Come stabilire e dimostrare che i triangoli sono congruenti. Problemi per dimostrare fatti geometrici dal GIA Come dimostrare che gli angoli sono uguali

Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune, e gli altri lati di questi angoli sono raggi complementari. Nella Figura 20, gli angoli AOB e BOC sono adiacenti.

La somma degli angoli adiacenti è 180°

Teorema 1. La somma degli angoli adiacenti è 180°.

Prova. La trave OB (vedi Fig. 1) passa tra i lati dell'angolo spiegato. Ecco perché ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Dal Teorema 1 segue che se due angoli sono uguali, allora i loro angoli adiacenti sono uguali.

Gli angoli verticali sono uguali

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono raggi complementari dei lati dell'altro. Gli angoli AOB e COD, BOD e AOC, formati all'intersezione di due rette, sono verticali (Fig. 2).

Teorema 2. Gli angoli verticali sono uguali.

Prova. Consideriamo gli angoli verticali AOB e COD (vedi Fig. 2). L'angolo BOD è adiacente a ciascuno degli angoli AOB e COD. Per il Teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Da ciò concludiamo che ∠ AOB = ∠ COD.

Corollario 1. Un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.

Consideriamo due rette intersecanti AC e BD (Fig. 3). Formano quattro angoli. Se uno di essi è diritto (angolo 1 in Fig. 3), anche gli angoli rimanenti sono retti (angoli 1 e 2, 1 e 4 sono adiacenti, angoli 1 e 3 sono verticali). In questo caso, dicono che queste linee si intersecano ad angolo retto e sono chiamate perpendicolari (o reciprocamente perpendicolari). La perpendicolarità delle linee AC e BD è indicata come segue: AC ⊥ BD.

Una bisettrice perpendicolare a un segmento è una linea perpendicolare a questo segmento e passante per il suo punto medio.

AN - perpendicolare ad una linea

Consideriamo una retta a e un punto A non giacente su di essa (Fig. 4). Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. Il segmento AN si dice perpendicolare tracciato dal punto A alla retta a se le rette AN e a sono perpendicolari. Il punto H è chiamato base della perpendicolare.

Disegno quadrato

Vale il seguente teorema.

Teorema 3. Da qualsiasi punto che non giace su una linea è possibile tracciare una perpendicolare a questa linea, e inoltre solo una.

Per tracciare una perpendicolare da un punto a una linea retta in un disegno, utilizzare un quadrato da disegno (Fig. 5).

Commento. La formulazione del teorema si compone solitamente di due parti. Una parte parla di ciò che viene dato. Questa parte è chiamata condizione del teorema. L'altra parte parla di ciò che deve essere dimostrato. Questa parte è chiamata conclusione del teorema. Ad esempio, la condizione del Teorema 2 è che gli angoli siano verticali; conclusione: questi angoli sono uguali.

Qualsiasi teorema può essere espresso in dettaglio in parole in modo che la sua condizione inizi con la parola "se" e la sua conclusione con la parola "allora". Ad esempio, il Teorema 2 può essere enunciato in dettaglio come segue: “Se due angoli sono verticali, allora sono uguali”.

Esempio 1. Uno degli angoli adiacenti è 44°. A cosa è uguale l'altro?

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi di un altro angolo, quindi secondo il Teorema 1.
44° + x = 180°.
Risolvendo l'equazione risultante, troviamo che x = 136°. Pertanto, l'altro angolo è 136°.

Esempio 2. Sia l'angolo COD nella Figura 21 45°. Quali sono gli angoli AOB e AOC?

Soluzione. Gli angoli COD e AOB sono verticali, quindi per il Teorema 1.2 sono uguali, cioè ∠ AOB = 45°. L'angolo AOC è adiacente all'angolo COD, il che significa secondo il Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esempio 3. Trova gli angoli adiacenti se uno di essi è 3 volte più grande dell'altro.

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi dell'angolo minore. Allora la misura in gradi dell'angolo maggiore sarà 3x. Poiché la somma degli angoli adiacenti è pari a 180° (Teorema 1), allora x + 3x = 180°, da cui x = 45°.
Ciò significa che gli angoli adiacenti sono 45° e 135°.

Esempio 4. La somma di due angoli verticali è 100°. Trova la dimensione di ciascuno dei quattro angoli.

Soluzione. Sia la Figura 2 a soddisfare le condizioni del problema. Gli angoli verticali COD rispetto ad AOB sono uguali (Teorema 2), il che significa che anche le loro misure in gradi sono uguali. Pertanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (la loro somma secondo la condizione è 100°). L'angolo BOD (anche angolo AOC) è adiacente all'angolo COD e quindi per il Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

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La geometria come materia separata inizia per gli scolari del 7 ° grado. Finora si tratta di problemi geometrici di forma abbastanza leggera e principalmente di ciò che può essere considerato con esempi visivi: l'area di una stanza, un appezzamento di terreno, la lunghezza e l'altezza dei muri nelle stanze, oggetti piatti, ecc. All'inizio dello studio della geometria stessa compaiono le prime difficoltà, come ad esempio il concetto di linea retta, poiché non è possibile toccare questa linea retta con le mani. Per quanto riguarda i triangoli, questo è il tipo più semplice di poligono, contenente solo tre angoli e tre lati.

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Il tema dei triangoli è uno dei principali importante e grandi argomenti del curriculum scolastico in geometria per le classi 7–9. Avendolo padroneggiato bene, è possibile risolvere problemi molto complessi. In questo caso, puoi inizialmente considerare una figura geometrica completamente diversa, quindi dividerla per comodità in parti triangolari adatte.

Lavorare sulla prova dell’uguaglianza ∆ABC E ∆A1B1C1È necessario comprendere a fondo i segni di uguaglianza delle figure ed essere in grado di utilizzarli. Prima di studiare i segni, devi imparare determinare l'uguaglianza lati e angoli dei poligoni più semplici.

Per dimostrare che gli angoli dei triangoli sono uguali, le seguenti opzioni aiuteranno:

1. ∠ α = ∠ β in base alla costruzione delle figure.
2. Dato nelle condizioni del compito.
3. Con due rette parallele e la presenza di una secante si possono formare sia linee incrociate interne che corrispondenti ∠ α = ∠ β.
4. Sommando (sottraendo) a (da) ∠ α = ∠ β angoli uguali.
5. Le verticali ∠ α e ∠ β sono sempre simili
6. Generale ∠ α, appartenente contemporaneamente a ∆MNK E ∆MNH .
7. La bisettrice divide ∠ α in due uguali.
8. Adiacente a ∠ 90°- angolo uguale a quello originale.
9. Angoli uguali adiacenti sono uguali.
10. L'altezza forma due adiacenti ∠ 90° .
11. In isoscele ∆MNK alla base ∠ α = ∠ β.
12. Pari ∆MNK E ∆SDH corrispondente ∠ α = ∠ β.
13. Uguaglianza dimostrata in precedenza ∆MNK E ∆SDH .

Questo è interessante: come trovare il perimetro di un triangolo.

3 segni che i triangoli sono uguali

Prova di uguaglianza ∆ABC E ∆A1B1C1 molto conveniente da produrre, basato su base segni l'identità di questi poligoni più semplici. Ci sono tre di questi segni. Sono molto importanti per risolvere molti problemi geometrici. Vale la pena considerarli tutti.

Le caratteristiche sopra elencate sono teoremi e sono dimostrate dal metodo di sovrapposizione di una figura all'altra, collegando i vertici degli angoli corrispondenti e l'inizio dei raggi. Le prove dell'uguaglianza dei triangoli nel grado 7 sono descritte in una forma molto accessibile, ma sono difficili da studiare nella pratica per gli scolari, poiché contengono un gran numero di elementi indicati in lettere latine maiuscole. Questo non è del tutto familiare a molti studenti quando iniziano a studiare l'argomento. Gli adolescenti si confondono sui nomi di lati, raggi e angoli.

Un po 'più tardi appare un altro argomento importante: "La somiglianza dei triangoli". La definizione stessa di “somiglianza” in geometria significa somiglianza di forma con dimensioni diverse. Ad esempio, puoi prendere due quadrati, il primo con un lato di 4 cm e il secondo di 10 cm. Questi tipi di quadrangoli saranno simili e, allo stesso tempo, avranno una differenza, poiché il secondo sarà più grande e. ogni lato viene aumentato dello stesso numero di volte.

Considerando il tema della somiglianza, vengono forniti anche 3 segni:

• Il primo riguarda i due angoli corrispondentemente uguali delle due figure triangolari in questione.
• La seconda riguarda l'angolo e i lati che lo formano ∆MNK, che sono uguali agli elementi corrispondenti ∆SDH .
• Il terzo indica la proporzionalità di tutti i lati corrispondenti delle due figure desiderate.

Come puoi dimostrare che i triangoli sono simili? È sufficiente utilizzare uno dei segni di cui sopra e descrivere correttamente l'intero processo di dimostrazione dell'attività. Tema della somiglianza ∆MNK E ∆SDHè più facile da percepire dagli scolari in base al fatto che al momento dello studio, gli studenti utilizzano già liberamente le designazioni degli elementi nelle costruzioni geometriche, non si confondono in un numero enorme di nomi e sanno leggere i disegni.

Completando l'ampio argomento delle figure geometriche triangolari, gli studenti dovrebbero già sapere perfettamente come dimostrare l'uguaglianza ∆MNK = ∆SDH su due lati, imposta i due triangoli in modo che siano uguali o meno. Considerando che un poligono con esattamente tre angoli è una delle figure geometriche più importanti, dovresti prendere sul serio il materiale, prestando particolare attenzione anche ai più piccoli fatti della teoria.

Questa volta propongo di organizzare qualcosa come una “maratona basata sull'evidenza” per risolvere i problemi offerti agli studenti della nona elementare nell'Esame Accademico di Stato di matematica. Sono collegati alla dimostrazione di fatti geometrici semplici, ma allo stesso tempo molto utili. L'articolo volutamente non fornisce soluzioni dettagliate ai problemi, solo alcuni schizzi e suggerimenti. Prova a superare questa distanza della maratona da solo, senza errori e con un unico approccio.

Compito 1. Dimostrare che le bisettrici degli angoli adiacenti sono perpendicolari.

L'angolo α è indicato da un arco, β da due

Prova: dalla figura è chiaro che α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (angolo retto), quindi, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Compito 2. Due segmenti AC. E B.D si intersecano in un punto O, che è il centro di ciascuno di essi. Dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACD E TAXI.

ABCD, ovviamente, sarà un parallelogramma, ma questo non è dato nella condizione

Prova: i triangoli laterali sono uguali in due lati e l'angolo tra loro ( B.O. = D.O.- per condizione, A.O. = O.C.- per condizione, ∠ DOC = ∠AOB- verticale), cioè ∠ ACD = ∠TAXI, e poiché giacciono trasversalmente su linee rette AB, CD e secante AC., Quello AB parallelo DC. Allo stesso modo dimostriamo il parallelismo delle rette AVANTI CRISTO. E ANNO DOMINI. COSÌ, ABCDè un parallelogramma per definizione. AVANTI CRISTO. = ANNO DOMINI, AB = CD(in un parallelogramma i lati opposti sono uguali), AC.- comune per i triangoli ACD E TAXI, quindi sono uguali su tre lati. Q.E.D.

Compito 3. Dimostrare che la mediana portata alla base di un triangolo isoscele è la bisettrice dell'angolo opposto alla base ed è anche perpendicolare alla base.

Gli angoli formati dalla mediana e dalla base saranno chiamati “inferiori”, la mediana e i lati “superiori”

Prova: i triangoli laterali nella figura sono uguali su tre lati, da cui ne consegue che, in primo luogo, gli angoli “superiori” sono uguali (hanno dimostrato che la bisettrice), in secondo luogo, gli angoli “inferiori”, in totale come adiacenti dando 180 0, e quindi uguali in 90 0 ciascuno (perpendicolarità provata). Q.E.D.

Compito 4. Dimostrare che le mediane tracciate ai lati di un triangolo isoscele sono uguali.

I triangoli formati dalle mediane, dalla base e dalle metà inferiori dei lati laterali del triangolo originario sono detti “inferiori”

Prova: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, quindi i triangoli “inferiori” sono uguali su due lati e l'angolo compreso tra essi, il che implica l'uguaglianza delle mediane tracciate. Q.E.D.

Compito 5. Dimostrare che le bisettrici ricavate dai vertici della base di un triangolo isoscele sono uguali.

Tutti gli angoli indicati nella figura sono, ovviamente, uguali, sebbene siano indicati da archi diversi

Prova: Il triangolo “inferiore” è isoscele, il che consegue dall'uguaglianza degli angoli alla sua base, i triangoli “laterali” sono uguali in lato (uguali dalle bisettrici dimostrate sopra) e due angoli (i primi sono uguali per condizione, il secondo sono verticali), quindi anche le restanti parti delle bisettrici sono uguali tra loro, il che significa che le intere bisettrici stesse sono uguali. Q.E.D.

Compito 6. Dimostrare che la lunghezza del segmento che collega i punti medi di due lati di un triangolo è pari alla metà del terzo lato.

Chiameremo i lati puliti “basi”, quelli barrati – “lati”

Prova: i lati laterali del triangolo piccolo e grande nella figura sono correlati come 1: 2, inoltre hanno un angolo in comune, il che significa che sono simili nel secondo attributo con un coefficiente di somiglianza di 1: 2, quindi le basi sono correlato come 1: 2. Che è ciò che doveva essere dimostrato.

Compito 7. Dimostrare che la diagonale di un parallelogramma lo divide in due triangoli uguali.

Un parallelogramma con una diagonale, probabilmente non c’è altro da aggiungere

Prova: I lati opposti di un parallelogramma sono uguali, la diagonale è il lato comune di questi triangoli, quindi sono uguali su tre lati. Q.E.D.

Compito 8. Dimostrare che la mediana di un triangolo rettangolo disegnato verso l'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa.

In altre parole, la mediana si traccia dal vertice dell'angolo retto

Prova: se descriviamo un cerchio attorno a un dato triangolo rettangolo, allora l'angolo retto del triangolo inscritto in questo cerchio sarà descritto da un semicerchio, quindi l'ipotenusa sarà il diametro di questo cerchio, e le metà dell'ipotenusa e della mediana saranno date per noi nel problema saranno i raggi, quindi sono tutti uguali. Q.E.D.

Compito 9. Dimostrare che i segmenti tangenti tracciati a una circonferenza da un punto sono uguali.

Costruzione aggiuntiva: collega il punto C al punto O (mentalmente)

Prova: angoli B E UN linee rette (i raggi del cerchio tracciato fino al punto di oscillazione sono perpendicolari alle tangenti), il che significa triangoli rettangoli AOC E BOC uguali in ipotenusa (il lato che immaginiamo sia loro comune O.C.) e gamba (raggi del cerchio O.B. = O.A.), che significa AC. = C.B.. Q.E.D.

Problema 10. Dimostrare che il diametro passante per il punto medio di una corda circolare è ad essa perpendicolare.

La linea che collega due punti nella figura è la mediana del triangolo che considereremo

Prova: in un triangolo isoscele formato dai punti di intersezione di una corda con un cerchio e il centro di questo cerchio, la mediana rappresentata sarà l'altezza, il che significa che il diametro contenente questa altezza è perpendicolare alla corda. Q.E.D.

Problema 11. Dimostrare che se due cerchi hanno una corda in comune, allora la retta passante per il centro di questi cerchi è perpendicolare a questa corda.

Colleghiamo mentalmente insieme tutti i punti segnati in figura, chiamiamo punto di intersezione della H orizzontale e verticale

Prova: triangoli O 1 A.O. 2 e O 1 B.O. 2 sono uguali su tre lati, quindi, ∠ HO 2 UN = ∠HO 2 B, poi triangoli HAO 2 e HBO 2 sono uguali su entrambi i lati e l'angolo tra loro, il che significa ∠ AH O 2 = ∠BHO 2, e in totale due angoli uguali possono dare 180 0 solo se ciascuno di essi è uguale a 90 0. Q.E.D.

Problema 12. Dimostrare che se un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero, allora le somme delle lunghezze dei suoi lati opposti sono uguali.

Quadrilatero circoscritto. Chiamiamolo ABCD. Siano M, E, X e L punti tangenti

Prova: Usiamo il teorema sui segmenti tangenti (problema 9). V.C = realtà virtuale, SR = CH, DX = D.L. E A = AK. Riassumiamo i lati AB E CD: AB + CD= (SONO.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ ESSERE+ D.L.+ CE= (AL+ LD) + (ESSERE+ CE) = ANNO DOMINI+ AVANTI CRISTO. Q.E.D.

Problema 13. Dimostrare che se un cerchio può essere circoscritto attorno a un quadrilatero, allora le somme degli angoli opposti sono uguali.

Circonferenza

Prova: Secondo il teorema dell'angolo inscritto, la somma degli angoli opposti di questo quadrilatero è pari a 180 0, poiché insieme poggiano su un cerchio completo, la cui misura in gradi è 360 0. Q.E.D.

Problema 14. Dimostrare che se un cerchio può essere circoscritto attorno a un trapezio, allora il trapezio è isoscele.

Prova: la somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza è uguale a α + β = 180 0 (vedi problema 13), anche la somma degli angoli sul lato laterale del trapezio è uguale a α + γ = 180 0 (questi angoli sono unilaterali con basi parallele e lato secante), confrontando queste formule troviamo che β = γ , cioè gli angoli alla base di un tale trapezio sono uguali, ed è veramente isoscele. Q.E.D.

Problema 15. Quadrato ABCD punti A E E- punti medi dei lati AB E ANNO DOMINI rispettivamente. Prova che KD perpendicolare CE.

Dall'antichità fino ai giorni nostri, la ricerca dei segni di uguaglianza delle figure è considerata un compito fondamentale, che è alla base dei fondamenti della geometria; centinaia di teoremi vengono dimostrati utilizzando test di uguaglianza. La capacità di dimostrare l'uguaglianza e la somiglianza delle figure è un compito importante in tutti i settori dell'edilizia.

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Mettere in pratica l'abilità

Supponiamo di avere una figura disegnata su un pezzo di carta. Allo stesso tempo, abbiamo un righello e un goniometro con cui possiamo misurare le lunghezze dei segmenti e gli angoli tra loro. Come trasferire una figura della stessa dimensione su un secondo foglio di carta o raddoppiarne la scala.

Sappiamo che un triangolo è una figura composta da tre segmenti chiamati lati che formano gli angoli. Pertanto, ci sono sei parametri - tre lati e tre angoli - che definiscono questa figura.

Tuttavia, avendo misurato la dimensione di tutti e tre i lati e gli angoli, trasferire questa figura su un'altra superficie sarà un compito difficile. Inoltre è logico porsi la domanda: non basterebbe conoscere i parametri di due lati e di un angolo, o solo di tre lati?

Dopo aver misurato la lunghezza dei due lati e quella compresa tra loro, metteremo poi quest'angolo su un nuovo pezzo di carta, così potremo ricreare completamente il triangolo. Scopriamo come farlo, impariamo come dimostrare i segni con cui possono essere considerati uguali e decidiamo quale numero minimo di parametri è sufficiente conoscere per essere sicuri che i triangoli siano gli stessi.

Importante! Le figure si dicono identiche se i segmenti che ne formano i lati e gli angoli sono uguali tra loro. Figure simili sono quelle i cui lati e angoli sono proporzionali. Pertanto, l’uguaglianza è una somiglianza con un coefficiente di proporzionalità pari a 1.

Quali sono i segni che i triangoli sono uguali?

• il primo segno di uguaglianza: due triangoli possono considerarsi identici se due dei loro lati sono uguali, così come l'angolo formato da essi.
• il secondo segno di uguaglianza dei triangoli: due triangoli saranno uguali se due angoli saranno uguali, così come il lato corrispondente tra loro.
• terzo segno di uguaglianza dei triangoli : I triangoli si possono considerare identici quando tutti i loro lati hanno la stessa lunghezza.

Come dimostrare che i triangoli sono congruenti. Diamo una dimostrazione dell'uguaglianza dei triangoli.

Prova di 1 segno

Per molto tempo, tra i primi matematici, questo segno è stato considerato un assioma, tuttavia, come si è scoperto, può essere dimostrato geometricamente sulla base di assiomi più basilari.

Considera due triangoli: KMN e K 1 M 1 N 1 . Il lato KM ha la stessa lunghezza di K 1 M 1 e KN = K 1 N 1. E l'angolo MKN è uguale agli angoli KMN e M 1 K 1 N 1.

Se consideriamo KM e K 1 M 1, KN e K 1 N 1 come due raggi che escono dallo stesso punto, allora possiamo dire che gli angoli tra queste coppie di raggi sono uguali (questo è specificato dalla condizione di il teorema). Effettuiamo un trasferimento parallelo dei raggi K 1 M 1 e K 1 N 1 dal punto K 1 al punto K. Come risultato di questo trasferimento, i raggi K 1 M 1 e K 1 N 1 coincideranno completamente. Tracciamo sulla semiretta K 1 M 1 un segmento di lunghezza KM, che ha origine nel punto K. Poiché, per condizione, il segmento risultante sarà uguale al segmento K 1 M 1, allora i punti M e M 1 coincidono. Allo stesso modo con i segmenti KN e K 1 N 1. Quindi, trasferendo K 1 M 1 N 1 in modo che i punti K 1 e K coincidano, e i due lati si sovrappongano, otteniamo una completa coincidenza delle figure stesse.

Importante! Su Internet ci sono prove dell'uguaglianza dei triangoli di due lati e di un angolo utilizzando identità algebriche e trigonometriche con valori numerici dei lati e degli angoli. Tuttavia, storicamente e matematicamente, questo teorema fu formulato molto prima dell’algebra e della trigonometria. Per dimostrare questa caratteristica del teorema non è corretto utilizzare qualcosa di diverso dagli assiomi di base.

Prove 2 segni

Dimostriamo il secondo segno di uguaglianza in due angoli e un lato, in base al primo.

Prove 2 segni

Consideriamo KMN e PRS. K è uguale a P, N è uguale a S. Il lato KN ha la stessa lunghezza di PS. È necessario dimostrare che KMN e PRS sono la stessa cosa.

Riflettiamo il punto M rispetto al raggio KN. Chiamiamo il punto risultante L. In questo caso, la lunghezza del lato KM = KL. NKL è uguale a PRS. KNL è uguale a RSP.

Poiché la somma degli angoli è uguale a 180 gradi, allora KLN è uguale a PRS, il che significa che PRS e KLN sono uguali (simili) su entrambi i lati e l'angolo, secondo il primo segno.

Ma poiché KNL è uguale a KMN, KMN e PRS sono due cifre identiche.

Prova 3 segni

Come determinare che i triangoli sono congruenti. Ciò segue direttamente dalla dimostrazione della seconda caratteristica.

Lunghezza KN = PS. Poiché K = P, N = S, KL=KM e KN = KS, MN=ML, allora:

Ciò significa che entrambe le figure sono simili tra loro. Ma poiché i loro lati sono uguali, sono anche uguali.

Molte conseguenze derivano dai segni di uguaglianza e somiglianza. Uno di questi è che per determinare se due triangoli sono uguali o no, è necessario conoscere le loro proprietà, se sono uguali:

• tutti e tre i lati;
• entrambi i lati e l'angolo tra loro;
• entrambi gli angoli e il lato compreso tra loro.

Utilizzo del test dell'uguaglianza dei triangoli per risolvere problemi

Conseguenze del primo segno

Nel corso della dimostrazione si possono giungere ad una serie di conseguenze interessanti e utili.

1. . Il fatto che il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma le divida in due parti identiche è una conseguenza dei segni di uguaglianza ed è abbastanza suscettibile di dimostrazione I lati del triangolo aggiuntivo (con una costruzione a specchio, come nelle dimostrazioni che abbiamo eseguito) sono i lati di quello principale (i lati del parallelogramma).
2. Se ci sono due triangoli rettangoli che hanno gli stessi angoli acuti allora sono simili. Se la gamba del primo è uguale alla gamba del secondo, allora sono uguali. Questo è abbastanza facile da capire: tutti i triangoli rettangoli hanno un angolo retto. Pertanto, i segni di uguaglianza sono più semplici per loro.
3. Due triangoli con angoli retti, in cui due cateti hanno la stessa lunghezza, possono essere considerati identici. Ciò è dovuto al fatto che l'angolo tra le due gambe è sempre di 90 gradi. Pertanto, secondo il primo criterio (da due lati e dall'angolo compreso tra loro), tutti i triangoli con angoli retti e cateti identici sono uguali.
4. Se ci sono due triangoli rettangoli e il loro cateto e l'ipotenusa sono uguali, allora i triangoli sono uguali.

Dimostriamo questo semplice teorema.

Ci sono due triangoli rettangoli. Uno ha i lati a, b, c, dove c è l'ipotenusa; a, b - gambe. La seconda ha lati n, m, l, dove l è l'ipotenusa; m, n - gambe.

Secondo il teorema di Pitagora una delle gambe è uguale a:

;

.

Pertanto, se n = a, l = c (uguaglianza di cateti e ipotenuse), rispettivamente, i secondi cateti saranno uguali. Le figure, di conseguenza, saranno uguali secondo la terza caratteristica (su tre lati).

Notiamo un'altra conseguenza importante. Se ci sono due triangoli uguali e sono simili con un coefficiente di somiglianza k, cioè i rapporti a coppie di tutti i loro lati sono uguali a k, allora il rapporto delle loro aree è uguale a k2.

Il primo segno di uguaglianza dei triangoli. Video lezione sulla geometria 7a elementare

Geometria 7 Il primo segno di uguaglianza dei triangoli

Conclusione

L'argomento che abbiamo discusso aiuterà qualsiasi studente a comprendere meglio i concetti geometrici di base e a migliorare le proprie competenze nell'interessante mondo della matematica.