ಡ್ರಗ್ಸ್
ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ವಿಪರೀತ

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ವಿಪರೀತ

ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಪದವೀಧರರು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲರೂ ಮಾತನ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯದ ಅಧ್ಯಯನದಂತಹ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಕೆಲವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನವು ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾದವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಲೇಖನ ನಿಮಗಾಗಿ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಏಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೆಳೆಯಲು ಕಷ್ಟವಾಗದ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ, ಸರಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ಇದು.

ಆದರೆ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಯೋಜನೆ

ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಕಾರ್ಯದ ಬಾಹ್ಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇವುಗಳು x ಬದಲಿಗೆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಕೇವಲ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸರಿ, (x 2 - 2x)/x ನಂತಹ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇವು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ y(x) = (x 2 - 2x)/x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಒಂದು ಭಾಗವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು x 2 - 2x = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x (x - 2) = 0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x 0 ಅಥವಾ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಅನೇಕ ಜನರು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಇದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವಿಪರೀತಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಲೇಖನದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಓದುವ ಮೂಲಕ ನಿಮಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ತಲುಪುವ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ - ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ -1 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ y (x) = x 5 - 5x, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ 1, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗಳ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. -1 ಮತ್ತು 1 ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು 4 ಮತ್ತು -4 ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೀರಿ? ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು. ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: “y (x) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, x ಎಂಬುದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 3x 2 + 4x + 1. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಮುಂದೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ (D = 16 - 12 = 4), ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 1/3 ಮತ್ತು -1. ಇವುಗಳು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾರು ಯಾರು ಎಂದು ನೀವು ಇನ್ನೂ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು? ಯಾವ ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಕನಿಷ್ಟ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣ y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5 ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 1/3 ರಿಂದ -1 ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು , ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ 1/3 ಮತ್ತು -1 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತದವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಹೀಗಾಗಿ, 1/3 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು -1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ತೀವ್ರವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು (ಸೇರಿಸುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ, ನೀವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಅದು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಇರುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ತೀವ್ರತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಇರುವಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ತೀವ್ರತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತಹ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀವ್ರ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾವು ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ; ಅವು ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ತೀವ್ರತೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ನೀವು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅನುಕ್ರಮ

ನೀಡಲಾದ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅದರ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ f "(x). ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ.
ಈಗ ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಯಾವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ) ಕಂಡುಕೊಂಡ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತ ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಹಂತವೆಂದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು f "(x). ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಪರೀತವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳಲು, ನಾವು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸಣ್ಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.
f "(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
y = f (x) ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f "(x) ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.
ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ವಿಪರೀತವಾಗಿರುವ ಆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಅಧ್ಯಯನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ದಾಖಲಿಸುತ್ತೇವೆ - ಏಕತಾನತೆಯ ತೀವ್ರ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಅಷ್ಟೇ. ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೇಗೆ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ಇದನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಡೆಸುತ್ತಿರುವ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಹಾಗೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಜ್ಞಾನದಿಂದ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿತರೆ, ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಕರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ $x_0$ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $f(x)$ $ ಹಿಡಿದಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

$x_0$ ಅನ್ನು $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

1) $x_0$ - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಾಗಿ, ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

$y=f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ $x_0$ ಬಿಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $(a,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $\left(a,x_0\right)\ ಮತ್ತು\ (x_0,b)$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ:

1) $(a,x_0)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು $f"\left(x\right)>0$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $(x_0,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"\left( x\ಬಲ)

2) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(a,x_0)$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"\left(x\right)0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $x_0$ ಬಿಂದುವು ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಎರಡೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(a,x_0)$ ಮತ್ತು $(x_0,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"\left(x\right) >0$ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನ $f"\left(x \ಬಲ)

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1. ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ವಿಪರೀತಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 2).

ಚಿತ್ರ 2. ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನಿಯಮ

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

7) ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾ ಇರುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

$X$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ $y=f(x)$ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ $x_1,x_2\in X$ ನಲ್ಲಿ $x_1 ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

$X$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ $y=f(x)$ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ $x_1,x_2\in X$ ನಲ್ಲಿ $x_1f(x_2)$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು:

1) $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

3) ಸಮಾನತೆ $f"\left(x\right)=0$ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

4) $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

5) ಪತ್ತೆಯಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ;

6) ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;

7) ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)0$ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ.

ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

ಮೊದಲ 6 ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ.

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ - ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;

2) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ;

5) ಸಮನ್ವಯ ರೇಖೆ:

ಚಿತ್ರ 3.

6) ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

\\UU

ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ (ಅಥವಾ) ಹಿಡಿದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಸ್ಥಳೀಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಪರೀತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ: ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್‌ನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ಪ್ರಮೇಯ I. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ (ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ).

ನಂತರ ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ವಾದಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಫಾರ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ II. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉತ್ಪನ್ನ. ನಂತರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಂದುವು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಾರದು.

ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಎರಡೂ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ (ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳು

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

2) ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

3) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

4) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಪಡೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನಿಯಮದ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

5) ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ವಿ.ಯು ಅವರಿಂದ ಸಂಗ್ರಹ. ಕ್ಲೆಪ್ಕೊ, ವಿ.ಎಲ್. ಗೊಲೆಟ್ಸ್ "ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತ"

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

3) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ

4) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಬಿಂದುವು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

5) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

3) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ, ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ

4) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

5) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

1) ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗದಿದ್ದಾಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

3) ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

4) ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವಿರುತ್ತದೆ.

5) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಮೊದಲ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ ಭಯಪಡಬೇಡಿ; ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ.

ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಬೊಗೊಮೊಲೊವ್ ಎನ್.ವಿ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠಗಳು. - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2009

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಪ್ರಮೇಯ 1. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a;b) ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f '(x) ಎಲ್ಲೆಡೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (f '(x)>0), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a;b) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ )

ಪ್ರಮೇಯ 2. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a;b) ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f '(x) ಎಲ್ಲೆಡೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (f '(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ y= .

ಪರಿಹಾರ: y'=2x-1

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದರರ್ಥ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (-;5) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (5;).

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಈ ಬಿಂದುವು f(x) ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ x0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ xx0 ಗಾಗಿ f(x0))

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. (ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ).ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಎಂಬುದು y=f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f '(x0) ಇದ್ದರೆ ಅದು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: f '(x)=0.

f '(x)=0 ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. (ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಬಹುಶಃ, ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ನಂತರ

a) x0 ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ‘(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಎಂಬುದು f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

b) x0 ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ‘(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಎಂಬುದು f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ;

c) x0 ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ (x0-; x0+) ಇದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f '(x) ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ನಂತರ x0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. y = 3 -5x - ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ: y'= -5-2x

x = - 2.5 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y’ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು “+” ನಿಂದ “-” ==> x = -2.5 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

xmax= - 2.5; ಗರಿಷ್ಠ = 9.25.

ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲವೇ? ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಇದನ್ನೂ ಓದಿ:

ಸ್ಥಳೀಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಪರೀತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ: ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್‌ನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ಪ್ರಮೇಯ II. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಪರೀತ: ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನಂತರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

2) ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

3) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

5) ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

3) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ

5) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ

4) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

5) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

1) ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗದಿದ್ದಾಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

2) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

5) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ » ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು » ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ

ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

$(x_0,y_0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ $z=f(x,y)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. $(x_0,y_0)$ ಒಂದು (ಸ್ಥಳೀಯ) ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ $(x,y)$ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ $(x_0,y_0)$ ಅಸಮಾನತೆ $f(x,y) ತೃಪ್ತಿ ಇದೆ< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ $(x_0,y_0)$ ಅನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯ) ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು.

$(x_0,y_0)$ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ $f(x_0,y_0)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $z=f(x,y)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ $z=f(x,y)$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ - ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ.

ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ $z=f(x,y)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

$\frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)$ ಮತ್ತು $\frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ y)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ $ \ಎಡ \( \begin(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) & \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=0;\\ & \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ y)=0 . \ ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) \ಬಲಕ್ಕೆ.$ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
$\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ y^2)$ ಮತ್ತು $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$. ಅದರ ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ:

$\Delta > 0$ ಮತ್ತು $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (ಅಥವಾ $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನದ ಹಂತವು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
$\Delta > 0$ ಮತ್ತು $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
ಒಂದು ವೇಳೆ $\ಡೆಲ್ಟಾ< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
$\Delta = 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಇರುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ (ಪಠ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ): ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ

$\Delta > 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. ಮತ್ತು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. ಆ. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, ನಂತರ $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ ಮತ್ತು $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು $\Delta > 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ .

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಅದರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

$$ \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=8x-6y-34; \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $2$ ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

$$ \ಎಡ \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

$x=2$, $y=-3$ ಮೌಲ್ಯಗಳು $(2;-3)$ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

$\Delta$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

$\Delta > 0$ ಮತ್ತು $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$ ರಿಂದ, ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಪಾಯಿಂಟ್ $(2;-3)$ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯ $z$. ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ $(2;-3)$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $z$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ z_(ನಿಮಿಷ)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

ಉತ್ತರ: $ (2;-3) $ - ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್; $z_(ನಿಮಿಷ)=-90$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

$z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ $ \ಎಡ \( \ಆರಂಭ( ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) \ಬಲಕ್ಕೆ.$:

$$ \ಎಡಕ್ಕೆ \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು 6 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

$x=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಮ್ಮನ್ನು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. ಆದ್ದರಿಂದ ತೀರ್ಮಾನ: $x\neq 0$. ನಂತರ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $y=\frac(2)(x)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

$$ x^2+\ಎಡ(\frac(2)(x) \ಬಲ)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

ನಾವು ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು $t=x^2$ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) $$

$t=1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $x^2=1$. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $x$ ನ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $x_1=1$, $x_2=-1$. $t=4$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $x^2=4$, ಅಂದರೆ. $x_3=2$, $x_4=-2$. $y=\frac(2)(x)$ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. ಇದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

$\Delta$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

ಈಗ ನಾವು ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $\Delta$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. $M_1(1;2)$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. $\Delta(M_1) ರಿಂದ< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

ಪಾಯಿಂಟ್ $M_2(-1;-2)$ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Delta(M_2) ರಿಂದ< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

ಪಾಯಿಂಟ್ $M_3(2;1)$ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

ರಿಂದ $\Delta(M_3) > 0$ ಮತ್ತು $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ $M_3( 2 ;1)$ ಎಂಬುದು $z$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ $M_3$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $z$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ z_(ನಿಮಿಷ)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

$M_4(-2;-1)$ ಅನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

$\Delta(M_4) > 0$ ಮತ್ತು $\left ರಿಂದ.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(ಗರಿಷ್ಠ)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

ತೀವ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

$(2;1)$ - ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, $z_(ನಿಮಿಷ)=-27$;
$(-2;-1)$ - ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, $z_(ಗರಿಷ್ಠ)=29$.

ಸೂಚನೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $\Delta$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ನಿಯತಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2, ಪಾಯಿಂಟ್ $M_3(2;1)$ ನಲ್ಲಿ ನಾವು $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ $\Delta > 0$ ($36$ ಮತ್ತು $(2^2-1^2)$ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು $\Delta$ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದಿರುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ನಿಜ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿ ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿದೆ - ಅವರು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ತರಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ :)

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

$z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ \frac(\ಭಾಗಶಃ z)(\ಭಾಗಶಃ x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು $4$ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು $x$ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ $y$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ $y=-x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $x=0$ ಅಥವಾ $x^2-2=0$. $x^2-2=0$ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು $x=-\sqrt(2)$ ಅಥವಾ $x=\sqrt(2)$ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x$ ನ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. $y=-x$ ರಿಂದ, ನಂತರ $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಹಂತವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು (ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ನಾವು ಮೂರು ಸ್ಥಿರ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

$\Delta$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

ಈಗ ನಾವು ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $\Delta$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. $M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. $\Delta(M_1) = 0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

$\Delta(M_2) > 0$ ಮತ್ತು $\left ರಿಂದ.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ ಎಂಬುದು $z$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ $M_2$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $z$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ z_(ನಿಮಿಷ)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

ಹಿಂದಿನ ಬಿಂದುವಿನಂತೆಯೇ, ನಾವು $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ರಿಂದ $\Delta(M_3) > 0$ ಮತ್ತು $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ ಎಂಬುದು $z$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ $M_3$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $z$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ z_(ನಿಮಿಷ)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

$\Delta(M_1) = 0$ ಬಿಂದು $M_1(0;0)$ ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಸಮಯ ಇದು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಎಂದರೆ "ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಮಾಡು" :). ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಇದು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ಮಧ್ಯೆ, ನಾವು $\Delta = 0$ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತಕ್ಕೂ ವಿಶೇಷವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸರಿ, $M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. $z(M_1)=z(0;0)=3$ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. $M_1(0;0)$ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ $M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ಗೆ ನಾವು $z(M) > z(M_1)$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. $z(M) > 3$. ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು $z(M) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

$y=0$, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. $(x,0)$ ರೂಪದ ಅಂಕಗಳು. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಲ್ಲಿ $M_1(0;0)$ ನಾವು $x^2-2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

ಆದರೆ ಬಹುಶಃ ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1(0;0)$ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವೇ? ಇದು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, $M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ಗೆ ನಾವು $z(M) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1$ ನಲ್ಲಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಗರಿಷ್ಠ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

$y=x$, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. $(x,x)$ ರೂಪದ ಅಂಕಗಳು. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ $z$ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

$M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು $2x^4 > 0$, ನಂತರ $2x^4+3 > 3$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ತೀರ್ಮಾನ: $M_1(0;0)$ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು $z > 3$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1(0;0)$ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಾರದು.

ಪಾಯಿಂಟ್ $M_1(0;0)$ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಲ್ಲ. ತೀರ್ಮಾನ: $M_1$ ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ ಇವು $z$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ $z_(ನಿಮಿಷ)=-5$.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆನ್‌ಲೈನ್ ತರಗತಿಗಳು

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ: "ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

1C ಯಿಂದ ಗ್ರೇಡ್ 10 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. 7-10 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪರಿಸರ "1C: ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಕನ್‌ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್ 6.1"

ನಾವು ಏನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
1. ಪರಿಚಯ.
2. ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.

4. ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?
5. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ ಪರಿಚಯ

ಹುಡುಗರೇ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಮ್ಮ ಫಂಕ್ಷನ್ y=f (x) ನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ x1 ಮತ್ತು x2 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಳಹರಿವು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಬಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅದು ಮತ್ತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು x1 ಮತ್ತು x2 ಇನ್‌ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

x2 ಮತ್ತು x1 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಇದರರ್ಥ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈಗ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ನಮ್ಮ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ (ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಹತ್ತಿರ) ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಎನ್ನುವುದು ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಹಂತವಾಗಿದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಹತ್ತಿರ).

ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದು x0 ನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ x= x0 ಅನ್ನು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: f(x) ≥ f(x0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದು x0 ನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ x=x0 ಅನ್ನು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: f(x) ≤ f(x0).

ಹುಡುಗರೇ, ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದರೇನು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ನಮ್ಮ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದರ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನಾವೇ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=2 ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಾವು 1 ಮತ್ತು 3 ಅಂಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಹುಡುಗರೇ, ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

Y ನಿಮಿಷ - ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು,
y ಗರಿಷ್ಠ - ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

ಪ್ರಮುಖ!ಹುಡುಗರೇ, ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಿದೆ - ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು.

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ (ಲ್ಯಾಟ್. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ - ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್) - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ. ಅತಿರೇಕವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದರಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನೋಡುವುದು?

ನಮ್ಮ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಮೊದಲ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಎರಡನೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ).

ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: y= f(x) ಕಾರ್ಯವು x=x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ.

ವಿಪರೀತಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಗೆಳೆಯರೇ, ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ: ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಳಹರಿವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x1 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಬಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ನೆನಪಿರಲಿ: ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ:

ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು: y=f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು x= x0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ನಂತರ:

ಈ ಬಿಂದುವು x x0 ಗಾಗಿ f’(x)>0 ಹೊಂದಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಎಂಬುದು y= f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಈ ಬಿಂದುವು x 0 ಮತ್ತು x> x0 ಗಾಗಿ f'(x) ಹಿಡಿದಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಈ ಬಿಂದುವು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ x0 ಬಿಂದುವಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಎರಡೂ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ , ನಂತರ ಬಿಂದು x0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ:

ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ y= f(x) ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

y' ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ).
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಪರೀತ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y= 7+ 12*x - x 3

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
a) y"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2 ನಲ್ಲಿ,

ಪಾಯಿಂಟ್ x= -2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x= 2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x= -2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, x= 2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

2) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
ಎ)

ಬಿ) x= 2 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್: , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸಿ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಡಿ) ನಮ್ಮ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= 3 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x= 3 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

3) y= x - 2cos(x) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು -π ≤ x ≤ π ಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
ಏಕೆಂದರೆ -π ≤ x ≤ π, ನಂತರ: x= -π/6, -5π/6,
ಸಿ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಡಿ) ನಮ್ಮ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= -5π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= -π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: x= -5π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಟ ಬಿಂದು, x= -π/6 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

4) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x= 0. ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
ಎ)

b) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: y"= 0 ನಲ್ಲಿ x= ±2,
ಸಿ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಡಿ) ನಮ್ಮ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= -2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= 2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಪಾಯಿಂಟ್ x= 0 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: x= ±2 - ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

a) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y= 5x 3 - 15x - 5.
ಬಿ) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಸಿ) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y= 2sin(x) - x ಗಾಗಿ π ≤ x ≤ 3π.
ಡಿ) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: