Veda, ktorá študuje množstvá, kvantitatívne vzťahy a priestorové formy. Matematika je súbor vied, ktoré študujú množstvá, kvantitatívne vzťahy a veda, ktorá študuje množstvá, kvantitatívne vzťahy a priestorové formy.

MATEMATIKA – náuka o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reálneho sveta; Grécke slovo (matematika) pochádza z gréckeho slova (mathema), čo znamená „vedomosť“, „veda“.

Matematika vznikla v staroveku z praktických potrieb ľudí. Jeho obsah a charakter sa v priebehu histórie menili a menia sa aj teraz. Od prvotných predmetových pojmov kladné celé číslo, ako aj od pojmu úsečka priamky ako najkratšej vzdialenosti medzi dvoma bodmi prešla matematika dlhou vývojovou cestou, kým sa stala abstraktnou vedou so špecifickými výskumnými metódami.

Moderné chápanie priestorových foriem je veľmi široké. Zahŕňa popri geometrických objektoch trojrozmerného priestoru (priamka, kruh, trojuholník, kužeľ, valec, guľa a pod.) aj početné zovšeobecnenia – pojmy viacrozmerný a nekonečnerozmerný priestor, ako aj geometrické objekty v ich a oveľa viac. Rovnakým spôsobom sa kvantitatívne vzťahy teraz vyjadrujú nielen kladnými celými alebo racionálnymi číslami, ale aj pomocou komplexné čísla, vektory, funkcie Rozvoj vedy a techniky núti matematiku neustále rozširovať svoje predstavy o priestorových formách a kvantitatívnych vzťahoch.

Pojmy matematiky sú abstrahované od konkrétnych javov a predmetov; získavajú sa ako výsledok abstrakcie od kvalitatívnych znakov špecifických pre daný okruh javov a predmetov. Táto okolnosť je mimoriadne dôležitá pre aplikácie matematiky. Číslo 2 nie je neoddeliteľne spojené so žiadnym konkrétnym obsahom predmetu. Môže odkazovať na dve jablká, dve knihy alebo dve myšlienky. So všetkými týmito a nespočetnými ďalšími predmetmi zaobchádza rovnako dobre. Rovnako tak geometrické vlastnosti lopty sa nemenia, pretože je vyrobená zo skla, ocele alebo stearínu. Samozrejme, abstrahovanie od vlastností predmetu ochudobňuje naše vedomosti o tomto predmete, o jeho charakteristických materiálnych vlastnostiach. Zároveň je to práve táto abstrakcia od špeciálnych vlastností jednotlivých predmetov, ktorá dáva pojmom všeobecnosť a umožňuje aplikovať matematiku na najrozmanitejšie javy hmotnej prírody. Rovnaké matematické zákony, rovnaký matematický aparát teda možno celkom uspokojivo aplikovať na opis prírodných javov, technických, ale aj ekonomických a spoločenských procesov.

Abstraktnosť pojmov nie je výlučnou črtou matematiky; akékoľvek vedecké a všeobecné pojmy obsahujú prvok abstrakcie od vlastností konkrétnych vecí. Ale v matematike ide proces abstrakcie ďalej ako v prírodných vedách; V matematike je široko používaný proces vytvárania abstrakcií na rôznych úrovniach. Áno, koncept skupiny vznikli abstrahovaním od niektorých vlastností zbierky čísel a iných abstraktných pojmov. Pre matematiku je charakteristický aj spôsob získavania jej výsledkov. Ak sa prírodovedec neustále uchyľuje k skúsenostiam, aby dokázal svoje pozície, potom matematik dokazuje svoje výsledky iba logickým uvažovaním. V matematike nemôže byť ani jeden výsledok považovaný za preukázaný, kým nepotrebuje logický dôkaz, a to aj vtedy, ak tento výsledok potvrdia špeciálne experimenty. Pravdivosť matematických teórií zároveň preveruje aj prax, ale táto skúška má osobitný charakter: základné pojmy matematiky sa formujú ako výsledok ich dlhodobej kryštalizácie z partikulárnych potrieb praxe; samotné pravidlá logiky boli vyvinuté až po tisíckach rokov pozorovania toku procesov v prírode; Z potrieb praxe vyplýva aj formulovanie viet a formulovanie úloh v matematike. Matematika vznikla z praktických potrieb a jej prepojenie s praxou bolo postupom času čoraz rozmanitejšie a hlbšie.

V zásade možno matematiku použiť na štúdium akéhokoľvek druhu pohybu, širokej škály javov. V skutočnosti jeho úloha v rôznych oblastiach vedeckej a praktickej činnosti nie je rovnaká. Úloha matematiky je obzvlášť veľká pri rozvoji modernej fyziky, chémie, mnohých oblastí techniky a vôbec pri štúdiu tých javov, kde aj výrazná abstrakcia od ich špecificky kvalitatívnych znakov umožňuje celkom presne pochopiť kvantitatívne a priestorové vzory, ktoré sú im vlastné. Napríklad matematické štúdium pohybu nebeských telies, založené na významných abstrakciách od ich skutočných čŕt (telesá sa považujú napríklad za hmotné body), viedlo a vedie k vynikajúcej zhode s ich skutočným pohybom. Na tomto základe je možné nielen vopred vypočítať nebeské javy (zatmenia, polohy planét a pod.), ale aj predpovedať existenciu planét, ktoré predtým neboli pozorované na základe odchýlok skutočných pohybov od vypočítaných (Pluto bol takto objavený v roku 1930, Neptún v roku 1846). Menšie, ale stále významné miesto zaujíma matematika v takých vedách ako ekonómia, biológia a medicína. Kvalitatívna jedinečnosť javov študovaných v týchto vedách je taká veľká a tak silne ovplyvňuje povahu ich toku, že matematická analýza môže stále zohrávať len vedľajšiu úlohu. Osobitný význam má pre sociálne a biologické vedy matematická štatistika. Aj samotná matematika sa vyvíja pod vplyvom požiadaviek prírodných vied, techniky a ekonómie. V posledných rokoch sa objavilo množstvo matematických disciplín, ktoré vznikli na základe praktických potrieb: teória informácie, teória hier atď.

Je zrejmé, že prechod z jednej etapy poznania javov do ďalšej, presnejšej, kladie na matematiku nové nároky a vedie k vytváraniu nových pojmov a nových výskumných metód. Požiadavky astronómie, prechádzajúce od čisto popisných znalostí k presnému poznaniu, teda viedli k rozvoju základných pojmov trigonometria: v 2. storočí pred Kristom staroveký grécky vedec Hipparchos zostavil tabuľky akordov zodpovedajúcich moderným tabuľkám sínusov; starogrécki vedci v 1. storočí Menelaos a v 2. storočí Claudius Ptolemaios vytvorili základy sférická trigonometria. Zvýšený záujem o štúdium pohybu, spôsobený rozvojom výroby, navigácie, delostrelectva atď., viedol v 17. storočí k vytvoreniu konceptov matematická analýza, rozvoj novej matematiky. Rozsiahle zavádzanie matematických metód do štúdia prírodných javov (predovšetkým astronomických a fyzikálnych) a rozvoj techniky (najmä strojárstva) viedli v 18. a 19. storočí k prudkému rozvoju teoretickej mechaniky a teórie. diferenciálne rovnice. Rozvoj predstáv o molekulárnej štruktúre hmoty spôsobil prudký rozvoj teória pravdepodobnosti. V súčasnosti môžeme na mnohých príkladoch sledovať vznik nových oblastí matematického výskumu. Úspechy treba uznať za mimoriadne významné výpočtová matematika a výpočtovej techniky a transformácií, ktoré produkujú v mnohých odvetviach matematiky.

Historický náčrt. V dejinách matematiky možno identifikovať štyri obdobia s výraznými kvalitatívnymi rozdielmi. Je ťažké presne rozdeliť tieto obdobia, pretože každé nasledujúce sa vyvíjalo v rámci toho predchádzajúceho, a preto boli dosť významné prechodné etapy, keď sa nové myšlienky len objavovali a ešte sa nestali smerodajnými ani v samotnej matematike, ani v jej aplikáciách.

1) Obdobie zrodu matematiky ako samostatnej vednej disciplíny; začiatok tohto obdobia sa stráca v hĺbke histórie; trvalo približne do 6-5 storočí pred naším letopočtom. e.

2) Obdobie elementárnej matematiky, matematika konštantných veličín; pokračovalo približne do konca 17. storočia, keď vývoj novej, „vyššej“ matematiky pokročil dosť ďaleko.

3) Obdobie matematiky premenných; charakterizované tvorbou a rozvojom matematickej analýzy, štúdiom procesov v ich pohybe a vývoji.

4) Obdobie modernej matematiky; charakterizované vedomým a systematickým štúdiom možných typov kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem. V geometrii sa neštuduje len skutočný trojrozmerný priestor, ale aj priestorové formy jemu podobné. V matematickej analýze sa berú do úvahy premenné, ktoré závisia nielen od číselného argumentu, ale aj od určitej línie (funkcie), ktorá vedie k pojmom funkčnosť A operátor. Algebra zmenila na teóriu algebraických operácií na prvkoch ľubovoľnej povahy. Len keby sa na nich dali vykonávať tieto operácie. Začiatok tohto obdobia možno prirodzene pripísať 1. polovici 19. storočia.

V starovekom svete boli matematické informácie spočiatku súčasťou vedomostí kňazov a vládnych úradníkov. Prísun týchto informácií, ako možno usúdiť z už rozlúštených hlinených babylonských tabuliek a egyptských matematické papyrusy, bol pomerne veľký. Existujú dôkazy, že tisíc rokov pred starovekým gréckym vedcom Pytagorasom bola v Mezopotámii známa nielen Pytagorova teória, ale bol vyriešený aj problém nájdenia všetkých pravouhlých trojuholníkov s celočíselnými stranami. Drvivú väčšinu dokumentov tej doby však tvoria zbierky pravidiel na vykonávanie jednoduchých počtových operácií, ako aj na výpočet plôch obrazcov a objemov telies. Na uľahčenie týchto výpočtov sa zachovali aj rôzne tabuľky. Vo všetkých príručkách nie sú pravidlá formulované, ale sú vysvetlené na častých príkladoch. Transformácia matematiky na formalizovanú vedu so zavedenou deduktívnou metódou konštrukcie nastala v starovekom Grécku. Tam prestala byť matematická tvorivosť bezmenná. Praktické aritmetika a geometria v starovekom Grécku mal vysokú úroveň rozvoja. Začiatok gréckej geometrie je spojený s menom Tálesa z Milétu (koniec 7. storočia pred Kristom – začiatok 6. storočia pred Kristom), ktorý priniesol primárne poznatky z Egypta. V škole Pytagora zo Samosu (6. storočie pred n. l.) sa skúmala deliteľnosť čísel, sčítavali sa najjednoduchšie priebehy, skúmali sa dokonalé čísla, uvažovali sa rôzne typy priemerov (aritmetický priemer, geometrický priemer, harmonický priemer) , Opäť sa našli pytagorejské čísla (trojice celých čísel, ktoré môžu byť stranami pravouhlého trojuholníka). V 5. – 6. storočí pred n. vznikli slávne problémy staroveku - kvadratúra kruhu, trisekcia uhla, zdvojnásobenie kocky a boli zostrojené prvé iracionálne čísla. Prvá systematická učebnica geometrie sa pripisuje Hippokratovi z Chiu (2. polovica 5. storočia pred Kristom). Do tejto doby sa datuje významný úspech platónskej školy spojený s pokusmi o racionálne vysvetlenie štruktúry hmoty vo Vesmíre, hľadanie všetkých pravidelných mnohostenov. Na rozhraní 5. a 4. storočia pred Kr. Democritus, založený na atómových koncepciách, navrhol metódu na určenie objemov telies. Túto metódu možno považovať za prototyp infinitezimálnej metódy. V 4. storočí pred Kr. Eudoxus z Cnidu vyvinul teóriu proporcií. 3. storočie pred Kristom sa vyznačuje najväčšou intenzitou matematickej tvorivosti. (1. storočie tzv. alexandrijskej éry). V 3. storočí pred Kr. pracovali matematici ako Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy, Eratosthenes; neskôr – Volavka (1. storočie n. l.) Diophantus (3. storočie). Euclid vo svojich Elementoch zhromaždil a podrobil konečnému logickému spracovaniu úspechy v oblasti geometrie; zároveň položil základy teórie čísel. Archimedovým hlavným úspechom v geometrii bolo určenie rôznych oblastí a objemov. Diophantus študoval predovšetkým riešenie rovníc v racionálnych kladných číslach. Od konca 3. storočia sa začal úpadok gréckej matematiky.

Významný rozvoj zaznamenala matematika v starovekej Číne a Indii. Čínski matematici sa vyznačujú vysokou technikou vykonávania výpočtov a záujmom o vývoj všeobecných algebraických metód. V 2.-1.storočí pred Kr. Bola napísaná „Matematici v deviatich knihách“. Obsahuje rovnaké techniky na extrakciu druhých odmocnín, ktoré sú prezentované v modernej škole: metódy riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, aritmetická formulácia Pytagorovej vety.

Indickej matematike, ktorej rozkvet sa datuje do 5. – 12. storočia, sa pripisuje používanie moderného desiatkového číslovania, ako aj nuly na označenie absencie jednotiek danej hodnosti a zásluhy o oveľa širší rozvoj algebra ako Diophantus, ktorá pracuje nielen s kladnými racionálnymi číslami, ale aj zápornými a iracionálnymi číslami.

Arabské výboje viedli k tomu, že od Strednej Ázie až po Pyrenejský polostrov vedci v priebehu 9. – 15. storočia používali arabský jazyk. V 9. storočí stredoázijský vedec al-Khorezmi prvýkrát predstavil algebru ako nezávislú vedu. Počas tohto obdobia mnohé geometrické problémy dostali algebraickú formuláciu. Sýrčan al-Battani zaviedol do úvahy trigonometrické funkcie sínus, tangenta a kotangens.Samarkandský vedec al-Kashi (15. storočie) zaviedol do úvahy desatinné zlomky a systematicky predstavil Newtonov binomický vzorec.

Výrazne nové obdobie vo vývoji matematiky začalo v 17. storočí, keď do matematiky jednoznačne vstúpila myšlienka pohybu a zmeny. Uvažovanie o premenných a súvislostiach medzi nimi viedlo k pojmom funkcie, derivácie a integrály, diferenciálny počet, integrálny počet a ku vzniku novej matematickej disciplíny – matematickej analýzy.

Od konca 18. storočia do začiatku 19. storočia sa vo vývoji matematiky pozorovalo množstvo výrazne nových čŕt. Najcharakteristickejším z nich bol záujem o kritické prehodnotenie množstva problémov zdôvodňovania matematiky. Vágne predstavy o infinitezimáloch boli nahradené presnými formuláciami spojenými s pojmom limita.

V algebre v 19. storočí bola objasnená otázka možnosti riešenia algebraických rovníc v radikáloch (nórsky vedec N. Abel, francúzsky vedec E. Galois).

V 19. a 20. storočí prerástli numerické metódy matematiky do samostatného odvetvia - výpočtovej matematiky. Odvetvie matematiky, ktoré sa rozvinulo v 19. a 20. storočí, matematická logika, našla dôležité uplatnenie v novej výpočtovej technike.

Materiál pripravil O. V. Leščenko, učiteľ matematiky.

Idealizované vlastnosti skúmaných objektov sú buď formulované vo forme axióm, alebo sú uvedené v definícii zodpovedajúcich matematických objektov. Potom sa podľa prísnych pravidiel logickej inferencie z týchto vlastností odvodia ďalšie skutočné vlastnosti (vety). Táto teória spolu tvorí matematický model skúmaného objektu. Matematika teda spočiatku vychádzajúc z priestorových a kvantitatívnych vzťahov dostáva abstraktnejšie vzťahy, ktorých štúdium je tiež predmetom modernej matematiky.

Matematika sa tradične delí na teoretickú, ktorá vykonáva hĺbkovú analýzu vnútromatematických štruktúr, a aplikovanú, ktorá poskytuje svoje modely iným vedným a inžinierskym disciplínam, z ktorých niektoré zaujímajú pozíciu hraničiacu s matematikou. Najmä formálnu logiku možno považovať za súčasť filozofických vied aj za súčasť matematických vied; mechanika – fyzika aj matematika; informatika, počítačová technológia a algoritmy spadajú pod inžinierske aj matematické vedy atď. V literatúre bolo navrhnutých mnoho rôznych definícií matematiky.

Etymológia

Slovo „matematika“ pochádza zo starovekej gréčtiny. μάθημα, čo znamená študovať, vedomosti, veda, atď.-grécky. μαθηματικός, pôvodne znamená vnímavý, úspešný, neskôr vhodné na štúdium, následne súvisiace s matematikou. najmä μαθηματικὴ τέχνη , v latinčine ars matematika, znamená umenie matematiky. Termín je starogrécky. μᾰθημᾰτικά v modernom zmysle slova „matematika“ sa nachádza už v dielach Aristotela (IV. storočie pred Kristom). Podľa Vasmera sa slovo dostalo do ruského jazyka buď prostredníctvom poľštiny. matematyka, alebo cez lat. matematika.

Definície

Jednu z prvých definícií predmetu matematiky dal Descartes:

Oblasť matematiky zahŕňa len tie vedy, v ktorých sa uvažuje buď o poriadku alebo miere, a nie je vôbec dôležité, či sú to čísla, obrazce, hviezdy, zvuky alebo čokoľvek iné, v čom sa táto miera hľadá. Preto musí existovať nejaký druh všeobecnej vedy, ktorá vysvetľuje všetko, čo súvisí s poriadkom a mierou, bez toho, aby sa pustila do štúdia akýchkoľvek konkrétnych predmetov, a táto veda by sa nemala nazývať cudzia, ale starý názov univerzálnej matematiky, ktorý už prišiel. do používania.

Podstata matematiky... je teraz prezentovaná ako doktrína vzťahov medzi predmetmi, o ktorých nie je nič známe, okrem niektorých vlastností, ktoré ich opisujú - presne tých, ktoré sú ako axiómy základom teórie... Matematika je súbor abstraktných foriem – matematické štruktúry.

Úseky matematiky

1. Matematika ako akademická disciplína

Označenia

Keďže matematika sa zaoberá mimoriadne rozmanitými a dosť zložitými štruktúrami, aj jej zápis je veľmi zložitý. Moderný systém písania vzorcov sa sformoval na základe európskej algebraickej tradície, ako aj potrieb neskorších odborov matematiky - matematickej analýzy, matematickej logiky, teórie množín atď. Geometria od nepamäti využívala vizuálne (geometrické ) zastupovanie. V modernej matematike sú bežné aj zložité systémy grafického zápisu (napríklad komutatívne diagramy), často sa používa aj zápis založený na grafoch.

Krátky príbeh

Filozofia matematiky

Ciele a metódy

Priestor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), o n > 3 (\displaystyle n>3) je matematický vynález. Ide však o veľmi dômyselný vynález, ktorý pomáha pochopiť matematicky zložité javy».

Dôvody

Intuicionizmus

Konštruktívna matematika

objasniť

Hlavné témy

Množstvo

Hlavnou časťou zaoberajúcou sa abstrakciou množstva je algebra. Pojem „číslo“ pôvodne pochádza z aritmetických pojmov a súvisí s prirodzenými číslami. Neskôr sa pomocou algebry postupne rozšíril na celé čísla, racionálne, reálne, komplexné a iné čísla.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Racionálne čísla 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Reálne čísla − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\bodky) Komplexné čísla Kvaternióny

Premeny

Analýza uvažuje o javoch premien a zmien v najvšeobecnejšej podobe.

Štruktúry

Priestorové vzťahy

Geometria skúma základy priestorových vzťahov. Trigonometria skúma vlastnosti goniometrických funkcií. Diferenciálna geometria je štúdium geometrických objektov prostredníctvom matematickej analýzy. Vlastnosti priestorov, ktoré zostávajú nezmenené pri spojitých deformáciách a samotný fenomén spojitosti sú študované topológiou.

Diskrétna matematika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\šípka doprava P(x“)))

Matematika vznikla veľmi dávno. Muž zbieral ovocie, okopával plody, chytal ryby a všetko skladoval na zimu. Aby človek pochopil, koľko potravín sa skladovalo, vynašiel počítanie. Takto začala vznikať matematika.

Potom sa človek začal venovať poľnohospodárstvu. Bolo potrebné merať pozemky, stavať domy, merať čas.

To znamená, že bolo potrebné, aby človek používal kvantitatívny vzťah skutočného sveta. Zistite, koľko úrody sa zozbieralo, aká je veľkosť stavebného pozemku alebo aká veľká je plocha oblohy s určitým počtom jasných hviezd.

Okrem toho človek začal určovať tvary: okrúhle slnko, hranatá krabica, oválne jazero a ako sa tieto objekty nachádzajú v priestore. To znamená, že sa človek začal zaujímať o priestorové formy skutočného sveta.

Teda koncept matematiky možno definovať ako vedu o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reálneho sveta.

V súčasnosti neexistuje jediné povolanie, kde by sa človek zaobišiel bez matematiky. Slávny nemecký matematik Carl Friedrich Gauss, ktorý bol nazývaný „kráľom matematiky“, raz povedal:

"Matematika je kráľovnou vied, aritmetika je kráľovnou matematiky."

Slovo "aritmetika" pochádza z gréckeho slova "aritmos" - "číslo".

teda aritmetika je odvetvie matematiky, ktoré študuje čísla a operácie s nimi.

Na základnej škole sa primárne vyučuje aritmetika.

Ako sa táto veda vyvinula, poďme preskúmať túto otázku.

Obdobie zrodu matematiky

Za hlavné obdobie akumulácie matematických poznatkov sa považuje doba pred 5. storočím pred Kristom.

Prvý, kto začal dokazovať matematické tvrdenia, bol starogrécky mysliteľ, ktorý žil v 7. storočí pred Kristom, pravdepodobne v rokoch 625 - 545. Tento filozof cestoval do krajín východu. Tradície hovoria, že študoval u egyptských kňazov a babylonských Chaldejcov.

Táles z Milétu priniesol z Egypta do Grécka prvé koncepty elementárnej geometrie: čo je priemer, čo určuje trojuholník atď. Predpovedal zatmenie Slnka a navrhol inžinierske stavby.

V tomto období sa postupne rozvíjala aritmetika, rozvíjala sa astronómia a geometria. Zrodila sa algebra a trigonometria.

Obdobie elementárnej matematiky

Toto obdobie začína od VI pred Kr. Teraz sa matematika objavuje ako veda s teóriami a dôkazmi. Objavuje sa teória čísel, doktrína veličín a ich meranie.

Najznámejším matematikom tejto doby je Euclid. Žil v 3. storočí pred Kristom. Tento muž je autorom prvého teoretického pojednania o matematike, ktoré sa k nám dostalo.

V dielach Euklida sú dané základy takzvanej euklidovskej geometrie – ide o axiómy, ktoré spočívajú na základných pojmoch, ako napr.

V období elementárnej matematiky vznikla teória čísel, ako aj náuka o veličinách a ich meraní. Prvýkrát sa objavujú záporné a iracionálne čísla.

Na konci tohto obdobia sa pozoruje vytvorenie algebry ako doslovného počtu. Samotná veda „algebra“ sa medzi Arabmi objavuje ako veda o riešení rovníc. Slovo „algebra“ v arabčine znamená „obnovenie“, to znamená prenos záporných hodnôt do inej časti rovnice.

Obdobie matematiky premenných

Za zakladateľa tohto obdobia sa považuje René Descartes, ktorý žil v 17. storočí nášho letopočtu. Descartes vo svojich spisoch prvýkrát predstavil koncept premennej veličiny.

Vedci vďaka tomu prechádzajú od skúmania konštantných veličín k skúmaniu závislostí medzi premennými veličinami a k ​​matematickému popisu pohybu.

Toto obdobie najvýraznejšie charakterizoval Friedrich Engels, ktorý vo svojich spisoch napísal:

„Prelomovým bodom v matematike bola karteziánska premenná. Vďaka tomu vstúpil do matematiky pohyb a tým aj dialektika a vďaka tomu sa okamžite stal nevyhnutným diferenciálny a integrálny počet, ktorý okamžite vzniká a ktorý bol vo všeobecnosti dokončený a nevynájdený Newtonom a Leibnizom.

Obdobie modernej matematiky

V 20. rokoch 19. storočia sa Nikolaj Ivanovič Lobačevskij stal zakladateľom takzvanej neeuklidovskej geometrie.

Od tohto momentu začína vývoj najdôležitejších odvetví modernej matematiky. Napríklad teória pravdepodobnosti, teória množín, matematická štatistika atď.

Všetky tieto objavy a výskumy nachádzajú široké uplatnenie v rôznych oblastiach vedy.

A v súčasnosti sa veda o matematike rýchlo rozvíja, predmet matematika sa rozširuje, zahŕňa nové formy a vzťahy, dokazujú sa nové vety a prehlbujú sa základné pojmy.

Idealizované vlastnosti skúmaných objektov sú buď formulované vo forme axióm, alebo sú uvedené v definícii zodpovedajúcich matematických objektov. Potom sa podľa prísnych pravidiel logickej inferencie z týchto vlastností odvodia ďalšie skutočné vlastnosti (vety). Táto teória spolu tvorí matematický model skúmaného objektu. Matematika teda spočiatku na základe priestorových a kvantitatívnych vzťahov dostáva abstraktnejšie vzťahy, ktorých skúmanie je aj predmetom modernej matematiky.

Matematika sa tradične delí na teoretickú, ktorá vykonáva hĺbkovú analýzu vnútromatematických štruktúr, a aplikovanú, ktorá poskytuje svoje modely iným vedným a inžinierskym disciplínam, z ktorých niektoré zaujímajú pozíciu hraničiacu s matematikou. Najmä formálnu logiku možno považovať za súčasť filozofických vied aj za súčasť matematických vied; mechanika – fyzika aj matematika; informatika, počítačová technológia a algoritmus sa týkajú inžinierskych aj matematických vied atď. V literatúre bolo navrhnutých mnoho rôznych definícií matematiky (pozri).

Etymológia

Slovo „matematika“ pochádza zo starovekej gréčtiny. μάθημα ( máthēma), čo znamená študovať, vedomosti, veda, atď.-grécky. μαθηματικός ( mathēmatikós), pôvodný význam vnímavý, úspešný, neskôr vhodné na štúdium, následne súvisiace s matematikou. najmä μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), v latinčine ars matematika, znamená umenie matematiky.

Definície

Oblasť matematiky zahŕňa len tie vedy, v ktorých sa uvažuje buď o poriadku alebo miere, a nie je vôbec dôležité, či sú to čísla, obrazce, hviezdy, zvuky alebo čokoľvek iné, v čom sa táto miera hľadá. Preto musí existovať nejaký druh všeobecnej vedy, ktorá vysvetľuje všetko, čo súvisí s poriadkom a mierou, bez toho, aby sa pustila do štúdia akýchkoľvek konkrétnych predmetov, a táto veda by sa nemala nazývať cudzia, ale starý názov univerzálnej matematiky, ktorý už prišiel. do používania.

V sovietskych časoch sa definícia z TSB od A. N. Kolmogorova považovala za klasickú:

Matematika... veda o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reálneho sveta.

Podstata matematiky... je teraz prezentovaná ako doktrína vzťahov medzi predmetmi, o ktorých nie je nič známe, okrem niektorých vlastností, ktoré ich opisujú - presne tých, ktoré sú ako axiómy základom teórie... Matematika je súbor abstraktných foriem – matematické štruktúry.

Uveďme niekoľko modernejších definícií.

Moderná teoretická („čistá“) matematika je veda o matematických štruktúrach, matematických invariantoch rôznych systémov a procesov.

Matematika je veda, ktorá poskytuje možnosť výpočtu modelov, ktoré možno zredukovať na štandardnú (kanonickú) formu. Veda o hľadaní riešení analytických modelov (analýza) pomocou formálnych transformácií.

Úseky matematiky

1. Matematika ako akademická disciplína sa v Ruskej federácii delí na základnú matematiku, študuje na strednej škole a tvorí ju disciplíny:

  • elementárna geometria: planimetria a stereometria
  • teória elementárnych funkcií a prvkov analýzy

4. Americká matematická spoločnosť (AMS) vyvinula vlastný štandard na klasifikáciu odvetví matematiky. Volá sa to Klasifikácia predmetov z matematiky. Táto norma sa pravidelne aktualizuje. Aktuálna verzia je MSC 2010. Predchádzajúca verzia je MSC 2000.

Označenia

Pretože matematika sa zaoberá mimoriadne rozmanitými a pomerne zložitými štruktúrami, systém zápisov je tiež veľmi zložitý. Moderný systém písania vzorcov bol vytvorený na základe európskej algebraickej tradície, ako aj matematickej analýzy (pojem funkcie, derivácie atď.). Od nepamäti geometria využívala vizuálne (geometrické) zobrazenie. V modernej matematike sú bežné aj zložité systémy grafického zápisu (napríklad komutatívne diagramy), často sa používa aj zápis založený na grafoch.

Krátky príbeh

Rozvoj matematiky sa opiera o písanie a schopnosť písať čísla. Pravdepodobne starovekí ľudia najskôr vyjadrovali množstvá nakreslením čiar na zemi alebo ich škrabaním na drevo. Starovekí Inkovia, ktorí nemali žiadny iný systém písania, reprezentovali a ukladali číselné údaje pomocou zložitého systému uzlov lán nazývaných quipus. Existovalo veľa rôznych číselných systémov. Prvé známe záznamy o číslach sa našli v Ahmesovom papyruse, ktorý vytvorili Egypťania zo Strednej ríše. Civilizácia Indus vyvinula moderný systém desiatkových čísel, ktorý zahŕňal koncept nuly.

Historicky základné matematické disciplíny vznikli z potreby vykonávať výpočty v komerčnej sfére, pri meraní pôdy a predpovedať astronomické javy a neskôr riešiť nové fyzikálne problémy. Každá z týchto oblastí zohráva veľkú úlohu v širokom rozvoji matematiky, ktorý pozostáva zo štúdia štruktúr, priestorov a zmien.

Filozofia matematiky

Ciele a metódy

Matematika študuje imaginárne, ideálne objekty a vzťahy medzi nimi pomocou formálneho jazyka. Vo všeobecnosti matematické pojmy a vety nemusia nevyhnutne zodpovedať čomukoľvek vo fyzickom svete. Hlavnou úlohou aplikovanej časti matematiky je vytvorenie matematického modelu, ktorý je dostatočne adekvátny reálnemu skúmanému objektu. Úlohou teoretického matematika je poskytnúť dostatočný súbor vhodných prostriedkov na dosiahnutie tohto cieľa.

Obsah matematiky možno definovať ako systém matematických modelov a nástrojov na ich tvorbu. Model objektu nezohľadňuje všetky jeho vlastnosti, ale len tie najpotrebnejšie pre účely štúdia (idealizované). Napríklad pri štúdiu fyzikálnych vlastností pomaranča môžeme abstrahovať od jeho farby a chuti a predstaviť si ho (aj keď nie úplne presne) ako guľu. Ak potrebujeme pochopiť, koľko pomarančov dostaneme, ak spočítame dva a tri dohromady, potom môžeme abstrahovať od tvaru a ponechať modelu len jednu charakteristiku – množstvo. Abstrakcia a vytváranie spojení medzi objektmi v najvšeobecnejšej forme je jedným z hlavných smerov matematickej tvorivosti.

Ďalším smerom spolu s abstrakciou je zovšeobecňovanie. Napríklad zovšeobecnenie pojmu „priestor“ na priestor n-rozmerov. " Vesmír je matematický vynález. Ide však o veľmi dômyselný vynález, ktorý pomáha pochopiť matematicky zložité javy».

Štúdium intra-matematických objektov sa spravidla uskutočňuje pomocou axiomatickej metódy: najprv sa pre skúmané objekty sformuluje zoznam základných pojmov a axióm a potom sa z axióm získajú zmysluplné vety pomocou pravidiel odvodzovania, ktoré spolu vytvoriť matematický model.

Dôvody

Otázka podstaty a základov matematiky bola diskutovaná už od čias Platóna. Od 20. storočia existuje relatívna zhoda v tom, čo sa kvalifikuje ako prísny matematický dôkaz, ale len malá zhoda v tom, čo sa v matematike považuje za samozrejmú pravdu. To vedie k nezhodám v otázkach axiomatiky a vzájomného vzťahu medzi odvetviami matematiky, ako aj vo výbere logických systémov, ktoré by sa mali použiť pri dôkazoch.

Okrem skeptického sú známe aj nasledujúce prístupy k tejto problematike.

Množinový prístup

Navrhuje sa uvažovať o všetkých matematických objektoch v rámci teórie množín, najčastejšie so Zermelo-Frenkelovou axiomatikou (hoci existuje mnoho ďalších ekvivalentných). Tento prístup sa považuje za prevládajúci od polovice 20. storočia, no v skutočnosti si väčšina matematických prác nekladie za cieľ preložiť svoje tvrdenia striktne do jazyka teórie množín, ale operuje s pojmami a faktami ustálenými v niektorých oblastiach matematiky. Ak sa teda v teórii množín objaví rozpor, nebude to mať za následok zneplatnenie väčšiny výsledkov.

Logika

Tento prístup predpokladá prísne typovanie matematických objektov. Mnohé paradoxy, ktorým sa v teórii množín vyhýbajú len špeciálne triky, sa v zásade ukazujú ako nemožné.

formalizmus

Tento prístup zahŕňa štúdium formálnych systémov založených na klasickej logike.

Intuicionizmus

Intuicionizmus predpokladá, že matematika je založená na intuicionistickej logike, ktorá je obmedzenejšia vo svojich dôkazných prostriedkoch (ale verí sa, že je spoľahlivejšia). Intuicionizmus odmieta dôkaz kontradikciou, mnohé nekonštruktívne dôkazy sa stávajú nemožnými a mnohé problémy teórie množín strácajú zmysel (neformalizujú sa).

Konštruktívna matematika

Konštruktívna matematika je pohyb v matematike blízky intuicionizmu, ktorý študuje konštruktívne konštrukcie [ objasniť]. Podľa kritéria konštruktívnosti - “ existovať znamená byť budovaný" Kritérium konštruktívnosti je prísnejšou požiadavkou ako kritérium konzistentnosti.

Hlavné témy

čísla

Pojem „číslo“ pôvodne odkazoval na prirodzené čísla. Neskôr sa to postupne rozšírilo na celé čísla, racionálne, reálne, komplexné a iné čísla.

Celé čísla Racionálne čísla Reálne čísla Komplexné čísla Kvaternióny

Premeny

Diskrétna matematika

Kódy v systémoch klasifikácie znalostí

Online služby

Existuje veľké množstvo stránok, ktoré poskytujú služby pre matematické výpočty. Väčšina z nich hovorí po anglicky. Medzi rusky hovoriacimi môžeme zaznamenať službu matematických dopytov vyhľadávacieho nástroja Nigma.

pozri tiež

Popularizátori vedy

Poznámky

  1. Encyklopédia Britannica
  2. Websterov online slovník
  3. Kapitola 2. Matematika ako jazyk vedy. Sibírska otvorená univerzita. Archivované z originálu 2. februára 2012. Získané 5. októbra 2010.
  4. Veľký staroveký grécky slovník (αω)
  5. Slovník ruského jazyka XI-XVII storočia. Vydanie 9 / Kap. vyd. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
  6. Descartes R. Pravidlá pre vedenie mysle. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
  7. Pozri: Matematika TSB
  8. Marx K., Engels F. Eseje. 2. vyd. T. 20. S. 37.
  9. Bourbaki N. Architektúra matematiky. Eseje o dejinách matematiky / Preklad I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybníková. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
  10. Kaziev V. M.Úvod do matematiky
  11. Mukhin O. I. Návod na modelovanie systémov. Trvalá: RCI PSTU.
  12. Hermann Weil // Klein M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
  13. Štátny vzdelávací štandard vyššieho odborného vzdelávania. Špecialita 01.01.00. "Matematika". Kvalifikácia - Matematik. Moskva, 2000 (zostavené pod vedením O. B. Lupanova)
  14. Nomenklatúra odborností vedeckých pracovníkov schválená nariadením Ministerstva školstva a vedy Ruska z 25. februára 2009 č. 59
  15. MDT 51 Matematika
  16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie. M.: Nauka, 1988. S. 44.
  17. N. I. Kondakov. Logický slovník-príručka. M.: Nauka, 1975. S. 259.
  18. G. I. Ruzavin. O povahe matematických vedomostí. M.: 1968.
  19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
  20. Napríklad: http://mathworld.wolfram.com

Literatúra

Encyklopédie
  • // Encyklopedický slovník Brockhausa a Efrona: V 86 zväzkoch (82 zväzkov a 4 dodatočné). - St. Petersburg. 1890-1907.
  • Matematická encyklopédia (5 zväzkov), 80. roky 20. storočia. // Všeobecné a špeciálne referenčné knihy o matematike na EqWorld
  • Kondakov N. I. Logický slovník-príručka. M.: Nauka, 1975.
  • Encyklopédia matematických vied a ich aplikácie (nemčina) 1899-1934. (najväčší prehľad literatúry 19. storočia)
Adresáre
  • G. Korn, T. Korn. Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov M., 1973.
knihy
  • Klein M. Matematika. Strata istoty. - M.: Mir, 1984.
  • Klein M. Matematika. Hľadaj pravdu. M.: Mir, 1988.
  • Klein F. Elementárna matematika z vyššieho pohľadu.
  • Zväzok I. Aritmetika. Algebra. Analýza M.: Nauka, 1987. 432 s.
  • Zväzok II. Geometria M.: Nauka, 1987. 416 s.
  • Courant R., G. Robbins.čo je matematika? 3. vydanie, rev. a dodatočné - M.: 2001. 568 s.
  • Pisarevsky B.M., Kharin V.T. O matematike, matematikoch a ďalších. - M.: Binom. Vedomostné laboratórium, 2012. - 302 s.
  • Poincare A. Veda a metóda (ruština) (francúzština)

Matematika je jednou z najstarších vied. Stručne definovať matematiku nie je vôbec jednoduché, jej obsah sa bude značne líšiť v závislosti od úrovne matematického vzdelania človeka. Žiak základnej školy, ktorý práve začal študovať aritmetiku, povie, že matematika študuje pravidlá počítania predmetov. A bude mať pravdu, keďže práve s týmto sa zoznámi najskôr. Starší žiaci doplnia k tomu, čo bolo povedané, že pojem matematika zahŕňa algebru a náuku o geometrických objektoch: priamky, ich priesečníky, rovinné útvary, geometrické telesá, rôzne druhy transformácií. Absolventi stredných škôl zahrnú do svojej definície matematiky aj náuku o funkciách a dejoch prechodu k limite, ako aj súvisiace pojmy derivácia a integrál. Absolventi vysokých škôl technického zamerania alebo prírodovedeckých fakúlt univerzít a pedagogických ústavov sa už neuspokoja s definíciami škôl, keďže vedia, že matematika zahŕňa aj ďalšie disciplíny: teóriu pravdepodobnosti, matematickú štatistiku, diferenciálny počet, programovanie, výpočtové metódy, ako aplikácie týchto disciplín na modelovanie výrobných procesov, spracovanie experimentálnych dát, prenos a spracovanie informácií. To, čo je uvedené, však nevyčerpáva obsah matematiky. V jeho zložení je zahrnutá aj teória množín, matematická logika, optimálne riadenie, teória náhodných procesov a mnohé ďalšie.

Pokusy definovať matematiku uvedením jej základných odvetví nás vedú z omylu, pretože nedávajú predstavu o tom, čo presne matematika študuje a aký je jej vzťah k svetu okolo nás. Ak by podobná otázka bola položená fyzikovi, biológovi alebo astronómovi, každý z nich by odpovedal veľmi stručne, pričom by neobsahoval zoznam častí, ktoré tvoria vedu, ktorú študujú. Takáto odpoveď by obsahovala označenie prírodných javov, ktoré študuje. Biológ by napríklad uviedol, že biológia je veda o rôznych prejavoch života. Nech táto odpoveď nie je úplne úplná, pretože nehovorí, čo je život a životne dôležité javy, ale napriek tomu by takáto definícia poskytla celkom úplnú predstavu o obsahu samotnej vedy o biológii a rôznych úrovniach tejto vedy. A táto definícia by sa s rozširovaním našich vedomostí o biológii nezmenila.

Neexistujú prírodné javy, technické alebo sociálne procesy, ktoré by boli predmetom štúdia matematiky, ale nesúviseli s fyzikálnymi, biologickými, chemickými, inžinierskymi alebo spoločenskými javmi. Každá prírodovedná disciplína: biológia a fyzika, chémia a psychológia - je určená materiálnymi črtami svojho predmetu, špecifickými črtami oblasti reálneho sveta, ktorú študuje. Samotný objekt alebo jav možno skúmať rôznymi metódami, vrátane matematických, ale zmenou metód stále zostávame v medziach tejto disciplíny, pretože obsahom tejto vedy je skutočný objekt, a nie metóda výskumu. Pre matematiku nie je rozhodujúci vecný predmet skúmania, dôležitá je použitá metóda. Napríklad trigonometrické funkcie možno použiť ako na štúdium oscilačného pohybu, tak aj na určenie výšky neprístupného objektu. Aké javy reálneho sveta možno študovať pomocou matematickej metódy? Tieto javy nie sú determinované ich materiálnou podstatou, ale výlučne formálnymi štrukturálnymi vlastnosťami a predovšetkým tými kvantitatívnymi vzťahmi a priestorovými formami, v ktorých existujú.

Matematika teda neštuduje materiálne objekty, ale výskumné metódy a štrukturálne vlastnosti predmetu štúdia, ktoré umožňujú aplikovať naň určité operácie (sčítanie, diferenciácia atď.). Značná časť matematických problémov, pojmov a teórií má však ako primárny zdroj skutočné javy a procesy. Napríklad aritmetika a teória čísel vzišli z primárnej praktickej úlohy počítania predmetov. Elementárna geometria mala svoj zdroj v problémoch spojených s porovnávaním vzdialeností, výpočtom plôch plochých útvarov či objemov priestorových telies. To všetko bolo potrebné nájsť, keďže pri výstavbe obranných objektov bolo potrebné prerozdeliť pozemky medzi užívateľov, vypočítať veľkosť sýpok či objem výkopových prác.

Matematický výsledok má tú vlastnosť, že ho možno použiť nielen pri skúmaní jedného konkrétneho javu alebo procesu, ale možno ho použiť aj na štúdium iných javov, ktorých fyzikálna podstata je zásadne odlišná od tých, o ktorých sa predtým uvažovalo. Preto sú pravidlá aritmetiky použiteľné v ekonomických problémoch, v technických otázkach, pri riešení problémov v poľnohospodárstve a vo vedeckom výskume. Aritmetické pravidlá boli vyvinuté pred tisíckami rokov, no svoju hodnotu si zachovali naveky. Aritmetika je neoddeliteľnou súčasťou matematiky, jej tradičná časť už nie je predmetom tvorivého rozvoja v rámci matematiky, ale našla a bude nachádzať množstvo nových aplikácií. Tieto aplikácie môžu mať pre ľudstvo veľký význam, ale už nebudú prínosom pre samotnú matematiku.

Matematika ako tvorivá sila má za cieľ vývoj všeobecných pravidiel, ktoré by sa mali používať v mnohých špeciálnych prípadoch. Ten, kto vytvára tieto pravidlá, vytvára niečo nové, tvorí. Každý, kto aplikuje hotové pravidlá, už netvorí v samotnej matematike, ale dosť možno pomocou matematických pravidiel vytvára nové hodnoty v iných oblastiach poznania. Napríklad údaje z interpretácie vesmírnych snímok, ako aj informácie o zložení a veku hornín, geochemických a geofyzikálnych anomáliách sa dnes spracúvajú pomocou počítačov. Niet pochýb o tom, že používanie počítačov v geologickom výskume ponecháva tieto štúdie geologické. Princípy činnosti počítačov a ich softvéru boli vyvinuté bez zohľadnenia možnosti ich využitia v záujme geologickej vedy. Samotná táto možnosť je daná tým, že štrukturálne vlastnosti geologických údajov sú v súlade s logikou určitých počítačových programov.

Rozšírili sa dve definície matematiky. Prvú z nich podal F. Engels v práci „Anti-Dühring“, druhú skupina francúzskych matematikov známych ako Nicolas Bourbaki v článku „Architektúra matematiky“ (1948).

"Čistá matematika má za cieľ priestorové formy a kvantitatívne vzťahy reálneho sveta." Táto definícia nielen popisuje predmet štúdia matematiky, ale naznačuje aj jej pôvod - skutočný svet. Táto definícia F. Engelsa však do značnej miery odráža stav matematiky v druhej polovici 19. storočia. a neberie do úvahy tie jeho nové oblasti, ktoré priamo nesúvisia ani s kvantitatívnymi vzťahmi, ani s geometrickými formami. Ide predovšetkým o matematickú logiku a disciplíny súvisiace s programovaním. Preto si táto definícia vyžaduje určité objasnenie. Možno treba povedať, že matematika má za objekt skúmania priestorové formy, kvantitatívne vzťahy a logické konštrukcie.

Bourbakiovci tvrdia, že „jediné matematické objekty sú, prísne povedané, matematické štruktúry“. Inými slovami, matematika by mala byť definovaná ako veda o matematických štruktúrach. Táto definícia je v podstate tautológiou, pretože uvádza iba jednu vec: matematika sa zaoberá objektmi, ktoré študuje. Ďalším nedostatkom tejto definície je, že neobjasňuje vzťah matematiky k svetu okolo nás. Bourbakiovci navyše zdôrazňujú, že matematické štruktúry sa vytvárajú nezávisle od reálneho sveta a jeho javov. Preto boli Bourbakiovci nútení vyhlásiť, že „hlavným problémom je vzťah medzi experimentálnym a matematickým svetom. Zdá sa, že medzi experimentálnymi javmi a matematickými štruktúrami existuje úzka súvislosť, ktorú úplne neočakávaným spôsobom potvrdili objavy modernej fyziky, no hlboké dôvody sú nám úplne neznáme...a možno sa ich nikdy nedozvieme. .“

Z definície F. Engelsa nemôže vyplynúť takýto neuspokojivý záver, pretože už obsahuje konštatovanie, že matematické pojmy sú abstrakcie z určitých vzťahov a foriem reálneho sveta. Tieto pojmy sú prevzaté z reálneho sveta a súvisia s ním. V podstate práve to vysvetľuje úžasnú aplikovateľnosť výsledkov matematiky na javy sveta okolo nás a zároveň úspešnosť procesu matematizácie vedomostí.

Matematika nie je výnimkou vo všetkých oblastiach poznania – tvorí aj pojmy, ktoré vznikajú z praktických situácií a následných abstrakcií; umožňuje nám študovať realitu aj približne. Ale treba si uvedomiť, že matematika neštuduje veci reálneho sveta, ale abstraktné pojmy, a že jej logické závery sú absolútne striktné a presné. Jeho aproximácia nemá vnútorný charakter, ale je spojená so zostavením matematického modelu javu. Všimnime si tiež, že pravidlá matematiky nemajú absolútnu platnosť; majú tiež obmedzenú oblasť použitia, kde kraľujú. Objasnime túto myšlienku na príklade: ukazuje sa, že dva a dva sa nie vždy rovnajú štyrom. Je známe, že pri zmiešaní 2 litrov alkoholu a 2 litrov vody sa získajú menej ako 4 litre zmesi. V tejto zmesi sú molekuly usporiadané kompaktnejšie a objem zmesi je menší ako súčet objemov jednotlivých zložiek. Pravidlo pre pridávanie aritmetiky je porušené. Môžete tiež uviesť príklady, v ktorých sa porušujú iné aritmetické pravdy, napríklad pri pridávaní niektorých objektov sa ukáže, že súčet závisí od poradia súčtu.

Mnohí matematici považujú matematické pojmy nie za výtvor čistého rozumu, ale za abstrakcie z reálne existujúcich vecí, javov, procesov alebo abstrakcie z už existujúcich abstrakcií (abstrakcie vyšších rádov). V „Dialektike prírody“ F. Engels napísal, že „... celá takzvaná čistá matematika sa zaoberá abstrakciami... všetky jej veličiny sú, prísne povedané, imaginárne veličiny...“ Tieto slová celkom jasne odrážajú názor jedného zakladateľov marxistickej filozofie o úlohe abstrakcií v matematike. Mali by sme len dodať, že všetky tieto „imaginárne veličiny“ sú prevzaté zo skutočnej reality a nie sú konštruované svojvoľne voľným myšlienkovým prúdom. Takto sa pojem čísla dostal do všeobecného používania. Najprv to boli čísla v rámci jednotiek a navyše iba kladné celé čísla. Potom ma skúsenosť prinútila rozšíriť svoj arzenál čísel na desiatky a stovky. Myšlienka neobmedzeného počtu celých čísel sa zrodila v ére nám historicky blízkej: Archimedes vo svojej knihe „Psammit“ („Počet zŕn piesku“) ukázal, ako je možné zostrojiť čísla ešte väčšie ako dané. Zároveň sa z praktických potrieb zrodil koncept zlomkových čísel. Výpočty týkajúce sa najjednoduchších geometrických útvarov priviedli ľudstvo k novým číslam - iracionálnym. Takto sa postupne vytvorila myšlienka množiny všetkých reálnych čísel.

Rovnakú cestu je možné sledovať aj pri iných matematických konceptoch. Všetky vznikli z praktických potrieb a postupne sa sformovali do abstraktných pojmov. Opäť možno pripomenúť slová F. Engelsa: „...čistá matematika má význam nezávislý od osobitnej skúsenosti každého jednotlivca... Ale je úplne falošné, že v čistej matematike sa myseľ zaoberá len produktmi svojich vlastných kreativita a predstavivosť. Pojmy čísla a čísla nie sú prevzaté odnikiaľ, ale iba z reálneho sveta. Desať prstov, na ktorých sa ľudia naučili počítať, teda vykonať prvú aritmetickú operáciu, je všetko, len nie produktom slobodnej tvorivosti mysle. Ak chcete počítať, musíte mať nielen predmety, ktoré sa dajú spočítať, ale aj schopnosť abstrahovať pri posudzovaní týchto predmetov od všetkých ostatných vlastností okrem čísla, a táto schopnosť je výsledkom dlhého historického vývoja založeného na skúsenostiach. Pojem čísla aj pojem figúry sú požičané výlučne z vonkajšieho sveta a nevznikli v hlave z čistého myslenia. Museli existovať veci, ktoré mali určitý tvar a tieto tvary sa museli porovnať, kým sa dospelo ku konceptu postavy.“

Zamyslime sa, či vo vede existujú pojmy, ktoré vznikli bez súvisu s minulým pokrokom vedy a súčasným pokrokom praxe. Dobre vieme, že vedeckej matematickej tvorivosti predchádza štúdium mnohých predmetov v škole, na univerzite, čítanie kníh, článkov, rozhovory s odborníkmi vo vlastnej oblasti, ako aj v iných oblastiach poznania. Matematik žije v spoločnosti a z kníh, rozhlasu a iných zdrojov sa dozvedá o problémoch, ktoré vznikajú vo vede, technike a verejnom živote. Okrem toho je myslenie výskumníka ovplyvnené celým predchádzajúcim vývojom vedeckého myslenia. Preto sa ukazuje byť pripravený riešiť určité problémy potrebné pre pokrok vedy. Preto vedec nemôže predkladať problémy svojvoľne, z rozmaru, ale musí vytvárať matematické koncepty a teórie, ktoré by boli cenné pre vedu, pre iných výskumníkov, pre ľudstvo. Ale matematické teórie si zachovávajú svoj význam v podmienkach rôznych spoločenských formácií a historických období. Navyše často rovnaké myšlienky vznikajú od vedcov, ktorí nie sú nijako navzájom prepojení. Toto je ďalší argument proti tým, ktorí sa držia koncepcie slobodnej tvorivosti matematických pojmov.

Vysvetlili sme teda, čo zahŕňa pojem „matematika“. Existuje však aj niečo ako aplikovaná matematika. Chápe sa ako súhrn všetkých matematických metód a disciplín, ktoré nachádzajú uplatnenie mimo matematiky. V staroveku geometria a aritmetika reprezentovali všetku matematiku a keďže obe našli množstvo aplikácií v obchodných výmenách, meraní oblastí a objemov a vo veciach navigácie, všetka matematika bola nielen teoretická, ale aj aplikovaná. Neskôr v starovekom Grécku vzniklo rozdelenie na matematiku a aplikovanú matematiku. Všetci vynikajúci matematici sa však venovali aj aplikáciám, a to nielen čisto teoretickým výskumom.

Ďalší rozvoj matematiky kontinuálne súvisel s pokrokom prírodných vied, techniky a vznikom nových spoločenských potrieb. Do konca 18. stor. vznikla potreba (predovšetkým v súvislosti s problémami navigácie a delostrelectva) vytvoriť matematickú teóriu pohybu. Vo svojich dielach to urobili G. W. Leibniz a I. Newton. Aplikovaná matematika bola doplnená o novú, veľmi výkonnú výskumnú metódu – matematickú analýzu. Takmer súčasne potreby demografie a poistenia viedli k vzniku počiatkov teórie pravdepodobnosti (pozri Teória pravdepodobnosti). XVIII a XIX storočia. rozšíril obsah aplikovanej matematiky, pridal k nej teóriu obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc, rovnice matematickej fyziky, prvky matematickej štatistiky a diferenciálnu geometriu. XX storočia priniesol nové metódy pre matematické štúdium praktických problémov: teóriu náhodných procesov, teóriu grafov, funkcionálnu analýzu, optimálne riadenie, lineárne a nelineárne programovanie. Navyše sa ukázalo, že teória čísel a abstraktná algebra mali neočakávané aplikácie na problémy vo fyzike. V dôsledku toho sa začalo objavovať presvedčenie, že aplikovaná matematika ako samostatná disciplína neexistuje a celú matematiku možno považovať za aplikovanú. Možno sa musíme baviť nie o tom, že matematika je aplikovaná a teoretická, ale o tom, že matematici sa delia na aplikovaných a teoretikov. Pre niektorých je matematika metódou porozumenia svetu okolo nás a javom, ktoré sa v ňom vyskytujú, práve za týmto účelom vedec rozvíja a rozširuje matematické poznatky. Pre iných predstavuje matematika celý svet hodný štúdia a rozvoja. Pre pokrok vedy sú potrební vedci oboch typov.

Matematika pred štúdiom akéhokoľvek javu pomocou vlastných metód vytvára svoj matematický model, to znamená, že uvádza všetky znaky javu, ktoré sa budú brať do úvahy. Model núti výskumníka vybrať si také matematické nástroje, ktoré mu umožnia adekvátne sprostredkovať črty skúmaného javu a jeho evolúciu. Ako príklad si vezmime model planetárneho systému: Slnko a planéty sa považujú za hmotné body so zodpovedajúcimi hmotnosťami. Interakcia každých dvoch bodov je určená silou príťažlivosti medzi nimi

kde m 1 a m 2 sú hmotnosti interagujúcich bodov, r je vzdialenosť medzi nimi a f je gravitačná konštanta. Napriek jednoduchosti tohto modelu za posledných tristo rokov s veľkou presnosťou sprostredkúva vlastnosti pohybu planét slnečnej sústavy.

Samozrejme, každý model hrubuje realitu a úlohou výskumníka je v prvom rade navrhnúť model, ktorý na jednej strane čo najúplnejšie vyjadruje faktickú stránku veci (ako sa hovorí, jej fyzikálne vlastnosti) a na druhej strane. na druhej strane poskytuje významné priblíženie sa realite. Samozrejme, pre ten istý jav možno navrhnúť niekoľko matematických modelov. Všetci majú právo na existenciu, kým ich nezačne ovplyvňovať výrazný nesúlad medzi modelom a realitou.

    Matematika je veda o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reálneho sveta. V neoddeliteľnom spojení s požiadavkami vedy a techniky sa zásoba kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem skúmaných matematikou neustále rozširuje, takže uvedenú definíciu je potrebné chápať v najvšeobecnejšom zmysle.

    Účelom štúdia matematiky je zvýšiť všeobecný rozhľad, kultúru myslenia a formovanie vedeckého svetonázoru.

    Pochopenie nezávislého postavenia matematiky ako špeciálnej vedy sa stalo možným po nahromadení dostatočne veľkého faktografického materiálu a prvýkrát vzniklo v starovekom Grécku v 6. – 5. storočí pred Kristom. To bol začiatok obdobia elementárnej matematiky.

    V tomto období sa matematický výskum zaoberá len dosť obmedzenou zásobou základných pojmov, ktoré vznikli s najjednoduchšími potrebami ekonomického života. Zároveň už teraz dochádza ku kvalitatívnemu zlepšeniu matematiky ako vedy.

    Moderná matematika sa často prirovnáva k veľkomestu. Je to vynikajúce porovnanie, pretože v matematike, podobne ako vo veľkom meste, existuje neustály proces rastu a zlepšovania. V matematike vznikajú nové oblasti, budujú sa elegantné a hlboké nové teórie, ako napríklad výstavba nových štvrtí a budov. Ale pokrok v matematike sa neobmedzuje len na zmenu tváre mesta vďaka výstavbe nového. Musíme zmeniť aj to staré. Staré teórie sú zahrnuté v nových, všeobecnejších; je potrebné posilniť základy starých budov. Je potrebné položiť nové ulice, aby sa vytvorili spojenia medzi vzdialenými štvrťami matematického mesta. To však nestačí - architektonický dizajn si vyžaduje značné úsilie, pretože rozmanitosť rôznych oblastí matematiky nielen kazí celkový dojem z vedy, ale zasahuje aj do chápania vedy ako celku a vytvárania spojení medzi jej rôznymi časťami.

    Často sa používa iné prirovnanie: matematika sa prirovnáva k veľkému rozvetvenému stromu, ktorý systematicky vytvára nové výhonky. Každá vetva stromu je jednou alebo druhou oblasťou matematiky. Počet vetiev nezostáva nezmenený, pretože rastú nové vetvy, tie, ktoré predtým rástli oddelene, rastú spolu a niektoré vetvy vysychajú, zbavené výživných štiav. Obe prirovnania sú úspešné a veľmi dobre vyjadrujú skutočný stav vecí.

    Niet pochýb o tom, že požiadavka krásy zohráva dôležitú úlohu pri budovaní matematických teórií. Je samozrejmé, že pocit krásy je veľmi subjektívny a často sa stretávame s dosť škaredými predstavami v tejto veci. A predsa musíme byť prekvapení, ako jednomyseľne matematici vložili do pojmu „krása“: výsledok sa považuje za krásny, ak z malého počtu podmienok možno získať všeobecný záver, ktorý sa vzťahuje na širokú škálu predmetov. Matematické odvodenie sa považuje za krásne, ak sa mu pomocou jednoduchého a krátkeho zdôvodnenia podarí dokázať významný matematický fakt. Vyspelosť matematika a jeho talent sa dajú rozoznať podľa vyvinutého zmyslu pre krásu. Esteticky úplné a matematicky dokonalé výsledky sú ľahšie pochopiteľné, zapamätateľné a použiteľné; je ľahšie identifikovať ich vzťahy s inými oblasťami poznania.

    Matematika sa v našej dobe stala vednou disciplínou s mnohými oblasťami výskumu, obrovským množstvom výsledkov a metód. Matematika je dnes taká rozsiahla, že nie je možné, aby ju jeden človek obsiahol vo všetkých jej častiach, neexistuje možnosť byť v nej univerzálnym špecialistom. Strata väzieb medzi jej jednotlivými smermi je určite negatívnym dôsledkom prudkého rozvoja tejto vedy. Rozvoj všetkých odvetví matematiky má však niečo spoločné – počiatky vývoja, korene stromu matematiky.

    Euklidova geometria ako prvá teória prírodných vied

  • V 3. storočí pred Kristom sa v Alexandrii objavila kniha Euklida s rovnakým názvom v ruskom preklade „Princípy“. Pojem „elementárna geometria“ pochádza z latinského názvu „Začiatky“. Napriek tomu, že diela Euklidových predchodcov sa k nám nedostali, môžeme si o týchto dielach urobiť nejaký názor na základe Euklidových živlov. V „Zásadách“ sú sekcie, ktoré sú logicky veľmi málo prepojené s inými sekciami. Ich vzhľad možno vysvetliť len tým, že boli zavedené podľa tradície a kopírujú „prvky“ Euklidových predchodcov.

    Euclid's Elements pozostáva z 13 kníh. Knihy 1 - 6 sú venované planimetrii, knihy 7 - 10 sú o aritmetických a nesúmerateľných veličinách, ktoré sa dajú zostrojiť pomocou kružidla a pravítka. Knihy 11 až 13 boli venované stereometrii.

    Principia začína prezentáciou 23 definícií a 10 axióm. Prvých päť axióm sú „všeobecné pojmy“, ostatné sa nazývajú „postuláty“. Prvé dva postuláty určujú akcie pomocou ideálneho pravítka, tretí - pomocou ideálneho kompasu. Štvrtý, „všetky pravé uhly sú si navzájom rovné“, je nadbytočný, pretože ho možno odvodiť zo zostávajúcich axióm. Posledný, piaty postulát znel: „Ak priamka padá na dve priamky a zviera vnútorné jednostranné uhly v súčte menšom ako dve priamky, potom sa pri neobmedzenom predĺžení týchto dvoch priamok pretnú na stranu, kde sú uhly menšie ako dve priame čiary."

    Päť Euklidových „všeobecných pojmov“ sú princípy merania dĺžok, uhlov, plôch, objemov: „rovná sa rovnakému sa navzájom rovnajú“, „ak sa rovné pripočítajú k rovnému, súčty sa rovnajú“, „ak sa rovná odpočítané od rovných sú zvyšky rovnaké.“ medzi sebou“, „kombinované navzájom sú si navzájom rovné“, „celok je väčší ako časť“.

    Ďalej začala kritika Euklidovej geometrie. Euklides bol kritizovaný z troch dôvodov: pretože zvažoval iba tie geometrické veličiny, ktoré možno zostrojiť pomocou kružidla a pravítka; za to, že oddelil geometriu a aritmetiku a dokázal pre celé čísla to, čo už dokázal pre geometrické veličiny, a napokon aj pre Euklidove axiómy. Najviac kritizovaný postulát bol piaty, Euklidov najkomplexnejší postulát. Mnohí to považovali za nadbytočné a že by sa to dalo a malo odvodiť z iných axióm. Iní verili, že by sa mala nahradiť jednoduchšou a zrejmejšou, ktorá je jej ekvivalentná: „Cez bod mimo čiary nemožno v ich rovine nakresliť viac ako jednu priamku, ktorá nepretína danú čiaru.

    Kritika priepasti medzi geometriou a aritmetikou viedla k rozšíreniu pojmu číslo na reálne číslo. Spory o piaty postulát viedli k tomu, že na začiatku 19. storočia N. I. Lobačevskij, J. Bolyai a K. F. Gauss skonštruovali novú geometriu, v ktorej boli splnené všetky axiómy Euklidovej geometrie, s výnimkou piateho postulátu. Nahradil ho opačný výrok: „V rovine, cez bod mimo priamky, možno nakresliť viac ako jednu priamku, ktorá nepretína danú. Táto geometria bola rovnako konzistentná ako Euklidova geometria.

    Lobačevského model planimetrie na euklidovskej rovine skonštruoval francúzsky matematik Henri Poincaré v roku 1882.

    Nakreslíme vodorovnú čiaru na euklidovskej rovine. Táto čiara sa nazýva absolútna (x). Body euklidovskej roviny ležiace nad absolútnym sú bodmi Lobačevského roviny. Lobačevského rovina je otvorená polrovina ležiaca nad absolútnym. Neeuklidovské segmenty v Poincarého modeli sú oblúky kružníc so stredom v absolútnom bode alebo segmenty priamych čiar kolmých na absolútno (AB, CD). Postava na Lobačevského rovine je postava otvorenej polroviny ležiaca nad absolútnym (F). Neeuklidovský pohyb je zložením konečného počtu inverzií sústredených na absolútne a osové symetrie, ktorých osi sú kolmé na absolútno. Dva neeuklidovské segmenty sú rovnaké, ak jeden z nich môže byť prenesený na druhý neeuklidovským pohybom. Toto sú základné pojmy axiomatiky Lobačevského planimetrie.

    Všetky axiómy Lobačevského planimetrie sú konzistentné. "Neeuklidovská priamka je polkruh s koncami v absolútnom bode alebo lúč so začiatkom v absolútnom bode a kolmý na absolútno." Výrok Lobačevského axiómy rovnobežnosti teda platí nielen pre niektorú priamku a a bod A, ktorý na tejto priamke neleží, ale aj pre ktorúkoľvek priamku a a ktorýkoľvek bod A, ktorý na nej neleží.

    Po Lobačevského geometrii vznikli ďalšie konzistentné geometrie: projektívna geometria sa oddelila od euklidovskej, vznikla multidimenzionálna euklidovská geometria, vznikla Riemannova geometria (všeobecná teória priestorov s ľubovoľným zákonom na meranie dĺžok) atď. Z náuky o obrazcoch v jednom trojrozmernom Euklidovský priestor, geometria sa za 40 - 50 rokov zmenila na súbor rôznych teórií, len trochu podobných svojmu predkovi - euklidovskej geometrii.

    Hlavné etapy vývoja modernej matematiky. Štruktúra modernej matematiky

  • Akademik A.N.Kolmogorov identifikuje štyri obdobia vo vývoji matematiky.Kolmogorov A.N. - Matematika, Matematický encyklopedický slovník, Moskva, Sovietska encyklopédia, 1988: počiatky matematiky, elementárna matematika, matematika premenných, moderná matematika.

    Počas rozvoja elementárnej matematiky teória čísel postupne vyrástla z aritmetiky. Algebra je vytvorená ako doslovný počet. A systém prezentácie elementárnej geometrie vytvorený starými Grékmi – geometria Euklida – sa na dve tisícročia stal modelom deduktívnej konštrukcie matematickej teórie.

    Potreby prírodných vied a techniky viedli v 17. storočí k vytvoreniu metód, ktoré umožnili matematicky študovať pohyb, procesy meniacich sa veličín a premenu geometrických útvarov. Obdobie matematiky premenných veličín sa začína využívaním premenných v analytickej geometrii a vytváraním diferenciálneho a integrálneho počtu. Veľkými objavmi 17. storočia je koncept nekonečne malých veličín zavedený Newtonom a Leibnizom, vytvorenie základov analýzy nekonečne malých veličín (matematická analýza).

    Do popredia sa dostáva pojem funkcie. Funkcia sa stáva hlavným predmetom štúdia. Štúdium funkcie vedie k základným pojmom matematickej analýzy: limita, derivácia, diferenciál, integrál.

    Do tejto doby sa datuje aj objavenie sa geniálnej myšlienky R. Descartesa o súradnicovej metóde. Vytvára sa analytická geometria, ktorá vám umožňuje študovať geometrické objekty pomocou metód algebry a analýzy. Na druhej strane súradnicová metóda otvorila možnosť geometrickej interpretácie algebraických a analytických faktov.

    Ďalší rozvoj matematiky viedol začiatkom 19. storočia k formulovaniu problému skúmania možných typov kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem z pomerne všeobecného hľadiska.

    Prepojenie matematiky a prírodných vied je čoraz zložitejšie. Nové teórie vznikajú a vznikajú nielen v dôsledku požiadaviek prírodných vied a techniky, ale aj v dôsledku vnútorných potrieb matematiky. Pozoruhodným príkladom takejto teórie je imaginárna geometria N.I.Lobačevského. Rozvoj matematiky v 19. a 20. storočí nám umožňuje priradiť ju k obdobiu modernej matematiky. Rozvoj samotnej matematiky, matematizácia rôznych oblastí vedy, prenikanie matematických metód do mnohých oblastí praktickej činnosti a pokrok výpočtovej techniky viedli k vzniku nových matematických disciplín, napríklad operačný výskum, teória hier. , matematická ekonómia a iné.

    Hlavnými metódami v matematickom výskume sú matematické dôkazy – prísne logické uvažovanie. Matematické myslenie sa neobmedzuje len na logické uvažovanie. Na správnu formuláciu problému a zhodnotenie výberu metódy jeho riešenia je potrebná matematická intuícia.

    V matematike sa študujú matematické modely objektov. Ten istý matematický model dokáže opísať vlastnosti skutočných javov, ktoré sú od seba vzdialené. Rovnaká diferenciálna rovnica teda môže opísať procesy rastu populácie a rozpadu rádioaktívnej hmoty. Pre matematika nie je dôležitá povaha skúmaných objektov, ale vzťahy medzi nimi.

    V matematike sa používajú dva typy záverov: dedukcia a indukcia.

    Indukcia je výskumná metóda, v ktorej sa na základe konkrétnych predpokladov vytvára všeobecný záver.

    Dedukcia je spôsob uvažovania, prostredníctvom ktorého určitý záver vyplýva zo všeobecných premís.

    Matematika hrá dôležitú úlohu vo vedeckom, inžinierskom a humanitnom štúdiu. Dôvodom prenikania matematiky do rôznych odvetví poznania je, že ponúka veľmi prehľadné modely skúmania okolitej reality, na rozdiel od menej všeobecných a vágnejších modelov, ktoré ponúkajú iné vedy. Bez modernej matematiky s jej rozvinutými logickými a výpočtovými aparátmi by pokrok v rôznych oblastiach ľudskej činnosti nebol možný.

    Matematika nie je len silným nástrojom na riešenie aplikovaných problémov a univerzálnym jazykom vedy, ale aj prvkom všeobecnej kultúry.

    Základné znaky matematického myslenia

  • V tejto otázke je obzvlášť zaujímavá charakteristika matematického myslenia od A.Ya Khinchina, respektíve jeho špecifická historická podoba – štýl matematického myslenia. Odhaľujúc podstatu štýlu matematického myslenia, identifikuje štyri znaky spoločné pre všetky epochy, ktoré výrazne odlišujú tento štýl od štýlov myslenia v iných vedách.

    Po prvé, matematik je charakterizovaný dominanciou logickej schémy uvažovania, dotiahnutej na limit. Matematik, ktorý aspoň dočasne stratil túto schému zo zreteľa, je spravidla zbavený možnosti myslieť vedecky. Táto zvláštna vlastnosť štýlu matematického myslenia má v sebe veľkú hodnotu. Je zrejmé, že vám umožňuje sledovať správnosť toku myšlienok v maximálnej miere a zaručuje proti chybám; na druhej strane núti mysliteľa pri analýze mať pred očami celý súbor dostupných možností a núti ho vziať do úvahy každú z nich bez toho, aby vynechal jedinú (takéto opomenutia sú celkom možné a v skutočnosti , sú často pozorované v iných štýloch myslenia).

    Po druhé, lakonizmus, t.j. vedomá túžba vždy nájsť najkratšiu logickú cestu vedúcu k danému cieľu, nemilosrdné odmietanie všetkého, čo je absolútne nevyhnutné pre bezchybnú užitočnosť argumentu. Matematická esej dobrého štýlu netoleruje žiadnu „vodu“, žiadne zdobenie, oslabovanie logického napätia chrapúnstva alebo vyrušovanie nabok; extrémna šetrnosť, prísnosť myslenia a jeho prezentácia tvoria neoddeliteľnú súčasť matematického myslenia. Táto vlastnosť má veľkú hodnotu nielen pre matematické, ale aj pre akékoľvek iné vážne uvažovanie. Lakonizmus, túžba vyhnúť sa všetkému zbytočnému, pomáha samotnému mysliteľovi aj jeho čitateľovi či poslucháčovi plne sa sústrediť na daný myšlienkový pochod, bez toho, aby ho rozptyľovali vedľajšie myšlienky a bez straty priameho kontaktu s hlavnou myšlienkou.

    Svetlíci vedy spravidla myslia a vyjadrujú sa stručne vo všetkých oblastiach poznania, aj keď ich myšlienka vytvára a prináša zásadne nové myšlienky. Aký majestátny dojem vyvoláva napríklad ušľachtilá hrabivosť myslenia a reči najväčších tvorcov fyziky: Newtona, Einsteina, Nielsa Bohra! Môže byť ťažké nájsť nápadnejší príklad hlbokého vplyvu, ktorý môže mať štýl myslenia jeho tvorcov na rozvoj vedy.

    Pre matematiku je lakonizmus myslenia nesporným zákonom, kanonizovaným po stáročia. Akýkoľvek pokus zaťažiť prezentáciu obrázkami, rušivými vplyvmi alebo chválospevmi, ktoré nie sú nevyhnutne potrebné (aj keď sú pre poslucháčov príjemné a fascinujúce), je vopred oprávnene podozrievané a automaticky vzbudzuje kritickú pozornosť.

    Po tretie, jasné rozdelenie priebehu uvažovania. Ak napríklad pri dokazovaní tvrdenia musíme zvážiť štyri možné prípady, z ktorých každý možno rozdeliť na jeden alebo iný počet podprípadov, potom si v každom okamihu uvažovania musí matematik jasne pamätať, v ktorom prípade a podprípade je jeho myšlienka teraz nadobudnuté a aké prípady a podprípady mu ešte zostávajú na zváženie. Pri akomkoľvek rozvetvenom enumerácii si matematik musí byť v každom okamihu vedomý toho, pre ktorý generický pojem vymenúva druhové pojmy, ktoré ho tvoria. V bežnom, nevedeckom myslení veľmi často pozorujeme v takýchto prípadoch zmätky a skoky, vedúce k zmätkom a chybám v uvažovaní. Často sa stáva, že človek začne uvádzať druhy jedného rodu, a potom pre poslucháčov (a často aj pre seba) nebadane, využívajúc nedostatočnú logickú jasnosť uvažovania, preskočí na iný rod a skončí konštatovaním, že teraz sú oba rody klasifikované; a poslucháči či čitatelia nevedia, kde leží hranica medzi druhmi prvého a druhého druhu.

    Aby sa takéto zmätky a skoky znemožnili, matematici už dlho vo veľkej miere používajú jednoduché externé metódy číslovania pojmov a úsudkov, ktoré sa niekedy (ale oveľa menej často) používajú v iných vedách. Tie možné prípady alebo tie generické pojmy, ktoré je potrebné zvážiť v danom argumente, sú vopred prečíslované; v rámci každého takéhoto prípadu sa tie oprávnené podprípady, ktoré obsahuje, tiež prečíslujú (niekedy sa kvôli rozlíšeniu používa iný systém číslovania). Pred každým odsekom, kde sa začína posudzovanie nového podprípadu, je umiestnené označenie akceptované pre tento podprípad (napríklad: II 3 - to znamená, že tu začína posudzovanie tretieho podprípadu druhého prípadu, resp. opis tretieho typu druhého druhu, ak hovoríme o klasifikácii). A čitateľ vie, že kým nenarazí na novú číselnú rubriku, všetko uvedené platí len pre tento prípad a podprípad. Je samozrejmé, že takéto číslovanie slúži len ako externý prostriedok, veľmi užitočný, ale v žiadnom prípade nie povinný, a že podstata veci nie je v ňom, ale v zreteľnom rozkúskovaní argumentácie alebo klasifikácie, ktorú podnecuje a zároveň označuje. .

    Po štvrté, dôsledná presnosť symboliky, vzorcov, rovníc. To znamená, že „každý matematický symbol má presne definovaný význam: jeho nahradenie iným symbolom alebo jeho preskupenie na iné miesto spravidla znamená skreslenie a niekedy úplné zničenie významu daného výroku“.

    Po zvýraznení hlavných čŕt matematického štýlu myslenia A.Ya Khinchin poznamenáva, že matematika (najmä matematika premenných) má dialektický charakter, a preto prispieva k rozvoju dialektického myslenia. V procese matematického myslenia totiž dochádza k interakcii medzi vizuálnym (konkrétnym) a konceptuálnym (abstraktným). "Nemôžeme myslieť na čiaru," napísal Kant, "bez toho, aby sme ju mentálne nakreslili; nemôžeme myslieť na tri rozmery bez toho, aby sme z jedného bodu nenakreslili tri na seba kolmé čiary."

    Interakcia konkrétneho a abstraktného „viedla“ matematické myslenie k rozvoju nových a nových pojmov a filozofických kategórií. V starovekej matematike (matematika konštantných veličín) to boli „číslo“ a „priestor“, ktoré sa spočiatku odrážali v aritmetickej a euklidovskej geometrii, neskôr v algebre a rôznych geometrických systémoch. Matematika premenných veličín bola „založená“ na pojmoch, ktoré odrážali pohyb hmoty – „konečný“, „nekonečný“, „kontinuita“, „diskrétny“, „nekonečne malý“, „derivát“ atď.

    Ak hovoríme o modernej historickej etape vývoja matematického poznania, potom ide v súlade s ďalším vývojom filozofických kategórií: teória pravdepodobnosti „ovláda“ kategórie možného a náhodného; topológia - kategórie vzťahu a spojitosti; teória katastrof - kategória skoku; teória skupín – kategórie symetrie a harmónie a pod.

    Matematické myslenie vyjadruje základné princípy budovania logických spojení, ktoré sú si podobné vo forme. S jeho pomocou sa prechádza od individuálnych (povedzme od určitých matematických metód - axiomatických, algoritmických, konštruktívnych, množinovo-teoretických a iných) k špeciálnym a všeobecným, k zovšeobecneným deduktívnym konštrukciám. Jednota metód a učiva matematiky určuje špecifickosť matematického myslenia a umožňuje nám hovoriť o špeciálnom matematickom jazyku, v ktorom sa nielen odráža realita, ale aj syntetizujú, zovšeobecňujú a predpovedajú vedecké poznatky. Sila a krása matematického myslenia spočíva v extrémnej jasnosti jeho logiky, elegancii jeho návrhov a šikovnej konštrukcii abstrakcií.

    S vynálezom počítača a vytvorením strojovej matematiky sa otvorili zásadne nové možnosti duševnej činnosti. V jazyku matematiky došlo k výrazným zmenám. Ak jazyk klasickej výpočtovej matematiky pozostával zo vzorcov algebry, geometrie a analýzy a bol zameraný na popis nepretržitých prírodných procesov, ktoré sa študovali predovšetkým v mechanike, astronómii a fyzike, potom je jeho moderný jazyk jazykom algoritmov a programov. , vrátane starého jazyka vzorcov ako konkrétneho prípadu.

    Jazyk modernej výpočtovej matematiky sa stáva čoraz univerzálnejším, schopným popísať zložité (viacparametrové) systémy. Zároveň by som chcel zdôrazniť, že akokoľvek dokonalý je matematický jazyk, vylepšený o elektronickú výpočtovú techniku, nezlomí puto s rôznorodým „živým“, prirodzeným jazykom. Navyše, hovorený jazyk je základom umelého jazyka. V tejto súvislosti je zaujímavý nedávny objav vedcov. Ide o to, že staroveký jazyk indiánov Aymara, ktorým hovorí približne 2,5 milióna ľudí v Bolívii a Peru, sa ukázal ako mimoriadne priateľský k počítaču. Už v roku 1610 taliansky jezuitský misionár Ludovico Bertoni, ktorý zostavil prvý aymarský slovník, zaznamenal genialitu jeho tvorcov, ktorí dosiahli vysokú logickú čistotu. Napríklad v Aymare neexistujú žiadne nepravidelné slovesá a žiadne výnimky z niekoľkých jasných gramatických pravidiel. Tieto vlastnosti jazyka Aymara umožnili bolívijskému matematikovi Ivanovi Guzmanovi de Rojasovi vytvoriť systém simultánneho počítačového prekladu z ktoréhokoľvek z piatich európskych jazykov zahrnutých v programe, pričom „most“ medzi nimi je jazyk Aymara. Počítač Aymara, ktorý vytvoril bolívijský vedec, bol odborníkmi veľmi chválený. Keď zhrnieme túto časť otázky o podstate matematického štýlu myslenia, treba poznamenať, že jeho hlavným obsahom je pochopenie prírody.

    Axiomatická metóda

  • Axiomatika je hlavným spôsobom konštrukcie teórie, ktorá od staroveku až po súčasnosť potvrdzuje jej univerzálnosť a všetku použiteľnosť.

    Konštrukcia matematickej teórie je založená na axiomatickej metóde. Vedecká teória je založená na určitých počiatočných ustanoveniach, nazývaných axiómy, a všetky ostatné ustanovenia teórie sú získané ako logické dôsledky axióm.

    Axiomatická metóda sa objavila v starovekom Grécku av súčasnosti sa používa takmer vo všetkých teoretických vedách a predovšetkým v matematike.

    Pri porovnaní troch, v istom ohľade, komplementárnych geometrií: Euklidovskej (parabolická), Lobačevského (hyperbolická) a Riemannovej (eliptická), treba poznamenať, že popri určitých podobnostiach existuje na jednej strane veľký rozdiel medzi sférickou geometriou. , a geometrie Euklidova a Lobačevského - na druhej strane.

    Základný rozdiel medzi modernou geometriou je v tom, že teraz zahŕňa „geometrie“ nekonečného množstva rôznych imaginárnych priestorov. Treba však poznamenať, že všetky tieto geometrie sú interpretáciou euklidovskej geometrie a sú založené na axiomatickej metóde, ktorú prvýkrát použil Euclid.

    Na základe výskumu bola vyvinutá a široko používaná axiomatická metóda. Špeciálnym prípadom aplikácie tejto metódy je metóda stôp v stereometrii, ktorá umožňuje riešiť úlohy konštrukcie rezov v mnohostenoch a niektoré ďalšie polohové úlohy.

    Axiomatická metóda, ktorá bola prvýkrát vyvinutá v geometrii, sa teraz stala dôležitým nástrojom štúdia v iných odvetviach matematiky, fyziky a mechaniky. V súčasnosti sa pracuje na zdokonalení a hlbšom štúdiu axiomatickej metódy konštrukcie teórie.

    Axiomatická metóda konštruovania vedeckej teórie spočíva v izolácii základných pojmov, formulovaní axióm teórií a na ich základe sa logicky odvodzujú všetky ostatné tvrdenia. Je známe, že jeden pojem musí byť vysvetlený pomocou iných, ktoré sú zase definované pomocou niektorých známych pojmov. Dostávame sa tak k elementárnym pojmom, ktoré nie je možné definovať prostredníctvom iných. Tieto pojmy sa nazývajú základné.

    Keď dokážeme tvrdenie, teorém, spoliehame sa na premisy, ktoré sa považujú za už preukázané. Ale aj tieto predpoklady boli preukázané, museli byť odôvodnené. Nakoniec prichádzame k nepreukázateľným tvrdeniam a prijímame ich bez dôkazov. Tieto tvrdenia sa nazývajú axiómy. Súbor axióm musí byť taký, aby sa na jeho základe dali dokázať ďalšie tvrdenia.

    Po identifikovaní základných pojmov a formulovaných axiómach potom logickým spôsobom odvodíme vety a ďalšie pojmy. Toto je logická štruktúra geometrie. Axiómy a základné pojmy tvoria základy planimetrie.

    Keďže nie je možné poskytnúť jedinú definíciu základných pojmov pre všetky geometrie, mali by sa základné pojmy geometrie definovať ako objekty akejkoľvek povahy, ktoré spĺňajú axiómy tejto geometrie. Pri axiomatickej konštrukcii geometrického systému teda vychádzame z určitého systému axióm, čiže axiomatiky. Tieto axiómy popisujú vlastnosti základných pojmov geometrického systému a základné pojmy môžeme reprezentovať vo forme objektov akejkoľvek povahy, ktoré majú vlastnosti špecifikované v axiómach.

    Po formulácii a dôkaze prvých geometrických tvrdení je možné niektoré tvrdenia (vety) dokázať pomocou iných. Dôkazy mnohých teorémov sa pripisujú Pytagorasovi a Demokritovi.

    Hippokratovi z Chiosu sa pripisuje zostavenie prvého systematického kurzu geometrie, založeného na definíciách a axiómach. Tento kurz a jeho následné liečby sa nazývali „Elementy“.

    Axiomatická metóda konštrukcie vedeckej teórie

  • Vytvorenie deduktívnej alebo axiomatickej metódy na budovanie vedy je jedným z najväčších úspechov matematického myslenia. Vyžadovalo si to prácu mnohých generácií vedcov.

    Pozoruhodnou vlastnosťou deduktívneho systému prezentácie je jednoduchosť tejto konštrukcie, ktorá ju umožňuje opísať niekoľkými slovami.

    Deduktívny systém prezentácie sa scvrkáva na:

    1) k zoznamu základných pojmov,

    2) na prezentáciu definícií,

    3) na prezentáciu axióm,

    4) k prezentácii viet,

    5) k dôkazu týchto viet.

    Axióma je tvrdenie prijaté bez dôkazov.

    Veta je tvrdenie, ktoré vyplýva z axióm.

    Dôkaz je neoddeliteľnou súčasťou deduktívneho systému; je to uvažovanie, ktoré ukazuje, že pravdivosť tvrdenia logicky vyplýva z pravdivosti predchádzajúcich teorémov alebo axióm.

    V rámci deduktívneho systému nemožno vyriešiť dve otázky: 1) o význame základných pojmov, 2) o pravdivosti axióm. To však neznamená, že tieto otázky sú úplne neriešiteľné.

    História prírodných vied ukazuje, že možnosť axiomatickej konštrukcie konkrétnej vedy sa objavuje len na pomerne vysokej úrovni rozvoja tejto vedy na základe veľkého množstva faktografického materiálu, ktorý umožňuje jasne identifikovať základné spojenia a vzťahy, ktoré existujú medzi objektmi skúmanými touto vedou.

    Príkladom axiomatickej konštrukcie matematickej vedy je elementárna geometria. Systém axióm geometrie stanovil Euclid (asi 300 pred Kristom) v diele „Princípy“, neprekonateľné vo svojom význame. Tento systém sa vo svojich hlavných črtách zachoval dodnes.

    Základné pojmy: bod, priamka, rovina, základné obrazy; ležať medzi, patriť, pohyb.

    Elementárna geometria má 13 axióm, ktoré sú rozdelené do piatich skupín. V piatej skupine existuje jedna axióma o rovnobežkách (euklidovský postulát V): bodom v rovine možno nakresliť iba jednu priamku, ktorá nepretína danú priamku. Toto je jediná axióma, ktorá vyžaduje dôkaz. Pokusy dokázať piaty postulát zamestnávali matematikov viac ako 2 tisícročia, až do prvej polovice 19. storočia, t.j. až do momentu, keď Nikolaj Ivanovič Lobačevskij vo svojich dielach dokázal úplnú beznádejnosť týchto pokusov. V súčasnosti je nepreukázateľnosť piateho postulátu prísne dokázaným matematickým faktom.

    Axióma o paralelnom N.I. Lobačevskij ju nahradil axiómou: Nech je v danej rovine daná priamka a bod ležiaci mimo priamky. Prostredníctvom tohto bodu možno k danej čiare nakresliť aspoň dve rovnobežné čiary.

    Z nového systému axióm N.I. Lobačevskij s dokonalou logickou prísnosťou odvodil harmonický systém viet, ktoré tvoria obsah neeuklidovskej geometrie. Obidve geometrie Euklida a Lobačevského sú ako logické systémy rovnaké.

    Traja veľkí matematici v 19. storočí takmer súčasne, nezávisle od seba, dospeli k rovnakým výsledkom nedokázateľnosti piateho postulátu a vytvorenia neeuklidovskej geometrie.

    Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792-1856)

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    János Bolyai (1802-1860)

    Matematický dôkaz

  • Hlavnou metódou v matematickom výskume je matematický dôkaz – prísne logické uvažovanie. Kvôli objektívnej nevyhnutnosti, hovorí člen korešpondent Ruskej akadémie vied L.D. Kudryavtsev L.D. Kudryavtsev - Moderná matematika a jej vyučovanie, Moskva, Nauka, 1985, logické uvažovanie (ktoré svojou povahou, ak je správne, je rigorózne) predstavuje metódu matematiky, bez ktorej je matematika nemysliteľná. Treba si uvedomiť, že matematické myslenie sa neobmedzuje len na logické uvažovanie. Na správnu formuláciu problému, vyhodnotenie jeho údajov, identifikáciu podstatných a výber metódy na jeho riešenie je potrebná aj matematická intuícia, ktorá umožňuje predvídať požadovaný výsledok ešte pred jeho dosiahnutím a načrtnúť cestu výskum s použitím hodnoverných úvah. Platnosť uvažovaného faktu sa však nepreukazuje jeho testovaním na množstve príkladov, nie vykonaním množstva experimentov (čo samo osebe zohráva veľkú úlohu v matematickom výskume), ale čisto logickou metódou, podľa zákony formálnej logiky.

    Verí sa, že matematický dôkaz je konečná pravda. Rozhodnutie, ktoré je založené na čistej logike, jednoducho nemôže byť nesprávne. Ale s rozvojom vedy sú úlohy, pred ktorými stoja matematici, čoraz zložitejšie.

    „Vstúpili sme do éry, keď sa matematický aparát stal tak zložitým a ťažkopádnym, že na prvý pohľad už nie je možné povedať, či je problém, s ktorým sa stretávame, pravdivý alebo nie,“ verí Kate Devlin zo Stanfordskej univerzity v Kalifornii. Ako príklad uvádza „klasifikáciu jednoduchých konečných grúp“, ktorá bola sformulovaná už v roku 1980, ale úplný presný dôkaz ešte nebol podaný. S najväčšou pravdepodobnosťou je teorém pravdivý, ale nedá sa povedať úplne s istotou.

    Počítačové riešenie tiež nemožno nazvať presným, pretože takéto výpočty majú vždy chybu. V roku 1998 Hayles navrhol počítačové riešenie Keplerovho teorému, ktorý bol sformulovaný už v roku 1611. Táto veta popisuje najhustejšie usporiadanie guľôčok v priestore. Dôkaz bol prezentovaný na 300 stranách a obsahoval 40 000 riadkov strojového kódu. 12 posudzovateľov kontrolovalo riešenie rok, no nedosiahli 100% dôveru v správnosť dôkazov a štúdia bola zaslaná na prepracovanie. V dôsledku toho bol publikovaný až po štyroch rokoch a bez úplnej certifikácie recenzentov.

    Všetky nedávne výpočty aplikovaných problémov sa vykonávajú na počítači, ale vedci sa domnievajú, že pre väčšiu spoľahlivosť by matematické výpočty mali byť prezentované bez chýb.

    Teória dôkazu bola vyvinutá v logike a zahŕňa tri štrukturálne zložky: tézu (to, čo sa má dokázať), argumenty (súbor faktov, všeobecne uznávané pojmy, zákony, atď. príslušnej vedy) a demonštráciu (postup pri vypracovanie samotného dôkazu; sekvenčný reťazec záverov, keď sa n-tý záver stane jednou z premis n+1-ého záveru). Pravidlá dokazovania sú zvýraznené a sú označené možné logické chyby.

    Matematický dôkaz má veľa spoločného s princípmi stanovenými formálnou logikou. Okrem toho matematické pravidlá uvažovania a operácií očividne slúžili ako jeden zo základov pri vývoji dôkazovej procedúry v logike. Najmä výskumníci histórie formovania formálnej logiky veria, že v jednom čase, keď Aristoteles urobil prvé kroky na vytvorenie zákonov a pravidiel logiky, sa obrátil k matematike a praxi právnej činnosti. V týchto prameňoch našiel materiál na logickú konštrukciu svojej plánovanej teórie.

    V 20. storočí stratil pojem dôkaz svoj striktný význam, čo sa stalo v súvislosti s objavovaním logických paradoxov skrytých v teórii množín a najmä v súvislosti s výsledkami, ktoré priniesli teorémy K. Gödela o neúplnosti formalizácie.

    Predovšetkým sa to dotklo samotnej matematiky, v súvislosti s ktorou zaznelo presvedčenie, že pojem „dôkaz“ nemá presnú definíciu. Ale ak takýto názor (ktorý existuje dodnes) ovplyvňuje samotnú matematiku, potom dospejú k záveru, že dôkaz treba akceptovať nie v zmysle logicko-matematickom, ale v zmysle psychologickom. Navyše, podobný názor nachádza aj samotný Aristoteles, ktorý veril, že dokazovať znamená uskutočňovať úvahy, ktoré nás presvedčia do takej miery, že pomocou nich presvedčíme ostatných o správnosti niečoho. Určitý odtieň psychologického prístupu nachádzame u A.E. Yesenina-Volpina. Ostro sa stavia proti prijatiu pravdy bez dôkazu, spája to s aktom viery a ďalej píše: „Dôkaz súdu nazývam čestným prijatím, vďaka ktorému je tento súd nepopierateľný.“ Yesenin-Volpin uvádza, že jeho definícia ešte potrebuje objasnenie. Neprezrádza zároveň samotná charakteristika dôkazov ako „čestné prijatie“ apel na morálne a psychologické posúdenie?

    Objav množinových paradoxov a objavenie sa Gödelových teorém zároveň prispeli k rozvoju teórie matematického dôkazu intuicionistov, najmä konštruktivistického smeru, a D. Hilberta.

    Niekedy sa verí, že matematický dôkaz má univerzálny charakter a predstavuje ideálnu verziu vedeckého dôkazu. Nie je to však jediná metóda, existujú aj iné metódy postupov a operácií založených na dôkazoch. Je len pravda, že matematický dôkaz má veľa podobností s formálno-logickým dôkazom implementovaným v prírodných vedách a že matematický dôkaz má určité špecifiká, ako aj súbor techník a operácií. Tu sa zastavíme a vynecháme spoločné črty, vďaka ktorým je podobný iným formám dôkazu, teda bez rozšírenia algoritmu, pravidiel, chýb atď. vo všetkých krokoch (aj v tých hlavných). dôkazový proces.

    Matematický dôkaz je úvaha, ktorej úlohou je podložiť pravdivosť (samozrejme v matematickom, teda odvoditeľnom zmysle) akéhokoľvek tvrdenia.

    Súbor pravidiel používaných pri dokazovaní sa vytvoril spolu s príchodom axiomatických konštrukcií matematickej teórie. Najjasnejšie a úplne to bolo realizované v Euklidovej geometrii. Jeho „Principia“ sa stala akýmsi vzorovým štandardom pre axiomatickú organizáciu matematického poznania a pre matematikov ňou zostala dlho.

    Vyhlásenia prezentované vo forme určitej postupnosti musia zaručovať záver, ktorý sa pri dodržaní pravidiel logického fungovania považuje za preukázaný. Je potrebné zdôrazniť, že určitá úvaha je dôkazom len o určitom axiomatickom systéme.

    Pri charakterizácii matematického dôkazu sa rozlišujú dva hlavné znaky. Po prvé, matematický dôkaz vylučuje akýkoľvek odkaz na empirické dôkazy. Celý postup zdôvodňovania pravdivosti záveru sa uskutočňuje v rámci akceptovanej axiomatiky. V tejto súvislosti zdôrazňuje akademik A.D. Aleksandrov. Uhly trojuholníka môžete zmerať tisíckrát a uistiť sa, že sú rovné 2d. Ale matematikou nemôžete nič dokázať. Dokážete mu to, ak vyššie uvedené tvrdenie odvodíte z axióm. Zopakujme si. Tu má matematika blízko k metódam scholastiky, ktorá tiež zásadne odmieta argumentáciu založenú na experimentálne daných faktoch.

    Napríklad, keď sa zistila nesúmerateľnosť segmentov, pri dokazovaní tejto vety bolo použitie fyzikálneho experimentu vylúčené, pretože po prvé, samotný pojem „nesúmerateľnosť“ nemá fyzikálny význam, a po druhé, matematici nemohli, keď sa zaoberali s abstrakciou, prilákať pomocou materiálovo konkrétnych rozšírení, meraných senzorickými a vizuálnymi metódami. Nesúmernosť najmä strán a uhlopriečok štvorca je dokázaná na základe vlastnosti celých čísel pomocou Pytagorovej vety o rovnosti druhej mocniny prepony (resp. uhlopriečky) so súčtom druhých mocnín nôh. (dve strany pravouhlého trojuholníka). Alebo keď Lobačevskij hľadal potvrdenie svojej geometrie a obrátil sa na výsledky astronomických pozorovaní, toto potvrdenie vykonal prostredníctvom čisto špekulatívneho charakteru. Interpretácie neeuklidovskej geometrie, ktoré vykonali Cayley-Klein a Beltrami, tiež obsahovali skôr matematické ako fyzické objekty.

    Druhou črtou matematického dôkazu je jeho najvyššia abstraktnosť, v ktorej sa odlišuje od dôkazných postupov v iných vedách. A opäť, ako v prípade pojmu matematický objekt, nehovoríme len o stupni abstrakcie, ale o jeho povahe. Faktom je, že dôkazy dosahujú vysokú úroveň abstrakcie aj v mnohých iných vedách, napríklad vo fyzike, kozmológii a, samozrejme, vo filozofii, keďže jej predmetom sú posledné problémy bytia a myslenia. Matematika sa vyznačuje tým, že tu fungujú premenné, ktorých význam je v abstrakcii od akýchkoľvek špecifických vlastností. Pripomeňme si, že podľa definície sú premenné znaky, ktoré samy osebe nemajú význam a nadobúdajú ho iba vtedy, keď ich nahradia názvami určitých objektov (jednotlivých premenných) alebo keď označujú konkrétne vlastnosti a vzťahy (predikátové premenné), resp. napokon v prípadoch nahradenia premennej zmysluplným výrokom (výroková premenná).

    Táto vlastnosť určuje povahu extrémnej abstrakcie znakov používaných v matematickom dokazovaní, ako aj výrokov, ktoré sa vďaka zahrnutiu premenných do svojej štruktúry menia na funkcie výrokov.

    Samotný dokazovací postup, v logike definovaný ako demonštrácia, prebieha na základe pravidiel vyvodzovania, na základe ktorých sa uskutočňuje prechod od jedného dokázaného tvrdenia k druhému, čím sa tvorí sekvenčný reťazec vyvodzovania. Najbežnejšie sú dve pravidlá (substitúcia a inferencia) a veta o dedukcii.

    Substitučné pravidlo. V matematike je substitúcia definovaná ako nahradenie každého z prvkov a danej množiny nejakým iným prvkom F (a) z tej istej množiny. V matematickej logike je substitučné pravidlo formulované nasledovne. Ak pravdivý vzorec M vo výrokovej kalkulácii obsahuje písmeno, povedzme A, potom jeho nahradením, kdekoľvek sa vyskytuje, ľubovoľným písmenom D, dostaneme vzorec, ktorý je rovnako pravdivý ako pôvodný. Je to možné a prijateľné práve preto, že v kalkule výrokov sa abstrahuje od významu výrokov (vzorcov)... Do úvahy sa berú len významy „pravda“ alebo „nepravda“. Napríklad vo vzorci M: A--> (BUA) nahradíme namiesto A výraz (AUB), výsledkom je nový vzorec (AUB) -->[(BU(AUB) ].

    Pravidlo pre vyvodzovanie záverov zodpovedá štruktúre podmieňujúceho kategorického sylogizmu modus ponens (afirmatívny modus) vo formálnej logike. Vyzerá to takto:

    a .

    Je daný výrok (a-> b) a je dané aj a. To znamená b.

    Napríklad: Ak prší, potom je chodník vlhký, prší (a), preto je chodník vlhký (b). V matematickej logike sa tento sylogizmus píše nasledovne (a-> b) a-> b.

    Inferencia je spravidla určená delením pre implikáciu. Ak je daná implikácia (a-> b) a jej antecedent (a), potom máme právo pridať k argumentu (dôkazu) dôsledok tejto implikácie (b). Sylogizmus je povinný, predstavuje arzenál deduktívnych dôkazných prostriedkov, to znamená, že absolútne spĺňa požiadavky matematického uvažovania.

    Veľkú úlohu v matematickom dokazovaní zohráva dedukčná veta - všeobecný názov pre množstvo viet, ktorých postup umožňuje stanoviť dokázateľnosť implikácie: A-> B, keď existuje logické odvodenie vzorca B zo vzorca A. V najbežnejšej verzii výrokového počtu (v klasickej, intuicionistickej a iných typoch matematiky) dedukčná veta uvádza nasledovné. Ak je daná sústava premis G a premisa A, z ktorej možno podľa pravidiel odvodiť B Г, A B (je znakom derivácie), potom vyplýva, že len z premis G sa dá získať veta A --> B.

    Pozreli sme sa na typ, ktorý je priamym dôkazom. Zároveň sa v logike používajú aj takzvané nepriame dôkazy, existujú nepriame dôkazy, ktoré sa odvíjajú podľa nasledujúcej schémy. Nemajú z viacerých dôvodov (neprístupnosť predmetu výskumu, strata reálnosti jeho existencie a pod.) možnosť vykonať priamy dôkaz pravdivosti akéhokoľvek tvrdenia alebo tézy, budujú si protiklad. Sú presvedčení, že protiklad vedie k rozporom, a preto je nepravdivý. Potom sa z faktu nepravdivosti antitézy robí záver – na základe zákona vylúčeného stredu (a v) – o pravdivosti tézy.

    V matematike sa široko používa jedna forma nepriameho dôkazu – dôkaz protirečením. Je obzvlášť cenná a v podstate nevyhnutná pri akceptovaní základných pojmov a ustanovení matematiky, napríklad konceptu skutočného nekonečna, ktorý nemožno zaviesť iným spôsobom.

    Operácia dôkazu protirečením je prezentovaná v matematickej logike nasledovne. Daná postupnosť vzorcov G a negácia A (G , A). Ak to implikuje B a jeho negáciu (G, A B, nie-B), potom môžeme konštatovať, že pravdivosť A vyplýva z postupnosti formúl G. Inými slovami, pravdivosť tézy vyplýva z nepravdivosti antitézy .

    Referencie:

  • 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Vyššia matematika pre ekonómov, učebnica, Moskva, 2002;

    2. L.D. Kudryavtsev, Moderná matematika a jej vyučovanie, Moskva, Nauka, 1985;

    3. O.I. Larichev, Objektívne modely a subjektívne rozhodnutia, Moskva, Nauka, 1987;

    4. A.Ya.Halamizer, „Matematika? - Funny!", autorská publikácia, 1989;

    5. P. K. Rashevsky, Riemannova geometria a tenzorová analýza, Moskva, 3. vydanie, 1967;

    6. V.E. Gmurman, Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika, Moskva, Vyššia škola, 1977;

    7. World Wide Web Enternet.

Matematika ako veda o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reality študuje svet okolo nás, prírodné a sociálne javy. Ale na rozdiel od iných vied, matematika študuje ich špeciálne vlastnosti a abstrahuje od iných. Geometria teda študuje tvar a veľkosť predmetov bez ohľadu na ich ďalšie vlastnosti: farbu, hmotnosť, tvrdosť atď. Vo všeobecnosti sú matematické objekty (geometrický útvar, číslo, veľkosť) vytvorené ľudskou mysľou a existujú iba v ľudskom myslení, v znakoch a symboloch, ktoré tvoria matematický jazyk.

Abstraktná povaha matematiky umožňuje jej uplatnenie v širokej škále oblastí a je silným nástrojom na pochopenie prírody.

Formy poznania sa delia do dvoch skupín.

Prvá skupina predstavujú formy zmyslového poznania, ktoré sa vykonávajú pomocou rôznych zmyslov: zrak, sluch, čuch, hmat, chuť.

Co. druhá skupina zahŕňajú formy abstraktného myslenia, predovšetkým pojmy, tvrdenia a závery.

Formy zmyslového poznania sú Cítiť, vnímanie A zastupovanie.

Každý predmet má nie jednu, ale mnoho vlastností a tie poznáme prostredníctvom vnemov.

Pocit- ide o odraz individuálnych vlastností predmetov alebo javov hmotného sveta, ktoré priamo (teda teraz, momentálne) ovplyvňujú naše zmysly. Sú to pocity červenej, teplej, guľatej, zelenej, sladkej, hladkej a iné individuálne vlastnosti predmetov [Getmanová, s. 7].

Vnímanie celého objektu sa skladá z jednotlivých vnemov. Napríklad vnímanie jablka pozostáva z nasledujúcich vnemov: sférický, červený, sladkokyslý, aromatický atď.

Vnímanie je holistický odraz vonkajšieho hmotného objektu, ktorý priamo ovplyvňuje naše zmysly [Getmanová, s. 8]. Napríklad obraz taniera, pohára, lyžice, iného riadu; obraz rieky, ak teraz plávame pozdĺž nej alebo sme na jej brehu; obraz lesa, ak sme teraz prišli do lesa atď.

Vnemy, hoci sú zmyslovým odrazom reality v našej mysli, do veľkej miery závisia od ľudskej skúsenosti. Napríklad biológ bude lúku vnímať jedným spôsobom (uvidí rôzne druhy rastlín), ale turista či umelec ju bude vidieť úplne inak.

Výkon- ide o zmyslový obraz predmetu, ktorý momentálne nevnímame, ale ktorý sme predtým v tej či onej podobe vnímali [Getmanová, s. 10]. Môžeme si napríklad vizuálne predstaviť tváre priateľov, našu izbu v dome, brezu alebo hubu. Toto sú príklady rozmnožovanie reprezentácie, keďže sme tieto objekty videli.

Prezentácia môže byť kreatívny, počítajúc do toho fantastický. Predstavujeme krásnu princeznú labuť, či cára Saltana, či zlatého kohútika a mnohé ďalšie postavičky z rozprávok A.S. Puškina, ktorého sme nikdy nevideli a ani neuvidíme. Toto sú príklady tvorivej reprezentácie založenej na slovnom opise. Predstavujeme si aj Snehulienku, Santa Clausa, morskú pannu atď.

Formami zmyslového poznania sú teda pocity, vnemy a predstavy. S ich pomocou sa učíme vonkajšie aspekty objektu (jeho znaky vrátane vlastností).

Formy abstraktného myslenia sú pojmy, tvrdenia a závery.

Koncepty. Rozsah a obsah pojmov

Pojem „pojem“ sa zvyčajne používa na označenie celej triedy predmetov ľubovoľnej povahy, ktoré majú určitú charakteristickú (výraznú, podstatnú) vlastnosť alebo celý súbor takýchto vlastností, t. vlastnosti vlastné iba prvkom tejto triedy.

Z hľadiska logiky je pojem špeciálna forma myslenia, ktorá sa vyznačuje nasledovným: 1) pojem je produktom vysoko organizovanej hmoty; 2) koncept odráža materiálny svet; 3) pojem sa objavuje vo vedomí ako prostriedok zovšeobecňovania; 4) pojem znamená špecificky ľudskú činnosť; 5) formovanie pojmu v mysli človeka je neoddeliteľné od jeho vyjadrenia rečou, písmom alebo symbolom.

Ako v našom vedomí vzniká pojem akéhokoľvek predmetu reality?

Proces formovania určitého konceptu je postupný proces, v ktorom možno vidieť niekoľko po sebe nasledujúcich etáp. Zoberme si tento proces pomocou najjednoduchšieho príkladu - formovanie konceptu čísla 3 u detí.

1. Na prvom stupni poznávania sa deti oboznamujú s rôznymi konkrétnymi súbormi, využívajú obrázky predmetov a predvádzajú rôzne súbory troch prvkov (tri jablká, tri knihy, tri ceruzky atď.). Deti nielen vidia každú z týchto sád, ale môžu sa aj dotýkať (dotýkať sa) predmetov, ktoré tieto sady tvoria. Tento proces „videnia“ vytvára v mysli dieťaťa špeciálnu formu odrazu reality, ktorá sa nazýva vnímanie (vnem).

2. Odstráňme predmety (predmety), ktoré tvoria každú množinu, a pozvime deti, aby určili, či existuje niečo spoločné, čo charakterizuje každú množinu. Počet predmetov v každej sade, skutočnosť, že všade boli „tri“, mali byť vtlačené do myslí detí. Ak je to tak, potom sa v mysliach detí vytvorila nová forma - myšlienka čísla „tri“.

3. V ďalšej fáze by deti na základe myšlienkového experimentu mali vidieť, že vlastnosť vyjadrená v slove „tri“ charakterizuje akúkoľvek množinu rôznych prvkov tvaru (a; b; c). To zvýrazní základnú spoločnú črtu takýchto súprav: "mať tri prvky." Teraz môžeme povedať, že sa formuje v mysliach detí pojem číslo 3.

koncepcia– ide o špeciálnu formu myslenia, ktorá odráža podstatné (výrazné) vlastnosti predmetov alebo predmetov štúdia.

Jazyková forma pojmu je slovo alebo skupina slov. Napríklad „trojuholník“, „číslo tri“, „bod“, „priamka“, „rovnomerný trojuholník“, „rastlina“, „ihličnatý strom“, „rieka Yenisei“, „stôl“ atď.

Matematické pojmy majú množstvo funkcií. Hlavná vec je, že matematické objekty, o ktorých je potrebné formulovať koncept, v skutočnosti neexistujú. Matematické objekty vytvára ľudská myseľ. Ide o ideálne predmety, ktoré odrážajú skutočné predmety alebo javy. Napríklad v geometrii študujú tvar a veľkosť predmetov bez toho, aby brali do úvahy ich ďalšie vlastnosti: farbu, hmotnosť, tvrdosť atď. Sú od toho všetkého rozptýlení, abstrahovaní. Preto v geometrii namiesto slova „objekt“ hovoria „geometrický obrazec“. Výsledkom abstrakcie sú také matematické pojmy ako „číslo“ a „veľkosť“.

Hlavné charakteristiky akýkoľvek koncepty sú nasledujúce: 1) objem; 2) obsahu; 3) vzťahy medzi pojmami.

Keď hovoríme o matematickom koncepte, zvyčajne znamenajú celú množinu (množinu) objektov označenú jedným pojmom (slovom alebo skupinou slov). Takže keď hovoríme o štvorci, máme na mysli všetky geometrické útvary, ktoré sú štvorcami. Predpokladá sa, že množina všetkých štvorcov tvorí rozsah pojmu „štvorec“.

Rozsah koncepcie sa vzťahuje na súbor predmetov alebo položiek, na ktoré sa tento pojem vzťahuje.

Napríklad 1) rozsah pojmu „rovnobežník“ je súbor štvoruholníkov, ako sú samotné rovnobežníky, kosoštvorce, obdĺžniky a štvorce; 2) rozsah pojmu „jednociferné prirodzené číslo“ bude množina - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Každý matematický objekt má určité vlastnosti. Napríklad štvorec má štyri strany, štyri pravé uhly, rovnaké uhlopriečky, uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom. Môžete určiť jeho ďalšie vlastnosti, ale medzi vlastnosťami objektu sú podstatný (výrazný) A bezvýznamný.

Nehnuteľnosť je tzv významný (charakteristický) pre predmet, ak je tomuto predmetu vlastný a bez neho nemôže existovať; nehnuteľnosť sa volá bezvýznamný pre objekt, ak môže existovať bez neho.

Napríklad pre štvorec sú nevyhnutné všetky vlastnosti uvedené vyššie. Vlastnosť „strana AD je vodorovná“ nebude pre štvorec ABCD dôležitá (obr. 1). Ak sa tento štvorec otočí, strana AD bude vertikálna.

Pozrime sa na príklad pre predškolákov s použitím obrazového materiálu (obr. 2):

Popíšte postavu.

Malý čierny trojuholník. Ryža. 2

Veľký biely trojuholník.

V čom sú si čísla podobné?

Ako sa líšia čísla?

Farba, veľkosť.

Čo má trojuholník?

3 strany, 3 rohy.

Deti tak zisťujú podstatné a nepodstatné vlastnosti pojmu „trojuholník“. Základnými vlastnosťami sú „mať tri strany a tri uhly“, nepodstatnými vlastnosťami sú farba a veľkosť.

Súbor všetkých podstatných (rozlišovacích) vlastností predmetu alebo predmetu premietnutý do daného pojmu sa nazýva tzv obsah konceptu .

Napríklad pre pojem „rovnobežník“ je obsahom súbor vlastností: má štyri strany, má štyri uhly, protiľahlé strany sú párovo rovnobežné, protiľahlé strany sú rovnaké, protiľahlé uhly sú rovnaké, uhlopriečky v priesečníkoch sú rozdelené na polovicu .

Medzi objemom konceptu a jeho obsahom existuje súvislosť: ak objem konceptu narastá, potom jeho obsah klesá a naopak. Takže napríklad rozsah pojmu „rovnoramenný trojuholník“ je súčasťou rozsahu pojmu „trojuholník“ a obsah pojmu „rovnomerný trojuholník“ zahŕňa viac vlastností ako obsah pojmu „trojuholník“, pretože rovnoramenný trojuholník má nielen všetky vlastnosti trojuholníka, ale aj iné, ktoré sú vlastné len rovnoramenným trojuholníkom („dve strany sú rovnaké“, „dva uhly sú rovnaké“, „dva stredy sú rovnaké“ atď.).

Podľa rozsahu sa pojmy delia na slobodný, všeobecný A Kategórie.

Pojem, ktorého objem sa rovná 1, sa nazýva jediný koncept .

Napríklad pojmy: „Rieka Yenisei“, „Republika Tuva“, „mesto Moskva“.

Volajú sa pojmy, ktorých objem je väčší ako 1 všeobecný .

Napríklad pojmy: „mesto“, „rieka“, „štvoruholník“, „číslo“, „mnohouholník“, „rovnica“.

V procese štúdia základov akejkoľvek vedy deti tvoria najmä všeobecné pojmy. Napríklad na základnej škole sa žiaci zoznámia s pojmami ako „číslica“, „číslo“, „jednociferné čísla“, „dvojciferné čísla“, „viacmiestne čísla“, „zlomok“, „zlomok“ , „sčítanie“, „sčítanie“, „súčet“, „odčítanie“, „subtrahend“, „minuend“, „rozdiel“, „násobenie“, „násobiteľ“, „produkt“, „delenie“, „dividenda“, „ deliteľ, „podiel“, „guľa“, „valec“, „kužeľ“, „kocka“, „rovnobežník“, „pyramída“, „uhol“, „trojuholník“, „štvoruholník“, „štvorec“, „obdĺžnik“ , "polygón", "kruh" , "kruh", "krivka", "prerušovaná čiara", "segment", "dĺžka segmentu", "lúč", "priama čiara", "bod", "dĺžka", "šírka" ““, „výška“, „obvod“, „plocha postavy“, „objem“, „čas“, „rýchlosť“, „hmotnosť“, „cena“, „cena“ a mnoho ďalších. Všetky tieto pojmy sú všeobecné pojmy.

Matematika 1. Odkiaľ sa vzalo slovo matematika 2. Kto vynašiel matematiku? 3. Hlavné témy. 4. Definícia 5. Etymológia Do poslednej snímky.

Odkiaľ pochádza slovo (prejdi na predchádzajúcu snímku) Matematika z gréčtiny - štúdium, veda) - veda o štruktúrach, poriadku a vzťahoch, historicky vyvinutá na základe operácií počítania, merania a opisu tvaru predmetov. Matematické objekty vznikajú idealizáciou vlastností skutočných alebo iných matematických objektov a zapísaním týchto vlastností vo formálnom jazyku.

Kto vynašiel matematiku (prejdi na menu) Prvý matematik sa zvyčajne nazýva Thales z Milétu, ktorý žil v 6. storočí. BC e. , jeden z takzvaných siedmich gréckych mudrcov. Nech je to akokoľvek, bol to on, kto ako prvý štrukturoval celú vedomostnú základňu o tejto téme, ktorá sa dlho formovala v rámci jemu známeho sveta. Avšak autorom prvého pojednania o matematike, ktoré sa k nám dostalo, bol Euklides (3. storočie pred Kristom). Môže byť tiež celkom zaslúžene považovaný za otca tejto vedy.

Hlavné témy (prejdi na menu) Oblasť matematiky zahŕňa len tie vedy, v ktorých sa uvažuje buď o poriadku alebo miere, a nie je vôbec dôležité, či sú to čísla, postavy, hviezdy, zvuky alebo čokoľvek iné, v čom sa táto miera nachádza . Preto musí existovať nejaký druh všeobecnej vedy, ktorá vysvetľuje všetko, čo súvisí s poriadkom a mierou, bez toho, aby sa pustila do štúdia akýchkoľvek konkrétnych predmetov, a táto veda by sa nemala nazývať cudzia, ale starý názov univerzálnej matematiky, ktorý už prišiel. do používania.

Definícia (prejdi na menu) Moderná analýza je založená na klasickej matematickej analýze, ktorá je považovaná za jednu z troch hlavných oblastí matematiky (spolu s algebrou a geometriou). Zároveň sa pojem „matematická analýza“ v klasickom zmysle používa najmä vo vzdelávacích programoch a materiáloch. V anglo-americkej tradícii klasická matematická analýza zodpovedá programom kurzov nazývaným „kalkul“

Etymológia (prejdi na menu) Slovo „matematika“ pochádza zo starovekej gréčtiny. , čo znamená štúdium, poznanie, veda atď. -grécky, pôvodne znamená vnímavý, úspešný, neskôr súvisiaci so štúdiom, následne súvisiaci s matematikou. Konkrétne v latinčine to znamená umenie matematiky. Termín je starogrécky. v modernom význame slova „matematika“ sa nachádza už v dielach Aristotela (IV. storočie pred n. l.). V textoch v ruštine sa slovo „matematika“ alebo „matematika“ vyskytuje minimálne od 17. storočia, napr. , v Nikolai Spafari v „Knihe vybraných stručných informácií o deviatich múzach a siedmich slobodných umeniach“ (1672)