ಪ್ರಮಾಣಗಳು, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನ. ಗಣಿತವು ಪ್ರಮಾಣಗಳು, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಗಳು, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತ - ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು; ಗ್ರೀಕ್ ಪದ (ಗಣಿತ) ಗ್ರೀಕ್ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ (ಗಣಿತ), ಅಂದರೆ "ಜ್ಞಾನ", "ವಿಜ್ಞಾನ".

ಗಣಿತವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಜನರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಇದರ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಪಾತ್ರವು ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಬದಲಾಗುತ್ತಲೇ ಇದೆ. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಷಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ, ಹಾಗೆಯೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಮೂರ್ತ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗುವ ಮೊದಲು ಗಣಿತವು ದೀರ್ಘ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗಿತು.

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳ ಆಧುನಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಬಹಳ ವಿಶಾಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಜೊತೆಗೆ (ನೇರ ರೇಖೆ, ವೃತ್ತ, ತ್ರಿಕೋನ, ಕೋನ್, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಚೆಂಡು, ಇತ್ಯಾದಿ), ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಬಹುಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಈಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವಾಹಕಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳುಇತ್ಯಾದಿ. ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿವೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಎರಡು ಸೇಬುಗಳು, ಅಥವಾ ಎರಡು ಪುಸ್ತಕಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಇದು ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಇತರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಚೆಂಡಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಗಾಜು, ಉಕ್ಕು ಅಥವಾ ಸ್ಟಿಯರಿನ್‌ನಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಸ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಗಣಿತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅದೇ ನಿಯಮಗಳು, ಅದೇ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಗಣಿತದ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ; ಯಾವುದೇ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗಿಂತ ಮುಂದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ; ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೌದು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಗುಂಪುಗಳುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಗಣಿತವು ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೂಡ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿ ತನ್ನ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅನುಭವವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞನು ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವವರೆಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರೂ ಸಹ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವಿಶೇಷ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅಭ್ಯಾಸದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಅವರ ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಸ್ಫಟಿಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಹರಿವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರವೇ ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು; ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೂ ಅಭ್ಯಾಸದ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದಲೇ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಮತ್ತು ಆಳವಾದವು.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಚಲನೆ, ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಾತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪಾತ್ರವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮಹತ್ತರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಮೂರ್ತತೆಯು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕತೆಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಕಾಶಕಾಯಗಳ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನ, ಅವುಗಳ ನೈಜ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ದೇಹಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅವುಗಳ ನೈಜ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಕಾಕತಾಳೀಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಆಕಾಶ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು (ಗ್ರಹಣಗಳು, ಗ್ರಹಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಪೂರ್ವ-ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದವುಗಳಿಂದ ನಿಜವಾದ ಚಲನೆಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಿಂದೆ ಗಮನಿಸದ ಗ್ರಹಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಪ್ಲುಟೊ 1930 ರಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು, 1846 ರಲ್ಲಿ ನೆಪ್ಚೂನ್). ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯದಂತಹ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವು ಚಿಕ್ಕದಾದ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಮಹತ್ವದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಈ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಅನನ್ಯತೆಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹರಿವಿನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿಸುತ್ತದೆ, ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇನ್ನೂ ಅಧೀನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಗಣಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು.ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಗತ್ಯತೆಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವು ಸ್ವತಃ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿವೆ: ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದಿನ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಬೇಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ: ಕ್ರಿ.ಪೂ.2ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ ಸೈನ್‌ಗಳ ಆಧುನಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು; ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು 1 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೆನೆಲಾಸ್ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾಡಿಯಸ್ ಟಾಲೆಮಿ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ.ಉತ್ಪಾದನೆ, ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್, ಫಿರಂಗಿ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಿಂದ ಉಂಟಾದ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿದ ಆಸಕ್ತಿಯು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಹೊಸ ಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ (ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಖಗೋಳ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ) ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್) 18 ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ವಸ್ತುವಿನ ಆಣ್ವಿಕ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ನಾವು ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು. ಯಶಸ್ಸುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸ್ಕೆಚ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ, ಗಮನಾರ್ಹ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅವಧಿಯು ಹಿಂದಿನದರಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಿರುವಾಗ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಹಂತಗಳು ಇದ್ದವು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

1) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಶಿಸ್ತಾಗಿ ಗಣಿತದ ಜನನದ ಅವಧಿ; ಈ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭವು ಇತಿಹಾಸದ ಆಳದಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಹೋಗಿದೆ; ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು 6-5 ಶತಮಾನಗಳ BC ವರೆಗೆ ಇತ್ತು. ಇ.

2) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ, ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತ; ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೂ ಮುಂದುವರೆಯಿತು, ಹೊಸ, "ಉನ್ನತ" ಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಮುಂದುವರೆದಿದೆ.

3) ಅಸ್ಥಿರ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ; ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಅವುಗಳ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

4) ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ; ಸಂಭವನೀಯ ರೀತಿಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳ ಜಾಗೃತ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರಂತೆಯೇ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ (ಕಾರ್ಯ) ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಶೀಲತೆಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್. ಬೀಜಗಣಿತಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವಭಾವದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವರ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಬಹುದಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ 19 ನೇ ಶತಮಾನದ 1 ನೇ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪುರೋಹಿತರು ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರಿ ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಮಾಹಿತಿಯ ಪೂರೈಕೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥೈಸಲಾದ ಜೇಡಿಮಣ್ಣಿನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಮತ್ತು ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು ಗಣಿತದ ಪಪೈರಿ,ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿತ್ತು. ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತಿಳಿದಿರುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆ ಕಾಲದ ಬಹುಪಾಲು ದಾಖಲೆಗಳು ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಿಯಮಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು ವಿವಿಧ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕೈಪಿಡಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸ್ಥಾಪಿತ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಯಿತು. ಅಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಸೃಜನಶೀಲತೆ ಹೆಸರಿಲ್ಲದಂತೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿತು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಗ್ರೀಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಆರಂಭವು ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಂದ ಥೇಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಿಲೆಟಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 7 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯ - 6 ನೇ ಶತಮಾನದ BC) ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮೋಸ್‌ನ ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 6 ನೇ ಶತಮಾನ), ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು, ಸರಳವಾದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು (ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಾಸರಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿ) , ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ಗಳು, ಇದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು). 5-6 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಪ್ರಾಚೀನತೆಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು - ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು, ಕೋನದ ಟ್ರಿಸೆಕ್ಷನ್, ಘನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಹಿಪ್ಪೊಕ್ರೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಚಿಯೋಸ್ (5 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯ 2 ನೇ ಅರ್ಧ) ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಶಾಲೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಯಶಸ್ಸು ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಹುಡುಕಾಟವು ಈ ಸಮಯದ ಹಿಂದಿನದು. 5 ಮತ್ತು 4 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಪರಮಾಣು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡೆಮಾಕ್ರಿಟಸ್, ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಮಾದರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. 4 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸಿನಿಡಸ್‌ನ ಯುಡೋಕ್ಸಸ್ ಅನುಪಾತಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ 3 ನೇ ಶತಮಾನವು ಗಣಿತದ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಅತ್ಯಂತ ತೀವ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. (ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯನ್ ಯುಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ 1 ನೇ ಶತಮಾನ). 3ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್, ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್, ಪೆರ್ಗಾದ ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್, ಎರಾಟೋಸ್ತನೀಸ್ ಮುಂತಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು; ನಂತರ - ಹೆರಾನ್ (1 ನೇ ಶತಮಾನ AD) ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ (3 ನೇ ಶತಮಾನ). ತನ್ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಅಂತಿಮ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿದನು; ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಸಾಧನೆಯು ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳ ನಿರ್ಣಯವಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. 3 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವನತಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನಾ ಮತ್ತು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವು ಗಮನಾರ್ಹ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿತು. ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. 2-1 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಪೂ. "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಒಂಬತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ" ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅದೇ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು 5 ನೇ-12 ನೇ ಶತಮಾನದಷ್ಟು ಹಿಂದಿನದು, ಆಧುನಿಕ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಳಕೆಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಶೂನ್ಯ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಅರ್ಹತೆ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ಗಿಂತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಅರಬ್ ವಿಜಯಗಳು ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾದಿಂದ ಐಬೇರಿಯನ್ ಪರ್ಯಾಯ ದ್ವೀಪದವರೆಗೆ 9 ನೇ -15 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅರೇಬಿಕ್ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 9 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿ ಮೊದಲು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು. ಸಿರಿಯನ್ ಅಲ್-ಬಟ್ಟಾನಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದನು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೊಸ ಅವಧಿಯು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದಾಗ. ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಸ್ತಿನ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದವರೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹೊಸ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಯಿತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮರ್ಥನೆಯಲ್ಲಿನ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಯಿತು (ನಾರ್ವೇಜಿಯನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎನ್. ಅಬೆಲ್, ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಇ. ಗಲೋಯಿಸ್).

19 ನೇ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಾಖೆಯಾಗಿ ಬೆಳೆದವು - ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. 19 ನೇ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೊಸ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕ O. V. ಲೆಶ್ಚೆಂಕೊ ಅವರು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಣಯದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಇತರ ನಿಜವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮೇಯಗಳು) ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಗಣಿತವು ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತವನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂತರ್-ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಆಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದರ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಗಡಿಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕವನ್ನು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ - ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಎರಡೂ; ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳೆರಡರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಗಣಿತದ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

"ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ. μάθημα, ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಜ್ಞಾನ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ-ಗ್ರೀಕ್. μαθηματικός, ಮೂಲತಃ ಅರ್ಥ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ, ಯಶಸ್ವಿ, ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ತರುವಾಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, μαθηματικὴ τέχνη , ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಸ್ ಗಣಿತ, ಅರ್ಥ ಗಣಿತದ ಕಲೆ. ಈ ಪದವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಆಗಿದೆ. "ಗಣಿತ" ಪದದ ಆಧುನಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ μᾰθημᾰτικά ಈಗಾಗಲೇ ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ (IV ಶತಮಾನ BC) ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ಮರ್ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಪದವು ಪೋಲಿಷ್ ಮೂಲಕ ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಗೆ ಬಂದಿತು. matematyka, ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಟ್ ಮೂಲಕ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಗಣಿತದ ವಿಷಯದ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ನೀಡಿದರು:

ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ಶಬ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಯಾವುದಾದರೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ, ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಇರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿದೇಶಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಬಂದಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗಣಿತದ ಹಳೆಯ ಹೆಸರು ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕು. ಬಳಕೆಗೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಈಗ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳಾಗಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ... ಗಣಿತವು ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ರೂಪಗಳ ಸೆಟ್ - ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು.

ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳು

1. ಗಣಿತ ಹೇಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಶಿಸ್ತು

ಹುದ್ದೆಗಳು

ಗಣಿತವು ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಕಾರಣ, ಅದರ ಸಂಕೇತವು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೂಪುಗೊಂಡಿತು, ಜೊತೆಗೆ ಗಣಿತದ ನಂತರದ ಶಾಖೆಗಳ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು - ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನಾದಿ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ದೃಶ್ಯ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದೆ. ) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿವರ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು) ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಗ್ರಾಫ್-ಆಧಾರಿತ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಣ್ಣ ಕಥೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ

ಗುರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ R n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (R) ^(n)), ನಲ್ಲಿ n > 3 (\displaystyle n>3)ಗಣಿತದ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಚತುರ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ».

ಮೈದಾನಗಳು

ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ

ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತ

ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು

ಪ್ರಮಾಣ

ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ವಿಭಾಗವೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತ. "ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೂಲತಃ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಂತರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಕ್ರಮೇಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಾಗಲಬ್ಧ, ನೈಜ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1, i, j ,\;\ಚುಕ್ಕೆಗಳು) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್

ರೂಪಾಂತರಗಳು

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಗಳ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ.

ರಚನೆಗಳು

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳು

ರೇಖಾಗಣಿತವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ವಿರೂಪಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುವ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮಠ

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

ಗಣಿತವು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಮನುಷ್ಯನು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಅಗೆದು, ಮೀನುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದು ಚಳಿಗಾಲಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದನು. ಎಷ್ಟು ಆಹಾರವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮನುಷ್ಯನು ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೀಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು.

ನಂತರ ಮನುಷ್ಯನು ಕೃಷಿಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. ಭೂಮಿಯನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡುವುದು, ಮನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು.

ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. ಎಷ್ಟು ಕೊಯ್ಲು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಕಟ್ಟಡದ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಗಾತ್ರ ಏನು ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಕಾಶದ ಪ್ರದೇಶವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮನುಷ್ಯನು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು: ಒಂದು ಸುತ್ತಿನ ಸೂರ್ಯ, ಒಂದು ಚದರ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ, ಅಂಡಾಕಾರದ ಸರೋವರ, ಮತ್ತು ಈ ವಸ್ತುಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದನು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಸ್ತುತ, ಗಣಿತವಿಲ್ಲದೆ ಒಬ್ಬರು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಒಂದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತಿಯೂ ಇಲ್ಲ. "ಗಣಿತದ ರಾಜ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ ಒಮ್ಮೆ ಹೇಳಿದರು:

"ಗಣಿತವು ವಿಜ್ಞಾನದ ರಾಣಿ, ಅಂಕಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರಾಣಿ."

"ಅಂಕಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ ಪದ "ಅರಿತ್ಮೋಸ್" - "ಸಂಖ್ಯೆ" ಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಜ್ಞಾನವು ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ, ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ.

ಗಣಿತದ ಜನ್ಮ ಅವಧಿ

ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಶೇಖರಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅವಧಿಯನ್ನು 5 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯ ಹಿಂದಿನ ಸಮಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಚಿಂತಕ, ಅವರು 7 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಬಹುಶಃ 625 - 545. ಈ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಪೂರ್ವದ ದೇಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣ ಬೆಳೆಸಿದರು. ಅವರು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪುರೋಹಿತರು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಚಾಲ್ಡಿಯನ್ನರೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಎಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ.

ಥೇಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಿಲೆಟಸ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಿಂದ ಗ್ರೀಸ್‌ಗೆ ತಂದರು: ವ್ಯಾಸ ಎಂದರೇನು, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಯಾವುದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವರು ಸೂರ್ಯಗ್ರಹಣವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದರು.

ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತವು ಕ್ರಮೇಣ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಹುಟ್ಟಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ

ಈ ಅವಧಿಯು VI BC ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಗಣಿತವು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಳತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾಲದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್. ಅವರು ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ 3 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಈ ಮನುಷ್ಯ ನಮಗೆ ಬಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗ್ರಂಥದ ಲೇಖಕ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಇವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾಪನ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಈ ಅವಧಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷರಶಃ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಬೀಜಗಣಿತ" ದ ವಿಜ್ಞಾನವು ಅರಬ್ಬರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅರೇಬಿಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು "ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ" ಎಂದರ್ಥ, ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು.

ಅಸ್ಥಿರ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ

ಈ ಅವಧಿಯ ಸ್ಥಾಪಕ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 17 ನೇ ಶತಮಾನ AD ಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅವರ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಮೊದಲು ವೇರಿಯಬಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.

ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಅವಧಿಯನ್ನು ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ:

"ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ತಿರುವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿತ್ತು. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಡಯಲೆಕ್ಟಿಕ್ಸ್ ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿತು, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ.

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿ

19 ನೇ ಶತಮಾನದ 20 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ನಿಕೊಲಾಯ್ ಇವನೊವಿಚ್ ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಸ್ಥಾಪಕರಾದರು.

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನವು ವೇಗವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿದೆ, ಹೊಸ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗಣಿತದ ವಿಷಯವು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿದೆ, ಹೊಸ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಆಳವಾಗುತ್ತಿವೆ.

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಣಯದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಇತರ ನಿಜವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮೇಯಗಳು) ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಗಣಿತವು ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತವನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂತರ್-ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಆಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದರ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಗಡಿಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕವನ್ನು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ - ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಎರಡೂ; ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ).

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

"ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ. μάθημα ( ಮಾಥೆಮಾ), ಅಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಜ್ಞಾನ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ-ಗ್ರೀಕ್. μαθηματικός ( ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ), ಮೂಲತಃ ಅರ್ಥ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ, ಯಶಸ್ವಿ, ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ತರುವಾಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, μαθηματικὴ τέχνη (ಗಣಿತ ಟೆಕ್ನೆ), ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಸ್ ಗಣಿತ, ಅರ್ಥ ಗಣಿತದ ಕಲೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ಶಬ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಯಾವುದಾದರೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ, ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಇರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿದೇಶಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಬಂದಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗಣಿತದ ಹಳೆಯ ಹೆಸರು ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕು. ಬಳಕೆಗೆ.

ಸೋವಿಯತ್ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ನೀಡಿದ TSB ಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಗಣಿತ... ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಈಗ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳಾಗಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ... ಗಣಿತವು ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ರೂಪಗಳ ಸೆಟ್ - ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಆಧುನಿಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ("ಶುದ್ಧ") ಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ (ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್) ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ (ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಜ್ಞಾನ.

ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳು

1. ಗಣಿತ ಹೇಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಶಿಸ್ತುರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ:

• ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ: ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ
• ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂಶಗಳು

4. ಅಮೇರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ (AMS) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತ ವಿಷಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಆವೃತ್ತಿಯು MSC 2010 ಆಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಆವೃತ್ತಿಯು MSC 2000 ಆಗಿದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು

ಗಣಿತವು ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಕಾರಣ, ಸಂಕೇತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೂಪುಗೊಂಡಿತು, ಜೊತೆಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಕಾರ್ಯ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ). ಅನಾದಿ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ದೃಶ್ಯ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿವರ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು) ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಗ್ರಾಫ್-ಆಧಾರಿತ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಣ್ಣ ಕಥೆ

ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಬರವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ, ಪ್ರಾಚೀನ ಜನರು ಮೊದಲು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಮರದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ರಾಚಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರು. ಪ್ರಾಚೀನ ಇಂಕಾಗಳು, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬರವಣಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಕ್ವಿಪಸ್ ಎಂಬ ಹಗ್ಗ ಗಂಟುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇದ್ದವು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ ದಾಖಲೆಗಳು ಮಧ್ಯ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ರಚಿಸಿದ ಅಹ್ಮೆಸ್ ಪಪೈರಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಸಿಂಧೂ ನಾಗರಿಕತೆಯು ಆಧುನಿಕ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿತು, ಇದು ಶೂನ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳು ವಾಣಿಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ, ಭೂಮಿಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶಾಲ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ರಚನೆಗಳು, ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ

ಗುರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ, ಆದರ್ಶ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಭಾಗದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೈಜ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮರ್ಪಕವಾದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು.

ಗಣಿತದ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಾಧನಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವಸ್ತುವಿನ ಮಾದರಿಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ (ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿದ) ಅತ್ಯಂತ ಅವಶ್ಯಕವಾದವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಿತ್ತಳೆಯ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಅದರ ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ರುಚಿಯಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ) ಚೆಂಡಿನಂತೆ ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ನಾವು ಎಷ್ಟು ಕಿತ್ತಳೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಆಕಾರದಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಬಿಡಬಹುದು - ಪ್ರಮಾಣ. ಅಮೂರ್ತತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸ್ಥಾಪನೆಯು ಗಣಿತದ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದೇಶನವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಸ್ಪೇಸ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು n-ಆಯಾಮಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು. " ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಗಣಿತದ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಚತುರ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ».

ಇಂಟ್ರಾ-ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ನಿಯಮದಂತೆ, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಮೈದಾನಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾರ ಮತ್ತು ಅಡಿಪಾಯದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲೇಟೋನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. 20 ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ, ಕಠಿಣವಾದ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆಯುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಒಪ್ಪಂದವಿದೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಒಪ್ಪಂದವಿದೆ. ಇದು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬೇಕಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂದೇಹದ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ.

ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನ

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೆಂಕೆಲ್ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಇತರವುಗಳಿವೆ). ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಕೃತಿಗಳು ತಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಮುಂದಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಗತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ

ಈ ವಿಧಾನವು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಟೈಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು, ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಔಪಚಾರಿಕತೆ

ಈ ವಿಧಾನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ

ಗಣಿತವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂದು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ). ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಅನೇಕ ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗುತ್ತವೆ (ಅನೌಪಚಾರಿಕವಲ್ಲದ).

ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತ

ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತವು ರಚನಾತ್ಮಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ] . ರಚನಾತ್ಮಕತೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ - " ಇರುವುದು ಎಂದರೆ ಕಟ್ಟುವುದು" ರಚನಾತ್ಮಕತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

"ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೂಲತಃ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕ್ರಮೇಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಾಗಲಬ್ಧ, ನೈಜ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು.

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್

ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು
ಎಣಿಕೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ	ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು () ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು () ಭಾಗಲಬ್ಧ () ಬೀಜಗಣಿತ () ಅವಧಿಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ಅಂಕಗಣಿತ
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು	ನೈಜ () ಸಂಕೀರ್ಣ () ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್ () ಕೇಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಕ್ಟೇವ್ಸ್, ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ಸ್) () ಸೆಡೆನಿಯನ್ಸ್ () ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಕೇಲಿ-ಡಿಕ್ಸನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಹೈಪರ್‌ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸೂಪರ್ರಿಯಲ್ ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ( ಆಂಗ್ಲ)
ಇತರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು	ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಿನೈಟ್, ಆರ್ಡಿನಲ್) p-adic ಅಲೌಕಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಸಹ ನೋಡಿ	ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಿರಣ ಬಿಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್

ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮಠ

ಜ್ಞಾನ ವರ್ಗೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಡ್‌ಗಳು

ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸೇವೆಗಳು

ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈಟ್‌ಗಳಿವೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವರು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಾತನಾಡುವವರು. ರಷ್ಯನ್-ಮಾತನಾಡುವವರಲ್ಲಿ, ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್ ನಿಗ್ಮಾದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸೇವೆಯನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಹ ನೋಡಿ

ವಿಜ್ಞಾನದ ಜನಪ್ರಿಯರು

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಬ್ರಿಟಾನಿಕಾ
2. ವೆಬ್‌ಸ್ಟರ್‌ನ ಆನ್‌ಲೈನ್ ನಿಘಂಟು
3. ಅಧ್ಯಾಯ 2. ವಿಜ್ಞಾನದ ಭಾಷೆಯಾಗಿ ಗಣಿತ. ಸೈಬೀರಿಯನ್ ಮುಕ್ತ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಫೆಬ್ರವರಿ 2, 2012 ರಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಆರ್ಕೈವ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಕ್ಟೋಬರ್ 5, 2010 ರಂದು ಮರುಸಂಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ.
4. ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ನಿಘಂಟು (αω)
5. XI-XVII ಶತಮಾನಗಳ ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯ ನಿಘಂಟು. ಸಂಚಿಕೆ 9 / ಚ. ಸಂ. F. P. ಫಿಲಿನ್. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1982. - ಪಿ. 41.
6. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಆರ್.ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡುವ ನಿಯಮಗಳು. M.-L.: ಸೋಟ್ಸೆಕ್ಗಿಜ್, 1936.
7. ನೋಡಿ: ಗಣಿತ TSB
8. ಮಾರ್ಕ್ಸ್ ಕೆ., ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಎಫ್.ಪ್ರಬಂಧಗಳು. 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ T. 20. P. 37.
9. ಬೌರ್ಬಕಿ ಎನ್.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ. I. G. ಬಾಷ್ಮಾಕೋವಾ ಅವರಿಂದ ಗಣಿತ / ಅನುವಾದದ ಇತಿಹಾಸದ ಪ್ರಬಂಧಗಳು, ಸಂ. K. A. ರೈಬ್ನಿಕೋವಾ. M.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. ಕಜೀವ್ ವಿ.ಎಂ.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯ
11. ಮುಖಿನ್ O. I.ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್. ಪೆರ್ಮ್: RCI PSTU.
12. ಹರ್ಮನ್ ವೈಲ್ // ಕ್ಲೀನ್ ಎಂ.. - ಎಂ.: ಮಿರ್, 1984. - ಪಿ. 16.
13. ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗುಣಮಟ್ಟ. ವಿಶೇಷತೆ 01.01.00. "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ". ವಿದ್ಯಾರ್ಹತೆ - ಗಣಿತಜ್ಞ. ಮಾಸ್ಕೋ, 2000 (ಒ. ಬಿ. ಲುಪಾನೋವ್ ಅವರ ನಿರ್ದೇಶನದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ)
14. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕೆಲಸಗಾರರ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ನಾಮಕರಣ, ಫೆಬ್ರವರಿ 25, 2009 ಸಂಖ್ಯೆ 59 ರ ರಶಿಯಾ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯದ ಆದೇಶದಿಂದ ಅನುಮೋದಿಸಲಾಗಿದೆ
15. UDC 51 ಗಣಿತ
16. ಯಾ.ಎಸ್.ಬುಗ್ರೋವ್, ಎಸ್.ಎಂ.ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1988. ಪಿ. 44.
17. N. I. ಕೊಂಡಕೋವ್. ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಘಂಟು-ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1975. ಪಿ. 259.
18. ಜಿ.ಐ. ರುಝಾವಿನ್. ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ. ಎಂ.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: http://mathworld.wolfram.com

ಸಾಹಿತ್ಯ

ವಿಶ್ವಕೋಶಗಳು

• // ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಆಫ್ ಬ್ರಾಕ್ಹೌಸ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ರಾನ್: 86 ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ (82 ಸಂಪುಟಗಳು ಮತ್ತು 4 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳಿಗಿಂತ). - ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್. , 1890-1907.
• ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ (5 ಸಂಪುಟಗಳು), 1980. // EqWorld ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳು
• ಕೊಂಡಕೋವ್ ಎನ್.ಐ.ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಘಂಟು-ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1975.
• ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಅಂಡ್ ದೇರ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಸ್ (ಜರ್ಮನ್) 1899-1934. (19ನೇ ಶತಮಾನದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಮೀಕ್ಷೆ)

ಡೈರೆಕ್ಟರಿಗಳು

• G. ಕಾರ್ನ್, T. ಕಾರ್ನ್.ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ ಎಂ., 1973.

ಪುಸ್ತಕಗಳು

• ಕ್ಲೀನ್ ಎಂ.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಖಚಿತತೆಯ ನಷ್ಟ. - ಎಂ.: ಮಿರ್, 1984.
• ಕ್ಲೀನ್ ಎಂ.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಸತ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಎಂ.: ಮೀರ್, 1988.
• ಕ್ಲೈನ್ ​​ಎಫ್.ಉನ್ನತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ.

• ಸಂಪುಟ I. ಅಂಕಗಣಿತ. ಬೀಜಗಣಿತ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1987. 432 ಪು.
• ಸಂಪುಟ II. ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1987. 416 ಪು.

• ಕೊರಂಟ್ ಆರ್., ಜಿ. ರಾಬಿನ್ಸ್.ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: 2001. 568 ಪು.
• ಪಿಸಾರೆವ್ಸ್ಕಿ ಬಿ.ಎಂ., ಖರಿನ್ ವಿ.ಟಿ.ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ. - ಎಂ.: ಬಿನೋಮ್. ಜ್ಞಾನ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯ, 2012. - 302 ಪು.
• ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಎ.ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ವಿಧಾನ (ರಷ್ಯನ್) (ಫ್ರೆಂಚ್)

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ; ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅದರ ವಿಷಯವು ಬಹಳವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಗಣಿತವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಅವನು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತಾನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಮೊದಲಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುವುದು ಇದೇ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹೇಳಿದ್ದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ: ರೇಖೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಛೇದಕಗಳು, ಸಮತಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೇಹಗಳು, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಪದವೀಧರರು ತಮ್ಮ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕ್ರಿಯೆ, ಜೊತೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉನ್ನತ ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಪದವೀಧರರು ಅಥವಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಶಾಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತವು ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿಧಾನಗಳು. ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು, ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿರುವುದು ಗಣಿತದ ವಿಷಯವನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕ, ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಸಹ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ದಾರಿ ತಪ್ಪಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ನಿಖರವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಅದರ ಸಂಬಂಧವೇನು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅಥವಾ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಭಾಗಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದೆ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಹ ಉತ್ತರವು ಅವಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರವು ಜೀವನದ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ಉತ್ತರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಜೀವನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಏನೆಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಥವಾ ಸಾಮಾಜಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭೌತಿಕ, ಜೈವಿಕ, ರಾಸಾಯನಿಕ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ: ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ - ಅದರ ವಿಷಯದ ವಸ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು, ಅದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರದೇಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಸ್ತು ಅಥವಾ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಶಿಸ್ತಿನ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯವು ನಿಜವಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನವಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ, ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಸ್ತು ವಿಷಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ವಸ್ತುವಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು? ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಭೌತಿಕ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಔಪಚಾರಿಕ ರಚನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವು ಇರುವ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತವು ವಸ್ತು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಗ್ರಹಣೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೂಲವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಸ್ತುಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ದೂರವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಾಯಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಳಕೆದಾರರ ನಡುವೆ ಭೂ ಪ್ಲಾಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹಂಚಿಕೆ ಮಾಡುವುದು, ರಕ್ಷಣಾ ರಚನೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಧಾನ್ಯಗಳ ಗಾತ್ರ ಅಥವಾ ಉತ್ಖನನ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾದ್ದರಿಂದ ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಭೌತಿಕ ಸ್ವರೂಪವು ಈ ಹಿಂದೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಆರ್ಥಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೃಷಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಅವರು ಶಾಶ್ವತತೆಗಾಗಿ ತಮ್ಮ ಅನ್ವಯಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಂಕಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ; ಅದರ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಭಾಗವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಸೃಜನಶೀಲ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಹಲವಾರು ಹೊಸ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ಮಾನವೀಯತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತವು ಸೃಜನಶೀಲ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ, ಹಲವಾರು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬೇಕಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ತನ್ನ ಗುರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವವನು ಹೊಸದನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾನೆ, ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಯಾರಾದರೂ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿಯೇ ರಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಂದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚಿತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಡೇಟಾ, ಹಾಗೆಯೇ ಬಂಡೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಮಾಹಿತಿ, ಭೂರಾಸಾಯನಿಕ ಮತ್ತು ಭೂ ಭೌತಿಕ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬಳಸಿ ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೂವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯು ಈ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಭೂವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅನ್ನು ಭೂವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಿತಾಸಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಡೇಟಾದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಹರಡಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎಫ್. ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಅವರು "ಆಂಟಿ-ಡುಹ್ರಿಂಗ್" ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು, ಇನ್ನೊಂದು ನಿಕೋಲಸ್ ಬೌರ್ಬಕಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಗುಂಪು "ದಿ ಆರ್ಕಿಟೆಕ್ಚರ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" (1948) ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು.

"ಶುದ್ಧ ಗಣಿತವು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತನ್ನ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ." ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಲ್ಲದೆ, ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ನಿಜವಾದ ಪ್ರಪಂಚ. ಆದಾಗ್ಯೂ, F. ಎಂಗೆಲ್ಸ್‌ನ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಅದರ ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಾಯಶಃ ಗಣಿತವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ರಚನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು.

ಬೌರ್ಬಕಿಗಳು "ಏಕೈಕ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು" ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತವನ್ನು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಟೌಟಾಲಜಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಗಣಿತವು ಅದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮತ್ತೊಂದು ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ ಅದು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬೌರ್ಬಕಿಗಳು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬೌರ್‌ಬಾಕಿಗಳು “ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಜಗತ್ತು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಪ್ರಪಂಚದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಯಿತು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ನಡುವೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಎಂಬುದು ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಆಳವಾದ ಕಾರಣಗಳು ನಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ... ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ."

ಅಂತಹ ನಿರಾಶಾದಾಯಕ ತೀರ್ಮಾನವು ಎಫ್. ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅದ್ಭುತ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನದ ಗಣಿತೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತವು ಜ್ಞಾನದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಹೊರತಾಗಿಲ್ಲ - ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತವು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ತಾರ್ಕಿಕ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದರ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಸಂಕಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ; ಅವರು ಸರ್ವೋಚ್ಚ ಆಳ್ವಿಕೆ ನಡೆಸುವ ಸೀಮಿತ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ: ಎರಡು ಮತ್ತು ಎರಡು ಯಾವಾಗಲೂ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. 2 ಲೀಟರ್ ಆಲ್ಕೋಹಾಲ್ ಮತ್ತು 2 ಲೀಟರ್ ನೀರನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡುವಾಗ, 4 ಲೀಟರ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಮಿಶ್ರಣದಲ್ಲಿ, ಅಣುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಣದ ಪರಿಮಾಣವು ಘಟಕ ಘಟಕಗಳ ಸಂಪುಟಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಇತರ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀವು ನೀಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮೊತ್ತವು ಸಂಕಲನದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಶುದ್ಧ ಕಾರಣದ ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯಗಳು, ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳಿಂದ (ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳು) ಅಮೂರ್ತತೆಗಳು. "ಡಯಲೆಕ್ಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ನಲ್ಲಿ ಎಫ್. ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಅವರು "... ಎಲ್ಲಾ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತವು ಅಮೂರ್ತತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ... ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ..." ಈ ಪದಗಳು ಒಬ್ಬರ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾರ್ಕ್ಸ್ವಾದಿ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಸ್ಥಾಪಕರು. ಈ ಎಲ್ಲಾ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು" ನೈಜ ವಾಸ್ತವದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಲೋಚನೆಯ ಮುಕ್ತ ಹಾರಾಟದಿಂದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು. ಮೊದಲಿಗೆ ಇವು ಘಟಕಗಳೊಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮಾತ್ರ. ನಂತರ ಅನುಭವವು ನನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಾರು ಮತ್ತು ನೂರಾರುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನನ್ನನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿತು. ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ನಮಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಯುಗದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು: ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ "ಪ್ಸಮ್ಮಿಟ್" ("ಮರಳಿನ ಧಾನ್ಯಗಳ ಗಣನೆ") ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ನೀಡಿದವು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜನಿಸಿತು. ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮಾನವೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು - ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾದವುಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ರಮೇಣ ರೂಪುಗೊಂಡದ್ದು ಹೀಗೆ.

ಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೂ ಇದೇ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು ಮತ್ತು ಕ್ರಮೇಣ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡವು. ಎಫ್. ಎಂಗೆಲ್ಸ್ ಅವರ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: “...ಶುದ್ಧ ಗಣಿತವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿಶೇಷ ಅನುಭವದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ... ಆದರೆ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮನಸ್ಸು ತನ್ನದೇ ಆದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸುಳ್ಳು. ಸೃಜನಶೀಲತೆ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದಲಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಜನರು ಎಣಿಸಲು ಕಲಿತ ಹತ್ತು ಬೆರಳುಗಳು, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮನಸ್ಸಿನ ಮುಕ್ತ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎಣಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಅನುಭವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸುದೀರ್ಘ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಎರಡನ್ನೂ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಎರವಲು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಚಿಂತನೆಯಿಂದ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಇರಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಈ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕು.

ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ರಚಿಸಲಾದ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗಣಿತದ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯು ಶಾಲೆ, ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದುವುದು, ಲೇಖನಗಳು, ಒಬ್ಬರ ಸ್ವಂತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತಜ್ಞರೊಂದಿಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಗಳಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ, ರೇಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಮೂಲಗಳಿಂದ, ಅವನು ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತಾನೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಶೋಧಕರ ಚಿಂತನೆಯು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಚಿಂತನೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಿಂದಿನ ವಿಕಾಸದಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ, ಇತರ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ, ಮಾನವೀಯತೆಗೆ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು. ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ವಿವಿಧ ಸಾಮಾಜಿಕ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಯುಗಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮುಕ್ತ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವವರ ವಿರುದ್ಧ ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಾದವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, "ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಏನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತದಂತಹ ವಿಷಯವೂ ಇದೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಹೊರಗಿನ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಾರ ವಿನಿಮಯ, ಅಳತೆ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ಎಂಬ ವಿಭಾಗವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಮಹೋನ್ನತ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ. ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಲು (ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್ ಮತ್ತು ಫಿರಂಗಿದಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಅಗತ್ಯವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. G. W. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು I. ನ್ಯೂಟನ್ ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಸ, ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಮರುಪೂರಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಬಹುತೇಕ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಜನಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಮೆಯ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆರಂಭದ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡಿ). XVIII ಮತ್ತು XIX ಶತಮಾನಗಳು. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತದ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಅದಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. XX ಶತಮಾನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಂದರು: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತವು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಬಹುಶಃ ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಅನ್ವಯಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕರಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ, ಗಣಿತವು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ; ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇತರರಿಗೆ, ಗಣಿತವು ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಇಡೀ ಜಗತ್ತನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಅದರ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಎಲ್ಲಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಸಂಶೋಧಕರನ್ನು ಆ ಗಣಿತ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಗ್ರಹಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ m 1 ಮತ್ತು m 2 ಸಂವಾದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು, r ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ, ಮತ್ತು f ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕಳೆದ ಮುನ್ನೂರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಇದು ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಿದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯು ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಒರಟಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧಕರ ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವುದು, ಒಂದು ಕಡೆ, ವಸ್ತುವಿನ ವಾಸ್ತವಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ (ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅದರ ಭೌತಿಕ ಲಕ್ಷಣಗಳು), ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಂದೇ ವಿದ್ಯಮಾನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವತೆಯ ನಡುವಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವರ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವವರೆಗೆ ಅವರೆಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕಿದೆ.

ಗಣಿತವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಬೇಡಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ಚಿಂತನೆಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಶ್ವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿಶೇಷ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವಾಸ್ತವಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಮತ್ತು 6 ನೇ - 5 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ BC ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭವಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಆರ್ಥಿಕ ಜೀವನದ ಸರಳ ಅಗತ್ಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತ ಪೂರೈಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸುಧಾರಣೆ ಇದೆ.

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ನಗರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ನಗರದಂತೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಸುಧಾರಣೆಯ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಿವೆ, ಹೊಸ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಂತೆ ಸೊಗಸಾದ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೊಸದೊಂದು ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದಾಗಿ ನಗರದ ಮುಖವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವೂ ಹಳೆಯದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹಳೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಹೊಸ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಹಳೆಯ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಗಣಿತದ ನಗರದ ದೂರದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಹೊಸ ಬೀದಿಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು. ಆದರೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ವಿಜ್ಞಾನದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ವಿಜ್ಞಾನದ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸ್ಥಾಪನೆಗೆ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗಣಿತವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಶಾಖೆಯ ಮರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಹೊಸ ಚಿಗುರುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಮರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಶಾಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೊಸ ಶಾಖೆಗಳು ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ, ಮೊದಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬೆಳೆದವುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಶಾಖೆಗಳು ಪೌಷ್ಟಿಕ ರಸದಿಂದ ವಂಚಿತವಾಗಿ ಒಣಗುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಹಾರಗಳ ನೈಜ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೌಂದರ್ಯದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಸೌಂದರ್ಯದ ಭಾವನೆಯು ತುಂಬಾ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕೊಳಕು ವಿಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಗಣಿತಜ್ಞರು "ಸೌಂದರ್ಯ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಒಮ್ಮತದಿಂದ ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಕಾಗಿದೆ: ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಂದರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಗಣಿತದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ ಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸುಂದರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಪ್ರಬುದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಪ್ರತಿಭೆಯು ಅವನ ಸೌಂದರ್ಯದ ಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕಲಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ; ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಶಿಸ್ತಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಗಣಿತವು ಈಗ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಆವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತಜ್ಞರಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. ಅದರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ದಿಕ್ಕುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ನಷ್ಟವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೂಲಗಳು, ಗಣಿತದ ಮರದ ಬೇರುಗಳು.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಮೊದಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ

• 3 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುಸ್ತಕವು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದಲ್ಲಿ "ತತ್ವಗಳು" ರಷ್ಯಾದ ಅನುವಾದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. "ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಹೆಸರು "ಆರಂಭ" ದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳ ಕೃತಿಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ತಲುಪಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. "ತತ್ವಗಳು" ನಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಪರ್ಕವಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳ "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್" ಅನ್ನು ನಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅವರ ನೋಟವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

  ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳು 13 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 1 - 6 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿವೆ, 7 - 10 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. 11 ರಿಂದ 13 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿವೆ.

  ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ 23 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು 10 ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಐದು ಮೂಲತತ್ವಗಳು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು", ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು "ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ನಿಲುವುಗಳು ಆದರ್ಶ ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಮೂರನೆಯದು - ಆದರ್ಶ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಬಳಸಿ. ನಾಲ್ಕನೆಯದು, "ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಇದು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಉಳಿದ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಕೊನೆಯ, ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಓದುತ್ತದೆ: "ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಅನಿಯಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಕೋನಗಳು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕಡೆ."

  ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಐದು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು" ಉದ್ದಗಳು, ಕೋನಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ತತ್ವಗಳಾಗಿವೆ: "ಸಮಾನ ಸಮಾನವಾದವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ," "ಸಮಾನವನ್ನು ಸಮಾನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ," "ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ತಮ್ಮಲ್ಲಿಯೇ", "ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತವಾದವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", "ಇಡೀ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ".

  ಮುಂದೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಟೀಕೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಟೀಕಿಸಲಾಯಿತು: ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ. ಐದನೇ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನಿಲುವು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚು ಟೀಕೆಗೊಳಗಾಗಿತ್ತು. ಅನೇಕರು ಇದನ್ನು ಅತಿರೇಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇತರ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬೇಕು. ಇತರರು ಅದನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕೆಂದು ನಂಬಿದ್ದರು, ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: "ರೇಖೆಯ ಹೊರಗಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದ ಅವರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

  ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಟೀಕೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, N.I. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ, J. ಬೊಲ್ಯಾಯ್ ಮತ್ತು K.F. ಗೌಸ್ ಅವರು ಹೊಸ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು: "ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದನ್ನು ಛೇದಿಸದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು." ಈ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತದಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರವಾಗಿತ್ತು.

  ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹೆನ್ರಿ ಪೊಯಿನ್‌ಕೇರ್ 1882 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

  ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಈ ಸಾಲನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ (x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ವಿಮಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ತೆರೆದ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. Poincaré ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ (AB, CD) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಆರ್ಕ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣ (ಎಫ್) ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ತೆರೆದ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಚಲನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಚಲನೆಯ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದಾದರೆ ಎರಡು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇವು.

  ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. "ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಕಿರಣವಾಗಿದೆ." ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಸಮಾನಾಂತರ ತತ್ವದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಸಾಲು a ಮತ್ತು A ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯ a ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ.

  ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಂತರ, ಇತರ ಸ್ಥಿರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು: ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್‌ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಬಹುಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ರೀಮನ್ನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು (ಮೂರು ವಿಜ್ಞಾನದ ಉದ್ದದಿಂದ ಅಳೆಯಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ), ಇತ್ಯಾದಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು 40 - 50 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ವಿವಿಧ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದರ ಪೂರ್ವಜ - ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

  ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಹಂತಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರಚನೆ

• ಅಕಾಡೆಮಿಶಿಯನ್ A.N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ A.N. - ಗಣಿತ, ಗಣಿತ ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು, ಮಾಸ್ಕೋ, ಸೋವಿಯತ್ ವಿಶ್ವಕೋಶ, 1988: ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಗಳು, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತ, ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ.

  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಿತು. ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ರಚಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ - ಎರಡು ಸಹಸ್ರಮಾನಗಳವರೆಗೆ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮಾದರಿಯಾಯಿತು.

  17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು ಚಲನೆ, ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದ ಅವಧಿಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಹಾನ್ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಮಾಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ರಚನೆ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ).

  ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಂಚೂಣಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಅಧ್ಯಯನದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: ಮಿತಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಭೇದಾತ್ಮಕ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

  ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ R. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರ ಅದ್ಭುತ ಕಲ್ಪನೆಯ ನೋಟವು ಈ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಗತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೆರೆಯಿತು.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ರೀತಿಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

  ಗಣಿತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತಿದೆ. ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಬೇಡಿಕೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಗಣಿತದ ಆಂತರಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಯೂ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ N.I. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. 19 ನೇ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಅದನ್ನು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅವಧಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗಣಿತೀಕರಣ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ನುಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೊಸ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಸಂಶೋಧನೆ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ , ಗಣಿತದ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರರು.

  ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳು - ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯು ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಗಣಿತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಪರಸ್ಪರ ದೂರವಿರುವ ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವಿನ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ, ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ವರೂಪವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧಗಳು.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಷನ್.

  ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

  ಕಡಿತವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

  ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಾನವಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಳಹೊಕ್ಕುಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಇದು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ನೀಡುವ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಾಸ್ತವತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಉಪಕರಣಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ ಅಸಾಧ್ಯ.

  ಗಣಿತವು ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಭಾಷೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಅಂಶವೂ ಆಗಿದೆ.

  ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಮೂಲ ಲಕ್ಷಣಗಳು

• ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯು A.Ya. ಖಿಂಚಿನ್ ನೀಡಿದ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐತಿಹಾಸಿಕ ರೂಪ - ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಯ ಸಾರವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತಾ, ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ಯುಗಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ನಾಲ್ಕು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಈ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಗಳಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ.

  ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞನು ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ, ಅದನ್ನು ಮಿತಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಈ ಯೋಜನೆಯ ದೃಷ್ಟಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುವ ಅವಕಾಶದಿಂದ ವಂಚಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಯ ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವು ಅದರಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಆಲೋಚನೆಯ ಹರಿವಿನ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಚಿಂತಕನನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ತನ್ನ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಹೊಂದಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅವನನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಲೋಪಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ. , ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇತರ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ).

  ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಲಕೋನಿಸಂ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಜ್ಞಾಪೂರ್ವಕ ಬಯಕೆ, ವಾದದ ನಿಷ್ಪಾಪ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಷ್ಕರುಣೆಯಿಂದ ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು. ಉತ್ತಮ ಶೈಲಿಯ ಗಣಿತದ ಪ್ರಬಂಧವು ಯಾವುದೇ "ನೀರು", ಯಾವುದೇ ಅಲಂಕಾರವನ್ನು ಸಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ರಾಂಟಿಂಗ್‌ನ ತಾರ್ಕಿಕ ಒತ್ತಡವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬದಿಗೆ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ತೀವ್ರ ಪಾರ್ಸಿಮೊನಿ, ಚಿಂತನೆಯ ತೀವ್ರ ಕಠೋರತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಗಂಭೀರ ತಾರ್ಕಿಕತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಲಕೋನಿಸಂ, ಅನಗತ್ಯವಾದ ಯಾವುದನ್ನೂ ತಪ್ಪಿಸುವ ಬಯಕೆ, ಚಿಂತಕ ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಅವನ ಓದುಗ ಅಥವಾ ಕೇಳುಗರಿಗೆ ಪಕ್ಕದ ಆಲೋಚನೆಗಳಿಂದ ವಿಚಲಿತರಾಗದೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಮಾರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಂತನೆಯ ರೈಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

  ವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಕಾಶಕರು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಜ್ಞಾನದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆಲೋಚನೆಯು ಅವುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತರಾದ ನ್ಯೂಟನ್, ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ನೀಲ್ಸ್ ಬೋರ್ ಅವರ ಆಲೋಚನೆ ಮತ್ತು ಮಾತಿನ ಉದಾತ್ತ ದುರಾಶೆಯಿಂದ ಎಂತಹ ಭವ್ಯವಾದ ಅನಿಸಿಕೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ! ಅದರ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತರ ಆಲೋಚನಾ ಶೈಲಿಯು ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಬೀರಬಹುದಾದ ಆಳವಾದ ಪ್ರಭಾವದ ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ, ಚಿಂತನೆಯ ಲಕೋನಿಸಂ ಒಂದು ನಿರ್ವಿವಾದದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಚಿತ್ರಗಳು, ಗೊಂದಲಗಳು ಅಥವಾ ರಾಂಟಿಂಗ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊರೆಗೊಳಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯತ್ನವು (ಕೇಳುಗರಿಗೆ ಆಹ್ಲಾದಕರ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ) ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಅನುಮಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಜಾಗರೂಕತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

  ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಭಾಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಪಕೇಸ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಉಪಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಆಲೋಚನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಯಾವ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಪ್ರಕರಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಉಳಿದಿವೆ. ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಕವಲೊಡೆದ ಎಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಗಣಿತಜ್ಞನು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಲ್ಲದ ಚಿಂತನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಗಳು ಮತ್ತು ಜಿಗಿತಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಗೊಂದಲ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಕುಲದ ಜಾತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೇಳುಗರಿಗೆ (ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತನಗಾಗಿ) ಅಗ್ರಾಹ್ಯವಾಗಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಕೊರತೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡು, ಅವನು ಮತ್ತೊಂದು ಕುಲಕ್ಕೆ ಹಾರಿ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಈಗ ಎರಡೂ ಕುಲಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಕೇಳುಗರಿಗೆ ಅಥವಾ ಓದುಗರಿಗೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಜಾತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

  ಅಂತಹ ಗೊಂದಲಗಳು ಮತ್ತು ಜಿಗಿತಗಳನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಸರಳವಾದ ಬಾಹ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ (ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ) ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾದದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅರ್ಹ ಉಪಕೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಲುವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ). ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಮೊದಲು, ಹೊಸ ಸಬ್‌ಕೇಸ್‌ನ ಪರಿಗಣನೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮೊದಲು, ಈ ಉಪಕೇಸ್‌ಗೆ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪದನಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ: II 3 - ಇದರರ್ಥ ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದ ಮೂರನೇ ಉಪಕೇಸ್‌ನ ಪರಿಗಣನೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಮೂರನೇಯ ವಿವರಣೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ). ಮತ್ತು ಓದುಗನು ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರಬ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವವರೆಗೆ, ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವೂ ಈ ಪ್ರಕರಣ ಮತ್ತು ಉಪಕೇಸ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಾಹ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಸಾರವು ಅದರಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಾದ ಅಥವಾ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅದು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳದೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. .

  ನಾಲ್ಕನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಕೇತಗಳು, ಸೂತ್ರಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಖರವಾದ ನಿಖರತೆ. ಅಂದರೆ, "ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು, ನಿಯಮದಂತೆ, ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀಡಿದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ."

  ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, A.Ya. ಖಿಂಚಿನ್ ಗಣಿತವು (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತ) ಸ್ವಭಾವದಲ್ಲಿ ಆಡುಭಾಷೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಚಿಂತನೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುತ್ತಾನೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯ (ಕಾಂಕ್ರೀಟ್) ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನಾ (ಅಮೂರ್ತ) ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. "ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸದೆ ನಾವು ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯದೆ ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಕಾಂಟ್ ಬರೆದರು.

  ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವರ್ಗಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ "ನೇತೃತ್ವದ" ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ. ಪುರಾತನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತ) ಇವುಗಳು "ಸಂಖ್ಯೆ" ಮತ್ತು "ಸ್ಪೇಸ್" ಆಗಿದ್ದವು, ಇದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಣಿತವು ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೇಲೆ "ಆಧಾರಿತ" - "ಸೀಮಿತ", "ಅನಂತ", "ನಿರಂತರತೆ", "ವಿವಿಕ್ತ", "ಅನಂತ", "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ", ಇತ್ಯಾದಿ.

  ನಾವು ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಆಧುನಿಕ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ಅದು ತಾತ್ವಿಕ ವರ್ಗಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು "ಮಾಸ್ಟರ್ಸ್" ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು; ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ - ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಭಾಗಗಳು; ದುರಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತ - ಅಧಿಕ ವರ್ಗ; ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ - ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಾಮರಸ್ಯದ ವರ್ಗಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

  ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೋಲುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ (ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ - ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್, ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್, ರಚನಾತ್ಮಕ, ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಇತರರು) ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಏಕತೆಯು ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯವು ಅದರ ತರ್ಕದ ತೀವ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟತೆ, ಅದರ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಸೊಬಗು ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಕೌಶಲ್ಯಪೂರ್ಣ ರಚನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

  ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರ ಗಣಿತದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೊಸ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ತೆರೆದುಕೊಂಡವು. ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಷೆ ಬೀಜಗಣಿತ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದರ ಆಧುನಿಕ ಭಾಷೆ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಭಾಷೆಯಾಗಿದೆ. , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಹಳೆಯ ಭಾಷೆ ಸೇರಿದಂತೆ.

  ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಷೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗುತ್ತಿದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ (ಬಹು-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಿಂದ ವರ್ಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಗಣಿತದ ಭಾಷೆ ಎಷ್ಟು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ "ಜೀವಂತ", ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಾತನಾಡುವ ಭಾಷೆ ಕೃತಕ ಭಾಷೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಬೊಲಿವಿಯಾ ಮತ್ತು ಪೆರುವಿನಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 2.5 ಮಿಲಿಯನ್ ಜನರು ಮಾತನಾಡುವ ಅಯ್ಮಾರಾ ಭಾರತೀಯರ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಷೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸ್ನೇಹಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. 1610 ರಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಐಮಾರಾ ನಿಘಂಟನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಿದ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಜೆಸ್ಯೂಟ್ ಮಿಷನರಿ ಲುಡೋವಿಕೊ ಬರ್ಟೋನಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾರ್ಕಿಕ ಶುದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ ಅದರ ರಚನೆಕಾರರ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು. ಅಯ್ಮಾರಾದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಮಿತ ಕ್ರಿಯಾಪದಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಕರಣ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿನಾಯಿತಿಗಳಿಲ್ಲ. ಅಯ್ಮಾರಾ ಭಾಷೆಯ ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಬೊಲಿವಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಇವಾನ್ ಗುಜ್ಮನ್ ಡಿ ರೋಜಾಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಐದು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಭಾಷೆಗಳಿಂದ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನುವಾದದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು, ಅದರ ನಡುವೆ "ಸೇತುವೆ" ಐಮಾರಾ ಭಾಷೆಯಾಗಿದೆ. ಬೊಲಿವಿಯನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ರಚಿಸಿದ ಅಯ್ಮಾರಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಜ್ಞರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶೈಲಿಯ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವು ಪ್ರಕೃತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

  ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ

• ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದ ಇಂದಿನವರೆಗೆ ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

  ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಎಲ್ಲಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಮೂರು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಪೂರಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ: ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್), ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್) ಮತ್ತು ರೀಮನ್ನಿಯನ್ (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್), ಕೆಲವು ಹೋಲಿಕೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಡುವೆ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. , ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು - ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ.

  ಆಧುನಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅದು ಈಗ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸ್ಥಳಗಳ "ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು" ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮೊದಲು ಬಳಸಿದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

  ಸಂಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸ್ಟಿರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಕುರುಹುಗಳ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

  ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಈಗ ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಕೆಲಸ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ.

  ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇತರರ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಇತರರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ನಾವು ಹೇಳಿಕೆ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ, ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆವರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಈ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಸೆಟ್ ಇರಬೇಕು, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

  ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

  ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಒಂದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಕಾರಣ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಈ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಅಥವಾ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

  ಮೊದಲ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳ ನಂತರ, ಇತರರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮೇಯಗಳು) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಪೈಥಾಗರಸ್ ಮತ್ತು ಡೆಮೊಕ್ರಿಟಸ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿವೆ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಕೀರ್ತಿಗೆ ಚಿಯೋಸ್‌ನ ಹಿಪ್ಪೊಕ್ರೇಟ್ಸ್ ಪಾತ್ರರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳನ್ನು "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು.

  ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನ

• ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಹಲವು ತಲೆಮಾರುಗಳ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೆಲಸ ಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

  ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸರಳತೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

  ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕುದಿಯುತ್ತದೆ:

  1) ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ,

  2) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ,

  3) ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ,

  4) ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ,

  5) ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗೆ.

  ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವವು ಸಾಕ್ಷ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

  ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

  ಪುರಾವೆಯು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ; ಇದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಸತ್ಯದಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಾಗಿದೆ.

  ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: 1) ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ, 2) ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಸತ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ. ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದವು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

  ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ವಾಸ್ತವಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು.

  ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಸುಮಾರು 300 BC) "ತತ್ವಗಳು" ಎಂಬ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಮಹತ್ವದಲ್ಲಿ ಮೀರಿಸಿದನು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇಂದಿಗೂ ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.

  ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು: ಪಾಯಿಂಟ್, ನೇರ ರೇಖೆ, ಸಮತಲ; ಮೂಲ ಚಿತ್ರಗಳು; ನಡುವೆ ಸುಳ್ಳು, ಸೇರಿರುವ, ಚಲನೆ.

  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು 13 ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಐದು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವವಿದೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ ವಿ): ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಏಕೈಕ ಮೂಲತತ್ವ ಇದು. 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದವರೆಗೆ 2 ಸಹಸ್ರಮಾನಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಐದನೇ ನಿಲುವು ಆಕ್ರಮಿತ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು, ಅಂದರೆ. ನಿಕೊಲಾಯ್ ಇವನೊವಿಚ್ ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹತಾಶತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಕ್ಷಣದವರೆಗೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ನ ಸಾಬೀತಾಗದಿರುವುದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ.

  ಸಮಾನಾಂತರ N.I ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲತತ್ವ ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಅದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು: ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಿ. ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

  ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ N.I. ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿ, ನಿಷ್ಪಾಪ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಠಿಣತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಾಮರಸ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿದರು. ಯುಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಎರಡೂ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

  19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮಹಾನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಬಹುತೇಕ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಯ ಸಾಬೀತಾಗದ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಬಂದರು.

  ನಿಕೊಲಾಯ್ ಇವನೊವಿಚ್ ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ (1792-1856)

  ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ (1777-1855)

  ಜಾನೋಸ್ ಬೊಲ್ಯಾಯ್ (1802-1860)

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ

• ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ - ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಅಗತ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ, ರಷ್ಯನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸದಸ್ಯ ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್ ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ - ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೋಧನೆ, ಮಾಸ್ಕೋ, ನೌಕಾ, 1985, ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆ (ಅದರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ) ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಗಣಿತವು ಯೋಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯು ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು, ಅದರ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಅಗತ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು, ಗಣಿತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ತೋರಿಕೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಶೋಧನೆ. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸತ್ಯದ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಅದನ್ನು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ (ಇದು ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳು.

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯೇ ಅಂತಿಮ ಸತ್ಯ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ತರ್ಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ನಿರ್ಧಾರವು ತಪ್ಪಾಗಲಾರದು. ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಎದುರಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.

  "ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ತೊಡಕಾಗಿರುವ ಯುಗವನ್ನು ನಾವು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆ ನಿಜವೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಯುಎಸ್ಎ ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾದ ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಕೇಟ್ ಡೆವ್ಲಿನ್ ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಅವರು "ಸರಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ" ವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು 1980 ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

  ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ನಿಖರವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. 1998 ರಲ್ಲಿ, ಹೇಲ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು 1611 ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು 300 ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಯಂತ್ರ ಸಂಕೇತದ 40,000 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. 12 ವಿಮರ್ಶಕರು ಒಂದು ವರ್ಷದವರೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಸಾಕ್ಷ್ಯದ ನಿಖರತೆಯಲ್ಲಿ 100% ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಾಗಿ ಕಳುಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶಕರ ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು.

  ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.

  ಪುರಾವೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ರಚನಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಪ್ರಬಂಧ (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು), ವಾದಗಳು (ಸತ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಕಾನೂನುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಜ್ಞಾನ) ಮತ್ತು ಪ್ರದರ್ಶನ (ವಿಧಾನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು; n ನೇ ತೀರ್ಮಾನವು n + 1 ನೇ ತೀರ್ಮಾನದ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದಾಗ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸರಣಿ). ಪುರಾವೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ತಾರ್ಕಿಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಡಿಪಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ರಚನೆಯ ಇತಿಹಾಸದ ಸಂಶೋಧಕರು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾನೂನು ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದರು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಈ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಯೋಜಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು.

  20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪುರಾವೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅದರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿತು, ಇದು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಡಗಿರುವ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆ. ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ತಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಭವಿಸಿತು.

  ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತು, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ "ಪುರಾವೆ" ಎಂಬ ಪದವು ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಅಭಿಪ್ರಾಯವು (ಇಂದಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ) ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿದರೆ, ಅವರು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ-ಗಣಿತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಾನಸಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅವರು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಇತರರಿಗೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಸರಿ ಎಂದು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಎ.ಇ. ಯೆಸೆನಿನ್-ವೋಲ್ಪಿನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾನಸಿಕ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಅವರು ತೀವ್ರವಾಗಿ ವಿರೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ನಂಬಿಕೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: "ನಾನು ತೀರ್ಪಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಸ್ವಾಗತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ ಅದು ಈ ತೀರ್ಪನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದು." ಯೆಸೆನಿನ್-ವೋಲ್ಪಿನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ವರದಿ ಮಾಡಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, "ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಸ್ವಾಗತ" ಎಂದು ಪುರಾವೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನೈತಿಕ ಮತ್ತು ಮಾನಸಿಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಮನವಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?

  ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನೋಟವು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುರಾವೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದೇಶನ ಮತ್ತು D. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್.

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪುರಾವೆಯ ಆದರ್ಶ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಏಕೈಕ ವಿಧಾನವಲ್ಲ; ಸಾಕ್ಷ್ಯಾಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಔಪಚಾರಿಕ-ತಾರ್ಕಿಕ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಅನೇಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಮಾತ್ರ ನಿಜ. ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ (ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳೂ ಸಹ) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ನಿಯಮಗಳು, ದೋಷಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸದೆಯೇ, ಇತರ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಪುರಾವೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುರಾವೆಯು ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು (ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಅರ್ಥೈಸಬಹುದಾದ, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

  ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳ ಸೆಟ್ ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಂಡಿತು. ಅವರ "ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ" ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಘಟನೆಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾದರಿ ಮಾನದಂಡವಾಯಿತು ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಉಳಿಯಿತು.

  ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಬೇಕು, ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತರ್ಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಬೇಕು.

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಾಗ, ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಕಾಡೆಮಿಶಿಯನ್ A.D. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ಬಾರಿ ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು 2d ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದರೆ ನೀವು ಗಣಿತದಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀವು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಿದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಅವನಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಪಾಂಡಿತ್ಯದ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಸತ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಾದವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಅಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ, ಭೌತಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಯಿತು, ಏಕೆಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, "ಅಸಮಂಜಸತೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಮೂರ್ತತೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ನೆರವಿಗೆ ಆಕರ್ಷಿಸಲು, ಸಂವೇದನಾ ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಚೌಕದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸತೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕರ್ಣೀಯ) ವರ್ಗದ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. (ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು). ಅಥವಾ ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿದಾಗ, ಖಗೋಳ ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ತಿರುಗಿದಾಗ, ಈ ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸ್ವಭಾವದ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಕೇಲಿ-ಕ್ಲೈನ್ ​​ಮತ್ತು ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ನಡೆಸಿದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಎರಡನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಮೂರ್ತತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಪುರಾವೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆ, ನಾವು ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದರ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಪುರಾವೆಯು ಹಲವಾರು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಂತರದ ವಿಷಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಚಿಂತನೆಯ ಅಂತಿಮ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಅರ್ಥವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಃ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ (ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಸ್ಥಿರ) ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು (ಸೂಚನೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು), ಅಥವಾ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಹೇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಪ್ರಸ್ತಾಪಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯಬಲ್).

  ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ತೀವ್ರ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಹೇಳಿಕೆಗಳು, ಅವುಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

  ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪುರಾವೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ನಿರ್ಣಯದ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಾಬೀತಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು (ಬದಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯ) ಮತ್ತು ಕಡಿತದ ಪ್ರಮೇಯ.

  ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯಮ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಕೆಲವು ಇತರ ಅಂಶ F (a) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಂತೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ M ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, A ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಕ್ಷರದ D ಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಸತ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಗಳ (ಸೂತ್ರಗಳು) ಅರ್ಥದಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ ... "ನಿಜ" ಅಥವಾ "ಸುಳ್ಳು" ಎಂಬ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, M: A--> (BUA) ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, A ನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (AUB) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು (AUB) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ -->[(BU(AUB) ].

  ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ನಿಯಮವು ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವರ್ಗೀಯ ಸಿಲೋಜಿಸಮ್ ಮಾಡಸ್ ಪೊನೆನ್ಸ್ (ದೃಢೀಕರಣ ಮೋಡ್) ರಚನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

  ಎ .

  ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು (a-> b) ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಿ.

  ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಮಳೆಯಾದರೆ, ಪಾದಚಾರಿ ಮಾರ್ಗವು ತೇವವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮಳೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಎ), ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾದಚಾರಿ ಒದ್ದೆಯಾಗಿದೆ (ಬಿ). ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಿಲೋಜಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ (a-> b) a-> b.

  ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ, ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಾರ್ಥವನ್ನು (a-> b) ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ (a) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಸೂಚನೆಯ (b) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಾದಕ್ಕೆ (ಪುರಾವೆ) ಸೇರಿಸಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ. ಸಿಲೋಜಿಸಂ ಒಂದು ಕಡ್ಡಾಯ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪುರಾವೆಯ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಸಾಧನಗಳ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

  ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿತದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರು, ಇದರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸೂಚ್ಯತೆಯ ಸಾಬೀತುವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ: A-> B, ಸೂತ್ರದ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಇದ್ದಾಗ A ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬಿ ಆವರಣದ G ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ A ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, B Г, A B (ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ) ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು, ನಂತರ G ಆವರಣದಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎ--> ಬಿ.

  ನಾವು ನೇರ ಸಾಕ್ಷ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ (ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದಿರುವುದು, ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ವಾಸ್ತವತೆಯ ನಷ್ಟ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಯಾವುದೇ ಹೇಳಿಕೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಬಂಧದ ಸತ್ಯದ ನೇರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅವರು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಅವರು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸುಳ್ಳು ಸಂಗತಿಯಿಂದ, ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಮ (ಎ ವಿ) ಕಾನೂನಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ - ಪ್ರಬಂಧದ ಸತ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ.

  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆಯ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ. ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿಬಂಧನೆಗಳ ಸ್ವೀಕಾರದಲ್ಲಿ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

  ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. G ಸೂತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು A (G , A) ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು B ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರಾಕರಣೆ (G, A B, ಅಲ್ಲ-B) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, A ಯ ಸತ್ಯವು G ಸೂತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಬಂಧದ ಸತ್ಯವು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸುಳ್ಳುತನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. .

  ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:

• 1. N.Sh. ಕ್ರೆಮರ್, B.A. ಪುಟ್ಕೊ, I.M. ಟ್ರಿಶಿನ್, M.N. ಫ್ರಿಡ್ಮನ್, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ, ಮಾಸ್ಕೋ, 2002;

  2. ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್, ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೋಧನೆ, ಮಾಸ್ಕೋ, ನೌಕಾ, 1985;

  3. O.I. ಲಾರಿಚೆವ್, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ನಿರ್ಧಾರಗಳು, ಮಾಸ್ಕೋ, ನೌಕಾ, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ? - ತಮಾಷೆ!”, ಲೇಖಕರ ಪ್ರಕಟಣೆ, 1989;

  5. P.K. ರಾಶೆವ್ಸ್ಕಿ, ರೀಮನ್ನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಮಾಸ್ಕೋ, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, 1967;

  6. V.E. ಗ್ಮುರ್ಮನ್, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಮಾಸ್ಕೋ, ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 1977;

  7. ವರ್ಲ್ಡ್ ವೈಡ್ ವೆಬ್ ಎಂಟರ್ನೆಟ್.

ಗಣಿತವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ವರೂಪಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಗಣಿತವು ಅವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇತರರಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ವಸ್ತುಗಳ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ: ಬಣ್ಣ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಗಡಸುತನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿ, ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರಮಾಣ) ಮಾನವ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ಮಾನವ ಚಿಂತನೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.

ಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತ ಸ್ವಭಾವವು ಅದನ್ನು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.

ಅರಿವಿನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಗುಂಪುಸಂವೇದನಾ ಅರಿವಿನ ರೂಪಗಳು, ವಿವಿಧ ಇಂದ್ರಿಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ದೃಷ್ಟಿ, ಶ್ರವಣ, ವಾಸನೆ, ಸ್ಪರ್ಶ, ರುಚಿ.

ಕಂ. ಎರಡನೇ ಗುಂಪುಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆಯ ರೂಪಗಳು, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಇಂದ್ರಿಯ ಜ್ಞಾನದ ರೂಪಗಳು ಅನುಭವಿಸಿ, ಗ್ರಹಿಕೆಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ಒಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂವೇದನೆಗಳ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಭಾವನೆ- ಇದು ವಸ್ತುಗಳ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವಸ್ತು ಪ್ರಪಂಚದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ಇದು ನೇರವಾಗಿ (ಅಂದರೆ ಈಗ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ನಮ್ಮ ಇಂದ್ರಿಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಕೆಂಪು, ಬೆಚ್ಚಗಿನ, ದುಂಡಗಿನ, ಹಸಿರು, ಸಿಹಿ, ನಯವಾದ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಇತರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂವೇದನೆಗಳಾಗಿವೆ [ಗೆಟ್ಮನೋವಾ, ಪು. 7].

ಇಡೀ ವಸ್ತುವಿನ ಗ್ರಹಿಕೆಯು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂವೇದನೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೇಬಿನ ಗ್ರಹಿಕೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವೇದನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಗೋಳಾಕಾರದ, ಕೆಂಪು, ಸಿಹಿ ಮತ್ತು ಹುಳಿ, ಆರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗ್ರಹಿಕೆನಮ್ಮ ಇಂದ್ರಿಯಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಬಾಹ್ಯ ವಸ್ತುವಿನ ಸಮಗ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ [ಗೆಟ್ಮನೋವಾ, ಪು. 8]. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ಲೇಟ್, ಕಪ್, ಚಮಚ, ಇತರ ಪಾತ್ರೆಗಳ ಚಿತ್ರ; ನದಿಯ ಚಿತ್ರ, ನಾವು ಈಗ ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೇಲುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದರ ದಡದಲ್ಲಿದ್ದರೆ; ಕಾಡಿನ ಚಿತ್ರ, ನಾವು ಈಗ ಕಾಡಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗ್ರಹಿಕೆಗಳು, ಅವು ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವದ ಸಂವೇದನಾ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದ್ದರೂ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾನವ ಅನುಭವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾನೆ (ಅವನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಸ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ), ಆದರೆ ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಅಥವಾ ಕಲಾವಿದರು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರದರ್ಶನ- ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ನಮ್ಮಿಂದ ಗ್ರಹಿಸದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂವೇದನಾ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಹಿಂದೆ ಒಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ [ಗೆಟ್ಮನೋವಾ, ಪು. 10]. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸ್ನೇಹಿತರ ಮುಖಗಳು, ಮನೆಯಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕೋಣೆ, ಬರ್ಚ್ ಮರ ಅಥವಾ ಮಶ್ರೂಮ್ ಅನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ನಾವು ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗಿನಿಂದ.

ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಇರಬಹುದು ಸೃಜನಶೀಲ, ಸೇರಿದಂತೆ ಅದ್ಭುತ. ನಾವು ಸುಂದರವಾದ ರಾಜಕುಮಾರಿ ಸ್ವಾನ್, ಅಥವಾ ತ್ಸಾರ್ ಸಾಲ್ಟನ್, ಅಥವಾ ಗೋಲ್ಡನ್ ಕಾಕೆರೆಲ್ ಮತ್ತು ಎ.ಎಸ್.ನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಥೆಗಳ ಇತರ ಅನೇಕ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪುಷ್ಕಿನ್, ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ನೋಡಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇವು ಮೌಖಿಕ ವಿವರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಸ್ನೋ ಮೇಡನ್, ಸಾಂಟಾ ಕ್ಲಾಸ್, ಮತ್ಸ್ಯಕನ್ಯೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂವೇದನಾ ಜ್ಞಾನದ ರೂಪಗಳು ಸಂವೇದನೆಗಳು, ಗ್ರಹಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನಾವು ವಸ್ತುವಿನ ಬಾಹ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ (ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).

ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆಯ ರೂಪಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳು.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವಿಷಯ

"ಪರಿಕಲ್ಪನೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ವಿಶಿಷ್ಟ, ಅಗತ್ಯ) ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವಭಾವದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ತರ್ಕದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಚಿಂತನೆಯ ವಿಶೇಷ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ: 1) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಘಟಿತ ವಸ್ತುವಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ; 2) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಸ್ತು ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ; 3) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಸಾಧನವಾಗಿ ಪ್ರಜ್ಞೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; 4) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆ ಎಂದರ್ಥ; 5) ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರಚನೆಯು ಮಾತು, ಬರಹ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದು.

ವಾಸ್ತವದ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಮ್ಮ ಪ್ರಜ್ಞೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ?

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ರಮೇಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಸತತ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ರಚನೆ.

1. ಅರಿವಿನ ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮಕ್ಕಳು ವಿವಿಧ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ, ವಸ್ತು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತಾರೆ (ಮೂರು ಸೇಬುಗಳು, ಮೂರು ಪುಸ್ತಕಗಳು, ಮೂರು ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.). ಮಕ್ಕಳು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು (ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು). "ನೋಡುವ" ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಗುವಿನ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ವಿಶೇಷ ರೂಪವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರಹಿಕೆ (ಸಂವೇದನೆ).

2. ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ವಿಷಯಗಳು) ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಲ್ಲೆಡೆ "ಮೂರು" ಇದ್ದವು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಮಕ್ಕಳ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅಚ್ಚೊತ್ತಿರಬೇಕು. ಇದೇ ವೇಳೆ ಮಕ್ಕಳ ಮನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ರೂಪ ಮೂಡಿದೆ- "ಮೂರು" ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಲ್ಪನೆ.

3. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, "ಮೂರು" ಪದದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಆಸ್ತಿಯು ರೂಪದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮಕ್ಕಳು ನೋಡಬೇಕು (ಎ; ಬಿ; ಸಿ). ಇದು ಅಂತಹ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಗತ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ: "ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು."ಈಗ ನಾವು ಮಕ್ಕಳ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ- ಇದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಚಿಂತನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ವಸ್ತುಗಳ ಅಥವಾ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುಗಳ ಅಗತ್ಯ (ವಿಶಿಷ್ಟ) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಭಾಷಾ ರೂಪವು ಪದ ಅಥವಾ ಪದಗಳ ಗುಂಪು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ತ್ರಿಕೋನ", "ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು", "ಬಿಂದು", "ನೇರ ರೇಖೆ", "ಐಸೋಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನ", "ಸಸ್ಯ", "ಕೋನಿಫೆರಸ್ ಮರ", "ಯೆನಿಸೀ ನದಿ", "ಟೇಬಲ್", ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹಲವಾರು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾನವ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಆದರ್ಶ ವಸ್ತುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೇ ವಸ್ತುಗಳ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಬಣ್ಣ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಗಡಸುತನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವರು ಈ ಎಲ್ಲದರಿಂದ ವಿಚಲಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಅಮೂರ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "ವಸ್ತು" ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲಿಗೆ ಅವರು "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು "ಸಂಖ್ಯೆ" ಮತ್ತು "ಗಾತ್ರ" ದಂತಹ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಯಾವುದಾದರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳುಕೆಳಗಿನವುಗಳು: 1) ಪರಿಮಾಣ; 2) ವಿಷಯ; 3) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು.

ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಪದದಿಂದ (ಪದ ಅಥವಾ ಪದಗಳ ಗುಂಪು) ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ (ಸೆಟ್) ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಚೌಕಗಳಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳ ಸೆಟ್ "ಚದರ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಐಟಂಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1) "ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ರೋಂಬಸ್‌ಗಳು, ಆಯತಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳಂತಹ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; 2) "ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಾಲ್ಕು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು, ಸಮಾನ ಕರ್ಣಗಳು, ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅರ್ಧ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅದರ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ಇವೆ ಅಗತ್ಯ (ವಿಶಿಷ್ಟ)ಮತ್ತು ಅತ್ಯಲ್ಪ.

ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಮನಾರ್ಹ (ವಿಶಿಷ್ಟ) ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ, ಅದು ಈ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. "ಸೈಡ್ AD ಸಮತಲವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ಆಸ್ತಿಯು ಚದರ ABCD (Fig. 1) ಗೆ ಅಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಚೌಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಅಡ್ಡ AD ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೃಶ್ಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಶಾಲಾಪೂರ್ವ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 2):

ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಚಿಕ್ಕ ಕಪ್ಪು ತ್ರಿಕೋನ. ಅಕ್ಕಿ. 2

ದೊಡ್ಡ ಬಿಳಿ ತ್ರಿಕೋನ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಹೇಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ?

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ?

ಬಣ್ಣ, ಗಾತ್ರ.

ತ್ರಿಕೋನವು ಏನು ಹೊಂದಿದೆ?

3 ಬದಿಗಳು, 3 ಮೂಲೆಗಳು.

ಹೀಗಾಗಿ, "ತ್ರಿಕೋನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಕ್ಕಳು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು "ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು", ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ (ವಿಶಿಷ್ಟ) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಷಯ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ವಿಷಯವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ: ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ .

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಷಯದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ: ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಅದರ ವಿಷಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಐಸೋಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು "ತ್ರಿಕೋನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಷಯವು "ತ್ರಿಕೋನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಷಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಇತರವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ("ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", "ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", "ಎರಡು ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಇತ್ಯಾದಿ.).

ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕ, ಸಾಮಾನ್ಯಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು.

ಪರಿಮಾಣವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು: "ಯೆನಿಸೀ ನದಿ", "ರಿಪಬ್ಲಿಕ್ ಆಫ್ ತುವಾ", "ಮಾಸ್ಕೋ ನಗರ".

ಪರಿಮಾಣ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು: "ನಗರ", "ನದಿ", "ಚತುರ್ಭುಜ", "ಸಂಖ್ಯೆ", "ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ", "ಸಮೀಕರಣ".

ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಮಕ್ಕಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು "ಅಂಕಿ", "ಸಂಖ್ಯೆ", "ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು", "ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು", "ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು", "ಭಾಗ", "ಭಾಗ" ಮುಂತಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. , "ಸೇರ್ಪಡೆ", "ಸೇರ್ಪಡೆ" , "ಮೊತ್ತ", "ವ್ಯವಕಲನ", "ಉಪಾಂತರ", "ಕಡಿಮೆ", "ವ್ಯತ್ಯಾಸ", "ಗುಣಾಕಾರ", "ಗುಣಕ", "ಉತ್ಪನ್ನ", "ವಿಭಾಗ", "ಲಾಭಾಂಶ", " ವಿಭಾಜಕ", "ಭಾಗಶಃ", " ಚೆಂಡು", "ಸಿಲಿಂಡರ್", "ಕೋನ್", "ಘನ", "ಸಮಾನಾಂತರ", "ಪಿರಮಿಡ್", "ಕೋನ", "ತ್ರಿಕೋನ", "ಚತುರ್ಭುಜ", "ಚದರ", "ಆಯತ" , "ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ", "ವೃತ್ತ" , "ವೃತ್ತ", "ಕರ್ವ್", "ಮುರಿದ ರೇಖೆ", "ವಿಭಾಗ", "ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ", "ರೇ", "ನೇರ ರೇಖೆ", "ಪಾಯಿಂಟ್", "ಉದ್ದ", "ಅಗಲ" ”, “ಎತ್ತರ”, “ಪರಿಧಿ”, “ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ”, “ಸಂಪುಟ”, “ಸಮಯ”, “ವೇಗ”, “ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ”, “ಬೆಲೆ”, “ವೆಚ್ಚ” ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ಗಣಿತ 1. ಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು 2. ಗಣಿತವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದವರು ಯಾರು? 3. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು. 4. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಕೊನೆಯ ಸ್ಲೈಡ್‌ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ.

ಪದವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು (ಹಿಂದಿನ ಸ್ಲೈಡ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ) ಗ್ರೀಕ್‌ನಿಂದ ಗಣಿತ - ಅಧ್ಯಯನ, ವಿಜ್ಞಾನ) - ರಚನೆಗಳು, ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ, ವಸ್ತುಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಎಣಿಸುವ, ಅಳೆಯುವ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತವನ್ನು ಯಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು (ಮೆನುಗೆ ಹೋಗಿ) ಮೊದಲ ಗಣಿತಜ್ಞನನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 6 ​​ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಥೇಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಿಲೆಟಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ ಇ. , ಗ್ರೀಸ್‌ನ ಏಳು ಋಷಿಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು. ಅದು ಇರಲಿ, ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನದ ನೆಲೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು, ಅವರು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಪಂಚದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಕಾಲ ರೂಪುಗೊಂಡಿದ್ದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮಗೆ ತಲುಪಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಗ್ರಂಥದ ಲೇಖಕ ಯುಕ್ಲಿಡ್ (3 ನೇ ಶತಮಾನ BC). ಅವರನ್ನು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪಿತಾಮಹ ಎಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ಅರ್ಹವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು (ಮೆನುವಿಗೆ ಹೋಗಿ) ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ಶಬ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಈ ಅಳತೆ ಕಂಡುಬರುವ ಯಾವುದಾದರೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. . ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ, ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸುವ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಇರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿದೇಶಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಬಂದಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗಣಿತದ ಹಳೆಯ ಹೆಸರು ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕು. ಬಳಕೆಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಮೆನುವಿಗೆ ಹೋಗಿ) ಆಧುನಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಜೊತೆಗೆ). ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂಗ್ಲೋ-ಅಮೇರಿಕನ್ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು "ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ" ಎಂಬ ಕೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ (ಮೆನುವಿಗೆ ಹೋಗಿ) "ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್‌ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ. , ಇದರ ಅರ್ಥ ಅಧ್ಯಯನ, ಜ್ಞಾನ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ. -ಗ್ರೀಕ್, ಮೂಲತಃ ಗ್ರಹಿಸುವ, ಯಶಸ್ವಿ, ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ತರುವಾಯ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಗಣಿತದ ಕಲೆ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಪದವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಆಗಿದೆ. "ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದದ ಆಧುನಿಕ ಅರ್ಥವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ (IV ಶತಮಾನ BC) ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, "ಗಣಿತ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಕನಿಷ್ಠ 17 ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದಲೂ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ , ನಿಕೊಲಾಯ್ ಸ್ಪಾಫಾರಿಯಲ್ಲಿ "ಒಂಬತ್ತು ಮ್ಯೂಸಸ್ ಮತ್ತು ಏಳು ಉಚಿತ ಕಲೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆಯ್ದ ಬ್ರೀಫ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕ" (1672)