כלים
המדע החוקר כמויות, קשרים כמותיים וצורות מרחביות. מתמטיקה היא קבוצה של מדעים שחוקרים כמויות, קשרים כמותיים ומדע החוקר כמויות, קשרים כמותיים וצורות מרחביות

המדע החוקר כמויות, קשרים כמותיים וצורות מרחביות. מתמטיקה היא קבוצה של מדעים שחוקרים כמויות, קשרים כמותיים ומדע החוקר כמויות, קשרים כמותיים וצורות מרחביות

מתמטיקה - מדע היחסים הכמותיים והצורות המרחביות של העולם האמיתי; המילה היוונית (מתמטיקה) באה מהמילה היוונית (מתמה), שמשמעותה "ידע", "מדע".

מתמטיקה נוצרה בימי קדם מהצרכים המעשיים של אנשים. תוכנו ואופיו השתנו במהלך ההיסטוריה וממשיכים להשתנות כעת. ממושגי הנושא הראשוניים של מספר שלם חיובי, כמו גם מהמושג של קטע קו ישר כמרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות, עברה המתמטיקה נתיב התפתחות ארוך לפני שהפכה למדע מופשט עם שיטות מחקר ספציפיות.

ההבנה המודרנית של צורות מרחביות היא רחבה מאוד. הוא כולל, לצד אובייקטים גיאומטריים של מרחב תלת-ממדי (קו ישר, עיגול, משולש, חרוט, גליל, כדור וכו'), גם הכללות רבות - המושגים של מרחב רב-ממדי ואינסופי-ממדי, כמו גם אובייקטים גיאומטריים ב אותם, ועוד הרבה יותר. באותו אופן, יחסים כמותיים מתבטאים כעת לא רק על ידי מספרים שלמים חיוביים או מספרים רציונליים, אלא גם באמצעות מספרים מרוכבים, וקטורים, פונקציותועוד. התפתחות המדע והטכנולוגיה מאלצת את המתמטיקה להרחיב ללא הרף את רעיונותיה לגבי צורות מרחביות ויחסים כמותיים.

מושגי המתמטיקה מופשטים מתופעות ואובייקטים ספציפיים; הם מתקבלים כתוצאה מהפשטה ממאפיינים איכותיים ספציפיים לטווח נתון של תופעות ואובייקטים. נסיבות אלו חשובות ביותר עבור יישומי מתמטיקה. המספר 2 אינו קשור קשר בל יינתק לתוכן נושא ספציפי כלשהו. זה יכול להתייחס לשני תפוחים, או שני ספרים, או שתי מחשבות. הוא מתייחס לכל אלה ולאינספור חפצים אחרים באותה מידה. כמו כן, התכונות הגיאומטריות של כדור אינן משתנות מכיוון שהוא עשוי מזכוכית, פלדה או סטארין. מובן שהפשטה מתכונותיו של חפץ מרוששת את הידע שלנו על חפץ זה, על תכונות החומר האופייניות לו. יחד עם זאת, דווקא ההפשטה הזו מהתכונות המיוחדות של עצמים בודדים היא שמעניקה כלליות למושגים ומאפשרת ליישם את המתמטיקה על התופעות המגוונות ביותר של הטבע החומרי. לפיכך, את אותם חוקי המתמטיקה, אותו מנגנון מתמטי ניתן ליישם בצורה מספקת למדי לתיאור תופעות טבע, טכניות, כמו גם תהליכים כלכליים וחברתיים.

המופשטות של מושגים אינה מאפיין בלעדי של המתמטיקה; כל מושג מדעי וכללי מכיל אלמנט של הפשטה מתכונותיהם של דברים ספציפיים. אבל במתמטיקה תהליך ההפשטה הולך רחוק יותר מאשר במדעי הטבע; במתמטיקה נעשה שימוש נרחב בתהליך בניית הפשטות ברמות שונות. כן, הקונספט קבוצותנוצר על ידי הפשטה ממאפיינים מסוימים של אוסף המספרים ומושגים מופשטים אחרים. המתמטיקה מאופיינת גם בשיטת השגת תוצאותיה. אם מדען טבע נעזר כל הזמן בניסיון כדי להוכיח את עמדותיו, אז מתמטיקאי מוכיח את תוצאותיו רק באמצעות חשיבה לוגית. במתמטיקה, אף תוצאה אחת לא יכולה להיחשב מוכחת עד שהיא זקוקה להוכחה לוגית, וזאת גם אם ניסויים מיוחדים מספקים אישור לתוצאה זו. יחד עם זאת, אמיתותן של תיאוריות מתמטיות נבדקת גם על ידי הפרקטיקה, אך מבחן זה הוא בעל אופי מיוחד: מושגי היסוד של המתמטיקה נוצרים כתוצאה מהתגבשותם ארוכת הטווח מהצרכים המיוחדים של התרגול; כללי ההיגיון עצמם פותחו רק לאחר אלפי שנים של התבוננות בזרימת התהליכים בטבע; ניסוח משפטים וניסוח בעיות במתמטיקה נובעים גם מצורכי התרגול. המתמטיקה נבעה מצרכים מעשיים, והקשרים שלה עם התרגול נעשו מגוונים ועמוקים יותר ויותר עם הזמן.

באופן עקרוני, ניתן ליישם מתמטיקה לחקר כל סוג של תנועה, מגוון רחב של תופעות. למעשה, תפקידו בתחומי פעילות מדעיים ומעשיים שונים אינו זהה. תפקידה של המתמטיקה גדול במיוחד בפיתוח הפיזיקה המודרנית, הכימיה, תחומי טכנולוגיה רבים, ובכלל בחקר התופעות שבהן אפילו הפשטה משמעותית מהתכונות האיכותיות הספציפיות שלהן מאפשרת לתפוס בצורה מדויקת למדי את הכמותית והמרחבית. דפוסים הטבועים בהם. לדוגמה, המחקר המתמטי של תנועתם של גרמי השמיים, המבוסס על הפשטות משמעותיות מתכונותיהם האמיתיות (גופים, למשל, נחשבים לנקודות חומריות), הוביל ומוביל לצירוף מקרים מצוין עם תנועתם האמיתית. על בסיס זה, ניתן לא רק לחשב מראש תופעות שמימיות (ליקוי חמה, מיקומי כוכבי לכת וכו'), אלא גם לחזות את קיומם של כוכבי לכת שלא נצפו קודם לכן על סמך סטיות של תנועות אמיתיות מאלה המחושבות (פלוטו). התגלה בדרך זו ב-1930, נפטון ב-1846). מקום קטן יותר, אך עדיין משמעותי, תופסת מתמטיקה במדעים כמו כלכלה, ביולוגיה ורפואה. הייחודיות האיכותית של התופעות הנחקרות במדעים אלה היא כה גדולה ומשפיעה בצורה כה חזקה על אופי הזרימה שלהן, עד שניתוח מתמטי עדיין יכול לשחק תפקיד כפוף בלבד. יש חשיבות מיוחדת עבור מדעי החברה והביולוגיה סטטיסטיקה מתמטית.גם המתמטיקה עצמה מתפתחת בהשפעת הדרישות של מדעי הטבע, הטכנולוגיה והכלכלה. בשנים האחרונות צצו מספר דיסציפלינות מתמטיות שצמחו על בסיס צרכים מעשיים: תורת המידע, תורת המשחקיםוכו.

ברור שהמעבר משלב ידע אחד של תופעות לשלב הבא, המדויק יותר, מציב דרישות חדשות למתמטיקה ומוביל ליצירת מושגים חדשים ושיטות מחקר חדשות. לפיכך, דרישות האסטרונומיה, שעברו מידע תיאורי גרידא לידע מדויק, הובילו לפיתוח מושגי יסוד. טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה: במאה ה-2 לפני הספירה המדען היווני הקדום היפרכוס הרכיב טבלאות של אקורדים התואמים לטבלאות סינוסים מודרניות; מדענים יוונים עתיקים במאה ה-1 מנלאוס ובמאה ה-2 קלאודיוס תלמי יצרו את היסודות טריגונומטריה כדורית.התעניינות מוגברת בחקר התנועה, שנוצרה בעקבות התפתחות הייצור, הניווט, הארטילריה וכו', הביאה במאה ה-17 ליצירת המושגים ניתוח מתמטי, פיתוח מתמטיקה חדשה. ההקדמה הנרחבת של שיטות מתמטיות בחקר תופעות טבע (בעיקר אסטרונומיות ופיזיקליות) והתפתחות הטכנולוגיה (בעיקר הנדסת מכונות) הביאו במאות ה-18 וה-19 להתפתחות המהירה של מכניקה ותיאוריה תיאורטית. משוואות דיפרנציאליות.התפתחות רעיונות לגבי המבנה המולקולרי של החומר גרמה להתפתחות מהירה תאוריית ההסתברות. נכון לעכשיו, אנו יכולים לעקוב אחר הופעתם של תחומים חדשים של מחקר מתמטי באמצעות דוגמאות רבות. יש להכיר בהצלחות כמשמעותיות במיוחד מתמטיקה חישובית וטכנולוגיית המחשב והתמורות שהם מייצרים בענפים רבים של המתמטיקה.

סקיצה היסטורית. בהיסטוריה של המתמטיקה ניתן לזהות ארבע תקופות עם הבדלים איכותיים משמעותיים. קשה לחלק את התקופות הללו במדויק, מכיוון שכל אחת מהן התפתחה בתוך הקודמת ולכן היו שלבי מעבר משמעותיים למדי כאשר רעיונות חדשים רק צצו ועדיין לא הפכו למנחים לא במתמטיקה עצמה או ביישומיה.

1) תקופת הולדתה של המתמטיקה כדיסציפלינה מדעית עצמאית; תחילתה של תקופה זו אבודה במעמקי ההיסטוריה; זה נמשך עד כ-6-5 מאות לפני הספירה. ה.

2) תקופת המתמטיקה היסודית, מתמטיקה של כמויות קבועות; זה נמשך בערך עד סוף המאה ה-17, כאשר התפתחותה של מתמטיקה חדשה, "גבוהה" יותר, התקדמה די רחוק.

3) תקופה של מתמטיקה של משתנים; מאופיין ביצירה ופיתוח של ניתוח מתמטי, חקר תהליכים בתנועתם ובהתפתחותם.

4) תקופת המתמטיקה המודרנית; מאופיין במחקר מודע ושיטתי של סוגים אפשריים של קשרים כמותיים וצורות מרחביות. בגיאומטריה, לא רק מרחב תלת מימדי אמיתי נחקר, אלא גם צורות מרחביות הדומות לו. בניתוח מתמטי נחשבים משתנים התלויים לא רק בארגומנט מספרי, אלא גם בקו מסוים (פונקציה), המוביל למושגים. פונקציונליותו מַפעִיל. אַלגֶבּרָההפך לתיאוריה של פעולות אלגבריות על אלמנטים בעלי טבע שרירותי. אם רק ניתן היה לבצע בהם את הפעולות הללו. את תחילתה של תקופה זו ניתן לייחס באופן טבעי למחצית הראשונה של המאה ה-19.

בעולם העתיק, מידע מתמטי נכלל בתחילה כחלק בלתי נפרד מהידע של כמרים ופקידי ממשל. אספקת המידע הזה, כפי שניתן לשפוט מלוחות חימר בבל מפוענחים כבר ומצריים פפירוס מתמטי,היה גדול יחסית. ישנן עדויות כי אלף שנים לפני המדען היווני הקדום פיתגורס, במסופוטמיה לא זו בלבד שהתיאוריה של פיתגורס הייתה ידועה, אלא גם הבעיה של מציאת כל המשולשים הישרים עם צלעות שלמות נפתרה. עם זאת, הרוב המכריע של המסמכים של אז הם אוספים של כללים לביצוע פעולות חשבון פשוטות, כמו גם לחישוב שטחי הדמויות והנפחים של גופים. כמו כן נשמרו טבלאות שונות כדי להקל על חישובים אלו. בכל המדריכים, הכללים אינם מנוסחים, אלא מוסברים באמצעות דוגמאות תכופות. הפיכתה של המתמטיקה למדע רשמי עם שיטת בנייה מבוססת דדוקטיבית התרחשה ביוון העתיקה. שם, היצירתיות המתמטית הפסיקה להיות חסרת שם. מַעֲשִׂי אריתמטיקה וגיאומטריהביוון העתיקה הייתה רמת התפתחות גבוהה. ראשיתה של הגיאומטריה היוונית קשורה בשמו של תאלס ממילטוס (סוף המאה ה-7 לפנה"ס - תחילת המאה ה-6 לפנה"ס), שהביא ידע ראשוני ממצרים. בבית הספר של פיתגורס מסמוס (המאה ה-6 לפנה"ס), נחקרה חלוקת המספרים, סוכמו ההתקדמות הפשוטות ביותר, נחקרו מספרים מושלמים, הוכנסו בחשבון סוגים שונים של ממוצעים (ממוצע אריתמטי, ממוצע גיאומטרי, ממוצע הרמוני) , שוב נמצאו מספרים פיתגוריים (שלשות של מספרים שלמים, שיכולים להיות צלעות של משולש ישר זווית). במאות ה-5-6 לפני הספירה. התעוררו בעיות מפורסמות של העת העתיקה - ריבוע מעגל, חיתוך משולש של זווית, הכפלת קובייה ונבנו המספרים האי-רציונליים הראשונים. ספר הלימוד השיטתי הראשון בגיאומטריה מיוחס להיפוקרטס מכיוס (המחצית השנייה של המאה החמישית לפני הספירה). ההצלחה המשמעותית של האסכולה האפלטונית הקשורה בניסיונות להסביר באופן רציונלי את מבנה החומר ביקום, החיפוש אחר כל הפוליהדרות הרגילות, מתוארכת לתקופה זו. על גבול המאות ה-5 וה-4 לפני הספירה. דמוקריטוס, המבוסס על מושגים אטומיים, הציע שיטה לקביעת נפחי הגופים. שיטה זו יכולה להיחשב אב טיפוס של השיטה האינפיניטסימלית. במאה ה-4 לפני הספירה. יודוקסוס מקנידוס פיתח את תורת הפרופורציות. המאה ה-3 לפני הספירה מאופיינת בעוצמה הגדולה ביותר של יצירתיות מתמטית. (המאה הראשונה של מה שנקרא עידן אלכסנדריה). במאה ה-3 לפני הספירה. מתמטיקאים כמו אוקלידס, ארכימדס, אפולוניוס מפרגה, ארטוסתנס עבדו; מאוחר יותר – אנפה (המאה הראשונה לספירה) דיופנטוס (המאה השלישית). באלמנטים שלו, אוקלידס אסף והעביר לעיבוד לוגי סופי את ההישגים בתחום הגיאומטריה; במקביל, הוא הניח את היסודות של תורת המספרים. ההישג העיקרי של ארכימדס בגיאומטריה היה קביעת אזורים ונפחים שונים. דיופנטוס חקר בעיקר את פתרון המשוואות במספרים חיוביים רציונליים. מסוף המאה ה-3 החלה דעיכת המתמטיקה היוונית.

המתמטיקה השיגה התפתחות משמעותית בסין והודו העתיקה. מתמטיקאים סינים מאופיינים בטכניקה גבוהה לביצוע חישובים ועניין בפיתוח שיטות אלגבריות כלליות. במאות ה-2-1 לפני הספירה. "מתמטיקאים בתשעה ספרים" נכתב. הוא מכיל את אותן טכניקות לחילוץ שורשים מרובעים המוצגות בבית הספר המודרני: שיטות לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות, ניסוח אריתמטי של משפט פיתגורס.

למתמטיקה ההודית, שימי הזוהר שלה מתוארכים למאות ה-5-12, מיוחסת את השימוש במספור עשרוני מודרני, כמו גם באפס כדי לציין את היעדר יחידות בדרגה נתונה, ואת הכשרון של התפתחות רחבה הרבה יותר של אלגברה מזו של דיופנטוס, הפועלת לא רק עם מספרים רציונליים חיוביים, אלא גם עם מספרים שליליים ואי-רציונליים.

הכיבושים הערביים הובילו לכך שממרכז אסיה ועד חצי האי האיברי השתמשו מדענים בשפה הערבית במהלך המאות ה-9-15. במאה ה-9, המדען המרכז אסיה אל-חורזמי הציג לראשונה את האלגברה כמדע עצמאי. במהלך תקופה זו, בעיות גיאומטריות רבות קיבלו ניסוח אלגברי. אל-בטאני הסורי הציג את הפונקציות הטריגונומטריות סינוס, טנגנס וקוטנגנטי. המדען סמרקנד אל-קאשי (המאה ה-15) הציג שברים עשרוניים בחשבון ונתן הצגה שיטתית, תוך ניסוח הנוסחה הבינומית של ניוטון.

תקופה חדשה משמעותית בהתפתחות המתמטיקה החלה במאה ה-17, כאשר רעיון התנועה והשינוי נכנס בבירור למתמטיקה. התחשבות במשתנים ובקשרים ביניהם הביאו למושגי פונקציות, נגזרות ואינטגרלים, חשבון דיפרנציאלי, חשבון אינטגרלי, ולהופעתה של דיסציפלינה מתמטית חדשה - ניתוח מתמטי.

מסוף המאה ה-18 ועד תחילת המאה ה-19, נצפו מספר מאפיינים חדשים באופן משמעותי בהתפתחות המתמטיקה. המאפיין אותם היה עניין בתיקון ביקורתי של מספר נושאים בביסוס המתמטיקה. רעיונות מעורפלים על אינפיניטסימלים הוחלפו בניסוחים מדויקים הקשורים למושג הגבול.

באלגברה במאה ה-19 התבררה שאלת האפשרות לפתור משוואות אלגבריות ברדיקלים (המדען הנורבגי נ.אבל, המדען הצרפתי א.גלואה).

במאות ה-19 וה-20 גדלו השיטות המספריות של המתמטיקה לענף עצמאי - מתמטיקה חישובית. ענף המתמטיקה שהתפתח במאות ה-19 וה-20, הלוגיקה המתמטית, מצא יישומים חשובים לטכנולוגיית מחשבים חדשה.

החומר הוכן על ידי O. V. Leshchenko, מורה למתמטיקה.

המאפיינים האידיאליים של האובייקטים הנבדקים מנוסחים בצורה של אקסיומות או רשומים בהגדרה של האובייקטים המתמטיים המתאימים. לאחר מכן, על פי כללים נוקשים של הסקה לוגית, מאפיינים אמיתיים אחרים (משפטים) נגזרים מתכונות אלו. תיאוריה זו יחד יוצרת מודל מתמטי של האובייקט הנחקר. כך, בתחילה, החל מיחסים מרחביים וכמותיים, המתמטיקה מקבלת יחסים מופשטים יותר, שלימודם הוא גם נושא המתמטיקה המודרנית.

באופן מסורתי, מתמטיקה מחולקת לתיאורטית, המבצעת ניתוח מעמיק של מבנים תוך-מתמטיים, ויישומית, המספקת את המודלים שלה למדעים ודיסציפלינות הנדסיות אחרות, שחלקן תופסות עמדה הגובלת במתמטיקה. בפרט, לוגיקה פורמלית יכולה להיחשב הן כחלק מהמדעים הפילוסופיים והן כחלק מהמדעים המתמטיים; מכניקה - גם פיזיקה וגם מתמטיקה; מדעי המחשב, טכנולוגיית המחשבים והאלגוריתמים נופלים תחת מדעי ההנדסה והמתמטיקה כאחד. הגדרות רבות ושונות של מתמטיקה הוצעו בספרות.

אֶטִימוֹלוֹגִיָה

המילה "מתמטיקה" באה מיוונית עתיקה. μάθημα, כלומר לומד, יֶדַע, המדעוכו'-יוונית. μαθηματικός, במקור משמעותו קולט, מוצלח, יותר מאוחר רלוונטי ללימודים, כתוצאה מכך קשור למתמטיקה. באופן מיוחד, μαθηματικὴ τέχνη , בלטינית ארס מתמטיקה, אומר אמנות המתמטיקה. המונח הוא יווני עתיק. μᾰθημᾰτικά במובן המודרני של המילה "מתמטיקה" נמצא כבר ביצירותיו של אריסטו (המאה הרביעית לפני הספירה). לדברי ואסמר, המילה הגיעה לשפה הרוסית או דרך הפולנית. matematyka, או דרך Lat. מתמטיקה.

הגדרות

אחת ההגדרות הראשונות של נושא המתמטיקה ניתנה על ידי דקארט:

תחום המתמטיקה כולל רק את אותם מדעים שבהם נחשבים סדר או מידה, ואין זה חשוב כלל אם אלו מספרים, דמויות, כוכבים, צלילים או כל דבר אחר שבו מחפשים מידה זו. לפיכך, חייב להיות איזשהו מדע כללי שמסביר כל מה שקשור לסדר ומידה, מבלי להיכנס ללימוד של מקצועות מסוימים, והמדע הזה צריך להיקרא לא זר, אלא השם הישן של מתמטיקה אוניברסלית, שכבר הגיע. לשימוש.

המהות של המתמטיקה... מוצגת כעת כתורת היחסים בין עצמים שלא ידוע עליהם דבר מלבד כמה תכונות המתארות אותם - דווקא אלו שכאקסיומות הן הבסיס של התיאוריה... המתמטיקה היא א. סט של צורות מופשטות - מבנים מתמטיים.

חלקים במתמטיקה

1. מתמטיקה איך דיסציפלינה אקדמית

ייעודים

מכיוון שמתמטיקה עוסקת במבנים מגוונים ביותר ומורכבים למדי, גם התווי שלה מורכב מאוד. המערכת המודרנית של נוסחאות כתיבה נוצרה על בסיס המסורת האלגברית האירופית, כמו גם הצרכים של ענפי מתמטיקה מאוחרים יותר - ניתוח מתמטי, לוגיקה מתמטית, תורת הקבוצות וכו'. מאז ומתמיד, הגיאומטריה השתמשה בוויזואל (גיאומטרי) ) ייצוג. במתמטיקה מודרנית, מערכות סימון גרפי מורכבות (לדוגמה, דיאגרמות קומוטטיביות) נפוצות גם הן; לעתים קרובות נעשה שימוש גם בסימון מבוסס גרפים.

סיפור קצר

פילוסופיה של מתמטיקה

מטרות ושיטות

מֶרחָב R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), ב n > 3 (\displaystyle n>3)היא המצאה מתמטית. עם זאת, זוהי המצאה גאונית מאוד שעוזרת להבין תופעות מורכבות מבחינה מתמטית».

קרקע

אינטואיציוניזם

מתמטיקה בונה

להבהיר

נושאים עיקריים

כַּמוּת

החלק העיקרי העוסק בהפשטה של כמות הוא אלגברה. המושג "מספר" מקורו במושגים אריתמטיים וקשור למספרים טבעיים. מאוחר יותר, בעזרת האלגברה, הוא הורחב בהדרגה למספרים שלמים, רציונליים, ממשיים, מורכבים ואחרים.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) מספר רציונלי 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) מספרים אמיתיים − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\נקודות) מספרים מסובכים קווטרניונים

טרנספורמציות

הניתוח מתייחס לתופעות של טרנספורמציות ושינויים בצורה הכללית ביותר.

מבנים

יחסים מרחביים

הגיאומטריה בוחנת את היסודות של יחסים מרחביים. טריגונומטריה בוחנת את המאפיינים של פונקציות טריגונומטריות. גיאומטריה דיפרנציאלית היא חקר עצמים גיאומטריים באמצעות ניתוח מתמטי. המאפיינים של חללים שנותרו ללא שינוי תחת עיוותים מתמשכים ותופעת ההמשכיות עצמה נחקרות על ידי טופולוגיה.

מתמטיקה דיסקרטית

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\rightarrow P(x")))

המתמטיקה קמה לפני זמן רב מאוד. האיש אסף פירות, חפר פירות, תפס דגים ואחסן הכל לחורף. כדי להבין כמה אוכל אוחסן, האדם המציא את הספירה. כך החלה מתמטיקה לצמוח.

אז החל האדם לעסוק בחקלאות. היה צורך למדוד חלקות אדמה, לבנות בתים ולמדוד זמן.

כלומר, הפך הכרחי לאדם להשתמש ביחס הכמותי של העולם האמיתי. קבע כמה קציר נקצר, מה גודל חלקת הבנייה, או כמה גדול הוא שטח השמים עם מספר מסוים של כוכבים בהירים.

בנוסף, האדם החל לקבוע את הצורות: שמש עגולה, קופסה מרובעת, אגם סגלגל, וכיצד ממוקמים החפצים הללו בחלל. כלומר, אדם התעניין בצורות המרחביות של העולם האמיתי.

לפיכך, הקונספט מָתֵימָטִיקָהניתן להגדיר כמדע של יחסים כמותיים וצורות מרחביות של העולם האמיתי.

נכון לעכשיו, אין מקצוע אחד שבו אפשר להסתדר בלי מתמטיקה. המתמטיקאי הגרמני המפורסם קרל פרידריך גאוס, אשר כונה "מלך המתמטיקה", אמר פעם:

"מתמטיקה היא מלכת המדעים, אריתמטיקה היא מלכת המתמטיקה."

המילה "אריתמטיקה" באה מהמילה היוונית "אריתמוס" - "מספר".

לכן, חֶשְׁבּוֹןהוא ענף במתמטיקה החוקר מספרים ופעולות עליהם.

בבית הספר היסודי מלמדים בעיקר חשבון.

איך התפתח המדע הזה, בואו נחקור את השאלה הזו.

תקופת הלידה של המתמטיקה

התקופה העיקרית של צבירת ידע מתמטי נחשבת לתקופה שלפני המאה ה-5 לפני הספירה.

הראשון שהחל להוכיח טענות מתמטיות היה ההוגה היווני הקדום, שחי במאה ה-7 לפני הספירה, ככל הנראה 625 - 545. פילוסוף זה נסע לארצות המזרח. המסורות מספרות שהוא למד עם הכוהנים המצריים והכלדים הבבלים.

תלס ממילטוס הביא את המושגים הראשונים של גיאומטריה יסודית ממצרים ליוון: מהו קוטר, מה קובע משולש וכו'. הוא חזה ליקוי חמה ותכנן מבנים הנדסיים.

בתקופה זו התפתחה החשבון בהדרגה, האסטרונומיה והגיאומטריה התפתחו. אלגברה וטריגונומטריה נולדים.

תקופה של מתמטיקה יסודית

תקופה זו מתחילה משישי לפני הספירה. כעת מתמטיקה מתגלה כמדע עם תיאוריות והוכחות. מופיעה תורת המספרים, תורת הכמויות ומדידתן.

המתמטיקאי המפורסם ביותר בתקופה זו הוא אוקלידס. הוא חי במאה ה-3 לפני הספירה. האיש הזה הוא מחברו של החיבור התיאורטי הראשון על מתמטיקה שהגיע אלינו.

ביצירותיו של אוקלידס ניתנים היסודות של הגיאומטריה האוקלידית כביכול - אלו הן אקסיומות הנשענות על מושגי יסוד, כגון.

בתקופת המתמטיקה היסודית עלתה תורת המספרים, כמו גם תורת הכמויות ומדידה. מספרים שליליים ואי-רציונליים מופיעים בפעם הראשונה.

בסוף תקופה זו, נצפית יצירת האלגברה כחשבון מילולי. מדע ה"אלגברה" עצמו מופיע בקרב הערבים כמדע פתרון משוואות. המילה "אלגברה" בערבית פירושה "שיקום", כלומר, העברת ערכים שליליים לחלק אחר של המשוואה.

תקופה של מתמטיקה של משתנים

מייסד תקופה זו נחשב לרנה דקארט, שחי במאה ה-17 לספירה. בכתביו הציג דקארט לראשונה את המושג כמות משתנה.

הודות לכך, המדענים עוברים מחקר הכמויות הקבועות לחקר התלות בין גדלים משתנים ולתיאור מתמטי של תנועה.

תקופה זו אופיינה בצורה חיה ביותר על ידי פרידריך אנגלס, בכתביו הוא כתב:

"נקודת המפנה במתמטיקה הייתה המשתנה הקרטזיאני. הודות לכך, נכנסה תנועה ובכך הדיאלקטיקה למתמטיקה, ובזכות זה מיד נחוץ חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, המתעורר מיד, ואשר הושלם בגדול ולא הומצא על ידי ניוטון ולייבניץ".

תקופת המתמטיקה המודרנית

בשנות ה-20 של המאה ה-19, ניקולאי איבנוביץ' לובצ'בסקי הפך למייסד הגיאומטריה הלא אוקלידית כביכול.

מרגע זה מתחילה התפתחות הענפים החשובים ביותר של המתמטיקה המודרנית. כגון תורת ההסתברות, תורת הקבוצות, סטטיסטיקה מתמטית וכן הלאה.

כל התגליות והמחקרים הללו מוצאים יישום נרחב בתחומי מדע שונים.

וכיום, מדע המתמטיקה מתפתח במהירות, נושא המתמטיקה מתרחב, כולל צורות ויחסים חדשים, משפטים חדשים מוכחים, ומושגי יסוד מעמיקים.

המאפיינים האידיאליים של האובייקטים הנבדקים מנוסחים בצורה של אקסיומות או רשומים בהגדרה של האובייקטים המתמטיים המתאימים. לאחר מכן, על פי כללים נוקשים של הסקה לוגית, מאפיינים אמיתיים אחרים (משפטים) נגזרים מתכונות אלו. תיאוריה זו יחד יוצרת מודל מתמטי של האובייקט הנחקר. כך, בתחילה, בהתבסס על קשרים מרחביים וכמותיים, מתמטיקה מקבלת קשרים מופשטים יותר, שלימודם הוא גם נושא המתמטיקה המודרנית.

באופן מסורתי, מתמטיקה מחולקת לתיאורטית, המבצעת ניתוח מעמיק של מבנים תוך-מתמטיים, ויישומית, המספקת את המודלים שלה למדעים ודיסציפלינות הנדסיות אחרות, שחלקן תופסות עמדה הגובלת במתמטיקה. בפרט, לוגיקה פורמלית יכולה להיחשב הן כחלק מהמדעים הפילוסופיים והן כחלק מהמדעים המתמטיים; מכניקה - גם פיזיקה וגם מתמטיקה; מדעי המחשב, טכנולוגיית המחשבים והאלגוריתמיקה מתייחסים הן למדעי ההנדסה והן למדעי המתמטיקה וכו'. הגדרות רבות ושונות למתמטיקה הוצעו בספרות (ראה).

אֶטִימוֹלוֹגִיָה

המילה "מתמטיקה" באה מיוונית עתיקה. μάθημα ( מטהמה), אשר אומר לומד, יֶדַע, המדעוכו'-יוונית. μαθηματικός ( Mathēmatikós), משמעותו במקור קולט, מוצלח, יותר מאוחר רלוונטי ללימודים, כתוצאה מכך קשור למתמטיקה. באופן מיוחד, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), בלטינית ארס מתמטיקה, אומר אמנות המתמטיקה.

הגדרות

תחום המתמטיקה כולל רק את אותם מדעים שבהם נחשבים סדר או מידה, ואין זה חשוב כלל אם אלו מספרים, דמויות, כוכבים, צלילים או כל דבר אחר שבו מחפשים מידה זו. לפיכך, חייב להיות איזשהו מדע כללי שמסביר כל מה שקשור לסדר ומידה, מבלי להיכנס ללימוד של מקצועות מסוימים, והמדע הזה צריך להיקרא לא זר, אלא השם הישן של מתמטיקה אוניברסלית, שכבר הגיע. לשימוש.

בתקופה הסובייטית, ההגדרה מ-TSB שניתנה על ידי A.N. Kolmogorov נחשבה קלאסית:

מתמטיקה... מדע היחסים הכמותיים והצורות המרחביות של העולם האמיתי.

המהות של המתמטיקה... מוצגת כעת כתורת היחסים בין עצמים שלא ידוע עליהם דבר מלבד כמה תכונות המתארות אותם - דווקא אלו שכאקסיומות הן הבסיס של התיאוריה... המתמטיקה היא א. סט של צורות מופשטות - מבנים מתמטיים.

בואו ניתן עוד כמה הגדרות מודרניות.

מתמטיקה תיאורטית ("טהורה") מודרנית היא מדע של מבנים מתמטיים, אינוריאנטים מתמטיים של מערכות ותהליכים שונים.

מתמטיקה היא מדע המספק את האפשרות לחישוב מודלים שניתן לצמצם לצורה סטנדרטית (קנונית). מדע מציאת פתרונות למודלים אנליטיים (ניתוח) באמצעות טרנספורמציות פורמליות.

חלקים במתמטיקה

1. מתמטיקה איך דיסציפלינה אקדמיתמחולק בפדרציה הרוסית למתמטיקה יסודית, למד בבית ספר תיכון ונוצר על ידי הדיסציפלינות:

גיאומטריה יסודית: פלנימטריה וסטריאומטריה
תורת הפונקציות היסודיות ומרכיבי הניתוח

4. האגודה האמריקאית למתמטיקה (AMS) פיתחה סטנדרט משלה לסיווג ענפי מתמטיקה. זה נקרא סיווג נושאים במתמטיקה. תקן זה מתעדכן מעת לעת. הגרסה הנוכחית היא MSC 2010. הגרסה הקודמת היא MSC 2000.

ייעודים

מכיוון שמתמטיקה עוסקת במבנים מגוונים ביותר ומורכבים למדי, גם מערכת התווים מורכבת מאוד. המערכת המודרנית של נוסחאות הכתיבה נוצרה על בסיס המסורת האלגברית האירופית, כמו גם ניתוח מתמטי (מושג פונקציה, נגזרת וכו'). מאז ומתמיד, הגיאומטריה השתמשה בייצוג חזותי (גיאומטרי). במתמטיקה מודרנית, מערכות סימון גרפי מורכבות (לדוגמה, דיאגרמות קומוטטיביות) נפוצות גם הן; לעתים קרובות נעשה שימוש גם בסימון מבוסס גרפים.

סיפור קצר

התפתחות המתמטיקה מסתמכת על כתיבה ועל היכולת לכתוב מספרים. כנראה, אנשים קדומים הביעו לראשונה כמויות על ידי שרטוט קווים על הקרקע או גירוד שלהם על עץ. בני האינקה העתיקים, ללא מערכת כתיבה אחרת, ייצגו ואחסנו נתונים מספריים באמצעות מערכת מורכבת של קשרי חבלים הנקראים quipus. היו הרבה מערכות מספרים שונות. הרישומים הידועים הראשונים של מספרים נמצאו בפפירוס אמס, שנוצר על ידי מצרים של הממלכה התיכונה. תרבות האינדוס פיתחה את מערכת המספרים העשרונית המודרנית, שכללה את מושג האפס.

מבחינה היסטורית, הדיסציפלינות המתמטיות הבסיסיות נבעו מהצורך לבצע חישובים בתחום המסחרי, במדידת קרקעות ולחזות תופעות אסטרונומיות ומאוחר יותר לפתור בעיות פיזיקליות חדשות. כל אחד מהתחומים הללו ממלא תפקיד גדול בהתפתחות הרחבה של המתמטיקה, המורכבת מחקר מבנים, חללים ושינויים.

פילוסופיה של מתמטיקה

מטרות ושיטות

מתמטיקה חוקרת אובייקטים דמיוניים ואידיאליים ואת היחסים ביניהם באמצעות שפה פורמלית. באופן כללי, למושגים ומשפטים מתמטיים אין בהכרח התאמה לשום דבר בעולם הפיזי. המשימה העיקרית של החלק היישומי של המתמטיקה היא ליצור מודל מתמטי שמתאים מספיק לאובייקט האמיתי הנחקר. המשימה של מתמטיקאי תיאורטי היא לספק סט מספיק של אמצעים נוחים להשגת מטרה זו.

ניתן להגדיר את תוכן המתמטיקה כמערכת של מודלים מתמטיים וכלים ליצירתם. המודל של אובייקט אינו לוקח בחשבון את כל תכונותיו, אלא רק את אלו הנחוצות ביותר למטרות הלימוד (אידיאליות). לדוגמה, כאשר חוקרים את התכונות הפיזיקליות של תפוז, אנו יכולים להפשט מהצבע והטעם שלו ולדמיין אותו (גם אם לא בצורה מדויקת לחלוטין) ככדור. אם צריך להבין כמה תפוזים נקבל אם נוסיף שניים ושלושה ביחד, אז נוכל להפשט מהצורה, ולהשאיר את הדגם עם מאפיין אחד בלבד - כמות. הפשטה ויצירת קשרים בין אובייקטים בצורה הכללית ביותר היא אחד הכיוונים העיקריים של יצירתיות מתמטית.

כיוון נוסף, לצד הפשטה, הוא הכללה. לדוגמה, הכללת המושג "מרחב" למרחב של n-מימדים. " החלל הוא המצאה מתמטית. עם זאת, זוהי המצאה גאונית מאוד שעוזרת להבין תופעות מורכבות מבחינה מתמטית».

חקר אובייקטים תוך-מתמטיים, ככלל, מתרחש בשיטה האקסיומטית: ראשית, מנוסחת רשימה של מושגי יסוד ואקסיומות עבור האובייקטים הנחקרים, ולאחר מכן מתקבלים משפטים בעלי משמעות מהאקסיומות באמצעות כללי היסק, שיחד ליצור מודל מתמטי.

קרקע

שאלת המהות והיסודות של המתמטיקה נדונה עוד מימי אפלטון. מאז המאה ה-20, קיימת הסכמה יחסית לגבי מה שנחשב כהוכחה מתמטית קפדנית, אך הסכמה מועטה לגבי מה שנחשב נכון מטבעו במתמטיקה. זה מוביל לחילוקי דעות הן בשאלות של אקסיומטיקה ויחסי הגומלין בין ענפי המתמטיקה, והן בבחירת המערכות הלוגיות שיש להשתמש בהן בהוכחות.

בנוסף לזה הספקני, ידועות הגישות הבאות לנושא זה.

גישה תאורטית סטית

מוצע לשקול את כל האובייקטים המתמטיים במסגרת תורת הקבוצות, לרוב עם האקסיומטיקה של זרמלו-פרנקל (אם כי יש עוד רבות מקבילות לה). גישה זו נחשבה לשולטת מאז אמצע המאה ה-20, אך למעשה רוב היצירות המתמטיות אינן מתכוונות לתרגם את הצהרותיהן אך ורק לשפת תורת הקבוצות, אלא פועלות עם מושגים ועובדות שנקבעו בחלק מתחומי המתמטיקה. לפיכך, אם תתגלה סתירה בתורת הקבוצות, הדבר לא יגרור ביטול של רוב התוצאות.

לוגיקה

גישה זו מניחה הקלדה קפדנית של אובייקטים מתמטיים. פרדוקסים רבים, שנמנעו בתורת הקבוצות רק על ידי תחבולות מיוחדות, מתגלים כבלתי אפשריים באופן עקרוני.

טִקסִיוּת

גישה זו כוללת חקר מערכות פורמליות המבוססות על לוגיקה קלאסית.

אינטואיציוניזם

האינטואיציוניזם מניח שהמתמטיקה מבוססת על לוגיקה אינטואיציונית, שהיא מוגבלת יותר באמצעי ההוכחה שלה (אך מאמינים שהיא יותר אמינה). האינטואיציוניזם דוחה הוכחות בסתירה, הוכחות לא-קונסטרוקטיביות רבות הופכות לבלתי אפשריות, ובעיות רבות של תורת הקבוצות הופכות לחסרות משמעות (בלתי ניתנות לפורמאליזציה).

מתמטיקה בונה

מתמטיקה קונסטרוקטיבית היא תנועה במתמטיקה הקרובה לאינטואיציה החוקרת מבנים קונסטרוקטיביים [ להבהיר] . על פי קריטריון הקונסטרוקטיביות - " להתקיים פירושו להיבנות" קריטריון הקונסטרוקטיביות הוא דרישה חזקה יותר מקריטריון העקביות.

נושאים עיקריים

מספרים

המושג "מספר" התייחס במקור למספרים טבעיים. מאוחר יותר הוא הורחב בהדרגה למספרים שלמים, רציונליים, ממשיים, מורכבים ואחרים.

מספרים שלמים מספר רציונלי מספרים אמיתיים מספרים מסובכים קווטרניונים

מערכות מספריות
סְפִירָה סטים	מספרים טבעיים () מספרים שלמים () רציונלי () אלגברי () תקופות אריתמטיקה ניתנת לחישוב
מספרים אמיתיים וההרחבות שלהם	אמיתי () מורכב () קווטרניונים () מספרי קיילי (אוקטבות, אוקטוניונים) () קדניונים () אלטרניונים הליך קיילי-דיקסון כפול היפר-קומפלקס סופרריאלי היפרריאלי מספר סוריאליסטי ( אנגלית)
אַחֵר מערכות מספרים	מספרי קרדינל מספרים סידוריים (טרנססופיים, סידוריים) p-adic מספרים על טבעיים
ראה גם	מספרים כפולים מספרים אי-רציונליים קרן מספר טרנסנדנטלית Biquaternion

טרנספורמציות

מתמטיקה דיסקרטית

קודים במערכות סיווג ידע

שירותיים אינטרנטיים

ישנם מספר רב של אתרים המספקים שירותים לחישובים מתמטיים. רובם דוברי אנגלית. בין דוברי הרוסית, אנו יכולים לציין את השירות של שאילתות מתמטיות של מנוע החיפוש Nigma.

ראה גם

מפרסמים פופולריים של המדע

הערות

אנציקלופדיה בריטניקה
המילון המקוון של וובסטר
פרק 2. מתמטיקה כשפת המדע. האוניברסיטה הפתוחה בסיביר. בארכיון מהמקור ב-2 בפברואר 2012. אוחזר ב-5 באוקטובר 2010.
מילון יווני עתיק גדול (αω)
מילון השפה הרוסית XI-XVII מאות שנים. גיליון 9 / ח. ed. פ.פ פילין. - מ': נאוקה, 1982. - עמ' 41.
דקארט ר.כללים להנחיית הנפש. מ.-ל.: סוצקגיז, 1936.
ראה: מתמטיקה TSB
מרקס ק., אנגלס פ.מאמרים. מהדורה 2. ת' 20. עמ' 37.
בורבקי נ.ארכיטקטורה של מתמטיקה. מאמרים על ההיסטוריה של המתמטיקה / תרגום מאת I. G. Bashmakova, עורך. ק.א. ריבניקובה. מ': IL, 1963. עמ' 32, 258.
קזייב ו.מ.מבוא למתמטיקה
מוכין או.אי.הדרכה למערכות דוגמנות. סלסול: RCI PSTU.
הרמן וייל // קליין מ.. - מ.: מיר, 1984. - עמ' 16.
רמה חינוכית ממלכתית של השכלה מקצועית גבוהה. מומחיות 01.01.00. "מָתֵימָטִיקָה". הסמכה - מתמטיקאי. מוסקבה, 2000 (הורכב בהנחיית או.ב. לופנוב)
מינוח התמחויות של עובדים מדעיים, שאושר בצו של משרד החינוך והמדע של רוסיה מיום 25 בפברואר 2009 מס' 59
UDC 51 מתמטיקה
יא ש' בוגרוב, ש' מ' ניקולסקי. אלמנטים של אלגברה לינארית וגיאומטריה אנליטית. מ': נאוקה, 1988. עמ' 44.
נ.אי קונדקוב. מילון-ספר עיון לוגי. מ': נאוקה, 1975. עמ' 259.
G. I. Ruzavin. על מהות הידע המתמטי. מ': 1968.
http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
לדוגמה: http://mathworld.wolfram.com

סִפְרוּת

אנציקלופדיות

// מילון אנציקלופדי של ברוקהאוז ואפרון: ב-86 כרכים (82 כרכים ו-4 נוספים). - סנט פטרסבורג. , 1890-1907.
אנציקלופדיה מתמטית (5 כרכים), שנות ה-80. // ספרי עיון כלליים ומיוחדים על מתמטיקה ב-EqWorld
קונדאקוב נ.אי.מילון-ספר עיון לוגי. מ.: נאוקה, 1975.
אנציקלופדיה למדעי המתמטיקה ויישומיהם (גרמנית) 1899-1934. (הסקר הגדול ביותר של ספרות המאה ה-19)

מדריכים

ג' קורן, ט' קורן.מדריך מתמטיקה למדענים ומהנדסים מ', 1973.

ספרים

קליין מ.מָתֵימָטִיקָה. אובדן ודאות. - מ.: מיר, 1984.
קליין מ.מָתֵימָטִיקָה. חפש את האמת. מ.: מיר, 1988.
קליין פ.מתמטיקה יסודית מנקודת מבט גבוהה יותר.

כרך א' אריתמטיקה. אַלגֶבּרָה. ניתוח מ': נאוקה, 1987. 432 עמ'.
כרך ב'. גיאומטריה מ.: נאוקה, 1987. 416 עמ'.

קוראנט ר., ג. רובינס.מהי מתמטיקה? מהדורה שלישית, rev. ועוד - מ.: 2001. 568 עמ'.
Pisarevsky B.M., Kharin V.T.על מתמטיקה, מתמטיקאים ועוד. - מ.: בינום. מעבדת ידע, 2012. - 302 עמ'.
פואנקיר א.מדע ושיטה (רוסית) (צרפתית)

מתמטיקה היא אחד המדעים העתיקים ביותר. מתן הגדרה קצרה למתמטיקה אינה קלה כלל וכלל; התוכן שלה ישתנה מאוד בהתאם לרמת ההשכלה המתמטית של האדם. תלמיד בית ספר יסודי שזה עתה התחיל ללמוד חשבון יגיד שמתמטיקה לומדת את כללי ספירת העצמים. והוא יצדק, שכן זה בדיוק מה שהוא מתוודע אליו בהתחלה. תלמידים מבוגרים יוסיפו על הנאמר שמושג המתמטיקה כולל אלגברה וחקר עצמים גיאומטריים: קווים, הצטלבות שלהם, דמויות מישוריות, גופים גיאומטריים, סוגים שונים של טרנספורמציות. בוגרי התיכון יכללו בהגדרתם למתמטיקה גם את חקר הפונקציות ואת פעולת המעבר עד הקצה, כמו גם את המושגים הנלווים של נגזרת ואינטגרל. בוגרי מוסדות חינוך טכניים גבוהים או פקולטות למדעי הטבע באוניברסיטאות ומכונים פדגוגיים לא יסתפקו עוד בהגדרות בית הספר, שכן הם יודעים שמתמטיקה כוללת גם דיסציפלינות אחרות: תורת הסתברות, סטטיסטיקה מתמטית, חשבון דיפרנציאלי, תכנות, שיטות חישוביות, וכן כיישומים של דיסציפלינות אלה למידול תהליכי ייצור, עיבוד נתונים ניסיוניים, העברה ועיבוד מידע. עם זאת, מה שרשום אינו ממצה את תוכן המתמטיקה. תורת הקבוצות, לוגיקה מתמטית, שליטה מיטבית, תורת התהליכים האקראיים ועוד הרבה יותר כלולים בהרכבו.

ניסיונות להגדיר מתמטיקה על ידי פירוט ענפיה המרכיבים אותה מובילים אותנו שולל, מכיוון שהם אינם נותנים מושג מה בדיוק לימודי המתמטיקה ומה הקשר שלו לעולם הסובב אותנו. אילו היו שואלים שאלה דומה לפיזיקאי, ביולוג או אסטרונום, כל אחד מהם היה נותן תשובה קצרה מאוד, שאינה מכילה רשימה של החלקים המרכיבים את המדע שהם חוקרים. תשובה כזו תכיל אינדיקציה לתופעות הטבע שהיא חוקרת. לדוגמה, ביולוג יגיד שביולוגיה היא חקר הביטויים השונים של החיים. תן לתשובה זו לא להיות מלאה לחלוטין, מכיוון שהיא אינה אומרת מהן חיים ותופעות חיוניות, אך עם זאת הגדרה כזו תיתן מושג שלם למדי על התוכן של מדע הביולוגיה עצמו והרמות השונות של מדע זה. והגדרה זו לא תשתנה עם התרחבות הידע שלנו בביולוגיה.

אין תופעות טבע, תהליכים טכניים או חברתיים שיהיו נושא ללימוד המתמטיקה, אך לא יהיו קשורים לתופעות פיזיקליות, ביולוגיות, כימיות, הנדסיות או חברתיות. כל דיסציפלינה במדעי הטבע: ביולוגיה ופיזיקה, כימיה ופסיכולוגיה - נקבעת על פי המאפיינים החומריים של הנושא שלו, המאפיינים הספציפיים של תחום העולם האמיתי אותו הוא לומד. ניתן לחקור את האובייקט או התופעה עצמה בשיטות שונות, כולל מתמטיות, אך על ידי שינוי השיטות, אנו עדיין נשארים בגבולות דיסציפלינה זו, שכן התוכן של מדע זה הוא האובייקט האמיתי, ולא שיטת המחקר. למתמטיקה, לנושא החומרי של המחקר אין חשיבות מכרעת; השיטה שבה נעשה שימוש חשובה. לדוגמה, ניתן להשתמש בפונקציות טריגונומטריות הן כדי לחקור תנועה תנודה והן כדי לקבוע את גובהו של עצם בלתי נגיש. אילו תופעות בעולם האמיתי ניתן לחקור בשיטה המתמטית? תופעות אלו נקבעות לא על פי טבען החומרי, אלא אך ורק על ידי תכונות מבניות צורניות, ובעיקר על ידי אותם יחסים כמותיים וצורות מרחביות שבהן הן קיימות.

אז, מתמטיקה מחקר לא אובייקטים חומריים, אלא שיטות מחקר ותכונות מבניות של אובייקט המחקר, המאפשרים להחיל עליו פעולות מסוימות (סיכום, בידול וכו'). עם זאת, לחלק ניכר מהבעיות, המושגים והתיאוריות המתמטיות יש תופעות ותהליכים אמיתיים כמקורם העיקרי. לדוגמה, אריתמטיקה ותורת המספרים צמחו מהמשימה המעשית העיקרית של ספירת עצמים. מקורה של גיאומטריה יסודית בבעיות הקשורות בהשוואת מרחקים, חישוב שטחי דמויות שטוחות או נפחים של גופים מרחביים. כל זאת היה צריך למצוא, שכן היה צורך לחלק מחדש חלקות קרקע בין המשתמשים, לחשב את גודלם של אסמים או את היקף עבודות החפירה במהלך בניית מבני הגנה.

לתוצאה מתמטית יש את התכונה שניתן להשתמש בה לא רק בחקר תופעה או תהליך ספציפי אחד, אלא גם לשמש לחקר תופעות אחרות, שטבען הפיזי שונה מהותית מאלה שנחשבו בעבר. לפיכך, כללי החשבון ישימים בבעיות כלכליות, בסוגיות טכניות, בפתרון בעיות חקלאיות ובמחקר מדעי. כללי חשבון פותחו לפני אלפי שנים, אך הם שמרו על ערכם היישומי לנצח נצחים. אריתמטיקה היא חלק בלתי נפרד מהמתמטיקה; החלק המסורתי שלה אינו נתון עוד לפיתוח יצירתי במסגרת המתמטיקה, אך היא מצאה ותמשיך למצוא יישומים חדשים רבים. ליישומים אלו אולי יש חשיבות רבה עבור האנושות, אבל הם לא יתרמו עוד למתמטיקה עצמה.

מתמטיקה, ככוח יצירתי, מטרתה לפתח כללים כלליים שיש להשתמש בהם במקרים מיוחדים רבים. מי שיוצר את הכללים האלה יוצר משהו חדש, יוצר. מי שמיישם כללים מוכנים כבר לא יוצר במתמטיקה בעצמו, אלא, בהחלט, יוצר ערכים חדשים בתחומי ידע אחרים בעזרת כללים מתמטיים. לדוגמה, כיום מעובדים באמצעות מחשבים נתונים מפרשנות תמונות חלל, כמו גם מידע על הרכב וגיל של סלעים, חריגות גיאוכימיות וגיאופיזיות. אין ספק שהשימוש במחשבים במחקר גיאולוגי מותיר את המחקרים הללו גיאולוגיים. עקרונות ההפעלה של מחשבים ותוכנותיהם פותחו מבלי לקחת בחשבון את האפשרות של שימוש בהם לטובת המדע הגיאולוגי. אפשרות זו עצמה נקבעת על ידי העובדה שהמאפיינים המבניים של נתונים גיאולוגיים הם בהתאם להיגיון של תוכנות מחשב מסוימות.

שתי הגדרות של מתמטיקה הפכו נפוצות. הראשון שבהם ניתן על ידי פ. אנגלס בעבודה "אנטי-דוהרינג", השני על ידי קבוצת מתמטיקאים צרפתים המכונה ניקולא בורבקי, במאמר "הארכיטקטורה של המתמטיקה" (1948).

"מתמטיקה טהורה היא מטרתה של הצורות המרחביות והיחסים הכמותיים של העולם האמיתי." הגדרה זו לא רק מתארת את מושא המחקר של המתמטיקה, אלא גם מציינת את מקורו - העולם הממשי. עם זאת, הגדרה זו של פ. אנגלס משקפת במידה רבה את מצב המתמטיקה במחצית השנייה של המאה ה-19. ואינו לוקח בחשבון את אותם אזורים חדשים בו שאינם קשורים ישירות לא ליחסים כמותיים ולא לצורות גיאומטריות. זהו, קודם כל, לוגיקה מתמטית ודיסציפלינות הקשורות לתכנות. לכן, הגדרה זו זקוקה להבהרה מסוימת. אולי צריך לומר שהמתמטיקה היא מושא לחקר צורות מרחביות, יחסים כמותיים והבניות לוגיות.

הבורבאקים טוענים כי "האובייקטים המתמטיים היחידים הם, למהדרין, מבנים מתמטיים." במילים אחרות, מתמטיקה צריכה להיות מוגדרת כמדע של מבנים מתמטיים. הגדרה זו היא בעצם טאוטולוגיה, שכן היא קובעת רק דבר אחד: המתמטיקה עוסקת באובייקטים שהיא חוקרת. פגם נוסף בהגדרה זו הוא שהיא אינה מבהירה את היחס של המתמטיקה לעולם הסובב אותנו. יתרה מכך, הבורבאקים מדגישים שמבנים מתמטיים נוצרים ללא תלות בעולם האמיתי ובתופעות שלו. זו הסיבה שהבורבאקים נאלצו להכריז כי "הבעיה העיקרית היא היחס בין עולם הניסויים לעולם המתמטי. נראה שקיים קשר הדוק בין תופעות ניסויות למבנים מתמטיים אושר באופן בלתי צפוי לחלוטין על ידי גילויי הפיזיקה המודרנית, אך הסיבות העמוקות לכך אינן ידועות לנו לחלוטין... ואולי לעולם לא נדע אותן. ."

מסקנה מאכזבת כזו אינה יכולה לנבוע מהגדרתו של פ. אנגלס, שכן היא כבר מכילה את האמירה שמושגים מתמטיים הם הפשטות מיחסים וצורות מסוימות של העולם האמיתי. מושגים אלו לקוחים מהעולם האמיתי וקשורים אליו. בעצם, זה בדיוק מה שמסביר את הישימות המדהימה של תוצאות המתמטיקה על תופעות העולם הסובב אותנו, ובמקביל את הצלחת תהליך המתמטיזציה של הידע.

מתמטיקה אינה יוצאת דופן בכל תחומי הידע - היא גם יוצרת מושגים הנובעים ממצבים מעשיים והפשטות הבאות; זה מאפשר לנו ללמוד את המציאות גם בערך. אבל צריך לזכור שהמתמטיקה לא חוקרת דברים מהעולם האמיתי, אלא מושגים מופשטים, ושהמסקנות הלוגיות שלה הן קפדניות ומדויקות לחלוטין. הקירוב שלו אינו פנימי במהותו, אלא קשור להידור של מודל מתמטי של התופעה. הבה נציין גם שלכללי המתמטיקה אין יישום מוחלט; יש להם גם תחום יישום מוגבל שבו הם שולטים. בואו נבהיר את הרעיון הזה בדוגמה: מסתבר ששניים ושתיים לא תמיד שווים לארבע. ידוע שכאשר מערבבים 2 ליטר אלכוהול ו-2 ליטר מים מתקבלים פחות מ-4 ליטר מהתערובת. בתערובת זו, המולקולות מסודרות בצורה קומפקטית יותר, ונפח התערובת קטן מסכום הנפחים של המרכיבים המרכיבים. הכלל להוספת חשבון נשבר. אפשר גם לתת דוגמאות שבהן מופרות אמיתות אחרות של חשבון, למשל, כשמוסיפים כמה אובייקטים מסתבר שהסכום תלוי בסדר הסיכום.

מתמטיקאים רבים רואים במושגים מתמטיים לא יצירה של תבונה טהורה, אלא כהפשטות מדברים, תופעות, תהליכים או הפשטות הקיימות באמת (הפשטות מסדרים גבוהים יותר). ב"דיאלקטיקה של הטבע" כתב פ. אנגלס כי "... כל מה שנקרא מתמטיקה טהורה עוסקת בהפשטות... כל הכמויות שלה הן, למהדרין, כמויות דמיוניות..." מילים אלו משקפות בצורה ברורה למדי את דעתו של אחד של מייסדי הפילוסופיה המרקסיסטית על תפקידן של הפשטות במתמטיקה. נוסיף רק שכל ה"כמויות הדמיוניות" הללו לקוחות מהמציאות האמיתית, ואינן בנויות באופן שרירותי, על ידי מעוף המחשבה החופשי. כך נכנס המושג מספר לשימוש כללי. בהתחלה אלה היו מספרים בתוך יחידות, ויותר מכך, רק מספרים שלמים חיוביים. ואז הניסיון אילץ אותי להרחיב את ארסנל המספרים שלי לעשרות ומאות. הרעיון של המספר הבלתי מוגבל של מספרים שלמים נולד בעידן הקרוב אלינו מבחינה היסטורית: ארכימדס בספרו "פסמית" ("חשבון של גרגירי חול") הראה כיצד ניתן לבנות מספרים אפילו גדולים יותר מאשר שניתנו. במקביל, מתוך צרכים מעשיים, נולד מושג המספרים השבריים. חישובים הקשורים לדמויות הגיאומטריות הפשוטות ביותר הובילו את האנושות למספרים חדשים - לא רציונליים. כך נוצר בהדרגה הרעיון של קבוצת כל המספרים הממשיים.

ניתן ללכת באותה דרך עבור כל מושג אחר של מתמטיקה. כולם נבעו מצרכים מעשיים והתגבשו בהדרגה למושגים מופשטים. אפשר שוב להיזכר בדבריו של פ' אנגלס: "... למתמטיקה הטהורה יש משמעות בלתי תלויה בחוויה המיוחדת של כל פרט... אבל זה שקר לחלוטין שבמתמטיקה הטהורה המוח עוסק רק בתוצרים משלו. יצירתיות ודמיון. המושגים של מספר ודמות אינם לקוחים משום מקום, אלא רק מהעולם האמיתי. עשר האצבעות שעליהן למדו אנשים לספור, כלומר לבצע את פעולת החשבון הראשונה, הן הכל מלבד תוצר של היצירתיות החופשית של הנפש. כדי לספור, צריך להיות לא רק אובייקטים שניתן לספור, אלא גם להיות בעלי יכולת מופשטת כאשר בוחנים אובייקטים אלו מכל שאר התכונות מלבד מספר, ויכולת זו היא תוצאה של התפתחות היסטורית ארוכה המבוססת על ניסיון. גם מושג המספר וגם מושג הדמות שאולים אך ורק מהעולם החיצוני, ולא צמחו בראש מחשיבה טהורה. היו צריכים להיות דברים בעלי צורה מסוימת, והצריך היה להשוות את הצורות הללו לפני שניתן היה להגיע למושג דמות".

הבה נבחן האם ישנם מושגים במדע שנוצרו ללא קשר להתקדמות המדע בעבר ולהתקדמות הנוכחית של התרגול. אנו יודעים היטב שליצירתיות מתמטית מדעית מקדימים לימוד נושאים רבים בבית הספר, באוניברסיטה, קריאת ספרים, מאמרים, שיחות עם מומחים הן בתחומו והן בתחומי דעת אחרים. מתמטיקאי חי בחברה, ומספרים, ברדיו וממקורות אחרים, הוא לומד על בעיות המתעוררות במדע, בהנדסה ובחיים הציבוריים. בנוסף, החשיבה של החוקר מושפעת מכל האבולוציה הקודמת של המחשבה המדעית. לכן, מתברר שהוא מוכן לפתור בעיות מסוימות הנחוצות להתקדמות המדע. זו הסיבה שמדען אינו יכול להעלות בעיות באופן שרירותי, מתוך גחמה, אלא חייב ליצור מושגים ותיאוריות מתמטיות שיהיו בעלי ערך עבור המדע, עבור חוקרים אחרים, עבור האנושות. אבל תיאוריות מתמטיות שומרות על משמעותן בתנאים של תצורות חברתיות שונות ותקופות היסטוריות. בנוסף, לעתים קרובות אותם רעיונות עולים ממדענים שאינם קשורים זה לזה בשום אופן. זהו טיעון נוסף נגד מי שדבק במושג היצירתיות החופשית של מושגים מתמטיים.

אז, הסברנו מה כלול במושג "מתמטיקה". אבל יש גם דבר כזה כמו מתמטיקה שימושית. זה מובן כמכלול של כל השיטות והדיסציפלינות המתמטיות המוצאות יישומים מחוץ למתמטיקה. בימי קדם, גיאומטריה וחשבון ייצגו את כל המתמטיקה, ומכיוון ששניהם מצאו יישומים רבים בחילופי מסחר, מדידת שטחים ונפחים, ובנושאים של ניווט, כל המתמטיקה הייתה לא רק תיאורטית, אלא גם מיושמת. מאוחר יותר, ביוון העתיקה, נוצרה חלוקה למתמטיקה ומתמטיקה שימושית. עם זאת, כל המתמטיקאים המצטיינים עסקו גם ביישומים, ולא רק במחקר תיאורטי גרידא.

התפתחות נוספת של המתמטיקה הייתה קשורה ללא הרף עם התקדמות מדעי הטבע, הטכנולוגיה והופעת צרכים חברתיים חדשים. עד סוף המאה ה-18. נוצר צורך (בעיקר בקשר לבעיות ניווט וארטילריה) ליצור תיאוריה מתמטית של תנועה. ג'וו לייבניץ ואני ניוטון עשו זאת בעבודותיהם. המתמטיקה השימושית התחדשה בשיטת מחקר חדשה וחזקה מאוד - ניתוח מתמטי. כמעט במקביל, צרכי הדמוגרפיה והביטוח הביאו להיווצרותן של תחילתה של תורת ההסתברות (ראה תורת ההסתברות). מאות XVIII ו XIX. הרחיב את תוכן המתמטיקה השימושית, והוסיף לו את תורת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות והחלקיות, משוואות הפיזיקה המתמטית, אלמנטים של סטטיסטיקה מתמטית וגיאומטריה דיפרנציאלית. המאה העשרים הביא שיטות חדשות למחקר מתמטי של בעיות מעשיות: תורת התהליכים האקראיים, תורת הגרפים, ניתוח פונקציונלי, בקרה מיטבית, תכנות ליניארי ולא ליניארי. יתרה מכך, התברר שלתורת המספרים ואלגברה מופשטת יש יישומים בלתי צפויים לבעיות בפיזיקה. כתוצאה מכך החלה להופיע האמונה שמתמטיקה יישומית כדיסציפלינה נפרדת אינה קיימת וכל המתמטיקה יכולה להיחשב יישומית. אולי אנחנו צריכים לדבר לא על העובדה שמתמטיקה היא יישומית ותיאורטית, אלא על העובדה שמתמטיקאים מחולקים ליישומיים ותיאורטיקנים. עבור חלק מתמטיקה היא שיטה להבנת העולם הסובב אותנו ואת התופעות המתרחשות בו, לשם כך מפתח מדען ומרחיב ידע מתמטי. עבור אחרים, המתמטיקה עצמה מייצגת עולם שלם הראוי ללימוד ופיתוח. לצורך התקדמות המדע, דרושים מדענים משני הסוגים.

המתמטיקה, לפני לימוד כל תופעה באמצעות שיטות משלה, יוצרת את המודל המתמטי שלה, כלומר, מפרטת את כל המאפיינים של התופעה שיובאו בחשבון. המודל מאלץ את החוקר לבחור באותם כלים מתמטיים שיאפשרו לו להעביר בצורה נאותה את תכונות התופעה הנחקרת ואת התפתחותה. כדוגמה, ניקח מודל של מערכת פלנטרית: השמש וכוכבי הלכת נחשבים כנקודות חומריות עם המסות המתאימות. האינטראקציה של כל שתי נקודות נקבעת על ידי כוח המשיכה ביניהן

כאשר m 1 ו-m 2 הם מסות הנקודות המקיימות אינטראקציה, r הוא המרחק ביניהן, ו-f הוא קבוע הכבידה. למרות הפשטות של מודל זה, בשלוש מאות השנים האחרונות הוא מעביר בדיוק רב את תכונות התנועה של כוכבי הלכת של מערכת השמש.

כמובן שכל מודל מגבש את המציאות, ומשימתו של החוקר היא קודם כל להציע מודל שמצד אחד מעביר באופן מלא את הצד העובדתי של העניין (כמו שאומרים, תכונותיו הפיזיקליות), ועל מצד שני, נותן קירוב משמעותי למציאות. כמובן שניתן להציע מספר מודלים מתמטיים עבור אותה תופעה. לכולם יש זכות קיום עד שמתחיל להשפיע אי התאמה משמעותית בין המודל למציאות.

מתמטיקה היא מדע היחסים הכמותיים והצורות המרחביות של העולם האמיתי. בקשר בלתי נפרד עם דרישות המדע והטכנולוגיה, מלאי היחסים הכמותיים והצורות המרחביות הנלמדות על ידי המתמטיקה מתרחב ללא הרף, כך שיש להבין את ההגדרה לעיל במובן הכללי ביותר.

מטרת לימודי המתמטיקה היא להגביר את ההשקפה הכללית, תרבות החשיבה וגיבוש תפיסת עולם מדעית.

הבנת העמדה העצמאית של המתמטיקה כמדע מיוחד התאפשרה לאחר הצטברות של חומר עובדתי גדול מספיק והתעוררה לראשונה ביוון העתיקה במאות ה-6-5 לפני הספירה. זו הייתה תחילתה של תקופת המתמטיקה היסודית.

בתקופה זו עוסק המחקר המתמטי רק בהיצע מצומצם למדי של מושגי יסוד שעלו עם הצרכים הפשוטים ביותר של החיים הכלכליים. יחד עם זאת, יש כבר שיפור איכותי במתמטיקה כמדע.

לעתים קרובות משווים מתמטיקה מודרנית לעיר גדולה. זו השוואה מצוינת כי במתמטיקה, כמו בעיר גדולה, יש תהליך מתמשך של צמיחה ושיפור. במתמטיקה צצים תחומים חדשים, נבנות תיאוריות חדשות אלגנטיות ומעמיקות, כמו בניית שכונות ומבנים חדשים. אבל התקדמות המתמטיקה אינה מוגבלת רק לשינוי פניה של העיר עקב בנייתה של עיר חדשה. אנחנו צריכים לשנות גם את הישן. תיאוריות ישנות נכללות בתיאוריות חדשות, כלליות יותר; יש צורך לחזק את היסודות של מבנים ישנים. יש להניח רחובות חדשים כדי ליצור קשרים בין רובעים מרוחקים של העיר המתמטית. אך לא די בכך – תכנון אדריכלי מצריך מאמץ משמעותי, שכן הגיוון בתחומי המתמטיקה השונים לא רק מקלקל את הרושם הכללי של המדע, אלא גם מפריע להבנת המדע בכללותו וליצירת קשרים בין חלקיו השונים.

לעתים קרובות נעשה שימוש בהשוואה אחרת: מתמטיקה משולה לעץ מסועף גדול, אשר מייצר באופן שיטתי זרעים חדשים. כל ענף של העץ הוא תחום כזה או אחר של מתמטיקה. מספר הענפים אינו נשאר ללא שינוי, שכן צומחים ענפים חדשים, אלו שצמחו לראשונה בנפרד גדלים יחד, וחלק מהענפים מתייבשים ללא מיצי תזונה. שתי ההשוואות מוצלחות ומעבירות היטב את מצב העניינים בפועל.

אין ספק שדרישת היופי משחקת תפקיד חשוב בבניית תיאוריות מתמטיות. מובן מאליו שתחושת היופי היא סובייקטיבית מאוד ולעתים קרובות נתקלים ברעיונות מכוערים למדי בעניין זה. ובכל זאת צריך להיות מופתעים מהאחדות שמכניסים מתמטיקאים למושג "יופי": תוצאה נחשבת יפה אם ממספר קטן של תנאים ניתן להגיע למסקנה כללית החלה על מגוון רחב של עצמים. גזירה מתמטית נחשבת יפה אם היא מצליחה להוכיח עובדה מתמטית משמעותית באמצעות נימוק פשוט וקצר. בגרותו של מתמטיקאי וכישרונו ניתן להבחין לפי מידת הפיתוח של חוש היופי שלו. קל יותר להבין, לזכור ולהשתמש תוצאות שלמות מבחינה אסתטית ומושלמות מתמטית; קל יותר לזהות את מערכות היחסים שלהם עם תחומי ידע אחרים.

המתמטיקה בתקופתנו הפכה לדיסציפלינה מדעית עם תחומי מחקר רבים, מספר עצום של תוצאות ושיטות. המתמטיקה היא כיום כל כך גדולה עד שלא ניתן לאדם אחד לכסות אותה על כל חלקיה, אין אפשרות להיות מומחה אוניברסלי בה. אובדן הקשרים בין הכיוונים האישיים שלו הוא בהחלט תוצאה שלילית של ההתפתחות המהירה של מדע זה. עם זאת, להתפתחות של כל ענפי המתמטיקה יש משהו במשותף – מקורות ההתפתחות, שורשי עץ המתמטיקה.

הגיאומטריה של אוקלידס כתיאוריית מדעי הטבע הראשונה

במאה ה-3 לפני הספירה הופיע באלכסנדריה ספר אוקלידס באותו שם, בתרגום הרוסי של "עקרונות". המונח "גיאומטריה יסודית" מגיע מהשם הלטיני "התחלות". למרות העובדה שהעבודות של קודמיו של אוקלידס לא הגיעו אלינו, אנחנו יכולים לגבש דעה מסוימת על יצירות אלו על סמך היסודות של אוקלידס. ב"עקרונות" יש קטעים שמבחינה לוגית קשורים מעט מאוד לסעיפים אחרים. ניתן להסביר את המראה שלהם רק על ידי העובדה שהם הוצגו על פי המסורת ומעתיקים את "האלמנטים" של קודמיו של אוקלידס.
היסודות של אוקלידס מורכב מ-13 ספרים. ספרים 1 - 6 מוקדשים לפלנימטריה, ספרים 7 - 10 עוסקים בכמויות אריתמטיות ובלתי ניתנות להתאמה שניתן לבנות באמצעות מצפן וסרגל. ספרים 11 עד 13 הוקדשו לסטריאומטריה.
הפרינסקיפיה מתחילה בהצגת 23 הגדרות ו-10 אקסיומות. חמש האקסיומות הראשונות הן "מושגים כלליים", השאר נקראים "פוסטולטים". שתי ההנחות הראשונות קובעות פעולות באמצעות סרגל אידיאלי, השלישית - באמצעות מצפן אידיאלי. הרביעי, "כל הזוויות הישר שוות זו לזו", מיותר, מכיוון שניתן להסיק אותו מהאקסיומות הנותרות. ההנחה החמישית האחרונה נכתבה: "אם ישר נופל על שני קווים ישרים ויוצר זוויות פנימיות חד-צדדיות בסכום של פחות משני קווים ישרים, אזי, עם הארכה בלתי מוגבלת של שני קווים ישרים אלה, הם יצטלבו על הצלע שבה הזוויות קטנות משני קווים ישרים."
חמשת "המושגים הכלליים" של אוקלידס הם העקרונות של מדידת אורכים, זוויות, שטחים, נפחים: "שווים שווים לאותו שווים זה לזה", "אם מוסיפים שווים לשווים, הסכומים שווים", "אם שווים הם שווים. בהפחתת שווים, השארים שווים." בינם לבין עצמם", "אלה המשולבים זה עם זה שווים זה לזה", "השלם גדול מהחלק".
לאחר מכן החלה ביקורת על הגיאומטריה של אוקלידס. אוקלידס זכה לביקורת משלוש סיבות: משום שהוא בחן רק את הגדלים הגיאומטריים הניתנים לבנייה באמצעות מצפן וסרגל; על העובדה שהוא הפריד בין גיאומטריה לאריתמטיקה והוכיח עבור מספרים שלמים את מה שכבר הוכיח עבור כמויות גיאומטריות, ולבסוף, עבור האקסיומות של אוקלידס. ההנחה הכבדה ביותר שספגה ביקורת הייתה החמישית, ההנחה המורכבת ביותר של אוקלידס. רבים ראו בכך מיותר, וכי ניתן וצריך להסיק זאת מאקסיומות אחרות. אחרים האמינו שיש להחליף אותו באחד פשוט וברור יותר, המקביל לו: "דרך נקודה מחוץ לישר, לא ניתן לצייר יותר מישור אחד ישר במישור שלהם שאינו חוצה את הישר הנתון".
הביקורת על הפער בין גיאומטריה לאריתמטיקה הביאה להרחבת מושג המספר למספר ממשי. מחלוקות לגבי ההנחה החמישית הובילו לכך שבתחילת המאה ה-19, נ.י. לובצ'בסקי, ג'יי בוליי וק.פ. גאוס בנו גיאומטריה חדשה שבה התגשמו כל האקסיומות של הגיאומטריה של אוקלידס, למעט ההנחה החמישית. הוא הוחלף באמירה הפוכה: "במישור, דרך נקודה מחוץ לישר, ניתן לצייר יותר מקו אחד שאינו חוצה את הנתון". גיאומטריה זו הייתה עקבית כמו הגיאומטריה של אוקלידס.
מודל הפלנימטריה של לובצ'בסקי במישור האוקלידי נבנה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה ב-1882.
נצייר קו אופקי במישור האוקלידי. קו זה נקרא המוחלט (x). נקודות של המישור האוקלידי השוכנות מעל המוחלט הן נקודות של מישור לובצ'בסקי. מטוס לובצ'בסקי הוא חצי מישור פתוח השוכן מעל המוחלט. מקטעים לא אוקלידיים במודל פואנקרה הם קשתות של עיגולים שבמרכזם המוחלט או מקטעים של קווים ישרים מאונכים למוחלט (AB, CD). דמות במישור לובצ'בסקי היא דמות של חצי מישור פתוח השוכב מעל המוחלט (F). תנועה לא אוקלידית היא קומפוזיציה של מספר סופי של היפוכים שבמרכזם הסימטריה המוחלטת והצירית שהצירים שלהן מאונכים למוחלט. שני קטעים לא אוקלידיים שווים אם ניתן להעביר אחד מהם לשני בתנועה לא אוקלידית. אלו הם המושגים הבסיסיים של האקסיומטיקה של הפלנימטריה של לובצ'בסקי.
כל האקסיומות של הפלנימטריה של לובצ'בסקי עקביות. "קו ישר לא אוקלידי הוא חצי עיגול עם קצוות במוחלט או קרן עם התחלה במוחלט ובמאונך למוחלט." לפיכך, האמירה של אקסיומת ההקבלה של לובצ'בסקי תופסת לא רק לגבי ישר א' ונקודה A שאינה מונחת על קו זה, אלא גם לגבי כל ישר a וכל נקודה A שאינה מונחת עליו.
לאחר הגיאומטריה של לובצ'בסקי, עלו גיאומטריות עקביות אחרות: גיאומטריה השלכתית מופרדת מהאוקלידית, צמחה גיאומטריה אוקלידית רב-ממדית, הגיאומטריה רימניאנית עלתה (התיאוריה הכללית של מרחבים עם חוק שרירותי למדידת אורכים) ועוד. ממדע הדמויות בתלת מימד אחד. המרחב האוקלידי, הגיאומטריה במשך 40 - 50 שנה הפכה למכלול של תיאוריות שונות, רק דומות מעט לאביו הקדמון - הגיאומטריה האוקלידית.
השלבים העיקריים בהתפתחות המתמטיקה המודרנית. מבנה המתמטיקה המודרנית
האקדמאי א.נ. קולמוגורוב מזהה ארבע תקופות בהתפתחות המתמטיקה. קולמוגורוב א.נ. - Mathematics, Mathematical Encyclopedic Dictionary, מוסקבה, האנציקלופדיה הסובייטית, 1988: מקורות המתמטיקה, מתמטיקה יסודית, מתמטיקה של משתנים, מתמטיקה מודרנית.
במהלך התפתחות המתמטיקה היסודית, תורת המספרים צמחה בהדרגה מתוך החשבון. אלגברה נוצרת כחשבון מילולי. ומערכת ההצגה של הגיאומטריה היסודית שנוצרה על ידי היוונים הקדמונים - הגיאומטריה של אוקלידס - במשך אלפיים שנה קדימה הפכה למודל של הבנייה הדדוקטיבית של התיאוריה המתמטית.
במאה ה-17 הובילו צרכי מדעי הטבע והטכנולוגיה ליצירת שיטות שאפשרו לימוד מתמטי של תנועה, תהליכים של שינוי כמויות והפיכת דמויות גיאומטריות. תקופת המתמטיקה של כמויות משתנות מתחילה בשימוש במשתנים בגיאומטריה אנליטית ויצירת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. התגליות הגדולות של המאה ה-17 הן המושג של כמות אינפיניטסימלית שהציגו ניוטון ולייבניץ, יצירת היסודות של ניתוח הכמויות האינפיניטסימליות (ניתוח מתמטי).
מושג הפונקציה עולה על הפרק. פונקציה הופכת לנושא הלימוד העיקרי. לימוד פונקציה מוביל למושגי היסוד של ניתוח מתמטי: גבול, נגזרת, דיפרנציאלי, אינטגרל.
הופעת הרעיון המבריק של ר' דקארט לגבי שיטת הקואורדינטות מתוארכת גם היא לתקופה זו. נוצרת גיאומטריה אנליטית, המאפשרת לך ללמוד אובייקטים גיאומטריים בשיטות של אלגברה וניתוח. מצד שני, שיטת הקואורדינטות פתחה אפשרות לפרשנות גיאומטרית של עובדות אלגבריות ואנליטיות.
התפתחות נוספת של המתמטיקה הובילה בתחילת המאה ה-19 לניסוח הבעיה של חקר סוגים אפשריים של יחסים כמותיים וצורות מרחביות מנקודת מבט כללית למדי.
הקשר בין מתמטיקה למדעי הטבע נעשה מורכב יותר ויותר. תיאוריות חדשות עולות והן עולות לא רק כתוצאה מהדרישות של מדעי הטבע והטכנולוגיה, אלא גם כתוצאה מהצרכים הפנימיים של המתמטיקה. דוגמה יוצאת דופן לתיאוריה כזו היא הגיאומטריה הדמיונית של נ.י. לובצ'בסקי. התפתחות המתמטיקה במאות ה-19 וה-20 מאפשרת לייחס אותה לתקופת המתמטיקה המודרנית. התפתחות המתמטיקה עצמה, מתמטיזציה של תחומי מדע שונים, חדירת שיטות מתמטיות לתחומי פעילות מעשית רבים, והתקדמות טכנולוגיית המחשב הביאו להופעתם של דיסציפלינות מתמטיות חדשות, למשל, חקר פעולות, תורת המשחקים. , כלכלה מתמטית ואחרים.
השיטות העיקריות במחקר מתמטי הן הוכחות מתמטיות – חשיבה לוגית קפדנית. חשיבה מתמטית אינה מוגבלת לשיקולים לוגיים. כדי לנסח בעיה נכונה ולהעריך את בחירת השיטה לפתרון שלה, יש צורך באינטואיציה מתמטית.
במתמטיקה לומדים מודלים מתמטיים של עצמים. אותו מודל מתמטי יכול לתאר את המאפיינים של תופעות אמיתיות הרחוקות זו מזו. לפיכך, אותה משוואה דיפרנציאלית יכולה לתאר את תהליכי גידול האוכלוסייה והתפרקות החומר הרדיואקטיבי. למתמטיקאי, מה שחשוב הוא לא אופי האובייקטים הנבדקים, אלא היחסים הקיימים ביניהם.
ישנם שני סוגים של מסקנות המשמשות במתמטיקה: דדוקציה ואינדוקציה.
אינדוקציה היא שיטת מחקר שבה מסקנה כללית נבנית על בסיס הנחות יסוד מסוימות.
דדוקציה היא שיטת חשיבה שבאמצעותה מסקנה מסוימת נובעת מהנחות יסוד כלליות.
למתמטיקה תפקיד חשוב בלימודי מדעים, הנדסה ומדעי הרוח. הסיבה לחדירת המתמטיקה לענפי ידע שונים היא שהיא מציעה מודלים מאוד ברורים לחקר המציאות הסובבת, בניגוד למודלים הפחות כלליים והמעורפלים יותר שמציעים מדעים אחרים. ללא המתמטיקה המודרנית עם המנגנונים הלוגיים והמחשוביים המפותחים שלה, התקדמות בתחומים שונים של פעילות אנושית תהיה בלתי אפשרית.
מתמטיקה היא לא רק כלי רב עוצמה לפתרון בעיות יישומיות והשפה האוניברסלית של המדע, אלא גם מרכיב של תרבות כללית.
תכונות בסיסיות של חשיבה מתמטית
בסוגיה זו, מעניין במיוחד המאפיין של החשיבה המתמטית שניתן על ידי א.יא חינצ'ין, או ליתר דיוק, צורתה ההיסטורית הספציפית - סגנון החשיבה המתמטית. חושף את המהות של סגנון החשיבה המתמטית, הוא מזהה ארבע תכונות משותפות לכל התקופות המבדילות באופן משמעותי את הסגנון הזה מסגנונות החשיבה במדעים אחרים.
ראשית, המתמטיקאי מאופיין בדומיננטיות של הסכימה הלוגית של החשיבה, הנלקחת עד הקצה. מתמטיקאי שאיבד את עיניו של תוכנית זו, לפחות זמנית, נמנעת בדרך כלל מההזדמנות לחשוב באופן מדעי. לתכונה המיוחדת הזו של סגנון החשיבה המתמטית יש ערך רב. ברור, זה מאפשר לך לעקוב אחר נכונות זרימת המחשבה במידה המרבית ומבטיח מפני טעויות; מצד שני, היא מאלצת את ההוגה, בעת הניתוח, להעמיד לנגד עיניו את כל מכלול האפשרויות הזמינות ומחייבת אותו לקחת בחשבון כל אחת מהן, מבלי לפספס אף אחת (השמטות כאלה בהחלט אפשריות ולמעשה. , נצפים לעתים קרובות בסגנונות חשיבה אחרים).
שנית, לקוניות, כלומר. רצון מודע למצוא תמיד את הדרך ההגיונית הקצרה ביותר המובילה למטרה נתונה, דחייה חסרת רחמים של כל מה שנחוץ לחלוטין לתועלת ללא דופי של הטיעון. חיבור מתמטי בסגנון טוב אינו סובל שום "מים", לא לקשט, להחליש את המתח ההגיוני של התפרצויות, או הסחות דעת מהצד; חסינות קיצונית, קפדנות חמורה של מחשבה והצגתה מהווים מאפיין אינטגרלי של חשיבה מתמטית. תכונה זו היא בעלת ערך רב לא רק עבור מתמטי, אלא גם עבור כל נימוק רציני אחר. הלקוניזם, הרצון להימנע מכל דבר מיותר, עוזר הן להוגה עצמו והן לקוראו או למאזין שלו להתרכז במלואו בקו מחשבה נתון, מבלי להסיח את דעתו על ידי רעיונות צדדיים ומבלי לאבד מגע ישיר עם קו החשיבה המרכזי.
מאורות המדע, ככלל, חושבים ומתבטאים בתמציתיות בכל תחומי הידע, גם כשהמחשבה יוצרת אותם ומציגה רעיונות חדשים ביסודם. איזה רושם מלכותי מייצר, למשל, תאוות המחשבה והדיבור האצילית של יוצרי הפיזיקה הגדולים: ניוטון, איינשטיין, נילס בוהר! אולי קשה למצוא דוגמה בולטת יותר להשפעה העמוקה שיכולה להיות לסגנון החשיבה של יוצריו על התפתחות המדע.
עבור מתמטיקה, לקוניזם של מחשבה הוא חוק שאין עוררין עליו, שנקבע כקדוש במשך מאות שנים. כל ניסיון להעמיס על המצגת תמונות, הסחות דעת או התלהמות שאינם בהכרח הכרחיים (גם אם נעימים ומרתק עבור המאזינים) מוטל מראש בחשדנות לגיטימית ומעורר אוטומטית עירנות ביקורתית.
שלישית, חלוקה ברורה של מהלך ההיגיון. אם, למשל, בעת הוכחת טענה, עלינו לשקול ארבעה מקרים אפשריים, שכל אחד מהם ניתן לחלק למספר זה או אחר של תת-מקרים, אז בכל רגע של הנמקה על המתמטיקאי לזכור בבירור באיזה מקרה ותת-מקרה המחשבה שלו היא. נרכש כעת ואילו מקרים ותתי מקרים עדיין נותרו לו לשקול. בכל סוג של ספירה מסועפת, המתמטיקאי חייב להיות מודע בכל רגע לאיזה מושג גנרי הוא מונה את מושגי המינים המרכיבים אותו. בחשיבה רגילה, לא מדעית, לעתים קרובות אנו רואים במקרים כאלה בלבולים וקפיצות, המובילות לבלבול וטעויות בהיגיון. לעתים קרובות קורה שאדם מתחיל לרשום את המינים של סוג אחד, ואז, באופן בלתי מורגש עבור המאזינים (ולרוב גם עבור עצמו), תוך ניצול הבהירות הלוגית הבלתי מספקת של ההיגיון, הוא קופץ לסוג אחר ומסיים באמירה ש כעת סווגו שני הזנים; והמאזינים או הקוראים אינם יודעים היכן עובר הגבול בין מינים מהסוג הראשון והשני.
על מנת להפוך בלבולים וקפיצות כאלה לבלתי אפשריים, מתמטיקאים השתמשו זה מכבר בשיטות חיצוניות פשוטות של מספור מושגים ושיפוטים, לעתים (אך הרבה פחות) בשימוש במדעים אחרים. אותם מקרים אפשריים או אותם מושגים גנריים שיש לקחת בחשבון בטיעון נתון ממוספרים מחדש מראש; בתוך כל מקרה כזה, אותם תת-מקרים כשירות שהוא מכיל ממוספרים מחדש (לפעמים, לשם ההבחנה, באמצעות מערכת מספור אחרת). לפני כל פסקה, שבה מתחילה הבחינה של תת-מקרה חדש, מוצבת הייעוד המקובל לתת-מקרה זה (לדוגמה: II 3 - זה אומר שכאן מתחיל השיקול של התת-תיק השלישי של התיק השני, או תיאור של השלישי. סוג מהסוג השני, אם אנחנו מדברים על סיווג). והקורא יודע שעד שהוא נתקל ברובריקה מספרית חדשה, כל האמור חל רק על מקרה זה ותת-מקרה. מובן מאליו שמספור כזה משמש רק כמכשיר חיצוני, שימושי מאוד, אבל בשום אופן לא מחייב, ושעיקר העניין אינו בו, אלא בביזור המובהק של הטיעון או הסיווג שהוא גם מעורר וגם מסמן. .
רביעית, דיוק מדוקדק של סמליות, נוסחאות, משוואות. כלומר, "לכל סמל מתמטי יש משמעות מוגדרת בהחלט: החלפתו בסמל אחר או סידורו מחדש למקום אחר, ככלל, כרוכה בעיוות, ולעתים בהרס מוחלט של המשמעות של אמירה נתונה".
לאחר שהדגיש את המאפיינים העיקריים של סגנון החשיבה המתמטי, א.יא חינצ'ין מציין כי המתמטיקה (בעיקר מתמטיקה של משתנים) היא דיאלקטית במהותה, ולכן תורמת לפיתוח החשיבה הדיאלקטית. אכן, בתהליך החשיבה המתמטית מתקיימת אינטראקציה בין החזותי (קונקרטי) לרעיוני (מופשט). "איננו יכולים לחשוב על קו", כתב קאנט, "בלי לשרטט אותו נפשית; איננו יכולים לחשוב על שלושה מימדים בלי לצייר שלושה קווים מאונכים זה לזה מנקודה אחת."
האינטראקציה בין הקונקרטי והמופשט "הובילה" את החשיבה המתמטית לפיתוח של מושגים וקטגוריות פילוסופיות חדשות וחדשות. במתמטיקה העתיקה (מתמטיקה של כמויות קבועות) אלו היו "מספר" ו"מרחב", שבאו לידי ביטוי בתחילה בגיאומטריה האריתמטית והאוקלידית, ובהמשך באלגברה ובמערכות גיאומטריות שונות. המתמטיקה של כמויות משתנות "התבססה" על מושגים ששיקפו את תנועת החומר - "סופית", "אינסופית", "המשכיות", "בדיד", "אינסופית", "נגזרת" וכו'.
אם אנחנו מדברים על השלב ההיסטורי המודרני של התפתחות הידע המתמטי, אז זה הולך בהתאם להתפתחות נוספת של קטגוריות פילוסופיות: תורת ההסתברות "שולטת" בקטגוריות של האפשרי והאקראי; טופולוגיה - קטגוריות של קשר והמשכיות; תורת הקטסטרופה - קטגוריית זינוק; תורת הקבוצות - קטגוריות של סימטריה והרמוניה וכו'.
חשיבה מתמטית מבטאת את העקרונות הבסיסיים של בניית קשרים לוגיים הדומים בצורתם. בעזרתו נעשה מעבר מהפרט (נניח, משיטות מתמטיות מסוימות - אקסיומטיות, אלגוריתמיות, קונסטרוקטיביות, תאורטיות ועוד) אל המיוחד והכללי, למבנים דדוקטיביים מוכללים. אחדות השיטות והנושא של המתמטיקה קובעת את הספציפיות של החשיבה המתמטית ומאפשרת לנו לדבר על שפה מתמטית מיוחדת שבה לא רק המציאות משתקפת, אלא גם ידע מדעי מסונתז, מוכלל ונחזה. הכוח והיופי של המחשבה המתמטית טמונים בבהירות המופלגת של ההיגיון שלה, באלגנטיות של עיצוביה ובבנייה המיומנת של הפשטות.
אפשרויות חדשות ביסודו של פעילות מנטלית נפתחו עם המצאת המחשב ויצירת מתמטיקה מכונה. חלו שינויים משמעותיים בשפת המתמטיקה. אם שפת המתמטיקה החישובית הקלאסית הייתה מורכבת מנוסחאות של אלגברה, גיאומטריה ואנליזה, והיתה ממוקדת בתיאור תהליכים מתמשכים של הטבע, הנלמדים בעיקר במכניקה, אסטרונומיה ופיזיקה, הרי שפתה המודרנית היא שפת האלגוריתמים והתוכניות. , כולל השפה הישנה של נוסחאות כמקרה מסוים.
השפה של המתמטיקה החישובית המודרנית הופכת יותר ויותר אוניברסלית, מסוגלת לתאר מערכות מורכבות (רב-פרמטריות). יחד עם זאת, ברצוני להדגיש כי לא משנה כמה מושלמת תהיה השפה המתמטית, המשופרת על ידי טכנולוגיית המחשוב האלקטרוני, היא אינה מנתקת קשרים עם השפה ה"חיה" המגוונת, הטבעית. יתרה מכך, השפה המדוברת היא הבסיס לשפה מלאכותית. בהקשר זה, גילוי אחרון של מדענים הוא מעניין. הנקודה היא שהשפה העתיקה של האימארה האינדיאנים, המדוברת על ידי כ-2.5 מיליון אנשים בבוליביה ופרו, הוכיחה את עצמה כידידותית מאוד למחשבים. עוד בשנת 1610, המיסיונר הישועי האיטלקי לודוביקו ברטוני, שחיבר את מילון איימארה הראשון, ציין את הגאונות של יוצריו, שהשיגו טוהר לוגי גבוה. באימרה, למשל, אין פעלים חריגים ואין חריגים למעט הכללים הדקדוקיים הברורים. תכונות אלו של שפת האימארה אפשרו למתמטיקאי הבוליביאני איוון גוזמן דה רוחאס ליצור מערכת של תרגום מחשב סימולטני מכל אחת מחמש השפות האירופיות הכלולות בתוכנית, כשה"גשר" שביניהם הוא שפת האימארה. מחשב איימארה, שנוצר על ידי מדען בוליביאני, זכה לשבחים רבים ממומחים. בסיכום חלק זה של השאלה על מהות סגנון החשיבה המתמטי, יש לציין כי תוכנו העיקרי הוא הבנת הטבע.
שיטה אקסיומטית
אקסיומטיקה היא הדרך העיקרית לבניית תיאוריה, מימי קדם ועד ימינו המאשרת את האוניברסליות שלה ואת כל ישימותה.
בניית תיאוריה מתמטית מבוססת על השיטה האקסיומטית. תיאוריה מדעית מבוססת על הוראות ראשוניות מסוימות, הנקראות אקסיומות, וכל שאר הוראות התיאוריה מתקבלות כהשלכות לוגיות של האקסיומות.
השיטה האקסיומטית הופיעה ביוון העתיקה, והיא משמשת כיום כמעט בכל המדעים התיאורטיים, ובעיקר במתמטיקה.
בהשוואה של שלוש, מבחינה מסוימת, גיאומטריות משלימות: אוקלידית (פרבולית), לובצ'בסקי (היפרבולית) ורימניאנית (אליפטית), יש לציין כי לצד כמה קווי דמיון, יש הבדל גדול בין גיאומטריה כדורית, מצד אחד. , והגיאומטריה של אוקלידיאן ולובצ'בסקי - מצד שני.
ההבדל המהותי בין גיאומטריה מודרנית הוא שהיא חובקת כעת את ה"גיאומטריות" של מספר אינסופי של חללים דמיוניים שונים. עם זאת, יש לציין שכל הגיאומטריות הללו הן פירושים לגיאומטריה אוקלידית ומבוססות על השיטה האקסיומטית שבה השתמש אוקלידס לראשונה.
בהתבסס על מחקר, פותחה השיטה האקסיומטית ונעשה בה שימוש נרחב. כמקרה מיוחד של יישום שיטה זו היא שיטת העקבות בסטריאומטריה, המאפשרת פתרון בעיות של בניית קטעים בפוליהדרה ועוד כמה בעיות מיקום.
השיטה האקסיומטית, שפותחה לראשונה בגיאומטריה, הפכה כעת לכלי לימוד חשוב בענפים אחרים של מתמטיקה, פיזיקה ומכניקה. נכון לעכשיו, מתבצעת עבודה לשיפור וללמוד יותר לעומק את השיטה האקסיומטית לבניית תיאוריה.
השיטה האקסיומטית לבניית תיאוריה מדעית מורכבת מבידוד מושגי היסוד, ניסוח האקסיומות של התיאוריות וכל שאר ההיגדים נגזרים בהיגיון, בהתבסס עליהם. ידוע שיש להסביר מושג אחד בעזרת אחרים, אשר בתורם מוגדרים גם בעזרת כמה מושגים ידועים. כך, אנו מגיעים למושגים אלמנטריים שלא ניתן להגדיר באמצעות אחרים. מושגים אלו נקראים בסיסיים.
כאשר אנו מוכיחים משפט, משפט, אנו מסתמכים על הנחות יסוד שנחשבות כבר מוכחות. אבל גם הנחות היסוד הללו הוכחו: היה צריך להצדיק אותן. בסופו של דבר, אנו מגיעים להצהרות בלתי ניתנות להוכחה ומקבלים אותן ללא הוכחה. הצהרות אלו נקראות אקסיומות. קבוצת האקסיומות חייבת להיות כזו שבהתבסס עליה ניתן להוכיח הצהרות נוספות.
לאחר שזיהינו את מושגי היסוד וניסחנו אקסיומות, אנו גוזרים משפטים ומושגים אחרים בצורה הגיונית. זהו המבנה הלוגי של הגיאומטריה. אקסיומות ומושגי יסוד מהווים את היסודות של הפלנימטריה.
מכיוון שאי אפשר לתת הגדרה אחת של מושגי היסוד לכל הגיאומטריות, יש להגדיר את המושגים הבסיסיים של הגיאומטריה כעצמים מכל טבע העונים על האקסיומות של גיאומטריה זו. לפיכך, בבנייה האקסיומטית של מערכת גיאומטרית, אנו מתחילים ממערכת מסוימת של אקסיומות, או אקסיומטיקה. אקסיומות אלו מתארות את המאפיינים של מושגי היסוד של המערכת הגיאומטרית, ונוכל לייצג את מושגי היסוד בצורה של עצמים מכל טבע בעלי התכונות המפורטות באקסיומות.
לאחר הניסוח וההוכחה של ההיגדים הגיאומטריים הראשונים, ניתן להוכיח כמה משפטים (משפטים) בעזרת אחרים. ההוכחות של משפטים רבים מיוחסות לפיתגורס ולדמוקריטוס.
היפוקרטס מכיוס זוכה להרכיב את הקורס השיטתי הראשון בגיאומטריה, המבוסס על הגדרות ואקסיומות. קורס זה והטיפולים הבאים שלו נקראו "אלמנטים".
שיטה אקסיומטית לבניית תיאוריה מדעית
יצירת שיטה דדוקטיבית או אקסיומטית לבניית מדע היא אחד ההישגים הגדולים ביותר של המחשבה המתמטית. זה דרש עבודה של דורות רבים של מדענים.
תכונה יוצאת דופן של המערכת הדדוקטיבית של ההצגה היא הפשטות של בנייה זו, המאפשרת לתאר אותה בכמה מילים.
המערכת הדדוקטיבית של המצגת מסתכמת ב:
1) לרשימת המושגים הבסיסיים,
2) להצגת הגדרות,
3) להצגת אקסיומות,
4) להצגת משפטים,
5) להוכחה של משפטים אלו.
אקסיומה היא אמירה שמתקבלת ללא ראיות.
משפט הוא משפט הנובע מהאקסיומות.
הוכחה היא חלק אינטגרלי ממערכת דדוקטיבית; זו היגיון שמראה כי אמיתותה של אמירה נובעת באופן הגיוני מהאמת של משפטים או אקסיומות קודמים.
שתי שאלות אינן ניתנות לפתרון בתוך מערכת דדוקטיבית: 1) על משמעותם של מושגי יסוד, 2) על אמיתותן של האקסיומות. אבל זה לא אומר שהשאלות האלה בלתי פתירות לחלוטין.
ההיסטוריה של מדעי הטבע מלמדת שהאפשרות של בנייה אקסיומטית של מדע מסוים מופיעה רק ברמת התפתחות גבוהה למדי של מדע זה, על בסיס כמות גדולה של חומר עובדתי, המאפשר לזהות בבירור את הבסיס. קשרים ויחסים שקיימים בין האובייקטים הנלמדים על ידי מדע זה.
דוגמה לבנייה האקסיומטית של מדע מתמטי היא הגיאומטריה היסודית. מערכת האקסיומות של הגיאומטריה נקבעה על ידי אוקלידס (בערך 300 לפני הספירה) ביצירה "עקרונות", ללא תחרות במשמעותה. מערכת זו נשמרה בתכונותיה העיקריות עד היום.
מושגי יסוד: נקודה, קו ישר, מישור, תמונות בסיסיות; לשכב בין, להשתייך, לתנועה.
לגיאומטריה היסודית 13 אקסיומות, המחולקות לחמש קבוצות. בקבוצה החמישית יש אקסיומה אחת לגבי מקבילות (הנחה אוקלידית V): דרך נקודה במישור ניתן לצייר רק ישר אחד שאינו חוצה את הישר הנתון. זו האקסיומה היחידה שדרשה הוכחה. הניסיונות להוכיח את ההנחה החמישית העסיקו את המתמטיקאים במשך יותר מאלפיים שנה, עד למחצית הראשונה של המאה ה-19, כלומר. עד לרגע שבו ניקולאי איבנוביץ' לובצ'בסקי הוכיח בעבודותיו את חוסר התקווה המוחלט של הניסיונות הללו. נכון לעכשיו, אי-ההוכחה של ההנחה החמישית היא עובדה מתמטית מוכחת בהחלט.
אקסיומה על מקביל N.I. לובצ'בסקי החליף אותו באקסיומה: תנו קו ישר ונקודה השוכנת מחוץ לישר במישור נתון. דרך נקודה זו, ניתן לצייר לפחות שני קווים מקבילים לקו נתון.
ממערכת האקסיומות החדשה נ.י. לובצ'בסקי, בקפדנות לוגית ללא דופי, הסיק מערכת הרמונית של משפטים המרכיבים את התוכן של הגיאומטריה הלא אוקלידית. שתי הגיאומטריות של אוקלידס ולובצ'בסקי, כמערכות לוגיות, שוות.
שלושה מתמטיקאים גדולים במאה ה-19, כמעט בו זמנית, ללא תלות זה בזה, הגיעו לאותן תוצאות של אי-הוכחה של ההנחה החמישית ויצירת גיאומטריה לא אוקלידית.
ניקולאי איבנוביץ' לובצ'בסקי (1792-1856)
קרל פרידריך גאוס (1777-1855)
יאנוס בולאי (1802-1860)
הוכחה מתמטית
השיטה העיקרית במחקר מתמטי היא הוכחה מתמטית – חשיבה לוגית קפדנית. בשל כורח אובייקטיבי, אומר חבר מקביל באקדמיה הרוסית למדעים L.D. Kudryavtsev L.D. Kudryavtsev - מתמטיקה מודרנית והוראתה, מוסקבה, נאוקה, 1985, חשיבה לוגית (שמטבעה, אם היא נכונה, היא קפדנית) מייצגת את שיטת המתמטיקה, בלעדיהם מתמטיקה אינה מתקבלת על הדעת. יש לציין כי חשיבה מתמטית אינה מוגבלת רק להיגיון הגיוני. כדי לנסח בעיה נכונה, להעריך את הנתונים שלה, לזהות את המהותיים ולבחור שיטה לפתרונן, צריך גם אינטואיציה מתמטית, המאפשרת לחזות את התוצאה הרצויה לפני השגתה, ולהתווה את הדרך של הבעיה. מחקר תוך שימוש בהיגיון סביר. אבל תקפותה של העובדה הנבדקת מוכחת לא על ידי בדיקתה על-פי מספר דוגמאות, לא על-ידי עריכת מספר ניסויים (שכשלעצמו משחק תפקיד גדול במחקר מתמטי), אלא על-ידי שיטה לוגית גרידא, על פי חוקי ההיגיון הפורמלי.
מאמינים שהוכחה מתמטית היא האמת האולטימטיבית. החלטה שמבוססת על היגיון טהור פשוט לא יכולה להיות שגויה. אבל עם התפתחות המדע, המשימות העומדות בפני מתמטיקאים מורכבות יותר ויותר.
"נכנסנו לעידן שבו המנגנון המתמטי הפך להיות כל כך מורכב ומסורבל, שבמבט ראשון כבר לא ניתן לומר אם הבעיה שנתקלה בה היא נכונה או לא", מאמינה קייט דוולין מאוניברסיטת סטנפורד בקליפורניה, ארה"ב. הוא מביא כדוגמה את "הסיווג של קבוצות סופיות פשוטות", שנוסח עוד ב-1980, אך טרם ניתנה הוכחה מדויקת מלאה. סביר להניח שהמשפט נכון, אבל אי אפשר לומר בוודאות.
פתרון מחשב גם לא יכול להיקרא מדויק, כי חישובים כאלה תמיד יש שגיאה. ב-1998 הציע היילס פתרון מחשב למשפט קפלר, שנוסח עוד ב-1611. משפט זה מתאר את האריזה הצפופה ביותר של כדורים בחלל. ההוכחה הוצגה על 300 עמודים והכילה 40,000 שורות של קוד מכונה. 12 סוקרים בדקו את הפתרון במשך שנה, אך הם לא השיגו 100% אמון בנכונות הראיות, והמחקר נשלח לתיקון. כתוצאה מכך הוא פורסם רק לאחר ארבע שנים וללא הסמכה מלאה של סוקרים.
כל החישובים האחרונים עבור בעיות יישומיות מבוצעים על גבי מחשב, אך מדענים מאמינים שלמען מהימנות רבה יותר, יש להציג חישובים מתמטיים ללא שגיאות.
תורת ההוכחה פותחה בלוגיקה וכוללת שלושה מרכיבים מבניים: תזה (מה שאמור להיות מוכח), טיעונים (מערכת של עובדות, מושגים מקובלים, חוקים וכו' של המדע המקביל) והדגמה (ההליך של פיתוח ההוכחה עצמה; שרשרת רציפה של מסקנות כאשר המסקנה ה-n הופכת לאחת מהנחות היסוד של המסקנה ה-n+1). כללי ההוכחה מודגשים ומצוינים שגיאות לוגיות אפשריות.
להוכחה מתמטית יש הרבה מן המשותף לעקרונות שנקבעו על ידי ההיגיון הפורמלי. יתרה מכך, כללי חשיבה ופעולות מתמטיים שימשו כמובן כאחד היסודות בפיתוח הליך ההוכחה בלוגיקה. בפרט, חוקרי ההיסטוריה של היווצרות הלוגיקה הפורמלית מאמינים שבזמן מסוים, כאשר אריסטו עשה את הצעדים הראשונים ליצירת חוקים וכללי לוגיקה, הוא פנה למתמטיקה ולפרקטיקה של פעילות משפטית. במקורות אלו הוא מצא חומר לבנייה הלוגית של התיאוריה המתוכננת שלו.
במאות ה-20, מושג ההוכחה איבד את משמעותו המחמירה, מה שקרה בקשר לגילוי פרדוקסים לוגיים החבויים בתורת הקבוצות ובמיוחד בקשר לתוצאות שהביאו משפטי ק' גדל על חוסר השלמות של הפורמליזציה.
קודם כל, זה השפיע על המתמטיקה עצמה, שבקשר אליה הובעה האמונה שלמונח "הוכחה" אין הגדרה מדויקת. אבל אם דעה כזו (שקיימת עד היום) משפיעה על המתמטיקה עצמה, אז הם מגיעים למסקנה שיש לקבל את ההוכחה לא במובן הלוגי-מתמטי, אלא במובן הפסיכולוגי. יתרה מכך, תפיסה דומה נמצאת אצל אריסטו עצמו, שסבר כי להוכיח פירושו לבצע נימוקים שישכנעו אותנו עד כדי כך שבאמצעותם נשכנע אחרים בנכונותו של משהו. אנו מוצאים גוון מסוים של גישה פסיכולוגית ב-A.E. Yesenin-Volpin. הוא מתנגד בחריפות לקבלת האמת ללא הוכחה, ומחבר זאת עם מעשה אמונה, ועוד כותב: "אני קורא להוכחת פסק דין קבלה כנה שהופכת את פסק הדין הזה לבלתי ניתן להכחשה". יסנין-וולפין מדווחת שהגדרתו עדיין זקוקה להבהרה. יחד עם זאת, האם עצם אפיון הראיות כ"קבלה כנה" אינו מגלה פנייה להערכה מוסרית ופסיכולוגית?
יחד עם זאת, גילוי הפרדוקסים התיאורטיים של הקבוצות והופעת משפטי גדל תרמו לפיתוח תורת ההוכחה המתמטית של אנשי האינטואיציה, בעיקר מהכיוון הקונסטרוקטיביסטי, וד' הילברט.
לפעמים מאמינים שהוכחה מתמטית היא אוניברסלית במהותה ומייצגת גרסה אידיאלית של הוכחה מדעית. עם זאת, זו לא השיטה היחידה; ישנן שיטות אחרות של נהלים ופעולות מבוססות ראיות. זה רק נכון שלהוכחה מתמטית יש קווי דמיון רבים עם ההוכחה הפורמלית-לוגית המיושמת במדעי הטבע, ושלהוכחה מתמטית יש ספציפיות מסוימת, כמו גם מערכת של טכניקות ופעולות. נעצור שם, נשמיט את המאפיינים הנפוצים שהופכים אותו לדומה לצורות הוכחה אחרות, כלומר מבלי להרחיב את האלגוריתם, הכללים, השגיאות וכו' בכל השלבים (גם העיקריים שבהם). תהליך הוכחה.
הוכחה מתמטית היא נימוק שתפקידו לבסס את האמת (כמובן, במובן מתמטי, כלומר, כניתנת למסירה) של כל אמירה.
מערכת הכללים המשמשים להוכחה נוצרה יחד עם הופעתן של מבנים אקסיומטיים של התיאוריה המתמטית. זה התממש בצורה הברורה והמלאה ביותר בגיאומטריה של אוקלידס. "Principia" שלו הפכה למעין סטנדרט מודל לארגון האקסיומטי של ידע מתמטי, ונותרה כך למתמטיקאים במשך זמן רב.
הצהרות המוצגות בצורה של רצף מסוים חייבות להבטיח מסקנה, אשר, בכפוף לכללי הפעולה ההגיונית, נחשבת מוכחת. יש להדגיש כי נימוק מסוים הוא הוכחה רק לגבי מערכת אקסיומטית מסוימת.
כאשר מאפיינים הוכחה מתמטית, מבחינים בין שתי תכונות עיקריות. קודם כל, ההוכחה המתמטית שוללת כל התייחסות לראיות אמפיריות. כל ההליך להצדקת אמיתות מסקנה מתבצע במסגרת האקסיומטיקה המקובלת. האקדמאי א.ד. אלכסנדרוב מדגיש בהקשר זה. ניתן למדוד את הזוויות של משולש אלפי פעמים ולוודא שהן שוות ל-2d. אבל אתה לא יכול להוכיח שום דבר במתמטיקה. אתה יכול להוכיח לו את זה אם תסיק את האמירה הנ"ל מהאקסיומות. בואו נחזור. כאן מתמטיקה קרובה לשיטות הסכולסטיות, שגם היא דוחה ביסודה טיעון המבוסס על עובדות שניתנו בניסוי.
לדוגמה, כאשר התגלתה אי-הצמדות של מקטעים, כאשר הוכחה משפט זה, הפנייה לניסוי פיזיקלי לא נכללה, שכן, ראשית, עצם המושג "אי-הצמדות" נטול משמעות פיזיקלית, ושנית, מתמטיקאים לא יכלו, כאשר הם עוסקים עם הפשטה, למשוך לעזרת הרחבות קונקרטיות חומריות, הנמדדות בשיטות חושיות וויזואליות. אי ההתאמה, בפרט, של הצלעות והאלכסונים של ריבוע מוכחת על סמך התכונה של מספרים שלמים באמצעות משפט פיתגורס על השוויון של ריבוע התחתון (בהתאמה, האלכסון) לסכום ריבועי הרגליים (שתי צלעות של משולש ישר זווית). או כאשר לובצ'בסקי חיפש אישור לגיאומטריה שלו, ופנה לתוצאות של תצפיות אסטרונומיות, אישור זה בוצע על ידו באמצעות אופי ספקולטיבי גרידא. הפרשנויות של גיאומטריה לא-אוקלידית שבוצעו על ידי קיילי-קליין ובלטרמי כללו גם אובייקטים מתמטיים או פיזיים.
התכונה השנייה של הוכחה מתמטית היא המופשטות הגבוהה ביותר שלה, שבה היא שונה מהליכי הוכחה במדעים אחרים. ושוב, כמו במקרה של המושג אובייקט מתמטי, אנחנו מדברים לא רק על מידת ההפשטה, אלא על טיבו. העובדה היא שההוכחה מגיעה לרמה גבוהה של הפשטה גם במספר מדעים אחרים, למשל בפיזיקה, קוסמולוגיה וכמובן בפילוסופיה, שכן הנושא של האחרון הוא הבעיות האולטימטיביות של ההוויה והחשיבה. מתמטיקה נבדלת בעובדה שמשתנים פועלים כאן, שמשמעותם היא בהפשטה מכל מאפיינים ספציפיים. הבה נזכיר כי, בהגדרה, משתנים הם סימנים כשלעצמם אין להם משמעויות ורוכשים את האחרון רק כאשר מחליפים אותם בשמות של אובייקטים מסוימים (משתנים בודדים) או כאשר מציינים מאפיינים ויחסים ספציפיים (משתני פרדיקט), או, לבסוף, במקרים של החלפת משתנה בהצהרה בעלת משמעות (משתנה פרופוזיציוני).
תכונה זו קובעת את אופי ההפשטה הקיצונית של הסימנים המשמשים בהוכחה מתמטית, וכן היגדים, אשר עקב הכללת משתנים במבנה שלהם הופכים לפונקציות של הצהרות.
הליך ההוכחה עצמו, המוגדר בהיגיון כהדגמה, ממשיך על בסיס כללי ההסקה, שעל פיהם מתבצע המעבר מאמירה מוכחת אחת לאחרת, ויוצרים שרשרת רציפה של מסקנות. הנפוצים ביותר הם שני כללים (החלפה והסקה) ומשפט הדדוקציה.
כלל החלפה. במתמטיקה, החלפה מוגדרת כהחלפת כל אחד מהאלמנטים a של קבוצה נתונה באלמנט אחר F (a) מאותה קבוצה. בלוגיקה מתמטית, כלל ההחלפה מנוסח באופן הבא. אם נוסחה אמיתית M בחשבון ההצעה מכילה אות, נניח A, אז על ידי החלפתה בכל מקום שהיא מתרחשת באות D שרירותית, נקבל נוסחה נכונה כמו הנוסחה המקורית. זה אפשרי, ומקובל דווקא בגלל שבחשבון ההיגדים מופשטים ממשמעות ההיגדים (נוסחאות)... רק המשמעויות "נכון" או "לא נכון" נלקחות בחשבון. לדוגמה, בנוסחה M: A--> (BUA), במקום A נחליף את הביטוי (AUB), כתוצאה מכך נקבל נוסחה חדשה (AUB) -->[(BU(AUB) ].
הכלל להסקת מסקנות מתאים למבנה של מודוס ponens של הסילוגיזם הקטגורי המותנה (מצב חיובי) בלוגיקה הפורמלית. זה נראה כמו זה:
א .
ההצהרה (א-> ב) ניתנת וגם ניתנת a. זה מרמז ב.
לדוגמא: אם יורד גשם, הרי שהמדרכה רטובה, יורד גשם (א), ולכן המדרכה רטובה (ב). בלוגיקה מתמטית, סילוגיזם זה כתוב כך (א-> ב) א-> ב.
ההסקה נקבעת, ככלל, לפי חלוקות למשמעות. אם ניתנת השלכה (א-> ב) וקודמתה (א), אזי יש לנו הזכות להוסיף לטיעון (הוכחה) את התוצאה של השלכה זו (ב). סילוגיזם הוא בעל אופי מחייב, המהווה ארסנל של אמצעי הוכחה דדוקטיביים, כלומר, הוא עונה באופן מוחלט על הדרישות של חשיבה מתמטית.
תפקיד מרכזי בהוכחה מתמטית משחק משפט הדדוקציה - שם כללי למספר משפטים, שהפרוצדורה שלו מאפשרת לקבוע את הוכחת ההשלכה: A-> B, כאשר קיימת גזירה לוגית של נוסחה. B מנוסחה A. בגרסה הנפוצה ביותר של חשבון פרופוזיציוני (בסוגים הקלאסיים, האינטואיציוניים ואחרים של מתמטיקה) משפט הדדוקציה קובע את הדברים הבאים. אם ניתנת מערכת של הנחות G והנחת יסוד א', שממנה ניתן להסיק לפי הכללים B Г, A B (הוא סימן הגזירה), אז נובע שרק מהנחות G ניתן לקבל את המשפט א--> ב.
הסתכלנו על הסוג שהוא ראיה ישירה. יחד עם זאת, הוכחות עקיפות כביכול משמשות גם בלוגיקה; ישנן הוכחות עקיפות המתפרשות לפי הסכימה הבאה. אין להם, בשל מספר סיבות (חוסר נגישות של מושא המחקר, אובדן מציאות קיומו וכו') אפשרות לערוך הוכחה ישירה לאמיתות של אמירה או תזה כלשהי, הם בונים אנטיתזה. הם משוכנעים שהאנטיתזה מובילה לסתירות ולכן היא שקרית. ואז, מעובדת שקר האנטיתזה, מסקנה - על סמך דין האמצעי המודרים (א ו) - על אמיתות התזה.
במתמטיקה, צורה אחת של הוכחה עקיפה נמצאת בשימוש נרחב - הוכחה על ידי סתירה. הוא בעל ערך במיוחד ולמעשה חיוני בקבלת מושגים והוראות יסוד של המתמטיקה, למשל, מושג האינסוף הממשי, שלא ניתן להציגו בשום דרך אחרת.
פעולת ההוכחה על ידי סתירה מוצגת בלוגיקה מתמטית כדלקמן. נתון רצף של נוסחאות G ושלילת A (G , A). אם זה מרמז על B ושלילתו (G, A B, not-B), אז נוכל להסיק שהאמת של A נובעת מרצף הנוסחאות G. במילים אחרות, אמיתות התזה נובעת מהשקר של האנטיתזה .
הפניות:
1. נ.ש. קרמר, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. פרידמן, מתמטיקה גבוהה לכלכלנים, ספר לימוד, מוסקבה, 2002;
2. L.D. Kudryavtsev, Modern Mathematics and הוראתה, Moscow, Nauka, 1985;
3. O.I. Larichev, Objective models and subjective decisions, Moscow, Nauka, 1987;
4. A.Ya.Halamizer, "מתמטיקה? - מצחיק!", פרסום המחבר, 1989;
5. פ.ק. רשבסקי, גיאומטריה וניתוח טנסור רימניאנית, מוסקבה, מהדורה שלישית, 1967;
6. V.E. Gmurman, תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית, מוסקבה, בית ספר גבוה, 1977;
7. אינטרנט עולמי.

מתמטיקה, כמדע על יחסים כמותיים וצורות מרחביות של מציאות, חוקרת את העולם הסובב אותנו, תופעות טבע וחברתיות. אבל בניגוד למדעים אחרים, המתמטיקה חוקרת את התכונות המיוחדות שלהם, תוך הפשטה מאחרים. לפיכך, הגיאומטריה חוקרת את הצורה והגודל של עצמים, מבלי לקחת בחשבון את תכונותיהם האחרות: צבע, מסה, קשיות וכו'. באופן כללי, עצמים מתמטיים (דמות גיאומטרית, מספר, גודל) נוצרים על ידי המוח האנושי ומתקיימים רק בחשיבה האנושית, בסימנים וסמלים היוצרים שפה מתמטית.

האופי המופשט של המתמטיקה מאפשר ליישם אותה במגוון רחב של תחומים, והיא כלי רב עוצמה להבנת הטבע.

צורות ההכרה מתחלקות לשתי קבוצות.

קבוצה ראשונהמהווים צורות של הכרה חושית, המתבצעת באמצעות חושים שונים: ראייה, שמיעה, ריח, מגע, טעם.

שיתוף. קבוצה שנייהכוללים צורות של חשיבה מופשטת, בעיקר מושגים, הצהרות והסקות.

צורות הידע החושי הן להרגיש, תפיסהו יִצוּג.

לכל חפץ אין תכונות אחת, אלא תכונות רבות, ואנו מכירים אותן באמצעות תחושות.

מַרגִישׁ- זוהי השתקפות של תכונות אינדיבידואליות של אובייקטים או תופעות של העולם החומרי, המשפיעות ישירות (כלומר עכשיו, כרגע) על החושים שלנו. אלו הן תחושות של אדום, חם, עגול, ירוק, מתוק, חלק ותכונות אינדיבידואליות אחרות של חפצים [Getmanova, p. 7].

התפיסה של אובייקט שלם מורכבת מתחושות אינדיבידואליות. לדוגמה, התפיסה של תפוח מורכבת מהתחושות הבאות: כדורי, אדום, מתוק וחמוץ, ארומטי וכו'.

תפיסההוא השתקפות הוליסטית של אובייקט חומרי חיצוני המשפיע ישירות על החושים שלנו [Getmanova, p. 8]. לדוגמה, תמונה של צלחת, כוס, כפית, כלים אחרים; דמותו של נהר, אם אנחנו עכשיו צפים לאורכו או נמצאים על גדתו; תמונה של יער, אם הגענו עכשיו ליער וכו'.

תפיסות, למרות שהן השתקפות חושית של המציאות במוחנו, תלויות במידה רבה בחוויה האנושית. לדוגמה, ביולוג יתפוס אחו בצורה אחת (הוא יראה סוגים שונים של צמחים), אבל תייר או אמן יראו אותו בצורה אחרת לגמרי.

ביצועים- זהו דימוי חושי של אובייקט שאינו נתפס על ידינו כיום, אך נתפס על ידינו בעבר בצורה כזו או אחרת [גטמנובה, עמ' 10]. לדוגמה, אנו יכולים לדמיין חזותית את פניהם של חברים, החדר שלנו בבית, עץ ליבנה או פטריה. אלו דוגמאות רבייהייצוגים, מאז שראינו את החפצים האלה.

המצגת עשויה להיות יְצִירָתִי, כולל פַנטַסטִי. אנו מציגים את הנסיכה ברבור היפה, או הצאר סלטן, או התרנגול המוזהב, ועוד דמויות רבות מהאגדות של א.ס. פושקין, שמעולם לא ראינו ולעולם לא נראה. אלו הן דוגמאות לייצוג יצירתי המבוסס על תיאור מילולי. אנחנו גם מדמיינים את עלמת השלג, סנטה קלאוס, בתולת הים וכו'.

אז, צורות הידע החושי הן תחושות, תפיסות ורעיונות. בעזרתם אנו לומדים את ההיבטים החיצוניים של חפץ (הסימנים שלו, כולל מאפיינים).

צורות החשיבה המופשטת הן מושגים, הצהרות והסקות.

מושגים. היקף ותוכן מושגים

המונח "מושג" משמש בדרך כלל לציון מחלקה שלמה של אובייקטים בעלי אופי שרירותי שיש להם תכונה אופיינית מסוימת (מיוחדת, חיונית) או קבוצה שלמה של מאפיינים כאלה, כלומר. מאפיינים המובנים רק לאלמנטים של מחלקה זו.

מנקודת המבט של ההיגיון, מושג הוא צורת חשיבה מיוחדת, המתאפיינת בדברים הבאים: 1) מושג הוא תוצר של חומר מאורגן ביותר; 2) המושג משקף את העולם החומרי; 3) המושג מופיע בתודעה כאמצעי להכללה; 4) משמעות המושג היא פעילות אנושית ספציפית; 5) היווצרות מושג במוחו של אדם אינה ניתנת להפרדה מהביטוי שלו באמצעות דיבור, כתיבה או סמל.

כיצד מתעורר המושג של כל מושא מציאות בתודעה שלנו?

תהליך גיבוש מושג מסוים הוא תהליך הדרגתי בו ניתן לראות מספר שלבים עוקבים. הבה נבחן תהליך זה באמצעות הדוגמה הפשוטה ביותר - היווצרות המושג של המספר 3 בילדים.

1. בשלב הראשון של הקוגניציה, הילדים מתוודעים למערכות קונקרטיות שונות, תוך שימוש בתמונות אובייקטים והדגמת קבוצות שונות של שלושה אלמנטים (שלושה תפוחים, שלושה ספרים, שלושה עפרונות וכו'). ילדים לא רק רואים כל אחד מהסטים הללו, אלא יכולים גם לגעת (לגעת) בחפצים המרכיבים את הסטים הללו. תהליך זה של "ראייה" יוצר במוחו של הילד צורה מיוחדת של השתקפות המציאות, הנקראת תפיסה (תחושה).

2. הבה נסיר את החפצים (הנושאים) המרכיבים כל סט, ונזמין את הילדים לקבוע האם יש משהו משותף שאפיין כל סט. מספר החפצים בכל סט, העובדה שהיו "שלושה" בכל מקום, היו צריכים להיות טבועים במוחם של הילדים. אם זה כך, אז נוצרה צורה חדשה במוחם של ילדים - רעיון המספר "שלוש".

3. בשלב הבא, בהתבסס על ניסוי מחשבתי, ילדים צריכים לראות שהתכונה המובעת במילה "שלוש" מאפיינת כל קבוצה של אלמנטים שונים של הצורה (א; ב; ג). זה ידגיש תכונה משותפת חיונית של סטים כאלה: "להיות בעל שלושה אלמנטים."עכשיו אנחנו יכולים לומר שבמוחם של ילדים זה נוצר מושג מספר 3.

מוּשָׂג– זוהי צורת חשיבה מיוחדת המשקפת את המאפיינים המהותיים (המיוחדים) של אובייקטים או אובייקטים של מחקר.

הצורה הלשונית של מושג היא מילה או קבוצת מילים. לדוגמה, "משולש", "מספר שלוש", "נקודה", "קו ישר", "משולש שווה שוקיים", "צמח", "עץ מחטני", "נהר יניסיי", "שולחן" וכו'.

למושגים מתמטיים יש מספר תכונות. העיקר שהאובייקטים המתמטיים שעליהם יש צורך לגבש מושג אינם קיימים במציאות. אובייקטים מתמטיים נוצרים על ידי המוח האנושי. אלו אובייקטים אידיאליים המשקפים אובייקטים או תופעות אמיתיות. לדוגמה, בגיאומטריה לומדים את הצורה והגודל של עצמים מבלי לקחת בחשבון את שאר התכונות שלהם: צבע, מסה, קשיות וכו'. הם מוסחים מכל זה, מופשטים. לכן, בגיאומטריה, במקום המילה "אובייקט" אומרים "דמות גיאומטרית". התוצאה של הפשטה היא מושגים מתמטיים כמו "מספר" ו"גודל".

מאפיינים עיקרייםכל מושגים הםאת הדברים הבאים: 1) כרך; 2) תוֹכֶן; 3) יחסים בין מושגים.

כאשר מדברים על מושג מתמטי, הם בדרך כלל מתכוונים לכל קבוצת האובייקטים (סט) המסומנים במונח אחד (מילה או קבוצת מילים). אז אם כבר מדברים על ריבוע, אנחנו מתכוונים לכל הדמויות הגיאומטריות שהן ריבועים. הוא האמין כי קבוצת כל הריבועים מהווה את היקף המושג "מרובע".

היקף הרעיוןמתייחס לקבוצת האובייקטים או הפריטים שעליהם חל מושג זה.

לדוגמה, 1) היקף המושג "מקבילה" הוא קבוצת מרובעים כגון מקביליות עצמן, מעוינים, מלבנים ומרובעים; 2) היקף המושג "מספר טבעי חד ספרתי" יהיה הסט - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

לכל אובייקט מתמטי יש תכונות מסוימות. לדוגמה, לריבוע יש ארבע צלעות, ארבע זוויות ישרות, אלכסונים שווים, האלכסונים מחולקים לשניים על ידי נקודת החיתוך. אתה יכול לציין תכונות אחרות שלו, אבל בין המאפיינים של אובייקט יש חיוני (מיוחד)ו לֹא מַשְׁמָעוּתִי.

הנכס נקרא משמעותי (מיוחד) לאובייקט, אם הוא טבוע באובייקט זה ובלעדיו אינו יכול להתקיים; הנכס נקרא לֹא מַשְׁמָעוּתִי לאובייקט אם הוא יכול להתקיים בלעדיו.

לדוגמה, עבור ריבוע כל המאפיינים המפורטים לעיל חיוניים. התכונה "צד AD אופקי" לא תהיה חשובה עבור הריבוע ABCD (איור 1). אם הריבוע הזה מסובב, אז הצד AD יהיה אנכי.

הבה נסתכל על דוגמה לגיל הרך המשתמשים בחומר חזותי (איור 2):

תאר את הדמות.

משולש שחור קטן. אורז. 2

משולש לבן גדול.

איך הנתונים דומים?

במה הדמויות שונות?

צבע, גודל.

מה יש למשולש?

3 צדדים, 3 פינות.

כך, ילדים מגלים את המאפיינים המהותיים והלא חיוניים של המושג "משולש". המאפיינים החיוניים הם "לקבל שלוש צלעות ושלוש זוויות", המאפיינים הלא חיוניים הם צבע וגודל.

קבוצת כל המאפיינים החיוניים (המיוחדים) של אובייקט או פריט המשתקפים במושג נתון נקראת תוכן המושג .

לדוגמה, עבור המושג "מקבילה" התוכן הוא קבוצה של מאפיינים: יש לו ארבע צלעות, יש לו ארבע זוויות, הצלעות הנגדיות מקבילות בזוגות, הצלעות הנגדיות שוות, הזוויות הנגדיות שוות, האלכסונים בנקודות החיתוך מחולקים לשניים .

יש קשר בין נפח מושג לתוכן שלו: אם נפח מושג גדל אז התוכן שלו יורד ולהיפך. כך, למשל, היקף המושג "משולש שווה שוקיים" הוא חלק מהיקפה של המושג "משולש", ותוכן המושג "משולש שווה שוקיים" כולל יותר תכונות מאשר תוכן המושג "משולש", מכיוון למשולש שווה שוקיים יש לא רק את כל התכונות של משולש, אלא גם אחרות הטבועות רק במשולשים שווה שוקיים ("שתי צלעות שוות", "שתי זוויות שוות", "שני חציונים שווים" וכו').

לפי היקף, המושגים מחולקים ל רווק, כלליו קטגוריות.

מושג שנפחו שווה ל-1 נקרא מושג יחיד .

לדוגמה, המושגים: "נהר Yenisei", "רפובליקת טובה", "עיר מוסקבה".

מושגים שנפחם גדול מ-1 נקראים כללי .

לדוגמה, המושגים: "עיר", "נהר", "מרובע", "מספר", "מצולע", "משוואה".

בתהליך לימוד היסודות של כל מדע, ילדים יוצרים בעיקר מושגים כלליים. לדוגמה, בבית הספר היסודי, התלמידים מתוודעים למושגים כמו "ספרה", "מספר", "מספרים חד ספרתיים", "מספרים דו ספרתיים", "מספרים רב ספרתיים", "שבר", "שבר" , "חיבור", "תוספת", "סכום", "חיסור", "subtrahend", "מינואנד", "הפרש", "כפל", "מכפיל", "מוצר", "חלוקה", "דיבידנד", " מחלק", "מנה", "כדור", "צילינדר", "קונוס", "קוביה", "מקביל", "פירמידה", "זווית", "משולש", "מרובע", "מרובע", "מלבן" , "מצולע", "מעגל" , "מעגל", "עקומה", "קו שבור", "קטע", "אורך קטע", "קרן", "קו ישר", "נקודה", "אורך", "רוחב ", "גובה", "היקף", "שטח של דמות", "נפח", "זמן", "מהירות", "מסה", "מחיר", "עלות" ועוד רבים אחרים. כל המושגים הללו הם מושגים כלליים.

מתמטיקה 1. מאיפה באה המילה מתמטיקה 2. מי המציא את המתמטיקה? 3. נושאים עיקריים. 4. הגדרה 5. אטימולוגיה לשקופית האחרונה.

מאיפה הגיעה המילה (עבור לשקופית הקודמת) מתמטיקה מיוונית - לימוד, מדע) - מדע המבנים, הסדר והיחסים, שפותח היסטורית על בסיס פעולות ספירה, מדידה ותיאור צורתם של עצמים. אובייקטים מתמטיים נוצרים על ידי אידיאליזציה של מאפיינים של אובייקטים מתמטיים אמיתיים או אחרים וכתיבת תכונות אלה בשפה פורמלית.

מי המציא את המתמטיקה (עבור לתפריט) המתמטיקאי הראשון נקרא בדרך כלל Thales of Miletus, שחי במאה ה-6. לִפנֵי הַסְפִירָה ה. , אחד ממה שנקרא שבעת חכמי יוון. כך או כך, הוא זה שהיה הראשון לבנות את כל בסיס הידע בנושא זה, שהתגבש זה מכבר בגבולות העולם המוכר לו. עם זאת, מחבר החיבור הראשון על מתמטיקה שהגיע אלינו היה אוקלידס (המאה השלישית לפני הספירה). הוא גם בהחלט יכול להיחשב לאבי המדע הזה.

נושאים עיקריים (עבור לתפריט) תחום המתמטיקה כולל רק את אותם מדעים שבהם נחשבים סדר או מידה, ואין זה חשוב כלל אם אלו מספרים, דמויות, כוכבים, צלילים או כל דבר אחר בו נמצא מידה זו. . לפיכך, חייב להיות איזשהו מדע כללי שמסביר כל מה שקשור לסדר ומידה, מבלי להיכנס ללימוד של מקצועות מסוימים, והמדע הזה צריך להיקרא לא זר, אלא השם הישן של מתמטיקה אוניברסלית, שכבר הגיע. לשימוש.

הגדרה (עבור לתפריט) ניתוח מודרני מבוסס על ניתוח מתמטי קלאסי, הנחשב לאחד משלושת התחומים העיקריים של המתמטיקה (יחד עם אלגברה וגיאומטריה). יחד עם זאת, המונח "ניתוח מתמטי" במובן הקלאסי משמש בעיקר בתכניות וחומרים חינוכיים. במסורת האנגלו-אמריקאית, ניתוח מתמטי קלאסי מתאים לתוכניות הקורס הנקראות "חשבון"

אטימולוגיה (עבור לתפריט) המילה "מתמטיקה" באה מיוונית עתיקה. , שפירושו לימוד, ידע, מדע וכו' - יוונית, פירושו במקור מקבל, מצליח, מאוחר יותר מתייחס ללימוד, בהמשך מתייחס למתמטיקה. באופן ספציפי, בלטינית, זה אומר אומנות המתמטיקה. המונח הוא יווני עתיק. במשמעות המודרנית של המילה "מתמטיקה" נמצא כבר ביצירותיו של אריסטו (המאה הרביעית לפנה"ס). בטקסטים ברוסית, המילה "מתמטיקה" או "מתמטיקה" נמצאה לפחות מאז המאה ה-17, למשל. , אצל ניקולאי ספארי ב"ספר הקצרים הנבחרים על תשע המוזות ושבע האמנויות החופשיות" (1672)