ആമുഖം

പ്രധാന ഭാഗം

1. പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ഇൻഡക്ഷൻ

2. ഗണിത പ്രേരണയുടെ തത്വം

3. ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി

4. ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം

5. തുല്യത

6. സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

7. അസമത്വങ്ങൾ

ഉപസംഹാരം

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

ആമുഖം

ഡിഡക്റ്റീവ്, ഇൻഡക്റ്റീവ് രീതികളാണ് ഏതൊരു ഗണിത ഗവേഷണത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനം. ന്യായവാദത്തിന്റെ കിഴിവ് രീതി പൊതുവായതിൽ നിന്ന് പ്രത്യേകതിലേക്കുള്ള ന്യായവാദമാണ്, അതായത്. ന്യായവാദം, അതിന്റെ ആരംഭ പോയിന്റ് പൊതുവായ ഫലമാണ്, അവസാന പോയിന്റ് പ്രത്യേക ഫലമാണ്. പ്രത്യേക ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് പൊതുവായവയിലേക്ക് കടക്കുമ്പോൾ ഇൻഡക്ഷൻ പ്രയോഗിക്കുന്നു, അതായത്. കിഴിവ് രീതിയുടെ വിപരീതമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി പുരോഗതിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും താഴ്ന്നതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, യുക്തിസഹമായ ചിന്തയുടെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ഉയർന്നതിലെത്തുന്നു. മനുഷ്യൻ എല്ലായ്‌പ്പോഴും പുരോഗതിക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നു, അവന്റെ ചിന്തയെ യുക്തിസഹമായി വികസിപ്പിക്കാനുള്ള കഴിവിനായി, അതിനർത്ഥം പ്രകൃതി തന്നെ അവനെ പ്രേരകമായി ചിന്തിക്കാൻ വിധിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ പ്രയോഗ മേഖല വളർന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ കുറച്ച് സമയമേ അതിനായി നീക്കിവച്ചിട്ടുള്ളൂ. ശരി, ഉപകാരപ്രദമായ ഒരു വ്യക്തിയെ ആ രണ്ടോ മൂന്നോ പാഠങ്ങളിലൂടെ കൊണ്ടുവരുമെന്ന് പറയുക, അതിനായി അവൻ അഞ്ച് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ കേൾക്കുകയും അഞ്ച് പ്രാകൃത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും അതിന്റെ ഫലമായി ഒന്നും അറിയാത്തതിന് അഞ്ചെണ്ണം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്നാൽ ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ് - ഇൻഡക്റ്റീവ് ആയി ചിന്തിക്കാൻ.

പ്രധാന ഭാഗം

അതിന്റെ യഥാർത്ഥ അർത്ഥത്തിൽ, "ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന വാക്ക് യുക്തിസഹമായി പ്രയോഗിക്കുന്നു, അതിലൂടെ നിരവധി പ്രത്യേക പ്രസ്താവനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പൊതുവായ നിഗമനങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഇത്തരത്തിലുള്ള ന്യായവാദത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രീതി പൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ ആണ്. അത്തരം യുക്തിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ.

ഓരോ സ്വാഭാവിക ഇരട്ട സംഖ്യയും 4-നുള്ളിൽ n ​​എന്ന് സ്ഥാപിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടട്ടെ< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ഈ ഒമ്പത് തുല്യതകൾ കാണിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഓരോ സംഖ്യകളും രണ്ട് പ്രധാന പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

അതിനാൽ, സാധ്യമായ ഓരോ പരിമിതമായ കേസുകളിലും പൊതുവായ പ്രസ്താവന വെവ്വേറെ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് പൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ.

ചിലപ്പോൾ പൊതുവായ ഫലം പ്രവചിക്കാൻ കഴിയുന്നത് എല്ലാം അല്ല, മറിച്ച് ഒരു വലിയ എണ്ണം പ്രത്യേക കേസുകൾ (അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ) പരിഗണിച്ചതിന് ശേഷം.

എന്നിരുന്നാലും, അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ലഭിക്കുന്ന ഫലം, എല്ലാ പ്രത്യേക കേസുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കൃത്യമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ന്യായവാദം വഴി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നതുവരെ ഒരു അനുമാനം മാത്രമായി തുടരും. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഗണിതത്തിലെ അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ കർശനമായ തെളിവുകളുടെ നിയമാനുസൃതമായ ഒരു രീതിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നില്ല, മറിച്ച് പുതിയ സത്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു രീതിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തെ n തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക:

1+3+5+7+9=25=5 2

ഈ ചില പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിച്ച ശേഷം, ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു നിഗമനം സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ആ. ആദ്യത്തെ n തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക n 2 ആണ്

തീർച്ചയായും, നടത്തിയ നിരീക്ഷണം മേൽപ്പറഞ്ഞ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയുടെ തെളിവായി വർത്തിക്കാനാവില്ല.

സമ്പൂർണ്ണ ഇൻഡക്ഷന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പരിമിതമായ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. രസകരമായ നിരവധി ഗണിത പ്രസ്താവനകൾ അനന്തമായ പ്രത്യേക കേസുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, കൂടാതെ അനന്തമായ കേസുകൾക്കായി നമുക്ക് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയില്ല. അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ പലപ്പോഴും തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

മിക്ക കേസുകളിലും, ഇത്തരത്തിലുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടുകളിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാനുള്ള വഴി ഒരു പ്രത്യേക ന്യായവാദ രീതി അവലംബിക്കുക എന്നതാണ്, ഇതിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത് ഇപ്രകാരമാണ്.

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n-യ്‌ക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തെ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക n 2-ന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്). സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം അനന്തമായതിനാൽ n ന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും ഈ പ്രസ്താവനയുടെ നേരിട്ടുള്ള സ്ഥിരീകരണം അസാധ്യമാണ്. ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാൻ, ആദ്യം n=1 എന്നതിന്റെ സാധുത പരിശോധിക്കുക. k യുടെ ഏതൊരു സ്വാഭാവിക മൂല്യത്തിനും, n=k ന്റെ പരിഗണനയിലുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത n=k+1 നും അതിന്റെ സാധുതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അപ്പോൾ ഈ വാദം എല്ലാ n നും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. തീർച്ചയായും, പ്രസ്താവന n=1 ന് ശരിയാണ്. എന്നാൽ അടുത്ത സംഖ്യയായ n=1+1=2 നും ഇത് സാധുതയുള്ളതാണ്. n=2 എന്നതിനായുള്ള അവകാശവാദത്തിന്റെ സാധുത n=2+ ന് അതിന്റെ സാധുതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു

1=3. ഇത് n=4 എന്നതിനുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവസാനം, നമ്മൾ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിൽ എത്തുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, ഈ പ്രസ്താവന ഏതൊരു n-നും ശരിയാണ്.

പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു തത്വം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വം.

വാചകം എ(എൻ) സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുഎൻ, സത്യമാണ്എൻ=1 അത് ശരിയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നുംn=k(എവിടെകെ-ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ), അടുത്ത സംഖ്യയ്ക്കും ഇത് ശരിയാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നുn=k+1, പിന്നെ അനുമാനം എ(എൻ) ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ശരിയാണ്എൻ.

പല സന്ദർഭങ്ങളിലും, ഒരു നിശ്ചിത പ്രസ്‌താവനയുടെ സാധുത തെളിയിക്കേണ്ടത് എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും വേണ്ടിയല്ല, മറിച്ച് n>p ന് മാത്രമായിരിക്കും, ഇവിടെ p ഒരു നിശ്ചിത സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. വാചകം എ(എൻ) എന്നത് ശരിയാണ്n=pകൂടാതെ A(കെ) Þ എ(k+1)ആർക്കുംk>p,തുടർന്ന് വാചകം എ(n)ആർക്കും സത്യമാണ്n>p.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കുന്നു. ആദ്യം, തെളിയിക്കേണ്ട അവകാശവാദം n=1 എന്നതിനായി പരിശോധിക്കുന്നു, അതായത്, A(1) എന്ന പ്രസ്താവനയുടെ സത്യാവസ്ഥ സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. തെളിവിന്റെ ഈ ഭാഗത്തെ ഇൻഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇൻഡക്ഷൻ സ്റ്റെപ്പ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന തെളിവിന്റെ ഒരു ഭാഗം ഇത് പിന്തുടരുന്നു. ഈ ഭാഗത്ത്, n=k+1 എന്നതിനായുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത തെളിയിക്കുന്നത് n=k (ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം), അതായത്, പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന അനുമാനത്തിലാണ്. A(k)ÞA(k+1) എന്ന് തെളിയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 എന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം: 1) നമുക്ക് n=1=1 2 ഉണ്ട്. അതിനാൽ,

n=1 ന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്, അതായത്. A(1) സത്യമാണ്.

2) A(k)ÞA(k+1) എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

k എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, n=k എന്നതിന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയായിരിക്കട്ടെ, അതായത്.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

അടുത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായ n=k+1, അതായത്, അവകാശവാദം ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. എന്ത്

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

തീർച്ചയായും,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

അതിനാൽ A(k)ÞA(k+1). ഗണിത പ്രേരണയുടെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഏത് nОN നും അനുമാനം A(n) ശരിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 2

അത് തെളിയിക്കൂ

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ഇവിടെ x¹1

പരിഹാരം: 1) n=1 ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

അതിനാൽ, n=1 ന്റെ ഫോർമുല ശരിയാണ്; A(1) സത്യമാണ്.

2) k എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, n=k എന്നതിന് ഫോർമുല ശരിയായിരിക്കട്ടെ, അതായത്.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

അപ്പോൾ സമത്വം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

തീർച്ചയായും

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

അതിനാൽ A(k)ÞA(k+1). ഗണിത പ്രേരണയുടെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും സൂത്രവാക്യം ശരിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു കുത്തനെയുള്ള n-gon ന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം n(n-3)/2 ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം: 1) n=3 ന്, പ്രസ്താവന ശരിയാണ്

കൂടാതെ 3 ശരിയാണ്, കാരണം ഒരു ത്രികോണത്തിലാണ്

 A 3 =3(3-3)/2=0 ഡയഗണലുകൾ;

A 2 A(3) ശരിയാണ്.

2) അത് ഏതെങ്കിലുമുണ്ടെന്ന് കരുതുക

കോൺവെക്സ് കെ-ഗോൺ ഉണ്ട്-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 ഡയഗണലുകൾ.

A k നമുക്ക് അത് ഒരു കോൺവെക്സിൽ തെളിയിക്കാം

(k+1)-ഗോൺ നമ്പർ

ഡയഗണലുകൾ A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -convex (k+1)-കോണ്. അതിൽ ഒരു ഡയഗണൽ A 1 A k വരയ്ക്കാം. ഇതിന്റെ (k + 1)-gon-ന്റെ മൊത്തം ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ k-gon A 1 A 2 ...A k ലെ ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് k-2 ചേർക്കുക, അതായത്. A k+1 ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന (k+1)-gon ന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം, കൂടാതെ, ഡയഗണൽ A 1 A k എന്നിവ കണക്കിലെടുക്കണം.

അങ്ങനെ,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

അതിനാൽ A(k)ÞA(k+1). ഗണിത പ്രേരണയുടെ തത്വം കാരണം, ഏത് കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോണിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണം 4

ഏതെങ്കിലും n പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

പരിഹാരം: 1) n=1 ആകട്ടെ

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

അതിനാൽ, n=1 ന്റെ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

2) n=k എന്ന് കരുതുക

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 എന്നതിനായുള്ള ഈ പ്രസ്താവന പരിഗണിക്കുക

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

n=k+1-നുള്ള സമത്വത്തിന്റെ സാധുത ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n-നും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണം 5

ഏതൊരു സ്വാഭാവികതയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

പരിഹാരം: 1) n=1 എന്ന് അനുവദിക്കുക.

അപ്പോൾ X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1 ന്റെ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

2) n=k എന്നതിന് തുല്യത ശരിയാണെന്ന് കരുതുക

ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട രീതികളിൽ ഒന്ന് ശരിയാണ് ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ രീതി. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട ബഹുഭൂരിപക്ഷം സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി തെളിയിക്കാനാകും (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല, ന്യൂട്ടന്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല മുതലായവ).

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിൽ വസിക്കും, തുടർന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി തന്നെ പരിഗണിക്കുകയും സമത്വവും അസമത്വവും തെളിയിക്കുന്നതിൽ അതിന്റെ പ്രയോഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ഇൻഡക്ഷൻ ആൻഡ് ഡിഡക്ഷൻ.

ഇൻഡക്ഷൻ വഴിപ്രത്യേകത്തിൽ നിന്ന് പൊതുവായ പ്രസ്താവനകളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു. നേരെമറിച്ച്, പൊതുവായ പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന് പ്രത്യേക പ്രസ്താവനകളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു കിഴിവ്.

ഒരു സ്വകാര്യ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം: 254 എന്നത് ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

ഈ പ്രത്യേക പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന്, ശരിയും തെറ്റും ഉള്ള കൂടുതൽ പൊതുവായ പ്രസ്താവനകൾ ഒരാൾക്ക് രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, 4-ൽ അവസാനിക്കുന്ന എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന പൊതുവായ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്, അതേസമയം എല്ലാ മൂന്നക്ക സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന പ്രസ്താവന തെറ്റാണ്.

അതിനാൽ, അറിയപ്പെടുന്നതോ വ്യക്തമോ ആയ വസ്തുതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിരവധി പൊതു പ്രസ്താവനകൾ നേടുന്നത് ഇൻഡക്ഷൻ സാധ്യമാക്കുന്നു. സ്വീകരിച്ച പ്രസ്താവനകളുടെ സാധുത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, സംഖ്യാ ക്രമം പരിഗണിക്കുക: , n ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. അപ്പോൾ ഈ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ n മൂലകങ്ങളുടെ തുകകളുടെ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും

ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇൻഡക്ഷൻ വഴി അത് വാദിക്കാം.

ഈ ഫോർമുലയുടെ തെളിവ് ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വം.

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക n if ഒരു നിശ്ചിത പ്രസ്താവന ശരിയാണ്

1. ഇത് n = 1 നും സാധുവാണ്
2. ഏതെങ്കിലും അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക n = k ന്റെ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയിൽ നിന്ന് അത് n = k+1 ന് ശരിയാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

അതായത്, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ തെളിവ് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടത്തുന്നത്:

1. ഒന്നാമതായി, സ്റ്റേറ്റ്മെന്റിന്റെ സാധുത ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കായി പരിശോധിക്കുന്നു n (സാധാരണയായി n = 1 നാണ് പരിശോധന നടത്തുന്നത്);
2. രണ്ടാമതായി, പ്രസ്‌താവനയുടെ സാധുത ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n=k യ്ക്കും അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു;
3. മൂന്നാമതായി, n=k+1 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിന്റെ അനുമാനത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും തെളിവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

നമുക്ക് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി ഫോർമുല തെളിയിക്കാം .

തെളിവ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി മൂന്ന് പോയിന്റ് തെളിവ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

അങ്ങനെ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളും പൂർത്തിയായി, അങ്ങനെ ഫോർമുലയെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അനുമാനം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ത്രികോണമിതി പ്രശ്നം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ഐഡന്റിറ്റി തെളിയിക്കുക .

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമ്മൾ n = 1 ന്റെ തുല്യത പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്.

അതായത്, n = 1 ന് തുല്യത ശരിയാണ്.

രണ്ടാമതായി, n = k ന് തുല്യത ശരിയാണെന്ന് കരുതുക, അതായത് ഐഡന്റിറ്റി

മൂന്നാമതായി, നാം സമത്വത്തിന്റെ തെളിവിലേക്ക് തിരിയുന്നു n = k+1 ന്, രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് അടിസ്ഥാനമാക്കി.

ത്രികോണമിതിയിൽ നിന്നുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

അത്

മൂന്നാമത്തെ പോയിന്റിൽ നിന്നുള്ള സമത്വത്തിന്റെ തെളിവ് പൂർത്തിയായി, അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ഐഡന്റിറ്റി ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിലൂടെ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി തെളിയിക്കാനാകും.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി അസമത്വം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം, ഏകദേശ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങളുടെ രീതി എന്ന വിഭാഗത്തിൽ കാണാം.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. ഗണിത പ്രേരണയെക്കുറിച്ച്.

ഈ വിഭാഗത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്ന തെളിവിന്റെ രീതി, സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം. വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു വാക്യം നൽകട്ടെ പി,പകരം നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ പകരം വയ്ക്കാം. നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കാം എ(പി).വാചകം കൂടി പറയട്ടെ എസംഖ്യ 1 നും സത്യത്തിൽ നിന്നും ശരിയാണ് എസംഖ്യയ്ക്ക് ശരി ലേക്ക്, അത് പിന്തുടരുന്നു എസംഖ്യയ്ക്ക് ശരി k+ 1. തുടർന്ന് ഓഫർ ചെയ്യുക എഎല്ലാ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾക്കും ശരി പി.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രതീകാത്മക നൊട്ടേഷൻ:

ഇവിടെ കൊടുമുടി-സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ. ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഇനിപ്പറയുന്ന അനുമാന നിയമം ലഭിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, നിർദ്ദേശത്തിന്റെ സത്യം തെളിയിക്കാൻ എ,നമുക്ക് ആദ്യം രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാം: പ്രസ്താവനയുടെ സത്യം എ( 1), അതുപോലെ അനന്തരഫലവും എ(കെ) => A(k+ 1).

മേൽപ്പറഞ്ഞവ പരിഗണിച്ച്, ഞങ്ങൾ എന്റിറ്റിയെ വിവരിക്കുന്നു രീതി

ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ.

വാചകം തെളിയിക്കാൻ അത് ആവശ്യപ്പെടട്ടെ എ(എൻ)എല്ലാ പ്രകൃതിക്കും സത്യമാണ് പി.തെളിവ് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

• 1 സ്റ്റേജ്. ഇൻഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനം.ഞങ്ങൾ ഒരു മൂല്യമായി എടുക്കുന്നു പിനമ്പർ 1 അത് പരിശോധിക്കുക എ( 1) ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവനയാണ്.
• 2nd ഘട്ടം. ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ.ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കുന്നു ലേക്ക്സൂചന ശരിയാണ്: എങ്കിൽ എ(കെ), അത് A(k+ 1).

ഇൻഡക്റ്റീവ് പാസേജ് ആരംഭിക്കുന്നത് ഈ വാക്കുകളോടെയാണ്: “ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എടുക്കുക വരെ,അത്തരം എ(കെ)",അല്ലെങ്കിൽ "ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കായി അനുവദിക്കുക ലേക്ക്ശരിയാണ് എ(കെ)"."ആവട്ടെ" എന്ന വാക്കിന് പകരം അവർ പലപ്പോഴും "അത് കരുതുക ..." എന്ന് പറയുന്നു.

ഈ വാക്കുകൾക്ക് ശേഷം, കത്ത് ലേക്ക്ബന്ധങ്ങൾ കൈവശം വച്ചിരിക്കുന്ന ചില നിശ്ചിത വസ്തുവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ(കെ).നിന്നും വരുന്ന എ(കെ)ഞങ്ങൾ അനന്തരഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ വാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല നിർമ്മിക്കുന്നു എ(കെ) 9 ആർ, പൈ, ..., Rn = A(k+ 1), ഓരോ വാക്യവും ആർ,ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവന അല്ലെങ്കിൽ മുൻ വാക്യങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമാണ്. അവസാന വാചകം R"എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം A(k+ 1). ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: നിന്ന് എ(കെ)വേണം A(k+).

ഒരു ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനത്തിന്റെ നിർവ്വഹണം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായി തിരിക്കാം:

• 1) ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുന്നു എ ലേക്ക്വേരിയബിൾ എൻ.
• 2) അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കുന്നു എനമ്പറിന് ശരിയാണോ?+1.

ഉദാഹരണം 5.5.1.നമ്പർ തെളിയിക്കാം p+pഎല്ലാ പ്രകൃതിക്കും തുല്യമാണ് പി.

ഇവിടെ എ(എൻ) = "n 2 + n- ഇരട്ട സംഖ്യ". അത് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എ -സമാനമായ ശരിയായ പ്രവചനം. ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ഇൻഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനം.നമുക്ക് l=1 എടുക്കാം. എക്സ്പ്രഷനിൽ പകരം വയ്ക്കുക പി+//, നമുക്ക് ലഭിക്കും n 2 +n= I 2 + 1 = 2 ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, അതായത്, /1(1) ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവനയാണ്.

നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം ഇൻഡക്റ്റീവ് സിദ്ധാന്തം A(k)= "സംഖ്യ 2 മുതൽ + വരെ -പോലും." നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പറയാൻ കഴിയും: "ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എടുക്കുക ലേക്ക്അത്തരം 2 + വരെഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ആ വാദം ഊഹിക്കുന്നു A(kA-)= "സംഖ്യ (k+ 1) 2 + (? + 1) - പോലും.

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുകയുടെ ആദ്യ പദം അനുമാനത്തിലൂടെ തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് നിർവചനം അനുസരിച്ചാണ് (കാരണം ഇതിന് ഫോം 2 ഉണ്ട്. പി).അതിനാൽ തുക ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്. ഓഫർ A(k+ 1) തെളിയിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: വാക്യം എ(എൻ)എല്ലാ പ്രകൃതിക്കും സത്യമാണ് പി.

തീർച്ചയായും, ഓരോ തവണയും നൊട്ടേഷൻ നൽകേണ്ട ആവശ്യമില്ല എ(പി).എന്നിരുന്നാലും, ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം രൂപപ്പെടുത്താനും അതിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രത്യേക വരിയിൽ എന്താണ് കണക്കാക്കേണ്ടതെന്നും ഇപ്പോഴും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 5.5.1-ൽ നിന്നുള്ള അവകാശവാദം ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ തെളിയിക്കാനാകുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് മതിയാകും: എപ്പോൾ പിപോലും എപ്പോൾ പിവിചിത്രമായ

പല വിഭജന പ്രശ്‌നങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 5.5.2.നമുക്ക് 15 2u_| എന്ന സംഖ്യ തെളിയിക്കാം എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും +1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം പി.

ബച്ച ഇൻഡക്ഷൻ.നമുക്ക് /1=1 എടുക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: നമ്പർ 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 എന്നത് 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

, ചിലർക്ക് ഏത്

സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ലേക്ക് 15 2 * '+1 എന്ന സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാംഅപ്പോൾ നമ്പർ എന്താണ് എ\u003d 15 2 (ZHN +1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

നമുക്ക് നമ്പർ പരിവർത്തനം ചെയ്യാം എ:

അനുമാനമനുസരിച്ച്, 15 2A1 +1 എന്ന സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതായത് ആദ്യത്തെ പദത്തെ മുഴുവൻ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പദമായ 224=8-28 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സംഖ്യ എ 8 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇൻഡക്റ്റീവ് ഘട്ടം ന്യായമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, എല്ലാ സ്വാഭാവികതയ്ക്കും വേണ്ടി ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു പി 15 2 "-1 -*-1 എന്ന സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

പരിഹരിച്ച പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ചില പരാമർശങ്ങൾ നടത്താം.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവന അല്പം വ്യത്യസ്തമായി രൂപപ്പെടുത്താം: "15" "+1 എന്നത് ഏതെങ്കിലും വിചിത്രമായ സ്വാഭാവിക / ഒപ്പം" 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

രണ്ടാമതായി, തെളിയിക്കപ്പെട്ട പൊതു പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന്, ഒരാൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക നിഗമനത്തിലെത്താം, അതിന്റെ തെളിവ് ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നമായി നൽകാം: നമ്പർ 15 2015 +1 എന്നത് 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. അതിനാൽ, പ്രശ്നം സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഒരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യം, തുടർന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി പ്രയോഗിക്കുക.

ഏറ്റവും സാമാന്യമായ അർത്ഥത്തിൽ, "ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന പദത്തിന്റെ അർത്ഥം പൊതുവായ നിഗമനങ്ങൾ പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 എന്നീ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിച്ച്, ഏതെങ്കിലും രണ്ടിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു ഇൻഡക്ഷൻ തെറ്റായ നിഗമനങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. അത്തരം തെറ്റായ യുക്തിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം.

ഉദാഹരണം 5.5.3. നമ്പർ പരിഗണിക്കുക എ= /r+n+41 സ്വാഭാവിക /?.

നമുക്ക് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം എചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി പി.

അനുവദിക്കുക n=ഐ. പിന്നെ a = 43 ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്.

അനുവദിക്കുക /7=2. പിന്നെ എ= 4+2+41 = 47 പ്രൈം ആണ്.

l=3 എന്ന് അനുവദിക്കുക. പിന്നെ എ= 9+3+41 = 53 പ്രൈം ആണ്.

അനുവദിക്കുക /7=4. പിന്നെ എ= 16+4+41 = 61 പ്രൈം ആണ്.

മൂല്യങ്ങളായി എടുക്കുക പി 5, 6, 7 പോലെയുള്ള ക്വാഡ് പിന്തുടരുന്ന സംഖ്യകൾ, നമ്പർ ഉറപ്പാക്കുക എലളിതമായിരിക്കും.

ഞങ്ങൾ ഉപസംഹരിക്കുന്നു: "എല്ലാ പ്രകൃതിക്കും /? നമ്പർ എലളിതമായിരിക്കും."

ഫലം തെറ്റായ പ്രസ്താവനയാണ്. ഒരു എതിർ ഉദാഹരണം ഇതാ: /7=41. ഇത് ഉപയോഗിച്ച് ഉറപ്പാക്കുക പിനമ്പർ എസംയുക്തമായിരിക്കും.

"ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന പദത്തിന് ഇടുങ്ങിയ അർത്ഥമുണ്ട്, കാരണം ഈ രീതിയുടെ ഉപയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയായ നിഗമനത്തിലെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 5.5.4. ഇൻഡക്റ്റീവ് യുക്തിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പൊതുവായ പദത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു ഫോർമുല നേടുന്നു. ഗണിത തൊഴിൽ എന്നത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണെന്ന് ഓർക്കുക, ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനെ പുരോഗതി വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിത തൊഴിൽ അദ്വിതീയമായി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ആദ്യ അംഗത്തെ വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട് എവ്യത്യാസവും ഡി.

അതിനാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു p+ = a n + d,ചെയ്തത് n> 1.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഗണിത തൊഴിലിന്റെ പൊതു പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്, ഇൻഡക്ഷൻ വഴി.

എങ്കിൽ /7=1, പിന്നെ കൂടെ 7| = ഞാൻ|, അപ്പോൾ ഞാൻ| = tf|+df(l -1).

/7=2 ആണെങ്കിൽ, i 2 = a + d,അതാണ് എ= ഞാൻ|+*/(2-1).

/7=3 ആണെങ്കിൽ, i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d,അതായത് i 3 = i|+(3-1).

/7=4 ആണെങ്കിൽ, i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3, മുതലായവ.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: പൊതുവായ പദ ഫോർമുലയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട് എ" = a+(n-)dഎല്ലാവർക്കും /7>1.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ ഫോർമുല തെളിയിക്കാം.

അടിസ്ഥാന ഇൻഡക്ഷൻമുൻ ചർച്ചകളിൽ സ്ഥിരീകരിച്ചു.

അനുവദിക്കുക ഇതിലേക്ക് -ഞാൻ * - a+(k-)d (ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം).

നമുക്ക് തെളിയിക്കാംഎന്ന് ഞാൻ*+! = a+((k+)-)d,അതായത് i*+1 = ax+kd.

നിർവചനം പ്രകാരം i*+1 = ab + d. ഒരു മുതൽ= ഞാൻ | +(വരെ-1 )ഡി, അർത്ഥം, ac+\u003d i + (A: -1) ^ / + c / \u003d i | +(A-1+1 )ഡി= ഞാൻ ഐ +kd, ഇത് തെളിയിക്കാൻ ആവശ്യമായിരുന്നു (ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനത്തെ ന്യായീകരിക്കാൻ).

ഇപ്പോൾ ഫോർമുല i„ = a+(n-)dഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ /;.

ചില ക്രമം i b i 2, i, "... (അല്ല

അനിവാര്യമായും ഒരു ഗണിത അല്ലെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി). ആദ്യത്തേത് സംഗ്രഹിക്കേണ്ടിടത്ത് പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട് പിഈ ശ്രേണിയിലെ അംഗങ്ങൾ, അതായത്, R|+i 2 +...+i എന്ന തുകയും ക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങളെ കണക്കാക്കാതെ തന്നെ ഈ തുകയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുലയും വ്യക്തമാക്കുക.

ഉദാഹരണം 5.5.5. ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം പിസ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ആണ്

/?(/7 + 1)

1+2+...+/7 എന്ന തുകയെ സൂചിപ്പിക്കുക Sn.നമുക്ക് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം എസ് എൻചിലർക്ക് /7.

S 4 തുക കണ്ടെത്തുന്നതിന്, 5 4 = 5 3 +4 എന്നതിനാൽ, നേരത്തെ കണക്കാക്കിയ 5 3 മൂല്യം നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

n(n +1)

ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ /? കാലയളവിൽ --- എന്തെങ്കിലും

നമുക്ക് യഥാക്രമം ഒരേ തുകകൾ 1, 3, 6, 10 ലഭിക്കും. ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ

. _ n(n + 1)

ഫോർമുല എന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുക എസ്„=--- എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാം

ഏതെങ്കിലും //. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ അനുമാനം തെളിയിക്കാം.

അടിസ്ഥാന ഇൻഡക്ഷൻപരിശോധിച്ചു. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ.

കരുതുകചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് ഫോർമുല ശരിയാണെന്ന്

, k(k + 1)

k, അപ്പോൾ നെറ്റ്‌വർക്ക് ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയാണ് ലേക്ക്സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ----.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാംആദ്യത്തെ (?+1) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്

• (* + !)(* + 2)

നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം?*+1 വഴി എസ് കെ.ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, S*+i എന്ന തുകയിൽ ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നു ലേക്ക്നിബന്ധനകൾ, അവസാന പദം പ്രത്യേകം എഴുതുക:

ഇൻഡക്റ്റീവ് ഹൈപ്പോതെസിസ് പ്രകാരം എസ് കെ =അങ്ങനെ കണ്ടെത്താൻ

ആദ്യ (? + 1) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക, ഇതിനകം കണക്കാക്കിയതിന് മതിയാകും

. „ k(k + 1) _ .. ..

ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുക ലേക്ക്--- എന്നതിന് തുല്യമായ സംഖ്യകൾ, ഒരു പദം ചേർക്കുക (k + 1).

ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനം ന്യായമാണ്. അങ്ങനെ, തുടക്കത്തിൽ മുന്നോട്ടുവച്ച അനുമാനം തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഫോർമുല തെളിയിച്ചു എസ് എൻ = n ^ n+ രീതി

ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ. തീർച്ചയായും, മറ്റ് തെളിവുകളും ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് തുക എഴുതാം എസ്,നിബന്ധനകളുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ, തുടർന്ന് നിബന്ധനകളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ:

ഒരു നിരയിലെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക സ്ഥിരമാണ് (ഒരു തുകയിൽ, ഓരോ അടുത്ത പദവും 1 ആയി കുറയുന്നു, മറ്റൊന്നിൽ 1 വർദ്ധിക്കുന്നു) കൂടാതെ (/r + 1) തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുകകൾ സംഗ്രഹിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട് പി(u+1) എന്നതിന് തുല്യമായ നിബന്ധനകൾ. അതിനാൽ തുക ഇരട്ടിയാക്കുക എസ് "തുല്യമാണ് n(n+ 1).

ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യം, ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി ലഭിക്കും പിഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ.

നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ ആദ്യ ഘട്ടം (ഇൻഡക്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം) എല്ലായ്പ്പോഴും ആവശ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ ഘട്ടത്തിന്റെ അഭാവം തെറ്റായ നിഗമനത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.

ഉദാഹരണം 5.5.6. നമുക്ക് വാചകം "തെളിയിക്കാം": "ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും 7" + 1 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം ".

"അത് ചില സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾക്കായി കരുതുക ലേക്ക് 7*+1 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. 7 x +1 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക:

6 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും 1 മുതൽ + വരെഇൻഡക്റ്റീവ് ഹൈപ്പോതെസിസ് വഴി 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതിനാൽ 7-(7* + 1) എന്ന സംഖ്യയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസവും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

നിർദ്ദേശം തെളിയിച്ചു."

ഇൻഡക്റ്റീവ് ഘട്ടം ശരിയാണെങ്കിലും യഥാർത്ഥ നിർദ്ദേശത്തിന്റെ തെളിവ് തെറ്റാണ്. തീർച്ചയായും, at n=എനിക്ക് നമ്പർ 8 ഉണ്ട്, കൂടെ n=2 -സംഖ്യ 50, ..., ഈ സംഖ്യകളൊന്നും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

ഒരു ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ നടത്തുമ്പോൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ നൊട്ടേഷനെ കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒരു പ്രധാന പരാമർശം നടത്താം. ഒരു നിർദ്ദേശം രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എ(എൻ)കത്ത് പിഞങ്ങൾ ഒരു വേരിയബിളിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിന് പകരം ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഇൻഡക്റ്റീവ് സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ലേക്ക്.എന്നിരുന്നാലും, പലപ്പോഴും ഒരു പുതിയ അക്ഷരത്തിന് പകരം ലേക്ക്വേരിയബിളായി അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുക. ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ നടത്തുമ്പോൾ ഇത് യുക്തിയുടെ ഘടനയെ ബാധിക്കില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5.5.7. തുകയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

ചുമതലയിൽ വേരിയബിൾ പികാണുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നിബന്ധനകളുടെ ക്രമം പരിഗണിക്കുക:

സൂചിപ്പിക്കുക S, \u003d a + a 2 + ... + a „.നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എസ്"ചിലർക്ക് പി.എങ്കിൽ /1= 1, പിന്നെ എസ്, = എ, =-.

എങ്കിൽ n= 2. പിന്നെ എസ്, = എ, + എ? = - + - = - = -.

എങ്കിൽ /?=3, അപ്പോൾ S-, = a,+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

നിങ്ങൾക്ക് മൂല്യങ്ങൾ സ്വയം കണക്കാക്കാം എസ് "/7 = 4 ൽ; 5. ഉദിക്കുന്നു

സ്വാഭാവിക ഊഹം: എസ് എൻ= -- ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് /7. നമുക്ക് തെളിയിക്കാം

ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയാണ്.

അടിസ്ഥാന ഇൻഡക്ഷൻമുകളിൽ പരിശോധിച്ചു.

നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ, ഒരു ഏകപക്ഷീയതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു

വേരിയബിൾ മൂല്യം പിഅതേ കത്ത്, അതായത്, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കുന്നു

0 /7 _ /7 +1

എസ് എൻ=-സമത്വം പിന്തുടരുന്നു എസ്, =-.

/7+1 /7 + 2

കരുതുകസമത്വം സത്യമാണെന്ന് എസ്= - പി -.

മൊത്തത്തിൽ അനുവദിക്കാം S„+ആദ്യം പിനിബന്ധനകൾ:

ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഭിന്നസംഖ്യ (/7+1) കൊണ്ട് കുറച്ചാൽ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കും എസ് n +1 -, എൽ

ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനം ന്യായമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു പിനിബന്ധനകൾ

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...+- is equal to -. ഇനി നമുക്ക് ഒറിജിനലിലേക്ക് മടങ്ങാം
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

ചുമതല. അത് പരിഹരിക്കാൻ, മൂല്യമായി എടുത്താൽ മതി പിനമ്പർ 99.

അപ്പോൾ തുക -!- + -!- + -!- + ...+ --- 0.99 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

1-2 2-3 3-4 99100

ഈ തുക മറ്റൊരു രീതിയിൽ കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5.5.8. ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

വേരിയബിൾ /? നൽകിയിരിക്കുന്ന സവിശേഷതകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മാത്രം നൽകുമ്പോൾ, ഈ ഫംഗ്‌ഷനാണ് തുകയായി മനസ്സിലാക്കുന്നത്. അതിനാൽ, /7=1 ആണെങ്കിൽ, പ്രസ്താവന വ്യക്തമായും ശരിയാണ്: /" = /".

കരുതുകഒരു കൂട്ടത്തിന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന് പിഫംഗ്‌ഷനുകൾ (ഇവിടെയും അക്ഷരത്തിന് പകരം ലേക്ക്കത്ത് എടുത്തു പി),അതായത് തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പിഫംഗ്ഷനുകൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം(n + 1) ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന്. അടങ്ങുന്ന ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സെറ്റ് എടുക്കുക n+വ്യത്യസ്തമായ പ്രവർത്തനം: /1,/2, . ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയെ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം

പോലെ g+f„+ 1, എവിടെ g=f +/g + ... +/t-തുക പിപ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഇൻഡക്റ്റീവ് ഹൈപ്പോതെസിസ് പ്രകാരം, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ജിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്: g" = അടി + അടി + ... + അടി.അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖല നിലനിർത്തുന്നു:

ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനം പൂർത്തിയായി.

അങ്ങനെ, ഒറിജിനൽ നിർദ്ദേശം ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിർദ്ദേശത്തിന്റെ സത്യാവസ്ഥ തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എ(എൻ)ചില മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന എല്ലാ സ്വാഭാവിക i കൂടെ.അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയുള്ള തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഇൻഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനം.നിർദ്ദേശം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു എമൂല്യത്തിന് സത്യമാണ് പി,തുല്യമായ കൂടെ.

ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ. 1) നിർദ്ദേശം ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു എചില മൂല്യങ്ങൾക്ക് ശരിയാണ് ലേക്ക്വേരിയബിൾ /?, ഏതിനെക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ് കൂടെ.

2) നിർദ്ദേശം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു എഎന്നതിന് തുല്യമാണ്

അക്ഷരത്തിന് പകരം അത് വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക ലേക്ക്പലപ്പോഴും വേരിയബിൾ പദവി ഉപേക്ഷിക്കുക പി.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനം ഈ വാക്കുകളിൽ ആരംഭിക്കുന്നു: "അത് കുറച്ച് മൂല്യത്തിന് വേണ്ടിയാണെന്ന് കരുതുക n>sശരിയാണ് എ(പി).അപ്പോൾ അത് തെളിയിക്കാം A(n+ 1)".

ഉദാഹരണം 5.5.9. അത് സ്വാഭാവികമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം n> 5 അസമത്വം 2" > ഉം 2 ഉം ശരിയാണ്.

ഇൻഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനം.അനുവദിക്കുക n= 5. അപ്പോൾ 2 5 =32, 5 2 =25. അസമത്വം 32>25 ശരിയാണ്.

ഇൻഡക്റ്റീവ് ട്രാൻസിഷൻ. കരുതുക, അസമത്വം 2 P>n 2ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കായി n> 5. നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, അത് അപ്പോൾ 2" +| > (n+1) 2 ആണ്.

ശക്തികളുടെ ഗുണങ്ങളാൽ 2” +| = 2-2". മുതൽ 2" > n 2 (ഇൻഡക്റ്റീവ് ഹൈപ്പോതെസിസ് പ്രകാരം), തുടർന്ന് 2-2" > 2n 2 (I).

നമുക്ക് അത് ന്യായീകരിക്കാം 2 p 2(i+1) 2 നേക്കാൾ വലുത്. ഇത് പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും 2x 2 >(x+) 2യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ, 5-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും അതിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണെന്ന് കാണുക.

ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരും. അക്കങ്ങൾ 2 ന്റെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താം p 2കൂടാതെ (i+1) 2:

മുതൽ ഒപ്പം > 5, പിന്നെ i + 1 > 6, അതായത് (i + 1) 2 > 36. അതിനാൽ, വ്യത്യാസം 0-നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ, 2i 2 > (i + 1) 2 (2).

അസമത്വങ്ങളുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, അത് (I) ലും (2) 2*2" > (n + 1) 2 എന്നിവയിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു, ഇത് ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനത്തെ ന്യായീകരിക്കാൻ ആവശ്യമായിരുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അസമത്വം എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു 2" > ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും i 2 ശരിയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ മറ്റൊരു രൂപം പരിഗണിക്കുക. വ്യത്യാസം ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനത്തിലാണ്. ഇത് നടപ്പിലാക്കാൻ, രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്:

• 1) ഓഫർ എന്ന് കരുതുക എ(എൻ)വേരിയബിളിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ശരിയാണ് i ചില സംഖ്യകളേക്കാൾ കുറവാണ് ആർ;
• 2) നടത്തിയ അനുമാനത്തിൽ നിന്ന്, നിർദ്ദേശം ഊഹിക്കുക എ(എൻ)സംഖ്യയ്ക്ക് ശരി ആർ.

അതിനാൽ, ഇൻഡക്റ്റീവ് ഘട്ടത്തിന് അനന്തരഫലത്തിന്റെ തെളിവ് ആവശ്യമാണ്: [(Ui?) A(n)] => A(p).പരിണതഫലം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).

നിർദ്ദേശം തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ യഥാർത്ഥ രൂപീകരണത്തിൽ എ(പി)ഞങ്ങൾ "മുമ്പത്തെ" നിർദ്ദേശത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചു A(p- 1). ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന രീതിയുടെ ഫോർമുലേഷൻ ഡെറിവിംഗ് അനുവദിക്കുന്നു എ(പി),എല്ലാ നിർദ്ദേശങ്ങളും അനുമാനിക്കുന്നു A(n),ഞാൻ എവിടെ കുറവാണ് ആർ, സത്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 5.5.10. നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം: "ഏത് ഐ-ഗോണിന്റെയും ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° (i-2) ആണ്".

ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്, ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ത്രികോണങ്ങളായി വരച്ച ഡയഗണലുകളാൽ വിഭജിച്ചാൽ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, കോൺവെക്സ് അല്ലാത്ത ബഹുഭുജത്തിന്, അത്തരമൊരു നടപടിക്രമം സാധ്യമാകണമെന്നില്ല.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ബഹുഭുജത്തിനുള്ള സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി തെളിയിക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉറപ്പ് അറിയാമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അതിന് കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്രത്യേക തെളിവ് ആവശ്യമാണ്: "ഏത് //-ഗോണിലും, അതിന്റെ ആന്തരിക ഭാഗത്ത് പൂർണ്ണമായും കിടക്കുന്ന ഒരു ഡയഗണൽ ഉണ്ട്."

ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം //, നിങ്ങൾക്ക് 3-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. n=bഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആയതിനാൽ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

കുറച്ച് /7-ഗോൺ എടുക്കുക (p> 4) കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും //-gon ന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക, // p, 180°(//-2) ന് തുല്യമാണെന്ന് കരുതുക. //-ഗോണിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° (//-2) ന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

അതിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ഡയഗണൽ //-ഗോൺ വരയ്ക്കാം. ഇത് //-ഗോണിനെ രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളായി വിഭജിക്കും. അവരിൽ ഒരാൾക്ക് കഴിയട്ടെ ലേക്ക്വശങ്ങൾ, മറ്റൊന്ന് 2 വരെവശങ്ങൾ. പിന്നെ k + k 2 -2 \u003d p,തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു വശം വരച്ച ഡയഗണൽ ഉള്ളതിനാൽ, അത് യഥാർത്ഥ //-ഗോണിന്റെ ഒരു വശമല്ല.

രണ്ട് നമ്പറുകളും ലേക്ക്ഒപ്പം 2 വരെകുറവ് //. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം പ്രയോഗിക്കാം: A]-ഗോണിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180°-(?i-2), കൂടാതെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക? 2-ഗോൺ 180 ° - (Ar 2 -2) ന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ //-gon ന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2).

ഇൻഡക്റ്റീവ് പരിവർത്തനം ന്യായമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഏതെങ്കിലും //-ഗോൺ (//>3) എന്നതിനായി സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

എല്ലാ സമയത്തും യഥാർത്ഥ അറിവ് ഒരു പാറ്റേൺ സ്ഥാപിക്കുകയും ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ അതിന്റെ സത്യാവസ്ഥ തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ലോജിക്കൽ യുക്തിയുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ദീർഘകാലത്തേക്ക്, നിയമങ്ങളുടെ രൂപീകരണങ്ങൾ നൽകപ്പെട്ടു, അരിസ്റ്റോട്ടിൽ "ശരിയായ യുക്തിയുടെ" ഒരു പട്ടിക പോലും സമാഹരിച്ചു. ചരിത്രപരമായി, എല്ലാ അനുമാനങ്ങളെയും രണ്ട് തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നത് പതിവാണ് - കോൺക്രീറ്റിൽ നിന്ന് ബഹുവചനത്തിലേക്കും (ഇൻഡക്ഷൻ) തിരിച്ചും (ഡിഡക്ഷൻ). പ്രത്യേകത്തിൽ നിന്ന് പൊതുവായതും പൊതുവായതും പൊതുവായതുമായ തെളിവുകളുടെ തരങ്ങൾ പരസ്പര ബന്ധത്തിൽ മാത്രമേ നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂ, അവ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ

"ഇൻഡക്ഷൻ" (ഇൻഡക്ഷൻ) എന്ന പദത്തിന് ലാറ്റിൻ വേരുകളുണ്ട്, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ "മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം" എന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. സൂക്ഷ്മമായ പഠനത്തിന് ശേഷം, വാക്കിന്റെ ഘടനയെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും, അതായത് ലാറ്റിൻ പ്രിഫിക്‌സ് - ഇൻ- (അകത്തേക്ക് നയിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഉള്ളിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു), -ഡക്ഷൻ - ആമുഖം. രണ്ട് തരങ്ങളുണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് - പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ഇൻഡക്ഷൻ. ഒരു നിശ്ചിത ക്ലാസിലെ എല്ലാ വിഷയങ്ങളുടെയും പഠനത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത നിഗമനങ്ങളാണ് പൂർണ്ണ രൂപത്തിന്റെ സവിശേഷത.

അപൂർണ്ണമായത് - ക്ലാസിലെ എല്ലാ വിഷയങ്ങൾക്കും ബാധകമായ നിഗമനങ്ങൾ, എന്നാൽ ചില യൂണിറ്റുകളുടെ മാത്രം പഠനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നടത്തിയത്.

ഈ ഫംഗ്ഷണൽ കണക്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ബന്ധങ്ങളാൽ പ്രവർത്തനപരമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും വസ്തുക്കളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസിനെയും കുറിച്ചുള്ള ഒരു പൊതു നിഗമനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു നിഗമനമാണ് സമ്പൂർണ്ണ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തെളിവ് പ്രക്രിയ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടക്കുന്നത്:

• ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രേരണയുടെ പ്രസ്താവനയുടെ കൃത്യത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണം: f = 1, ഇൻഡക്ഷൻ;
• അടുത്ത ഘട്ടം എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും സ്ഥാനം സാധുതയുള്ളതാണെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതായത്, f=h, ഇതാണ് ഇൻഡക്റ്റീവ് അനുമാനം;
• മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയുടെ സ്ഥാനത്തിന്റെ കൃത്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, f=h+1 എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്ഥാനത്തിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു - ഇതൊരു ഇൻഡക്ഷൻ ട്രാൻസിഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഘട്ടമാണ്. വരിയിലെ ആദ്യത്തെ അസ്ഥി വീണാൽ (അടിസ്ഥാനം), തുടർന്ന് വരിയിലെ എല്ലാ അസ്ഥികളും വീഴുകയാണെങ്കിൽ (പരിവർത്തനം) ഒരു ഉദാഹരണം.

തമാശയായും ഗൗരവമായും

ധാരണയുടെ എളുപ്പത്തിനായി, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിലുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ തമാശ പ്രശ്നങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ അപലപിക്കുന്നു. ഇതാണ് മര്യാദയുള്ള ക്യൂ ടാസ്ക്:

• പെരുമാറ്റച്ചട്ടങ്ങൾ ഒരു പുരുഷനെ സ്ത്രീയുടെ മുന്നിൽ തിരിയുന്നത് വിലക്കുന്നു (അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, അവളെ മുന്നിൽ വിടുന്നു). ഈ പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വരിയിൽ അവസാനത്തേത് ഒരു പുരുഷനാണെങ്കിൽ, ബാക്കിയുള്ളവരെല്ലാം പുരുഷന്മാരാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണമാണ് "അളവില്ലാത്ത ഫ്ലൈറ്റ്":

• മിനിബസിൽ എത്ര പേർ വേണമെങ്കിലും കൊള്ളാമെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു വ്യക്തിക്ക് ഗതാഗതത്തിനുള്ളിൽ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ (അടിസ്ഥാനത്തിൽ) ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയുമെന്നത് ശരിയാണ്. എന്നാൽ മിനിബസ് എത്ര നിറഞ്ഞാലും 1 യാത്രക്കാരൻ എപ്പോഴും അതിൽ ഉൾക്കൊള്ളും (ഇൻഡക്ഷൻ സ്റ്റെപ്പ്).

പരിചിതമായ സർക്കിളുകൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി പ്രശ്നങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്. ഈ സമീപനത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം.

അവസ്ഥ: h സർക്കിളുകൾ വിമാനത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. കണക്കുകളുടെ ഏത് ക്രമീകരണത്തിനും, അവ രൂപപ്പെടുത്തിയ മാപ്പ് രണ്ട് നിറങ്ങളാൽ ശരിയായി വർണ്ണിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം: h=1 എന്നതിന് പ്രസ്താവനയുടെ സത്യാവസ്ഥ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ h+1 സർക്കിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തെളിവ് നിർമ്മിക്കപ്പെടും.

ഏത് മാപ്പിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, കൂടാതെ വിമാനത്തിൽ h + 1 സർക്കിളുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ആകെ സർക്കിളുകളിൽ ഒന്ന് നീക്കം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, രണ്ട് നിറങ്ങൾ (കറുപ്പും വെളുപ്പും) ഉപയോഗിച്ച് ശരിയായി വർണ്ണിച്ച ഒരു മാപ്പ് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

ഇല്ലാതാക്കിയ സർക്കിൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ഏരിയയുടെയും നിറം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സർക്കിളിനുള്ളിൽ). രണ്ട് നിറങ്ങളിൽ ശരിയായി വർണ്ണിച്ച ഒരു മാപ്പ് ഇത് മാറ്റുന്നു, അത് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ പ്രയോഗം താഴെ വ്യക്തമായി കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഏതൊരു വ്യക്തിക്കും തുല്യത ശരിയായിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കുക:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. h=1 എന്ന് അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന്:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

ഇതിൽ നിന്ന് h=1 ന്റെ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

2. h=d എന്ന് കരുതിയാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1 എന്ന് ഊഹിച്ചാൽ, ഇത് ഇങ്ങനെയാണ്:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

അങ്ങനെ, h=d+1 എന്നതിനുള്ള സമത്വത്തിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴി പരിഹാര ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ടാസ്ക്

അവസ്ഥ: h ന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും, 7 h -1 എന്ന പദപ്രയോഗം ബാക്കിയില്ലാതെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും എന്നതിന് തെളിവ് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം:

1. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് h=1 എന്ന് പറയാം:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (അതായത് ബാക്കിയില്ലാതെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു)

അതിനാൽ, h=1 എന്നതിന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്;

2. h=d എന്നിരിക്കട്ടെ, 7 d -1 ബാക്കിയില്ലാതെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം;

3. h=d+1 എന്നതിനായുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയുടെ തെളിവ് ഫോർമുലയാണ്:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യ ഖണ്ഡികയുടെ അനുമാനത്താൽ ആദ്യ പദം 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തെ പദം 6 ന് തുല്യമാണ്. 7 h -1 എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക h ന്റെ ശേഷിക്കാതെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു എന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

വിധിയുടെ വീഴ്ച

ഉപയോഗിച്ച ലോജിക്കൽ കൺസ്ട്രക്ഷൻസിന്റെ കൃത്യതയില്ലാത്തതിനാൽ, പലപ്പോഴും, തെറ്റായ ന്യായവാദം തെളിവുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, തെളിവിന്റെ ഘടനയും യുക്തിയും ലംഘിക്കപ്പെടുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. തെറ്റായ യുക്തിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രമാണ്.

ടാസ്ക്

അവസ്ഥ: ഏതെങ്കിലും കല്ലുകളുടെ കൂമ്പാരം ഒരു കൂമ്പാരമല്ല എന്നതിന് ഒരു തെളിവ് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം:

1. നമുക്ക് h=1 എന്ന് പറയാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ചിതയിൽ 1 കല്ല് ഉണ്ട്, പ്രസ്താവന ശരിയാണ് (അടിസ്ഥാനം);

2. കല്ലുകളുടെ കൂമ്പാരം ഒരു കൂമ്പാരമല്ല (അനുമാനം);

3. h=d+1 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അതിൽ നിന്ന് ഒരു കല്ല് കൂടി ചേർക്കുമ്പോൾ, സെറ്റ് ഒരു കൂമ്പാരമാകില്ല. ഈ അനുമാനം എല്ലാ സ്വാഭാവിക h നും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് നിഗമനം സ്വയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എത്ര കല്ലുകൾ ഒരു കൂമ്പാരം ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നതിന് ഒരു നിർവചനവുമില്ല എന്ന വസ്തുതയിലാണ് പിശക്. അത്തരമൊരു ഒഴിവാക്കലിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിൽ തിടുക്കത്തിലുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം ഇത് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു.

ഇൻഡക്ഷനും ലോജിക്കിന്റെ നിയമങ്ങളും

ചരിത്രപരമായി, അവർ എല്ലായ്പ്പോഴും "കൈകോർത്ത് നടക്കുന്നു." യുക്തി, തത്ത്വചിന്ത തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രശാഖകൾ അവയെ വിപരീത രൂപത്തിൽ വിവരിക്കുന്നു.

ലോജിക് നിയമത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഇൻഡക്റ്റീവ് നിർവചനങ്ങൾ വസ്തുതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കൂടാതെ പരിസരത്തിന്റെ സത്യസന്ധത ഫലമായ പ്രസ്താവനയുടെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നില്ല. ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള പ്രോബബിലിറ്റിയും പ്ലാസിബിലിറ്റിയും ഉപയോഗിച്ചാണ് പലപ്പോഴും നിഗമനങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത്, അത് തീർച്ചയായും അധിക ഗവേഷണത്തിലൂടെ സ്ഥിരീകരിക്കുകയും സ്ഥിരീകരിക്കുകയും വേണം. ലോജിക്കിലെ ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പ്രസ്താവനയാണ്:

എസ്തോണിയയിൽ വരൾച്ച, ലാത്വിയയിൽ വരൾച്ച, ലിത്വാനിയയിൽ വരൾച്ച.

എസ്റ്റോണിയ, ലാത്വിയ, ലിത്വാനിയ എന്നിവയാണ് ബാൾട്ടിക് സംസ്ഥാനങ്ങൾ. എല്ലാ ബാൾട്ടിക് സംസ്ഥാനങ്ങളിലും വരൾച്ച.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പുതിയ വിവരങ്ങളോ സത്യമോ ലഭിക്കില്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. നിഗമനങ്ങളുടെ ചില സാദ്ധ്യതകൾ മാത്രമാണ് കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്നത്. മാത്രമല്ല, പരിസരത്തിന്റെ സത്യം ഒരേ നിഗമനങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുനൽകുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, കിഴിവിന്റെ വീട്ടുമുറ്റത്ത് ഇൻഡക്ഷൻ സസ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഈ വസ്തുത അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല: ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ധാരാളം വ്യവസ്ഥകളും ശാസ്ത്രീയ നിയമങ്ങളും സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഗണിതവും ജീവശാസ്ത്രവും മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളും ഒരു ഉദാഹരണമായി വർത്തിക്കും. ഇത് പ്രധാനമായും പൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ രീതി മൂലമാണ്, എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഭാഗികവും ബാധകമാണ്.

മാനുഷിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ മേഖലകളിലേക്കും കടന്നുകയറാൻ ആദരണീയമായ ഇൻഡക്ഷൻ യുഗം അനുവദിച്ചു - ഇതാണ് ശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, ദൈനംദിന നിഗമനങ്ങൾ.

ശാസ്ത്രീയ അന്തരീക്ഷത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ

ഇൻഡക്ഷൻ രീതിക്ക് സൂക്ഷ്മമായ മനോഭാവം ആവശ്യമാണ്, കാരണം മൊത്തത്തിൽ പഠിച്ച വിശദാംശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ വളരെയധികം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: പഠിച്ച സംഖ്യ വലുതാണ്, ഫലം കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമാണ്. ഈ സവിശേഷതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സാധ്യമായ എല്ലാ ഘടനാപരമായ ഘടകങ്ങളും കണക്ഷനുകളും സ്വാധീനങ്ങളും ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നതിനും പഠിക്കുന്നതിനുമായി ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച ശാസ്ത്രീയ നിയമങ്ങൾ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അനുമാനങ്ങളുടെ തലത്തിൽ മതിയായ ദീർഘകാലത്തേക്ക് പരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.

ശാസ്ത്രത്തിൽ, ക്രമരഹിതമായ വ്യവസ്ഥകൾ ഒഴികെയുള്ള പ്രധാന സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഇൻഡക്റ്റീവ് നിഗമനം. ശാസ്ത്രീയ അറിവിന്റെ പ്രത്യേകതകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ വസ്തുത പ്രധാനമാണ്. ശാസ്ത്രത്തിലെ ഇൻഡക്ഷൻ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് വ്യക്തമായി കാണാം.

ശാസ്ത്ര ലോകത്ത് രണ്ട് തരം ഇൻഡക്ഷൻ ഉണ്ട് (പഠന രീതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്):

1. ഇൻഡക്ഷൻ-സെലക്ഷൻ (അല്ലെങ്കിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ);
2. ഇൻഡക്ഷൻ - ഒഴിവാക്കൽ (എലിമിനേഷൻ).

ഒരു ക്ലാസ്സിന്റെ (സബ്‌ക്ലാസ്സുകൾ) അതിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ നിന്നുള്ള രീതിശാസ്ത്രപരമായ (സൂക്ഷ്മമായ) സാമ്പിൾ വഴി ആദ്യ തരം വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഇത്തരത്തിലുള്ള ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്രകാരമാണ്: വെള്ളി (അല്ലെങ്കിൽ വെള്ളി ലവണങ്ങൾ) വെള്ളം ശുദ്ധീകരിക്കുന്നു. നിഗമനം ദീർഘകാല നിരീക്ഷണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (ഒരുതരം സ്ഥിരീകരണങ്ങളുടെയും നിരാകരണങ്ങളുടെയും തിരഞ്ഞെടുപ്പ് - തിരഞ്ഞെടുക്കൽ).

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇൻഡക്ഷൻ, കാര്യകാരണബന്ധങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുകയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സാഹചര്യങ്ങളെ ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന നിഗമനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതായത്, സാർവത്രികത, താൽക്കാലിക ക്രമം പാലിക്കൽ, ആവശ്യകത, അവ്യക്തത.

തത്ത്വചിന്തയുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്നുള്ള പ്രേരണയും കിഴിവും

നിങ്ങൾ ചരിത്രപരമായ റിട്രോസ്പെക്റ്റീവ് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, "ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന പദം ആദ്യം പരാമർശിച്ചത് സോക്രട്ടീസാണ്. കൂടുതൽ ഏകദേശ പദാവലി നിഘണ്ടുവിൽ തത്ത്വചിന്തയിലെ ഇൻഡക്ഷന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ അരിസ്റ്റോട്ടിൽ വിവരിച്ചു, പക്ഷേ അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം തുറന്നിരിക്കുന്നു. അരിസ്റ്റോട്ടിലിയൻ സിലോജിസത്തിന്റെ പീഡനത്തിനുശേഷം, ഇൻഡക്റ്റീവ് രീതി ഫലപ്രദവും പ്രകൃതിശാസ്ത്രത്തിൽ സാധ്യമായതുമായ ഒരേയൊരു രീതിയായി അംഗീകരിക്കപ്പെടാൻ തുടങ്ങി. ബേക്കൺ ഒരു സ്വതന്ത്ര പ്രത്യേക രീതിയായി ഇൻഡക്ഷന്റെ പിതാവായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ സമകാലികർ ആവശ്യപ്പെട്ടതുപോലെ, കിഴിവ് രീതിയിൽ നിന്ന് ഇൻഡക്ഷൻ വേർപെടുത്തുന്നതിൽ അദ്ദേഹം പരാജയപ്പെട്ടു.

ഇൻഡക്ഷന്റെ കൂടുതൽ വികസനം നടത്തിയത് ജെ. മിൽ ആണ്, അദ്ദേഹം ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തത്തെ നാല് പ്രധാന രീതികളുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് പരിഗണിച്ചു: കരാർ, വ്യത്യാസം, അവശിഷ്ടങ്ങൾ, അനുബന്ധ മാറ്റങ്ങൾ. ഇന്ന് ലിസ്റ്റുചെയ്ത രീതികൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, കിഴിവ് നൽകുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല.

ബേക്കണിന്റെയും മില്ലിന്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പൊരുത്തക്കേടിനെക്കുറിച്ചുള്ള അവബോധം ശാസ്ത്രജ്ഞരെ ഇൻഡക്ഷന്റെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അടിസ്ഥാനം അന്വേഷിക്കാൻ പ്രേരിപ്പിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ഇവിടെ പോലും ചില അതിരുകടന്നിരുന്നു: തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അനന്തരഫലങ്ങളോടും കൂടി, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള ഇൻഡക്ഷൻ കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിച്ചു.

ചില വിഷയ മേഖലകളിലെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിൽ ഇൻഡക്ഷന് വിശ്വാസ വോട്ട് ലഭിക്കുന്നു കൂടാതെ ഇൻഡക്റ്റീവ് അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ മെട്രിക് കൃത്യതയ്ക്ക് നന്ദി. തത്ത്വചിന്തയിലെ ഇൻഡക്ഷന്റെയും കിഴിവിന്റെയും ഒരു ഉദാഹരണം സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമമായി കണക്കാക്കാം. നിയമം കണ്ടുപിടിച്ച തീയതിയിൽ, ന്യൂട്ടന് അത് 4 ശതമാനം കൃത്യതയോടെ പരിശോധിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ഇരുനൂറിലധികം വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യത 0.0001 ശതമാനം കൃത്യതയോടെ സ്ഥിരീകരിച്ചു, എന്നിരുന്നാലും അതേ ഇൻഡക്റ്റീവ് സാമാന്യവൽക്കരണത്തിലൂടെയാണ് പരിശോധന നടത്തിയത്.

ആധുനിക തത്ത്വചിന്ത കിഴിവിന് കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ നൽകുന്നു, ഇത് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിൽ നിന്ന് പുതിയ അറിവ് (അല്ലെങ്കിൽ സത്യം) നേടാനുള്ള യുക്തിസഹമായ ആഗ്രഹത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അനുഭവം, അവബോധം എന്നിവ അവലംബിക്കാതെ, എന്നാൽ "ശുദ്ധമായ" ന്യായവാദം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിഡക്റ്റീവ് രീതിയിൽ യഥാർത്ഥ പരിസരം പരാമർശിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഔട്ട്പുട്ട് ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവനയാണ്.

ഈ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവം ഇൻഡക്റ്റീവ് രീതിയുടെ മൂല്യത്തെ മറികടക്കാൻ പാടില്ല. അനുഭവത്തിന്റെ നേട്ടങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇൻഡക്ഷൻ അതിന്റെ പ്രോസസ്സിംഗിന്റെ ഒരു മാർഗമായി മാറുന്നതിനാൽ (സാമാന്യവൽക്കരണവും വ്യവസ്ഥാപിതവൽക്കരണവും ഉൾപ്പെടെ).

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഇൻഡക്ഷന്റെ പ്രയോഗം

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ പഠിക്കുന്നതിനും അതിന്റെ വികസനം പ്രവചിക്കുന്നതിനുമുള്ള രീതികളായി ഇൻഡക്ഷനും കിഴിക്കലും വളരെക്കാലമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു.

ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ ഉപയോഗത്തിന്റെ പരിധി വളരെ വിശാലമാണ്: പ്രവചന സൂചകങ്ങളുടെ (ലാഭം, മൂല്യത്തകർച്ച മുതലായവ) പൂർത്തീകരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവും എന്റർപ്രൈസസിന്റെ അവസ്ഥയുടെ പൊതുവായ വിലയിരുത്തലും; വസ്തുതകളെയും അവയുടെ ബന്ധങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഫലപ്രദമായ ഒരു എന്റർപ്രൈസ് പ്രൊമോഷൻ നയത്തിന്റെ രൂപീകരണം.

ഷെവാർട്ടിന്റെ ചാർട്ടുകളിലും ഇതേ രീതിയാണ് ഇൻഡക്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത്, അവിടെ പ്രക്രിയകൾ നിയന്ത്രിതവും നിയന്ത്രിക്കാത്തതുമായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന അനുമാനത്തിൽ, നിയന്ത്രിത പ്രക്രിയയുടെ ചട്ടക്കൂട് നിഷ്ക്രിയമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശാസ്ത്രീയ നിയമങ്ങൾ ന്യായീകരിക്കപ്പെടുകയും സ്ഥിരീകരിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കൂടാതെ സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം പലപ്പോഴും ഗണിത വിശകലനം, അപകട സിദ്ധാന്തം, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റ എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമായതിനാൽ, പ്രധാന രീതികളുടെ പട്ടികയിൽ ഇൻഡക്ഷൻ ഉൾപ്പെടുത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ ഇൻഡക്ഷന്റെയും കിഴിവിന്റെയും ഉദാഹരണമായി ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യം വർത്തിക്കും. ഭക്ഷണത്തിന്റെയും (ഉപഭോക്തൃ കൊട്ടയിൽ നിന്ന്) അവശ്യ വസ്തുക്കളുടെയും വിലയിലെ വർദ്ധനവ്, സംസ്ഥാനത്ത് ഉയർന്നുവരുന്ന ഉയർന്ന വിലയെക്കുറിച്ച് (ഇൻഡക്ഷൻ) ചിന്തിക്കാൻ ഉപഭോക്താവിനെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു. അതേ സമയം, ഉയർന്ന വിലയുടെ വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച്, വ്യക്തിഗത ചരക്കുകൾക്കോ ​​​​ചരക്കുകളുടെ വിഭാഗങ്ങൾക്കോ ​​(ഡിഡക്ഷൻ) വില വളർച്ചയുടെ സൂചകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, മാനേജ്മെന്റ് ഉദ്യോഗസ്ഥർ, മാനേജർമാർ, സാമ്പത്തിക വിദഗ്ധർ എന്നിവർ ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിലേക്ക് തിരിയുന്നു. ഒരു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ വികസനം, വിപണി പെരുമാറ്റം, മത്സരത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ എന്നിവ മതിയായ സത്യസന്ധതയോടെ പ്രവചിക്കാൻ, വിവരങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിനും പ്രോസസ്സിംഗിനും ഒരു ഇൻഡക്റ്റീവ്-ഡിഡക്റ്റീവ് സമീപനം ആവശ്യമാണ്.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം, തെറ്റായ വിധിന്യായങ്ങളെ പരാമർശിക്കുന്നു:

• കമ്പനിയുടെ ലാഭം 30% കുറഞ്ഞു;
  ഒരു എതിരാളി അതിന്റെ ഉൽപ്പന്ന ലൈൻ വിപുലീകരിച്ചു;
  മറ്റൊന്നും മാറിയിട്ടില്ല;
• ഒരു മത്സരിക്കുന്ന കമ്പനിയുടെ ഉൽപ്പാദന നയം ലാഭത്തിൽ 30% കുറവ് വരുത്തി;
• അതിനാൽ, അതേ ഉൽപാദന നയം നടപ്പിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ അപര്യാപ്തമായ ഉപയോഗം ഒരു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ നാശത്തിന് എങ്ങനെ സംഭാവന ചെയ്യുന്നു എന്നതിന്റെ വർണ്ണാഭമായ ചിത്രീകരണമാണ് ഉദാഹരണം.

മനഃശാസ്ത്രത്തിൽ ഡിഡക്ഷൻ ആൻഡ് ഇൻഡക്ഷൻ

ഒരു രീതി ഉള്ളതിനാൽ, യുക്തിപരമായി, ശരിയായി ചിട്ടപ്പെടുത്തിയ ചിന്തയും (രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്) ഉണ്ട്. മാനസിക പ്രക്രിയകൾ, അവയുടെ രൂപീകരണം, വികസനം, ബന്ധങ്ങൾ, ഇടപെടലുകൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമെന്ന നിലയിൽ സൈക്കോളജി, കിഴിവ്, ഇൻഡക്ഷൻ എന്നിവയുടെ പ്രകടനത്തിന്റെ രൂപങ്ങളിലൊന്നായി "ഡിഡക്റ്റീവ്" ചിന്തയിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ചെലുത്തുന്നു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഇൻറർനെറ്റിലെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന്റെ പേജുകളിൽ, ഡിഡക്റ്റീവ്-ഇൻഡക്റ്റീവ് രീതിയുടെ സമഗ്രതയ്ക്ക് പ്രായോഗികമായി യാതൊരു ന്യായീകരണവുമില്ല. പ്രൊഫഷണൽ സൈക്കോളജിസ്റ്റുകൾ ഇൻഡക്ഷന്റെ പ്രകടനങ്ങളെ അഭിമുഖീകരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെങ്കിലും, അല്ലെങ്കിൽ തെറ്റായ നിഗമനങ്ങൾ.

മനഃശാസ്ത്രത്തിൽ ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം, തെറ്റായ വിധിന്യായങ്ങളുടെ ഒരു ഉദാഹരണമായി, പ്രസ്താവനയാണ്: എന്റെ അമ്മ ഒരു വഞ്ചകയാണ്, അതിനാൽ എല്ലാ സ്ത്രീകളും വഞ്ചകരാണ്. ജീവിതത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രേരണയുടെ കൂടുതൽ "തെറ്റായ" ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

• ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു ഡ്യൂസ് ലഭിച്ചാൽ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒന്നിനും കഴിവില്ല;
• അവൻ ഒരു വിഡ്ഢിയാണ്;
• അവൻ മിടുക്കനാണ്;
• എനിക്ക് എല്ലാം ചെയ്യാൻ കഴിയും;

കൂടാതെ തികച്ചും ക്രമരഹിതവും ചിലപ്പോൾ അപ്രധാനവുമായ സന്ദേശങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മറ്റ് പല മൂല്യനിർണ്ണയങ്ങളും.

ഇത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: ഒരു വ്യക്തിയുടെ വിധിന്യായങ്ങളുടെ വീഴ്ച അസംബന്ധത്തിന്റെ ഘട്ടത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, സൈക്കോതെറാപ്പിസ്റ്റിന് ജോലിയുടെ ഒരു മുന്നണി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. ഒരു സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ് അപ്പോയിന്റ്മെന്റിൽ ഇൻഡക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം:

“ചുവപ്പ് നിറം ഏത് പ്രകടനത്തിലും തനിക്ക് അപകടമുണ്ടാക്കുമെന്ന് രോഗിക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്. തൽഫലമായി, ഒരു വ്യക്തി തന്റെ ജീവിതത്തിൽ നിന്ന് ഈ വർണ്ണ സ്കീമിനെ ഒഴിവാക്കി - കഴിയുന്നിടത്തോളം. വീട്ടുപരിസരത്ത്, സുഖപ്രദമായ ജീവിതത്തിന് ധാരാളം അവസരങ്ങളുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ചുവന്ന ഇനങ്ങളും നിരസിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വർണ്ണ സ്കീമിൽ നിർമ്മിച്ച അനലോഗുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എന്നാൽ പൊതു സ്ഥലങ്ങളിൽ, ജോലിസ്ഥലത്ത്, സ്റ്റോറിൽ - അത് അസാധ്യമാണ്. സമ്മർദപൂരിതമായ ഒരു സാഹചര്യത്തിലേക്ക് കടക്കുമ്പോൾ, രോഗി ഓരോ തവണയും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ വൈകാരികാവസ്ഥകളുടെ "വേലിയേറ്റം" അനുഭവിക്കുന്നു, അത് മറ്റുള്ളവർക്ക് അപകടകരമാണ്.

ഇൻഡക്ഷന്റെ ഈ ഉദാഹരണം, അബോധാവസ്ഥയിൽ, "നിശ്ചിത ആശയങ്ങൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മാനസികാരോഗ്യമുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക് ഇത് സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഓർഗനൈസേഷന്റെ അഭാവത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് സംസാരിക്കാം. ഡിഡക്റ്റീവ് ചിന്തയുടെ പ്രാഥമിക വികസനം ഒബ്സസീവ് അവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനുള്ള ഒരു മാർഗമായി മാറും. മറ്റു സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മനോരോഗ വിദഗ്ധർ അത്തരം രോഗികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

"നിയമത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അജ്ഞത അനന്തരഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് (തെറ്റായ വിധികൾ) ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നില്ല" എന്ന് ഇൻഡക്ഷന്റെ മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഡിഡക്റ്റീവ് ചിന്തയുടെ വിഷയത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന സൈക്കോളജിസ്റ്റുകൾ, ഈ രീതി മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ ആളുകളെ സഹായിക്കുന്നതിന് രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ശുപാർശകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് സമാഹരിച്ചു.

പ്രശ്നപരിഹാരമാണ് ആദ്യപടി. കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഇൻഡക്ഷന്റെ രൂപം "ക്ലാസിക്കൽ" ആയി കണക്കാക്കാം, ഈ രീതിയുടെ ഉപയോഗം മനസ്സിന്റെ "അച്ചടക്കത്തിന്" സംഭാവന നൽകുന്നു.

ഡിഡക്റ്റീവ് ചിന്തയുടെ വികാസത്തിനുള്ള അടുത്ത വ്യവസ്ഥ ചക്രവാളങ്ങളുടെ വികാസമാണ് (വ്യക്തമായി ചിന്തിക്കുന്നവർ, വ്യക്തമായി പ്രസ്താവിക്കുന്നു). ഈ ശുപാർശ ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും വിവരങ്ങളുടെയും (ലൈബ്രറികൾ, വെബ്‌സൈറ്റുകൾ, വിദ്യാഭ്യാസ സംരംഭങ്ങൾ, യാത്രകൾ മുതലായവ) ട്രഷറികളിലേക്ക് "കഷ്ടപ്പാടുകൾ" നയിക്കുന്നു.

പ്രത്യേകം, "സൈക്കോളജിക്കൽ ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെക്കുറിച്ച് പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ പദം, അപൂർവ്വമായെങ്കിലും, ഇന്റർനെറ്റിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. എല്ലാ സ്രോതസ്സുകളും ഈ പദത്തിന് ചുരുങ്ങിയത് ഒരു ചെറിയ നിർവചനം നൽകുന്നില്ല, എന്നാൽ "ജീവിതത്തിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ" പരാമർശിക്കുന്നു, ഒന്നുകിൽ നിർദ്ദേശം, ചില മാനസികരോഗങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ മനുഷ്യ മനസ്സിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ അവസ്ഥകൾ എന്നിവ ഒരു പുതിയ തരം പ്രേരണയായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. മേൽപ്പറഞ്ഞവയിൽ നിന്നെല്ലാം, തെറ്റായ (പലപ്പോഴും അസത്യമായ) പരിസരങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു "പുതിയ പദം" ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാനുള്ള ശ്രമം ഒരു തെറ്റായ (അല്ലെങ്കിൽ തിടുക്കത്തിലുള്ള) പ്രസ്താവന സ്വീകരിക്കാൻ പരീക്ഷണക്കാരനെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

1960-ലെ പരീക്ഷണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പരാമർശം (വേദി, പരീക്ഷണം നടത്തുന്നവരുടെ പേരുകൾ, വിഷയങ്ങളുടെ സാമ്പിൾ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കാതെ) മിതമായ രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അത് ബോധ്യപ്പെടുത്താത്തതും പ്രസ്താവനയും ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ധാരണയുടെ എല്ലാ അവയവങ്ങളെയും മറികടന്ന് മസ്തിഷ്കം വിവരങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ "അനുഭവപരിചയമുള്ളവർ" എന്ന വാചകം കൂടുതൽ ജൈവികമായി യോജിക്കും), പ്രസ്താവനയുടെ രചയിതാവിന്റെ വഞ്ചനയെയും വിമർശനാത്മകതയെയും കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ ഒരാളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു നിഗമനത്തിന് പകരം

ശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജ്ഞി - ഗണിതശാസ്ത്രം, ഇൻഡക്ഷൻ, കിഴിവ് രീതിയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ കരുതൽ ശേഖരങ്ങളും വെറുതെ ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല. ഏറ്റവും കൃത്യവും വിശ്വസനീയവുമായ രീതികൾ പോലും ഉപരിപ്ലവവും അയോഗ്യവുമായ (ചിന്തയില്ലാത്ത, അവർ പറയുന്നതുപോലെ) പ്രയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നുവെന്ന നിഗമനത്തിലെത്താൻ പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ബഹുജന ബോധത്തിൽ, കിഴിവ് രീതി പ്രശസ്ത ഷെർലക് ഹോംസുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അദ്ദേഹം തന്റെ ലോജിക്കൽ നിർമ്മാണങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും ഇൻഡക്ഷന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ആവശ്യമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ കിഴിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മനുഷ്യജീവിതത്തിന്റെ വിവിധ ശാസ്ത്രങ്ങളിലും മേഖലകളിലും ഈ രീതികളുടെ പ്രയോഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ലേഖനം പരിഗണിച്ചു.

സരടോവ് മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയം

സരടോവ് സ്റ്റേറ്റ് സോഷ്യോ ഇക്കണോമിക് യൂണിവേഴ്സിറ്റി

സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര, കമ്പ്യൂട്ടർ വർക്കുകളുടെ പ്രാദേശിക മത്സരം

"ഭാവിയുടെ വെക്റ്റർ - 2007"

"ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി.

ബീജഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അതിന്റെ പ്രയോഗം"

(വിഭാഗം "ഗണിതം")

സൃഷ്ടിപരമായ ജോലി

10 "എ" ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥികൾ

MOU "ജിംനേഷ്യം നമ്പർ 1"

സരടോവിലെ ഒക്ത്യാബ്രസ്കി ജില്ല

ഹരുത്യുന്യൻ ഗയനെ.

വർക്ക് മാനേജർ:

ഗണിത അധ്യാപകൻ

ഗ്രിഷിന ഐറിന വ്ലാഡിമിറോവ്ന

സരടോവ്

2007

ആമുഖം ………………………………………………………………………………………… 3

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷന്റെ തത്വവും അതിന്റെയും

തെളിവ് ……………………………………………………………………………………..4

പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ……………………………………………………………….9

ഉപസംഹാരം ………………………………………………………………………………… 16

സാഹിത്യം ………………………………………………………………………………… 17

ആമുഖം.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി പുരോഗതിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും താഴ്ന്നതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, യുക്തിസഹമായ ചിന്തയുടെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ഉയർന്നതിലെത്തുന്നു. മനുഷ്യൻ എല്ലായ്പ്പോഴും പുരോഗതിക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നു, യുക്തിസഹമായി തന്റെ ചിന്ത വികസിപ്പിക്കാനുള്ള കഴിവിനായി, അതിനർത്ഥം പ്രകൃതി തന്നെ അവനെ പ്രേരകമായി ചിന്തിക്കാനും യുക്തിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങൾക്കും അനുസൃതമായി നടപ്പിലാക്കുന്ന തെളിവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവന്റെ ചിന്തയെ ശക്തിപ്പെടുത്താനും വിധിച്ചു എന്നാണ്.
നിലവിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ പ്രയോഗ മേഖല വളർന്നു, പക്ഷേ, നിർഭാഗ്യവശാൽ, സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ ഇതിന് കുറച്ച് സമയം നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ് - ഇൻഡക്റ്റീവ് ആയി ചിന്തിക്കാൻ.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷന്റെ തത്വവും അതിന്റെ തെളിവും

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ സാരാംശത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം. നമുക്ക് വിവിധ പ്രസ്താവനകൾ പരിഗണിക്കാം. അവയെ പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായവയായി വിഭജിക്കാം, നമുക്ക് പൊതുവായ പ്രസ്താവനകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം.

എല്ലാ റഷ്യൻ പൗരന്മാർക്കും വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള അവകാശമുണ്ട്.

ഏത് സമാന്തരരേഖയിലും, വിഭജന പോയിന്റിലെ ഡയഗണലുകൾ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

പൂജ്യത്തിൽ അവസാനിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

സ്വകാര്യ പ്രസ്താവനകളുടെ പ്രസക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പെട്രോവിന് വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള അവകാശമുണ്ട്.

സമാന്തരരേഖയായ എബിസിഡിയിൽ, വിഭജന പോയിന്റിലെ ഡയഗണലുകൾ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

140 എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

പൊതുവായ പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന് പ്രത്യേക പ്രസ്താവനകളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെ കിഴിവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലാറ്റിനിൽ നിന്ന് കിഴിവ് - യുക്തിയുടെ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി നിഗമനം).

ഡിഡക്റ്റീവ് അനുമാനത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

എല്ലാ റഷ്യൻ പൗരന്മാർക്കും വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള അവകാശമുണ്ട്. (1)

പെട്രോവ് റഷ്യയിലെ പൗരനാണ്. (2)

പെട്രോവിന് വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള അവകാശമുണ്ട്. (3)

പൊതുവായ അവകാശവാദത്തിൽ നിന്ന് (1) (2) ന്റെ സഹായത്തോടെ പ്രത്യേക അവകാശവാദം (3) ലഭിക്കുന്നു.

പ്രത്യേക പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ പ്രസ്താവനകളിലേക്കുള്ള വിപരീത പരിവർത്തനത്തെ ഇൻഡക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലാറ്റിനിൽ നിന്ന് ഇൻഡക്ഷൻ - മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം).

ഇൻഡക്ഷൻ ശരിയായതും തെറ്റായതുമായ നിഗമനങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.

രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ ഇത് വിശദീകരിക്കാം.

140 എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. (1)

പൂജ്യത്തിൽ അവസാനിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. (2)

140 എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. (1)

എല്ലാ മൂന്നക്ക സംഖ്യകളും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (2)

പ്രത്യേക പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് (1) പൊതുവായ പ്രസ്താവന (2) ലഭിക്കും. പ്രസ്താവന (2) ശരിയാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം ഒരു പ്രത്യേക പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് (3) ഒരു പൊതു പ്രസ്താവന എങ്ങനെ നേടാമെന്ന് കാണിക്കുന്നു (1) , കൂടാതെ, പ്രസ്താവന (3) ശരിയല്ല.

ശരിയായ നിഗമനങ്ങൾ മാത്രം നേടുന്നതിന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്ന ചോദ്യം നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അസ്വീകാര്യമായ ഇൻഡക്ഷന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

ലിയോനാർഡ് യൂലർ ശ്രദ്ധിച്ച Р(x)= x 2 + x + 41 എന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ പരിഗണിക്കുക.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, പി(8) = 113, പി(9)=131, പി(10) = 151.

ഓരോ തവണയും ട്രൈനോമിയലിന്റെ മൂല്യം ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് നാം കാണുന്നു. ലഭിച്ച ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പരിഗണനയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, x-ന് പകരം ഞങ്ങൾ ഉറപ്പിച്ചു പറയുന്നു ഏതൊരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയിൽ കലാശിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, വരച്ച നിഗമനം വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. എന്താണ് കാര്യം? x ന്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ന്യായവാദത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും x നെക്കുറിച്ച് പൊതുവായ പ്രസ്താവനകൾ നടത്തുന്നത് എന്നതാണ് വസ്തുത.

തീർച്ചയായും, ട്രൈനോമിയൽ P(x) സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, P(0), P(1), ..., P(39) എന്ന സംഖ്യകൾ പ്രധാന സംഖ്യകളാണ്, എന്നാൽ P(40) = 41 2 എന്നത് ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണ്. വളരെ വ്യക്തമായി: P(41) = 41 2 +41+41 എന്നത് 41 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, 40 പ്രത്യേക കേസുകളിൽ ശരിയാണെങ്കിലും പൊതുവെ അന്യായമായി മാറിയ ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് ഞങ്ങൾ കണ്ടത്.

കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ വി.ജി. ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n ന്റെയും സംഖ്യകൾ n 3 - n എന്നത് 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്നും n 5 - n എന്നത് 5 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്നും n 7 - n എന്നത് 7 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്നും ലെയ്ബ്നിസ് തെളിയിച്ചു. സ്വാഭാവിക n, സംഖ്യ n k - n k യുടെ ഗുണിതം, എന്നാൽ താമസിയാതെ അദ്ദേഹം തന്നെ ശ്രദ്ധിച്ചു, 2 9 -2=510, ഇത് വ്യക്തമായും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒരു സുപ്രധാന നിഗമനത്തിലെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ഒരു പ്രസ്താവന നിരവധി പ്രത്യേക കേസുകളിൽ ശരിയും അതേ സമയം പൊതുവെ അനീതിയും ആകാം.

ചോദ്യം സ്വാഭാവികമായും ഉയർന്നുവരുന്നു: നിരവധി പ്രത്യേക കേസുകളിൽ സത്യമായ ഒരു പ്രസ്താവനയുണ്ട്; എല്ലാ പ്രത്യേക കേസുകളും പരിഗണിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്; ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അറിയാം?

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ന്യായവാദ രീതി പ്രയോഗിച്ച് ചിലപ്പോൾ ഈ ചോദ്യം പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ രീതി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വം, ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ ഉപസംഹരിച്ചു: ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക n എന്നതിന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്:

ഇത് n = 1 ന് സാധുതയുള്ളതാണ്;

ചില അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക n =k ന്റെ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയിൽ നിന്ന്, ഇത് n = k +1 ന് ശരിയാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

തെളിവ്.

വിപരീതം അനുമാനിക്കുക, അതായത്, എല്ലാ സ്വാഭാവിക n നും പ്രസ്താവന ശരിയാകരുത്. അപ്പോൾ അത്തരം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ m ഉണ്ട്

n =m എന്നതിന്റെ പ്രസ്താവന ശരിയല്ല,

എല്ലാവർക്കും n

m >1 എന്നത് വ്യക്തമാണ്, കാരണം n =1 (കണ്ടീഷൻ 1) ന് അവകാശവാദം ശരിയാണ്. അതിനാൽ, m -1 ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. m -1 എന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്, എന്നാൽ അടുത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യ m-ന് അത് ശരിയല്ല. ഇത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ് 2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വൈരുദ്ധ്യം അനുമാനം തെറ്റാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n, h.e.d. നും അവകാശവാദം ശരിയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു തെളിവിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു തെളിവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു തെളിവ് രണ്ട് സ്വതന്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളണം.

സിദ്ധാന്തം 1. n =1 ന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2. n=k ന് ശരിയാണെങ്കിൽ n =k +1 ന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്, ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

ഈ രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങളും തെളിയിക്കപ്പെട്ടാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രേരണയുടെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രസ്താവന ഏതൊരു കാര്യത്തിനും ശരിയാണ്.
സ്വാഭാവിക എൻ.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയുള്ള തെളിവിന് തീർച്ചയായും 1, 2 എന്നീ രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും തെളിവ് ആവശ്യമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയേണ്ടതാണ്. സിദ്ധാന്തം 2 നെ അവഗണിക്കുന്നത് തെറ്റായ നിഗമനങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (ഉദാഹരണങ്ങൾ 1-2). സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ തെളിവ് എത്രത്തോളം ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3. "സിദ്ധാന്തം": ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും അതിനെ പിന്തുടരുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിവ് നടപ്പിലാക്കും.

k =k +1 (1) എന്ന് കരുതുക.

നമുക്ക് k +1=k +2 (2) എന്ന് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, "സമത്വം" (1) എന്നതിന്റെ ഓരോ ഭാഗത്തിനും 1 ചേർക്കുക. നമുക്ക് "സമത്വം" (2) ലഭിക്കും. n =k ന് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണെങ്കിൽ, അത് n =k +1. മുതലായവയ്ക്കും ശരിയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

"സിദ്ധാന്തത്തിൽ" നിന്നുള്ള വ്യക്തമായ "പരിണതഫലം": എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും തുല്യമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ തത്വം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തം 1 തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, അത് ശരിയല്ല, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ എന്ന വസ്തുതയിലാണ് പിശക്.

1 ഉം 2 ഉം സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം 1 ഇൻഡക്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 2 ഈ അടിത്തറയുടെ പരിധിയില്ലാത്ത യാന്ത്രിക വികാസത്തിനുള്ള അവകാശം നൽകുന്നു, ഈ പ്രത്യേക കേസിൽ നിന്ന് അടുത്തതിലേക്ക്, n മുതൽ n + 1 ലേക്ക് നീങ്ങാനുള്ള അവകാശം.

സിദ്ധാന്തം 1 തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെങ്കിലും സിദ്ധാന്തം 2 തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനാൽ, ഇൻഡക്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം സൃഷ്ടിച്ചിട്ടില്ല, തുടർന്ന് സിദ്ധാന്തം 2 പ്രയോഗിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, കാരണം വാസ്തവത്തിൽ, വികസിപ്പിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല.

സിദ്ധാന്തം 2 തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ, സിദ്ധാന്തം 1 മാത്രമേ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂവെങ്കിൽ, ഇൻഡക്ഷൻ നടത്തുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം സൃഷ്ടിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, ഈ അടിത്തറ വികസിപ്പിക്കാനുള്ള അവകാശം ഇല്ല.

പരാമർശത്തെ.

ചിലപ്പോൾ തെളിവിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം n =k എന്നതിന് മാത്രമല്ല, n =k -1 ന്റെയും പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യ ഭാഗത്തിലെ പ്രസ്താവന n ന്റെ അടുത്ത രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾക്കായി പരീക്ഷിക്കണം.

ചിലപ്പോൾ പ്രസ്താവന ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക n ന് വേണ്ടിയല്ല, n > m ന് വേണ്ടി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ m എന്നത് ചില പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തെളിവിന്റെ ആദ്യ ഭാഗത്ത്, n =m +1 എന്നതിലും ആവശ്യമെങ്കിൽ, n ന്റെ തുടർന്നുള്ള നിരവധി മൂല്യങ്ങൾക്കായും ഉറപ്പ് പരിശോധിച്ചുറപ്പിക്കുന്നു.

പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിച്ചാൽ, നമുക്കുണ്ട്: ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി, ഒരു പൊതു നിയമം തേടി, ഈ കേസിൽ ഉയർന്നുവരുന്ന അനുമാനങ്ങൾ പരീക്ഷിക്കാനും തെറ്റായവ നിരസിക്കാനും യഥാർത്ഥമായത് സ്ഥാപിക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു.

അനുഭവപരവും പരീക്ഷണാത്മകവുമായ ശാസ്ത്രങ്ങൾക്കായി വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും പരീക്ഷണങ്ങളുടെയും (അതായത്, ഇൻഡക്ഷൻ) ഫലങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുടെ പങ്ക് എല്ലാവർക്കും അറിയാം. മറുവശത്ത്, ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെക്കാലമായി, കേവലം കിഴിവ് രീതികൾ നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങളും (പ്രാരംഭമായി അംഗീകരിച്ചവ - പ്രാമാണങ്ങൾ ഒഴികെ) തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ നിർദ്ദിഷ്ട പ്രയോഗങ്ങൾ ഈ നിർദ്ദേശങ്ങളിൽ പൊതുവായ കേസുകൾക്ക് (ഡിഡക്ഷൻ) അനുയോജ്യമായ തെളിവുകളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇത് തികച്ചും വിശ്വസനീയമല്ലാത്ത ഒരു രീതിയായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ടോ, അത്തരം ഇൻഡക്റ്റീവ് രീതികളുടെ വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി ഒരു മാനദണ്ഡം എങ്ങനെ നോക്കാം? അല്ലെങ്കിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഏതെങ്കിലും വസ്തുത "പരിശോധിക്കുന്നത്" മോശമായിരിക്കില്ല, പരീക്ഷണാത്മക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പരീക്ഷണാത്മക സാമാന്യവൽക്കരണത്തിന്റെ അതേ സ്വഭാവത്തിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര നിഗമനങ്ങളുടെ ഉറപ്പാണോ? വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് അങ്ങനെയല്ല.

ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഇൻഡക്ഷൻ (മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം) ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും എന്നാൽ പൂർണ്ണമായും ഹ്യൂറിസ്റ്റിക് പങ്ക് വഹിക്കുന്നു: പരിഹാരം എന്തായിരിക്കണമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ ഇത് ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങൾ കിഴിവോടെ മാത്രമേ സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ. കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി തികച്ചും കിഴിവുള്ള തെളിവ് രീതിയാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ രീതി നടപ്പിലാക്കിയ തെളിവ് രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

"അടിസ്ഥാനം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് - ഒന്നോ അതിലധികമോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള വാക്യത്തിന്റെ കിഴിവ് തെളിവ്;

ഒരു പൊതു പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു കിഴിവ് തെളിവ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇൻഡക്റ്റീവ് ഘട്ടം. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും സിദ്ധാന്തം കൃത്യമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. തെളിയിക്കപ്പെട്ട അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന്, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക്, നമുക്ക് ഇൻഡക്ഷൻ ഘട്ടം വഴി, നമ്പർ 1 ന്റെ തെളിവ് ലഭിക്കും, തുടർന്ന് 2 ന് അതേ രീതിയിൽ, 3 ന് ... - അതിനാൽ പ്രസ്താവനയെ ന്യായീകരിക്കാം. ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ രീതി പരമ്പരാഗത ഇൻഡക്റ്റീവ് ന്യായവാദവുമായി നമ്മുടെ മനസ്സിൽ ലളിതമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാലാണ് "ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ" എന്ന പേര് വന്നത് (എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനം ഒരു പ്രത്യേക കേസിന് മാത്രമേ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ); ഇൻഡക്റ്റീവ് സ്റ്റെപ്പ്, പ്രകൃതി, സാമൂഹിക ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ അനുഭവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഇൻഡക്റ്റീവ് യുക്തിയുടെ വിശ്വസനീയത മാനദണ്ഡത്തിന് വിരുദ്ധമായി, പ്രത്യേക അടിസ്ഥാനങ്ങളൊന്നും ആവശ്യമില്ലാത്തതും ഡിഡക്റ്റീവ് യുക്തിയുടെ കർശനമായ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടതുമായ ഒരു പൊതു പ്രസ്താവനയാണ്. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷനെ "പൂർണ്ണമായത്" അല്ലെങ്കിൽ "തികഞ്ഞത്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് ഒരു കിഴിവുള്ളതും പൂർണ്ണമായും വിശ്വസനീയവുമായ തെളിവ് രീതിയാണ്.

പ്രശ്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ബീജഗണിതത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ

ബീജഗണിത പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്ന വിവിധ അസമത്വങ്ങളുടെ തെളിവും പരിഗണിക്കുക.

ടാസ്ക് 1. തുകയുടെ ഫോർമുല ഊഹിച്ച് തെളിയിക്കുക.

എ( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + .....+(n +1) n 2 .

പരിഹാരം.

1. നമുക്ക് А(n) തുകയ്ക്കുള്ള പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 +…. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), ഇവിടെ B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3, C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2.

2. C (n), B (n) എന്നീ തുകകൾ പരിഗണിക്കുക.

എ) സി( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയിൽ പതിവായി നേരിടുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന്, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n നും തുല്യതയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക എന്നതാണ്.

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

എല്ലാ n നും (1) ശരിയാണെന്ന് കരുതുക  എൻ.

ബി ) B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3 . n-നെ ആശ്രയിച്ച് B (n) മൂല്യങ്ങൾ എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

അതിനാൽ, അത് അനുമാനിക്കാം
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന തുക А(n).

എ( n) ==

= (*)

3. നമുക്ക് ലഭിച്ച ഫോർമുല (*) ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാം.

a) n = 1 ന് തുല്യത (*) പരിശോധിക്കുക.

A(1) = 2  =2,

വ്യക്തമായും, ഫോർമുല (*) n = 1 ന് ശരിയാണ്.

b) n=k എന്നതിന് ഫോർമുല (*) ശരിയാണെന്ന് കരുതുക, ഇവിടെ k N, അതായത് തുല്യത

A(k)=

അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, n =k +1 എന്നതിനായുള്ള ഫോർമുലയുടെ സാധുത ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. ശരിക്കും,

A(k+1)=

ഫോർമുല (*) n =1 ന് ശരിയായതിനാൽ, ചില സ്വാഭാവിക k ന് ഇത് ശരിയാണെന്ന അനുമാനത്തിൽ നിന്ന്, ഇത് n =k +1 ന് ശരിയാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രേരണയുടെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു സമത്വം

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക n ന് വേണ്ടി പിടിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 2.

തുക 1-2 + 3-4 +...(-1) n -1 n കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

n ന്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് തുകകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായി എഴുതാം.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

പാറ്റേൺ നിരീക്ഷിച്ചാൽ, നമുക്ക് A (n)= - n, A (n)= എന്നിവയ്ക്ക് പോലും അനുമാനിക്കാം.
വിചിത്രമായ n. രണ്ട് ഫലങ്ങളും ഒരൊറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

A(n) =
, ഇവിടെ r എന്നത് n നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ബാക്കിയാണ്.

ഒപ്പം ആർ , ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമത്താൽ വ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

0 എങ്കിൽ n തുല്യമാണ്,

r=

1 എങ്കിൽ n എന്നത് വിചിത്രമാണ്.

പിന്നെ ആർ(ഊഹിക്കാൻ കഴിയും) ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

അവസാനമായി നമുക്ക് A (n) എന്നതിന്റെ ഫോർമുല ലഭിക്കും:

A(n)=

(*)

എല്ലാവർക്കും സമത്വം (*) തെളിയിക്കാം  എൻ ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ രീതി.

2. a) n =1 എന്നതിനുള്ള തുല്യത (*) പരിശോധിക്കുക. A(1) = 1=

സമത്വം ന്യായമാണ്

b) സമത്വം എന്ന് കരുതുക

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

സത്യത്തിൽ n=k. ഇത് n =k + 1-നും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, അതായത്.

A(k+1)=

തീർച്ചയായും,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

ക്യു.ഇ.ഡി.

ഡിവിസിബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 3.

N (n)=n 3 + 5n ഏത് സ്വാഭാവിക n നും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

തെളിവ്.

ചെയ്തത് n =1 സംഖ്യ N (1)=6 ആയതിനാൽ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

N (k )=k 3 +5k എന്ന സംഖ്യ ചില സ്വാഭാവിക k ന് 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. തീർച്ചയായും, നമുക്കുണ്ട്
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് k, k +1 എന്നിവ തൊട്ടടുത്തുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, അപ്പോൾ അവയിലൊന്ന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ 3k (k +1) എന്ന പദപ്രയോഗം 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ, N (k +1) എന്നിവയും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഔട്ട്‌പുട്ട് N (n)=n 3 + 5n ഏത് സ്വാഭാവിക n നും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ രീതി നിരവധി തവണ പ്രയോഗിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഡിവിസിബിലിറ്റി പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം പരിഗണിക്കുക.

ടാസ്ക് 4.

സംഖ്യയിൽ സ്വാഭാവികമായും അത് തെളിയിക്കുക
2 n +3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

തെളിവ്.

സങ്കൽപ്പിക്കുക
ഒരു സൃഷ്ടിയുടെ രൂപത്തിൽ
=

= (*)

അനുമാനപ്രകാരം, (*) എന്നതിലെ ആദ്യ ഘടകം 2 k +3 എന്ന സംഖ്യയാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല, അതായത്, ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയുടെ പ്രതിനിധാനം
അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, നമ്പർ 2 (k + 2) തവണയിൽ കൂടുതൽ ആവർത്തിക്കില്ല. അങ്ങനെ നമ്പർ തെളിയിക്കാൻ
2 k +4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, നമ്മൾ അത് തെളിയിക്കണം
4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

ഈ ഉറപ്പ് തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ ഉറപ്പ് തെളിയിക്കുന്നു: ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n നും, 3 2 n +1 എന്ന സംഖ്യ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. n =1 ന്, അവകാശവാദം വ്യക്തമാണ്, കാരണം 10-നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. 3 2 k +1 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ലെന്ന് കരുതുക, 3 2(k +1) +1 യും ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു.
4 പ്രകാരം. അവസാന പദപ്രയോഗത്തെ ഒരു തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . തുകയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെങ്കിലും ആദ്യത്തേത് ഹരിക്കാനാവില്ല. അതിനാൽ, മുഴുവൻ തുകയും ബാക്കിയില്ലാതെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. സഹായ വാദം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഇപ്പോൾ അത് വ്യക്തമായി
2k ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായതിനാൽ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

അവസാനം, നമുക്ക് ആ നമ്പർ ലഭിക്കും
ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക n ന് 2 n +3 കൊണ്ട് തുല്യമായി ഹരിക്കാനാവില്ല.

അസമത്വങ്ങളുടെ തെളിവിന് ഇൻഡക്ഷൻ പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക.

ടാസ്ക് 5.

ഏത് സ്വാഭാവിക n ന് അസമത്വം 2 n > 2n + 1 ശരിയാണ്?

പരിഹാരം.

1. എപ്പോൾ n=1 2 1< 2*1+1,

ചെയ്തത് n=2 2 2< 2*2+1,

ചെയ്തത് n =3 2 3 > 2*3+1,

ചെയ്തത് n =4 2 4 > 2*4+1.

പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, അസമത്വം ഏതൊരു സ്വാഭാവിക n നും സാധുവാണ്  3. നമുക്ക് ഈ വാദം തെളിയിക്കാം.

2. എപ്പോൾ n =3 അസമത്വത്തിന്റെ സാധുത ഇതിനകം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ അസമത്വം n =k ന് സാധുവായിരിക്കട്ടെ, ഇവിടെ k എന്നത് 3-ൽ കുറയാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അതായത്.

2 k > 2k+1 (*)

അപ്പോൾ അസമത്വം n =k +1 നും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, അതായത് 2 k +1 >2(k +1)+1. (*) നെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് 2 k +1 >4k +2 ലഭിക്കും. 2(k +1)+1, 4k +2 എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. വ്യക്തമായും, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക കെയ്ക്കും 2k -1>0. തുടർന്ന് 4k +2>2(k +1)+1, അതായത്. 2k+1 >2(k+1)+1. വാദം തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ടാസ്ക് 6.

n നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെയും ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയുടെയും അസമത്വം (കൗച്ചിയുടെ അസമത്വം)., നമുക്ക് ലഭിക്കും =

സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് എങ്കിലും
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ അസമത്വവും (**) സാധുവാണ്.

ഉപസംഹാരം.

ജോലി ചെയ്യുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതിയുടെ സാരാംശവും അതിന്റെ തെളിവും ഞാൻ പഠിച്ചു. ശരിയായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന അപൂർണ്ണമായ ഇൻഡക്ഷൻ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിച്ച പ്രശ്നങ്ങൾ പേപ്പർ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഒരു തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

സാഹിത്യം.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിലെ പ്രഭാഷണങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും; ശാസ്ത്രം, 1974.

വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. , ഷ്വാർട്ട്സ്ബർഡ് എസ്.ഐ. ഗണിത വിശകലനം.-
എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1973.

ഗാലിറ്റ്സ്കി എം.എൽ., മോഷ്കോവിച്ച് എം.എം., ഷ്വാർട്സ്ബർഡ് എസ്.ഐ. ബീജഗണിതത്തിന്റെയും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെയും കോഴ്സിന്റെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനം - എം .: വിദ്യാഭ്യാസം, 1990.

പൊട്ടപോവ് എം.കെ., അലക്സാൻഡ്രോവ് വി.വി., പാസിചെങ്കോ പി.ഐ. ബീജഗണിതവും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വിശകലനവും.- എം.: നൗക, 1980.

സോമിൻസ്കി ഐ.എസ്., ഗൊലോവിന എം.എൽ., യാഗ്ലോം ഐ.എം. ഗണിത പ്രേരണയെക്കുറിച്ച് - എം.: നൗക, 1967.