La capacità di calcolare il volume delle figure spaziali è importante quando si risolvono una serie di problemi pratici di geometria. Una delle figure più comuni è la piramide. In questo articolo considereremo sia le piramidi complete che quelle troncate.

Piramide come figura tridimensionale

Tutti conoscono le piramidi egiziane, quindi hanno una buona idea di che tipo di figura parleremo. Tuttavia, le strutture in pietra egiziane sono solo un caso speciale di un'enorme classe di piramidi.

L'oggetto geometrico considerato nel caso generale è una base poligonale, ciascun vertice della quale è collegato ad un certo punto dello spazio che non appartiene al piano della base. Questa definizione porta a una figura composta da un n-gon e n triangoli.

Ogni piramide è composta da n+1 facce, 2*n spigoli e n+1 vertici. Poiché la figura in questione è un poliedro perfetto, il numero degli elementi marcati obbedisce all’uguaglianza di Eulero:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Il poligono situato alla base dà il nome alla piramide, ad esempio triangolare, pentagonale e così via. Una serie di piramidi con basi diverse è mostrata nella foto sotto.

Il punto in cui si connettono n triangoli di una figura è chiamato vertice della piramide. Se da essa si abbassa una perpendicolare sulla base e la interseca nel centro geometrico, tale figura verrà chiamata linea retta. Se questa condizione non viene soddisfatta, si forma una piramide inclinata.

Una figura retta la cui base è formata da un n-gon equilatero (equiangolo) si dice regolare.

Formula per il volume di una piramide

Per calcolare il volume della piramide utilizzeremo il calcolo integrale. Per fare ciò, dividiamo la figura tagliando i piani paralleli alla base in un numero infinito di strati sottili. La figura sottostante mostra una piramide quadrangolare di altezza h e lato lungo L, in cui il quadrilatero segna lo strato sottile della sezione.

L'area di ciascuno di questi strati può essere calcolata utilizzando la formula:

A(z) = A0 *(h-z)2 /h2 .

Qui A 0 è l'area della base, z è il valore della coordinata verticale. Si può vedere che se z = 0, allora la formula dà il valore A 0.

Per ottenere la formula del volume di una piramide bisogna calcolare l'integrale su tutta l'altezza della figura, cioè:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Sostituendo la dipendenza A(z) e calcolando la primitiva si ottiene l'espressione:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h0 = 1/3*A0 *h.

Abbiamo ottenuto la formula per il volume di una piramide. Per trovare il valore di V basta moltiplicare l'altezza della figura per l'area della base, e poi dividere il risultato per tre.

Si noti che l'espressione risultante è valida per calcolare il volume di una piramide di qualsiasi tipo. Cioè, può essere inclinato e la sua base può essere un n-gon arbitrario.

e il suo volume

La formula generale del volume ottenuta nel paragrafo precedente può essere perfezionata nel caso di una piramide a base regolare. L'area di tale base viene calcolata utilizzando la seguente formula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Dove L è la lunghezza del lato di un poligono regolare con n vertici. Il simbolo pi è il numero pi.

Sostituendo l'espressione A 0 nella formula generale, otteniamo il volume di una piramide regolare:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Ad esempio, per una piramide triangolare, questa formula restituisce la seguente espressione:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Per una piramide quadrangolare regolare, la formula del volume assume la forma:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Per determinare il volume delle piramidi regolari è necessario conoscere il lato della base e l'altezza della figura.

Piramide tronca

Supponiamo di aver preso una piramide arbitraria e di aver tagliato parte della sua superficie laterale contenente il vertice. La figura rimanente è chiamata piramide tronca. È già costituito da due basi n-gonali e da n trapezi che le collegano. Se il piano di taglio era parallelo alla base della figura, si forma una piramide tronca con basi parallele simili. Cioè, le lunghezze dei lati di uno di essi possono essere ottenute moltiplicando le lunghezze dell'altro per un certo coefficiente k.

La figura sopra ne mostra uno regolare troncato. Si può vedere che la sua base superiore, come quella inferiore, è formata da un esagono regolare.

La formula che può essere derivata utilizzando il calcolo integrale simile a quello sopra è:

V = 1/3*h*(LA 0 + LA 1 + √(LA 0 *LA 1)).

Dove A 0 e A 1 sono rispettivamente le aree della base inferiore (grande) e superiore (piccola). La variabile h indica l'altezza della piramide tronca.

Volume della piramide di Cheope

È interessante risolvere il problema della determinazione del volume che contiene al suo interno la più grande piramide egizia.

Nel 1984, gli egittologi britannici Mark Lehner e Jon Goodman stabilirono le dimensioni esatte della piramide di Cheope. La sua altezza originaria era di 146,50 metri (attualmente circa 137 metri). La lunghezza media di ciascuno dei quattro lati della struttura era di 230.363 metri. La base della piramide è quadrata con alta precisione.

Usiamo le cifre fornite per determinare il volume di questo gigante di pietra. Poiché la piramide è quadrangolare regolare, per essa vale la formula:

Sostituendo i numeri otteniamo:

V4 = 1/3*(230,363)2*146,5 ≈ 2591444 m3.

Il volume della piramide di Cheope è di quasi 2,6 milioni di m3. Per confronto, notiamo che la piscina olimpica ha un volume di 2,5 mila m 3. Cioè, per riempire l'intera piramide di Cheope avrai bisogno di più di 1000 piscine di questo tipo!

• 09.10.2014

  Il preamplificatore mostrato in figura è progettato per l'uso con 4 tipi di sorgenti sonore, ad esempio microfono, lettore CD, radio, ecc. In questo caso, il preamplificatore ha un ingresso, che può modificare la sensibilità da 50 mV a 500 mV. tensione di uscita dell'amplificatore 1000 mV. Collegando diverse sorgenti di segnale quando si commuta l'interruttore SA1, otterremo sempre...

• 20.09.2014

  L'alimentatore è progettato per un carico di 15…20 W. La sorgente è realizzata secondo il circuito di un convertitore ad alta frequenza a impulsi a ciclo singolo. Un transistor viene utilizzato per assemblare un auto-oscillatore funzionante a una frequenza di 20...40 kHz. La frequenza è regolata dalla capacità C5. Gli elementi VD5, VD6 e C6 costituiscono il circuito di avviamento dell'autogeneratore. Nel circuito secondario dopo il raddrizzatore a ponte è presente uno stabilizzatore lineare convenzionale su un microcircuito, che consente di avere ...

• 28.09.2014

  La figura mostra un generatore basato sul microcircuito K174XA11, la cui frequenza è controllata dalla tensione. Modificando la capacità C1 da 560 a 4700 pF si può ottenere un'ampia gamma di frequenze, mentre la frequenza viene regolata modificando la resistenza R4. Quindi, ad esempio, l'autore ha scoperto che, con C1 = 560pF, la frequenza del generatore può essere modificata utilizzando R4 da 600Hz a 200kHz, ...

• 03.10.2014

  L'unità è progettata per alimentare un potente ULF, è progettata per una tensione di uscita di ±27 V e un carico fino a 3 A su ciascun braccio. L'alimentazione è bipolare, realizzata su transistor compositi completi KT825-KT827. Entrambi i bracci dello stabilizzatore sono realizzati secondo lo stesso circuito, ma nell'altro braccio (non mostrato) la polarità dei condensatori viene cambiata e vengono utilizzati transistor di tipo diverso...

Piramide. Piramide tronca

Piramideè un poliedro, una delle cui facce è un poligono ( base ), e tutte le altre facce sono triangoli con un vertice comune ( facce laterali ) (figura 15). La piramide si chiama corretto , se la sua base è un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata nel centro della base (Fig. 16). Si chiama piramide triangolare con tutti gli spigoli uguali tetraedro .

Nervatura laterale di una piramide è il lato della faccia laterale che non appartiene alla base Altezza la piramide è la distanza dalla sua sommità al piano della base. Tutti gli spigoli laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro, tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. Si chiama altezza della faccia laterale di una piramide regolare tracciata dal vertice apotema . Sezione diagonale si chiama sezione di una piramide mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Superficie laterale la piramide è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Superficie totale si chiama somma delle aree di tutte le facce laterali e della base.

Teoremi

1. Se in una piramide tutti gli spigoli laterali sono ugualmente inclinati rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide si proietta nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

2. Se tutti i bordi laterali di una piramide hanno la stessa lunghezza, la sommità della piramide viene proiettata al centro di un cerchio circoscritto vicino alla base.

3. Se tutte le facce di una piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata al centro di un cerchio inscritto nella base.

Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, la formula corretta è:

Dove V- volume;

Base S– superficie della base;

H– altezza della piramide.

Per una piramide regolare valgono le seguenti formule:

Dove P– perimetro di base;

h a– apotema;

H- altezza;

S pieno

Lato S

Base S– superficie della base;

V– volume di una piramide regolare.

Piramide tronca chiamata la parte della piramide racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide (Fig. 17). Piramide regolare tronca chiamata la parte di piramide regolare racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide.

Motivi piramide tronca - poligoni simili. Facce laterali – trapezi. Altezza di una piramide tronca è la distanza tra le sue basi. Diagonale una piramide tronca è un segmento che collega i suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia. Sezione diagonale è una sezione di una piramide tronca mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Per una piramide tronca valgono le seguenti formule:

(4)

Dove S 1 , S 2 – zone delle basi superiori ed inferiori;

S pieno– superficie totale;

Lato S– superficie laterale;

H- altezza;

V– volume di una piramide tronca.

Per una piramide tronca regolare la formula è corretta:

Dove P 1 , P 2 – perimetri delle basi;

h a– apotema di una piramide regolare tronca.

Esempio 1. In una piramide triangolare regolare l'angolo diedro alla base è 60º. Trova la tangente dell'angolo di inclinazione del bordo laterale rispetto al piano della base.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 18).

La piramide è regolare, cioè alla base c'è un triangolo equilatero e tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'angolo diedro alla base è l'angolo di inclinazione della faccia laterale della piramide rispetto al piano della base. L'angolo lineare è l'angolo UN tra due perpendicolari: ecc. La sommità della piramide è proiettata al centro del triangolo (centro della circonferenza circoscritta e cerchio inscritto del triangolo ABC). L'angolo di inclinazione del bordo laterale (ad es S.B.) è l'angolo compreso tra il bordo stesso e la sua proiezione sul piano della base. Per la costola S.B. questo angolo sarà l'angolo SBD. Per trovare la tangente devi conoscere i cateti COSÌ E O.B.. Lasciamo la lunghezza del segmento B.D equivale a 3 UN. Punto DI segmento B.Dè diviso in parti: e Da troviamo COSÌ: Da troviamo:

Risposta:

Esempio 2. Trova il volume di una piramide quadrangolare tronca regolare se le diagonali delle sue basi sono uguali a cm e cm e la sua altezza è 4 cm.

Soluzione. Per trovare il volume di una piramide tronca, usiamo la formula (4). Per trovare l'area delle basi, devi trovare i lati dei quadrati di base, conoscendone le diagonali. I lati delle basi sono rispettivamente pari a 2 cm e 8 cm. Ciò significa che le aree delle basi e Sostituendo tutti i dati nella formula, calcoliamo il volume della piramide tronca:

Risposta: 112 cm3.

Esempio 3. Trova l'area della faccia laterale di una piramide tronca triangolare regolare, i cui lati delle basi sono 10 cm e 4 cm, e l'altezza della piramide è 2 cm.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 19).

La faccia laterale di questa piramide è un trapezio isoscele. Per calcolare l'area di un trapezio è necessario conoscere la base e l'altezza. Le basi sono fornite in base alle condizioni, solo l'altezza rimane sconosciuta. La troveremo da dove? UN 1 E perpendicolare da un punto UN 1 sul piano della base inferiore, UN 1 D– perpendicolare da UN 1 p AC. UN 1 E= 2 cm, poiché questa è l'altezza della piramide. Trovare DE Realizziamo un disegno aggiuntivo che mostri la vista dall'alto (Fig. 20). Punto DI– proiezione dei centri delle basi superiore ed inferiore. poiché (vedi Fig. 20) e D'altra parte OK– raggio inscritto nel cerchio e OM– raggio inscritto in una circonferenza:

MK = DE.

Secondo il teorema di Pitagora di

Zona della faccia laterale:

Risposta:

Esempio 4. Alla base della piramide si trova un trapezio isoscele, le cui basi UN E B (UN> B). Ciascuna faccia laterale forma un angolo uguale al piano della base della piramide J. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 21). Superficie totale della piramide SABCD uguale alla somma delle aree e dell'area del trapezio ABCD.

Usiamo l'affermazione che se tutte le facce della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora il vertice è proiettato nel centro del cerchio inscritto nella base. Punto DI– proiezione del vertice S alla base della piramide. Triangolo ZOLLA ERBOSAè la proiezione ortogonale del triangolo CSD al piano della base. Utilizzando il teorema sull'area della proiezione ortogonale di una figura piana, otteniamo:

Allo stesso modo significa Pertanto, il problema si è ridotto a trovare l'area del trapezio ABCD. Disegniamo un trapezio ABCD separatamente (Fig. 22). Punto DI– il centro di una circonferenza inscritta in un trapezio.

Poiché un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora o Dal teorema di Pitagora abbiamo