ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತದೆ (ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವಿತರಣೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಎರಡು ಕ್ಷಣಗಳು (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, m ಮತ್ತು s) ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ (ಮಾದರಿ) ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುವುದು.

A ಎಂಬುದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗ), h ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತ,

ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಧಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ವರದಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಉದಾಹರಣೆ. ಏಕರೂಪದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಳೆದ ಕಾರ್ಮಿಕ ಸಮಯವನ್ನು ಕಾರ್ಮಿಕರ ನಡುವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸದ ಸಮಯದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ; ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.
ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಟೇಬಲ್.

ಗುಂಪುಗಳು	ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು, x i	ಪ್ರಮಾಣ, f i	x i f i	ಸಂಚಿತ ಆವರ್ತನ, ಎಸ್	(x-x) 2 f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

ಫ್ಯಾಷನ್

ಇಲ್ಲಿ x 0 ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಆರಂಭವಾಗಿದೆ; h - ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯ; f 2 - ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆವರ್ತನ; ಎಫ್ 1 - ಪ್ರಿಮೊಡಲ್ ಆವರ್ತನ; ಎಫ್ 3 - ಪೋಸ್ಟ್ಮೋಡಲ್ ಆವರ್ತನ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ 20 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು 22.78 ನಿಮಿಷಗಳು.
ಮಧ್ಯಮ
ಮಧ್ಯಂತರವು ಮಧ್ಯಂತರ 20 - 25 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಸಂಚಿತ ಆವರ್ತನ S ಮಧ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮಧ್ಯಂತರವು ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಚಿತ ಆವರ್ತನ S ಒಟ್ಟು ಆವರ್ತನಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ).

ಹೀಗಾಗಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ 50% ಘಟಕಗಳು 23 ನಿಮಿಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ.
.



ನಾವು A = 22.5, ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತ h = 5 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನಗಳು.

x ಕ್ಯೂ	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

ನಿಮಿಷ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.
ನಿಮಿಷ
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆ: ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಸರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

v>30% ರಿಂದ, ಆದರೆ v<70%, то вариация умеренная.

ಉದಾಹರಣೆ

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ.

ಇಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗ) ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, h ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತವಾಗಿದೆ.

ಬದಲಾವಣೆಯ ಶ್ರೇಣಿ (ಅಥವಾ ಬದಲಾವಣೆಯ ಶ್ರೇಣಿ) -ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಮಿಕರ ಶಿಫ್ಟ್ ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು: ಮೊದಲ ಬ್ರಿಗೇಡ್‌ನಲ್ಲಿ R = 105-95 = 10 ಮಕ್ಕಳು, ಎರಡನೇ ಬ್ರಿಗೇಡ್‌ನಲ್ಲಿ R = 125-75 = 50 ಮಕ್ಕಳು. (5 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು). ಇದು 1 ನೇ ಬ್ರಿಗೇಡ್‌ನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಹೆಚ್ಚು "ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಬ್ರಿಗೇಡ್ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೀಸಲು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬ್ರಿಗೇಡ್‌ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸಗಾರರು ಗರಿಷ್ಠ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ಅದು 3 * 125 = 375 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು 1 ನೇ ಬ್ರಿಗೇಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 105 * 3 = 315 ಭಾಗಗಳು.
ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ ಅಥವಾ ಡೆಸಿಲ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ ಶ್ರೇಣಿ RQ= Q3-Q1 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಮಾಣದ 50% ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮೊದಲ ದಶಮಾಂಶ ಶ್ರೇಣಿ RD1 = D9-D1 80% ಡೇಟಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಎರಡನೇ ದಶಮಾಂಶ ಶ್ರೇಣಿ RD2= D8-D2 - 60%.
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸೂಚಕದ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನ, ಇದು ಅವರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ:

,
ಗುಂಪು ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ
,
ಇಲ್ಲಿ xi ಎಂಬುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದರಿಂದ ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ, ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಲಾಭದಾಯಕತೆ ಮತ್ತು ವಿದೇಶಿ ವ್ಯಾಪಾರ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ:
ಸರಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
,
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೂಕದ
.
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಆಯ್ಕೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಸಂಕಲನದಿಂದಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಚಲನಗಳ ವಿಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ, ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:
ಗುಂಪು ಮಾಡದ ಡೇಟಾಗಾಗಿ
,
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಗಾಗಿ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚು ಏಕರೂಪದ ಜನಸಂಖ್ಯೆ, ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ (ವಿಶಿಷ್ಟ) ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳು ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಕಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೋಷ್ಟಕ 3 - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ಸಿಬ್ಬಂದಿ ಕೆಲಸಗಾರರ ಶಿಫ್ಟ್ ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನ ಡೇಟಾದ ಅವಧಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ)

	ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆ	ಮಧ್ಯಂತರ ಮಧ್ಯ	ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು
ಒಟ್ಟು:

ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸರಾಸರಿ ಶಿಫ್ಟ್ ಔಟ್ಪುಟ್:

ಸರಾಸರಿ ರೇಖೀಯ ವಿಚಲನ:

ಉತ್ಪಾದನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಸರಾಸರಿ ಉತ್ಪಾದನೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:
.

1 ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಸರಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ). ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರಸರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯ A ಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಸರಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

,

, ನಂತರ ಅಥವಾ
ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯ A ಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರ h ನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:
,
ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಪ್ರಸರಣ ಎಲ್ಲಿದೆ;
h - ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೌಲ್ಯ;
- ಹೊಸ (ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ;
A ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ;
- ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣದ ಚೌಕ;
- ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣ.
ತಂಡದ ಕೆಲಸಗಾರರ ಶಿಫ್ಟ್ ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಕೋಷ್ಟಕ 4 - ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಗುಂಪುಗಳು, ಪಿಸಿಗಳು.	ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆ	ಮಧ್ಯಂತರ ಮಧ್ಯ	ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ:

1. ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

2 ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳೂ ಇವೆ. ಇವು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಅವುಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಆಯ್ಕೆಗಳು 1 ಮತ್ತು 0. ಆಯ್ಕೆ 1 ರ ಆವರ್ತನ, ಇದನ್ನು p ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1-р=q ಆಯ್ಕೆಗಳ ಆವರ್ತನ 0. ಹೀಗಾಗಿ,

xi

ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ
, ಏಕೆಂದರೆ p+q=1.

ಪರ್ಯಾಯ ಲಕ್ಷಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
, ಏಕೆಂದರೆ 1-р=q
ಹೀಗಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
1 ಮತ್ತು 0 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ p=q, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ pq=0.25 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾದರಿ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಮಟ್ಟ.

3 ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮ

ಪ್ರಸರಣ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಅಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ X , ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವೈಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ (ಗುಂಪುಗಳೊಳಗೆ) ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ (ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ) ವಿಭಜನೆಯಾಗಬಹುದು. ನಂತರ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಈ ಬದಲಾವಣೆಗೆ (ವಿಚಲನಗಳು) ಕಾರಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ. ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಸರಳ ಅಥವಾ ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.
ಅಂತರ ಗುಂಪು ವ್ಯತ್ಯಾಸಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಅಂಶ-ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ X, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
,
i-th ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ;
- i-th ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (i-th ಗುಂಪಿನ ಆವರ್ತನ);
- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿ.
ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಿಸದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬದಲಾವಣೆಯ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಶ-ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಇದು ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ (ಗುಂಪು ಸರಾಸರಿ) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸರಳ ಅಥವಾ ತೂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಥವಾ ,
ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಒಬ್ಬರು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿ:
.
ಮೂರು ಪ್ರಸರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವರ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸುಂಕ ವರ್ಗದ (ಅರ್ಹತೆ) ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.
ಕೋಷ್ಟಕ 5 - ಸರಾಸರಿ ಗಂಟೆಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಮಿಕರ ವಿತರಣೆ.

№ p/p	4 ನೇ ವರ್ಗದ ಕೆಲಸಗಾರರು				5 ನೇ ವರ್ಗದ ಕೆಲಸಗಾರರು
	ಔಟ್ಪುಟ್ ಕೆಲಸಗಾರ, ಪಿಸಿಗಳು.,				ಔಟ್ಪುಟ್ ಕೆಲಸಗಾರ, ಪಿಸಿಗಳು.,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಮಿಕರನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ X- ಅರ್ಹತೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣ-ಉತ್ಪಾದನೆ-ಅದರ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಇಂಟರ್ಗ್ರೂಪ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಇಂಟ್ರಾಗ್ರೂಪ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ: ಒಟ್ಟು, ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ಒಳಗೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗುಣಾಂಕವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಅಂಶ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ X. ಉಳಿದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಲ್ಲಿಇತರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗುಣಾಂಕ:
ಅಥವಾ 66.7%,
ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ 66.7% ರಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅರ್ಹತೆಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು 33.3% ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಂಬಂಧಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಾತವು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, =0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ =0, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂತರ ಗುಂಪು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ಅಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಂಪರ್ಕವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, =1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪಿನ ಅರ್ಥದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (), ಅಂದರೆ, ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಾತದ ಮೌಲ್ಯವು ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗೆ ಹತ್ತಿರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ನಿಕಟತೆಯನ್ನು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಚಾಡಾಕ್ನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ , ಇದು ಕಾರ್ಮಿಕರ ಉತ್ಪಾದಕತೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಅರ್ಹತೆಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಸರಳ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು)

ನಾವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೋಡ್ (ಮೊ) =11, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (p = 6).

ಮಧ್ಯದ (Me) - ಮಧ್ಯದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ರೂಪಾಂತರದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ = 23, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಈ ಸ್ಥಳವು 11 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಆಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (M) ನಿಮಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: M = .

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರದ ಆವರ್ತನವು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ: ಎ - ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿ,

M = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11

ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 30 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಗುಂಪು ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು:

1) Vmin ಮತ್ತು Vmax Vmin=3, Vmax=20 ನಿರ್ಣಯ;

2) ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಣಯ (ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ);

3) ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ನಾನು = 3;

4) ಗುಂಪುಗಳ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು;

5) ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ರೂಪಾಂತರದ ಆವರ್ತನದ ನಿರ್ಣಯ (ಕೋಷ್ಟಕ 2).

ಕೋಷ್ಟಕ 2

ಗುಂಪು ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಅವಧಿ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆ
n=45 p=480 p=30 2 p=766

ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಸಂಶೋಧಕರು ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಆಯ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಇದು ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಏಕರೂಪತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ - ಗುಣಲಕ್ಷಣ ವೈವಿಧ್ಯತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಹುಡುಗರ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವರ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಳೆಯೋಣ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಂತರ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವು 153 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸರಾಸರಿಯು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸಿನ ಹುಡುಗರಲ್ಲಿ, 165 cm ಅಥವಾ 141 cm ಎತ್ತರವಿರುವ ಹುಡುಗರಿದ್ದಾರೆ.ಹೆಚ್ಚು ಹುಡುಗರು 153 cm ಗಿಂತ ಬೇರೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ:

ಮಿತಿ (ಲಿಮಿಟ್),

ವೈಶಾಲ್ಯ (Amp),

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (ವೈ) ,

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ (ಸಿವಿ).

ಮಿತಿಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಲಿಮ್ = ವಿ ನಿಮಿಷ / ವಿ ಗರಿಷ್ಠ

ವೈಶಾಲ್ಯ (Amp) -ತೀವ್ರ ಆಯ್ಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

Amp=V ಗರಿಷ್ಠ -V ನಿಮಿಷ

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಪರೀತ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ (n<30).

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು

ಎ - ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿ (ವ್ಯತ್ಯಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ)

a - ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿ (ಶ್ರೇಣಿ) ಯಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಚಲನ

ನಾನು - ಮಧ್ಯಂತರ

ಹಂತ 1 - ಗುಂಪುಗಳ ಮಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು;

ಹಂತ 2 - ಗುಂಪುಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕ: ಭಿನ್ನತೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು ಅತ್ಯಧಿಕವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 7-11 (ಆವರ್ತನ -32). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು (-1) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ - ಹೆಚ್ಚಳ (+1).

ಹಂತ 3 - ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕ್ರಮದ ನಿರ್ಣಯ (ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿ). A ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಂತರವು 7 -11 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ A = 9.

ಹಂತ 4 - ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. i = 5/

ಹಂತ 5 - ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಣಯ. n = ∑p = 103.

ನಾವು ಪಡೆದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಿಂದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಆಯ್ಕೆ 1

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಆಯ್ಕೆ #3

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4

ಆಯ್ಕೆ #5

ಆಯ್ಕೆ #6

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 9

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 10

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 11

ಆಯ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 12

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅನಾರೋಗ್ಯದ ಮಕ್ಕಳ ಒಳರೋಗಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಅವಧಿ: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸರಣಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

ಮೋಡ್ = 16. ಏಕೆಂದರೆ ಆಯ್ಕೆ 16 ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (3 ಬಾರಿ).

ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

8 ಶ್ರೇಯಾಂಕಿತ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ,

ಅದು. ನಾನು = 17.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅನಾರೋಗ್ಯದ ಮಕ್ಕಳ ಒಳರೋಗಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಅವಧಿ: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

ನಾವು ಶ್ರೇಯಾಂಕಿತ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

ನಾವು 16 ಮತ್ತು 17 ಎಂಬ ಎರಡು ಮಧ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಾನು = 16.5.

4. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ.

ಸಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ, ಬೆಸದಲ್ಲಿ - ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಮವಾದ.

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ (ಮೋಡ್, ಸರಾಸರಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ).

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಶೋಧನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗುರಿಗಳ ಮೇಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಮೂಲ ವಸ್ತುಗಳ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ, ನೈರ್ಮಲ್ಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

· ರಚನಾತ್ಮಕ ಸರಾಸರಿಗಳು (ಮೋಡ್, ಮಧ್ಯಮ);

· ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ;

· ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಾಸರಿ;

· ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ;

· ಮಧ್ಯಮ ಪ್ರಗತಿಶೀಲ.

ಫ್ಯಾಷನ್ (Mo) - ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಯ್ಕೆ. ಅವರು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಆಶ್ರಯಿಸದೆ, ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯ ರಚನೆಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಮಧ್ಯದ (M e) - ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಯನ್ನು (ಶ್ರೇಯಾಂಕಿತ, ಅಂದರೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಆವರ್ತನಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾದ ಬೆಸ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಕ್ತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಆಯ್ಕೆಗಳು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 15 ವರ್ಷಗಳು, 50 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಯಸ್ಸಿನವರು, ಇತ್ಯಾದಿ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸರಾಸರಿ ನಾನು ಅಂಕಗಣಿತ - ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ.

ಸರಳ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಳಿವೆ.

ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

- ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜ್ಞಾನದ ಸರಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ;

- ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ;

- ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ವಿ - ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು; n - ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; - ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ಸರಾಸರಿಯು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ನ್ಯುಮೋನಿಯಾ ಹೊಂದಿರುವ 10 ರೋಗಿಗಳಿಗೆ ಹಾಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಸರಾಸರಿ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

16 ದಿನಗಳು - 1 ರೋಗಿಯ; 17–1; 18–1; 19–1; 20-1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31-1.

ಮಲಗುವ ದಿನ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ತೂಕ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

1. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನೇರವಾಗಿ (ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ನೇರ ವಿಧಾನ):

ಇಲ್ಲಿ P ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳ ಆವರ್ತನ (ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

ಹೀಗಾಗಿ, ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

2. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ (ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ).

ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ:

- ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ವಸ್ತು;

- ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯದ (ಶ್ರೇಯಾಂಕಿತ ಸರಣಿ) ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬೇಕು.

ಕ್ಷಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ M o ಎಂಬುದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಫ್ಯಾಶನ್).

ನಾನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

a ಎಂಬುದು ಸರಾಸರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ + ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು - ಚಿಹ್ನೆ (-1, -2, ಇತ್ಯಾದಿ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸರಣಿ (1, 2, ಇತ್ಯಾದಿ) .) ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಚಲನವು 0 ಆಗಿದೆ.

ಪಿ - ಆವರ್ತನಗಳು.

ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ n.

ಉದಾಹರಣೆ: 8 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಹುಡುಗರ ಸರಾಸರಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಕೋಷ್ಟಕ 1).

ಕೋಷ್ಟಕ 1

ಎತ್ತರ ಸೆಂ.ಮೀ	ಹುಡುಗರು ಪಿ	ಕೇಂದ್ರ ಆಯ್ಕೆ ವಿ

ಕೇಂದ್ರ ಆಯ್ಕೆ - ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯ - ಎರಡು ನೆರೆಯ ಗುಂಪುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅರೆ-ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

; ಇತ್ಯಾದಿ

ಆವರ್ತನಗಳಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನ VP ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇತ್ಯಾದಿ ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದನ್ನು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ (100) ಮತ್ತು ತೂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೆಂ.ಮೀ.

ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ 2 ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕ 2

ಸೆಂ (V) ನಲ್ಲಿ ಎತ್ತರ	ಹುಡುಗರು ಪಿ

ನಾವು 122 ಅನ್ನು M o ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 100 ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ, 33 ಜನರು 122 ಸೆಂ.ಮೀ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು (ಎ) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಚಲನಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳ (ಎಪಿ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು () ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು 17. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.