ഡിഗ്രാഫ് ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരു ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫിന്റെ നിർവ്വചനം

ഗ്രാഫുകളുടെ തരങ്ങൾ അവയുടെ നിർമ്മാണത്തിന്റെ പൊതുതത്ത്വങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബൈപാർട്ടൈറ്റ് ഗ്രാഫും ഒരു യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫും), അല്ലെങ്കിൽ അവ വെർട്ടീസുകളുടെയോ അരികുകളുടെയോ ചില സവിശേഷതകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡയറക്‌ടുചെയ്‌തതും ദിശാബോധമില്ലാത്തതുമായ ഗ്രാഫ്, ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫ്).

ഡയറക്‌റ്റഡ് ആൻഡ് ഡയറക്‌ട് ചെയ്യാത്ത ഗ്രാഫുകൾ

ലിങ്കുകൾ(ഗ്രാഫിന്റെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളുടെ ക്രമം പ്രാധാന്യമുള്ളതല്ല) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ദിശാബോധമില്ലാത്ത .

എല്ലാ അരികുകളും ഉള്ള ഗ്രാഫുകൾ കമാനങ്ങൾ(ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു അറ്റത്തിന്റെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംവിധാനം ഗ്രാഫുകൾ അഥവാ രേഖാചിത്രങ്ങൾ .

വഴിതിരിച്ചുവിടാത്ത ഗ്രാഫ് രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ് സംവിധാനം ചെയ്ത ഗ്രാഫ് , അതിന്റെ ഓരോ ലിങ്കും വിപരീത ദിശകളുള്ള രണ്ട് ആർക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ.

ലൂപ്പ് ഗ്രാഫുകൾ, മിക്സഡ് ഗ്രാഫുകൾ, ശൂന്യ ഗ്രാഫുകൾ, മൾട്ടിഗ്രാഫുകൾ, സാധാരണ ഗ്രാഫുകൾ, പൂർണ്ണ ഗ്രാഫുകൾ

ഗ്രാഫിൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ ലൂപ്പുകൾ, ഗ്രാഫിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളിലേക്ക് “ലൂപ്പുകളുള്ള” വാക്കുകൾ ചേർത്ത് ഈ സാഹചര്യം പ്രത്യേകം വ്യവസ്ഥ ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, “ഡിഗ്രാഫ് വിത്ത് ലൂപ്പുകൾ”. ഗ്രാഫിൽ ലൂപ്പുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, "ലൂപ്പുകളില്ല" എന്ന വാക്കുകൾ ചേർക്കുന്നു.

മിക്സഡ് സൂചിപ്പിച്ച മൂന്ന് തരങ്ങളിൽ രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും (ലിങ്കുകൾ, ആർക്കുകൾ, ലൂപ്പുകൾ) അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്.

മാത്രം അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് നഗ്നമായ കൊടുമുടികൾ, വിളിച്ചു ശൂന്യം .

മൾട്ടിഗ്രാഫ് ഒന്നിലധികം അരികുകളാൽ ജോഡി ലംബങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്, അതായത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ഒന്നിലധികം അറ്റങ്ങൾ, എന്നാൽ ലൂപ്പുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

ലൂപ്പുകളും ഒന്നിലധികം അരികുകളും ഇല്ലാത്ത ആർക്കുകളില്ലാത്ത (അതായത്, അൺഡയറക്ടഡ്) ഒരു ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണ . ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫ് ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള ഒരു ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു പൂർണ്ണമായ , ഈ തരത്തിന് സാധ്യമായ എല്ലാ അരികുകളും അതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (സ്ഥിരമായ ഒരു കൂട്ടം വെർട്ടിസുകൾക്കൊപ്പം). അങ്ങനെ, പൂർണ്ണമായ ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫിൽ, ഓരോ ജോഡി വ്യത്യസ്‌ത ലംബങ്ങളും കൃത്യമായി ഒരു ലിങ്ക് വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം).

ബൈപാർട്ടൈറ്റ് ഗ്രാഫ്

ഗ്രാഫിനെ ബൈപാർട്ടൈറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു , അതിന്റെ ലംബങ്ങളുടെ ഗണത്തെ രണ്ട് ഉപഗണങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഒരു അരികും ഒരേ ഉപഗണത്തിന്റെ ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം 1.പണിയുക നിറഞ്ഞുബൈപാർട്ടൈറ്റ് ഗ്രാഫ്.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ബൈപാർട്ടൈറ്റ് ഗ്രാഫിൽ രണ്ട് സെറ്റ് വെർട്ടീസുകളും ഒരു സെറ്റിന്റെ ലംബങ്ങളെ മറ്റൊരു സെറ്റിന്റെ ലംബങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ ലിങ്കുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം).

യൂലർ ഗ്രാഫ്

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സ്പർശിച്ചു കൊനിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ. ഈ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള യൂലറുടെ നിഷേധാത്മകമായ പരിഹാരം ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ആദ്യമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ച കൃതിയിലേക്ക് നയിച്ചു. ബ്രിഡ്ജ് ട്രാവെർസൽ പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രാഫ് തിയറി പ്രശ്നത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം: തന്നിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൽ എല്ലാ ലംബങ്ങളും എല്ലാ അരികുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു സൈക്കിൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? ഇത് സാധ്യമാകുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, യൂലർ ഗ്രാഫ് നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളിലും സഞ്ചരിക്കാനും അതേ സമയം ഒരു അരികിലൂടെ ഒരിക്കൽ മാത്രം സഞ്ചരിക്കാനും കഴിയുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്. അതിൽ, ഓരോ ശീർഷകത്തിനും ഇരട്ട അറ്റങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടായിരിക്കൂ.

ഉദാഹരണം 2.ഒരേ സംഖ്യയുള്ള ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രാഫ് ആണ് എൻഓരോ ശീർഷകവും സംഭവിക്കുന്ന അരികുകൾ, ഒരു യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫ്? ഉത്തരം വിശദീകരിക്കുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.

ഉത്തരം. എങ്കിൽ എൻഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ ഓരോ ശീർഷകവും സംഭവമാണ് എൻ-1 വാരിയെല്ലുകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് ഒരു യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫ് ആണ്. അത്തരം ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

റെഗുലർ ഗ്രാഫ്

പതിവ് എണ്ണം എല്ലാ ശീർഷകങ്ങൾക്കും ഒരേ ഡിഗ്രി ഉള്ള ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച ഗ്രാഫ് ആണ് കെ. അങ്ങനെ, 4-റഗുലർ, 2-റെഗുലർ ഗ്രാഫുകൾ അല്ലെങ്കിൽ 4-ആം ഡിഗ്രിയുടെയും 2-ആം ഡിഗ്രിയുടെയും സാധാരണ ഗ്രാഫുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന റെഗുലർ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചിത്രം 2 കാണിക്കുന്നു.

ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫിലെ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം കെ- ബിരുദം കുറവായിരിക്കരുത് കെ+1. ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫിന് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

ഉദാഹരണം 3.ഏറ്റവും ചെറിയ സൈക്കിളിന് നീളം 4 ഉള്ള ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു: ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഒരു സൈക്കിളിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിന്, ഗ്രാഫിലെ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം നാലിന്റെ ഗുണിതമാകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം നാലാണെങ്കിൽ, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് പതിവാണ്, എന്നാൽ അതിന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ചക്രം നീളം 3 ആണ്.

ഞങ്ങൾ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം എട്ടായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു (അടുത്ത സംഖ്യ നാലിന്റെ ഗുണിതമാണ്). ഞങ്ങൾ അരികുകളുമായി ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ശീർഷകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികൾ മൂന്നിന് തുല്യമാണ്. പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രാഫ് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

ഹാമിൽട്ടൺ കൗണ്ട്

ഹാമിൽട്ടൺ കൗണ്ട് ഒരു ഹാമിൽട്ടോണിയൻ സൈക്കിൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്. ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ചക്രം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഗ്രാഫിന്റെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ലളിതമായ ചക്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ് ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഗ്രാഫ്, അതിൽ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളും കടന്നുപോകാൻ കഴിയും, ഒപ്പം ഓരോ ശീർഷവും ഒരിക്കൽ മാത്രം ആവർത്തിക്കുന്നു. ഒരു ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണാം.

ഉദാഹരണം 4.ഇതിൽ ഒരു ബൈപാർട്ടൈറ്റ് ഗ്രാഫ് നൽകിയിരിക്കുന്നു എൻ- സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം എ, എ എം- സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം ബി. ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഗ്രാഫ് ഒരു യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫ്, ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഇത് ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഗ്രാഫ്?

നിങ്ങൾ അൽഗോരിതങ്ങൾ സ്വയം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഗ്രാഫുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും അവ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കുകയും വേണം. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും ഇവിടെ വിശദമായി വിവരിക്കില്ല (ഇത് ആവശ്യമില്ല), എന്നാൽ ഇവയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലായ്മ ഈ പ്രോഗ്രാമിംഗ് മേഖലയുടെ സ്വാംശീകരണത്തെ ഗണ്യമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കും.

കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ചെറിയ രേഖാചിത്രം നൽകും. അതിനാൽ ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫ് ഒരു മെട്രോ മാപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും റൂട്ട് ആണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, പ്രോഗ്രാമർ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ നെറ്റ്‌വർക്കുമായി പരിചിതമാണ്, അത് ഒരു ഗ്രാഫ് കൂടിയാണ്. വരികൾ വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ സാന്നിധ്യമാണ് ഇവിടെ പൊതുവായ കാര്യം. അതിനാൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ നെറ്റ്‌വർക്കിൽ, പോയിന്റുകൾ വ്യക്തിഗത സെർവറുകളാണ്, ലൈനുകൾ വ്യത്യസ്ത തരം ഇലക്ട്രിക്കൽ സിഗ്നലുകളാണ്. മെട്രോയിൽ, ആദ്യത്തേത് സ്റ്റേഷനുകളാണ്, രണ്ടാമത്തേത് അവയ്ക്കിടയിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന തുരങ്കങ്ങളാണ്. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ, പോയിന്റുകളെ വിളിക്കുന്നു കൊടുമുടികൾ (നോഡുകൾ), വരികൾ എന്നിവയാണ് വാരിയെല്ലുകൾ (കമാനങ്ങൾ). അങ്ങനെ, ഗ്രാഫ്അരികുകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ലംബങ്ങളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കാര്യങ്ങളുടെ ഉള്ളടക്കത്തിലല്ല, മറിച്ച് അവയുടെ ഘടനയിലാണ്, മൊത്തത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാത്തിൽ നിന്നും അതിനെ അമൂർത്തമാക്കുന്നു. കൃത്യമായി ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ച്, ചില വസ്തുക്കൾ ഗ്രാഫുകളാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഗമായതിനാൽ, തത്വത്തിൽ ഒരു വസ്തു എന്താണെന്നതിൽ അതിന് യാതൊരു വ്യത്യാസവുമില്ല; അത് ഒരു ഗ്രാഫാണോ, അതായത് ഗ്രാഫുകൾക്ക് ആവശ്യമായ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ടോ എന്നത് മാത്രമാണ് പ്രധാന കാര്യം. അതിനാൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, പരിഗണനയിലുള്ള ഒബ്ജക്റ്റിൽ ഒരു സാമ്യം കാണിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നത് മാത്രം ഞങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു, പൊതുവായത് ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു.

നമുക്ക് കമ്പ്യൂട്ടർ നെറ്റ്‌വർക്കിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഇതിന് ഒരു നിശ്ചിത ടോപ്പോളജി ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പാതകളുടെയും രൂപത്തിൽ പരമ്പരാഗതമായി ചിത്രീകരിക്കാം. ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പൂർണ്ണമായി ബന്ധിപ്പിച്ച ടോപ്പോളജി ഒരു ഉദാഹരണമായി കാണിക്കുന്നു.

ഇത് പ്രധാനമായും ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്. അഞ്ച് കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ലംബങ്ങളാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കണക്ഷനുകൾ (സിഗ്നൽ പാതകൾ) അരികുകളാണ്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളെ വെർട്ടിസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഒബ്ജക്റ്റ് ലഭിക്കും - ഒരു ഗ്രാഫ്, അതിൽ 10 അരികുകളും 5 ലംബങ്ങളും ഉണ്ട്. ശീർഷകങ്ങൾ ഏത് വിധത്തിലും അക്കമിടാം, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ ആവശ്യമില്ല. ഈ ഉദാഹരണം ഒരൊറ്റ ലൂപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, അതായത്, ഒരു ശീർഷകം വിട്ട് ഉടനടി അതിൽ പ്രവേശിക്കുന്ന ഒരു അഗ്രം, പക്ഷേ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ലൂപ്പുകൾ ഉണ്ടാകാം.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില പ്രധാന നൊട്ടേഷനുകൾ ഇതാ:

• G=(V, E), ഇവിടെ G എന്നത് ഗ്രാഫാണ്, V എന്നത് അതിന്റെ ശീർഷകങ്ങളാണ്, E അതിന്റെ അരികുകളാണ്;
• |വി| - ക്രമം (ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം);
• |ഇ| - ഗ്രാഫ് വലുപ്പം (അരികുകളുടെ എണ്ണം).

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ (ചിത്രം 1) |V|=5, |E|=10;

ഏതെങ്കിലും ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് മറ്റേതെങ്കിലും ശീർഷകം ആക്സസ് ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് വിളിക്കുന്നു ദിശാബോധമില്ലാത്തബന്ധിപ്പിച്ച ഗ്രാഫ് (ചിത്രം 1). ഗ്രാഫ് ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് വിളിക്കുന്നു ഓറിയന്റഡ്അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രാഫ് (ചിത്രം 2).

ഡയറക്റ്റഡ്, അൺഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫുകൾക്ക് വെർട്ടെക്‌സ് ഡിഗ്രി എന്ന ആശയമുണ്ട്. ഉയർന്ന ബിരുദംമറ്റ് ലംബങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും ആകെത്തുക അതിന്റെ എല്ലാ അരികുകളുടെയും ഇരട്ടി എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ചിത്രം 2-ന്, എല്ലാ ശക്തികളുടെയും ആകെത്തുക 20 ആണ്.

ഒരു ഡയഗ്രാഫിൽ, ഒരു അൺഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് വെർട്ടിസുകളില്ലാതെ ശീർഷം h-ൽ നിന്ന് ശീർഷം s-ലേക്ക് നീങ്ങാൻ കഴിയും, ഒരു എഡ്ജ് h വിട്ട് s-ൽ പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ മാത്രം, പക്ഷേ തിരിച്ചും അല്ല.

ഡയറക്റ്റ് ചെയ്ത ഗ്രാഫുകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്:

G=(V, A), ഇവിടെ V എന്നത് ശീർഷകങ്ങളാണ്, A എന്നത് അരികുകളാണ്.

മൂന്നാമത്തെ തരം ഗ്രാഫുകളാണ് മിക്സഡ്ഗ്രാഫുകൾ (ചിത്രം 3). അവയ്‌ക്ക് ഡയറക്‌ടുള്ളതും അല്ലാത്തതുമായ അരികുകൾ ഉണ്ട്. ഔപചാരികമായി, ഒരു മിക്സഡ് ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്: G=(V, E, A), ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ഓരോ അക്ഷരങ്ങളും അർത്ഥമാക്കുന്നത് നേരത്തെ നൽകിയ അതേ കാര്യമാണ്.

ചിത്രം 3-ലെ ഗ്രാഫിൽ, ചില ആർക്കുകൾ [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)] സംവിധാനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവ അൺഡയറക്‌ട് ചെയ്യുന്നു [(e, ഡി), (ഇ, ബി), (ഡി, സി)...].

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗ്രാഫുകൾ ഘടനയിൽ വ്യത്യസ്തമായി തോന്നിയേക്കാം, അത് അവയുടെ വ്യത്യസ്ത പ്രാതിനിധ്യം കാരണം ഉയർന്നുവരുന്നു. എന്നാൽ എല്ലായ്‌പ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല. നമുക്ക് രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ എടുക്കാം (ചിത്രം 4).

അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്, കാരണം ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ ഘടന മാറ്റാതെ തന്നെ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊന്ന് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. അത്തരം ഗ്രാഫുകളെ വിളിക്കുന്നു ഐസോമോർഫിക്, അതായത്, ഒരു ഗ്രാഫിൽ നിശ്ചിത എണ്ണം അരികുകളുള്ള ഏതൊരു ശീർഷത്തിനും മറ്റൊരു ഗ്രാഫിൽ സമാനമായ ശീർഷം ഉണ്ടായിരിക്കും. ചിത്രം 4 രണ്ട് ഐസോമോർഫിക് ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫിന്റെ ഓരോ അരികും എഡ്ജിന്റെ ഭാരം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് സസ്പെൻഡ് ചെയ്തു. വ്യത്യസ്‌ത ജോലികളിൽ, വ്യത്യസ്ത തരം അളവുകൾ ഭാരമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, നീളം, വിലകൾ, റൂട്ടുകൾ മുതലായവ. ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യത്തിൽ, ഭാരം മൂല്യങ്ങൾ ഒരു ചട്ടം പോലെ, അരികുകൾക്ക് അടുത്തായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഏതെങ്കിലും ഗ്രാഫിൽ, ഒരു പാത തിരഞ്ഞെടുക്കാനും അതിലുപരിയായി ഒന്നിൽ കൂടുതൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും സാധിക്കും. പാതശീർഷകങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, അവ ഓരോന്നും ഒരു അരികിലൂടെ അടുത്തതിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും ലംബങ്ങൾ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പാതയെ സൈക്കിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു പാതയുടെ നീളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അത് നിർമ്മിക്കുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 4.a-ൽ പാത എന്നത് [(e), (a), (b), (c)] എന്ന ക്രമമാണ്. ഈ പാത ഒരു ഉപഗ്രാഫാണ്, കാരണം രണ്ടാമത്തേതിന്റെ നിർവചനം ഇതിന് ബാധകമാണ്, അതായത്: G'=(V', E') ഗ്രാഫ് G=(V, E) V', E' എന്നിവയാണെങ്കിൽ മാത്രം. V, E യുടേതാണ്.

ആദ്യ പാഠത്തിൽ, ഒരു ഗ്രാഫ് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, സ്പോർട്സ് ടീമുകൾ തമ്മിലുള്ള മത്സരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണമായി നോക്കി. ഞങ്ങൾ. രണ്ട് ടീമുകളെ ബന്ധിപ്പിച്ചു, എ, സി എന്ന് പറയുക, ഈ ടീമുകൾ ഇതിനകം പരസ്പരം കളിച്ചിരുന്ന സന്ദർഭത്തിൽ ഒരു എഡ്ജ് എസി ഉപയോഗിച്ച്. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല: ആരാണ് ഗെയിം വിജയിച്ചത്?
ഈ പോരായ്മ എളുപ്പത്തിൽ ഇല്ലാതാക്കാം. ടീം എ സിയെ തോൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എയിൽ നിന്ന് സിയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന എഡ്ജ് എസിയിൽ ഒരു അമ്പടയാളം സ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നു. ഇതിനകം കളിച്ച എല്ലാ ഗെയിമുകളുടെയും ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാമെന്ന് കരുതി ചിത്രം ചേർക്കുക. 1 പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അമ്പടയാളങ്ങൾ; ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൽ ഈ ഫലം നൽകട്ടെ. 58.

ചിത്രം 58.

ഈ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നത് സിക്കെതിരെ ടീം എ ജയിക്കുകയും, ടീം എഫ് എയോട് തോൽക്കുകയും, ബി എല്ലാ ഗെയിമുകളും ജയിക്കുകയും ചെയ്തു - സി, ഇ, എഫ് മുതലായവ.

എഡ്ജ്ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഓറിയന്റഡ്, ഒരു ശീർഷകം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ വാരിയെല്ലിന്റെ തുടക്കം, മറ്റൊന്ന് - അവസാനം.
അരികുകളെല്ലാം ഓറിയന്റഡ് ആയ ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു ഓറിയന്റേഷൻഗ്രാഫ്.
ഡയറക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത ഗ്രാഫിന്റെ അതേ ശീർഷകം ചില അരികുകളുടെ തുടക്കമായും മറ്റുള്ളവയുടെ അവസാനമായും വർത്തിക്കും. അതനുസരിച്ച്, രണ്ട് ഡിഗ്രി അഗ്രം വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു: എക്സിറ്റ് ബിരുദവും പ്രവേശന ബിരുദവും.
വിളവ് നിരക്ക്ഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ശീർഷകത്തിന്റെ A എന്നത് A-ൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ് (നൊട്ടേഷൻ: d+(A)).
ഒരു ഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫിന്റെ വെർട്ടെക്സ് എയുടെ ഇൻപുട്ട് ഡിഗ്രിയാണ് ഇതിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം എവാരിയെല്ലുകൾ (പദവി: d-(A)).
ചില കളികൾ സമനിലയിൽ അവസാനിച്ചാലോ? അനുബന്ധ അറ്റങ്ങൾ അൺഡയറക്ട് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഗ്രാഫിൽ നറുക്കെടുപ്പ് ഫലങ്ങൾ നമുക്ക് പ്രതിഫലിപ്പിക്കാനാകും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിക്കും smeനിഴൽ കണക്ക്, ഓറിയന്റഡ്, അൺഓറിയന്റഡ് അറ്റങ്ങൾ ഉണ്ട്.
ഒരു ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫിലെ പാത A1 മുതൽ An വരെയുള്ള G എന്നത് ഓറിയന്റഡ് അരികുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്<А1; А2>, <А2; А3>, ..., <Аn-1; Аn>, മുമ്പത്തെ ഓരോ എഡ്ജിന്റെയും അവസാനം അടുത്തതിന്റെ തുടക്കവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു, അരികുകളൊന്നും ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിക്കുന്നില്ല.

അരി. 59
ഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിൽ G ആണെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് ഒരു പാതയുണ്ട് എ B ലേക്ക്, പിന്നെ നിന്ന് മടക്കയാത്ര INലേക്ക് എആയിരിക്കില്ല (ചിത്രം 59).
എ മുതൽ ബി വരെ ഒരു ഡയറക്ട് പാത്ത് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ബി എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എത്തിച്ചേരുകമാഎയിൽ നിന്ന്,
ചിത്രം 38 V ലെ G കോളത്തിൽ നേടാനാകും
എയിൽ നിന്ന്, ബിയിൽ നിന്ന് എ എത്തില്ല.
ലളിതമായ വഴിഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിൽ ഒന്നിലധികം തവണ ശീർഷകം അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു പാതയെ വിളിക്കുന്നു. അടഞ്ഞ പാതഒരു ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഡയറക്റ്റ് സൈക്കിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പാതയുടെ നീളംഈ പാതയിലെ അരികുകളുടെ എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു.
ദൂരംഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിലെ A മുതൽ B വരെയുള്ളത് A മുതൽ B വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയുടെ ദൈർഘ്യമാണ്. A മുതൽ B വരെയുള്ള പാത ഇല്ലെങ്കിൽ, A- യിൽ നിന്ന് B വരെയുള്ള ദൂരത്തെ അനന്തമെന്ന് വിളിക്കുകയും സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. A മുതൽ B വരെയുള്ള ദൂരം S (AB) ആയി നമ്മൾ സൂചിപ്പിക്കും. ചിത്രം 38-ലെ ഗ്രാഫിനായി
S (AB) = 1, S (CB) - 2, S (BC) = ?.
പ്രശ്നം 9.1.
ഒരു കടൽത്തീര റിസോർട്ട് പട്ടണത്തിൽ, വൺ-വേ ട്രാഫിക് സ്ഥാപിച്ചതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ കവലയിലും പ്രവേശിക്കാൻ കഴിയുന്ന തെരുവുകളുടെ എണ്ണം നിങ്ങൾക്ക് അത് ഉപേക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്ന തെരുവുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് മനസ്സിലായി. ഒരേ സ്ഥലത്ത് ആരംഭിച്ച് അവസാനിക്കുന്നതും ഓരോ തെരുവ് ഭാഗത്തിലൂടെയും കൃത്യമായി ഒരു തവണ കടന്നുപോകുന്നതുമായ ഒരു പട്രോളിംഗ് റൂട്ട് നിർദ്ദേശിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം.
നഗരത്തിലെ ചലനത്തെ നിർവചിക്കുന്ന ഒരു ഡിഗ്രാഫ് ജി നിർമ്മിക്കാം.
ഡിഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു യോജിച്ച,അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശിഖരങ്ങളിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് അവയുടെ ഓറിയന്റേഷൻ കണക്കിലെടുക്കാതെ ചാപങ്ങളിലൂടെ സഞ്ചരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ. ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച ഡിഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു യൂലർ,അതിന് ഒരു യൂലേറിയൻ സൈക്കിൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ.
സിദ്ധാന്തം 12. കണക്റ്റുചെയ്‌ത ഒരു ഡിഗ്രാഫ് അതിന്റെ ഓരോ ലംബങ്ങൾക്കും ആണെങ്കിൽ മാത്രം യൂലേറിയൻ ആണ്വിസമത്വം നിലനിർത്തുന്നുഡി- (വി) = ഡി+ (വി) .
പ്രശ്നം 4.2 ലെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അതേ രീതിയിൽ തന്നെ സിദ്ധാന്തവും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
പ്രശ്‌നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, നിർമ്മിച്ച ഗ്രാഫ് G യുടെ ലംബങ്ങൾക്ക് d-(v) = d+(v) തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു. തൽഫലമായി, യൂലേറിയൻ ഗ്രാഫ് ജിയും യൂലേറിയൻ സൈക്കിളും ആവശ്യമുള്ള പട്രോളിംഗ് റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കും.
പ്രശ്നം 9.2.
വിമാനത്തിൽ പരിമിതമായ എണ്ണം പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ചില ജോഡി പോയിന്റുകൾ വെക്റ്ററുകളുടെ തുടക്കവും അവസാനവുമാണ്, കൂടാതെ ഏത് ബിന്ദുവിൽ പ്രവേശിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണം അതിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
വെക്റ്ററുകളോടൊപ്പം വിമാനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളും ഒരു ഡിഗ്രാഫ് ജി രൂപീകരിക്കുന്നു. ഒരു ഡിഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ചക്രം, അതിന്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്, ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു കോണ്ടൂർ.
സിദ്ധാന്തം 13. ബന്ധിപ്പിച്ച ഡിഗ്രാഫ്ജിEulers എങ്കിൽ മാത്രംജിജോഡിയായി പൊതുവായ അരികുകളില്ലാത്ത രൂപരേഖകളുടെ ഒരു യൂണിയൻ ആണ്.
തെളിവ്. ആവശ്യം. G ഒരു യൂലേറിയൻ ഡിഗ്രാഫ് ആയിരിക്കട്ടെ. അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശീർഷകം u1 പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് ശീർഷം u1 ചില ആർക്കിനൊപ്പം വിടാം (u1, u2). ഡിഗ്രാഫ് ജി കണക്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നതിനാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. d-(u2) = d+(u2) ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ശീർഷം u2 ൽ നിന്ന് ആർക്ക് (u2, u3) സഹിതം പുറത്തുകടക്കാം. . ഡിഗ്രാഫ് ജിക്ക് പരിമിതമായ എണ്ണം ശീർഷങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ അവസാനം നമ്മൾ മുമ്പ് ഉണ്ടായിരുന്ന ഏതെങ്കിലുമൊരു ശീർഷത്തിൽ അവസാനിക്കും. ശീർഷം w യിൽ ആരംഭിക്കുകയും അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ശൃംഖലയുടെ ഭാഗം കോണ്ടൂർ C1 ആണ്. ഡിഗ്രാഫ് ജിയിൽ നിന്ന് കോണ്ടൂർ C1 ന്റെ ആർക്കുകൾ നീക്കം ചെയ്യാം . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഡിഗ്രാഫ് G1 ൽ (ഒരുപക്ഷേ വിച്ഛേദിക്കപ്പെട്ടിരിക്കാം), C യുടെ ലംബങ്ങളുടെ എൻട്രി, എക്സിറ്റ് ഡിഗ്രികൾ ഒന്നായി കുറഞ്ഞു, ശേഷിക്കുന്ന വെർട്ടിസുകളുടെ എൻട്രി, എക്സിറ്റ് ഡിഗ്രികൾ മാറിയില്ല. തൽഫലമായി, ഡിഗ്രാഫ് C1 ന്റെ ഏത് ശീർഷകത്തിനും d-(v) = d+(v) തുല്യത നിലനിർത്തും. അതിനാൽ, ഡിഗ്രാഫ് ജി 1 ൽ നമുക്ക് കോണ്ടൂർ സി തിരഞ്ഞെടുക്കാം 2 തുടങ്ങിയവ.
ഒരു യൂലേറിയൻ ചക്രത്തിലേക്ക് രൂപരേഖകൾ സംയോജിപ്പിച്ച് പര്യാപ്തത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു (പ്രശ്നം 4.2 ലെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് കാണുക).
സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിലെ വെക്റ്ററുകളെ നിർവചിക്കുന്ന ഡിഗ്രാഫ് ജി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ലായിരിക്കാം. ഡിഗ്രാഫിന്റെ ഓരോ ബന്ധിപ്പിച്ച ഭാഗങ്ങളിലും തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു വിഭജനം കോണ്ടറുകളായി ലഭിക്കും. ഒരു കോണ്ടൂരിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, എല്ലാ വെക്റ്ററുകളുടെയും ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്.

സംവിധാനം ചെയ്ത ഗ്രാഫ്(ചുരുക്കത്തിൽ ഡിഗ്രാഫ്) - (മൾട്ടി) ഗ്രാഫ് അതിന്റെ അരികുകൾ ഒരു ദിശ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു. നേരിട്ടുള്ള അറ്റങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു കമാനങ്ങൾ, ചില സ്രോതസ്സുകളിൽ വെറും വാരിയെല്ലുകൾ. ഒരു ദിശയും നൽകാത്ത ഗ്രാഫിനെ അൺഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫ് അല്ലെങ്കിൽ നോൺ-ഡിഗ്രാഫ്.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

ഔപചാരികമായി, ഡിഗ്രാഫ് D = (V , E) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ D=(V,E))പലതും അടങ്ങുന്നു വി (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ വി), അതിന്റെ ഘടകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു കൊടുമുടികൾ, സെറ്റുകളും ഇ (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ ഇ)ക്രമീകരിച്ച ജോഡി ലംബങ്ങൾ u, v ∈ V (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ u,v\in V).

ആർക്ക് (u , v) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (u,v)) സാന്ദർഭികമായകൊടുമുടികൾ u (\displaystyle u)ഒപ്പം v (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v). അതേ സമയം അവർ പറയുന്നു u (\displaystyle u) - പ്രാരംഭ ശീർഷകംകമാനങ്ങൾ, ഒപ്പം v (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v) - അവസാന കൊടുമുടി.

കണക്റ്റിവിറ്റി

റൂട്ട്ഒരു ഡിഗ്രാഫിൽ ലംബങ്ങളുടെ ഒരു ഇതര ക്രമമാണ് ആർക്ക്, തരം v 0 (v 0, v 1) v 1 (v 1, v 2) v 2. . . v n (\displaystyle v_(0)\(v_(0),v_(1)\)v_(1)\(v_(1),v_(2)\)v_(2)...v_(n))(ലംബങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം). റൂട്ടിന്റെ നീളം- അതിലെ ആർക്കുകളുടെ എണ്ണം.

പാതഇതുണ്ട് റൂട്ട്ചാപങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാതെ ഒരു ദ്വിഗ്രാഫിൽ, എളുപ്പവഴി- ആവർത്തിക്കുന്ന ശീർഷങ്ങൾ ഇല്ല. ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു പാതയുണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ ശീർഷകം നേടാവുന്നത്ആദ്യം മുതൽ.

സർക്യൂട്ട്അടഞ്ഞ ഒന്ന് ഉണ്ട് പാത.

വേണ്ടി പകുതി വഴിആർക്കുകളുടെ ദിശയിലുള്ള നിയന്ത്രണം നീക്കം ചെയ്തു, കൂടാതെ പകുതി വഴിഒപ്പം പകുതി സർക്യൂട്ട്.

ഡിഗ്രാഫ് വളരെ യോജിപ്പുള്ള, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ശക്തമായ, അതിന്റെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളും പരസ്പരമുള്ളതാണെങ്കിൽ നേടാവുന്നത്; വൺ-വേ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഏകപക്ഷീയമായ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ശീർഷങ്ങൾക്കായി കുറഞ്ഞത് ഒരെണ്ണമെങ്കിലും മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് എത്തിച്ചേരാവുന്നതാണെങ്കിൽ; അയഞ്ഞ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ദുർബലമായ, ആർക്കുകളുടെ ദിശയെ അവഗണിക്കുന്നത് ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച (മൾട്ടി) ഗ്രാഫ് ഉണ്ടാക്കുന്നുവെങ്കിൽ;

പരമാവധി ശക്തമായഉപഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശക്തമായ ഘടകം; ഏകപക്ഷീയമായ ഘടകംഒപ്പം ദുർബല ഘടകംസമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

കാൻസൻസേഷൻഡിഗ്രാഫ് ഡി (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ ഡി)ഒരു ഡിഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ലംബങ്ങൾ ശക്തമായ ഘടകങ്ങളാണ് ഡി (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ ഡി), ഒപ്പം ആർക്ക് ഇൻ D ⋆ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ D^(\star ))അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ലംബങ്ങൾക്കിടയിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ആർക്ക് സാന്നിദ്ധ്യം കാണിക്കുന്നു.

അധിക നിർവചനങ്ങൾ

സംവിധാനം ചെയ്ത അസൈക്ലിക് ഗ്രാഫ്അഥവാ ഊഞ്ഞാൽഒരു നോൺ-കോണ്ടൂർ ഡിഗ്രാഫ് ഉണ്ട്.

അരികുകളുടെ ദിശ വിപരീത ദിശയിലേക്ക് മാറ്റിക്കൊണ്ട് തന്നിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു വിപരീതം.

മൂന്ന് നോഡുകളുള്ള എല്ലാ ഡിഗ്രാഫുകളുടെയും ചിത്രവും ഗുണങ്ങളും

ഇതിഹാസം: കൂടെ- ദുർബലമായ, ഒ.എസ്- ഏകപക്ഷീയമായ, എസ്.എസ്- ശക്തമായ, എൻ- ഒരു ഡയറക്ട് ഗ്രാഫ് ആണ്, ജി- ഒരു ഹമ്മോക്ക് (അസൈക്ലിക്), ടി- ഒരു ടൂർണമെന്റ് ആണ്

0 കമാനങ്ങൾ	1 ആർക്ക്	2 കമാനങ്ങൾ	3 കമാനങ്ങൾ	4 കമാനങ്ങൾ	5 കമാനങ്ങൾ	6 കമാനങ്ങൾ
ശൂന്യം, എൻ, ജി	എൻ, ജി		ഒ.എസ്	CC	CC	മുഴുവൻ, CC
		ഒഎസ്, എൻ, ജി	സിസി, എൻ, ടി	CC
		സി, എൻ, ജി	ഒഎസ്, എൻ, ജി, ടി	ഒ.എസ്
		സി, എൻ, ജി	ഒ.എസ്

ഒരു എഡ്ജ് എന്നത് ക്രമീകരിച്ച ജോഡി ലംബങ്ങളാണ്. അതിന്റെ ഓരോ അരികുകളുടെയും ദിശ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു ഓറിയന്റഡ്.

വ്യക്തമായും ടൂർണമെന്റുകൾക്കുള്ള ഒരു അപേക്ഷ. ഉദാഹരണത്തിന്, അമ്പടയാളം തോറ്റ ടീമിൽ നിന്ന് വിജയിക്കുന്ന ടീമിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനാൽ ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫ് ആരാണ് കളിച്ചതെന്ന് മാത്രമല്ല, ആരാണ് വിജയിച്ചതെന്നും കാണിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശിച്ച ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നതോ മുൻഗണനാ ബന്ധങ്ങളോ നിർവചിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, അൽഗോരിതം ഗ്രാഫുകളിൽഗ്രാഫിന്റെ ലംബങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ഓപ്പറേഷൻ നടത്തുന്നു, ഒപ്പം ആർക്കുകൾ (ഓറിയന്റഡ് അറ്റങ്ങൾ) യോജിക്കുന്നു ഡാറ്റ ഡിപൻഡൻസികൾ(അതായത്, പ്രവർത്തനം നടത്താൻ എന്ത് ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്).

ഉദാഹരണത്തിന്, സങ്കീർണ്ണമായ സാമ്പിൾ മൂല്യനിർണ്ണയത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഭൂഗർഭശാസ്ത്രത്തിൽ), എഡ്ജിന്റെ ദിശ മുൻഗണനയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ മുൻഗണനാ സംവിധാനത്തിൽ സൈക്കിളുകൾ ഉണ്ടാകരുത്

താന്യ നതാഷ

അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്താൻ കഴിയും, അല്ലാത്തപക്ഷം മുൻഗണനകളുടെ സിസ്റ്റം പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു ദിശയിൽ.

ഡ്രൈവിംഗ് ദിശകളുള്ള ഒരു റോഡ് മാപ്പ് ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു. ടു-വേ റോഡുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു റോഡിന് പകരം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ അരികിന് പകരം) ഒരേ ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതും വിപരീത ദിശകളുള്ളതുമായ രണ്ട് ഓറിയന്റഡ് അരികുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് നഗരത്തിലെ തെരുവുകൾ തെരുവുകളിൽ ട്രാഫിക് നിയമങ്ങൾ ലംഘിക്കാതെ ഏത് പോയിന്റിൽ നിന്നും മറ്റേതൊരു സ്ഥലത്തേക്കും വാഹനമോടിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ ക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുക എന്നതാണ് ചോദ്യം.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: ഒരു ഗ്രാഫ് ജിയുടെ അരികുകൾ ഏത് ജോഡി ലംബങ്ങൾക്കും അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഓറിയന്റഡ് ചെയിൻ ഉള്ളതിനാൽ ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഓറിയന്റഡ് ചെയ്യാൻ കഴിയുക?

അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ ഗ്രാഫും ബന്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ ഇത് പര്യാപ്തമല്ല.

E = (A,B) എന്ന എഡ്ജ് വിളിക്കും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വാരിയെല്ല്, അഥവാ ഇസ്ത്മസ്, എയിൽ നിന്ന് ബിയിലേക്കുള്ള ഏക പാതയാണെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും).

ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന എഡ്ജ് ഗ്രാഫിന്റെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളെയും രണ്ട് സെറ്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു: E യുടെ അരികിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ A യിൽ നിന്ന് എത്തിച്ചേരാവുന്നവ, E യിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ B യിൽ നിന്ന് എത്തിച്ചേരാവുന്നവ. ഈ കേസിൽ ഗ്രാഫിൽ G രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. 1, G 2 എന്നിവ E എഡ്ജ് വഴി മാത്രം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം a, a+1).

നഗര ഭൂപടത്തിൽ, നഗരത്തിന്റെ ഓരോ ഭാഗങ്ങളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരേയൊരു ഹൈവേയാണ് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന എഡ്ജ്. അത്തരമൊരു ഹൈവേയിൽ വൺ-വേ ട്രാഫിക് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നഗരത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് കടന്നുപോകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

E i = (A i, B i) എന്ന എഡ്ജ് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, A i, B i എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മറ്റൊരു പാതയുണ്ട്, E i വഴി കടന്നുപോകുന്നില്ല. അതിനാൽ, അത്തരമൊരു അറ്റത്തെ ഞങ്ങൾ സൈക്ലിക് എഡ്ജ് എന്ന് വിളിക്കും.

ചിത്രം.2 ബൈൻഡിംഗ് ചിത്രം. 2+1 ഫൈനൽ (ലിങ്കിംഗ്) ചിത്രം 2+2 സൈക്ലിക്

വാരിയെല്ല് വാരിയെല്ല്

സിദ്ധാന്തം 1 എങ്കിൽ ജി- അൺഡയറക്‌ട് കണക്റ്റുചെയ്‌ത ഗ്രാഫ്, തുടർന്ന് ചാക്രിക അരികുകൾ ഓറിയന്റുചെയ്യുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ് ജി , ഈ ഗ്രാഫിലെ ഏത് ജോഡി വെർട്ടീസുകളും ഒരു ഡയറക്‌ട് പാത്ത് വഴി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന അരികുകൾ അൺഡയറക്‌ട് ചെയ്യാതെ വിടുന്നു.

ഒരു സിറ്റി പ്ലാനിനായി, ഈ പ്രസ്താവന ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: പാലങ്ങളിലും (ഈ പാലം നദിക്ക് കുറുകെയുള്ള ഒരേയൊരു പാലമാണെങ്കിൽ) നിർജ്ജീവമായ അറ്റങ്ങളിലും മാത്രമേ ഇരു-വഴി ഗതാഗതം അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂവെങ്കിൽ, മറ്റെല്ലാ തെരുവുകളിലും വൺ-വേ ട്രാഫിക്. നഗരത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളിലും ഗതാഗതം ആശയവിനിമയം നൽകുന്ന തരത്തിൽ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

ഗ്രാഫിനെ ഉചിതമായി ഓറിയന്റുചെയ്യാനുള്ള ഒരു മാർഗം വ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനാകും. നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം ജി ഏകപക്ഷീയമായ എഡ്ജ് E = (A,B) . എങ്കിൽ ഇ - ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന എഡ്ജ്, അത് രണ്ട് വശങ്ങളായി തുടരും, തുടർന്ന് അതിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ കഴിയും എ ലേക്ക് IN തിരിച്ചും (ചിത്രം 2+3).

fig.2+3 അത്തി. 2+4

എങ്കിൽ ഇ ഒരു ചാക്രിക എഡ്ജ് ആണ്, പിന്നെ അത് ചില സൈക്കിളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് കൂടെ, അതിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചാക്രിക ഓറിയന്റേഷൻ സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും (ചിത്രം 2+4).

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചില ഭാഗങ്ങൾ ഓറിയന്റഡ് ചെയ്തുവെന്ന് കരുതുക എൻ ഗ്രാഫ് ജി, അങ്ങനെ ഗ്രാഫിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് എൻ വൺ-വേ ട്രാഫിക് നിയമങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ മറ്റേതെങ്കിലും ശീർഷകത്തിലേക്ക് പോകാം. ഗ്രാഫ് മുതൽ ജി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പിന്നെ ഒന്നുകിൽ എൻ മുഴുവൻ ഗ്രാഫുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ജി, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അരികുണ്ട് ഇ= (എ, ബി), ഉൾപ്പെടാത്തത് എൻ , എന്നാൽ അതിന്റെ ശീർഷകങ്ങളിൽ ഒന്ന്, പറയുക എ , വകയാണ് എൻ .

എങ്കിൽ ഇ - ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വാരിയെല്ല് എബി , പിന്നീട് അത് രണ്ട് വശങ്ങളായി തുടരും. പിന്നെ ഏത് ശീർഷകത്തിനും എക്സ് ഗ്രാഫ് എൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഓറിയന്റഡ് ചെയിൻ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും ആർ , ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു എയ്‌ക്കൊപ്പം എക്‌സ് , അതിനർത്ഥം (അരികിലൂടെ ഇ ), ഒപ്പം IN . മുകളിൽ നിന്ന് തിരികെ IN അരികിലൂടെ ഇ നിങ്ങൾക്ക് പോകാം എ , തുടർന്ന് ഏകദേശ ശൃംഖലയിൽ Z - നിന്ന് എ ലേക്ക് എക്സ് (ചിത്രം a+5). അറ്റാച്ചുചെയ്യുന്നു ഇ ലേക്ക് എച്ച് , ഗ്രാഫിന്റെ ഭൂരിഭാഗവും നമുക്ക് ഇതിനകം ലഭിക്കും ജി , ആവശ്യമായ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉള്ളത്. എഡ്ജ് എങ്കിൽ ഇ= (എ, ബി) ചാക്രികമാണ്, അത് ചില ചക്രങ്ങളുടേതാണ് കൂടെ . ഞങ്ങൾ ദിശ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു കൂടെ നിന്ന് എ മുമ്പ് IN പിന്നെയും കൂടെ കൂടെ ആദ്യത്തെ കൊടുമുടിയിലേക്ക് ഡി നിന്ന് കൂടെ ഉടമസ്ഥതയിലുള്ള എൻ (ചിത്രം a+6).

അരി. a+5 അത്തി. a+6

ഈ അരികുകളെല്ലാം ഞങ്ങൾ അറ്റാച്ചുചെയ്യും എൻ . അനുവദിക്കുക എക്സ് - നിന്ന് ഏകപക്ഷീയമായ ശീർഷകം എൻ , എ യു - നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ശീർഷകം കൂടെ ; നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഓറിയന്റഡ് ചെയിൻ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും ആർ , ഉൾപ്പെടുന്ന എൻ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതും എക്സ് കൂടെ എ , പിന്നെ കൂടെ കൂടെ മുകളിലേക്ക് പോകുക യു നിന്ന് കൂടെ . തിരികെ, നിന്ന് യു നിനക്ക് കൂടെ നടക്കാം കൂടെ മുകളിലേക്ക് ഡി , അതിൽ നിന്ന് - ഉൾപ്പെട്ടതാണ് എൻ ഓറിയന്റഡ് ചെയിൻ Z - നിന്ന് ഡി ലേക്ക് എക്സ് . അതിനാൽ, ചേർത്തുകൊണ്ട് ലഭിച്ച ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫ് എൻ വ്യക്തമാക്കിയ ലൂപ്പ് അറ്റങ്ങൾ കൂടെ , ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിനെ ആവശ്യമുള്ള രീതിയിൽ ഓറിയന്റുചെയ്യുന്നു ജി .

വെർട്ടക്സ് ഡിഗ്രികൾ.

ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫുകൾക്കായി, നമുക്ക് ഓരോ ശീർഷത്തിലും ഔട്ട്‌ഗോയിംഗ് അരികുകളുടെ p(A) സംഖ്യയും ഇൻകമിംഗ് അരികുകളുടെ p * (A) സംഖ്യയും ഉണ്ട്. അരികുകളുടെ ആകെ എണ്ണം ഇതാണ്:

N = p(A 1) + p(A 2) +... + p(A n) = p * (A 1)+p * (A 2)+...+p * (A n)

വിവിധ തരം ഗ്രാഫുകൾ ഉണ്ട്, അതിനായി ലംബങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികൾക്ക് ചില പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ട്. ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അതിന്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളുടെയും ഡിഗ്രികൾ ഒരേ സംഖ്യ r ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ: ഓരോ ശീർഷകത്തിനും A:

p(A) = p * (A) = r

വ്യായാമം ചെയ്യുക

n = 2,6,7,8 ശീർഷകങ്ങളുടെ എണ്ണം ഉപയോഗിച്ച് r = 2 ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക.

ബന്ധം.

ബന്ധങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും.

ഓരോ ഗണിതശാസ്ത്ര സംവിധാനവും ചില ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെയോ ഘടകങ്ങളുടെയോ ഒരു കൂട്ടം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. (അടയാളങ്ങൾ: ബീജഗണിതം, ജ്യാമിതി)

ഒരു ഗണിത സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഈ ഘടകങ്ങൾ മാത്രമല്ല, അവയും ആവശ്യമാണ് ബന്ധംഅവര്ക്കിടയില്. (ഉദാഹരണങ്ങൾ: അക്കങ്ങൾക്ക് a > b; ജ്യാമിതിയിൽ - ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വം, // നേർരേഖകൾ; സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ - സമത്വവും സെറ്റുകളുടെ ഉൾപ്പെടുത്തലും.)

ഈ ബന്ധങ്ങളെല്ലാം രണ്ട് വസ്തുക്കളെ ബാധിക്കുന്നു, അതിനാലാണ് അവയെ വിളിക്കുന്നത് ബൈനറി ബന്ധങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ബന്ധങ്ങൾ, മറ്റ് തരത്തിലുള്ള ബന്ധങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന് ത്രിതല ബന്ധങ്ങൾ, മൂന്ന് വസ്തുക്കളെ സംബന്ധിച്ച്. (ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റ് എ ബി, സി പോയിന്റുകൾക്കിടയിലാണ്).

R എന്ന ബൈനറി ബന്ധത്തിന്റെ പൊതുവായ ഒരു നിർവചനം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം: аRв - в എന്നത് R യുമായുള്ള ബന്ധത്തിലാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, a > b എന്ന ബന്ധം അർത്ഥമാക്കുന്നത്, a-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ പെടുന്നു എന്നാണ്

വാസ്തവത്തിൽ, ഓരോ ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫ് ജിയും അതിന്റെ വെർട്ടെക്സ് സെറ്റിലെ ചില ബന്ധങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധം രൂപത്തിൽ എഴുതാം: аGв. ഗ്രാഫിന് a മുതൽ b വരെ പോകുന്ന ഒരു ഡയറക്ട് എഡ്ജ് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

പ്രത്യേക വ്യവസ്ഥകൾ.

ചില റിലേഷൻ R നൽകട്ടെ, ഒരു മൂലകം a അതുമായുള്ള R ബന്ധത്തിലാണെങ്കിൽ, അത് ഗ്രാഫിലെ ഒരു ലൂപ്പുമായി യോജിക്കുന്നു.

аRв തൃപ്‌തികരമാകുന്ന വ്യവസ്ഥ R റിലേഷൻ ഏതെങ്കിലും എ, വിളിച്ചു പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന.

ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് аRв എന്ന അവസ്ഥ തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, R എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രതിഫലന വിരുദ്ധ മനോഭാവം.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ശീർഷകത്തിലും ലൂപ്പ് ഇല്ല.

ഓരോ ബന്ധത്തിനും R നമുക്ക് നിർവചിക്കാം വിപരീത അനുപാതം R*, aR * എന്നതിലും aR in ആണെങ്കിൽ മാത്രം.

വിപരീത ബന്ധത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് R ന് അനുയോജ്യമായ ഗ്രാഫിന് ഒരു എഡ്ജ് (a, b) ഉണ്ടെങ്കിൽ, R * ന് അനുയോജ്യമായ G * ഗ്രാഫിന് ഒരു എഡ്ജ് ഉണ്ടായിരിക്കണം (b, a). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഗ്രാഫ് G * എന്നത് G യുടെ വിപരീതമാണ്, അതായത്. G-യുടെ അതേ അരികുകളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ്, എന്നാൽ വിപരീത ദിശയിലാണ്.

ബന്ധം വിളിക്കുന്നു സമമിതി, aRb എന്നത് bRa ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ.

ഒരു സമമിതി ബന്ധം ദിശാബോധമില്ലാത്ത അരികുകളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫുമായി യോജിക്കുന്നു; നേരെമറിച്ച്, ദിശയില്ലാത്ത അരികുകളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ് ചില സമമിതി ബന്ധങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നു.

ബന്ധം വിളിക്കുന്നു ആന്റിസിമെട്രിക്, അത് аRв-ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, അത് Rа-ൽ സംഭവിക്കില്ല. ആൻറിസിമ്മട്രിക് റിലേഷൻഷിപ്പ് ഗ്രാഫുകൾക്ക് ഒരേ ജോഡി ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ദിശയില്ലാത്തതോ വിപരീത ദിശയിലുള്ളതോ ആയ അരികുകളില്ല; കൂടാതെ, അവയിൽ ലൂപ്പുകളൊന്നുമില്ല, അതായത്. ഈ ബന്ധങ്ങൾ റിഫ്ലെക്‌സിവ് വിരുദ്ധമാണ്.

അനുപാതം ട്രാൻസിറ്റീവ് ആയി, аRв, вRс എന്നീ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ, അത് ആ ആർസിയെ പിന്തുടരുന്നു.

ഒരു ട്രാൻസിറ്റീവ് റിലേഷൻ ഗ്രാഫിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വഭാവ സവിശേഷതകളുണ്ട്: ഓരോ ജോഡി അരികുകൾക്കും (a, b), (b, c) ഉണ്ട് പിന്നിലായിഅറ്റം. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ആവർത്തിച്ച് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഈ ഗ്രാഫിൽ X ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് Y ശീർഷത്തിലേക്ക് പോകുന്ന ഒരു ഓറിയന്റഡ് പാത്ത് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഓറിയന്റഡ് എഡ്ജും (x, y) ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു.

ട്രാൻസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഡയറക്റ്റ് ചെയ്ത അരികുകളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ് G ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരു ഡയറക്‌റ്റ് ഗ്രാഫ് G അതിന്റെ തുടർച്ചയായ ഓരോ ജോഡി അരികുകൾക്കും ഒരു ക്ലോഷർ അറ്റാച്ചുചെയ്യുന്നത് വരെ അതിലേക്ക് ഡയറക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത അരികുകൾ ചേർത്ത് ട്രാൻസിറ്റീവ് ആക്കാം. ഈ രീതിയിൽ ലഭിക്കുന്ന പുതിയ ഗ്രാഫ് G m എന്ന് വിളിക്കുന്നു ട്രാൻസിറ്റീവ് ക്ലോഷർകോളം ജി.

തുല്യത ബന്ധങ്ങൾ.

ഒരു തുല്യതാ ബന്ധം, സാധാരണയായി ~ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ഗുണങ്ങളാൽ വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:

1). റിഫ്ലെക്സിവിറ്റി: a ~ a;

2). സമമിതി: a ~ മുതൽ Þ മുതൽ ~ a വരെ;

3). ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി: a ~ ൽ നിന്നും ~ c Þ a ~ c.

വാസ്തവത്തിൽ, തുല്യതാ ബന്ധം സമത്വത്തിന്റെ സ്വത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണമാണ്.

തുല്യതാ ബന്ധം ലംബങ്ങളുടെ ഗണത്തിലേക്ക് ഒരു പാർട്ടീഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു അസംബന്ധ തുല്യത ക്ലാസുകൾ.

ശീർഷം i ന് തുല്യമായ G യുടെ തുല്യതാ ഗ്രാഫിന്റെ ശീർഷകങ്ങളുടെ കൂട്ടം B i ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ B i യുടെ എല്ലാ ലംബങ്ങളും അരികുകളാൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. ഐയിൽ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഗ്രാഫ് G i ആണ്. അത്തരം ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ ഓരോ ശീർഷകത്തിലും ഒരു ലൂപ്പ് ഉണ്ട്, ഗ്രാഫ് G ഒരു കൂട്ടം ബന്ധിപ്പിച്ച ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു G i .

ഭാഗിക ക്രമം.

മനോഭാവം ഭാഗിക ക്രമം- ഇത് (സെറ്റുകളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച്):

1). റിഫ്ലെക്സിവിറ്റി: എ Ê എ

2). ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി: A Ê B ഉം B Ê C Þ A Ê C ഉം ആണെങ്കിൽ

3). ഐഡന്റിറ്റി: A Ê B, B Ê AÞ A = B എന്നിവയാണെങ്കിൽ

കർശനമായ ഉൾപ്പെടുത്തൽ ബന്ധങ്ങൾ -

1). ആന്റി റിഫ്ലെക്സിവിറ്റി: കൂടാതെ ÉA ഒരിക്കലും നടക്കില്ല;

2). ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി: A É B, B É C ആണെങ്കിൽ A É C

ഓർഡർ ചെയ്യൽ ബന്ധം(കർശനമായ അർത്ഥത്തിൽ) ഒരു കർശനമായ ഓർഡറിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, a>b, ഇതിന് മുമ്പത്തെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പുറമേ, ഇനിപ്പറയുന്നവയും ഉണ്ട്:

പൂർണ്ണതയുടെ അവസ്ഥ. b, a എന്നീ രണ്ട് യോജിപ്പില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾക്ക്, a>b അല്ലെങ്കിൽ b>a എന്ന രണ്ട് ബന്ധങ്ങളിൽ ഒന്ന് എപ്പോഴും സംതൃപ്തമാണ്.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ഭാഗിക ഓർഡറിംഗ് ഗ്രാഫ് ക്രമീകരിച്ച രൂപത്തിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഏത് അരികുകൾക്കും (a, b), (b, c) ഒരു ക്ലോസിംഗ് എഡ്ജ് (a, c) ഉള്ളതിനാൽ അത് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

ഫ്ലാറ്റ് ഗ്രാഫുകൾ.

പ്ലാനർ ഗ്രാഫുകൾക്കുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ.

കുറാറ്റോവ്സ്കി ഗ്രാഫ് കെ 3.3

മൂന്ന് വീടുകളുടെയും മൂന്ന് കിണറുകളുടെയും ഗ്രാഫ് പ്രശ്നം

കുറാറ്റോവ്സ്കി കൗണ്ട് കെ 5

ഈ രണ്ട് ഗ്രാഫുകളും ഫ്ലാറ്റ് അല്ല!

ഗ്രാഫ് വിപുലീകരണം- ചില അരികുകളിൽ പുതിയ ലംബങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചു, അതിനാൽ ഈ അരികുകൾ

നിരവധി അരികുകൾ അടങ്ങിയ പ്രാഥമിക ശൃംഖലകളായി.

വിപരീത പ്രവർത്തനം, ഇതിൽ പ്രാഥമിക ശൃംഖലകളിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്ന ലംബങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു കംപ്രഷൻഗ്രാഫ്.

കുറതോവ്സ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തം

ഒരു ഗ്രാഫ് പരന്നതായിരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ഗ്രാഫ് K 3,3 അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഗ്രാഫ് K 5 ആയി കംപ്രസ് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഗ്രാഫും അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കാത്തത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.

യൂലറുടെ ഫോർമുല

വിമാനത്തിൽ രൂപപ്പെടുന്ന പ്ലെയിൻ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും ബഹുഭുജ ശൃംഖലകൾ. ഇതിനർത്ഥം ഒരു പ്ലെയിൻ ഗ്രാഫ് ജിയുടെ അരികുകൾ പരസ്പരം ചേർന്നുള്ള ഒരു കൂട്ടം ബഹുഭുജങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, വിമാനത്തെ ബഹുഭുജ മേഖലകളായി വിഭജിക്കുന്നു.

ബഹുഭുജ ഗ്രാഫുകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അവ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുഭുജവും മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നില്ലെന്നും ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അത്തരം ഓരോ ബഹുഭുജത്തിന്റെയും അതിർത്തി അറ്റങ്ങൾ ഒരു ചക്രം ഉണ്ടാക്കുന്നു, ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു കുറഞ്ഞ ചക്രം. ഒരു ബഹുഭുജത്തിനുള്ളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു ഗ്രാഫിന്റെ അറ്റം. ഗ്രാഫിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു പരമാവധി ചക്രം C 1, മുഴുവൻ ഗ്രാഫും അതിന്റെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും കൊണ്ട് ചുറ്റുന്നു. C 1 ന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗം C 1 അതിർത്തിയുള്ള ഗ്രാഫിന്റെ മുഖമായും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും - അനന്തമായമുഖം F ¥.

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം

ലംബങ്ങളുടെയും അരികുകളുടെയും മുഖങ്ങളുടെയും എണ്ണം സ്പേഷ്യൽ ബഹുഭുജം..

യൂലറുടെ സിദ്ധാന്തം

c - p + g = 2

തെളിവ്: n അരികുകളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിന് ഫോർമുല വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, n വെർട്ടീസുകളും n അരികുകളും കൂടാതെ രണ്ട് മുഖങ്ങളും F 1 F ¥

r അരികുകളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫിലേക്ക് നമുക്ക് ഒരു പുതിയ എഡ്ജ് ചേർക്കാം, മുഖത്ത് F ¥ മുഖത്ത് വരയ്ക്കാം, പരമാവധി ഗ്രാഫ് G യുടെ രണ്ട് ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ചില പ്രാഥമിക ശൃംഖലകൾ. ഈ ആർക്കിന് r അരികുകളുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് r - 1 പുതിയ ശീർഷവും ഒരെണ്ണവും ചേർക്കേണ്ടി വരും. പുതിയ എഡ്ജ്. പക്ഷേ എന്നിട്ട്

c’ - p’ + g’ = (c + g - 1) - (p + g) + (g + 1) = c - p + g (=2!)

ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം വഴി.

മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യങ്ങൾ.

1. സംഭവം മാട്രിക്സ് എ.

എ). ഒരു അൺഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിനായി സംഭവം മാട്രിക്സ്വരികൾ ലംബങ്ങളോടും നിരകൾ അരികുകളോടും യോജിക്കുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്. ഒരു ശീർഷകം ഒരു അരികിൽ സംഭവിച്ചാൽ ഒരു മാട്രിക്സ് ഘടകം 1 ന് തുല്യമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് മൂലകം മൂല്യം 0 എടുക്കുന്നു.

b). ഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിന്, ആർക്കിലേക്കുള്ള ശീർഷകം ആർക്കിന്റെ പ്രാരംഭ ശീർഷകമാകുമ്പോൾ (അതായത്, ഈ ശീർഷത്തിൽ നിന്നാണ് ആർക്ക് ഉത്ഭവിക്കുന്നത്) സംഭവ്യ മാട്രിക്സിന്റെ മൂലകം +1 ആണ്. ആർക്ക് ഒരു ശീർഷത്തിൽ പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ മൂലകം -1 ആണ്. ഒരു ശീർഷകം ഒരു ആർക്കിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് മൂലകം 0 ആണ്.

2. മാട്രിക്സ് ഓഫ് സൈക്കിൾ സി.

എ). ഒരു അൺഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിന്, സൈക്കിൾ മാട്രിക്‌സിന്റെ വരികൾ ഗ്രാഫിന്റെ ലളിതമായ സൈക്കിളുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, നിരകൾ അതിന്റെ അരികുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. മാട്രിക്സ് മൂലകം a ij =1 സൈക്കിൾ C i യിൽ എഡ്ജ് e j അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ. അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ij =0.

b). ഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിന് a ij =1, -1 അല്ലെങ്കിൽ 0, C i, ആർക്ക് e j എന്നിവയുടെ ഓറിയന്റേഷൻ സമാനമാണോ വിപരീതമാണോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന സൈക്കിളിൽ ആർക്ക് e j ഇല്ലേ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

3. വെർട്ടെക്‌സ് അഡ്‌ജസെൻസി മാട്രിക്‌സ് (അല്ലെങ്കിൽ കേവലം അഡ്‌ജസെൻസി മാട്രിക്‌സ്) V എന്നത് വരികളും നിരകളും ലംബങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു മാട്രിക്‌സാണ്, കൂടാതെ ഡയറക്‌ട് ചെയ്യാത്ത ഗ്രാഫിന്റെ കാര്യത്തിൽ a ij എന്ന മാട്രിക്സ് ഘടകം ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ജെ. ഒരു ഡയറക്‌ട് ഗ്രാഫിന്, a ij എന്ന മൂലകം ശീർഷം i മുതൽ വെർട്ടെക്സ് j വരെയുള്ള അരികുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഗ്രാഫുകളുടെ മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

1) n ശീർഷകങ്ങളുള്ള ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച ഗ്രാഫിന്റെ (ഡയറക്‌റ്റ് ചെയ്‌തതും അൺഡയറക്‌ട് ചെയ്‌തതും) സംഭവ മാട്രിക്‌സ് എയുടെ റാങ്ക് (രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുടെ പരമാവധി എണ്ണം) (n-1) ന് തുല്യമാണ്.

2). m അരികുകളും n ലംബങ്ങളുമുള്ള ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച ഗ്രാഫിന്റെ സൈക്കിൾ മാട്രിക്സ് C യുടെ റാങ്ക് (m-n+1) ആണ്.

അഡ്‌ജസെൻസി മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം.

G 1, G 2 എന്നീ ഗ്രാഫുകൾ ഐസോമോഫിക് ആണെന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന മാപ്പിംഗ് കാണിക്കുന്നു

അഡ്‌ജസെൻസി മെട്രിക്‌സിൽ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും ഒരേസമയം ക്രമപ്പെടുത്തൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഇത് സമാനത രൂപാന്തരവും പെർമ്യൂട്ടേഷൻ മാട്രിക്‌സും ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാം.

A 2 =PA 1 P", എവിടെ

പി = , അല്ലെങ്കിൽ p ij =d p(i),j (ക്രോനെക്കർ ചിഹ്നം)

കൂടാതെ P" എന്നത് ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് ആണ്.

പി മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

ജി 1, ജി 2 എന്നിവയുടെ ഐസോമോർഫിസം എന്നാൽ എ 1, എ 2 എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ ഐജൻ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ അവസ്ഥ പര്യാപ്തമല്ല (ഉദാഹരണം താഴെ).