Урок " Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра" (9 класс). Проект по алгебре (9 класс) на тему: Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
Стукалова Надежда Васильевна
Место работы, должность:
МБОУ СОШ №15,учитель математики
Тамбовская область
Характеристики урока (занятия)
Уровень образования:
Среднее (полное) общее образование
Целевая аудитория:
Учащийся (студент)
Целевая аудитория:
Учитель (преподаватель)
Класс(ы):
Предмет(ы):
Алгебра
Предмет(ы):
Математика
Цель урока:
Тип урока:
Комбинированный урок
Учащихся в классе (аудитории):
Используемые учебники и учебные пособия:
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, учебник,2011
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, задачник,2011
С.А. Теляковский, алгебра 9 класс, учебник, 2009
Используемая методическая литература:
Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.
Л. В Кузнецова Сборник заданий для экзамена
Используемое оборудование:
Компьютер, кинопроектор
Краткое описание:
План урока: 1. Организационный момент. 2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой). 3. Решение задач с параметрами (работа в группах). 4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5. Подведение итогов. 6. Домашнее задание.
Конспект урока
на тему
«Расположение корней квадратного трёхчлена
в зависимости от значений параметра»
учитель математики Стукалова Н.В. МБОУ СОШ №15
г. Мичуринск - наукоград РФ 2011г.
Цель урока:
Развивать практические умения и навыки учащихся по решению заданий с параметрами;
Подготовить учащихся к успешной сдачи ГИА по математике;
Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащихся;
Формировать интерес к математике;
Развивать математические способности учащихся.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой).
3. Решение задач с параметрами (работа в группах).
4. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися, сообщает план урока.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Наш урок посвящен решению задач по расположению корней квадратного трёхчлена на числовой прямой.
2. Обобщение и систематизация знаний:
Вспомнить необходимые и достаточные условия для выполнения различных требований расположения корней квадратного уравнения относительно заданных точек или промежутков.
После ответа учащихся демонстрируются слайды с правильным ответом.
1. Расположение корней по обе стороны от заданной на числовой прямой
точки.
условию х 1 < m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Расположение корней по обе стороны от заданного отрезка.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли
условию х 1 < m, х 2 < n, где m системы неравенств 3.
Расположение корней с одной стороны от заданной на числовой прямой
Точки.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли условию m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств Если левее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 4. Принадлежность корней заданному интервалу.
интервалу (m;n), необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 5.Принадлежность корней заданному отрезку.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 принадлежали интервалу , необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 3. Решение задач с параметрами.
Учащиеся разделены на 4 группы. В каждой группе есть дети более успешные в алгебре. Каждая группа начинает решение задачи, совпадающей с номером своей группы. После обсуждения хода решения задачи, от каждой группы по одному представителю выходят к доске и оформляют решение задачи своей группы, и объясняет её решение (на откидных досках). В это время ребята должны решить задачи другой группы (можно получать консультацию у учителя). Задача №1.
При каких значениях параметра а
один корень уравнения (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а = =0 больше 1, другой корень меньше 1? Решение.
Графиком функции у = f(х), где f(х) = (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а, при а ≠ - 7/12 является параболой, ветви которой при а > - 7/12 направлены вверх, при а < - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра а
удовлетворяют неравенству (12а +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Задача № 2
. Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 - 3ах +4а = 0 больше 1. Решение.
При а≠-1 заданное уравнение является квадратным и D= -а(7а+16). Получим систему , откуда -16/7≤а≤ -1. Значения параметра, при которых корни данного уравнения при а ≠ - 1 больше 1, принадлежат промежутку [-16/7; -1). При а = -1 заданное уравнение имеет вид3х - 4 = 0 и единственный корень Ответ: [-16/7; -1] Задача № 3
. При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0 принадлежат интервалу (0;1)? Решение.
При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2). Данная система не имеет решений. При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1). Задача №4
. При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке? Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а. Единственным решением системы является значение, а = 4. 4.
Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).
Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам. №1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)? №2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2. №3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ? По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы. 5.
Итог урока. Закончить предложение.
«Сегодня на уроке…». «Мне запомнилось …». «Хотелось бы отметить …». Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке. 6. Домашнее задание
(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова) Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим следующие случаи: 1. Пусть задан квадратный трехчлен , где Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2. 2.Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m
на оси Ox
. Неравенство 3. Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m
на оси Ox
. Тогда оба коня Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2. 4. Пусть задан квадратный трехчлен , где и интервал (m
,
M
)
Тогда оба корня квадратного трехчлена принадлежат указанному интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2. 5. Пусть задан квадратный трехчлен , где , - его корни и отрезок Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2. Пример.
Найти все значения параметра
a
, при каждом из которых оба корня уравнения Решение.
В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке 5.1. и 5.2. Найдем , Учитывая все это, запишем совокупность двух систем: Решая эти две системы, получим . Ответ.
При каждом значении параметра a
из промежутка оба корня уравнения больше -2. Пример.
При каких значениях параметра
a
неравенство Решение.
Если множество X
– решение данного неравенства, то условие задачи означает, что промежуток Рассмотрим все возможные значения параметра а
. 1.Если а=0
, то неравенство примет вид 2.Если Рассмотри случай, когда Решив эту систему, получим Если Решив эту систему, получим 3.Если Объединяя все найденные значения а
, получим ответ. Ответ.
Для любого значения параметра из промежутка Пример.
При каких значениях параметра а множество значений функции содержит отрезок Решение.
1. Если а) при а =
1 функция примет вид y
=
2, и множество ее значений состоит из единственной точки 2 и не содержит отрезок ; б) при а =
-1 функция примет вид y
= -2
x
+2
. Ее множество значений 2.Если Множество значений функции есть промежуток 3. Если Решая эту систему неравенств, получим Объединяя решения, получим Ответ.
При 1. Не вычисляя корней квадратного уравнения а) 2. Найти множество значений функции а) 3. Решить уравнения а) 4. При каких значениях параметра а
оба корня уравнения 5. При каких значениях параметра а
неравенство выполняется при всех значениях x
? 6. При каких значениях параметра а
наименьшее значение функции На отрезке 7. При каких значениях параметра а
уравнение В настоящее время становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятносто-статистической базе. Ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – все это находится в сфере реальных интересов становления и саморазвития личности. Все вышесказанное обусловливает необходимость знакомства ребенка с вероятностно-статистическими закономерностями. Цель курса:
познакомить учащихся с некоторыми теоретико-вероятностными закономерностями и статистическими методами обработки данных. Задачи курса
Познакомить учащихся с основным понятийным аппаратом теории вероятностей. Научить определять вероятность событий в классической схеме испытаний. Познакомить с методами первичной обработки статистических данных. Требования к уровню усвоения содержания курса
В результате освоения программы курса учащиеся должны знать:
основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, пространство элементарных событий, случайное, достоверное, невозможное события, совместные и несовместные события; условия классической схемы испытаний и определение вероятности события в классической схеме испытаний; определение относительной частоты появления события и статистической вероятности; определение вариационного ряда и его основных числовых характеристик. В процессе изучения курса учащиеся должны пробрести умения:
определять все возможные исходы испытания, совместность и несовместность событий; решать теоретико-вероятностные задачи на вычисление вероятности в классической схеме испытаний; вычислять относительную частоту появления события; составлять статистическое распределение выборки и вычислять её числовые характеристики. Программа предполагает развитие у учащихся навыков
: использования имеющихся алгоритмов и при необходимости их творческой переработки в конкретных условиях задачи; самостоятельного решения задач; использования при решении задач обобщенных схем, содержащих основные определения и формулы. Объем курса:
предлагаемый курс рассчитан на 20 часов Темы занятий
Количество часов
Основные понятия теории вероятностей. Классическая схема испытаний. Определение вероятности в классической схеме испытаний. Частота абсолютная и относительная. Статистическое определение вероятности. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Числовые характеристики статистического распределения. Статистическое оценивание и прогноз. Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении. Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными
. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.
Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш. Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях. Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения. Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории. Испытание
– осуществление комплекса условий. Исход испытания (элементарное событие)
– любой результат который может произойти при проведении испытания. Примеры.
1) Испытание:
Исходы испытания:
ω 1 – на верхней грани кубика появилось одно очко; ω 2 – на верхней грани кубика появилось два очка; ω 3 – на верхней грани кубика появилось три очка; ω 4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка; ω 5 – на верхней грани кубика появилось пять очков; ω 6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков. Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события). 2) Испытание:
ученик сдает экзамен. Исходы испытания:
ω 1 – ученик получил двойку; ω 2 – ученик получил тройку; ω 3 – ученик получил четверку; ω 4 – ученик получил пятерку. Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события). Замечание
.
Обозначение ω – является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим обозначением. Будем называть исходы данного испытания равновозможными
, если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление. Пространство элементарных событий
– множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания. В примерах, которые мы рассмотрели выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний. Замечание.
Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е. число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n
. Рассмотрим основное понятие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем. Определение 1.1.
Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.
События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С
. Определение 1.2.
Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.
Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; на уроке Вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать и т.п. Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания. Замечание.
Любое элементарное событие так же является случайным событием. Определение 1.3.
Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.
Определение 1.4.
Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.
Пример.
1) Испытание:
подбрасывается игральный кубик. Событие А:
на верхней грани кубика выпало четное число очков; Событие В:
на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3; Событие С:
на верхней грани кубика выпало 7 очков; Событие D:
не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7. События А
и В
могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события. Событие С
не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным событием. Событие D
происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие. Мы говорили, что случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить вероятность, как степень возможности наступления того или иного события. Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, чем менее вероятные. Так что сравнивать вероятности можно по частоте, с которой события происходят. Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале следующие события в порядке возрастания вероятности их появления. Событие А:
в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в воскресенье; Событие В:
свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз; Событие С:
при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков; Событие D:
при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков; Событие Е:
при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков; Событие F:
при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7. Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0. Таким образом, это будет событие Е
. В конечной точке нашей шкалы расположим достоверные событие – F
. Все остальные события являются случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания степени их появления. Для этого мы должны выяснить какие из них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D
: когда мы подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других – нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что событие D
произойдет. Поэтому расположим событие D
в середине нашей шкалы. У события С
только один шанс из 6, в то время как у события D
– три шанса из 6 (как мы выяснили). Поэтому С
менее вероятно и будет расположено на шкале левее события D
. Событие А
еще менее вероятно, чем С
, ведь в недели 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А
один шанс из 7. Событие А
, таким образом, будет расположено еще левее, чем событие С
. Труднее всего расположить на шкале событие В
. Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»), поэтому событие В
гораздо вероятнее, чем D
, поэтому на шкале расположим его правее, чем D
. Таким образом, получим шкалу: Е А С D В F
невозможное случайные достоверное Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет числовых меток, делений. Перед нами встает задача научиться вычислять степень возможности наступления (вероятность) того или иного события. Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке. Этих двух теорем (прямой и обратной) Теорема Виета
Если уравнение имеет корни и ; то выполнены равенства . Особенности теоремы: Первое
.
Теорема верна только для уравнения В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х 2 , а потом уже применять теорему Виета. Второе.
Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0 Обратная Теорема Виета Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения Очень важное замечание
, облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует
существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен. 1). Установить, при каких значениях параметра уравнение
Не имеет корней.
Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант имеет различные положительные корни
. Раз корни есть, то если они оба положительные, то и Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения Имеет различные отрицательные корни
Имеет корни разного знака
Имеет совпадающие корни
2). При каких значениях параметра а
оба корня квадратного уравнения Решение.
Так как заданное уравнение является квадратным, то оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть Так как, То получим систему неравенств 3). Найти все значения параметра а
Так как заданное уравнение является квадратным, то . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть а по теореме Виета то получим систему неравенств. 4).При каких значениях параметра а
Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться. поскольку В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета: вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет.
Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше. Ответ: Таких а
не существует. 5). Корни уравнения таковы, что Решение.
По теореме Виета Ответ
: 6).При каком значении параметра а
сумма квадратов корней уравнения Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а
. оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а
, т.е. при при Используя теорему Виета, запишем Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции на множестве Поскольку при Задачи для самостоятельного решения
1). Найти все значения параметра а
, при которых корни квадратного уравнения неотрицательны 2). Вычислить значение выражения ,где -корни уравнения 3). Найти все значения параметра а
, при которых сумма квадратов действительных корней уравнения Ответ: 4).При каких значениях параметра а уравнение ах 2 -4х+а=0 имеет: а) положительные корни б) отрицательные корни Расположение корней квадратичной функции относительно
заданных точек.
Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п. При решении задач, связанных с квадратным трехчленом часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ». Вопрос 1
. Пусть дано число
(1) оба его корня
и больше
т.е.
? Ответ
. Коэффициенты квадратного трехчлена
(7) должны удовлетворять условиям
где
- абсцисса вершины параболы
. Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем Вопрос 2
. Пусть дано число
При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена
(1) его корни
и
лежат на разные стороны от
т.е. ? Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена
(1) должны удовлетворять условию
Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1). Вопрос 3
. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена
(1) его корни
и
различны и только один из них лежит в заданном интервале
Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена
(1) должны удовлетворять условию
Вопрос 4.
При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена
(1) множество его корней не пусто и все его корни
и
лежат в заданном интервале
т.е.
Ответ
. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже. Корни многочлена При каком значении параметра a один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1? Рассмотрим функцию - Цель работы:
Задачи:
Гипотеза:
Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения. тогда и только тогда: 1. Оба корня меньше числа А, 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, тогда и только тогда: тогда и только тогда: 3. Оба корня больше числа А, то есть Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня одного знака? -6
-2
3
a
1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть тогда и только тогда: 2. Корни лежат по разные стороны от отрезка тогда и только тогда: 3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть тогда и только тогда: Исследуйте уравнение на количество корней в зависимости от параметра. уравнение не имеет решений. имеет одно решение. Исследуйте уравнение на количество корней в зависимости от параметра. Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него. Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него. первоначальное уравнение будет иметь два различных корня. при которых уравнение имеет три различных корня. Ответ: при при которых первоначальное уравнение будет иметь два различных корня. уравнение имеет четыре различных корня.
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики Автономное учреждение Чувашской Республики «Цивильский аграрно-технологический техникум» Направление – физико-математическое и информационно-технологическое Исследовательская работа: Расположение корней квадратного трехчлена Работу выполнила: студентка 1 курса гр.14 Б специальности «Экономика Руководитель: Ешмейкина Ирина Анатольевна, преподаватель математики Цивильск 2012 1. Введение. 2. Теоретическая часть 2.1. Расположение корней квадратного трехчлена. 2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена 3. Практическая часть 3.1. Примеры решения задач 3.2. Расположение корней относительно одной точки. 3.3. Расположение корней относительно двух и более точек. 4. Выводы. 5. Использованная литература. 6. Приложения Введение Актуальность: в заданиях ГИА (часть 2) и ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), встречаются задачи с параметрами, которые часто вызывают большие трудности у учащихся. Причем часто учащиеся испытывают психологические проблемы, бояться таких задач, т. к. в школе и техникуме мало решают задачи, содержащие параметры. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка (отрезка, интервала, луча). Цель работы: исследовать расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка. Собрать материал по данной теме Рассмотреть правила расположения корней квадратного трехчлена. Решить задачи используя правила расположения корней квадратного трехчлена. Объект исследования: квадратный трехчлен и расположение его корней. 1. Поисково – собирательный. Практическая значимость: данный материал поможет при подготовке к ЕГЭ студентам, желающим продолжить образование в ВУЗе. Теоретическая часть
2.1. Расположение корней квадратного трехчлена
Многие задачи с параметрами сводят к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка: При каких значениях параметра корни (или корень) квадратного уравнения больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа; расположены между двумя заданными числами; не принадлежат заданным промежуткам и т. д. и т. п.
График квадратичной функции у = ах²+вх+с имеет следующие расположения относительно оси абсцисс. https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202">Квадратное уравнение х²+pх+q=0 либо не имеет решение (парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (С), либо имеет один или два отрицательных корня (А), либо имеет корни разных знаков (В). Разберем параболу С. Чтобы уравнение имело корни необходимо, чтобы дискриминант D ≥ 0. Так как оба корня уравнения по построению должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна, хв > 0. Ордината вершины f(xв) ≤ 0 в силу того, что мы потребовали существование корней. Если потребовать выполнение условия f(0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х1(0;хв) такая, что f(х1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получаем: Квадратное уравнение х² + pх + q = 0 имеет два может быть кратных корня х1,х2 > Рассуждая аналогичным образом, выведем следующие правила расположения корней квадратного трехчлена. 2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена
Правило 1.
Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 (а ≠не имеет решений тогда и только тогда, когда D < 0. Правило 2.1.
Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D > 0. Правило 2.2.
Квадратное уравнение (1) имеет два, может быть, кратных корня тогда и только тогда, когда D ≥ 0. Правило 3.1.
Квадратное уравнение (1) имеет два корня х1 < М и х2 > М тогда и только https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> Правило 4.1.
Квадратное уравнение х2 + pх +q = 0 при а ≠ 0) имеет два разных корня х1, х2 > М тогда и только тогда, когда Правило 4.2.
Квадратное уравнение имеет два может быть кратных корня х1,х2 > М тогда и только тогда, когда Правило 4.3.
Квадратное уравнение имеет два разных корня х1,х2 ≥ М тогда и только тогда, когда Правило 4.4.
Квадратное уравнение имеет 2, может быть кратных корня х1, х2 ≥ М тогда и только тогда, когда https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src="> Правило 5.1.
Квадратное уравнение имеет 2 разных корня х1, х2 < М тогда и Правило 6.1.
< N < M < х2 тогда и только тогда, когда Правило 6.2.
Квадратное уравнение имеет корни х1 = N < М < х2 тогда и только тогда, когда Правило 6.3.
Квадратное уравнение имеет корни х1< N < M = х2 тогда и только тогда, когда Правило 7.1.
Квадратное уравнение имеет корни х1 < m < x2 < M тогда и только тогда, когда https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48"> Правило 7.2. К
вадратное уравнение имеет корни N < x1 < M < x2 тогда и только тогда, когда Правило 8.1.
N
< x1 < x2 < M (может быть кратные корни N < x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98"> Правило 8.3.
Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N
≤ x1 < x2 ≤ M (может быть кратные корни N < x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда Правило 8.4.
Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 ≤ M (может быть кратные корни N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">
Правило 9.
Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (N; M), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда f (N) f (M) < 0. Правило 10.
Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение х1 = х2 > М (х1 = х2 < М) тогда и только тогда, когда Практическая часть
3.1. Примеры решения задач.
Пример 1. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а – 3 = 0 а) не имеет корней; б) имеет корни разных знаков; в) имеет положительные корни; г) имеет два разных отрицательных корня? Решение: а) По правилу 1 решений нет, когда дискриминант D= - 4(2а-3) < 0, откуда а > 3/2. б) По правилу 3.1 для М = 0 имеем f(0)=а² + 2а – 3 < 0, откуда а(-3;1). в) По правилу 4.2 для М=0 г) По правилу 5.1 для М=0 Откуда а < - 3. 3.2. Расположение корней относительно одной точки.
Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 = 0 лежат на луче (-2;+∞).
хв = - а – 1 Эти оба случая аналитически описываются условиями Отсюда следует, что 0 ≤ а < . Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а. (Приложение 1)
3.3. Расположение корней относительно двух и более точек.
Пример 4. При каких значениях параметра m корни уравнения х² - 2
mх +
m² -1= 0 заключены между числами -2 и 4.
Дискриминант уравнения D = 4m² - 4m² + 4 = 4 есть полный квадрат. Найдем корни уравнения: х1= m+1, х2= m - 1. Эти корни удовлетворяют заданному условию, если Ответ: при m(-1;3). Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение 2х² + (а-4)х + а + 2 = 0 имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству │х-1│>2. (Приложение 2)
Решение квадратных уравнений с параметрами можно записать в виде схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена Ах²+Вх+С. Исследование случая А = 0 (если зависит от параметров). 1. Нахождение дискриминанта D в случае А≠0. 2. Если D – полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение их условиям задачи. 3. Если корень квадратный из D не извлекается, то графический анализ задачи. 4. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются: Ø знак (значение) коэффициента при х²; Ø знак (значение) дискриминанта; Ø знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках; Ø расположение вершины параболы относительно изучаемых точек. 4. Объединение некоторых неравенств (систем). 5. Решение полученных систем. Я нашла 10 правил расположения корней квадратного трехчлена. Решила задачи на расположение корней относительно одной точки; расположение корней относительно двух и более точек. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов математики, уровня математического и логического мышления, математической культуры. Использованная литература 1. Мочалов, и неравенства с параметрами/ , .- Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 200с. 2. Кожухов, способы решения задач с параметрами/ // Математика в школе.- 1998. - № 6. 3. Еженедельное учебно – методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика» № 18, 2002г Приложение 1
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а.
хв= -1/2
Найдем дискриминант D = 1 - 4а. учитывая, что не извлекается, решим пример графически. Сделаем графический анализ. Так как корни х1, х2 функции f(х) = х² + х + а различны и х1≤ а, х2 ≤ а, то ее график может иметь лишь следующие расположения. Опишем эти графики аналитически. https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48"> Узнаем, при каких а корни уравнения различны, т. е. дискриминант D=а²-16а положителен, и либо оба меньше -1, либо оба больше 3, либо один из них меньше -1, а другой больше 3. График функции f(х)=2х²+(а-4)х+а+2 в этих случаях имеет следующие расположения: Аналитически эти графики описываются условиями4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра
и точка m
на оси Ox
. Тогда оба коня 
квадратного трехчлена 
будут строго меньше m
или 
выполняется тога и только тогда, когда числа
a
и 
имеют разные знаки, то есть 
(рис. 4.1 и 4.2.)
квадратного трехчлена будут строго больше m
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
или 
или 
.
Отрезок лежит в интервале 
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
больше -2.
,
или 
выполняется для любых 
?
должен находиться внутри множества X
, то есть
.
, и его решением будет промежуток 
. В этом случае условие выполняется и а=0
является решением задачи.
, то графиком правой части неравенства является квадратный трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака .
. Тогда для того, чтобы для всех выполнялось неравенство , требуется, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа -1, то есть:
или 
.
, то парабола лежит выше оси О
x
, и решением неравенства будет любое число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток . Найдем такие а
из условия:
или 
.
, то при 
решением неравенства является промежуток , который не может включать в себя промежуток , а при 
данное неравенство не имеет решений.
неравенство выполняется для любых .
?
, то
содержит отрезок , значит а =
-1 является решением задачи.
, то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы 
:
, 
.
, который содержит отрезок 
, если выполняются условия:
.
, то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы 
. Множество значений функции есть промежуток 
, который содержит отрезок , если выполняются условия: 
.
.
множество значений функции содержит отрезок .Задачи для самостоятельного решения
, найти
, б) 
, в)
, б) 
, в) 
, г) 
, б) 
лежат на интервале (-5, 4)?
равно -1?
имеет корни?Карпова Ирина Викторовна
ПРОГРАММА И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА по математике для учащихся 8-9 классов «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
Пояснительная записка
Тематическое планирование
Текст пособия
1. Случайные события. Как сравнивать события?
и не верна для
Условия на корни
Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D
Корни существуют (и различны)
Корни существуют и равны
Причем 
Корни существуют и
Корни существуют и
Корни существуют и различны
Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0
⟹ 
будут положительными?
а по теореме Виета,
неположительны.
откуда 
равна 22.5 ?
то получаем “Ответ” Однако при найденном значении а
исходное уравнение корней не имеет.
Определить
Возведем обе части первого равенства в квадрат Учитывая, что а получаем или Проверка показывает, что значения удовлетворяют исходному уравнению.
принимает наименьшее значение:
а при 
то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке 
больше 6.
.
только тогда, когда
где =
https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">
только тогда, когда
https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">
Откуда .
Сделаем графический анализ задачи. По условию задачи возможны лишь следующие два случая расположения графика функции f(х) = х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 относительно точки х = -2.
