അളവുകൾ, അളവ് ബന്ധങ്ങൾ, സ്ഥല രൂപങ്ങൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്ന ശാസ്ത്രം. അളവുകൾ, അളവ് ബന്ധങ്ങൾ, അളവുകൾ, അളവ് ബന്ധങ്ങൾ, സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്ന ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു കൂട്ടമാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

മാത്തമാറ്റിക്സ് - യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ അളവ് ബന്ധങ്ങളുടെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുടെയും ശാസ്ത്രം; ഗ്രീക്ക് പദം (ഗണിതം) ഗ്രീക്ക് പദത്തിൽ നിന്നാണ് വന്നത് (ഗണിതം), അതായത് "അറിവ്", "ശാസ്ത്രം".

പുരാതന കാലത്ത് ജനങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം ഉടലെടുത്തത്. ചരിത്രത്തിലുടനീളം അതിന്റെ ഉള്ളടക്കവും സ്വഭാവവും മാറി, ഇപ്പോൾ മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ പ്രാഥമിക വിഷയ സങ്കൽപ്പങ്ങളിൽ നിന്നും, രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം എന്ന നിലയിൽ ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെന്റ് എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്നും, പ്രത്യേക ഗവേഷണ രീതികളുള്ള ഒരു അമൂർത്ത ശാസ്ത്രമായി മാറുന്നതിന് മുമ്പ് ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു നീണ്ട വികസന പാതയിലൂടെ കടന്നുപോയി.

സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആധുനിക ധാരണ വളരെ വിശാലമാണ്. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ (നേരായ രേഖ, വൃത്തം, ത്രികോണം, കോൺ, സിലിണ്ടർ, പന്ത് മുതലായവ) ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾക്കൊപ്പം, നിരവധി സാമാന്യവൽക്കരണങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു - മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ, അനന്ത-മാന സ്പേസ്, അതുപോലെ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ അവയും അതിലേറെയും. അതുപോലെ, ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് ബന്ധങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളോ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളോ മാത്രമല്ല, ഉപയോഗിച്ചും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, വെക്റ്ററുകൾ, പ്രവർത്തനങ്ങൾമുതലായവ. ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും സാങ്കേതികവിദ്യയുടെയും വികസനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളെയും അളവ് ബന്ധങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള ആശയങ്ങൾ തുടർച്ചയായി വികസിപ്പിക്കാൻ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ പ്രത്യേക പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ നിന്നും വസ്തുക്കളിൽ നിന്നും അമൂർത്തമാണ്; ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയിലെ പ്രതിഭാസങ്ങൾക്കും വസ്തുക്കളുടേയും ഗുണപരമായ സവിശേഷതകളിൽ നിന്നുള്ള അമൂർത്തീകരണത്തിന്റെ ഫലമായാണ് അവ ലഭിക്കുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രയോഗങ്ങൾക്ക് ഈ സാഹചര്യം വളരെ പ്രധാനമാണ്. നമ്പർ 2 ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട വിഷയ ഉള്ളടക്കവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഇതിന് രണ്ട് ആപ്പിൾ, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പുസ്തകങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ചിന്തകൾ എന്നിവയെ പരാമർശിക്കാം. ഇത് ഇവയെയും എണ്ണമറ്റ മറ്റ് വസ്തുക്കളെയും തുല്യമായി പരിഗണിക്കുന്നു. അതുപോലെ, ഒരു പന്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ മാറില്ല, കാരണം അത് ഗ്ലാസ്, സ്റ്റീൽ അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റെറിൻ എന്നിവകൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. തീർച്ചയായും, ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് സംഗ്രഹിക്കുന്നത് ഈ വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവിനെ, അതിന്റെ സ്വഭാവ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവിനെ ദരിദ്രമാക്കുന്നു. അതേസമയം, വ്യക്തിഗത വസ്തുക്കളുടെ പ്രത്യേക സ്വഭാവങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഈ അമൂർത്തതയാണ് ആശയങ്ങൾക്ക് സാമാന്യത നൽകുകയും ഭൗതിക പ്രകൃതിയുടെ ഏറ്റവും വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രതിഭാസങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നത്. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അതേ നിയമങ്ങൾ, അതേ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങൾ, സാങ്കേതികം, അതുപോലെ സാമ്പത്തികവും സാമൂഹികവുമായ പ്രക്രിയകളുടെ വിവരണത്തിൽ തികച്ചും തൃപ്തികരമായി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

സങ്കൽപ്പങ്ങളുടെ അമൂർത്തത ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സവിശേഷതയല്ല; ഏതെങ്കിലും ശാസ്ത്രീയവും പൊതുവായതുമായ ആശയങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട വസ്തുക്കളുടെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് അമൂർത്തമായ ഒരു ഘടകം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അമൂർത്തീകരണ പ്രക്രിയ പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്; ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത തലങ്ങളിൽ അമൂർത്തങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന പ്രക്രിയ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതെ, ആശയം ഗ്രൂപ്പുകൾസംഖ്യകളുടെയും മറ്റ് അമൂർത്ത ആശയങ്ങളുടെയും ശേഖരത്തിന്റെ ചില ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് അമൂർത്തമായി ഉയർന്നു. അതിന്റെ ഫലങ്ങൾ നേടുന്ന രീതിയും ഗണിതത്തിന്റെ സവിശേഷതയാണ്. ഒരു പ്രകൃതി ശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ നിലപാടുകൾ തെളിയിക്കാൻ നിരന്തരം അനുഭവങ്ങൾ അവലംബിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ ഫലങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായ യുക്തിയിലൂടെ മാത്രമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അതിന് ഒരു ലോജിക്കൽ തെളിവ് ആവശ്യമായി വരുന്നതുവരെ ഒരു ഫലവും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കാനാവില്ല, കൂടാതെ പ്രത്യേക പരീക്ഷണങ്ങൾ ഈ ഫലത്തിന്റെ സ്ഥിരീകരണം നൽകുകയാണെങ്കിൽ പോലും. അതേ സമയം, ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സത്യവും പരിശീലനത്തിലൂടെ പരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ ഈ പരീക്ഷണം ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവമാണ്: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ അവയുടെ പ്രത്യേക പരിശീലന ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ദീർഘകാല സ്ഫടികവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്; പ്രകൃതിയിലെ പ്രക്രിയകളുടെ ഒഴുക്ക് നിരീക്ഷിച്ച് ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷമാണ് യുക്തിയുടെ നിയമങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്; ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ രൂപീകരണവും പ്രശ്നങ്ങളുടെ രൂപീകരണവും പരിശീലനത്തിന്റെ ആവശ്യകതകളിൽ നിന്നാണ്. പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം ഉടലെടുത്തത്, പരിശീലനവുമായുള്ള അതിന്റെ ബന്ധങ്ങൾ കാലക്രമേണ കൂടുതൽ വൈവിധ്യവും ആഴവും ആയിത്തീർന്നു.

തത്വത്തിൽ, ഏത് തരത്തിലുള്ള ചലനത്തെയും, വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. വാസ്തവത്തിൽ, ശാസ്ത്രീയവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ അതിന്റെ പങ്ക് സമാനമല്ല. ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, സാങ്കേതിക വിദ്യയുടെ വിവിധ മേഖലകൾ എന്നിവയുടെ വികസനത്തിലും പൊതുവായി ആ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പഠനത്തിലും ഗണിതത്തിന്റെ പങ്ക് വളരെ വലുതാണ്, അവയുടെ പ്രത്യേക ഗുണപരമായ സവിശേഷതകളിൽ നിന്നുള്ള കാര്യമായ അമൂർത്തീകരണം പോലും അളവും സ്ഥലവും കൃത്യമായി മനസ്സിലാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. അവയിൽ അന്തർലീനമായ പാറ്റേണുകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ആകാശഗോളങ്ങളുടെ ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനം, അവയുടെ യഥാർത്ഥ സവിശേഷതകളിൽ നിന്നുള്ള കാര്യമായ അമൂർത്തങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (ശരീരങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു), അവയുടെ യഥാർത്ഥ ചലനവുമായി മികച്ച യാദൃശ്ചികതയിലേക്ക് നയിക്കുകയും നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഖഗോള പ്രതിഭാസങ്ങൾ (ഗ്രഹണങ്ങൾ, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനം മുതലായവ) മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കുക മാത്രമല്ല, കണക്കാക്കിയവയിൽ നിന്നുള്ള യഥാർത്ഥ ചലനങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മുമ്പ് നിരീക്ഷിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ഗ്രഹങ്ങളുടെ അസ്തിത്വം പ്രവചിക്കാനും കഴിയും (പ്ലൂട്ടോ. 1930-ൽ ഈ രീതിയിൽ കണ്ടെത്തി, 1846-ൽ നെപ്ട്യൂൺ). സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, വൈദ്യശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ചെറുതും എന്നാൽ ഇപ്പോഴും പ്രാധാന്യമുള്ളതുമായ ഒരു സ്ഥാനം ഉണ്ട്. ഈ ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഗുണപരമായ അദ്വിതീയത വളരെ വലുതാണ്, മാത്രമല്ല അവയുടെ ഒഴുക്കിന്റെ സ്വഭാവത്തെ ശക്തമായി സ്വാധീനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന് ഇപ്പോഴും ഒരു കീഴിലുള്ള പങ്ക് മാത്രമേ വഹിക്കാൻ കഴിയൂ. സാമൂഹികവും ജീവശാസ്ത്രപരവുമായ ശാസ്ത്രങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുണ്ട് ഗണിത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ.പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം, സാങ്കേതികവിദ്യ, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം എന്നിവയുടെ ആവശ്യകതകളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ഗണിതവും വികസിക്കുന്നു. സമീപ വർഷങ്ങളിൽ, പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉയർന്നുവന്ന നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകൾ ഉയർന്നുവന്നിട്ടുണ്ട്: വിവര സിദ്ധാന്തം, ഗെയിം സിദ്ധാന്തംതുടങ്ങിയവ.

പ്രതിഭാസങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിന്റെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് അടുത്തതും കൂടുതൽ കൃത്യവുമായ ഒന്നിലേക്കുള്ള മാറ്റം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പുതിയ ആവശ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കുകയും പുതിയ ആശയങ്ങളും പുതിയ ഗവേഷണ രീതികളും സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. അങ്ങനെ, ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആവശ്യകതകൾ, പൂർണ്ണമായും വിവരണാത്മകമായ അറിവിൽ നിന്ന് കൃത്യമായ അറിവിലേക്ക് നീങ്ങുന്നത് അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചു. ത്രികോണമിതി: ബിസി രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പുരാതന ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹിപ്പാർക്കസ്, സൈനുകളുടെ ആധുനിക പട്ടികകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന കോർഡുകളുടെ പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു; പുരാതന ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ മെനെലസും രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ക്ലോഡിയസ് ടോളമിയും അടിത്തറ സൃഷ്ടിച്ചു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതി.നിർമ്മാണം, നാവിഗേഷൻ, പീരങ്കികൾ മുതലായവയുടെ വികസനം മൂലം ഉണ്ടായ ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലുള്ള വർദ്ധിച്ച താൽപ്പര്യം 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ആശയങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു. ഗണിത വിശകലനം, പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനം. പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങളെ (പ്രാഥമികമായി ജ്യോതിശാസ്ത്രപരവും ഭൗതികവുമായ) പഠനത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികളുടെ വ്യാപകമായ ആമുഖവും സാങ്കേതിക വിദ്യയുടെ വികസനവും (പ്രത്യേകിച്ച് മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്) 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ സൈദ്ധാന്തിക മെക്കാനിക്സിന്റെയും സിദ്ധാന്തത്തിന്റെയും ദ്രുതഗതിയിലുള്ള വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചു. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.ദ്രവ്യത്തിന്റെ തന്മാത്രാ ഘടനയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയങ്ങളുടെ വികാസം ദ്രുതഗതിയിലുള്ള വികാസത്തിന് കാരണമായി സാധ്യത സിദ്ധാന്തം. നിലവിൽ, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിന്റെ പുതിയ മേഖലകളുടെ ഉദയം നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. വിജയങ്ങൾ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രാധാന്യമുള്ളതായി അംഗീകരിക്കപ്പെടണം കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സ് കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പല ശാഖകളിലും അവ സൃഷ്ടിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളും.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്. ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ, കാര്യമായ ഗുണപരമായ വ്യത്യാസങ്ങളുള്ള നാല് കാലഘട്ടങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ഈ കാലഘട്ടങ്ങളെ കൃത്യമായി വിഭജിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം ഓരോ തുടർന്നുള്ളതും മുമ്പത്തേതിനുള്ളിൽ വികസിച്ചു, അതിനാൽ പുതിയ ആശയങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുമ്പോൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പരിവർത്തന ഘട്ടങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, മാത്രമല്ല ഗണിതത്തിലോ അതിന്റെ പ്രയോഗങ്ങളിലോ ഇതുവരെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം നൽകിയിട്ടില്ല.

1) ഒരു സ്വതന്ത്ര ശാസ്ത്രശാഖയായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ജനന കാലഘട്ടം; ഈ കാലഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കം ചരിത്രത്തിന്റെ ആഴങ്ങളിൽ നഷ്ടപ്പെട്ടു; ബിസി 6-5 നൂറ്റാണ്ടുകൾ വരെ അത് നിലനിന്നിരുന്നു. ഇ.

2) പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിന്റെ കാലഘട്ടം, സ്ഥിരമായ അളവുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം; പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം വരെ അത് തുടർന്നു, പുതിയ, "ഉയർന്ന" ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനം വളരെയേറെ പുരോഗമിച്ചു.

3) വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതത്തിന്റെ കാലയളവ്; ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ സൃഷ്ടിയും വികാസവും, അവയുടെ ചലനത്തിലും വികാസത്തിലും ഉള്ള പ്രക്രിയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.

4) ആധുനിക ഗണിതത്തിന്റെ കാലഘട്ടം; സാധ്യമായ അളവിലുള്ള ബന്ധങ്ങളെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള ബോധപൂർവവും ചിട്ടയായതുമായ പഠനത്തിലൂടെ ഇത് സവിശേഷതയാണ്. ജ്യാമിതിയിൽ, യഥാർത്ഥ ത്രിമാന ഇടം മാത്രമല്ല, അതിന് സമാനമായ സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളും പഠിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, വേരിയബിളുകൾ ഒരു സംഖ്യാ വാദത്തെ മാത്രമല്ല, ആശയങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത രേഖയെയും (ഫംഗ്ഷൻ) ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രവർത്തനക്ഷമതഒപ്പം ഓപ്പറേറ്റർ. ബീജഗണിതംഏകപക്ഷീയമായ സ്വഭാവത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി മാറി. ഈ ഓപ്പറേഷനുകൾ മാത്രമേ അവർക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. ഈ കാലഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കം സ്വാഭാവികമായും പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ ആണെന്ന് പറയാം.

പ്രാചീന ലോകത്ത്, പുരോഹിതന്മാരുടെയും സർക്കാർ ഉദ്യോഗസ്ഥരുടെയും അറിവിന്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകമായാണ് ഗണിത വിവരങ്ങൾ ആദ്യം ഉൾപ്പെടുത്തിയിരുന്നത്. ഈ വിവരങ്ങളുടെ വിതരണം, ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയ കളിമൺ ബാബിലോണിയൻ ഗുളികകളിൽ നിന്നും ഈജിപ്ഷ്യനിൽ നിന്നും വിലയിരുത്താവുന്നതാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര പാപ്പിരി,താരതമ്യേന വലുതായിരുന്നു. പുരാതന ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസിന് ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയയിൽ പൈതഗോറസിന്റെ സിദ്ധാന്തം അറിയപ്പെട്ടിരുന്നുവെന്ന് മാത്രമല്ല, പൂർണ്ണ വശങ്ങളുള്ള എല്ലാ വലത് ത്രികോണങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നവും പരിഹരിച്ചതിന് തെളിവുകളുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, അക്കാലത്തെ ഭൂരിഭാഗം രേഖകളും ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളുടെ ശേഖരമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ ശരീരങ്ങളുടെ കണക്കുകളുടെയും അളവുകളുടെയും മേഖലകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളാണ്. ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സുഗമമാക്കുന്നതിന് വിവിധ പട്ടികകളും സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. എല്ലാ മാനുവലുകളിലും, നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ പതിവ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നു. പുരാതന ഗ്രീസിൽ സ്ഥാപിതമായ ഒരു കിഴിവ് നിർമ്മാണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഒരു ഔപചാരിക ശാസ്ത്രമാക്കി മാറ്റുന്നത് സംഭവിച്ചു. അവിടെ, ഗണിതശാസ്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകത പേരില്ലാത്തതായി അവസാനിച്ചു. പ്രായോഗികം ഗണിതവും ജ്യാമിതിയുംപുരാതന ഗ്രീസിൽ ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള വികസനം ഉണ്ടായിരുന്നു. ഗ്രീക്ക് ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കം ഈജിപ്തിൽ നിന്ന് പ്രാഥമിക അറിവ് കൊണ്ടുവന്ന തേൽസ് ഓഫ് മിലേറ്റസിന്റെ (ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം - ബിസി ആറാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ) പേരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സമോസിലെ പൈതഗോറസിന്റെ സ്കൂളിൽ (ബിസി ആറാം നൂറ്റാണ്ട്), സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം പഠിച്ചു, ഏറ്റവും ലളിതമായ പുരോഗതികൾ സംഗ്രഹിച്ചു, തികഞ്ഞ സംഖ്യകൾ പഠിച്ചു, വിവിധ തരം ശരാശരികൾ പരിഗണിക്കപ്പെട്ടു (ഗണിത ശരാശരി, ജ്യാമിതീയ ശരാശരി, ഹാർമോണിക് ശരാശരി) , പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ വീണ്ടും കണ്ടെത്തി (പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളാകാം). 5-6 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ബി.സി. പുരാതന കാലത്തെ പ്രസിദ്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉടലെടുത്തു - ഒരു വൃത്തം വർഗ്ഗീകരിക്കുക, ഒരു കോണിന്റെ ത്രികോണം, ഒരു ക്യൂബ് ഇരട്ടിപ്പിക്കുക, ആദ്യത്തെ അവിവേക സംഖ്യകൾ നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടു. ചിയോസിലെ ഹിപ്പോക്രാറ്റസ് (ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ രണ്ടാം പകുതി) ആണ് ജ്യാമിതിയുടെ ആദ്യ ചിട്ടയായ പാഠപുസ്തകം. പ്രപഞ്ചത്തിലെ ദ്രവ്യത്തിന്റെ ഘടന യുക്തിസഹമായി വിശദീകരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്ലാറ്റോണിക് സ്കൂളിന്റെ സുപ്രധാന വിജയം, എല്ലാ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾക്കായുള്ള തിരച്ചിൽ, ഈ സമയം മുതലുള്ളതാണ്. ബിസി 5, 4 നൂറ്റാണ്ടുകളുടെ അതിർത്തിയിൽ. ആറ്റോമിക് ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഡെമോക്രിറ്റസ്, ശരീരങ്ങളുടെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി നിർദ്ദേശിച്ചു. ഈ രീതി അനന്തമായ രീതിയുടെ ഒരു പ്രോട്ടോടൈപ്പായി കണക്കാക്കാം. നാലാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ബി.സി. സിനിഡസിന്റെ യൂഡോക്സസ് അനുപാതങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ സവിശേഷത ഗണിതശാസ്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകതയുടെ ഏറ്റവും വലിയ തീവ്രതയാണ്. (അലക്സാണ്ട്രിയൻ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ട്). ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ. യൂക്ലിഡ്, ആർക്കിമിഡീസ്, പെർഗയിലെ അപ്പോളോണിയസ്, എറതോസ്തനീസ് തുടങ്ങിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രവർത്തിച്ചു; പിന്നീട് - ഹെറോൺ (എഡി ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) ഡയോഫാന്റസ് (മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്). തന്റെ മൂലകങ്ങളിൽ, യൂക്ലിഡ് ജ്യാമിതി മേഖലയിലെ നേട്ടങ്ങൾ ശേഖരിക്കുകയും അന്തിമ ലോജിക്കൽ പ്രോസസ്സിംഗിന് വിധേയമാക്കുകയും ചെയ്തു; അതേ സമയം, അദ്ദേഹം സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറയിട്ടു. ജ്യാമിതിയിൽ ആർക്കിമിഡീസിന്റെ പ്രധാന നേട്ടം വിവിധ മേഖലകളും വോള്യങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കുകയായിരുന്നു. റേഷ്യൽ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമാണ് ഡയോഫാന്റസ് പ്രാഥമികമായി പഠിച്ചത്. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം മുതൽ ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പതനം ആരംഭിച്ചു.

പുരാതന ചൈനയിലും ഇന്ത്യയിലും ഗണിതശാസ്ത്രം ഗണ്യമായ പുരോഗതി കൈവരിച്ചു. ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സവിശേഷത, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നതിനുള്ള ഉയർന്ന സാങ്കേതികതയും പൊതുവായ ബീജഗണിത രീതികളുടെ വികസനത്തിലുള്ള താൽപ്പര്യവുമാണ്. 2-1 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ബി.സി. "ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒമ്പത് പുസ്തകങ്ങളിൽ" എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. ആധുനിക സ്കൂളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള അതേ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഗണിത രൂപീകരണം.

5-12 നൂറ്റാണ്ടുകൾ മുതലുള്ള ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രം, ആധുനിക ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗത്തിനും, തന്നിരിക്കുന്ന റാങ്കിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെ അഭാവത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ പൂജ്യത്തിനും അംഗീകാരം നൽകുന്നു, കൂടാതെ വിപുലമായ വികസനത്തിന്റെ ഗുണവും ഡയോഫാന്റസിന്റേതിനേക്കാൾ ബീജഗണിതം, പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യകളിൽ മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ്, അകാരണ സംഖ്യകളിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

അറബ് അധിനിവേശങ്ങൾ മധ്യേഷ്യ മുതൽ ഐബീരിയൻ പെനിൻസുല വരെ 9-15 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ അറബി ഭാഷ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് നയിച്ചു. ഒൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, മധ്യേഷ്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ-ഖൊറെസ്മി ആദ്യമായി ബീജഗണിതത്തെ ഒരു സ്വതന്ത്ര ശാസ്ത്രമായി അവതരിപ്പിച്ചു. ഈ കാലയളവിൽ, പല ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ഒരു ബീജഗണിത രൂപീകരണം ലഭിച്ചു. സിറിയൻ അൽ-ബത്താനി, സൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നീ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ അവതരിപ്പിച്ചു.സമർകണ്ട് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ-കാഷി (15-ആം നൂറ്റാണ്ട്) ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുകയും വ്യവസ്ഥാപിത അവതരണം നൽകുകയും ചെയ്തു, ന്യൂട്ടന്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല രൂപപ്പെടുത്തി.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിൽ ഗണ്യമായ ഒരു പുതിയ കാലഘട്ടം ആരംഭിച്ചത് പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ്, ചലനത്തിന്റെയും മാറ്റത്തിന്റെയും ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രവേശിച്ചപ്പോൾ. വേരിയബിളുകളുടെയും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കണക്ഷനുകളുടെയും പരിഗണന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഇന്റഗ്രലുകൾ, ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്, ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് എന്നിവയുടെ ആശയങ്ങളിലേക്കും ഒരു പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര അച്ചടക്കത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തിലേക്കും നയിച്ചു - ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം.

18-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം മുതൽ 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആരംഭം വരെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിൽ നിരവധി പുതിയ സവിശേഷതകൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെട്ടു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സാധൂകരണത്തിലെ നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ വിമർശനാത്മക പുനരവലോകനത്തിലുള്ള താൽപ്പര്യമായിരുന്നു അവയിൽ ഏറ്റവും സവിശേഷത. അനന്തതകളെക്കുറിച്ചുള്ള അവ്യക്തമായ ആശയങ്ങൾ പരിധി എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു.

19-ആം നൂറ്റാണ്ടിലെ ബീജഗണിതത്തിൽ, റാഡിക്കലുകളിൽ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം വ്യക്തമാക്കി (നോർവീജിയൻ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ എൻ. ആബെൽ, ഫ്രഞ്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഇ. ഗലോയിസ്).

19-ഉം 20-ഉം നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സംഖ്യാ രീതികൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര ശാഖയായി വളർന്നു - കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സ്. 19-ഉം 20-ഉം നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ വികസിച്ച ഗണിതശാഖ, ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തി, പുതിയ കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ പ്രധാന പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകനായ ഒ.വി.ലെഷ്ചെങ്കോയാണ് മെറ്റീരിയൽ തയ്യാറാക്കിയത്.

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെ ആദർശപരമായ ഗുണങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ ആക്സിമുകളുടെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അനുബന്ധ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെ നിർവചനത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ലോജിക്കൽ അനുമാനത്തിന്റെ കർശനമായ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഈ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് മറ്റ് യഥാർത്ഥ ഗുണങ്ങൾ (സിദ്ധാന്തങ്ങൾ) കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരുമിച്ച് പഠിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. അങ്ങനെ, തുടക്കത്തിൽ സ്ഥലപരവും അളവ്പരവുമായ ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഗണിതത്തിന് കൂടുതൽ അമൂർത്ത ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, ഇതിന്റെ പഠനം ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിഷയവുമാണ്.

പരമ്പരാഗതമായി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സൈദ്ധാന്തികമായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് ഇൻട്രാ-ഗണിത ഘടനകളുടെ ആഴത്തിലുള്ള വിശകലനം നടത്തുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇത് മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങൾക്കും എഞ്ചിനീയറിംഗ് വിഭാഗങ്ങൾക്കും അതിന്റെ മാതൃകകൾ നൽകുന്നു, അവയിൽ ചിലത് ഗണിതത്തിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള ഒരു സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഔപചാരികമായ യുക്തിയെ ദാർശനിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗമായും ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗമായും കണക്കാക്കാം; മെക്കാനിക്സ് - ഭൗതികശാസ്ത്രവും ഗണിതവും; കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, കംപ്യൂട്ടർ ടെക്നോളജി, അൽഗോരിതം എന്നിവ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, മാത്തമാറ്റിക്കൽ സയൻസസ് മുതലായവയ്ക്ക് കീഴിലാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പല നിർവചനങ്ങളും സാഹിത്യത്തിൽ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

പദോൽപ്പത്തി

"ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന വാക്ക് പുരാതന ഗ്രീക്കിൽ നിന്നാണ് വന്നത്. μάθημα, അതായത് പഠിക്കുന്നു, അറിവ്, ശാസ്ത്രം, മുതലായവ-ഗ്രീക്ക്. μαθηματικός, യഥാർത്ഥ അർത്ഥം സ്വീകാര്യമായ, വിജയകരമായ, പിന്നീട് പഠിക്കാൻ പ്രസക്തമാണ്, പിന്നീട് ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്. പ്രത്യേകിച്ച്, μαθηματικὴ τέχνη , ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ ആർസ് ഗണിതശാസ്ത്രം, അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര കല. ഈ പദം പുരാതന ഗ്രീക്ക് ആണ്. "ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന വാക്കിന്റെ ആധുനിക അർത്ഥത്തിൽ μᾰθημᾰτικά അരിസ്റ്റോട്ടിലിന്റെ (ബിസി നാലാം നൂറ്റാണ്ട്) കൃതികളിൽ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. വാസ്‌മർ പറയുന്നതനുസരിച്ച്, പോളിഷ് വഴിയാണ് ഈ വാക്ക് റഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് വന്നത്. matematyka, അല്ലെങ്കിൽ Lat വഴി. ഗണിതശാസ്ത്രം.

നിർവചനങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയത്തിന്റെ ആദ്യ നിർവചനങ്ങളിലൊന്ന് ഡെസ്കാർട്ടസ് നൽകി:

ഗണിതശാഖയിൽ ക്രമമോ അളവോ പരിഗണിക്കുന്ന ശാസ്ത്രങ്ങൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, ഇവ സംഖ്യകളോ കണക്കുകളോ നക്ഷത്രങ്ങളോ ശബ്ദങ്ങളോ ഈ അളവ് അന്വേഷിക്കുന്ന മറ്റെന്തെങ്കിലുമോ എന്നത് പ്രധാനമല്ല. അതിനാൽ, പ്രത്യേക വിഷയങ്ങളൊന്നും പഠിക്കാതെ, ക്രമവും അളവും സംബന്ധിച്ച എല്ലാ കാര്യങ്ങളും വിശദീകരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള സാമാന്യശാസ്ത്രം ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഈ ശാസ്ത്രത്തെ വിദേശീയമല്ല, സാർവത്രിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പഴയ പേര് എന്ന് വിളിക്കണം, അത് ഇതിനകം വന്നിട്ടുണ്ട്. ഉപയോഗത്തിലേക്ക്.

ഗണിതത്തിന്റെ സാരാംശം... ഇപ്പോൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തമായി അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അവയെ വിവരിക്കുന്ന ചില ഗുണങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും അറിയപ്പെടാത്തവ - കൃത്യമായി, പ്രാമാണങ്ങൾ എന്ന നിലയിൽ, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം... ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു അമൂർത്ത രൂപങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം - ഗണിത ഘടനകൾ.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങൾ

1. ഗണിതം എങ്ങനെ അക്കാദമിക് അച്ചടക്കം

പദവികൾ

ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെ വ്യത്യസ്തവും സങ്കീർണ്ണവുമായ ഘടനകളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, അതിന്റെ നൊട്ടേഷനും വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. യൂറോപ്യൻ ബീജഗണിത പാരമ്പര്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ആധുനിക രചനാ സമ്പ്രദായം രൂപീകരിച്ചത്, അതുപോലെ തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിൽക്കാല ശാഖകളുടെ ആവശ്യകതകളും - ഗണിത വിശകലനം, ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തി, സജ്ജീകരണ സിദ്ധാന്തം മുതലായവ. പുരാതന കാലം മുതൽ, ജ്യാമിതി ഒരു വിഷ്വൽ (ജ്യാമിതീയ) ഉപയോഗിച്ചു. ) പ്രാതിനിധ്യം. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഗ്രാഫിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങളും (ഉദാഹരണത്തിന്, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ഡയഗ്രമുകൾ) സാധാരണമാണ്; ഗ്രാഫ് അധിഷ്ഠിത നൊട്ടേഷനും പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ചെറുകഥ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ തത്വശാസ്ത്രം

ലക്ഷ്യങ്ങളും രീതികളും

സ്ഥലം R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), at n > 3 (\displaystyle n>3)ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര കണ്ടുപിടുത്തമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി സങ്കീർണ്ണമായ പ്രതിഭാസങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന വളരെ സമർത്ഥമായ കണ്ടുപിടുത്തമാണിത്».

മൈതാനങ്ങൾ

അവബോധവാദം

സൃഷ്ടിപരമായ ഗണിതശാസ്ത്രം

വ്യക്തമാക്കാം

പ്രധാന തീമുകൾ

അളവ്

അളവിന്റെ അമൂർത്തീകരണം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന പ്രധാന വിഭാഗം ബീജഗണിതമാണ്. "നമ്പർ" എന്ന ആശയം യഥാർത്ഥത്തിൽ ഗണിത സങ്കൽപ്പങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉത്ഭവിച്ചത്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. പിന്നീട്, ബീജഗണിതത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ, അത് ക്രമേണ പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ, യഥാർത്ഥ, സങ്കീർണ്ണമായ മറ്റ് സംഖ്യകളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിച്ചു.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ 1 , - 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\ displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j - 1 2 k , … (\ displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\ഡോട്ടുകൾ) സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ക്വാട്ടേർണിയൻസ്

രൂപാന്തരങ്ങൾ

പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രതിഭാസങ്ങളും ഏറ്റവും പൊതുവായ രൂപത്തിലുള്ള മാറ്റങ്ങളും വിശകലനം പരിഗണിക്കുന്നു.

ഘടനകൾ

സ്ഥലബന്ധങ്ങൾ

ജ്യാമിതി സ്പേഷ്യൽ ബന്ധങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതി ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിലൂടെ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളുടെ പഠനമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതി. തുടർച്ചയായ രൂപഭേദങ്ങൾക്കു കീഴിൽ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്ന ഇടങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളും തുടർച്ചയുടെ പ്രതിഭാസവും ടോപ്പോളജി പഠിക്കുന്നു.

ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിതം

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെക്കാലം മുമ്പ് ഉയർന്നുവന്നു. ആ മനുഷ്യൻ പഴങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു, പഴങ്ങൾ കുഴിച്ചെടുത്തു, മീൻ പിടിച്ച് ശീതകാലം മുഴുവൻ സൂക്ഷിച്ചു. എത്രമാത്രം ഭക്ഷണം സംഭരിച്ചുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ മനുഷ്യൻ എണ്ണൽ കണ്ടുപിടിച്ചു. അങ്ങനെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം ഉയർന്നുവരാൻ തുടങ്ങിയത്.

അപ്പോൾ മനുഷ്യൻ കൃഷിയിൽ ഏർപ്പെടാൻ തുടങ്ങി. പ്ലോട്ടുകൾ അളക്കാനും വീടുകൾ പണിയാനും സമയം അളക്കാനും അത് ആവശ്യമായിരുന്നു.

അതായത്, ഒരു വ്യക്തിക്ക് യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ അളവ് ബന്ധം ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എത്ര വിളവെടുത്തു, കെട്ടിടത്തിന്റെ പ്ലോട്ടിന്റെ വലുപ്പം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ശോഭയുള്ള നക്ഷത്രങ്ങളുള്ള ആകാശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എത്രയാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.

കൂടാതെ, മനുഷ്യൻ രൂപങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ തുടങ്ങി: ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള സൂര്യൻ, ഒരു ചതുര ബോക്സ്, ഒരു ഓവൽ തടാകം, ഈ വസ്തുക്കൾ ബഹിരാകാശത്ത് എങ്ങനെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. അതായത്, ഒരു വ്യക്തി യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യം പ്രകടിപ്പിച്ചു.

അങ്ങനെ, ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രംയഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ അളവ് ബന്ധങ്ങളുടെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുടെയും ശാസ്ത്രമായി നിർവചിക്കാം.

നിലവിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രമില്ലാതെ ഒരാൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഒരു തൊഴിൽ പോലും ഇല്ല. "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജാവ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശസ്ത ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ് ഒരിക്കൽ പറഞ്ഞു:

"ഗണിതശാസ്ത്രം ശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജ്ഞിയാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രം ഗണിതത്തിന്റെ രാജ്ഞിയാണ്."

"ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് ഗ്രീക്ക് പദമായ "അരിത്മോസ്" - "നമ്പർ" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്.

അങ്ങനെ, ഗണിതശാസ്ത്രംസംഖ്യകളും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളും പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ്.

പ്രാഥമിക വിദ്യാലയത്തിൽ, ഗണിതമാണ് പ്രാഥമികമായി പഠിപ്പിക്കുന്നത്.

ഈ ശാസ്ത്രം എങ്ങനെ വികസിച്ചു, നമുക്ക് ഈ ചോദ്യം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ജനന കാലഘട്ടം

ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ശേഖരണത്തിന്റെ പ്രധാന കാലഘട്ടം ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു മുമ്പുള്ള സമയമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

625 - 545 ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന പുരാതന ഗ്രീക്ക് ചിന്തകനാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ ആദ്യം തുടങ്ങിയത്. ഈ തത്ത്വചിന്തകൻ കിഴക്കൻ രാജ്യങ്ങളിലേക്ക് യാത്ര ചെയ്തു. ഈജിപ്ഷ്യൻ പുരോഹിതന്മാരോടും ബാബിലോണിയൻ കൽദായരോടും ഒപ്പം പഠിച്ചതായി പാരമ്പര്യങ്ങൾ പറയുന്നു.

ഈജിപ്തിൽ നിന്ന് ഗ്രീസിലേക്ക് പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയുടെ ആദ്യ ആശയങ്ങൾ താൽസ് ഓഫ് മിലേറ്റസ് കൊണ്ടുവന്നു: എന്താണ് ഒരു വ്യാസം, എന്താണ് ഒരു ത്രികോണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് തുടങ്ങിയവ. അദ്ദേഹം ഒരു സൂര്യഗ്രഹണം പ്രവചിക്കുകയും എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഘടനകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുകയും ചെയ്തു.

ഈ കാലയളവിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രം ക്രമേണ വികസിച്ചു, ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ജ്യാമിതിയും വികസിച്ചു. ബീജഗണിതവും ത്രികോണമിതിയും ജനിക്കുന്നു.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിന്റെ കാലഘട്ടം

ഈ കാലഘട്ടം ബിസി VI മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രം സിദ്ധാന്തങ്ങളും തെളിവുകളും ഉള്ള ഒരു ശാസ്ത്രമായി ഉയർന്നുവരുന്നു. സംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തം, അളവുകളുടെ സിദ്ധാന്തം, അവയുടെ അളവ് എന്നിവ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

ഇക്കാലത്തെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ യൂക്ലിഡ് ആണ്. ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് അദ്ദേഹം ജീവിച്ചിരുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ സൈദ്ധാന്തിക ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ രചയിതാവാണ് ഈ മനുഷ്യൻ.

യൂക്ലിഡിന്റെ കൃതികളിൽ, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു - ഇവ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങളാണ്.

പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്ര കാലഘട്ടത്തിൽ, സംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തം ഉയർന്നുവന്നു, അതുപോലെ അളവുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും അവയുടെ അളവും. നിഷേധാത്മകവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ആദ്യമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

ഈ കാലഘട്ടത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ, ആൾജിബ്രയെ അക്ഷരീയ കാൽക്കുലസ് ആയി സൃഷ്ടിക്കുന്നത് നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. "ബീജഗണിതം" എന്ന ശാസ്ത്രം തന്നെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ശാസ്ത്രമായി അറബികൾക്കിടയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. അറബിയിൽ "ബീജഗണിതം" എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം "പുനഃസ്ഥാപിക്കൽ" എന്നാണ്, അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ കൈമാറുന്നു.

വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതത്തിന്റെ കാലഘട്ടം

ഈ കാലഘട്ടത്തിന്റെ സ്ഥാപകൻ എഡി പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ് ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. തന്റെ രചനകളിൽ, ഡെസ്കാർട്ടസ് ആദ്യമായി ഒരു വേരിയബിൾ അളവ് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു.

ഇതിന് നന്ദി, ശാസ്ത്രജ്ഞർ സ്ഥിരമായ അളവുകളുടെ പഠനത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലേക്കും ചലനത്തിന്റെ ഗണിത വിവരണത്തിലേക്കും നീങ്ങുന്നു.

ഈ കാലഘട്ടം ഫ്രെഡറിക് ഏംഗൽസ് തന്റെ രചനകളിൽ ഏറ്റവും വ്യക്തമായി ചിത്രീകരിച്ചു:

"ഗണിതത്തിലെ വഴിത്തിരിവ് കാർട്ടിസിയൻ വേരിയബിളായിരുന്നു. ഇതിന് നന്ദി, ചലനവും അതുവഴി വൈരുദ്ധ്യാത്മകതയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേക്ക് പ്രവേശിച്ചു, ഇതിന് നന്ദി, ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് ഉടനടി ആവശ്യമായി വന്നു, അത് ഉടനടി ഉയർന്നുവരുന്നു, അത് ന്യൂട്ടണും ലെയ്ബ്നിസും ചേർന്ന് പൂർത്തിയാക്കിയതും കണ്ടുപിടിക്കാത്തതുമാണ്.

ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാലഘട്ടം

19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഇരുപതുകളിൽ, നിക്കോളായ് ഇവാനോവിച്ച് ലോബചെവ്സ്കി നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ സ്ഥാപകനായി.

ഈ നിമിഷം മുതൽ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ശാഖകളുടെ വികസനം ആരംഭിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, സെറ്റ് തിയറി, ഗണിത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ തുടങ്ങിയവ.

ഈ കണ്ടെത്തലുകളും ഗവേഷണങ്ങളും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ വിപുലമായ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തുന്നു.

നിലവിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ശാസ്ത്രം അതിവേഗം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു, പുതിയ രൂപങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും ഉൾപ്പെടെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു, പുതിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ആഴത്തിലാക്കുന്നു.

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെ ആദർശപരമായ ഗുണങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ ആക്സിമുകളുടെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അനുബന്ധ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെ നിർവചനത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ലോജിക്കൽ അനുമാനത്തിന്റെ കർശനമായ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഈ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് മറ്റ് യഥാർത്ഥ ഗുണങ്ങൾ (സിദ്ധാന്തങ്ങൾ) കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരുമിച്ച് പഠിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, തുടക്കത്തിൽ, സ്പേഷ്യൽ, ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് ബന്ധങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് കൂടുതൽ അമൂർത്ത ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, ഇതിന്റെ പഠനം ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിഷയവുമാണ്.

പരമ്പരാഗതമായി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സൈദ്ധാന്തികമായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് ഇൻട്രാ-ഗണിത ഘടനകളുടെ ആഴത്തിലുള്ള വിശകലനം നടത്തുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇത് മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങൾക്കും എഞ്ചിനീയറിംഗ് വിഭാഗങ്ങൾക്കും അതിന്റെ മാതൃകകൾ നൽകുന്നു, അവയിൽ ചിലത് ഗണിതത്തിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള ഒരു സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഔപചാരികമായ യുക്തിയെ ദാർശനിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗമായും ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗമായും കണക്കാക്കാം; മെക്കാനിക്സ് - ഭൗതികശാസ്ത്രവും ഗണിതവും; കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, കമ്പ്യൂട്ടർ ടെക്നോളജി, അൽഗോരിതമിക്സ് എന്നിവ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, മാത്തമാറ്റിക്കൽ സയൻസുകൾ മുതലായവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സാഹിത്യത്തിൽ ഗണിതത്തിന്റെ വിവിധ നിർവചനങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് (കാണുക).

പദോൽപ്പത്തി

"ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന വാക്ക് പുരാതന ഗ്രീക്കിൽ നിന്നാണ് വന്നത്. μάθημα ( മാഥേമ), അത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് പഠിക്കുന്നു, അറിവ്, ശാസ്ത്രം, മുതലായവ-ഗ്രീക്ക്. μαθηματικός ( മാത്തമാറ്റിക്കോസ്), യഥാർത്ഥ അർത്ഥം സ്വീകാര്യമായ, വിജയകരമായ, പിന്നീട് പഠിക്കാൻ പ്രസക്തമാണ്, പിന്നീട് ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്. പ്രത്യേകിച്ച്, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tekhnē), ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ ആർസ് ഗണിതശാസ്ത്രം, അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര കല.

നിർവചനങ്ങൾ

ഗണിതശാഖയിൽ ക്രമമോ അളവോ പരിഗണിക്കുന്ന ശാസ്ത്രങ്ങൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, ഇവ സംഖ്യകളോ കണക്കുകളോ നക്ഷത്രങ്ങളോ ശബ്ദങ്ങളോ അല്ലെങ്കിൽ ഈ അളവ് അന്വേഷിക്കുന്ന മറ്റെന്തെങ്കിലുമോ എന്നത് പ്രധാനമല്ല. അതിനാൽ, പ്രത്യേക വിഷയങ്ങളൊന്നും പഠിക്കാതെ, ക്രമവും അളവും സംബന്ധിച്ച എല്ലാ കാര്യങ്ങളും വിശദീകരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള സാമാന്യശാസ്ത്രം ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഈ ശാസ്ത്രത്തെ വിദേശീയമല്ല, സാർവത്രിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പഴയ പേര് എന്ന് വിളിക്കണം, അത് ഇതിനകം വന്നിട്ടുണ്ട്. ഉപയോഗത്തിലേക്ക്.

സോവിയറ്റ് കാലഘട്ടത്തിൽ, A. N. Kolmogorov നൽകിയ TSB-ൽ നിന്നുള്ള നിർവചനം ക്ലാസിക് ആയി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നു:

ഗണിതശാസ്ത്രം... യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ അളവ് ബന്ധങ്ങളുടെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുടെയും ശാസ്ത്രം.

ഗണിതത്തിന്റെ സാരാംശം... ഇപ്പോൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തമായി അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അവയെ വിവരിക്കുന്ന ചില ഗുണങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും അറിയപ്പെടാത്തവ - കൃത്യമായി, പ്രാമാണങ്ങൾ എന്ന നിലയിൽ, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം... ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു അമൂർത്ത രൂപങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം - ഗണിത ഘടനകൾ.

നമുക്ക് കുറച്ച് ആധുനിക നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

ആധുനിക സൈദ്ധാന്തിക ("ശുദ്ധമായ") ഗണിതശാസ്ത്രം ഗണിത ഘടനകളുടെ ശാസ്ത്രമാണ്, വിവിധ സിസ്റ്റങ്ങളുടെയും പ്രക്രിയകളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മാറ്റങ്ങളാണ്.

ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് (കാനോനിക്കൽ) രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന മോഡലുകൾ കണക്കാക്കാനുള്ള സാധ്യത നൽകുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം. ഔപചാരികമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അനലിറ്റിക്കൽ മോഡലുകൾക്ക് (വിശകലനം) പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന ശാസ്ത്രം.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങൾ

1. ഗണിതം എങ്ങനെ അക്കാദമിക് അച്ചടക്കംറഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിൽ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രമായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു, സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ പഠിക്കുകയും വിഭാഗങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുകയും ചെയ്തു:

• പ്രാഥമിക ജ്യാമിതി: പ്ലാനിമെട്രിയും സ്റ്റീരിയോമെട്രിയും
• പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തവും വിശകലനത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളും

4. അമേരിക്കൻ മാത്തമാറ്റിക്കൽ സൊസൈറ്റി (AMS) ഗണിതശാഖകളെ തരംതിരിക്കുന്നതിന് അതിന്റേതായ മാനദണ്ഡം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഇതിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയ വർഗ്ഗീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ മാനദണ്ഡം കാലാകാലങ്ങളിൽ അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു. നിലവിലെ പതിപ്പ് MSC 2010 ആണ്. മുൻ പതിപ്പ് MSC 2000 ആണ്.

പദവികൾ

ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെ വ്യത്യസ്തവും സങ്കീർണ്ണവുമായ ഘടനകളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, നൊട്ടേഷൻ സംവിധാനവും വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. യൂറോപ്യൻ ബീജഗണിത പാരമ്പര്യത്തിന്റെയും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെയും (ഫംഗ്ഷൻ, ഡെറിവേറ്റീവ് മുതലായവ) അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ആധുനിക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതാനുള്ള സംവിധാനം രൂപപ്പെട്ടത്. പുരാതന കാലം മുതൽ, ജ്യാമിതി ഒരു വിഷ്വൽ (ജ്യാമിതീയ) പ്രതിനിധാനം ഉപയോഗിച്ചു. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഗ്രാഫിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങളും (ഉദാഹരണത്തിന്, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ഡയഗ്രമുകൾ) സാധാരണമാണ്; ഗ്രാഫ് അധിഷ്ഠിത നൊട്ടേഷനും പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ചെറുകഥ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനം എഴുത്തിനെയും അക്കങ്ങൾ എഴുതാനുള്ള കഴിവിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരുപക്ഷേ, പുരാതന ആളുകൾ ആദ്യം നിലത്ത് വരകൾ വരച്ചോ മരത്തിൽ മാന്തികുഴിയുണ്ടാക്കുന്നതോ ആയ അളവുകൾ പ്രകടിപ്പിച്ചു. മറ്റ് എഴുത്ത് സംവിധാനങ്ങളില്ലാത്ത പുരാതന ഇൻകാകൾ, ക്വിപസ് എന്ന സങ്കീർണ്ണമായ കയറുകെട്ടുകളുടെ ഒരു സംവിധാനം ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യാപരമായ ഡാറ്റയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും സംഭരിക്കുകയും ചെയ്തു. വ്യത്യസ്ത സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. മിഡിൽ കിംഗ്ഡത്തിലെ ഈജിപ്തുകാർ സൃഷ്ടിച്ച അഹ്മെസ് പാപ്പിറസിൽ നിന്നാണ് സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തെ അറിയപ്പെടുന്ന രേഖകൾ കണ്ടെത്തിയത്. സിന്ധു നാഗരികത ആധുനിക ദശാംശ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, അതിൽ പൂജ്യം എന്ന ആശയം ഉൾപ്പെടുന്നു.

ചരിത്രപരമായി, അടിസ്ഥാന ഗണിതശാഖകൾ ഉടലെടുത്തത് വാണിജ്യ മേഖലയിലും ഭൂമി അളക്കുന്നതിലും ജ്യോതിശാസ്ത്ര പ്രതിഭാസങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നതിലും പിന്നീട് പുതിയ ശാരീരിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയിൽ നിന്നാണ്. ഘടനകൾ, ഇടങ്ങൾ, മാറ്റങ്ങൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിശാലമായ വികാസത്തിൽ ഈ മേഖലകളിൽ ഓരോന്നും വലിയ പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ തത്വശാസ്ത്രം

ലക്ഷ്യങ്ങളും രീതികളും

ഗണിതശാസ്ത്രം സാങ്കൽപ്പികവും അനുയോജ്യവുമായ വസ്തുക്കളെയും അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളെയും ഔപചാരിക ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്നു. പൊതുവേ, ഗണിതശാസ്ത്ര സങ്കൽപ്പങ്ങൾക്കും സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കും ഭൗതിക ലോകത്തിലെ ഒന്നിനോടും പൊരുത്തപ്പെടണമെന്നില്ല. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രയോഗിച്ച വിഭാഗത്തിന്റെ പ്രധാന ദൌത്യം, പഠിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ വസ്തുവിന് മതിയായ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക സൃഷ്ടിക്കുക എന്നതാണ്. ഒരു സൈദ്ധാന്തിക ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ ചുമതല ഈ ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതിന് മതിയായ സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗങ്ങൾ നൽകുക എന്നതാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെയും അവ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള ഉപകരണങ്ങളുടെയും ഒരു സംവിധാനമായി നിർവചിക്കാം. ഒരു വസ്തുവിന്റെ മാതൃക അതിന്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ പഠന ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ആവശ്യമുള്ളവ (അനുയോജ്യമായത്) മാത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഓറഞ്ചിന്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതിന്റെ നിറത്തിൽ നിന്നും രുചിയിൽ നിന്നും അമൂർത്തമായി അതിനെ (തികച്ചും കൃത്യമായി അല്ലെങ്കിലും) ഒരു പന്തായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടും മൂന്നും ഒരുമിച്ച് ചേർത്താൽ നമുക്ക് എത്ര ഓറഞ്ച് ലഭിക്കുമെന്ന് മനസിലാക്കണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് ആകൃതിയിൽ നിന്ന് സംഗ്രഹിക്കാം, മോഡലിന് ഒരു സ്വഭാവം മാത്രം - അളവ്. ഗണിതശാസ്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകതയുടെ പ്രധാന ദിശകളിലൊന്നാണ് അമൂർത്തീകരണവും ഏറ്റവും പൊതുവായ രൂപത്തിൽ വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കലും.

അമൂർത്തതയ്‌ക്കൊപ്പം മറ്റൊരു ദിശ പൊതുവൽക്കരണമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, "സ്പേസ്" എന്ന ആശയത്തെ n-മാനങ്ങളുടെ ഇടത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു. " ബഹിരാകാശം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര കണ്ടുപിടുത്തമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി സങ്കീർണ്ണമായ പ്രതിഭാസങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന വളരെ സമർത്ഥമായ കണ്ടുപിടുത്തമാണിത്».

ഇൻട്രാ-ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെ പഠനം, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ആക്‌സിയോമാറ്റിക് രീതി ഉപയോഗിച്ചാണ് സംഭവിക്കുന്നത്: ആദ്യം, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾക്കായി അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഒരു ലിസ്റ്റ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, തുടർന്ന് അനുമാന നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് അർത്ഥവത്തായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഒരു ഗണിത മാതൃക രൂപപ്പെടുത്തുക.

മൈതാനങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സത്തയെയും അടിത്തറയെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം പ്ലേറ്റോയുടെ കാലം മുതൽ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. 20-ആം നൂറ്റാണ്ട് മുതൽ, കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവായി യോഗ്യമാക്കുന്ന കാര്യങ്ങളിൽ ആപേക്ഷികമായ യോജിപ്പുണ്ടായിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അന്തർലീനമായി സത്യമെന്ന് കരുതുന്ന കാര്യങ്ങളിൽ കാര്യമായ യോജിപ്പില്ല. ഇത് ആക്‌സിയോമാറ്റിക്‌സിന്റെ ചോദ്യങ്ങളിലും ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളുടെ പരസ്പര ബന്ധത്തിലും തെളിവുകളിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ലോജിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലും വിയോജിപ്പുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

സംശയാസ്പദമായ ഒന്നിന് പുറമേ, ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സമീപനങ്ങളും അറിയാം.

സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് സമീപനം

എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളെയും സെറ്റ് തിയറിയുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ പരിഗണിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, മിക്കപ്പോഴും Zermelo-Frenkel axiomatics (അതിനു തുല്യമായ മറ്റു പലതും ഉണ്ടെങ്കിലും). ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ മധ്യം മുതൽ ഈ സമീപനം പ്രബലമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ മിക്ക ഗണിതശാസ്ത്ര കൃതികളും അവരുടെ പ്രസ്താവനകളെ സെറ്റ് തിയറിയുടെ ഭാഷയിലേക്ക് കർശനമായി വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നില്ല, പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചില മേഖലകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുള്ള ആശയങ്ങളും വസ്തുതകളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു വൈരുദ്ധ്യം കണ്ടെത്തിയാൽ, ഇത് മിക്ക ഫലങ്ങളുടെയും അസാധുവാക്കലിന് കാരണമാകില്ല.

യുക്തിവാദം

ഈ സമീപനം ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെ കർശനമായ ടൈപ്പിംഗ് അനുമാനിക്കുന്നു. പ്രത്യേക തന്ത്രങ്ങളാൽ മാത്രം സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒഴിവാക്കിയ പല വിരോധാഭാസങ്ങളും തത്വത്തിൽ അസാധ്യമായി മാറുന്നു.

ഔപചാരികത

ഈ സമീപനത്തിൽ ക്ലാസിക്കൽ ലോജിക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഔപചാരിക സംവിധാനങ്ങളുടെ പഠനം ഉൾപ്പെടുന്നു.

അവബോധവാദം

ഗണിതശാസ്ത്രം അവബോധപരമായ യുക്തിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് അവബോധവാദം അനുമാനിക്കുന്നു, അത് തെളിവിനുള്ള മാർഗങ്ങളിൽ കൂടുതൽ പരിമിതമാണ് (എന്നാൽ കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു). അവബോധവാദം വൈരുദ്ധ്യത്താൽ തെളിവ് നിരസിക്കുന്നു, സൃഷ്ടിപരമല്ലാത്ത പല തെളിവുകളും അസാധ്യമായിത്തീരുന്നു, കൂടാതെ സജ്ജീകരണ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പല പ്രശ്നങ്ങളും അർത്ഥരഹിതമായിത്തീരുന്നു (അനൗപചാരികമായി).

സൃഷ്ടിപരമായ ഗണിതശാസ്ത്രം

നിർമ്മിതി ഗണിതശാസ്ത്രം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു ചലനമാണ്, അത് സൃഷ്ടിപരമായ നിർമ്മിതികളെ പഠിക്കുന്നു. വ്യക്തമാക്കാം]. സൃഷ്ടിപരമായ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് - " നിലനിൽക്കുക എന്നതിനർത്ഥം നിർമ്മിക്കപ്പെടുക എന്നാണ്" ഘടനാപരമായ മാനദണ്ഡം സ്ഥിരത മാനദണ്ഡത്തേക്കാൾ ശക്തമായ ആവശ്യകതയാണ്.

പ്രധാന തീമുകൾ

നമ്പറുകൾ

"സംഖ്യ" എന്ന ആശയം യഥാർത്ഥത്തിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ പരാമർശിക്കുന്നു. പിന്നീട് അത് ക്രമേണ പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ, യഥാർത്ഥ, സങ്കീർണ്ണമായ മറ്റ് സംഖ്യകളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിച്ചു.

മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ക്വാട്ടേർണിയൻസ്

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ
എണ്ണുന്നു സെറ്റുകൾ	സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ () പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ () യുക്തിസഹമായ () ബീജഗണിതം () കാലഘട്ടങ്ങൾ കണക്കാക്കാവുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ അവയുടെ വിപുലീകരണങ്ങളും	റിയൽ () കോംപ്ലക്സ് () ക്വാട്ടേർണിയണുകൾ () കെയ്‌ലി നമ്പറുകൾ (ഒക്ടേവുകൾ, ഒക്ടോണിയണുകൾ) () സെഡെനിയോൺസ് () ആൾട്ടർനിയോൺസ് കെയ്‌ലി-ഡിക്സൺ നടപടിക്രമം ഡ്യുവൽ ഹൈപ്പർ കോംപ്ലക്സ് സൂപ്പർറിയൽ ഹൈപ്പർറിയൽ സർറിയൽ നമ്പർ ( ഇംഗ്ലീഷ്)
മറ്റുള്ളവ നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങൾ	കാർഡിനൽ നമ്പറുകൾ ഓർഡിനൽ നമ്പറുകൾ (ട്രാൻസ്ഫിനൈറ്റ്, ഓർഡിനൽ) p-adic അമാനുഷിക സംഖ്യകൾ
ഇതും കാണുക	ഇരട്ട സംഖ്യകൾ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യ കിരണം ബൈക്വാട്ടർനിയൻ

രൂപാന്തരങ്ങൾ

ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിതം

വിജ്ഞാന വർഗ്ഗീകരണ സംവിധാനങ്ങളിലെ കോഡുകൾ

ഓൺലൈൻ സേവനങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി സേവനങ്ങൾ നൽകുന്ന ധാരാളം സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്. ഇവരിൽ ഭൂരിഭാഗവും ഇംഗ്ലീഷ് സംസാരിക്കുന്നവരാണ്. റഷ്യൻ സംസാരിക്കുന്നവരിൽ, തിരയൽ എഞ്ചിൻ നിഗ്മയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര അന്വേഷണങ്ങളുടെ സേവനം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

ഇതും കാണുക

ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ജനപ്രീതിയാർജ്ജിച്ചവർ

കുറിപ്പുകൾ

1. എൻസൈക്ലോപീഡിയ ബ്രിട്ടാനിക്ക
2. വെബ്‌സ്റ്ററിന്റെ ഓൺലൈൻ നിഘണ്ടു
3. അധ്യായം 2. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയായി ഗണിതശാസ്ത്രം. സൈബീരിയൻ ഓപ്പൺ യൂണിവേഴ്സിറ്റി. യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് 2012 ഫെബ്രുവരി 2-ന് ആർക്കൈവ് ചെയ്തത്. ഒക്ടോബർ 5, 2010-ന് ശേഖരിച്ചത്.
4. വലിയ പുരാതന ഗ്രീക്ക് നിഘണ്ടു (αω)
5. റഷ്യൻ ഭാഷയുടെ നിഘണ്ടു XI-XVII നൂറ്റാണ്ടുകൾ. ലക്കം 9 / Ch. ed. F. P. ഫിലിൻ. - എം.: നൗക, 1982. - പി. 41.
6. ഡെസ്കാർട്ടസ് ആർ.മനസ്സിനെ നയിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. കാണുക: ഗണിതശാസ്ത്രം TSB
8. മാർക്സ് കെ., ഏംഗൽസ് എഫ്.ഉപന്യാസങ്ങൾ. രണ്ടാം പതിപ്പ്. ടി. 20. പി. 37.
9. ബർബാക്കി എൻ.ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വാസ്തുവിദ്യ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉപന്യാസങ്ങൾ / വിവർത്തനം I. G. Bashmakova, ed. കെ.എ.റിബ്നിക്കോവ. എം.: ഐഎൽ, 1963. പി. 32, 258.
10. കാസീവ് വി.എം.ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആമുഖം
11. മുഖിൻ ഒ. ഐ.മോഡലിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ട്യൂട്ടോറിയൽ. പെർം: RCI PSTU.
12. ഹെർമൻ വെയിൽ // ക്ലീൻ എം.. - എം.: മിർ, 1984. - പി. 16.
13. ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം. സ്പെഷ്യാലിറ്റി 01.01.00. "ഗണിതശാസ്ത്രം". യോഗ്യത - ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. മോസ്കോ, 2000 (ഒ. ബി. ലുപനോവിന്റെ നേതൃത്വത്തിൽ സമാഹരിച്ചത്)
14. ഫെബ്രുവരി 25, 2009 നമ്പർ 59 ലെ റഷ്യയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയത്തിന്റെ ഉത്തരവ് പ്രകാരം അംഗീകരിച്ച ശാസ്ത്ര തൊഴിലാളികളുടെ പ്രത്യേകതകളുടെ നാമകരണം
15. UDC 51 ഗണിതം
16. യാ.എസ്. ബുഗ്രോവ്, എസ്.എം. നിക്കോൾസ്കി. ലീനിയർ ആൾജിബ്രയുടെയും അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെയും ഘടകങ്ങൾ. എം.: നൗക, 1988. പി. 44.
17. N. I. കൊണ്ടകോവ്. ലോജിക്കൽ നിഘണ്ടു-റഫറൻസ് പുസ്തകം. എം.: നൗക, 1975. പി. 259.
18. ജി ഐ റുസാവിൻ. ഗണിതശാസ്ത്ര അറിവിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച്. എം.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. ഉദാഹരണത്തിന്: http://mathworld.wolfram.com

സാഹിത്യം

എൻസൈക്ലോപീഡിയകൾ

• // ബ്രോക്ക്ഹോസിന്റെയും എഫ്രോണിന്റെയും എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു: 86 വാല്യങ്ങളിൽ (82 വാല്യങ്ങളും 4 അധികവും). - സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ്. , 1890-1907.
• മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ (5 വാല്യങ്ങൾ), 1980കൾ. // EqWorld-ലെ ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായ റഫറൻസ് പുസ്തകങ്ങൾ
• കൊണ്ടകോവ് എൻ.ഐ.ലോജിക്കൽ നിഘണ്ടു-റഫറൻസ് പുസ്തകം. എം.: നൗക, 1975.
• എൻസൈക്ലോപീഡിയ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സയൻസസും അവരുടെ ആപ്ലിക്കേഷനുകളും (ജർമ്മൻ) 1899-1934. (19-ആം നൂറ്റാണ്ടിലെ സാഹിത്യത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ സർവേ)

ഡയറക്ടറികൾ

• ജി. കോർൺ, ടി. കോൺ.ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും എഞ്ചിനീയർമാർക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൈപ്പുസ്തകം എം., 1973.

പുസ്തകങ്ങൾ

• ക്ലീൻ എം.ഗണിതം. ഉറപ്പ് നഷ്ടപ്പെടുന്നു. - എം.: മിർ, 1984.
• ക്ലീൻ എം.ഗണിതം. സത്യം അന്വേഷിക്കുക. എം.: മിർ, 1988.
• ക്ലീൻ എഫ്.ഉയർന്ന വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം.

• വോള്യം I. അരിത്മെറ്റിക്. ബീജഗണിതം. വിശകലനം എം.: നൗക, 1987. 432 പേ.
• വോളിയം II. ജ്യാമിതി എം.: നൗക, 1987. 416 പേ.

• കോറന്റ് ആർ., ജി. റോബിൻസ്.എന്താണ് ഗണിതശാസ്ത്രം? മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: 2001. 568 പേ.
• പിസാരെവ്സ്കി ബി.എം., ഖാരിൻ വി.ടി.ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെക്കുറിച്ചും മറ്റും. - എം.: ബിനോം. നോളജ് ലബോറട്ടറി, 2012. - 302 പേ.
• പോയിൻകെയർ എ.ശാസ്ത്രവും രീതിയും (റഷ്യൻ) (ഫ്രഞ്ച്)

ഗണിതശാസ്ത്രം ഏറ്റവും പുരാതനമായ ശാസ്ത്രങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഗണിതത്തിന് ഒരു ഹ്രസ്വ നിർവചനം നൽകുന്നത് അത്ര എളുപ്പമല്ല; ഒരു വ്യക്തിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരത്തെ ആശ്രയിച്ച് അതിന്റെ ഉള്ളടക്കം വളരെയധികം വ്യത്യാസപ്പെടും. ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയ ഒരു പ്രൈമറി സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി പറയും, ഗണിതശാസ്ത്രം വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ പഠിക്കുന്നുവെന്ന്. അവൻ ശരിയാകും, കാരണം ഇതാണ് അവൻ ആദ്യം പരിചയപ്പെടുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്രം എന്ന ആശയത്തിൽ ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളുടെ പഠനവും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് പഴയ വിദ്യാർത്ഥികൾ പറഞ്ഞുവരുന്നു: വരികൾ, അവയുടെ കവലകൾ, വിമാന രൂപങ്ങൾ, ജ്യാമിതീയ ശരീരങ്ങൾ, വിവിധതരം പരിവർത്തനങ്ങൾ. ഹൈസ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പഠനവും ഒരു പരിധിയിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനവും അതുപോലെ തന്നെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഇന്റഗ്രൽ എന്നീ അനുബന്ധ ആശയങ്ങളും ഉൾപ്പെടുത്തും. ഉന്നത സാങ്കേതിക വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ ബിരുദധാരികൾ അല്ലെങ്കിൽ സർവകലാശാലകളിലെയും പെഡഗോഗിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടുകളിലെയും പ്രകൃതി ശാസ്ത്ര ഫാക്കൽറ്റികൾ സ്കൂൾ നിർവചനങ്ങളിൽ തൃപ്തരായിരിക്കില്ല, കാരണം ഗണിതത്തിൽ മറ്റ് വിഷയങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് അവർക്കറിയാം: പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ, ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ രീതികൾ എന്നിവയും. പ്രൊഡക്ഷൻ പ്രോസസുകളെ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനും പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിനും വിവരങ്ങൾ കൈമാറുന്നതിനും പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള ഈ വിഭാഗങ്ങളുടെ പ്രയോഗങ്ങളായി. എന്നിരുന്നാലും, ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നത് ഗണിതത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം തീർക്കുന്നതല്ല. സെറ്റ് തിയറി, ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തി, ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം, ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ സിദ്ധാന്തം എന്നിവയും അതിലേറെയും അതിന്റെ രചനയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ അതിന്റെ ഘടക ശാഖകൾ പട്ടികപ്പെടുത്തി നിർവചിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ നമ്മെ വഴിതെറ്റിക്കുന്നു, കാരണം അവ കൃത്യമായി ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനം എന്താണെന്നും നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകവുമായുള്ള ബന്ധം എന്താണെന്നും ഒരു ആശയം നൽകില്ല. സമാനമായ ഒരു ചോദ്യം ഒരു ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനോ ബയോളജിസ്റ്റോ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനോടോ ചോദിച്ചാൽ, അവരോരോരുത്തരും വളരെ ചെറിയ ഉത്തരം നൽകും, അവർ പഠിക്കുന്ന ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റ് അടങ്ങിയിട്ടില്ല. അത്തരമൊരു ഉത്തരത്തിൽ അവൾ പഠിക്കുന്ന പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ സൂചന അടങ്ങിയിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ജീവശാസ്ത്രം ജീവന്റെ വിവിധ പ്രകടനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണെന്ന് ഒരു ജീവശാസ്ത്രജ്ഞൻ പ്രസ്താവിക്കും. ഈ ഉത്തരം പൂർണ്ണമായും പൂർണ്ണമാകാതിരിക്കട്ടെ, കാരണം ജീവിതവും സുപ്രധാന പ്രതിഭാസങ്ങളും എന്താണെന്ന് ഇത് പറയുന്നില്ല, എന്നിരുന്നാലും അത്തരമൊരു നിർവചനം ജീവശാസ്ത്രത്തിന്റെ സയൻസിന്റെ ഉള്ളടക്കത്തെക്കുറിച്ചും ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ തലങ്ങളെക്കുറിച്ചും തികച്ചും പൂർണ്ണമായ ആശയം നൽകും. ജീവശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവിന്റെ വികാസത്തോടെ ഈ നിർവചനം മാറില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിന്റെ വിഷയമായ പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങളോ സാങ്കേതികമോ സാമൂഹികമോ ആയ പ്രക്രിയകളൊന്നുമില്ല, എന്നാൽ ഭൗതികമോ ജൈവികമോ രാസപരമോ എഞ്ചിനീയറിംഗോ സാമൂഹികമോ ആയ പ്രതിഭാസങ്ങളുമായി ബന്ധമില്ല. ഓരോ നാച്ചുറൽ സയൻസ് അച്ചടക്കവും: ബയോളജിയും ഫിസിക്സും, കെമിസ്ട്രിയും സൈക്കോളജിയും - അതിന്റെ വിഷയത്തിന്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ, അത് പഠിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ മേഖലയുടെ പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ എന്നിവയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം ഉൾപ്പെടെ വ്യത്യസ്ത രീതികളാൽ ഒബ്ജക്റ്റ് അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിഭാസം തന്നെ പഠിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ രീതികൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഈ അച്ചടക്കത്തിന്റെ അതിരുകൾക്കുള്ളിൽ തന്നെ തുടരുന്നു, കാരണം ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം യഥാർത്ഥ വസ്തുവാണ്, ഗവേഷണ രീതിയല്ല. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഗവേഷണത്തിന്റെ മെറ്റീരിയൽ വിഷയത്തിന് നിർണായക പ്രാധാന്യമില്ല; ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഓസിലേറ്ററി മോഷൻ പഠിക്കാനും ആക്സസ് ചെയ്യാൻ കഴിയാത്ത വസ്തുവിന്റെ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കാനും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്ര രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഏത് യഥാർത്ഥ ലോക പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കാൻ കഴിയും? ഈ പ്രതിഭാസങ്ങളെ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവയുടെ ഭൗതിക സ്വഭാവമല്ല, മറിച്ച് ഔപചാരികമായ ഘടനാപരമായ ഗുണങ്ങളാൽ മാത്രമല്ല, എല്ലാറ്റിനുമുപരിയായി അവ നിലനിൽക്കുന്ന അളവിലുള്ള ബന്ധങ്ങളും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുമാണ്.

അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നത് ഭൗതിക വസ്തുക്കളല്ല, മറിച്ച് ഗവേഷണ രീതികളും പഠന വസ്തുവിന്റെ ഘടനാപരമായ സവിശേഷതകളും, അതിൽ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു (സമ്മേഷൻ, ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ മുതലായവ). എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ, ആശയങ്ങൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗത്തിന് യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസങ്ങളും പ്രക്രിയകളുമാണ് അവയുടെ പ്രാഥമിക ഉറവിടം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിതവും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തവും ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പ്രായോഗിക ചുമതലയിൽ നിന്നാണ്. എലിമെന്ററി ജ്യാമിതിക്ക് അതിന്റെ ഉറവിടം ദൂരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിലും പരന്ന രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ സ്പേഷ്യൽ ബോഡികളുടെ അളവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിലുമാണ്. ഇതെല്ലാം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഉപയോക്താക്കൾക്കിടയിൽ ഭൂമി പ്ലോട്ടുകൾ പുനർവിതരണം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, പ്രതിരോധ ഘടനകളുടെ നിർമ്മാണ സമയത്ത് കളപ്പുരകളുടെ വലുപ്പം അല്ലെങ്കിൽ ഉത്ഖനന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഫലത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പ്രതിഭാസത്തിന്റെയോ പ്രക്രിയയുടെയോ പഠനത്തിൽ മാത്രമല്ല, മറ്റ് പ്രതിഭാസങ്ങളെ പഠിക്കാനും ഉപയോഗിക്കാവുന്ന സ്വത്ത് ഉണ്ട്, അതിന്റെ ഭൗതിക സ്വഭാവം മുമ്പ് പരിഗണിച്ചതിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിനാൽ, സാമ്പത്തിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും സാങ്കേതിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും കാർഷിക പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും ശാസ്ത്രീയ ഗവേഷണത്തിലും ഗണിത നിയമങ്ങൾ ബാധകമാണ്. ഗണിത നിയമങ്ങൾ ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ്, എന്നാൽ അവ നിത്യതയ്ക്കായി അവയുടെ പ്രായോഗിക മൂല്യം നിലനിർത്തി. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം; അതിന്റെ പരമ്പരാഗത ഭാഗം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ സൃഷ്ടിപരമായ വികാസത്തിന് വിധേയമല്ല, എന്നാൽ അത് നിരവധി പുതിയ പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യും. ഈ പ്രയോഗങ്ങൾ മനുഷ്യരാശിക്ക് വലിയ പ്രാധാന്യമുള്ളതായിരിക്കാം, എന്നാൽ അവ ഇനി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് തന്നെ ഒരു സംഭാവന നൽകില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രം, ഒരു സർഗ്ഗാത്മക ശക്തി എന്ന നിലയിൽ, നിരവധി പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ട പൊതു നിയമങ്ങളുടെ വികസനമാണ് അതിന്റെ ലക്ഷ്യം. ഈ നിയമങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നയാൾ പുതിയ എന്തെങ്കിലും സൃഷ്ടിക്കുന്നു, സൃഷ്ടിക്കുന്നു. റെഡിമെയ്ഡ് നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന ആരും ഇനി ഗണിതത്തിൽ തന്നെ സൃഷ്ടിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അറിവിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളിൽ പുതിയ മൂല്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇന്ന് ബഹിരാകാശ ചിത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ, അതുപോലെ തന്നെ പാറകളുടെ ഘടനയെയും പ്രായത്തെയും കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ, ജിയോകെമിക്കൽ, ജിയോഫിസിക്കൽ അപാകതകൾ എന്നിവ കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു. ഭൂമിശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിൽ കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ ഉപയോഗം ഈ പഠനങ്ങളെ ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായി ഉപേക്ഷിക്കുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. കംപ്യൂട്ടറുകളുടെയും അവയുടെ സോഫ്‌റ്റ്‌വെയറിന്റെയും പ്രവർത്തന തത്വങ്ങൾ ഭൗമശാസ്ത്രത്തിന്റെ താൽപ്പര്യങ്ങൾക്കനുസൃതമായി അവയുടെ ഉപയോഗത്തിന്റെ സാധ്യത കണക്കിലെടുക്കാതെയാണ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്. ജിയോളജിക്കൽ ഡാറ്റയുടെ ഘടനാപരമായ സവിശേഷതകൾ ചില കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമുകളുടെ യുക്തിക്ക് അനുസൃതമാണെന്ന വസ്തുതയാണ് ഈ സാധ്യത തന്നെ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ വ്യാപകമായി. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് എഫ്. എംഗൽസ് "ആന്റി-ഡൂറിംഗ്" എന്ന കൃതിയിൽ നൽകി, മറ്റൊന്ന് "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വാസ്തുവിദ്യ" (1948) എന്ന ലേഖനത്തിൽ നിക്കോളാസ് ബർബാക്കി എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു കൂട്ടം ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നൽകി.

"ശുദ്ധമായ ഗണിതത്തിന് യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളും അളവിലുള്ള ബന്ധങ്ങളുമുണ്ട്." ഈ നിർവചനം ഗണിതശാസ്ത്ര പഠന വസ്തുവിനെ വിവരിക്കുക മാത്രമല്ല, അതിന്റെ ഉത്ഭവത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - യഥാർത്ഥ ലോകം. എന്നിരുന്നാലും, എഫ്. ഏംഗൽസിന്റെ ഈ നിർവചനം 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ രണ്ടാം പകുതിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. അളവ് ബന്ധങ്ങളുമായോ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുമായോ നേരിട്ട് ബന്ധമില്ലാത്ത അതിന്റെ പുതിയ മേഖലകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. ഇത് ഒന്നാമതായി, ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയും പ്രോഗ്രാമിംഗുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങളും ആണ്. അതിനാൽ, ഈ നിർവചനത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. ഒരുപക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രം അതിന്റെ പഠന ലക്ഷ്യമായി സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങൾ, അളവ് ബന്ധങ്ങൾ, ലോജിക്കൽ നിർമ്മിതികൾ എന്നിവ ഉണ്ടെന്ന് പറയണം.

"കണിശമായി പറഞ്ഞാൽ, ഗണിത ഘടനകൾ മാത്രമാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ" എന്ന് ബൂർബാക്കികൾ അവകാശപ്പെടുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഗണിത ഘടനകളുടെ ശാസ്ത്രമായി നിർവചിക്കണം. ഈ നിർവചനം അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു ടൗട്ടോളജി ആണ്, കാരണം ഇത് ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയുന്നു: ഗണിതശാസ്ത്രം അത് പഠിക്കുന്ന വസ്തുക്കളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ നിർവചനത്തിന്റെ മറ്റൊരു പോരായ്മ നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകവുമായുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ബന്ധം വ്യക്തമാക്കുന്നില്ല എന്നതാണ്. മാത്രമല്ല, ഗണിത ഘടനകൾ യഥാർത്ഥ ലോകത്തിൽ നിന്നും അതിന്റെ പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ നിന്നും സ്വതന്ത്രമായി സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടതാണെന്ന് ബൂർബാക്കികൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് "പരീക്ഷണ ലോകവും ഗണിതശാസ്ത്ര ലോകവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് പ്രധാന പ്രശ്നം" എന്ന് പ്രഖ്യാപിക്കാൻ ബൂർബാക്കികൾ നിർബന്ധിതരായത്. പരീക്ഷണാത്മക പ്രതിഭാസങ്ങളും ഗണിത ഘടനകളും തമ്മിൽ അടുത്ത ബന്ധമുണ്ടെന്ന് ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകൾ തികച്ചും അപ്രതീക്ഷിതമായി സ്ഥിരീകരിച്ചതായി തോന്നുന്നു, എന്നാൽ ഇതിന്റെ ആഴത്തിലുള്ള കാരണങ്ങൾ നമുക്ക് പൂർണ്ണമായും അജ്ഞാതമാണ് ... ഒരുപക്ഷേ നമുക്ക് അവ ഒരിക്കലും അറിയാൻ കഴിയില്ല. .”

എഫ്. ഏംഗൽസിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത്തരമൊരു നിരാശാജനകമായ നിഗമനം ഉണ്ടാകില്ല, കാരണം ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ ചില ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്നും രൂപങ്ങളിൽ നിന്നുമുള്ള അമൂർത്തങ്ങളാണ്. ഈ ആശയങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോകത്തിൽ നിന്ന് എടുത്തതും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതുമാണ്. സാരാംശത്തിൽ, നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തിന്റെ പ്രതിഭാസങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഫലങ്ങളുടെ അതിശയകരമായ പ്രയോഗക്ഷമതയും അതേ സമയം അറിവിന്റെ ഗണിതവൽക്കരണ പ്രക്രിയയുടെ വിജയവും ഇത് കൃത്യമായി വിശദീകരിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രം അറിവിന്റെ എല്ലാ മേഖലകൾക്കും ഒരു അപവാദമല്ല - ഇത് പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്നും തുടർന്നുള്ള അമൂർത്തതകളിൽ നിന്നും ഉയർന്നുവരുന്ന ആശയങ്ങളും രൂപപ്പെടുത്തുന്നു; യാഥാർത്ഥ്യത്തെ ഏകദേശം പഠിക്കാനും ഇത് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രം യഥാർത്ഥ ലോകത്തെ കാര്യങ്ങളല്ല, മറിച്ച് അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങളെയാണ് പഠിക്കുന്നതെന്നും അതിന്റെ യുക്തിസഹമായ നിഗമനങ്ങൾ തികച്ചും കർശനവും കൃത്യവുമാണെന്നും മനസ്സിൽ പിടിക്കണം. അതിന്റെ ഏകദേശ സ്വഭാവം ആന്തരികമല്ല, മറിച്ച് പ്രതിഭാസത്തിന്റെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയുടെ സമാഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾക്ക് സമ്പൂർണ്ണ പ്രയോഗക്ഷമത ഇല്ലെന്നതും നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം; അവയ്ക്ക് പരിമിതമായ പ്രയോഗ മേഖലയുമുണ്ട്, അവിടെ അവ പരമോന്നതമാണ്. ഈ ആശയം ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വ്യക്തമാക്കാം: രണ്ടും രണ്ടും എല്ലായ്പ്പോഴും നാലിന് തുല്യമല്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. 2 ലിറ്റർ മദ്യവും 2 ലിറ്റർ വെള്ളവും കലർത്തുമ്പോൾ 4 ലിറ്ററിൽ താഴെ മിശ്രിതം മാത്രമേ ലഭിക്കൂ എന്നാണ് അറിയുന്നത്. ഈ മിശ്രിതത്തിൽ, തന്മാത്രകൾ കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ മിശ്രിതത്തിന്റെ അളവ് ഘടക ഘടകങ്ങളുടെ വോള്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയേക്കാൾ കുറവാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രം ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ലംഘിച്ചു. ഗണിതത്തിന്റെ മറ്റ് സത്യങ്ങൾ ലംഘിക്കപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് നൽകാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ചില വസ്തുക്കൾ ചേർക്കുമ്പോൾ തുക സംഗ്രഹത്തിന്റെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

പല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളെ ശുദ്ധമായ യുക്തിയുടെ സൃഷ്ടിയായല്ല, മറിച്ച് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിലവിലുള്ള കാര്യങ്ങൾ, പ്രതിഭാസങ്ങൾ, പ്രക്രിയകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം നിലവിലുള്ള അമൂർത്തങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള (ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ അമൂർത്തങ്ങൾ) അമൂർത്തങ്ങളായാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. "ഡയലക്‌റ്റിക്‌സ് ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന കൃതിയിൽ എഫ്. ഏംഗൽസ് എഴുതി: "... ശുദ്ധമായ ഗണിതശാസ്ത്രം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതെല്ലാം അമൂർത്തതകളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു... അതിന്റെ എല്ലാ അളവുകളും, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, സാങ്കൽപ്പിക അളവുകളാണ്..." ഈ വാക്കുകൾ ഒരാളുടെ അഭിപ്രായത്തെ വളരെ വ്യക്തമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അമൂർത്തീകരണങ്ങളുടെ പങ്കിനെക്കുറിച്ച് മാർക്സിസ്റ്റ് തത്ത്വചിന്തയുടെ സ്ഥാപകർ. ഈ "സാങ്കൽപ്പിക അളവുകൾ" എല്ലാം യഥാർത്ഥ യാഥാർത്ഥ്യത്തിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണെന്നും ചിന്തയുടെ സ്വതന്ത്ര പറക്കലിലൂടെ ഏകപക്ഷീയമായി നിർമ്മിച്ചതല്ലെന്നും നാം കൂട്ടിച്ചേർക്കണം. സംഖ്യ എന്ന ആശയം പൊതു ഉപയോഗത്തിൽ വന്നത് അങ്ങനെയാണ്. ആദ്യം ഇവ യൂണിറ്റുകൾക്കുള്ളിലെ സംഖ്യകളായിരുന്നു, കൂടാതെ, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രമായിരുന്നു. പിന്നീട് അനുഭവങ്ങൾ എന്റെ സംഖ്യകളുടെ ആയുധശേഖരം പതിനായിരങ്ങളിലേക്കും നൂറിലേക്കും വികസിപ്പിക്കാൻ എന്നെ നിർബന്ധിച്ചു. ചരിത്രപരമായി നമുക്ക് സമീപമുള്ള ഒരു കാലഘട്ടത്തിലാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പരിധിയില്ലാത്ത ആശയം ജനിച്ചത്: ആർക്കിമിഡീസ് തന്റെ "Psammit" ("മണൽ ധാന്യങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ") എന്ന പുസ്തകത്തിൽ, ഇതിലും വലിയ സംഖ്യകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് കാണിച്ചുതന്നു. കൊടുത്തവ. അതേ സമയം, പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ജനിച്ചു. ഏറ്റവും ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മനുഷ്യരാശിയെ പുതിയ സംഖ്യകളിലേക്ക് നയിച്ചു - യുക്തിരഹിതമായവ. എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ക്രമേണ രൂപപ്പെട്ടത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റേതൊരു ആശയത്തിനും ഇതേ പാത പിന്തുടരാം. അവയെല്ലാം പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉടലെടുത്തു, ക്രമേണ അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങളായി രൂപപ്പെട്ടു. എഫ്. ഏംഗൽസിന്റെ വാക്കുകൾ ഒരാൾക്ക് വീണ്ടും ഓർമ്മിക്കാം: "... ശുദ്ധമായ ഗണിതത്തിന് ഓരോ വ്യക്തിയുടെയും പ്രത്യേക അനുഭവത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായ ഒരു അർത്ഥമുണ്ട്... എന്നാൽ ശുദ്ധ ഗണിതത്തിൽ മനസ്സ് അതിന്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുമായി മാത്രം ഇടപെടുന്നു എന്നത് പൂർണ്ണമായും തെറ്റാണ്. സർഗ്ഗാത്മകതയും ഭാവനയും. സംഖ്യയുടെയും കണക്കിന്റെയും ആശയങ്ങൾ എവിടെ നിന്നും എടുത്തതല്ല, യഥാർത്ഥ ലോകത്ത് നിന്ന് മാത്രമാണ്. ആളുകൾ എണ്ണാൻ പഠിച്ച പത്ത് വിരലുകൾ, അതായത്, ആദ്യത്തെ ഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്താൻ, മനസ്സിന്റെ സ്വതന്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകതയുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. കണക്കാക്കാൻ, ഒരാൾക്ക് എണ്ണാൻ കഴിയുന്ന വസ്തുക്കൾ മാത്രമല്ല ഉണ്ടായിരിക്കണം, മാത്രമല്ല ഈ വസ്തുക്കളെ സംഖ്യ ഒഴികെയുള്ള മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നും പരിഗണിക്കുമ്പോൾ അമൂർത്തമാക്കാനുള്ള കഴിവും ഉണ്ടായിരിക്കണം, കൂടാതെ ഈ കഴിവ് അനുഭവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു നീണ്ട ചരിത്ര വികാസത്തിന്റെ ഫലമാണ്. സംഖ്യ എന്ന സങ്കൽപ്പവും രൂപമെന്ന ആശയവും ബാഹ്യലോകത്തിൽ നിന്ന് മാത്രം കടമെടുത്തതാണ്, മാത്രമല്ല ശുദ്ധമായ ചിന്തയിൽ നിന്ന് തലയിൽ ഉദിച്ചതല്ല. ഒരു നിശ്ചിത ആകൃതിയുള്ള കാര്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഒരു രൂപം എന്ന ആശയം എത്തുന്നതിന് മുമ്പ് ഈ രൂപങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുൻകാല പുരോഗതിയും പ്രയോഗത്തിന്റെ നിലവിലെ പുരോഗതിയുമായി ബന്ധമില്ലാതെ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ ശാസ്ത്രത്തിൽ ഉണ്ടോ എന്ന് നോക്കാം. ശാസ്ത്രീയ ഗണിതശാസ്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകതയ്ക്ക് മുമ്പായി സ്കൂൾ, യൂണിവേഴ്സിറ്റി, പുസ്തകങ്ങൾ വായിക്കൽ, ലേഖനങ്ങൾ, സ്വന്തം മേഖലയിലും മറ്റ് വൈജ്ഞാനിക മേഖലകളിലും വിദഗ്ധരുമായുള്ള സംഭാഷണങ്ങൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്നതിലൂടെയാണെന്ന് നമുക്ക് നന്നായി അറിയാം. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ സമൂഹത്തിൽ ജീവിക്കുന്നു, പുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്നും റേഡിയോയിൽ നിന്നും മറ്റ് സ്രോതസ്സുകളിൽ നിന്നും ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, പൊതുജീവിതം എന്നിവയിൽ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കുന്നു. കൂടാതെ, ശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ മുഴുവൻ മുൻ പരിണാമവും ഗവേഷകന്റെ ചിന്തയെ സ്വാധീനിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുരോഗതിക്ക് ആവശ്യമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് തയ്യാറാണെന്ന് മാറുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞന് സ്വമേധയാ പ്രശ്നങ്ങൾ മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല, മറിച്ച് ശാസ്ത്രത്തിനും മറ്റ് ഗവേഷകർക്കും മനുഷ്യരാശിക്കും വിലപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങൾ വിവിധ സാമൂഹിക രൂപീകരണങ്ങളുടെയും ചരിത്ര കാലഘട്ടങ്ങളുടെയും അവസ്ഥയിൽ അവയുടെ പ്രാധാന്യം നിലനിർത്തുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു തരത്തിലും പരസ്പരം ബന്ധമില്ലാത്ത ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് പലപ്പോഴും ഒരേ ആശയങ്ങളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്ര സർഗ്ഗാത്മകത എന്ന ആശയം മുറുകെ പിടിക്കുന്നവർക്കെതിരായ ഒരു അധിക വാദമാണിത്.

അതിനാൽ, "ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന ആശയത്തിൽ എന്താണ് ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശദീകരിച്ചു. എന്നാൽ അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്നൊരു സംഗതി കൂടിയുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പുറത്തുള്ള പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികളുടെയും വിഭാഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ് ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത്. പുരാതന കാലത്ത്, ജ്യാമിതിയും ഗണിതവും എല്ലാ ഗണിതത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വ്യാപാര വിനിമയങ്ങളിലും, ഏരിയകളിലും വോള്യങ്ങളിലും അളക്കുന്നതിലും, നാവിഗേഷന്റെ കാര്യങ്ങളിലും, എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രവും സൈദ്ധാന്തികമായി മാത്രമല്ല, പ്രയോഗിച്ചും നിരവധി പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. പിന്നീട്, പുരാതന ഗ്രീസിൽ, ഗണിതവും പ്രായോഗിക ഗണിതവുമായി ഒരു വിഭജനം ഉടലെടുത്തു. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും പ്രയോഗങ്ങളിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നു, മാത്രമല്ല കേവലം സൈദ്ധാന്തിക ഗവേഷണം മാത്രമല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൂടുതൽ വികസനം പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുരോഗതി, സാങ്കേതികവിദ്യ, പുതിയ സാമൂഹിക ആവശ്യങ്ങളുടെ ആവിർഭാവം എന്നിവയുമായി തുടർച്ചയായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തോടെ. ചലനത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ആവശ്യം ഉയർന്നു (പ്രാഥമികമായി നാവിഗേഷൻ, പീരങ്കികൾ എന്നിവയുടെ പ്രശ്നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്). G. W. Leibniz ഉം I. Newton ഉം അവരുടെ കൃതികളിൽ ഇത് ചെയ്തു. അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഒരു പുതിയ, വളരെ ശക്തമായ ഒരു ഗവേഷണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പുനർനിർമ്മിച്ചു - ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം. ഏതാണ്ട് ഒരേസമയം, ജനസംഖ്യാശാസ്ത്രത്തിന്റെയും ഇൻഷുറൻസിന്റെയും ആവശ്യകതകൾ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ തുടക്കത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് നയിച്ചു (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി കാണുക). XVIII, XIX നൂറ്റാണ്ടുകൾ. പ്രായോഗിക ഗണിതത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം വിപുലീകരിച്ചു, അതിൽ സാധാരണവും ഭാഗികവുമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം, ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ, ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതി എന്നിവ ചേർത്തു. XX നൂറ്റാണ്ട് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിനായി പുതിയ രീതികൾ കൊണ്ടുവന്നു: ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ സിദ്ധാന്തം, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം, പ്രവർത്തന വിശകലനം, ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം, ലീനിയർ, നോൺലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. കൂടാതെ, സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിനും അമൂർത്ത ബീജഗണിതത്തിനും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് അപ്രതീക്ഷിതമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് തെളിഞ്ഞു. തൽഫലമായി, പ്രായോഗിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗമായി നിലവിലില്ലെന്നും എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രവും പ്രായോഗികമായി കണക്കാക്കാമെന്നും വിശ്വാസം ഉയർന്നുവരാൻ തുടങ്ങി. ഒരുപക്ഷേ നമ്മൾ സംസാരിക്കേണ്ടത് ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രായോഗികവും സൈദ്ധാന്തികവുമാണെന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ പ്രായോഗികവും സൈദ്ധാന്തികരും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ചാണ്. ചിലരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഗണിതശാസ്ത്രം നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തെയും അതിൽ സംഭവിക്കുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളെയും മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്; ഈ ആവശ്യത്തിനായി ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അറിവ് വികസിപ്പിക്കുകയും വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. മറ്റുള്ളവരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഗണിതശാസ്ത്രം തന്നെ പഠനത്തിനും വികസനത്തിനും യോഗ്യമായ ഒരു ലോകത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുരോഗതിക്ക് രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞർ ആവശ്യമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം, സ്വന്തം രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും പ്രതിഭാസത്തെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അതായത്, കണക്കിലെടുക്കേണ്ട പ്രതിഭാസത്തിന്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു. പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാസത്തിന്റെ സവിശേഷതകളും അതിന്റെ പരിണാമവും വേണ്ടത്ര അറിയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മോഡൽ ഗവേഷകനെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണമായി, നമുക്ക് ഒരു ഗ്രഹവ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു മാതൃക എടുക്കാം: സൂര്യനെയും ഗ്രഹങ്ങളെയും അനുബന്ധ പിണ്ഡങ്ങളുള്ള മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളായി കണക്കാക്കുന്നു. ഓരോ രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെയും ഇടപെടൽ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവ തമ്മിലുള്ള ആകർഷണ ശക്തിയാണ്

ഇവിടെ m 1 ഉം m 2 ഉം പ്രതിപ്രവർത്തന ബിന്ദുക്കളുടെ പിണ്ഡമാണ്, r എന്നത് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരമാണ്, f എന്നത് ഗുരുത്വാകർഷണ സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഈ മാതൃകയുടെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, കഴിഞ്ഞ മുന്നൂറ് വർഷമായി സൗരയൂഥത്തിലെ ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ വളരെ കൃത്യതയോടെ അത് അറിയിക്കുന്നു.

തീർച്ചയായും, ഓരോ മോഡലും യാഥാർത്ഥ്യത്തെ പരുഷമാക്കുന്നു, ഗവേഷകന്റെ ചുമതല, ഒന്നാമതായി, ഒരു വശത്ത്, കാര്യത്തിന്റെ വസ്തുതാപരമായ വശം (അവർ പറയുന്നതുപോലെ, അതിന്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ) പൂർണ്ണമായും അറിയിക്കുന്ന ഒരു മാതൃക നിർദ്ദേശിക്കുക എന്നതാണ്. മറുവശത്ത്, യാഥാർത്ഥ്യത്തിന് കാര്യമായ ഏകദേശം നൽകുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരേ പ്രതിഭാസത്തിനായി നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ നിർദ്ദേശിക്കാവുന്നതാണ്. മോഡലും യാഥാർത്ഥ്യവും തമ്മിലുള്ള കാര്യമായ പൊരുത്തക്കേട് അവരെ ബാധിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതുവരെ അവയ്‌ക്കെല്ലാം നിലനിൽക്കാനുള്ള അവകാശമുണ്ട്.

ഗണിതശാസ്ത്രം യഥാർത്ഥ ലോകത്തിന്റെ അളവ് ബന്ധങ്ങളുടെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുടെയും ശാസ്ത്രമാണ്. ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും സാങ്കേതികവിദ്യയുടെയും ആവശ്യങ്ങളുമായി അഭേദ്യമായ ബന്ധത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് ബന്ധങ്ങളുടെയും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളുടെയും ശേഖരം തുടർച്ചയായി വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഏറ്റവും പൊതുവായ അർത്ഥത്തിൽ മനസ്സിലാക്കണം.

ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നതിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം പൊതുവായ കാഴ്ചപ്പാട്, ചിന്താ സംസ്കാരം, ശാസ്ത്രീയ ലോകവീക്ഷണത്തിന്റെ രൂപീകരണം എന്നിവ വർദ്ധിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്.

ഒരു പ്രത്യേക ശാസ്ത്രമെന്ന നിലയിൽ ഗണിതത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര സ്ഥാനം മനസ്സിലാക്കുന്നത് മതിയായ വലിയ വസ്തുതാപരമായ വസ്തുക്കളുടെ ശേഖരണത്തിന് ശേഷം സാധ്യമാകുകയും ബിസി 6-5 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ പുരാതന ഗ്രീസിൽ ആദ്യമായി ഉയർന്നു വരികയും ചെയ്തു. പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്ര കാലഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കമായിരുന്നു ഇത്.

ഈ കാലയളവിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണം സാമ്പത്തിക ജീവിതത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആവശ്യങ്ങളുമായി ഉയർന്നുവന്ന അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ പരിമിതമായ വിതരണവുമായി മാത്രമേ ഇടപെടുന്നുള്ളൂ. അതേ സമയം, ഒരു ശാസ്ത്രമെന്ന നിലയിൽ ഗണിതത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ ഗുണപരമായ പുരോഗതിയുണ്ട്.

ആധുനിക ഗണിതത്തെ പലപ്പോഴും ഒരു വലിയ നഗരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ഇതൊരു മികച്ച താരതമ്യമാണ്, കാരണം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു വലിയ നഗരത്തിലെന്നപോലെ, വളർച്ചയുടെയും മെച്ചപ്പെടുത്തലിന്റെയും തുടർച്ചയായ പ്രക്രിയയുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പുതിയ മേഖലകൾ ഉയർന്നുവരുന്നു, പുതിയ അയൽപക്കങ്ങളുടെയും കെട്ടിടങ്ങളുടെയും നിർമ്മാണം പോലെ ഗംഭീരവും ഗഹനവുമായ പുതിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുരോഗതി പുതിയൊരു നിർമ്മാണം മൂലം നഗരത്തിന്റെ മുഖച്ഛായ മാറ്റുന്നതിൽ ഒതുങ്ങുന്നില്ല. നമുക്കും പഴയത് മാറ്റണം. പഴയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പുതിയതും കൂടുതൽ പൊതുവായതുമായവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്; പഴയ കെട്ടിടങ്ങളുടെ അടിത്തറ ശക്തിപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര നഗരത്തിന്റെ വിദൂര പ്രദേശങ്ങൾക്കിടയിൽ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നതിന് പുതിയ തെരുവുകൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഇത് പര്യാപ്തമല്ല - വാസ്തുവിദ്യാ രൂപകൽപ്പനയ്ക്ക് കാര്യമായ പരിശ്രമം ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളുടെ വൈവിധ്യം ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള മതിപ്പ് നശിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, ശാസ്ത്രത്തെ മൊത്തത്തിൽ മനസ്സിലാക്കുന്നതിലും അതിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നതിലും ഇടപെടുന്നു.

മറ്റൊരു താരതമ്യം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്: ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഒരു വലിയ ശാഖകളുള്ള വൃക്ഷത്തോട് ഉപമിക്കുന്നു, അത് വ്യവസ്ഥാപിതമായി പുതിയ ചിനപ്പുപൊട്ടൽ ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. മരത്തിന്റെ ഓരോ ശാഖയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു മേഖലയാണ്. ശാഖകളുടെ എണ്ണം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, കാരണം പുതിയ ശാഖകൾ വളരുന്നു, ആദ്യം വളർന്നവ ഒരുമിച്ചു വളരുന്നു, കൂടാതെ ചില ശാഖകൾ പോഷക ജ്യൂസുകൾ ഇല്ലാതെ വരണ്ടുപോകുന്നു. രണ്ട് താരതമ്യങ്ങളും വിജയിക്കുകയും കാര്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥ വളരെ നന്നായി അറിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിൽ സൗന്ദര്യത്തിന്റെ ആവശ്യകത ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. സൗന്ദര്യത്തിന്റെ വികാരം വളരെ ആത്മനിഷ്ഠമാണെന്നും ഈ വിഷയത്തിൽ തികച്ചും വൃത്തികെട്ട ആശയങ്ങൾ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ടെന്നും പറയാതെ വയ്യ. എന്നിട്ടും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "സൗന്ദര്യം" എന്ന സങ്കൽപ്പത്തിൽ വെച്ചിരിക്കുന്ന ഏകാഭിപ്രായത്തിൽ ആശ്ചര്യപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്: ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വിശാലമായ വസ്തുക്കൾക്ക് ബാധകമായ ഒരു പൊതു നിഗമനം നേടാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഫലം മനോഹരമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ലളിതവും ഹ്രസ്വവുമായ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സുപ്രധാന ഗണിത വസ്തുത തെളിയിക്കാൻ കഴിയുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഡെറിവേഷൻ മനോഹരമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പക്വതയും അവന്റെ കഴിവും അവന്റെ സൗന്ദര്യബോധം എത്ര നന്നായി വികസിച്ചു എന്നതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. സൗന്ദര്യപരമായി പൂർണ്ണവും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പൂർണ്ണവുമായ ഫലങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാനും ഓർമ്മിക്കാനും ഉപയോഗിക്കാനും എളുപ്പമാണ്; അറിവിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളുമായുള്ള അവരുടെ ബന്ധം തിരിച്ചറിയുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

നമ്മുടെ കാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രം ഗവേഷണത്തിന്റെ പല മേഖലകളും ധാരാളം ഫലങ്ങളും രീതികളും ഉള്ള ഒരു ശാസ്ത്രശാഖയായി മാറിയിരിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം ഇപ്പോൾ വളരെ വലുതാണ്, അത് ഒരു വ്യക്തിക്ക് അതിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളിലും ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയില്ല, അതിൽ ഒരു സാർവത്രിക സ്പെഷ്യലിസ്റ്റാകാനുള്ള സാധ്യതയില്ല. അതിന്റെ വ്യക്തിഗത ദിശകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നഷ്ടപ്പെടുന്നത് തീർച്ചയായും ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ദ്രുതഗതിയിലുള്ള വികാസത്തിന്റെ ഒരു നെഗറ്റീവ് അനന്തരഫലമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ ശാഖകളുടെയും വികാസത്തിന് പൊതുവായ ചിലത് ഉണ്ട് - വികസനത്തിന്റെ ഉത്ഭവം, ഗണിതശാസ്ത്ര വൃക്ഷത്തിന്റെ വേരുകൾ.

ആദ്യത്തെ പ്രകൃതി ശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തമായി യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി

• ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, "തത്ത്വങ്ങൾ" എന്നതിന്റെ റഷ്യൻ വിവർത്തനത്തിൽ, അതേ പേരിൽ യൂക്ലിഡിന്റെ ഒരു പുസ്തകം അലക്സാണ്ട്രിയയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. "എലിമെന്ററി ജ്യാമിതി" എന്ന പദം ലാറ്റിൻ നാമമായ "ആരംഭങ്ങൾ" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്. യൂക്ലിഡിന്റെ മുൻഗാമികളുടെ കൃതികൾ നമ്മിൽ എത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിലും, യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഈ കൃതികളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് കുറച്ച് അഭിപ്രായം രൂപപ്പെടുത്താം. "തത്ത്വങ്ങളിൽ" മറ്റ് വിഭാഗങ്ങളുമായി യുക്തിപരമായി വളരെ കുറച്ച് ബന്ധമുള്ള വിഭാഗങ്ങളുണ്ട്. പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച് അവ അവതരിപ്പിക്കുകയും യൂക്ലിഡിന്റെ മുൻഗാമികളുടെ "ഘടകങ്ങൾ" പകർത്തുകയും ചെയ്തു എന്ന വസ്തുതയിലൂടെ മാത്രമേ അവരുടെ രൂപം വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

  യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങൾ 13 പുസ്തകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. 1 മുതൽ 6 വരെയുള്ള പുസ്തകങ്ങൾ പ്ലാനിമെട്രിക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു, 7 - 10 പുസ്തകങ്ങൾ കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഗണിതവും അളക്കാനാവാത്തതുമായ അളവുകളെക്കുറിച്ചാണ്. 11 മുതൽ 13 വരെയുള്ള പുസ്തകങ്ങൾ സ്റ്റീരിയോമെട്രിക്കായി നീക്കിവച്ചിരുന്നു.

  23 നിർവചനങ്ങളുടെയും 10 സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അവതരണത്തോടെയാണ് പ്രിൻസിപ്പിയ ആരംഭിക്കുന്നത്. ആദ്യത്തെ അഞ്ച് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ “പൊതു ആശയങ്ങൾ” ആണ്, ബാക്കിയുള്ളവയെ “പോസ്‌റ്റുലേറ്റുകൾ” എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ രണ്ട് പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ അനുയോജ്യമായ ഒരു ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് - ഒരു അനുയോജ്യമായ കോമ്പസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. നാലാമത്തേത്, "എല്ലാ വലത് കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്" എന്നത് അനാവശ്യമാണ്, കാരണം ഇത് ശേഷിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. അവസാനത്തെ, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: “ഒരു നേർരേഖ രണ്ട് നേർരേഖകളിൽ പതിക്കുകയും രണ്ട് നേർരേഖകളിൽ താഴെയുള്ള ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയ കോണുകൾ രൂപപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ പരിധിയില്ലാത്ത വിപുലീകരണത്തോടെ അവ വിഭജിക്കും. കോണുകൾ രണ്ട് നേർരേഖകളേക്കാൾ കുറവുള്ള വശം."

  നീളം, കോണുകൾ, വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ, വോള്യങ്ങൾ എന്നിവ അളക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങളാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ച് “പൊതുവായ ആശയങ്ങൾ”: “ഒരേ തുല്യമായവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്,” “തുല്യങ്ങൾ തുല്യമായി ചേർത്താൽ, തുകകൾ തുല്യമാണ്,” “തുല്യമാണെങ്കിൽ തുല്യരിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ, ബാക്കിയുള്ളവ തുല്യമാണ്.” അവർക്കിടയിൽ”, “പരസ്പരം കൂടിച്ചേർന്നവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്”, “മുഴുവൻ ഭാഗത്തേക്കാൾ വലുതാണ്”.

  അടുത്തതായി യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള വിമർശനം ആരംഭിച്ചു. മൂന്ന് കാരണങ്ങളാൽ യൂക്ലിഡ് വിമർശിക്കപ്പെട്ടു: കാരണം ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ജ്യാമിതീയ അളവുകൾ മാത്രമാണ് അദ്ദേഹം പരിഗണിച്ചത്; ജ്യാമിതിയും ഗണിതവും വേർതിരിക്കുകയും ജ്യാമിതീയ അളവുകൾക്കായി താൻ ഇതിനകം തെളിയിച്ചത് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു, ഒടുവിൽ, യൂക്ലിഡിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കായി. യൂക്ലിഡിന്റെ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ പോസ്റ്റുലേറ്റായ അഞ്ചാമത്തേതാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ വിമർശിക്കപ്പെട്ട പോസ്റ്റുലേറ്റ്. പലരും ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കി, അത് മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് ഊഹിക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ. അതിനു തുല്യമായ ലളിതവും കൂടുതൽ വ്യക്തവുമായ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണമെന്ന് മറ്റുള്ളവർ വിശ്വസിച്ചു: "ഒരു രേഖയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയെ വിഭജിക്കാത്ത അവരുടെ തലത്തിൽ ഒന്നിലധികം നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല."

  ജ്യാമിതിയും ഗണിതവും തമ്മിലുള്ള വിടവിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിമർശനം സംഖ്യ എന്ന ആശയം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു. അഞ്ചാം പോസ്റ്റുലേറ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള തർക്കങ്ങൾ, 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, N.I. ലോബചെവ്സ്കി, J. Bolyai, K.F. ഗോസ് എന്നിവർ ഒരു പുതിയ ജ്യാമിതി നിർമ്മിച്ചു, അതിൽ അഞ്ചാം പോസ്റ്റുലേറ്റ് ഒഴികെ, യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയുടെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും പൂർത്തീകരിച്ചു. ഇതിന് വിപരീതമായ പ്രസ്താവന നൽകി: "ഒരു വിമാനത്തിൽ, ഒരു രേഖയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്നവയെ ഖണ്ഡിക്കാത്ത ഒന്നിലധികം വരകൾ വരയ്ക്കാം." ഈ ജ്യാമിതി യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി പോലെ സ്ഥിരതയുള്ളതായിരുന്നു.

  1882-ൽ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൻറി പോയിൻകാറെയാണ് യൂക്ലിഡിയൻ വിമാനത്തിൽ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ പ്ലാനിമെട്രിയുടെ മാതൃക നിർമ്മിച്ചത്.

  യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ വരയ്ക്കാം. ഈ വരിയെ കേവല (x) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്ക് മുകളിൽ കിടക്കുന്ന യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിന്റെ പോയിന്റുകളാണ്. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനം കേവലത്തിന് മുകളിൽ കിടക്കുന്ന തുറന്ന അർദ്ധവിമാനമാണ്. Poincaré മോഡലിലെ നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ സെഗ്‌മെന്റുകൾ കേവലമായ അല്ലെങ്കിൽ കേവല (AB, CD) ന് ലംബമായ നേർരേഖകളുടെ ഭാഗങ്ങളിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സർക്കിളുകളുടെ കമാനങ്ങളാണ്. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ ഒരു രൂപം കേവല (എഫ്) ന് മുകളിൽ കിടക്കുന്ന തുറന്ന അർദ്ധതലത്തിന്റെ രൂപമാണ്. നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ചലനം എന്നത് കേവലവും അക്ഷീയവുമായ സമമിതികളിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന പരിമിതമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടനയാണ്. രണ്ട് നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ സെഗ്‌മെന്റുകൾ തുല്യമാണ്, അവയിലൊന്ന് യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ചലനത്തിലൂടെ മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും. ലോബചെവ്സ്കി പ്ലാനിമെട്രിയുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക്സിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഇവയാണ്.

  ലോബചെവ്സ്കി പ്ലാനിമെട്രിയുടെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്. "ഒരു നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ നേർരേഖ എന്നത് കേവലമായ അറ്റത്തോടുകൂടിയ ഒരു അർദ്ധവൃത്തമാണ് അല്ലെങ്കിൽ കേവലമായ ഒരു തുടക്കവും കേവലത്തിന് ലംബവുമായ ഒരു കിരണമാണ്." അതിനാൽ, ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന ഈ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ചില വരി a, പോയിന്റ് A എന്നിവയ്ക്ക് മാത്രമല്ല, ഏത് വരി aയ്ക്കും A- യിൽ കിടക്കാത്ത ഏത് പോയിന്റിനും ബാധകമാണ്.

  ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിക്ക് ശേഷം, മറ്റ് സ്ഥിരമായ ജ്യാമിതികൾ ഉയർന്നുവന്നു: യൂക്ലിഡിയനിൽ നിന്ന് വേർപെടുത്തിയ പ്രൊജക്റ്റീവ് ജ്യാമിതി, മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി ഉദയം ചെയ്തു, റീമാനിയൻ ജ്യാമിതി ഉയർന്നു (മൂന്ന് കണക്കുകളിൽ നിന്ന് ഒരു സയൻസ് ദൈർഘ്യം അളക്കുന്നതിനുള്ള ഏകപക്ഷീയ നിയമമുള്ള സ്ഥലങ്ങളുടെ പൊതു സിദ്ധാന്തം), മുതലായവ. യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസ്, 40 - 50 വർഷത്തേക്കുള്ള ജ്യാമിതി വിവിധ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി മാറിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ പൂർവ്വികൻ - യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിക്ക് സമാനമാണ്.

  ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിലെ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഘടന

• അക്കാദമിഷ്യൻ A.N. കോൾമോഗോറോവ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിൽ നാല് കാലഘട്ടങ്ങളെ തിരിച്ചറിയുന്നു. - മാത്തമാറ്റിക്സ്, മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിക് ഡിക്ഷണറി, മോസ്കോ, സോവിയറ്റ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ, 1988: ഗണിതത്തിന്റെ ഉത്ഭവം, പ്രാഥമിക ഗണിതം, വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതം, ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രം.

  പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസ സമയത്ത്, സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം ക്രമേണ ഗണിതത്തിൽ നിന്ന് വളർന്നു. ബീജഗണിതം ലിറ്ററൽ കാൽക്കുലസ് ആയി സൃഷ്ടിച്ചിരിക്കുന്നു. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ സൃഷ്ടിച്ച പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയുടെ അവതരണ സമ്പ്രദായം - യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി - വരാനിരിക്കുന്ന രണ്ട് സഹസ്രാബ്ദങ്ങളിൽ ഗണിത സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ കിഴിവ് നിർമ്മാണത്തിന്റെ മാതൃകയായി.

  പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും സാങ്കേതികവിദ്യയുടെയും ആവശ്യങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ചലനം, അളവ് മാറുന്ന പ്രക്രിയകൾ, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം എന്നിവ പഠിക്കാൻ സാധ്യമാക്കിയ രീതികൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ചും ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലൂടെയും വേരിയബിൾ ക്വാണ്ടിറ്റികളുടെ ഗണിതത്തിന്റെ കാലഘട്ടം ആരംഭിക്കുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലെ മഹത്തായ കണ്ടെത്തലുകൾ ന്യൂട്ടണും ലെയ്ബ്നിസും അവതരിപ്പിച്ച അനന്തമായ അളവിന്റെ ആശയമാണ്, അനന്തമായ അളവുകളുടെ (ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം) വിശകലനത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ സൃഷ്ടിയാണ്.

  പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ആശയം മുന്നിലേക്ക് വരുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ പഠനത്തിന്റെ പ്രധാന വിഷയമായി മാറുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: പരിധി, ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇന്റഗ്രൽ.

  കോർഡിനേറ്റ് രീതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ആർ. ഡെസ്കാർട്ടിന്റെ ഉജ്ജ്വലമായ ആശയത്തിന്റെ രൂപവും ഇക്കാലത്താണ്. ബീജഗണിതത്തിന്റെയും വിശകലനത്തിന്റെയും രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ പഠിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതി സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു. മറുവശത്ത്, കോർഡിനേറ്റ് രീതി ബീജഗണിതവും വിശകലനാത്മകവുമായ വസ്തുതകളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിനുള്ള സാധ്യത തുറന്നു.

  ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൂടുതൽ വികസനം 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സാധ്യമായ അളവിലുള്ള ബന്ധങ്ങളും സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളും പൊതുവായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് നയിച്ചു.

  ഗണിതവും പ്രകൃതിശാസ്ത്രവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്. പുതിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു, അവ പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും സാങ്കേതികവിദ്യയുടെയും ആവശ്യങ്ങളുടെ ഫലമായി മാത്രമല്ല, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങളുടെ ഫലമായും ഉയർന്നുവരുന്നു. അത്തരമൊരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണം N.I. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതിയാണ്. 19-ഉം 20-ഉം നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസം അതിനെ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാലഘട്ടത്തിലേക്ക് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ തന്നെ വികസനം, ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളുടെ ഗണിതവൽക്കരണം, പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പല മേഖലകളിലേക്കും ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികളുടെ നുഴഞ്ഞുകയറ്റം, കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ പുരോഗതി എന്നിവ പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളുടെ ഉദയത്തിലേക്ക് നയിച്ചു, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തന ഗവേഷണം, ഗെയിം സിദ്ധാന്തം. , ഗണിതശാസ്ത്ര സാമ്പത്തികശാസ്ത്രവും മറ്റുള്ളവയും.

  ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിലെ പ്രധാന രീതികൾ ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവുകളാണ് - കർശനമായ ലോജിക്കൽ ന്യായവാദം. ഗണിത ചിന്തകൾ യുക്തിസഹമായ ന്യായവാദത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുന്നില്ല. ഒരു പ്രശ്നം ശരിയായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനും അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് വിലയിരുത്തുന്നതിനും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അവബോധം ആവശ്യമാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, വസ്തുക്കളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകകൾ പഠിക്കുന്നു. ഒരേ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന് പരസ്പരം അകലെയുള്ള യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഒരേ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ജനസംഖ്യാ വളർച്ചയുടെയും റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർത്ഥത്തിന്റെ ക്ഷയത്തിന്റെയും പ്രക്രിയകൾ വിവരിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം പ്രധാനം പരിഗണനയിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെ സ്വഭാവമല്ല, അവയ്ക്കിടയിൽ നിലനിൽക്കുന്ന ബന്ധങ്ങളാണ്.

  ഗണിതത്തിൽ രണ്ട് തരം അനുമാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: കിഴിവ്, ഇൻഡക്ഷൻ.

  ഇൻഡക്ഷൻ എന്നത് ഒരു ഗവേഷണ രീതിയാണ്, അതിൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിസരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു പൊതു നിഗമനം നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.

  പൊതു പരിസരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രത്യേക നിഗമനം പിന്തുടരുന്ന ഒരു ന്യായവാദ രീതിയാണ് കിഴിവ്.

  ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഹ്യുമാനിറ്റീസ് പഠനങ്ങളിൽ ഗണിതത്തിന് ഒരു പ്രധാന പങ്കുണ്ട്. മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങൾ നൽകുന്ന പൊതുവായതും അവ്യക്തവുമായ മാതൃകകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ചുറ്റുമുള്ള യാഥാർത്ഥ്യത്തെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്നതിന് വളരെ വ്യക്തമായ മാതൃകകൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു എന്നതാണ് വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളിലേക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം കടന്നുകയറാനുള്ള കാരണം. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രം അതിന്റെ വികസിത ലോജിക്കൽ, കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഉപകരണങ്ങൾ ഇല്ലാതെ, മനുഷ്യന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ പുരോഗതി അസാധ്യമാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഉപകരണവും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ സാർവത്രിക ഭാഷയും മാത്രമല്ല, പൊതു സംസ്കാരത്തിന്റെ ഒരു ഘടകം കൂടിയാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ

• ഈ വിഷയത്തിൽ, പ്രത്യേക താൽപ്പര്യമുള്ളത് A.Ya. Kinchin നൽകിയ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ സ്വഭാവമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട ചരിത്രപരമായ രൂപം - ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ ശൈലി. ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ ശൈലിയുടെ സാരാംശം വെളിപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട്, മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ ചിന്താ ശൈലികളിൽ നിന്ന് ഈ ശൈലിയെ ഗണ്യമായി വേർതിരിക്കുന്ന എല്ലാ കാലഘട്ടങ്ങൾക്കും പൊതുവായുള്ള നാല് സവിശേഷതകൾ അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിയുന്നു.

  ഒന്നാമതായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ സവിശേഷത യുക്തിസഹമായ യുക്തിയുടെ ആധിപത്യമാണ്, അത് പരിധിയിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. താത്കാലികമായെങ്കിലും ഈ സ്കീം കാണാതെ പോയ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് ശാസ്ത്രീയമായി ചിന്തിക്കാനുള്ള അവസരം പൊതുവെ നഷ്ടമാകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ ശൈലിയുടെ ഈ സവിശേഷ സവിശേഷതയ്ക്ക് അതിൽ വളരെയധികം മൂല്യമുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ചിന്തയുടെ ഒഴുക്കിന്റെ കൃത്യത പരമാവധി പരിധി വരെ നിരീക്ഷിക്കാനും തെറ്റുകൾക്കെതിരെ ഗ്യാരണ്ടി നൽകാനും ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു; മറുവശത്ത്, വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, ലഭ്യമായ മുഴുവൻ സാധ്യതകളും അവന്റെ കൺമുന്നിൽ ഉണ്ടായിരിക്കാൻ ചിന്തകനെ പ്രേരിപ്പിക്കുകയും അവ ഓരോന്നും കണക്കിലെടുക്കാൻ അവനെ നിർബന്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഒരെണ്ണം പോലും നഷ്ടപ്പെടുത്താതെ (അത്തരം ഒഴിവാക്കലുകൾ തികച്ചും സാധ്യമാണ്, വാസ്തവത്തിൽ , പലപ്പോഴും മറ്റ് ചിന്താ ശൈലികളിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു).

  രണ്ടാമതായി, ലാക്കോണിക്സം, അതായത്. ഒരു നിശ്ചിത ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ലോജിക്കൽ പാത എല്ലായ്പ്പോഴും കണ്ടെത്താനുള്ള ബോധപൂർവമായ ആഗ്രഹം, വാദത്തിന്റെ കുറ്റമറ്റ ഉപയോഗത്തിന് തികച്ചും ആവശ്യമായ എല്ലാറ്റിനെയും നിഷ്കരുണം നിരസിക്കുക. നല്ല ശൈലിയിലുള്ള ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപന്യാസം ഏതെങ്കിലും "വെള്ളം" സഹിക്കില്ല, അലങ്കാരം ഇല്ല, റാന്റിംഗിന്റെ ലോജിക്കൽ ടെൻഷൻ ദുർബലപ്പെടുത്തുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ വശത്തേക്ക് ശ്രദ്ധ തിരിക്കുക; അങ്ങേയറ്റത്തെ പാഴ്‌സിമോണി, ചിന്തയുടെ കടുത്ത കാഠിന്യം, അവതരണങ്ങൾ എന്നിവ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ അവിഭാജ്യ സവിശേഷതയാണ്. ഈ സവിശേഷത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് മാത്രമല്ല, മറ്റേതെങ്കിലും ഗുരുതരമായ യുക്തിക്കും വലിയ മൂല്യമുള്ളതാണ്. ലാക്കോണിസം, അനാവശ്യമായ ഒന്നും ഒഴിവാക്കാനുള്ള ആഗ്രഹം, ചിന്തകനെ തന്നെയും അവന്റെ വായനക്കാരനെയും അല്ലെങ്കിൽ ശ്രോതാവിനെയും ഒരു നിശ്ചിത ചിന്താധാരയിൽ പൂർണ്ണമായി ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, പാർശ്വ ആശയങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കാതെയും പ്രധാന ന്യായവാദവുമായി നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം നഷ്ടപ്പെടാതെയും.

  ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രതിഭകൾ, ചട്ടം പോലെ, അറിവിന്റെ എല്ലാ മേഖലകളിലും സംക്ഷിപ്തമായി ചിന്തിക്കുകയും പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ചിന്ത അവരെ സൃഷ്ടിക്കുകയും അടിസ്ഥാനപരമായി പുതിയ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ പോലും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ സ്രഷ്‌ടാക്കളായ ന്യൂട്ടൺ, ഐൻ‌സ്റ്റൈൻ, നീൽസ് ബോർ എന്നിവരുടെ ചിന്തയുടെയും സംസാരത്തിന്റെയും ഉദാത്തമായ അത്യാഗ്രഹം എന്തൊരു ഗംഭീരമായ മതിപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു! അതിന്റെ സ്രഷ്ടാക്കളുടെ ചിന്താരീതി ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിൽ ചെലുത്തുന്ന ആഴത്തിലുള്ള സ്വാധീനത്തിന്റെ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ചിന്തയുടെ ലാക്കോണിക്സം ഒരു തർക്കമില്ലാത്ത നിയമമാണ്, ഇത് നൂറ്റാണ്ടുകളായി കാനോനൈസ് ചെയ്തു. അവതരണത്തിന് ആവശ്യമില്ലാത്ത (ശ്രോതാക്കൾക്ക് ഇമ്പമുള്ളതും കൗതുകകരവുമാണെങ്കിൽ പോലും) ചിത്രങ്ങളോ ശ്രദ്ധാശൈഥില്യങ്ങളോ ആക്ഷേപഹാസ്യങ്ങളോ ഉപയോഗിച്ച് അവതരണത്തെ ഭാരപ്പെടുത്താനുള്ള ഏതൊരു ശ്രമവും മുൻ‌കൂട്ടി നിയമാനുസൃതമായ സംശയത്തിന് വിധേയമാക്കുകയും നിർണായക ജാഗ്രത ഉണർത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

  മൂന്നാമതായി, യുക്തിയുടെ ഗതിയുടെ വ്യക്തമായ വിഭജനം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിർദ്ദേശം തെളിയിക്കുമ്പോൾ, സാധ്യമായ നാല് കേസുകൾ പരിഗണിക്കണം, അവ ഓരോന്നും ഒന്നോ അതിലധികമോ ഉപകേസുകളായി വിഭജിക്കാം, ഓരോ നിമിഷത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ ചിന്ത ഏത് സാഹചര്യത്തിലും ഉപകേസിലും വ്യക്തമായി ഓർക്കണം. ഇപ്പോൾ ഏറ്റെടുത്തു, ഏതൊക്കെ കേസുകളും ഉപകേസുകളും അദ്ദേഹത്തിന് പരിഗണിക്കാൻ ഇപ്പോഴും അവശേഷിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ശാഖകളുള്ള കണക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഏത് ജനറിക് ആശയത്തിനുവേണ്ടിയാണ് അത് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സ്പീഷിസ് സങ്കൽപ്പങ്ങൾ എണ്ണുന്നത് എന്ന് ഓരോ നിമിഷവും അറിഞ്ഞിരിക്കണം. സാധാരണ, അശാസ്ത്രീയമായ ചിന്തയിൽ, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പങ്ങളും കുതിച്ചുചാട്ടങ്ങളും നാം പലപ്പോഴും നിരീക്ഷിക്കാറുണ്ട്, ഇത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലേക്കും യുക്തിയിലെ പിശകുകളിലേക്കും നയിക്കുന്നു. ഒരു വ്യക്തി ഒരു ജനുസ്സിലെ ഇനം പട്ടികപ്പെടുത്താൻ തുടങ്ങുന്നത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു, തുടർന്ന്, ശ്രോതാക്കൾക്ക് (പലപ്പോഴും തനിക്കുവേണ്ടി), യുക്തിയുടെ അപര്യാപ്തമായ യുക്തിസഹമായ വ്യക്തത മുതലെടുത്ത്, അവൻ മറ്റൊരു ജനുസ്സിലേക്ക് ചാടി, പ്രസ്താവനയിൽ അവസാനിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ രണ്ട് ജനുസ്സുകളും തരംതിരിച്ചിട്ടുണ്ട്; ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഇനങ്ങളുടെ അതിർത്തി എവിടെയാണെന്ന് ശ്രോതാക്കൾക്കോ ​​വായനക്കാർക്കോ അറിയില്ല.

  അത്തരം ആശയക്കുഴപ്പങ്ങളും കുതിച്ചുചാട്ടങ്ങളും അസാധ്യമാക്കുന്നതിന്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ വളരെക്കാലമായി സംഖ്യാ സങ്കൽപ്പങ്ങളുടെയും വിധിന്യായങ്ങളുടെയും ലളിതമായ ബാഹ്യ രീതികൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ (എന്നാൽ വളരെ കുറച്ച് തവണ) മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത വാദത്തിൽ പരിഗണിക്കേണ്ട സാധ്യമായ കേസുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ ആശയങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി പുനർനാമകരണം ചെയ്യുന്നു; അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ കേസിലും, അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന യോഗ്യമായ ഉപകേസുകളും പുനർനമ്പർ ചെയ്യപ്പെടും (ചിലപ്പോൾ, വ്യതിരിക്തതയ്ക്കായി, മറ്റേതെങ്കിലും നമ്പറിംഗ് സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച്). ഒരു പുതിയ സബ്‌കേസിന്റെ പരിഗണന ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ ഖണ്ഡികയ്ക്കും മുമ്പായി, ഈ സബ്‌കേസിനായി അംഗീകരിച്ച പദവി സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്: II 3 - ഇതിനർത്ഥം ഇവിടെ രണ്ടാമത്തെ കേസിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ഉപകേസിന്റെ പരിഗണന ആരംഭിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേതിന്റെ വിവരണം രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള തരം, നമ്മൾ വർഗ്ഗീകരണത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ). കൂടാതെ, ഒരു പുതിയ സംഖ്യാ രൂപരേഖ കാണുന്നതുവരെ, പ്രസ്താവിച്ചതെല്ലാം ഈ കേസിനും ഉപകേസിനും മാത്രമേ ബാധകമാകൂ എന്ന് വായനക്കാരന് അറിയാം. അത്തരം നമ്പറിംഗ് ഒരു ബാഹ്യ ഉപകരണമായി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ, വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, എന്നാൽ ഒരു തരത്തിലും നിർബന്ധമല്ല, കാര്യത്തിന്റെ സാരാംശം അതിലില്ല, മറിച്ച് വാദത്തിന്റെയോ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെയോ പ്രത്യേക വിഘടനത്തിലാണ് അത് ഉത്തേജിപ്പിക്കുകയും അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നത്. .

  നാലാമതായി, പ്രതീകാത്മകത, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സൂക്ഷ്മമായ കൃത്യത. അതായത്, "ഓരോ ഗണിത ചിഹ്നത്തിനും കർശനമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട അർത്ഥമുണ്ട്: അതിനെ മറ്റൊരു ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു സ്ഥലത്തേക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കുക, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ അർത്ഥത്തെ വികലമാക്കുകയും ചിലപ്പോൾ പൂർണ്ണമായി നശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു."

  ഗണിതശാസ്ത്ര ശൈലിയിലുള്ള ചിന്തയുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ എടുത്തുകാണിച്ച A.Ya. ഖിൻചിൻ, ഗണിതശാസ്ത്രം (പ്രത്യേകിച്ച് വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം) വൈരുദ്ധ്യാത്മക സ്വഭാവമുള്ളതാണെന്നും അതിനാൽ വൈരുദ്ധ്യാത്മക ചിന്തയുടെ വികാസത്തിന് സംഭാവന നൽകുമെന്നും കുറിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ പ്രക്രിയയിൽ ദൃശ്യവും (കോൺക്രീറ്റ്) ആശയവും (അമൂർത്തവും) തമ്മിൽ ഒരു ഇടപെടൽ ഉണ്ട്. "നമുക്ക് ഒരു വരയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ കഴിയില്ല, അത് മാനസികമായി വരയ്ക്കാതെ; ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് പരസ്പരം ലംബമായി മൂന്ന് വരകൾ വരയ്ക്കാതെ നമുക്ക് ത്രിമാനങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്ന് കാന്റ് എഴുതി.

  കോൺക്രീറ്റിന്റെയും അമൂർത്തത്തിന്റെയും ഇടപെടൽ പുതിയതും പുതിയതുമായ ആശയങ്ങളുടെയും ദാർശനിക വിഭാഗങ്ങളുടെയും വികാസത്തിലേക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയെ നയിച്ചു. പുരാതന ഗണിതത്തിൽ (സ്ഥിരമായ അളവുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം) ഇവ "സംഖ്യ", "സ്പേസ്" എന്നിവയായിരുന്നു, അവ തുടക്കത്തിൽ ഗണിതത്തിലും യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലും പിന്നീട് ബീജഗണിതത്തിലും വിവിധ ജ്യാമിതീയ സംവിധാനങ്ങളിലും പ്രതിഫലിച്ചു. വേരിയബിൾ അളവുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം ദ്രവ്യത്തിന്റെ ചലനത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് - "പരിമിതം", "അനന്തം", "തുടർച്ച", "വ്യതിരിക്തം", "അനന്തമായത്", "വ്യത്പന്നം" മുതലായവ.

  ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വികസനത്തിന്റെ ആധുനിക ചരിത്ര ഘട്ടത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ദാർശനിക വിഭാഗങ്ങളുടെ കൂടുതൽ വികസനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തം സാധ്യമായതും ക്രമരഹിതവുമായ വിഭാഗങ്ങളെ "മാസ്റ്റേഴ്സ്" ചെയ്യുന്നു; ടോപ്പോളജി - ബന്ധത്തിന്റെയും തുടർച്ചയുടെയും വിഭാഗങ്ങൾ; ദുരന്ത സിദ്ധാന്തം - കുതിച്ചുചാട്ടത്തിന്റെ വിഭാഗം; ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം - സമമിതിയുടെയും ഐക്യത്തിന്റെയും വിഭാഗങ്ങൾ മുതലായവ.

  രൂപത്തിൽ സമാനമായ ലോജിക്കൽ കണക്ഷനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന തത്വങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്ത പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, വ്യക്തിയിൽ നിന്ന് (പറയുക, ചില ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികളിൽ നിന്ന് - ആക്സിയോമാറ്റിക്, അൽഗോരിതം, ക്രിയാത്മക, സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് മുതലായവ) പ്രത്യേകവും പൊതുവായതും സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ഡിഡക്റ്റീവ് ഘടനകളിലേക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രീതികളുടെയും വിഷയങ്ങളുടെയും ഐക്യം ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ പ്രത്യേകത നിർണ്ണയിക്കുകയും യാഥാർത്ഥ്യത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, ശാസ്ത്രീയ അറിവ് സമന്വയിപ്പിക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും പ്രവചിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ ശക്തിയും സൗന്ദര്യവും അതിന്റെ യുക്തിയുടെ അങ്ങേയറ്റം വ്യക്തതയിലും അതിന്റെ രൂപകല്പനകളുടെ ചാരുതയിലും അമൂർത്തതകളുടെ സമർത്ഥമായ നിർമ്മാണത്തിലുമാണ്.

  കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തവും മെഷീൻ മാത്തമാറ്റിക്‌സിന്റെ സൃഷ്ടിയും ഉപയോഗിച്ച് മാനസിക പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാനപരമായി പുതിയ സാധ്യതകൾ തുറന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ കാര്യമായ മാറ്റങ്ങളുണ്ടായി. ക്ലാസിക്കൽ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്‌സിന്റെ ഭാഷ ബീജഗണിതം, ജ്യാമിതി, വിശകലനം എന്നിവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രകൃതിയുടെ തുടർച്ചയായ പ്രക്രിയകളുടെ വിവരണത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചു, പ്രധാനമായും മെക്കാനിക്സ്, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം എന്നിവയിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ ആധുനിക ഭാഷ അൽഗോരിതങ്ങളുടെയും പ്രോഗ്രാമുകളുടെയും ഭാഷയാണ്. , ഒരു പ്രത്യേക കേസായി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പഴയ ഭാഷ ഉൾപ്പെടെ.

  ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷ കൂടുതൽ കൂടുതൽ സാർവത്രികമാവുകയാണ്, സങ്കീർണ്ണമായ (മൾട്ടി-പാരാമീറ്റർ) സിസ്റ്റങ്ങളെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും. അതേസമയം, ഇലക്ട്രോണിക് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ച് മെച്ചപ്പെടുത്തിയ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷ എത്ര പരിപൂർണ്ണമാണെങ്കിലും, അത് വൈവിധ്യമാർന്ന "ജീവനുള്ള", സ്വാഭാവിക ഭാഷയുമായുള്ള ബന്ധം തകർക്കുന്നില്ലെന്ന് ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, കൃത്രിമ ഭാഷയുടെ അടിസ്ഥാനം സംസാരഭാഷയാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ അടുത്തിടെ നടത്തിയ ഒരു കണ്ടെത്തൽ താൽപ്പര്യമുണർത്തുന്നതാണ്. ബൊളീവിയയിലും പെറുവിലും ഏകദേശം 2.5 ദശലക്ഷം ആളുകൾ സംസാരിക്കുന്ന അയ്മാര ഇന്ത്യക്കാരുടെ പുരാതന ഭാഷ വളരെ കമ്പ്യൂട്ടർ സൗഹൃദമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നതാണ് കാര്യം. 1610-ൽ, ആദ്യത്തെ അയ്മാര നിഘണ്ടു സമാഹരിച്ച ഇറ്റാലിയൻ ജെസ്യൂട്ട് മിഷനറി ലുഡോവിക്കോ ബെർട്ടോണി, ഉയർന്ന യുക്തിസഹമായ വിശുദ്ധി നേടിയ അതിന്റെ സ്രഷ്ടാക്കളുടെ പ്രതിഭയെ കുറിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, അയ്‌മരയിൽ, ക്രമരഹിതമായ ക്രിയകളൊന്നുമില്ല, വ്യക്തമായ വ്യാകരണ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കലുകളൊന്നുമില്ല. അയ്‌മാറ ഭാഷയുടെ ഈ സവിശേഷതകൾ ബൊളീവിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഇവാൻ ഗുസ്മാൻ ഡി റോജാസിനെ പ്രോഗ്രാമിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അഞ്ച് യൂറോപ്യൻ ഭാഷകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിൽ നിന്ന് ഒരേസമയം കമ്പ്യൂട്ടർ വിവർത്തന സംവിധാനം സൃഷ്ടിക്കാൻ അനുവദിച്ചു, അതിനിടയിലുള്ള “പാലം” അയ്‌മര ഭാഷയാണ്. ബൊളീവിയൻ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സൃഷ്ടിച്ച അയ്മാര കമ്പ്യൂട്ടർ വിദഗ്ധരുടെ പ്രശംസ പിടിച്ചുപറ്റി. ഗണിതശാസ്ത്ര ശൈലിയിലുള്ള ചിന്തയുടെ സത്തയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന്റെ ഈ ഭാഗം സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ പ്രധാന ഉള്ളടക്കം പ്രകൃതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

  അക്സിയോമാറ്റിക് രീതി

• പുരാതന കാലം മുതൽ ഇന്നുവരെ അതിന്റെ സാർവത്രികതയും എല്ലാ പ്രയോഗക്ഷമതയും സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന മാർഗമാണ് അക്സിയോമാറ്റിക്സ്.

  ഒരു ഗണിത സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിർമ്മാണം ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഒരു ശാസ്ത്രീയ സിദ്ധാന്തം ചില പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതിനെ ആക്സിയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റെല്ലാ വ്യവസ്ഥകളും പ്രാമാണങ്ങളുടെ യുക്തിസഹമായ അനന്തരഫലങ്ങളായി ലഭിക്കും.

  ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി പുരാതന ഗ്രീസിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, നിലവിൽ മിക്കവാറും എല്ലാ സൈദ്ധാന്തിക ശാസ്ത്രങ്ങളിലും, എല്ലാറ്റിനുമുപരിയായി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

  മൂന്നിനെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ, പൂരക ജ്യാമിതികൾ: യൂക്ലിഡിയൻ (പാരാബോളിക്), ലോബചെവ്സ്കി (ഹൈപ്പർബോളിക്), റീമാനിയൻ (ദീർഘവൃത്തം), ചില സാമ്യതകൾക്കൊപ്പം, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയും തമ്മിൽ വലിയ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. , യൂക്ലിഡിയൻ, ലോബചെവ്സ്കി എന്നിവയുടെ ജ്യാമിതികൾ - മറുവശത്ത്.

  ആധുനിക ജ്യാമിതി തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം, അത് ഇപ്പോൾ അനന്തമായ വ്യത്യസ്‌ത സാങ്കൽപ്പിക ഇടങ്ങളുടെ "ജ്യാമിതികൾ" ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ജ്യാമിതികളെല്ലാം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണെന്നും യൂക്ലിഡ് ആദ്യം ഉപയോഗിച്ച ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

  ഗവേഷണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി വികസിപ്പിക്കുകയും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തു. ഈ രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യം എന്ന നിലയിൽ, സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിലെ ട്രെയ്‌സുകളുടെ രീതിയാണ്, ഇത് പോളിഹെഡ്രയിൽ വിഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളും മറ്റ് ചില സ്ഥാന പ്രശ്‌നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

  ജ്യാമിതിയിൽ ആദ്യം വികസിപ്പിച്ച ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി ഇപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, മെക്കാനിക്സ് എന്നിവയുടെ മറ്റ് ശാഖകളിൽ ഒരു പ്രധാന പഠന ഉപകരണമായി മാറിയിരിക്കുന്നു. നിലവിൽ, ഒരു സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ പഠിക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടക്കുന്നു.

  ഒരു ശാസ്ത്രീയ സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക, സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുക, മറ്റെല്ലാ പ്രസ്താവനകളും യുക്തിസഹമായി കണക്കാക്കുന്നു, അവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. ഒരു ആശയം മറ്റുള്ളവരുടെ സഹായത്തോടെ വിശദീകരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് അറിയാം, അത് ചില അറിയപ്പെടുന്ന ആശയങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ, മറ്റുള്ളവരിലൂടെ നിർവചിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളിലേക്ക് നാം എത്തിച്ചേരുന്നു. ഈ ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

  ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രസ്താവന, ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതായി കരുതുന്ന പരിസരങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഈ പരിസരങ്ങളും തെളിയിക്കപ്പെട്ടു; അവ ന്യായീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവസാനം, തെളിയിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രസ്താവനകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുകയും തെളിവുകളില്ലാതെ അവ സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ പ്രസ്താവനകളെ axioms എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കൂടുതൽ പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിലായിരിക്കണം.

  അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും രൂപകല്പന ചെയ്ത സിദ്ധാന്തങ്ങളും തിരിച്ചറിഞ്ഞ ശേഷം, ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തങ്ങളും മറ്റ് ആശയങ്ങളും യുക്തിസഹമായ രീതിയിൽ ഉരുത്തിരിയുന്നു. ഇതാണ് ജ്യാമിതിയുടെ ലോജിക്കൽ ഘടന. സിദ്ധാന്തങ്ങളും അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും പ്ലാനിമെട്രിയുടെ അടിത്തറയാണ്.

  എല്ലാ ജ്യാമിതികൾക്കും അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾക്ക് ഒരൊറ്റ നിർവചനം നൽകുന്നത് അസാധ്യമായതിനാൽ, ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഈ ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും സ്വഭാവത്തിലുള്ള വസ്തുക്കളായി നിർവചിക്കേണ്ടതാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ സംവിധാനത്തിന്റെ ആക്സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മാണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥിതിയിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കുന്നത്, അല്ലെങ്കിൽ ആക്സിയോമാറ്റിക്സ്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ജ്യാമിതീയ വ്യവസ്ഥയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകളെ വിവരിക്കുന്നു, കൂടാതെ നമുക്ക് അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളെ പ്രാകൃതങ്ങളിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുള്ള ഗുണങ്ങളുള്ള ഏതൊരു പ്രകൃതിയുടെയും വസ്തുക്കളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.

  ആദ്യത്തെ ജ്യാമിതീയ പ്രസ്താവനകളുടെ രൂപീകരണത്തിനും തെളിവിനും ശേഷം, മറ്റുള്ളവരുടെ സഹായത്തോടെ ചില പ്രസ്താവനകൾ (സിദ്ധാന്തങ്ങൾ) തെളിയിക്കാൻ സാധിക്കും. പല സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും തെളിവുകൾ പൈതഗോറസിനും ഡെമോക്രിറ്റസിനും അവകാശപ്പെട്ടതാണ്.

  നിർവചനങ്ങളെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി ജ്യാമിതിയിലെ ആദ്യത്തെ ചിട്ടയായ കോഴ്‌സ് സമാഹരിച്ചതിന്റെ ബഹുമതി ചിയോസിന്റെ ഹിപ്പോക്രാറ്റസാണ്. ഈ കോഴ്സും അതിന്റെ തുടർന്നുള്ള ചികിത്സകളും "മൂലകങ്ങൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെട്ടു.

  ഒരു ശാസ്ത്രീയ സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി

• ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ ഏറ്റവും വലിയ നേട്ടങ്ങളിലൊന്നാണ് ശാസ്ത്രം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കിഴിവ് അല്ലെങ്കിൽ ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. ഇതിന് നിരവധി തലമുറയിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനം ആവശ്യമായിരുന്നു.

  അവതരണത്തിന്റെ ഡിഡക്റ്റീവ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ സവിശേഷത ഈ ഘടനയുടെ ലാളിത്യമാണ്, ഇത് കുറച്ച് വാക്കുകളിൽ വിവരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

  അവതരണത്തിന്റെ കിഴിവ് സംവിധാനം ഇതിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു:

  1) അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ പട്ടികയിലേക്ക്,

  2) നിർവചനങ്ങളുടെ അവതരണത്തിലേക്ക്,

  3) സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അവതരണത്തിലേക്ക്,

  4) സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അവതരണത്തിലേക്ക്,

  5) ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവിലേക്ക്.

  തെളിവുകളില്ലാതെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് ആക്സിയം.

  സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് സിദ്ധാന്തം.

  ഒരു തെളിവ് ഒരു ഡിഡക്റ്റീവ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ്; മുൻ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയോ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയോ സത്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ സത്യം യുക്തിസഹമായി പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്ന യുക്തിയാണ് ഇത്.

  ഒരു കിഴിവ് സംവിധാനത്തിനുള്ളിൽ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല: 1) അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച്, 2) സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സത്യത്തെക്കുറിച്ച്. എന്നാൽ ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും പരിഹരിക്കാനാവാത്തതാണെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല.

  പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രം കാണിക്കുന്നത്, ഒരു പ്രത്യേക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണത്തിനുള്ള സാധ്യത ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനത്തിന്റെ ഉയർന്ന തലത്തിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ, വലിയ അളവിലുള്ള വസ്തുതാപരമായ വസ്തുക്കളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായ കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമായി തിരിച്ചറിയാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഈ ശാസ്ത്രം പഠിച്ച വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും.

  ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആക്സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയാണ്. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സംവിധാനം യൂക്ലിഡ് (ഏകദേശം 300 ബിസി) "തത്ത്വങ്ങൾ" എന്ന കൃതിയിൽ സ്ഥാപിച്ചു, അതിന്റെ പ്രാധാന്യത്തിൽ അതിരുകടന്നില്ല. ഈ സംവിധാനം അതിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളിൽ ഇന്നുവരെ സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

  അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ: പോയിന്റ്, നേർരേഖ, തലം, അടിസ്ഥാന ചിത്രങ്ങൾ; കിടക്കുന്നു, ഇടയിൽ, പ്രസ്ഥാനം.

  പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയിൽ 13 സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്, അവ അഞ്ച് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അഞ്ചാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ സമാന്തരങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട് (യൂക്ലിഡിയൻ പോസ്റ്റുലേറ്റ് V): ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയെ വിഭജിക്കാത്ത ഒരു നേർരേഖ മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ. തെളിവ് ആവശ്യമായ ഏക സിദ്ധാന്തമാണിത്. അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ 2 സഹസ്രാബ്ദത്തിലേറെയായി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ കൈവശപ്പെടുത്തിയിരുന്നു, 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ പകുതി വരെ, അതായത്. നിക്കോളായ് ഇവാനോവിച്ച് ലോബചെവ്സ്കി തന്റെ കൃതികളിൽ ഈ ശ്രമങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ പ്രതീക്ഷയില്ലായ്മ തെളിയിക്കുന്ന നിമിഷം വരെ. നിലവിൽ, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ തെളിയിക്കാനാകാത്തത് കർശനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുതയാണ്.

  സമാന്തര എൻ.ഐ. ലോബചെവ്‌സ്‌കി അതിനെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി: തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയും നേർരേഖയ്ക്ക് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റും നൽകട്ടെ. ഈ പോയിന്റിലൂടെ, ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിലേക്ക് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് സമാന്തര വരകളെങ്കിലും വരയ്ക്കാനാകും.

  പുതിയ വ്യവസ്ഥിതിയിൽ നിന്ന് എൻ.ഐ. കുറ്റമറ്റ ലോജിക്കൽ കാഠിന്യത്തോടെ, ലോബചെവ്സ്കി, നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ ഉള്ളടക്കം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ യോജിപ്പുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം ഊഹിച്ചു. ലോജിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്ന നിലയിൽ യൂക്ലിഡിന്റെയും ലോബചെവ്സ്കിയുടെയും രണ്ട് ജ്യാമിതികളും തുല്യമാണ്.

  പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ മൂന്ന് മഹത്തായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ, ഏതാണ്ട് ഒരേസമയം, പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ തെളിയിക്കപ്പെടാത്തതിന്റെയും യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതിയുടെ സൃഷ്ടിയുടെയും അതേ ഫലങ്ങളിലേക്ക് എത്തി.

  നിക്കോളായ് ഇവാനോവിച്ച് ലോബചെവ്സ്കി (1792-1856)

  കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗാസ് (1777-1855)

  ജാനോസ് ബൊല്യായി (1802-1860)

  ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവ്

• ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിലെ പ്രധാന രീതി ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവാണ് - കർശനമായ ലോജിക്കൽ ന്യായവാദം. വസ്തുനിഷ്ഠമായ ആവശ്യകത കാരണം, റഷ്യൻ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസസിന്റെ അനുബന്ധ അംഗം എൽ.ഡി. കുദ്ര്യവത്‌സേവ് എൽ.ഡി. - ആധുനിക ഗണിതവും അതിന്റെ അധ്യാപനവും, മോസ്കോ, നൗക, 1985, ലോജിക്കൽ റീസണിംഗ് (അതിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, ശരിയാണെങ്കിൽ, കർശനമാണ്) ഗണിതശാസ്ത്ര രീതിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അവയില്ലാതെ ഗണിതശാസ്ത്രം അചിന്തനീയമാണ്. ഗണിത ചിന്തകൾ യുക്തിസഹമായ ന്യായവാദത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു പ്രശ്നം ശരിയായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനും അതിന്റെ ഡാറ്റ വിലയിരുത്തുന്നതിനും അവശ്യമായവ തിരിച്ചറിയുന്നതിനും അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനും ഒരാൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അവബോധം ആവശ്യമാണ്, അത് ലഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ആഗ്രഹിച്ച ഫലം മുൻകൂട്ടി കാണാനും അതിന്റെ പാത രൂപപ്പെടുത്താനും അനുവദിക്കുന്നു. വിശ്വസനീയമായ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച് ഗവേഷണം. എന്നാൽ പരിഗണനയിലുള്ള വസ്തുതയുടെ സാധുത തെളിയിക്കുന്നത് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെയല്ല, നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തിയല്ല (ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിൽ വലിയ പങ്ക് വഹിക്കുന്നത്), മറിച്ച് തികച്ചും യുക്തിസഹമായ രീതിയിലൂടെയാണ്. ഔപചാരിക യുക്തിയുടെ നിയമങ്ങൾ.

  ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവാണ് പരമമായ സത്യമെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ശുദ്ധമായ യുക്തിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു തീരുമാനം തെറ്റായിരിക്കില്ല. എന്നാൽ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തോടെ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നേരിടുന്ന ജോലികൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്.

  "ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം വളരെ സങ്കീർണ്ണവും ബുദ്ധിമുട്ടേറിയതുമായി മാറിയ ഒരു യുഗത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പ്രവേശിച്ചു, നേരിട്ട പ്രശ്നം ശരിയാണോ അല്ലയോ എന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ പറയാൻ കഴിയില്ല," യുഎസ്എയിലെ കാലിഫോർണിയയിലെ സ്റ്റാൻഫോർഡ് സർവകലാശാലയിൽ നിന്നുള്ള കേറ്റ് ഡെവ്ലിൻ വിശ്വസിക്കുന്നു. 1980-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ "ലളിതമായ പരിമിത ഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം" അദ്ദേഹം ഉദാഹരണമായി ഉദ്ധരിക്കുന്നു, എന്നാൽ പൂർണ്ണമായ കൃത്യമായ തെളിവ് ഇതുവരെ നൽകിയിട്ടില്ല. മിക്കവാറും, സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്, പക്ഷേ അത് കൃത്യമായി പറയാൻ കഴിയില്ല.

  ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ സൊല്യൂഷനും കൃത്യമായി വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പിശക് ഉണ്ട്. 1998-ൽ, ഹെയ്ൽസ് കെപ്ലറുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പരിഹാരം നിർദ്ദേശിച്ചു, അത് 1611-ൽ രൂപീകരിച്ചു. ഈ സിദ്ധാന്തം ബഹിരാകാശത്ത് പന്തുകളുടെ ഏറ്റവും സാന്ദ്രമായ പാക്കിംഗ് വിവരിക്കുന്നു. തെളിവ് 300 പേജുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചു, അതിൽ മെഷീൻ കോഡിന്റെ 40,000 വരികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. 12 നിരൂപകർ ഒരു വർഷത്തേക്ക് പരിഹാരം പരിശോധിച്ചു, പക്ഷേ തെളിവുകളുടെ കൃത്യതയിൽ അവർക്ക് 100% ആത്മവിശ്വാസം ലഭിച്ചില്ല, പഠനം പുനരവലോകനത്തിനായി അയച്ചു. തൽഫലമായി, ഇത് നാല് വർഷത്തിന് ശേഷം മാത്രമല്ല നിരൂപകരുടെ പൂർണ്ണ സർട്ടിഫിക്കേഷൻ ഇല്ലാതെയും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

  പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള എല്ലാ സമീപകാല കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ നടത്തുന്നു, എന്നാൽ കൂടുതൽ വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി, ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പിശകുകളില്ലാതെ അവതരിപ്പിക്കണമെന്ന് ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിശ്വസിക്കുന്നു.

  തെളിവിന്റെ സിദ്ധാന്തം ലോജിക്കിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, അതിൽ മൂന്ന് ഘടനാപരമായ ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു: തീസിസ് (തെളിയിക്കേണ്ടത്), വാദങ്ങൾ (ഒരു കൂട്ടം വസ്തുതകൾ, പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ, നിയമങ്ങൾ മുതലായവ) കൂടാതെ പ്രകടനവും (നടപടിക്രമം). തെളിവ് തന്നെ വികസിപ്പിക്കുന്നു; n + 1-ാം നിഗമനത്തിന്റെ പരിസരങ്ങളിലൊന്നായി nth നിഗമനം മാറുമ്പോൾ അനുമാനങ്ങളുടെ ഒരു തുടർച്ചയായ ശൃംഖല). തെളിവുകളുടെ നിയമങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുകയും സാധ്യമായ ലോജിക്കൽ പിശകുകൾ സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

  ഔപചാരിക യുക്തിയാൽ സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ട തത്ത്വങ്ങളുമായി ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിന് വളരെ സാമ്യമുണ്ട്. കൂടാതെ, യുക്തിയുടെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ യുക്തിസഹമായ തെളിവ് നടപടിക്രമം വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനങ്ങളിലൊന്നായി വർത്തിച്ചു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഔപചാരിക യുക്തിയുടെ രൂപീകരണത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിലെ ഗവേഷകർ വിശ്വസിക്കുന്നത്, ഒരു കാലത്ത്, അരിസ്റ്റോട്ടിൽ നിയമങ്ങളും നിയമങ്ങളും സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ നടപടികൾ സ്വീകരിച്ചപ്പോൾ, അദ്ദേഹം ഗണിതത്തിലേക്കും നിയമപരമായ പ്രവർത്തനത്തിലേക്കും തിരിഞ്ഞു. ഈ സ്രോതസ്സുകളിൽ അദ്ദേഹം തന്റെ ആസൂത്രിത സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള വസ്തുക്കൾ കണ്ടെത്തി.

  ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, തെളിവ് എന്ന ആശയത്തിന് അതിന്റെ കർശനമായ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെട്ടു, ഇത് സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുമായി ബന്ധപ്പെട്ടും പ്രത്യേകിച്ച് ഔപചാരികവൽക്കരണത്തിന്റെ അപൂർണ്ണതയെക്കുറിച്ചുള്ള കെ.

  ഒന്നാമതായി, ഇത് ഗണിതത്തെ തന്നെ ബാധിച്ചു, ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് "തെളിവ്" എന്ന പദത്തിന് കൃത്യമായ നിർവചനം ഇല്ലെന്ന വിശ്വാസം പ്രകടിപ്പിച്ചു. എന്നാൽ അത്തരമൊരു അഭിപ്രായം (ഇന്നും നിലനിൽക്കുന്നത്) ഗണിതത്തെ തന്നെ ബാധിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, തെളിവ് സ്വീകരിക്കേണ്ടത് ലോജിക്കൽ-ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥത്തിലല്ല, മറിച്ച് മനഃശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥത്തിലാണെന്ന നിഗമനത്തിൽ അവർ എത്തിച്ചേരുന്നു. കൂടാതെ, സമാനമായ ഒരു വീക്ഷണം അരിസ്റ്റോട്ടിലിൽ തന്നെ കാണപ്പെടുന്നു, ന്യായവാദം തെളിയിക്കുക എന്നത് ഒരു പരിധിവരെ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും, അത് ഉപയോഗിച്ച്, എന്തെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് മറ്റുള്ളവരെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും. എ.ഇ. യെസെനിൻ-വോൾപിനിൽ മനഃശാസ്ത്രപരമായ സമീപനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക നിഴൽ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. തെളിവുകളില്ലാതെ സത്യത്തെ അംഗീകരിക്കുന്നതിനെ അദ്ദേഹം നിശിതമായി എതിർക്കുന്നു, ഇതിനെ ഒരു വിശ്വാസപ്രവൃത്തിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി, തുടർന്ന് എഴുതുന്നു: "ഒരു ന്യായവിധിയുടെ തെളിവിനെ ഞാൻ ഈ വിധിയെ അനിഷേധ്യമാക്കുന്ന സത്യസന്ധമായ സ്വീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു." അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിർവചനത്തിന് ഇപ്പോഴും വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് യെസെനിൻ-വോൾപിൻ റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യുന്നു. അതേ സമയം, "സത്യസന്ധമായ സ്വീകരണം" എന്ന നിലയിൽ തെളിവുകളുടെ സ്വഭാവം തന്നെ ധാർമ്മികവും മനഃശാസ്ത്രപരവുമായ വിലയിരുത്തലിനുള്ള ഒരു ആകർഷണം വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ലേ?

  അതേസമയം, സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലും ഗോഡലിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ രൂപവും അവബോധവാദികൾ, പ്രത്യേകിച്ച് കൺസ്ട്രക്റ്റിവിസ്റ്റ് ദിശ, ഡി. ഹിൽബെർട്ട് എന്നിവർ ഏറ്റെടുത്ത ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വികാസത്തിന് കാരണമായി.

  ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവ് പ്രകൃതിയിൽ സാർവത്രികമാണെന്നും ഒരു ശാസ്ത്രീയ തെളിവിന്റെ അനുയോജ്യമായ പതിപ്പിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെന്നും ചിലപ്പോൾ വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഒരേയൊരു രീതിയല്ല; തെളിവുകൾ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നടപടിക്രമങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും മറ്റ് രീതികളുണ്ട്. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിന് പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിൽ നടപ്പിലാക്കിയിട്ടുള്ള ഔപചാരിക-ലോജിക്കൽ തെളിവുമായി നിരവധി സാമ്യതകൾ ഉണ്ടെന്നതും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിന് ഒരു പ്രത്യേക പ്രത്യേകതയും അതുപോലെ തന്നെ ഒരു കൂട്ടം സാങ്കേതിക വിദ്യകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉണ്ടെന്നതും സത്യമാണ്. എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും (പ്രധാനമായവ പോലും) അൽഗോരിതം, നിയമങ്ങൾ, പിശകുകൾ മുതലായവ വികസിപ്പിക്കാതെ, മറ്റ് തെളിവുകളുടെ രൂപങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ള പൊതുവായ സവിശേഷതകൾ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അവിടെ നിർത്തും. തെളിവ് പ്രക്രിയ.

  ഏതൊരു പ്രസ്താവനയുടെയും സത്യത്തെ (തീർച്ചയായും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അതായത്, മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുപോലെ, അർത്ഥത്തിൽ) സ്ഥിരീകരിക്കുക എന്നതാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവ്.

  ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആക്സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മിതികളുടെ ആവിർഭാവത്തോടൊപ്പമാണ് തെളിവിനായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിയമങ്ങളുടെ കൂട്ടം രൂപപ്പെട്ടത്. യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയിൽ ഇത് ഏറ്റവും വ്യക്തമായും പൂർണ്ണമായും തിരിച്ചറിഞ്ഞു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ "പ്രിൻസിപ്പിയ" ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട് ഓർഗനൈസേഷന്റെ ഒരു മാതൃകാ മാനദണ്ഡമായി മാറി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വളരെക്കാലം അങ്ങനെ തന്നെ തുടർന്നു.

  ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ച പ്രസ്താവനകൾ ഒരു നിഗമനത്തിന് ഉറപ്പ് നൽകണം, അത് ലോജിക്കൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത ന്യായവാദം ഒരു നിശ്ചിത ആക്സിയോമാറ്റിക് സിസ്റ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള തെളിവ് മാത്രമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയേണ്ടതാണ്.

  ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവ് ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് പ്രധാന സവിശേഷതകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവ് അനുഭവപരമായ തെളിവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഏതെങ്കിലും പരാമർശം ഒഴിവാക്കുന്നു. ഒരു നിഗമനത്തിന്റെ സത്യത്തെ ന്യായീകരിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ നടപടിക്രമവും അംഗീകൃത ആക്സിയോമാറ്റിക്സിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിലാണ് നടത്തുന്നത്. അക്കാദമിഷ്യൻ എ.ഡി.അലക്സാൻഡ്രോവ് ഇക്കാര്യത്തിൽ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ ആയിരക്കണക്കിന് തവണ അളക്കാനും അവ 2d ന് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാനും കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നും തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല. മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്രസ്‌താവന പ്രമാണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഊഹിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്കത് അദ്ദേഹത്തോട് തെളിയിക്കാനാകും. നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രം സ്കോളാസ്റ്റിസിസത്തിന്റെ രീതികളോട് അടുത്താണ്, ഇത് പരീക്ഷണാത്മകമായി നൽകിയ വസ്തുതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വാദങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപരമായി നിരാകരിക്കുന്നു.

  ഉദാഹരണത്തിന്, സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ പൊരുത്തക്കേട് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുമ്പോൾ, ശാരീരിക പരീക്ഷണത്തിനുള്ള അവലംബം ഒഴിവാക്കപ്പെട്ടു, കാരണം, ഒന്നാമതായി, "അനുയോജ്യത" എന്ന ആശയം തന്നെ ഭൗതിക അർത്ഥമില്ലാത്തതാണ്, രണ്ടാമതായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ കഴിയില്ല. അമൂർത്തതയോടെ, ഭൗതികമായി കോൺക്രീറ്റ് വിപുലീകരണങ്ങളുടെ സഹായത്തിലേക്ക് ആകർഷിക്കാൻ, സെൻസറി, വിഷ്വൽ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് അളക്കുന്നു. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ (യഥാക്രമം, ഡയഗണൽ) കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ തുല്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്, പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെയും ഡയഗണലുകളുടെയും പൊരുത്തക്കേട് തെളിയിക്കുന്നത്. (ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങൾ). അല്ലെങ്കിൽ ലോബചെവ്‌സ്‌കി തന്റെ ജ്യാമിതിക്ക് സ്ഥിരീകരണം തേടുമ്പോൾ, ജ്യോതിശാസ്ത്ര നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങളിലേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ, ഈ സ്ഥിരീകരണം അദ്ദേഹം തികച്ചും ഊഹക്കച്ചവടത്തിലൂടെയാണ് നടത്തിയത്. കെയ്‌ലി-ക്ലീനും ബെൽട്രാമിയും നടത്തിയ നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ വ്യാഖ്യാനങ്ങളും ഭൗതിക വസ്തുക്കളേക്കാൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സവിശേഷത അതിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന അമൂർത്തതയാണ്, അതിൽ മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ പ്രൂഫ് നടപടിക്രമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യത്യസ്തമാണ്. വീണ്ടും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുവിന്റെ ആശയത്തിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് അമൂർത്തതയുടെ അളവിനെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് അതിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചാണ്. തെളിവ് മറ്റ് പല ശാസ്ത്രങ്ങളിലും ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള അമൂർത്തീകരണത്തിലെത്തുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത, ഉദാഹരണത്തിന്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, പ്രപഞ്ചശാസ്ത്രം, തീർച്ചയായും തത്ത്വചിന്ത എന്നിവയിൽ, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ വിഷയം അസ്തിത്വത്തിന്റെയും ചിന്തയുടെയും ആത്യന്തിക പ്രശ്‌നങ്ങളാണ്. വേരിയബിളുകൾ ഇവിടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയാൽ ഗണിതത്തെ വേർതിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ അർത്ഥം ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് അമൂർത്തമാണ്. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വേരിയബിളുകൾ അവയിൽ അർത്ഥങ്ങളില്ലാത്ത അടയാളങ്ങളാണെന്നും അവ ചില വസ്തുക്കളുടെ പേരുകൾ (വ്യക്തിഗത വേരിയബിളുകൾ) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോഴോ അല്ലെങ്കിൽ നിർദ്ദിഷ്ട ഗുണങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും സൂചിപ്പിക്കുമ്പോഴോ (വേരിയബിളുകൾ പ്രവചിക്കുക), അല്ലെങ്കിൽ, അവസാനമായി, ഒരു വേരിയബിളിനെ അർത്ഥവത്തായ ഒരു പ്രസ്താവന ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ (പ്രൊപ്പോസിഷണൽ വേരിയബിൾ).

  ഈ സവിശേഷത, ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നങ്ങളുടെ അങ്ങേയറ്റത്തെ അമൂർത്തീകരണത്തിന്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ പ്രസ്താവനകളും, അവയുടെ ഘടനയിൽ വേരിയബിളുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നത് കാരണം, പ്രസ്താവനകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളായി മാറുന്നു.

  തെളിവ് നടപടിക്രമം തന്നെ, യുക്തിയിൽ ഒരു പ്രകടനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, അനുമാനത്തിന്റെ നിയമങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് മുന്നോട്ട് പോകുന്നത്, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഒരു പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള മാറ്റം നടപ്പിലാക്കുന്നു, ഇത് അനുമാനങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ ശൃംഖലയ്ക്ക് രൂപം നൽകുന്നു. ഏറ്റവും സാധാരണമായത് രണ്ട് നിയമങ്ങളും (പകരവും അനുമാനവും) കിഴിവിന്റെ സിദ്ധാന്തവുമാണ്.

  സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ നിയമം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലെ ഓരോ മൂലകവും അതേ ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള മറ്റേതെങ്കിലും മൂലകമായ F (a) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയിൽ, സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ റൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസിലെ ഒരു യഥാർത്ഥ ഫോർമുല M-ൽ ഒരു അക്ഷരം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, A എന്ന് പറയുക, അത് സംഭവിക്കുന്നിടത്തെല്ലാം ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ അക്ഷരം D ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായ ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് സാധ്യമാണ്, സ്വീകാര്യമാണ്, കാരണം പ്രസ്താവനകളുടെ കാൽക്കുലസിൽ ഒരാൾ പ്രസ്താവനകളുടെ (സൂത്രവാക്യങ്ങൾ) അർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് സംഗ്രഹിക്കുന്നു ... "ശരി" അല്ലെങ്കിൽ "തെറ്റ്" എന്ന അർത്ഥങ്ങൾ മാത്രമേ കണക്കിലെടുക്കൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, M: A--> (BUA) എന്ന ഫോർമുലയിൽ, A യുടെ സ്ഥാനത്ത് ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ (AUB) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ഫോർമുല (AUB) ലഭിക്കും -->[(BU(AUB) ].

  നിഗമനങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഔപചാരിക യുക്തിയിലെ സോപാധികമായ കാറ്റഗറിക്കൽ സിലോജിസം മോഡസ് പോണൻസ് (അഫിർമേറ്റീവ് മോഡ്) ഘടനയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

  എ .

  (a-> b) എന്ന പ്രസ്‌താവന നൽകുകയും a നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ബി.

  ഉദാഹരണത്തിന്: മഴ പെയ്താൽ, നടപ്പാത നനഞ്ഞതാണ്, മഴ പെയ്യുന്നു (എ), അതിനാൽ നടപ്പാത നനഞ്ഞതാണ് (ബി). ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയിൽ, ഈ സിലോജിസം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു (a-> b) a-> b.

  അനുമാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ചട്ടം പോലെ, ഇംപ്ലിക്കേഷനായി വിഭജനം വഴിയാണ്. ഒരു സൂചനയും (a-> b) അതിന്റെ മുൻഭാഗവും (a) നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സൂചനയുടെ അനന്തരഫലം (b) വാദത്തോട് (തെളിവ്) ചേർക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്. ഒരു സിലോജിസം നിർബന്ധിത സ്വഭാവമുള്ളതാണ്, തെളിവിന്റെ കിഴിവ് മാർഗങ്ങളുടെ ഒരു ആയുധശേഖരം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയുടെ ആവശ്യകതകൾ തികച്ചും നിറവേറ്റുന്നു.

  ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നത് കിഴിവ് സിദ്ധാന്തമാണ് - നിരവധി സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഒരു പൊതുനാമം, ഇതിന്റെ നടപടിക്രമം സൂചനയുടെ തെളിവ് സ്ഥാപിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു: എ-> ബി, ഫോർമുലയുടെ ലോജിക്കൽ ഡെറിവേഷൻ ഉള്ളപ്പോൾ ഫോർമുല A-ൽ നിന്നുള്ള B. പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസിന്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പതിപ്പിൽ (ക്ലാസിക്കൽ, ഇന്റ്യൂഷനിസ്റ്റിക്, മറ്റ് തരത്തിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ) കിഴിവ് സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്നവ പ്രസ്താവിക്കുന്നു. ഒരു പരിസരം G, ഒരു പ്രിമൈസ് A എന്നിവ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന്, നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, B Г, A B (വ്യുൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളമാണ്) കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, G പരിസരത്ത് നിന്ന് മാത്രമേ ഒരാൾക്ക് വാചകം ലഭിക്കുകയുള്ളൂ. എ--> ബി.

  നേരിട്ടുള്ള തെളിവാണ് ഞങ്ങൾ നോക്കിയത്. അതേസമയം, പരോക്ഷ തെളിവുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും യുക്തിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു; ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് വികസിക്കുന്ന പരോക്ഷ തെളിവുകളുണ്ട്. നിരവധി കാരണങ്ങളാൽ (ഗവേഷണ വസ്തുവിന്റെ അപ്രാപ്യത, അതിന്റെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ നഷ്ടം മുതലായവ) ഏതെങ്കിലും പ്രസ്താവനയുടെയോ പ്രബന്ധത്തിന്റെയോ സത്യത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള തെളിവ് നടത്താനുള്ള അവസരം ഇല്ലാത്തതിനാൽ, അവർ ഒരു വിരുദ്ധത കെട്ടിപ്പടുക്കുന്നു. എതിർപ്പ് വൈരുദ്ധ്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നുവെന്നും അതിനാൽ അത് തെറ്റാണെന്നും അവർക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്. തുടർന്ന്, വിരുദ്ധതയുടെ തെറ്റായ വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു - ഒഴിവാക്കിയ മധ്യത്തിന്റെ (എ വി) നിയമത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - തീസിസിന്റെ സത്യത്തെക്കുറിച്ച്.

  ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരോക്ഷമായ തെളിവിന്റെ ഒരു രൂപം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു - വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെയും വ്യവസ്ഥകളുടെയും സ്വീകാര്യതയിൽ ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും വിലപ്പെട്ടതും അനിവാര്യവുമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ അനന്തത എന്ന ആശയം, മറ്റൊരു തരത്തിലും അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.

  വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവിന്റെ പ്രവർത്തനം ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫോർമുലകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും A (G , A) യുടെ നിഷേധവും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ബിയും അതിന്റെ നിഷേധവും (ജി, എ ബി, അല്ല-ബി) സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ജി ഫോർമുലകളുടെ ക്രമത്തിൽ നിന്നാണ് എയുടെ സത്യം പിന്തുടരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. .

  റഫറൻസുകൾ:

• 1. N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman, സാമ്പത്തിക വിദഗ്ധർക്കുള്ള ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ്, പാഠപുസ്തകം, മോസ്കോ, 2002;

  2. എൽ.ഡി. കുദ്ര്യവത്സേവ്, ആധുനിക ഗണിതവും അതിന്റെ അധ്യാപനവും, മോസ്കോ, നൗക, 1985;

  3. O.I. Larichev, ഒബ്ജക്റ്റീവ് മോഡലുകളും ആത്മനിഷ്ഠമായ തീരുമാനങ്ങളും, മോസ്കോ, നൗക, 1987;

  4. A.Ya. Halamizer, "ഗണിതം? - തമാശ!", രചയിതാവിന്റെ പ്രസിദ്ധീകരണം, 1989;

  5. പി.കെ. റാഷെവ്സ്കി, റീമാനിയൻ ജ്യാമിതിയും ടെൻസർ വിശകലനവും, മോസ്കോ, മൂന്നാം പതിപ്പ്, 1967;

  6. വി.ഇ. ഗ്മർമാൻ, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, മോസ്കോ, ഹയർ സ്കൂൾ, 1977;

  7. വേൾഡ് വൈഡ് വെബ് എന്റർനെറ്റ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം, അളവ് ബന്ധങ്ങളെയും യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ സ്പേഷ്യൽ രൂപങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രമെന്ന നിലയിൽ, നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തെ, പ്രകൃതിദത്തവും സാമൂഹികവുമായ പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു. എന്നാൽ മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഗണിതശാസ്ത്രം അവയുടെ പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവരിൽ നിന്ന് അമൂർത്തമായി. അതിനാൽ, ജ്യാമിതി വസ്തുക്കളുടെ ആകൃതിയും വലുപ്പവും പഠിക്കുന്നു, അവയുടെ മറ്റ് സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കാതെ: നിറം, പിണ്ഡം, കാഠിന്യം മുതലായവ. പൊതുവേ, ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ (ജ്യാമിതീയ രൂപം, സംഖ്യ, വ്യാപ്തി) മനുഷ്യ മനസ്സിനാൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടവയാണ്, അവ മനുഷ്യന്റെ ചിന്തയിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന അടയാളങ്ങളിലും ചിഹ്നങ്ങളിലും മാത്രം നിലനിൽക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അമൂർത്ത സ്വഭാവം അതിനെ വൈവിധ്യമാർന്ന മേഖലകളിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു, പ്രകൃതിയെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഉപകരണമാണിത്.

അറിവിന്റെ രൂപങ്ങൾ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഗ്രൂപ്പ്വിവിധ ഇന്ദ്രിയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്ന സെൻസറി കോഗ്നിഷന്റെ രൂപങ്ങൾ: കാഴ്ച, കേൾവി, മണം, സ്പർശനം, രുചി.

കോ. രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ്അമൂർത്തമായ ചിന്തയുടെ രൂപങ്ങൾ, പ്രാഥമികമായി ആശയങ്ങൾ, പ്രസ്താവനകൾ, അനുമാനങ്ങൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഇന്ദ്രിയജ്ഞാനത്തിന്റെ രൂപങ്ങളാണ് അനുഭവപ്പെടുക, ധാരണഒപ്പം പ്രാതിനിധ്യം.

ഓരോ വസ്തുവിനും ഒന്നല്ല, നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അവ സംവേദനങ്ങളിലൂടെ നാം അറിയുന്നു.

തോന്നൽ- ഇത് വസ്തുക്കളുടെയോ ഭൗതിക ലോകത്തിന്റെ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയോ വ്യക്തിഗത ഗുണങ്ങളുടെ പ്രതിഫലനമാണ്, അത് നേരിട്ട് (അതായത് ഇപ്പോൾ, ഇപ്പോൾ) നമ്മുടെ ഇന്ദ്രിയങ്ങളെ ബാധിക്കുന്നു. ചുവപ്പ്, ഊഷ്മളമായ, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള, പച്ച, മധുരമുള്ള, മിനുസമാർന്ന വസ്തുക്കളുടെയും മറ്റ് വ്യക്തിഗത ഗുണങ്ങളുടെയും സംവേദനങ്ങളാണ് ഇവ [ഗെറ്റ്മാനോവ, പേ. 7].

ഒരു മുഴുവൻ വസ്തുവിന്റെയും ധാരണ വ്യക്തിഗത സംവേദനങ്ങളിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ആപ്പിളിന്റെ ധാരണയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സംവേദനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: ഗോളാകൃതി, ചുവപ്പ്, മധുരവും പുളിയും, ആരോമാറ്റിക് മുതലായവ.

ധാരണനമ്മുടെ ഇന്ദ്രിയങ്ങളെ നേരിട്ട് ബാധിക്കുന്ന ഒരു ബാഹ്യ ഭൗതിക വസ്തുവിന്റെ സമഗ്രമായ പ്രതിഫലനമാണ് [ഗെറ്റ്മാനോവ, പേ. 8]. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്ലേറ്റ്, കപ്പ്, സ്പൂൺ, മറ്റ് പാത്രങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ചിത്രം; ഒരു നദിയുടെ ചിത്രം, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ അതിലൂടെ ഒഴുകുകയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ തീരത്ത് ആണെങ്കിൽ; ഒരു കാടിന്റെ ചിത്രം, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വനത്തിൽ എത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മുതലായവ.

ധാരണകൾ, അവ നമ്മുടെ മനസ്സിലെ യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ സംവേദനാത്മക പ്രതിഫലനമാണെങ്കിലും, പ്രധാനമായും മനുഷ്യാനുഭവത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ജീവശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഒരു പുൽമേടിനെ ഒരു വിധത്തിൽ കാണും (അവൻ വ്യത്യസ്ത തരം സസ്യങ്ങൾ കാണും), എന്നാൽ ഒരു വിനോദസഞ്ചാരിയോ കലാകാരനോ അത് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ രീതിയിൽ കാണും.

പ്രകടനം- ഇത് ഒരു വസ്തുവിന്റെ സെൻസറി ഇമേജാണ്, അത് നിലവിൽ നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ല, എന്നാൽ ഇത് മുമ്പ് ഒരു രൂപത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയതാണ് [ഗെറ്റ്മാനോവ, പേ. 10]. ഉദാഹരണത്തിന്, സുഹൃത്തുക്കളുടെ മുഖങ്ങൾ, വീട്ടിലെ നമ്മുടെ മുറി, ഒരു ബിർച്ച് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കൂൺ എന്നിവ നമുക്ക് ദൃശ്യപരമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഇവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ് പുനർനിർമ്മാണംപ്രതിനിധാനം, ഞങ്ങൾ ഈ വസ്തുക്കൾ കണ്ടതിനാൽ.

അവതരണം ആകാം സൃഷ്ടിപരമായ, ഉൾപ്പെടെ അതിശയകരമായ. ഞങ്ങൾ മനോഹരമായ രാജകുമാരി സ്വാൻ, അല്ലെങ്കിൽ സാർ സാൾട്ടൻ, അല്ലെങ്കിൽ ഗോൾഡൻ കോക്കറൽ എന്നിവയും എ.എസിന്റെ യക്ഷിക്കഥകളിൽ നിന്നുള്ള മറ്റ് നിരവധി കഥാപാത്രങ്ങളും അവതരിപ്പിക്കുന്നു. പുഷ്കിൻ, നമ്മൾ കണ്ടിട്ടില്ലാത്തതും കാണാത്തതും. വാക്കാലുള്ള വിവരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സൃഷ്ടിപരമായ പ്രാതിനിധ്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളാണിവ. സ്നോ മെയ്ഡൻ, സാന്താക്ലോസ്, മത്സ്യകന്യക മുതലായവയും ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, സംവേദനങ്ങൾ, ധാരണകൾ, ആശയങ്ങൾ എന്നിവയാണ് ഇന്ദ്രിയ വിജ്ഞാനത്തിന്റെ രൂപങ്ങൾ. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, ഒരു വസ്തുവിന്റെ ബാഹ്യ വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു (അതിന്റെ അടയാളങ്ങൾ, പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടെ).

ആശയങ്ങൾ, പ്രസ്താവനകൾ, അനുമാനങ്ങൾ എന്നിവയാണ് അമൂർത്തമായ ചിന്തയുടെ രൂപങ്ങൾ.

ആശയങ്ങൾ. ആശയങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയും ഉള്ളടക്കവും

"സങ്കൽപ്പം" എന്ന പദം സാധാരണയായി ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവമുള്ള (വ്യതിരിക്തമായ, അത്യാവശ്യമായ) സ്വത്ത് അല്ലെങ്കിൽ അത്തരം ഗുണങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഉള്ള ഏകപക്ഷീയമായ സ്വഭാവമുള്ള ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ഒരു മുഴുവൻ വിഭാഗത്തെയും സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്. ഈ ക്ലാസിലെ ഘടകങ്ങൾക്ക് മാത്രം അന്തർലീനമായ സവിശേഷതകൾ.

യുക്തിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു ആശയം ചിന്തയുടെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപമാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ സവിശേഷതയാണ്: 1) ഒരു ആശയം വളരെ സംഘടിത പദാർത്ഥത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നമാണ്; 2) ആശയം ഭൗതിക ലോകത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു; 3) പൊതുവൽക്കരണത്തിനുള്ള ഉപാധിയായി ബോധത്തിൽ ആശയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; 4) ആശയം അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രത്യേകമായി മനുഷ്യ പ്രവർത്തനമാണ്; 5) ഒരു വ്യക്തിയുടെ മനസ്സിൽ ഒരു ആശയത്തിന്റെ രൂപീകരണം സംസാരത്തിലൂടെയോ എഴുത്തിലൂടെയോ ചിഹ്നത്തിലൂടെയോ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കാനാവാത്തതാണ്.

നമ്മുടെ ബോധത്തിൽ യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും വസ്തുവിന്റെ സങ്കൽപ്പം എങ്ങനെയാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്?

ഒരു നിശ്ചിത ആശയം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയ ക്രമാനുഗതമായ ഒരു പ്രക്രിയയാണ്, അതിൽ തുടർച്ചയായ നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ കാണാൻ കഴിയും. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രക്രിയ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം - കുട്ടികളിൽ 3 എന്ന ആശയത്തിന്റെ രൂപീകരണം.

1. വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഒബ്ജക്റ്റ് ചിത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും മൂന്ന് മൂലകങ്ങളുടെ (മൂന്ന് ആപ്പിൾ, മൂന്ന് പുസ്തകങ്ങൾ, മൂന്ന് പെൻസിലുകൾ മുതലായവ) വിവിധ സെറ്റുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വിവിധ കോൺക്രീറ്റ് സെറ്റുകൾ കുട്ടികൾ പരിചിതരാകുന്നു. കുട്ടികൾക്ക് ഈ ഓരോ സെറ്റുകളും കാണാൻ മാത്രമല്ല, ഈ സെറ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുന്ന വസ്തുക്കളെ സ്പർശിക്കാനും (സ്പർശിക്കാനും) കഴിയും. "കാണുക" എന്ന ഈ പ്രക്രിയ കുട്ടിയുടെ മനസ്സിൽ യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ പ്രതിഫലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപം സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു. ധാരണ (സംവേദനം).

2. ഓരോ സെറ്റും നിർമ്മിക്കുന്ന ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ (വിഷയങ്ങൾ) നമുക്ക് നീക്കം ചെയ്യാം, കൂടാതെ ഓരോ സെറ്റിന്റെയും സ്വഭാവത്തിന് പൊതുവായ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ കുട്ടികളെ ക്ഷണിക്കുക. ഓരോ സെറ്റിലെയും വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം, എല്ലായിടത്തും "മൂന്ന്" എന്ന വസ്തുത കുട്ടികളുടെ മനസ്സിൽ പതിഞ്ഞിരിക്കണം. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, കുട്ടികളുടെ മനസ്സിൽ ഒരു പുതിയ രൂപം സൃഷ്ടിച്ചു - "മൂന്ന്" എന്ന സംഖ്യയുടെ ആശയം.

3. അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ, ഒരു ചിന്താ പരീക്ഷണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, "മൂന്ന്" എന്ന വാക്കിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സ്വത്ത്, ഫോമിലെ വിവിധ ഘടകങ്ങളുടെ (എ; ബി; സി) ഏതെങ്കിലും ഒരു കൂട്ടത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നുവെന്ന് കുട്ടികൾ കാണണം. അത്തരം സെറ്റുകളുടെ ഒരു പ്രധാന പൊതു സവിശേഷത ഇത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും: "മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം."കുട്ടികളുടെ മനസ്സിൽ അത് രൂപപ്പെട്ടുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പറയാം നമ്പർ 3 എന്ന ആശയം.

ആശയം- ഇത് ഒരു പ്രത്യേക ചിന്താരീതിയാണ്, അത് വസ്തുക്കളുടെയോ പഠന വസ്തുക്കളുടെയോ അവശ്യ (വ്യതിരിക്തമായ) ഗുണങ്ങളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ആശയത്തിന്റെ ഭാഷാപരമായ രൂപം ഒരു വാക്ക് അല്ലെങ്കിൽ പദങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, "ത്രികോണം", "നമ്പർ മൂന്ന്", "പോയിന്റ്", "നേർരേഖ", "ഐസോസിലിസ് ട്രയാംഗിൾ", "പ്ലാന്റ്", "കോണിഫറസ് ട്രീ", "യെനിസെയ് നദി", "ടേബിൾ" മുതലായവ.

ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾക്ക് നിരവധി സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഒരു ആശയം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ നിലവിലില്ല എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വസ്തുക്കൾ മനുഷ്യ മനസ്സാണ് സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. യഥാർത്ഥ വസ്തുക്കളെയോ പ്രതിഭാസങ്ങളെയോ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന അനുയോജ്യമായ വസ്തുക്കളാണ് ഇവ. ഉദാഹരണത്തിന്, ജ്യാമിതിയിൽ അവർ വസ്തുക്കളുടെ ആകൃതിയും വലുപ്പവും അവയുടെ മറ്റ് സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കാതെ പഠിക്കുന്നു: നിറം, പിണ്ഡം, കാഠിന്യം മുതലായവ. അവർ ഇതിൽ നിന്നെല്ലാം വ്യതിചലിക്കുന്നു, അമൂർത്തമാണ്. അതിനാൽ, ജ്യാമിതിയിൽ, "വസ്തു" എന്ന വാക്കിന് പകരം "ജ്യാമിതീയ രൂപം" എന്ന് പറയുന്നു. അമൂർത്തീകരണത്തിന്റെ ഫലം "സംഖ്യ", "മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്" തുടങ്ങിയ ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളാണ്.

പ്രധാന സവിശേഷതകൾഏതെങ്കിലും ആശയങ്ങളാണ്ഇനിപ്പറയുന്നവ: 1) വ്യാപ്തം; 2) ഉള്ളടക്കം; 3) ആശയങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവർ സാധാരണയായി അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു പദത്താൽ (പദം അല്ലെങ്കിൽ വാക്കുകളുടെ കൂട്ടം) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റ് (സെറ്റ്) ആണ്. അതിനാൽ, ഒരു ചതുരത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, ചതുരങ്ങളായ എല്ലാ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നു. എല്ലാ സ്ക്വയറുകളുടെയും സെറ്റ് "സ്ക്വയർ" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തി ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.

ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തിഈ ആശയം ബാധകമാകുന്ന ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെയോ ഇനങ്ങളുടെയോ കൂട്ടത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1) "സമാന്തരചലനം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തി, സമാന്തരരേഖകൾ, റോംബസുകൾ, ദീർഘചതുരങ്ങൾ, ചതുരങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചതുർഭുജങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്; 2) "ഒറ്റ അക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യ" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തി സെറ്റ് ആയിരിക്കും - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

ഏതൊരു ഗണിത വസ്തുവിനും ചില ഗുണങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന് നാല് വശങ്ങളും നാല് വലത് കോണുകളും തുല്യ ഡയഗണലുകളും ഉണ്ട്, ഡയഗണലുകളെ കവല പോയിന്റ് കൊണ്ട് പകുതിയായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ മറ്റ് ഗുണവിശേഷതകൾ വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഉണ്ട് അത്യാവശ്യം (വ്യതിരിക്തമായ)ഒപ്പം നിസ്സാരമായ.

സ്വത്ത് വിളിക്കുന്നു കാര്യമായ (വ്യതിരിക്തമായ) ഒരു വസ്തുവിന്, അത് ഈ വസ്തുവിൽ അന്തർലീനമാണെങ്കിൽ അത് കൂടാതെ അത് നിലനിൽക്കില്ല; വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു നിസ്സാരമായ ഒരു വസ്തുവിന് അത് കൂടാതെ നിലനിൽക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന് മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഗുണങ്ങളും അത്യാവശ്യമാണ്. "വശം AD തിരശ്ചീനമാണ്" എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ABCD എന്ന ചതുരത്തിന് അപ്രധാനമായിരിക്കും (ചിത്രം 1). ഈ ചതുരം തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, AD വശം ലംബമായിരിക്കും.

വിഷ്വൽ മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രീസ്‌കൂൾ കുട്ടികൾക്കുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം (ചിത്രം 2):

ചിത്രം വിവരിക്കുക.

ചെറിയ കറുത്ത ത്രികോണം. അരി. 2

വലിയ വെളുത്ത ത്രികോണം.

കണക്കുകൾ എങ്ങനെ സമാനമാണ്?

കണക്കുകൾ എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

നിറം, വലിപ്പം.

ഒരു ത്രികോണത്തിന് എന്താണ് ഉള്ളത്?

3 വശങ്ങൾ, 3 കോണുകൾ.

അങ്ങനെ, "ത്രികോണം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ അനിവാര്യവും അല്ലാത്തതുമായ ഗുണങ്ങൾ കുട്ടികൾ കണ്ടെത്തുന്നു. "മൂന്ന് വശങ്ങളും മൂന്ന് കോണുകളും ഉണ്ടായിരിക്കുക" എന്നതാണ് പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ, അവശ്യമല്ലാത്ത ഗുണങ്ങൾ നിറവും വലുപ്പവുമാണ്.

തന്നിരിക്കുന്ന ആശയത്തിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ അല്ലെങ്കിൽ ഇനത്തിന്റെ എല്ലാ അവശ്യ (വ്യതിരിക്തമായ) ഗുണങ്ങളുടെയും ഗണത്തെ വിളിക്കുന്നു ആശയത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം .

ഉദാഹരണത്തിന്, "സമാന്തരരേഖ" എന്ന ആശയത്തിന്, ഉള്ളടക്കം ഒരു കൂട്ടം ഗുണങ്ങളാണ്: നാല് വശങ്ങളുണ്ട്, നാല് കോണുകൾ ഉണ്ട്, എതിർ വശങ്ങൾ ജോടിയായി സമാന്തരമാണ്, എതിർ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്, എതിർ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, കവല പോയിന്റുകളിലെ ഡയഗണലുകൾ പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. .

ഒരു ആശയത്തിന്റെ അളവും അതിന്റെ ഉള്ളടക്കവും തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധമുണ്ട്: ഒരു ആശയത്തിന്റെ അളവ് വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഉള്ളടക്കം കുറയുന്നു, തിരിച്ചും. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, "ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തി "ത്രികോണം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയുടെ ഭാഗമാണ്, കൂടാതെ "ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കത്തിൽ "ത്രികോണം" എന്ന ആശയത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ ഗുണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, കാരണം ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും മാത്രമല്ല, ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളിൽ മാത്രം അന്തർലീനമായ മറ്റുള്ളവയും ഉണ്ട് ("രണ്ട് വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്", "രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണ്", "രണ്ട് മീഡിയനുകൾ തുല്യമാണ്" മുതലായവ).

വ്യാപ്തി അനുസരിച്ച്, ആശയങ്ങൾ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ഏക, പൊതുവായഒപ്പം വിഭാഗങ്ങൾ.

വോളിയം 1 ന് തുല്യമായ ഒരു ആശയത്തെ വിളിക്കുന്നു ഒരൊറ്റ ആശയം .

ഉദാഹരണത്തിന്, ആശയങ്ങൾ: "യെനിസെ നദി", "റിപ്പബ്ലിക് ഓഫ് തുവ", "മോസ്കോ നഗരം".

വോളിയം 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ആശയങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ .

ഉദാഹരണത്തിന്, ആശയങ്ങൾ: "നഗരം", "നദി", "ചതുർഭുജം", "സംഖ്യ", "ബഹുഭുജം", "സമവാക്യം".

ഏതൊരു ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, കുട്ടികൾ പ്രധാനമായും പൊതു ആശയങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രൈമറി സ്കൂളിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് "അക്കം", "നമ്പർ", "ഒറ്റ അക്ക സംഖ്യകൾ", "രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകൾ", "മൾട്ടി അക്ക സംഖ്യകൾ", "ഫ്രാക്ഷൻ", "ഫ്രാക്ഷൻ" തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങൾ പരിചിതമാണ്. , "സങ്കലനം", "സങ്കലനം" , "തുക", "വ്യവകലനം", "സബ്ട്രാഹെൻഡ്", "മൈനന്റ്", "വ്യത്യാസം", "ഗുണനം", "ഗുണനം", "ഉൽപ്പന്നം", "വിഭജനം", "ഡിവിഡന്റ്", " വിഭജനം", "ക്വോട്ട്", "ബോൾ", "സിലിണ്ടർ", "കോൺ", "ക്യൂബ്", "സമാന്തരപൈപ്പ്", "പിരമിഡ്", "ആംഗിൾ", "ത്രികോണം", "ചതുർഭുജം", "ചതുരം", "ദീർഘചതുരം" , "ബഹുഭുജം", "വൃത്തം" , "വൃത്തം", "വളവ്", "തകർന്ന രേഖ", "വിഭാഗം", "സെഗ്മെന്റ് നീളം", "റേ", "നേരായ രേഖ", "പോയിന്റ്", "നീളം", "വീതി" ", "ഉയരം", "പരിധി", "ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം", "വോളിയം", "സമയം", "വേഗത", "പിണ്ഡം", "വില", "ചെലവ്" എന്നിവയും മറ്റു പലതും. ഈ ആശയങ്ങളെല്ലാം പൊതുവായ ആശയങ്ങളാണ്.

ഗണിതം 1. ഗണിതം എന്ന വാക്ക് എവിടെ നിന്ന് വന്നു 2. ഗണിതം കണ്ടുപിടിച്ചത് ആരാണ്? 3. പ്രധാന വിഷയങ്ങൾ. 4. നിർവ്വചനം 5. പദോൽപ്പത്തി അവസാന സ്ലൈഡിലേക്ക്.

ഈ വാക്ക് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത് (മുമ്പത്തെ സ്ലൈഡിലേക്ക് പോകുക) ഗ്രീക്കിൽ നിന്നുള്ള ഗണിതം - പഠനം, ശാസ്ത്രം) - ഘടനകൾ, ക്രമം, ബന്ധങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ശാസ്ത്രം, വസ്തുക്കളുടെ ആകൃതി എണ്ണുന്നതിനും അളക്കുന്നതിനും വിവരിക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചരിത്രപരമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. യഥാർത്ഥ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ഗണിത വസ്തുക്കളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ആദർശവൽക്കരിക്കുകയും ഈ ഗുണങ്ങളെ ഒരു ഔപചാരിക ഭാഷയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.

ആരാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം കണ്ടുപിടിച്ചത് (മെനുവിലേക്ക് പോകുക) ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെ സാധാരണയായി ആറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന താൽസ് ഓഫ് മിലറ്റസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബി.സി ഇ. , ഗ്രീസിലെ ഏഴ് സന്യാസിമാരിൽ ഒരാൾ. അതെന്തായാലും, തനിക്ക് അറിയാവുന്ന ലോകത്തിന്റെ അതിരുകൾക്കുള്ളിൽ വളരെക്കാലമായി രൂപപ്പെട്ട ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മുഴുവൻ വിജ്ഞാന അടിത്തറയും ആദ്യമായി രൂപപ്പെടുത്തിയത് അദ്ദേഹമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ രചയിതാവ് യൂക്ലിഡ് (ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) ആയിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തെ ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിതാവായി കണക്കാക്കാം.

പ്രധാന വിഷയങ്ങൾ (മെനുവിലേക്ക് പോകുക) ഗണിതശാഖയിൽ ക്രമമോ അളവോ പരിഗണിക്കുന്ന ശാസ്ത്രങ്ങൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, ഇവ അക്കങ്ങൾ, കണക്കുകൾ, നക്ഷത്രങ്ങൾ, ശബ്ദങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഈ അളവുകോൽ കണ്ടെത്തിയ മറ്റെന്തെങ്കിലും ആണോ എന്നത് പ്രധാനമല്ല. . അതിനാൽ, പ്രത്യേക വിഷയങ്ങളൊന്നും പഠിക്കാതെ, ക്രമവും അളവും സംബന്ധിച്ച എല്ലാ കാര്യങ്ങളും വിശദീകരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള സാമാന്യശാസ്ത്രം ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഈ ശാസ്ത്രത്തെ വിദേശീയമല്ല, സാർവത്രിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പഴയ പേര് എന്ന് വിളിക്കണം, അത് ഇതിനകം വന്നിട്ടുണ്ട്. ഉപയോഗത്തിലേക്ക്.

നിർവ്വചനം (മെനുവിലേക്ക് പോകുക) ആധുനിക വിശകലനം ക്ലാസിക്കൽ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഇത് ഗണിതത്തിന്റെ മൂന്ന് പ്രധാന മേഖലകളിൽ ഒന്നായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു (ബീജഗണിതത്തിനും ജ്യാമിതിക്കും ഒപ്പം). അതേ സമയം, ക്ലാസിക്കൽ അർത്ഥത്തിൽ "ഗണിത വിശകലനം" എന്ന പദം പ്രധാനമായും വിദ്യാഭ്യാസ പരിപാടികളിലും മെറ്റീരിയലുകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആംഗ്ലോ-അമേരിക്കൻ പാരമ്പര്യത്തിൽ, ക്ലാസിക്കൽ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം "കാൽക്കുലസ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന കോഴ്സ് പ്രോഗ്രാമുകളുമായി യോജിക്കുന്നു.

പദോൽപ്പത്തി (മെനുവിലേക്ക് പോകുക) "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് പുരാതന ഗ്രീക്കിൽ നിന്നാണ് വന്നത്. , അതായത് പഠനം, അറിവ്, ശാസ്ത്രം മുതലായവ - ഗ്രീക്ക്, യഥാർത്ഥത്തിൽ സ്വീകാര്യമായ, വിജയകരമായ, പിന്നീട് പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട, പിന്നീട് ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്. പ്രത്യേകിച്ചും, ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കല എന്നാണ്. ഈ പദം പുരാതന ഗ്രീക്ക് ആണ്. "ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന വാക്കിന്റെ ആധുനിക അർത്ഥം അരിസ്റ്റോട്ടിലിന്റെ (ബിസി IV നൂറ്റാണ്ട്) കൃതികളിൽ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. റഷ്യൻ ഭാഷയിലെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ "ഗണിതം" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് കുറഞ്ഞത് 17-ാം നൂറ്റാണ്ട് മുതലെങ്കിലും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്. , നിക്കോളായ് സ്പാഫാരിയിൽ "ഒമ്പത് മ്യൂസുകളെക്കുറിച്ചും ഏഴ് സ്വതന്ത്ര കലകളെക്കുറിച്ചും തിരഞ്ഞെടുത്ത സംക്ഷിപ്തങ്ങളുടെ പുസ്തകം" (1672)