Momentu metode pielīdzina teorētiskā sadalījuma momentus empīriskā sadalījuma momentiem (no novērojumiem konstruēts sadalījums). No iegūtajiem vienādojumiem tiek atrasti sadalījuma parametru aprēķini. Piemēram, sadalījumam ar diviem parametriem pirmie divi momenti (attiecīgi sadalījuma vidējais un dispersija m un s) tiks pielīdzināti pirmajiem diviem empīriskajiem (izlases) momentiem (attiecīgi vidējā un izlases dispersija). , un tad tiks veikta aplēse.

Kur A ir nosacīta nulle, kas vienāda ar opciju ar maksimālo frekvenci (intervāla vidus ar maksimālo frekvenci), h ir intervāla solis,

Pakalpojuma mērķis. Izmantojot tiešsaistes kalkulatoru, vidējo vērtību aprēķina, izmantojot momentu metodi. Lēmuma rezultāts tiek uzrādīts Word formātā.

Instrukcijas. Lai iegūtu risinājumu, ir jāaizpilda sākuma dati un jāatlasa atskaites parametri formatēšanai programmā Word.

Algoritms vidējā atrašanai, izmantojot momentu metodi

Piemērs. Darba laiks, kas pavadīts viendabīgai tehnoloģiskai darbībai, starp darbiniekiem tika sadalīts šādi:

Ar momentu metodi nepieciešams noteikt vidējo pavadītā darba laika apjomu un standartnovirzi; variācijas koeficients; režīms un mediāna.
Tabula rādītāju aprēķināšanai.

Grupas	Intervāla viduspunkts, x i	Daudzums, f i	x i f i	Uzkrātā frekvence, S	(x-x) 2 f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Mode

kur x 0 ir modālā intervāla sākums; h – intervāla vērtība; f 2 – modālajam intervālam atbilstošā frekvence; f 1 – premodālā frekvence; f 3 – postmodālā frekvence.
Mēs izvēlamies 20 kā intervāla sākumu, jo šajā intervālā ir lielākais skaitlis.

Visizplatītākā sērijas vērtība ir 22,78 minūtes.
Mediāna
Mediāna ir intervāls 20 - 25, jo šajā intervālā uzkrātā frekvence S ir lielāka par vidējo skaitli (mediāna ir pirmais intervāls, kura uzkrātā frekvence S pārsniedz pusi no kopējās frekvenču summas).

Tādējādi 50% vienību populācijā būs mazākas par 23 min.
.



Mēs atrodam A = 22,5, intervāla soli h = 5.
Vidējās kvadrātiskās novirzes pēc momentu metodes.

x q	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

min.

Standarta novirze.
min.
Variācijas koeficients- populācijas vērtību relatīvās izkliedes mērs: parāda, cik liela daļa no šīs vērtības vidējās vērtības ir tās vidējā izkliede.

Tā kā v>30%, bet v<70%, то вариация умеренная.

Piemērs

Lai novērtētu sadalījuma sērijas, mēs atrodam šādus rādītājus:

Vidējais svērtais

Pētītā raksturlieluma vidējā vērtība pēc momentu metodes.

kur A ir nosacīta nulle, kas vienāda ar opciju ar maksimālo frekvenci (intervāla vidus ar maksimālo frekvenci), h ir intervāla solis.

Variāciju diapazons (vai variāciju diapazons) -šī ir atšķirība starp raksturlieluma maksimālo un minimālo vērtību:

Mūsu piemērā strādnieku maiņu izlaides variāciju diapazons ir: pirmajā brigādē R = 105-95 = 10 bērni, otrajā brigādē R = 125-75 = 50 bērni. (5 reizes vairāk). Tas liek domāt, ka 1. brigādes izlaide ir “stabilāka”, bet otrajai brigādei ir vairāk rezervju izlaides palielināšanai, jo Ja visi strādnieki sasniedz šīs brigādes maksimālo izlaidi, tā var saražot 3 * 125 = 375 daļas, bet 1. brigādē tikai 105 * 3 = 315 daļas.
Ja raksturlieluma galējās vērtības nav raksturīgas populācijai, tad tiek izmantoti kvartiļu vai deciļu diapazoni. Kvartiļu diapazons RQ= Q3-Q1 aptver 50% no populācijas apjoma, pirmais deciļu diapazons RD1 = D9-D1 aptver 80% datu, otrais deciļu diapazons RD2= D8-D2 – 60%.
Variācijas diapazona indikatora trūkums ir tāds, ka tā vērtība neatspoguļo visas pazīmes svārstības.
Vienkāršākais vispārējais rādītājs, kas atspoguļo visas raksturlieluma svārstības, ir vidējā lineārā novirze, kas ir atsevišķu opciju absolūto noviržu vidējais aritmētiskais no to vidējās vērtības:

,
grupētiem datiem
,
kur xi ir atribūta vērtība diskrētā virknē vai intervāla vidusdaļa intervālu sadalījumā.
Iepriekš minētajās formulās skaitītāja atšķirības tiek ņemtas moduli, pretējā gadījumā saskaņā ar vidējā aritmētiskā īpašību skaitītājs vienmēr būs vienāds ar nulli. Tāpēc vidējā lineārā novirze statistikas praksē tiek izmantota reti, tikai gadījumos, kad rādītāju summēšanai, neņemot vērā zīmi, ir ekonomiska jēga. Ar tās palīdzību, piemēram, tiek analizēts darbaspēka sastāvs, ražošanas rentabilitāte, ārējās tirdzniecības apgrozījums.
Iezīmes dispersija ir vidējais kvadrāts novirzēm no to vidējās vērtības:
vienkārša dispersija
,
dispersijas svērtais
.
Variances aprēķināšanas formulu var vienkāršot:

Tādējādi dispersija ir vienāda ar starpību starp opcijas kvadrātu vidējo vērtību un kopas opcijas vidējo kvadrātu:
.
Tomēr, ņemot vērā noviržu kvadrātā summēšanu, dispersija sniedz izkropļotu priekšstatu par novirzēm, tāpēc vidējā vērtība tiek aprēķināta, pamatojoties uz to standarta novirze, kas parāda, cik vidēji konkrēti pazīmes varianti atšķiras no to vidējās vērtības. Aprēķina, ņemot kvadrātsakni no dispersijas:
negrupētiem datiem
,
variāciju sērijām

Jo mazāka ir dispersijas un standartnovirzes vērtība, jo viendabīgāka populācija, jo ticamāka (tipiskāka) būs vidējā vērtība.
Vidējā lineārā un standarta novirze ir nosaukti skaitļi, t.i., tie ir izteikti raksturlieluma mērvienībās, pēc satura ir identiski un pēc nozīmes ir tuvi.
Absolūtās variācijas ieteicams aprēķināt, izmantojot tabulas.
3. tabula. Izmaiņu raksturlielumu aprēķins (izmantojot datu perioda piemēru par apkalpes darbinieku maiņu darbu)

	Strādnieku skaits	Intervāla vidus	Aprēķinātās vērtības
Kopā:

Darbinieku vidējā maiņu izlaide:

Vidējā lineārā novirze:

Ražošanas novirze:

Atsevišķu darbinieku produkcijas standarta novirze no vidējās produkcijas:
.

1 Izkliedes aprēķins, izmantojot momentu metodi

Noviržu aprēķināšana ir saistīta ar apgrūtinošiem aprēķiniem (īpaši, ja vidējais ir izteikts kā liels skaitlis ar vairākām zīmēm aiz komata). Aprēķinus var vienkāršot, izmantojot vienkāršotu formulu un dispersijas īpašības.
Dispersijai ir šādas īpašības:

1. Ja visas raksturlieluma vērtības tiek samazinātas vai palielinātas par vienu un to pašu vērtību A, tad dispersija nesamazinās:

,

, tad vai
Izmantojot dispersijas īpašības un vispirms samazinot visus populācijas variantus ar vērtību A un pēc tam dalot ar intervāla h vērtību, iegūstam formulu dispersijas aprēķināšanai variāciju rindās ar vienādiem intervāliem savā ziņā:
,
kur dispersiju aprēķina, izmantojot momentu metodi;
h – variāciju rindas intervāla vērtība;
– jaunu (pārveidoto) vērtību iespēja;
A ir nemainīga vērtība, kas tiek izmantota kā intervāla vidus ar augstāko frekvenci; vai opcija ar augstāko frekvenci;
– pirmās kārtas momenta kvadrāts;
– otrās kārtas moments.
Aprēķināsim izkliedi, izmantojot momentu metodi, pamatojoties uz datiem par komandas strādnieku maiņas iznākumu.
4. tabula. Dispersijas aprēķins, izmantojot momentu metodi

Ražošanas strādnieku grupas, gab.	Strādnieku skaits	Intervāla vidus	Aprēķinātās vērtības

Aprēķina procedūra:

1. Mēs aprēķinām dispersiju:

2 Alternatīva raksturlieluma dispersijas aprēķins

Starp statistikas pētītajiem raksturlielumiem ir arī tādi, kuriem ir tikai divas savstarpēji izslēdzošas nozīmes. Šīs ir alternatīvas zīmes. Tiem attiecīgi ir dotas divas kvantitatīvās vērtības: 1. variants un 0. 1. varianta biežums, ko apzīmē ar p, ir to vienību īpatsvars, kurām piemīt šis raksturlielums. Atšķirība 1-р=q ir opciju 0 biežums. Tādējādi,

xi

Alternatīvās zīmes vidējais aritmētiskais
, jo p+q=1.

Alternatīvu pazīmju dispersija
, jo 1-р=q
Tādējādi alternatīvā raksturlieluma dispersija ir vienāda ar to vienību proporcijas reizinājumu, kurām piemīt šis raksturlielums, un to vienību īpatsvaru, kurām šis raksturlielums nepiemīt.
Ja vērtības 1 un 0 notiek vienlīdz bieži, t.i., p=q, dispersija sasniedz maksimālo pq=0,25.
Alternatīvā atribūta dispersiju izmanto izlases apsekojumos, piemēram, produktu kvalitātes apsekojumos.

3 Starpgrupu dispersija. Distances pievienošanas noteikums

Izkliede, atšķirībā no citām variācijas īpašībām, ir aditīvs daudzums. Tas ir, apkopojumā, kas ir sadalīts grupās pēc faktoru īpašībām X , iegūtā raksturlieluma dispersija y var sadalīt dispersijā katrā grupā (grupu iekšienē) un dispersijā starp grupām (starp grupām). Tad līdz ar pazīmes variāciju izpēti visā populācijā kopumā kļūst iespējams izpētīt variācijas katrā grupā, kā arī starp šīm grupām.

Kopējā dispersija mēra iezīmes izmaiņas plkst kopumā visu faktoru ietekmē, kas izraisīja šīs izmaiņas (novirzes). Tas ir vienāds ar atribūta atsevišķu vērtību vidējo kvadrātisko novirzi plkst no lielā vidējā, un to var aprēķināt kā vienkāršu vai svērtu dispersiju.
Starpgrupu dispersija raksturo iegūtās pazīmes variāciju plkst ko izraisa faktora zīmes ietekme X, kas veidoja grupējuma pamatu. Tas raksturo grupu vidējo rādītāju variācijas un ir vienāds ar grupu vidējo noviržu vidējo kvadrātu no kopējā vidējā:
,
kur ir i-tās grupas vidējais aritmētiskais;
– vienību skaits i-tajā grupā (i-tās grupas biežums);
– kopējais vidējais iedzīvotāju skaits.
Grupas dispersija atspoguļo nejaušu variāciju, t.i., to variācijas daļu, ko izraisa neņemtu faktoru ietekme un kas nav atkarīga no faktora-atribūta, kas veido grupēšanas pamatu. Tas raksturo individuālo vērtību variācijas attiecībā pret grupas vidējiem rādītājiem un ir vienāds ar atribūta individuālo vērtību vidējo kvadrātisko novirzi plkst grupā no šīs grupas vidējā aritmētiskā (grupas vidējā) un tiek aprēķināta kā vienkārša vai svērta dispersija katrai grupai:
vai ,
kur ir vienību skaits grupā.
Pamatojoties uz katras grupas atšķirībām grupas ietvaros, var noteikt kopējo vidējo dispersiju grupā:
.
Attiecības starp trim dispersijām sauc dispersiju pievienošanas noteikumi, saskaņā ar kuru kopējā dispersija ir vienāda ar starpgrupu dispersijas summu un grupas iekšējās novirzes vidējo vērtību:

Piemērs. Pētot strādnieku tarifu kategorijas (kvalifikācijas) ietekmi uz viņu darba ražīguma līmeni, tika iegūti šādi dati.
5. tabula. Strādnieku sadalījums pēc vidējās stundas izlaides.

№ p/p	4. kategorijas strādnieki				5. kategorijas strādnieki
	Izvade strādnieks, gab.,				Izvade strādnieks, gab.,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

Šajā piemērā darbinieki ir sadalīti divās grupās pēc faktoru īpašībām X– kvalifikācijas, kuras raksturo to pakāpe. Rezultātā iegūtā īpašība — produkcija — mainās gan tās ietekmē (starpgrupu variācijas), gan citu nejaušības faktoru dēļ (grupas iekšienē). Mērķis ir izmērīt šīs variācijas, izmantojot trīs dispersijas: kopējo, starp grupām un grupu iekšienē. Empīriskais determinācijas koeficients parāda iegūtā raksturlieluma variācijas proporciju plkst faktora zīmes ietekmē X. Pārējā kopējā variācija plkst ko izraisa citu faktoru izmaiņas.
Piemērā empīriskais determinācijas koeficients ir:
jeb 66,7%
Tas nozīmē, ka 66,7% no darbinieku produktivitātes svārstībām ir saistītas ar kvalifikāciju atšķirībām, bet 33,3% - citu faktoru ietekmes dēļ.
Empīriskās korelācijas attiecības parāda ciešo saikni starp grupēšanu un darbības raksturlielumiem. Aprēķināts kā empīriskā noteikšanas koeficienta kvadrātsakne:

Empīriskās korelācijas koeficients, piemēram, var ņemt vērtības no 0 līdz 1.
Ja savienojuma nav, tad =0. Šajā gadījumā =0, tas ir, grupas vidējie rādītāji ir vienādi un nav starpgrupu variāciju. Tas nozīmē, ka grupēšanas raksturlielums - faktors neietekmē vispārējās variācijas veidošanos.
Ja savienojums ir funkcionāls, tad =1. Šajā gadījumā grupas vidējā dispersija ir vienāda ar kopējo dispersiju (), tas ir, grupas iekšienē nav variācijas. Tas nozīmē, ka grupēšanas raksturlielums pilnībā nosaka iegūtā pētāmā raksturlieluma variāciju.
Jo tuvāk korelācijas koeficienta vērtība ir vienotībai, jo tuvāk, tuvāk funkcionālajai atkarībai, ir saikne starp raksturlielumiem.
Lai kvalitatīvi novērtētu pazīmju saistību ciešumu, tiek izmantotas Čadoka attiecības.

Piemērā , kas norāda uz ciešu saikni starp darbinieku produktivitāti un viņu kvalifikāciju.

Vidējā aritmētiskā aprēķināšanas metodes (vienkāršais un svērtais aritmētiskais vidējais, izmantojot momentu metodi)

Mēs nosakām vidējās vērtības:

Režīms (Mo) =11, jo šī opcija visbiežāk sastopama variāciju sērijās (p = 6).

Mediāna (Me) - vidējo pozīciju ieņemošā varianta kārtas numurs = 23, šo vietu variāciju sērijā ieņem variants, kas vienāds ar 11. Vidējais aritmētiskais (M) ļauj vispilnīgāk raksturot vidējo līmeni īpašība tiek pētīta. Vidējā aritmētiskā aprēķināšanai tiek izmantotas divas metodes: vidējā aritmētiskā metode un momentu metode.

Ja katras opcijas sastopamības biežums variāciju rindā ir vienāds ar 1, tad vienkāršo vidējo aritmētisko aprēķina, izmantojot vidējo aritmētisko metodi: M = .

Ja varianta sastopamības biežums variāciju rindā atšķiras no 1, tad vidējo svērto aritmētisko aprēķina, izmantojot vidējo aritmētisko metodi:

Pēc momentu metodes: A - nosacīts vidējais,

M = A + = 11 + = 10,4 d = V-A, A = Mo = 11

Ja variantu skaits variantu sērijā ir lielāks par 30, tad tiek veidota grupēta sērija. Grupētas sērijas izveidošana:

1) Vmin un Vmax noteikšana Vmin=3, Vmax=20;

2) grupu skaita noteikšana (pēc tabulas);

3) intervāla aprēķins starp grupām i = 3;

4) grupu sākuma un beigu noteikšana;

5) katras grupas varianta biežuma noteikšana (2.tabula).

2. tabula

Grupētu sēriju konstruēšanas metodika

Ilgums ārstēšana dienās
n=45 p=480 p=30 2 p=766

Grupētas variāciju sērijas priekšrocība ir tāda, ka pētnieks nestrādā ar katru opciju, bet tikai ar iespējām, kas ir vidēji katrai grupai. Tas ievērojami vienkāršo vidējās vērtības aprēķinus.

Konkrēta raksturlieluma vērtība nav vienāda visiem populācijas locekļiem, neskatoties uz tās relatīvo viendabīgumu. Šo statistiskās kopas pazīmi raksturo viena no vispārējās populācijas grupas īpašībām - iezīmju dažādība. Piemēram, ņemsim 12 gadus vecu zēnu grupu un izmērīsim viņu augumu. Pēc aprēķiniem šīs pazīmes vidējais līmenis būs 153 cm. Bet vidējais raksturo pētāmās pazīmes vispārējo mēru. Starp noteiktā vecuma zēniem ir zēni, kuru augums ir 165 cm vai 141 cm. Jo vairāk zēnu augums atšķiras no 153 cm, jo ​​lielāka ir šīs pazīmes daudzveidība statistiskajā populācijā.

Statistika ļauj raksturot šo īpašumu pēc šādiem kritērijiem:

ierobežojums (lim),

amplitūda (amp),

standarta novirze ( y) ,

variācijas koeficients (Cv).

Ierobežot ko nosaka varianta galējās vērtības variāciju sērijā:

lim=V min /V maks

Amplitūda (ampēri) - atšķirība starp ekstrēmajām iespējām:

Amp=V max -V min

Šīs vērtības ņem vērā tikai ekstrēmo variantu daudzveidību un neļauj iegūt informāciju par pazīmes daudzveidību kopumā, ņemot vērā tās iekšējo struktūru. Tāpēc šos kritērijus var izmantot, lai tuvinātu daudzveidības raksturlielumus, īpaši ar nelielu skaitu novērojumu (n<30).

variāciju sērijas medicīniskā statistika

A — nosacīts vidējais (atkārtots biežāk nekā citi variantu sērijā)

a – nosacītā novirze no nosacītā vidējā (rangs)

i – intervāls

1. posms - grupu vidusdaļas noteikšana;

2. posms – grupu sakārtošana: 0 tiek piešķirta grupai, kurā varianta sastopamības biežums ir visaugstākais. Tie. šajā gadījumā 7-11 (biežums -32). Reitingu uz augšu no noteiktās grupas veic, pievienojot (-1). Uz leju – pieaugums (+1).

3. posms – nosacītā režīma (nosacītā vidējā) noteikšana. A ir modālā intervāla vidusdaļa. Mūsu gadījumā modālais intervāls ir 7 -11, tātad A = 9.

4. posms – intervāla noteikšana. Intervāls visās sērijas grupās ir vienāds un vienāds ar 5. i = 5/

5. posms – kopējā novērojumu skaita noteikšana. n = ∑p = 103.

Iegūtos datus aizstājam ar formulu:

Uzdevumi patstāvīgam darbam

Izmantojot grupētās variāciju sērijas datus, aprēķiniet vidējo aritmētisko, izmantojot momentu metodi.

Variants #1

Variants Nr.2

Variants #3

Variants Nr.4

Variants #5

Variants #6

Variants Nr.7

Variants Nr.8

Variants Nr.9

Variants Nr.10

Variants Nr.11

Variants Nr.12

Uzdevums Nr. 4 Režīma un mediānas noteikšana negrupētā variāciju sērijā ar nepāra skaitu opciju

Slimu bērnu stacionārās ārstēšanas ilgums dienās: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Lai noteiktu režīmu variāciju sērijā, sērijas ranžēšana nav nepieciešama. Tomēr pirms mediānas noteikšanas ir nepieciešams sakārtot variāciju sērijas augošā vai dilstošā secībā.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Režīms = 16. Jo 16. iespēja notiek visvairāk reižu (3 reizes).

Ja ir vairāki varianti ar vislielāko sastopamības biežumu, tad variāciju sērijā var norādīt divus vai vairākus režīmus.

Mediānu sērijā ar nepāra skaitli nosaka pēc formulas:

8 ir ranžētu variāciju sērijas mediānas kārtas numurs,

Tas. Es = 17.

5. uzdevums Režīma un mediānas noteikšana negrupētā variāciju sērijā ar pāra skaitu opciju.

Pamatojoties uz uzdevumā norādītajiem datiem, jāatrod režīms un mediāna

Slimu bērnu stacionārās ārstēšanas ilgums dienās: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Mēs veidojam ranžētu variantu sēriju:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

Mums ir divi mediānas skaitļi 16 un 17. Šajā gadījumā mediāna tiek atrasta kā vidējais aritmētiskais starp tiem. Es = 16,5.

4. Pāra un nepāra.

Pāra variāciju rindās frekvenču summu jeb kopējo novērojumu skaitu izsaka ar pāra skaitli, nepāra - ar nepāra skaitli.

5. Simetrisks un asimetrisks.

Simetriskā variāciju sērijā visu veidu vidējās vērtības sakrīt vai ir ļoti tuvas (režīms, mediāna, vidējais aritmētiskais).

Atkarībā no pētāmo parādību rakstura, no statistikas pētījumu specifiskajiem uzdevumiem un mērķiem, kā arī no izejmateriāla satura sanitārajā statistikā Tiek izmantoti šādi vidējo rādītāju veidi:

· strukturālie vidējie rādītāji (režīms, mediāna);

· vidējais aritmētiskais;

· vidējais harmoniskais;

· ģeometriskais vidējais;

· vidēji progresīvs.

Mode (M o) - mainīga raksturlieluma vērtība, kas biežāk sastopama pētāmajā populācijā, t.i. opcija, kas atbilst augstākajai frekvencei. Viņi to atrod tieši no variāciju sērijas struktūras, neizmantojot nekādus aprēķinus. Parasti tā ir vērtība, kas ir ļoti tuvu vidējam aritmētiskajam un ir ļoti ērta praksē.

Mediāna (M e) - variāciju sērijas sadalīšana (ranžēta, t.i. opcijas vērtības ir sakārtotas augošā vai dilstošā secībā) divās vienādās daļās. Mediānu aprēķina, izmantojot tā saukto nepāra sēriju, ko iegūst, secīgi summējot frekvences. Ja frekvenču summa atbilst pāra skaitlim, tad par mediānu parasti tiek uzskatīts divu vidējo vērtību vidējais aritmētiskais.

Mode un mediāna tiek izmantota atklātas populācijas gadījumā, t.i. kad lielākajiem vai mazākajiem variantiem nav precīza kvantitatīvā raksturlieluma (piemēram, līdz 15 gadiem, 50 un vecāki utt.). Šajā gadījumā vidējo aritmētisko (parametrisko raksturlielumu) nevar aprēķināt.

Vidēji Es esmu aritmētika - visizplatītākā vērtība. Vidējo aritmētisko bieži apzīmē ar M.

Ir vienkāršie un svērtie vidējie aritmētiskie lielumi.

Vienkāršs vidējais aritmētiskais aprēķināts:

- gadījumos, kad kopa ir attēlota ar vienkāršu katras vienības raksturlieluma zināšanu sarakstu;

- ja nav iespējams noteikt katras opcijas atkārtojumu skaitu;

- ja katras opcijas atkārtojumu skaits ir tuvu viens otram.

Vienkāršo vidējo aritmētisko aprēķina pēc formulas:

kur V - raksturlieluma individuālās vērtības; n - individuālo vērtību skaits; - summēšanas zīme.

Tādējādi vienkāršais vidējais ir variantu summas attiecība pret novērojumu skaitu.

Piemērs: noteikt vidējo uzturēšanās ilgumu gultā 10 pacientiem ar pneimoniju:

16 dienas - 1 pacients; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

gultas diena

Vidējais aritmētiskais svērtais tiek aprēķināts gadījumos, kad atkārtojas atsevišķas raksturlieluma vērtības. To var aprēķināt divos veidos:

1. Tieši (vidējais aritmētiskais vai tiešā metode) pēc formulas:

kur P ir katras opcijas novērojumu biežums (gadījumu skaits).

Tādējādi vidējais svērtais aritmētiskais ir varianta un biežuma reizinājumu summas attiecība pret novērojumu skaitu.

2. Aprēķinot novirzes no nosacītā vidējā (izmantojot momentu metodi).

Vidējā svērtā aritmētiskā aprēķina pamats ir:

― grupēts materiāls pēc kvantitatīvās pazīmes variantiem;

— visas opcijas jāsakārto augošā vai dilstošā secībā pēc atribūta vērtības (ranžēta sērija).

Lai aprēķinātu, izmantojot momenta metodi, priekšnoteikums ir vienāds visu intervālu lielums.

Izmantojot momentu metodi, vidējo aritmētisko aprēķina pēc formulas:

,

kur M o ir nosacītā vidējā vērtība, ko bieži uzskata par augstākajai frekvencei atbilstošā raksturlieluma vērtību, t.i. kas tiek atkārtots biežāk (Mode).

i ir intervāla vērtība.

a ir nosacīta novirze no vidējā nosacījumiem, kas ir secīga skaitļu virkne (1, 2 utt.) ar + zīmi lielu nosacīto vidējo vērtību variantiem un ar – zīmi (–1, –2 utt. .) variantiem, kas ir zem parastā vidējā līmeņa. Nosacītā novirze no varianta, kas ņemts par nosacītu vidējo vērtību, ir 0.

P - frekvences.

Kopējais novērojumu skaits jeb n.

Piemērs: tiešā veidā noteikt vidējo augumu 8 gadus veciem zēniem (1. tabula).

1. tabula

Augstums cm	zēni P	Centrālā V variants

Centrālā opcija - intervāla vidus - tiek definēta kā divu blakus esošo grupu sākotnējo vērtību pussumma:

; utt.

Produktu VP iegūst, reizinot centrālos variantus ar frekvencēm; utt. Tad pievieno iegūtos produktus un iegūst , ko dala ar novērojumu skaitu (100) un iegūst svērto vidējo aritmētisko.

cm.

To pašu problēmu atrisināsim, izmantojot momentu metodi, kurai ir sastādīta šāda 2. tabula:

2. tabula

Augstums cm (V)	zēni P

Mēs ņemam 122 kā M o, jo no 100 novērojumiem 33 cilvēkiem bija 122 cm augums. Mēs atrodam nosacītās novirzes (a) no nosacītā vidējā saskaņā ar iepriekš minēto. Tad mēs iegūstam nosacīto noviržu un frekvenču reizinājumu (aP) un summējam iegūtās vērtības (). Rezultāts ir 17. Visbeidzot, mēs aizstājam datus formulā.