מודל סטוכסטי של התהליך. מודל סטוכסטי בכלכלה

480 לשפשף. | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> תזה - 480 רובל, משלוח 10 דקות 24 שעות ביממה, שבעה ימים בשבוע וחגים

דמידובה אנסטסיה ויאצ'סלבובנה שיטה לבניית מודלים סטוכסטיים של תהליכים חד-שלביים: עבודת גמר ... מועמד למדעי הפיזיקה והמתמטיקה: 05.13.18 / דמידובה אנסטסיה ויאצ'סלבובנה; [מקום הגנה: אוניברסיטת רוסיה לידידות עמים].- מוסקבה, 2014.- 126 ע.

מבוא

פרק 1. סקירת עבודות בנושא עבודת הגמר 14

1.1. סקירה כללית של מודלים של דינמיקה של אוכלוסיה 14

1.2. מודלים של אוכלוסייה סטוכסטית 23

1.3. משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות 26

1.4. מידע על חשבון סטוכסטי 32

פרק 2 שיטת מידול תהליך חד-שלבי 39

2.1. תהליכים שלב אחד. משוואת קולמוגורוב-צ'פמן. משוואה קינטית בסיסית 39

2.2. שיטה למידול תהליכים חד-שלביים רב מימדיים. 47

2.3. סימולציה מספרית 56

פרק 3 יישום שיטת המודלים של תהליכים חד-שלביים 60

3.1. מודלים סטוכסטיים של דינמיקת אוכלוסיה 60

3.2. מודלים סטוכסטיים של מערכות אוכלוסיה עם אינטראקציות בין-ותוך-ספציפיות שונות 75

3.3. מודל סטוכסטי של התפשטות תולעי רשת. 92

3.4. מודלים סטוכסטיים של פרוטוקולים עמית לעמית 97

מסקנה 113

ספרות 116

משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות

אחת ממטרות העבודה היא המשימה לכתוב משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית למערכת כך שהמונח הסטוכסטי משויך למבנה המערכת הנחקרת. פתרון אפשרי אחד לבעיה זו הוא השגת החלקים הסטוכסטיים והדטרמיניסטיים מאותה משוואה. למטרות אלו, נוח להשתמש במשוואה הקינטית הבסיסית, אותה ניתן לקירוב על ידי משוואת פוקר-פלנק, עבורה, בתורה, ניתן לכתוב משוואת דיפרנציאל סטוכסטית שווה ערך בצורת משוואת לאנגווין.

סעיף 1.4. מכיל את המידע הבסיסי הדרוש כדי לציין את הקשר בין המשוואה הדיפרנציאלית הסטוכסטית למשוואת Fokker-Planck, כמו גם את המושגים הבסיסיים של חשבון סטוכסטי.

הפרק השני מספק מידע בסיסי מתורת התהליכים האקראיים ועל בסיס תיאוריה זו מגובשת שיטה למידול תהליכים חד-שלביים.

סעיף 2.1 מספק מידע בסיסי מהתיאוריה של תהליכים חד-שלביים אקראיים.

תהליכים חד-שלביים מובנים כתהליכי מרקוב עם זמן רציף, לוקחים ערכים באזור המספרים השלמים, שמטריצת המעבר שלו מאפשרת מעברים בלבד בין מקטעים סמוכים.

אנו רואים תהליך רב-ממדי חד-שלבי Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ), (0.1) Є , היכן הוא אורך מרווח הזמן שבו צוין תהליך X(). הסט G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1 הוא קבוצת הערכים הבדידים שתהליך אקראי יכול לקחת.

עבור תהליך חד-שלבי זה, מוצגות ההסתברויות למעברים ליחידת זמן s+ ו-s ממצב Xj למצב Xj__i ו-Xj_i, בהתאמה. במקרה זה, ההסתברות למעבר ממצב x לשני שלבים או יותר ליחידת זמן היא קטנה מאוד. לכן, אנו יכולים לומר שווקטור המצב Xj של המערכת משתנה בשלבי אורך Г( ואז במקום מעברים מ-x ל-Xj+i ו-Xj_i, נוכל לשקול מעברים מ-X ל-X + Гі ו-X - Гі, בהתאמה .

כאשר מדגמים מערכות שבהן מתרחשת אבולוציה טמפורלית כתוצאה מאינטראקציה של מרכיבי מערכת, נוח לתאר באמצעות המשוואה הקינטית הראשית (שם נוסף הוא משוואת המאסטר, ובספרות האנגלית היא נקראת משוואת מאסטר).

לאחר מכן, נשאלת השאלה כיצד ניתן לקבל תיאור של המערכת הנחקרת, המתוארת בתהליכים חד-שלביים, בעזרת משוואת דיפרנציאלית סטוכסטית בצורת משוואת לנגווין מהמשוואה הקינטית הבסיסית. באופן פורמלי, רק משוואות המכילות פונקציות סטוכסטיות צריכות להיות מסווגות כמשוואות סטוכסטיות. לפיכך, רק משוואות לנגווין עונות על הגדרה זו. עם זאת, הם קשורים ישירות למשוואות אחרות, כלומר משוואת פוקר-פלנק והמשוואה הקינטית הבסיסית. לכן, נראה הגיוני לשקול את כל המשוואות הללו יחד. לכן, כדי לפתור בעיה זו, מוצע לקירוב את המשוואה הקינטית הראשית על ידי משוואת Fokker-Planck, עבורה ניתן לכתוב משוואת דיפרנציאלית סטוכסטית שוות ערך בצורת משוואת לאנגווין.

סעיף 2.2 מנסח שיטה לתיאור ומידול סטוכסטי של מערכות המתוארות בתהליכים חד-שלביים רב-ממדיים.

בנוסף, מוצג שניתן לקבל את המקדמים עבור משוואת Fokker-Planck מיד לאחר כתיבת עבור המערכת הנחקרת את סכימת האינטראקציה, וקטור שינוי המצב r וביטויים להסתברויות המעבר s+ ו-s-, כלומר. ביישום המעשי של שיטה זו, אין צורך לרשום את המשוואה הקינטית הראשית.

סעיף 2.3. נשקלת שיטת Runge-Kutta לפתרון מספרי של משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות, המשמשת בפרק השלישי כדי להמחיש את התוצאות שהתקבלו.

הפרק השלישי מציג המחשה ליישום שיטת בניית המודלים הסטוכסטיים המתוארים בפרק השני, תוך שימוש בדוגמה של מערכות המתארות את הדינמיקה של גידול אוכלוסיות המקיימות אינטראקציה, כגון "טורף-טרף", סימביוזה, תחרות והן. שינויים. המטרה היא לכתוב אותם כמשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות ולחקור את ההשפעה של הכנסת סטוכסטיות על התנהגות המערכת.

בסעיף 3.1. יישום השיטה המתוארת בפרק השני מומחש בדוגמה של מודל "טורף-טרף". מערכות בעלות אינטראקציה של שני סוגי אוכלוסיות מסוג "טורף-טרף" נחקרו רבות, מה שמאפשר להשוות את התוצאות שהתקבלו לאלו המוכרות כבר.

ניתוח המשוואות שהתקבלו הראה שכדי לחקור את ההתנהגות הדטרמיניסטית של המערכת, ניתן להשתמש בווקטור הסחף A של המשוואה הדיפרנציאלית הסטוכסטית שהתקבלה, כלומר. השיטה שפותחה יכולה לשמש לניתוח התנהגות סטוכסטית ודטרמיניסטית כאחד. בנוסף, הגיע למסקנה שמודלים סטוכסטיים מספקים תיאור ריאליסטי יותר של התנהגות המערכת. בפרט, עבור מערכת ה"טורף-טרף" במקרה הדטרמיניסטי, לפתרונות המשוואות יש צורה מחזורית ונפח הפאזה נשמר, בעוד שהכנסת הסטוקסטיקה למודל מעניקה עלייה מונוטונית בנפח הפאזה, אשר מצביע על מוות בלתי נמנע של אחת האוכלוסיות או שתיהן. על מנת להמחיש את התוצאות שהתקבלו, בוצעה סימולציה מספרית.

סעיף 3.2. השיטה שפותחה משמשת להשגת וניתוח מודלים סטוכסטיים שונים של דינמיקה של אוכלוסיות, כמו מודל "טורף-טרף", תוך התחשבות בתחרות בין-ספציפית בין טרף, סימביוזה, תחרות ומודל האינטראקציה של שלוש אוכלוסיות.

מידע על חשבון סטוכסטי

התפתחות תורת התהליכים האקראיים הובילה למעבר בחקר תופעות הטבע מייצוגים דטרמיניסטיים ומודלים של דינמיקת אוכלוסיה לאלו הסתברותיים, וכתוצאה מכך, הופעתן של מספר רב של עבודות שהוקדשו למידול סטוכסטי בביולוגיה מתמטית. , כימיה, כלכלה וכו'.

כאשר בוחנים מודלים דטרמיניסטיים של אוכלוסייה, נקודות חשובות כמו ההשפעות האקראיות של גורמים שונים על התפתחות המערכת נותרות חשופות. כאשר מתארים דינמיקה של אוכלוסיה, יש לקחת בחשבון את האופי האקראי של רבייה והישרדות של פרטים, כמו גם תנודות אקראיות המתרחשות בסביבה לאורך זמן ומובילות לתנודות אקראיות בפרמטרים של המערכת. לכן, יש להכניס מנגנונים הסתברותיים המשקפים את הרגעים הללו לכל מודל של דינמיקה של אוכלוסיה.

מודלים סטוכסטיים מאפשרים תיאור מלא יותר של שינויים במאפייני האוכלוסייה, תוך התחשבות הן בכל הגורמים הדטרמיניסטיים והן בהשפעות אקראיות שיכולות לשנות באופן משמעותי את המסקנות ממודלים דטרמיניסטיים. מצד שני, ניתן להשתמש בהם כדי לחשוף היבטים חדשים מבחינה איכותית של התנהגות אוכלוסיה.

ניתן לתאר מודלים סטוכסטיים של שינויים במצבי אוכלוסייה באמצעות תהליכים אקראיים. לפי כמה הנחות, אנו יכולים להניח שהתנהגות האוכלוסייה, בהינתן מצבה הנוכחי, אינה תלויה באופן שבו הושג מצב זה (כלומר, בהווה קבוע, העתיד אינו תלוי בעבר). זֶה. למודל של תהליכי דינמיקה של אוכלוסיות, נוח להשתמש בתהליכי לידה-מוות של מרקוב ובמשוואות הבקרה המתאימות, המתוארות בפירוט בחלק השני של המאמר.

נ.נ.קלינקין בעבודותיו כדי להמחיש את התהליכים המתרחשים במערכות עם אלמנטים המקיימים אינטראקציה משתמש בסכימות אינטראקציה, ועל בסיס סכמות אלו, בונה מודלים של מערכות אלו תוך שימוש במנגנון של תהליכי מרקוב מסועפים. היישום של גישה זו מומחש על ידי הדוגמה של תהליכי מידול במערכות כימיות, אוכלוסיות, טלקומוניקציה ואחרות.

המאמר מתייחס למודלים הסתברותיים של אוכלוסיה, שלצורך בנייתם ​​נעשה שימוש במנגנון של תהליכי לידה-מוות, והמערכות המתקבלות של משוואות דיפרנציאליות-הפרש הן משוואות דינמיות לתהליכים אקראיים. המאמר גם בוחן שיטות למציאת פתרונות למשוואות אלו.

ניתן למצוא מאמרים רבים המוקדשים לבניית מודלים סטוכסטיים הלוקחים בחשבון גורמים שונים המשפיעים על הדינמיקה של שינויים במספר האוכלוסיות. כך, למשל, במאמרים נבנה ומנתח מודל של דינמיקה של גודל של קהילה ביולוגית, שבו אנשים צורכים משאבי מזון המכילים חומרים מזיקים. ובמודל של התפתחות האוכלוסייה, המאמר לוקח בחשבון את גורם ההתיישבות של נציגי אוכלוסיות בבתי הגידול שלהם. המודל הוא מערכת של משוואות ולאסוב עקביות.

ראוי לציין את העבודות המוקדשות לתורת התנודות וליישום שיטות סטוכסטיות במדעי הטבע, כמו פיזיקה, כימיה, ביולוגיה ועוד תהליכי לידה-מוות.

אפשר להתייחס למודל "טורף-טרף" כמימוש של תהליכי לידה-מוות. בפרשנות זו ניתן להשתמש בהם עבור מודלים בתחומי מדע רבים. בשנות ה-70 הציע מ' דוי שיטה לחקר מודלים כאלה המבוססת על אופרטורים של יצירה-השמדה (באנלוגיה לכימות שנייה). כאן תוכלו לסמן את העבודה. בנוסף, שיטה זו מפותחת כעת באופן פעיל בקבוצת M. M. Gnatich.

גישה נוספת למודלים וללימוד מודלים של דינמיקה של אוכלוסיה קשורה לתיאוריית השליטה האופטימלית. כאן תוכלו לסמן את העבודה.

ניתן לציין כי רוב העבודות המוקדשות לבניית מודלים סטוכסטיים של תהליכי אוכלוסיה משתמשות במנגנון של תהליכים אקראיים להשגת משוואות דיפרנציאליות ויישום מספרי לאחר מכן. בנוסף, נעשה שימוש נרחב במשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות בצורת Langevin, שבהן המונח הסטוכסטי מתווסף משיקולים כלליים על התנהגות המערכת ונועד לתאר השפעות סביבתיות אקראיות. מחקר נוסף של המודל הוא הניתוח האיכותי שלהם או מציאת פתרונות באמצעות שיטות מספריות.

משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות הגדרה 1. משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית היא משוואה דיפרנציאלית שבה מונח אחד או יותר מייצג תהליך סטוכסטי. הדוגמה הנפוצה והידועה ביותר למשוואה דיפרנציאלית סטוכסטית (SDE) היא משוואה עם מונח המתאר רעש לבן וניתן לראותו כתהליך ווינר Wt, t 0.

משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות הן כלי מתמטי חשוב ונעשה בשימוש נרחב בחקר ומידול של מערכות דינמיות הכפופות להפרעות אקראיות שונות.

תחילת המודל הסטוכסטי של תופעות טבע נחשבת לתיאור תופעת התנועה הבראונית, שהתגלתה על ידי ר' בראון בשנת 1827, כאשר חקר את תנועת אבקת הצמחים בנוזל. ההסבר המחמיר הראשון של תופעה זו ניתן באופן עצמאי על ידי א' איינשטיין ומ' סמולוצ'ובסקי. ראוי לציין את אוסף המאמרים שבו מכונסות יצירותיהם של א' איינשטיין ומ' סמולוצ'ובסקי על תנועה בראונית. מחקרים אלו תרמו תרומה משמעותית לפיתוח התיאוריה של התנועה הבראונית ולאימות הניסוי שלה. א' איינשטיין יצר תיאוריה קינטית מולקולרית לתיאור כמותי של תנועה בראונית. הנוסחאות שהתקבלו אושרו על ידי הניסויים של ג'יי פרין בשנים 1908-1909.

שיטה למידול תהליכים חד-שלביים רב מימדיים.

כדי לתאר את האבולוציה של מערכות עם אלמנטים המקיימים אינטראקציה, ישנן שתי גישות - זוהי בניית מודלים דטרמיניסטים או סטוכסטיים. בניגוד לדטרמיניסטים, מודלים סטוכסטיים מאפשרים לקחת בחשבון את האופי ההסתברותי של התהליכים המתרחשים במערכות הנבדקות, כמו גם את ההשפעות של הסביבה החיצונית הגורמות לתנודות אקראיות בפרמטרי המודל.

נושא המחקר הם מערכות, את התהליכים המתרחשים בהן ניתן לתאר באמצעות תהליכים חד-שלביים וכאלה שבהם המעבר ממצב אחד למשנהו קשור לאינטראקציה של מרכיבי מערכת. דוגמה לכך היא מודלים המתארים את דינמיקת הצמיחה של אוכלוסיות מקיימות אינטראקציה, כגון "טורף-טרף", סימביוזה, תחרות ושינויים שלהן. המטרה היא לרשום עבור מערכות כאלה SDE ולחקור את ההשפעה של הכנסת החלק הסטוכסטי על התנהגות הפתרון של המשוואה המתארת ​​את ההתנהגות הדטרמיניסטית.

קינטיקה כימית

מערכות המשוואות המתעוררות בעת תיאור מערכות עם יסודות המקיימים אינטראקציה דומות במובנים רבים למערכות של משוואות דיפרנציאליות המתארות את הקינטיקה של תגובות כימיות. כך, למשל, מערכת לוטקה-וולטרה נגזרה במקור על ידי לוטקה כמערכת המתארת ​​תגובה כימית היפותטית כלשהי, ורק מאוחר יותר הסיק אותה וולטרה כמערכת המתארת ​​את מודל ה"טורף-טרף".

קינטיקה כימית מתארת ​​תגובות כימיות בעזרת מה שנקרא משוואות סטוכיומטריות - משוואות המשקפות את היחסים הכמותיים של מגיבים ומוצרים של תגובה כימית ובעלות הצורה הכללית הבאה: כאשר המספרים הטבעיים mі ו-U נקראים מקדמים סטוכיומטריים. זהו תיעוד סמלי של תגובה כימית שבה מולקולות ti של המגיב Xi, מולקולות ni2 של המגיב Xh, ..., מולקולות tr של המגיב Xp, לאחר שנכנסו לתגובה, יוצרות מולקולות u של החומר Yї, u מולקולות של החומר I2, ..., nq מולקולות של החומר Yq, בהתאמה.

בקינטיקה כימית מאמינים שתגובה כימית יכולה להתרחש רק עם אינטראקציה ישירה של ריאגנטים, וקצב התגובה הכימית מוגדר כמספר החלקיקים הנוצרים ליחידת זמן ליחידת נפח.

ההנחה העיקרית של קינטיקה כימית היא חוק פעולת המסה, האומר שקצב התגובה הכימית עומד ביחס ישר לתוצר של ריכוזי המגיבים בחזקת המקדמים הסטוכיומטריים שלהם. לכן, אם נסמן באמצעות XI ו-y I את ריכוזי החומרים המתאימים, אז יש לנו משוואה לקצב השינוי בריכוז של כל חומר לאורך זמן כתוצאה מתגובה כימית:

בנוסף, מוצע להשתמש ברעיונות הבסיסיים של קינטיקה כימית כדי לתאר מערכות שההתפתחות שלהן בזמן מתרחשת כתוצאה מהאינטראקציה של היסודות של מערכת נתונה זה עם זה, תוך ביצוע השינויים העיקריים הבאים: 1. לא קצבי התגובה. נחשבים, אבל הסתברויות המעבר; 2. מוצע כי ההסתברות למעבר ממצב אחד לאחר, שהוא תוצאה של אינטראקציה, תהיה פרופורציונלית למספר האינטראקציות האפשריות מסוג זה; 3. לתיאור המערכת בשיטה זו, נעשה שימוש במשוואה הקינטית הראשית; 4. משוואות דטרמיניסטיות מוחלפות בסטוכסטיות. גישה דומה לתיאור של מערכות כאלה ניתן למצוא בעבודות. כדי לתאר את התהליכים המתרחשים במערכת המדומה, הוא אמור להשתמש, כפי שצוין לעיל, בתהליכים חד-שלביים של מרקוב.

שקול מערכת המורכבת מסוגים של אלמנטים שונים שיכולים לקיים אינטראקציה זה עם זה בדרכים שונות. סמן באמצעות אלמנט מהסוג -th, כאשר = 1, וב- מספר האלמנטים מהסוג -th.

לתת (), .

נניח שהקובץ מורכב מחלק אחד. כך, בשלב אחד של אינטראקציה בין הצומת החדש שרוצה להוריד את הקובץ לצומת שמפיץ את הקובץ, הצומת החדש מוריד את כל הקובץ והופך לצומת ההפצה.

תן הוא הייעוד של הצומת החדש, הוא הצומת המפיץ, והוא מקדם האינטראקציה. צמתים חדשים יכולים להיכנס למערכת בעוצמה, וצמתים בהפצה יכולים לצאת ממנה בעוצמה. אז סכימת האינטראקציה והווקטור r ייראו כך:

ניתן לקבל משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית בצורת Langevin 100 באמצעות הנוסחה המתאימה (1.15). כי וקטור הסחף A מתאר לחלוטין את ההתנהגות הדטרמיניסטית של המערכת, אתה יכול לקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות המתארות את הדינמיקה של מספר הלקוחות החדשים והזרעים:

לפיכך, בהתאם לבחירת הפרמטרים, לנקודה הסינגולרית יכולה להיות אופי שונה. לפיכך, עבור /3A 4/I2, הנקודה הסינגולרית היא מוקד יציב, ועבור היחס ההפוך, היא צומת יציב. בשני המקרים, הנקודה הסינגולרית יציבה, שכן בחירת ערכי המקדמים, שינויים במשתני המערכת יכולים להתרחש לאורך אחד משני מסלולים. אם הנקודה הסינגולרית היא מוקד, אזי מתרחשות במערכת תנודות מעוכות במספרי הצמתים החדשים והמפיצים (ראה איור 3.12). ובמקרה הצמתים, הקירוב של מספרים לערכים נייחים מתרחש במצב נטול רטט (ראה איור 3.13). דיוקנאות השלב של המערכת עבור כל אחד משני המקרים מוצגים, בהתאמה, בגרפים (3.14) ו- (3.15).

סדרה "כלכלה וניהול"

6. Kondratiev N.D. מחזורי חיבור גדולים ותאוריית ראיית הנולד. - מ.: כלכלה, 2002. 768 עמ'.

7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. חיזוי, תכנון אסטרטגי ותכנות לאומי. מ.: הוצאה לאור "כלכלה", 2008. 573 עמ'.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. מודרניזציה של כלכלת החדשנות בהקשר להיווצרות ופיתוח של שוק המיזמים // מדעי החברה. מ': הוצאת "מי"י נאוקה", 2011. מס' 1. ש' 278-285.

9. Sekerin V.D., Kuznetsova O.S. פיתוח אסטרטגיית ניהול פרויקטים חדשניים // עלון של האקדמיה הממלכתית למינהל עסקים במוסקבה. סדרה: כלכלה. - 2013. מס' 1 (20). - ס' 129 - 134 .

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. אין אלטרנטיבה לסוג הפיתוח החדשני של הכלכלה הרוסית // סוגיות בפועל של כלכלה חדשנית. מ.: הוצאת הספרים "מדע"; המכון לניהול ושיווק של האקדמיה הרוסית לאמנויות ולמדעים תחת נשיא הפדרציה הרוסית, 2012. מס' 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. שימוש בגישה סביבתית לפיתוח מונחה חדשנות של מפעלים תעשייתיים // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, מס' 2, - עמ' 189-194.

12. דודין מ.נ. גישה שיטתית לקביעת דרכי האינטראקציה של עסקים גדולים וקטנים // European Journal of Economic Studies. 2012. כרך. (2), מס' 2, עמ' 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. טרנספורמציה חדשנית ופוטנציאל טרנספורמציה של מערכות חברתיות-כלכליות // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, מס' 10. עמ' 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. ראיית הנולד החדשנית כשיטה לניהול פיתוח אסטרטגי בר-קיימא של המבנים העסקיים // World Applied Sciences Journal. - 2013. - כרך. 26, מס' 8. - עמ' 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

בניית מודל חד פרמטר סטוכסטי של תהליך הייצור

דוקטורט. Assoc. מורדאסוב יו.פ.

האוניברסיטה להנדסת מכונות, 8-916-853-13-32, [מוגן באימייל] gi

ביאור. המחבר פיתח מודל מתמטי וסטוכסטי של תהליך הייצור, בהתאם לפרמטר אחד. הדגם נבדק. לשם כך, נוצר מודל סימולציה של תהליך הייצור, בניית המכונה, תוך התחשבות בהשפעה של הפרעות אקראיות-כשלים. השוואה בין התוצאות של מידול מתמטי וסימולציה מאשרת את כדאיות יישום המודל המתמטי בפועל.

מילות מפתח: תהליך טכנולוגי, מתמטי, מודל סימולציה, בקרה תפעולית, אישור, הפרעות אקראיות.

ניתן להוזיל משמעותית את עלויות הניהול התפעולי על ידי פיתוח מתודולוגיה המאפשרת למצוא את האופטימום בין עלויות התכנון התפעולי לבין ההפסדים הנובעים מהפער בין האינדיקטורים המתוכננים לאינדיקטורים של תהליכי ייצור אמיתיים. משמעות הדבר היא מציאת משך הזמן האופטימלי של האות בלולאת המשוב. בפועל, המשמעות היא הפחתה במספר החישובים של לוחות זמנים להפעלת יחידות הרכבה לייצור ובשל כך חיסכון במשאבי חומר.

מהלך תהליך הייצור בהנדסת מכונות הוא הסתברותי באופיו. השפעה מתמדת של גורמים המשתנים ללא הרף אינה מאפשרת לחזות בפרספקטיבה מסוימת (חודש, רבעון) את מהלך תהליך הייצור במרחב ובזמן. במודלים של תזמון סטטיסטי, יש לתת את מצבו של חלק בכל נקודת זמן ספציפית בצורה של הסתברות (התפלגות הסתברות) מתאימה להימצאותו במקומות עבודה שונים. עם זאת, יש צורך להבטיח את הדטרמיניזם של התוצאה הסופית של המיזם. זה, בתורו, מרמז על האפשרות, באמצעות שיטות דטרמיניסטיות, לתכנן מונחים מסוימים עבור חלקים שיהיו בייצור. עם זאת, הניסיון מלמד כי יחסי גומלין ומעברים הדדיים שונים של תהליכי ייצור אמיתיים הם מגוונים ורבים. כאשר מפתחים מודלים דטרמיניסטיים, הדבר יוצר קשיים משמעותיים.

ניסיון לקחת בחשבון את כל הגורמים המשפיעים על מהלך הייצור הופך את המודל למסורבל, והוא מפסיק לתפקד ככלי תכנון, חשבונאי ורגולציה.

שיטה פשוטה יותר לבניית מודלים מתמטיים של תהליכים אמיתיים מורכבים התלויים במספר רב של גורמים שונים, שקשה ואף בלתי אפשרי לקחת בחשבון, היא בניית מודלים סטוכסטיים. במקרה זה, כאשר מנתחים את עקרונות התפקוד של מערכת אמיתית או כאשר מתבוננים במאפיינים האישיים שלה, נבנות פונקציות התפלגות הסתברות עבור כמה פרמטרים. בנוכחות יציבות סטטיסטית גבוהה של המאפיינים הכמותיים של התהליך ופיזורם הקטן, התוצאות המתקבלות באמצעות המודל הבנוי תואמות היטב את הביצועים של המערכת האמיתית.

התנאים המוקדמים העיקריים לבניית מודלים סטטיסטיים של תהליכים כלכליים הם:

מורכבות מוגזמת וחוסר יעילות כלכלית קשורה של המודל הדטרמיניסטי המקביל;

סטיות גדולות של האינדיקטורים התיאורטיים שהתקבלו כתוצאה מהניסוי במודל מהאינדיקטורים של עצמים הפועלים בפועל.

לכן, רצוי שיהיה מנגנון מתמטי פשוט המתאר את השפעתן של הפרעות סטוכסטיות על המאפיינים הגלובליים של תהליך הייצור (תפוקת סחורות, היקף העבודה בתהליך וכו'). כלומר, לבנות מודל מתמטי של תהליך הייצור התלוי במספר קטן של פרמטרים ומשקף את ההשפעה הכוללת של גורמים רבים בעלי אופי שונה על מהלך תהליך הייצור. המשימה העיקרית שעל חוקר להציב לעצמו בעת בניית מודל היא לא התבוננות פסיבית בפרמטרים של מערכת אמיתית, אלא בניית מודל כזה שעם כל סטייה בהשפעת הפרעות יביא את הפרמטרים של המוצגים. תהליכים למצב נתון. כלומר, תחת פעולתו של כל גורם אקראי, יש לבסס במערכת תהליך שמתכנס לפתרון מתוכנן. כיום, במערכות בקרה אוטומטיות, פונקציה זו מוטלת בעיקר על אדם, המהווה את אחת החוליה בשרשרת המשוב בניהול תהליכי הייצור.

הבה נפנה לניתוח תהליך הייצור האמיתי. בדרך כלל, משך תקופת התכנון (תדירות הנפקת התוכניות לסדנאות) נבחר על סמך מרווחי הזמן הקלנדריים שנקבעו באופן מסורתי: משמרת, יום, חמישה ימים וכו'. הם מונחים בעיקר על ידי שיקולים מעשיים. משך הזמן המינימלי של תקופת התכנון נקבע לפי היכולות התפעוליות של הגופים המתוכננים. אם מחלקת הייצור והשילוח של המיזם מתמודדת עם הנפקת משימות משמרות מותאמות לחנויות, החישוב מתבצע עבור כל משמרת (כלומר, העלויות הכרוכות בחישוב וניתוח היעדים המתוכננים נגרמות בכל משמרת).

כדי לקבוע את המאפיינים המספריים של התפלגות ההסתברות של אקראי

סדרה של הפרעות "כלכלה וניהול" תבנה מודל הסתברותי של תהליך טכנולוגי אמיתי של ייצור יחידת הרכבה אחת. להלן, התהליך הטכנולוגי של ייצור יחידת הרכבה משמעו רצף של פעולות (עבודות לייצור חלקים או מכלולים אלו), המתועדים בטכנולוגיה. כל פעולה טכנולוגית של ייצור מוצרים בהתאם למסלול הטכנולוגי יכולה להתבצע רק לאחר הקודמת. כתוצאה מכך, התהליך הטכנולוגי של ייצור יחידת הרכבה הוא רצף של אירועים-פעולות. בהשפעת סיבות סטוכסטיות שונות, משך הניתוח הפרטני עשוי להשתנות. במקרים מסוימים, ייתכן שהפעולה לא תושלם במהלך תוקף משמרת זו. ברור שניתן לפרק את האירועים הללו למרכיבים אלמנטריים: ביצוע ואי ביצוע של פעולות בודדות, שניתן להתאים גם להסתברויות של ביצוע ואי ביצוע.

עבור תהליך טכנולוגי ספציפי, ניתן לבטא את ההסתברות לביצוע רצף המורכב מפעולות K באמצעות הנוסחה הבאה:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

כאשר: P1 - ההסתברות לביצוע הפעולה הראשונה, נלקחת בנפרד; r הוא מספר הפעולה לפי הסדר בתהליך הטכנולוגי.

ניתן להשתמש בנוסחה זו לקביעת המאפיינים הסטוכסטיים של תקופת תכנון ספציפית, כאשר מגוון המוצרים שיושקו לייצור ורשימת העבודות שיש לבצע בתקופת תכנון נתונה, וכן המאפיינים הסטוכסטיים שלהם, הנקבעים באופן אמפירי. , ידועים. בפועל, רק סוגים מסוימים של ייצור המוני, בעלי יציבות סטטיסטית גבוהה של מאפיינים, עומדים בדרישות המפורטות.

ההסתברות לביצוע פעולה אחת תלויה לא רק בגורמים חיצוניים, אלא גם באופי הספציפי של העבודה שבוצעה ובסוג יחידת ההרכבה.

כדי לקבוע את הפרמטרים של הנוסחה הנ"ל, אפילו עם מערך קטן יחסית של יחידות הרכבה, עם שינויים קטנים במגוון המוצרים המיוצרים, נדרשת כמות משמעותית של נתונים ניסיוניים, מה שגורם לעלויות חומר וארגוניות משמעותיות והופך שיטה זו ל קביעת ההסתברות לייצור ללא הפרעה של מוצרים בקושי ישים.

הבה נכפיף את המודל שהושג למחקר על האפשרות של פישוטו. הערך הראשוני של הניתוח הוא ההסתברות לביצוע ללא תקלות של פעולה אחת של התהליך הטכנולוגי של ייצור מוצרים. בתנאי ייצור אמיתיים, ההסתברויות לביצוע פעולות מכל סוג שונות. עבור תהליך טכנולוגי ספציפי, הסתברות זו תלויה ב:

מסוג הפעולה שבוצעה;

מיחידת הרכבה ספציפית;

ממוצרים המיוצרים במקביל;

מגורמים חיצוניים.

הבה ננתח את השפעתן של תנודות בהסתברות לביצוע פעולה אחת על המאפיינים המצטברים של תהליך הייצור של ייצור מוצרים (נפח התפוקה המסחרית, נפח העבודה בתהליך וכו') שנקבעו באמצעות מודל זה. מטרת המחקר היא לנתח אפשרות של החלפה במודל של הסתברויות שונות לביצוע פעולה אחת עם ערך ממוצע.

ההשפעה המשולבת של כל הגורמים הללו נלקחת בחשבון בעת ​​חישוב ההסתברות הגיאומטרית הממוצעת לביצוע פעולה אחת של התהליך הטכנולוגי הממוצע. ניתוח של ייצור מודרני מראה שהוא משתנה מעט: כמעט בתוך 0.9 - 1.0.

המחשה ברורה עד כמה נמוכה ההסתברות לביצוע פעולה אחת

מכשיר קשר מתאים לערך של 0.9, היא הדוגמה המופשטת הבאה. נניח שיש לנו עשרה חתיכות להכין. התהליכים הטכנולוגיים של ייצור כל אחד מהם מכילים עשר פעולות. ההסתברות לבצע כל פעולה היא 0.9. הבה נמצא את ההסתברויות לפיגור אחרי לוח הזמנים עבור מספר שונה של תהליכים טכנולוגיים.

אירוע אקראי, המורכב מהעובדה שתהליך טכנולוגי ספציפי של ייצור יחידת הרכבה יפגר אחרי לוח הזמנים, תואם את הביצועים הנמוכים של לפחות פעולה אחת בתהליך זה. זה ההפך מאירוע: ביצוע כל הפעולות ללא כישלון. ההסתברות שלו היא 1 - 0.910 = 0.65. מאחר שעיכובים בלוח זמנים הם אירועים עצמאיים, ניתן להשתמש בהתפלגות ההסתברות של ברנולי כדי לקבוע את ההסתברות לעיכוב בלוח הזמנים עבור מספר שונה של תהליכים. תוצאות החישוב מוצגות בטבלה 1.

שולחן 1

חישוב ההסתברויות לפיגור בלוח הזמנים של תהליכים טכנולוגיים

עד C^o0.35k0.651O-k Sum

הטבלה מראה כי בהסתברות של 0.92, חמישה תהליכים טכנולוגיים יפגרו אחרי לוח הזמנים, כלומר חצי. הצפי המתמטי למספר התהליכים הטכנולוגיים בפיגור בלוח הזמנים יהיה 6.5. המשמעות היא שבממוצע, 6.5 יחידות הרכבה מתוך 10 יפגרו אחרי לוח הזמנים, כלומר, בממוצע ייוצרו בין 3 ל-4 חלקים ללא תקלות. המחבר אינו מודע לדוגמאות לרמה כה נמוכה של ארגון עובדים בייצור אמיתי. הדוגמה השקולה מראה בבירור שההגבלה שהוטלה על ערך ההסתברות לביצוע פעולה אחת ללא תקלות אינה סותרת את הפרקטיקה. כל הדרישות לעיל מתקיימות על ידי תהליכי הייצור של חנויות להרכבת מכונות של ייצור בניית מכונות.

לפיכך, כדי לקבוע את המאפיינים הסטוכסטיים של תהליכי ייצור, מוצע לבנות התפלגות הסתברות לביצוע תפעולי של תהליך טכנולוגי אחד, המבטאת את ההסתברות לביצוע רצף של פעולות טכנולוגיות לייצור יחידת הרכבה באמצעות ההסתברות הממוצעת הגיאומטרי של ביצוע פעולה אחת. ההסתברות לביצוע פעולות K במקרה זה תהיה שווה למכפלת ההסתברויות לביצוע כל פעולה, כפול ההסתברות לאי ביצוע שאר התהליך הטכנולוגי, החופף להסתברות לאי ביצוע ה- (K + T )-המבצע. עובדה זו מוסברת על ידי העובדה שאם פעולה כלשהי לא מבוצעת, אז לא ניתן לבצע את הבאות. הערך האחרון שונה מהשאר, שכן הוא מבטא את ההסתברות למעבר מלא ללא כישלון של התהליך הטכנולוגי כולו. ההסתברות לביצוע K של הפעולות הראשונות של התהליך הטכנולוגי קשורה באופן ייחודי להסתברות לא לבצע את הפעולות הנותרות. לפיכך, להתפלגות ההסתברות יש את הצורה הבאה:

PY=0)=p°(1-p),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

כאשר: ^ - ערך אקראי, מספר הפעולות שבוצעו;

p הוא ההסתברות הממוצעת הגיאומטרית לביצוע פעולה אחת, n הוא מספר הפעולות בתהליך הטכנולוגי.

תקפות היישום של התפלגות ההסתברות המתקבלת של פרמטר אחד ברורה באופן אינטואיטיבי מההיגיון הבא. נניח שחישבנו את הממוצע הגיאומטרי של ההסתברות לביצוע פעולת 1 אחת במדגם של n אלמנטים, כאשר n גדול מספיק.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

שבו: Iy - מספר הפעולות שיש להן אותה הסתברות לביצוע; ] - אינדקס של קבוצת פעולות בעלות אותה הסתברות לביצוע; m - מספר הקבוצות המורכבות מפעולות שיש להן אותה הסתברות לביצוע;

^ = - - תדירות יחסית של התרחשות פעולות עם הסתברות לביצוע p^.

לפי חוק המספרים הגדולים, עם מספר בלתי מוגבל של פעולות, השכיחות היחסית של התרחשות ברצף של פעולות עם מאפיינים סטוכסטיים מסוימים נוטה בהסתברות להסתברות של אירוע זה. מאיפה זה נובע מכך

עבור שתי דגימות גדולות מספיק = , ​​אז:

כאשר: t1, t2 - מספר הקבוצות בדגימה הראשונה והשנייה, בהתאמה;

1*, I2 - מספר האלמנטים בקבוצת המדגם הראשון והשני, בהתאמה.

ניתן לראות מכך שאם מחושב הפרמטר עבור מספר רב של בדיקות, אז הוא יהיה קרוב לפרמטר P המחושב עבור המדגם הגדול למדי הזה.

יש לשים לב לקרבה השונה לערך האמיתי של ההסתברויות לביצוע מספר שונה של פעולות תהליך. בכל מרכיבי ההתפלגות, למעט האחרון, יש גורם (I - P). מכיוון שערך הפרמטר P הוא בטווח של 0.9 - 1.0, הגורם (I - P) נע בין 0 - 0.1. מכפיל זה מתאים למכפיל (I - p;) במודל המקורי. הניסיון מלמד שהתכתבות זו להסתברות מסוימת יכולה לגרום לשגיאה של עד 300%. עם זאת, בפועל, בדרך כלל מתעניינים לא בהסתברויות לביצוע כל מספר פעולות, אלא בהסתברות לביצוע מלא ללא כשלים בתהליך הטכנולוגי. הסתברות זו אינה מכילה גורם (I - P), ולכן הסטייה שלה מהערך בפועל קטנה (כמעט לא יותר מ-3%). עבור משימות כלכליות, זהו דיוק גבוה למדי.

התפלגות ההסתברות של משתנה אקראי הבנוי בצורה זו היא מודל דינמי סטוכסטי של תהליך הייצור של יחידת הרכבה. הזמן משתתף בו באופן מרומז, כמשך של פעולה אחת. המודל מאפשר לקבוע את ההסתברות שלאחר פרק זמן מסוים (מספר הפעולות המקביל) תהליך הייצור של ייצור יחידת הרכבה לא יופסק. עבור חנויות הרכבה מכניות של ייצור בניית מכונות, המספר הממוצע של פעולות של תהליך טכנולוגי אחד הוא די גדול (15 - 80). אם ניקח בחשבון את המספר הזה כמספר בסיס ונניח שבממוצע, בייצור של יחידת הרכבה אחת, נעשה שימוש בסט קטן של סוגי עבודה מוגדלים (פנייה, מסגר, כרסום וכו'),

אז ניתן להשתמש בהפצה המתקבלת בהצלחה כדי להעריך את ההשפעה של הפרעות סטוכסטיות על מהלך תהליך הייצור.

המחבר ערך ניסוי סימולציה שנבנה על עיקרון זה. כדי ליצור רצף של משתנים פסאודו אקראיים המחולקים באופן אחיד על פני המרווח 0.9 - 1.0, נעשה שימוש במחולל מספרים פסאודו אקראיים, המתואר ב. תוכנת הניסוי כתובה בשפה האלגוריתמית COBOL.

בניסוי נוצרים תוצרים של משתנים אקראיים שנוצרו, המדמים את ההסתברויות האמיתיות לביצוע מלא של תהליך טכנולוגי ספציפי. הם מושווים עם ההסתברות לביצוע התהליך הטכנולוגי, המתקבל באמצעות הערך הממוצע הגיאומטרי, שחושב עבור רצף מסוים של מספרים אקראיים מאותה התפלגות. הממוצע הגיאומטרי מועלה לחזקה השווה למספר הגורמים במכפלה. בין שתי תוצאות אלו, מחושב ההפרש היחסי באחוזים. הניסוי חוזר על מספר שונה של גורמים במוצרים ומספר המספרים שעבורם מחושב הממוצע הגיאומטרי. קטע מתוצאות הניסוי מוצג בטבלה 2.

שולחן 2

תוצאות ניסוי סימולציה:

n היא מידת הממוצע הגיאומטרי; k - מידת המוצר

n לסטיית המוצר לסטיית המוצר לסטיית המוצר

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

בעת הקמת ניסוי סימולציה זה, המטרה הייתה לבחון את האפשרות לקבל, באמצעות התפלגות ההסתברות (2), את אחד המאפיינים הסטטיסטיים המוגדלים של תהליך הייצור - ההסתברות לביצוע תהליך טכנולוגי אחד של ייצור יחידת הרכבה המורכבת מ. K פעולות ללא כשלים. עבור תהליך טכנולוגי ספציפי, הסתברות זו שווה למכפלת ההסתברויות לביצוע כל פעולותיו. כפי שמראה ניסוי הסימולציה, הסטיות היחסיות שלו מההסתברות המתקבלת באמצעות המודל ההסתברותי שפותח אינן עולות על 9%.

מכיוון שניסוי הסימולציה משתמש בהתפלגות הסתברות לא נוחה יותר מאשר אמיתית, הפערים המעשיים יהיו קטנים עוד יותר. סטיות נצפות הן בכיוון של ירידה והן בכיוון של חריגה מהערך המתקבל מהמאפיינים הממוצעים. עובדה זו מעידה על כך שאם נשקול את הסטייה של ההסתברות לביצוע ללא תקלות של לא תהליך טכנולוגי אחד, אלא של כמה, אז זה יהיה הרבה פחות. ברור שככל שזה יהיה קטן יותר, כך ייחשבו יותר תהליכים טכנולוגיים. לפיכך, ניסוי הסימולציה מראה התאמה טובה בין ההסתברות לביצוע ללא כשלים של התהליך הטכנולוגי של ייצור מוצרים עם ההסתברות המתקבלת באמצעות מודל מתמטי בעל פרמטר אחד.

בנוסף, בוצעו ניסויי סימולציה:

לחקור את ההתכנסות הסטטיסטית של אומדן פרמטר התפלגות ההסתברות;

ללמוד את היציבות הסטטיסטית של הציפייה המתמטית למספר הפעולות שבוצעו ללא כשלים;

לנתח שיטות לקביעת משך תקופת התכנון המינימלית והערכת הפער בין האינדיקטורים המתוכננים לממשי של תהליך הייצור, אם התקופות המתוכננות והתקופות הייצור אינן חופפות בזמן.

ניסויים הראו התאמה טובה בין הנתונים התיאורטיים המתקבלים באמצעות שימוש בטכניקות לבין הנתונים האמפיריים שהושגו באמצעות סימולציה על

סדרת "כלכלה וניהול"

מחשב של תהליכי ייצור אמיתיים.

בהתבסס על יישום המודל המתמטי שנבנה, המחבר פיתח שלוש שיטות ספציפיות לשיפור היעילות של הניהול התפעולי. לאישורם, בוצעו ניסויי סימולציה נפרדים.

1. מתודולוגיה לקביעת הנפח הרציונלי של משימת הייצור לתקופת התכנון.

2. מתודולוגיה לקביעת משך הזמן האפקטיבי ביותר של תקופת התכנון התפעולי.

3. הערכת אי ההתאמה במקרה של אי התאמה בזמן בין התקופות המתוכננות לייצור.

סִפְרוּת

1. מורדאסוב יו.פ. קביעת משך תקופת התכנון התפעולי המינימלי בפעולת הפרעות אקראיות / מידול כלכלי-מתמטי וסימולציה באמצעות מחשבים. - M: MIU im. S. Ordzhonikidze, 1984.

2. ניילור טי ניסויי הדמיית מכונה עם מודלים של מערכות כלכליות. -M: מיר, 1975.

המעבר מריכוזיות לגיוון הוא דרך יעילה לפיתוח כלכלת העסקים הקטנים והבינוניים

פרופ' קוזלנקו נ.נ האוניברסיטה להנדסת מכונות

ביאור. מאמר זה מתייחס לבעיה של בחירת הפיתוח היעיל ביותר של עסקים קטנים ובינוניים רוסיים דרך המעבר מאסטרטגיית ריכוז לאסטרטגיית גיוון. נושאים של כדאיות הגיוון, יתרונותיו, קריטריונים לבחירת מסלול הגיוון נשקלים, ניתן סיווג של אסטרטגיות גיוון.

מילות מפתח: עסקים קטנים ובינוניים; גִוּוּן; התאמה אסטרטגית; יתרונות תחרותיים.

שינוי אקטיבי בפרמטרים של סביבת המאקרו (שינויים בתנאי השוק, הופעת מתחרים חדשים בענפים קשורים, עלייה ברמת התחרות בכלל) מביא לרוב לאי מימוש התוכניות האסטרטגיות המתוכננות של קטנים ובינוניים -עסקים בגודל, אובדן יציבות פיננסית וכלכלית של מפעלים עקב פער משמעותי בין התנאים האובייקטיביים לפעילותם של עסקים קטנים.מפעלים לבין רמת הטכנולוגיה של ניהולם.

התנאים העיקריים ליציבות כלכלית והאפשרות לשמור על יתרונות תחרותיים הם היכולת של מערכת הניהול להגיב בזמן ולשנות תהליכי ייצור פנימיים (שינוי המבחר תוך התחשבות בגיוון, בנייה מחדש של תהליכי ייצור וטכנולוגיה, שינוי מבנה של הארגון, להשתמש בכלי שיווק וניהול חדשניים).

מחקר על הפרקטיקה של ארגונים קטנים ובינוניים רוסיים של סוג ייצור ושירות חשף את התכונות הבאות ויחסי סיבה ותוצאה בסיסיים לגבי המגמה הנוכחית במעבר של ארגונים קטנים מריכוז לגיוון.

רוב החברות הקטנות והבינוניות מתחילות את דרכה כעסקים קטנים בגודל אחד המתאים לכולם, המשרתים שווקים מקומיים או אזוריים. בתחילת פעילותה, מגוון המוצרים של חברה כזו מצומצם מאוד, בסיס ההון שלה חלש, ומעמדה התחרותי פגיע. בדרך כלל, האסטרטגיה של חברות כאלה מתמקדת בצמיחת מכירות ובנתח שוק, כמו גם

המודל הסטוכסטי מתאר את המצב כאשר יש אי ודאות. במילים אחרות, התהליך מאופיין במידה מסוימת של אקראיות. שם התואר "סטוכסטי" עצמו מגיע מהמילה היוונית "ניחוש". מכיוון שאי ודאות היא מאפיין מפתח של חיי היומיום, מודל כזה יכול לתאר כל דבר.

עם זאת, בכל פעם שאנו מיישמים אותו, התוצאה תהיה שונה. לכן, מודלים דטרמיניסטיים משמשים לעתים קרובות יותר. למרות שהם אינם קרובים ככל האפשר למצב העניינים האמיתי, הם תמיד נותנים את אותה תוצאה ומקלים על הבנת המצב, מפשטים אותו על ידי הצגת קבוצה של משוואות מתמטיות.

תכונות עיקריות

מודל סטוכסטי תמיד כולל משתנה מקרי אחד או יותר. היא מבקשת לשקף את החיים האמיתיים על כל ביטוייהם. בניגוד לסטוכסטי, הוא אינו מכוון לפשט הכל ולצמצם אותו לערכים ידועים. לכן, אי ודאות היא המאפיין המרכזי שלו. מודלים סטוכסטיים מתאימים לתיאור כל דבר, אך לכולם יש את התכונות המשותפות הבאות:

• כל מודל סטוכסטי משקף את כל ההיבטים של הבעיה שלשמה הוא נוצר.
• התוצאה של כל אחת מהתופעות אינה ודאית. לכן, המודל כולל הסתברויות. נכונות התוצאות הכוללות תלויה בדיוק החישוב שלהן.
• ניתן להשתמש בהסתברויות אלו כדי לחזות או לתאר את התהליכים עצמם.

מודלים דטרמיניסטיים וסטוכסטיים

עבור חלקם נדמה שהחיים הם רצף עבור אחרים – תהליכים שבהם הסיבה קובעת את ההשפעה. למעשה הוא מאופיין באי ודאות, אבל לא תמיד ולא בכל דבר. לכן, לפעמים קשה למצוא הבדלים ברורים בין מודלים סטוכסטיים לדטרמיניסטיים. ההסתברויות הן די סובייקטיביות.

לדוגמה, שקול מצב של הטלת מטבע. במבט ראשון, נראה שיש סיכוי של 50% לקבל זנבות. לכן יש להשתמש במודל דטרמיניסטי. עם זאת, במציאות, מסתבר שהרבה תלוי בזריזות הידיים של השחקנים ושלמות האיזון של המטבע. המשמעות היא שיש להשתמש במודל סטוכסטי. תמיד יש פרמטרים שאנחנו לא יודעים. בחיים האמיתיים, הסיבה תמיד קובעת את ההשפעה, אבל יש גם מידה מסוימת של אי ודאות. הבחירה בין שימוש במודלים דטרמיניסטיים וסטוכסטיים תלויה במה שאנחנו מוכנים לוותר – פשטות הניתוח או ריאליזם.

בתורת הכאוס

לאחרונה, הרעיון של איזה דגם נקרא סטוכסטי היטשטש עוד יותר. זה נובע מהתפתחותה של מה שנקרא תורת הכאוס. הוא מתאר מודלים דטרמיניסטיים שיכולים לתת תוצאות שונות עם שינוי קל בפרמטרים הראשוניים. זה כמו מבוא לחישוב אי הוודאות. מדענים רבים אף הודו שזה כבר מודל סטוכסטי.

לותר ברויאר הסביר הכל באלגנטיות בעזרת דימויים פיוטיים. הוא כתב: "נחל הרים, לב פועם, מגיפת אבעבועות שחורות, עמוד עשן עולה - כל זה הוא דוגמה לתופעה דינמית, שלעיתים, כפי שזה נראה, מאופיינת במקרה. במציאות, תהליכים כאלה תמיד כפופים לסדר מסוים, שמדענים ומהנדסים רק מתחילים להבין. זה מה שנקרא הכאוס הדטרמיניסטי". התיאוריה החדשה נשמעת סבירה מאוד, וזו הסיבה שמדענים מודרניים רבים הם תומכיה. עם זאת, הוא עדיין מעט מפותח, ודי קשה ליישם אותו בחישובים סטטיסטיים. לכן, לעתים קרובות נעשה שימוש במודלים סטוכסטיים או דטרמיניסטיים.

בִּניָן

סטוכסטי מתחיל בבחירת מרחב התוצאות היסודיות. אז בסטטיסטיקה הם קוראים לרשימת התוצאות האפשריות של התהליך או האירוע הנלמד. לאחר מכן החוקר קובע את ההסתברות של כל אחת מהתוצאות היסודיות. בדרך כלל זה נעשה על בסיס טכניקה מסוימת.

עם זאת, ההסתברויות הן עדיין פרמטר סובייקטיבי למדי. לאחר מכן החוקר קובע אילו אירועים הם המעניינים ביותר לפתרון הבעיה. אחרי זה, זה פשוט קובע את ההסתברות שלהם.

דוגמא

שקול את תהליך בניית המודל הסטוכסטי הפשוט ביותר. נניח שנטיל קובייה. אם "שש" או "אחד" נופלים, אז הזכייה שלנו תהיה עשרה דולר. תהליך בניית מודל סטוכסטי במקרה זה ייראה כך:

• הבה נגדיר את מרחב התוצאות היסודיות. לקובייה שישה צלעות, כך שאחד, שניים, שלושה, ארבע, חמש ושש יכולים לעלות.
• ההסתברות של כל אחת מהתוצאות תהיה שווה ל-1/6, לא משנה כמה נטיל את הקוביה.
• כעת עלינו לקבוע את התוצאות המעניין אותנו. זהו אובדן פנים עם המספר "שש" או "אחד".
• לבסוף, נוכל לקבוע את ההסתברות לאירוע שמעניין אותנו. זה 1/3. אנו מסכמים את ההסתברויות של שני האירועים האלמנטריים המעניינים אותנו: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

קונספט ותוצאה

סימולציה סטוכסטית משמשת לעתים קרובות בהימורים. אבל זה גם הכרחי בחיזוי כלכלי, מכיוון שהוא מאפשר לך להבין את המצב עמוק יותר מהמצב הדטרמיניסטי. מודלים סטוכסטיים בכלכלה משמשים לעתים קרובות בקבלת החלטות השקעה. הם מאפשרים לך להניח הנחות לגבי הרווחיות של השקעות בנכסים מסוימים או בקבוצות שלהם.

מודלים הופכים את התכנון הפיננסי ליעיל יותר. בעזרתו, משקיעים וסוחרים מייעלים את חלוקת נכסיהם. לשימוש במודלים סטוכסטיים תמיד יש יתרונות בטווח הארוך. בענפים מסוימים, סירוב או חוסר יכולת ליישם אותו עלולים אף להוביל לפשיטת רגל של המיזם. זאת בשל העובדה שבחיים האמיתיים מופיעים מדי יום פרמטרים חשובים חדשים, ואם לא, עלולות להיות לכך השלכות הרות אסון.

בפרקים האחרונים של ספר זה, תהליכים סטוכסטיים מיוצגים כמעט תמיד באמצעות מערכות דיפרנציאליות ליניאריות הנרגשות מרעש לבן. ייצוג זה של התהליך הסטוכסטי בדרך כלל מקבל את הצורה הבאה. בואו נעמיד פנים כך

a הוא רעש לבן. על ידי בחירת ייצוג כזה של התהליך הסטוכסטי V, ניתן לדמות אותו. ניתן להצדיק את השימוש במודלים כאלה כדלקמן.

א) בטבע, לעתים קרובות נתקלים בתופעות סטוכסטיות, הקשורות לפעולה של תנודות המשתנות במהירות על מערכת דיפרנציאלית אינרציאלית. דוגמה טיפוסית לרעש לבן הפועל על מערכת דיפרנציאלית היא רעש תרמי במעגל אלקטרוני.

ב) כפי שנראה מהבא, בתורת הבקרה ליניארית נחשב כמעט תמיד רק הערך הממוצע של u. שיתופיות של התהליך הסטוכסטי. עבור מודל ליניארי, תמיד ניתן להעריך כל מאפיינים שהושגו בניסוי של מטריצת הערך הממוצע ומטריצת השונות עם דיוק שרירותי.

ג) לפעמים מתעוררת הבעיה של מודלים של תהליך סטוכסטי נייח עם צפיפות אנרגטית ספקטרלית ידועה. במקרה זה, תמיד ניתן ליצור תהליך סטוכסטי כתהליך בפלט של מערכת דיפרנציאלית ליניארית; במקרה זה, המטריצה ​​של צפיפות אנרגיה ספקטרלית מתקרבת בדיוק שרירותי למטריצת צפיפות האנרגיה הספקטרלית של התהליך הסטוכסטי הראשוני.

דוגמאות 1.36 ו-1.37, כמו גם בעיה 1.11, ממחישות את שיטת המידול.

דוגמה 1.36. מערכת דיפרנציאלית מסדר ראשון

נניח שפונקציית השונות הנמדדת של תהליך סקלרי סטוכסטי הידוע כנייח מתוארת על ידי הפונקציה האקספוננציאלית

ניתן לעצב תהליך זה כמצב של מערכת דיפרנציאלית מסדר ראשון (ראה דוגמה 1.35)

איפה עוצמת הרעש הלבן - כמות סטוכסטית עם אפס ממוצע ושונות.

דוגמה 1.37. מיכל ערבוב

שקול את מיכל הערבוב מדוגמה 1.31 (סעיף 1.10.3) וחשב את מטריצת השונות של משתנה הפלט עבורו. הבה נוסיף כעת את משוואות המודלים של תהליכים סטוכסטיים למשוואה הדיפרנציאלית של מיכל הערבוב.

הנה, עוצמת הרעש הלבן הסקלרי

כדי להשיג את השונות של התהליך שווה לקבל עבור התהליך, אנו משתמשים במודל דומה. כך, אנו מקבלים מערכת משוואות

4. תכנית לבניית מודלים סטוכסטיים

בניית מודל סטוכסטי כוללת פיתוח, הערכת איכות ולימוד התנהגות המערכת באמצעות משוואות המתארות את התהליך הנחקר. לשם כך, על ידי ביצוע ניסוי מיוחד עם מערכת אמיתית, המידע הראשוני מתקבל. במקרה זה, נעשה שימוש בשיטות של תכנון ניסוי, עיבוד תוצאות, כמו גם קריטריונים להערכת המודלים שהושגו, המבוססים על קטעים של סטטיסטיקה מתמטית כמו פיזור, מתאם, ניתוח רגרסיה וכו'.

שלבי פיתוח של מודל סטוכסטי:

ניסוח הבעיה

בחירת גורמים ופרמטרים

בחירת סוג הדגם

תכנון ניסוי

יישום הניסוי על פי התוכנית

בניית מודל סטטיסטי

אימות מודל (קשור ל-8, 9, 2, 3, 4)

התאמת דגם

חקר תהליכים עם מודל (מקושר ל-11)

הגדרת פרמטרי אופטימיזציה ואילוצים

אופטימיזציה של תהליך עם מודל (מקושר ל-10 ו-13)

מידע ניסיוני של ציוד אוטומציה

בקרת תהליכים עם מודל (מקושר ל-12)

שילוב שלבים 1 עד 9 נותן לנו מודל מידע, שלבים 1 עד 11 נותנים לנו מודל אופטימיזציה, ושילוב כל הפריטים נותן לנו מודל ניהול.

5. כלים לעיבוד מודלים

באמצעות מערכות CAE, אתה יכול לבצע את ההליכים הבאים לעיבוד מודלים:

שכבת על רשת אלמנטים סופית על מודל תלת מימד,

בעיות של מצב לחוץ חום; בעיות של דינמיקת נוזלים;

בעיות של העברת חום ומסה;

משימות יצירת קשר;

חישובים קינמטיים ודינאמיים וכו'.

מידול סימולציה של מערכות ייצור מורכבות על בסיס מודלים של תורים ורשתות פטרי

בדרך כלל, מודולי CAE מספקים את היכולת לצבוע תמונות בגווני אפור, להרכיב את החלקים המקוריים והמעוותים, לדמיין זרימות נוזל וגז.

דוגמאות למערכות למידול שדות של כמויות פיזיקליות בהתאם ל-FEM: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

דוגמאות למערכות למידול תהליכים דינמיים ברמת המאקרו: אדמס ודינה - במערכות מכניות, ספייס - במעגלים אלקטרוניים, PA9 - למידול מרובה היבטים, כלומר. למערכות מידול, שעקרונותיהן מבוססים על השפעה הדדית של תהליכים פיזיקליים בעלי אופי שונים.

6. מידול מתמטי. מודלים אנליטיים וסימולציות

מודל מתמטי -קבוצה של אובייקטים מתמטיים (מספרים, משתנים, קבוצות וכו') ויחסים ביניהם, המשקפים בצורה נאותה כמה מאפיינים (חיוניים) של האובייקט הטכני המעוצב. מודלים מתמטיים יכולים להיות גיאומטריים, טופולוגיים, דינמיים, לוגיים וכו'.

- נאותות הייצוג של האובייקטים המדומים;

אזור ההלימה הוא השטח במרחב הפרמטרים, שבתוכו הטעויות של המודל נשארות בגבולות מקובלים.

- חסכון (יעילות חישובית)- נקבע לפי עלות המשאבים,
נדרש ליישום המודל (זמן מחשב, זיכרון בשימוש וכו');

- דיוק -קובע את מידת צירוף המקרים של התוצאות המחושבות והאמיתיות (מידת ההתאמה בין הערכות המאפיינים של אותו שם של האובייקט לבין המודל).

דוגמנות במתמטיקה- תהליך בניית מודלים מתמטיים. כולל את השלבים הבאים: הגדרת הבעיה; בניית מודל וניתוחו; פיתוח שיטות להשגת פתרונות עיצוב על המודל; אימות ותיקון ניסיוני של המודל והשיטות.

איכות המודלים המתמטיים שנוצרו תלויה במידה רבה בניסוח הנכון של הבעיה. יש צורך לקבוע את המטרות הטכניות והכלכליות של הבעיה הנפתרת, לאסוף ולנתח את כל המידע הראשוני, לקבוע את המגבלות הטכניות. בתהליך בניית מודלים יש להשתמש בשיטות של ניתוח מערכת.

תהליך המידול, ככלל, הוא איטרטיבי באופיו, המאפשר חידוד של החלטות קודמות שהתקבלו בשלבים הקודמים של פיתוח המודל בכל שלב איטרציה.

מודלים אנליטיים -מודלים מתמטיים מספריים שיכולים להיות מיוצגים כתלות מפורשת של פרמטרי פלט בפרמטרים פנימיים וחיצוניים. דגמי סימולציה -מודלים אלגוריתמיים מספריים המציגים את התהליכים במערכת בנוכחות השפעות חיצוניות על המערכת. מודלים אלגוריתמיים הם מודלים שבהם היחס בין פלט, פרמטרים פנימיים וחיצוניים מוגדר באופן מרומז בצורה של אלגוריתם מידול. מודלים של סימולציה משמשים לעתים קרובות ברמת עיצוב המערכת. מידול סימולציה מתבצע על ידי שחזור אירועים המתרחשים בו זמנית או ברצף בזמן המודל. דוגמה למודל סימולציה יכולה להיחשב לשימוש ברשת פטרי כדי לדמות מערכת תורים.

7. עקרונות יסוד לבניית מודלים מתמטיים

גישה קלאסית (אינדוקטיבית).האובייקט האמיתי שיש לדגם מחולק לתת-מערכות נפרדות, כלומר. נתונים ראשוניים למידול נבחרים ומוגדרות יעדים המשקפים היבטים מסוימים של תהליך המידול. בהתבסס על סט נפרד של נתונים ראשוניים, המטרה היא ליצור מודל של היבט נפרד של תפקוד המערכת; על בסיס מטרה זו נוצר מרכיב מסוים במודל העתידי. מערך הרכיבים משולב לדגם.

גישה קלאסית כזו יכולה לשמש ליצירת מודלים פשוטים למדי שבהם אפשרית הפרדה והתחשבות בלתי תלויה הדדית בהיבטים בודדים של תפקוד אובייקט אמיתי. מיישם את התנועה מהפרט לכלל.

בגישה מערכתית.בהתבסס על הנתונים הראשוניים הידועים מניתוח המערכת החיצונית, אותן מגבלות המוטלות על המערכת מלמעלה או על סמך אפשרויות הטמעתה, ועל בסיס מטרת התפקוד, הדרישות הראשוניות ל- מודל המערכת מנוסחים. על בסיס דרישות אלה, נוצרות בערך כמה תת-מערכות ואלמנטים ומתבצע השלב הקשה ביותר של הסינתזה - בחירת רכיבי המערכת, שעבורם משתמשים בקריטריוני בחירה מיוחדים. גישת המערכת מרמזת גם על רצף מסוים של פיתוח מודלים, המורכב מהבחנה בין שני שלבי עיצוב עיקריים: מאקרו-עיצוב ומיקרו-עיצוב.

שלב עיצוב המאקרו- על בסיס נתונים על המערכת האמיתית והסביבה החיצונית, נבנה מודל של הסביבה החיצונית, מזוהים משאבים ומגבלות לבניית מודל מערכת, נבחר מודל מערכת וקריטריונים להערכת הלימות המערכת האמיתית דֶגֶם. לאחר בניית מודל של המערכת ומודל של הסביבה החיצונית, על בסיס הקריטריון של יעילות תפקוד המערכת, בתהליך המידול, נבחרת אסטרטגיית הבקרה האופטימלית המאפשרת לממש היכולת של המודל לשחזר היבטים מסוימים של תפקוד מערכת אמיתית.

שלב מיקרו-עיצובתלוי במידה רבה בסוג הדגם המסוים שנבחר. במקרה של מודל סימולציה, יש צורך להקפיד על יצירת מערכות מידע, מתמטי, טכני ותוכנת מידול. בשלב זה ניתן לקבוע את המאפיינים העיקריים של המודל שנוצר, להעריך את זמן העבודה עמו ואת עלות המשאבים לקבלת איכות התאמה נתונה בין המודל לתהליך תפקוד המערכת. סוג הדגם בשימוש
בעת בנייתו, יש צורך להיות מונחה על ידי מספר עקרונות של גישה שיטתית:

התקדמות פרופורציונלית-רציפה בשלבים וכיוונים של יצירת המודל;

תיאום מידע, משאב, מהימנות ומאפיינים אחרים;

היחס הנכון בין רמות בודדות של ההיררכיה במערכת המודלים;

השלמות של שלבים בודדים בודדים של בניית מודל.

ניתוח השיטות המשמשות במודלים מתמטיים

במודלים מתמטיים, הפתרון של משוואות דיפרנציאליות או אינגרו-דיפרנציאליות עם נגזרות חלקיות מתבצע בשיטות מספריות. שיטות אלו מבוססות על דיסקרטיזציה של משתנים בלתי תלויים - ייצוגם על ידי קבוצה סופית של ערכים בנקודות צמתים נבחרות של המרחב הנחקר. נקודות אלה נחשבות כצמתים של רשת כלשהי.

בין שיטות הרשת, שתי שיטות נמצאות בשימוש הנפוץ ביותר: שיטת ההפרש הסופי (FDM) ושיטת האלמנטים הסופיים (FEM). בדרך כלל מבצעים דיסקרטיזציה של משתנים בלתי תלויים מרחביים, כלומר. באמצעות רשת מרחבית. במקרה זה, התוצאה של הדיסקרטיזציה היא מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות, אשר מצטמצמות לאחר מכן למערכת של משוואות אלגבריות תוך שימוש בתנאי גבול.

שיהיה צורך לפתור את המשוואה LV(ז) = ו(ז)

עם תנאי גבול נתונים MV(ז) = .(ז),

איפה לו M-אופרטורים דיפרנציאליים, V(ז) - משתנה שלב, ז= (איקס 1, איקס 2, איקס 3, ט) - וקטור של משתנים בלתי תלויים, ו(ז) ו-ψ.( ז) מקבלים פונקציות של משתנים בלתי תלויים.

IN MKRאלגבריזציה של נגזרות ביחס לקואורדינטות מרחביות מבוססת על קירוב של נגזרות על ידי ביטויי הבדל סופיים. בעת שימוש בשיטה, עליך לבחור את שלבי הרשת עבור כל קואורדינטה ואת סוג התבנית. תבנית מובנת כקבוצה של נקודות צמתים, הערכים של משתנים שבהם משמשים לקירוב הנגזרת בנקודה מסוימת אחת.

FEMמבוסס על קירוב לא של נגזרות, אלא של הפתרון עצמו V(ז). אבל מכיוון שזה לא ידוע, הקירוב מבוצע על ידי ביטויים עם מקדמים לא מוגדרים.

במקרה זה, אנו מדברים על קירובים של הפתרון בתוך אלמנטים סופיים, ובהתחשב בגדלים הקטנים שלהם, ניתן לדבר על שימוש בביטויי קירוב פשוטים יחסית (לדוגמה, פולינומים בדרגה נמוכה). כתוצאה מהחלפה פולינומים כאלהלתוך המשוואה הדיפרנציאלית המקורית וביצוע פעולות בידול, הערכים של משתני פאזה מתקבלים בנקודות נתונות.

קירוב פולינום. השימוש בשיטות קשור לאפשרות לקירוב פונקציה חלקה על ידי פולינום ולאחר מכן להשתמש בפולינום מתקרב כדי להעריך את הקואורדינטה של ​​הנקודה האופטימלית. התנאים הדרושים ליישום יעיל של גישה זו הם חד-מודאליות והמשכיות תפקוד במחקר. לפי משפט הקירוב של ויירשטראס, אם פונקציה רציפה במרווח כלשהו, ​​אזי ניתן לקירוב אותה בכל דרגת דיוק על ידי פולינום בסדר גבוה מספיק. על פי משפט ויירשטראס, ניתן לשפר את איכות הערכות קואורדינטות הנקודות האופטימליות המתקבלות באמצעות הפולינום המתקרב בשתי דרכים: באמצעות פולינום מסדר גבוה יותר ועל ידי הקטנת מרווח הקירוב. הגרסה הפשוטה ביותר של אינטרפולציה פולינומית היא הקירוב הריבועי, המבוסס על העובדה שהפונקציה שלוקחת את הערך המינימלי בנקודה הפנימית של המרווח חייבת להיות ריבועית לפחות

משמעת "מודלים ושיטות ניתוח של פתרונות עיצוב" (Kazakov Yu.M.)

סיווג מודלים מתמטיים.

רמות הפשטה של ​​מודלים מתמטיים.

דרישות למודלים מתמטיים.

תכנית לבניית מודלים סטוכסטיים.

כלי עיבוד מודלים.

דוגמנות במתמטיקה. מודלים אנליטיים וסימולציות.

עקרונות בסיסיים לבניית מודלים מתמטיים.

ניתוח שיטות יישומיות במודלים מתמטיים.

1. סיווג מודלים מתמטיים

מודל מתמטי (MM) של אובייקט טכני הוא קבוצה של אובייקטים מתמטיים (מספרים, משתנים, מטריצות, קבוצות וכו') ויחסים ביניהם, המשקפים בצורה נאותה את המאפיינים של אובייקט טכני שמעניינים מהנדס שמפתח אובייקט זה.

על פי אופי הצגת המאפיינים של האובייקט:

פונקציונלי - נועד להציג את התהליכים הפיזיים או המידע המתרחשים במערכות טכניות במהלך פעולתן. מודל פונקציונלי טיפוסי הוא מערכת של משוואות המתארות תהליכים חשמליים, תרמיים, מכניים או תהליכי טרנספורמציה של מידע.

מבני - הצג את המאפיינים המבניים של האובייקט (טופולוגי, גיאומטרי). . מודלים מבניים מיוצגים לרוב כגרפים.

בהשתייכות לרמה ההיררכית:

מודלים של רמת המיקרו - הצגת תהליכים פיזיקליים במרחב ובזמן מתמשכים. עבור מודלים, המנגנון של משוואות של פיזיקה מתמטית משמש. דוגמאות למשוואות כאלה הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות.

מודלים ברמת מאקרו. נעשה שימוש בהגדלה, פירוט החלל על בסיס בסיסי. מודלים פונקציונליים ברמת המקרו הם מערכות של משוואות דיפרנציאליות אלגבריות או רגילות, ונעשה שימוש בשיטות מספריות מתאימות להשגתן ולפתרונן.

דגמי Metolevel. תיאור מוגדל של האובייקטים הנבדקים. מודלים מתמטיים ברמת המתכת - מערכות של משוואות דיפרנציאליות רגילות, מערכות משוואות לוגיות, מודלים של סימולציה של מערכות תורים.

איך להשיג את הדגם:

תיאורטי - בנויים על בסיס לימוד דפוסים. בניגוד למודלים אמפיריים, מודלים תיאורטיים הם ברוב המקרים אוניברסליים יותר וישימים למגוון רחב יותר של משימות. מודלים תיאורטיים הם ליניאריים ולא ליניאריים, מתמשכים ודיסקרטיים, דינמיים וסטטיסטיים.

אֶמפִּירִי

הדרישות העיקריות למודלים מתמטיים ב-CAD:

נאותות הייצוג של האובייקטים המדומים;

הלימות מתרחשת אם המודל משקף את התכונות הנתונות של האובייקט בדיוק מקובל ומוערך על ידי רשימת המאפיינים המשתקפים ואזורי הלימות. אזור ההלימה הוא השטח במרחב הפרמטרים, שבתוכו הטעויות של המודל נשארות בגבולות מקובלים.

כלכלה (יעילות חישובית)- נקבע על פי עלות המשאבים הנדרשים ליישום המודל (זמן מחשב, זיכרון בשימוש וכו');

דיוק- קובע את מידת צירוף המקרים של התוצאות המחושבות והאמיתיות (מידת ההתאמה בין הערכות המאפיינים של אותו שם של האובייקט לבין המודל).

מספר דרישות אחרות מוטלות גם על מודלים מתמטיים:

יכולת חישוב, כלומר אפשרות של ידני או בעזרת מחשב ללמוד את הדפוסים האיכותיים והכמותיים של תפקוד אובייקט (מערכת).

מודולריות, כלומר התאמה של קונסטרוקציות המודל למרכיבים המבניים של האובייקט (המערכת).

יכולת אלגוריתמיזציה, כלומר אפשרות לפתח אלגוריתם מתאים ותוכנית המיישמת מודל מתמטי במחשב.

רְאוּת, כלומר תפיסה ויזואלית נוחה של הדגם.

שולחן. סיווג מודלים מתמטיים

סימני סיווג	סוגי מודלים מתמטיים
1. השתייכות לרמה היררכית	דגמים ברמה מיקרו דגמים ברמת מאקרו מודלים ברמה של מטה
2. אופי המאפיינים המוצגים של האובייקט	מִבנִי פוּנקצִיוֹנָלִי
3. דרך ייצוג מאפייני אובייקט	אנליטיים אלגוריתמי סימולציה
4. איך משיגים את הדגם	תֵאוֹרֵטִי אֶמפִּירִי
5. תכונות של התנהגות האובייקט	דטרמיניסטית הסתברותי

מודלים מתמטיים ברמת המיקרושל תהליך הייצור משקפים את התהליכים הפיזיקליים המתרחשים, למשל, בעת חיתוך מתכות. הם מתארים תהליכים ברמת המעבר.

מודלים מתמטיים ברמת המאקרותהליך הייצור מתאר תהליכים טכנולוגיים.

מודלים מתמטיים ברמת המתכתשל תהליך הייצור מתארים מערכות טכנולוגיות (מדורים, סדנאות, המפעל בכללותו).

מודלים מתמטיים מבנייםנועד להציג את המאפיינים המבניים של אובייקטים. לדוגמה, ב-CAD TP, מודלים מבניים-לוגיים משמשים לייצוג מבנה התהליך הטכנולוגי, אריזת המוצר.

מודלים מתמטיים פונקציונלייםמיועד להציג מידע, תהליכים פיזיים, זמניים המתרחשים בציוד תפעול, במהלך תהליכים טכנולוגיים וכו'.

מודלים מתמטיים תיאורטייםנוצרים כתוצאה מחקר אובייקטים (תהליכים) ברמה התיאורטית.

מודלים מתמטיים אמפירייםנוצרים כתוצאה מניסויים (לימוד הביטויים החיצוניים של תכונותיו של אובייקט על ידי מדידת הפרמטרים שלו בקלט ובפלט) ועיבוד תוצאותיהם בשיטות סטטיסטיקות מתמטיות.

מודלים מתמטיים דטרמיניסטייםלתאר את התנהגותו של אובייקט מנקודת מבט של ודאות מלאה בהווה ובעתיד. דוגמאות למודלים כאלה: נוסחאות של חוקים פיזיקליים, תהליכים טכנולוגיים לעיבוד חלקים וכו'.

מודלים מתמטיים הסתברותייםלקחת בחשבון את ההשפעה של גורמים אקראיים על התנהגות האובייקט, כלומר. להעריך את עתידו במונחים של הסבירות לאירועים מסוימים.

מודלים אנליטיים - מודלים מתמטיים מספריים שיכולים להיות מיוצגים כתלות מפורשת של פרמטרי פלט בפרמטרים פנימיים וחיצוניים.

מודלים מתמטיים אלגוריתמייםלבטא את הקשר בין פרמטרי הפלט לפרמטרים הקלט והפנימיים בצורה של אלגוריתם.

סימולציה של מודלים מתמטיים- אלו הם מודלים אלגוריתמיים המשקפים את התפתחות התהליך (התנהגות האובייקט הנחקר) בזמן כאשר מציינים השפעות חיצוניות על התהליך (האובייקט). לדוגמה, מדובר במודלים של מערכות תורים שניתנו בצורה אלגוריתמית.