Come trovare il valore più grande di una funzione. Come trovare il valore più grande di una funzione su un intervallo

Cos'è l'estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

La condizione necessaria per il massimo e il minimo (estremo) di una funzione è la seguente: se la funzione f(x) ha un estremo nel punto x = a, allora in questo punto la derivata è zero, oppure infinita, oppure non non esiste.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può andare a zero, all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è la condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha massimo

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha minimo a condizione che la funzione f(x) qui sia continua.

Invece, puoi utilizzare la seconda condizione sufficiente per l'estremo di una funzione:

Sia nel punto x = a nulla la derivata prima f?(x); se la derivata seconda f??(a) è negativa, allora la funzione f(x) ha massimo nel punto x = a, se è positiva, allora ha minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo è necessario trova la derivata funzione f?(x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f?(x) = 0. Le radici di questa equazione, così come i punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando grafico derivato: ci interessano quei valori dell'argomento in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui il grafico subisce delle discontinuità.

Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolvi l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In questo caso il punto critico è x0=-1/3. È con questo valore di argomento che ha la funzione estremo. A lui Trovare, sostituire il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da “più” a “meno”, allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 lo è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è né massimo né minimo.

Per l'esempio considerato:

Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra del punto critico: x = -1

A x = -1, il valore della derivata sarà y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ovvero il segno è “meno”).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

A x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno è “più”).

Come puoi vedere, la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto di minimo.

Valore massimo e minimo di una funzione sull'intervallo(su un segmento) vengono trovati utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici si troveranno all'interno dell'intervallo specificato. Quei punti critici che sono al di fuori dell'intervallo devono essere esclusi dalla considerazione. Se c'è un solo punto critico all'interno dell'intervallo, avrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y(x) = 3sen(x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi, la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arcos(0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arcocos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arcocos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Si può vedere che nell'intervallo [-9; 9] la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.

Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore massimo della funzione

y = 5,398 a x = -4,88

valore più piccolo -

y = 1.077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati convessi e concavi?

Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f(x), è necessario trovare la derivata seconda, eguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per i quali la derivata seconda è zero, infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione in questo punto presenta un'inflessione. Se non cambia, allora non c’è alcuna curvatura.

Le radici dell'equazione f? (x) = 0, così come eventuali punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio di definizione della funzione in più intervalli. La convessità su ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo studiato è positiva, allora la linea y = f(x) è concava verso l'alto e, se negativa, verso il basso.

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x,y), differenziabili nel dominio della sua specificazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b) verificare se il segno della differenza rimane invariato

per tutti i punti (x;y) sufficientemente vicini a P0. Se la differenza rimane positiva, allora nel punto P0 avremo un minimo, se negativa avremo un massimo. Se la differenza non mantiene il segno, nel punto P0 non vi è alcun estremo.

Gli estremi di una funzione sono determinati in modo simile per un numero maggiore di argomenti.

Vediamo come esaminare una funzione utilizzando un grafico. Si scopre che guardando il grafico possiamo scoprire tutto ciò che ci interessa, vale a dire:

• dominio di una funzione
• gamma di funzioni
• zeri di funzione
• intervalli di aumento e diminuzione
• punti massimi e minimi
• il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento.

Chiariamo la terminologia:

Ascissaè la coordinata orizzontale del punto.
Ordinato- coordinata verticale.
Asse delle ascisse- l'asse orizzontale, più spesso chiamato asse.
Asse Y- asse verticale o asse.

Discussione- una variabile indipendente da cui dipendono i valori della funzione. Più spesso indicato.
In altre parole, scegliamo , sostituiamo le funzioni nella formula e otteniamo .

Dominio funzioni: l'insieme di quei (e solo quelli) valori di argomento per i quali esiste la funzione.
Indicato da: o .

Nella nostra figura, il dominio di definizione della funzione è il segmento. È su questo segmento che viene disegnato il grafico della funzione. Questo è l'unico posto dove esiste questa funzione.

Gamma di funzioniè l'insieme dei valori che assume una variabile. Nella nostra figura, questo è un segmento, dal valore più basso a quello più alto.

Zeri di funzione- punti in cui il valore della funzione è zero, cioè. Nella nostra figura questi sono punti e .

I valori delle funzioni sono positivi Dove . Nella nostra figura questi sono gli intervalli e .
I valori delle funzioni sono negativi Dove . Per noi questo è l'intervallo (o intervallo) da a .

I concetti più importanti - funzione crescente e decrescente su qualche set. Come insieme, puoi prendere un segmento, un intervallo, un'unione di intervalli o l'intera linea numerica.

Funzione aumenta

In altre parole, più, più, cioè, il grafico va a destra e in alto.

Funzione diminuisce su un insieme se esiste e appartiene all'insieme, la disuguaglianza implica la disuguaglianza .

Per una funzione decrescente, un valore maggiore corrisponde a un valore minore. Il grafico va a destra e in basso.

Nella nostra figura, la funzione aumenta sull'intervallo e diminuisce sugli intervalli e .

Definiamo di cosa si tratta Punti di massimo e minimo della funzione.

Punto massimo- questo è un punto interno al dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è maggiore che in tutti i punti sufficientemente vicini ad esso.
In altre parole, un punto massimo è un punto in cui si trova il valore della funzione Di più che in quelli vicini. Questa è una “collina” locale sulla carta.

Nella nostra figura c'è un punto massimo.

Punto minimo- un punto interno al dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è inferiore che in tutti i punti ad esso sufficientemente vicini.
Cioè, il punto minimo è tale che il valore della funzione in esso è inferiore a quello dei suoi vicini. Questo è un “buco” locale sul grafico.

Nella nostra figura c'è un punto minimo.

Il punto è il confine. Non è un punto interno del dominio di definizione e quindi non rientra nella definizione di punto massimo. Dopotutto, non ha vicini a sinistra. Allo stesso modo, sul nostro grafico non può esserci un punto di minimo.

Vengono chiamati i punti massimo e minimo insieme punti estremi della funzione. Nel nostro caso questo è e .

Cosa fare se è necessario trovare, ad esempio, funzione minima sul segmento? In questo caso la risposta è: . Perché funzione minimaè il suo valore nel punto minimo.

Allo stesso modo, il massimo della nostra funzione è . Si raggiunge al punto .

Possiamo dire che gli estremi della funzione sono uguali a e .

A volte i problemi richiedono di essere individuati valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato segmento. Non necessariamente coincidono con gli estremi.

Nel nostro caso valore della funzione più piccolo sul segmento è uguale e coincide con il minimo della funzione. Ma il suo valore massimo su questo segmento è pari a . Si raggiunge all'estremità sinistra del segmento.

In ogni caso, i valori più grande e più piccolo di una funzione continua su un segmento si ottengono o nei punti estremi o alle estremità del segmento.

Un problema in miniatura e abbastanza semplice, del tipo che funge da salvagente per uno studente galleggiante. È metà luglio nella natura, quindi è ora di sistemarsi con il laptop in spiaggia. Al mattino presto ha cominciato a suonare il raggio di sole della teoria, per poi concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la dichiarata facilità, contiene schegge di vetro nella sabbia. A questo proposito vi consiglio di considerare coscienziosamente i pochi esempi di questa pagina. Per risolvere compiti pratici devi essere in grado di farlo trovare le derivate e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonicità ed estremi della funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. Nella lezione su continuità della funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Il comportamento esemplare di una funzione su un segmento è formulato in modo simile. Una funzione è continua su un intervallo se:

1) è continua nell'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Nel secondo paragrafo abbiamo parlato del cosiddetto continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci per definirlo, ma mi atterrò alla linea che ho iniziato prima:

La funzione è continua nel punto sulla destra, se è definita in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . In questo punto è continuo Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro è uguale al valore in questo punto:

Immagina che i punti verdi siano chiodi a cui è attaccato un elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato– una staccionata in alto, una staccionata in basso, e il nostro prodotto pascola nel paddock. Così, su di esso è limitata una funzione continua su un intervallo. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato. Primo teorema di Weierstrass....Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente giustificate in matematica, ma questo ha un significato importante. Supponiamo che un certo abitante del Medioevo abbia tirato un grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto ovvia! Davvero, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede una prova =)

Secondo Secondo teorema di Weierstrass, continuo su un segmentola funzione raggiunge il suo limite superiore esatto e la vostra bordo inferiore esatto .

Viene anche chiamato il numero il valore massimo della funzione sul segmento e sono indicati da , e il numero è il valore minimo della funzione sul segmento segnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, le registrazioni sono comuni .

In parole povere, il valore più grande è dove si trova il punto più alto del grafico, mentre il valore più piccolo è dove si trova il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, massimo valore della funzione E valore della funzione più piccolo – NON LO STESSO, Che cosa massima funzione E funzione minima. Quindi, nell'esempio in esame, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede fuori dal segmento? Sì, anche un'alluvione, nel contesto del problema in esame, questo non ci interessa affatto. Il compito prevede solo di trovare due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi non c'è bisogno di fare un disegno!

L'algoritmo si trova in superficie e si suggerisce dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Prendi un altro bonus: qui non c'è bisogno di verificare la condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non garantisce ancora, qual è il valore minimo o massimo. La funzione dimostrativa raggiunge il massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sul segmento. Ma, ovviamente, una tale coincidenza non avviene sempre.

Quindi, nel primo passaggio, è più semplice e veloce calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se contengono estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori della funzione trovati nel 1° e 2° paragrafo, seleziona il numero più piccolo e quello più grande e scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva del mare azzurro e colpiamo con i talloni l'acqua bassa:

Esempio 1

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento

Soluzione:
1) Calcoliamo i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Risultati “in grassetto” sono stati ottenuti con esponenti e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo armiamoci di calcolatrice o di Excel e calcoliamo valori approssimativi, senza dimenticare che:

Adesso è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

Con questo servizio puoi trovare il valore massimo e minimo di una funzione una variabile f(x) con la soluzione formattata in Word. Se è data la funzione f(x,y), occorre quindi trovare l'estremo della funzione a due variabili. Puoi anche trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

y=

sul segmento [ ;]

Includere la teoria

Regole per l'immissione delle funzioni:

Condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile

L'equazione f" 0 (x *) = 0 è una condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile, cioè nel punto x * la derivata prima della funzione deve annullarsi. Individua i punti stazionari x c in cui la funzione non aumentare o diminuire.

Condizione sufficiente per l'estremo di una funzione di una variabile

Sia f 0 (x) due volte differenziabile rispetto a x appartenente all'insieme D. Se al punto x* la condizione è soddisfatta:

F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Allora il punto x * è il punto minimo locale (globale) della funzione.

Se al punto x* la condizione è soddisfatta:

F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Allora il punto x * è un massimo locale (globale).

Esempio n. 1. Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione: sul segmento.
Soluzione.

Il punto critico è uno x 1 = 2 (f’(x)=0). Questo punto appartiene al segmento. (Il punto x=0 non è critico, poiché 0∉).
Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento e nel punto critico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Risposta: f min = 5 / 2 in x=2; fmax =9 in x=1

Esempio n.2. Utilizzando le derivate di ordine superiore, trova l'estremo della funzione y=x-2sin(x) .
Soluzione.
Trova la derivata della funzione: y’=1-2cos(x) . Troviamo i punti critici: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Troviamo y’’=2sin(x), calcola , che significa x= π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di minimo della funzione; , che significa che x=- π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di massimo della funzione.

Esempio n.3. Studiare la funzione estremo in prossimità del punto x=0.
Soluzione. Qui è necessario trovare gli estremi della funzione. Se l'estremo x=0, scoprine il tipo (minimo o massimo). Se tra i punti trovati non c'è x = 0, allora calcola il valore della funzione f(x=0).
È da notare che quando la derivata da ciascun lato di un dato punto non cambia segno, le situazioni possibili non sono esaurite anche per funzioni differenziabili: può accadere che per un intorno arbitrariamente piccolo da un lato del punto x 0 oppure da entrambi i lati la derivata cambia segno. A questi punti è necessario utilizzare altri metodi per studiare le funzioni estreme.

E per risolverlo avrai bisogno di una conoscenza minima dell'argomento. Un altro anno scolastico sta finendo, tutti vogliono andare in vacanza, e per avvicinare questo momento arrivo subito al dunque:

Cominciamo dalla zona. La zona cui si riferisce la condizione è limitato Chiuso insieme di punti su un piano. Ad esempio, l'insieme dei punti delimitati da un triangolo, compreso l'INTERO triangolo (se da frontiere“pungere” almeno un punto, poi la regione non verrà più chiusa). In pratica esistono anche zone di forma rettangolare, rotonda e leggermente più complessa. Va notato che nella teoria dell'analisi matematica vengono fornite definizioni rigorose limitazioni, isolamento, confini, ecc., ma penso che tutti siano consapevoli di questi concetti a livello intuitivo, e ora non serve altro.

Un'area piatta è normalmente indicata con la lettera e, di regola, è specificata analiticamente - da diverse equazioni (non necessariamente lineare); meno spesso disuguaglianze. Verbale tipico: "area chiusa delimitata da linee".

Parte integrante dell'attività in esame è la costruzione di un'area nel disegno. Come farlo? Devi disegnare tutte le linee elencate (in questo caso 3 Dritto) e analizzare cosa è successo. L'area cercata è solitamente leggermente ombreggiata e il suo confine è contrassegnato da una linea spessa:


È anche possibile impostare la stessa area disuguaglianze lineari: , che per qualche motivo sono spesso scritti come un elenco enumerato anziché sistema.
Poiché il confine appartiene alla regione, tutte le disuguaglianze, ovviamente, negligente.

E ora l'essenza del compito. Immagina che l'asse esca dritto verso di te dall'origine. Considera una funzione che continuo in ciascun punto dell'area. Il grafico di questa funzione ne rappresenta alcuni superficie, e la piccola felicità è che per risolvere il problema di oggi non abbiamo bisogno di sapere che aspetto ha questa superficie. Può essere posizionato più in alto, più in basso, intersecare il piano: tutto ciò non ha importanza. E quanto segue è importante: secondo Teoremi di Weierstrass, continuo V chiuso limitato area in cui la funzione raggiunge il suo massimo valore (il più alto") e il meno (il più basso") valori da ritrovare. Tali valori vengono raggiunti O V punti stazionari, appartenenti alla regioneD , O nei punti che si trovano al confine di quest'area. Ciò porta ad un algoritmo di soluzione semplice e trasparente:

Esempio 1

In un'area chiusa limitata

Soluzione: Prima di tutto, devi rappresentare l'area nel disegno. Purtroppo mi è tecnicamente difficile realizzare un modello interattivo del problema, e quindi presenterò subito l'illustrazione finale, che mostra tutti i punti “sospetti” riscontrati durante la ricerca. Di solito vengono elencati uno dopo l'altro man mano che vengono scoperti:

Sulla base delle premesse è opportuno suddividere la decisione in due punti:

I) Trovare punti stazionari. Questa è un'azione standard che abbiamo eseguito ripetutamente in classe. sugli estremi di più variabili:

Punto stazionario trovato appartiene le zone: (segnalo sul disegno), il che significa che dovremmo calcolare il valore della funzione in un dato punto:

- come nell'articolo I valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento, evidenzierò i risultati importanti in grassetto. È conveniente tracciarli su un quaderno con una matita.

Presta attenzione alla nostra seconda felicità: non ha senso controllare condizione sufficiente per un estremo. Perché? Anche se ad un certo punto la funzione raggiunge, ad esempio, minimo locale, allora questo NON SIGNIFICA che il valore risultante sarà minimo in tutta la regione (vedi l'inizio della lezione sugli estremi incondizionati) .

Cosa fare se il punto stazionario NON appartiene all'area? Quasi niente! È bene tenerlo presente e passare al punto successivo.

II) Esploriamo il confine della regione.

Poiché il confine è costituito dai lati di un triangolo, è conveniente dividere lo studio in 3 sottosezioni. Ma è comunque meglio non farlo. Dal mio punto di vista è più vantaggioso considerare innanzitutto i segmenti paralleli agli assi coordinati e, innanzitutto, quelli giacenti sugli assi stessi. Per cogliere l'intera sequenza e la logica delle azioni, prova a studiare il finale “d'un fiato”:

1) Consideriamo il lato inferiore del triangolo. Per fare ciò, sostituisci direttamente nella funzione:

In alternativa, puoi farlo in questo modo:

Dal punto di vista geometrico, ciò significa che il piano delle coordinate (che è dato anche dall'equazione)"scolpisce" fuori superfici una parabola "spaziale", la cui sommità viene subito sospettata. Scopriamolo dove si trova?:

– il valore risultante “è caduto” nell’area, e a quel punto potrebbe benissimo rivelarsi così (segnato sul disegno) la funzione raggiunge il valore più grande o più piccolo nell'intera regione. In un modo o nell'altro, facciamo i calcoli:

Gli altri “candidati” sono, ovviamente, le estremità del segmento. Calcoliamo i valori della funzione nei punti (segnato sul disegno):

Qui, a proposito, puoi eseguire un mini-controllo orale utilizzando una versione “ridotta”:

2) Per studiare il lato destro del triangolo, sostituitelo nella funzione e “mettete ordine”:

Qui effettueremo subito un controllo di massima, “inanellando” l'estremità già elaborata del segmento:
, Grande.

La situazione geometrica è legata al punto precedente:

– anche il valore risultante “è entrato nella sfera dei nostri interessi”, il che significa che dobbiamo calcolare a cosa è uguale la funzione nel punto visualizzato:

Esaminiamo la seconda estremità del segmento:

Utilizzando la funzione , eseguiamo un controllo di controllo:

3) Probabilmente tutti possono indovinare come esplorare il lato rimanente. Lo sostituiamo nella funzione ed effettuiamo semplificazioni:

Estremità del segmento sono già stati ricercati, ma nella bozza controlliamo ancora se abbiamo trovato correttamente la funzione :
– coincideva con il risultato del 1° comma;
– coincideva con il risultato del 2° comma.

Resta da scoprire se c'è qualcosa di interessante all'interno del segmento:

- C'è! Sostituendo la retta nell'equazione, otteniamo l'ordinata di questo “interesse”:

Segniamo un punto sul disegno e troviamo il valore corrispondente della funzione:

Controlliamo i calcoli utilizzando la versione “budget”. :
, ordine.

E il passo finale: Guardiamo ATTENTAMENTE tutti i numeri in “grassetto”, consiglio ai principianti anche di fare un unico elenco:

da cui selezioniamo il valore più grande e quello più piccolo. Risposta Scriviamo nello stile del problema della ricerca i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento:

Per ogni evenienza, commenterò ancora una volta il significato geometrico del risultato:
– ecco il punto più alto della superficie della regione;
– ecco il punto più basso della superficie della zona.

Nel compito analizzato abbiamo individuato 7 punti “sospetti”, ma il loro numero varia da compito a compito. Per una regione triangolare, il “set di ricerca” minimo è costituito da tre punti. Ciò accade quando la funzione, ad esempio, specifica aereo– è del tutto chiaro che non esistono punti stazionari, e la funzione può raggiungere i suoi valori massimo/minimo solo ai vertici del triangolo. Ma ci sono solo uno o due esempi simili: di solito devi affrontarne qualcuno superficie del 2° ordine.

Se risolvi un po' questi compiti, i triangoli possono farti girare la testa, ed è per questo che ho preparato esempi insoliti per renderli quadrati :))

Esempio 2

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata da linee

Esempio 3

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in una regione chiusa limitata.

Prestare particolare attenzione all'ordine razionale e alla tecnica di studio del confine della regione, nonché alla catena di controlli intermedi, che eviterà quasi completamente errori di calcolo. In generale, puoi risolverlo come preferisci, ma in alcuni problemi, ad esempio nell'esempio 2, ci sono tutte le possibilità di renderti la vita molto più difficile. Un esempio approssimativo dei compiti finali alla fine della lezione.

Sistemiamo l’algoritmo della soluzione, altrimenti con la mia diligenza da ragno, in qualche modo si perde nel lungo filo di commenti del 1° esempio:

– Nel primo passaggio costruiamo l’area, è consigliabile ombreggiarla ed evidenziare il confine con una linea in grassetto. Durante la soluzione appariranno dei punti che dovranno essere contrassegnati sul disegno.

– Trova punti stazionari e calcola i valori della funzione solo in quelli di loro che appartengono alla regione. Evidenziamo i valori risultanti nel testo (ad esempio, cerchiali con una matita). Se un punto stazionario NON appartiene alla regione, contrassegniamo questo fatto con un'icona o verbalmente. Se non ci sono affatto punti stazionari, traiamo una conclusione scritta che sono assenti. In ogni caso questo punto non può essere saltato!

– Stiamo esplorando il confine della regione. Innanzitutto è utile comprendere le linee rette parallele agli assi delle coordinate (se ce ne sono). Evidenziamo anche i valori della funzione calcolati nei punti “sospetti”. Molto è stato detto sopra sulla tecnica della soluzione e qualcos'altro verrà detto di seguito: leggi, rileggi, approfondisci!

– Dai numeri selezionati, seleziona il valore più grande e quello più piccolo e fornisci la risposta. A volte capita che una funzione raggiunga tali valori in più punti contemporaneamente: in questo caso, tutti questi punti dovrebbero riflettersi nella risposta. Lasciamo, ad esempio, e si è scoperto che questo è il valore più piccolo. Poi lo scriviamo

Gli esempi finali coprono altre idee utili che torneranno utili nella pratica:

Esempio 4

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in una regione chiusa .

Ho mantenuto la formulazione dell'autore, in cui la regione è data sotto forma di doppia disuguaglianza. Questa condizione può essere scritta con un sistema equivalente o in una forma più tradizionale per questo problema:

Te lo ricordo con non lineare abbiamo riscontrato disuguaglianze su , e se non capisci il significato geometrico della notazione, non ritardare e chiarisci subito la situazione;-)

Soluzione, come sempre, inizia con la costruzione di un'area che rappresenta una sorta di “suola”:

Hmm, a volte bisogna masticare non solo il granito della scienza...

I) Trovare i punti stazionari:

Il sistema è il sogno di un idiota :)

Un punto stazionario appartiene alla regione, cioè si trova sul suo confine.

E allora va bene... la lezione è andata bene - ecco cosa significa bere il tè giusto =)

II) Esploriamo il confine della regione. Senza ulteriori indugi, iniziamo con l'asse x:

1) Se , allora

Troviamo dove si trova il vertice della parabola:
– apprezza questi momenti – “colpisci” proprio il punto a partire dal quale tutto è già chiaro. Ma non dimentichiamoci ancora di controllare:

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento:

2) Affrontiamo la parte inferiore della "suola" "in una sola seduta" - senza alcuna complessità la sostituiamo nella funzione e ci interesserà solo il segmento:

Controllo:

Questo porta già una certa eccitazione alla guida monotona lungo la pista zigrinata. Troviamo i punti critici:

Decidiamo equazione quadrata, ricordi qualcos'altro a riguardo? ...Tuttavia, ricordatelo, ovviamente, altrimenti non stareste leggendo queste righe =) Se nei due esempi precedenti erano convenienti i calcoli in frazioni decimali (il che, tra l'altro, è raro), allora qui le solite frazioni ordinarie aspettaci. Troviamo le radici “X” e utilizziamo l’equazione per determinare le corrispondenti coordinate “di gioco” dei punti “candidati”:


Calcoliamo i valori della funzione nei punti trovati:

Controlla tu stesso la funzione.

Ora studiamo attentamente i trofei vinti e li annotiamo risposta:

Questi sono “candidati”, questi sono “candidati”!

Per risolverlo da solo:

Esempio 5

Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione in un'area chiusa

Una voce con parentesi graffe si legge così: "un insieme di punti tale che".

A volte in questi esempi usano Metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma è improbabile che vi sia una reale necessità di utilizzarlo. Quindi, ad esempio, se viene data una funzione con la stessa area “de”, dopo la sostituzione in essa – con la derivata da nessuna difficoltà; Inoltre, tutto è redatto su “una riga” (con segni) senza la necessità di considerare separatamente i semicerchi superiore e inferiore. Ma, naturalmente, ci sono anche casi più complessi, in cui non esiste la funzione Lagrange (dove, ad esempio, è la stessa equazione di una circonferenza)È difficile farcela, così come è difficile farcela senza un buon riposo!

Buon divertimento a tutti e a presto la prossima stagione!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: Rappresentiamo l'area nel disegno: