1 zo 17

Prezentácia na tému:"Platónske pevné látky"

snímka číslo 1

Popis snímky:

snímka číslo 2

Popis snímky:

snímka číslo 3

Popis snímky:

snímka číslo 4

Popis snímky:

Pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol osemstenu je vrcholom štyroch trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 240º. Pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol osemstenu je vrcholom štyroch trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 240º.

snímka číslo 5

Popis snímky:

Pozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol dvadsaťstenu je vrcholom piatich trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 300º. Pozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol dvadsaťstenu je vrcholom piatich trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 300º.

snímka číslo 6

Popis snímky:

snímka číslo 7

Popis snímky:

Pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov. Každý vrchol dvanástnika je vrcholom troch pravidelných päťuholníkov. Preto súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 324º. Pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov. Každý vrchol dvanástnika je vrcholom troch pravidelných päťuholníkov. Preto súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 324º.

snímka číslo 8

Popis snímky:

snímka číslo 9

Popis snímky:

Pravidelné mnohosteny sa niekedy nazývajú platónske telesá, pretože zaujímajú popredné miesto vo filozofickom obraze sveta, ktorý vytvoril veľký mysliteľ starovekého Grécka Platón (asi 428 - asi 348 pred Kristom). Pravidelné mnohosteny sa niekedy nazývajú platónske telesá, pretože zaujímajú popredné miesto vo filozofickom obraze sveta, ktorý vytvoril veľký mysliteľ starovekého Grécka Platón (asi 428 - asi 348 pred Kristom). Platón veril, že svet je vybudovaný zo štyroch „prvkov“ – ohňa, zeme, vzduchu a vody, pričom atómy týchto „prvkov“ majú podobu štyroch pravidelných mnohostenov. Štvorsten zosobňoval oheň, pretože jeho vrchol smeruje nahor, ako plápolajúci plameň. Ikosahedrón – ako najviac prúdnicový – voda. Kocka je najstabilnejšia z postáv - zem. Osemsten je vzduch. V našej dobe možno tento systém prirovnať k štyrom skupenstvám hmoty – pevné, kvapalné, plynné a ohnivé. Piaty mnohosten - dvanásťsten symbolizoval celý svet a bol uctievaný ako najdôležitejší. Bol to jeden z prvých pokusov zaviesť myšlienku systematizácie do vedy.

snímka číslo 10

Popis snímky:

Kepler naznačil, že medzi piatimi pravidelnými mnohostenmi a šiestimi planétami slnečnej sústavy objavenými v tom čase existuje spojenie. Kepler naznačil, že medzi piatimi pravidelnými mnohostenmi a šiestimi planétami slnečnej sústavy objavenými v tom čase existuje spojenie. Podľa tohto predpokladu možno do sféry dráhy Saturna vpísať kocku, do ktorej je vpísaná sféra dráhy Jupitera. To zase vpisuje štvorsten ohraničený v blízkosti sféry obežnej dráhy Marsu. Dvanásťsten je vpísaný do sféry obežnej dráhy Marsu, do ktorej je vpísaná sféra obežnej dráhy Zeme. A je opísaná v blízkosti dvadsaťstenu, v ktorom je vpísaná sféra obežnej dráhy Venuše. Sféra tejto planéty je opísaná v blízkosti oktaédra, do ktorého zapadá sféra Merkúra. Takýto model slnečnej sústavy (obr. 6) dostal názov Keplerov „Vesmírny pohár“. Vedec zverejnil výsledky svojich výpočtov v knihe "Tajomstvo vesmíru". Veril, že tajomstvo vesmíru bolo odhalené. Vedec rok čo rok zdokonaľoval svoje pozorovania, preveroval údaje svojich kolegov, no napokon našiel silu opustiť lákavú hypotézu. Jeho stopy sú však viditeľné v treťom Keplerovom zákone, ktorý sa vzťahuje na kocky priemerných vzdialeností od Slnka.

snímka číslo 11

Popis snímky:

Myšlienky Platóna a Keplera o spojení pravidelných mnohostenov s harmonickou štruktúrou sveta našli v našej dobe svoje pokračovanie v zaujímavej vedeckej hypotéze, ktorá sa začiatkom 80. r. vyjadrili moskovskí inžinieri V. Makarov a V. Morozov. Veria, že jadro Zeme má tvar a vlastnosti rastúceho kryštálu, ktorý ovplyvňuje vývoj všetkých prírodných procesov prebiehajúcich na planéte. Lúče tohto kryštálu, respektíve jeho silové pole, určujú dvadsaťsteno-dodekaedrickú štruktúru Zeme (obr. 7). Prejavuje sa to tým, že v zemskej kôre sa akoby objavili výbežky pravidelných mnohostenov vpísaných do zemegule: dvadsaťsten a dvanásťsten. Myšlienky Platóna a Keplera o spojení pravidelných mnohostenov s harmonickou štruktúrou sveta našli v našej dobe svoje pokračovanie v zaujímavej vedeckej hypotéze, ktorá sa začiatkom 80. r. vyjadrili moskovskí inžinieri V. Makarov a V. Morozov. Veria, že jadro Zeme má tvar a vlastnosti rastúceho kryštálu, ktorý ovplyvňuje vývoj všetkých prírodných procesov prebiehajúcich na planéte. Lúče tohto kryštálu, respektíve jeho silové pole, určujú dvadsaťsteno-dodekaedrickú štruktúru Zeme (obr. 7). Prejavuje sa to tým, že v zemskej kôre sa akoby objavili výbežky pravidelných mnohostenov vpísaných do zemegule: dvadsaťsten a dvanásťsten. Mnohé ložiská nerastov sa tiahnu pozdĺž mriežky dvadsaťsten-dvanásťsten; 62 vrcholov a stredov hrán mnohostenov, ktoré autori nazývajú uzly, má množstvo špecifických vlastností, ktoré umožňujú vysvetliť niektoré nepochopiteľné javy. Tu sú centrá starovekých kultúr a civilizácií: Peru, Severné Mongolsko, Haiti, kultúra Ob a iné. V týchto bodoch sú pozorované maximá a minimá atmosférického tlaku, obrie víry Svetového oceánu. V týchto uzloch sa nachádza jazero Loch Ness, Bermudský trojuholník. Ďalšie štúdie Zeme možno určia postoj k tejto vedeckej hypotéze, v ktorej zrejme dôležité miesto zaujímajú pravidelné mnohosteny.

18.03.2018 04:55

Prezentácia bola robená k výskumnej práci, ktorá bola prezentovaná na Regionálnom výskumno-výrobnom komplexe "Krok do vedy" a Celoruskej "Mládeži. Veda. Kultúra - Sibír". V hlavnej časti práce sú zvažované koncepty pravidelných mnohostenov, ich typy a vývoj, kusudama gule a ich typy, skúma sa kusudama gule. Pravidelné mnohosteny sa vyrábajú pomocou výstružníkov a guľôčok Kusudama založených na modulárnom origami. Kontroluje sa splnenie Eulerovho vzorca. Pravidelné mnohosteny sa porovnávajú s guľami Kusudama. Našli sa podobnosti a rozdiely. Práca má veľkú praktickú aj teoretickú hodnotu, je využiteľná na hodinách matematiky, techniky, mimoškolských aktivít. Používa sa modelovanie, návrh, metóda vyhľadávania, analýza a porovnávanie údajov. Práca bola ocenená diplomom 3. stupňa na Celoruskej vedeckej a praktickej konferencii. Publikované na výskumnej webovej stránke "Educator"

Zobraziť obsah dokumentu
"Prezentácia k výskumnej práci "Platón a Archimedove telesá ako hlavné formy guľôčok Kusudama""

"Mládež, veda, kultúra - Sibír"

MBOU "Duldurginská stredná škola"

Všeruská vedecká a praktická konferencia

Duldurginský obvod 7. trieda vedúci: Kibireva Irina Valerievna učiteľka matematiky najvyššej kvalifikačnej kategórie

Čestný pracovník všeobecného vzdelávania Ruskej federácie

MBOU "Duldurginská stredná škola"

Platónske a archimedovské telesá ako hlavné formy gúľ Kusudama

Pytagoras (570 - 497 pred Kr.) Platón (vlastným menom Aristokles,

427-347 pred Kristom)

Euklides (365 – 300 pred Kr.)

Leonhard Euler (1707-1783)

V maľbe umelca Salvador Dalí "Posledná večera" Kristus so svojimi učeníkmi je zobrazený na pozadí obrovského priehľadného dvanásťstena.

Tvar dvanásťstena mal podľa staroveku VESMÍR, t.j. verili, že žijeme vo vnútri klenby, ktorá má tvar povrchu pravidelného dvanásťstena.

Polyhedra v architektúre Moskvy

Katedrála Nepoškvrneného počatia

Panna Mária

na Malom Georgianovi

Historické múzeum

Geologické nálezy

Granáty: Andradit a Grossular (nájdený v povodí rieky Akhtaranda, Jakutsko)

Cieľ práce:

Zistite, ktoré mnohosteny patria medzi platónske a archimedovské telesá a ako súvisia s guľami Kusudama. Majú guličky kusudama naozaj svoj tvar?

Predmet štúdia: Platónske a Archimedove telesá, guličky Kusudama

Predmet štúdia: orimetria

hypotéza:

Ak študujete pravidelné, polopravidelné mnohosteny a gule kusudama, môžete v nich vidieť podobnosti a poskytnúť popis gúľ kusudama z geometrického hľadiska.

Ciele výskumu:

• Zbierajte a študujte literatúru na témy „Platónske a archimedovské pevné látky“, „Kusudama Balls“.
• Pomocou zametania vytvorte pravidelné mnohosteny
• 3. Vytvorte guličky kusudama
• 4. Skontrolujte platnosť Eulerovho vzorca pre pravidelné a polopravidelné mnohosteny.
• 4. Nájdite vzťah medzi mnohostenmi a guľami Kusudama.

Metódy a prostriedky:

• modelovanie
• výstavby
• metóda vyhľadávania
• analýza a porovnanie údajov

Fázy výskumu:

• Štúdium literatúry o pravidelných mnohostenoch (platónske telesá), polopravidelných mnohostenoch (archimedovské telesá), guličkách Kusudama.
• Modelovanie mnohostenov a gúľ Kusudama.
• Porovnanie a porovnanie gúľ Kusudama s pravidelnými mnohostenmi.
• Popis prijatých údajov.

Mnohosten

• Mnohosten je uzavretá plocha tvorená mnohouholníkmi.

• To sa nazýva konvexné , ak je celá umiestnená na jednej strane roviny každej z jej plôch.

Splnenie Eulerovho vzorca pre pravidelné mnohosteny

Tetrahedron

Vrcholy

Rebrá

Fazety

Eulerov vzorec

Dodekaedrón

dvadsaťsten

tvary hviezd

Hviezdna forma osemstenu je osemhranná hviezda

Malý hviezdicový dvanásťsten

Kusudama lopty

• Kusudama sú staré dekoratívne tradičné japonské origami výrobky.
• Kusudama je typ origami; papierové remeslo pripomínajúce kvetinovú guľu.

kocka

kocka analóg

Gyroskop

Tváre sú trojuholníky, ktoré nie sú explicitne viditeľné. Ak je na každé tri vrcholy vložený trojuholník, získa sa oktaedrón. Ktorý:

Celkový počet vrcholov je 8;

celkový počet vrcholov je 6,

celkový počet rebier je 12,

Má tvar osemstenu

celkový počet tvárí je 6.

celkový počet rebier je 12,

celkový počet tvárí je 8.

trojuholníkový dvadsaťsten

Má tvar dvadsaťstena

kvetinová guľa

Ide o jednu z hviezdicových foriem dvadsaťstena – malého triambického dvadsaťstenu.

Má tvar dvanástnika, v ktorom:

Má tvar dvadsaťstena

Má tvar dvanástnika

celkový počet vrcholov je 20,

Pre ktoré:

celkový počet vrcholov je 32;

celkový počet rebier je 30,

celkový počet rebier je 60,

celkový počet tvárí je 12.

celkový počet tvárí je 20.

Má tvar dvanástnika, v ktorom:

celkový počet vrcholov je 20,

Má tvar dvanástnika

Ak sklopíte uši kusudama, jasne uvidíte, že má tvar kocky. Preto okrem uší môžeme povedať, že má:

celkový počet rebier je 30,

celkový počet vrcholov je 8;

Má tvar kocky

celkový počet tvárí je 12.

celkový počet rebier je 12,

celkový počet tvárí je 6.

Flexi lopta

Má tvar dvadsaťstena, v ktorom:

celkový počet vrcholov je 12,

Má tvar dvadsaťstena

celkový počet rebier je 30,

celkový počet tvárí je 20.

Kocka bez rohov

klasická kusudama

Má tvar zrezanej kocky

Má tvar zrezanej kocky. Ktorý:

celkový počet vrcholov je 24,

celkový počet rebier je 36,

celkový počet vrcholov je 24,

Má tvar zrezanej kocky

celkový počet tvárí je 14.

celkový počet rebier je 36,

celkový počet tvárí je 14.

Tváre: 8 - trojuholníky (nie sú viditeľné),

6 - osemuholníky

6 - osemuholníky

Má tvar zrezanej kocky

Kusudama vstal

Má tvar zrezanej kocky

Má tvar zrezanej kocky. Ktorý:

Ktorý:

celkový počet vrcholov je 24,

celkový počet vrcholov je 24,

Má tvar zrezanej kocky

celkový počet rebier je 36,

celkový počet rebier je 36,

celkový počet tvárí je 14.

celkový počet tvárí je 14.

Tváre: 8 - trojuholníky (nie sú viditeľné),

6 - osemuholníky (ak ohýbate uši

6 - osemuholníky

hviezdicový osemsten

Je to priesečník dvoch štvorstenov. On má:

Basketbalová hviezda

Má tvar hviezdicového osemstenu

Toto je analóg veľkého hviezdicového dvanástnika. On má:

celkový počet vrcholov je 14,

celkový počet rebier je 36,

celkový počet vrcholov je 32,

V tvare veľkého hviezdicového dvanástnika

celkový počet tvárí je 24.

celkový počet rebier je 90,

celkový počet tvárí je 60.

Kusudama Curler

Je ťažké určiť celkový počet vrcholov, hrán a plôch pre túto kusudamu. Určite však môžeme povedať, že má tvar hviezdy. Možno je to sedemnásta hviezda dvadsaťstena.

Splnenie Eulerovho vzorca pre Archimedove telesá a guličky Kusudama

Názov mnohostenu

Skrátený štvorsten

Vrcholy

Rebrá

Skrátený osemsten

skrátená kocka

Fazety

Eulerov vzorec

Skrátený dvadsaťsten

skrátený dvanásťsten

24 + 14 = 36 + 2

Kuboktaedrón

24 + 14 = 36 + 2

ikozidodekahedrón

60 + 32 = 90 + 2

Rhombicuboktaedron

60 + 32 = 90 + 2

Rhombicosidodecahedron

Kosoštvorcový skrátený kuboktaedrón

12 + 14 = 24 + 2

30 + 32 = 60 + 2

Kosoštvorcový skrátený ikoziddekaedrón

24 + 26 = 48 + 2

snub kocka

ukecaný dvanásťsten

60 + 62 = 120 + 2

48 + 26 = 72 + 2

120 + 62 = 180 + 2

24 + 38 = 60 + 2

60 + 92 = 150 + 2

Záver:

• Kusudamas sú v mnohých ohľadoch podobné mnohostenom. Väčšina z nich pozostáva z veľkého počtu častí a má jasný geometrický tvar. Skladanie dielov zvyčajne nie je ťažké, ale zostavenie celého produktu si niekedy vyžiada určité úsilie.
• Základom kusudama je spravidla nejaký pravidelný mnohosten (najčastejšie kocka, dvanásťsten alebo dvadsaťsten). O niečo menej často sa ako základ berie polopravidelný mnohosten.
• Modely guľôčok kusudama vo forme mnohostenov pôsobia na človeka estetickým dojmom a dajú sa použiť ako dekoratívne ozdoby.
• Také úžasné a dokonalé predmety moderného sveta ako kusudamas sú málo študované.

Prezentácia na tému "Platónske telesá" - kľúč k štruktúre Zeme a vesmíru" v algebre vo formáte powerpoint. Táto prezentácia pre školákov rozpráva o tom, čo je platónske teleso a o jeho úlohe v zábavnej matematike. Autor prezentácie: matematika učiteľka Artamonová L. IN.

Fragmenty z prezentácie

Zem pri pohľade zhora vyzerá ako guľa ušitá z dvanástich kusov kože... (c) Platón, "Phaedo"

Etuda jedna. sférická panvica

• Myšlienku dvanásťstennej Zeme oživil v roku 1829 francúzsky geológ, člen parížskej akadémie Elie de Beaumont. Predložil hypotézu, že pôvodne tekutá planéta, keď stuhla, mala podobu dvanástnika. De Beaumont vybudoval sieť pozostávajúcu z okrajov dvanástnika a jeho duálneho dvadsaťstena a potom ju začal presúvať po celej zemeguli. Hľadal teda polohu, ktorá by najlepšie odrážala črty reliéfu našej planéty. A našiel variant, keď sa tváre dvadsaťstenu viac-menej zhodovali s najstabilnejšími oblasťami zemskej kôry a jeho tridsať okrajov sa zhodovalo s horskými pásmami a miestami, kde dochádzalo k jeho zlomom a kolapsom.
• O sto rokov neskôr sa tejto myšlienky chopil náš krajan S.I.Kislitsyn, ktorý navrhol spojiť dva protiľahlé vrcholy dvadsaťstenu s pólmi Zeme, pričom najväčšie ložiská diamantov sa zdalo byť v niektorých jeho iných vrcholoch. A v poslednej tretine minulého storočia de Beaumontov model s Kislitsynovou orientáciou začali u nás rozvíjať N.F.Goncharov, V.A.Makarov a V.S.Morozov.
• Gončarov, Makarov a Morozov verili, že vo vnútri Zeme vzniklo pevné jadro v podobe dvanásťstenu, ktoré usmerňovalo toky hmoty na povrch; v dôsledku toho sa vytvoril akýsi energetický rámec planéty opakujúci štruktúru jadra. Podľa nášho známeho kryštalografa a mineralóga I.I.Šafranovského však dvanásťsten a dvadsaťsten so svojimi osami symetrie piateho rádu nemajú kryštalografickú symetriu, a preto je predpoklad vzniku takýchto telies v jadre planéty neopodstatnený.
• Obkladanie gule pomocou šesťuholníkov je nemožné, pretože je to v rozpore s Eulerovou vetou o počte vrcholov, hrán a plôch v akomkoľvek mnohostene. Tu Ivanyuk a Goryainov veria, že guľa bude pokrytá mriežkou päťuholníkov, pretože sú najbližšie k šesťuholníkom, ale môžu vydláždiť povrch gule. Takže získate dvanásťsten! Rovnaký záver zostane v platnosti, ak vrstva kvapaliny na povrchu gule bude hrubšia a polomer gule sa bude stále zmenšovať, takže kvapalina vyplní takmer celý objem gule.
• Aplikované na Zem to znamená, že ak by to bolo miliardy rokov horúce jadro obklopené viskóznou kvapalinou, tak by sa v ňom mohli objaviť päťuholníkové konvekčné bunky (ktorých strana je úmerná polomeru planéty). A potom toky hmoty v nich, ochladzujúce sa a tuhnúce, by vytvorili ten dvanástnikový rámec, o ktorom hovoril de Beaumont a jeho nasledovníci.

Etuda druhá. zamrznutá hudba

• Na prvý pohľad na zemeguľu sa zdá, že rozloženie kontinentov a oceánov je zle usporiadané, ale určité zákonitosti, ako sme už dávno poznamenali, stále existujú.
• Po prvé, dve hemisféry oddelené rovníkom sú veľmi odlišné: na severe prevláda pevnina, na juhu - more.
• Po druhé, tvary kontinentov a oceánov sú takmer trojuholníkové, pričom kontinentálne trojuholníky sú svojimi základňami obrátené na sever a ich zužujúci sa koniec končí na juh; oceánske - naopak.
• Po tretie, priemery ťahané cez pevninu vo veľkej väčšine prípadov prejdú na druhú stranu zemegule cez vodu, to znamená, že sa pozoruje antipodalizmus kontinentov a oceánov.
• Posledná skutočnosť znamená, že zemský povrch nemá stred symetrie, ale je tam stred antisymetrie, čiže dvojfarebnej symetrie, ktorej koncepciu vyvinul náš najväčší kryštalograf akademik A.V. Shubnikov. Pointa je, že pôvodne rovnaké centrálne symetrické prvky určitej postavy sú rozdelené do dvoch tried, ktoré sú podmienene označené dvoma farbami. A potom operácia odrazu zo stredu prevedie prvok jednej farby na prvok inej - na antiprvok.
• Shafranovsky poznamenal, že vlastnosti reliéfu Zeme uvedené vyššie môžu byť v prvej aproximácii pokryté geometrickým modelom, ktorý v 50. rokoch minulého storočia navrhol významný sovietsky geológ B. L. Lichkov. Jeho základom je osemsten, ktorého osem stien je zafarbených v dvoch farbách, takže susedné steny sú rôznych farieb. Je jasné, že „šachovnicové“ sfarbenie zodpovedá antisymetrii: oproti každej tvári leží tvár inej farby.
• Nech biele tváre predstavujú kontinenty a modré tváre predstavujú oceány. Osemsten položme na bielu stranu, ktorou bude Antarktída. Potom bude horná modrá plocha zobrazovať Severný ľadový oceán a tri trojuholníkové biele steny, ktoré ju obklopujú, sa stanú trojuholníkmi, ktoré sú viditeľné na zemeguli – Severná a Južná Amerika, Európa plus Afrika a Ázia. Otočením osemstenu dostaneme iný obraz: okolo bielej tváre (Antarktida) sú tri modré - oceány.

Záver

• V oboch štúdiách sú hlavné myšlienky podobné: nejaký fyzikálny proces naruší súvislú symetriu gule a v dôsledku toho sa objaví diskrétna symetria jedného z platónskych telies. Je možné, že v čase, keď Zem „bola beztvará a prázdna“, podobné efekty určovali hlavné črty jej povrchu. A keďže v rôznych geologických epochách pôsobilo aj mnoho iných faktorov, výsledný obraz sa ukázal byť oveľa komplikovanejší a mätúci.
• Pravidelné mnohosteny budú zrejme hrať čoraz dôležitejšiu úlohu v rôznych oblastiach poznania. A tu nejde len o ludi mathematici (matematické hry) - tieto postavy sú vnútorne spojené s prírodnými javmi. Ako povedal Platón, zo všetkých viditeľných tiel sú najúžasnejšie a každé z nich je svojím spôsobom nádherné. Pravdepodobne tu je prípad, keď krása a pravda sú jedno.

ZÁKLADNÉ POJMY Mnohosten je geometrické teleso ohraničené zo všetkých strán plochými polygónmi nazývanými tváre. Mnohosten je geometrické teleso ohraničené zo všetkých strán plochými polygónmi nazývanými tváre. Strany plôch sú okraje mnohostena a konce okrajov sú vrcholy mnohostena. Strany plôch sú okraje mnohostena a konce okrajov sú vrcholy mnohostena. Podľa počtu stien sa rozlišujú štvorsteny, päťsteny atď.. Podľa počtu stien sa rozlišujú štvorsteny, päťsteny atď.

ZÁKLADNÉ KONCEPTY Mnohosten sa nazýva konvexný, ak je celý umiestnený na jednej strane roviny, každá z jej plôch. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak je celý umiestnený na jednej strane roviny, každá z jej plôch. Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho plochy identické pravidelné mnohouholníky, rovnaký počet hrán sa zbieha v každom vrchole a susedné plochy zvierajú rovnaké uhly. Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho plochy identické pravidelné mnohouholníky, rovnaký počet hrán sa zbieha v každom vrchole a susedné plochy zvierajú rovnaké uhly. Všetky pravidelné mnohosteny majú rôzny počet plôch a sú pomenované podľa tohto čísla. Všetky pravidelné mnohosteny majú rôzny počet plôch a sú pomenované podľa tohto čísla. Pravidelných mnohostenov je presne päť – nič viac, nič menej. Pravidelných mnohostenov je presne päť – nič viac, nič menej.

ZÁKLADNÉ POJMY Štvorsten (od, tetra - štyri a grécky, hedra - tvár) sa skladá zo 4 pravidelných trojuholníkov, 3 hrany sa zbiehajú v každom z jeho vrcholov. Štvorsten (od, tetra - štyri a grécky, hedra - tvár) sa skladá zo 4 pravidelných trojuholníkov, 3 hrany sa zbiehajú v každom z jeho vrcholov.

ZÁKLADNÉ POJMY Šesťsten (z gréčtiny, hexa - šesť a hedra - tvár) má 6 štvorcových plôch, 3 hrany sa zbiehajú v každom z jeho vrcholov. Šesťsten (z gréčtiny, hexa - šesť a hedra - tvár) má 6 štvorcových plôch, 3 hrany sa zbiehajú v každom z jeho vrcholov. Šesťsten je známejší ako kocka (z lat. cubus; z gréčtiny kubos. Šesťsten je skôr známy ako kocka (z lat. cubus; z gréčtiny kubos.

ZÁKLADNÉ POJMY Osemsten (z gréckeho okto - osem a hedra - tvár) má 8 stien (trojuholníkové), v každom vrchole sa zbiehajú 4 hrany. Osemsten (z gréckeho okto - osem a hedra - tvár) má 8 stien (trojuholníkové), v každom vrchole sa zbiehajú 4 hrany.

ZÁKLADNÉ POJMY Dvanásťsten (z gréckeho dodeka - dvanásť a hedra - tvár) má 12 stien (päťuholníkové), v každom vrchole sa zbiehajú 3 hrany. Dvanásťsten (z gréckeho dodeka - dvanásť a hedra - tvár) má 12 stien (päťuholníkových), v každom vrchole sa zbiehajú 3 hrany.

ZÁKLADNÉ POJMY Dvadsaťsten (z gréckeho eikosi - dvadsať a hedra - tvár) má 20 plôch (trojuholníkových), 5 hrán sa zbieha v každom vrchole. Dvadsaťsten (z gréckeho eikosi - dvadsať a hedra - tvár) má 20 plôch (trojuholníkových), v každom vrchole sa zbieha 5 hrán.

HISTORICKÉ POZADIE Starogrécky filozof Platón (428 alebo 427 pred Kristom 348 alebo 347), ktorý viedol rozhovory so svojimi študentmi v háji Academ (Academ je starogrécky mytologický hrdina, ktorý bol podľa legendy pochovaný v posvätnom háji neďaleko Atén). , odkiaľ išiel názov, akadémia), jedno z hesiel jeho školy hlásalo: Kto nepozná geometriu, nesmie! Staroveký grécky filozof Platón (428 alebo 427 pred Kristom 348 alebo 347), ktorý viedol rozhovory so svojimi študentmi v háji Academ (Academ je starogrécky mytologický hrdina, ktorý bol podľa legendy pochovaný v posvätnom háji neďaleko Atén, odkiaľ pochádza názov , akadémia), hlásal jedno z hesiel svojej školy: Kto nepozná geometriu, nesmie!

HISTORICKÉ ZHRNUTIE V dialógu Timaeus Platón spojil pravidelné mnohosteny so štyrmi hlavnými prvkami. Štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten – voda, pretože on je najviac „upravený“; kocka - zem, ako najviac "stabilná"; osemsten – vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný. Hoci pravidelné mnohosteny poznali Pytagorejci už niekoľko storočí pred Platónom, nazývajú sa platónske telesá. V dialógu Timaeus Platón spojil pravidelné mnohosteny so štyrmi základnými prvkami. Štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten – voda, pretože on je najviac „upravený“; kocka - zem, ako najviac "stabilná"; osemsten – vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný. Hoci pravidelné mnohosteny poznali Pytagorejci už niekoľko storočí pred Platónom, nazývajú sa platónske telesá. Významné miesto zaujímali pravidelné mnohosteny v systéme harmonickej štruktúry sveta od I. Keplera. Významné miesto zaujímali pravidelné mnohosteny v systéme harmonickej štruktúry sveta od I. Keplera.

HISTORICKÁ ODKAZ Z pravidelných mnohostenov - platónskych telies - môžete získať takzvané polopravidelné mnohosteny alebo Archimedove telesá. Ich tváre sú tiež pravidelné, ale mnohouholníky rôznych mien. Z pravidelných mnohostenov - platónskych telies - môžete získať takzvané polopravidelné mnohosteny alebo Archimedove telesá. Ich tváre sú tiež pravidelné, ale mnohouholníky rôznych mien.

Eulerov vzorec Polyhedron Vrcholy TváreHranyV+G-R Tetrahedron4462 Hexahedron86122 Octahedron68122 Decahedron Icosahedron Spočítajme počet vrcholov (B), plôch (G), hrán (R) a výsledky zapíšme do tabuľky. Posledný stĺpec má rovnaký výsledok pre všetky mnohosteny: B+G-P=2. Posledný stĺpec má rovnaký výsledok pre všetky mnohosteny: B+G-P=2. Vzorec platí nielen pre bežné mnohosteny, ale pre všetky mnohosteny! Vzorec platí nielen pre bežné mnohosteny, ale pre všetky mnohosteny!

Zákon reciprocity Pravidelné mnohosteny majú zaujímavú vlastnosť - zvláštny, zákon reciprocity. Stredy stien kocky sú vrcholy osemstenu a stredy stien osemstenu sú vrcholy kocky. Pravidelné mnohosteny majú zaujímavú vlastnosť - zvláštny zákon reciprocity. Stredy stien kocky sú vrcholy osemstenu a stredy stien osemstenu sú vrcholy kocky.

Zákon reciprocity Od týchto 4 mnohostenov stojí štvorsten: ak stredy jeho plôch považujeme za vrcholy nového mnohostena, dostaneme opäť štvorsten. Od týchto 4 mnohostenov stojí štvorsten: ak stredy jeho plôch považujeme za vrcholy nového mnohostena, dostaneme opäť štvorsten. Štvorsten je duálny sám osebe. Štvorsten je duálny sám osebe.

Zákon reciprocity Kocka a osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten sú dva páry dvojitých mnohostenov. Majú rovnaký počet hrán (12 pre kocku a osemsten; 30 pre dvanásťsten a dvadsaťsten) a počty vrcholov a plôch sú preusporiadané. Kocka a osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten sú dva páry dvojitých mnohostenov. Majú rovnaký počet hrán (12 pre kocku a osemsten; 30 pre dvanásťsten a dvadsaťsten) a počty vrcholov a plôch sú preusporiadané.

Pravidelné mnohosteny okolo nás Teória pravidelných mnohouholníkov a mnohostenov je jednou z najfascinujúcejších a najjasnejších častí matematiky. No vzory objavené matematikmi sú prekvapivo spojené so symetriou živej a neživej prírody – s tvarmi rôznych kryštálov, presným tvarom vírusov, s modernými teóriami fyziky, biológie a iných oblastí poznania. Teória pravidelných mnohouholníkov a mnohostenov je jedným z najfascinujúcejších a najživších odvetví matematiky. No vzory objavené matematikmi sú prekvapivo spojené so symetriou živej a neživej prírody – s tvarmi rôznych kryštálov, presným tvarom vírusov, s modernými teóriami fyziky, biológie a iných oblastí poznania.

Pravidelné mnohosteny okolo nás Napríklad: jednobunkové organizmy feodaria, majú tvar dvadsaťstena jednobunkové organizmy feodaria, majú tvar dvadsaťstennej kocky prenáša tvar kryštálov soli kocka prenáša tvar kryštálov soli monokryštál hliníka a draslíka kamenec má tvar osemstenu monokryštál hliníkovo-draselného kamenca má tvar osemstenu kryštál síry Pyrit FeS má tvar dvanásťstena Kryštál sulfidu pyritu FeS má tvar dvanásťstenu

Bibliografia 1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematika. 6. trieda. 3. časť - M .: Balass, Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematika. 6. trieda. 3. časť - M.: Balass, Sheinina O.S., Solovieva G.M. Matematika. Činnosť školského klubu. 5-6 tried. Príručka pre učiteľov. - M .: Vydavateľstvo NT ENAS, Sheinina O.S., Soloviev G.M. Matematika. Činnosť školského klubu. 5-6 tried. Príručka pre učiteľov. - M .: Vydavateľstvo NT ENAS, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. vizuálna geometria. Učebnica pre V - VI ročník. – M.: Miros, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. vizuálna geometria. Učebnica pre V - VI ročník. - M .: Miros, Encyklopédia pre deti. T. 11. Matematika. - M .: Avanta +, Encyklopédia pre deti. T. 11. Matematika. - M .: Avanta +, Encyklopédia pre deti. Poznám svet.Matematika. - M .: Vydavateľstvo AST, Encyklopédia pre deti. Poznám svet.Matematika. - M .: Vydavateľstvo AST, 1999

snímka 1

snímka 2

Pravidelných mnohostenov je vzdorne málo, ale toto odlúčenie, čo do počtu veľmi skromné, sa dokázalo dostať do hlbín rôznych vied. L. Carroll

snímka 3

Pravidelný štvorsten je tvorený štyrmi rovnostrannými trojuholníkmi. Každý z jeho vrcholov je vrcholom troch trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 180º. Ryža. 1

snímka 4

Pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol osemstenu je vrcholom štyroch trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 240º. Pravidelný osemsten Obr. 2

snímka 5

Pozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol dvadsaťstenu je vrcholom piatich trojuholníkov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 300º. Pravidelný dvadsaťsten Obr. 3

snímka 6

Kocka (šesťsten) Zložená zo šiestich štvorcov. Každý vrchol kocky je vrcholom troch štvorcov. Preto je súčet rovinných uhlov v každom vrchole 270º. Ryža. 4

Snímka 7

Pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov. Každý vrchol dvanástnika je vrcholom troch pravidelných päťuholníkov. Preto súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 324º. Pravidelný dvanásťsten Obr. 5

Snímka 8

Názvy mnohostenov pochádzajú zo starovekého Grécka, označujú počet tvárí: tvár "hedra"; "tetra" 4; "hexa" 6; "okta" 8; "ikosa" 20; dodeca 12.

Snímka 9

Pravidelné mnohosteny sa niekedy nazývajú platónske telesá, pretože zaujímajú popredné miesto vo filozofickom obraze sveta, ktorý vytvoril veľký mysliteľ starovekého Grécka Platón (asi 428 - asi 348 pred Kristom). Platón veril, že svet je vybudovaný zo štyroch „prvkov“ – ohňa, zeme, vzduchu a vody, pričom atómy týchto „prvkov“ majú podobu štyroch pravidelných mnohostenov. Štvorsten zosobňoval oheň, pretože jeho vrchol smeruje nahor, ako plápolajúci plameň. Ikosahedrón – ako najviac prúdnicový – voda. Kocka je najstabilnejšia z postáv - zem. Osemsten je vzduch. V našej dobe možno tento systém prirovnať k štyrom skupenstvám hmoty – pevné, kvapalné, plynné a ohnivé. Piaty mnohosten - dvanásťsten symbolizoval celý svet a bol uctievaný ako najdôležitejší. Bol to jeden z prvých pokusov zaviesť myšlienku systematizácie do vedy. Pravidelné mnohosteny v Platónovom filozofickom obraze sveta

snímka 10

Kepler naznačil, že medzi piatimi pravidelnými mnohostenmi a šiestimi planétami slnečnej sústavy objavenými v tom čase existuje spojenie. Podľa tohto predpokladu možno do sféry dráhy Saturna vpísať kocku, do ktorej je vpísaná sféra dráhy Jupitera. To zase vpisuje štvorsten ohraničený v blízkosti sféry obežnej dráhy Marsu. Dvanásťsten je vpísaný do sféry obežnej dráhy Marsu, do ktorej je vpísaná sféra obežnej dráhy Zeme. A je opísaná v blízkosti dvadsaťstenu, v ktorom je vpísaná sféra obežnej dráhy Venuše. Sféra tejto planéty je opísaná v blízkosti oktaédra, do ktorého zapadá sféra Merkúra. Takýto model slnečnej sústavy (obr. 6) dostal názov Keplerov „Vesmírny pohár“. Vedec zverejnil výsledky svojich výpočtov v knihe "Tajomstvo vesmíru". Veril, že tajomstvo vesmíru bolo odhalené. Vedec rok čo rok zdokonaľoval svoje pozorovania, preveroval údaje svojich kolegov, no napokon našiel silu opustiť lákavú hypotézu. Jeho stopy sú však viditeľné v treťom Keplerovom zákone, ktorý sa vzťahuje na kocky priemerných vzdialeností od Slnka. Keplerov „Vesmírny pohár“ I. Keplerov model slnečnej sústavy Obr. 6

snímka 11

Myšlienky Platóna a Keplera o spojení pravidelných mnohostenov s harmonickou štruktúrou sveta našli v našej dobe svoje pokračovanie v zaujímavej vedeckej hypotéze, ktorá sa začiatkom 80. r. vyjadrili moskovskí inžinieri V. Makarov a V. Morozov. Veria, že jadro Zeme má tvar a vlastnosti rastúceho kryštálu, ktorý ovplyvňuje vývoj všetkých prírodných procesov prebiehajúcich na planéte. Lúče tohto kryštálu, respektíve jeho silové pole, určujú dvadsaťsteno-dodekaedrickú štruktúru Zeme (obr. 7). Prejavuje sa to tým, že v zemskej kôre sa akoby objavili výbežky pravidelných mnohostenov vpísaných do zemegule: dvadsaťsten a dvanásťsten. Mnohé ložiská nerastov sa tiahnu pozdĺž mriežky dvadsaťsten-dvanásťsten; 62 vrcholov a stredov hrán mnohostenov, ktoré autori nazývajú uzly, má množstvo špecifických vlastností, ktoré umožňujú vysvetliť niektoré nepochopiteľné javy. Tu sú centrá starovekých kultúr a civilizácií: Peru, Severné Mongolsko, Haiti, kultúra Ob a iné. V týchto bodoch sú pozorované maximá a minimá atmosférického tlaku, obrie víry Svetového oceánu. V týchto uzloch sa nachádza jazero Loch Ness, Bermudský trojuholník. Ďalšie štúdie Zeme možno určia postoj k tejto vedeckej hypotéze, v ktorej zrejme dôležité miesto zaujímajú pravidelné mnohosteny. Ikosahedrónovo-dvanásťstenová štruktúra Zeme Ikosahedrónová-dvanásťstenová štruktúra Zeme 7

snímka 12

Tabuľka č.1 Pravidelný mnohosten Počet plôch okrajových vrcholov Tetrahedron 4 4 6 Kocka 6 8 12 Osemsten 8 6 12 Dvadsaťsten 12 20 30 Dvanásťsten 20 12 30

snímka 13

snímka 14

Súčet počtu plôch a vrcholov ľubovoľného mnohostenu sa rovná počtu hrán plus 2. D + B = P + 2 Eulerov vzorec Počet plôch plus počet vrcholov mínus počet hrán v ľubovoľnom mnohostene je 2 G + B P = 2

snímka 15

snímka 16

Pravidelné mnohosteny a príroda Pravidelné mnohosteny sa vyskytujú vo voľnej prírode. Napríklad kostra jednobunkového organizmu feodaria (Circjgjnia icosahtdra) svojím tvarom pripomína dvadsaťsten (obr. 8). Aký je dôvod takejto prirodzenej geometrizácie feodarií? Zdá sa, že zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom plôch má najväčší objem s najmenším povrchom práve dvadsaťsten. Táto vlastnosť pomáha morskému organizmu prekonať tlak vodného stĺpca. Pravidelné mnohosteny sú „najpriaznivejšie“ postavy. A príroda to využíva. Potvrdzuje to tvar niektorých kryštálov. Vezmite si aspoň kuchynskú soľ, bez ktorej sa nezaobídeme. Je známe, že je rozpustný vo vode a slúži ako vodič elektrického prúdu. A kryštály soli (NaCl) majú tvar kocky. Pri výrobe hliníka sa používa hliníkovo-draselný kremeň (K 12H2O), ktorého monokryštál má tvar pravidelného osemstenu. Získavanie kyseliny sírovej, železa, špeciálnych druhov cementu sa nezaobíde bez pyritov sírových (FeS). Kryštály tejto chemikálie majú tvar dvanástnika. Síran antimónu sodný (Na5(SbO4(SO4)) sa používa pri rôznych chemických reakciách - látka syntetizovaná vedcami. Kryštál síranu antimónu sodného má tvar štvorstenu. Posledný pravidelný mnohosten - dvadsaťsten prenáša tvar kryštálov bóru (B) Kedysi sa bór používal na vytváranie polovodičov prvej generácie Feodariya (Circjgjnia icosahtdra) Obr.

snímka 17

Určte počet plôch, vrcholov a hrán mnohostenu znázorneného na obrázku 9. Skontrolujte platnosť Eulerovho vzorca pre tento mnohosten. Úloha Obr. 9