Come trovare il minimo multiplo. Nod e nok dei numeri: massimo comun divisore e minimo comune multiplo di più numeri
Il calcolatore online ti consente di trovare rapidamente il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo per due o qualsiasi altro numero di numeri.
Calcolatrice per trovare MCD e LCM
Trova GCD e LOC
Trovato GCD e LOC: 5806
Come utilizzare la calcolatrice
- Immettere i numeri nel campo di immissione
- Se inserisci caratteri errati, il campo di input verrà evidenziato in rosso
- fare clic sul pulsante "Trova GCD e LCM".
Come inserire i numeri
- I numeri vengono inseriti separati da uno spazio, un punto o una virgola
- La lunghezza dei numeri inseriti non è limitata, quindi trovare MCD e MCM di numeri lunghi non è difficile
Cosa sono GCD e NOC?
Massimo comun divisore più numeri è il più grande intero naturale per il quale tutti i numeri originali sono divisibili senza resto. Il massimo comun divisore è abbreviato come GCD.
Minimo comune multiplo più numeri è il numero più piccolo divisibile per ciascuno dei numeri originali senza resto. Il minimo comune multiplo è abbreviato come NOC.
Come verificare che un numero è divisibile per un altro numero senza resto?
Per sapere se un numero è divisibile per un altro senza resto, puoi utilizzare alcune proprietà di divisibilità dei numeri. Poi, combinandoli, puoi verificare la divisibilità di alcuni di essi e le loro combinazioni.
Alcuni segni di divisibilità dei numeri
1. Test di divisibilità di un numero per 2
Per determinare se un numero è divisibile per due (se è pari), è sufficiente guardare l'ultima cifra di questo numero: se è uguale a 0, 2, 4, 6 o 8, allora il numero è pari, il che significa che è divisibile per 2.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 2.
Soluzione: Osserviamo l'ultima cifra: 8 - significa che il numero è divisibile per due.
2. Test di divisibilità di un numero per 3
Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per tre. Pertanto, per determinare se un numero è divisibile per 3, devi calcolare la somma delle cifre e verificare se è divisibile per 3. Anche se la somma delle cifre è molto grande, puoi ripetere di nuovo lo stesso processo.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 3.
Soluzione: Contiamo la somma dei numeri: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 3, il che significa che il numero è divisibile per tre.
3. Test di divisibilità di un numero per 5
Un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra è zero o cinque.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 5.
Soluzione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero NON è divisibile per cinque.
4. Test di divisibilità di un numero per 9
Questo segno è molto simile al segno di divisibilità per tre: un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 9.
Soluzione: Contiamo la somma dei numeri: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 9, il che significa che il numero è divisibile per nove.
Come trovare MCD e MCM di due numeri
Come trovare il MCD di due numeri
Il modo più semplice per calcolare il massimo comun divisore di due numeri è trovare tutti i possibili divisori di quei numeri e scegliere quello più grande.
Consideriamo questo metodo utilizzando l'esempio per trovare MCD(28, 36):
- Fattorizziamo entrambi i numeri: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Troviamo i fattori comuni, cioè quelli che hanno entrambi i numeri: 1, 2 e 2.
- Calcoliamo il prodotto di questi fattori: 1 2 2 = 4 - questo è il massimo comun divisore dei numeri 28 e 36.
Come trovare il MCM di due numeri
Esistono due modi più comuni per trovare il minimo multiplo di due numeri. Il primo metodo è quello di scrivere i primi multipli di due numeri, e poi scegliere tra questi un numero che sarà comune a entrambi i numeri e allo stesso tempo il più piccolo. E il secondo è trovare il MCD di questi numeri. Consideriamolo solo.
Per calcolare il MCM, è necessario calcolare il prodotto dei numeri originali e quindi dividerlo per il MCD trovato in precedenza. Troviamo il MCM per gli stessi numeri 28 e 36:
- Trova il prodotto dei numeri 28 e 36: 28·36 = 1008
- MCD(28, 36), come già noto, è uguale a 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Trovare MCD e MCM per diversi numeri
Il massimo comun divisore può essere trovato per più numeri, non solo per due. Per fare ciò, i numeri da trovare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri. Puoi anche utilizzare la seguente relazione per trovare il mcd di diversi numeri: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).
Una relazione simile si applica al minimo comune multiplo: MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c)
Esempio: trova MCD e MCM per i numeri 12, 32 e 36.
- Per prima cosa fattorizziamo i numeri: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Troviamo i fattori comuni: 1, 2 e 2.
- Il loro prodotto darà MCD: 1·2·2 = 4
- Ora troviamo il MCM: per fare questo, troviamo prima il MCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Per trovare il MCM di tutti e tre i numeri, devi trovare MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , MCD = 1·2· 2 3 = 12.
- MMC(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
L'argomento “Numeri multipli” viene studiato nella classe 5 della scuola secondaria. Il suo obiettivo è migliorare le capacità di calcolo matematico scritto e orale. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", viene praticata la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale e la capacità di trovare LCM in vari modi.
Questo argomento è molto importante. La sua conoscenza può essere applicata quando si risolvono esempi con le frazioni. Per fare ciò, è necessario trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).
Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.
Ogni numero naturale ha infiniti multipli di esso. È esso stesso considerato il più piccolo. Il multiplo non può essere inferiore al numero stesso.
Devi dimostrare che il numero 125 è un multiplo del numero 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, la risposta è sì.
Questo metodo è applicabile per piccoli numeri.
Esistono casi speciali nel calcolo del LOC.
1. Se devi trovare un multiplo comune di 2 numeri (ad esempio, 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile per l'altro (20), allora questo numero (80) è il minimo multiplo di questi due numeri.
MCM(80, 20) = 80.
2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro MCM è il prodotto di questi due numeri.
MCM(6, 7) = 42.
Diamo un'occhiata all'ultimo esempio. 6 e 7 rispetto a 42 sono divisori. Dividono un multiplo di un numero senza resto.
In questo esempio, 6 e 7 sono fattori accoppiati. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).
Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto si chiama composito.
Un altro esempio riguarda la determinazione se 9 è un divisore di 42.
42:9=4 (resto 6)
Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.
Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui vengono divisi i numeri naturali e il multiplo stesso è diviso per questo numero.
Massimo comun divisore di numeri UN E B, moltiplicato per il loro minimo multiplo, darà il prodotto dei numeri stessi UN E B.
Vale a dire: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.
I multipli comuni per numeri più complessi si trovano nel modo seguente.
Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.
Scomponiamo questi numeri in fattori primi e li scriviamo come prodotto di potenze:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
VLCM(168, 180, 3024) = 15120.
Agli scolari vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono problemi con la seguente formulazione: ci sono due significati. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con frazioni con denominatori diversi. In questo articolo vedremo come trovare LOC e concetti di base.
Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto suona così: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto. Quindi, per 4, i multipli saranno 8, 12, 16, 20,. e così via, fino al limite richiesto.
In questo caso il numero di divisori per un valore specifico può essere limitato, ma i multipli sono infiniti. Lo stesso valore vale anche per i valori naturali. Questo è un indicatore che viene suddiviso in essi senza resto. Avendo compreso il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.
Trovare il NOC
Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale interamente divisibile per tutti i numeri specificati.
Esistono diversi modi per trovare tale valore, considerare i seguenti metodi:
- Se i numeri sono piccoli, scrivi su una riga tutti quelli divisibili per essa. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Per iscritto sono indicati con la lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
- Se questi valori sono grandi o devi trovare un multiplo di 3 o più valori, dovresti utilizzare un'altra tecnica che prevede la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi quello più grande elencato, poi tutti gli altri. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per quello più piccolo, sottolinea i fattori e aggiungili a quello più grande. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
- Quando si trovano 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dall'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nell'espansione del più grande. Li sommiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.
Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Esistono però anche metodi privati, aiutando a cercare NOC se i precedenti non aiutano.
Come trovare GCD e NOC.
Metodi privati di ricerca
Come per ogni sezione matematica, ci sono casi speciali per trovare LCM che aiutano in situazioni specifiche:
- se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (il MCM di 60 e 15 è 15);
- i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni. Il loro valore più piccolo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi per i numeri 7 e 8 sarà 56;
- la stessa regola vale per altri casi, anche particolari, di cui si può leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche i casi di scomposizione di numeri composti, che sono oggetto di singoli articoli e persino delle tesi dei candidati.
I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni, dove ci sono denominatori disuguali.
Qualche esempio
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che ti aiuteranno a comprendere il principio per trovare il minimo multiplo:
- Trova la LOC (35; 40). Prima scomponiamo 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungi 8 al numero più piccolo e ottieni LOC 280.
- NOC (45; 54). Li scomponiamo ciascuno: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Sommiamo il numero da 6 a 45. Otteniamo un LCM pari a 270.
- Bene, l'ultimo esempio. Esistono 5 e 4. Non esistono multipli primi, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, che è uguale a 20.
Grazie agli esempi puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.
Trovare NOC è molto più semplice di quanto possa sembrare inizialmente. Per fare ciò, vengono utilizzate sia la semplice espansione che la moltiplicazione di valori semplici tra loro. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio degli argomenti matematici, in particolare delle frazioni di vari gradi di complessità.
Non dimenticare di risolvere periodicamente esempi utilizzando metodi diversi; questo sviluppa il tuo apparato logico e ti permette di ricordare numerosi termini. Impara come trovare un esponente di questo tipo e riuscirai a far bene il resto delle sezioni di matematica. Buon apprendimento della matematica!
video
Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il minimo comune multiplo.
Diamo un'occhiata a tre modi per trovare il minimo comune multiplo.
Determinazione tramite fattorizzazione
Il primo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.
Diciamo che dobbiamo trovare il MCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, fattorizziamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:
Affinché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri al massimo grado possibile e moltiplicarli tra loro:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Pertanto, MCM (99, 30, 28) = 13.860 Nessun altro numero inferiore a 13.860 è divisibile per 99, 30 o 28.
Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, li scomponi nei loro fattori primi, quindi prendi ciascun fattore primo con l'esponente più grande in cui appare e moltiplica questi fattori insieme.
Poiché i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono primi tra loro. Ecco perché
MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Lo stesso deve essere fatto quando si trova il minimo comune multiplo di diversi numeri primi. Ad esempio, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Trovare per selezione
Il secondo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo mediante selezione.
Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati viene diviso per un altro numero dato, il MCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ciascuno di essi è divisibile per 60, quindi:
MCM(60, 30, 10, 6) = 60
Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si utilizza la seguente procedura:
- Determina il numero più grande dai numeri dati.
- Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli del numero più grande moltiplicandolo per i numeri naturali in ordine crescente e controllando se il prodotto risultante è divisibile per i restanti numeri dati.
Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determiniamo il più grande: questo è il numero 24. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e 3:
24 · 1 = 24 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.
24 · 2 = 48 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.
24 · 3 = 72 - divisibile per 3 e 18.
Pertanto, MCM (24, 3, 18) = 72.
Trovare trovando in sequenza l'LCM
Il terzo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo trovando sequenzialmente l'LCM.
Il MCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comun divisore.
Esempio 1. Trova il MCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:
Dividiamo il prodotto per il loro MCD:
Pertanto, MCM (12, 8) = 24.
Per trovare il MCM di tre o più numeri, utilizzare la seguente procedura:
- Per prima cosa, trova il MCM di due qualsiasi di questi numeri.
- Quindi, MCM del minimo comune multiplo trovato e del terzo numero indicato.
- Quindi, il MCM del minimo comune multiplo risultante e del quarto numero, ecc.
- Pertanto, la ricerca di LCM continua finché ci sono numeri.
Esempio 2. Troviamo il MCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato il MCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo del numero 24 e il terzo numero dato - 9. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (24, 9) = 3. Moltiplica il MCM per il numero 9:
Dividiamo il prodotto per il loro MCD:
Pertanto, MCM (12, 8, 9) = 72.
Ma molti numeri naturali sono divisibili anche per altri numeri naturali.
Per esempio:
Il numero 12 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12;
Il numero 36 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12, per 18, per 36.
I numeri per i quali un numero è divisibile per un intero (per 12 questi sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12) si chiamano divisori di numeri. Divisore di un numero naturale UN- è un numero naturale che divide un dato numero UN senza traccia. Un numero naturale che ha più di due divisori si chiama composito .
Tieni presente che i numeri 12 e 36 hanno fattori comuni. Questi numeri sono: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il massimo divisore di questi numeri è 12. Il divisore comune di questi due numeri UN E B- questo è il numero per cui vengono divisi entrambi i numeri indicati senza resto UN E B.
Multipli comuni più numeri è un numero divisibile per ciascuno di questi numeri. Per esempio, i numeri 9, 18 e 45 hanno un multiplo comune di 180. Ma anche 90 e 360 sono i loro multipli comuni. Tra tutti i multipli comuni ce n'è sempre uno più piccolo, in questo caso è 90. Questo numero si chiama il più piccolomultiplo comune (CMM).
L'LCM è sempre un numero naturale che deve essere maggiore del più grande dei numeri per cui è definito.
Minimo comune multiplo (LCM). Proprietà.
Commutatività:
Associatività:
In particolare, se e sono numeri coprimi, allora:
Minimo comune multiplo di due numeri interi M E Nè un divisore di tutti gli altri multipli comuni M E N. Inoltre, l'insieme dei multipli comuni m, n coincide con l'insieme dei multipli per LCM( m, n).
Gli asintotici di possono essere espressi in termini di alcune funzioni di teoria dei numeri.
COSÌ, Funzione di Chebyshev. E:
Ciò segue dalla definizione e dalle proprietà della funzione Landau g(n).
Ciò che segue dalla legge della distribuzione dei numeri primi.
Trovare il minimo comune multiplo (LCM).
NOC( un, b) può essere calcolato in diversi modi:
1. Se si conosce il massimo comun divisore, è possibile utilizzare la sua connessione con il MCM:
2. Sia nota la scomposizione canonica di entrambi i numeri in fattori primi:
Dove p 1 ,...,p k- vari numeri primi, e d 1 ,...,d k E e 1 ,...,e k— interi non negativi (possono essere zeri se il numero primo corrispondente non è nell'espansione).
Quindi NOC ( UN,B) si calcola con la formula:
In altre parole, la scomposizione LCM contiene tutti i fattori primi inclusi in almeno una delle scomposizioni dei numeri un, b, e viene preso il maggiore dei due esponenti di questo moltiplicatore.
Esempio:
Il calcolo del minimo comune multiplo di più numeri può essere ridotto a diversi calcoli sequenziali del MCM di due numeri:
Regola. Per trovare il MCM di una serie di numeri, è necessario:
- scomporre i numeri in fattori primi;
- trasferire la scomposizione più grande (il prodotto dei fattori del numero più grande di quelli indicati) ai fattori del prodotto desiderato, quindi aggiungere i fattori dalla scomposizione di altri numeri che non compaiono nel primo numero o compaiono in esso meno volte;
— il prodotto risultante dei fattori primi sarà il MCM dei numeri indicati.
Due o più numeri naturali qualsiasi hanno il proprio MCM. Se i numeri non sono multipli tra loro o non hanno gli stessi fattori di espansione, il loro MCM è uguale al prodotto di questi numeri.
I fattori primi del numero 28 (2, 2, 7) vengono integrati con un fattore 3 (il numero 21), il prodotto risultante (84) sarà il numero più piccolo divisibile per 21 e 28.
I fattori primi del numero più grande 30 sono integrati dal fattore 5 del numero 25, il prodotto risultante 150 è maggiore del numero più grande 30 ed è divisibile per tutti i numeri dati senza resto. Questo è il prodotto più piccolo possibile (150, 250, 300...) che è multiplo di tutti i numeri indicati.
I numeri 2,3,11,37 sono numeri primi, quindi il loro MCM è uguale al prodotto dei numeri indicati.
Regola. Per calcolare il MCM dei numeri primi, devi moltiplicare tutti questi numeri insieme.
Un'altra opzione:
Per trovare il minimo comune multiplo (MCM) di più numeri è necessario:
1) rappresentare ciascun numero come prodotto dei suoi fattori primi, ad esempio:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) scrivere le potenze di tutti i fattori primi:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) annotare tutti i divisori primi (moltiplicatori) di ciascuno di questi numeri;
4) scegliere il grado maggiore di ciascuno di essi, presente in tutte le espansioni di questi numeri;
5) moltiplicare questi poteri.
Esempio. Trova il LCM dei numeri: 168, 180 e 3024.
Soluzione. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Scriviamo le potenze più grandi di tutti i divisori primi e le moltiplichiamo:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.