Хэмжигдэхүүн, тоон хамаарал, орон зайн хэлбэрийг судалдаг шинжлэх ухаан. Математик нь хэмжигдэхүүн, тоон хамаарлыг судалдаг шинжлэх ухааны цогц бөгөөд хэмжигдэхүүн, тоон хамаарал, орон зайн хэлбэрийг судалдаг шинжлэх ухаан юм.

МАТЕМАТИК - бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харьцааны шинжлэх ухаан; Грек үг (математик) нь "мэдлэг", "шинжлэх ухаан" гэсэн утгатай грек (матема) гэсэн үгнээс гаралтай.

Математик нь эрт дээр үед хүмүүсийн практик хэрэгцээнээс үүссэн. Түүний агуулга, шинж чанар нь түүхийн туршид өөрчлөгдсөн бөгөөд одоо ч өөрчлөгдсөөр байна. Эерэг бүхэл тооны тухай анхдагч сэдвийн ухагдахуунууд, мөн шулуун шугамын хэрчмийг хоёр цэгийн хоорондох хамгийн богино зай гэсэн ойлголтоос авч үзвэл математик нь тодорхой судалгааны арга барилтай хийсвэр шинжлэх ухаан болохоосоо өмнө урт удаан хөгжлийн замыг туулсан.

Орон зайн хэлбэрийн талаарх орчин үеийн ойлголт маш өргөн хүрээтэй. Үүнд гурван хэмжээст орон зайн геометрийн объектууд (шулуун шугам, тойрог, гурвалжин, конус, цилиндр, бөмбөг гэх мэт) зэрэг олон тооны ерөнхий ойлголтууд - олон хэмжээст ба хязгааргүй хэмжээст орон зайн тухай ойлголтууд, түүнчлэн геометрийн объектууд орно. тэд болон бусад олон. Үүний нэгэн адил тоон харьцааг зөвхөн эерэг бүхэл тоо эсвэл рационал тоогоор илэрхийлээд зогсохгүй комплекс тоо, вектор, функцгэх мэт. Шинжлэх ухаан, технологийн хөгжил нь математикийг орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи санаагаа тасралтгүй өргөжүүлэхэд хүргэдэг.

Математикийн ойлголтууд нь тодорхой үзэгдэл, объектуудаас хийсвэрлэгдсэн; Эдгээр нь өгөгдсөн хүрээний үзэгдэл, объектод хамаарах чанарын шинж чанаруудаас хийсвэрлэсний үр дүнд олж авдаг. Энэ нөхцөл байдал нь математикийн хэрэглээний хувьд маш чухал юм. 2-ын тоо нь ямар нэгэн тодорхой сэдвийн агуулгатай салшгүй холбоотой биш юм. Энэ нь хоёр алим, хоёр ном, хоёр бодол санааг илэрхийлж болно. Энэ нь эдгээр болон бусад тоо томшгүй олон объектод адилхан сайн ханддаг. Үүний нэгэн адил бөмбөгний геометрийн шинж чанар нь шил, ган эсвэл стеаринаар хийгдсэн тул өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, объектын шинж чанараас хийсвэрлэх нь энэ объектын тухай, түүний материаллаг шинж чанаруудын талаархи бидний мэдлэгийг бууруулж байна. Үүний зэрэгцээ, бие даасан объектуудын онцгой шинж чанараас яг ийм хийсвэрлэл нь ойлголтыг ерөнхийд нь өгч, математикийг материаллаг байгалийн олон янзын үзэгдлүүдэд ашиглах боломжийг олгодог. Тиймээс байгалийн үзэгдэл, техникийн болон эдийн засаг, нийгмийн үйл явцыг тайлбарлахад математикийн ижил хуулиуд, ижил математикийн аппаратыг хангалттай ашиглаж болно.

Үзэл баримтлалын хийсвэр байдал нь математикийн онцгой шинж чанар биш юм; Аливаа шинжлэх ухааны болон ерөнхий ойлголтууд нь тодорхой зүйлийн шинж чанараас хийсвэрлэх элементийг агуулдаг. Гэхдээ математикт хийсвэрлэх үйл явц нь байгалийн шинжлэх ухаанаас илүү урагшилдаг; Математикийн хувьд янз бүрийн түвшинд хийсвэрлэх үйл явцыг өргөн ашигладаг. Тиймээ, үзэл баримтлал бүлгүүдтоонуудын цуглуулгын зарим шинж чанар болон бусад хийсвэр ойлголтуудаас хийсвэрлэснээр үүссэн. Математик нь мөн түүний үр дүнг олж авах арга замаар тодорхойлогддог. Хэрэв байгалийн эрдэмтэн өөрийн байр сууриа батлахын тулд туршлагаас байнга ханддаг бол математикч зөвхөн логик үндэслэлээр үр дүнгээ нотолж өгдөг. Математикийн хувьд логик нотолгоо шаардагдахаас нааш нэг ч үр дүнг нотлогдсон гэж үзэх боломжгүй бөгөөд энэ нь тусгай туршилтууд энэ үр дүнг баталгаажуулсан ч гэсэн юм. Үүний зэрэгцээ математикийн онолын үнэн мөнийг практикт шалгадаг боловч энэ шалгалт нь онцгой шинж чанартай: математикийн үндсэн ойлголтууд нь практикийн тодорхой хэрэгцээ шаардлагаас урт хугацааны талстжилтын үр дүнд бий болдог; логикийн дүрмийг өөрөө байгаль дахь үйл явцын урсгалыг олон мянган жилийн турш ажигласны дараа л боловсруулсан; Математикийн теоремыг томъёолох, бодлого боловсруулах нь практикийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй. Математик нь практик хэрэгцээ шаардлагаас үүссэн бөгөөд түүний практиктай уялдаа холбоо нь цаг хугацааны явцад улам бүр олон янз, гүнзгий болж байв.

Зарчмын хувьд математикийг ямар ч төрлийн хөдөлгөөн, олон янзын үзэгдлийг судлахад ашиглаж болно. Бодит байдал дээр шинжлэх ухаан, практик үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт түүний үүрэг ижил биш юм. Орчин үеийн физик, хими, технологийн олон салбарыг хөгжүүлэх, ерөнхийдөө эдгээр үзэгдлүүдийг судлахад математикийн үүрэг маш их байдаг бөгөөд тэдгээрийн чанарын шинж чанараас ихээхэн хэмжээгээр хийсвэрлэх нь тоон болон орон зайн шинж чанарыг нарийн ойлгох боломжийг олгодог. тэдгээрт хамаарах хэв маяг. Жишээлбэл, селестиел биетүүдийн хөдөлгөөнийг математикийн судалгаа, тэдгээрийн бодит шинж чанараас (жишээлбэл, биеийг материаллаг цэг гэж үздэг) ихээхэн хийсвэрлэлд үндэслэн хийсэн нь тэдний бодит хөдөлгөөнтэй маш сайн давхцахад хүргэдэг. Үүний үндсэн дээр зөвхөн селестиел үзэгдлүүдийг (хиртэлт, гаригуудын байрлал гэх мэт) урьдчилан тооцоолоод зогсохгүй бодит хөдөлгөөнүүдийн тооцоолсон зүйлээс хазайсан (Плутон) дээр үндэслэн урьд өмнө ажиглагдаагүй байсан гаригуудын оршин тогтнолыг урьдчилан таамаглах боломжтой. 1930 онд, Далай ван 1846 онд ийм байдлаар нээгдсэн). Эдийн засаг, биологи, анагаах ухаан зэрэг шинжлэх ухаанд математик нь жижиг боловч чухал байр суурийг эзэлдэг. Эдгээр шинжлэх ухаанд судлагдсан үзэгдлүүдийн чанарын өвөрмөц байдал нь маш их бөгөөд тэдгээрийн урсгалын мөн чанарт маш хүчтэй нөлөөлдөг тул математик шинжилгээ нь зөвхөн туслах үүрэг гүйцэтгэдэг. Нийгэм, биологийн шинжлэх ухааны хувьд онцгой ач холбогдолтой юм математикийн статистик.Математик өөрөө мөн байгалийн шинжлэх ухаан, технологи, эдийн засгийн шаардлагын нөлөөн дор хөгждөг. Сүүлийн жилүүдэд практик хэрэгцээний үндсэн дээр бий болсон хэд хэдэн математикийн салбарууд гарч ирэв. мэдээллийн онол, тоглоомын онолгэх мэт.

Юм үзэгдлийн талаарх мэдлэгийн нэг шатнаас дараагийн, илүү үнэн зөв рүү шилжих нь математикт шинэ шаардлага тавьж, шинэ үзэл баримтлал, судалгааны шинэ аргыг бий болгоход хүргэдэг нь ойлгомжтой. Ийнхүү одон орон судлалын шаардлагууд нь цэвэр дүрслэх мэдлэгээс нарийн мэдлэг рүү шилжсэнээр үндсэн ойлголтуудыг бий болгоход хүргэсэн. тригонометр: МЭӨ 2-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэн Гиппарх орчин үеийн синусын хүснэгтэд тохирох хөвчний хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн; 1-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэд Менелаус, 2-р зуунд Клавдий Птолемей нар үндэс суурийг тавьжээ. бөмбөрцөг тригонометр.Үйлдвэрлэл, навигаци, их буу гэх мэт хөгжлөөс үүдэлтэй хөдөлгөөнийг судлах сонирхол нэмэгдсэн нь 17-р зуунд үзэл баримтлалыг бий болгоход хүргэсэн. математик шинжилгээ, шинэ математикийн хөгжил. 18-19-р зуунд байгалийн үзэгдлүүдийг судлахад математикийн аргыг өргөнөөр нэвтрүүлсэн (гол төлөв одон орон, физик), технологийн хөгжил (ялангуяа механик инженерчлэл) нь онолын механик, онолын хурдацтай хөгжилд хүргэсэн. дифференциал тэгшитгэл.Материйн молекулын бүтцийн талаархи санаа бодлыг хөгжүүлэх нь хурдацтай хөгжлийг бий болгосон магадлалын онол. Одоогийн байдлаар бид математикийн судалгааны шинэ чиглэлүүд гарч ирснийг олон жишээ ашиглан ажиглаж болно. Амжилтыг онцгой ач холбогдолтой гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой тооцооллын математик болон математикийн олон салбар дахь компьютерийн технологи, тэдгээрийн хийсэн өөрчлөлтүүд.

Түүхэн тойм зураг. Математикийн түүхэнд чанарын хувьд мэдэгдэхүйц ялгаатай дөрвөн үеийг тодорхойлж болно. Дараагийн үе бүр өмнөх үеийнх нь хүрээнд хөгжиж байсан тул шинэ санаанууд дөнгөж гарч ирж байсан бөгөөд математикийн өөрөө ч, түүний хэрэглээнд ч чиглүүлж амжаагүй байсан нэлээд чухал шилжилтийн үе шатууд байсан тул эдгээр үеийг нарийн хуваахад хэцүү байдаг.

1) Математик нь бие даасан шинжлэх ухааны салбар болж үүссэн үе; энэ үеийн эхлэл түүхийн гүнд алдагдсан; МЭӨ 6-5 зууны үе хүртэл үргэлжилсэн. д.

2) Анхан шатны математикийн үе, тогтмол хэмжигдэхүүний математик; Энэ нь ойролцоогоор 17-р зууны эцэс хүртэл үргэлжилсэн бөгөөд энэ нь шинэ, "дээд" математикийн хөгжил нэлээд урагшлах үед юм.

3) Хувьсагчийн математикийн үе; Математик анализыг бий болгох, хөгжүүлэх, тэдгээрийн хөдөлгөөн, хөгжлийн үйл явцыг судлах замаар тодорхойлогддог.

4) Орчин үеийн математикийн үе; тоон харьцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн боломжит төрлийг ухамсартай, системтэй судлах замаар тодорхойлогддог. Геометрийн хувьд зөвхөн бодит гурван хэмжээст орон зайг төдийгүй үүнтэй төстэй орон зайн хэлбэрийг судалдаг. Математикийн шинжилгээнд зөвхөн тоон аргументаас гадна тодорхой шугамаас (функц) хамаардаг хувьсагчдыг авч үздэг бөгөөд энэ нь үзэл баримтлалд хүргэдэг. функциональ байдалТэгээд оператор. Алгебрдурын шинж чанартай элементүүдийн алгебрийн үйлдлийн онол болж хувирав. Зөвхөн эдгээр үйлдлүүдийг хийх боломжтой байсан бол. Энэ үеийн эхлэлийг 19-р зууны 1-р хагаст зүй ёсоор тооцож болно.

Эртний ертөнцөд математикийн мэдээллийг санваартнууд болон төрийн албан хаагчдын мэдлэгийн салшгүй хэсэг болгон оруулсан байдаг. Энэхүү мэдээллийн хангамжийг аль хэдийн тайлагдсан шавар Вавилоны хавтан, Египетийн бичээсүүдээс харж болно. математикийн папирус,харьцангуй том байсан. Эртний Грекийн эрдэмтэн Пифагороос мянган жилийн өмнө Месопотамид Пифагорын онол мэдэгдээд зогсохгүй бүхэл талтай бүх тэгш өнцөгт гурвалжныг олох асуудлыг шийдэж байсан баримт байдаг. Гэсэн хэдий ч тухайн үеийн баримт бичгийн дийлэнх нь энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дүрмийн цуглуулга, түүнчлэн биеийн тоо, эзлэхүүний талбайг тооцоолох явдал юм. Эдгээр тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд янз бүрийн хүснэгтүүдийг хадгалсан болно. Бүх гарын авлагад дүрмийг томьёолдоггүй, харин байнга жишээ болгон тайлбарладаг. Математикийг бий болгох дедуктив арга бүхий албан ёсны шинжлэх ухаан болгон хувиргах нь Эртний Грекд болсон. Тэнд математикийн бүтээлч байдал нэргүй байхаа больсон. Практик арифметик ба геометрЭртний Грекд өндөр хөгжилтэй байсан. Грекийн геометрийн эхлэл нь Египетээс анхан шатны мэдлэгийг авчирсан Милетийн Талес (МЭӨ 7-р зууны сүүл - МЭӨ 6-р зууны эхэн) нэртэй холбоотой юм. Самосын Пифагорын сургуульд (МЭӨ 6-р зуун) тоон хуваагдах чадварыг судалж, хамгийн энгийн прогрессийг нэгтгэн дүгнэж, төгс тоог судалж, янз бүрийн төрлийн дундаж утгыг авч үзсэн (арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундаж) , Пифагорын тоо дахин олдсон (төв гурвалжны талууд байж болох бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо). МЭӨ 5-6-р зуунд. Эртний алдартай асуудлууд гарч ирэв - тойргийг квадрат болгох, өнцгийг гурвалжин хуваах, шоо хоёр дахин нэмэгдүүлэх, анхны иррационал тоонууд бий болсон. Геометрийн анхны системчилсэн сурах бичгийг Хиосын Гиппократ (МЭӨ 5-р зууны 2-р хагас) гэж нэрлэдэг. Орчлон ертөнц дэх материйн бүтцийг оновчтой тайлбарлах оролдлого, бүх ердийн олон талтуудыг хайхтай холбоотой Платон сургуулийн томоохон амжилт нь энэ үеэс эхлэлтэй. МЭӨ 5-4-р зууны хил дээр. Демокрит атомын үзэл баримтлалд үндэслэн биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлох аргыг санал болгосон. Энэ аргыг хязгааргүй жижиг аргын прототип гэж үзэж болно. МЭӨ 4-р зуунд. Книдын Евдокс пропорцын онолыг боловсруулсан. МЭӨ 3-р зуун бол математикийн бүтээлч байдлын хамгийн эрчимтэй үе юм. (Александрийн эрин гэж нэрлэгддэг 1-р зуун). МЭӨ 3-р зуунд. Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус, Эратосфен зэрэг математикчид ажиллаж байсан; хожим – Херон (МЭ 1-р зуун) Диофант (3-р зуун). Евклид элементүүддээ геометрийн салбарын ололт амжилтыг цуглуулж, эцсийн логик боловсруулалтанд оруулсан; Үүний зэрэгцээ тэрээр тооны онолын үндэс суурийг тавьсан. Архимедийн геометрийн гол ололт нь янз бүрийн талбай, эзэлхүүнийг тодорхойлох явдал байв. Диофант голчлон оновчтой эерэг тоонуудын тэгшитгэлийн шийдлийг судалжээ. 3-р зууны сүүлчээс Грекийн математикийн уналт эхэлсэн.

Математик нь эртний Хятад, Энэтхэгт томоохон хөгжилд хүрсэн. Хятадын математикчид тооцоолол хийх өндөр техник, ерөнхий алгебрийн аргыг хөгжүүлэх сонирхолтой байдгаараа онцлог юм. МЭӨ 2-1-р зуунд. “Математикчид есөн номонд” бичигдсэн. Энэ нь орчин үеийн сургуульд танилцуулсан квадрат язгуурыг гаргаж авах арга техникийг агуулдаг: шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргууд, Пифагорын теоремын арифметик томъёолол.

5-12-р зууны үеийн оргил үе нь Энэтхэгийн математикийг орчин үеийн аравтын бутархайгаар дугаарлахаас гадна тухайн зэрэглэлийн нэгж байхгүй, илүү өргөн хүрээтэй хөгжсөний ач тусыг тэгээр илэрхийлсэн гэж үздэг. Диофантыг бодвол алгебр нь эерэг рационал тоонуудаас гадна сөрөг ба иррационал тоонуудтай ажилладаг.

Арабын байлдан дагуулал нь Төв Азиас Иберийн хойг хүртэл 9-15-р зууны үед эрдэмтэд араб хэлийг ашиглахад хүргэсэн. 9-р зуунд Төв Азийн эрдэмтэн аль-Хорезми анх алгебрыг бие даасан шинжлэх ухаан болгон танилцуулсан. Энэ хугацаанд геометрийн олон асуудлууд алгебрийн томъёоллыг хүлээн авсан. Сирийн аль-Баттани синус, тангенс, котангенс гэсэн тригонометрийн функцуудыг авч үзсэн бол Самаркандын эрдэмтэн аль-Каши (15-р зуун) аравтын бутархайг авч үзэн системчилсэн илтгэл тавьж, Ньютоны хоёр гишүүний томьёог гаргажээ.

Математикийн хөгжлийн шинэ үе 17-р зуунд эхэлсэн бөгөөд хөдөлгөөн, өөрчлөлтийн тухай санаа математикт тодорхой нэвтэрч эхэлсэн. Хувьсагч, тэдгээрийн хоорондын холболтыг авч үзэх нь функц, дериватив, интеграл, дифференциал тооцоо, интеграл тооцоо гэсэн ойлголтыг бий болгож, математикийн шинэ салбар болох математик анализыг бий болгоход хүргэсэн.

18-р зууны сүүлчээс 19-р зууны эхэн үе хүртэл математикийн хөгжилд хэд хэдэн мэдэгдэхүйц шинэ шинж чанарууд ажиглагдсан. Тэдгээрийн хамгийн онцлог нь математикийн үндэслэлд хэд хэдэн асуудлыг шүүмжлэлтэй хянан үзэх сонирхол байв. Хязгааргүй тоонуудын талаарх тодорхой бус санаанууд нь хязгаарын тухай ойлголттой холбоотой нарийн томъёололоор солигдсон.

19-р зууны алгебрийн шинжлэх ухаанд алгебрийн тэгшитгэлийг радикалаар шийдвэрлэх боломжийн тухай асуудлыг тодорхой болгосон (Норвегийн эрдэмтэн Н.Абель, Францын эрдэмтэн Э.Галуа).

19-20-р зуунд математикийн тоон аргууд нь бие даасан салбар болох тооцооллын математик болж хөгжсөн. 19-20-р зуунд үүссэн математикийн салбар болох математик логик нь компьютерийн шинэ технологид чухал хэрэглээг олсон.

Материалыг математикийн багш О.В.Лещенко бэлтгэсэн.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектуудын оновчтой шинж чанаруудыг аксиом хэлбэрээр томъёолсон эсвэл холбогдох математикийн объектын тодорхойлолтод жагсаасан болно. Дараа нь логик дүгнэлтийн хатуу дүрмийн дагуу эдгээр шинж чанаруудаас бусад үнэн шинж чанарууд (теоремууд) гарч ирдэг. Энэхүү онол нь хамтдаа судалж буй объектын математик загварыг бүрдүүлдэг. Тиймээс математик нь орон зайн болон тоон харилцаанаас эхлээд илүү хийсвэр харилцааг хүлээн авдаг бөгөөд үүнийг судлах нь орчин үеийн математикийн сэдэв юм.

Уламжлал ёсоор математик нь математикийн дотоод бүтцэд гүнзгий дүн шинжилгээ хийдэг онолын болон бусад шинжлэх ухаан, инженерийн салбаруудад загвараа өгдөг хэрэглээний гэж хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь математиктэй хиллэдэг байр суурь эзэлдэг. Ялангуяа албан ёсны логикийг философийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг, математикийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг гэж үзэж болно; механик - физик, математик хоёулаа; компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, алгоритмууд нь инженерийн болон математикийн шинжлэх ухааны аль алинд нь багтдаг. Уран зохиолд математикийн олон янзын тодорхойлолтыг санал болгосон.

Этимологи

"Математик" гэдэг үг нь эртний Грекээс гаралтай. μάθημα, энэ нь гэсэн үг сурч байна, мэдлэг, шинжлэх ухаан, гэх мэт-Грек. μαθηματικός, анхдагч гэсэн утгатай хүлээн авах чадвартай, амжилттай, дараа нь судлахтай холбоотой, дараа нь математиктай холбоотой. Тухайлбал, μαθηματικὴ τέχνη , Латинаар Ардын математик, гэсэн үг математикийн урлаг. Энэ нэр томъёо нь эртний Грек юм. "Математик" гэдэг үгийн орчин үеийн утгаараа μᾰθημᾰτικά нь Аристотелийн (МЭӨ IV зуун) бүтээлүүдээс аль хэдийн олдсон байдаг. Васмерын хэлснээр энэ үг орос хэлэнд Польш хэлээр дамжин орж ирсэн. matematyka, эсвэл Латаар дамжуулан. математик.

Тодорхойлолт

Математикийн сэдвийн анхны тодорхойлолтуудын нэгийг Декарт өгсөн:

Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг авч үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжигдэхүүнийг хайж буй бусад зүйл эсэх нь огт чухал биш юм. Тиймээс, ямар нэгэн тодорхой хичээлийг судлахгүйгээр дэг журам, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг гадаад биш, харин аль хэдийн гарч ирсэн Universal Mathematics хэмээх хуучин нэрээр нэрлэх ёстой. ашиглалтанд оруулах.

Математикийн мөн чанар ... одоо бол объектуудын хоорондын харилцааны тухай сургаал болгон танилцуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийг тодорхойлсон зарим шинж чанаруудаас өөр юу ч мэдэгддэггүй - яг аксиомын хувьд онолын үндэс болсон шинж чанаруудаас өөр зүйл ... Математик бол хийсвэр хэлбэрийн багц - математикийн бүтэц.

Математикийн хэсгүүд

1. Математик яаж эрдэм шинжилгээний сахилга бат

Тэмдэглэл

Математик нь маш олон янзын, нэлээд төвөгтэй бүтцийг авч үздэг тул тэмдэглэгээ нь бас маш нарийн төвөгтэй байдаг. Томьёо бичих орчин үеийн систем нь Европын алгебрийн уламжлал, түүнчлэн математикийн хожмын салбаруудын хэрэгцээ - математик анализ, математик логик, олонлогийн онол гэх мэт хэрэгцээнд үндэслэн бүрэлдэн бий болсон. Эрт дээр үеэс геометр нь харааны (геометрийн) ашигладаг. ) төлөөлөл. Орчин үеийн математикийн хувьд нарийн төвөгтэй график тэмдэглэгээний системүүд (жишээлбэл, солих диаграм) түгээмэл байдаг бөгөөд график дээр суурилсан тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Богино өгүүллэг

Математикийн философи

Зорилго, арга

Орон зай R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), цагт n > 3 (\displaystyle n>3)математикийн шинэ бүтээл юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь математикийн ээдрээтэй үзэгдлийг ойлгоход тусалдаг маш ухаалаг шинэ бүтээл юм».

Шалтгаан

Зөн совингийн үзэл

Бүтээлч математик

тодруулах

Үндсэн сэдвүүд

Тоо хэмжээ

Хэмжигдэхүүнийг хийсвэрлэх үндсэн хэсэг бол алгебр юм. "Тоо" гэсэн ойлголт нь анх арифметик ойлголтоос үүссэн бөгөөд натурал тоотой холбоотой байв. Дараа нь алгебрийн тусламжтайгаар бүхэл тоо, рациональ, бодит, комплекс болон бусад тоонуудад аажмаар өргөжсөн.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\лдоц ) Рационал тоо 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots) Бодит тоо − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\цэгүүд) Нарийн төвөгтэй тоо Квартернионууд

Өөрчлөлтүүд

Шинжилгээ нь өөрчлөлт, өөрчлөлтийн үзэгдлийг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр авч үздэг.

Бүтэцүүд

Орон зайн харилцаа

Геометр нь орон зайн харилцааны үндсийг судалдаг. Тригонометр нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг судалдаг. Дифференциал геометр нь геометрийн объектуудыг математикийн шинжилгээгээр судлах явдал юм. Тасралтгүй хэв гажилтын үед өөрчлөгдөөгүй орон зайн шинж чанарууд ба тасралтгүй байдлын үзэгдлийг топологи судалдаг.

Дискрет математик

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Баруун сум P(x")))

Математик маш эрт дээр үеэс үүссэн. Тэр хүн жимс цуглуулж, жимс ухаж, загас барьж, бүгдийг нь өвлийн улиралд хадгалдаг байв. Хэр их хоол хүнс хадгалагддагийг ойлгохын тулд хүн тоолох аргыг зохион бүтээжээ. Ингэж л математик үүсч эхэлсэн.

Дараа нь хүн газар тариалан эрхэлж эхлэв. Газар хэмжих, байшин барих, цаг хугацааг хэмжих шаардлагатай байв.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн тоон харьцааг ашиглах шаардлагатай болсон. Хэр их ургац хураасан, барилгын талбайн хэмжээ, эсвэл тодорхой тооны тод одтой тэнгэрийн талбай хэр том болохыг тодорхойл.

Үүнээс гадна хүн хэлбэр дүрсийг тодорхойлж эхлэв: дугуй нар, дөрвөлжин хайрцаг, зууван нуур, эдгээр объектууд орон зайд хэрхэн байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, хүн бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэрийг сонирхож эхэлсэн.

Тиймээс үзэл баримтлал математикбодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн шинжлэх ухаан гэж тодорхойлж болно.

Одоогийн байдлаар математикгүйгээр хийж чадах нэг ч мэргэжил байхгүй. “Математикийн хаан” гэгддэг Германы алдарт математикч Карл Фридрих Гаусс нэгэнтээ:

“Математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан, арифметик бол математикийн хатан хаан”.

"Арифметик" гэдэг үг нь Грекийн "арифмос" - "тоо" гэсэн үгнээс гаралтай.

Тиймээс, арифметиктоо, тэдгээрийн үйлдлийг судалдаг математикийн салбар юм.

Бага сургуульд арифметикийг голчлон заадаг.

Энэ шинжлэх ухаан хэрхэн хөгжсөн бэ, энэ асуултыг судалж үзье.

Математикийн төрсөн үе

Математикийн мэдлэг хуримтлуулах гол үе бол МЭӨ 5-р зууны өмнөх үе гэж тооцогддог.

Математикийн санааг нотолж эхэлсэн анхны хүн бол МЭӨ 7-р зуунд, магадгүй 625-545 онд амьдарч байсан эртний Грекийн сэтгэгч юм. Энэ философич дорно дахины орнуудаар аялсан. Уламжлал ёсоор тэрээр Египетийн тахилч нар болон Вавилоны халдейчуудтай хамт суралцсан гэж ярьдаг.

Милетийн Фалес анхан шатны геометрийн анхны ойлголтуудыг Египетээс Грек рүү авчирсан: диаметр гэж юу вэ, гурвалжинг юу тодорхойлдог гэх мэт. Тэрээр нар хиртэлтийг урьдчилан таамаглаж, инженерийн байгууламжуудыг зохион бүтээсэн.

Энэ хугацаанд арифметик аажмаар хөгжиж, одон орон, геометр хөгжсөн. Алгебр, тригонометр гэж бий болсон.

Анхан шатны математикийн үе

Энэ үе нь МЭӨ VI үеэс эхэлдэг. Одоо математик нь онол, нотолгоотой шинжлэх ухаан болон гарч ирж байна. Тооны онол, хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилтийн тухай сургаал гарч ирэв.

Энэ үеийн хамгийн алдартай математикч бол Евклид юм. Тэрээр МЭӨ 3-р зуунд амьдарч байжээ. Энэ хүн манайд хүрч ирсэн математикийн анхны онолын зохиолын зохиогч юм.

Евклидийн бүтээлүүдэд Евклидийн геометр гэж нэрлэгддэг үндэс суурийг өгсөн байдаг - эдгээр нь үндсэн ойлголтууд дээр тулгуурласан аксиомууд юм.

Анхан шатны математикийн үед тоонуудын онол, түүнчлэн хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилтийн тухай сургаал бий болсон. Сөрөг ба иррационал тоонууд анх удаа гарч ирдэг.

Энэ хугацааны төгсгөлд алгебрыг шууд тоолол болгон бий болгох нь ажиглагдаж байна. Арабчуудын дунд "алгебр" шинжлэх ухаан өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан мэт гарч ирдэг. Араб хэл дээрх "алгебр" гэдэг нь "сэргээх" гэсэн утгатай, өөрөөр хэлбэл сөрөг утгыг тэгшитгэлийн өөр хэсэгт шилжүүлэх гэсэн утгатай.

Хувьсагчийн математикийн үе

Энэ үеийг үндэслэгч нь МЭ 17-р зуунд амьдарч байсан Рене Декарт гэж тооцогддог. Декарт зохиол бүтээлдээ хувьсах хэмжигдэхүүн гэсэн ойлголтыг анхлан нэвтрүүлсэн.

Үүний ачаар эрдэмтэд тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийн судалгаанаас хувьсах хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг судлах, хөдөлгөөний математик дүрслэл рүү шилжсэн.

Энэ үеийг Фридрих Энгельс хамгийн тод дүрсэлсэн бөгөөд тэрээр өөрийн зохиолууддаа дараахь зүйлийг бичжээ.

“Математикийн эргэлтийн цэг нь декарт хувьсагч байсан. Үүний ачаар хөдөлгөөн, улмаар диалектик математикт орж ирсэн бөгөөд үүний ачаар дифференциал ба интеграл тооцоо нэн даруй зайлшгүй шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь шууд бий болж, ерөнхийдөө бүрэн гүйцэд бөгөөд Ньютон, Лейбниц нарын зохион бүтээгээгүй юм."

Орчин үеийн математикийн үе

19-р зууны 20-иод онд Николай Иванович Лобачевский Евклидийн бус геометрийг үндэслэгч болжээ.

Энэ мөчөөс эхлэн орчин үеийн математикийн хамгийн чухал салбаруудын хөгжил эхэлдэг. Магадлалын онол, олонлогын онол, математик статистик гэх мэт.

Эдгээр бүх нээлт, судалгаанууд нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг.

Мөн одоогийн байдлаар математикийн шинжлэх ухаан эрчимтэй хөгжиж, математикийн сэдэв өргөжиж, түүний дотор шинэ хэлбэр, харилцаа холбоо, шинэ теоремууд нотлогдож, суурь ойлголтууд гүнзгийрч байна.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектуудын оновчтой шинж чанаруудыг аксиом хэлбэрээр томъёолсон эсвэл холбогдох математикийн объектын тодорхойлолтод жагсаасан болно. Дараа нь логик дүгнэлтийн хатуу дүрмийн дагуу эдгээр шинж чанаруудаас бусад үнэн шинж чанарууд (теоремууд) гарч ирдэг. Энэхүү онол нь хамтдаа судалж буй объектын математик загварыг бүрдүүлдэг. Тиймээс, эхэндээ орон зайн болон тоон харилцаанд үндэслэн математик нь илүү хийсвэр харилцааг хүлээн авдаг бөгөөд үүнийг судлах нь орчин үеийн математикийн сэдэв юм.

Уламжлал ёсоор математик нь математикийн дотоод бүтцэд гүнзгий дүн шинжилгээ хийдэг онолын болон бусад шинжлэх ухаан, инженерийн салбаруудад загвараа өгдөг хэрэглээний гэж хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь математиктэй хиллэдэг байр суурь эзэлдэг. Ялангуяа албан ёсны логикийг философийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг, математикийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг гэж үзэж болно; механик - физик, математик хоёулаа; компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, алгоритм нь инженерийн болон математикийн шинжлэх ухаан гэх мэттэй холбоотой. Уран зохиолд математикийн олон янзын тодорхойлолтыг санал болгосон (харна уу).

Этимологи

"Математик" гэдэг үг нь эртний Грекээс гаралтай. μάθημα ( математик), юу гэсэн үг вэ гэхээр сурч байна, мэдлэг, шинжлэх ухаан, гэх мэт-Грек. μαθηματικός ( математик), анхдагч утгатай хүлээн авах чадвартай, амжилттай, дараа нь судлахтай холбоотой, дараа нь математиктай холбоотой. Тухайлбал, μαθηματικὴ τέχνη (математикийн техник), Латинаар Ардын математик, гэсэн үг математикийн урлаг.

Тодорхойлолт

Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг авч үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжигдэхүүнийг хайж буй бусад зүйл эсэх нь огт чухал биш юм. Тиймээс, ямар нэгэн тодорхой хичээлийг судлахгүйгээр дэг журам, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг гадаад биш, харин аль хэдийн гарч ирсэн Universal Mathematics хэмээх хуучин нэрээр нэрлэх ёстой. ашиглалтанд оруулах.

Зөвлөлтийн үед А.Н. Колмогоровын өгсөн TSB-ийн тодорхойлолтыг сонгодог гэж үздэг байв.

Математик ... бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн шинжлэх ухаан.

Математикийн мөн чанар ... одоо бол объектуудын хоорондын харилцааны тухай сургаал болгон танилцуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийг тодорхойлсон зарим шинж чанаруудаас өөр юу ч мэдэгддэггүй - яг аксиомын хувьд онолын үндэс болсон шинж чанаруудаас өөр зүйл ... Математик бол хийсвэр хэлбэрийн багц - математикийн бүтэц.

Орчин үеийн хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгье.

Орчин үеийн онолын ("цэвэр") математик нь математик бүтэц, янз бүрийн систем, үйл явцын математик инвариантуудын шинжлэх ухаан юм.

Математик бол стандарт (каноник) хэлбэрт оруулж болох загваруудыг тооцоолох боломжийг олгодог шинжлэх ухаан юм. Албан ёсны хувиргалтыг ашиглан аналитик загвар (шинжилгээ)-ийн шийдлийг олох шинжлэх ухаан.

Математикийн хэсгүүд

1. Математик яаж эрдэм шинжилгээний сахилга батОХУ-д бага ангийн математик гэж хуваагддаг, дунд сургуульд суралцаж, дараахь мэргэжлээр бүрддэг.

• энгийн геометр: планиметр ба стереометр
• элементар функцийн онол ба шинжилгээний элементүүд

4. Америкийн Математикийн Нийгэмлэг (AMS) математикийн салбаруудыг ангилах өөрийн гэсэн стандартыг боловсруулсан. Үүнийг Математикийн хичээлийн ангилал гэж нэрлэдэг. Энэ стандартыг үе үе шинэчилдэг. Одоогийн хувилбар нь MSC 2010. Өмнөх хувилбар нь MSC 2000.

Тэмдэглэл

Математик нь маш олон янзын, нэлээд төвөгтэй бүтэцтэй холбоотой байдаг тул тэмдэглэгээний систем нь бас маш нарийн төвөгтэй байдаг. Томьёо бичих орчин үеийн систем нь Европын алгебрийн уламжлал, түүнчлэн математик анализ (функц, дериватив гэх мэт) дээр үндэслэсэн. Эрт дээр үеэс геометр нь харааны (геометрийн) дүрслэлийг ашиглаж ирсэн. Орчин үеийн математикийн хувьд нарийн төвөгтэй график тэмдэглэгээний системүүд (жишээлбэл, солих диаграм) түгээмэл байдаг бөгөөд график дээр суурилсан тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Богино өгүүллэг

Математикийн хөгжил нь бичих, тоо бичих чадвараас хамаардаг. Эртний хүмүүс газар дээр зураас зурах, модон дээр маажих зэргээр хэмжигдэхүүнийг анх илэрхийлдэг байсан байх. Эртний Инкүүд өөр ямар ч бичгийн системгүй байсан тул тоон өгөгдлийг кипус хэмээх олсны зангилааны нарийн төвөгтэй системийг ашиглан илэрхийлж, хадгалдаг байв. Олон янзын тооны системүүд байсан. Дундад хаант улсын египетчүүдийн бүтээсэн Ахмес папирусаас тоонуудын анхны мэдэгдэж байсан бичлэгүүд олджээ. Индусын соёл иргэншил тэг гэсэн ойлголтыг агуулсан орчин үеийн аравтын тооллын системийг боловсруулсан.

Түүхийн хувьд математикийн үндсэн салбарууд нь арилжааны салбарт тооцоолол хийх, газар нутгийг хэмжих, одон орны үзэгдлийг урьдчилан таамаглах, дараа нь физикийн шинэ асуудлуудыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй юм. Эдгээр салбар бүр нь бүтэц, орон зай, өөрчлөлтийг судлахаас бүрддэг математикийн өргөн хүрээний хөгжилд томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг.

Математикийн философи

Зорилго, арга

Математик нь зохиомол, хамгийн тохиромжтой объектууд болон тэдгээрийн хоорондын харилцааг албан ёсны хэлээр судалдаг. Ерөнхийдөө математикийн үзэл баримтлал, теоремууд нь физик ертөнцийн аливаа зүйлтэй нийцэх албагүй. Математикийн хэрэглээний хэсгийн гол ажил бол судалж буй бодит объектод хангалттай нийцсэн математик загварыг бий болгох явдал юм. Онолын математикчийн даалгавар бол энэ зорилгод хүрэхийн тулд хангалттай олон тооны тохиромжтой хэрэгслийг өгөх явдал юм.

Математикийн агуулгыг математик загвар, тэдгээрийг бий болгох хэрэгслүүдийн систем гэж тодорхойлж болно. Объектын загвар нь түүний бүх шинж чанарыг харгалздаггүй, зөвхөн судлах зорилгоор хамгийн шаардлагатай (идеал) зүйлийг л харгалздаг. Жишээлбэл, жүржийн физик шинж чанарыг судлахдаа бид түүний өнгө, амтыг хийсвэрлэн авч, (төгс нарийвчлалтай биш ч гэсэн) бөмбөг мэт төсөөлж болно. Хэрэв бид хоёр ба гурвыг нэмбэл хэдэн жүрж авахыг ойлгох шаардлагатай бол хэлбэрээс нь хийсвэрлэж, загварт зөвхөн нэг шинж чанар - тоо хэмжээ үлдээж болно. Хийсвэрлэл, объектуудын хоорондын холбоог хамгийн ерөнхий хэлбэрээр бий болгох нь математикийн бүтээлч байдлын үндсэн чиглэлүүдийн нэг юм.

Хийсвэрлэлийн хажуугаар өөр нэг чиглэл бол ерөнхий ойлголт юм. Жишээлбэл, "орон зай" гэсэн ойлголтыг n хэмжээст орон зайд нэгтгэх. " Сансар бол математикийн шинэ бүтээл юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь математикийн ээдрээтэй үзэгдлийг ойлгоход тусалдаг маш ухаалаг шинэ бүтээл юм».

Математик доторх объектуудыг судлах нь дүрмээр бол аксиоматик аргыг ашиглан явагддаг: эхлээд судалж буй объектуудад үндсэн ойлголт, аксиомуудын жагсаалтыг гаргаж, дараа нь дүгнэлтийн дүрмийг ашиглан аксиомуудаас утга учиртай теоремуудыг гаргаж авдаг. математик загвар бий болгох.

Шалтгаан

Математикийн мөн чанар, үндэс суурь нь Платоны үеэс л яригдаж ирсэн. 20-р зуунаас хойш математикийн хатуу нотолгоо гэж юу болох талаар харьцангуй санал нэгдэж байсан боловч математикт угаасаа үнэн гэж үздэг зүйлийн талаар бага санал нийлдэг. Энэ нь аксиоматик болон математикийн салбаруудын харилцан хамаарал, нотлох баримтад хэрэглэгдэх логик системийг сонгоход санал зөрөлдөхөд хүргэдэг.

Эргэлзээтэй байдлаас гадна энэ асуудалд дараахь хандлагууд мэдэгдэж байна.

Олонлогийн онолын хандлага

Математикийн бүх объектыг олонлогийн онолын хүрээнд авч үзэхийг санал болгож байна, ихэнхдээ Зермело-Френкелийн аксиоматиктай (хэдийгээр үүнтэй тэнцэх бусад олон зүйл байдаг). Энэ хандлагыг 20-р зууны дунд үеэс давамгайлсан гэж үздэг боловч бодит байдал дээр ихэнх математикийн бүтээлүүд өөрсдийн мэдэгдлийг олонлогийн онолын хэл рүү хөрвүүлэхийг зорьдоггүй, харин математикийн зарим салбарт тогтсон үзэл баримтлал, баримтаар ажилладаг. Тиймээс хэрэв олонлогийн онолд зөрчил илэрсэн бол энэ нь ихэнх үр дүнг хүчингүй болгоход хүргэхгүй.

Логикизм

Энэ арга нь математикийн объектуудыг хатуу бичихийг шаарддаг. Зөвхөн тусгай заль мэхийг ашиглан олонлогийн онолд зайлсхийсэн олон парадоксууд зарчмын хувьд боломжгүй болж хувирдаг.

Формализм

Энэ арга нь сонгодог логик дээр суурилсан албан ёсны системийг судлах явдал юм.

Зөн совингийн үзэл

Зөн совингийн үзэл баримтлал нь математик нь зөн совингийн логик дээр суурилдаг гэж үздэг бөгөөд энэ нь нотлох арга хэрэгслээр илүү хязгаарлагдмал байдаг (гэхдээ илүү найдвартай гэж үздэг). Зөн совин нь зөрчилдөөнтэй нотолгоог үгүйсгэдэг, олон конструктив бус нотлох баримтууд боломжгүй болж, олонлогийн онолын олон асуудал утгагүй (албан ёсны бус) болдог.

Бүтээлч математик

Конструктив математик нь конструктив бүтцийг судалдаг зөн совинтой ойролцоо математикийн хөдөлгөөн юм. тодруулах] . Бүтээлч байдлын шалгуурын дагуу - " оршин байна гэдэг нь баригдах гэсэн үг" Бүтээлч байдлын шалгуур нь тууштай байдлын шалгуураас илүү хүчтэй шаардлага юм.

Үндсэн сэдвүүд

Тоонууд

"Тоо" гэсэн ойлголт нь анх натурал тоог хэлдэг. Дараа нь энэ нь бүхэл тоо, рациональ, бодит, комплекс болон бусад тоонуудад аажмаар өргөжсөн.

Бүхэл тоо Рационал тоо Бодит тоо Нарийн төвөгтэй тоо Квартернионууд

Тоон систем
Тоолж байна багц	Натурал тоо () Бүхэл тоо () Рационал () Алгебрийн () Үе Тооцоолох арифметик
Бодит тоо болон тэдгээрийн өргөтгөлүүд	Бодит () Цогцолбор () Квартернион () Кэйлийн тоо (октав, октонион) () Цеденион () Альтернион Кэйли-Диксон процедур Хос Гиперкомплекс Суперреал Гиперреал Сурреал тоо () Англи)
Бусад тооллын системүүд	Үндсэн тоонууд Ординал тоо (трансфинит, дарааллын) p-adic Ер бусын тоо
бас үзнэ үү	Давхар тоо Иррационал тоо Трансценденталь тооны туяа Бикватернион

Өөрчлөлтүүд

Дискрет математик

Мэдлэгийн ангиллын систем дэх кодууд

Онлайн үйлчилгээ

Математик тооцоолол хийх үйлчилгээ үзүүлдэг олон тооны сайтууд байдаг. Тэдний ихэнх нь англиар ярьдаг. Орос хэлээр ярьдаг хүмүүсийн дунд бид Nigma хайлтын системийн математик асуулгын үйлчилгээг тэмдэглэж болно.

бас үзнэ үү

Шинжлэх ухааныг сурталчлагчид

Тэмдэглэл

1. Britannica нэвтэрхий толь бичиг
2. Вебстерийн онлайн толь бичиг
3. Бүлэг 2. Математик нь шинжлэх ухааны хэл. Сибирийн нээлттэй их сургууль. 2012 оны 2-р сарын 2-ны өдөр эх сурвалжаас архивлагдсан. 2010 оны 10-р сарын 5-нд авсан.
4. Эртний Грекийн том толь бичиг (αω)
5. XI-XVII зууны орос хэлний толь бичиг. Дугаар 9 / Ч. ed. Ф.П.Филин. - М.: Наука, 1982. - P. 41.
6. Декарт Р.Оюун санааг удирдах дүрэм. М.-Л.: Соцэггиз, 1936 он.
7. Харна уу: Математик TSB
8. Маркс К., Энгельс Ф.Эссэ. 2-р хэвлэл. T. 20. P. 37.
9. Бурбаки Н.Математикийн архитектур. Математикийн түүхийн эссэ / Орчуулга I. G. Башмакова, ред. К.А.Рыбникова. М.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Казиев В.М.Математикийн танилцуулга
11. Мухин О.И.Системийн загварчлалын заавар. Перм: RCI PSTU.
12. Херман Вейл // Клейн М.. - М.: Мир, 1984. - P. 16.
13. Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын стандарт. Мэргэжил 01.01.00. "Математик". Мэргэшсэн байдал - математикч. Москва, 2000 (О. Б. Лупановын удирдлаган дор эмхэтгэсэн)
14. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны 2009 оны 2-р сарын 25-ны өдрийн 59 тоот тушаалаар батлагдсан шинжлэх ухааны ажилчдын мэргэшлийн нэршил.
15. UDC 51 Математик
16. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд. М.: Наука, 1988. P. 44.
17. Н.И. Кондаков. Логик толь бичиг-лавлах ном. М.: Наука, 1975. P. 259.
18. Г.И. Рузавин. Математикийн мэдлэгийн мөн чанарын тухай. М.: 1968 он.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Жишээ нь: http://mathworld.wolfram.com

Уран зохиол

Нэвтэрхий толь бичиг

• // Брокхаус ба Эфроны нэвтэрхий толь бичиг: 86 боть (82 боть, 4 нэмэлт). - Санкт-Петербург. , 1890-1907.
• Математик нэвтэрхий толь (5 боть), 1980-аад он. // EqWorld дээрх математикийн ерөнхий болон тусгай лавлах номууд
• Кондаков Н.И.Логик толь бичиг-лавлах ном. М .: Наука, 1975.
• Математикийн шинжлэх ухаан ба тэдгээрийн хэрэглээний нэвтэрхий толь (Герман) 1899-1934 он. (19-р зууны уран зохиолын хамгийн том судалгаа)

Лавлахууд

• G. Korn, T. Korn.Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага М., 1973 он.

Номууд

• Клейн М.Математик. Итгэл алдагдах. - М.: Мир, 1984.
• Клейн М.Математик. Үнэнийг хайх. М .: Мир, 1988.
• Клейн Ф.Анхан шатны математикийг дээд талаас нь харвал.

• I боть. Арифметик. Алгебр. Анализ М.: Наука, 1987. 432 х.
• II боть. Геометр М.: Наука, 1987. 416 х.

• Courant R., G. Robbins.Математик гэж юу вэ? 3-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт - М.: 2001. 568 х.
• Писаревский Б.М., Харин В.Т.Математик, математикч болон бусад зүйлсийн талаар. - М .: Бином. Мэдлэгийн лаборатори, 2012. - 302 х.
• Пуанкаре А.Шинжлэх ухаан, арга зүй (Орос) (Франц)

Математик бол хамгийн эртний шинжлэх ухааны нэг юм. Математикийн товч тодорхойлолтыг өгөх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд түүний агуулга нь тухайн хүний ​​математикийн боловсролын түвшингээс хамааран ихээхэн ялгаатай байх болно. Арифметикийн хичээлд дөнгөж орж байгаа бага ангийн сурагч математик нь объектыг тоолох дүрмийг судалдаг гэж хэлэх болно. Түүний зөв байх болно, учир нь энэ нь түүний анх танилцсан зүйл юм. Математикийн үзэл баримтлалд алгебр, геометрийн объектуудыг судалдаг шугам, тэдгээрийн огтлолцол, хавтгай дүрс, геометрийн биет, янз бүрийн хувиргалт зэргийг багтаадаг гэж ахмад сурагчид нэмж хэлэх болно. Ахлах сургуулийн төгсөгчид математикийн тодорхойлолтдоо функц, хязгаарт шилжих үйлдлийг судлах, түүнчлэн дериватив, интеграл гэсэн ойлголтуудыг багтаах болно. Техникийн дээд боловсролын байгууллага эсвэл их дээд сургууль, сурган хүмүүжүүлэх дээд сургуулийн байгалийн ухааны факультетийн төгсөгчид математикт магадлалын онол, математик статистик, дифференциал тооцоо, програмчлал, тооцооллын арга зэрэг бусад салбаруудыг багтаадаг гэдгийг мэддэг тул сургуулийн тодорхойлолтод сэтгэл хангалуун байхаа болино. үйлдвэрлэлийн үйл явцыг загварчлах, туршилтын өгөгдлийг боловсруулах, мэдээлэл дамжуулах, боловсруулахад эдгээр салбаруудын хэрэглээ. Гэсэн хэдий ч жагсаасан зүйл нь математикийн агуулгыг шавхдаггүй. Олонлогийн онол, математик логик, оновчтой хяналт, санамсаргүй үйл явцын онол болон бусад олон зүйлийг түүний бүрэлдэхүүнд багтаасан болно.

Математикийг түүний бүрдүүлэгч салбаруудыг жагсаан тодорхойлох оролдлого нь математик яг юу судалдаг, бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй ямар холбоотой болох талаар ойлголт өгдөггүй тул биднийг төөрөлдүүлж байна. Хэрэв үүнтэй төстэй асуултыг физикч, биологич, одон орон судлаачдаас асуувал тэд тус бүр нь судалж буй шинжлэх ухааныг бүрдүүлдэг хэсгүүдийн жагсаалтыг агуулаагүй маш богино хариулт өгөх болно. Ийм хариулт нь түүний судалж буй байгалийн үзэгдлийн шинж тэмдгийг агуулсан байх болно. Жишээлбэл, биологи бол биологи бол амьдралын янз бүрийн илрэлийг судалдаг шинжлэх ухаан гэж биологич хэлдэг. Энэ хариулт нь бүрэн гүйцэд байж болохгүй, учир нь энэ нь амьдрал, амин чухал үзэгдэл гэж юу болохыг заагаагүй боловч ийм тодорхойлолт нь биологийн шинжлэх ухааны өөрийн агуулга, энэ шинжлэх ухааны янз бүрийн түвшний талаар нэлээд бүрэн ойлголт өгөх болно. Бидний биологийн мэдлэгийг өргөжүүлэх тусам энэ тодорхойлолт өөрчлөгдөхгүй.

Математикийн судлах зүйл болох байгалийн үзэгдэл, техникийн болон нийгмийн үйл явц гэж байдаггүй, гэхдээ физик, биологи, хими, инженерчлэл, нийгмийн үзэгдэлтэй холбоогүй болно. Байгалийн шинжлэх ухааны салбар бүр: биологи ба физик, хими ба сэтгэл судлал нь түүний хичээлийн материаллаг шинж чанар, түүний судалж буй бодит ертөнцийн онцлог шинж чанараар тодорхойлогддог. Объект эсвэл үзэгдлийг өөр өөр аргаар, тэр дундаа математикийн аргаар судалж болох боловч аргуудыг өөрчилснөөр бид энэ шинжлэх ухааны агуулга нь судалгааны арга биш харин бодит объект учраас бид энэ хичээлийн хүрээнд хэвээр байна. Математикийн хувьд судалгааны материаллаг сэдэв нь шийдвэрлэх ач холбогдолтой биш харин ашигласан арга нь чухал юм. Жишээлбэл, тригонометрийн функцийг хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг судлах, хүрэх боломжгүй объектын өндрийг тодорхойлоход ашиглаж болно. Математикийн аргаар бодит ертөнцийн ямар үзэгдлийг судалж болох вэ? Эдгээр үзэгдлүүд нь материаллаг шинж чанараараа бус, зөвхөн албан ёсны бүтцийн шинж чанараар тодорхойлогддог бөгөөд юуны түрүүнд тэдгээрийн оршин буй тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдээр тодорхойлогддог.

Тиймээс математик нь материаллаг объектуудыг бус харин судалгааны арга барил, судалгааны объектын бүтцийн шинж чанарыг судалдаг бөгөөд энэ нь түүнд тодорхой үйлдлүүдийг (нийлбэр, ялгах гэх мэт) ашиглах боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч математикийн асуудал, үзэл баримтлал, онолын нэлээд хэсэг нь бодит үзэгдэл, үйл явцтай байдаг. Жишээлбэл, арифметик болон тооны онол нь объектыг тоолох үндсэн практик даалгавараас үүссэн. Анхан шатны геометр нь зайг харьцуулах, хавтгай дүрсүүдийн талбай эсвэл орон зайн биетүүдийн эзэлхүүнийг тооцоолохтой холбоотой асуудлуудаас эх сурвалжтай байв. Батлан ​​​​хамгаалах байгууламжийг барих явцад газрын талбайг хэрэглэгчдийн хооронд дахин хуваарилах, үр тарианы агуулахын хэмжээ эсвэл газар шорооны ажлын хэмжээг тооцоолох шаардлагатай байсан тул энэ бүгдийг олох шаардлагатай байв.

Математикийн үр дүн нь зөвхөн нэг тодорхой үзэгдэл, үйл явцыг судлахад ашиглахаас гадна физик шинж чанар нь урьд өмнө авч үзсэнээс эрс ялгаатай бусад үзэгдлийг судлахад ашиглагдах шинж чанартай байдаг. Тиймээс арифметикийн дүрмийг эдийн засгийн асуудал, техникийн асуудал, хөдөө аж ахуйн асуудлыг шийдвэрлэх, шинжлэх ухааны судалгаанд ашиглах боломжтой. Арифметик дүрмийг олон мянган жилийн өмнө боловсруулсан боловч тэдгээр нь мөнхөд хэрэглэгдэх үнэ цэнээ хадгалсаар ирсэн. Арифметик бол математикийн салшгүй хэсэг бөгөөд түүний уламжлалт хэсэг нь математикийн хүрээнд бүтээлч хөгжилд хамаарахаа больсон боловч олон тооны шинэ хэрэглээг олсон бөгөөд олох болно. Эдгээр програмууд нь хүн төрөлхтний хувьд чухал ач холбогдолтой байж болох ч математикт өөрөө хувь нэмэр оруулахаа болино.

Математик нь бүтээлч хүчний хувьд олон тооны онцгой тохиолдлуудад хэрэглэгдэх ерөнхий дүрмийг боловсруулах зорилготой юм. Эдгээр дүрмийг бий болгодог хүн шинэ зүйлийг бий болгодог, бүтээдэг. Бэлэн дүрмийг хэрэгжүүлдэг хүн математикт өөрөө бий болгохоо больсон, харин математикийн дүрмийн тусламжтайгаар бусад мэдлэгийн салбарт шинэ үнэ цэнийг бий болгодог. Жишээлбэл, өнөөдөр сансрын зургийн тайлбарын өгөгдөл, чулуулгийн бүтэц, нас, геохими, геофизикийн аномалийн талаархи мэдээллийг компьютер ашиглан боловсруулж байна. Геологийн судалгаанд компьютер ашиглах нь эдгээр судалгааг геологи болгож орхидог нь эргэлзээгүй. Компьютер, тэдгээрийн программ хангамжийн ажиллах зарчмыг геологийн шинжлэх ухааны ашиг сонирхолд ашиглах боломжийг харгалзахгүйгээр боловсруулсан. Энэ боломж нь өөрөө геологийн өгөгдлийн бүтцийн шинж чанар нь тодорхой компьютерийн программуудын логиктой нийцэж байгаагаар тодорхойлогддог.

Математикийн хоёр тодорхойлолт өргөн тархсан. Тэдний эхнийхийг Ф.Энгельс “Анти-Дюринг” бүтээлдээ, нөгөөг нь Николас Бурбаки гэгддэг Францын хэсэг математикч “Математикийн архитектур” (1948) өгүүлэлдээ тусгажээ.

"Цэвэр математик нь бодит ертөнцийн орон зайн хэлбэр, тоон харилцааг өөрийн объект болгон авч үздэг." Энэхүү тодорхойлолт нь зөвхөн математикийн судлах объектыг тайлбарлахаас гадна түүний гарал үүслийг - бодит ертөнцийг илтгэнэ. Гэсэн хэдий ч Ф.Энгельсийн энэхүү тодорхойлолт нь 19-р зууны хоёрдугаар хагаст математикийн төлөв байдлыг ихээхэн тусгадаг. тоон харьцаа эсвэл геометрийн хэлбэрүүдтэй шууд холбоогүй шинэ хэсгүүдийг тооцдоггүй. Энэ нь юуны түрүүнд математик логик, програмчлалтай холбоотой салбарууд юм. Тиймээс энэ тодорхойлолтыг тодорхой болгох шаардлагатай байна. Математик нь орон зайн хэлбэр, тоон харилцаа, логик бүтцийг судлах объект гэж хэлэх ёстой.

Бурбакичууд "Математикийн цорын ганц объектууд нь хатуухан хэлэхэд математикийн бүтэц" гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, математикийг математик бүтцийн шинжлэх ухаан гэж тодорхойлох ёстой. Энэ тодорхойлолт нь үндсэндээ тавтологи юм, учир нь энэ нь зөвхөн нэг зүйлийг илэрхийлдэг: математик нь түүний судалж буй объектуудтай холбоотой байдаг. Энэхүү тодорхойлолтын өөр нэг дутагдал нь математикийн бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй харилцах харилцааг тодорхой зааж өгөөгүй явдал юм. Түүгээр ч зогсохгүй Бурбакичууд математикийн бүтэц нь бодит ертөнц, түүний үзэгдлээс үл хамааран бүтээгддэг гэдгийг онцолдог. Тийм ч учраас Бурбакичууд “Гол асуудал бол туршилтын ертөнц ба математикийн ертөнцийн хоорондын харилцаа юм” гэж тунхаглахаас өөр аргагүй болсон юм. Туршилтын үзэгдэл ба математикийн бүтцийн хооронд нягт уялдаа холбоотой байдаг нь орчин үеийн физикийн нээлтүүдээр огт санаанд оромгүй байдлаар батлагдсан мэт боловч үүний гүн гүнзгий шалтгаан нь бидэнд огт мэдэгддэггүй ... магадгүй бид үүнийг хэзээ ч мэдэхгүй. .”

Математикийн үзэл баримтлал нь бодит ертөнцийн тодорхой харилцаа, хэлбэрээс хийсвэрлэл юм гэсэн мэдэгдлийг аль хэдийн агуулж байгаа тул Ф.Энгельсийн тодорхойлолтоос ийм урам хугарсан дүгнэлт гарч болохгүй. Эдгээр ойлголтууд нь бодит ертөнцөөс авсан бөгөөд тэдгээртэй холбоотой байдаг. Үнэн чанартаа энэ нь математикийн үр дүнг бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн үзэгдэлд ашиглах гайхалтай боломж, үүнтэй зэрэгцэн мэдлэгийг математикчлах үйл явцын амжилтыг яг таг тайлбарлаж байна.

Математик нь мэдлэгийн бүх салбарт үл хамаарах зүйл биш юм - энэ нь практик нөхцөл байдал болон дараагийн хийсвэрлэлээс үүссэн ойлголтуудыг бүрдүүлдэг; Энэ нь бодит байдлыг ойролцоогоор судлах боломжийг бидэнд олгодог. Гэхдээ математик нь бодит ертөнцийн юмсыг судалдаггүй, хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг бөгөөд логик дүгнэлт нь туйлын хатуу бөгөөд нарийн байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Үүнийг ойртуулах нь дотоод шинж чанартай биш, харин үзэгдлийн математик загварыг эмхэтгэхтэй холбоотой юм. Математикийн дүрмүүд нь үнэмлэхүй хэрэглэгдэх чадваргүй бөгөөд тэдгээр нь дээд эрх мэдэлтэй байдаг хязгаарлагдмал хэрэглээний талбартай гэдгийг бас тэмдэглэе. Энэ санааг жишээгээр тодруулъя: хоёр ба хоёр нь үргэлж дөрөвтэй тэнцдэггүй. 2 литр архи, 2 литр ус холиход 4 литрээс бага хольц гардаг нь мэдэгдэж байна. Энэ хольцод молекулууд илүү нягт байрладаг бөгөөд хольцын эзэлхүүн нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн эзэлхүүний нийлбэрээс бага байна. Арифметик нэмэх дүрэм зөрчигдсөн. Та мөн арифметикийн бусад үнэнийг зөрчсөн жишээг өгч болно, жишээлбэл, зарим объектыг нэмэхэд нийлбэр нь нийлбэрийн дарааллаас хамаарна.

Олон математикчид математикийн ухагдахууныг цэвэр учир шалтгааны бүтээл биш, харин үнэхээр байгаа зүйл, үзэгдэл, үйл явцын хийсвэрлэл эсвэл аль хэдийн байгаа хийсвэрлэлээс (дээд эрэмбийн хийсвэр) хийсвэрлэл гэж үздэг. Ф.Энгельс “Байгалийн диалектик” бүтээлдээ “... цэвэр математик гэж нэрлэгддэг бүх зүйл хийсвэрлэлийг авч үздэг... түүний бүх хэмжигдэхүүн нь хатуухан хэлэхэд төсөөллийн хэмжигдэхүүнүүд юм...” гэж бичсэн байдаг. Математик дахь хийсвэрлэлийн үүргийн тухай марксист гүн ухааныг үндэслэгчдийн. Эдгээр бүх "төсөөллийн хэмжигдэхүүн" нь бодит бодит байдлаас авсан бөгөөд сэтгэлгээний чөлөөт нислэгээр дур зоргоороо бүтээгдээгүй гэдгийг бид нэмж хэлэх ёстой. Ингэж л тоо гэдэг ойлголт түгээмэл хэрэглэгдэх болсон. Эхлээд эдгээр нь нэгж доторх тоонууд байсан бөгөөд үүнээс гадна зөвхөн эерэг бүхэл тоонууд байв. Дараа нь туршлага намайг арав, зуугаар тоон арсеналаа өргөжүүлэхэд хүргэв. Хязгааргүй тооны бүхэл тоонуудын тухай санаа нь бидэнтэй түүхэн ойр байсан эрин үед үүссэн: Архимед "Псаммит" ("Элсний ширхэгийн тооцоо") номондоо тооноос ч илүү тоог хэрхэн бүтээх боломжтойг харуулсан. өгөгдсөн. Үүний зэрэгцээ практик хэрэгцээнээс бутархай тооны тухай ойлголт гарч ирэв. Хамгийн энгийн геометрийн тоонуудтай холбоотой тооцоолол нь хүн төрөлхтнийг шинэ тоонууд болох үндэслэлгүй тоонд хүргэсэн. Бүх бодит тоонуудын багцын санаа аажмаар үүссэн юм.

Математикийн бусад үзэл баримтлалд ч мөн адил замыг баримталж болно. Эдгээр нь бүгд практик хэрэгцээнээс үүдэлтэй бөгөөд аажмаар хийсвэр ойлголтууд болж хувирсан. Ф.Энгельсийн хэлсэн үгийг дахин санаж болно: “...цэвэр математик нь хувь хүн бүрийн онцгой туршлагаас хамааралгүй утга учиртай байдаг... Гэвч цэвэр математикт оюун ухаан зөвхөн өөрийнх нь бүтээгдэхүүнтэй харьцдаг нь огт худал юм. бүтээлч байдал, төсөөлөл. Тоо, дүрсийн тухай ойлголтыг хаанаас ч авдаггүй, зөвхөн бодит ертөнцөөс авдаг. Хүмүүсийн тоолж, өөрөөр хэлбэл анхны арифметик үйлдлийг хийж сурсан арван хуруу нь оюун санааны чөлөөт бүтээлч байдлын бүтээгдэхүүнээс өөр зүйл биш юм. Тоолохын тулд зөвхөн тоолж болох объектуудтай байхаас гадна эдгээр объектуудыг тооноос бусад бүх шинж чанараас нь авч үзэхдээ хийсвэрлэх чадвартай байх ёстой бөгөөд энэ чадвар нь туршлага дээр суурилсан урт удаан хугацааны түүхэн хөгжлийн үр дүн юм. Тооны тухай ойлголт, дүрсийн тухай ойлголт хоёулаа зөвхөн гадаад ертөнцөөс зээлсэн бөгөөд толгойд цэвэр сэтгэлгээнээс үүссэнгүй. Тодорхой хэлбэр дүрстэй зүйлс байх ёстой бөгөөд дүрс гэдэг ойлголтыг олж авахаас өмнө эдгээр дүрсийг харьцуулах шаардлагатай байсан."

Шинжлэх ухааны өнгөрсөн үеийн дэвшил, практикийн өнөөгийн дэвшилтэй холбоогүй шинжлэх ухаанд бий болсон ойлголтууд байгаа эсэхийг авч үзье. Шинжлэх ухааны математикийн бүтээлч байдал нь сургууль, их дээд сургуульд олон сэдвийг судлах, ном, нийтлэл унших, өөрийн болон бусад мэдлэгийн салбарын мэргэжилтнүүдтэй ярилцах зэргээс бүрддэг гэдгийг бид сайн мэднэ. Математикч хүн нийгэмд амьдардаг бөгөөд ном, радио, бусад эх сурвалжаас шинжлэх ухаан, инженерчлэл, олон нийтийн амьдралд тулгарч буй асуудлын талаар суралцдаг. Нэмж дурдахад, судлаачийн сэтгэлгээнд шинжлэх ухааны сэтгэлгээний өмнөх хувьсал бүхэлдээ нөлөөлдөг. Тиймээс шинжлэх ухааны хөгжилд шаардлагатай зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлэн байна. Тийм ч учраас эрдэмтэн хүн дур зоргоороо, дур зоргоороо асуудал дэвшүүлж болохгүй, харин шинжлэх ухаан, бусад судлаачид, хүн төрөлхтөнд үнэ цэнэтэй математикийн үзэл баримтлал, онолыг бий болгох ёстой. Гэхдээ математикийн онолууд нь янз бүрийн нийгмийн тогтоц, түүхэн эрин үеийн нөхцөлд ач холбогдлоо хадгалсаар байна. Нэмж дурдахад, бие биетэйгээ ямар ч холбоогүй эрдэмтдээс ижил санаанууд ихэвчлэн гардаг. Энэ нь математикийн үзэл баримтлалын чөлөөт бүтээлч байдлын үзэл баримтлалыг баримталдаг хүмүүсийн эсрэг нэмэлт аргумент юм.

Тиймээс бид "математик" гэсэн ойлголтод юу багтдагийг тайлбарлав. Гэхдээ хэрэглээний математик гэж бас байдаг. Энэ нь математикийн гадна хэрэглээг олж буй бүх математикийн арга, салбаруудын цогц гэж ойлгогддог. Эрт дээр үед геометр, арифметик нь бүх математикийг төлөөлдөг байсан бөгөөд хоёулаа худалдааны солилцоо, талбай, эзэлхүүнийг хэмжих, навигацийн асуудалд олон тооны хэрэглээг олсон тул бүх математик нь зөвхөн онолын төдийгүй хэрэглээний шинж чанартай байв. Хожим нь Эртний Грекд математик, хэрэглээний математик гэсэн хуваагдал үүссэн. Гэсэн хэдий ч бүх шилдэг математикчид зөвхөн онолын судалгаа биш, хэрэглээний чиглэлээр ажилладаг байв.

Математикийн цаашдын хөгжил нь байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн дэвшил, нийгмийн шинэ хэрэгцээ үүссэнтэй тасралтгүй холбоотой байв. 18-р зууны эцэс гэхэд. Хөдөлгөөний математик онолыг бий болгох хэрэгцээ (ялангуяа навигаци, их бууны асуудалтай холбоотой) үүссэн. Г.В.Лейбниц, И.Ньютон нар бүтээлдээ үүнийг хийсэн. Хэрэглээний математик нь судалгааны шинэ, маш хүчирхэг арга болох математикийн шинжилгээгээр дүүргэгдсэн. Бараг нэгэн зэрэг хүн ам зүй, даатгалын хэрэгцээ нь магадлалын онолын эхлэлийг бий болгоход хүргэсэн (Магадлалын онолыг үзнэ үү). XVIII, XIX зуун. хэрэглээний математикийн агуулгыг өргөжүүлж, түүнд ердийн ба хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн онол, математикийн физикийн тэгшитгэл, математик статистикийн элементүүд, дифференциал геометрийг нэмж оруулсан. XX зуун Санамсаргүй үйл явцын онол, графикийн онол, функциональ шинжилгээ, оновчтой хяналт, шугаман ба шугаман бус програмчлал зэрэг практик асуудлуудыг математикийн судалгааны шинэ аргуудыг авчирсан. Түүгээр ч барахгүй тооны онол, хийсвэр алгебр нь физикийн асуудлуудад гэнэтийн хэрэглээтэй байсан нь тогтоогджээ. Үүний үр дүнд хэрэглээний математик нь тусдаа салбар гэж байдаггүй бөгөөд бүх математикийг хэрэглээний гэж үзэж болно гэсэн итгэл үнэмшил бий болж эхэлсэн. Математик нь хэрэглээний болон онолын шинжтэй гэдгийг биш, харин математикчдыг хэрэглээний болон онолч гэж хуваадаг тухай ярих хэрэгтэй болов уу. Зарим хүмүүсийн хувьд математик бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнц, түүнд тохиолдож буй үзэгдлүүдийг ойлгох арга бөгөөд энэ зорилгоор эрдэмтэн математикийн мэдлэгийг хөгжүүлж, өргөжүүлдэг. Бусдын хувьд математик өөрөө судлах, хөгжүүлэх зохистой ертөнцийг төлөөлдөг. Шинжлэх ухааны хөгжилд хоёр төрлийн эрдэмтэд хэрэгтэй.

Математик нь аливаа үзэгдлийг өөрийн арга барилаар судлахын өмнө математик загвараа бүтээдэг, өөрөөр хэлбэл тухайн үзэгдлийн анхааралдаа авах бүх шинж чанаруудыг жагсаан бичдэг. Загвар нь судлаачийг судалж буй үзэгдлийн онцлог, түүний хувьслыг зохих ёсоор дамжуулах боломжийг олгодог математик хэрэгслийг сонгохыг шаарддаг. Жишээлбэл, гаригийн системийн загварыг авч үзье: нар болон гаригуудыг харгалзах масстай материаллаг цэг гэж үздэг. Хоёр цэг бүрийн харилцан үйлчлэл нь тэдгээрийн хоорондох таталцлын хүчээр тодорхойлогддог

Энд m 1 ба m 2 нь харилцан үйлчлэх цэгүүдийн масс, r нь тэдгээрийн хоорондох зай, f нь таталцлын тогтмол юм. Энэхүү загвар нь энгийн хэдий ч сүүлийн гурван зуун жилийн хугацаанд Нарны аймгийн гаригуудын хөдөлгөөний онцлогийг маш нарийвчлалтайгаар дамжуулж ирсэн.

Мэдээжийн хэрэг, загвар бүр бодит байдлыг бүдүүлэг болгодог бөгөөд судлаачийн үүрэг бол юуны түрүүнд, нэг талаас, асуудлын бодит талыг (тэдний хэлснээр түүний физик шинж чанарыг) бүрэн дүүрэн харуулсан загварыг санал болгох явдал юм. нөгөө талаас бодит байдалд ихээхэн ойртож өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, ижил үзэгдлийн хэд хэдэн математик загварыг санал болгож болно. Загвар ба бодит байдлын хооронд мэдэгдэхүйц зөрүү гарч эхлэх хүртэл тэд бүгд оршин тогтнох эрхтэй.

Математик бол бодит ертөнцийн тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн шинжлэх ухаан юм. Шинжлэх ухаан, технологийн эрэлт хэрэгцээтэй салшгүй холбоотойгоор математикийн судалдаг тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн нөөц тасралтгүй өргөжиж байгаа тул дээрх тодорхойлолтыг хамгийн ерөнхий утгаар нь ойлгох хэрэгтэй.

Математикийн хичээлийн зорилго нь ерөнхий үзэл бодол, сэтгэлгээний соёлыг нэмэгдүүлэх, шинжлэх ухааны ертөнцийг үзэх үзлийг төлөвшүүлэх явдал юм.

Математикийн бие даасан байр суурийг тусгай шинжлэх ухаан гэж ойлгох нь хангалттай том баримт материал цуглуулсны дараа боломжтой болсон бөгөөд анх удаа Эртний Грекд МЭӨ 6-5-р зууны үед үүссэн. Энэ бол анхан шатны математикийн үе эхэлсэн юм.

Энэ хугацаанд математикийн судалгаа нь эдийн засгийн амьдралын хамгийн энгийн хэрэгцээнд бий болсон үндсэн ойлголтуудын нэлээд хязгаарлагдмал нөөцийг л авч үздэг. Үүний зэрэгцээ математикийн шинжлэх ухаанд чанарын хувьд ахиц гарсан байна.

Орчин үеийн математикийг ихэвчлэн том хоттой харьцуулдаг. Энэ бол маш сайн харьцуулалт юм, учир нь математикийн хувьд том хот шиг тасралтгүй өсөлт, сайжруулалтын үйл явц байдаг. Математикийн хувьд шинэ салбарууд бий болж, шинэ хороолол, барилга байгууламж барих гэх мэт гоёмсог, гүн гүнзгий шинэ онолууд бий болж байна. Гэхдээ математикийн дэвшил зөвхөн шинээр баригдсанаар хотын өнгө төрхийг өөрчилснөөр хязгаарлагдахгүй. Бид ч гэсэн хуучнаа өөрчлөх ёстой. Хуучин онолуудыг шинэ, илүү ерөнхий онолуудад оруулсан болно; хуучин барилгуудын суурийг бэхжүүлэх шаардлагатай байна. Математикийн хотын алслагдсан хорооллуудын хооронд холбоо тогтоохын тулд шинэ гудамжуудыг тавих хэрэгтэй. Гэхдээ энэ нь хангалтгүй - архитектурын дизайн нь ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг, учир нь математикийн янз бүрийн чиглэлүүдийн олон талт байдал нь шинжлэх ухааны ерөнхий сэтгэгдлийг сүйтгэдэг төдийгүй шинжлэх ухааныг бүхэлд нь ойлгох, түүний янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын холбоог тогтооход саад учруулдаг.

Өөр нэг харьцуулалтыг ихэвчлэн ашигладаг: математикийг системтэйгээр шинэ найлзуурыг үүсгэдэг том салаалсан модтой зүйрлэдэг. Модны мөчир бүр нь математикийн нэг буюу өөр салбар юм. Салбаруудын тоо өөрчлөгдөөгүй, учир нь шинэ мөчрүүд ургаж, анх тусад нь ургасан мөчрүүд хамтдаа ургаж, зарим мөчрүүд нь шим тэжээлийн шүүсгүй болж хатаж ширгэдэг. Хоёр харьцуулалт хоёулаа амжилттай болж, бодит байдлыг маш сайн илэрхийлж байна.

Математикийн онолыг бий болгоход гоо сайхны шаардлага чухал үүрэг гүйцэтгэдэг нь эргэлзээгүй. Гоо сайхны мэдрэмж нь маш субъектив бөгөөд энэ талаар нэлээд муухай санаанууд байнга тулгардаг нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч математикчид "гоо сайхан" гэсэн ойлголтыг санал нэгтэй илэрхийлж байгааг гайхах хэрэгтэй: хэрэв цөөн тооны нөхцөл байдлаас олон төрлийн объектод хамаарах ерөнхий дүгнэлтийг гаргаж авах боломжтой бол үр дүн нь үзэсгэлэнтэй гэж тооцогддог. Математикийн гарал үүслийг энгийн бөгөөд богино үндэслэлээр математикийн чухал баримтыг нотолж чадвал үзэсгэлэнтэй гэж үздэг. Математикчийн төлөвшил, авъяас чадвар нь гоо сайхны мэдрэмж хэр хөгжсөнөөс харагддаг. Гоо зүйн хувьд бүрэн гүйцэд, математикийн хувьд төгс үр дүнг ойлгох, санах, ашиглахад хялбар байдаг; бусад мэдлэгийн салбартай тэдний харилцааг тодорхойлоход илүү хялбар байдаг.

Манай цаг үед математик нь судалгааны олон чиглэл, асар олон тооны үр дүн, арга барилтай шинжлэх ухааны салбар болжээ. Математик одоо маш том болсон тул нэг хүн бүх талаар нь багтаах боломжгүй, түүнд бүх нийтийн мэргэжилтэн байх боломжгүй юм. Түүний бие даасан чиглэлүүдийн хоорондын холбоо тасарсан нь энэ шинжлэх ухааны хурдацтай хөгжлийн сөрөг үр дагавар юм. Гэсэн хэдий ч математикийн бүх салбаруудын хөгжилд нийтлэг зүйл байдаг - хөгжлийн гарал үүсэл, математикийн модны үндэс.

Евклидийн геометр бол анхны байгалийн шинжлэх ухааны онол юм

• МЭӨ 3-р зуунд Александрид ижил нэртэй Евклидийн ном гарч ирсэн бөгөөд орос хэл дээрх "Зарчмууд" орчуулагдсан байдаг. "Электр геометр" гэсэн нэр томъёо нь "Эхлэл" гэсэн Латин нэрнээс гаралтай. Хэдийгээр Евклидийн өмнөх хүмүүсийн бүтээлүүд бидэнд хүрч ирээгүй байгаа ч бид Евклидийн элементүүдэд үндэслэн эдгээр бүтээлийн талаар тодорхой дүгнэлт хийж болно. "Зарчмууд"-д бусад хэсгүүдтэй логикийн хувьд маш бага холбоотой хэсгүүд байдаг. Тэдний гадаад төрхийг зөвхөн уламжлал ёсоор танилцуулж, Евклидийн өмнөх хүмүүсийн "элементүүд" -ийг хуулбарласантай холбон тайлбарлаж болно.

  Евклидийн элементүүд нь 13 номноос бүрдэнэ. 1-6-р номууд нь планиметрийн асуудалд зориулагдсан бол 7-10-р номууд нь луужин, захирагч ашиглан барьж болох арифметик болон харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай юм. 11-ээс 13-р номыг стереометрийн асуудалд зориулав.

  Принсипиа нь 23 тодорхойлолт, 10 аксиомын танилцуулгаас эхэлдэг. Эхний таван аксиомыг "ерөнхий ойлголт", үлдсэнийг нь "постулат" гэж нэрлэдэг. Эхний хоёр постулат нь хамгийн тохиромжтой захирагч, гурав дахь нь хамгийн тохиромжтой луужин ашиглан үйлдлийг тодорхойлдог. Дөрөвдүгээрт, "бүх тэгш өнцөгтүүд хоорондоо тэнцүү" нь үлдэгдэл аксиомуудаас дүгнэлт хийх боломжтой тул илүүц юм. Сүүлчийн тав дахь постулат нь: "Хэрэв шулуун шугам нь хоёр шулуун дээр унаж, хоёроос бага шулуун шугамын нийлбэрээр дотоод нэг талт өнцгийг үүсгэдэг бол эдгээр хоёр шулуун шугамын хязгааргүй өргөтгөлөөр тэд огтлолцоно. өнцөг нь хоёр шулуунаас бага байх тал."

  Евклидийн таван "ерөнхий ойлголт" нь урт, өнцөг, талбай, эзэлхүүнийг хэмжих зарчим юм: "тэнцүү тэнцүү нь хоорондоо тэнцүү", "тэнцүүг тэнцүү гэж нэмбэл нийлбэр нь тэнцүү", "тэнцүү бол тэнцүү". тэнцүү тооноос хасвал үлдэгдэл тэнцүү байна.” өөр хоорондоо”, “бие биетэйгээ нийлсэн нь хоорондоо тэнцүү”, “бүхэл нь хэсгээс их”.

  Дараа нь Евклидийн геометрийг шүүмжилж эхлэв. Евклидийг гурван шалтгаанаар шүүмжилсэн: тэрээр зөвхөн луужин ба захирагч ашиглан барьж болох геометрийн хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзсэн; Учир нь тэрээр геометр, арифметикийг салгаж, геометр хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд аль хэдийн нотолсон зүйлээ бүхэл тоонуудын хувьд нотолсон бөгөөд эцэст нь Евклидийн аксиомуудын хувьд. Хамгийн их шүүмжлэгдсэн постулат бол Евклидийн тав дахь, хамгийн төвөгтэй постулат байв. Олон хүмүүс үүнийг илүүц гэж үзсэн бөгөөд үүнийг бусад аксиомуудаас гаргаж болно, гаргаж болно. Бусад нь үүнийг үүнтэй дүйцэхүйц энгийн бөгөөд илүү ойлгомжтой зүйлээр солих ёстой гэж үздэг: "Шугамнаас гадуурх цэгээр дамжуулан тэдний хавтгайд өгөгдсөн шугамыг огтолдоггүй нэгээс илүү шулуун шугам зурж болохгүй."

  Геометр ба арифметикийн ялгааг шүүмжилсэн нь тооны тухай ойлголтыг бодит тоо болгон өргөжүүлэхэд хүргэсэн. Тав дахь постулаттай холбоотой маргаан нь 19-р зууны эхээр Н.И.Лобачевский, Ж.Боляй, К.Ф.Гаусс нар тав дахь постулатаас бусад тохиолдолд Евклидийн геометрийн бүх аксиомууд биелсэн шинэ геометрийг бүтээхэд хүргэсэн. Үүнийг эсрэг заалтаар сольсон: "Хавтгайд шугамын гаднах цэгээр өгөгдсөнтэй огтлолцохгүй нэгээс олон шулуун зурж болно." Энэ геометр нь Евклидийн геометртэй адил тууштай байв.

  Лобачевскийн Евклидийн хавтгай дээрх планиметрийн загварыг Францын математикч Анри Пуанкаре 1882 онд бүтээжээ.

  Евклидийн хавтгай дээр хэвтээ шугам татъя. Энэ шугамыг абсолют (x) гэж нэрлэдэг. Абсолютаас дээш байрлах Евклидийн хавтгайн цэгүүд нь Лобачевскийн хавтгайн цэгүүд юм. Лобачевскийн онгоц бол үнэмлэхүй хэмжээнээс дээгүүр байрлах нээлттэй хагас хавтгай юм. Пуанкаре загварын Евклидийн бус сегментүүд нь абсолют дээр төвлөрсөн тойргийн нумууд эсвэл абсолют (AB, CD) -д перпендикуляр шулуун шугамын сегментүүд юм. Лобачевскийн хавтгай дээрх дүрс нь үнэмлэхүй (F) дээр байрлах нээлттэй хагас хавтгайн дүрс юм. Евклидийн бус хөдөлгөөн гэдэг нь тэнхлэгүүд нь абсолюттай перпендикуляр байдаг абсолют ба тэнхлэгийн тэгш хэм дээр төвлөрсөн хязгаарлагдмал тооны урвуу эргэлтийн бүрдэл юм. Хэрэв Евклидийн бус хөдөлгөөнөөр аль нэгийг нь нөгөө рүү шилжүүлж чадвал Евклидийн бус хоёр сегмент тэнцүү байна. Эдгээр нь Лобачевскийн планиметрийн аксиоматикийн үндсэн ойлголтууд юм.

  Лобачевскийн планиметрийн бүх аксиомууд нийцтэй байна. "Евклидийн бус шулуун шугам нь төгсгөлүүд нь абсолют дээр байдаг хагас тойрог эсвэл абсолют дээр перпендикуляр, эхлэл нь туяа юм." Тиймээс Лобачевскийн параллелизмын аксиомын мэдэгдэл нь зөвхөн энэ шулуун дээр ороогүй ямар нэгэн a шулуун ба А цэгт төдийгүй ямар ч а шулуун ба түүн дээр ороогүй А цэгт хамаарна.

  Лобачевскийн геометрийн дараа бусад тууштай геометрүүд бий болсон: Евклидээс тусгаарлагдсан проекцийн геометр, олон хэмжээст Евклидийн геометр бий болсон, Риманы геометр (уртыг хэмжих дурын хуультай орон зайн ерөнхий онол) гэх мэт. Гурван хэмжээст дүрсийн шинжлэх ухаанаас. Евклидийн орон зай, геометр нь 40-50 жилийн турш янз бүрийн онолын багц болж хувирсан нь зөвхөн өвөг дээдэс болох Евклидийн геометртэй төстэй юм.

  Орчин үеийн математикийн хөгжлийн үндсэн үе шатууд. Орчин үеийн математикийн бүтэц

• Академич А.Н.Колмогоров математикийн хөгжлийн дөрвөн үеийг тодорхойлсон.Колмогоров А.Н. - Математик, Математик нэвтэрхий толь бичиг, Москва, Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг, 1988: математикийн гарал үүсэл, анхан шатны математик, хувьсагчийн математик, орчин үеийн математик.

  Анхан шатны математикийн хөгжлийн явцад тооны онол аажмаар арифметикээс гарч ирэв. Алгебрыг шууд тоолол хэлбэрээр бүтээдэг. Эртний Грекчүүдийн бүтээсэн анхан шатны геометрийн танилцуулгын систем - Евклидийн геометр нь хоёр мянган жилийн турш математикийн онолын дедуктив бүтцийн загвар болжээ.

  17-р зуунд байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн хэрэгцээ нь хөдөлгөөн, хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх үйл явц, геометрийн дүрсийг хувиргах үйл явцыг математикийн аргаар судлах боломжийг олгосон аргуудыг бий болгоход хүргэсэн. Хувьсах хэмжигдэхүүний математикийн үе нь аналитик геометрт хувьсагчийг ашиглах, дифференциал болон интеграл тооцоолол үүсгэхээс эхэлдэг. 17-р зууны агуу нээлтүүд бол Ньютон, Лейбниц нарын оруулсан хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний тухай ойлголт, хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн шинжилгээний үндэс суурийг бий болгосон (математик анализ).

  Функцийн тухай ойлголт хамгийн түрүүнд гарч ирдэг. Функц нь судалгааны гол сэдэв болдог. Функцийг судлах нь математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудад хүргэдэг: хязгаар, дериватив, дифференциал, интеграл.

  Координатын аргын тухай Р.Декартын гайхалтай санаа гарч ирсэн нь ч энэ үеэс эхтэй. Аналитик геометрийг бий болгосон бөгөөд энэ нь алгебр, шинжилгээний аргыг ашиглан геометрийн объектуудыг судлах боломжийг олгодог. Нөгөө талаас координатын арга нь алгебрийн болон аналитик баримтуудыг геометрээр тайлбарлах боломжийг нээж өгсөн.

  Математикийн цаашдын хөгжил нь 19-р зууны эхэн үед тоон харьцаа, орон зайн хэлбэрүүдийн боломжит хэлбэрийг нэлээд ерөнхий үүднээс судлах асуудлыг боловсруулахад хүргэсэн.

  Математик болон байгалийн шинжлэх ухааны хоорондын холбоо улам бүр төвөгтэй болж байна. Байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн хэрэгцээ шаардлагаас гадна математикийн дотоод хэрэгцээний үр дүнд шинэ онолууд бий болж, бий болдог. Ийм онолын гайхалтай жишээ бол Н.И.Лобачевскийн төсөөллийн геометр юм. 19-20-р зууны математикийн хөгжил нь түүнийг орчин үеийн математикийн үетэй холбох боломжийг бидэнд олгодог. Математикийн хөгжил, шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарыг математикчлах, практик үйл ажиллагааны олон салбарт математик аргууд нэвтэрч, компьютерийн технологийн дэвшил нь үйл ажиллагааны судалгаа, тоглоомын онол гэх мэт математикийн шинэ салбарууд гарч ирэхэд хүргэсэн. , математик эдийн засаг болон бусад.

  Математикийн судалгааны гол аргууд бол математикийн нотолгоо - хатуу логик үндэслэл юм. Математик сэтгэлгээ нь зөвхөн логик үндэслэлээр хязгаарлагдахгүй. Асуудлыг зөв томъёолж, түүнийг шийдвэрлэх аргын сонголтыг үнэлэхийн тулд математикийн зөн совин шаардлагатай.

  Математикийн хувьд объектын математик загварыг судалдаг. Ижил математик загвар нь бие биенээсээ хол байгаа бодит үзэгдлийн шинж чанарыг тодорхойлж чадна. Ийнхүү ижил дифференциал тэгшитгэл нь хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задралын үйл явцыг дүрсэлж болно. Математикчийн хувьд чухал зүйл бол авч үзэж буй объектуудын мөн чанар биш, харин тэдгээрийн хоорондын харилцаа холбоо юм.

  Математикт дедукц ба индукц гэсэн хоёр төрлийн дүгнэлтийг ашигладаг.

  Индукц гэдэг нь тодорхой байр суурин дээр үндэслэн ерөнхий дүгнэлт гаргах судалгааны арга юм.

  Дедукц гэдэг нь ерөнхий үндэслэлээс тодорхой дүгнэлт гаргах үндэслэлийн арга юм.

  Математик нь шинжлэх ухаан, инженерчлэл, хүмүүнлэгийн ухааны салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Математик нь мэдлэгийн янз бүрийн салбаруудад нэвтэрч буй шалтгаан нь бусад шинжлэх ухааны санал болгож буй ерөнхий бус, тодорхой бус загваруудаас ялгаатай нь хүрээлэн буй бодит байдлыг судлах маш тодорхой загваруудыг санал болгодог. Орчин үеийн математик хөгжсөн логик болон тооцоолох төхөөрөмжгүйгээр хүний ​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт ахиц дэвшил гарах боломжгүй юм.

  Математик бол хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх хүчирхэг хэрэгсэл, шинжлэх ухааны бүх нийтийн хэл төдийгүй ерөнхий соёлын элемент юм.

  Математик сэтгэлгээний үндсэн шинж чанарууд

• Энэ асуудалд А.Я.Хинчиний өгсөн математик сэтгэлгээний шинж чанар, эс тэгвээс түүний түүхэн өвөрмөц хэлбэр болох математик сэтгэлгээний хэв маяг онцгой анхаарал татаж байна. Математик сэтгэлгээний хэв маягийн мөн чанарыг илчлэхдээ тэрээр энэ хэв маягийг бусад шинжлэх ухааны сэтгэлгээний хэв маягаас эрс ялгаж өгдөг бүх цаг үеийн нийтлэг дөрвөн шинж чанарыг тодорхойлсон.

  Нэгдүгээрт, математикч нь үндэслэлийн логик схемийн давамгайллаар тодорхойлогддог бөгөөд хязгаарт хүрсэн байдаг. Энэ бүдүүвчийг түр ч болов мартаж орхисон математикч ерөнхийдөө шинжлэх ухааны үүднээс сэтгэх боломжоо хасдаг. Математик сэтгэлгээний хэв маягийн энэхүү өвөрмөц шинж чанар нь түүнд маш их ач холбогдолтой юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бодлын урсгалын зөв байдлыг дээд зэргээр хянах боломжийг олгодог бөгөөд алдаанаас хамгаалах баталгаа юм; нөгөө талаас, энэ нь сэтгэгчийг дүн шинжилгээ хийхдээ бүх боломжит боломжуудыг түүний нүдний өмнө байлгахыг албаддаг бөгөөд нэгийг нь ч алдахгүйгээр тус бүрийг нь харгалзан үзэхийг үүрэг болгодог (ийм орхигдол нь нэлээд боломжтой бөгөөд үнэн хэрэгтээ). , сэтгэлгээний бусад хэв маягт ихэвчлэн ажиглагддаг).

  Хоёрдугаарт, лаконизм, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн зорилгод хүрэх хамгийн богино логик замыг үргэлж олох гэсэн ухамсартай хүсэл, маргааныг төгс ашиг тустай болгоход зайлшгүй шаардлагатай бүх зүйлийг өршөөлгүйгээр үгүйсгэх. Сайн хэв маягийн математикийн эссэ нь ямар ч "ус", гоёл чимэглэлгүй, шуугиан дэгдээх логик хурцадмал байдлыг сулруулж, анхаарал сарниулахыг тэвчихгүй; Хэт хянуур, хатуу сэтгэлгээ, түүний илэрхийлэл нь математик сэтгэлгээний салшгүй шинж чанарыг бүрдүүлдэг. Энэ шинж чанар нь зөвхөн математикийн хувьд төдийгүй бусад ноцтой үндэслэлүүдийн хувьд маш их ач холбогдолтой юм. Лаконизм, шаардлагагүй бүх зүйлээс зайлсхийх хүсэл нь сэтгэгч өөрөө болон түүний уншигч, сонсогчдод аль алинд нь өгөгдсөн бодлын галт тэргэнд анхаарлаа төвлөрүүлэхэд тусалдаг бөгөөд энэ нь хажуугийн санаануудад сатааралгүй, үндэслэлийн үндсэн шугамтай шууд холбоо тасрахгүй.

  Шинжлэх ухааны нэрт зүтгэлтнүүд дүрмээр бол мэдлэгийн бүхий л салбарт, тэр ч байтугай сэтгэлгээ нь тэдгээрийг бий болгож, зарчмын шинэ санаа дэвшүүлсэн ч гэсэн товчхон сэтгэж, илэрхийлдэг. Жишээлбэл, физикийн агуу бүтээгчид болох Ньютон, Эйнштейн, Нильс Бор нарын сэтгэлгээ, ярианы эрхэм шунал нь ямар гайхалтай сэтгэгдэл төрүүлдэг вэ! Шинжлэх ухааны хөгжилд түүнийг бүтээгчдийн сэтгэлгээний хэв маяг ямар гүн гүнзгий нөлөө үзүүлж болохыг харуулсан илүү тод жишээг олоход хэцүү байж магадгүй юм.

  Математикийн хувьд бодлын лаконикизм нь маргаангүй хууль бөгөөд олон зууны турш канончлогдсон байдаг. Заавал шаардлагагүй зураг, анхаарлыг сарниулах, шуугиан дэгдээх (сонсогчдод тааламжтай, сэтгэл татам байсан ч) илтгэлдээ ачаалал өгөх аливаа оролдлогыг урьдаас хууль ёсны хардлагад оруулж, автоматаар шүүмжлэлтэй ханддаг.

  Гуравдугаарт, сэтгэхүйн явцын тодорхой хуваагдал. Жишээлбэл, саналыг нотлохдоо бид дөрвөн боломжит тохиолдлыг авч үзэх ёстой бөгөөд тус бүрийг нь нэг юмуу өөр тооны дэд үгэнд хувааж болох юм бол математикч дүгнэлт хийх мөч бүрт түүний бодол ямар тохиолдолд, дэд үг болохыг тодорхой санах ёстой. Одоо олж авсан бөгөөд түүнд ямар хэрэг, дэд хэргийг авч үзэх шаардлагатай хэвээр байна. Ямар ч төрлийн салаалсан тооллогын хувьд математикч түүнийг бүрдүүлсэн зүйлийн үзэл баримтлалыг аль ерөнхий ойлголтын төлөө тоолж байгаагаа цаг мөч бүрт мэдэж байх ёстой. Энгийн, шинжлэх ухааны бус сэтгэлгээний хувьд бид ийм тохиолдлуудад төөрөгдөл, үсрэлтүүдийг маш олон удаа ажиглаж, төөрөгдөл, сэтгэхүйн алдаа гаргахад хүргэдэг. Хүн нэг төрөл зүйлийн төрлийг жагсааж эхэлдэг бөгөөд дараа нь сонсогчдод (мөн ихэнхдээ өөртөө) учир шалтгааны логик тодорхой бус байдлыг далимдуулан өөр төрөлд шилжиж, дараахь хэллэгээр төгсдөг. одоо хоёуланг нь ангилсан; мөн сонсогчид эсвэл уншигчид эхний болон хоёр дахь төрлийн зүйлийн хоорондох хил хязгаар хаана байдгийг мэддэггүй.

  Ийм төөрөгдөл, үсрэлт хийх боломжгүй болгохын тулд математикчид эрт дээр үеэс үзэл баримтлал, дүгнэлтийг дугаарлах энгийн гадаад аргуудыг өргөн ашигладаг бөгөөд заримдаа бусад шинжлэх ухаанд ашигладаг (гэхдээ хамаагүй бага байдаг). Өгөгдсөн аргументад авч үзэх шаардлагатай тэдгээр боломжит тохиолдлууд эсвэл ерөнхий ойлголтуудыг урьдчилан дугаарласан; Ийм тохиолдол бүрийн дотор түүнд агуулагдах зохих дэд үсгүүдийг дахин дугаарласан байдаг (заримдаа ялгах үүднээс бусад дугаарлалтын системийг ашиглан). Шинэ дэд үсгийг авч үзэж эхлэх догол мөр бүрийн өмнө энэ дэд үсгийн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг байрлуулна (жишээлбэл: II 3 - энэ нь энд хоёр дахь хэргийн гурав дахь дэд хэргийг авч үзэх эсвэл гурав дахь хэсгийн тайлбарыг эндээс эхлүүлнэ гэсэн үг юм. Хэрэв бид ангиллын тухай ярьж байгаа бол хоёр дахь төрлийн төрөл). Уншигч түүнийг шинэ тоон хүснэгттэй тулгарах хүртлээ дурдсан бүх зүйл зөвхөн энэ тохиолдол болон дэд үсэгт хамаарна гэдгийг мэддэг. Ийм дугаарлалт нь зөвхөн гадаад төхөөрөмжийн үүрэг гүйцэтгэдэг, маш ашигтай, гэхдээ заавал байх албагүй бөгөөд асуудлын мөн чанар нь үүн дотор биш, харин маргаан, ангиллыг өдөөж, өдөөж, тэмдэглэдэг тодорхой хуваагдалд оршдог нь ойлгомжтой. .

  Дөрөвдүгээрт, бэлгэдэл, томъёо, тэгшитгэлийн нарийн нарийвчлал. Өөрөөр хэлбэл, "математикийн тэмдэг бүр нь хатуу тодорхойлсон утгатай байдаг: үүнийг өөр тэмдэгээр солих эсвэл өөр газар байрлуулах нь дүрмээр бол өгөгдсөн мэдэгдлийн утгыг гажуудуулах, заримдаа бүрмөсөн устгахад хүргэдэг."

  Математик сэтгэлгээний хэв маягийн гол онцлогуудыг онцлон тэмдэглээд А.Я.Хинчин математик (ялангуяа хувьсагчийн математик) нь диалектик шинж чанартай тул диалектик сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг гэж тэмдэглэжээ. Үнэн хэрэгтээ математик сэтгэлгээний явцад харааны (бетон) ба үзэл баримтлалын (хийсвэр) харилцан үйлчлэл байдаг. "Бид зураасыг оюун ухаанаараа зурахгүйгээр төсөөлж чадахгүй, нэг цэгээс бие биедээ перпендикуляр гурван шугам татахгүйгээр гурван хэмжээстийн талаар бодож чадахгүй" гэж Кант бичжээ.

  Бетон ба хийсвэр математик сэтгэлгээний харилцан үйлчлэл нь шинэ, шинэ үзэл баримтлал, философийн категорийг хөгжүүлэхэд хүргэсэн. Эртний математикт (тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийн математик) эдгээр нь "тоо" ба "орон зай" байсан бөгөөд эдгээр нь эхлээд арифметик болон евклидийн геометр, дараа нь алгебр болон янз бүрийн геометрийн системд тусгагдсан байдаг. Хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн математик нь материйн хөдөлгөөнийг тусгасан "хязгаарлагдмал", "хязгааргүй", "тасралтгүй байдал", "дискрет", "хязгааргүй жижиг", "үүсмэл" гэх мэт ойлголтуудад "үндсэн" байв.

  Хэрэв бид математикийн мэдлэгийн хөгжлийн орчин үеийн түүхэн үе шатыг ярих юм бол энэ нь философийн категорийн цаашдын хөгжилд нийцдэг: магадлалын онол нь боломжит болон санамсаргүй гэсэн категорийг "эзэмшдэг"; топологи - харилцаа холбоо ба тасралтгүй байдлын ангилал; сүйрлийн онол - үсрэлтийн ангилал; бүлгийн онол - тэгш хэм ба эв нэгдлийн ангилал гэх мэт.

  Математик сэтгэлгээ нь хэлбэрийн хувьд ижил төстэй логик холболтыг бий болгох үндсэн зарчмуудыг илэрхийлдэг. Үүний тусламжтайгаар хувь хүнээс (жишээлбэл, математикийн зарим аргуудаас - аксиоматик, алгоритмын, конструктив, олонлогийн онолын болон бусад) тусгай ба ерөнхий, ерөнхий дедуктив байгууламж руу шилждэг. Математикийн арга, сэдвийн нэгдмэл байдал нь математик сэтгэлгээний өвөрмөц байдлыг тодорхойлж, зөвхөн бодит байдлыг тусгах төдийгүй шинжлэх ухааны мэдлэгийг нэгтгэх, ерөнхийлэх, урьдчилан таамаглах тусгай математик хэлний тухай ярих боломжийг бидэнд олгодог. Математик сэтгэлгээний хүч чадал, гоо үзэсгэлэн нь түүний логикийн туйлын тод байдал, дизайны дэгжин байдал, хийсвэрлэлийг чадварлаг бүтээхэд оршдог.

  Компьютерийг зохион бүтээж, машин математикийг бий болгосноор сэтгэцийн үйл ажиллагааны үндсэн шинэ боломжууд нээгдэв. Математикийн хэлэнд томоохон өөрчлөлт гарсан. Хэрэв сонгодог тооцооллын математикийн хэл нь алгебр, геометр, анализын томъёоноос бүрдэж, үндсэндээ механик, одон орон, физикийн чиглэлээр судлагдсан байгалийн тасралтгүй үйл явцын дүрслэлд төвлөрч байсан бол түүний орчин үеийн хэл нь алгоритм, программын хэл юм. , тодорхой тохиолдол болгон томъёоны хуучин хэлийг багтаасан.

  Орчин үеийн тооцооллын математикийн хэл нь нарийн төвөгтэй (олон параметрт) системийг дүрслэх чадвартай, улам бүр түгээмэл болж байна. Үүний зэрэгцээ электрон тооцоолох технологиор сайжруулсан математик хэл хичнээн төгс байсан ч олон янзын "амьд", байгалийн хэлтэй холбоогоо тасалдаггүй гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна. Тэгээд ч ярианы хэл нь зохиомол хэлний үндэс болдог. Үүнтэй холбоотойгоор саяхан эрдэмтдийн хийсэн нээлт сонирхол татаж байна. Гол нь Боливи, Перугийн 2.5 сая орчим хүн ярьдаг Аймара индианчуудын эртний хэл нь компьютерт маш ээлтэй болох нь батлагдсан. 1610 онд анхны Аймара толь бичгийг зохиосон Италийн иезуит номлогч Людовико Бертони логикийн өндөр цэвэршилтийг олж авсан бүтээгчдийн суут ухааныг тэмдэглэжээ. Жишээлбэл, Аймарад жигд бус үйл үг байдаггүй бөгөөд дүрмийн цөөн хэдэн тодорхой дүрмээс үл хамаарах зүйл байдаггүй. Аймара хэлний эдгээр шинж чанарууд нь Боливийн математикч Иван Гузман де Рохаст хөтөлбөрт багтсан Европын таван хэлний аль нэгээс компьютерийн нэгэн зэрэг орчуулах системийг бий болгох боломжийг олгосон бөгөөд тэдгээрийн хоорондох "гүүр" нь Аймара хэл юм. Боливийн эрдэмтний бүтээсэн Аймара компьютерийг мэргэжилтнүүд өндөр үнэлжээ. Математик сэтгэлгээний мөн чанарын талаархи асуултын энэ хэсгийг нэгтгэн дүгнэхэд түүний гол агуулга нь байгалийн тухай ойлголт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Аксиоматик арга

• Аксиоматик бол эрт дээр үеэс өнөөг хүртэл онолыг бий болгох гол арга зам бөгөөд түүний түгээмэл байдал, бүх хэрэглээг баталгаажуулдаг.

  Математикийн онолыг бүтээх нь аксиоматик арга дээр суурилдаг. Шинжлэх ухааны онол нь аксиом гэж нэрлэгддэг анхны тодорхой заалтууд дээр суурилдаг бөгөөд онолын бусад бүх заалтуудыг аксиомуудын логик үр дагавар болгон олж авдаг.

  Аксиоматик арга нь Эртний Грекд гарч ирсэн бөгөөд одоогоор бараг бүх онолын шинжлэх ухаанд, тэр дундаа математикт хэрэглэгддэг.

  Эвклид (параболик), Лобачевский (гипербол) ба Риман (зууван) гэсэн гурвыг тодорхой хэмжээгээр харьцуулж үзвэл бөмбөрцөг геометрийн хооронд зарим ижил төстэй зүйлсийн зэрэгцээ нэг талаас том ялгаа байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. , мөн Евклид ба Лобачевскийн геометрүүд - нөгөө талд.

  Орчин үеийн геометрийн үндсэн ялгаа нь одоо хязгааргүй олон янзын төсөөллийн орон зайн "геометр"-ийг хамарч байгаа явдал юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх геометрүүд нь Евклидийн геометрийн тайлбарууд бөгөөд Евклидийн анх ашигласан аксиоматик аргад үндэслэсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Судалгааны үндсэн дээр аксиоматик аргыг боловсруулж өргөнөөр ашигласан. Энэ аргыг хэрэглэх онцгой тохиолдол бол стереометрийн ул мөрийн арга бөгөөд энэ нь олон талт хэсгүүдийг барих асуудал болон бусад байрлалын асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

  Геометрийн салбарт анх бий болсон аксиоматик арга нь одоо математик, физик, механикийн бусад салбаруудад судлах чухал хэрэгсэл болжээ. Одоогоор онолыг бий болгох аксиоматик аргыг боловсронгуй болгох, илүү гүнзгий судлах ажил хийгдэж байна.

  Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга нь үндсэн ойлголтуудыг тусгаарлах, онолын аксиомуудыг томъёолох, бусад бүх мэдэгдлийг логикоор, тэдгээрт үндэслэн дүгнэлт гаргахад оршино. Нэг ойлголтыг бусдын тусламжтайгаар тайлбарлах ёстой бөгөөд энэ нь эргээд зарим сайн мэддэг ойлголтуудын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Тиймээс бид бусдаар тодорхойлох боломжгүй энгийн ойлголтуудад хүрдэг. Эдгээр ойлголтуудыг үндсэн гэж нэрлэдэг.

  Бид мэдэгдэл, теоремыг батлахдаа аль хэдийн батлагдсан гэж үзсэн үндэслэлд тулгуурладаг. Гэхдээ эдгээр байр суурь нь бас нотлогдсон тул тэдгээрийг зөвтгөх ёстой байв. Эцсийн эцэст бид нотлох боломжгүй мэдэгдэлд хүрч, нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг. Эдгээр мэдэгдлийг аксиом гэж нэрлэдэг. Аксиомуудын багц нь үүн дээр үндэслэн цаашдын мэдэгдлийг батлах боломжтой байх ёстой.

  Үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлж, аксиомуудыг томъёолсны дараа бид теоремууд болон бусад ойлголтуудыг логик аргаар гаргаж авдаг. Энэ бол геометрийн логик бүтэц юм. Планиметрийн үндэс суурийг аксиом ба үндсэн ойлголтууд бүрдүүлдэг.

  Бүх геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг тодорхойлолтыг өгөх боломжгүй тул геометрийн үндсэн ойлголтыг энэ геометрийн аксиомыг хангасан аливаа шинж чанартай объект гэж тодорхойлох хэрэгтэй. Тиймээс геометрийн системийг аксиоматик байгуулахдаа бид аксиомын тодорхой систем буюу аксиоматикаас эхэлдэг. Эдгээр аксиомууд нь геометрийн системийн үндсэн ойлголтуудын шинж чанарыг тодорхойлдог бөгөөд бид үндсэн ойлголтуудыг аксиомд заасан шинж чанартай аливаа шинж чанартай объект хэлбэрээр илэрхийлж болно.

  Эхний геометрийн мэдэгдлүүдийг томъёолж, нотолсны дараа зарим мэдэгдлийг (теорем) бусдын тусламжтайгаар батлах боломжтой болно. Олон теоремуудын нотолгоог Пифагор, Демокрит нартай холбодог.

  Хиосын Гиппократ тодорхойлолт, аксиом дээр үндэслэн геометрийн анхны системчилсэн хичээлийг эмхэтгэсэн гэж үздэг. Энэ курс болон түүний дараагийн эмчилгээг "Элементүүд" гэж нэрлэдэг.

  Шинжлэх ухааны онолыг бий болгох аксиоматик арга

• Шинжлэх ухааныг бий болгох дедуктив эсвэл аксиоматик аргыг бий болгох нь математикийн сэтгэлгээний хамгийн том ололтуудын нэг юм. Энэ нь олон үеийн эрдэмтдийн хөдөлмөрийг шаарддаг.

  Үзүүлэнгийн дедуктив системийн гайхамшигтай шинж чанар нь энэхүү барилгын энгийн байдал бөгөөд үүнийг цөөн үгээр тайлбарлах боломжийг олгодог.

  Илтгэлийн дедуктив систем нь дараахь зүйлийг агуулна.

  1) үндсэн ойлголтуудын жагсаалтад,

  2) тодорхойлолтыг танилцуулах,

  3) аксиомуудыг танилцуулах,

  4) теоремуудыг танилцуулах,

  5) эдгээр теоремуудын баталгаа.

  Аксиом бол нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн мэдэгдэл юм.

  Теорем гэдэг нь аксиомуудаас үүссэн мэдэгдэл юм.

  Нотолгоо нь дедуктив системийн салшгүй хэсэг бөгөөд уг мэдэгдлийн үнэн нь өмнөх теоремууд эсвэл аксиомуудын үнэнээс логикоор дагалддаг болохыг харуулсан үндэслэл юм.

  Дедуктив системийн хүрээнд хоёр асуултыг шийдвэрлэх боломжгүй: 1) үндсэн ойлголтуудын утгын тухай, 2) аксиомуудын үнэний тухай. Гэхдээ энэ нь эдгээр асуултуудыг бүрэн шийдвэрлэх боломжгүй гэсэн үг биш юм.

  Байгалийн шинжлэх ухааны түүхээс харахад тодорхой шинжлэх ухааныг аксиоматик бүтээх боломж нь зөвхөн энэ шинжлэх ухааны хөгжлийн нэлээд өндөр түвшинд, асар их хэмжээний баримт материалд үндэслэн гарч ирдэг бөгөөд энэ нь үндсэн шинж чанарыг тодорхой тодорхойлох боломжийг олгодог. энэ шинжлэх ухааны судалж буй объектуудын хоорондын холбоо, харилцаа холбоо.

  Математикийн шинжлэх ухааны аксиоматик бүтцийн жишээ бол энгийн геометр юм. Геометрийн аксиомын системийг Евклид (МЭӨ 300 орчим) "Зарчмууд" хэмээх бүтээлдээ ач холбогдлоор нь давж гарахгүй гэж тодорхойлсон байдаг. Энэхүү систем нь өнөөг хүртэл үндсэн шинж чанараараа хадгалагдан үлджээ.

  Үндсэн ойлголтууд: цэг, шулуун, хавтгай, үндсэн дүрс; хооронд хэвтэх, хамаарах, хөдөлгөөн.

  Анхан шатны геометр нь таван бүлэгт хуваагддаг 13 аксиомтой. Тавдугаар бүлэгт параллелуудын тухай нэг аксиом байдаг (Евклидийн V постулат): хавтгай дээрх цэгээр өгөгдсөн шугамыг огтлолцохгүй зөвхөн нэг шулуун шугам зурж болно. Энэ бол нотлох баримт шаарддаг цорын ганц аксиом юм. Тав дахь постулатыг нотлох оролдлого нь математикчдыг 2 мянга гаруй жилийн турш, 19-р зууны эхний хагас хүртэл, өөрөөр хэлбэл. Николай Иванович Лобачевский эдгээр оролдлогууд бүрэн найдваргүй болохыг бүтээлдээ нотлох хүртэл. Одоогийн байдлаар тав дахь постулатын батлагдаагүй байдал нь математикийн хатуу нотлогдсон баримт юм.

  Зэрэгцээ тухай аксиом N.I. Лобачевский үүнийг аксиомоор сольсон: Өгөгдсөн хавтгайд шулуун ба шулуун шугамын гадна байрлах цэгийг өгье. Энэ цэгээр дамжуулан дор хаяж хоёр зэрэгцээ шугамыг өгөгдсөн шугам руу татаж болно.

  Аксиомын шинэ системээс N.I. Лобачевский өөгүй логик хатуугаар Евклидийн бус геометрийн агуулгыг бүрдүүлдэг теоремуудын эв нэгдэлтэй системийг гаргаж ирэв. Логик систем болох Евклид ба Лобачевскийн геометрийн аль аль нь тэнцүү байна.

  19-р зууны гурван агуу математикч бараг нэгэн зэрэг бие биенээсээ үл хамааран тавдугаар постулатын батлагдаагүй байдал, Евклидийн бус геометрийг бий болгосны үр дүнд ижил үр дүнд хүрсэн.

  Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

  Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

  Янош Боляй (1802-1860)

  Математикийн нотолгоо

• Математикийн судалгааны гол арга бол математикийн нотолгоо - хатуу логик үндэслэл юм. Объектив шаардлагаас үүдэн Оросын ШУА-ийн корреспондент гишүүн Л.Д.Кудрявцев Л.Д. - Орчин үеийн математик ба түүний сургаал, Москва, Наука, 1985, логик үндэслэл (энэ нь мөн чанараараа, хэрэв зөв бол хатуу) математикийн аргыг төлөөлдөг бөгөөд тэдгээргүйгээр математикийг төсөөлөхийн аргагүй юм. Математик сэтгэлгээ нь зөвхөн логик үндэслэлээр хязгаарлагдахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Асуудлыг зөв томъёолох, түүний өгөгдлийг үнэлэх, чухал зүйлийг тодорхойлох, түүнийг шийдвэрлэх арга замыг сонгохын тулд математикийн зөн совин шаардлагатай бөгөөд энэ нь хүссэн үр дүнг олж авахаас өмнө урьдчилан харж, хэрэгжүүлэх замыг тодорхойлох боломжийг олгодог. үндэслэлтэй үндэслэлийг ашиглан судалгаа хийх. Гэхдээ авч үзэж буй баримтын үнэн зөв нь үүнийг хэд хэдэн жишээн дээр турших замаар биш, хэд хэдэн туршилт хийх замаар биш (энэ нь математикийн судалгаанд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг), харин цэвэр логик аргаар нотлогддог. албан ёсны логикийн хуулиуд.

  Математикийн нотолгоо бол эцсийн үнэн гэж үздэг. Цэвэр логик дээр үндэслэсэн шийдвэр буруу байж болохгүй. Гэвч шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикчдийн өмнө тулгамдаж буй ажлууд улам төвөгтэй болж байна.

  АНУ-ын Калифорнийн Стэнфордын Их Сургуулийн Кейт Дэвлин "Бид математикийн аппарат маш нарийн төвөгтэй, нүсэр болсон эрин үе рүү орлоо. Энэ нь эхлээд харахад тулгараад байгаа асуудал үнэн эсэхийг хэлэх боломжгүй болсон" гэж үзэж байна. Тэрээр 1980 онд томъёолсон "энгийн хязгаарлагдмал бүлгүүдийн ангилал"-ыг жишээ болгон дурдсан боловч яг нарийн нотолгоо хараахан өгөөгүй байна. Теорем нь үнэн байх магадлалтай, гэхдээ яг тодорхой хэлэх боломжгүй юм.

  Компьютерийн шийдлийг үнэн зөв гэж нэрлэх боломжгүй, учир нь ийм тооцоололд үргэлж алдаа гардаг. 1998 онд Хейлс 1611 онд томъёолсон Кеплерийн теоремын компьютерийн шийдлийг санал болгов. Энэ теорем нь сансар огторгуйд хамгийн нягт савласан бөмбөгийг дүрсэлдэг. Нотлох баримтыг 300 хуудсанд багтаасан бөгөөд 40,000 мөрийн машины кодыг агуулсан байв. 12 хянагч уг шийдлийг нэг жилийн турш шалгасан боловч нотлох баримтын үнэн зөв эсэхэд 100% итгэж чадаагүй тул судалгааг дахин хянан үзэхээр явуулсан. Үүний үр дүнд энэ нь зөвхөн дөрвөн жилийн дараа, шүүмжлэгчдийн бүрэн баталгаажуулалтгүйгээр хэвлэгджээ.

  Хэрэглээний асуудлуудын сүүлийн үеийн бүх тооцоог компьютер дээр хийдэг боловч эрдэмтэд илүү найдвартай байхын тулд математик тооцооллыг алдаагүй гаргах ёстой гэж эрдэмтэд үзэж байна.

  Нотлох онолыг логикоор боловсруулсан бөгөөд энэ нь дипломын ажил (нотлох ёстой зүйл), аргумент (баримтуудын багц, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үзэл баримтлал, хууль гэх мэт) ба үзүүлэн үзүүлэх (харгалзах журам) гэсэн гурван бүтцийн бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулдаг. нотлох баримтыг боловсруулах; n-р дүгнэлт нь n+1-р дүгнэлтийн нэг байр болох үед дараалсан гинжин дүгнэлт. Баталгаажуулах дүрмийг онцолж, боломжит логик алдааг зааж өгсөн болно.

  Математикийн нотолгоо нь албан ёсны логикоор тогтоосон зарчмуудтай ижил төстэй зүйл юм. Түүгээр ч зогсохгүй логик дахь нотлох процедурыг хөгжүүлэх үндэс суурь нь үндэслэл, үйл ажиллагааны математик дүрмүүд байсан нь ойлгомжтой. Ялангуяа албан ёсны логик үүссэн түүхийг судлаачид нэгэн цагт Аристотель логикийн хууль тогтоомж, дүрмийг бий болгох анхны алхмуудыг хийхдээ математик, хуулийн үйл ажиллагааны практикт хандсан гэж үздэг. Эдгээр эх сурвалжаас тэрээр төлөвлөсөн онолоо логикоор бүтээх материалыг олсон.

  20-р зуунд нотлох тухай ойлголт хатуу утгаа алдсан бөгөөд энэ нь олонлогийн онолд нуугдаж буй логик парадоксуудыг нээсэнтэй холбоотой, ялангуяа К.Гөделийн теоремуудын албан ёсны бүрэн бус байдлын талаархи үр дүнтэй холбоотой юм.

  Юуны өмнө энэ нь математикт өөрөө нөлөөлсөн бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор "баталгаа" гэсэн нэр томъёо нь нарийн тодорхойлолтгүй гэсэн итгэл үнэмшилтэй болсон. Гэхдээ ийм үзэл бодол (энэ нь өнөөг хүртэл хэвээр байгаа) математикт өөрөө нөлөөлж байвал тэд нотлох баримтыг логик-математик утгаараа биш, харин сэтгэлзүйн утгаараа хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг. Түүгээр ч барахгүй үүнтэй төстэй үзэл бодол Аристотельд байдаг бөгөөд тэрээр нотлох нь биднийг ямар нэг зүйлийн зөв гэдэгт итгүүлэхийн тулд биднийг итгүүлэхүйц үндэслэлийг хэрэгжүүлэх гэсэн үг гэж үздэг. Бид А.Е.Есенин-Волпиноос сэтгэл зүйн хандлагын тодорхой сүүдэрийг олж хардаг. Тэрээр үнэнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөхийг эрс эсэргүүцэж, үүнийг итгэлийн үйлдэлтэй холбож, цааш нь: "Би шүүлтийн нотлох баримтыг шударга хүлээн авалт гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь шүүлтийг үгүйсгэх аргагүй юм." Есенин-Волпин түүний тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна гэж мэдэгдэв. Үүний зэрэгцээ, нотлох баримтыг "шударга хүлээн авах" гэж тодорхойлсон нь ёс суртахуун, сэтгэлзүйн үнэлгээнд хандах хандлагыг илтгэхгүй гэж үү?

  Үүний зэрэгцээ олонлогийн онолын парадоксуудыг нээж, Годелийн теоремууд гарч ирсэн нь зөн билэгчид, ялангуяа конструктивист чиглэлийн математик нотлох онолыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан бөгөөд Д.Хилберт.

  Заримдаа математикийн нотолгоо нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд шинжлэх ухааны нотлох баримтын хамгийн тохиромжтой хувилбар гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц арга биш бөгөөд нотолгоонд суурилсан журам, үйл ажиллагааны өөр аргууд байдаг. Математикийн баталгаа нь байгалийн шинжлэх ухаанд хэрэгждэг албан-логик нотлох баримттай ижил төстэй олон талтай, математикийн баталгаа нь тодорхой онцлог шинж чанартай, түүнчлэн олон арга техник, үйлдлүүдийг агуулсан байдаг нь зөвхөн үнэн юм. Бид тэнд зогсох бөгөөд үүнийг нотлох бусад хэлбэрүүдтэй ижил төстэй болгодог нийтлэг шинж чанаруудыг орхих болно, өөрөөр хэлбэл алгоритм, дүрэм, алдаа гэх мэт бүх үе шатыг (гол ч гэсэн) өргөжүүлэхгүйгээр. нотлох үйл явц.

  Математикийн нотолгоо гэдэг нь аливаа мэдэгдлийн үнэнийг (мэдээжийн хэрэг математикийн хувьд, өөрөөр хэлбэл таамаглаж болохуйц утгаар) нотлох зорилготой үндэслэл юм.

  Математикийн онолын аксиоматик бүтэц бий болсноор нотлоход ашигладаг дүрмийн багц бий болсон. Энэ нь Евклидийн геометрт хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн дүүрэн хэрэгжсэн. Түүний "Principia" нь математикийн мэдлэгийн аксиоматик зохион байгуулалтын нэг төрлийн загвар стандарт болж, математикчдад удаан хугацаагаар хэвээр үлджээ.

  Тодорхой дарааллын хэлбэрээр танилцуулсан мэдэгдэл нь логик үйлдлийн дүрмийн дагуу нотлогдсон гэж үзсэн дүгнэлтийг баталгаажуулах ёстой. Тодорхой үндэслэл нь зөвхөн тодорхой аксиоматик системийн талаархи нотолгоо гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Математикийн нотолгоог тодорхойлохдоо хоёр үндсэн шинж чанарыг ялгаж үздэг. Юуны өмнө, математик нотолгоо нь эмпирик нотолгоонд хамаарах аливаа ишлэлийг хасдаг. Дүгнэлтийн үнэнийг зөвтгөх бүх процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиоматикийн хүрээнд явагддаг. Энэ талаар академич А.Д.Александров онцолж байна. Та гурвалжны өнцгийг хэдэн мянган удаа хэмжиж, 2d-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай. Гэхдээ та математикийн тусламжтайгаар юу ч баталж чадахгүй. Хэрэв та дээрх мэдэгдлийг аксиомуудаас гаргаж авбал түүнд үүнийг баталж чадна. Дахин хэлье. Энд математик нь схоластикизмын аргуудтай ойрхон байдаг бөгөөд энэ нь туршилтаар өгөгдсөн баримт дээр үндэслэсэн аргументуудыг үндсээр нь үгүйсгэдэг.

  Жишээлбэл, сегментүүдийн харьцуулшгүй байдлыг олж илрүүлэхэд энэ теоремыг батлахдаа физик туршилтад хандахыг хассан, учир нь нэгдүгээрт, "хэмцэтгэх чадваргүй" гэсэн ойлголт нь физикийн утгагүй, хоёрдугаарт, математикчид үүнийг шийдвэрлэхдээ үүнийг хийж чадахгүй байсан. хийсвэрлэлээр, мэдрэхүйн болон харааны аргаар хэмжсэн материаллаг бетоны өргөтгөлүүдийг татах. Квадратын тал ба диагональуудын харьцуулшгүй байдал нь гипотенузын квадратын (тус тус бүр диагональ) хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх тухай Пифагорын теоремыг ашиглан бүхэл тоонуудын шинж чанарт үндэслэн нотлогддог. (тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр тал). Эсвэл Лобачевский одон орны ажиглалтын үр дүнд хандаж, геометрээ батлахыг эрэлхийлэх үед энэ баталгаажуулалтыг зөвхөн таамаглалын аргаар хийсэн. Кэйли-Клейн, Белтрами нарын хийсэн Евклидийн бус геометрийн тайлбарууд нь физик биш харин математикийн шинж чанартай байдаг.

  Математикийн нотолгооны хоёрдахь шинж чанар нь бусад шинжлэх ухааны нотолгооны процедураас ялгаатай нь түүний хамгийн хийсвэр чанар юм. Дахин хэлэхэд, математикийн объектын тухай ойлголтын хувьд бид зөвхөн хийсвэрлэлийн зэрэг төдийгүй түүний мөн чанарын тухай ярьж байна. Баримт нь нотолгоо нь бусад хэд хэдэн шинжлэх ухаанд, жишээлбэл, физик, сансар судлал, мэдээжийн хэрэг философи зэрэгт хийсвэрлэлийн өндөр түвшинд хүрдэг, учир нь сүүлчийн сэдэв нь оршихуй, сэтгэлгээний эцсийн асуудал юм. Математик нь хувьсагчид энд үйлчилдгээрээ ялгагдах бөгөөд утга нь аливаа тодорхой шинж чанараас хийсвэрлэлд оршдог. Тодорхойлолтоор хувьсагч нь өөрөө утгагүй шинж тэмдэг бөгөөд зөвхөн тодорхой объектын нэрээр (хувьдаа хувьсагч) солих эсвэл тодорхой шинж чанар, харилцааг (предикат хувьсагч) зааж өгөх үед л олж авдаг гэдгийг санацгаая. эцэст нь хувьсагчийг утга учиртай мэдэгдлээр (саналын хувьсагч) орлуулах тохиолдолд.

  Энэ шинж чанар нь математикийн нотолгоонд ашигласан тэмдгүүдийн хэт хийсвэрлэлийн мөн чанарыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн бүтцэд хувьсагчийг оруулсны улмаас мэдэгдлийн функц болж хувирдаг.

  Логик дээр жагсаал гэж тодорхойлсон нотлох журам нь өөрөө дүгнэлт гаргах дүрмийн үндсэн дээр явагддаг бөгөөд үүний үндсэн дээр батлагдсан нэг мэдэгдлээс нөгөөд шилжих шилжилтийг хийж, дараалсан гинжин дүгнэлтийг бүрдүүлдэг. Хамгийн түгээмэл нь хоёр дүрэм (орлуулалт ба дүгнэлт) ба дедукцийн теорем юм.

  Орлуулах дүрэм. Математикийн хувьд орлуулалт гэдэг нь тухайн олонлогийн элемент бүрийг тухайн олонлогийн өөр F (a) элементээр солихыг хэлнэ. Математик логикт орлуулах дүрмийг дараах байдлаар томъёолдог. Хэрэв саналын тооцоолол дахь жинхэнэ M томьёо нь А үсэг агуулж байвал түүнийг дурын D үсгээр сольсноор бид анхных шиг үнэн томьёог олж авна. Энэ нь боломжтой бөгөөд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм, учир нь мэдэгдлийн тооцоололд хүн мэдэгдлийн утгыг (томьёо) хийсвэрлэдэг ... Зөвхөн "үнэн" эсвэл "худал" гэсэн утгыг харгалзан үздэг. Жишээлбэл, M томъёонд: A--> (BUA) A-ийн оронд бид илэрхийллийг (AUB) орлуулж, үр дүнд нь шинэ томьёо (AUB) -->[(BU(AUB) ] авна.

  Дүгнэлт гаргах дүрэм нь албан ёсны логик дахь нөхцөлт категорик силлогизмын модуль ponens (батлах горим) бүтэцтэй тохирч байна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

  а .

  (a-> b) өгүүлбэр өгөгдсөн бөгөөд а нь мөн өгөгдсөн. Энэ нь b.

  Жишээ нь: Хэрэв бороо орвол хучилт нойтон байна, бороо орно (a), тиймээс хучилт нойтон байна (б). Математик логикт энэ силлогизмыг дараах байдлаар бичдэг (a-> b) a-> b.

  Дүгнэлт нь дүрмээр бол үр дагаврыг хуваах замаар тодорхойлогддог. Хэрэв далд санаа (a-> b) болон түүний өмнөх (а) өгөгдсөн бол бид аргумент (баталгаа) дээр энэхүү далд утга (b)-ын үр дагаврыг нэмэх эрхтэй. Силлогизм нь зайлшгүй шинж чанартай бөгөөд нотлох баримтын дедуктив хэрэгслийн арсеналыг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл математикийн үндэслэлийн шаардлагыг бүрэн хангадаг.

  Математикийн нотолгоонд дедукцийн теорем гол үүрэг гүйцэтгэдэг - олон тооны теоремуудын ерөнхий нэр бөгөөд тэдгээрийн процедур нь утга санааны нотлох чадварыг тогтоох боломжийг олгодог: A-> B, томъёоны логик гарал үүсэлтэй үед. B томьёо А. Санал тооцооллын хамгийн түгээмэл хувилбарт (сонгодог, зөн совингийн болон математикийн бусад төрлүүдэд) дедукцийн теорем нь дараахь зүйлийг илэрхийлдэг. Хэрэв дүрмийн дагуу B Г, А В (үүслийн тэмдэг) -ийг гаргаж болох G байр ба А байрын систем өгөгдсөн бол зөвхөн G байрнаас л өгүүлбэрийг олж авах боломжтой болно. А--> Б.

  Бид шууд нотлох баримт болох төрлийг авч үзсэн. Үүний зэрэгцээ шууд бус нотлох баримтыг логикт ашигладаг бөгөөд дараахь схемийн дагуу илрэх шууд бус нотлох баримтууд байдаг. Хэд хэдэн шалтгааны улмаас (судалгааны объектод хүртээмжгүй байх, түүний оршин тогтнох бодит байдлыг алдах гэх мэт) аливаа мэдэгдэл, диссертацийн үнэнийг шууд нотлох боломж байхгүй тул тэд эсрэг үзэл баримтлалыг бий болгодог. Эсрэг үзэл нь зөрчилдөөнд хүргэдэг бөгөөд тиймээс худал гэдэгт тэд итгэлтэй байна. Дараа нь антитезийн хуурамч байдлын баримтаас хасагдсан дунд (a v) хуулийн үндсэн дээр диссертацийн үнэний талаар дүгнэлт гаргана.

  Математикт шууд бус нотолгооны нэг хэлбэр өргөн хэрэглэгддэг - зөрчилдөөнөөр нотлох. Энэ нь математикийн үндсэн ойлголт, заалтуудыг, жишээлбэл, өөр аргаар нэвтрүүлэх боломжгүй бодит хязгааргүй байдлын тухай ойлголтыг хүлээн зөвшөөрөхөд онцгой үнэ цэнэтэй бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай юм.

  Зөрчилдөөнөөр нотлох үйлдлийг математик логикт дараах байдлаар үзүүлэв. G томъёоны дараалал ба A (G , A) -ийн үгүйсгэл өгөгдсөн. Хэрэв энэ нь B ба түүний үгүйсгэлийг (G, A B, B биш) илэрхийлж байвал бид A-ийн үнэн нь G томьёоны дарааллаас дагалддаг гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, диссертацийн үнэн нь эсрэг заалтын худал байдлаас үүдэлтэй гэж дүгнэж болно. .

  Лавлагаа:

• 1. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман, Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик, сурах бичиг, Москва, 2002;

  2. Л.Д.Кудрявцев, Орчин үеийн математик ба түүний сургаал, Москва, Наука, 1985;

  3. О.И.Ларичев, Объектив загварууд ба субъектив шийдвэрүүд, Москва, Наука, 1987;

  4. А.Я.Халамизатор “Математик? - Хөгжилтэй!", зохиолчийн хэвлэл, 1989;

  5. П.К.Рашевский, Риманы геометр ба тензорын шинжилгээ, Москва, 3-р хэвлэл, 1967;

  6. В.Е.Гмурман, Магадлалын онол ба математикийн статистик, Москва, Дээд сургууль, 1977;

  7. World Wide Web Enternet.

Математик нь бодит байдлын тоон харилцаа, орон зайн хэлбэрийн тухай шинжлэх ухаан болохын хувьд бидний эргэн тойрон дахь ертөнц, байгаль, нийгмийн үзэгдлийг судалдаг. Гэхдээ бусад шинжлэх ухаанаас ялгаатай нь математик нь тэдний онцгой шинж чанарыг бусдаас хийсвэрлэн судалдаг. Тиймээс геометр нь объектын хэлбэр, хэмжээг судалж, тэдгээрийн бусад шинж чанарыг харгалзахгүйгээр судалдаг: өнгө, масс, хатуулаг гэх мэт. Ерөнхийдөө математикийн объектууд (геометрийн дүрс, тоо, хэмжээ) нь хүний ​​оюун ухаанаар бүтээгдсэн бөгөөд зөвхөн хүний ​​сэтгэлгээнд, математик хэлийг бүрдүүлдэг тэмдэг, тэмдэгтүүдэд оршин байдаг.

Математикийн хийсвэр шинж чанар нь түүнийг олон янзын салбарт ашиглах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь байгалийг ойлгох хүчирхэг хэрэгсэл юм.

Танин мэдэхүйн хэлбэрийг хоёр бүлэгт хуваадаг.

Эхний бүлэгхараа, сонсгол, үнэр, хүрэлцэх, амт гэх мэт янз бүрийн мэдрэхүйг ашиглан явагддаг мэдрэхүйн танин мэдэхүйн хэлбэрийг бүрдүүлдэг.

Co. хоёр дахь бүлэгҮүнд хийсвэр сэтгэлгээний хэлбэрүүд, ялангуяа үзэл баримтлал, мэдэгдэл, дүгнэлт зэрэг багтана.

Мэдрэхүйн мэдлэгийн хэлбэрүүд нь Мэдрэх, ойлголтТэгээд төлөөлөл.

Объект бүр нэг биш, олон шинж чанартай байдаг бөгөөд бид тэдгээрийг мэдрэхүйгээр дамжуулан мэддэг.

Мэдрэмж- энэ бол бидний мэдрэхүйд шууд (жишээ нь одоо, яг одоо) нөлөөлдөг материаллаг ертөнцийн объект, үзэгдлийн бие даасан шинж чанаруудын тусгал юм. Эдгээр нь улаан, дулаан, дугуй, ногоон, чихэрлэг, гөлгөр болон бусад бие даасан шинж чанаруудын мэдрэмж юм [Гетманова, х. 7].

Бүхэл бүтэн объектын тухай ойлголт нь хувь хүний ​​мэдрэмжээс бүрддэг. Жишээлбэл, алимны тухай ойлголт нь бөмбөрцөг, улаан, чихэрлэг, исгэлэн, үнэрт гэх мэт мэдрэмжүүдээс бүрдэнэ.

Ойлголтбидний мэдрэхүйд шууд нөлөөлдөг гадаад материаллаг объектын цогц тусгал юм [Гетманова, х. 8]. Жишээлбэл, таваг, аяга, халбага, бусад багаж хэрэгслийн дүрс; хэрэв бид одоо түүний дагуу хөвж байгаа эсвэл түүний эрэг дээр байгаа бол голын дүр төрх; ойн дүрс, хэрэв бид одоо ойд ирсэн бол гэх мэт.

Ойлголт нь бидний оюун санаанд бодит байдлын мэдрэхүйн тусгал боловч хүний ​​туршлагаас ихээхэн хамаардаг. Жишээлбэл, биологич нуга газрыг нэг аргаар (өөр өөр төрлийн ургамал харах болно), харин жуулчин эсвэл зураач үүнийг огт өөр байдлаар харах болно.

Гүйцэтгэл- энэ бол бидний одоохондоо хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй, гэхдээ урьд өмнө нь ямар нэг хэлбэрээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн объектын мэдрэхүйн дүрс юм [Гетманова, х. 10]. Жишээлбэл, бид найз нөхдийнхөө царай, байшин дахь өрөө, хус мод эсвэл мөөгийг нүдээр төсөөлж чаддаг. Эдгээр нь жишээ юм нөхөн үржихдүрслэл, учир нь бид эдгээр объектуудыг харсан.

Танилцуулга байж болно бүтээлч, үүнд гайхалтай. Үзэсгэлэнт Хун гүнж буюу Цар Салтан буюу Алтан азарган тахиа болон бусад олон баатруудыг А.С. Бидний хэзээ ч харж байгаагүй, хэзээ ч харахгүй Пушкин. Эдгээр нь аман тайлбар дээр суурилсан бүтээлч дүрслэлийн жишээ юм. Бид мөн цасан охин, Санта Клаус, лусын дагина гэх мэтийг төсөөлдөг.

Тиймээс мэдрэхүйн мэдлэгийн хэлбэрүүд нь мэдрэмж, ойлголт, санаа юм. Тэдгээрийн тусламжтайгаар бид объектын гадаад талуудыг (түүний шинж тэмдгүүд, түүний дотор шинж чанарууд) олж авдаг.

Хийсвэр сэтгэлгээний хэлбэрүүд нь үзэл баримтлал, мэдэгдэл, дүгнэлт юм.

Үзэл баримтлал. Үзэл баримтлалын хамрах хүрээ, агуулга

"Үзэл баримтлал" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн тодорхой шинж чанартай (онцлог, чухал) шинж чанартай эсвэл эдгээр шинж чанаруудын бүхэл бүтэн багцыг дурын шинж чанартай объектын бүхэл бүтэн ангиллаар илэрхийлэхэд ашигладаг. зөвхөн энэ ангийн элементүүдэд хамаарах шинж чанарууд.

Логикийн үүднээс авч үзвэл үзэл баримтлал нь сэтгэлгээний онцгой хэлбэр бөгөөд дараахь байдлаар тодорхойлогддог: 1) үзэл баримтлал нь өндөр зохион байгуулалттай материйн бүтээгдэхүүн юм; 2) үзэл баримтлал нь материаллаг ертөнцийг тусгасан; 3) үзэл баримтлал нь ерөнхий ойлголтын хэрэгсэл болгон ухамсарт гарч ирдэг; 4) үзэл баримтлал нь хүний ​​үйл ажиллагааг тусгайлан илэрхийлдэг; 5) хүний ​​​​оюун санаанд үзэл баримтлал үүсэх нь яриа, бичих, тэмдэгтээр илэрхийлэгдэхээс салшгүй холбоотой.

Бодит байдлын аливаа объектын тухай ойлголт бидний ухамсарт хэрхэн үүсдэг вэ?

Тодорхой ойлголтыг бий болгох үйл явц нь хэд хэдэн дараалсан үе шатуудыг харж болох аажмаар явагддаг үйл явц юм. Энэ үйл явцыг хамгийн энгийн жишээгээр авч үзье - хүүхдүүдэд 3 гэсэн ойлголт бий болсон.

1. Танин мэдэхүйн эхний шатанд хүүхдүүд объектын зургийг ашиглан, гурван элементийн янз бүрийн багцыг (гурван алим, гурван ном, гурван харандаа гэх мэт) үзүүлж, янз бүрийн бетоны багцтай танилцдаг. Хүүхдүүд эдгээр багц бүрийг харахаас гадна эдгээр багцыг бүрдүүлдэг объектуудад хүрч (хүрч) чаддаг. Энэхүү "харах" үйл явц нь хүүхдийн оюун санаанд бодит байдлыг тусгах тусгай хэлбэрийг бий болгодог. ойлголт (мэдрэхүй).

2. Багц бүрийг бүрдүүлдэг объектуудыг (субъектуудыг) хасаад, багц тус бүрийг тодорхойлсон нийтлэг зүйл байгаа эсэхийг тодорхойлоход хүүхдүүдийг урь. Багц бүрийн эд зүйлсийн тоо, хаа сайгүй "гурван" байдаг нь хүүхдийн оюун санаанд үлдэх ёстой. Хэрэв тийм бол хүүхдүүдийн оюун санаанд шинэ хэлбэр бий болсон. "гурван" тооны тухай санаа.

3. Дараагийн шатанд бодлын туршилт дээр үндэслэн хүүхдүүд "гурван" гэсэн үгээр илэрхийлсэн шинж чанар нь хэлбэрийн (a; b; c) янз бүрийн элементүүдийн аливаа багцыг тодорхойлдог болохыг харах ёстой. Энэ нь ийм багцуудын чухал нийтлэг шинж чанарыг онцлон харуулах болно: "гурван элементтэй байх."Одоо бид хүүхдийн оюун санаанд бүрэлдэн тогтсон гэж хэлж болно 3 дугаарын тухай ойлголт.

Үзэл баримтлал- энэ бол судлах зүйл эсвэл объектын чухал (онцлог) шинж чанарыг тусгасан сэтгэлгээний тусгай хэлбэр юм.

Үзэл баримтлалын хэл шинжлэлийн хэлбэр нь үг буюу бүлэг үг юм. Жишээлбэл, "гурвалжин", "гуравын тоо", "цэг", "шулуун шугам", "исс өнцөгт гурвалжин", "ургамал", "шилмүүст мод", "Енисей мөрөн", "ширээ" гэх мэт.

Математикийн ойлголтууд нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг. Хамгийн гол нь үзэл баримтлалыг боловсруулах шаардлагатай математикийн объектууд бодит байдал дээр байдаггүй. Математикийн объектуудыг хүний ​​оюун ухаан бүтээдэг. Эдгээр нь бодит объект эсвэл үзэгдлийг тусгасан хамгийн тохиромжтой объект юм. Жишээлбэл, геометрийн хувьд тэд объектын хэлбэр, хэмжээг бусад шинж чанаруудыг харгалзахгүйгээр судалдаг: өнгө, масс, хатуулаг гэх мэт. Тэд энэ бүхнээс анхаарал сарниулж, хийсвэр ханддаг. Тиймээс геометрийн хувьд "объект" гэсэн үгийн оронд "геометрийн дүрс" гэж хэлдэг. Хийсвэрлэлийн үр дүн нь "тоо", "хэмжээ" гэх мэт математикийн ойлголтууд юм.

Үндсэн шинж чанаруудямар ч ойлголтууд юмдараах: 1) эзлэхүүн; 2) агуулга; 3) үзэл баримтлалын хоорондын харилцаа.

Математикийн үзэл баримтлалын талаар ярихдаа тэд ихэвчлэн нэг нэр томъёогоор (үг эсвэл үгийн бүлэг) тэмдэглэсэн объектуудын бүхэл бүтэн багцыг (иж бүрдэл) хэлдэг. Тэгэхээр дөрвөлжингийн тухай ярихдаа бид квадрат болох бүх геометрийн дүрсийг хэлнэ. Бүх квадратуудын багц нь "дөрвөлжин" гэсэн ойлголтын хамрах хүрээг бүрдүүлдэг гэж үздэг.

Үзэл баримтлалын хүрээЭнэ үзэл баримтлал хамаарах объект эсвэл зүйлийн багцыг хэлнэ.

Жишээлбэл, 1) "параллелограмм" гэсэн ойлголтын хамрах хүрээ нь параллелограмм, ромб, тэгш өнцөгт, дөрвөлжин зэрэг дөрвөлжингийн багц юм; 2) "нэг оронтой натурал тоо" гэсэн ойлголтын хамрах хүрээ нь олонлог байх болно - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Аливаа математикийн объект тодорхой шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл, дөрвөлжин нь дөрвөн талтай, дөрвөн зөв өнцөгтэй, тэгш диагональтай, диагональууд нь огтлолцлын цэгээр хагасаар хуваагддаг. Та түүний бусад шинж чанарыг зааж өгч болно, гэхдээ объектын шинж чанаруудын дунд байдаг чухал (онцлог)Тэгээд ач холбогдолгүй.

Үл хөдлөх хөрөнгө гэж нэрлэдэг чухал ач холбогдолтой (онцлог) объектын хувьд, хэрэв энэ нь уг объектод байгаа бөгөөд түүнгүйгээр оршин тогтнох боломжгүй; өмч гэж нэрлэдэг ач холбогдолгүй Хэрэв объектгүйгээр оршин тогтнох боломжтой бол объектын хувьд.

Жишээлбэл, квадратын хувьд дээр дурдсан бүх шинж чанарууд зайлшгүй шаардлагатай. ABCD дөрвөлжингийн хувьд "хажуу тал нь AD хэвтээ" шинж чанар нь чухал биш байх болно (Зураг 1). Хэрэв энэ квадратыг эргүүлбэл AD тал нь босоо байх болно.

Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдэд харааны материалыг ашигладаг жишээг авч үзье (Зураг 2):

Зургийг дүрсэлнэ үү.

Жижиг хар гурвалжин. Цагаан будаа. 2

Том цагаан гурвалжин.

Тоонууд хэр төстэй байна вэ?

Тоонууд нь юугаараа ялгаатай вэ?

Өнгө, хэмжээ.

Гурвалжинд юу байдаг вэ?

3 тал, 3 булан.

Тиймээс хүүхдүүд "гурвалжин" гэсэн ойлголтын чухал болон чухал бус шинж чанаруудыг олж мэддэг. Үндсэн шинж чанарууд нь "гурван тал, гурван өнцөгтэй байх", чухал бус шинж чанарууд нь өнгө, хэмжээ юм.

Тухайн үзэл баримтлалд тусгагдсан объект, зүйлийн бүх чухал (онцлог) шинж чанаруудын багцыг нэрлэдэг үзэл баримтлалын агуулга .

Жишээлбэл, "параллелограмм" гэсэн ойлголтын хувьд агуулга нь шинж чанаруудын багц юм: дөрвөн талтай, дөрвөн өнцөгтэй, эсрэг талууд нь хос параллель, эсрэг талууд нь тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү, огтлолцлын цэгүүдийн диагональуудыг хагасаар хуваадаг. .

Үзэл баримтлалын эзэлхүүн ба түүний агуулгын хооронд уялдаа холбоотой байдаг: хэрэв үзэл баримтлалын хэмжээ ихсэх тусам түүний агуулга буурч, эсрэгээр болно. Тиймээс, жишээлбэл, "нэг талт гурвалжин" гэсэн ойлголтын хамрах хүрээ нь "гурвалжин" гэсэн ойлголтын нэг хэсэг бөгөөд "исс өнцөгт гурвалжин" гэсэн ойлголтын агуулга нь "гурвалжин" гэсэн ойлголтын агуулгаас илүү олон шинж чанарыг агуулдаг. тэгш өнцөгт гурвалжин нь зөвхөн гурвалжны бүх шинж чанаруудыг агуулдаггүй, мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанартай байдаг ("хоёр тал тэнцүү", "хоёр өнцөг тэнцүү", "хоёр медиан тэнцүү" гэх мэт).

Хамрах хүрээгээр нь ойлголтуудыг хуваадаг ганц бие, ерөнхийТэгээд ангилал.

Эзлэхүүн нь 1-тэй тэнцүү ойлголтыг нэрлэдэг нэг ойлголт .

Жишээлбэл, "Енисей мөрөн", "Тува Бүгд Найрамдах Улс", "Москва хот" гэсэн ойлголтууд.

Эзлэхүүн нь 1-ээс их ойлголтыг нэрлэдэг ерөнхий .

Жишээлбэл, "хот", "гол", "дөрвөлжин", "тоо", "олон өнцөгт", "тэгшитгэл" гэсэн ойлголтууд.

Аливаа шинжлэх ухааны үндсийг судлах явцад хүүхдүүд ерөнхий ойлголтыг бүрдүүлдэг. Тухайлбал, бага ангийн сурагчид “оронтой тоо”, “тоо”, “нэг оронтой тоо”, “хоёр оронтой тоо”, “олон оронтой тоо”, “бутархай”, “бутархай” гэх мэт ойлголтуудыг мэддэг болсон. , "нэмэх", "нэмэх", "нийлбэр", "хасах", "хасах", "хасах", "ялгаа", "үржүүлэх", "үржүүлэх", "бүтээгдэхүүн", "хуваах", "ногдол ашиг", " хуваагч", "хэсэг", "бөмбөг", "цилиндр", "конус", "шоо", "параллелепипед", "пирамид", "өнцөг", "гурвалжин", "дөрвөлжин", "дөрвөлжин", "тэгш өнцөгт" , "олон өнцөгт", "тойрог", "тойрог", "муруй", "эвдэрсэн шугам", "сегмент", "сегментийн урт", "туяа", "шулуун шугам", "цэг", "урт", "өргөн" "," "өндөр", "периметр", "зургийн талбай", "эзэлхүүн", "цаг", "хурд", "масс", "үнэ", "зардал" болон бусад олон. Эдгээр бүх ойлголтууд нь ерөнхий ойлголт юм.

Математик 1. Математик гэдэг үг хаанаас үүссэн бэ 2. Математикийг хэн зохион бүтээсэн бэ? 3. Үндсэн сэдвүүд. 4. Тодорхойлолт 5. Этимологи Сүүлийн слайд руу.

Энэ үг хаанаас ирсэн бэ (өмнөх слайд руу очно уу) Грек хэлнээс Математик - судалгаа, шинжлэх ухаан) - объектын хэлбэрийг тоолох, хэмжих, дүрслэх үйлдлүүдийн үндсэн дээр түүхэн хөгжиж ирсэн бүтэц, дэг журам, харилцааны шинжлэх ухаан. Математикийн объектууд нь бодит болон бусад математикийн объектуудын шинж чанарыг идеал болгож, эдгээр шинж чанаруудыг албан ёсны хэлээр бичих замаар бий болдог.

Математикийг хэн зохион бүтээсэн бэ (цэс рүү орох) Анхны математикчийг ихэвчлэн 6-р зуунд амьдарч байсан Милетийн Фалес гэдэг. МЭӨ д. , Грекийн долоон мэргэдийн нэг. Гэсэн хэдий ч тэрээр энэ сэдвээр эрт дээр үеэс бий болсон бүхэл бүтэн мэдлэгийн баазыг түүний мэддэг ертөнцийн хүрээнд анх зохион байгуулсан хүн юм. Гэсэн хэдий ч бидэнд хүрч ирсэн математикийн талаархи анхны зохиолын зохиогч нь Евклид (МЭӨ 3-р зуун) юм. Түүнийг энэ шинжлэх ухааны эцэг гэж нэрлэж болно.

Үндсэн сэдвүүд (цэс рүү очих) Математикийн салбар нь зөвхөн дараалал эсвэл хэмжүүрийг харгалзан үздэг шинжлэх ухааныг багтаадаг бөгөөд эдгээр нь тоо, тоо, од, дуу авиа эсвэл энэ хэмжигдэхүүнийг агуулсан бусад зүйл эсэх нь огт чухал биш юм. . Тиймээс, ямар нэгэн тодорхой хичээлийг судлахгүйгээр дэг журам, хэмжүүртэй холбоотой бүх зүйлийг тайлбарладаг ерөнхий шинжлэх ухаан байх ёстой бөгөөд энэ шинжлэх ухааныг гадаад биш, харин аль хэдийн гарч ирсэн Universal Mathematics хэмээх хуучин нэрээр нэрлэх ёстой. ашиглалтанд оруулах.

Тодорхойлолт (цэс рүү очих) Орчин үеийн шинжилгээ нь математикийн гурван үндсэн чиглэлийн нэг (алгебр, геометрийн хамт) гэж тооцогддог сонгодог математик анализ дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ "математик анализ" гэсэн нэр томъёог сонгодог утгаараа боловсролын хөтөлбөр, материалд голчлон ашигладаг. Англо-Америкийн уламжлалд сонгодог математикийн шинжилгээ нь "тооцоо" гэж нэрлэгддэг сургалтын хөтөлбөртэй тохирдог.

Этимологи (цэс рүү очих) "Математик" гэдэг үг нь эртний Грекээс гаралтай. , энэ нь судлах, мэдлэг, шинжлэх ухаан гэх мэт. -Грек, анх хүлээн авах, амжилттай, хожим суралцахтай холбоотой, дараа нь математикт холбогдох гэсэн утгатай. Тодруулбал, латинаар математикийн урлаг гэсэн утгатай. Энэ нэр томъёо нь эртний Грек юм. "математик" гэдэг үгийн орчин үеийн утгаар нь Аристотелийн (МЭӨ IV зуун) бүтээлүүдэд аль хэдийн олдсон байдаг.Орос хэл дээрх бичвэрүүдэд "математик" эсвэл "математик" гэсэн үг дор хаяж 17-р зуунаас хойш олддог. , Николай Спафари "Есөн Муза ба Долоон Чөлөөт Урлагийн тухай Сонгосон Товч Ном" (1672)