Агшин зуурын аргаонолын тархалтын моментуудыг эмпирик тархалтын моментуудтай (ажиглалтаар бий болсон хуваарилалт) адилтгадаг. Үүссэн тэгшитгэлээс тархалтын параметрүүдийн тооцоог олно. Жишээлбэл, хоёр параметртэй тархалтын хувьд эхний хоёр момент (тархалтын дундаж ба дисперс, m ба s тус тус) нь эхний хоёр эмпирик (түүврийн) моменттой (дундаж ба түүврийн дисперс тус тус) тэнцүү байх болно. , дараа нь тооцоолол хийгдэнэ.

А нь хамгийн их давтамжтай (хамгийн их давтамжтай интервалын дунд) сонголттой тэнцэх нөхцөлт тэг бол h нь интервалын алхам,

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур ашиглан дундаж утгыг моментийн аргыг ашиглан тооцоолно. Шийдвэрийн үр дүнг Word форматаар танилцуулж байна.

Зааварчилгаа. Шийдлийг олж авахын тулд та анхны өгөгдлийг бөглөж, Word дээр форматлах тайлангийн параметрүүдийг сонгох хэрэгтэй.

Моментийн аргыг ашиглан дундажийг олох алгоритм

Жишээ. Нэг төрлийн технологийн үйл ажиллагаанд зарцуулсан хөдөлмөрийн цагийг ажилчдын дунд дараахь байдлаар хуваарилав.

Моментийн аргыг ашиглан зарцуулсан ажлын цагийн дундаж хэмжээ, стандарт хазайлтыг тодорхойлох шаардлагатай; хэлбэлзлийн коэффициент; горим ба медиан.
Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.

Бүлгүүд	Интервалын дунд цэг, x i	Тоо хэмжээ, f i	x i f i	Хуримтлагдсан давтамж, С	(x-x) 2 f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Загвар

Энд x 0 нь модаль интервалын эхлэл; h - интервалын утга; f 2 – модаль интервалд тохирох давтамж; f 1 - урьдчилсан давтамж; f 3 – постмодаль давтамж.
Энэ интервал нь хамгийн их тоог агуулж байгаа тул бид интервалын эхлэл болгон 20-ыг сонгоно.

Цувралын хамгийн түгээмэл утга нь 22.78 минут юм.
Медиан
Дундаж нь 20 - 25 интервал юм, учир нь энэ интервалд хуримтлагдсан давтамж S нь дундаж тооноос их байна (медиан нь хуримтлагдсан давтамж S нь нийт давтамжийн нийлбэрийн талаас давсан эхний интервал юм).

Тиймээс хүн амын нэгжийн 50% нь 23 минутаас бага байх болно.
.



Бид A = 22.5, интервалын алхам h = 5-ыг олно.
Моментийн аргаар дундаж квадрат хазайлт.

x q	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

мин.

Стандарт хэлбэлзэл.
мин.
Өөрчлөлтийн коэффициент- популяцийн утгын харьцангуй тархалтын хэмжүүр: энэ утгын дундаж утгын хэдэн хувь нь түүний дундаж тархалт болохыг харуулдаг.

v>30% тул v<70%, то вариация умеренная.

Жишээ

Түгээлтийн цувралыг үнэлэхийн тулд бид дараах үзүүлэлтүүдийг олно.

Жинлэсэн дундаж

Моментийн аргыг ашиглан судлагдсан шинж чанарын дундаж утга.

Энд А нь хамгийн их давтамжтай сонголттой тэнцүү нөхцөлт тэг (хамгийн их давтамжтай интервалын дунд хэсэг), h нь интервалын алхам юм.

Хувилбарын хүрээ (эсвэл хэлбэлзлийн хүрээ) -Энэ нь шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох ялгаа юм:

Бидний жишээн дээр ажилчдын ээлжийн үйлдвэрлэлийн өөрчлөлтийн хүрээ нь: нэгдүгээр бригад R = 105-95 = 10 хүүхэд, хоёрдугаар бригад R = 125-75 = 50 хүүхэд. (5 дахин их). Энэ нь 1-р бригадын гарц илүү "тогтвортой" байгааг харуулж байна, харин хоёрдугаар бригадын үйлдвэрлэлийг нэмэгдүүлэх нөөц илүү их байна. Хэрэв бүх ажилчид энэ бригадын хувьд хамгийн их бүтээмжид хүрвэл 3 * 125 = 375 эд анги, 1-р бригад зөвхөн 105 * 3 = 315 эд анги үйлдвэрлэх боломжтой.
Хэрэв шинж чанарын хэт утгууд нь популяцийн хувьд ердийн зүйл биш бол квартиль эсвэл децилийн мужийг ашиглана. RQ= Q3-Q1 квартилийн муж нь популяцийн эзлэхүүний 50%-ийг, эхний аравтын муж RD1 = D9-D1 өгөгдлийн 80%-ийг, хоёр дахь аравтын муж RD2= D8-D2 – 60%-ийг эзэлдэг.
Хувьсах хүрээний үзүүлэлтийн сул тал нь түүний утга нь шинж чанарын бүх хэлбэлзлийг тусгадаггүй явдал юм.
Тухайн шинж чанарын бүх хэлбэлзлийг тусгасан хамгийн энгийн ерөнхий үзүүлэлт дундаж шугаман хазайлт, энэ нь хувь хүний ​​сонголтуудын дундаж утгаас үнэмлэхүй хазайлтын арифметик дундаж юм.

,
бүлэглэсэн өгөгдлийн хувьд
,
Энд xi нь салангид цуваа дахь шинж чанарын утга эсвэл интервалын тархалтын интервалын дунд хэсэг юм.
Дээрх томъёонд тоологчийн зөрүүг модулаар авдаг, эс тэгвээс арифметик дундажийн шинж чанарын дагуу тоологч нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс дундаж шугаман хазайлтыг статистикийн практикт ховор ашигладаг бөгөөд зөвхөн тэмдгийг харгалзахгүйгээр үзүүлэлтүүдийг нэгтгэх нь эдийн засгийн ач холбогдолтой байдаг. Үүний тусламжтайгаар жишээлбэл, ажиллах хүчний бүтэц, үйлдвэрлэлийн ашигт ажиллагаа, гадаад худалдааны эргэлтэд дүн шинжилгээ хийдэг.
Аливаа шинж чанарын ялгаатай байдалдундаж утгаас хазайсан дундаж квадрат нь:
энгийн хэлбэлзэл
,
жигнэсэн хэлбэлзэл
.
Зөрчлийг тооцоолох томъёог хялбаршуулж болно:

Тиймээс дисперс нь опционы квадратуудын дундаж ба популяцийн сонголтын дундажийн квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
.
Гэсэн хэдий ч квадрат хазайлтын нийлбэрээс шалтгаалан хэлбэлзэл нь хазайлтын талаар гажуудсан санааг өгдөг тул үүн дээр үндэслэн дундажийг тооцдог. стандарт хэлбэлзэл, энэ нь шинж чанарын тодорхой хувилбарууд дундаж утгаасаа дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулдаг. Дисперсийн квадрат язгуураар тооцоолно:
бүлэггүй өгөгдлийн хувьд
,
вариацын цувралын хувьд

Вариаци ба стандарт хазайлтын утга бага байх тусам популяци нь нэг төрлийн байх тусам дундаж утга нь найдвартай (ердийн) байх болно.
Дундаж шугаман болон стандарт хазайлтыг тоо гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь шинж чанарын хэмжилтийн нэгжээр илэрхийлэгддэг, агуулгын хувьд ижил, утгаараа ойролцоо байдаг.
Хүснэгтийг ашиглан үнэмлэхүй хэлбэлзлийг тооцоолохыг зөвлөж байна.
Хүснэгт 3 - Өөрчлөлтийн шинж чанарыг тооцоолох (багийн ажилчдын ээлжийн ажлын үр дүнгийн өгөгдлийн хугацааны жишээг ашиглан)

	Ажилчдын тоо	Интервалын дунд хэсэг	Тооцоолсон утгууд
Нийт:

Ажилчдын ээлжийн дундаж бүтээмж:

Дундаж шугаман хазайлт:

Үйлдвэрлэлийн зөрүү:

Тусдаа ажилчдын үйлдвэрлэлийн дундаж хэмжээнээс стандарт хазайлт:
.

1 Моментийн аргыг ашиглан дисперсийн тооцоо

Зөрчлийг тооцоолоход төвөгтэй тооцоолол орно (ялангуяа дундажийг аравтын бутархайгаар том тоогоор илэрхийлсэн тохиолдолд). Тооцооллыг хялбаршуулсан томъёо, дисперсийн шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж болно.
Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Хэрэв шинж чанарын бүх утгыг ижил утгатай А-аар бууруулж эсвэл өсгөвөл тархалт буурахгүй.

,

, дараа нь эсвэл
Тархалтын шинж чанарыг ашиглан эхлээд популяцийн бүх хувилбаруудыг А утгаар бууруулж, дараа нь h интервалын утгад хувааснаар бид тэнцүү интервалтай вариацын цуваа дахь дисперсийг тооцоолох томъёог олж авна. мөчүүдийн арга:
,
моментийн аргаар тооцоолсон дисперс хаана байна;
h – вариацын цувааны интервалын утга;
- шинэ (өөрчлөгдсөн) утгын сонголт;
А нь тогтмол утга бөгөөд үүнийг хамгийн их давтамжтай интервалын дунд хэсэг болгон ашигладаг; эсвэл хамгийн өндөр давтамжтай сонголт;
- эхний эрэмбийн моментийн квадрат;
- хоёр дахь захиалгын мөч.
Багийн ажилчдын ээлжийн гаралтын өгөгдөл дээр үндэслэн моментийн аргыг ашиглан тархалтыг тооцоолъё.
Хүснэгт 4 - Моментийн аргыг ашиглан дисперсийн тооцоо

Үйлдвэрлэлийн ажилчдын бүлгүүд, ширхэг.	Ажилчдын тоо	Интервалын дунд хэсэг	Тооцоолсон утгууд

Тооцооллын журам:

1. Бид зөрүүг тооцоолно:

2 Альтернатив шинж чанарын дисперсийн тооцоо

Статистикийн судалж буй шинж чанаруудын дунд зөвхөн хоёр бие биенээ үгүйсгэдэг шинж чанарууд байдаг. Эдгээр нь өөр шинж тэмдэг юм. Тэдгээрийг тус тусад нь хоёр тоон утгыг өгсөн: сонголт 1 ба 0. p-ээр тэмдэглэгдсэн 1-р хувилбарын давтамж нь энэ шинж чанарыг агуулсан нэгжийн эзлэх хувь юм. 1-р=q ялгаа нь 0 хувилбарын давтамж юм.Иймээс

xi

Альтернатив тэмдгийн арифметик дундаж
, учир нь p+q=1.

Альтернатив шинж чанарын хэлбэлзэл
, учир нь 1-р=q
Тиймээс альтернатив шинж чанарын дисперс нь энэ шинж чанарыг эзэмшсэн нэгжийн эзлэх хувь ба энэ шинж чанарыг эзэмшээгүй нэгжийн эзлэх хувьтай тэнцүү байна.
Хэрэв 1 ба 0 утгууд ижил давтамжтайгаар тохиолдвол, өөрөөр хэлбэл p=q бол дисперс хамгийн дээд хэмжээндээ pq=0.25 хүрнэ.
Альтернатив шинж чанарын зөрүүг түүвэр судалгаанд, жишээлбэл, бүтээгдэхүүний чанарт ашигладаг.

3 Бүлэг хоорондын зөрүү. Зөрчлийг нэмэх дүрэм

Тархалт нь өөрчлөлтийн бусад шинж чанараас ялгаатай нь нэмэлт хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь хүчин зүйлийн шинж чанарын дагуу бүлэгт хуваагддаг нийлбэрт X , үр дүнгийн шинж чанарын хэлбэлзэл yбүлэг тус бүрийн доторх (бүлэг доторх) дисперс болон бүлгүүдийн хоорондын дисперс (бүлэг хоорондын) гэж задалж болно. Дараа нь тухайн шинж чанарын өөрчлөлтийг нийт популяцийн хэмжээнд судлахын зэрэгцээ бүлэг тус бүрийн болон эдгээр бүлгүүдийн хоорондын өөрчлөлтийг судлах боломжтой болно.

Нийт зөрүүшинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг цагтЭнэ өөрчлөлтийг (хазайлт) үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор бүхэлд нь. Энэ нь атрибутын бие даасан утгуудын дундаж квадрат хазайлттай тэнцүү байна цагтерөнхий дунджаас авах ба энгийн эсвэл жигнэсэн дисперс хэлбэрээр тооцоолж болно.
Бүлэг хоорондын зөрүүүүссэн шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог цагтхүчин зүйлийн тэмдгийн нөлөөгөөр үүссэн X, бүлэглэх үндэс болсон. Энэ нь бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог бөгөөд бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн нийт дунджаас хазайсан дундаж квадраттай тэнцүү байна.
,
i-р бүлгийн арифметик дундаж хаана байна;
– i-р бүлгийн нэгжийн тоо (i-р бүлгийн давтамж);
- хүн амын нийт дундаж.
Бүлэг доторх ялгаасанамсаргүй хэлбэлзлийг тусгадаг, өөрөөр хэлбэл тооцоолоогүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй өөрчлөлтийн хэсэг бөгөөд бүлэглэлийн үндэс болсон хүчин зүйлийн шинж чанараас хамаардаггүй. Энэ нь бүлгийн дундажтай харьцуулахад хувь хүний ​​утгын хэлбэлзлийг тодорхойлдог бөгөөд шинж чанарын хувь хүний ​​утгын дундаж квадрат хазайлттай тэнцүү байна. цагтЭнэ бүлгийн арифметик дунджаас (бүлгийн дундаж) бүлэг доторх бөгөөд бүлэг тус бүрийн хувьд энгийн буюу жигнэсэн дисперс хэлбэрээр тооцно:
эсвэл ,
бүлгийн нэгжийн тоо хаана байна.
Бүлэг бүрийн хувьд бүлэг доторх хэлбэлзэл дээр үндэслэн нэг нь тодорхойлж болно бүлэг доторх хэлбэлзлийн нийт дундаж:
.
Гурван дисперсийн хоорондын хамаарлыг нэрлэнэ хэлбэлзлийг нэмэх дүрэм, үүний дагуу нийт дисперс нь бүлэг хоорондын дисперсийн нийлбэр ба бүлэг доторх дисперсийн дундажтай тэнцүү байна:

Жишээ. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмжийн түвшинд тарифын ангилал (мэргэшлийн) нөлөөллийг судлахдаа дараахь мэдээллийг олж авав.
Хүснэгт 5 – Ажилчдын цагийн дундаж үйлдвэрлэлийн хувиарлалт.

№ p/p	4-р зэрэглэлийн ажилчид				5-р зэрэглэлийн ажилчид
	Гаралт ажилчин, ширхэг.,				Гаралт ажилчин, ширхэг.,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

Энэ жишээнд ажилчдыг хүчин зүйлийн шинж чанараар нь хоёр бүлэгт хуваадаг X- зэрэглэлээр тодорхойлогддог мэргэшил. Үүний үр дүнд бий болсон шинж чанар-үйлдвэрлэл нь түүний нөлөөн дор (бүлэг хоорондын өөрчлөлт) болон бусад санамсаргүй хүчин зүйлээс (бүлэг доторх хэлбэлзэл) харилцан адилгүй байдаг. Зорилго нь нийт, бүлэг хоорондын болон бүлэг доторх гэсэн гурван хэлбэлзлийг ашиглан эдгээр өөрчлөлтийг хэмжих явдал юм. Эмпирик детерминацийн коэффициент нь үр дүнд бий болсон шинж чанарын өөрчлөлтийн хувийг харуулдаг цагтхүчин зүйлийн тэмдгийн нөлөөн дор X. Нийт өөрчлөлтийн үлдсэн хэсэг цагтбусад хүчин зүйлийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй.
Жишээн дээр эмпирик детерминацийн коэффициент нь дараахтай тэнцүү байна.
буюу 66.7%,
Энэ нь ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмжийн өөрчлөлтийн 66.7% нь мэргэшлийн зөрүү, 33.3% нь бусад хүчин зүйлийн нөлөөлөл байна гэсэн үг.
Эмпирик корреляцийн хамааралбүлэглэл болон гүйцэтгэлийн шинж чанаруудын хоорондын нягт холбоог харуулж байна. Эмпирик детерминацийн коэффициентийн квадрат язгуураар тооцоолно:

Эмпирик корреляцийн харьцаа нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авч болно.
Хэрэв холболт байхгүй бол =0 байна. Энэ тохиолдолд =0, өөрөөр хэлбэл бүлгийн дундаж нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд бүлэг хоорондын хэлбэлзэл байхгүй болно. Энэ нь бүлэглэх шинж чанар - хүчин зүйл нь ерөнхий хэлбэлзэл үүсэхэд нөлөөлдөггүй гэсэн үг юм.
Хэрэв холболт ажиллаж байгаа бол =1. Энэ тохиолдолд бүлгийн дундаж хэлбэлзэл нь нийт дисперстэй () тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл бүлэг доторх хэлбэлзэл байхгүй болно. Энэ нь бүлэглэх шинж чанар нь судалж буй үр дүнгийн шинж чанарын өөрчлөлтийг бүрэн тодорхойлдог гэсэн үг юм.
Корреляцийн харьцааны үнэ цэнэ нь нэгдмэл байдалд ойртох тусам функциональ хамааралд ойртох тусам шинж чанаруудын хоорондын холбоо болно.
Шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог чанарын хувьд үнэлэхийн тулд Чаддокийн харилцааг ашигладаг.

Жишээн дээр , энэ нь ажилчдын бүтээмж болон тэдний мэргэшлийн хоорондын нягт уялдаа холбоог харуулж байна.

Арифметик дундажийг тооцоолох арга (энгийн ба жигнэсэн арифметик дундаж, моментийн аргыг ашиглан)

Бид дундаж утгыг тодорхойлно:

Горим (Mo) =11, учир нь Энэ сонголт нь вариацын цувралд ихэвчлэн тохиолддог (p = 6).

Медиан (Me) - дундаж байрлалыг эзэлдэг хувилбарын серийн дугаар = 23, вариацын цувралын энэ байрыг 11-тэй тэнцүү хувилбар эзэлж байна. Арифметик дундаж (M) нь дундаж түвшинг бүрэн тодорхойлох боломжийг олгодог. шинж чанарыг судалж байна. Арифметик дундажийг тооцоолохдоо арифметик дундаж арга ба моментийн арга гэсэн хоёр аргыг ашигладаг.

Хэрэв вариацын цувааны хувилбар бүрийн тохиолдох давтамж 1-тэй тэнцүү бол энгийн арифметик дундажийг арифметик дундажийн аргаар тооцоолно: M = .

Хэрэв вариацын цувралд хувилбар гарах давтамж 1-ээс ялгаатай бол жигнэсэн арифметик дундажийг арифметик дундажийн аргаар тооцоолно.

Моментийн аргын дагуу: A - нөхцөлт дундаж,

M = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11

Хэрэв вариацын цувралын сонголтуудын тоо 30-аас дээш байвал бүлэглэсэн цувралыг байгуулна. Бүлэглэсэн цуврал бүтээх:

1) Vmin ба Vmax-ийг тодорхойлох Vmin=3, Vmax=20;

2) бүлгүүдийн тоог тодорхойлох (хүснэгтийн дагуу);

3) бүлгүүдийн хоорондын зайг тооцоолох би = 3;

4) бүлгийн эхлэл ба төгсгөлийг тодорхойлох;

5) бүлэг бүрийн хувилбарын давтамжийг тодорхойлох (Хүснэгт 2).

хүснэгт 2

Бүлэглэсэн цуврал бүтээх арга зүй

Үргэлжлэх хугацаа хоногоор эмчилнэ
n=45 p=480 p=30 2 p=766

Бүлэглэсэн вариацын цувралын давуу тал нь судлаач сонголт бүр дээр ажилладаггүй, зөвхөн бүлэг тус бүрийн дундаж хувилбаруудтай ажилладагт оршино. Энэ нь дундажийн тооцоог ихээхэн хялбаршуулдаг.

Тодорхой шинж чанарын үнэ цэнэ нь харьцангуй нэгэн төрлийн боловч хүн амын бүх гишүүдийн хувьд ижил биш юм. Статистикийн популяцийн энэ онцлог нь нийт хүн амын бүлгийн шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. шинж чанарын олон талт байдал. Жишээлбэл, 12 настай хөвгүүдийг авч, өндрийг нь хэмжинэ. Тооцооллын дараа энэ шинж чанарын дундаж түвшин 153 см байх боловч дундаж нь судалж буй шинж чанарын ерөнхий хэмжүүрийг тодорхойлдог. Тухайн насны хөвгүүдийн дунд 165 см буюу 141 см өндөртэй хөвгүүд байдаг.

Статистик нь энэ өмчийг дараахь шалгуураар тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.

хязгаар (лим),

далайц (амп),

стандарт хэлбэлзэл (у) ,

хэлбэлзлийн коэффициент (Cv).

ХязгаарВариацын цуврал дахь хувилбарын хэт утгуудаар тодорхойлогддог:

lim=V min /V max

Далайц (Амп) -Хэт их сонголтуудын ялгаа:

Amp=V max -V min

Эдгээр утгууд нь зөвхөн эрс тэс хувилбаруудын олон янз байдлыг харгалзан үздэг бөгөөд тэдгээрийн дотоод бүтцийг харгалзан нэгтгэсэн шинж чанарын олон талт байдлын талаар мэдээлэл авах боломжийг олгодоггүй. Иймээс эдгээр шалгуурыг олон янз байдлын шинж чанарыг ойролцоогоор тооцоолоход ашиглаж болно, ялангуяа цөөн тооны ажиглалт (n)<30).

вариацын цуврал эмнэлгийн статистик

A - нөхцөлт дундаж (хувилбарын цувралд ихэвчлэн давтагддаг)

a – нөхцөлт дунджаас нөхцөлт хазайлт (зэрэглэл)

i - интервал

1-р шат - бүлгүүдийн дундыг тодорхойлох;

2-р шат - бүлгүүдийн зэрэглэл: Хувилбар гарах давтамж хамгийн их байгаа бүлэгт 0 онооно. Тэдгээр. энэ тохиолдолд 7-11 (давтамж -32). Өгөгдсөн бүлгээс дээш эрэмбэлэх нь (-1) нэмэх замаар хийгддэг. Доош - нэмэгдүүлэх (+1).

3-р шат - нөхцөлт горимыг тодорхойлох (нөхцөлт дундаж). A нь модаль интервалын дунд хэсэг юм. Манай тохиолдолд модаль интервал нь 7 -11 тул A = 9 байна.

4-р үе шат - интервалыг тодорхойлох. Цувралын бүх бүлгүүдийн интервал нь ижил ба 5-тай тэнцүү. i = 5/

5-р шат - нийт ажиглалтын тоог тодорхойлох. n = ∑p = 103.

Бид олж авсан өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Бүлэглэсэн вариацын цувралын өгөгдлийг ашиглан моментийн аргыг ашиглан арифметик дундажийг тооцоол.

Сонголт №1

Сонголт №2

Сонголт №3

Сонголт №4

Сонголт №5

Сонголт №6

Сонголт №7

Сонголт No8

Сонголт дугаар 9

Сонголт №10

Сонголт №11

Сонголт №12

Даалгавар No4 Сондгой тооны сонголттой бүлэггүй вариацын цувааны горим ба медианыг тодорхойлох

Өвчтэй хүүхдүүдийн хэвтэн эмчлүүлэх хугацаа: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Вариацын цувралын горимыг тодорхойлохын тулд цувралыг эрэмбэлэх шаардлагагүй. Гэсэн хэдий ч медианыг тодорхойлохын өмнө вариацын цувааг өсөх эсвэл буурах дарааллаар зохион байгуулах шаардлагатай.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Mode = 16. Учир нь сонголт 16 хамгийн олон удаа (3 удаа) тохиолддог.

Хэрэв хамгийн их давтамжтай хэд хэдэн хувилбар байгаа бол вариацын цувралд хоёр ба түүнээс дээш горимыг зааж өгч болно.

Сондгой тоо бүхий цувралын медианыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

8 нь эрэмблэгдсэн вариацын цуврал дахь медианы серийн дугаар,

Тэр. Би = 17.

Даалгавар No5 Тэгш тооны сонголттой бүлэггүй вариацын цувааны горим ба медианыг тодорхойлох.

Даалгаварт өгөгдсөн өгөгдөл дээр үндэслэн та горим ба медианыг олох хэрэгтэй

Өвчтэй хүүхдүүдийн хэвтэн эмчлүүлэх хугацаа: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Бид эрэмбэлсэн вариацын цувралыг бүтээдэг:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

Бидэнд 16 ба 17 гэсэн хоёр медиан тоо байна. Энэ тохиолдолд медианыг тэдгээрийн хоорондох арифметик дундаж гэж олно. Би = 16.5.

4. Тэгш ба сондгой.

Тэгш вариацын цувралд давтамжийн нийлбэр буюу ажиглалтын нийт тоог тэгш тоогоор, сондгойгоор - сондгой тоогоор илэрхийлнэ.

5. Симметрик ба тэгш бус.

Тэгш хэмтэй вариацын цувралд бүх төрлийн дундаж утгууд давхцдаг эсвэл маш ойрхон байдаг (горим, медиан, арифметик дундаж).

Судалж буй үзэгдлийн шинж чанар, статистикийн судалгааны тодорхой даалгавар, зорилго, түүнчлэн эх материалын агуулга, ариун цэврийн статистик зэргээс хамааран Дараах төрлийн дундаж үзүүлэлтүүдийг ашигладаг.

· бүтцийн дундаж (горим, медиан);

· Арифметик дундаж;

· гармоник дундаж;

· геометрийн дундаж;

· дунд зэргийн дэвшилттэй.

Загвар (M o) - судалж буй популяцид илүү олон удаа илэрдэг өөр өөр шинж чанарын үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл. хамгийн өндөр давтамжтай тохирох сонголт. Тэд үүнийг ямар ч тооцоололгүйгээр вариацын цувралын бүтцээс шууд олдог. Энэ нь ихэвчлэн арифметик дундажтай маш ойрхон утга бөгөөд практикт маш тохиромжтой байдаг.

Медиан (M e) - вариацын цувралыг (зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл сонголтын утгыг өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулсан) хоёр тэнцүү хагас болгон хуваах. Дундаж утгыг давтамжийн дараалсан нийлбэрээр олж авсан сондгой цувралыг ашиглан тооцдог. Хэрэв давтамжийн нийлбэр нь тэгш тоотой тохирч байвал хоёр дундаж утгын арифметик дундажийг уламжлалт байдлаар медианаар авна.

Нээлттэй популяцийн хувьд горим ба медианыг ашигладаг, i.e. хамгийн том эсвэл хамгийн жижиг сонголтууд нь тодорхой тоон шинж чанартай байдаггүй (жишээлбэл, 15 нас хүртэл, 50 ба түүнээс дээш настай гэх мэт). Энэ тохиолдолд арифметик дундажийг (параметрийн шинж чанар) тооцоолох боломжгүй.

Дундаж Би арифметик хүн - хамгийн нийтлэг үнэ цэнэ. Арифметик дундажийг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг М.

Энгийн бөгөөд жигнэсэн арифметик дундажууд байдаг.

Энгийн арифметик дундаж тооцоолсон:

- хүн амыг нэгж бүрийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийн энгийн жагсаалтаар төлөөлүүлсэн тохиолдолд;

- сонголт бүрийн давталтын тоог тодорхойлох боломжгүй бол;

- сонголт бүрийн давталтын тоо хоорондоо ойрхон байвал.

Энгийн арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энд V - шинж чанарын бие даасан утгууд; n - хувь хүний ​​утгын тоо; - нийлбэрийн тэмдэг.

Тиймээс энгийн дундаж нь хувилбаруудын нийлбэрийг ажиглалтын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Жишээ: уушгины хатгалгаатай 10 өвчтөний орондоо хэвтэх дундаж хугацааг тодорхойлох:

16 хоног - 1 өвчтөн; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

унтах өдөр

Арифметик дундаж жигнэсэн шинж чанарын бие даасан утгууд давтагдах тохиолдолд тооцоолно. Үүнийг хоёр аргаар тооцоолж болно:

1. Томъёоны дагуу шууд (арифметик дундаж буюу шууд арга):

Энд P нь сонголт бүрийн ажиглалтын давтамж (тохиолдлын тоо) юм.

Тиймээс жигнэсэн арифметик дундаж нь хувилбар ба давтамжийн үржвэрийн нийлбэрийг ажиглалтын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

2. Нөхцөлт дунджаас хазайлтыг тооцоолох замаар (моментийн аргыг ашиглан).

Жигнэсэн арифметик дундажийг тооцоолох үндэс нь:

- тоон үзүүлэлтийн хувилбаруудын дагуу материалыг бүлэглэх;

— бүх сонголтуудыг атрибутын утгын өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулах ёстой.

Моментийн аргыг ашиглан тооцоолохын тулд урьдчилсан нөхцөл нь бүх интервалын ижил хэмжээтэй байна.

Моментийн аргыг ашиглан арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

,

Энд M o бол нөхцөлт дундаж бөгөөд үүнийг ихэвчлэн хамгийн өндөр давтамжтай харгалзах шинж чанарын утга гэж авдаг, i.e. илүү олон удаа давтагддаг (Загвар).

i нь интервалын утга юм.

a нь дунджийн нөхцлөөс нөхцөлт хазайлт бөгөөд энэ нь том нөхцөлт дундажийн хувилбаруудын хувьд + тэмдэгтэй, - тэмдэгтэй (–1, –2 гэх мэт) дараалсан цуваа (1, 2 гэх мэт) юм. .) уламжлалт дунджаас доогуур байгаа хувилбаруудын хувьд. Нөхцөлт дундаж гэж авсан хувилбараас нөхцөлт хазайлт 0 байна.

P - давтамж.

Ажиглалтын нийт тоо буюу n.

Жишээ: 8 настай хөвгүүдийн дундаж өндрийг шууд тодорхойлно (Хүснэгт 1).

Хүснэгт 1

Өндөр см	хөвгүүд П	Төв сонголт V

Төв сонголт - интервалын дунд хэсэг нь хоёр хөршийн бүлгийн анхны утгуудын хагас нийлбэрээр тодорхойлогддог.

; гэх мэт.

Бүтээгдэхүүний VP нь төвийн хувилбаруудыг давтамжаар үржүүлэх замаар олж авдаг; гэх мэт. Дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмж, олж авна , үүнийг ажиглалтын тоонд (100) хувааж, жигнэсэн арифметик дундажийг гаргана.

см.

Дараах 2-р хүснэгтийг эмхэтгэсэн моментийн аргыг ашиглан бид ижил асуудлыг шийдэх болно.

Хүснэгт 2

Өндөр см (V)	хөвгүүд П

Бид 122-ыг M o гэж авдаг, учир нь 100 ажиглалтаас 33 хүн 122 см өндөртэй байжээ. Дээрх дагуу нөхцөлт дунджаас нөхцөлт хазайлтыг (a) олно. Дараа нь бид нөхцөлт хазайлт ба давтамжийн үржвэрийг (aP) гаргаж, олж авсан утгыг нэгтгэн дүгнэнэ (). Үр дүн нь 17. Эцэст нь бид өгөгдлийг томъёонд орлуулна.