Metodo dei momenti equipara i momenti della distribuzione teorica ai momenti della distribuzione empirica (distribuzione costruita in base alle osservazioni). Dalle equazioni risultanti si ottengono stime dei parametri di distribuzione. Ad esempio, per una distribuzione con due parametri, i primi due momenti (la media e la varianza della distribuzione, rispettivamente, m e s) saranno equiparati ai primi due momenti empirici (campione) (la media e la varianza campionaria, rispettivamente) , quindi verrà eseguita la stima.

Dove A è uno zero condizionale uguale all'opzione con la frequenza massima (la metà dell'intervallo con la frequenza massima), h è il passo dell'intervallo,

Scopo del servizio. Utilizzando un calcolatore online, il valore medio viene calcolato utilizzando il metodo dei momenti. Il risultato della decisione è presentato in formato Word.

Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario inserire i dati iniziali e selezionare i parametri del report per la formattazione in Word.

Algoritmo per trovare la media utilizzando il metodo dei momenti

Esempio. Il tempo di lavoro impiegato in un’operazione tecnologica omogenea è stato distribuito tra i lavoratori come segue:

È necessario determinare la quantità media di tempo lavorativo impiegato e la deviazione standard utilizzando il metodo dei momenti; il coefficiente di variazione; modalità e mediana.
Tabella per il calcolo degli indicatori.

Gruppi	Punto medio dell'intervallo, x i	Quantità, ad esempio	x i f i	Frequenza accumulata, S	(x-x) 2 segg
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Moda

dove x 0 è l'inizio dell'intervallo modale; h – valore dell'intervallo; f 2 – frequenza corrispondente all'intervallo modale; f 1 – frequenza premodale; f 3 – frequenza postmodale.
Scegliamo 20 come inizio dell'intervallo, poiché questo intervallo contiene il numero più grande.

Il valore più comune della serie è 22,78 min.
Mediano
La mediana è l'intervallo 20 - 25, perché in questo intervallo, la frequenza accumulata S è maggiore del numero mediano (la mediana è il primo intervallo la cui frequenza accumulata S supera la metà della somma totale delle frequenze).

Pertanto, il 50% delle unità della popolazione avrà una durata inferiore a 23 minuti.
.



Troviamo A = 22,5, passo dell'intervallo h = 5.
Deviazioni quadratiche medie con il metodo dei momenti.

x q	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

min.

Deviazione standard.
min.
Il coefficiente di variazione- una misura della dispersione relativa dei valori della popolazione: mostra quale proporzione del valore medio di questo valore è la sua dispersione media.

Poiché v>30%, ma v<70%, то вариация умеренная.

Esempio

Per valutare le serie distributive, troviamo i seguenti indicatori:

Media ponderata

Valore medio della caratteristica studiata utilizzando il metodo dei momenti.

dove A è uno zero condizionale uguale all'opzione con la frequenza massima (la metà dell'intervallo con la frequenza massima), h è il passo dell'intervallo.

Intervallo di variazione (o intervallo di variazione) - questa è la differenza tra il valore massimo e quello minimo della caratteristica:

Nel nostro esempio, l'intervallo di variazione del rendimento dei turni dei lavoratori è: nella prima brigata R = 105-95 = 10 bambini, nella seconda brigata R = 125-75 = 50 bambini. (5 volte di più). Ciò suggerisce che la produzione della 1a brigata è più “stabile”, ma la seconda brigata ha più riserve per aumentare la produzione, perché Se tutti i lavoratori raggiungono la produzione massima per questa brigata, essa può produrre 3 * 125 = 375 pezzi, e nella 1a brigata solo 105 * 3 = 315 pezzi.
Se i valori estremi di una caratteristica non sono tipici della popolazione, vengono utilizzati gli intervalli quartili o decili. L'intervallo quartile RQ= Q3-Q1 copre il 50% del volume della popolazione, l'intervallo del primo decile RD1 = D9-D1 copre l'80% dei dati, il secondo intervallo decile RD2= D8-D2 – 60%.
Lo svantaggio dell'indicatore dell'intervallo di variazione è che il suo valore non riflette tutte le fluttuazioni del tratto.
L'indicatore generale più semplice che riflette tutte le fluttuazioni di una caratteristica è deviazione lineare media, che è la media aritmetica degli scostamenti assoluti delle singole opzioni dal loro valore medio:

,
per dati raggruppati
,
dove xi è il valore dell'attributo in una serie discreta o il centro dell'intervallo nella distribuzione degli intervalli.
Nelle formule precedenti le differenze nel numeratore vengono prese modulo, altrimenti, secondo la proprietà della media aritmetica, il numeratore sarà sempre uguale a zero. Pertanto, la deviazione lineare media viene utilizzata raramente nella pratica statistica, solo nei casi in cui la somma degli indicatori senza tenere conto del segno ha senso economico. Con il suo aiuto vengono analizzati, ad esempio, la composizione della forza lavoro, la redditività della produzione e il fatturato del commercio estero.
Varianza dei trattiè il quadrato medio delle deviazioni dal loro valore medio:
varianza semplice
,
ponderata per la varianza
.
La formula per il calcolo della varianza può essere semplificata:

Pertanto, la varianza è uguale alla differenza tra la media dei quadrati dell’opzione e il quadrato della media dell’opzione della popolazione:
.
Tuttavia, a causa della somma dei quadrati delle deviazioni, la varianza dà un'idea distorta delle deviazioni, quindi la media viene calcolata in base ad essa deviazione standard, che mostra quanto in media specifiche varianti di un tratto si discostano dal loro valore medio. Calcolato prendendo la radice quadrata della varianza:
per i dati non raggruppati
,
per le serie di variazione

Minore è il valore della varianza e della deviazione standard, più omogenea è la popolazione, più affidabile (tipico) sarà il valore medio.
La media lineare e la deviazione standard sono chiamate numeri, cioè sono espresse in unità di misura di una caratteristica, sono identiche nel contenuto e vicine nel significato.
Si consiglia di calcolare le variazioni assolute utilizzando le tabelle.
Tabella 3 - Calcolo delle caratteristiche di variazione (utilizzando l'esempio del periodo di dati sul rendimento dei turni dei lavoratori dell'equipaggio)

	Numero di lavoratori	La metà dell'intervallo	Valori calcolati
Totale:

Produzione media dei turni dei lavoratori:

Deviazione lineare media:

Variazione di produzione:

La deviazione standard della produzione dei singoli lavoratori dalla produzione media:
.

1 Calcolo delle dispersioni con il metodo dei momenti

Il calcolo delle varianze comporta calcoli complessi (soprattutto se la media è espressa come un numero elevato con diverse cifre decimali). I calcoli possono essere semplificati utilizzando una formula semplificata e proprietà di dispersione.
La dispersione ha le seguenti proprietà:

1. Se tutti i valori di una caratteristica vengono ridotti o aumentati dello stesso valore A, la dispersione non diminuirà:

,

, quindi o
Utilizzando le proprietà di dispersione e riducendo prima tutte le varianti della popolazione per il valore A, quindi dividendo per il valore dell'intervallo h, otteniamo una formula per calcolare la dispersione in serie di variazioni con intervalli uguali via dei momenti:
,
dove è la dispersione calcolata con il metodo dei momenti;
h – valore dell'intervallo della serie di variazioni;
– nuova opzione valori (trasformati);
A è un valore costante, utilizzato come centro dell'intervallo con la frequenza più alta; oppure l'opzione con la frequenza più alta;
– quadrato del momento del primo ordine;
– momento del secondo ordine.
Calcoliamo la dispersione utilizzando il metodo dei momenti sulla base dei dati relativi al rendimento del turno dei lavoratori della squadra.
Tabella 4 - Calcolo della varianza con il metodo dei momenti

Gruppi di addetti alla produzione, pz.	Numero di lavoratori	La metà dell'intervallo	Valori calcolati

Procedura di calcolo:

1. Calcoliamo la varianza:

2 Calcolo della varianza di una caratteristica alternativa

Tra le caratteristiche studiate dalla statistica ci sono anche quelle che hanno solo due significati mutuamente esclusivi. Questi sono segnali alternativi. Vengono assegnati rispettivamente due valori quantitativi: opzioni 1 e 0. La frequenza dell'opzione 1, indicata con p, è la proporzione di unità che possiedono questa caratteristica. La differenza 1-р=q è la frequenza delle opzioni 0. Pertanto,

xi

Media aritmetica del segno alternativo
, perché p+q=1.

Varianza dei tratti alternativi
, Perché 1-р=q
Pertanto, la varianza di una caratteristica alternativa è uguale al prodotto della proporzione di unità che possiedono questa caratteristica e della proporzione di unità che non possiedono questa caratteristica.
Se i valori 1 e 0 si verificano con la stessa frequenza, cioè p=q, la varianza raggiunge il suo massimo pq=0,25.
La varianza di un attributo alternativo viene utilizzata nelle indagini campionarie, ad esempio, sulla qualità del prodotto.

3 Varianza tra gruppi. Regola di addizione della varianza

La dispersione, a differenza di altre caratteristiche di variazione, è una quantità additiva. Cioè, nel complesso, che è diviso in gruppi in base alle caratteristiche del fattore X , variazione della caratteristica risultante sì può essere scomposto nella varianza all'interno di ciascun gruppo (all'interno dei gruppi) e nella varianza tra gruppi (tra gruppi). Quindi, insieme allo studio della variazione di un tratto nell'intera popolazione, diventa possibile studiare la variazione in ciascun gruppo, così come tra questi gruppi.

Varianza totale misura la variazione di un tratto A nella sua interezza sotto l'influenza di tutti i fattori che hanno causato questa variazione (deviazioni). È uguale alla deviazione quadratica media dei singoli valori dell'attributo A dalla media generale e può essere calcolata come varianza semplice o ponderata.
Varianza intergruppo caratterizza la variazione del tratto risultante A causato dall’influenza del fattore-segno X, che ha costituito la base del raggruppamento. Caratterizza la variazione delle medie del gruppo ed è uguale al quadrato medio delle deviazioni delle medie del gruppo dalla media complessiva:
,
dov'è la media aritmetica dell'i-esimo gruppo;
– numero di unità dell'i-esimo gruppo (frequenza dell'i-esimo gruppo);
– la media complessiva della popolazione.
Varianza all'interno del gruppo riflette la variazione casuale, cioè quella parte della variazione che è causata dall'influenza di fattori non contabilizzati e non dipende dall'attributo del fattore che costituisce la base del raggruppamento. Caratterizza la variazione dei valori individuali rispetto alle medie del gruppo ed è uguale alla deviazione quadratica media dei valori individuali dell'attributo A all'interno di un gruppo dalla media aritmetica di questo gruppo (media del gruppo) e viene calcolata come varianza semplice o ponderata per ciascun gruppo:
O ,
dove è il numero di unità nel gruppo.
In base alle varianze all'interno del gruppo per ciascun gruppo, è possibile determinare media complessiva delle varianze all’interno del gruppo:
.
Viene chiamata la relazione tra le tre dispersioni regole per aggiungere varianze, secondo cui la varianza totale è pari alla somma della varianza tra gruppi e della media delle varianze intragruppo:

Esempio. Studiando l'influenza della categoria tariffaria (qualificazione) dei lavoratori sul livello di produttività del loro lavoro, sono stati ottenuti i seguenti dati.
Tabella 5 – Distribuzione dei lavoratori per produzione oraria media.

№ p/p	Lavoratori della 4a categoria				Lavoratori della 5a categoria
	Produzione lavoratore, pz.,				Produzione lavoratore, pz.,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

In questo esempio, i lavoratori sono divisi in due gruppi in base alle caratteristiche dei fattori X– qualifiche, caratterizzate dal loro grado. Il tratto risultante, la produzione, varia sia sotto la sua influenza (variazione intergruppo) sia a causa di altri fattori casuali (variazione intragruppo). L'obiettivo è misurare queste variazioni utilizzando tre varianze: totale, tra gruppi e all'interno dei gruppi. Il coefficiente empirico di determinazione mostra la proporzione di variazione nella caratteristica risultante A sotto l'influenza di un segno fattoriale X. Resto della variazione totale A causato da cambiamenti in altri fattori.
Nell’esempio, il coefficiente empirico di determinazione è:
o 66,7%,
Ciò significa che il 66,7% della variazione della produttività dei lavoratori è dovuta a differenze nelle qualifiche e il 33,3% è dovuto all'influenza di altri fattori.
Relazione di correlazione empirica mostra la stretta connessione tra raggruppamento e caratteristiche prestazionali. Calcolato come radice quadrata del coefficiente empirico di determinazione:

Il rapporto di correlazione empirico, come , può assumere valori da 0 a 1.
Se non c'è connessione, allora =0. In questo caso =0, cioè le medie dei gruppi sono uguali tra loro e non c'è variazione intergruppo. Ciò significa che il fattore caratteristica di raggruppamento non influenza la formazione della variazione generale.
Se la connessione è funzionante, allora =1. In questo caso, la varianza delle medie del gruppo è uguale alla varianza totale (), ovvero non vi è alcuna variazione all'interno del gruppo. Ciò significa che la caratteristica del raggruppamento determina completamente la variazione della caratteristica risultante studiata.
Quanto più il valore del rapporto di correlazione è vicino all'unità, tanto più vicino, più vicino alla dipendenza funzionale, è la connessione tra le caratteristiche.
Per valutare qualitativamente la vicinanza della connessione tra le caratteristiche, vengono utilizzate le relazioni di Chaddock.

Nell'esempio , che indica una stretta connessione tra la produttività dei lavoratori e le loro qualifiche.

Metodi di calcolo della media aritmetica (media aritmetica semplice e ponderata, utilizzando il metodo dei momenti)

Determiniamo i valori medi:

Modalità (Mo) =11, perché questa opzione si verifica più spesso nelle serie di variazioni (p = 6).

Mediana (Me) - il numero seriale della variante che occupa la posizione centrale = 23, questo posto nella serie di varianti è occupato dalla variante uguale a 11. La media aritmetica (M) consente di caratterizzare in modo più completo il livello medio della tratto studiato. Per calcolare la media aritmetica si utilizzano due metodi: il metodo della media aritmetica e il metodo dei momenti.

Se la frequenza di occorrenza di ciascuna opzione nella serie di variazioni è pari a 1, allora la media aritmetica semplice viene calcolata utilizzando il metodo della media aritmetica: M = .

Se la frequenza con cui si verifica una variante in una serie di variazioni è diversa da 1, la media aritmetica ponderata viene calcolata utilizzando il metodo della media aritmetica:

Secondo il metodo dei momenti: A - media condizionale,

M = LA + =11 += 10.4 d=V-A, LA=Mo=11

Se il numero di opzioni nella serie di varianti è superiore a 30, viene costruita una serie raggruppata. Costruzione di una serie raggruppata:

1) determinazione di Vmin e Vmax Vmin=3, Vmax=20;

2) determinazione del numero di gruppi (secondo tabella);

3) calcolo dell'intervallo tra i gruppi io = 3;

4) determinare l'inizio e la fine dei gruppi;

5) determinazione della frequenza della variante di ciascun gruppo (Tabella 2).

Tavolo 2

Metodologia per la costruzione di una serie raggruppata

Durata trattamento in giorni
n=45 p=480 p=30 2 p=766

Il vantaggio di una serie di variazioni raggruppate è che il ricercatore non lavora con tutte le opzioni, ma solo con le opzioni che rappresentano la media per ciascun gruppo. Ciò semplifica notevolmente il calcolo della media.

Il valore di una particolare caratteristica non è lo stesso per tutti i membri della popolazione, nonostante la sua relativa omogeneità. Questa caratteristica della popolazione statistica è caratterizzata da una delle proprietà di gruppo della popolazione generale: diversità dei tratti. Ad esempio, prendiamo un gruppo di ragazzi di 12 anni e misuriamo la loro altezza. Dopo i calcoli, il livello medio di questo tratto sarà di 153 cm. Ma la media caratterizza la misura generale del tratto studiato. Tra i ragazzi di una data età, ci sono ragazzi la cui altezza è 165 cm o 141 cm. Quanto più i ragazzi hanno un'altezza diversa da 153 cm, maggiore è la diversità di questa caratteristica nella popolazione statistica.

Le statistiche ci permettono di caratterizzare questa proprietà secondo i seguenti criteri:

limite (lim),

ampiezza (Amp),

deviazione standard ( sì) ,

coefficiente di variazione (Cv).

Limite determinato dai valori estremi della variante nella serie di variazioni:

lim=Vmin /Vmax

Ampiezza (Amp) - differenza tra opzioni estreme:

Amp=Vmax -Vmin

Questi valori tengono conto solo della diversità delle varianti estreme e non consentono di ottenere informazioni sulla diversità di un tratto nell'aggregato, tenendo conto della sua struttura interna. Pertanto, questi criteri possono essere utilizzati per approssimare le caratteristiche della diversità, soprattutto con un numero limitato di osservazioni (n<30).

statistiche mediche delle serie di variazioni

A – media condizionale (ripetuta più spesso di altre nella serie di variazioni)

a – deviazione condizionale dalla media condizionale (rango)

io – intervallo

Fase 1: determinare la metà dei gironi;

Fase 2 – classifica dei gruppi: 0 viene assegnato al gruppo in cui la frequenza di occorrenza della variante è più alta. Quelli. in questo caso 7-11 (frequenza -32). La classificazione verso l'alto da un dato gruppo viene effettuata aggiungendo (-1). Giù – aumenta (+1).

Fase 3 – determinazione della modalità condizionale (media condizionata). A è la metà dell'intervallo modale. Nel nostro caso l'intervallo modale è 7 -11, quindi A = 9.

Fase 4: determinazione dell'intervallo. L'intervallo in tutti i gruppi della serie è lo stesso e uguale a 5. i = 5/

Fase 5 – determinazione del numero totale di osservazioni. n = ∑p = 103.

Sostituiamo i dati ottenuti nella formula:

Compiti per lavoro indipendente

Utilizzando i dati delle serie di variazioni raggruppate, calcolare la media aritmetica utilizzando il metodo dei momenti.

Opzione 1

Opzione n. 2

Opzione n. 3

Opzione n. 4

Opzione n.5

Opzione n.6

Opzione n. 7

Opzione n. 8

Opzione n. 9

Opzione n. 10

Opzione n. 11

Opzione n. 12

Compito n. 4 Determinazione della moda e della mediana in una serie di variazioni non raggruppate con un numero dispari di opzioni

Durata del trattamento ospedaliero dei bambini malati in giorni: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Per determinare la moda in una serie di variazioni, non è necessario classificare la serie. Tuttavia, prima di determinare la mediana, è necessario disporre le serie di variazioni in ordine crescente o decrescente.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Modalità = 16. Perché l'opzione 16 si verifica il maggior numero di volte (3 volte).

Se ci sono più varianti con la più alta frequenza di occorrenza, allora nella serie di variazioni possono essere indicati due o più Modi.

La mediana in una serie con un numero dispari è determinata dalla formula:

8 è il numero di serie della mediana nella serie di variazioni classificate,

Quello. Io = 17.

Compito n. 5 Determinazione della moda e della mediana in una serie di variazioni non raggruppate con un numero pari di opzioni.

Sulla base dei dati forniti nell'attività, è necessario trovare la modalità e la mediana

Durata del trattamento ospedaliero dei bambini malati in giorni: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Costruiamo una serie di varianti classificate:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

Abbiamo due numeri mediani 16 e 17. In questo caso, la mediana si trova come media aritmetica tra di loro. Io = 16,5.

4. Pari e dispari.

Nelle serie a variazioni pari, la somma delle frequenze o il numero totale di osservazioni è espressa da un numero pari, in quelle dispari da un numero dispari.

5. Simmetrico e asimmetrico.

In una serie di variazioni simmetriche, tutti i tipi di valori medi coincidono o sono molto vicini (modalità, mediana, media aritmetica).

A seconda della natura dei fenomeni studiati, dei compiti e degli obiettivi specifici della ricerca statistica, nonché del contenuto del materiale sorgente, nelle statistiche sanitarie Vengono utilizzati i seguenti tipi di medie:

· medie strutturali (modalità, mediana);

· significato aritmetico;

· media armonica;

· media geometrica;

· medio progressivo.

Moda (M o) - il valore di una caratteristica variabile, che si riscontra più spesso nella popolazione studiata, ad es. opzione corrispondente alla frequenza più alta. Lo trovano direttamente dalla struttura della serie di variazioni, senza ricorrere ad alcun calcolo. Solitamente è un valore molto vicino alla media aritmetica ed è molto conveniente nella pratica.

Mediana (M e) - dividere la serie di variazione (classificata, ovvero i valori dell'opzione sono disposti in ordine crescente o decrescente) in due metà uguali. La mediana viene calcolata utilizzando la cosiddetta serie dispari, ottenuta dalla somma sequenziale delle frequenze. Se la somma delle frequenze corrisponde ad un numero pari, allora si prende convenzionalmente come mediana la media aritmetica dei due valori medi.

La moda e la mediana vengono utilizzate nel caso di una popolazione aperta, ovvero quando le opzioni più grandi o più piccole non hanno una caratteristica quantitativa esatta (ad esempio, fino a 15 anni, 50 e oltre, ecc.). In questo caso non è possibile calcolare la media aritmetica (caratteristiche parametriche).

Media Sono aritmetico - il valore più comune. La media aritmetica è spesso indicata con M.

Esistono medie aritmetiche semplici e ponderate.

Media aritmetica semplice calcolato:

- nei casi in cui la popolazione è rappresentata da un semplice elenco di conoscenze di una caratteristica per ciascuna unità;

- se non è possibile determinare il numero di ripetizioni di ciascuna opzione;

- se il numero di ripetizioni di ciascuna opzione è vicino l'uno all'altro.

La media aritmetica semplice si calcola utilizzando la formula:

dove V - valori individuali della caratteristica; n - numero di valori individuali; - segno di sommatoria.

Pertanto, la media semplice è il rapporto tra la somma delle varianti e il numero di osservazioni.

Esempio: determinare la durata media della degenza in un letto per 10 pazienti con polmonite:

16 giorni - 1 paziente; 17–1; 18-1; 19–1; 20-1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

andare a letto

Media aritmetica ponderata viene calcolato nei casi in cui i singoli valori di una caratteristica vengono ripetuti. Può essere calcolato in due modi:

1. Direttamente (media aritmetica o metodo diretto) secondo la formula:

dove P è la frequenza (numero di casi) delle osservazioni di ciascuna opzione.

Pertanto, la media aritmetica ponderata è il rapporto tra la somma dei prodotti di variante e frequenza e il numero di osservazioni.

2. Calcolando le deviazioni dalla media condizionale (utilizzando il metodo dei momenti).

La base per il calcolo della media aritmetica ponderata è:

― materiale raggruppato secondo varianti di una caratteristica quantitativa;

— tutte le opzioni devono essere disposte in ordine crescente o decrescente in base al valore dell'attributo (serie classificate).

Per calcolare utilizzando il metodo del momento, un prerequisito è che tutti gli intervalli abbiano la stessa dimensione.

Utilizzando il metodo dei momenti, la media aritmetica si calcola utilizzando la formula:

,

dove M o è la media condizionata, che spesso viene considerata il valore della caratteristica corrispondente alla frequenza più alta, cioè che si ripete più spesso (Moda).

i è il valore dell'intervallo.

a è una deviazione condizionale dalle condizioni della media, che è una serie sequenziale di numeri (1, 2, ecc.) con un segno + per varianti di grandi medie condizionali e con un segno – (–1, –2, ecc. .) per le varianti che sono al di sotto della media convenzionale. La deviazione condizionale dalla variante presa come media condizionale è 0.

P - frequenze.

Numero totale di osservazioni o n.

Esempio: determinare direttamente l'altezza media dei ragazzi di 8 anni (Tabella 1).

Tabella 1

Altezza cm	ragazzi p	Centrale opzione V

L'opzione centrale - la metà dell'intervallo - è definita come la semisomma dei valori iniziali di due gruppi vicini:

; eccetera.

Il prodotto VP si ottiene moltiplicando le varianti centrali per le frequenze; eccetera. Quindi i prodotti risultanti vengono aggiunti e ottenuti , che viene diviso per il numero di osservazioni (100) e si ottiene una media aritmetica ponderata.

cm.

Risolveremo lo stesso problema utilizzando il metodo dei momenti, per il quale viene compilata la seguente tabella 2:

Tavolo 2

Altezza in cm (V)	ragazzi p

Prendiamo 122 come M o, perché su 100 osservazioni, 33 persone avevano un'altezza di 122 cm. Troviamo deviazioni condizionali (a) dalla media condizionale in conformità con quanto sopra. Quindi otteniamo il prodotto delle deviazioni condizionali e delle frequenze (aP) e sommiamo i valori ottenuti (). Il risultato è 17. Infine, sostituiamo i dati nella formula.