Angoli corrispondenti. Segni di parallelismo di due rette

Domanda 1. Quali angoli si dicono adiacenti?
Risposta. Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune, e gli altri lati di questi angoli sono semirette complementari.
Nella Figura 31, gli angoli (a 1 b) e (a 2 b) sono adiacenti. Hanno il lato b in comune e i lati a 1 e a 2 sono semirette aggiuntive.

Domanda 2. Dimostrare che la somma degli angoli adiacenti è 180°.
Risposta. Teorema 2.1. La somma degli angoli adiacenti è 180°.
Prova. Siano dati l'angolo (a 1 b) e l'angolo (a 2 b) come angoli adiacenti (vedi Fig. 31). Il raggio b passa tra i lati a 1 e a 2 di un angolo piatto. Pertanto la somma degli angoli (a 1 b) e (a 2 b) è uguale all'angolo spiegato, cioè 180°. Q.E.D.

Domanda 3. Dimostrare che se due angoli sono uguali allora anche i loro angoli adiacenti sono uguali.
Risposta.

Dal teorema 2.1 Ne consegue che se due angoli sono uguali, anche i loro angoli adiacenti sono uguali.
Diciamo che gli angoli (a 1 b) e (c 1 d) sono uguali. Dobbiamo dimostrare che anche gli angoli (a 2 b) e (c 2 d) sono uguali.
La somma degli angoli adiacenti è 180°. Ne consegue che a 1 b + a 2 b = 180° e c 1 d + c 2 d = 180°. Quindi a 2 b = 180° - a 1 b e c 2 d = 180° - c 1 d. Poiché gli angoli (a 1 b) e (c 1 d) sono uguali, otteniamo che a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Per la proprietà di transitività del segno uguale segue che a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Domanda 4. Quale angolo è chiamato retto (acuto, ottuso)?
Risposta. Un angolo pari a 90° si chiama angolo retto.
Un angolo inferiore a 90° è detto angolo acuto.
Un angolo maggiore di 90° e minore di 180° si dice ottuso.

Domanda 5. Dimostrare che un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.
Risposta. Dal teorema sulla somma degli angoli adiacenti segue che un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Domanda 6. Quali angoli sono detti verticali?
Risposta. Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono semirette complementari dei lati dell'altro.

Domanda 7. Dimostrare che gli angoli verticali sono uguali.
Risposta. Teorema 2.2. Gli angoli verticali sono uguali.
Prova. Siano (a 1 b 1) e (a 2 b 2) gli angoli verticali dati (Fig. 34). L'angolo (a 1 b 2) è adiacente all'angolo (a 1 b 1) e all'angolo (a 2 b 2). Da qui, utilizzando il teorema sulla somma degli angoli adiacenti, concludiamo che ciascuno degli angoli (a 1 b 1) e (a 2 b 2) completa l'angolo (a 1 b 2) a 180°, cioè gli angoli (a 1 b 1) e (a 2 b 2) sono uguali. Q.E.D.

Domanda 8. Dimostrare che se, quando due rette si intersecano, uno degli angoli è retto, allora anche gli altri tre angoli sono retti.
Risposta. Supponiamo che le linee AB e CD si intersechino nel punto O. Supponiamo che l'angolo AOD sia 90°. Poiché la somma degli angoli adiacenti è 180°, otteniamo che AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. L'angolo COB è verticale rispetto all'angolo AOD, quindi sono uguali. Cioè, angolo COB = 90°. L'angolo COA è verticale rispetto all'angolo BOD, quindi sono uguali. Cioè, l'angolo BOD = 90°. Pertanto tutti gli angoli sono uguali a 90°, cioè sono tutti retti. Q.E.D.

Domanda 9. Quali rette si chiamano perpendicolari? Quale segno viene utilizzato per indicare la perpendicolarità delle linee?
Risposta. Due rette si dicono perpendicolari se si intersecano ad angolo retto.
La perpendicolarità delle linee è indicata dal segno \(\perp\). La voce \(a\perp b\) recita: "La linea a è perpendicolare alla linea b."

Domanda 10. Dimostrare che attraverso qualsiasi punto di una retta si può tracciare una retta perpendicolare ad essa, e solo una.
Risposta. Teorema 2.3. Attraverso ogni linea puoi tracciare una linea perpendicolare ad essa, e solo una.
Prova. Sia a una retta data e A un punto dato su di essa. Indichiamo con a 1 una delle semirette della retta a con punto iniziale A (Fig. 38). Sottraiamo un angolo (a 1 b 1) pari a 90° dalla semiretta a 1. Allora la retta contenente il raggio b 1 sarà perpendicolare alla retta a.

Supponiamo che esista un'altra retta, anch'essa passante per il punto A e perpendicolare alla retta a. Indichiamo con c 1 la semiretta di questa linea giacente nello stesso semipiano del raggio b 1 .
Gli angoli (a 1 b 1) e (a 1 c 1), ciascuno pari a 90°, sono disposti in un semipiano dalla semiretta a 1. Ma dalla semiretta a 1 in un dato semipiano si può mettere un solo angolo pari a 90°. Pertanto non può esistere un'altra retta passante per il punto A e perpendicolare alla retta a. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 11. Cosa è perpendicolare ad una retta?
Risposta. Una perpendicolare ad una data linea è un segmento di una linea perpendicolare ad una data linea, che ha una delle sue estremità nel punto di intersezione. Questa estremità del segmento viene chiamata base perpendicolare.

Domanda 12. Spiegare in cosa consiste la prova per assurdo.
Risposta. Il metodo di dimostrazione utilizzato nel Teorema 2.3 è detto dimostrazione per contraddizione. Questo metodo di dimostrazione consiste nel fare innanzitutto un'ipotesi opposta a quanto afferma il teorema. Quindi, ragionando, basandosi su assiomi e teoremi dimostrati, arriviamo a una conclusione che contraddice le condizioni del teorema, o uno degli assiomi, o un teorema precedentemente dimostrato. Su questa base concludiamo che la nostra ipotesi era errata e quindi l'enunciato del teorema è vero.

Domanda 13. Qual è la bisettrice di un angolo?
Risposta. La bisettrice di un angolo è un raggio che parte dal vertice dell'angolo, passa tra i suoi lati e divide l'angolo a metà.

Segni di parallelismo di due rette

Teorema 1. Se, quando due linee si intersecano con una secante:

gli angoli incrociati sono uguali, o

gli angoli corrispondenti sono uguali, o

la somma degli angoli unilaterali è quindi 180°

le linee sono parallele(Fig. 1).

Prova. Ci limitiamo a dimostrare il caso 1.

Le rette che si intersecano a e b siano trasversali e gli angoli AB siano uguali. Ad esempio, ∠ 4 = ∠ 6. Dimostriamo che a || B.

Supponiamo che le linee a e b non siano parallele. Poi si intersecano in un punto M e, quindi, uno degli angoli 4 o 6 sarà l'angolo esterno del triangolo ABM. Per chiarezza, sia ∠ 4 l'angolo esterno del triangolo ABM, e ∠ 6 quello interno. Dal teorema sull'angolo esterno di un triangolo segue che ∠ 4 è maggiore di ∠ 6, e questo contraddice la condizione, il che significa che le rette a e 6 non possono intersecarsi, quindi sono parallele.

Corollario 1. Due rette diverse su un piano perpendicolare alla stessa retta sono parallele(Fig. 2).

Commento. Il modo in cui abbiamo appena dimostrato il caso 1 del Teorema 1 è chiamato metodo di dimostrazione per contraddizione o riduzione all'assurdo. Questo metodo ha ricevuto il suo nome perché all'inizio dell'argomentazione si fa un presupposto contrario a ciò che deve essere dimostrato. Si chiama portare all'assurdo per il fatto che, ragionando sulla base del presupposto fatto, si arriva ad una conclusione assurda (all'assurdo). Ricevere una simile conclusione ci costringe a rifiutare l'ipotesi fatta all'inizio e ad accettare quella che doveva essere dimostrata.

Compito 1. Costruisci una retta passante per un dato punto M e parallela ad una data retta a, non passante per il punto M.

Soluzione. Tracciamo una linea retta p attraverso il punto M perpendicolare alla linea retta a (Fig. 3).

Quindi tracciamo una linea b passante per il punto M perpendicolare alla linea p. La linea b è parallela alla linea a secondo il corollario del Teorema 1.

Dal problema considerato consegue un’importante conclusione:
per un punto che non giace su una retta data è sempre possibile tracciare una retta parallela a quella data.

La proprietà principale delle rette parallele è la seguente.

Assioma delle rette parallele. Per un punto dato che non giace su una retta data passa una sola retta parallela a quella data.

Consideriamo alcune proprietà delle rette parallele che seguono da questo assioma.

1) Se una linea interseca una di due linee parallele, allora interseca anche l'altra (Fig. 4).

2) Se due linee diverse sono parallele ad una terza linea, allora sono parallele (Fig. 5).

Vale anche il seguente teorema.

Teorema 2. Se due rette parallele sono intersecate da una trasversale, allora:

gli angoli trasversali sono uguali;

gli angoli corrispondenti sono uguali;

la somma degli angoli unilaterali è 180°.

Corollario 2. Se una retta è perpendicolare ad una delle due rette parallele allora è perpendicolare anche all'altra(vedi Fig. 2).

Commento. Il Teorema 2 è chiamato l'inverso del Teorema 1. La conclusione del Teorema 1 è la condizione del Teorema 2. E la condizione del Teorema 1 è la conclusione del Teorema 2. Non tutti i teoremi hanno un inverso, cioè se un dato teorema è vero, allora il teorema inverso potrebbe essere falso.

Spieghiamolo usando l'esempio del teorema sugli angoli verticali. Questo teorema può essere formulato come segue: se due angoli sono verticali, allora sono uguali. Il teorema inverso sarebbe: se due angoli sono uguali, allora sono verticali. E questo, ovviamente, non è vero. Due angoli uguali non devono essere verticali.

Esempio 1. Due rette parallele sono intersecate da una terza. È noto che la differenza tra due angoli interni unilaterali è 30°. Trova questi angoli.

Soluzione. Lascia che la Figura 6 soddisfi la condizione.

Lascia che la linea c intersechi le linee parallele a e b. Questo crea otto angoli. Gli angoli delle rette parallele e le trasversali sono usati così spesso nei problemi che in geometria vengono loro dati nomi speciali.

Angoli 1 e 3 - verticale. Ovviamente, gli angoli verticali sono uguali, questo è
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Naturalmente anche gli angoli 5 e 7, 6 e 8 sono verticali.

Angoli 1 e 2 - adiacente, lo sappiamo già. La somma degli angoli adiacenti è 180º.

Gli angoli 3 e 5 (così come 2 e 8, 1 e 7, 4 e 6) giacciono trasversalmente. Gli angoli incrociati sono uguali.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Angoli 1 e 6 - unilaterale. Si trovano su un lato dell'intera “struttura”. Anche gli angoli 4 e 7 sono unilaterali. La somma degli angoli unilaterali è 180°, questo è
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

Gli angoli 2 e 6 (così come 3 e 7, 1 e 5, 4 e 8) sono chiamati adeguata.

Gli angoli corrispondenti sono uguali, questo è
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Gli angoli 3 e 5 (così come 2 e 8, 1 e 7, 4 e 6) sono chiamati sdraiato trasversalmente.

Gli angoli incrociati sono uguali, questo è
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Per applicare tutti questi fatti nella risoluzione dei problemi dell'Esame di Stato Unificato, devi imparare a vederli nel disegno. Ad esempio, guardando un parallelogramma o un trapezio, puoi vedere una coppia di linee parallele e una secante, nonché angoli unilaterali. Disegnando la diagonale del parallelogramma vediamo gli angoli che giacciono trasversalmente. Questo è uno dei passaggi che costituisce la soluzione.

1. La bisettrice di un angolo ottuso di un parallelogramma divide il lato opposto nel rapporto 3:4, contando dal vertice dell'angolo ottuso. Trova il lato più lungo di un parallelogramma se il suo perimetro è 88.

Ricordiamo che la bisettrice di un angolo è un raggio che emerge dal vertice dell'angolo e divide l'angolo a metà.

Sia BM la bisettrice dell'angolo ottuso B. Per condizione, i segmenti MD e AB sono uguali rispettivamente a 3x e 4x.

Consideriamo gli angoli CBM e BMA. Poiché AD e BC sono paralleli, BM è secante, gli angoli CBM e BMA sono trasversali. Sappiamo che gli angoli opposti sono uguali. Ciò significa che il triangolo ABM è isoscele, quindi AB = AM = 4x.

Il perimetro di un parallelogramma è la somma di tutti i suoi lati, cioè
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Quindi x = 4, 7x = 28.

2. La diagonale di un parallelogramma forma con i suoi due lati angoli di 26º e 34º. Trova l'angolo maggiore del parallelogramma. Dai la tua risposta in gradi.

Disegna un parallelogramma e la sua diagonale. Notando gli angoli incrociati e gli angoli unilaterali nel disegno, puoi facilmente ottenere la risposta: 120º.

3. Qual è l'angolo maggiore di un trapezio isoscele se si sa che la differenza tra gli angoli opposti è 50º? Dai la tua risposta in gradi.

Lo sappiamo isoscele(o isoscele) è un trapezio i cui lati sono uguali. Pertanto gli angoli alla base superiore sono uguali, così come gli angoli alla base inferiore.

Diamo un'occhiata al disegno. Secondo la condizione α - β = 50°, cioè α = β + 50°.

Gli angoli α e β sono unilaterali con linee parallele e trasversali, quindi,
α+β = 180°.

Quindi 2β + 50° = 180°
β = 65°, quindi α = 115°.

Risposta: 115.

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