Головокружение
Производная очень сложной функции. Производная сложной функции

Производная очень сложной функции. Производная сложной функции

И теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=\varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}"=\varphi"(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}"=f"(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_{u}"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}"=y_{u}"\cdot u_{x}"$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y"$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y"$ пишут $y"_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции $y=e^{\cos x}$.

Нам нужно найти производную сложной функции $y"$. Так как $y=e^{\cos x}$, то $y"=\left(e^{\cos x}\right)"$. Чтобы найти производную $\left(e^{\cos x}\right)"$ используем формулу №6 из таблицы производных . Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=\cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $\cos x$ вместо $u$:

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)" \tag {1.1}$$

Теперь нужно найти значение выражения $(\cos x)"$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x") \tag {1.2} $$

Так как $x"=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x")=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, - как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.

Пример №2

Найти производную функции $y=9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x)$.

Нам необходимо вычислить производную $y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)" \tag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{12}\right)"$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag {2.2} $$

В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(\arctg \; u)"=\frac{1}{1+u^2}\cdot u"$ вместо формулы $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4\cdot 5^x$. Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $\arctg(4\cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$. Последнее действие, - т.е. возведение в степень 12, - и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).

Теперь нужно найти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Равенство (2.2) теперь станет таким:

Осталось найти $(4\cdot \ln x)"$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. Для того, чтобы найти $(\ln x)"$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, - как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ : $y"=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.

Пример №3

Найти $y"$ функции $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}$.

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)" \tag {3.1} $$

Используем формулу №2 из таблицы производных , подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" \tag {3.2} $$

Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

Осталось найти $(5\cdot 9^x)"$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. Для нахождения производной $(9^x)"$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$

Ответ : $y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$(u^{-1})"=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u"=-u^{-2}\cdot u"\tag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left(\frac{1}{u} \right)"=-\frac{1}{u^2}\cdot u"$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:

$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)"=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u"=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u"\tag {4.2} $$

Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (\sqrt{u})"=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u" $$

Полученное равенство $(\sqrt{u})"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u"$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.

В «старых» учебниках его еще называют «цепным» правилом. Итак если у = f (u), а u = φ (х ), то есть

у = f (φ (х))

сложная - составная функция (композиция функций) то

где , после вычисления рассматривается приu = φ (х).

Отметим, что мы здесь брали «разные» композиции из одних и тех же функций, и результат дифференцирования естественно оказался зависимым от порядка «смешивания».

Цепное правило естественным образом распространяется и на композицию из трех и более функций. При этом «звеньев» в «цепочке», составляющей производную будет соответственно три или более. Здесь и аналогия с умножением: «у нас» - таблица производных; «там» - таблица умножения; «у нас» - цепное правило а «там» - правило умножения «столбиком». При вычислении таких «сложных» производных никаких вспомогательных аргументов (u¸v и пр.), конечно же, не вводится, а, отметив для себя число и последовательность участвующих в композиции функций, «нанизывают» в указанном порядке соответствующие звенья.

. Здесь с «иксом» для получения значения «игрека» проделывают пять операций, то есть, имеет место композиция из пяти функций: «внешняя» (последняя из них) - показательная - е  ; далее в обратном порядке степенная. (♦) 2 ; тригонометрическая sin (); степенная. () 3 и наконец логарифмическая ln.(). Поэтому

Следующими примерами будем «убивать пары зайцев»: потренируемся в дифференцировании сложных функций и дополним таблицу производных элементарных функций. Итак:

4. Для степенной функции - у = х α - переписав её с помощью известного «основного логарифмического тождества» - b=e ln b - в виде х α = х α ln x получаем

5. Для произвольной показательной функции применяя тот же приём будем иметь

6. Для произвольной логарифмической функции используя известную формулу перехода к новому основанию последовательно получаем

7. Чтобы продифференцировать тангенс (котангенс) воспользуемся правилом дифференцирования частного:

Для получения производных обратных тригонометрических функций воспользуемся соотношением которому удовлетворяют производные двух взаимообратных функций, то есть функций φ (х) и f (х) связанных соотношениями:

Вот это соотношение

Именно из этой формулы для взаимно обратных функций

и
,

Под конец сведём эти и некоторые другие, так же легко получаемые производные, в следующую таблицу.

Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь , старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а $x$, при этом «пакетами» и «коробками» служат разные .

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию :

В результате получим, ясное дело, $\cos⁡x$. Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре:

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию . Получим:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в , а потом в :

$x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)$

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
- сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием $3$;
- сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
- сначала в логарифм по основанию $4$ , затем в степень $-2$.

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» $4$ раза:

$y=5^{\log_2⁡{\sin⁡(x^4)}}$

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть - какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в $4$-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию $2$, и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

Еще пример: $y=\cos⁡{(x^3)}$. Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: $x → x^3 → \cos⁡{(x^3)}$. Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть $\cos⁡{(x·x·x)})$, а там в кубе косинус $x$ (то есть, $\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x$). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): $y=\sin⁡{(2x+5)}$. Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: $x → 2x+5 → \sin⁡{(2x+5)}$. И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция. Например, $x^7$ – простая функция и $ctg x$ - тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

$x^7+ ctg x$ - простая,
$x^7· ctg x$ – простая,
$\frac{x^7}{ctg x}$ – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
$y=cos{⁡(sin⁡x)}$
$y=5^{x^7}$
$y=arctg⁡{11^x}$
$y=log_2⁡(1+x)$
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: $y=tg⁡(log_2⁡x)$, функция $\log_2⁡x$ – внутренняя, а
- внешняя.

А в этом: $y=\cos⁡{(x^3+2x+1)}$, $x^3+2x+1$ - внутренняя, а
- внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора, по словам, чтобы, понимать, что к чему относиться:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция $y=\sin⁡(x^3)$. Понятно, что внутренняя функция здесь $x^3$, а внешняя
. Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.

Пример 2

Найти производную функции

Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём: берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».

1) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма - самое глубокое вложение.

2) Затем необходимо вычислить логарифм:

4) Потом косинус возвести в куб:

5) На пятом шагу разность:

6) И, наконец, самая внешняя функция - это квадратный корень:

Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:

Вроде без ошибок:

1) Берем производную от квадратного корня.

2) Берем производную от разности, используя правило

3) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).

4) Берем производную от косинуса.

6) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения .

Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.

Следующий пример для самостоятельного решения.

Пример 3

Найти производную функции

Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения

Полное решение и ответ в конце урока.

Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?

Пример 4

Найти производную функции

Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.

В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза

Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» - логарифм: . Почему так можно сделать? А разве - это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:

Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :

Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде - легче будет проверять.

Рассмотренный пример можно решить вторым способом:

Оба способа решения абсолютно равноценны.

Пример 5

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.

Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.

Пример 6

Найти производную функции

Здесь можно пойти несколькими путями:

Или так:

Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за весь числитель:

В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить?

Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби :

Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.

Более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти производную функции

Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм

Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x . Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1) .

Формулу (1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u , является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .

Пусть функцию , зависящую от переменной x , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке , . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3) .
Здесь

- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;

- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и , то
;
.

Приращение функции :

. :
.
Подставим (3):

.

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных , то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
; ; ,
то
;
;
.

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай .
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция от n переменных в точке
, , ... , .
Тогда
.