Come determinare il valore più grande di una funzione da un grafico. Studio del grafico di una funzione

Il processo di ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento ricorda un affascinante volo attorno a un oggetto (grafico di una funzione) in un elicottero, sparando in determinati punti da un cannone a lungo raggio e selezionando molto punti speciali da questi punti per i colpi di controllo. I punti vengono selezionati in un certo modo e secondo determinate regole. Con quali regole? Ne parleremo ulteriormente.

Se la funzione sì = F(X) è continua nell'intervallo [ UN, B] , quindi raggiunge questo segmento meno E valori più alti . Ciò può accadere sia in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno E i valori più grandi della funzione , continuo sull'intervallo [ UN, B] , è necessario calcolarne i valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli tra questi il ​​più piccolo e il più grande.

Supponiamo, ad esempio, di voler determinare il valore più grande della funzione F(X) sul segmento [ UN, B] . Per fare questo, devi trovare tutti i suoi punti critici che giacciono su [ UN, B] .

Punto critico chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivato o è uguale a zero o non esiste. Quindi dovrebbero essere calcolati i valori della funzione nei punti critici. E infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( F(UN) E F(B)). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sul segmento [UN, B] .

Problemi di reperimento valori di funzione più piccoli .

Cerchiamo insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Trova la derivata di questa funzione. Uguagliamo la derivata a zero () e otteniamo due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori alle estremità del segmento e nel punto, poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2]. Questi valori di funzione sono: , , . Ne consegue che valore della funzione più piccolo(indicato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si ottiene all'estremità destra del segmento - nel punto , e più grande(anche rosso nel grafico), equivale a 9, - nel punto critico.

Se una funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, ad esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti di confine dell'intervallo non sono compresi nell'intervallo, ma i i punti di confine del segmento sono inclusi nel segmento), allora tra i valori della funzione potrebbe non esserci quello più piccolo e quello più grande. Quindi, ad esempio, la funzione mostrata nella figura sotto è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore massimo.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

.

Identifichiamo la derivata a zero, il che ci fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e valore più alto uguale a 1 al punto .

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono insegnanti che, riguardo alla ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi da risolvere più complessi di quelli appena discussi, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o un frazione, il cui numeratore e denominatore sono polinomi. Ma non ci limiteremo a questi esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono quelli a cui piace costringere gli studenti a pensare per intero (la tabella delle derivate). Verranno quindi utilizzati il ​​logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 6. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, il che fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, al punto e al punto e valore più alto, uguale e², al punto.

Esempio 7. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Trova la derivata di questa funzione:

Uguagliamo la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , nel punto e valore più alto, uguale , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori più piccoli (massimi) di una funzione, di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi in sé ad essere di maggiore interesse pratico, ma quei valori dell’argomentazione con cui vengono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: comporre funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 8. Deve essere stagnata una vasca della capacità di 4 persone, avente forma di parallelepipedo a base quadrata e aperta superiormente. Che dimensioni dovrebbe avere il serbatoio in modo che venga utilizzata la minor quantità di materiale per coprirlo?

Soluzione. Permettere X- lato base, H- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, V- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula, cioè è una funzione di due variabili. Esprimere S come funzione di una variabile, usiamo il fatto che , da dove . Sostituendo l'espressione trovata H nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione fino al suo estremo. È definito e differenziabile ovunque in ]0, +∞[ , e

.

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, quando la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto estremo. Quindi questo è l’unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo utilizzando il secondo segno sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge il minimo . Da questo minimo è l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere di 2 me la sua altezza dovrebbe essere di .

Esempio 9. Dal punto UN situato sulla linea ferroviaria, al punto CON, situato a distanza da esso l, il carico deve essere trasportato. Il costo del trasporto di un'unità di peso per unità di distanza su rotaia è pari a , mentre su autostrada è pari a . Fino a che punto M la linea ferroviaria dovrebbe essere costruita come un'autostrada in modo da poter trasportare le merci UN V CON era il più economico (sez AB si presuppone che la ferrovia sia diritta)?

L'algoritmo standard per risolvere tali problemi prevede, dopo aver trovato gli zeri della funzione, di determinare i segni della derivata sugli intervalli. Quindi il calcolo dei valori nei punti massimi (o minimi) trovati e al limite dell'intervallo, a seconda della domanda nella condizione.

Ti consiglio di fare le cose in modo leggermente diverso. Perché? Ho scritto su questo.

Propongo di risolvere tali problemi come segue:

1. Trova la derivata.
2. Trova gli zeri della derivata.
3. Determina quale di essi appartiene a questo intervallo.
4. Calcoliamo i valori della funzione ai confini dell'intervallo e ai punti del passaggio 3.
5. Traiamo una conclusione (rispondiamo alla domanda posta).

Durante la risoluzione degli esempi presentati, la risoluzione delle equazioni quadratiche non viene discussa in dettaglio; devi essere in grado di farlo; Dovrebbero anche saperlo.

Diamo un'occhiata agli esempi:

77422. Trova il valore più grande della funzione y=x 3 –3x+4 sul segmento [–2;0].

Troviamo gli zeri della derivata:

Il punto x = –1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Calcoliamo i valori della funzione ai punti –2, –1 e 0:

Il valore più grande della funzione è 6.

Risposta: 6

77425. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – 3x 2 + 2 sul segmento.

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

Il punto x = 2 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.

Calcoliamo i valori della funzione ai punti 1, 2 e 4:

Il valore più piccolo della funzione è –2.

Risposta: –2

77426. Trova il valore più grande della funzione y = x 3 – 6x 2 sul segmento [–3;3].

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

L'intervallo specificato nella condizione contiene il punto x = 0.

Calcoliamo i valori della funzione ai punti –3, 0 e 3:

Il valore più piccolo della funzione è 0.

Risposta: 0

77429. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – 2x 2 + x +3 sul segmento.

Troviamo la derivata della funzione data:

3x2 – 4x + 1 = 0

Otteniamo le radici: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

L'intervallo specificato nella condizione contiene solo x = 1.

Troviamo i valori della funzione ai punti 1 e 4:

Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è 3.

Risposta: 3

77430. Trova il valore più grande della funzione y = x 3 + 2x 2 + x + 3 sul segmento [– 4; -1].

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata e risolviamo l'equazione quadratica:

3x2 + 4x + 1 = 0

Prendiamo le radici:

L'intervallo specificato nella condizione contiene la radice x = –1.

Troviamo i valori della funzione ai punti –4, –1, –1/3 e 1:

Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione è 3.

Risposta: 3

77433. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – x 2 – 40x +3 sul segmento.

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata e risolviamo l'equazione quadratica:

3x2 – 2x – 40 = 0

Prendiamo le radici:

L'intervallo specificato nella condizione contiene la radice x = 4.

Trova i valori della funzione nei punti 0 e 4:

Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è –109.

Risposta: –109

Consideriamo un metodo per determinare i valori più grandi e più piccoli delle funzioni senza derivata. Questo approccio può essere utilizzato se hai grossi problemi con la determinazione della derivata. Il principio è semplice: sostituiamo tutti i valori interi dall'intervallo nella funzione (il fatto è che in tutti questi prototipi la risposta è un numero intero).

77437. Trova il valore più piccolo della funzione y=7+12x–x 3 sul segmento [–2;2].

Punti sostitutivi da –2 a 2: Visualizza la soluzione

77434. Trova il valore più grande della funzione y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 sul segmento [–2;0].

È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Spesso in fisica e matematica è necessario trovare il valore più piccolo di una funzione. Ora ti diremo come farlo.

Come trovare il valore più piccolo di una funzione: istruzioni

1. Per calcolare il valore più piccolo di una funzione continua su un dato segmento, è necessario seguire il seguente algoritmo:
2. Trova la derivata della funzione.
3. Trova su un dato segmento i punti in cui la derivata è uguale a zero, nonché tutti i punti critici. Quindi scopri i valori della funzione in questi punti, ovvero risolvi l'equazione in cui x è uguale a zero. Scopri quale valore è il più piccolo.
4. Identificare quale valore ha una funzione sugli endpoint. Determina il valore più piccolo della funzione in questi punti.
5. Confronta i dati ottenuti con il valore più basso. Il più piccolo dei numeri risultanti sarà il valore più piccolo della funzione.

Nota che se una funzione su un segmento non ha punti più piccoli, significa che sta aumentando o diminuendo su questo segmento. Pertanto, il valore più piccolo dovrebbe essere calcolato sui segmenti finiti della funzione.

In tutti gli altri casi, il valore della funzione viene calcolato secondo un determinato algoritmo. In ogni punto dell'algoritmo dovrai risolvere una semplice equazione lineare con una radice. Risolvi l'equazione utilizzando un'immagine per evitare errori.

Come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento semiaperto? Su un periodo semiaperto o aperto della funzione, il valore più piccolo dovrebbe essere trovato come segue. Nei punti finali del valore della funzione, calcolare il limite unilaterale della funzione. In altre parole, risolvi un'equazione in cui i punti tendenti sono dati dai valori a+0 e b+0, dove a e b sono i nomi dei punti critici.

Ora sai come trovare il valore più piccolo di una funzione. La cosa principale è eseguire tutti i calcoli correttamente, accuratamente e senza errori.

In questo articolo parlerò di algoritmo per trovare il valore più grande e quello più piccolo funzioni, punti di minimo e massimo.

In teoria ci sarà sicuramente utile tabella delle derivate E regole di differenziazione. È tutto su questo piatto:

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli.

Per me è più conveniente spiegarlo con un esempio specifico. Prendere in considerazione:

Esempio: Trova il valore più grande della funzione y=x^5+20x^3–65x sul segmento [–4;0].

Passo 1. Prendiamo la derivata.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Passo 2. Trovare i punti estremi.

Punto estremo chiamiamo quei punti in cui la funzione raggiunge il suo valore massimo o minimo.

Per trovare i punti estremi, è necessario uguagliare la derivata della funzione a zero (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Ora risolviamo questa equazione biquadratica e le radici trovate sono i nostri punti estremi.

Risolvo tali equazioni sostituendo t = x^2, quindi 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Riduciamo l'equazione di 5, otteniamo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - quadrato(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Facciamo la modifica inversa x^2 = t:

X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (escludiamo, non possono esserci numeri negativi sotto la radice, a meno che ovviamente non si parli di numeri complessi)

Totale: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - questi sono i nostri punti estremi.

Passaggio 3. Determinare il valore più grande e quello più piccolo.

Metodo di sostituzione.

Nella condizione ci è stato assegnato il segmento [b][–4;0]. Il punto x=1 non è incluso in questo segmento. Quindi non lo stiamo considerando. Ma oltre al punto x=-1 dobbiamo considerare anche i limiti sinistro e destro del nostro segmento, cioè i punti -4 e 0. Per fare ciò sostituiamo tutti e tre i punti nella funzione originale. Nota che quello originale è quello indicato nella condizione (y=x^5+20x^3–65x), alcune persone iniziano a sostituirlo nella derivata...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Ciò significa che il valore più grande della funzione è [b]44 e si ottiene nel punto [b]-1, che è chiamato punto massimo della funzione sul segmento [-4; 0].

Abbiamo deciso e ricevuto risposta, stiamo benissimo, puoi stare tranquillo. Ma fermati! Non pensi che calcolare y(-4) sia in qualche modo troppo difficile? In condizioni di tempo limitato è meglio utilizzare un altro metodo, io lo chiamo così:

Attraverso intervalli di costanza di segno.

Questi intervalli si trovano per la derivata della funzione, cioè per la nostra equazione biquadratica.

Lo faccio così. Disegno un segmento diretto. Metto i punti: -4, -1, 0, 1. Nonostante 1 non sia compreso nel segmento indicato, è comunque opportuno annotarlo per determinare correttamente gli intervalli di costanza di segno. Prendiamo un numero molte volte più grande di 1, diciamo 100, e sostituiamolo mentalmente nella nostra equazione biquadratica 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Anche senza contare nulla, diventa ovvio che al punto 100 il la funzione ha il segno più. Ciò significa che per gli intervalli da 1 a 100 ha un segno più. Passando per 1 (andiamo da destra a sinistra), la funzione cambierà segno in meno. Passando per il punto 0, la funzione manterrà il suo segno, poiché questo è solo il confine del segmento e non la radice dell'equazione. Passando per -1, la funzione cambierà nuovamente segno in più.

Dalla teoria sappiamo che dove si trova la derivata della funzione (e l'abbiamo disegnata proprio per questo) cambia segno da più a meno (punto -1 nel nostro caso) la funzione raggiunge il suo massimo locale (y(-1)=44, come calcolato in precedenza) su questo segmento (questo è logicamente molto comprensibile, la funzione ha smesso di aumentare perché ha raggiunto il suo massimo e ha iniziato a diminuire).

Di conseguenza, dove la derivata della funzione cambia segno da meno a più, è raggiunto minimo locale di una funzione. Sì, sì, abbiamo anche scoperto che il punto di minimo locale è 1, e y(1) è il valore minimo della funzione sul segmento, diciamo da -1 a +∞. Tieni presente che questo è solo un MINIMO LOCALE, cioè un minimo su un determinato segmento. Poiché il minimo reale (globale) della funzione raggiungerà da qualche parte lì, in -∞.

A mio avviso, il primo metodo è teoricamente più semplice, e il secondo è più semplice dal punto di vista delle operazioni aritmetiche, ma molto più complesso dal punto di vista della teoria. Dopotutto, a volte ci sono casi in cui la funzione non cambia segno quando passa attraverso la radice dell'equazione, e in generale puoi confonderti con questi massimi e minimi locali e globali, anche se dovrai comunque padroneggiarlo bene se lo fai pianificare di entrare in un'università tecnica (e per quale altro motivo sostenere il profilo dell'Esame di Stato Unificato e risolvere questo compito). Ma la pratica, e solo la pratica, ti insegnerà a risolvere tali problemi una volta per tutte. E puoi allenarti sul nostro sito web. Qui .

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Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?

Per questo seguiamo un algoritmo ben noto:

1 . Trovare le funzioni ODZ.

2 . Trovare la derivata della funzione

3 . Uguagliando la derivata a zero

4 . Troviamo gli intervalli su cui la derivata mantiene il segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:

Se nell'intervallo I la derivata della funzione è 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.

Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.

5 . Noi troviamo Punti di massimo e minimo della funzione.

IN nel punto massimo della funzione la derivata cambia segno da “+” a “-”.

IN punto minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".

6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,

• quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande se devi trovare il valore più grande della funzione
• oppure confrontare il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti minimi, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione

Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sul segmento, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.

Considera la funzione . Il grafico di questa funzione è simile al seguente:

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione dei problemi dalla Open Task Bank per

1 . Compito B15 (n. 26695)

Sul segmento.

1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Di conseguenza la funzione aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, cioè in x=0.

Risposta: 5.

2 . Compito B15 (n. 26702)

Trova il valore più grande della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ titolo="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivata è uguale a zero in , però in questi punti non cambia segno:

Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .

Per rendere ovvio il motivo per cui la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione della derivata come segue:

Titolo="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3peccato^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Risposta: 5.

3. Compito B15 (n. 26708)

Trova il valore più piccolo della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Posizioniamo le radici di questa equazione sul cerchio trigonometrico.

L'intervallo contiene due numeri: e

Mettiamo i cartelli. Per fare ciò determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: . Passando per i punti e la derivata cambia segno.

Rappresentiamo il cambio di segno della derivata di una funzione sulla linea delle coordinate:

Ovviamente il punto è un punto di minimo (in cui la derivata cambia segno da “-” a “+”), e per trovare il valore più piccolo della funzione sul segmento è necessario confrontare i valori della funzione in il punto minimo e all'estremità sinistra del segmento, .