:

Una frazione decimale infinita in cui, ad esempio, a partire da una certa posizione si ripete periodicamente un certo gruppo di cifre (punto). 0,373737... frazione periodica pura o 0,253737... frazione periodica mista... Grande dizionario enciclopedico

Frazione, frazione infinita Dizionario dei sinonimi russi. sostantivo frazione periodica, numero di sinonimi: 2 frazione infinita (2) ... Dizionario dei sinonimi

Una frazione decimale in cui una serie di cifre vengono ripetute nello stesso ordine. Ad esempio, 0,135135135... è un p.d. il cui periodo è 135 e che equivale alla frazione semplice 135/999 = 5/37. Dizionario delle parole straniere incluse nella lingua russa. Pavlenkov F... Dizionario delle parole straniere della lingua russa

Un decimale è una frazione con denominatore 10n, dove n è un numero naturale. Ha una forma speciale di notazione: una parte intera nel sistema numerico decimale, poi una virgola e poi una parte frazionaria nel sistema numerico decimale, e il numero di cifre della parte frazionaria... Wikipedia

Frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo punto, si ripete periodicamente un certo gruppo di cifre (punto); ad esempio, 0,373737... frazione periodica pura o 0,253737... frazione periodica mista. * * * PERIODICO… … Dizionario enciclopedico

Frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo luogo, la definizione viene periodicamente ripetuta. gruppo di cifre (punto); ad esempio 0,373737... P. d puro oppure 0,253737... P. misto ... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Vedi parte... Dizionario dei sinonimi russi ed espressioni simili. Sotto. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. frazione trifle, parte; dunst, palla, pasto, pallettoni; numero frazionario Dizionario dei sinonimi russi ... Dizionario dei sinonimi

decimale periodico- - [L.G. Dizionario inglese-russo sull'informatica. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Argomenti informatica in generale EN decimale circolantedecimale ricorrentedecimale periodicodecimale periodicodecimale periodico ... Guida del traduttore tecnico

Se un intero a viene diviso per un altro intero b, cioè si cerca un numero x che soddisfa la condizione bx = a, allora possono verificarsi due casi: o nella serie degli interi c'è un numero x che soddisfa questa condizione, oppure risulta,… … Dizionario Enciclopedico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

Una frazione il cui denominatore è una potenza intera di 10. Le frazioni vengono scritte senza denominatore, separando con una virgola tante cifre nel numeratore a destra quanti sono gli zeri nel denominatore. Ad esempio, in un disco del genere, la parte a sinistra... ... Grande Enciclopedia Sovietica

Succede che per comodità dei calcoli è necessario convertire una frazione ordinaria in un decimale e viceversa. Parleremo di come farlo in questo articolo. Diamo un'occhiata alle regole per convertire le frazioni ordinarie in decimali e viceversa e forniamo anche esempi.

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Considereremo la conversione delle frazioni ordinarie in decimali, seguendo una determinata sequenza. Innanzitutto, diamo un'occhiata a come le frazioni ordinarie con un denominatore multiplo di 10 vengono convertite in decimali: 10, 100, 1000, ecc. Le frazioni con tali denominatori sono, in effetti, una notazione più ingombrante delle frazioni decimali.

Successivamente vedremo come convertire le frazioni ordinarie con qualsiasi denominatore, non solo multipli di 10, in frazioni decimali. Si noti che quando si convertono le frazioni ordinarie in decimali, si ottengono non solo decimali finiti, ma anche frazioni decimali periodiche infinite.

Iniziamo!

Traduzione delle frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, 1000, ecc. ai decimali

Prima di tutto diciamo che alcune frazioni richiedono una certa preparazione prima di essere convertite in forma decimale. Che cos'è? Prima del numero nel numeratore, devi aggiungere così tanti zeri in modo che il numero di cifre nel numeratore diventi uguale al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, per la frazione 3100, il numero 0 deve essere aggiunto una volta a sinistra del 3 nel numeratore. La frazione 610, secondo la regola sopra esposta, non necessita di modifiche.

Consideriamo un altro esempio, dopo di che formuleremo una regola che è particolarmente comoda da usare all'inizio, mentre non c'è molta esperienza nella conversione delle frazioni. Quindi, la frazione 1610000 dopo aver aggiunto gli zeri al numeratore apparirà come 001510000.

Come convertire una frazione comune con un denominatore di 10, 100, 1000, ecc. al decimale?

Regola per convertire le frazioni proprie ordinarie in decimali

1. Scrivi 0 e metti una virgola dopo.
2. Annotiamo il numero dal numeratore ottenuto dopo aver aggiunto gli zeri.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1: conversione delle frazioni in decimali

Convertiamo la frazione 39.100 in un decimale.

Innanzitutto, guardiamo la frazione e vediamo che non è necessario eseguire alcuna azione preparatoria: il numero di cifre nel numeratore coincide con il numero di zeri nel denominatore.

Seguendo la regola, scriviamo 0, mettiamo dopo un punto decimale e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0,39.

Diamo un'occhiata alla soluzione di un altro esempio su questo argomento.

Esempio 2: conversione delle frazioni in decimali

Scriviamo la frazione 105 10000000 come decimale.

Il numero di zeri nel denominatore è 7 e il numeratore ha solo tre cifre. Aggiungiamo altri 4 zeri prima del numero nel numeratore:

0000105 10000000

Ora scriviamo 0, mettiamo un punto decimale dopo e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0,0000105.

Le frazioni considerate in tutti gli esempi sono frazioni proprie ordinarie. Ma come si converte una frazione impropria in un decimale? Diciamo subito che per tali frazioni non è necessaria la preparazione con l'aggiunta di zeri. Formuliamo una regola.

Regola per convertire le frazioni improprie ordinarie in decimali

1. Scrivi il numero che si trova nel numeratore.
2. Usiamo un punto decimale per separare tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione originale.

Di seguito è riportato un esempio di come utilizzare questa regola.

Esempio 3. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione 56888038009 100000 da una frazione irregolare ordinaria a un decimale.

Innanzitutto, scriviamo il numero dal numeratore:

Ora, a destra, separiamo cinque cifre con un punto decimale (il numero di zeri nel denominatore è cinque). Noi abbiamo:

La domanda successiva che sorge spontanea è: come convertire un numero misto in una frazione decimale se il denominatore della sua parte frazionaria è il numero 10, 100, 1000, ecc. Per convertire un tale numero in una frazione decimale, puoi utilizzare la seguente regola.

Regola per convertire i numeri misti in decimali

1. Prepariamo la parte frazionaria del numero, se necessario.
2. Scriviamo l'intera parte del numero originale e inseriamo una virgola dopo.
3. Scriviamo il numero dal numeratore della parte frazionaria insieme agli zeri aggiunti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 4: conversione di numeri misti in decimali

Convertiamo il numero misto 23 17 10000 in una frazione decimale.

Nella parte frazionaria abbiamo l'espressione 17 10000. Prepariamolo e aggiungiamo altri due zeri a sinistra del numeratore. Otteniamo: 0017 10000.

Ora scriviamo l'intera parte del numero e mettiamo dopo una virgola: 23, . .

Dopo la virgola decimale, annota il numero dal numeratore insieme agli zeri. Otteniamo il risultato:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversione delle frazioni ordinarie in frazioni periodiche finite e infinite

Naturalmente puoi convertire in decimali e frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10, 100, 1000, ecc.

Spesso una frazione può essere facilmente ridotta a un nuovo denominatore e quindi utilizzare la regola esposta nel primo paragrafo di questo articolo. Ad esempio, è sufficiente moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione 25 per 2 e otteniamo la frazione 410, che può essere facilmente convertita nella forma decimale 0,4.

Tuttavia, questo metodo per convertire una frazione in un numero decimale non può essere sempre utilizzato. Di seguito considereremo cosa fare se è impossibile applicare il metodo considerato.

Un modo fondamentalmente nuovo per convertire una frazione in un numero decimale è dividere il numeratore per il denominatore con una colonna. Questa operazione è molto simile alla divisione dei numeri naturali per una colonna, ma ha le sue caratteristiche.

Durante la divisione, il numeratore viene rappresentato come una frazione decimale: viene posizionata una virgola a destra dell'ultima cifra del numeratore e vengono aggiunti gli zeri. Nel quoziente risultante, viene inserito un punto decimale quando termina la divisione della parte intera del numeratore. Come funziona esattamente questo metodo diventerà chiaro dopo aver esaminato gli esempi.

Esempio 5. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione comune 621 4 in forma decimale.

Rappresentiamo il numero 621 dal numeratore come una frazione decimale, aggiungendo alcuni zeri dopo la virgola decimale. 621 = 621,00

Ora dividiamo 621,00 per 4 utilizzando una colonna. I primi tre passaggi della divisione saranno gli stessi della divisione dei numeri naturali e otterremo.

Quando raggiungiamo la virgola nel dividendo e il resto è diverso da zero, inseriamo la virgola nel quoziente e continuiamo a dividere, senza più prestare attenzione alla virgola nel dividendo.

Di conseguenza, otteniamo la frazione decimale 155, 25, che è il risultato dell'inversione della frazione comune 621 4

621 4 = 155 , 25

Diamo un'occhiata a un altro esempio per rafforzare il materiale.

Esempio 6. Conversione di frazioni in decimali

Invertiamo la frazione comune 21 800.

Per fare ciò, dividi la frazione 21.000 in una colonna per 800. La divisione dell'intera parte terminerà al primo passaggio, quindi subito dopo inseriamo un punto decimale nel quoziente e continuiamo la divisione, senza prestare attenzione alla virgola nel dividendo finché non otteniamo un resto pari a zero.

Di conseguenza, abbiamo: 21.800 = 0,02625.

Ma cosa succede se dividendo non otteniamo ancora il resto 0? In questi casi la divisione può essere continuata all'infinito. Tuttavia, a partire da un certo passaggio, i residui verranno ripetuti periodicamente. Di conseguenza, i numeri nel quoziente verranno ripetuti. Ciò significa che una frazione ordinaria viene convertita in una frazione periodica infinita decimale. Illustriamolo con un esempio.

Esempio 7. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione comune 19 44 in un decimale. Per fare ciò, eseguiamo la divisione per colonna.

Vediamo che durante la divisione si ripetono i residui 8 e 36. In questo caso i numeri 1 e 8 si ripetono nel quoziente. Questo è il periodo nella frazione decimale. Durante la registrazione, questi numeri vengono posti tra parentesi.

Pertanto, la frazione ordinaria originale viene convertita in una frazione decimale periodica infinita.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Consideriamo una frazione ordinaria irriducibile. Che forma assumerà? Quali frazioni ordinarie vengono convertite in numeri decimali finiti e quali vengono convertite in numeri decimali infiniti?

Innanzitutto diciamo che se una frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1000..., allora avrà la forma di una frazione decimale finale. Affinché una frazione possa essere ridotta a uno di questi denominatori, il suo denominatore deve essere un divisore di almeno uno dei numeri 10, 100, 1000, ecc. Dalle regole per la scomposizione dei numeri in fattori primi ne consegue che il divisore dei numeri è 10, 100, 1000, ecc. deve, se scomposto in fattori primi, contenere solo i numeri 2 e 5.

Riassumiamo quanto detto:

1. Una frazione comune può essere ridotta a un decimale finale se il suo denominatore può essere scomposto in fattori primi di 2 e 5.
2. Se, oltre ai numeri 2 e 5, ci sono altri numeri primi nell'espansione del denominatore, la frazione si riduce alla forma di una frazione decimale periodica infinita.

Facciamo un esempio.

Esempio 8. Conversione di frazioni in decimali

Quale di queste frazioni 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 viene convertita in una frazione decimale finale e quale - solo in una frazione periodica. Rispondiamo a questa domanda senza convertire direttamente una frazione in un decimale.

La frazione 47 20, come è facile vedere, moltiplicando numeratore e denominatore per 5 si riduce ad un nuovo denominatore 100.

47 20 = 235 100. Da ciò concludiamo che questa frazione viene convertita in una frazione decimale finale.

Fattorizzando il denominatore della frazione 7 12 si ottiene 12 = 2 · 2 · 3. Poiché il fattore primo 3 è diverso da 2 e 5, questa frazione non può essere rappresentata come una frazione decimale finita, ma avrà la forma di una frazione periodica infinita.

La frazione 21 56, in primo luogo, deve essere ridotta. Dopo la riduzione per 7, otteniamo la frazione irriducibile 3 8, il cui denominatore viene fattorizzato per dare 8 = 2 · 2 · 2. Pertanto è una frazione decimale finale.

Nel caso della frazione 31 17, fattorizzare il denominatore è il numero primo 17 stesso. Di conseguenza, questa frazione può essere convertita in una frazione decimale periodica infinita.

Una frazione ordinaria non può essere convertita in una frazione decimale infinita e non periodica

Sopra abbiamo parlato solo di frazioni periodiche finite e infinite. Ma è possibile convertire una qualsiasi frazione ordinaria in una frazione infinita non periodica?

Rispondiamo: no!

Importante!

Quando si converte una frazione infinita in un decimale, il risultato è un decimale finito o un decimale periodico infinito.

Il resto di una divisione è sempre minore del divisore. In altre parole, secondo il teorema di divisibilità, se dividiamo un numero naturale per il numero q, in ogni caso il resto della divisione non può essere maggiore di q-1. Una volta completata la divisione, è possibile una delle seguenti situazioni:

1. Otteniamo un resto pari a 0, ed è qui che finisce la divisione.
2. Otteniamo un resto, che si ripete nelle divisioni successive, risultando in una frazione periodica infinita.

Non possono esserci altre opzioni quando si converte una frazione in un decimale. Diciamo anche che la lunghezza del periodo (numero di cifre) in una frazione periodica infinita è sempre inferiore al numero di cifre nel denominatore della corrispondente frazione ordinaria.

Conversione dei decimali in frazioni

Ora è il momento di osservare il processo inverso di conversione di una frazione decimale in una frazione comune. Formuliamo una regola di traduzione che comprende tre fasi. Come convertire una frazione decimale in una frazione comune?

Regola per convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie

1. Al numeratore scriviamo il numero della frazione decimale originale, scartando la virgola e tutti gli zeri a sinistra, se presenti.
2. Al denominatore scriviamo uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale.
3. Se necessario, ridurre la frazione ordinaria risultante.

Diamo un'occhiata all'applicazione di questa regola utilizzando esempi.

Esempio 8. Conversione di frazioni decimali in frazioni ordinarie

Immaginiamo il numero 3.025 come una frazione ordinaria.

1. Scriviamo la frazione decimale stessa al numeratore, scartando la virgola: 3025.
2. Al denominatore scriviamo uno e dopo tre zeri: questo è esattamente il numero di cifre contenute nella frazione originale dopo il punto decimale: 3025 1000.
3. La frazione risultante 3025 1000 può essere ridotta di 25, ottenendo: 3025 1000 = 121 40.

Esempio 9. Conversione di frazioni decimali in frazioni ordinarie

Convertiamo la frazione 0,0017 da decimale a ordinaria.

1. Al numeratore scriviamo la frazione 0, 0017, scartando la virgola e gli zeri a sinistra. Saranno le 17.
2. Scriviamo uno al denominatore e dopo scriviamo quattro zeri: 17 10000. Questa frazione è irriducibile.

Se una frazione decimale ha una parte intera, tale frazione può essere immediatamente convertita in un numero misto. Come farlo?

Formuliamo un'altra regola.

Regola per convertire le frazioni decimali in numeri misti.

1. Il numero prima della virgola nella frazione viene scritto come parte intera del numero misto.
2. Al numeratore scriviamo il numero dopo la virgola della frazione, scartando gli zeri a sinistra se ce ne sono.
3. Al denominatore della parte frazionaria aggiungiamo uno e tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola decimale nella parte frazionaria.

Facciamo un esempio

Esempio 10. Conversione di un decimale in un numero misto

Immaginiamo la frazione 155, 06005 come un numero misto.

1. Scriviamo il numero 155 come parte intera.
2. Al numeratore scriviamo i numeri dopo la virgola, scartando lo zero.
3. Scriviamo uno e cinque zeri al denominatore

Impariamo un numero misto: 155 6005 100000

La parte frazionaria può essere ridotta di 5. Lo accorciamo e otteniamo il risultato finale:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversione di infiniti decimali periodici in frazioni

Diamo un'occhiata ad esempi su come convertire le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie. Prima di iniziare, chiariamo: qualsiasi frazione decimale periodica può essere convertita in una frazione ordinaria.

Il caso più semplice è quando il periodo della frazione è zero. Una frazione periodica con un periodo zero viene sostituita da una frazione decimale finale e il processo di inversione di tale frazione si riduce all'inversione della frazione decimale finale.

Esempio 11. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Invertiamo la frazione periodica 3, 75 (0).

Eliminando gli zeri a destra otteniamo la frazione decimale finale 3,75.

Convertendo questa frazione in frazione ordinaria utilizzando l'algoritmo discusso nei paragrafi precedenti, otteniamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Cosa succede se il periodo della frazione è diverso da zero? La parte periodica va considerata come la somma dei termini di una progressione geometrica, che decresce. Spieghiamolo con un esempio:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Esiste una formula per la somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita. Se il primo termine della progressione è b e il denominatore q è tale che 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi utilizzando questa formula.

Esempio 12. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Prendiamo una frazione periodica 0, (8) e dobbiamo convertirla in una frazione ordinaria.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Qui abbiamo una progressione geometrica decrescente infinita con il primo termine 0, 8 e il denominatore 0, 1.

Applichiamo la formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Questa è la frazione ordinaria richiesta.

Per consolidare il materiale, considera un altro esempio.

Esempio 13. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Invertiamo la frazione 0, 43 (18).

Per prima cosa scriviamo la frazione come somma infinita:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Diamo un'occhiata ai termini tra parentesi. Questa progressione geometrica può essere rappresentata come segue:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Sommiamo il risultato alla frazione finale 0,43 = 43 100 e otteniamo il risultato:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Dopo aver sommato e ridotto queste frazioni, otteniamo la risposta finale:

0 , 43 (18) = 19 44

Per concludere questo articolo diremo che le frazioni decimali infinite non periodiche non possono essere convertite in frazioni ordinarie.

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Come è noto, l'insieme dei numeri razionali (Q) comprende l'insieme degli interi (Z), che a sua volta comprende l'insieme dei numeri naturali (N). I numeri razionali comprendono, oltre ai numeri interi, anche le frazioni.

Perché allora l'intero insieme dei numeri razionali viene talvolta considerato come frazioni decimali periodiche infinite? Infatti, oltre alle frazioni, includono anche numeri interi e frazioni non periodiche.

Il fatto è che tutti i numeri interi, così come qualsiasi frazione, possono essere rappresentati come una frazione decimale periodica infinita. Cioè, per tutti i numeri razionali puoi utilizzare lo stesso metodo di registrazione.

Come si rappresenta un decimale periodico infinito? In esso, un gruppo ripetuto di numeri dopo la virgola è posto tra parentesi. Ad esempio, 1,56(12) è una frazione in cui si ripete il gruppo di cifre 12, cioè la frazione ha il valore 1,561212121212... e così via all'infinito. Un gruppo ripetuto di numeri è chiamato punto.

Tuttavia, possiamo rappresentare qualsiasi numero in questa forma se consideriamo il suo periodo come il numero 0, che si ripete all'infinito. Ad esempio, il numero 2 è uguale a 2.00000.... Pertanto, può essere scritto come una frazione periodica infinita, cioè 2,(0).

Lo stesso può essere fatto con qualsiasi frazione finita. Per esempio:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Tuttavia, in pratica non utilizzano la trasformazione di una frazione finita in una frazione infinita periodica. Pertanto, separano le frazioni finite e quelle periodiche infinite. Pertanto è più corretto dire che i numeri razionali includono

• tutti numeri interi
• frazioni finali,
• frazioni periodiche infinite.

Allo stesso tempo, ricordiamo semplicemente che gli interi e le frazioni finite sono rappresentabili in teoria sotto forma di frazioni periodiche infinite.

D'altra parte, i concetti di frazioni finite e infinite sono applicabili alle frazioni decimali. Quando si tratta di frazioni, sia i decimali finiti che quelli infiniti possono essere rappresentati in modo univoco come una frazione. Ciò significa che dal punto di vista delle frazioni ordinarie, le frazioni periodiche e finite sono la stessa cosa. Inoltre, i numeri interi possono anche essere rappresentati come frazioni immaginando di dividere il numero per 1.

Come rappresentare una frazione periodica infinita decimale come frazione ordinaria? L'algoritmo più comunemente utilizzato è qualcosa del genere:

1. Riduci la frazione in modo che dopo la virgola ci sia solo un punto.
2. Moltiplica una frazione periodica infinita per 10 o 100 o ... in modo che la virgola decimale si sposti verso destra di un punto (cioè un punto finisce nell'intera parte).
3. Uguagliare la frazione originale (a) alla variabile x e la frazione (b) ottenuta moltiplicando per il numero N a Nx.
4. Sottrai x da Nx. Da b sottraggo a. Cioè compongono l'equazione Nx – x = b – a.
5. Quando si risolve un'equazione, il risultato è una frazione ordinaria.

Un esempio di conversione di una frazione decimale periodica infinita in una frazione ordinaria:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =