Riadky druhého rádu. Vzájomné usporiadanie imaginárnych bodov a priamok Dvojica rovnobežných priamok druhého rádu
Teraz ukážeme, že afinná klasifikácia kriviek druhého rádu je daná názvami samotných kriviek, t.j. že afinné triedy kriviek druhého rádu sú triedy:
skutočné elipsy;
imaginárne elipsy;
hyperbola;
dvojice skutočných pretínajúcich sa čiar;
dvojice imaginárnych (konjugovaných) pretínajúcich sa;
dvojice paralelných reálnych čiar;
dvojice paralelných imaginárnych konjugovaných čiar;
páry zhodných skutočných čiar.
Potrebujeme dokázať dve tvrdenia:
A. Všetky krivky s rovnakým názvom (t. j. všetky elipsy, všetky hyperboly atď.) sú navzájom afinne ekvivalentné.
B. Dve krivky rôznych mien nie sú nikdy afinne ekvivalentné.
Dokazujeme tvrdenie A. V kapitole XV, § 3 už bolo dokázané, že všetky elipsy sú afinne ekvivalentné jednej z nich, a to kružnici, a všetky hyperboly sú hyperbolou.To znamená, že všetky elipsy, respektíve všetky hyperboly sú navzájom afinne ekvivalentné. Všetky imaginárne elipsy, ktoré sú afinne ekvivalentné kruhu - - 1 polomer, sú tiež navzájom afinne ekvivalentné.
Dokážme afinnú ekvivalenciu všetkých parabol. Ukážeme ešte viac, a to, že všetky paraboly sú si navzájom podobné. Stačí dokázať, že parabola daná v určitom súradnicovom systéme jej kanonickou rovnicou
podobne ako parabola
Aby sme to dosiahli, podrobíme rovinu transformácii podobnosti s koeficientom -:
Potom, s našou transformáciou, krivka
prechádza do zákruty
teda do paraboly
Q.E.D.
Prejdime k rozpadnutým krivkám. V § vzorcoch (9) a (11), str. 401 a 402 bolo dokázané, že krivka, ktorá sa v niektorom (aj pravouhlom) súradnicovom systéme rozdelí na dvojicu pretínajúcich sa čiar, má rovnicu
Vykonaním ďalšej transformácie súradníc
vidíme, že každá krivka, ktorá sa rozdelí na pár pretínajúcich sa skutočných, respektíve imaginárnych združených priamych čiar, má rovnicu v nejakom afinnom súradnicovom systéme
Pokiaľ ide o krivky, ktoré sa delia na pár rovnobežných priamok, každá z nich môže byť (aj v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme) daná rovnicou
pre skutočné, resp
za imaginárny, priamy. Transformácia súradníc nám umožňuje vložiť tieto rovnice (alebo pre zhodné priamky. To znamená afinnú ekvivalenciu všetkých rozpadových kriviek druhého rádu, ktoré majú rovnaký názov.
Prejdime k dôkazu tvrdenia B.
Najprv si všimnime: pri afinnej transformácii roviny zostáva poradie algebraickej krivky nezmenené. Ďalej: každá klesajúca krivka druhého rádu je dvojica priamych čiar a pri afinnej transformácii priamka prechádza do priamky, pár pretínajúcich sa čiar prechádza do dvojice pretínajúcich sa čiar a pár rovnobežných čiar ide do dvojice paralelných; okrem toho sa skutočné čiary menia na skutočné čiary a imaginárne čiary na vymyslené čiary. Vyplýva to zo skutočnosti, že všetky koeficienty vo vzorcoch (3) (kapitola XI, § 3), ktoré určujú afinnú transformáciu, sú reálne čísla.
Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že priamka afinne ekvivalentná danej krivke rozpadu druhého rádu je krivka rozpadu s rovnakým názvom.
Prejdime k neklesajúcim krivkám. Opäť platí, že pri afinnej transformácii sa skutočná krivka nemôže premeniť na imaginárnu a naopak. Preto je trieda imaginárnych elipsy afinne invariantná.
Uvažujme o triedach skutočných neklesajúcich kriviek: elipsy, hyperboly, paraboly.
Spomedzi všetkých kriviek druhého rádu leží každá elipsa, a iba elipsa, v určitom obdĺžniku, zatiaľ čo paraboly a hyperboly (ako aj všetky klesajúce krivky) siahajú do nekonečna.
Pri afinnej transformácii sa obdĺžnik ABCD obsahujúci danú elipsu zmení na rovnobežník obsahujúci transformovanú krivku, ktorá teda nemôže ísť do nekonečna, a preto je elipsou.
Takže krivka afinne ekvivalentná elipse je určite elipsa. Z dokázaného vyplýva, že krivka afinne ekvivalentná hyperbole alebo parabole nemôže byť elipsou (a tiež, ako vieme, nemôže byť ani rozpadovou krivkou. Zostáva teda len dokázať, že pri afinnej transformácii roviny , hyperbola sa nemôže premeniť na parabolu a práve naopak.To asi najjednoduchšie vyplýva z toho, že parabola nemá stred symetrie, ale hyperbola áno.Ale keďže absencia stredu symetrie pre parabola bude dokázaná až v ďalšej kapitole, teraz uvedieme druhý, tiež veľmi jednoduchý dôkaz afinnej neekvivalencie hyperboly a paraboly.
Lemma. Ak má parabola spoločné body s každou z dvoch polrovín definovaných v rovine danej priamky d, potom má aspoň jeden spoločný bod s priamkou .
V skutočnosti sme videli, že existuje súradnicový systém, v ktorom má daná parabola rovnicu
Nech má vo vzťahu k tomuto súradnicovému systému priamka d rovnicu
Podľa predpokladu sú na parabole dva body, z ktorých jeden, povedzme, leží v kladnej polrovine a druhý v zápornej polrovine vzhľadom na rovnicu (1). Preto si pamätajme, že môžeme písať
8.3.15.
Bod A leží na priamke. Vzdialenosť z bodu A do roviny 
8.3.16. Napíšte rovnicu pre priamku, ktorá je symetrická k priamke
vzhľadom na rovinu 
.
8.3.17.
Napíšte rovnice pre projekcie do roviny 
nasledujúce riadky:
A) 
;
b) 
V) 
.
8.3.18. Nájdite uhol medzi rovinou a priamkou:
A) 
;
b) 
.
8.3.19.
Nájdite bod symetrický k bodu 
vzhľadom na rovinu prechádzajúcu priamkami:
A 
8.3.20. Bod A leží na priamke
Vzdialenosť od bodu A k priamke 
rovná sa . Nájdite súradnice bodu A.
§ 8.4. KRIVKY DRUHÉHO RADU
Založme v rovine pravouhlý súradnicový systém a zvážme všeobecnú rovnicu druhého stupňa
v ktorom 
.
Zavolá sa množina všetkých bodov roviny, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (8.4.1). nepoctivý (riadok) druhá objednávka.
Pre každú krivku druhého rádu existuje pravouhlý súradnicový systém nazývaný kanonický, v ktorom rovnica tejto krivky má jednu z nasledujúcich foriem:
1)
(elipsa);
2)
(imaginárna elipsa);
3)
(dvojica pomyselných pretínajúcich sa čiar);
4)
(hyperbola);
5)
(dvojica pretínajúcich sa čiar);
6)
(parabola);
7)
(pár rovnobežných čiar);
8)
(dvojica imaginárnych rovnobežných čiar);
9) (pár zhodných čiar).
Nazývajú sa rovnice 1) – 9). kanonické rovnice kriviek druhého rádu.
Riešenie problému redukcie rovnice krivky druhého rádu na kanonickú formu zahŕňa nájdenie kanonickej rovnice krivky a kanonického súradnicového systému. Redukcia na kanonickú formu umožňuje vypočítať parametre krivky a určiť jej polohu vzhľadom na pôvodný súradnicový systém. Prechod z pôvodného pravouhlého súradnicového systému 
na kanonické 
sa uskutočňuje otáčaním osí pôvodného súradnicového systému okolo bodu O o určitý uhol j a následným paralelným posunom súradnicového systému.
Invarianty krivky druhého rádu(8.4.1) sú také funkcie koeficientov jeho rovnice, ktorých hodnoty sa nemenia pri prechode z jedného pravouhlého súradnicového systému do druhého rovnakého systému.
Pre krivku druhého rádu (8.4.1) súčet koeficientov pre umocnené súradnice
,
determinant zložený z koeficientov vedúcich členov
a determinant tretieho rádu
sú invarianty.
Hodnotu invariantov s, d, D možno použiť na určenie typu a zostavenie kanonickej rovnice krivky druhého rádu.
Tabuľka 8.1.
Klasifikácia kriviek druhého rádu na základe invariantov
|
Eliptická krivka |
SD<0. Эллипс |
|
|
sD>0. Imaginárna elipsa |
||
|
Dvojica imaginárnych čiar, ktoré sa pretínajú v skutočnom bode |
||
|
Hyperbolická krivka |
Hyperbola |
|
|
Dvojica pretínajúcich sa čiar |
||
|
Parabolická krivka |
Parabola |
|
|
Dvojica rovnobežných čiar (rôzne, imaginárne alebo zhodné) |
Pozrime sa bližšie na elipsu, hyperbolu a parabolu.
Elipsa(Obr. 8.1) je geometrické miesto bodov v rovine, pre ktoré súčet vzdialeností dvoch pevných bodov 
toto lietadlo, tzv ohniská elipsy, je konštantná hodnota (väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami). V tomto prípade nie je vylúčená zhoda ohnísk elipsy. Ak sa ohniská zhodujú, potom je elipsa kruh.
Polovičný súčet vzdialeností od bodu elipsy k jej ohniskám označujeme a, polovicu vzdialeností medzi ohniskami c. Ak je pravouhlý súradnicový systém v rovine zvolený tak, že ohniská elipsy sú umiestnené na osi Ox symetricky vzhľadom na počiatok, potom v tomto súradnicovom systéme je elipsa daná rovnicou
,
(8.4.2)
volal rovnica kanonickej elipsy, Kde 
.
 |
Ryža. 8.1
Pri špecifikovanom výbere pravouhlého súradnicového systému je elipsa symetrická vzhľadom na súradnicové osi a počiatok. Osi symetrie elipsy sa nazývajú osi a stred symetrie je stred elipsy. Zároveň sa čísla 2a a 2b často nazývajú osami elipsy a čísla a a b sú veľký A vedľajšej osi resp.
Priesečníky elipsy s jej osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Vrcholy elipsy majú súradnice (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).
Výstrednosť elipsy volané číslo
Od 0 £ c To ukazuje, že excentricita charakterizuje tvar elipsy: čím bližšie je e k nule, tým viac sa elipsa podobá kruhu; ako sa e zvyšuje, elipsa sa predlžuje. Riadky druhého rádu rovinné čiary, ktorých kartézske pravouhlé súradnice spĺňajú algebraickú rovnicu stupňa 2 a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 r + a 11 = 0. (*) Rovnica (*) nemusí definovať skutočný geometrický obraz, ale pre zachovanie všeobecnosti sa v takýchto prípadoch hovorí, že definuje imaginárny lineárny obraz. atď. V závislosti od hodnôt koeficientov všeobecnej rovnice (*) môže byť transformovaná paralelným prenosom pôvodu a rotáciou súradnicového systému o určitý uhol na jeden z 9 nižšie uvedených kanonických typov, každý z ktorých zodpovedá určitej triede čiar. presne tak, nerozbitné línie: y2 = 2px - paraboly, rozpadajúce sa čiary: x 2 - a 2 = 0 - dvojice rovnobežných čiar, x 2 + a 2 = 0 - dvojice imaginárnych rovnobežných čiar, x 2 = 0 - dvojice zhodných rovnobežných čiar. Štúdia typu L. v. možno vykonať bez redukcie všeobecnej rovnice na kanonickú formu. Dosahuje sa to spoločným zvažovaním významov tzv. základné invarianty lineárneho v. n. - výrazy zložené z koeficientov rovnice (*), ktorých hodnoty sa nemenia pri paralelnom posúvaní a otáčaní súradnicového systému: S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).
Takže napríklad elipsy, podobne ako nerozpadajúce sa čiary, sú charakteristické tým, že pre ne Δ ≠ 0; kladná hodnota invariantu δ odlišuje elipsy od iných typov nerozpadajúcich sa čiar (pre hyperboly δ Tri hlavné invarianty Δ, δ a S určujú lineárny pohyb. p (okrem prípadu rovnobežných priamok) až po pohyb (Pozri Pohyb) euklidovskej roviny: ak sú zodpovedajúce invarianty Δ, δ a S dvoch priamok rovnaké, potom je možné tieto priamky pohybom spojiť. Inými slovami, tieto čiary sú ekvivalentné vzhľadom na skupinu pohybov roviny (metricky ekvivalentné). Existujú klasifikácie L. v. z pohľadu iných transformačných skupín. Teda relatívne všeobecnejšie ako skupina pohybov – skupina afinných transformácií (pozri Afinné transformácie) – akékoľvek dve priamky definované rovnicami rovnakého kanonického tvaru sú ekvivalentné. Napríklad dve podobné L. v. n. (pozri Podobnosť)
sa považujú za rovnocenné. Spojenie medzi rôznymi afinnými triedami lineárnych v. p umožňuje zaviesť klasifikáciu z hľadiska projektívnej geometrie (pozri Projektívna geometria), v ktorej prvky v nekonečne nehrajú zvláštnu úlohu. Skutočné nerozpadajúce sa lieky. p.: elipsy, hyperboly a paraboly tvoria jednu projektívnu triedu - triedu skutočných oválnych čiar (oválov). Skutočná oválna čiara je elipsa, hyperbola alebo parabola, v závislosti od toho, ako je umiestnená vzhľadom na priamku v nekonečne: elipsa pretína nevlastnú čiaru v dvoch imaginárnych bodoch, hyperbola v dvoch rôznych skutočných bodoch, parabola sa dotýka nesprávna čiara; existujú projektívne transformácie, ktoré transformujú tieto línie jedna do druhej. Existuje iba 5 tried projektívnej ekvivalencie lineárnych vektorov. p. Presne tak, nedegenerované línie (x 1, x 2, x 3- homogénne súradnice): x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - skutočný ovál, x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - imaginárny ovál, degenerujúce línie: x 1 2 - x 2 2= 0 - pár skutočných čiar, x 1 2 + x 2 2= 0 - pár imaginárnych čiar, x 12= 0 - pár zhodných skutočných čiar. A. B. Ivanov. Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia.
1969-1978
.
Rovinné čiary, ktorých pravouhlé súradnice bodov spĺňajú algebraickú rovnicu 2. stupňa. Medzi čiarami druhého rádu sú elipsy (najmä kruhy), hyperboly, paraboly... Veľký encyklopedický slovník Rovinné čiary, ktorých pravouhlé súradnice bodov spĺňajú algebraickú rovnicu 2. stupňa. Medzi čiarami druhého rádu sú elipsy (najmä kruhy), hyperboly a paraboly. * * * RIADKY DRUHÉHO OBJEDNÁVKY RIADKY DRUHÉHO PORADU,... ... encyklopedický slovník Rovné čiary, obdĺžnikové. súradnice bodov spĺňajú algebry. stupeň 2. stupňa. Medzi L. v. atď. elipsy (najmä kružnice), hyperboly, paraboly... Prírodná veda. encyklopedický slovník Rovná čiara, karteziánske pravouhlé súradnice vyhovujú algebraike. rovnica 2. stupňa Rovnica (*) nemusí určiť skutočný geometrický. imidž, ale pre zachovanie všeobecnosti v takýchto prípadoch hovoria, že určuje... ... Matematická encyklopédia Množina bodov 3-rozmerného reálneho (alebo komplexného) priestoru, ktorých súradnice v karteziánskom systéme spĺňajú algebraické. rovnica 2. stupňa (*) Rovnica (*) nemusí určovať skutočný geometrický tvar. obrázky v takom ... ... Matematická encyklopédia Toto slovo, veľmi často používané v geometrii zakrivených čiar, má nejasný význam. Keď sa toto slovo použije na neuzavreté a nerozvetvené zakrivené čiary, potom sa vetvou krivky myslí každá súvislá samostatná... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Ephron Čiary druhého rádu, dva priemery, z ktorých každý pretína tetivy tejto krivky, rovnobežne s druhým. S. d. hrajú dôležitú úlohu vo všeobecnej teórii línií druhého rádu. Pri súčasnom premietaní elipsy na jej obvod S. d.... ... Čiary, ktoré sa získajú rezom pravého kruhového kužeľa s rovinami, ktoré neprechádzajú jeho vrcholom. K. s. môže byť troch typov: 1) rovina rezu pretína všetky tvoriace priamky kužeľa v bodoch jednej z jeho dutín; riadok...... Veľká sovietska encyklopédia Čiary získané rezom pravého kruhového kužeľa s rovinami, ktoré neprechádzajú jeho vrcholom. K. s. môže byť troch typov: 1) rovina rezu pretína všetky tvoriace priamky kužeľa v bodoch jednej z jeho dutín (obr., a): priesečník... ... Matematická encyklopédia Geometrická časť. Základnými pojmami geometrickej geometrie sú najjednoduchšie geometrické obrazy (body, priamky, roviny, krivky a plochy druhého rádu). Hlavnými prostriedkami výskumu v AG sú súradnicová metóda (pozri nižšie) a metódy... ... Veľká sovietska encyklopédia Aby som to objasnil na konkrétnom príklade, ukážem vám, čo v tejto interpretácii zodpovedá nasledujúcemu tvrdeniu: (skutočný alebo imaginárny) bod P leží na (reálnej alebo imaginárnej) priamke g. V tomto prípade, samozrejme, musíme rozlišovať medzi nasledujúcimi prípadmi: 1) skutočný bod a skutočná čiara, 2) skutočný bod a imaginárna čiara, Prípad 1) od nás nevyžaduje žiadne špeciálne vysvetlenie; Tu máme jeden zo základných vzťahov bežnej geometrie. V prípade 2) daným reálnym bodom, spolu s danou imaginárnou čiarou, musí cez ňu prechádzať aj komplexná konjugovaná čiara; preto sa tento bod musí zhodovať s vrcholom zväzku lúčov, ktorý používame na zobrazenie pomyselnej čiary. Podobne v prípade 3) musí byť skutočná čiara totožná s podporou tej priamočiarej involúcie bodov, ktorá slúži ako reprezentant daného imaginárneho bodu. Najzaujímavejší je prípad 4) (obr. 96): tu musí samozrejme komplexne združený bod ležať aj na komplexne združenej priamke a z toho vyplýva, že každá dvojica bodov v involúcii bodov reprezentujúcich bod P musí byť na nejaká dvojica čiar v involúcii čiar, znázorňujúca priamku g, t.j. že obe tieto involúcie by mali byť umiestnené perspektívne jedna voči druhej; navyše sa ukazuje, že šípky oboch involúcií sú umiestnené aj perspektívne. Vo všeobecnosti v analytickej geometrii roviny, ktorá venuje pozornosť aj komplexnej oblasti, získame úplný reálny obraz o tejto rovine, ak k množine všetkých jej reálnych bodov a priamok pridáme ako nové prvky tzv. súbor vyššie uvedených involučných postáv spolu so šípkami ich smerov. Tu postačí, ak vo všeobecnosti načrtnem, akú podobu by mala konštrukcia takéhoto reálneho obrazu zložitej geometrie. Pritom budem postupovať v poradí, v akom sa teraz zvyčajne prezentujú prvé výroky elementárnej geometrie. 1) Vychádzajú z axióm existencie, ktorých účelom je presne formulovať prítomnosť práve spomínaných prvkov v oblasti rozšírenej v porovnaní s bežnou geometriou. 2) Potom axiómy spojenia, ktoré uvádzajú, že aj v rozšírenej oblasti definovanej v odseku 1)! cez (každé) dva body prechádza jedna a len jedna priamka a že (každé) dve priamky majú jeden spoločný bod. V tomto prípade, podobne ako sme to mali vyššie, musíme vždy rozlíšiť štyri prípady v závislosti od toho, či sú dané prvky skutočné, a zdá sa byť veľmi zaujímavé presne premyslieť, ktoré reálne konštrukcie s involúciami bodov a čiar slúžia ako obraz. týchto zložitých vzťahov. 3) Čo sa týka axióm usporiadania (poradia), tu v porovnaní so skutočnými vzťahmi nastupujú na scénu úplne nové okolnosti; najmä všetky reálne a komplexné body ležiace na jednej pevnej priamke, ako aj všetky lúče prechádzajúce jedným pevným bodom tvoria dvojrozmerné kontinuum. Koniec koncov, každý z nás sa pri štúdiu teórie funkcií naučil zvyk reprezentovať množinu hodnôt komplexnej premennej všetkými bodmi roviny. 4) Nakoniec, pokiaľ ide o axiómy kontinuity, tu len naznačím, ako sú zobrazené zložité body ležiace tak blízko, ako je žiaduce, k nejakému skutočnému bodu. Aby ste to urobili, cez zachytený skutočný bod P (alebo cez nejaký iný skutočný bod blízko neho), musíte nakresliť nejakú priamku a zvážiť na nej dva páry bodov, ktoré sa navzájom oddeľujú (t. j. ležiace „skrížene“ ) (obr. 97), takže dva body z rôznych párov ležia blízko seba a bodu P; ak teraz body približujeme na neurčito, potom involúcia definovaná menovanými dvojicami bodov degeneruje, t.j. oba jej doteraz zložité dvojité body sa zhodujú s bodom Každý z dvoch imaginárnych bodov znázornených touto involúciou (spolu s jedným, resp. druhá šípka) teda prechádza kontinuálne k nejakému bodu blízko bodu P, alebo dokonca priamo k bodu P. Samozrejme, aby bolo možné tieto myšlienky kontinuity užitočne aplikovať, je potrebné s nimi podrobne pracovať . Hoci je celá táto konštrukcia v porovnaní s bežnou skutočnou geometriou dosť ťažkopádna a zdĺhavá, dokáže vyniesť neporovnateľne viac. Predovšetkým dokáže pozdvihnúť algebraické obrazy, chápané ako množiny ich reálnych a komplexných prvkov, na úroveň úplnej geometrickej jasnosti a s jeho pomocou možno v samotných obrazcoch jasne pochopiť také vety, ako je základná veta algebry, resp. Bezoutova veta, že dva rády kriviek majú, všeobecne povedané, presne spoločné body. Na tento účel by bolo samozrejme potrebné pochopiť hlavné ustanovenia v oveľa presnejšej a názornejšej forme, ako sa to robí doteraz; literatúra však už obsahuje všetok materiál podstatný pre takýto výskum. Ale vo väčšine prípadov by aplikácia tejto geometrickej interpretácie napriek všetkým jej teoretickým výhodám viedla k takým komplikáciám, že sa treba uspokojiť s jej zásadnou možnosťou a vlastne sa vrátiť k naivnejšiemu pohľadu, ktorý spočíva v nasledovnom: : komplexný bod je súborom troch komplexných súradníc a dá sa s ním pracovať presne rovnakým spôsobom ako so skutočnými bodmi. V skutočnosti sa takéto zavádzanie imaginárnych prvkov, vyhýbajúc sa akémukoľvek principiálnemu uvažovaniu, vždy osvedčilo v prípadoch, keď sme sa museli zaoberať imaginárnymi cyklickými bodmi alebo kruhom gúľ. Ako už bolo spomenuté, Poncelet ako prvý použil imaginárne prvky v tomto zmysle; jeho nasledovníkmi boli v tomto ohľade ďalší francúzski geometri, hlavne Chals a Darboux; v Nemecku toto chápanie imaginárnych prvkov s veľkým úspechom využívalo aj množstvo geometrov, najmä Lie. Týmto ústupom do ríše imaginárnej končím celú druhú časť môjho kurzu a prechádzam do novej kapitoly, Toto je všeobecne akceptovaná štandardná forma rovnice, keď je v priebehu niekoľkých sekúnd jasné, aký geometrický objekt definuje. Okrem toho je kanonická forma veľmi vhodná na riešenie mnohých praktických problémov. Teda napríklad podľa kanonickej rovnice „plochý“ rovný, po prvé je hneď jasné, že ide o priamku, a po druhé, bod, ktorý k nej patrí, a smerový vektor sú ľahko viditeľné. Je zrejmé, že akékoľvek riadok 1. poriadku je priamka. Na druhom poschodí nás už nečaká strážca, ale oveľa rozmanitejšia spoločnosť deviatich sôch: Klasifikácia línií druhého rádu Pomocou špeciálneho súboru akcií sa každá rovnica riadku druhého rádu zredukuje na jednu z nasledujúcich foriem: (a sú kladné reálne čísla) 1) 2) – kanonická rovnica hyperboly; 3) 4) – imaginárny elipsa; 5) – pár pretínajúcich sa čiar; 6) – pár imaginárny pretínajúce sa čiary (s jedným platným priesečníkom na začiatku); 7) – pár rovnobežných čiar; 8) – pár imaginárny rovnobežné čiary; 9) – pár zhodných čiar. Niektorí čitatelia môžu mať dojem, že zoznam je neúplný. Napríklad v bode č.7 rovnica určuje dvojicu priamy, rovnobežné s osou a vyvstáva otázka: kde je rovnica, ktorá určuje priamky rovnobežné s osou? Odpovedz nepovažuje sa za kanonické. Rovné čiary predstavujú rovnaký štandardný prípad otočený o 90 stupňov a dodatočný záznam v klasifikácii je nadbytočný, keďže neprináša nič zásadne nové. Existuje teda deväť a iba deväť rôznych typov liniek 2. rádu, ale v praxi sú najbežnejšie elipsa, hyperbola a parabola. Najprv sa pozrime na elipsu. Ako obvykle sa sústredím na tie body, ktoré majú veľký význam pri riešení úloh, a ak potrebujete podrobné odvodenie vzorcov, dôkazy viet, pozrite si napríklad učebnicu Bazyleva/Atanasjana alebo Aleksandrova. Elipsa a jej kanonická rovnica Pravopis... prosím, neopakujte chyby niektorých používateľov Yandexu, ktorí sa zaujímajú o „ako postaviť elipsu“, „rozdiel medzi elipsou a oválom“ a „excentricita elipsy“. Kanonická rovnica elipsy má tvar , kde sú kladné reálne čísla a . Samotnú definíciu elipsy sformulujem neskôr, ale teraz je čas dať si pauzu od rozprávania a vyriešiť bežný problém: Ako postaviť elipsu? Áno, vezmi si to a nakresli. Úloha sa vyskytuje často a významná časť študentov sa s kresbou nevyrovná správne: Príklad 1 Zostrojte elipsu danú rovnicou Riešenie: Najprv privedieme rovnicu do kanonickej podoby: Prečo priniesť? Jednou z výhod kanonickej rovnice je, že vám umožňuje okamžite určiť vrcholy elipsy, ktoré sa nachádzajú v bodoch. Je ľahké vidieť, že súradnice každého z týchto bodov vyhovujú rovnici. V tomto prípade : Aby ste si rýchlo predstavili, ako konkrétna elipsa vyzerá, stačí sa pozrieť na hodnoty „a“ a „be“ jej kanonickej rovnice. Všetko je v poriadku, hladké a krásne, ale je tu jedno upozornenie: kresbu som dokončil pomocou programu. A môžete urobiť kresbu pomocou akejkoľvek aplikácie. V drsnej realite je však na stole károvaný papier a na rukách nám tancujú myši v kruhoch. Ľudia s umeleckým talentom sa samozrejme môžu hádať, ale máte aj myši (hoci menšie). Nie je zbytočné, že ľudstvo vynašlo pravítko, kompas, uhlomer a ďalšie jednoduché zariadenia na kreslenie. Z tohto dôvodu je nepravdepodobné, že budeme schopní presne nakresliť elipsu, ak poznáme iba vrcholy. Je v poriadku, ak je elipsa malá, napríklad s poloosami. Prípadne môžete zmenšiť mierku a podľa toho aj rozmery výkresu. Vo všeobecnosti je však veľmi žiaduce nájsť ďalšie body. Existujú dva prístupy ku konštrukcii elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád konštrukciu pomocou kružidla a pravítka, pretože algoritmus nie je najkratší a kresba je výrazne neprehľadná. V prípade núdze si prosím pozrite učebnicu, ale v skutočnosti je oveľa racionálnejšie použiť nástroje algebry. Z rovnice elipsy v návrhu rýchlo vyjadríme: Rovnica sa potom rozdelí na dve funkcie: Akákoľvek elipsa je symetrická vzhľadom na súradnicové osi, ako aj vzhľadom na počiatok. A to je skvelé – symetria je takmer vždy predzvesťou darčekov zadarmo. Očividne stačí riešiť 1. súradnicovú štvrtinu, takže funkciu potrebujeme Označme body na výkrese (červená), symetrické body na zvyšných oblúkoch (modrá) a opatrne spojíme celú spoločnosť čiarou: 
.
Pozrite sa, čo sú „riadky druhého rádu“ v iných slovníkoch:
knihy
– kanonická rovnica elipsy;
– kanonická rovnica paraboly;
Úsečka volal hlavná os elipsa;
úsečka – vedľajšej osi;
číslo 
volal polohlavný hriadeľ elipsa;
číslo 
– vedľajšej osi.
v našom príklade: .
– definuje horný oblúk elipsy; 
– definuje spodný oblúk elipsy.
. Žiada, aby ste našli ďalšie body s úsečkami 
. Ťuknime na tri SMS správy na kalkulačke: 
Samozrejme, je tiež pekné, že ak sa vo výpočtoch urobí vážna chyba, okamžite sa to prejaví počas výstavby.
Počiatočný náčrt je lepšie nakresliť veľmi tenko a až potom zatlačte ceruzkou. Výsledkom by mala byť celkom slušná elipsa. Mimochodom, chceli by ste vedieť, čo je to za krivku?