Storia del teorema di Pitagora. Dimostrazione del teorema

Il teorema di Pitagora è un teorema fondamentale della geometria euclidea, che postula la relazione tra i cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Questo è forse il teorema più popolare al mondo, noto a tutti a scuola.

Storia del teorema

In effetti, la teoria del rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo era conosciuta molto prima di Pitagora dell'isola di Samo. Pertanto, problemi relativi alle proporzioni si trovano in testi antichi del regno del re babilonese Hammurabi, cioè 1500 anni prima della nascita del matematico di Samia. Note sui lati di un triangolo furono registrate non solo a Babilonia, ma anche nell'antico Egitto e in Cina. Uno dei rapporti interi più famosi tra i cateti e l'ipotenusa è 3, 4 e 5. Questi numeri venivano usati dagli antichi geometri e architetti per costruire angoli retti.

Quindi Pitagora non ha inventato il teorema sulla relazione tra le gambe e l'ipotenusa. Fu il primo nella storia a dimostrarlo. Tuttavia su questo ci sono dei dubbi, poiché la dimostrazione del matematico di Samo, se è stata registrata, è andata perduta per secoli. C'è un'opinione secondo cui la dimostrazione del teorema data negli Elementi di Euclide appartiene specificamente a Pitagora. Tuttavia, gli storici della matematica hanno grandi dubbi al riguardo.

Pitagora fu il primo, ma dopo di lui il teorema sui lati di un triangolo rettangolo fu dimostrato circa 400 volte, utilizzando le tecniche più diverse: dalla geometria classica al calcolo differenziale. Il teorema di Pitagora ha sempre occupato menti curiose, quindi tra gli autori delle dimostrazioni si può ricordare il presidente degli Stati Uniti James Garfield.

Prova

Nella letteratura matematica sono state registrate almeno quattrocento dimostrazioni del teorema di Pitagora. Un numero così sbalorditivo è spiegato dal significato fondamentale del teorema per la scienza e dalla natura elementare del risultato. Fondamentalmente, il teorema di Pitagora è dimostrato con metodi geometrici, i più popolari dei quali sono il metodo delle aree e il metodo delle somiglianze.

Il metodo più semplice per dimostrare il teorema, che non richiede costruzioni geometriche obbligatorie, è il metodo delle aree. Pitagora affermava che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti:

Proviamo a dimostrare questa audace affermazione. Sappiamo che l'area di qualsiasi figura è determinata elevando al quadrato un segmento di linea. Un segmento di linea può essere qualsiasi cosa, ma molto spesso è il lato di una forma o il suo raggio. A seconda della scelta del segmento e del tipo di figura geometrica, il quadrato avrà coefficienti diversi:

• unità nel caso del quadrato – S = a 2;
• circa 0,43 nel caso di un triangolo equilatero – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi nel caso di un cerchio – S = pi × R 2.

Pertanto, possiamo esprimere l'area di qualsiasi triangolo nella forma S = F × a 2, dove F è un certo coefficiente.

Un triangolo rettangolo è una figura straordinaria che può essere facilmente divisa in due triangoli rettangoli simili semplicemente lasciando cadere una perpendicolare da qualsiasi vertice. Questa divisione trasforma un triangolo rettangolo nella somma di due triangoli rettangoli più piccoli. Poiché i triangoli sono simili, le loro aree vengono calcolate utilizzando la stessa formula, che assomiglia a:

S = F × ipotenusa 2

Come risultato della divisione di un grande triangolo con i lati a, b e c (ipotenusa), si sono ottenuti tre triangoli e le ipotenuse delle figure più piccole si sono rivelate i lati aeb del triangolo originale. Pertanto, le aree di triangoli simili vengono calcolate come:

• S1 = F × c 2 – triangolo originale;
• S2 = F × a 2 – il primo triangolo simile;
• S3 = F × b 2 – il secondo triangolo simile.

Ovviamente l'area di un triangolo grande è uguale alla somma delle aree di triangoli simili:

F × c2 = F × a2 + F × b2

Il fattore F è facile da ridurre. Di conseguenza otteniamo:

c2 = a2 + b2,

Q.E.D.

Trine pitagoriche

Il popolare rapporto tra cateti e ipotenuse come 3, 4 e 5 è già stato menzionato sopra. Le terzine pitagoriche sono un insieme di tre numeri relativamente primi che soddisfano la condizione a 2 + b 2 = c 2. Esistono un numero infinito di tali combinazioni e le prime venivano usate nell'antichità per costruire angoli retti. Legando un certo numero di nodi su una corda a intervalli uguali e piegandola in un triangolo, gli antichi scienziati ottenevano un angolo retto. Per fare ciò, era necessario annodare i nodi su ciascun lato del triangolo, in una quantità corrispondente alle terzine pitagoriche:

• 3, 4 e 5;
• 5, 12 e 13;
• 7, 24 e 25;
• 8, 15 e 17.

In questo caso, qualsiasi terna pitagorica può essere aumentata di un numero intero di volte e si può ottenere una relazione proporzionale corrispondente alle condizioni del teorema di Pitagora. Ad esempio, dalla tripla 5, 12, 13, puoi ottenere i valori laterali 10, 24, 26 semplicemente moltiplicando per 2. Oggi, le triple pitagoriche vengono utilizzate per risolvere rapidamente problemi geometrici.

Applicazione del teorema di Pitagora

Il teorema del matematico di Samia è utilizzato non solo nella geometria scolastica. Il teorema di Pitagora trova applicazione in architettura, astronomia, fisica, letteratura, informatica e persino nella valutazione dell'efficacia dei social network. Il teorema vale anche nella vita reale.

Selezione di pizze

Nelle pizzerie i clienti spesso si pongono la domanda: prendere una pizza grande o due più piccole? Diciamo che puoi acquistare una pizza con un diametro di 50 cm oppure due pizze più piccole con un diametro di 30 cm. A prima vista, due pizze più piccole sono più grandi e più redditizie, ma non è così. Come confrontare velocemente la superficie delle pizze che ti piacciono?

Ricordiamo il teorema del matematico Samiano e le terne pitagoriche. L'area di un cerchio è il quadrato del diametro con il coefficiente F = pi greco/4. E la prima terna pitagorica è 3, 4 e 5, che possiamo facilmente trasformare nella tripla 30, 40, 50. Quindi 50 2 = 30 2 + 40 2. Ovviamente l'area di una pizza di 50 cm di diametro sarà maggiore della somma delle pizze di 30 cm di diametro. Sembrerebbe che il teorema sia applicabile solo in geometria e solo per i triangoli, ma questo esempio lo dimostra che la relazione c 2 = a 2 + b 2 può essere utilizzata anche per confrontare altre figure e le loro caratteristiche.

Il nostro calcolatore online ti consente di calcolare qualsiasi valore che soddisfi l'equazione fondamentale della somma dei quadrati. Per calcolare basta inserire 2 valori qualsiasi, dopodiché il programma calcolerà il coefficiente mancante. La calcolatrice funziona non solo con valori interi, ma anche con valori frazionari, quindi puoi utilizzare qualsiasi numero per i calcoli, non solo le terzine pitagoriche.

Conclusione

Il teorema di Pitagora è una cosa fondamentale ampiamente utilizzata in molte applicazioni scientifiche. Utilizza il nostro calcolatore online per calcolare le grandezze dei valori correlati da c 2 = a 2 + b 2 .

Diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora

studente della 9a classe "A".

Scuola secondaria dell'istituto scolastico municipale n. 8

Consulente scientifico:

insegnante di matematica,

Scuola secondaria dell'istituto scolastico municipale n. 8

Arte. Novoroždestvenskaja

Regione di Krasnodar.

Arte. Novoroždestvenskaja

ANNOTAZIONE.

Il teorema di Pitagora è giustamente considerato il più importante nel corso della geometria e merita molta attenzione. È la base per risolvere molti problemi geometrici, la base per studiare in futuro corsi di geometria teorica e pratica. Il teorema è circondato da un ricco materiale storico relativo alla sua apparizione e ai metodi di dimostrazione. Lo studio della storia dello sviluppo della geometria instilla l'amore per questa materia, promuove lo sviluppo dell'interesse cognitivo, della cultura generale e della creatività e sviluppa anche capacità di ricerca.

Come risultato dell'attività di ricerca, è stato raggiunto l'obiettivo del lavoro, ovvero ricostituire e generalizzare le conoscenze sulla dimostrazione del teorema di Pitagora. È stato possibile trovare e considerare vari metodi di prova e approfondire la conoscenza sull'argomento, andando oltre le pagine del libro di testo scolastico.

Il materiale raccolto ci convince ulteriormente che il teorema di Pitagora è un grande teorema di geometria e ha un enorme significato teorico e pratico.

Introduzione. Contesto storico 5 Parte principale 8

3. Conclusione 19

4. Letteratura utilizzata 20
1. INTRODUZIONE. RIFERIMENTO STORICO.

L'essenza della verità è che è per noi per sempre,

Quando almeno una volta nella sua intuizione vediamo la luce,

E il teorema di Pitagora dopo tanti anni

Per noi, come per lui, è innegabile, impeccabile.

Per rallegrarsi, Pitagora fece un voto agli dei:

Per toccare la saggezza infinita,

Ha scannato cento tori, grazie a quelli eterni;

Ha offerto preghiere e lodi dopo la vittima.

Da allora, quando i tori l'annusano, spingono,

Che il sentiero conduca nuovamente le persone a una nuova verità,

Ruggiscono furiosamente, quindi è inutile ascoltarli,

Tali Pitagora instillarono in loro il terrore per sempre.

Tori, impotenti a resistere alla nuova verità,

Cosa rimane? - Basta chiudere gli occhi, ruggire, tremare.

Non si sa come Pitagora dimostrò il suo teorema. Quello che è certo è che lo scoprì sotto la forte influenza della scienza egiziana. Un caso speciale del teorema di Pitagora - le proprietà di un triangolo con i lati 3, 4 e 5 - era noto ai costruttori delle piramidi molto prima della nascita di Pitagora, e lui stesso studiò con sacerdoti egiziani per più di 20 anni. È stata conservata una leggenda secondo cui, dopo aver dimostrato il suo famoso teorema, Pitagora sacrificò un toro agli dei e, secondo altre fonti, anche 100 tori. Ciò, tuttavia, contraddice le informazioni sulle opinioni morali e religiose di Pitagora. Nelle fonti letterarie si legge che “proibiva anche l’uccisione degli animali e ancor meno il nutrirsi di loro, perché gli animali hanno un’anima, proprio come noi”. Pitagora mangiava solo miele, pane, verdure e occasionalmente pesce. In relazione a tutto ciò, può essere considerata più plausibile la seguente voce: "... e anche quando scoprì che in un triangolo rettangolo l'ipotenusa corrisponde alle gambe, sacrificò un toro fatto di pasta di grano."

La popolarità del teorema di Pitagora è così grande che le sue dimostrazioni si trovano anche nella finzione, ad esempio nella storia "Il giovane Archimede" del famoso scrittore inglese Huxley. La stessa dimostrazione, ma per il caso speciale di un triangolo rettangolo isoscele, è data nel dialogo di Platone “Menone”.

Fiaba "Casa".

“Lontano, molto lontano, dove nemmeno gli aerei volano, è il paese della Geometria. In questo paese insolito c'era una città straordinaria: la città di Teorem. Un giorno una bellissima ragazza di nome Ipotenusa venne in questa città. Ha provato ad affittare una stanza, ma non importa dove abbia fatto domanda, è stata rifiutata. Alla fine si avvicinò alla casa traballante e bussò. Un uomo che si faceva chiamare Angolo Retto le aprì la porta e invitò Ipotenusa a vivere con lui. L'ipotenusa rimase nella casa in cui vivevano l'Angolo Retto e i suoi due giovani figli di nome Katetes. Da allora, la vita nella casa di Right Angle è cambiata in un modo nuovo. L'ipotenusa piantava fiori sulla finestra e rose rosse nel giardino antistante. La casa prese la forma di un triangolo rettangolo. Ad entrambe le gambe piacque molto l'ipotenusa e le chiesero di rimanere per sempre nella loro casa. La sera, questa famiglia amichevole si riunisce al tavolo della famiglia. A volte Right Angle gioca a nascondino con i suoi figli. Molto spesso deve guardare e l'ipotenusa si nasconde così abilmente che può essere molto difficile da trovare. Un giorno, mentre giocava, Angolo retto notò una proprietà interessante: se riesce a trovare le gambe, trovare l'ipotenusa non sarà difficile. Quindi l'Angolo Retto usa questo schema, devo dire, con molto successo. Il teorema di Pitagora si basa sulla proprietà di questo triangolo rettangolo”.

(Dal libro di A. Okunev “Grazie per la lezione, bambini”).

Una formulazione umoristica del teorema:

Se ci viene dato un triangolo

E inoltre, con un angolo retto,

Questo è il quadrato dell'ipotenusa

Possiamo sempre trovare facilmente:

Raddrizziamo le gambe,

Troviamo la somma dei poteri -

E in un modo così semplice

Arriveremo al risultato.

Mentre studiavo l'algebra e gli inizi dell'analisi e della geometria in terza media, mi sono convinto che oltre al metodo per dimostrare il teorema di Pitagora discusso in terza media, esistono altri metodi di dimostrazione. Li presento alla vostra considerazione.
2. PARTE PRINCIPALE.

Teorema. In un triangolo rettangolo c'è un quadrato

L'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.

1 METODO.

Utilizzando le proprietà delle aree dei poligoni, stabiliremo una relazione notevole tra l'ipotenusa e i cateti di un triangolo rettangolo.

Prova.

AC e ipotenusa Con(Fig. 1, a).

Dimostriamolo c²=a²+b².

Prova.

Completiamo il triangolo in un quadrato con lato a+b come mostrato in Fig. 1, b. L'area S di questo quadrato è (a + b)². D'altra parte, questo quadrato è formato da quattro triangoli rettangoli uguali, ciascuno dei quali ha un'area di ½ aw  e un quadrato con lato Con, quindi S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Così,

(a+b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Il teorema è dimostrato.
2 METODO.

Dopo aver studiato l'argomento "Triangoli simili", ho scoperto che puoi applicare la somiglianza dei triangoli alla dimostrazione del teorema di Pitagora. Ho cioè utilizzato l'affermazione che il cateto di un triangolo rettangolo è la media proporzionale all'ipotenusa e al segmento di ipotenusa compreso tra il cateto e l'altezza ricavata dal vertice dell'angolo retto.

Considera un triangolo rettangolo con angolo retto C, CD – altezza (Fig. 2). Dimostriamolo AC²+NE² = AB² .

Prova.

Basandosi sull'affermazione relativa al cateto di un triangolo rettangolo:

AC = , SV = .

Facciamo il quadrato e aggiungiamo le uguaglianze risultanti:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), dove AD+DB=AB, quindi

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

La dimostrazione è completa.
3 METODO.

Per dimostrare il teorema di Pitagora, puoi applicare la definizione di coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo. Diamo un'occhiata alla Fig. 3.

Prova:

Sia ABC un dato triangolo rettangolo con angolo retto C. Tracciamo l'altezza CD dal vertice dell'angolo retto C.

Per definizione di coseno di un angolo:

cos A = AD/AC = AC/AB. Quindi AB * AD = AC²

Allo stesso modo,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Quindi AB * BD = BC².

Sommando le uguaglianze risultanti termine per termine e notando che AD + DB = AB, otteniamo:

AC² + sole² = AB (AD + DB) = AB²

La dimostrazione è completa.
4 METODO.

Avendo studiato l'argomento "Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo", penso che il teorema di Pitagora possa essere dimostrato in un altro modo.

Considera un triangolo rettangolo con i cateti AC e ipotenusa Con. (Fig. 4).

Dimostriamolo c²=a²+b².

Prova.

peccato B= alta qualità ; cos B= AC , quindi, elevando al quadrato le uguaglianze risultanti, otteniamo:

peccato² B= pollici²/s²; cos² IN= a²/c².

Sommandoli otteniamo:

peccato² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², dove sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², quindi,

c²= a² + b².

La dimostrazione è completa.

5 METODO.

Questa dimostrazione si basa sul taglio dei quadrati costruiti sui cateti (Fig. 5) e sul posizionamento delle parti risultanti su un quadrato costruito sull'ipotenusa.

6 METODO.

Per prova a lato Sole stiamo costruendo GAV ABC(Fig. 6). Sappiamo che le aree di figure simili sono legate come i quadrati delle loro dimensioni lineari simili:

Sottraendo la seconda dalla prima uguaglianza, otteniamo

c2 = a2+ b2.

La dimostrazione è completa.

7 METODO.

Dato(Fig.7):

ABC,= 90° , sole= a, AC=b, AB = c.

Dimostrare:c2 = a2+b2.

Prova.

Lascia che la gamba B UN. Continuiamo il segmento NE per punto IN e costruire un triangolo BMD in modo che i punti M E UN giacere su un lato della linea retta CD e inoltre, BD =B, BDM= 90°, DM= a, quindi BMD= ABC su due lati e l'angolo tra di loro. Punti A e M connettersi con i segmenti SONO. Abbiamo MD CD E AC. CD, ciò significa che è dritto AC parallelo alla linea MD Perché MD< АС, poi dritto CD E SONO. non parallelo. Perciò, AMDC- trapezio rettangolare.

Nei triangoli rettangoli ABC e BMD 1 + 2 = 90° e 3 + 4 = 90°, ma poiché = =, allora 3 + 2 = 90°; Poi AVM=180° - 90° = 90°. Si è scoperto che il trapezio AMDCè diviso in tre triangoli rettangoli non sovrapposti, quindi dagli assiomi dell'area

(a+b)(a+b)

Dividendo tutti i termini della disuguaglianza per , otteniamo

UNb + c2 + ab = (a+B) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,

c2 = a2+ b2.

La dimostrazione è completa.

8 METODO.

Questo metodo si basa sull'ipotenusa e sui cateti di un triangolo rettangolo ABC. Costruisce i quadrati corrispondenti e dimostra che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (Fig. 8).

Prova.

1) DBC= Logistica di Amazon= 90°;

DBC+ ABC= Logistica di Amazon+ ABC, Significa, FBC = DBA.

Così, FBC=ABD(su due lati e l'angolo tra di loro).

2) , dove AL DE, poiché BD è una base comune, DL- altezza totale.

3) , poiché FB è una fondazione, AB- altezza totale.

4)

5) Allo stesso modo si può dimostrare

6) Sommando termine per termine, otteniamo:

, BC2 = AB2+AC2 . La dimostrazione è completa.

9 METODO.

Prova.

1) Lascia ABDE- un quadrato (Fig. 9), il cui lato è uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC= s, BC = a, AC =B).

2) Lascia Non so AVANTI CRISTO. E DK = sole, poiché 1 + 2 = 90° (come gli angoli acuti di un triangolo rettangolo), 3 + 2 = 90° (come l'angolo di un quadrato), AB= B.D(lati del quadrato).

Significa, ABC= BDK(per ipotenusa e angolo acuto).

3) Lascia EL D.K., A.M. EL. Si può facilmente dimostrare che ABC = BDK = DEL = EAM (con gambe UN E B). Poi KS= CM= M.L.= L.K.= UN -B.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Con2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

La dimostrazione è completa.

10 METODO.

La dimostrazione può essere effettuata su una figura chiamata scherzosamente “pantaloni pitagorici” (Fig. 10). La sua idea è quella di trasformare i quadrati costruiti sui lati in triangoli uguali che insieme compongono il quadrato dell'ipotenusa.

ABC spostalo come mostrato dalla freccia e prende posizione KDN. Il resto della figura AKDCB uguale area del quadrato AKDC questo è un parallelogramma AKNB.

È stato realizzato un modello a parallelogramma AKNB. Riorganizziamo il parallelogramma come abbozzato nel contenuto del lavoro. Per mostrare la trasformazione di un parallelogramma in un triangolo di uguale area, tagliamo un triangolo sul modello davanti agli studenti e lo spostiamo verso il basso. Quindi, l'area del quadrato AKDC si è rivelato uguale all'area del rettangolo. Allo stesso modo, convertiamo l'area di un quadrato nell'area di un rettangolo.

Facciamo una trasformazione per un quadrato costruito su una gamba UN(Fig. 11, a):

a) il quadrato si trasforma in un parallelogramma uguale (Fig. 11.6):

b) il parallelogramma ruota di un quarto di giro (Fig. 12):

c) il parallelogramma si trasforma in un rettangolo uguale (Fig. 13): 11 METODO.

Prova:

PCL- dritto (Fig. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2+ b2.

La prova è finita .

12 METODO.

Riso. La Figura 15 illustra un'altra dimostrazione originale del teorema di Pitagora.

Qui: triangolo ABC con angolo retto C; segmento B.F. perpendicolare NE e uguale ad esso, il segmento ESSERE perpendicolare AB e uguale ad esso, il segmento ANNO DOMINI perpendicolare AC e uguale ad esso; punti F, C,D appartengono alla stessa linea; quadrilateri ADFB E ASVE uguali in dimensioni, poiché ABF = BCE; triangoli ADF E ASSO di dimensioni uguali; sottrai da entrambi i quadrilateri uguali il triangolo che condividono ABC, noi abbiamo

, c2 = a2+ b2.

La dimostrazione è completa.

13 METODO.

L'area di un dato triangolo rettangolo, su un lato, è uguale a , con un altro, ,

3. CONCLUSIONE.

Come risultato dell'attività di ricerca, è stato raggiunto l'obiettivo del lavoro, ovvero ricostituire e generalizzare le conoscenze sulla dimostrazione del teorema di Pitagora. È stato possibile trovare e considerare vari modi per dimostrarlo e approfondire la conoscenza sull'argomento, andando oltre le pagine del libro di testo scolastico.

Il materiale che ho raccolto mi convince ancora di più che il teorema di Pitagora è un grande teorema di geometria e ha un enorme significato teorico e pratico. In conclusione, vorrei dire: la ragione della popolarità del teorema trino di Pitagora è la sua bellezza, semplicità e significato!

4. LETTERATURA UTILIZZATA.

1. Algebra divertente. . Mosca "Scienza", 1978.

2. Supplemento settimanale didattico e metodologico al quotidiano “Primo settembre”, 24/2001.

3. Geometria 7-9. e così via.

4. Geometria 7-9. e così via.

La storia del teorema di Pitagora risale a diverse migliaia di anni fa. Un'affermazione che afferma che era conosciuta molto prima della nascita del matematico greco. Tuttavia, il teorema di Pitagora, la storia della sua creazione e la sua dimostrazione sono associati per la maggior parte a questo scienziato. Secondo alcune fonti, la ragione di ciò fu la prima dimostrazione del teorema, data da Pitagora. Tuttavia, alcuni ricercatori negano questo fatto.

Musica e logica

Prima di raccontare come si è sviluppata la storia del teorema di Pitagora, diamo un'occhiata brevemente alla biografia del matematico. Visse nel VI secolo a.C. La data di nascita di Pitagora è considerata il 570 a.C. e., il luogo è l'isola di Samos. Poco si sa in modo affidabile sulla vita dello scienziato. I dati biografici nelle antiche fonti greche sono intrecciati con ovvia finzione. Nelle pagine dei trattati appare come un grande saggio dotato di un'eccellente padronanza delle parole e della capacità di persuadere. A proposito, questo è il motivo per cui il matematico greco fu soprannominato Pitagora, cioè "discorso persuasivo". Secondo un'altra versione, la nascita del futuro saggio fu predetta dalla Pizia. Il padre chiamò il ragazzo Pitagora in suo onore.

Il saggio imparò dalle grandi menti dell'epoca. Tra gli insegnanti del giovane Pitagora ci sono Hermodamantus e Pherecydes di Syros. Il primo gli ha instillato l'amore per la musica, il secondo gli ha insegnato la filosofia. Entrambe queste scienze rimarranno al centro dell'attenzione dello scienziato per tutta la sua vita.

30 anni di formazione

Secondo una versione, essendo un giovane curioso, Pitagora lasciò la sua terra natale. Andò a cercare la conoscenza in Egitto, dove rimase, secondo varie fonti, dagli 11 ai 22 anni, poi fu catturato e inviato a Babilonia. Pitagora poté trarre vantaggio dalla sua posizione. Per 12 anni ha studiato matematica, geometria e magia allo stato antico. Pitagora ritornò a Samo solo all'età di 56 anni. A quel tempo qui regnava il tiranno Policrate. Pitagora non poteva accettare un simile sistema politico e presto si recò nel sud dell'Italia, dove si trovava la colonia greca di Crotone.

Oggi è impossibile dire con certezza se Pitagora fosse in Egitto e Babilonia. Potrebbe aver lasciato Samo più tardi ed essere andato direttamente a Crotone.

Pitagorici

La storia del teorema di Pitagora è collegata allo sviluppo della scuola creata dal filosofo greco. Questa confraternita religiosa ed etica predicava l'osservanza di uno stile di vita speciale, studiava aritmetica, geometria e astronomia ed era impegnata nello studio del lato filosofico e mistico dei numeri.

A lui furono attribuite tutte le scoperte degli studenti del matematico greco. Tuttavia, la storia dell'emergere del teorema di Pitagora è associata dagli antichi biografi solo al filosofo stesso. Si presume che abbia trasmesso ai Greci le conoscenze acquisite in Babilonia e in Egitto. Esiste anche una versione in cui ha effettivamente scoperto il teorema sulla relazione tra le gambe e l'ipotenusa, senza conoscere le conquiste di altri popoli.

Teorema di Pitagora: storia della scoperta

Alcune fonti dell'antica Grecia descrivono la gioia di Pitagora quando riuscì a dimostrare il teorema. In onore di questo evento, ordinò un sacrificio agli dei sotto forma di centinaia di tori e organizzò una festa. Alcuni scienziati, tuttavia, sottolineano l'impossibilità di un simile atto a causa delle peculiarità delle opinioni dei Pitagorici.

Si ritiene che nel trattato "Elementi", creato da Euclide, l'autore fornisca una dimostrazione del teorema, il cui autore fu il grande matematico greco. Non tutti però hanno sostenuto questo punto di vista. Così, anche l'antico filosofo neoplatonico Proclo fece notare che l'autore della dimostrazione fornita negli Elementi era lo stesso Euclide.

Comunque sia, il primo a formulare il teorema non fu Pitagora.

Antico Egitto e Babilonia

Il teorema di Pitagora, la cui storia è discussa nell'articolo, secondo il matematico tedesco Cantor, era conosciuto nel 2300 a.C. e. in Egitto. Gli antichi abitanti della Valle del Nilo durante il regno del faraone Amenemhat I conoscevano l'uguaglianza 3 2 + 4 ² = 5 ². Si presume che con l'aiuto di triangoli con i lati 3, 4 e 5, gli "tiratori di corda" egiziani costruissero angoli retti.

Conoscevano anche il teorema di Pitagora a Babilonia. Su tavolette d'argilla risalenti al 2000 a.C. e risalente al regno fu scoperto un calcolo approssimativo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

India e Cina

La storia del teorema di Pitagora è collegata anche alle antiche civiltà dell'India e della Cina. Il trattato “Zhou-bi suan jin” contiene indicazioni che (i suoi lati sono collegati come 3:4:5) era conosciuto in Cina già nel XII secolo. AVANTI CRISTO e., e nel VI secolo. AVANTI CRISTO e. I matematici di questo stato conoscevano la forma generale del teorema.

La costruzione di un angolo retto utilizzando il triangolo egiziano è stata delineata anche nel trattato indiano “Sulva Sutra”, risalente al VII-V secolo. AVANTI CRISTO e.

Pertanto, la storia del teorema di Pitagora al momento della nascita del matematico e filosofo greco aveva già diverse centinaia di anni.

Prova

Durante la sua esistenza, il teorema divenne uno dei fondamentali della geometria. La storia della dimostrazione del teorema di Pitagora probabilmente iniziò con la considerazione di un quadrato equilatero. Sulla sua ipotenusa e sui suoi cateti sono costruiti i quadrati. Quello che “è cresciuto” sull'ipotenusa sarà composto da quattro triangoli uguali al primo. I quadrati sui lati sono costituiti da due di questi triangoli. Una semplice rappresentazione grafica mostra chiaramente la validità dell'affermazione formulata sotto forma del famoso teorema.

Un'altra semplice dimostrazione combina la geometria con l'algebra. Si disegnano quattro triangoli rettangoli identici con lati a, b, c in modo da formare due quadrati: quello esterno con lato (a + b) e quello interno con lato c. In questo caso l'area del quadrato più piccolo sarà pari a c 2. L'area del quadrato grande si calcola dalla somma delle aree del quadrato piccolo e di tutti i triangoli (l'area di un triangolo rettangolo, ricordiamo, si calcola con la formula (a * b) / 2), che è c 2 + 4 * ((a * b) / 2), che è uguale a c 2 + 2av. L'area di un grande quadrato può essere calcolata in un altro modo: come il prodotto di due lati, cioè (a + b) 2, che è uguale a a 2 + 2ab + b 2. Si scopre:

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab,

a2 + b2 = c2.

Esistono molte versioni della dimostrazione di questo teorema. Su di essi lavorarono Euclide, scienziati indiani e Leonardo da Vinci. Spesso gli antichi saggi citavano disegni, esempi dei quali si trovano sopra, e non li accompagnavano con altre spiegazioni oltre alla nota "Guarda!" La semplicità della dimostrazione geometrica, a condizione che fosse disponibile una certa conoscenza, non richiedeva commenti.

La storia del teorema di Pitagora, brevemente delineata nell'articolo, sfata il mito sulla sua origine. Tuttavia, è difficile persino immaginare che il nome del grande matematico e filosofo greco cesserà mai di essere associato ad esso.

MISURA DELL'AREA DELLE FIGURE GEOMETRICHE.

§ 58. TEOREMA DI PITAGOREA 1.

__________
1 Pitagora è uno scienziato greco vissuto circa 2500 anni fa (564-473 a.C.).
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Diamo un triangolo rettangolo i cui lati UN, B E Con(disegno 267).

Costruiamo dei quadrati sui suoi lati. Le aree di questi quadrati sono rispettivamente uguali UN 2 , B 2 e Con 2. Dimostriamolo Con 2 = un 2 +b 2 .

Costruiamo due quadrati MKOR e M"K"O"R" (disegni 268, 269), prendendo come lato di ciascuno di essi un segmento uguale alla somma dei cateti del triangolo rettangolo ABC.

Terminate le costruzioni riportate nei disegni 268 e 269 in questi quadrati, vedremo che il quadrato MCOR è diviso in due quadrati con aree UN 2 e B 2 e quattro triangoli rettangoli uguali, ciascuno dei quali è uguale al triangolo rettangolo ABC. Il quadrato M"K"O"R" era diviso in un quadrilatero (è ombreggiato nel disegno 269) e quattro triangoli rettangoli, ciascuno dei quali è anche uguale al triangolo ABC. Un quadrilatero ombreggiato è un quadrato, poiché i suoi lati sono uguali (ciascuno è uguale all'ipotenusa del triangolo ABC, cioè Con) e gli angoli sono giusti / 1 + / 2 = 90°, da dove / 3 = 90°).

Pertanto, la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe (nel disegno 268 questi quadrati sono ombreggiati) è uguale all'area del quadrato MCOR senza la somma delle aree di quattro triangoli uguali, e all'area di ​​il quadrato costruito sull'ipotenusa (nel disegno 269 questo quadrato è anche ombreggiato) è uguale all'area del quadrato M"K"O"R", pari al quadrato di MCOR, senza la somma delle aree di quattro triangoli simili. Pertanto l'area di un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Otteniamo la formula Con 2 = un 2 +b 2 dove Con- ipotenusa, UN E B- cateti di un triangolo rettangolo.

Il teorema di Pitagora è solitamente formulato brevemente come segue:

Il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.

Dalla formula Con 2 = un 2 +b 2 si ottengono le seguenti formule:

UN 2 = Con 2 - B 2 ;
B 2 = Con 2 - UN 2 .

Queste formule possono essere utilizzate per trovare il lato sconosciuto di un triangolo rettangolo a partire dai suoi due lati dati.
Per esempio:

a) se vengono concesse le gambe UN= 4 centimetri, B=3 cm, allora puoi trovare l'ipotenusa ( Con):
Con 2 = un 2 +b 2, cioè Con 2 = 4 2 + 3 2 ; con 2 = 25, da cui Con= √25 =5 (cm);

b) se è data l'ipotenusa Con= 17 cm e gamba UN= 8 cm, quindi puoi trovare un'altra gamba ( B):

B 2 = Con 2 - UN 2, cioè B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, da dove B= √225 = 15 (cm).

Conseguenza: Se due triangoli rettangoli ABC e A hanno 1 B 1 C 1 ipotenusa Con E Con 1 sono uguali e gamba B il triangolo ABC è più lungo della gamba B 1 triangolo A 1 B 1 C 1,
poi la gamba UN il triangolo ABC è più piccolo della gamba UN 1 triangolo A 1 B 1 C 1. (Fai un disegno che illustri questa conseguenza.)

Infatti in base al teorema di Pitagora otteniamo:

UN 2 = Con 2 - B 2 ,
UN 1 2 = Con 1 2 - B 1 2

Nelle formule scritte, i minuendi sono uguali, e il sottraendo nella prima formula è maggiore del sottraendo nella seconda formula, quindi la prima differenza è minore della seconda,
cioè. UN 2 < UN 12 . Dove UN< UN 1 .

Esercizi.

1. Utilizzando il disegno 270, dimostrare il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo isoscele.

2. Un cateto di un triangolo rettangolo misura 12 cm, l'altro misura 5 cm. Calcola la lunghezza dell'ipotenusa di questo triangolo.

3. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 10 cm, uno dei cateti è 8 cm. Calcola la lunghezza dell'altro cateto di questo triangolo.

4. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 37 cm, uno dei suoi cateti è 35 cm. Calcola la lunghezza dell'altro cateto di questo triangolo.

5. Costruisci un quadrato con un'area doppia di quella data.

6. Costruisci un quadrato con un'area pari alla metà di quella data. Nota. Disegna le diagonali in questo quadrato. I quadrati costruiti sulle metà di queste diagonali saranno quelli che stiamo cercando.

7. I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 12 cm e 15 cm. Calcola la lunghezza dell'ipotenusa di questo triangolo con una precisione di 0,1 cm.

8. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 20 cm, uno dei suoi cateti è 15 cm. Calcola la lunghezza dell'altro cateto con l'approssimazione di 0,1 cm.

9. Quanto deve essere lunga la scala per poterla agganciare ad una finestra posta a 6 m di altezza, se l'estremità inferiore della scala deve trovarsi a 2,5 m dall'edificio? (Grafico 271.)

Dimostrazione animata del teorema di Pitagora - uno dei fondamentale teoremi della geometria euclidea che stabiliscono la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo. Si ritiene che sia stato dimostrato dal matematico greco Pitagora, da cui prende il nome (esistono altre versioni, in particolare l'opinione alternativa secondo cui questo teorema in forma generale è stato formulato dal matematico pitagorico Ippaso).
Il teorema afferma:

In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Determinazione della lunghezza dell'ipotenusa del triangolo C, e le lunghezze delle gambe sono simili UN E B, otteniamo la seguente formula:

Quindi il teorema di Pitagora stabilisce una relazione che permette di determinare il lato di un triangolo rettangolo, conoscendo le lunghezze degli altri due. Il teorema di Pitagora è un caso speciale del teorema del coseno, che determina la relazione tra i lati di un triangolo arbitrario.
È stata dimostrata anche l’affermazione inversa (chiamata anche inversa del teorema di Pitagora):

Per tre numeri positivi a, b e c tali che a ? +b? = c ?, esiste un triangolo rettangolo con i cateti a e b e l'ipotenusa c.

Prova visiva del triangolo (3, 4, 5) dal libro "Chu Pei" 500-200 a.C. La storia del teorema può essere divisa in quattro parti: conoscenza dei numeri di Pitagora, conoscenza del rapporto tra i lati in un triangolo rettangolo, conoscenza del rapporto tra gli angoli adiacenti e dimostrazione del teorema.
Strutture megalitiche intorno al 2500 a.C. in Egitto e Nord Europa, contengono triangoli rettangoli con lati numerici interi. Bartel Leendert van der Waerden ipotizzò che a quel tempo i numeri pitagorici venissero trovati algebricamente.
Scritto tra il 2000 e il 1876 a.C. papiro del Regno del Medio Egitto Berlino 6619 contiene un problema la cui soluzione sono i numeri pitagorici.
Durante il regno di Hammurabi il Grande, tavoletta babilonese Plimpton 322, scritto tra il 1790 e il 1750 a.C. contiene molte voci strettamente correlate ai numeri pitagorici.
Nei sutra Budhayana, variamente datati all'VIII o al II secolo a.C. in India, contiene numeri pitagorici derivati ​​algebricamente, un'enunciazione del teorema di Pitagora e una dimostrazione geometrica per un triangolo rettangolo equilatero.
Gli Apastamba Sutra (circa 600 a.C.) contengono una dimostrazione numerica del teorema di Pitagora utilizzando il calcolo dell'area. Van der Waerden ritiene che fosse basato sulle tradizioni dei suoi predecessori. Secondo Albert Burco, questa è la dimostrazione originale del teorema e suggerisce che Pitagora abbia visitato Arakon e l'abbia copiata.
Pitagora, i cui anni di vita sono solitamente indicati come 569 - 475 a.C. utilizza metodi algebrici per calcolare i numeri pitagorici, secondo i commenti di Proklov su Euclide. Proclo, invece, visse tra il 410 e il 485 d.C. Secondo Thomas Guise non vi è alcuna indicazione sulla paternità del teorema fino a cinque secoli dopo Pitagora. Tuttavia, quando autori come Plutarco o Cicerone attribuiscono il teorema a Pitagora, lo fanno come se la paternità fosse ampiamente conosciuta e certa.
Intorno al 400 a.C Secondo Proclo, Platone fornì un metodo per calcolare i numeri pitagorici che combinava algebra e geometria. Intorno al 300 a.C Inizi Euclide abbiamo la più antica prova assiomatica giunta fino ai giorni nostri.
Scritto tra il 500 a.C. e 200 a.C., il libro di matematica cinese Chu Pei (? ? ? ?), fornisce una prova visiva del teorema di Pitagora, chiamato teorema di Gugu (????) in Cina, per un triangolo con lati (3, 4, 5 ). Durante la dinastia Han, dal 202 a.C. al 220 d.C I numeri pitagorici compaiono nel libro "I nove rami dell'arte matematica" insieme a una menzione dei triangoli rettangoli.
Il primo utilizzo documentato del teorema fu in Cina, dove è noto come teorema di Gugu (????), e in India, dove è noto come teorema di Bhaskar.
È stato ampiamente dibattuto se il teorema di Pitagora sia stato scoperto una volta o più volte. Boyer (1991) ritiene che la conoscenza contenuta nello Shulba Sutra possa essere di origine mesopotamica.
Dimostrazione algebrica
I quadrati sono formati da quattro triangoli rettangoli. Si conoscono più di cento dimostrazioni del teorema di Pitagora. Ecco una dimostrazione basata sul teorema di esistenza dell'area di una figura:

Posizioniamo quattro triangoli rettangoli identici come mostrato in figura.
Quadrilatero con lati Cè un quadrato, poiché la somma di due angoli acuti è , e un angolo piatto è .
L'area dell'intera figura è uguale, da un lato, all'area di un quadrato di lato “a+b”, e dall'altro, alla somma delle aree di quattro triangoli e del quadrato interno .

Questo è ciò che deve essere dimostrato.
Per somiglianza dei triangoli
Usando triangoli simili. Permettere ABC- un triangolo rettangolo in cui l'angolo C dritto come mostrato in figura. Disegniamo l'altezza dal punto C, e chiamiamo H punto di intersezione con il lato AB. Si forma un triangolo ACH simile ad un triangolo ABC, poiché sono entrambi rettangolari (per definizione di altezza) e hanno un angolo in comune UN, Ovviamente anche il terzo angolo in questi triangoli sarà lo stesso. Simile alla pace, triangolo CBH anch'esso simile ad un triangolo ABC. Con somiglianza di triangoli: Se

Questo può essere scritto come

Se aggiungiamo queste due uguaglianze, otteniamo

HB + c volte AH = c volte (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

In altre parole, il teorema di Pitagora:

La prova di Euclide
La dimostrazione di Euclide in Elementi euclidei, il teorema di Pitagora si dimostra con il metodo dei parallelogrammi. Permettere A, B, C vertici di un triangolo rettangolo, con angolo retto UN. Lasciamo cadere una perpendicolare dal punto UN al lato opposto all'ipotenusa in un quadrato costruito sull'ipotenusa. La linea divide il quadrato in due rettangoli, ciascuno dei quali ha la stessa area dei quadrati costruiti sui lati. L'idea principale della dimostrazione è che i quadrati superiori si trasformano in parallelogrammi della stessa area, per poi ritornare e trasformarsi in rettangoli nel quadrato inferiore e di nuovo con la stessa area.

Disegniamo segmenti CF E ANNO DOMINI. otteniamo triangoli BCF E B.D.A.
Angoli TAXI E BORSA- Dritto; rispettivamente punti CIRCA E G– collineare. Anche B, A E H.
Angoli CBD E Logistica di Amazon– entrambe sono rette, quindi l’angolo ABD uguale all'angolo FBC, poiché entrambi sono la somma di un angolo retto e di un angolo ABC.
Triangolo ABD E FBC livello su due lati e l'angolo tra di loro.
Fin dai punti A, K E l– collineare, l’area del rettangolo BDLK è pari a due aree del triangolo ABD (BDLK = BAGF = AB2)
Allo stesso modo, otteniamo CKL = ACIH = AC2
Da un lato il territorio CBDE uguale alla somma delle aree dei rettangoli BDLK E CKL, e dall'altro lato l'area della piazza a.C. 2, O AB2 + AC2 = aC 2.

Utilizzo dei differenziali
Utilizzo dei differenziali. Si può arrivare al teorema di Pitagora studiando come l'aumento del lato influisce sulla dimensione dell'ipotenusa come mostrato nella figura a destra e applicando un piccolo calcolo.
Come risultato dell'aumento di side UN, di triangoli simili per incrementi infinitesimi

Integrando otteniamo

Se UN= 0 allora C = B, quindi "costante" lo è b2. Poi

Come si vede, i quadrati sono dovuti alla proporzione tra gli incrementi ed i lati, mentre la somma è il risultato del contributo indipendente degli incrementi dei lati, non evidente dall'evidenza geometrica. In queste equazioni da E DC– incrementi di lati corrispondentemente infinitesimali UN E C. Ma cosa usiamo invece? UN E? C, allora il limite del rapporto se tendono a zero è da / DC, derivata, ed è anche uguale a C / UN, il rapporto tra le lunghezze dei lati dei triangoli, di conseguenza otteniamo un'equazione differenziale.
Nel caso di un sistema ortogonale di vettori vale l’uguaglianza, detta anche teorema di Pitagora:

Se – Queste sono proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate, allora questa formula coincide con la distanza euclidea e significa che la lunghezza del vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.
L'analogo di questa uguaglianza nel caso di un sistema infinito di vettori è chiamato uguaglianza di Parseval.