Функцийн хэт утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Өсөх, буурах функц, экстремум
Энэ бол бүх төгсөгч, оюутнуудад тулгардаг математикийн нэлээд сонирхолтой хэсэг юм. Гэсэн хэдий ч хүн бүр матанд дуртай байдаггүй. Зарим нь стандарт мэт санагдах функцийн судалгаа гэх мэт үндсэн зүйлийг ч ойлгодоггүй. Энэхүү нийтлэл нь энэ зөрчлийг арилгах зорилготой юм. Функциональ шинжилгээний талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсч байна уу? Та экстремум цэг гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн олохыг мэдэхийг хүсч байна уу? Тэгвэл энэ нийтлэл танд зориулагдана.
Функцийн графикийг судлах
Эхлээд диаграммд яагаад дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай байгааг ойлгох нь зүйтэй. Зурахад хялбар энгийн функцууд байдаг. Ийм функцийн тод жишээ бол парабол юм. Түүний графикийг зурах нь тийм ч хэцүү биш юм. Функц 0 утгыг авах тоонуудыг олохын тулд энгийн хувиргалт ашиглахад л хангалттай. Зарчмын хувьд параболын графикийг зурахын тулд үүнийг мэдэх хэрэгтэй.
Гэхдээ бидний график зурах шаардлагатай функц илүү төвөгтэй байвал яах вэ? Нарийн төвөгтэй функцүүдийн шинж чанарууд нь тодорхой бус байдаг тул бүхэл бүтэн дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай. Зөвхөн дараа нь функцийг графикаар дүрсэлж болно. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Та энэ асуултын хариултыг энэ нийтлэлээс олж болно.
Функцийн шинжилгээний төлөвлөгөө
Хамгийн эхний хийх зүйл бол функцийн талаар өнгөц судалгаа хийх бөгөөд энэ хугацаанд бид тодорхойлолтын хүрээг олох болно. Тиймээс, дарааллаар нь эхэлцгээе. Тодорхойлолтын домэйн нь функцийг тодорхойлсон утгуудын багц юм. Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь функцэд х-ийн оронд ашиглагдаж болох тоонууд юм. Хамрах хүрээг тодорхойлохын тулд та зөвхөн оруулгыг харах хэрэгтэй. Жишээлбэл, y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 функц нь тодорхойлолтын домэйн - бодит тоонуудын багцтай байх нь ойлгомжтой. За, (x 2 - 2x) / x гэх мэт функцтэй бол бүх зүйл арай өөр байна. Хуваагч дахь тоо нь 0-тэй тэнцүү байх ёсгүй тул энэ функцийн муж нь тэгээс бусад бүх бодит тоо байх болно.
Дараа нь та функцийн тэг гэж нэрлэгддэг тоог олох хэрэгтэй. Эдгээр нь бүхэл функц нь тэг утгыг авдаг аргументийн утгууд юм. Үүнийг хийхийн тулд функцийг тэгтэй тэнцүүлэх, нарийвчлан авч үзэх, зарим хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Аль хэдийн танил болсон y(x) = (x 2 - 2x)/x функцийг авч үзье. Сургуулийн хичээлээс бид тоологч нь тэг байхад бутархай нь 0 гэдгийг мэддэг. Тиймээс бид хуваагчийг хаяж, тоологчтой ажиллаж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлж эхэлнэ. Бид x 2 - 2x \u003d 0-ийг аваад хаалтнаас х-г гаргана. Эндээс x (x - 2) \u003d 0. Үүний үр дүнд бид x нь 0 эсвэл 2-той тэнцүү байх үед бидний функц тэгтэй тэнцүү болохыг олж мэдэв.
Функцийн графикийг судлах явцад олон хүн экстремум цэг хэлбэрээр асуудалтай тулгардаг. Тэгээд ч хачирхалтай. Эцсийн эцэст, хэт туйлшрал бол маш энгийн сэдэв юм. Итгэхгүй байна уу? Өгүүллийн энэ хэсгийг уншаад бид хамгийн бага ба дээд онооны талаар ярих болно.
Эхлэхийн тулд экстремум гэж юу болохыг ойлгох нь зүйтэй. Экстремум гэдэг нь функцийн график дээр хүрэх хязгаарын утга юм. Эндээс харахад хамгийн дээд ба хамгийн бага гэсэн хоёр туйлын утга байдаг. Тодорхой болгохын тулд та дээрх зургийг харж болно. Судалгаанд хамрагдсан хэсэгт -1 цэг нь y (x) \u003d x 5 - 5x функцийн хамгийн их утга бөгөөд 1 цэг нь хамгийн бага байна.
Мөн ойлголтуудыг хооронд нь андуурч болохгүй. Функцийн экстремум цэгүүд нь өгөгдсөн функц хэт утгыг олж авах аргументууд юм. Эргээд экстремум нь функцийн минимум ба максимумуудын утга юм. Жишээлбэл, дээрх зургийг дахин авч үзье. -1 ба 1 нь функцийн экстремум цэгүүд, 4 ба -4 нь өөрөө экстремумууд юм.
Экстремум цэгүүдийг олох
Гэхдээ функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох вэ? Бүх зүйл маш энгийн. Хамгийн эхний хийх зүйл бол тэгшитгэлийн деривативыг олох явдал юм. Бид даалгавар авлаа гэж бодъё: "y (x) функцийн экстремум цэгүүдийг ол, x нь аргумент. Тодорхой болгохын тулд y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54 функцийг авч үзье. Ялгаж үзье. Дараах тэгшитгэлийг авна: 3x 2 + 4x + 1. Үүний үр дүнд бид стандарт квадрат тэгшитгэлтэй боллоо. Үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, язгуурыг олоход л хангалттай. Дириминант нь тэгээс их (D) \u003d 16 - 12 \u003d 4), энэ тэгшитгэлийг хоёр язгуураар тодорхойлно. Бид тэдгээрийг олоод 1/3 ба -1 гэсэн хоёр утгыг авна. Эдгээр нь функцийн экстремум цэгүүд байх болно. Гэсэн хэдий ч та яаж тодорхойлох вэ Хэн нь хэн бэ?Аль цэг нь хамгийн их, аль нь хамгийн бага вэ?Үүний тулд хөрш цэгийг аваад түүний утгыг олох хэрэгтэй.Жишээ нь , координатын дагуу зүүн талд байгаа -2 тоог авъя. -1-ээс шугам. Бид энэ утгыг тэгшитгэлдээ y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5 гэж орлуулна. Үүний үр дүнд бид эерэг тоо гарлаа. Энэ нь 1/3-аас -1 хүртэлх зайтай гэсэн үг юм. функц нэмэгддэг бөгөөд энэ нь эргээд мин-ээс интервал дээр гэсэн үг юм Хязгааргүйгээс 1/3 хүртэл, -1-ээс нэмэх хязгаар хүртэл функц буурна. Тиймээс бид 1/3 тоо нь судлагдсан интервал дээрх функцийн хамгийн бага цэг, -1 нь хамгийн их цэг гэж дүгнэж болно.
Шалгалт нь зөвхөн экстремум цэгүүдийг олохоос гадна тэдэнтэй ямар нэгэн үйлдэл хийх (нэмэх, үржүүлэх гэх мэт) шаарддаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ шалтгааны улмаас асуудлын нөхцөл байдалд онцгой анхаарал хандуулах нь зүйтэй юм. Эцсийн эцэст, анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж та оноо алдаж болно.
Функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг сурахын өмнө экстремум гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Экстремумын хамгийн ерөнхий тодорхойлолт нь тодорхой тооны шугам эсвэл график дээр математикт хэрэглэгддэг функцийн хамгийн бага буюу хамгийн том утга юм. Минимум байгаа газарт минимумын экстремум, дээд тал нь хамгийн ихийн экстремум гарч ирнэ. Математик анализ гэх мэт шинжлэх ухаанд функцийн орон нутгийн экстремумуудыг ялгадаг. Одоо экстремумуудыг хэрхэн олохыг харцгаая.
Математик дахь туйлшралууд нь функцийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг бөгөөд түүний хамгийн том, хамгийн бага утгыг харуулдаг. Экстремумууд нь голчлон олдсон функцүүдийн эгзэгтэй цэгүүдэд байдаг. Функц нь туйлын цэг дээр чиглэлээ эрс өөрчилдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв бид экстремум цэгийн деривативыг тооцоолох юм бол тодорхойлолтын дагуу энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, эс тэгвээс энэ нь бүрэн байхгүй болно. Тиймээс функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг сурахын тулд та дараалсан хоёр ажлыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.
- даалгавраар тодорхойлох шаардлагатай функцийн деривативыг олох;
- тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Экстремумыг олох дараалал
- Өгөгдсөн f(x) функцийг бич. Үүний 1-р эрэмбийн дериватив f "(x)-г ол. Гарсан илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүл.
- Одоо та үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Үүссэн шийдлүүд нь тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн тодорхойлсон функцийн чухал цэгүүд болно.
- Одоо бид ямар чухал цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) олсон үндэс болохыг тодорхойлно. Функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар олж мэдсэний дараа дараагийн алхам бол хүссэн f "(x) функцийн хоёр дахь деривативыг олох явдал юм. Олдсон чухал цэгүүдийн утгыг орлуулах шаардлагатай болно. тодорхой тэгш бус байдалд оруулаад дараа нь юу болохыг тооцоол.Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол хоёр дахь дериватив нь эгзэгтэй цэг дээр тэгээс их байвал энэ нь хамгийн бага цэг байх болно, үгүй бол энэ нь хамгийн их цэг болно.
- Функцийн шаардлагатай хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдэд анхны функцийн утгыг тооцоолоход л үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид олж авсан утгыг функцэд орлуулж, тооцоолно. Гэсэн хэдий ч хэрэв эгзэгтэй цэг нь дээд тал нь болсон бол экстремум нь хамгийн их байх болно, хэрэв энэ нь хамгийн бага бол аналогиар хамгийн бага байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Экстремумыг олох алгоритм
Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэхийн тулд экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар товч алгоритм хийцгээе.
- Бид өгөгдсөн функцийн муж ба түүний интервалуудыг олдог бөгөөд энэ нь яг ямар интервал дээр функц тасралтгүй байхыг тодорхойлдог.
- Бид f "(x) функцийн деривативыг олно.
- Бид y = f (x) тэгшитгэлийн эгзэгтэй цэгүүдийг тооцоолно.
- Бид f (x) функцийн чиглэлийн өөрчлөлт, түүнчлэн эгзэгтэй цэгүүд нь энэ функцийн тодорхойлолтын мужийг тусгаарладаг f "(x) деривативын тэмдгийг шинжилдэг.
- Одоо бид график дээрх цэг бүр хамгийн их эсвэл хамгийн бага эсэхийг тодорхойлно.
- Бид экстремум болох цэгүүдээс функцийн утгыг олдог.
- Бид энэ судалгааны үр дүнг засаж байна - хэт туйлшрал ба монотон байдлын интервал. Тэгээд л болоо. Одоо бид ямар ч интервал дээр экстремумыг хэрхэн олох талаар авч үзсэн. Хэрэв та функцийн тодорхой интервал дээр экстремумыг олох шаардлагатай бол үүнийг ижил төстэй байдлаар хийдэг бөгөөд зөвхөн хийгдэж буй судалгааны хил хязгаарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Тиймээс бид функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар авч үзсэн. Энгийн тооцоолол, мөн деривативыг олох мэдлэгийн тусламжтайгаар та ямар ч экстремумыг олж, тооцоолж, графикаар тодорхойлж болно. Хэт туйлуудыг олох нь сургууль болон дээд боловсролын сургуулийн аль алинд нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул хэрэв та тэдгээрийг хэрхэн зөв тодорхойлж сурвал суралцах нь илүү хялбар, сонирхолтой байх болно.
Функцийн хэт туйлшрал
Тодорхойлолт 2
$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн максимум цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршөөс бүх $x$-д $f(x)\le f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. )$ сэтгэл хангалуун байна.
Тодорхойлолт 3
$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршөөс бүх $x$-д $f(x)\ge f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. доллар сэтгэл хангалуун байна.
Функцийн экстремумын тухай ойлголт нь функцийн эгзэгтэй цэгийн тухай ойлголттой нягт холбоотой. Түүний тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Тодорхойлолт 4
$x_0$-г $f(x)$ функцийн чухал цэг гэж нэрлэдэг, хэрэв:
1) $x_0$ - тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ эсвэл байхгүй байна.
Экстремумын тухай ойлголтын хувьд түүний оршин тогтнох хангалттай, шаардлагатай нөхцлийн талаар теоремуудыг томъёолж болно.
Теорем 2
Хангалттай экстремум нөхцөл
$x_0$ цэг нь $y=f(x)$ функцийн хувьд чухал байх ба $(a,b)$ интервалд хэвтэнэ. $\left(a,x_0\right)\ ба \ (x_0,b)$ интервал бүр дээр $f"(x)$ дериватив байгаа бөгөөд тогтмол тэмдэг үлдээгээрэй. Дараа нь:
1) Хэрэв $(a,x_0)$ интервал дээр $f"\left(x\right)>0$ дериватив, $(x_0,b)$ интервал дээр $f"\left(x\) дериватив байвал. баруун)
2) Хэрэв $f"\left(x\right)0$ дериватив $(a,x_0)$ интервал дээр байвал $x_0$ цэг нь энэ функцийн хамгийн бага цэг болно.
3) Хэрэв $(a,x_0)$ болон $(x_0,b)$ интервал дээр $f"\left(x\right) >0$ дериватив эсвэл $f"\left(x) үүсмэл байвал \баруун)
Энэ теоремыг 1-р зурагт үзүүлэв.
Зураг 1. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл
Хэт туйлшралын жишээ (Зураг 2).
Зураг 2. Экстремум цэгүүдийн жишээ
Функцийг экстремумын хувьд шалгах дүрэм
2) $f"(x)$ деривативыг ол;
7) Теорем 2-ыг ашиглан интервал бүр дээр максимум ба минимум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.
Өсөх ба буурах функц
Эхлээд нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Тодорхойлолт 5
$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд өсөлт гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 6
$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1f(x_2)$-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд буурах гэж нэрлэдэг.
Өсөх, бууруулах функцийг шалгах
Та дериватив ашиглан нэмэгдүүлэх, багасгах функцуудыг судалж болно.
Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг шалгахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.
1) $f(x)$ функцийн домайныг ол;
2) $f"(x)$ деривативыг ол;
3) $f"\left(x\right)=0$ тэнцүү байх цэгүүдийг ол;
4) $f"(x)$ байхгүй цэгүүдийг олох;
5) Координатын шугам дээр бүх олдсон цэгүүд болон өгөгдсөн функцийн мужийг тэмдэглэнэ;
6) Үүссэн интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойлох;
7) Дүгнэлт хийнэ үү: $f"\left(x\right)0$ интервалууд дээр функц нэмэгдэх болно.
Өсөлт, бууралт, экстремум цэгүүд байгаа эсэхийг судлах асуудлын жишээ
Жишээ 1
Өсөх ба буурах функц, максимум ба минимум цэг байгаа эсэхийг судал: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Эхний 6 оноо ижил тул эхлээд тэдгээрийг зурах болно.
1) Тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ нь тодорхойлолтын домэйны бүх цэгүүдэд байдаг;
5) Координатын шугам:
Зураг 3
6) Интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойл.
\\ У У
Орон нутгийн максимум ба минимумыг олох нь ялгахгүйгээр бүрэн гүйцэд биш бөгөөд функцийг судлах, түүний графикийг байгуулахад зайлшгүй шаардлагатай.
Хэрэв функцийн мужид хамаарах энэ цэгийн ийм хөрш байгаа бол тухайн цэгийг функцийн орон нутгийн максимум (эсвэл хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ бүх хөршийн хувьд тэгш бус байдал (эсвэл ) хангагдана.
Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд туйлын цэгүүд дэх функцын утгуудыг түүний туйлын утга гэж нэрлэдэг.
ОРОН НУТГИЙН Экстремумд ШААРДЛАГАТАЙ НӨХЦӨЛ:
Хэрэв функц нь цэг дээр локал экстремумтай байвал дериватив нь тэг эсвэл байхгүй байна.
Дээрх шаардлагыг хангасан оноог эгзэгтэй цэг гэнэ.
Гэсэн хэдий ч чухал цэг бүрт функц нь экстремумтай байдаг.
Функцийн экстремумын тухай ойлголт
Чухал цэг нь экстремум байх уу гэсэн асуултын хариултыг дараах теоремоор өгөв.
ФУНКЦИЯНЫ ЭКСТРЕМУМ БАЙХ ХАНГАЛТТАЙ НӨХЦӨЛ
Теорем I. Функц нь эгзэгтэй цэг агуулсан зарим интервалд тасралтгүй байх ба энэ интервалын бүх цэгүүдэд ялгагдах (цэгээс бусад тохиолдолд).
Дараа нь нэг цэгийн хувьд дериватив нь тэгээс их байх аргументуудын хувьд нөхцөл хангагдсан тохиолдолд үүсмэл нь тэгээс бага байвал функц хамгийн их утгатай болно.
Хэрэв дериватив нь тэгээс бага, for нь тэгээс их бол функц нь цэгийн хамгийн бага утгатай байна.
Теорем II. Функцийг цэгийн ойролцоо хоёр дахин ялгах боломжтой ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү байг. Дараа нь тухайн цэг дээр хоёр дахь дериватив нь тэгээс бага бол функц нь локал максимум, эсрэгээр байвал локал минимумтай байна.
Хэрэв хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол цэг нь экстремум цэг биш байж болно.
Экстремумын функцийг судлахдаа хоёр теоремыг ашигладаг. Эхнийх нь практикт илүү хялбар байдаг, учир нь энэ нь хоёр дахь деривативыг олох шаардлагагүй юм.
АНХНЫ ҮҮСГЭЛИЙГ АШИГЛАН ЭКСТРЕМИЙГ (ДЭЭД БА МИНУМ) ОЛОХ ДҮРЭМ
1) тодорхойлолтын домэйныг олох;
2) эхний деривативыг олох;
3) чухал цэгүүдийг олох;
4) тодорхойлолтын мужийг эгзэгтэй цэгүүдэд хуваах замаар олж авсан интервал дээрх деривативын тэмдгийг судлах.
Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь зүүнээс баруун тийш дамжих үед дериватив тэмдэг нь сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгдвөл хамгийн бага цэг болно, эс тэгвээс энэ нь хамгийн дээд цэг болно.
Энэ дүрмийн оронд та хоёр дахь деривативыг тодорхойлж, хоёр дахь теоремын дагуу судалж болно.
5) экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох.
Одоо тодорхой жишээнүүдийг ашиглан экстремумуудын функцийн судалгааг авч үзье.
V.Yu-ийн цуглуулга. Клепко, В.Л. Голец "Жишээ ба бодлого дахь дээд математик"
1) Тодорхойлолтын домэйн нь бодит тоонуудын багц болно
2) Деривативыг ол
3) Чухал цэгүүдийг тооцоолох
Тэд тодорхойлолтын хүрээг дараах интервалд хуваадаг
4) Олдсон интервал дээрх деривативын тэмдгийг утгыг орлуулах аргаар судалдаг.
Тиймээс эхний цэг нь хамгийн бага цэг, хоёр дахь нь хамгийн их цэг юм.
5) Функцийн утгыг тооцоол
1) Тодорхойлолтын домэйн нь бодит тоонуудын олонлог байх тул үндэс нь үргэлж нэгээс их байна
ба артангенсийн функц нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээр тодорхойлогддог.
2) Деривативыг ол
3) Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлөөс бид критик цэгийг олно
Энэ нь домэйныг хоёр интервалд хуваадаг
4) Бүс нутаг бүрт деривативын тэмдгийг тодорхойл
Тиймээс бид чухал цэг дээр функц хамгийн бага утгыг авдаг болохыг олж мэдэв.
5) Функцийн экстремумыг тооцоол
1) Хуваагч нь тэг болж хувирахгүй үед функц тодорхойлогдоно
Үүнээс үзэхэд тодорхойлолтын хүрээ нь гурван интервалаас бүрддэг
2) Деривативыг тооцоол
3) Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, эгзэгтэй цэгүүдийг олно.
4) Бид харгалзах утгуудыг орлуулах замаар бүс нутаг бүрт деривативын тэмдгийг тогтооно.
Тиймээс цэг нь орон нутгийн хамгийн дээд цэг, орон нутгийн хамгийн бага цэг юм. Бидэнд функцийн урвуу байгаа боловч дараагийн нийтлэлүүдэд энэ талаар илүү их материал байх болно.
5) Чухал цэгүүдийн утгыг ол
Функцийн утга нь хэдий ч эхний цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг, нум нь хамгийн бага цэг юм. Орон нутгийн хэт туйлшралыг тодорхойлохдоо ижил төстэй үр дүн гарвал ийм нөхцөл байдлыг хүлээн зөвшөөрөхөөс бүү ай.
Материал харах:
Уран зохиол
1. Богомолов Н.В. Математикийн практик хичээлүүд. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 2009 он
2. П.Т.Апанасов, М.И.Орлов. Математикийн асуудлын цуглуулга. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 2009 он
Удирдамж
Деривативын тусламжтайгаар функцийг судлах. Нэг хэвийн байдлын интервалыг олох
Теорем 1.Хэрэв f(x) функц тодорхойлогдсон бөгөөд (a;b) интервал дээр тасралтгүй, f '(x) хаа сайгүй эерэг (f '(x)>0) байвал (a;b) интервал дээр функц нэмэгдэж байна гэсэн үг. ).
Теорем 2.Хэрэв f(x) функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд (a;b) интервал дээр үргэлжилсэн бол f '(x) нь хаа сайгүй сөрөг (f '(x)) байвал.<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).
Жишээ 1.Нэг хэвийн байдлыг судал y = .
Шийдэл: y'=2x-1
Тоон тэнхлэг нь хоёр интервалд хуваагдана
Энэ нь (-;5) интервалд функц буурч, (5;) интервалд функц нэмэгдэж байна гэсэн үг юм.
Функцийн экстремум олох
f(x) функц нь x0 цэгт максимум (хамгийн бага) байна, хэрэв энэ цэг нь f(x) байх хөрштэй бол.
Хамгийн их ба хамгийн бага нь экстремум нэртэй хослуулсан.
Теорем 1. (экстремумын зайлшгүй нөхцөл).Хэрэв x0 цэг нь y \u003d f (x) функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ үед f '(x0) дериватив байгаа бол энэ нь тэгтэй тэнцүү байна: f '(x) \u003d 0.
f ‘(x)=0 буюу байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.
Теорем 2. (хангалттай нөхцөл). f(x) функц нь x0 цэг дээр тасралтгүй байх ба x0 цэгээс бусад тохиолдолд түүний ойролцоо уламжлалтай байг. Дараа нь
a) хэрэв f ‘(x) дериватив нь x0 цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгээ нэмэхээс хасах руу өөрчилдөг бол x0 цэг нь f (x) функцийн хамгийн их цэг болно;
б) хэрэв f ‘(x) дериватив нь x0 цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгээ хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг бол x0 цэг нь f(x) функцийн хамгийн бага цэг болно;
в) хэрэв f ‘(x) дериватив тэмдэгээ хадгалсан x0 цэгийн хөрш (x0-; x0+) байвал x0 цэгт энэ f(x) функц экстремумгүй байна.
Жишээ 2 y \u003d 3 -5x - функцийн экстремумыг судал.
Шийдэл: y'= -5-2x
x \u003d - 2.5 цэгээр дамжин өнгөрөх үед y ' дериватив нь тэмдгийг "+" -ээс "-" болгон өөрчилдөг ==> x \u003d -2.5 хамгийн их цэг.
Функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл.
xmax= - 2.5; ymax = 9.25.
Та хайж байсан зүйлээ олсонгүй юу? Хайлтыг ашиглана уу:
Мөн уншина уу:
Орон нутгийн максимум ба минимумыг олох нь ялгахгүйгээр бүрэн гүйцэд биш бөгөөд функцийг судлах, түүний графикийг байгуулахад зайлшгүй шаардлагатай.
Хэрэв функцийн мужид хамаарах энэ цэгийн ийм хөрш байгаа бол тухайн цэгийг функцийн орон нутгийн максимум (эсвэл хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ бүх хөршийн хувьд тэгш бус байдал (эсвэл ) хангагдана.
Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд туйлын цэгүүд дэх функцын утгуудыг түүний туйлын утга гэж нэрлэдэг.
ОРОН НУТГИЙН Экстремумд ШААРДЛАГАТАЙ НӨХЦӨЛ:
Хэрэв функц нь цэг дээр локал экстремумтай байвал дериватив нь тэг эсвэл байхгүй байна.
Дээрх шаардлагыг хангасан оноог эгзэгтэй цэг гэнэ.
Гэсэн хэдий ч чухал цэг бүрт функц нь экстремумтай байдаг. Чухал цэг нь экстремум байх уу гэсэн асуултын хариултыг дараах теоремоор өгөв.
ФУНКЦИЯНЫ ЭКСТРЕМУМ БАЙХ ХАНГАЛТТАЙ НӨХЦӨЛ
Теорем I. Функц нь эгзэгтэй цэг агуулсан зарим интервалд тасралтгүй байх ба энэ интервалын бүх цэгүүдэд ялгагдах (цэгээс бусад тохиолдолд).
Дараа нь нэг цэгийн хувьд дериватив нь тэгээс их байх аргументуудын хувьд нөхцөл хангагдсан тохиолдолд үүсмэл нь тэгээс бага байвал функц хамгийн их утгатай болно.
Хэрэв дериватив нь тэгээс бага, for нь тэгээс их бол функц нь цэгийн хамгийн бага утгатай байна.
Теорем II. Функцийг цэгийн ойролцоо хоёр дахин ялгах боломжтой ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү байг.
Функцийн экстрем: оршин тогтнох шинж тэмдэг, шийдлийн жишээ
Дараа нь тухайн цэг дээр хоёр дахь дериватив нь тэгээс бага бол функц нь локал максимум, эсрэгээр байвал локал минимумтай байна.
Хэрэв хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол цэг нь экстремум цэг биш байж болно.
Экстремумын функцийг судлахдаа хоёр теоремыг ашигладаг. Эхнийх нь практикт илүү хялбар байдаг, учир нь энэ нь хоёр дахь деривативыг олох шаардлагагүй юм.
АНХНЫ ҮҮСГЭЛИЙГ АШИГЛАН ЭКСТРЕМИЙГ (ДЭЭД БА МИНУМ) ОЛОХ ДҮРЭМ
1) тодорхойлолтын домэйныг олох;
2) эхний деривативыг олох;
3) чухал цэгүүдийг олох;
4) тодорхойлолтын мужийг эгзэгтэй цэгүүдэд хуваах замаар олж авсан интервал дээрх деривативын тэмдгийг судлах.
Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь зүүнээс баруун тийш дамжих үед дериватив тэмдэг нь сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгдвөл хамгийн бага цэг болно, эс тэгвээс энэ нь хамгийн дээд цэг болно.
Энэ дүрмийн оронд та хоёр дахь деривативыг тодорхойлж, хоёр дахь теоремын дагуу судалж болно.
5) экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох.
Одоо тодорхой жишээнүүдийг ашиглан экстремумуудын функцийн судалгааг авч үзье.
V.Yu-ийн цуглуулга. Клепко, В.Л. Голец "Жишээ ба бодлого дахь дээд математик"
1) Тодорхойлолтын домэйн нь бодит тоонуудын багц болно
2) Деривативыг ол
3) Чухал цэгүүдийг тооцоолох
Тэд тодорхойлолтын хүрээг дараах интервалд хуваадаг
4) Олдсон интервал дээрх деривативын тэмдгийг утгыг орлуулах аргаар судалдаг.
Тиймээс эхний цэг нь хамгийн бага цэг, хоёр дахь нь хамгийн их цэг юм.
5) Функцийн утгыг тооцоол
1) Тодорхойлолтын домэйн нь бодит тоонуудын олонлог байх тул үндэс нь үргэлж нэгээс их байна
ба артангенсийн функц нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээр тодорхойлогддог.
2) Деривативыг ол
3) Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлөөс бид критик цэгийг олно
Энэ нь домэйныг хоёр интервалд хуваадаг
4) Бүс нутаг бүрт деривативын тэмдгийг тодорхойл
Тиймээс бид чухал цэг дээр функц хамгийн бага утгыг авдаг болохыг олж мэдэв.
5) Функцийн экстремумыг тооцоол
1) Хуваагч нь тэг болж хувирахгүй үед функц тодорхойлогдоно
Үүнээс үзэхэд тодорхойлолтын хүрээ нь гурван интервалаас бүрддэг
2) Деривативыг тооцоол
3) Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, эгзэгтэй цэгүүдийг олно.
4) Бид харгалзах утгуудыг орлуулах замаар бүс нутаг бүрт деривативын тэмдгийг тогтооно.
Тиймээс цэг нь орон нутгийн хамгийн дээд цэг, орон нутгийн хамгийн бага цэг юм. Бидэнд функцийн урвуу байгаа боловч дараагийн нийтлэлүүдэд энэ талаар илүү их материал байх болно.
5) Чухал цэгүүдийн утгыг ол
Функцийн утга нь хэдий ч эхний цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг, нум нь хамгийн бага цэг юм. Орон нутгийн хэт туйлшралыг тодорхойлохдоо ижил төстэй үр дүн гарвал ийм нөхцөл байдлыг хүлээн зөвшөөрөхөөс бүү ай.
Материал харах:
Дээд математик » Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд » Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум. Экстремумын функцийг судлах жишээ.
$z=f(x,y)$ функцийг $(x_0,y_0)$ цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлъё. $(x_0,y_0)$-ийн зарим хөршийн бүх $(x,y)$ цэгүүдэд $f(x,y) тэгш бус байдал байвал $(x_0,y_0)$ нь (орон нутгийн) максимум цэг гэж хэлдэг.< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, тэгвэл $(x_0,y_0)$ цэгийг (орон нутгийн) хамгийн бага цэг гэнэ.
Өндөр ба доод цэгүүдийг ихэвчлэн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг.
Хэрэв $(x_0,y_0)$ нь хамгийн их цэг бол энэ цэг дэх $f(x_0,y_0)$ функцийн утгыг $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн их утга гэнэ. Үүний дагуу функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн бага утга гэнэ. Функцийн минимум ба максимумыг функцийн экстремум гэсэн нийтлэг нэр томъёогоор нэгтгэдэг.
Экстремумын $z=f(x,y)$ функцийг судлах алгоритм
- $\frac(\partial z)(\partial x)$ ба $\frac(\partial z)(\partial y)$-н хэсэгчилсэн деривативуудыг ол. $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг зохиож шийд. \ end(aligned) \right.$ Координат нь заасан системийг хангасан цэгүүдийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг.
- $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial)-ыг олоорой. y^2)$ ба $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\) утгыг тооцоол. frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ хөдөлгөөнгүй цэг бүрт. Үүний дараа дараахь схемийг ашиглана уу.
- Хэрэв $\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (эсвэл $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), Дараа нь судалж буй цэг нь хамгийн бага цэг юм.
- Хэрэв $\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) байвал< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
- Хэрэв $\Дельта< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
- Хэрэв $\Дельта = 0$ бол экстремум байгаа эсэх талаар тодорхой юу ч хэлж чадахгүй; нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.
Тэмдэглэл (текстийг илүү сайн ойлгохын тулд): show\hide
Хэрэв $\Delta > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial) ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Эндээс харахад $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Тэдгээр. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Хэрэв зарим хэмжигдэхүүний үржвэр нь тэгээс их байвал эдгээр хэмжигдэхүүнүүд ижил тэмдэгтэй байна. Жишээлбэл, хэрэв $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Товчхондоо, хэрэв $\Delta > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ болон $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$-ийн тэмдгүүд байна. адилхан.
Жишээ №1
Экстремумын хувьд $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ функцийг судал.
$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Энэ системийн тэгшитгэл бүрийг $2$-оор багасгаж, тоонуудыг тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлье.
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авсан. Ийм нөхцөлд үүссэн системийг шийдэх Крамерын аргыг хамгийн тохиромжтой хэрэглээ гэж надад санагдаж байна.
$$ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Delta=\left| \begin(массив) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(массив)\баруун|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \эхлэх(массив) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \төгсгөл(массив)\баруун|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \эхлэх(массив) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \төгсгөл(массив)\баруун|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$
$x=2$, $y=-3$ утгууд нь $(2;-3)$ хөдөлгөөнгүй цэгийн координатууд юм.
$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=8; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$
$\Delta$-ийн утгыг тооцоод үзье:
$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$
$\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$ байх тул алгоритмын дагуу $(2;-3)$ цэг нь хамгийн бага цэг юм. функц $z$. Өгөгдсөн функцэд $(2;-3)$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.
$$ z_(мин)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$
Хариулт: $(2;-3)$ - хамгийн бага оноо; $z_(мин)=-90$.
Жишээ №2
Экстремумын хувьд $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ функцийг судал.
Бид дээрх алгоритмыг дагаж мөрдөх болно. Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:
$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$
$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг зохио. \ төгсгөл( зэрэгцүүлсэн)\баруун.$:
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар багасга.
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Хэрэв $x=0$ бол хоёр дахь тэгшитгэл нь биднийг зөрчилд хүргэх болно: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Эндээс дүгнэлт гарч байна: $x\neq 0$. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Эхний тэгшитгэлд $y=\frac(2)(x)$-г орлуулбал бид:
$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \баруун)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$
Бид биквадрат тэгшитгэлтэй болсон. Бид $t=x^2$ орлуулалтыг хийдэг ($t > 0$ гэдгийг бид санаж байна):
$$ t^2-5t+4=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(-) 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(зохицуулсан) $$
Хэрэв $t=1$ бол $x^2=1$. Тиймээс бидэнд $x$ гэсэн хоёр утгатай байна: $x_1=1$, $x_2=-1$. Хэрэв $t=4$ бол $x^2=4$, өөрөөр хэлбэл. $x_3=2$, $x_4=-2$. $y=\frac(2)(x)$ гэдгийг санахад бид дараах зүйлийг авна.
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тэгэхээр бидэнд $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$ гэсэн дөрвөн суурин цэг байна. Энэ нь алгоритмын эхний алхамыг дуусгана.
Одоо алгоритмын хоёр дахь алхам руу орцгооё. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.
$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=6х; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$
$\Delta$-г олох:
$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$
Одоо бид өмнө нь олдсон суурин цэг бүр дээр $\Delta$-ийн утгыг тооцоолох болно. $M_1(1;2)$ цэгээс эхэлцгээе. Энэ үед бидэнд: $\Дельта(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$ байна. $\Дельта(M_1) оноос хойш< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.
$M_2(-1;-2)$ цэгийг судалцгаая. Энэ үед бид дараах байдалтай байна: $\Дельта(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Дельта(M_2) оноос хойш< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.
$M_3(2;1)$ цэгийг авч үзье. Энэ үед бид:
$$ \Дельта(М_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$
$\Delta(M_3) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$ байх тул $M_3( алгоритмын дагуу 2 ;1)$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_3$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.
$$ z_(мин)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$
$M_4(-2;-1)$ цэгийг судлах л үлдлээ. Энэ үед бид:
$$ \Дельта(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$
$\Delta(M_4) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4) тул< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:
$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$
Экстремум судалгаа дууссан. Хариултыг бичихэд л үлдлээ.
- $(2;1)$ - хамгийн бага цэг, $z_(мин)=-27$;
- $(-2;-1)$ - хамгийн их цэг, $z_(max)=29$.
Анхаарна уу
Ерөнхий тохиолдолд $\Delta$-ийн утгыг тооцоолох шаардлагагүй, учир нь бид зөвхөн тэмдгийг сонирхож байгаа бөгөөд энэ параметрийн тодорхой утгыг биш юм. Жишээлбэл, дээр авч үзсэн №2 жишээний хувьд $M_3(2;1)$ цэг дээр бид $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ байна. Эндээс харахад $\Delta > 0$ ($36$ ба $(2^2-1^2)$ хүчин зүйлүүд хоёулаа эерэг байдаг тул) $\Delta$-ийн тодорхой утгыг олохгүй байх боломжтой. Үнэн, энэ тайлбар нь ердийн тооцоололд ашиггүй юм - тэд тооцооллыг тоонд хүргэхийг шаарддаг 🙂
Жишээ №3
Экстремумын хувьд $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ функцийг судал.
Алгоритмыг дагацгаая. Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:
$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$
$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг зохио. \ төгсгөл( зэрэгцүүлсэн)\баруун.$:
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Хоёр тэгшитгэлийг 4 доллараар бууруулъя:
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэл дээр нэмээд $y$-г $x$-р илэрхийлье.
$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$
Системийн эхний тэгшитгэлд $y=-x$-г орлуулбал бид дараах байдалтай болно.
$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$
Гарсан тэгшитгэлээс бид: $x=0$ эсвэл $x^2-2=0$ байна. $x^2-2=0$ тэгшитгэлээс $x=-\sqrt(2)$ эсвэл $x=\sqrt(2)$ байна. Тиймээс $x$-ийн гурван утгыг оллоо: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. $y=-x$ тул $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.
Шийдлийн эхний алхам дууслаа.
Функцийн экстремумыг (хамгийн бага ба хамгийн их цэг) хэрхэн олох вэ
Бид гурван тогтмол оноо авсан: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .
Одоо алгоритмын хоёр дахь алхам руу орцгооё. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.
$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=12х^2-4; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=12у^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$
$\Delta$-г олох:
$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2) -1)-16=16(3х^2-1)(3у^2-1)-16=16\cdot((3х^2-1)(3х^2-1)-1). $$
Одоо бид өмнө нь олдсон суурин цэг бүр дээр $\Delta$-ийн утгыг тооцоолох болно. $M_1(0;0)$ цэгээс эхэлцгээе. Энэ үед бидэнд: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$ байна. $\Delta(M_1) = 0$ тул алгоритмын дагуу нэмэлт судалгаа шаардлагатай, учир нь авч үзсэн цэг дээр экстремум байгаа эсэх талаар тодорхой зүйл хэлж чадахгүй. Одоохондоо энэ асуудлыг ганцааранг нь орхиод өөр зүйл рүү шилжье.
$M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ цэгийг авч үзье. Энэ үед бид:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Дельта(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
$\Delta(M_2) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$ байх тул $M_2(-)-ын дагуу \sqrt(2),\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_2$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.
$$ z_(мин)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$
Өмнөх цэгийн нэгэн адил бид $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ цэгийг шалгана. Энэ үед бид:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Дельта(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
$\Delta(M_3) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$ байх тул $M_3(\ sqrt(2),-\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_3$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.
$$ z_(мин)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$
$M_1(0;0)$ цэг рүү буцах цаг боллоо, $\Дельта(M_1) = 0$. Алгоритмын дагуу нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. Энэ зайлсхийсэн хэллэг нь "хүссэнээ хий" гэсэн утгатай :). Ийм нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга байхгүй бөгөөд энэ нь ойлгомжтой юм. Тийм арга байсан бол аль эрт бүх сурах бичигт орох байсан. Энэ хооронд бид $\Delta = 0$ байх цэг бүрт тусгай хандлагыг хайх хэрэгтэй. За, $M_1(0;0)$ цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судалж үзье. $z(M_1)=z(0;0)=3$ гэдгийг бид шууд тэмдэглэж байна. $M_1(0;0)$ нь хамгийн бага оноо гэж бодъё. Дараа нь $M_1(0;0)$ цэгийн зарим хөршөөс $M$-ийн дурын цэгийн хувьд бид $z(M) > z(M_1) $, i.e. $z(M) > 3$. Хэрэв ямар нэгэн хөрш $z(M)-тэй цэгүүдийг агуулж байвал яах вэ< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.
$y=0$ байх оноог авч үзье, өөрөөр хэлбэл. $(x,0)$ хэлбэрийн цэгүүд. Эдгээр цэгүүдэд $z$ функц дараах утгыг авна.
$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x) ^2-2)+3. $$
$M_1(0;0)$ хангалттай жижиг бүх хороололд $x^2-2 байна< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.
Гэхдээ магадгүй $M_1(0;0)$ цэг нь хамгийн дээд цэг байж болох уу? Хэрэв тийм бол $M_1(0;0)$ цэгийн ойр орчмын аль нэг $M$ цэгийн хувьд $z(M) болно.< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 доллар уу? Дараа нь $M_1$ цэг дээр дээд тал нь мэдээж байхгүй.
$y=x$ байх оноог авч үзье, өөрөөр хэлбэл. $(x,x)$ хэлбэрийн цэгүүд. Эдгээр цэгүүдэд $z$ функц дараах утгыг авна.
$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$
$M_1(0;0)$ цэгийн аль ч орчимд $2x^4 > 0$, дараа нь $2x^4+3 > 3$ байна. Дүгнэлт: $M_1(0;0)$ цэгийн аль ч хөрш $z > 3$ цэгүүдийг агуулж байгаа тул $M_1(0;0)$ цэг нь дээд цэг байж болохгүй.
$M_1(0;0)$ цэг нь дээд тал нь ч биш, хамгийн бага нь ч биш. Дүгнэлт: $M_1$ бол туйлын туйлын цэг биш юм.
Хариулт: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэгүүд юм. Хоёр цэг дээр $z_(мин)=-5$.
Дээд математикийн онлайн хичээлүүд
Сэдвийн хичээл: "Функцийн экстремум цэгүүдийг олох. Жишээ"
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.
1С-ийн 10-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. 7-10-р ангийн барилгын интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик байгуулагч 6.1"
Бид юу судлах вэ:
1. Танилцуулга.
2. Хамгийн бага ба хамгийн их оноо.
4. Экстремумыг хэрхэн тооцоолох вэ?
5. Жишээ.
Функцийн экстремумын танилцуулга
Залуус аа, зарим функцийн графикийг харцгаая.
Бидний y=f (x) функцын зан төлөв нь x1 ба x2 гэсэн хоёр цэгээр тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр цэгүүд болон эргэн тойрон дахь функцийн графикийг нарийвчлан авч үзье. x2 цэг хүртэл функц нь нэмэгдэж, x2 цэгт гулзайлт үүснэ, энэ цэгийн дараа шууд функц x1 цэг хүртэл буурна. X1 цэг дээр функц дахин нугалж, дараа нь дахин нэмэгдэнэ. x1 ба x2 цэгүүдийг одоогоор гулзайлтын цэг гэж нэрлэнэ. Эдгээр цэгүүдэд шүргэгч зуръя:
Манай цэгүүдийн шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байгаа нь шүргэгчийн налуу нь тэг байна гэсэн үг юм. Энэ нь эдгээр цэгүүд дээрх бидний функцын дериватив тэг байна гэсэн үг юм.
Энэ функцийн графикийг харцгаая:
x2 ба x1 цэг дээрх шүргэгчийг зурах боломжгүй. Тиймээс эдгээр цэгүүд дээрх дериватив байхгүй байна. Одоо хоёр график дээрх оноогоо дахин харцгаая. x2 цэг нь зарим хэсэгт (х2 цэгийн ойролцоо) функц хамгийн их утгад хүрэх цэг юм. Х1 цэг нь функц зарим хэсэгт (х1 цэгийн ойролцоо) хамгийн бага утгад хүрэх цэг юм.
Өндөр ба доод цэгүүд
Тодорхойлолт: f(x) ≥ f(x0) гэсэн тэгш бус байдал үнэн байх x0 цэгийн хөрш байгаа бол x= x0 цэгийг y=f(x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ.
Тодорхойлолт: f(x) ≤ f(x0) гэсэн тэгш бус байдал үнэн байх x0 цэгийн хөрш байгаа бол x=x0 цэгийг y=f(x) функцийн хамгийн их цэг гэнэ.
Залуус аа, энэ хороолол юу вэ?
Тодорхойлолт: Цэгийн хөрш гэдэг нь бидний цэгийг агуулсан ба түүнд ойрхон цэгүүдийн багц юм.
Бид өөрсдөө хөршөө тодорхойлж чадна. Жишээлбэл, x=2 цэгийн хувьд бид хөршийг 1 ба 3 цэг гэж тодорхойлж болно.
Графикууддаа буцаж оръё, x2 цэгийг харцгаая, энэ нь зарим хөршийн бусад бүх цэгүүдээс том, тэгвэл тодорхойлолтоор энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Одоо x1 цэгийг харцгаая, энэ нь зарим хөршийн бусад бүх цэгээс бага, дараа нь тодорхойлолтоор энэ нь хамгийн бага цэг юм.
Залуус аа, тэмдэглэгээг танилцуулъя:
Ymin - хамгийн бага цэг,
ymax - хамгийн дээд цэг.
Чухал!Залуус аа, хамгийн их, хамгийн бага оноог функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгатай андуурч болохгүй. Өгөгдсөн функцийг тодорхойлох бүх талбарт хамгийн бага ба хамгийн том утгыг хайж, хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг зарим хөршөөс хайж байна.
Функцийн хэт туйлшрал
Хамгийн бага ба дээд цэгүүдийн нийтлэг нэр томъёо байдаг - экстремум оноо.
Экстремум (лат. extremum - туйлын) - өгөгдсөн багц дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга. Экстремумд хүрэх цэгийг экстремум цэг гэж нэрлэдэг.
Үүний дагуу хэрэв хамгийн багадаа хүрсэн бол экстремум цэгийг хамгийн бага цэг, дээд цэгт хүрсэн бол дээд цэг гэж нэрлэдэг.
Функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?
Графикууддаа эргэн орцгооё. Бидний цэгүүдэд дериватив нь алга болно (эхний график дээр) эсвэл байхгүй (хоёр дахь график дээр).
Дараа нь бид чухал мэдэгдлийг хийж болно: Хэрэв y= f(x) функц нь x=x0 цэг дээр экстремумтай бол энэ үед функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.
Дериватив нь тэгтэй тэнцүү цэгүүдийг дуудна суурин.
Функцийн дериватив байхгүй цэгүүдийг дуудна шүүмжлэлтэй.
Хэрхэн хэт туйлшралыг тооцоолох вэ?
Залуус аа, функцийн эхний график руу буцаж орцгооё.
Энэ графикт дүн шинжилгээ хийхдээ бид x2 цэг хүртэл функц нэмэгдэж, x2 цэг дээр гулзайлт үүснэ, энэ цэгийн дараа функц x1 цэг хүртэл буурна. x1 цэг дээр функц дахин нугалж, дараа нь функц дахин нэмэгдэнэ.
Ийм үндэслэл дээр үндэслэн бид экстремум цэгүүд дэх функц нь монотон байдлын шинж чанарыг өөрчилдөг тул дериватив функц нь тэмдгийг өөрчилдөг гэж дүгнэж болно. Хэрэв функц буурч байвал дериватив нь тэгээс бага буюу тэнцүү, хэрэв функц нэмэгдэж байвал дериватив нь тэгээс их буюу тэнцүү байна гэдгийг санаарай.
Хүлээн авсан мэдлэгээ дараахь мэдэгдлээр нэгтгэж үзье.
Теорем: Хангалттай экстремум нөхцөл: y=f(x) функц нь зарим X интервал дээр тасралтгүй байх ба интервал дотор хөдөлгөөнгүй буюу критик цэг x= x0 байна. Дараа нь:
Асуудлыг шийдэхийн тулд дараах дүрмийг санаарай. Хэрэв деривативын шинж тэмдгүүд тодорхойлогдвол:
Монотоник ба экстремумын y= f(x) тасралтгүй функцийг судлах алгоритм:
- y' деривативыг ол.
- Хөдөлгөөнгүй (дериватив нь тэг) ба чухал цэгүүдийг (үүсмэл зүйл байхгүй) ол.
- Тооны шулуун дээрх хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэгүүдийг тэмдэглэж, үүссэн интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
- Дээрх мэдэгдлүүд дээр үндэслэн экстремум цэгүүдийн мөн чанарын талаар дүгнэлт гарга.
Экстремум цэгүүдийг олох жишээ
1) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, мөн чанарыг нь тодорхойл: y= 7+ 12*x - x 3
Шийдэл: Бидний функц тасралтгүй, дараа нь бид алгоритмаа ашиглана:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2 үед, 
x= -2 цэг нь функцийн хамгийн бага цэг, x= 2 цэг нь функцийн хамгийн их цэг юм.
Хариулт: x= -2 - функцийн хамгийн бага цэг, x= 2 - функцийн хамгийн их цэг.
2) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, мөн чанарыг нь тодорхойлно.
Шийдэл: Бидний функц тасралтгүй. Алгоритмаа ашиглацгаая: A)
б) x= 2 цэгт дериватив байхгүй, учир нь тэгээр хувааж болохгүй 
Функцийн домэйн: , энэ үед экстремум байхгүй, учир нь цэгийн хөрш тодорхойлогдоогүй байна. Дериватив нь тэгтэй тэнцүү утгыг олцгооё. 
в) Бодит шугам дээрх суурин цэгүүдийг тэмдэглэж, деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. 
г) экстремумыг тодорхойлох дүрмийг харуулсан манай зургийг хар. x= 3 цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.
Хариулт: x= 3 - функцийн хамгийн бага цэг.
3) -π ≤ x ≤ π-ийн хувьд y= x - 2cos(x) функцийн экстремум цэгүүдийг олж, шинж чанарыг нь тодорхойл.
Шийдэл: Манай функц тасралтгүй, алгоритмаа ашиглая:
a) y"= 1 + 2sin(x),
б) дериватив нь тэгтэй тэнцүү утгыг ол: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
учир нь -π ≤ x ≤ π, тэгвэл: x= -π/6, -5π/6,
в) бодит шулуун дээрх суурин цэгүүдийг тэмдэглэж, деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. 
г) экстремумыг тодорхойлох дүрмийг харуулсан манай зургийг хар.
x= -5π/6 цэг нь функцийн хамгийн их цэг юм.
x= -π/6 цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.
Хариулт: x= -5π/6 - функцийн хамгийн их цэг, x= -π/6 - функцийн хамгийн бага цэг.
4) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу.
Шийдэл: Манай функц зөвхөн нэг цэг дээр тасардаг x= 0. Алгоритмыг ашиглая: A)
б) дериватив нь тэгтэй тэнцүү утгыг ол: x= ±2-ийн хувьд y "= 0, в) бодит шулуун дээрх суурин цэгүүдийг тэмдэглэж, деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
г) экстремумыг тодорхойлох дүрмийг харуулсан манай зургийг хар.
x= -2 цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.
x= 2 цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.
x= 0 цэгт функц байхгүй байна.
Хариулт: x= ±2 - функцийн хамгийн бага цэгүүд.
Бие даасан шийдлийн даалгавар
a) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, шинж чанарыг нь тодорхойл: y= 5x 3 - 15x - 5.б) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу.
в) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, шинж чанарыг нь тодорхойл: π ≤ x ≤ 3π-ийн хувьд y= 2sin(x) - x. г) Функцийн экстремум цэгүүдийг олж, тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу.
