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Ulteriori proprietà del parallelogramma. Area di un parallelogramma

Ulteriori proprietà del parallelogramma. Area di un parallelogramma

Come nella geometria euclidea il punto e la retta sono gli elementi principali della teoria dei piani, così il parallelogramma è una delle figure chiave dei quadrilateri convessi. Da esso, come i fili di una palla, fluiscono i concetti di “rettangolo”, “quadrato”, “rombo” e altre quantità geometriche.

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Definizione di parallelogramma

quadrilatero convesso, costituito da segmenti, di cui ciascuna coppia è parallela, è noto in geometria come parallelogramma.

L'aspetto di un parallelogramma classico è rappresentato da un quadrilatero ABCD. I lati si chiamano basi (AB, BC, CD e AD), la perpendicolare tracciata da un vertice qualsiasi al lato opposto a tale vertice si chiama altezza (BE e BF), le linee AC e BD si chiamano diagonali.

Attenzione! Quadrato, rombo e rettangolo sono casi particolari di parallelogramma.

Lati e angoli: caratteristiche della relazione

Le proprietà chiave, in generale, predeterminato dalla designazione stessa, sono dimostrati dal teorema. Queste caratteristiche sono le seguenti:

I lati opposti sono identici a coppie.
Gli angoli opposti tra loro sono uguali a coppie.

Dimostrazione: Consideriamo ∆ABC e ∆ADC, che si ottengono dividendo il quadrilatero ABCD con la retta AC. ∠BCA=∠CAD e ∠BAC=∠ACD, poiché AC è comune per loro (angoli verticali per BC||AD e AB||CD, rispettivamente). Ne consegue: ∆ABC = ∆ADC (il secondo segno di uguaglianza dei triangoli).

I segmenti AB e BC in ∆ABC corrispondono a coppie alle linee CD e AD in ∆ADC, il che significa che sono identici: AB = CD, BC = AD. Pertanto, ∠B corrisponde a ∠D e sono uguali. Poiché ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, anch'essi identici a coppie, allora ∠A = ∠C. La proprietà è stata dimostrata.

Caratteristiche delle diagonali di una figura

Caratteristica principale di queste linee di un parallelogramma: il punto di intersezione le divide a metà.

Dimostrazione: Sia i.e. il punto di intersezione delle diagonali AC e BD della figura ABCD. Formano due triangoli commisurati: ∆ABE e ∆CDE.

AB=CD poiché sono opposti. Secondo le rette e la secante, ∠ABE = ∠CDE e ∠BAE = ∠DCE.

Secondo il secondo criterio di uguaglianza, ∆ABE = ∆CDE. Ciò significa che gli elementi ∆ABE e ∆CDE: AE = CE, BE = DE e allo stesso tempo sono parti proporzionali di AC e BD. La proprietà è stata dimostrata.

Caratteristiche degli angoli adiacenti

I lati adiacenti hanno la somma degli angoli pari a 180°, poiché giacciono dalla stessa parte delle rette parallele e di una trasversale. Per il quadrilatero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietà della bisettrice:

, abbassati da un lato, sono perpendicolari;
i vertici opposti hanno bisettrici parallele;
il triangolo ottenuto disegnando una bisettrice sarà isoscele.

Determinazione delle caratteristiche di un parallelogramma mediante il teorema

Le caratteristiche di questa figura derivano dal suo teorema principale, che afferma quanto segue: un quadrilatero è considerato un parallelogramma nel caso in cui le sue diagonali si intersecano e questo punto le divide in segmenti uguali.

Dimostrazione: si intersechino le rette AC e BD del quadrilatero ABCD i.e. Poiché ∠AED = ∠BEC e AE+CE=AC BE+DE=BD, allora ∆AED = ∆BEC (per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli). Cioè, ∠EAD = ∠BCE. Sono anche gli angoli trasversali interni della secante AC per le rette AD e BC. Quindi, per definizione di parallelismo - AD || AVANTI CRISTO. Si deriva anche una proprietà simile delle linee BC e CD. Il teorema è stato dimostrato.

Calcolo dell'area di una figura

Area di questa figura trovato con diversi metodi uno dei più semplici: moltiplicare l'altezza e la base a cui è disegnato.

Dimostrazione: traccia le perpendicolari BE e CF dai vertici B e C. ∆ABE e ∆DCF sono uguali, poiché AB = CD e BE = CF. ABCD ha le stesse dimensioni del rettangolo EBCF, poiché sono costituiti da cifre proporzionate: S ABE e S EBCD, nonché S DCF e S EBCD. Ne consegue che l'area di questa figura geometrica è uguale a quella di un rettangolo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Per determinare la formula generale dell'area di un parallelogramma, indichiamo l'altezza come hb, e il lato - B. Rispettivamente:

Altri modi per trovare l'area

Calcoli dell'area attraverso i lati del parallelogramma e l'angolo, che formano, è il secondo metodo noto.

Spr-ma: zona;

aeb sono i suoi lati

α è l'angolo tra i segmenti a e b.

Questo metodo è praticamente basato sul primo, ma non è noto nel caso in cui. taglia sempre un triangolo rettangolo i cui parametri sono trovati da identità trigonometriche, cioè. Trasformando la relazione, otteniamo . Nell'equazione del primo metodo sostituiamo l'altezza con questo prodotto e otteniamo una prova della validità di questa formula.

Attraverso le diagonali di un parallelogramma e l'angolo, che creano quando si intersecano, puoi anche trovare l'area.

Dimostrazione: AC e BD si intersecano per formare quattro triangoli: ABE, BEC, CDE e AED. La loro somma è uguale all'area di questo quadrilatero.

L'area di ciascuno di questi ∆ può essere trovata dall'espressione , dove a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dal momento che , i calcoli utilizzano un singolo valore seno. Questo è . Poiché AE+CE=AC= d 1 e BE+DE=BD= d 2, la formula dell'area si riduce a:

Applicazioni in algebra vettoriale

Le caratteristiche delle parti costitutive di questo quadrilatero hanno trovato applicazione nell'algebra vettoriale, ovvero nell'addizione di due vettori. Lo afferma la regola del parallelogramma se dati i vettoriENonsono collineari, la loro somma sarà uguale alla diagonale di questa figura, le cui basi corrispondono a questi vettori.

Dimostrazione: da un inizio scelto arbitrariamente - cioè - costruire vettori e . Successivamente, costruiamo un parallelogramma OASV, dove i segmenti OA e OB sono lati. Pertanto, il sistema operativo si trova sul vettore o sulla somma.

Formule per il calcolo dei parametri di un parallelogramma

Le identità sono assegnate alle seguenti condizioni:

aeb, α - lati e l'angolo tra loro;
d 1 e d 2, γ - diagonali e nel punto della loro intersezione;
h a e h b - altezze ribassate ai lati a e b;

Parametro	Formula
Trovare i lati
lungo le diagonali e il coseno dell'angolo compreso tra loro
lungo le diagonali e i lati
attraverso l'altezza e il vertice opposto
Trovare la lunghezza delle diagonali
sui lati e la dimensione dell'apice tra di loro

In cui i lati opposti sono paralleli, cioè giacciono su rette parallele. Casi particolari di parallelogramma sono il rettangolo, il quadrato e il rombo.

Proprietà

I lati opposti di un parallelogramma sono uguali.
Gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali.
La somma degli angoli adiacenti ad un lato è pari a 180° (secondo la proprietà delle rette parallele).
Le diagonali di un parallelogramma si intersecano e il punto di intersezione le divide a metà: $\sinistra|AO\destra| = \sinistra|OC\destra|, \sinistra|BO\destra| = \sinistra|OD\destra|$ .
Il punto di intersezione delle diagonali è il centro di simmetria del parallelogramma.
Un parallelogramma è diviso diagonalmente in due triangoli uguali.
Le linee mediane di un parallelogramma si intersecano nel punto di intersezione delle sue diagonali. A questo punto le sue due diagonali e le sue due linee mediane sono divise in due.
Identità del parallelogramma: la somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale al doppio della somma dei quadrati dei suoi due lati adiacenti: sia a la lunghezza del lato AB, b la lunghezza del lato BC, $d_1$ E $d_2$ - lunghezze delle diagonali; Poi $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

L'identità del parallelogramma è una semplice conseguenza della formula di Eulero per un quadrilatero arbitrario: quadruplicare il quadrato della distanza tra i punti medi delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei lati del quadrilatero meno la somma dei quadrati delle sue diagonali. In un parallelogramma i lati opposti sono uguali e la distanza tra i punti medi delle diagonali è zero.

Una trasformazione affine trasforma sempre un parallelogramma in un parallelogramma. Per ogni parallelogramma esiste una trasformazione affine che lo trasforma in un quadrato.

Segni di un parallelogramma

Un quadrilatero ABCD è un parallelogramma se è soddisfatta una delle seguenti condizioni (in questo caso sono soddisfatte tutte le altre):

Un quadrilatero senza autointersezioni ha due lati opposti uguali e paralleli: $AB = CD, AB \CD parallelo$ .
Tutti gli angoli opposti sono uguali a coppie: $\angolo A = \angolo C, \angolo B = \angolo D$ .
Per un quadrilatero senza autointersezioni, tutti i lati opposti sono uguali a due a due: $AB = CD, BC = DA$ .
Tutti i lati opposti sono paralleli a coppie: $AB\CD parallelo, BC\DA parallelo$ .
Le diagonali sono divise a metà nel punto della loro intersezione: $AO = OC, BO = OD$ .
La somma degli angoli adiacenti è 180 gradi: $\angolo A + \angolo B = 180^\circ, \angolo B + \angolo C = 180^\circ, \angolo C + \angolo D = 180^\circ, \angolo D + \angolo A = 180^\ circ$ .
La somma delle distanze tra i punti medi dei lati opposti di un quadrilatero convesso è uguale al suo semiperimetro.
La somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei lati di un quadrilatero convesso: $AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ .

Area di un parallelogramma

Ecco le formule specifiche per un parallelogramma. Vedi anche le formule per l'area dei quadrilateri arbitrari.

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della sua base per l'altezza:

$S = ah$ , Dove $UN$ - lato, $H$ - altezza trascinata da questo lato.

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei suoi lati per il seno dell'angolo compreso tra loro:

$S = ab\sin\alfa$ , Dove $UN$ E $B$ - lati e $\alfa$ - l'angolo tra i lati a e b.

Guarda anche

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Appunti

Per numero di lati

Corretto

triangoli

Quadrilateri

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Estratto che caratterizza il parallelogramma

"Il dottore dice che non c'è pericolo", disse la contessa, ma mentre lo diceva alzò gli occhi in alto con un sospiro, e in questo gesto c'era un'espressione che contraddiceva le sue parole.
- Dove si trova? Posso vederlo, vero? - chiese la principessa.
- Ora, principessa, ora, amico mio. Questo è suo figlio? - disse, rivolgendosi a Nikolushka, che stava entrando con Desalles. "Possiamo stare tutti bene, la casa è grande." Oh, che ragazzo adorabile!
La Contessa condusse la Principessa nel soggiorno. Sonya stava parlando con la signora Bourienne. La Contessa accarezzò il ragazzo. Il vecchio conte entrò nella stanza, salutando la principessa. Il vecchio conte è cambiato enormemente dall'ultima volta che la principessa lo ha visto. Allora era un vecchio vivace, allegro, sicuro di sé, ora sembrava un uomo pietoso e perduto. Mentre parlava con la principessa, si guardava costantemente intorno, come se chiedesse a tutti se stesse facendo ciò che era necessario. Dopo la rovina di Mosca e della sua tenuta, buttato fuori dalla sua solita routine, apparentemente perse coscienza del suo significato e sentì di non avere più un posto nella vita.
Nonostante l'eccitazione in cui si trovava, nonostante il desiderio di vedere suo fratello il più presto possibile e il fastidio che in quel momento, quando voleva solo vederlo, era occupata e fingeva di lodare suo nipote, la principessa notò tutto ciò che stava accadendo intorno a lei, e sentiva il bisogno di sottomettersi temporaneamente a questo nuovo ordine nel quale stava entrando. Sapeva che tutto questo era necessario e che le era difficile, ma non ne era infastidita.
"Questa è mia nipote", disse il conte, presentando Sonya, "Non la conosci, principessa?"
La principessa si voltò verso di lei e, cercando di spegnere il sentimento ostile nei confronti di questa ragazza che era sorto nella sua anima, la baciò. Ma per lei è diventato difficile perché l'umore di tutti intorno a lei era così lontano da quello che c'era nella sua anima.
- Dove si trova? – chiese ancora, rivolgendosi a tutti.
"È al piano di sotto, Natasha è con lui", rispose Sonya arrossendo. - Andiamo a scoprirlo. Penso che tu sia stanca, principessa?
Lacrime di fastidio salirono agli occhi della principessa. Si voltò e stava per chiedere di nuovo alla contessa dove andare a trovarlo, quando si udirono alla porta dei passi leggeri, rapidi, apparentemente allegri. La principessa si guardò intorno e vide quasi correre Natasha, la stessa Natasha che non le era piaciuta tanto in quel tanto tempo fa incontro a Mosca.
Ma prima che la principessa avesse il tempo di guardare il volto di Natasha, si rese conto che quella era la sua sincera compagna di dolore, e quindi la sua amica. Le corse incontro e, abbracciandola, pianse sulla sua spalla.
Non appena Natasha, che era seduta al capezzale del principe Andrey, venne a sapere dell'arrivo della principessa Marya, lasciò silenziosamente la sua stanza con quei passi veloci, come sembrò alla principessa Marya, apparentemente allegri e corse verso di lei.
Sul suo viso eccitato, quando corse nella stanza, c'era solo un'espressione: un'espressione di amore, amore sconfinato per lui, per lei, per tutto ciò che era vicino alla persona amata, un'espressione di pietà, sofferenza per gli altri e un desiderio appassionato di darsi tutta per aiutarli. Era chiaro che in quel momento non c'era un solo pensiero su se stessa, sulla sua relazione con lui, nell'anima di Natasha.
La sensibile principessa Marya capì tutto questo dal primo sguardo al viso di Natasha e pianse sulla sua spalla con doloroso piacere.
"Dai, andiamo da lui, Marie", disse Natasha, portandola in un'altra stanza.
La principessa Marya alzò il viso, si asciugò gli occhi e si rivolse a Natasha. Sentiva che avrebbe capito e imparato tutto da lei.

Argomento della lezione

Proprietà delle diagonali di un parallelogramma.

Obiettivi della lezione

Conosci nuove definizioni e ricorda alcune già studiate.
Enunciare e dimostrare la proprietà delle diagonali di un parallelogramma.
Impara ad applicare le proprietà delle forme durante la risoluzione dei problemi.
Sviluppo – sviluppare l’attenzione, la perseveranza, la perseveranza, il pensiero logico, il discorso matematico degli studenti.
Educativo: attraverso la lezione, coltivare un atteggiamento attento verso l'altro, instillare la capacità di ascoltare i compagni, l'assistenza reciproca e l'indipendenza.

Obiettivi della lezione

Testare le capacità di problem solving degli studenti.

Piano di lezione

Introduzione.
Ripetizione di materiale precedentemente studiato.
Parallelogramma, sue proprietà e caratteristiche.
Esempi di compiti.
Autocontrollo.

introduzione

“Una scoperta scientifica importante fornisce la soluzione a un problema importante, ma nella soluzione di qualsiasi problema c’è un briciolo di scoperta”.

Proprietà dei lati opposti di un parallelogramma

Un parallelogramma ha i lati opposti uguali.

Prova.

Sia ABCD il parallelogramma dato. E lascia che le sue diagonali si intersechino nel punto O.
Poiché Δ AOB = Δ COD per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli (∠ AOB = ∠ COD, come quelli verticali, AO=OC, DO=OB, per la proprietà delle diagonali di un parallelogramma), allora AB=CD. Allo stesso modo, dall'uguaglianza dei triangoli BOC e DOA segue che BC = DA. Il teorema è stato dimostrato.

Proprietà degli angoli opposti di un parallelogramma

In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali.

Prova.

Sia ABCD il parallelogramma dato. E lascia che le sue diagonali si intersechino nel punto O.
Da quanto dimostrato nel teorema sulle proprietà dei lati opposti di un parallelogramma Δ ABC = Δ CDA su tre lati (AB=CD, BC=DA da quanto dimostrato, AC – generale). Dall'uguaglianza dei triangoli segue che ∠ ABC = ∠ CDA.
Si dimostra inoltre che ∠ DAB = ∠ BCD, che segue da ∠ ABD = ∠ CDB. Il teorema è stato dimostrato.

Proprietà delle diagonali di un parallelogramma

Le diagonali di un parallelogramma si intersecano e sono secate in due nel punto di intersezione.

Prova.

Sia ABCD il parallelogramma dato. Disegniamo la diagonale AC. Segniamo su di esso la O centrale. Nella continuazione del segmento DO, metteremo da parte il segmento OB 1 uguale a DO.
Per il teorema precedente, AB 1 CD è un parallelogramma. Pertanto, la linea AB 1 è parallela a DC. Ma per il punto A si può tracciare solo una linea parallela a DC. Ciò significa che la linea AB 1 coincide con la linea AB.
È anche dimostrato che BC 1 coincide con BC. Ciò significa che il punto C coincide con C 1. il parallelogramma ABCD coincide con il parallelogramma AB 1 CD. Di conseguenza, le diagonali del parallelogramma si intersecano e sono bisecate nel punto di intersezione. Il teorema è stato dimostrato.

Nei libri di testo per le scuole normali (ad esempio a Pogorelovo) è dimostrato così: le diagonali dividono un parallelogramma in 4 triangoli. Consideriamo una coppia e scopriamo: sono uguali: le loro basi sono lati opposti, gli angoli corrispondenti adiacenti ad essa sono uguali, come gli angoli verticali con linee parallele. Cioè, i segmenti delle diagonali sono uguali a coppie. Tutto.

È tutto?
È stato dimostrato sopra che il punto di intersezione divide in due le diagonali, se esiste. Il ragionamento di cui sopra non prova in alcun modo la sua stessa esistenza. Cioè, parte del teorema “le diagonali di un parallelogramma si intersecano” rimane non dimostrata.

La cosa divertente è che questa parte è molto più difficile da dimostrare. Ciò deriva, tra l'altro, da un risultato più generale: qualsiasi quadrilatero convesso avrà diagonali che si intersecano, ma qualsiasi quadrilatero non convesso no.

Sull'uguaglianza dei triangoli lungo un lato e due angoli adiacenti (il secondo segno di uguaglianza dei triangoli) e altri.

Talete trovò un'importante applicazione pratica al teorema sull'uguaglianza di due triangoli lungo un lato e due angoli adiacenti. Nel porto di Mileto fu costruito un telemetro per determinare la distanza di una nave in mare. Consisteva di tre pioli infissi A, B e C (AB = BC) e di una linea retta SC, perpendicolare a CA. Quando una nave appariva sulla linea retta SK, trovavamo il punto D in modo tale che i punti D, .B ed E fossero sulla stessa linea retta. Come risulta chiaramente dal disegno, la distanza CD al suolo è la distanza desiderata dalla nave.

Domande

Le diagonali di un quadrato sono divise a metà dal punto di intersezione?
Le diagonali di un parallelogramma sono uguali?
Gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali?
Qual è la definizione di parallelogramma?
Quanti segni ha un parallelogramma?
Può un rombo essere un parallelogramma?

Elenco delle fonti utilizzate

Kuznetsov A.V., insegnante di matematica (classi 5-9), Kiev
“Esame di Stato Unificato 2006. Matematica. Materiali didattici e formativi per la preparazione degli studenti / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. “Risolvere i principali problemi di concorrenza in matematica della raccolta curata da M. I. Skanavi”
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometria, 7 – 9: libro di testo per le istituzioni educative”

Abbiamo lavorato sulla lezione

Kuznetsov A.V.

Poturnak SA

Evgenij Petrov

Puoi sollevare una domanda sull'educazione moderna, esprimere un'idea o risolvere un problema urgente Foro educativo, dove un consiglio educativo di pensiero e azione nuovi si incontra a livello internazionale. Avendo creato blog, Non solo migliorerai il tuo status di insegnante competente, ma darai anche un contributo significativo allo sviluppo della scuola del futuro. Gilda dei leader educativi apre le porte a specialisti di alto livello e li invita a collaborare per creare le migliori scuole del mondo.

Materie > Matematica > Matematica 8° grado

Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie (Fig. 233).

Per un parallelogramma arbitrario valgono le seguenti proprietà:

1. I lati opposti di un parallelogramma sono uguali.

Prova. Nel parallelogramma ABCD disegniamo la diagonale AC. I triangoli ACD e AC B sono uguali, poiché hanno un lato comune AC e due coppie di angoli uguali adiacenti ad esso:

(come angoli trasversali con linee parallele AD e BC). Ciò significa, e come i lati di triangoli uguali che giacciono opposti ad angoli uguali, che è ciò che doveva essere dimostrato.

2. Gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali:

3. Angoli adiacenti di un parallelogramma, cioè angoli adiacenti ad un lato, sommati, ecc.

La dimostrazione delle proprietà 2 e 3 si ottiene immediatamente dalle proprietà degli angoli per rette parallele.

4. Le diagonali di un parallelogramma si tagliano in due nel punto di intersezione. In altre parole,

Prova. I triangoli AOD e BOC sono congruenti, poiché i loro lati AD e BC sono uguali (proprietà 1) e gli angoli ad essi adiacenti (come gli angoli trasversali per le rette parallele). Da qui segue che i lati corrispondenti di questi triangoli sono uguali: AO, che è ciò che occorreva dimostrare.

Ognuna di queste quattro proprietà caratterizza un parallelogramma, o, come si suol dire, è la sua proprietà caratteristica, cioè ogni quadrilatero che ha almeno una di queste proprietà è un parallelogramma (e, quindi, ha tutte le altre tre proprietà).

Eseguiamo la dimostrazione separatamente per ciascuna proprietà.

1". Se un quadrilatero ha i lati opposti uguali a coppie, allora è un parallelogramma.

Prova. Sia il quadrilatero ABCD abbia i lati AD e BC, AB e CD rispettivamente uguali (fig. 233). Disegniamo la diagonale AC. I triangoli ABC e CDA saranno congruenti perché hanno tre coppie di lati uguali.

Ma allora gli angoli BAC e DCA sono uguali e . Il parallelismo dei lati BC e AD consegue dall'uguaglianza degli angoli CAD e ACB.

2. Se un quadrilatero ha due paia di angoli opposti uguali, allora è un parallelogramma.

Prova. Permettere . Da allora entrambi i lati AD e BC sono paralleli (in base al parallelismo delle linee).

3. Lasciamo la formulazione e la dimostrazione al lettore.

4. Se le diagonali di un quadrilatero si intersecano in due nel punto di intersezione, allora il quadrilatero è un parallelogramma.

Prova. Se AO = OS, BO = OD (fig. 233), allora i triangoli AOD e BOC sono uguali, poiché hanno angoli uguali (verticali!) nel vertice O, racchiusi tra coppie di lati uguali AO e CO, BO e DO. Dall'uguaglianza dei triangoli concludiamo che i lati AD e BC sono uguali. Anche i lati AB e CD sono uguali, e il quadrilatero risulta essere un parallelogramma secondo la proprietà caratteristica G.

Quindi, per dimostrare che un dato quadrilatero è un parallelogramma, è sufficiente verificare la validità di una qualsiasi delle quattro proprietà. Il lettore è invitato a dimostrare in modo indipendente un'altra proprietà caratteristica di un parallelogramma.

5. Se un quadrilatero ha una coppia di lati uguali e paralleli, allora è un parallelogramma.

A volte una qualsiasi coppia di lati paralleli di un parallelogramma è chiamata base, poi le altre due sono chiamate lati laterali. Un segmento di retta perpendicolare a due lati di un parallelogramma, racchiuso tra loro, si chiama altezza del parallelogramma. Parallelogramma in Fig. 234 ha un'altezza h portata ai lati AD e BC, la sua seconda altezza è rappresentata dal segmento .

Istituzione educativa di bilancio comunale

Scuola secondaria Savinskaya

Ricerca

Parallelogramma e sue nuove proprietà

Completato da: studente di grado 8B

MBOU Savinskaya Scuola Secondaria

Kuznetsova Svetlana, 14 anni

Responsabile: insegnante di matematica

Tulchevskaya N.A.

pag

Regione di Ivanovo, Russia

2016

IO. Introduzione ___________________________________________________pagina 3

II. Dalla storia del parallelogramma ___________________________________pagina 4

III Proprietà aggiuntive del parallelogramma ______________________________pagina 4

IV. Prova delle proprietà _______________________________________ pagina 5

V. Risoluzione dei problemi utilizzando proprietà aggiuntive __________pagina 8

VI. Applicazione delle proprietà di un parallelogramma nella vita ___________________pagina 11

VII. Conclusione _________________________________________________pagina 12

VIII. Letteratura _________________________________________________pagina 13

introduzione

"Tra menti uguali

A uguaglianza delle altre condizioni

chi conosce la geometria è superiore"

(Blaise Pascal).

Durante lo studio dell'argomento "Parallelogramma" nelle lezioni di geometria, abbiamo esaminato due proprietà del parallelogramma e tre caratteristiche, ma quando abbiamo iniziato a risolvere i problemi, si è scoperto che ciò non era sufficiente.

Avevo una domanda: un parallelogramma ha altre proprietà e in che modo aiuteranno a risolvere i problemi?

E ho deciso di studiare ulteriori proprietà di un parallelogramma e mostrare come possono essere applicate per risolvere problemi.

Materia di studio : parallelogramma

Oggetto di studio : proprietà di un parallelogramma
Obiettivo del lavoro:

formulazione e dimostrazione di proprietà aggiuntive di un parallelogramma che non vengono studiate a scuola;

applicazione di queste proprietà per risolvere problemi.

Compiti:

Studiare la storia dell'apparizione del parallelogramma e la storia dello sviluppo delle sue proprietà;

Trovare ulteriore letteratura sulla questione in studio;

Studiare ulteriori proprietà di un parallelogramma e dimostrarle;

Mostrare l'applicazione di queste proprietà per risolvere problemi;

Considera l'applicazione delle proprietà di un parallelogramma nella vita.
Metodi di ricerca:

Lavorare con letteratura scientifica educativa e popolare, risorse Internet;

Studio del materiale teorico;

Identificazione di una serie di problemi che possono essere risolti utilizzando proprietà aggiuntive di un parallelogramma;

Osservazione, confronto, analisi, analogia.

Durata dello studio : 3 mesi: gennaio-marzo 2016

In un libro di testo di geometria leggiamo la seguente definizione di parallelogramma: Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

La parola "parallelogramma" è tradotta come "linee parallele" (dalle parole greche Parallelos - parallelo e gramme - linea), questo termine è stato introdotto da Euclide. Nel suo libro Gli Elementi, Euclide dimostrò le seguenti proprietà di un parallelogramma: i lati e gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali e la diagonale lo divide in due. Euclide non menziona il punto di intersezione di un parallelogramma. Solo verso la fine del Medioevo fu sviluppata una teoria completa dei parallelogrammi e solo nel XVII secolo apparvero nei libri di testo i teoremi sui parallelogrammi, che vengono dimostrati utilizzando il teorema di Euclide sulle proprietà del parallelogramma.

III Ulteriori proprietà del parallelogramma

Nel libro di testo di geometria vengono fornite solo 2 proprietà di un parallelogramma:

Angoli e lati opposti sono uguali

Le diagonali di un parallelogramma si intersecano e sono secate in due dal punto di intersezione.

In varie fonti sulla geometria puoi trovare le seguenti proprietà aggiuntive:

La somma degli angoli adiacenti di un parallelogramma è 180 0

La bisettrice dell'angolo di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele;

Le bisettrici degli angoli opposti di un parallelogramma giacciono su rette parallele;

Le bisettrici degli angoli adiacenti di un parallelogramma si intersecano ad angoli retti;

Quando le bisettrici di tutti gli angoli di un parallelogramma si intersecano, formano un rettangolo;

Le distanze dagli angoli opposti di un parallelogramma alla stessa diagonale sono uguali.

Se colleghi i vertici opposti di un parallelogramma con i punti medi dei lati opposti, ottieni un altro parallelogramma.

La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è pari al doppio della somma dei quadrati dei lati adiacenti.

Se disegni le altezze da due angoli opposti in un parallelogramma, ottieni un rettangolo.

IV Dimostrazione delle proprietà di un parallelogramma

La somma degli angoli adiacenti di un parallelogramma è 180 0

Dato:

ABCD – parallelogramma

Dimostrare:

A+
B=

Prova:

A e
B – Angoli interni unilaterali con rette parallele BC AD e la secante AB, che significa
A+
B=

Dato: ABCD - parallelogramma,

Bisettrice AK
UN.

Dimostrare: AVK – isoscele

Prova:

1)
1=
3 (disteso trasversalmente a BC AD e secante AK ),

2)
2=
3 perché AK è una bisettrice,

significa 1=
2.

3) ABC - isoscele perché 2 angoli di un triangolo sono uguali

. La bisettrice dell'angolo di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele

Dato: ABCD è un parallelogramma,

AK – bisettrice A,

CP - bisettrice C.

Dimostrare: AK ║SR

Prova:

1) 1=2 perché AK è una bisettrice

2) 4=5 perché CP – bisettrice

3) 3=1 (angoli trasversali a

a.C. ║ d.C. e AK-secante),

4) A =C (per la proprietà del parallelogramma), che significa 2=3=4=5.

4) Dai paragrafi 3 e 4 segue che 1 = 4, e questi angoli corrispondono alle rette AK e CP e alla secante BC,

questo significa AK ║ CP (basato sul parallelismo delle linee)

. Le bisettrici degli angoli opposti di un parallelogramma giacciono su rette parallele

Le bisettrici degli angoli adiacenti di un parallelogramma si intersecano ad angoli retti

Dato: ABCD - parallelogramma,

AK-bisettrice A,

Bisettrice DP D

Dimostrare: DP AK.

Prova:

1) 1=2, perché AK - bisettrice

Sia 1=2=x, allora A=2x,

2) 3=4, perché D Р – bisettrice

Sia 3=4=y, quindi D=2y

3) A + D =180 0, perché la somma degli angoli adiacenti di un parallelogramma è 180

2) Considera UN'OD

1+3=90 0 , quindi
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Le bisettrici di tutti gli angoli di un parallelogramma quando si intersecano formano un rettangolo

Dato: ABCD - parallelogramma, AK-bisettrice A,

Bisettrice DP D,

Bisettrice CM C,

BF - bisettrice B .

Dimostrare: KRNS - rettangolo

Prova:

In base alla proprietà precedente 8=7=6=5=90 0 ,

significa che KRNS è un rettangolo.

Le distanze dagli angoli opposti di un parallelogramma alla stessa diagonale sono uguali.

Dato: Parallelogramma ABCD, diagonale AC.

V.C AC, D.P. AC.

Dimostrare: BC=DP

Prova: 1) DCP = KAB, come croci interne giacenti con AB ║ CD e secante AC.

2) AKB= CDP (lungo il lato e due angoli adiacenti AB=CD CD P=AB K).

E nei triangoli uguali i lati corrispondenti sono uguali, il che significa DP=BK.

Se colleghi i vertici opposti di un parallelogramma con i punti medi dei lati opposti, ottieni un altro parallelogramma.

Dato: Parallelogramma ABCD.

Dimostrare: VKDR è un parallelogramma.

Prova:

1) BP=KD (AD=BC, punti K e P

dividere questi lati a metà)

2) BP ║ KD (bugia su AD AVANTI CRISTO)

Se i lati opposti di un quadrilatero sono uguali e paralleli, allora il quadrilatero è un parallelogramma.

Se disegni le altezze da due angoli opposti in un parallelogramma, ottieni un rettangolo.

La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è pari al doppio della somma dei quadrati dei lati adiacenti.

Dato: ABCD è un parallelogramma. BD e AC sono diagonali.

Dimostrare: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + d.C 2 )

Prova: 1)CHIEDERE: AC. ²=
+

2)B RD : B.D 2 = B R 2 +RD 2 (secondo il teorema di Pitagora)

3) AC. ²+ B.D ²=SK²+UN K²+B Р²+РD ²

4) CS = BP = N(altezza )

5) CA 2 +BD 2 = H 2 + UN A 2 + H 2 +PD 2

6) Permettere D K=UN P=x, Poi C AD : H 2 = CD 2 - X 2 secondo il teorema di Pitagora )

7) AC²+BD ² =CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + UN A 2 +PD 2

8)A A= d.C.+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(ANNO DOMINI +x) 2 +(ANNO DOMINI -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 COND²-2 X²+AD 2 +2 d.C X+ X 2 +AD 2 -2 d.C X+ X 2 ,
AC²+ IND²=2CD 2 +2 d.C 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Risolvere problemi utilizzando queste proprietà

Il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli di un parallelogramma adiacenti ad un lato appartiene al lato opposto. Il lato più corto di un parallelogramma è 5 . Trova il suo lato più grande.

Dato: ABCD è un parallelogramma,

AK – bisettrice
UN,

D K – bisettrice
D, AB=5

Trovare: Sole

decisione

Soluzione

Perché AK - bisettrice
E poi ABC è isoscele.

Perché D K – bisettrice
D, allora DCK - isoscele

DC =C K= 5

Quindi, BC=VC+SC=5+5 = 10

Risposta: 10

2. Trova il perimetro di un parallelogramma se la bisettrice di uno dei suoi angoli divide il lato del parallelogramma in segmenti di 7 cm e 14 cm.

1 caso

Dato:
UN,

VK=14 cm, KS=7 cm

Trovare: Parallelogramma P

Soluzione

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Perché AK – bisettrice
E poi ABC è isoscele.

AB=BK= 14 cm

Allora P=2 (14+21) =70 (cm)

accadendo

Dato: ABCD è un parallelogramma,

D K – bisettrice
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Trovare: P parallelogramma

Soluzione

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Perché D K – bisettrice
D, allora DCK - isoscele

DC =C K= 7

Quindi, P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Risposta: 70 cm o 56 cm

3. I lati di un parallelogramma misurano 10 cm e 3 cm. Le bisettrici di due angoli adiacenti al lato maggiore dividono il lato opposto in tre segmenti. Trova questi segmenti.

1 caso: le bisettrici si intersecano all'esterno del parallelogramma

Dato: ABCD – parallelogramma, AK – bisettrice
UN,

D K – bisettrice
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Trovare: VM, Minnesota, NC

Soluzione

Perché AM - bisettrice
E poi l'AVM è isoscele.

Perché DN – bisettrice
D, allora DCN - isoscele

DC=CN=3

Quindi, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Caso 2: le bisettrici si intersecano all'interno di un parallelogramma

Perché AN - bisettrice
E poi ABN è isoscele.

AB=BN = 3 D

E la griglia scorrevole dovrebbe essere spostata alla distanza richiesta nel vano della porta

Meccanismo a parallelogramma- un meccanismo a quattro barre, le cui maglie formano un parallelogramma. Viene utilizzato per implementare il movimento traslatorio mediante meccanismi incernierati.

Parallelogramma con un collegamento fisso- un anello è immobile, quello opposto effettua un movimento oscillatorio rimanendo parallelo a quello immobile. Due parallelogrammi collegati uno dietro l'altro conferiscono al collegamento terminale due gradi di libertà, lasciandolo parallelo al collegamento stazionario.

Esempi: tergicristalli per autobus, carrelli elevatori, treppiedi, grucce, sospensioni per automobili.

Parallelogramma con giunto fisso- viene utilizzata la proprietà di un parallelogramma di mantenere un rapporto costante tra le distanze tra tre punti. Esempio: pantografo da disegno: un dispositivo per ridimensionare i disegni.

Rombo- tutti i collegamenti hanno la stessa lunghezza, l'avvicinamento (contrazione) di una coppia di cerniere opposte porta all'allontanamento delle altre due cerniere. Tutti i collegamenti funzionano in compressione.

Esempi: martinetto a forma di diamante di automobile, pantografo di tram.

Forbice O Meccanismo a forma di X, conosciuto anche come Forbici di Norimberga- versione a rombo - due maglie collegate al centro da una cerniera. I vantaggi del meccanismo sono la compattezza e la semplicità, lo svantaggio è la presenza di due coppie scorrevoli. Due (o più) meccanismi di questo tipo collegati in serie formano uno o più diamanti al centro. Utilizzato negli ascensori e nei giocattoli per bambini.

VII Conclusione

Chi ha studiato matematica fin da bambino?

sviluppa l'attenzione, allena il cervello,

propria volontà, coltiva la perseveranza

e perseveranza nel raggiungimento degli obiettivi

A. Markushevich

Durante il lavoro ho dimostrato ulteriori proprietà del parallelogramma.

Ero convinto che utilizzando queste proprietà fosse possibile risolvere i problemi più velocemente.

Ho mostrato come vengono applicate queste proprietà utilizzando esempi di risoluzione di problemi specifici.

Ho imparato molto sul parallelogramma, che non si trova nel nostro libro di testo di geometria

Mi sono convinto che la conoscenza della geometria sia molto importante nella vita attraverso esempi di applicazione delle proprietà di un parallelogramma.

Lo scopo del mio lavoro di ricerca è stato completato.

L'importanza della conoscenza matematica è testimoniata dal fatto che è stato istituito un premio per chi pubblica un libro su una persona che ha vissuto tutta la sua vita senza l'aiuto della matematica. Nessuna persona ha ancora ricevuto questo premio.

VIII Letteratura